close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Курсач - МАРЭС - 39

код для вставкиСкачать
Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1. Описание проблемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
2. Описание метода.............................................................7
3. Описание алгоритма. ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
4. Описание программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...13
5. Решение контрольной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...16
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...18
Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...19 Приложение
Введение
До начала шестидесятых годов вычислительные методы использовались при анализе и проектировании цепей крайне незначительно. Квалифицированный инженер мог синтезировать просты цепи, пользуясь минимумом вычислений. Он создавал макет схемы, производил изменения и различные модификации и в результате получал конечный вариант цепи. Но со временем под действием научно технического прогресса электронные схемы стали усложняться. Сначала на помощь инженеру пришли вычислительные методы. Этот мощный аппарат указал направление решения проблем, вставших перед расчётчиком. Расчёт оказался возможным, при условии того, что инженеру придется пойти на некоторые значительные упрощения. В случае необходимости произвести более точные вычисления, вставала проблема ограниченности возможностей в области вычислений низкого уровня. Но решение нашлось само собой. Во-первых, появились интегральные схемы, а во-вторых, стали доступными ЭВМ. Оба эти обстоятельства в комплексе изменили сам подход к решению проблемы. Интегральные схемы сделали возможным производство более совершенных и дешевых ЭВМ, а те в свою очередь облегчили проектирование новых интегральных схем и постепенно устранили проблему большого количества манипуляций с цифрами, так как взяли эту функцию на себя. Относительно дешевые мини и микро ЭВМ недавно стали широко доступными и у нас в стране. Так, что любой пользователь может привлечь "электронный мозг" к решению своих индивидуальных сложных вычислительных задач.
Кроме прогресса в развитии ЭВМ на все аспекты машинного анализа цепей и их проектирования сильное воздействие оказали четыре главных новшества в области численных методов:
- операции с разрешёнными матрицами - линейные многошаговые методы решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений - метод присоединённой схемы при вычислении чувствительности
- использование последовательного квадратичного программирования в задачах оптимизации
К сказанному выше можно добавить, что упомянутый вначале этап развития электроники не является заключительным. Развитие численных методов и методов моделирования открыли новые пути развития для науки.
1. Описание проблемы
Во многих отношениях задача решения нелинейных уравнений состояния аналогична задаче решения линейных уравнений. То есть в них, как и в линейных схемах, отыскание рабочей точки или расчёт по постоянному току электрических цепей обычно является первым шагом при анализе нелинейных схем. Он включает в себя определение узловых напряжений в схеме при данных параметрах источников постоянного тока и требует решения систем нелинейных алгебраических уравнений.
В программе для ЭВМ, подготовляемой при курсовом проектировании, должны быть реализованы по крайней мере два метода одного типа. К примеру, должны быть реализованы метод Гира 1 порядка и метод Гира 2-го порядка. При этом должна быть обеспечена возможность автоматического выбора шага, осуществляемом на основе оценки локальной погрешности.
Вопросы практической оценки погрешности, автоматического выбора шага и порядка, а так же устойчивости метода должны быть центральными. Основная проблема при решении данной задачи заключается в отыскании решений для переменных состояния, так как последующее определение выходных величин по выходным уравнениям не представляет затруднений. Необходимо найти решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям. С точки зрения анализа электронных схем отыскание решения уравнений состояния является расчетом переходного процесса. 2. Описание метода.
Методы Гира, независимо то их порядков, являются неявными методами. Методы Гира основаны на аппроксимации решения полиномом некоторой степени. Для подобных методов порядок точности определяется несколько по-иному.
Методом l-го порядка называется метод, позволяющий получить точное решение задачи Коши в случае, если это решение описывается полиномом l-й степени. По сути, и ранее введённое, и это определение порядка точности очень близки. Метод Гира l-го порядка описывается выражением вида: . Общее число коэффициентов a и b равно l+1. Полином l - ной степени, как известно, единственным образом определяется через параметры в количестве l +1; h, как и раньше, называется шагом решения. Величины ai и b - числовые коэффициенты. Дадим графическую интерпретацию записанной формулы (n=1).
Таким образом, для выполнения очередного шага необходимо определить такой полином, который, во-первых, проходил бы через точки с ординатами , и, во-вторых, имел первую производную в искомой точке , совпадающую с первой производной величины y. Другими словами, искомый полином определяется по ординатам в количестве l и по одной производной в искомой точке.
б). Обратимся к методу Гира первого порядка (неявный метод Эйлера).
Дадим графическую интерпретацию метода Эйлера.
