вопрос 4

4 Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Функция f(x) называется бесконечно малой в точке x = a (при x  a), если f(x)= 0.
Эквивалентное определение:
f(x) называется бесконечно малой в точке a, если   > 0   > 0,  x  {0 < | x - a | <  }: | f(x) | < .
Примеры:
1) f(x)=sin x бесконечно малая в точке x = 0, т.к. sin x = 0.
2) f(x)=sgn x не является бесконечно малой в точке x = 0, хотя f(0) = 0.
Аналогичным образом определяется бесконечно малая функция при x   (+ или -).
Пример.
f(x) =- бесконечно малая при x  .
В частности, последовательность {} называется бесконечно малой, если lim= 0.
Функция f(x) называется бесконечно большой в точке x = a (при x  a), если  A > 0   > 0,  x  {0 < | x - a | <  }: | f(x) | > A.
Обозначение: f(x) = .
Если при этом функция принимает положительные (отрицательные) значения, то будем писать:
f(x) = +  (- )
Пример:
f(x) =. Докажем, что f(x) = .
Зададим произвольное A > 0 и возьмём  = , тогда  x  {0 < | x | <  = }: | f(x) | = = > A,
это и означает, по определению, что f(x) = .
(рисунок)
= + .
= - .
Задание:
Дать определения, выражаемые следующими символическими формулами:
f(x) = , + , - .
f(x) = , + , - .
Дома:
Доказать следующие утверждения:
1) Если f(x) - бесконечно большая функция в точке x = a, то в некоторой проколотой окрестности точки a определена функция g(x) = и она является бесконечно малой в точке x = a.
2) Если f(x) - бесконечно малая в точке х = a и в некоторой проколотой окрестности точки a f(x)  0, то g(x) = - бесконечно большая в точке x = a.
3) Если f(x) = c = const и f(x)- бесконечно малая в точке x = a, то c = 0.
Теорема 2.2
Сумма и разность двух бесконечно малых в точке a функций являются бесконечно малыми в точке а функциями.
Доказательство:
Пусть f(x) и g(x)- бесконечно малые в точке x = a. Тогда  > 0  > 0,> 0  x  {0 < | x - a | < 1}: | f(x) | <,
 x  {0 < | x - a | <}: | g(x) | < . Положим  = min (,).
Тогда  x  {0 < | x - a | <  }: | f(x)  g(x) | || + || < .
Это и означает по определению, что f(x)  g(x) - бесконечно малые в точке x = a.
Теорема доказана.
Следствие. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых в точке x = a функций также является бесконечно малой в точке x = a функцией.
Доказательство:
Для двух слагаемых утверждение доказано в теореме 2.2 Далее воспользуемся
методом математической индукции: пусть для n слагаемых утверждение верно, докажем, что оно верно для n + 1 слагаемых.
Пусть (x),...,,-бесконечно малые в точке x = a функции. Положим
g(x)  += h(x) +. Тогда
- бесконечно малая в точке x = a по условию, h(x) - бесконечно малая в точке x = a в силу индуктивного предположения ==> g(x) = бесконечно малая в точке x = a, как сумма двух бесконечно малых функцийи h.
Теорема 2.3
Произведение ограниченной функции и функции, бесконечно малой в точке a, является бесконечно малой в точке a функцией.
Доказательство:
Пусть f(x) - ограниченная функция, то есть  А > 0,  x {область определения f(x)}: | f(x) | < A, и пусть g(x) - бесконечно малая в точке a. Тогда   > 0   > 0:  x  {0 < | x - a | <  }: | g(x) | <.
Следовательно,  x  {0 < | x - a | <  }: | f(x)g(x) | = < . Это и означает по определению, что f(x) g(x)- бесконечно малая в точке а функция.
Теорема доказана.
Следствие. Произведение конечного числа ограниченных функций, из которых хотя бы одна - бесконечно малая в точке а, является бесконечно малой функцией в точке а.
Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Пусть f(x) и g(x)- бесконечно малые в точке а, то есть f(x) = 0, g(x) = 0.
Тогда называют неопределенностью типа .
Если = 0, то говорят что f(x) является бесконечно малой более высокого порядка в точке а, чем g(x), и пишут: f = 0(g) при х  а.
Примеры:
=0(x) при x  0,
=0(x) при x  0.
Эти два неравенства, как и вообще неравенства с символом 0-малое, верны только слева направо, так как символ 0(х) обозначает любую функцию, являющуюся бесконечно малой более высокого порядка, чем х, при x  0.
Если = b  0, то говорят, что f(x) и g(x) являются бесконечно малыми одного порядка в точке а, и пишут: f = O(g) и g = O(f) при x  а.
Пример:
= O(2+), так как == 0.
Если = 1, то f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми в точке а.
Обозначение: f ~ g при x  0.
Пример: ~+при x  0.
Свойства символа "0 малое":
1) 0(g)  0(g) = 0(g).
2)Если f = 0(g), то 0(f)  0(g) = 0(g).
3) fg = 0(f) , fg = 0(g).
4)Если f ~ g, то f - g = 0(f), f - g = 0(g).
5)Если с = const  0, то 0(cg) = 0(g), например,
0(5) = 0().
Докажем 2):
Для этого нужно доказать, что = 0.
=+=+=+ 0,
а это и означает, что 0(f)  0(g) = 0(g),
что и требовалось доказать.
Докажем 4):
Для этого нужно доказать, что = 0.
= 1 -  0, при х  а, а это и означает, что f - g = 0(f), при х  а.
Пусть f(x) и g(x) - бесконечно большие функции при x  а. Тогда называют неопределенностью типа .
Если = , то говорят что при x  а функция f(x) имеет более высокий порядок роста, чем g(x).
Пример:
f(x)= и g (x) =- бескончно большие при x  0. Так как= = , то имеет более высокий порядок ростоа, чем при x  0.
Если = b  0, то говорят что f(x) и g(x) имеют одинаковый порядок роста при x  а.
Другие типы неопределённостей:
 - : например, -ctgx при x  0;
0  : например, xctgx при x  0;
: например, при x  0;
: например, при x  + 0;
: например ,при x  +.