Таким образом, точка с абсциссой и ординатой должна быть такой, что касательная, проведённая в этой точке к интегральной кривой, проходящей через эту точку, должна проходить и через исходную точку. Покажем, как неявный метод Эйлера может быть использован для решения сложных дифференциальных уравнений вида:
формально последнюю формулу иногда переписывают в следующем виде:
однако, на практике ею пользоваться не рекомендуется.
На практике используют методы Гира до шестого порядка включительно. Это основные методы программ САПР. Так как приведённая выше формула может быть преобразована так, что значения первых производных для выражаются через ординаты предыдущих точек и искомой точки; формулу метода Гира часто называют "формулой дифференцирования назад". Поэтому и сам метод Гира часто называют методом формулы дифференцирования назад.
3. Описание алгоритмов.
Уравнения состояния это особая форма математической модели электронной схемы. Их разделяют на уравнения переменных состояний и выходные уравнения.
Основная проблема это решение уравнений переменных состояний.
В общем виде уравнения состояния записываются следующим образом
.
Иногда систему уравнения состояния называют просто уравнением состояния, имея в виду векторную запись.
Выходное уравнение имеет следующий вид .
Ясно, что уравнения для переменных состояния являются системой обыкновенных уравнений в форме Коши.
В начале нашего века Рунге, Хойн и Кутта предложили подход, основанный на построении формулы для вида
в которой функция Ф близка к F , но не содержит производных от функции правой части уравнения. Было получено семейство явных и неявных методов, требующих s-кратного вычисления функции правой части на каждом шаге интегрирования (s-этапные методы). Формулы этих методов идеально приспособлены для практических расчетов: они позволяют легко менять шаг интегрирования, являются одношаговыми, достаточно экономичны, по крайней мере, до формул четвертого порядка включительно. Возможно, наиболее известной является формула четырехэтапного метода четвертого порядка:
Одна из основных проблем, связанных с применением методов (а в действительности, всех явных методов) состоит в выборе величины шага интегрирования h, обеспечивающей устойчивость вычислительной схемы.
За счет некоторого вычислительного усложнения этих формул был получен класс неявных методов, у которых отмеченная проблема в значительной степени снята. Неявные вычислительные схемы представляют собой алгебраические уравнения, в общем случае нелинейные, относительно значений . Например:
- неявный метод Эйлера - метод трапеции Главным источником погрешности численного решения в точке является погрешность аппроксимации метода, которая возникает на каждом шаге интегрирования.
Для решения нелинейных уравнений оказывается более эффективным метод Ньютона, который позволяет нередко добиться сходимости при существенно меньших ограничениях на величину шага. Точность прогноза для , используемого для начала итерационного ньютоновского процесса, может оказывать заметное влияние на скорость сходимости. При решении СДУ возможны две стратегии выбора шага.
1. Если влияние на решение быстро затухающих компонент фундаментального решения не представляет интереса, то процесс интегрирования можно провести с постоянным и достаточно большим, по сравнению с малыми постоянными времени системы, шагом. В этом случае можно получить значительный выигрыш в вычислительных затратах за счет упрощения вычислительной схемы (постоянства коэффициентов метода).
2. Если в решении требуется точное представление быстро изменяющихся компонент решения, то начальная величина шага должна быть меньше наименьшей постоянной времени задачи. Поскольку эти компоненты решения быстро затухают, то шаг в процессе интегрирования можно увеличить до значений порядка постоянной времени существенной (медленной) компоненты решения. Для эффективного использования последней стратегии необходим относительно простой механизм изменения шага интегрирования в соответствии с оценками погрешности аппроксимации. Ранее уравнения состояния были наиболее важными уравнениями при анализе электронных схем. Уравнения состояния продолжают оставаться наиболее информативной формой математической модели электронной схемы, в которой возможны переходные процессы.
Многие теоретические положения, относящиеся к динамическим объектам, сформулированы в терминах переменных состояния (например, при изучении вопросов устойчивости объектов).
В настоящее время рекомендуются численные расчеты динамических режимов выполнять на основе дискретных моделей, а теоретические исследования или специфические численные расчеты выполнять уравнениями состояний.
Один из основных недостатков состоит в том, что их трудно формировать. Но в нашем случае такой задачи не стоит.
Для линейных электронных схем уравнения состояния обычно записывают в следующей форме:
A, B, C, D - вещественные матрицы.
u - столбец независимых переменных. Обычно это столбец независимых источников напряжения и токи независимых источников тока.
Обычно уравнения состояния в начале записывают в следующем виде
,
а затем преобразуют в ту форму которая была ранее.
К примеру, рассмотрим следующую схему.
Приведем пример уравнения состояния схемы. Записываем уравнение для переменных состояния
Записываем выходное уравнение
4. Описание программы.
Линейная задача Коши в данной программе представима в форме:
Алгоритмы Гира представлены в модификациях для линейных систем с постоянным шагом интегрирования и в общем виде, позволяющем регулировать шаг. При этом, регулирование шага осуществляется в соответствии с заданной точностью решения (). При этом допустимая погрешность на шаге интегрирования устанавливается в соответствии с рекомендацией Брайтона. В программе установлена верхняя граница для величины шага интегрирования . Предприняты также меры, предупреждающие быстрое изменение величины шага. Все это довольно часто приводит к существенно меньшей результирующей погрешности интегрирования, чем задается пользователем, но повышает надежность работы программного комплекса. Программа позволяет записать решение для любых трех компонент вектора и представить их графически. Существует возможность изображения фазового портрета процесса относительно двух, из указанных выше трех, компонент решения. При решении линейных задач вычисляются собственные числа матрицы задачи, что позволяет правильно выбрать шаг интегрирования и спрогнозировать характер решения.
Исследование свойств методов может быть проведено на тестовых задачах, включенных в программный комплекс, и на задачах пользователя. Последние должны быть включены в пакет посредством описания их в процедурах bUse, VectFunUs и MatUse, находящихся в файле UsesFl.pas.
Тестовые задачи
1. .
16. Задача с порядковым номером 31 записана в процедурах MatrUses, bUse и VectFunUs (файла UsesFl) в качестве примера оформления пользовательских нелинейных задач.
31. Под номерам 32 могут записываться нелинейные пользовательские задачи. Включение этих задач производится в среде TURBO-PASCAL и предполагает перекомпиляцию программного пакета. При этом пользователь работает только с файлом UsesFl.Pas, указав в директиве главного меню "Compile" в опции Primeri File имя "Coshi.pas". Компиляция производится по директиве "Make".
Пример использования программы.
УКАЖИТЕ НОМЕР ЗАДАЧИ
1 : тестовые линейные задачи
16 : тестовые нелинейные задачи
31 - 32 : рабочие нелинейные задачи
1
Вы выбрали линейную задачу 2-го порядка
Для продолжения нажмите "ENTER"
С О Б С Т В Е Н Н Ы Е Ч И С Л А З А Д А Ч И:
Real Image
-1.00000E+00 1.00000E+00
-1.00000E+00 -1.00000E+00
Для продолжения нажмите ENTER
М Е Т О Д Ы
11 - нeявный Гира для линейных систем
12 - нeявный Гира по общей схеме с регул. шагом
Ваш выбор -?
11
ПОРЯДОК метода Гира - ?
2
Левая граница интервала интегрирования= 0.00000E+00
Укажите правую границу интервала интегрирования
0.5
Задайте шаг интегрирования
0.001
Определите количество контролируемых компонент вектора состояния (не более 3-х)
1
Шаг фиксации значений вектора состоянмя ? ( не менее 2.27273E-03 )
0.005
Р И С У Е М К А Р Т И Н К У ?
(Y/N)
Y
Г Р А Ф И К
1 - первой наблюдаемой компоненты вектора состояния
4 - погрешности вычисления выбранной компоненты
по отношению к точному решению
5 - фазовый портрет процесса
(не более двух рисунков; ecли один,то второе число - 0)
В а ш в ы б о р ?
1
0
5. Решение контрольной задачи.
Исходные данные смотри в предыдущем пункте.
Результат работы программы.
Заключение.
В наши дни труд инженера значительно облегчен в том плане, что ему уже не надо проводить вручную рутинные расчеты, которые за несколько минут может выполнить ЭВМ. Расчет схем при использовании ЭВМ позволяет высвободить значительное время инженера, избежать ошибок при расчете схем с большим количеством элементов, от которых никто не застрахован, а так же значительно повысить точность выполняемых расчетов.
Моделируя схемы на ЭВМ, можно избежать так называемого метода "проб и ошибок" в натуральном виде, который может оказаться очень дорогостоящим. Используя же ЭВМ, человек может проектировать различные устройства электроники, испытывать их в различных режимах без какого-либо риска.
В данной курсовой работе была разработана программа решения задачи Коши относительно нелинейных уравнений состояния электронной схемы.
Список используемой литературы
1. Влах Н., Сингхал К. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем.М.: Радио и связь, 1988 - 560 стр.
2. Савелов Н. С. Методы анализа и расчета электронных схем (курс лекций).
3. Савелов Н.С. Программирование и вычислительные методы. Курс лекций
4
Документ
Категория
Рефераты
Просмотров
109
Размер файла
692 Кб
Теги
марэс, курсач
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа