close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Voprosy i otvety po kursu Elektromagnetizm

код для вставкиСкачать
В
опросы
и ответы
по курсу «Э
лектромагнетизм
»
1. Закон Кулона. Электрический заряд. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции электрических полей.
Закон Кулона
Зн.
Кулона:
сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов пропорциональна
величине каждого из зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль прямой, соединяющей заряды
.
, где , где
Коэффициент k (постоянная в з
.
Кулона) является размерной в
еличиной:
-
электрическая постоянная.
-
магнитная постоянная. Они реального смысла не имеют!
Электрический заряд
Точечный электрический заряд -
эл. заряд, размерами носителя которого можно пренебречь.
П
робный заряд ±
небольшой по величине точечный заряд, который не производит заметного перераспределения исследуемых зарядов.
Электрически
й
заряд
-
характеризуется свойствами:
1)
Существуют в 2х видах -
положительный и отрицательный.
2)
Подчиняется закону сохранен
ия
. В любой электрически изолированной системе алгебраическая сумма зарядов не изменяется.
3)
Взаимодействие описывается з. Кулона или з.
обратных квадратов. 4)
Квантование или дискретность заряда.
Заряд существует в виде порций
, где
e
±
самая маленькая порция заряда
. Здесь N
= 1,2,…
a 5)
Релятивистская инвариантность
полного заряда: алгебраическая сумма зарядов в изолированной системе не меняется при переходе от одной ИСО (инерциальной системы отсчета) к друго
й независимо от скорости их относительного движения.
Напряженность электрического поля
Векторная физическая величина, модуль которой численно равен силе, действующей на единичный положительный неподвижный пробный заряд, помещенный в некоторой точке наблюд
ения, а направление совпадает с направлением этой силы, называется напряженностью электрического поля
в рассматриваемой точке наблюдения и обозначается вектором , Принцип суперпозиции электрических полей
З.
Кулона описывает
эл. взаимодействие только 2х покоящихся зарядов. Для нахождения силы действующую на некий заряд со стороны других зарядов используют ±
Принцип суперпозиции электрических полей: Напряженность электрического поля , созданного неско
лькими неподвижными точечными зарядами q
1
, q
2
,..., q
n
, равна векторной сумме напряженностей электрических полей , которые создавал бы каждый из этих зарядов в той же точке наблюдения в отсутствие остальных:
2. Поле
электрического точечного диполя. Сила и момент сил, действующий на диполь во внешнем электрическом поле.
Поле электрического точечного диполя
Электрический диполь
±
система
ра
зноименных точечных зарядов +q и ±
q , расположенных на расстоянии l
друг от друга.
Характеризуется дипольным моментом
: , направленным от ±
q к +q. ±
радиус вектор положительного заряда относительно точк
и, в которой сосредоточен отрицательный заряд
Элементарным или точечным диполем называется предельная система при конечном p. Расстояние l много меньше расстояния r до точки, где определяется поле системы.
Н
апряженность поля в т
очке, расположенной на оси диполя.
:
так как далеко находимся
Теперь наша задача в том, чтобы найти составляющую вектора напряженности, действ
ующую на точку, находящуюся на перпендикуляре к вектору .
Из рисунка видно, что вектора и противонаправлены, поэтому мож
ем записать: Теперь мы можем найти вектор напряженности поля диполя в любой точке пространства:
Рассмотрим достаточно произвольную точку пространства, соединим эту точку (обозначенную на рисунке кв
адратиком) и диполь пунктирной линией. Разложим вектор на две составляющие: и так, как это показано на Рисунке 1
. Если представить диполь в виде полюсов, положительного и отр
ицательного, то это все равно, что мы в точку наблюдения поместим 2 заряда, положительный и отрицательный, равные по модулю и противоположные по знаку (
Рисунок 2
). Т.е. получили как будто бы еще 2 диполя -
и .
Рис 1
Рис 2
Итак, напряженность поля диполя можно представить в виде суммы двух его составляющих:
r
Видно, что , Еще заметим, что можно
представить в виде: , Тогда воспользуемся следующей системой уравнений и подставим эти уравнения в выражения для напряженности, полученные выше:
(*)
По этой формуле может быть найдена напряженность поля точечного диполя в произвольной точке пространства.
Нетрудно заметить, что в однородном поле суммарная сила, действующая на диполь, равна нулю.
Силы, действующие на электрический диполь в неодноро
дном электрическом поле
Рассмотрим диполь в неоднородном электрическом поле: отрицательный и положительный полюсы диполя «погружены» в поля напряженностями и соответственно, созданные неким источником (источниками). На + и -
полюсы диполя б
удут действовать разные силы, поэтому и суммарная сила, действующая на диполь, будет отлична от нуля. Тогда сила, действующая на диполь, может быть представлена в виде суммы сил, действующих на концы диполя:
Здесь представляет собой приращение на величину вдоль направления, задаваемого вектором ; -
производная поля вдоль того же направления.
Итак, если м
ы диполь помещаем в неоднородное электрическое поле, то на диполь действует сила, которая может быть найдена по формуле:
Момент сил, действующий на точеч
ный диполь в электрическом поле
Посчитаем момент сил, действующих на дипол
ь, относительно произвольной точки пространства А: он будет складываться из моментов сил, действующих на положительный и отрицательный полюсы диполя:
Мы воспользовались предположением, что из
-
за малости l
разность
±
приблизительно равна нулю, поэтому первым слагаемым в нашем выражении мы пренебрегаем. А так как из этого же предположения следует, что , то будем считать поле, в которое помещен диполь, однородным и обозначим это поле за
. В итоге получаем: A
+
-
1
2
-
+
3. Интегральная форма электростатической теоремы Гаусса. Пример применения теоремы Гаусса для расчета поля . (Задача по выбору, например, найти поле однородно заряженног
о по объему с плотностью ρ
бесконечно длинного цилиндра).
Теорема Гаусса в интегральной форме.
Рассмотрим элементарную площадку , находящуюся в поле, созданном точечным источником q
, расположенным в точк
е наблюдения. Вектор нормали к площадке не совпадает с вектором напряженности поля в этой точке, -
угол между вектором нормали к поверхности и вектором напряженности поля; r
±
расстояние от источника по
ля до площадки. Рассмотрим площадку ,
элементы которой перпендикулярны r
. Найдем поток через площадку :
Введем понятие телесного угла:
Количественной мерой плоского угла явл
яется отношение длины дуги l
к ее радиусу R
. При этом центр кривизны находится в вершине угла.
Количественной мерой телесного угла является отношение площади поверхности фрагмента сферы, вырезаемой конусом с вершиной в цен
тре сферы. К квадрату радиуса этой сферы.
Таким образом, в наших обозначениях
телесный угол.
Это пространственный угол, под которым из точки расположения точечного
заряда видна площадка (или они видны под одним и тем же углом).
Тогда выражение для элементарного потока принимает вид:
-
Угол положителен, если площадка обращена к заряду внутренней стороной, и отрицателен, если внешней.
Рассмотрим 2 случая.
1) Пусть заряд q
расположен внутри некоторой замкнутой поверхности (контур, изображенный на рисунке, след от пересечения нашей поверхности с плоскостью листа). Мы будем пользоваться понятием внешней нормали , которая направлена из части пространства, охватываемой поверхностью, наружу. Мы рассматриваем как раз тот случай, когда элементарная площадка обраще
на к заряду внутренней стороной, т.е. угол ±
положительное число. Найдем поток вектора напряженности через нашу поверхность. Так как поток ±
величина аддитивная, полный поток равен сумме элементарных потоков:
Полный телесный угол = . Для того чтобы в этом убедиться, представим, что в точке расположения заряда находится сфера (на рисунке, на правом экране, она
±
розовая, радиусом
)и запишем отношение по
лной поверхности сферы к квадрату ее радиуса . Получим как раз .
Итак, мы получили, что в случае, когда заряд находится внутри замкнутой поверхности, поток поля этого заряда чер
ез поверхность 2)
Теперь рассмотрим случай, когда заряд находится вне рассматриваемой замкнутой поверхности. Из точки наблюдения, в которой расположен заряд, поверхность видна под телесным углом . На рис
унке верхней части поверхности соответствует внешняя нормаль , и телесный угол, соответствующий этой части поверхности, будет иметь знак «+». Нижней же части поверхности с
оответствует внешняя нормаль , те
лесный угол, соответствующий этой части поверхности, будет иметь знак «
-
». Тогда полный поток, пронизывающий нашу поверхность, может быть представлен в виде суммы двух потоков: , где -
поток через верхню
ю часть поверхности, -
поток через нижнюю часть нашей поверхности. Распишем это выражение, учитывая, что поверхность со знаком «+» и поверхность со знаком «
-
» опираются на телесные углы равные по величине, но противоположные по з
наку:
Т.е. получаем, что в случае, когда заряд находится вне замкнутой поверхности, поток этого заряда через поверхность = 0.
Мы рассмотрели только случай, когда поле создается единственным точечным
зарядом. Если же поле создается системой точечных зарядов, то поток поля ﰠ
проинтегрированный по всей замкнутой поверхности, в силу принципа суперпозиции может быть представлен в виде: Замечание:
Случ
ай, когда точечный заряд q
находится на самой поверхности S
, рассматривать не имеет смысла. Дело в том, что расстояние от точечного заряда до точек пространства, в которых он создает поле, должно быть велико по сравнению с размерами этого заряда. Это требо
вание не выполняется для точек поверхности, на которой расположен точечный источник поля. Однако поле создается не только тем зарядом, который попал в гауссову поверхность, а вообще всеми зарядами. Поток же поля определяется тол
ько теми зарядами, которые попали внутрь гауссовой поверхности.
-
интегральная форма теоремы Гаусса.
Таким образом, электростатическая теорема Гаусса утверждает: поток поля через произвольную замкнутую поверхность равен отношению алгебраической величины суммарного заряда внутри этой поверхности к
.
q
4. Дифференциальная форма электростатической теоремы Гаусса. (Рассмотреть пример: по известному полю, найти объемную плотность за
ряда).
Локальная (дифференциальная) форма теоремы Гаусса.
Рассмотрим небольшой заряд dq
, распределенный в объеме dV
с плотностью . В соответствие с теоремой Гаусса, поток вектора через элементарную замкнутую поверхность, охватывающую объм , находится по формуле .
Из полученного выражения видно, что , Здесь D
характеризует плотность пространственного распределения источников поля.
D
±
дивергенция (расходимость) векторного поля: . Если представить силовые линии, создаваемые, например, точечным источником поля, то видно, что они от него расходятся (
или к нему сходятся). Тогда теорема Гаусса принимает следующий вид (в дифференциальной форме):
-
дифференциальная форма теоремы Гаусса.
Замечание
-
напряженность в данной точке пространства и плотность в этой же точке пространства.
-
напряженность в одном месте, а заряд в другом месте.
Надо различать поле от внешних источников и поле, создаваемое зарядом, попавшим внутрь поверхности!
По известному полю найдем объемную плотность
заряда.
Рассмотрим две области пространства:
1) -
в этой области поле имеет такой
вид.
-
находим дивергенцию. Из теоремы Гаусса:
. Получаем .
2) -
в этой области поле выглядит уже вот так.
, значит во внешней области .
5. Работа сил эл
ектростатического поля по переносу точечного заряда. Разность потенциалов.
Пробный (положительный и очень маленький по размеру ±
это определение пробного заряда) заряд q
медленно
(квазистатически ±
заряд находится почти в покое) перемещаем по пути Г («га
мма
большое») из 1 в 2 в электростатическом поле точечного статического заряда . Найдем элементарную работу сил электростатического поля этого заряда по перемещению заряда q
:
Элементарная работа силы
где ±
элементарное перемещение точки приложения силы Работа сил электростатического поля по перемещению точечного заряда из положения 1 в положение 2 по контуру Г может быть вычислена по формуле:
6. Интегральный и дифференциальный признаки потенциальности электростатического поля.
Интегральный признак
-
работа силы
Анализируя полученную формулу для работы сил электростатического поля по перемещению заряда q
по некоторому контуру Г, можно сделать следующие выводы:
1)
работа не зависит от формы контура Г, а зависит только от начального и конечного положений;
2)
если точки 1 и 2 совпадают (контур Г ±
замкнутый), то
=0, т.е. ;
Линейный интеграл, взятый по замкнутому контуру (замкнутой кривой) Г, называется циркуляцией вектора .
Т.е. ц
иркуляция электростатическог
о поля равна нулю.
(Теорема о циркуляции).
Последний результат справедлив и для электростатического поля, созданного любой системой покоящихся точечных зарядов, т.к. по принципу суперпозиции электростатических полей
; Векторное поле называется потенциальным
, если циркуляция этого вектора по любому
замкнутому контуру
Г
равна нулю.
Локальный (дифференциальный) признак
Найдем циркуляцию вектора по
бесконечно малому плоскому прямоугольному контуру , расположенному в районе некоторой точки, в декартовой системе координат. Нас будет интересовать конфигурация (линейные размеры) этого контура, поэтому изобразим его достаточно б
ольшим. Выберем направление обхода по контуру ±
против часовой стрелки.
Т.к. величины dx и dy являются очень маленькими, можно считать, что и поле на протяжении этих отрезков также одинаково; будем обозначать поле в каждой точке стороны 1 как , поле в каждой точке стороны 2 как
, и так далее.
Интеграл по замкнутому контуру в данном случае мы можем заменить на сумму четырех слагаемых:
Теперь заметим, ч
то выражение по сути является приращением y
-
ковой составляющей поля при переходе из 1 в 3 вдоль оси x
. Тогда наше выражение приблизительно равно:
Мы нашли циркуляцию вектора по элементарному контуру.
Аналогично для элементарных прямоугольных контуров в плоскостях yz
и zx
можно получить:
А так как циркуляция вектора по любому контуру равна нулю, то можно сделать вывод, что в потенциальном поле выполняются одновременно все 3 следующих равенства:
(*)
То, что выписано ±
необходимый, а в электростатике ±
и достаточный признак потенциальности электрического поля в декартовой системе координат.
Выполне
ние этих равенств проверить на практике гораздо проще, чем проверять интегральный признак потенциальности электростатического поля.
Итак, поле
является потенциальным в области, если условия (*) выполняются в каждой точке этой обл
асти. x
0
1
2
3
4
7. Интегральное и дифференциальное соотношения между вектором напряженности электрического поля
и потенциалом
ij
.
Интегральное соотношение между и φ
Потенциальное поле векторов можно описать на скалярном языке с помощью понятия по
тенциала, он описывает поле более простым способом. Определяется не сам потенциал, а его приращение, по определению это:
-
приращение потенциала;
убыль потенциала;
Разность потенциа
лов между точками 2 и 1 электростатического поля численно равна взятой с обратным знаком работе, совершаемой силами поля, при квазистатическом перемещении единичного положительного заряда по любому пути из точки 1 в точку 2. Дифференциаль
ное соотношение между и φ
Рассмотрим 2 близкие точки 1 и 2 на координатной оси OX
в электростатическом поле . В соответствии с определением приращения потенциала, поскольку точки очень близки, а значит и потенциалы близки:
и п
олучается
.
Если точки 1 и 2 лежат в произвольной точке пространства, то аналогичное соотношение можно получить для проекции напряженности на другие оси декартовой системы координат:
Таким образом, вектор может быть представлен в виде:
-
это оператор Гамильтона
. Получается (
«Набла фи»)
8. Разность потенциалов. Пот
енциал. Нормировка потенциала или выбор начала отсчета. Потенциал точечного заряда. Пример вычисления потенциала (по выбору).
Потенциал
Потенцил -
это величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля. Нормировка потенциала или выбор начала отсчета
Перепишем приращение потенциала иначе -
определен с точностью до выбора некой постоянной , которая нам не известна.
Один из удобных способов выбора значения аддитивной постоянной, это когда система зарядов занимает ограниченную область пространства, то потенциал бесконечно удаленной точки обычно полагают равным 0. Потенциал любой другой точки определится: Разность потенциалов
Когда говорят о потенциале, то имеют ввиду разность потенциалов между рассматриваемой точкой и точкой, потенциал
которой принят за 0.
Потенциал в точке физического смысла не имеет, т
ак как нельзя измерить работу в данной точке, имеет смысл только разность потенциалов.
С использованием разности потенциалов квазистатическая работа сил поля при перемещении заряда q0 по произвольному пути из точки 1 в точку 2 представится на основании (убыль потенциала) как т.е. квазистатическая работа сил поля равна убыли потенциала, умноженной на величину перемещаемого заряда.
Если между двумя точками пространства для переноса заряда в один ку
лон требуется совершить работу в один джоуль, то разность потенциалов в этих точках равна 1В.
1 вольт (В).
Примеры вычисления потенциала
Рассмотрим вычисление потенциала поля, созданного некоторыми заряженными телами.
Рис 3. Р
асположение точки наблюдения А по отношению к точечному источнику поля q
Пример 1. Точечный заряд. Используя соотношения
и и совмещая точку 1 с точкой наблюдения А
(рис.3), а точку 2 удаляя на бесконеч
ность, получим
Замечание.
Представление о потенциале как функции точки пространства позволяет ввести понятие скалярного поля поля чисел ij (каждой точке пространства ставится в соответствие, с точностью
до произвольной аддитивной постоянной, число ij).
Пример 2. потенциал бесконечной однородно заряженной с линейной плотностью λ нити.
Наша задача найти
ij
как функцию .
Как уже было показано для беск
онечно длинной нити:
.
Выберем где
-
нибудь точку из которой мы стартуем, к примеру в точке , то
.
Договоримся, что в точке старта потенциал равен нулю: , тогда
.
9. Два способа нахождения потенциала точечного электрического диполя: из формулы для потенциала точечного заряда и формулы для напряженности поля диполя. Обратная задача: по известному
ij
найти (полярная система ко
ординат).
Потенциал поля точечного диполя (первый способ).
Итак, мы рассматриваем точечный диполь и точку наблюдения достаточно далеко от этой нашей гантельки.
Давайте искать потенциал этой точки наблюдения. Во первых, принц
ип суперпозиции.
Во
вторых, как известно †
Учтя, что есть проекция вектора на и то, что расст
ояние до диполя очень велико, то
Потенциал поля точечного диполя (второй способ)
Используем готовую формулу для напряженности поля:
.
Вот такое выражение мы с вами в свое время вывели. Обопремся на нег
о. Выберем такое направление, чтобы нам было удобно вычислять этот интеграл, так как поле потенциальное, то результат не будет зависеть от вида траектории. Ориентация диполя, направление движения и вектор показаны на рисунке. С учетом некоторых соотношений (5) примет вид:
О
тсюда, раскрывая скалярное произведение и продифференцировав формулу для потенциала, мы получим .
10. Энергия взаимодействия двух точечных зарядов.
Энергия взаимодействия системы из N точечных зарядов.
Энергия взаимодействия двух точечных зарядов
По определению потенциальной энергии, работа электрической силы, действующей на точечный заряд со стороны покоящегося точечного заряда при медленном переносе из позиции 1 в позицию 2 равна убыли потенциальной энергии взаимодействия этих зарядов.
. , поэтому формулу можно переписать
При условии нормировки энергии (
при ) получим, что -
потенциальная энергия взаимодейств
ия двух точечных зарядов, расположенных на расстоянии друг от друга, равна работе электрических сил при медленном увеличении расстояния между зарядами от до или равна работе пр
иложенной нами силы при медленном сближении зарядов из до . В соответствии с определением потенциала для точечного источника =
>
. ±
потенциал, созданный зарядом , в той точке, куда мы поместили заряд .
Эта формула позволяет вычислить потенциальную энергию взаимодействия за
ряда с чужим полем.
Энергия взаимодействия системы из
N
точечных зарядов.
Найдем энергию взаимодействия друг с другом
системы из точечных зарядов как сумму энергий парных взаимодействий зарядов и
, находящихся на расстоянии друг от друга. Запишем сумму таких взаимодействий с точностью до некоторого отсутствующего множителя.
-
сумма энергий взаимодей
ствия 1го заряда с остальными,
-
сумма энергий взаимодействия 2го заряда с остальными,
………………………….
-
сумма энергий взаимодействия n
-
го заряда с остальными.
Учтем, что , то е
сть мы перестарались ±
слагаемых здесь в два раза больше, чем нужно. Кроме того, учтем коэффициент:
,
где -
потенциал, созданный всеми зарядами, кроме , в точке расположения го заряда.
(1) ±
энергия взаимодействия зарядов друг с другом.
11. Полная электростатическая энергия заряженного тела. Два способа вычисления: через распределение заряда и потенциала в пространстве и через объемную плотность энергии поля.
Собственная энергия заряженного тела и энергия взаимодействия заряженных тел.
Полная электростатическая энергия заряженного тела.
Если заряд распределен по телу непрерывно с объемной плотностью
или поверхностной плотностью , то выражение для энергии (1) допускает обобщение (мы рассматривали дискретное множество зарядов, а теперь размажем заряд непрерывно по телу):
(2)
(3)
В формуле (1) не учтена работа внешних сил по формированию зарядов из бесконечно малых зарядов , а в (2) и (3) учтена, поэтому последние 2 формулы описывают полную электростатическую энергию заряж
енного тела.
Полную энергию можно интерпретировать как ту минимальную работу, которую мы должны совершить, если мы из бесконечно маленьких зарядиков расположенных на бесконечности друг от друга, так что они не взаимодействуют друг с другом, соберем какую
-
т
о пространственную конфигурацию в какой
-
то точке пространства.
О локализации электростатической энергии.
Покажем, что формула (3) может быть представлена в виде .
Рассмотрим однородно по поверхности з
аряженную сферу. Уменьшим ее радиус на , очевидно, что .
При этом энергия сферы
.
При вычислениях мы учли нормировку потенциала на бесконечность.
Причем очевидно, что объемная плотность энергии равна
.
Приходим к выводу, что в электростатике энергию заряженного тела можно найти как по (2) и (3), так и по (4). При этом в первом случае естественно сч
итать, что энергия локализована там, где расположен заряд, а в (4) там, где есть поле.
Выяснить, где именно, в заряде или в поле, локализована энергия электростатика не позволяет, но мы знаем об электромагнитных волнах, которые способны переносить энергию
в пустом пространстве, где нет зарядов, изучив закон, которому подчиняется переменное электромагнитное поле, мы увидим, что (4) справедлива всегда, а (2) и (3) -
только в электростатике. Энергия системы, состоящей из двух заряженных тел.
Рассмотрим 2 тела, создающих соответственно поля и . Тогда в соответствии с принципом суперпозиции: Возведем это равенство скалярно в квадрат:
Если теперь домнож
им это выражение на , то два первых слагаемых могут интерпретироваться как объемная плотность энергии электрического поля. Тогда полная энергия системы может быть представлена в виде:
Отметим, что полная
энергия системы, собственная энергия первого и второго тел ±
величины неотрицательные. Если изменяется расположение тел, но не изменяется расположение зарядов на этих телах, то . Поля подчиняются принци
пу суперпозиции, однако энергия суммы тел не равна сумме энергий отдельных тел.
12. Проводник в электростатике
,
ρ и ij
в проводнике. Поле вблизи поверхности проводника.
Проводник в электростатике.
Проводник ±
это вещество, в котором есть своб
одные носители электрического заряда, способные двигаться внутри вещества под действием приложенных к ним сил. В металлах это свободные электроны.
Свойство1:
Электростатическое поле внутри проводника отсутствует, . Док
-
во
. От пр
отивного: если бы в проводнике , то появляется электрический ток, т.к. есть свободные заряды и электрическое поле, которое будет действовать на заряды с некоторой силой. Но тогда это не есть случай электростатики.
Свойство2: Внут
ренняя область проводника и его поверхность эквипотенциальны.
Доказательство:
В силу первого свойства внутри и на поверхности проводника , с другой стороны , или , т.е. , значит потенциал не является функцией точки, он одинаков везде внутри проводника и на его поверхности.
Свойство3:
Внутри проводника (объмная плотность заряда).
Доказательство:
Доказательство формально: т.к.
, то из теоремы Гаусса в дифференциальной форме , т.к. , то и , а значит и .
Свойство4: (Электростатическое поле вблизи заряженн
ой поверхности проводника вне проводника):
Изобразим на рисунке сечение поверхности проводника плоскостью листа. Допустим на проводнике имеется некоторый избыточный положительный заряд, т.е. не хватает электронов. Все эти положительные заряды сосредоточа
тся на поверхности с поверхностной плотностью . Выберем гауссову поверхность в виде небольшого цилиндра маленькой высоты так, как он изображен на рисунке. Этот цилиндр вырезает из поверхности проводника вместе с расположенными на нем зарядами некоторый фрагмент площади . Применим теорему Гаусса. Поле внутри проводника = 0, поэтому и поток через нижний торец тоже равен нулю. Поток через верхний торец будет равен . Поток через боковую поверхность будет равен нулю, поскольку мы выбрали элементарный, очень маленький цилиндр, а также потому, что поле в точках этой поверхности перпендикулярно вектору нормали к поверхности.
,
Замечание:
Поле создано не только зарядом , действительно:
Исходя из принципа суперпозиции, можно записать: , (1)
Интересно, что вклады в общую напряженность поля от маленькой поверхности и от всей остальной поверхности проводника одинаковы. Получается, в самом деле, что поле вблизи поверхности проводника создается не только зарядом, попавшим в гауссову поверхность. =
+
это монослой заряда
, металла там нет! ЕЩЕ РАЗ ПОДРОБНЕЕ
Итак, мы имеем поля вблизи поверхности проводника
(2)
Несмотря на то, что поле в (2) зависит только от локальной плотности заряда, создается это поле всеми зарядами рассматриваемой системы.
Чтобы сделать данное замечание более ясным. проведем анализ выражения (2) на основе принципа суперпозиции. Поле вблизи поверхности проводника (2) равно сумме поля , создаваемого остальными зарядами (расположенными вне элемента поверхности S
), и поля ,
создаваемого зарядами, локализованными на поверхности S
. Поле ¶ в точках вблизи поверхности S
(здесь она ведет себя как бесконечная однородно заряженная плоскость) равно
-
снаружи проводника;
внутри проводника.
В силу суперпозиции полей и -
снаружи проводника;
-
внутри проводника.
(3)
Рис 2. Поле , созданное заряженным проводником вблизи его поверхности (вне проводника). Изображены также векторы 0
-
поля, созданного всем поверхностным зарядом, кроме расположенного на S, а также (
вне проводника) и (внутри проводника)
-
полей, созданных зарядом элемента поверхности S
Из условия внутр
= 0 получаем вновь (2), так как из второго равенства (3) следует .
13. Метод электростатических изображений на примере определения силы взаимоде
йствия точечного заряда с проводящим полупространством.
Метод электростатических изображений.
Пример:
Точечный заряд +
q
находится на расстоянии h
от плоской поверхности незаряженного полубесконечного проводника (одно полупространство занимает проводник, в
другом находится вакуум и точечный заряд). Нужно найти , индуцированного на проводнике. r
±
расстояние от основания перпендикуляра , опущенного на плоскость из заряда q
, до точки, в которой определяем .
Вообще вся поверхность проводника будет заряжена отрицательно, т.к. наш точечный заряд заряжен положительно. Возникнет некая функция распределения . Вблизи поверхности провод
ника выделим две позиции: А
и В, и будем рассматривать поле в этих точках.
Поле будет создаваться как точечным зарядом +
q
, так и зарядами, индуцированными на поверхности проводника. Поле в точке А,
как было установлено ранее, будет направлено к поверх
ности проводника (она заряжена отрицательно). Рассмотрим составляющие этого поля и . Как направлено мы знаем,
очевидно, будет направлено так, чтобы в
сумме с давать Аналогичные рассуждения проделываем для точки B
,
учитывая
,
что полное поле в этой точке = 0 и то, что
. Тогда мы можем найти поле, с
озданное
в точке наблюдения
только электронами, находящимися на поверхности проводника.
Введем угол , тогда мы можем записать следующее
Поскольку ±
поле созданное точечным ист
очником на известном расстоянии, то мы можем записать
. Если мы полученные выражения подставим в первое, то
-
вот такой вид имеет поле в точке , напомн
им, что поле в точке равно нулю.
Теперь для того, чтобы найти поверхностную плотность заряда в том месте, где расположены точки и
, мы можем рассмотреть гауссову поверхность (см
. рисунок). Цилиндрик этот достаточно мало протяженный по горизонту, так, чтобы почувствовать локальную плотность зарядов. А верхняя и нижняя крышка должны быть тоже очень близко к той поверхности, которую мы рассматриваем, в соответствии с теми позициями,
которые были приняты при нахождении полей.
Теорема Гаусса, записываемая для этого цилиндрика, с учетом того, что в нее входит внешняя нормаль, а поле в точке направлено вниз, на боковых гранях потоки равны нулю, на дне тоже, по
тому что там поля нет, так что ненулевой поток будет даваться только потоком через крышку. +
q
h
r
A
B
Полупространство проводник
а
Отрицательные заряды на поверхности
Поэтому теорема Гаусса, если мы площадь поверхности верхней крышки обозначим буквой , будет записана в виде:
по
сле сокращения окончательно мы получаем:
Теперь решим еще одну задачу в рамках этого же примера.
Найдем величину
силы притяжения, действующей на заряд со стороны заряда, индуцированного на поверхности.
Понятно, что сила, которую мы ищем, может быть найдена как произведение модуля заряда на напряженность поля отрицательно заряженной плоскости:
Что касается поля , то его можно найти, так как закон, р
аспределения заряда по поверхности проводника нам известен. Видно, что эта функция обладает осевой симметрией, то есть, во всех точках, удаленных от основания перпендикуляра на равное расстояние поверхностная плотность одна и та ж
е, поэтому довольно естественно разделить поверхность на вложенные кольца и найти интересующее нас поле как сумму этих полей:
Здесь мы просто обратимся к задаче, которая уже решалась:
вот такая формул
а для поля, созданного кольцом.
заряд вот такого кольца, где
площадь кольца,
После интегрирования по всей поверхности получим:
Если посмотреть на
эту формулу, то нетрудно увидеть, что точно по такой же формуле вычисляется сила взаимодействия двух точечных зарядов , удаленных друг от друга на расстояние .
На рисунке приближенно изображены силовые линии нашего заряда в оригинале и с использованием метода изображений. Обратим внимание, что в верхней половине картинки совпадают, а нижние, конечно же, нет.
В заключение можно написать следующие сл
ова: замена реальных индуцированных зарядов, распределенных с поверхностной плотностью зарядом
-
изображением , сохраняет конфигурацию поля в области, где расположен заряд . В этом
состоит суть метода электростатических изображений. То есть, в том, чтобы заменить реальное довольно сложное расположение зарядов на придуманное, но такое, чтобы поле в области получилось точно такое же, как в исходной задаче.
Метод ±
это все
-
таки последо
вательность действий, с помощью которой можно решить несколько задач, так что то, что мы тут разобрали, сложно охарактеризовать как метод ввиду малости количества решенных задач.
14. Электрическая емкость. Два примера: емкость и энергия уединенной сферы
и плоского воздушного конденсатора.
Электрическая емкость
Опыт показывает, что потенциал уединенного (одинокого, изолированного) проводника прямо пропорционален его заряду . Если мы вспомним, что потен
циал ±
это, грубо говоря, работа по переносу единичного заряда из бесконечности на это уединенное тело, то совершенно ясно, что чем больше зарядов накопится на этом теле, тем труднее туда затолкать очередной. Поэтому трудность зарядки этого тела и степень
его зарядки связаны друг с другом. Поэтому
, откуда
-
электроемкость уединенного проводника. = фарад.
(обозначение: Ф
, F
)
²
единица измерения электрической мкости
Понятно, что везде, где мы говорим об уединенном проводнике нормир
овка потенциала такая: .
Пример
1. Емкость
Найдем емкость уединенной проводящей сферы радиуса .
Введем полярный радиус с началом в центре сферы.
Нанесем
на сферу заряд, хотя емкость не зависит от того, зарядили мы сферу или нет.
Но чтобы узнать, какая у него емкость, мы должны поместить на нее заряд и посмотреть, какое поле получится.
Найдем с помощью теоремы Гаусса в области . В итоге получаем:
, 2. Теперь мы должны найти потенциал поверхности через интегральную формулу для убыли потенциала: 3.
-
электрическая емкость нашей электрической оболочки.
Пример
2
. Энергия
Пример.
Найдем энергию заряженной уединенной проводящей сферы.
Это можно сделать двумя способами по уже известным нам формулам:
1й способ. -
при вычислениях мы учли, что поверхность сферы является эквипотенциальной поверхностью.
2й способ.
У нас есть такое утверждение, что энергия аккумулирована не на заряженной поверхности, а в той области пространства, где находится электрическое
поле, то есть
-
здесь при вычислениях мы учли, что поле внутри сферы отсутствует.
Как видим, результат один и тот же, вне зависимости от способа его получения.
Далее мы будем переходить к тому, что обычно называется конденсатор
ом.
При приближении к уединенному положительно заряженному проводнику другого проводника, потенциал первого уменьшается из
-
за наложения поля отрицательных зарядов, индуцированных на втором проводнике. Это приводит к увеличению емкости первого проводника и делает ее менее зависящей или независящей от третьих тел.
15. Электростатическое поле при наличии диэлектрика. Микро
-
и макрополе в поляризованном веществе. Связь макрополя с дипольным моментом единицы объема
.
Диэлектрическая проницаемость. Теорема Гаусса для вектора . Теорема Гаусса для вектора
. Граничные условия для .
Микро
-
и макрополе, созданное поляризованным веществом.
Атомы и молекулы часто являются поляризуемыми, т.е. обладают электрическими дипольными моментами. Постр
оим из таких частиц столбик (цилиндрик) поляризованного вещества (см. рисунок). Наш цилиндрик мы представим в виде еще более мелких фрагментов вещества, дисков толщиной dz
, площадью поперечного сечения . Рассмотрим электрическое п
оле, которое создается таким фрагментом вещества в точке наблюдения, расположенной вне нашего цилиндрика. Хотя вещество в целом электронейтрально, каждый объем данного вещества характеризуется вектором -
электрическим дипольным м
оментом единицы объема вещества. Пусть он один и то же по всему объему вещества. Найдем потенциал, создаваемый в точке наблюдения нашим диском толщиной dz
. Потенциал поля точечного диполя с электрическим моментом найдем по формуле, полученной на ранее:
Учтем, что величина является отрицательной. При дальнейшем суммировании мы будем двигаться от нижнего основания цилиндр
а к верхнему, а при таком движении будет уменьшаться, значит является отрицательной величиной, тогда можно записать: .
Теперь найдем потенциал, созда
ваемый в точке наблюдения всем цилиндром:
Условие нормировки в нашем примере .
Обратим внимание на то, что дипольный момент маленького диска мы можем записать двумя способами:
,
записать в левой части уравнения очевидна, а в правой мы представляем наш диск в виде маленькой гантельки, принимая за заряд на торце большого столбца (заряд полюса диполя).
С учетом этого выражения, п
олученная формула может быть переписана в виде:
Обратим внимание на то, что подобный результат мы уже получали: такое же электрическое поле, как наш столбик поляризованного вещества, создают 2 разноименных точечных заряда вел
ичиной , -
поверхностная плотность так называемых связанных зарядов, расположенных на торцах фрагмента вещества. Под действием внешнего электрического поля фрагмент вещества, не являющегося проводником, поляризуется и возникает электрический дипольный момент. Тогда на поверхности вещества выступают связанные заряды. Они отличаются от свободных зарядов в проводниках тем, что связные заряды входят в состав молекул, атомов, а не существуют отдельно от них. С
равнивая формулы и , приходим к выводу, что , .
Построим из столбиков (только что рассмотренных) плоский слой (пластину) однородно поляризованного вещ
ества. Анализируя полученный результат, получим, что всюду вне однородно поляризованной пластины потенциал такой же, как от двух слоев поверхностных зарядов плотностью , .
Таким образом, поля вне поляриз
ованной пластины и двойного слоя совпадают. Нарисуем вертикальное сечение плоскопараллельной пластины толщиной ,
обладающей электрическим дипольным моментом -
кусок поляризованного вещества, а рядом ±
двойной электрический слой, состоящий из монослов положительного и отрицательного зарядов, заполненный внутри изолятором; в целом данная си
стема электронейтральна.
-
поле, созданное связанными зарядами.
Во внешней области поля, создаваемой этими объектами, одинаковы. Поля внутри пластины и внутри двойного слоя, конечно же, разные. При описании поля в веществе н
а микроуровне следовало бы интересоваться микрополем, т.е. полем внутри и снаружи любой молекулы или атома. Однако наша цель ±
найти усредненное по всему объму, содержащему множество атомов или молекул, электрическое макрополе.
,
где -
макрополе, -
микрополе.
Пусть объм
V
, в котором производится усреднение, это -
объм столбика вещества, о котором шла речь. Найдем модуль среднего значения поля :
Обратим внимание на то, что поле как внутри, так и снаружи от пластины потенциально. А это значит, что величина рассматриваемого линейного интеграла не зависит от того, вычисляем мы его по внутренней траектор
ии, или по внешней. Аналогичное утверждение справедливо и для поля двойного слоя. Поскольку внешние поля двойного слоя и пластины одинаковы, то одинаковы и соответствующие интегралы.
+ + + + + + + + + + + + + + + +
Таким образом, вместо вычисления интеграла внутри пластины достаточно вычислить его внутри двойного слоя:
Итак, электрическое макрополе внутри поляризованного вещества , т.к. вектора и противонаправлены.
Рассмотрим плоский конденсатор, сначала пустой: .
Введем в конденсатор пластину из вещества, которое поляризуется под влиянием поля свободных зарядов, расположенн
ых на обкладке конденсатора.
Пусть рассматриваемое вещество таково, что , тогда в силу соотношения , где -
макрополе, получим утверждение, что , где -
поле связанных зарядов, расположенных на поверхности вещества. Поскольку поле в веществе ±
сумма полей , то . Для емкости
конденсатора теперь справедлива формула: Еще Фарадей заметил, что введение в конденсатор вещества, не являющегося проводником электричества, увеличивает его емкость. -
диэлектрическая проницаемость вещ
ества.
-
показывает во сколько раз напряженность поля в пустом пространстве, больше, чем в среде, заполненным диэлектриком
Такое вещество будем называть диэлектриком. В литературе мож
но встретить несколько определений понятия «диэлектрик ±
это вещество, в котором трудно возбудить электрический ток, непроводник.
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Q
-
Q
+ + + + + + + + + + + + + + + +
Теорема Гаусса для вектора .
Рассмотрим точечный заряд q
в безграничном диэлектрике диэлектрическ
ой проницаемостью . В соответствие с формулой для точечного источника и определением диэлектрической проницаемости , запишем:
.
Домножим на , получим .
Найдем поток этого вектора.
. Если заряд распределен с некоторой объемной плотностью, то мы можем написать дифференциальный аналог этого выражения:
С
учетом того, что создается как свободными, так и связанными зарядами:
, с другой стороны, а т.к. , приравниваем и правую скобку перенесем в левую част
ь
или в интегральной форме -
связанный заряд, попавший внутрь этой произвольной гауссовой поверхности.
Итак, мы получили выражение, которое мы можем назвать теоремой Гаусса дл
я вектора .
Г
раничные условия для вектора .
Рассмотрим границу двух диэлектриков (см. рис.)
Рассмотрим верхний диэлектрик и напишем для него теорему Гаусса для вектора :
1) -
минус появляется из
-
за того, что используем не внешнюю, а внутреннюю нормаль. Отсюда получается, что .
2)
-
так как поток вектора через нашу поверхност
ь отрицательный, то в правой части получается минус. Отсюда
.
Если сблизить диэлектрики, то можно сделать так:
Г
-
то есть, на границе диэлектриков происходит скачок вектора
.
Если выбрать общую гауссову поверхность, то .
Будем считать, что , тогда -
положительное число.
S
S
+++++++++
S
S
Вектор и теорема Гаусса д
ля вектора
.
Как мы знаем , применим тот факт, что . Тогда . Преобразуем:
-
объемная плотность свободных зарядов.
Введем всп
омогательный вектор .
или интегральный аналог -
-
поток вектора через произвольную поверхность равен свободному заряду, попавшему внутрь этой поверхн
ости.
Из последних двух уравнений не следует делать вывод о том, что распределение свободных зарядов является источником поля . В отличие от поля , для равенство циркуляции вект
ора нулю не работает:
.
Поэтому для решения практических задач обратим внимание на следующие граничные условия: Напишем условие :
, отсюда следует
-
то есть касательная к границе составляющая поля сохраняется при переходе через границе.
Рассмотрим теперь граничное условие для вектора .
Из того, что следует:
, тогда если на границе раздела диэлектриков нет свободных зарядов, то .
где -
макрополе, -
микрополе.
1
2
S
16. Постоянный электрический
ток.
Законы Ома и Джоуля
-
Л
енца (интегральная и дифференциальная форма). Условия стационарности тока. Закон Ома с учетом ЭДС. Законы Кирхгофа.
Постоянный электрический ток
Если изолированный проводник поместить в электрическое поле то на свободные заряды q
в проводнике будет действовать сила .
Электрический ток –
направленное движение электрически заряженных частиц, под воздействием электрического поля
За направление электрического тока принято направление движения
положительных с
вободных зарядов
.
Для существования электрического тока в проводнике необходимо создать в нем электрическое поле.
Если сила тока и его направление не изменяются со временем, то такой ток называется постоянным
.
Количественной мерой электрического тока служи
т сила тока I
–
скалярная физическая величина, равная отношению заряда , переносимого через поперечное сечение проводника (рис) за интервал времени к этому интервалу времени:
Сила тока
определяется как . Единицей силы тока является ампер (А).
Можем переписать -
заряд, который за малое время проходит через сечение проводника.
Вводят так же понятие плотности тока
, модуль этого вектора численно равен отношению силы тока через элементарную площадку, расположенную в данной точке перпендикулярно направлению движения носит
елей, к ее площади ,
тогда . Т.о., зная вектор плотности тока в каждой точке интересующей нас поверхности, можно найти силу тока через эту поверхность как поток вектора Кроме то
го,
, где е
±
заряд электрона ; n
±
концентрация носителей или число частиц в единице объема, тогда
, где -
объемная плотность зарядов
-
носителей.
Закон Ома
Экспериментальный ф
акт ±
проводник с током не является эквипотенциальной поверхностью и эквипотенциальным объемом, следовательно в проводнике есть электрическое поле , для металлических проводников справедливо следующее утверждение: , где разность потенциалов, как мы знаем, вычисляется по формуле:
I
Довольно часто для такого проводника, в котором не действуют сторонние силы, разность потенциалов отождествляется с так н
азываемым напряжением, обозначаемым буквой U
.
Тогда получается формула:
,
О
пределение сопротивления:
сопротивлением мы называем отношение напряжения на участке проводника, в котором не действуют сторонни
е силы к тому току, который течет по этому проводнику.
Замечание
Закон Джоуля и Ленца
Экспериментальный факт ±
выделение тепла проводником, по которому протекает ток. Представим себе кусок проволоки и рассмотрим два его сечения (см. рисунок). По проводнику течет ток I
. За время dt
через сечения проводника протекает заряд dq
= Idt
.
Такой заряд за dt
входит в сечение 1 и такой же (в силу условия стационарности) выходит из сечения 2.
Ток постоянный, и распределение заряда по проводнику не изменяет
ся, поэтому процесс эквивалентен переносу заряда dq
из сечения 1 в сечение 2.
Тогда элементарная работа сил электрического поля по переносу заряда из 1 в 2 может быть найдена так: .
Если проводник неподвижен и в нем нет химических реакций, то за счет этой работы электроны получают дополнительную кинетическую энергию, которую теряют при столкновении с атомами в узлах кристаллических решеток проводника, и проводник нагревается.
Тогда этот баланс энергий можно записать следующим образом:
, где -
тепловая мощность, т.е. тепловая энергия, которая выделяется в единицу времени, точка над Q
означает производную по времени. Подстави
в в последнюю формулу выражение, полученное нами для dA
, получим:
, или
.
-
закон Джоуля и Ленца
Локальная (дифференциальная) форма записи законов Ома и Джоуля
-
Ленца.
Возьмем закон Ома в интегральной фор
ме и обратим внимание на то, что:
, тогда
1
2
I
, . Если предположить, что проводник изотропный и является скаляром, то -
закон О
ма в дифференциальной форме.
Он утверждает, что плотность тока в любой точке проводника с током прямо пропорциональна напряженности поля в этой же точке проводника.
По поводу закона Джоуля
-
Ленца в дифференциальной форме можно записать следующее.
-
объемная плотность тепловой мощности; это есть маленькое тепло , отнесенное к маленькому объему dV
, в котором оно выделяется, и к тому времени , за которое оно выделилось, т.е. . Отсюда можно записать: . С другой стороны, из закона Джоуля
-
Ленца в интегральной форме для маленького проводника можно записать: . Тогда мы получаем следующее соотношение:
-
дифференциальная форма закона Джоуля
-
Ленца.
Законы Ома и Джоуля
-
Ленца с учетом поля сторонних сил.
Опираясь на дифференциальную форму закона Ома, с учетом того, что в цепь включен источник ЭДС, получим:
где
-
напряженность электрического поля сторонних сил.
Рассмотрим ток, который формируется вдоль тонкого проводника: Скалярно домножим на и проинтегрируем от сечения 1 до сечени
я 2:
.
Учтем, что , , тогда получим следующее выражение:
-
интегральная форма закона Ома
с учетом поля сторонних сил
дл
я уч
астка цепи, содержащего ЭДС.
Рассмотрим произвольную цепь с произвольным числом узлов и обратим внимание на контур 1
Обозначим величину тока в отрезке
ik
Будем считать, что если ток течет от , т
о он положителен
и ,наоборот,
если , то ток отрицателен.
, Суммируя по всему контуру:
-
эт
о утверждение называют обычно вторым законом Кирхгофа.
Вспомним также, что -
первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма сил токов для каждого узла в разветвленной цепи равна нулю.
Это утверждение вытекает из условия стационарнос
ти постоянного тока или закона сохранения заряда.
1
2
4
5
3
Считается, что система из этих уравнений полностью описывает любую цепь постоянного тока.
Вернемся к нашей записи:
-
умножим на .
(*)
Применив (*) ко всей неразветвленной цепи (тогда ), получим, что
д
ифференциальная форма или удельная мощность записывается как . То есть общее количество выделяемой за единицу времени во всей цеп
и джоулевой теплоты равно мощности только сторонних сил. Значит, теплота производится только сторонними силами. Роль же электрического поля сводится к тому, что оно перераспределяет эту теплоту по различным участкам цепи.
Получим теперь это уравнение в лок
альной (дифференциальной) форме, умножим на и учтем, что и -
дифференциальную форму закона Джоуля
-
Ленца
.
Тогда удельная тепловая мощность тока в неоднородной проводящей
сред
е
запис
ывается
так:
.
Условия стационарности (постоянства тока)
1.
При постоянном токе распределение зарядов в проводнике должно быть постоянным, в противном случае переменным станет поле, а значит и ток.
2.
Стационарное распределение зарядов создает потенциальное поле, как и в случае электростатики.
3.
Стационарное распределение зарядов приводит к тому, что токи либо замкнуты, либо уходят на бесконечность.
4.
Стационарное распределение зарядов приводит к тому, что при отсутствии разветвлений
тока, величина тока одинакова в различных сечениях проводника.
5.
Стационарное распределение зарядов приводит к выполнению первого закона Кирхгофа: алгебраическая сумма сил токов для каждого узла в разветвленной цепи равна нулю.
Еще раз о правилах Кирхгофа для разветвленных цепей .
Для упрощения расчетов сложных электрических цепей, содержащих неоднородные участки, используются правила Кирхгофа
, которые являются обобщением закона Ома на случай разветвленных цепей.
В разветвленных цепях можно выделить узловые
точки
узлы
), в которых сходятся не менее трех проводников (рис.
1.). Токи, втекающие в узел, принято считать положительными; вытекающие из узла ±
отрицательными.
В разветвленных цепях можно выделить узловые точки
узлы
), в которых сходятся не менее трех
проводников (рис.
1.). Токи, втекающие в узел, принято считать положительными; вытекающие из узла ±
отрицательными.
Узел электрической цепи. I
1
, I
2
>
0; I
3
, I
4
<
0
В узлах цепи постоянного тока не может происходить накопление зарядов. Отсюда следует
:
П
ервое правило Кирхгофа
:
Алгебраическая сумма сил токов для каждого узла в разветвленной цепи равна нулю:
I
1
+
I
2
+
I
3
+
...
+
I
n
=
0.
Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения электрического заряда.
В разветвленной цепи всегда можно выделить некоторое количество замкнутых путей, состоящих из однородных и неоднородных участков. Такие замкнутые пути называются контурами
. На разных участках выделенного контура могут протекать различные токи. На рис. 2 представлен простой пример разветвле
нной цепи. Цепь содержит два узла a
и d
, в которых сходятся одинаковые токи; поэтому только один из узлов является независимым (
a
или d
).
Второе правило Кирхгофа
является следствием обобщенного закона Ома.
Запишем обобщенный закон Ома для участков, состав
ляющих один из контуров цепи, изображенной на рис.
2, например, abcd
. Для этого на каждом участке нужно задать положительное направление тока
и положительное направление обхода контура
. При записи обобщенного закона Ома для каждого из участков необходимо соблюдать определенные «правила знаков», которые поясняются на рис.
3.
«Правила знаков»
Для участков контура abcd
обобщенный закон Ома записывается в виде:
Для участка bc
: I
1
R
1
=
Δij
bc
±
1
.
Для участка da
: I
2
R
2
=
Δij
da
±
2
.
17. Релятивистская приро
да магнитного поля. Сила Лоренца и ее магнитная составляющая. Магнитное поле
. Магнитное поле медленно движущегося заряда.
Релятив
истская природа магнитного поля
Взаимодействие точечных неподвижных зарядов полностью
описывается законом Кулона. Однако закон Кулона недостаточен для
анализа взаимодействия движущихся зарядов, пр
и
че
м такой вывод следует не из конкретных особенностей кулоновского взаимодействия,
а обусловливается релятивистскими свойствами пространства и времени
и релятивистским уравнением движения.
Это утверждение в принципе вытекает из таких соображений. Релятивистс
кое уравнение движения
dp/dt = F (1)
инвариантно и имеет одинаковый вид во всех инерциальных системах координат, в частности в системе координат К', которая движется равномерно и прямолинейно относительно К:
dp'/dt' = F' (2)
Буквы со штрихами обозначают ве
личины, относящиеся к К'. В левые части этих уравнений входят чисто механические величины, поведение которых при переходе из одной системы координат в другую известно. Следовательно, можно связать между собой некоторой формулой левые части уравнений (8.1) и (8.2). Но тогда оказываются связанными между собой стоящие в правой части этих уравнений силы. Наличие такой связи обусловливается требованием релятивистской инвариантности уравнения движения. Поскольку в левые части уравнений (8.1) и (8.2) входят скорос
ти, заключаем, что сила взаимодействия движущихся зарядов зависит от скорости и не сводится к кулоновской силе. Тем самым доказывается, что взаимодействие движущихся зарядов осуществляется не только кулоновской силой, но также силой другой природы, называе
мой магнитной. Сила Лоренца и ее магнитная составляющая. Магнитное поле В разделе ³Электростатика´ изучались свойства поля электрических сил , действующих на покоящийся пробный заряд q
. В качестве характеристики поля был вв
еден вектор , не зависящий от величины пробного заряда q
. Однако, как показывает опыт, сила , действующая на движущийся заряд, может отличаться от электрической силы . Это отлич
ие связано с существованием так называемой магнитной силы .
Обобщением опытных данных являются следующие три основные свойства магнитной силы, действующей на движущуюся заряженную частицу.
1. Величина магнитной силы пропорциональн
а заряду движущейся частицы и величине ее скорости.
2. Направление магнитной силы всегда перпендикулярно направлению движения заряженной частицы.
3. В любой точке пространства существует такое направление, двигаясь в котором частица не испытывает действия магнитной силы. Другими словами существует такая ориентация вектора скорости, при котором магнитная сила равна нулю.
Перечисленные свойства магнитной силы можно описать количественно, для чего удобно ввести понятие магнитного поля.
Характеризуя это поле ве
ктором индукции магнитного поля , запишем выражение для магнитной силы:
(
3
)
В итоге полная сила, действующая со стороны электромагнитного поля на движущуюся относительно избранной системы отсчета заряжен
ную частицу описывается формулой
(
4
)
Эту силу называют силой Лоренца.
По действию силы на заряженную частицу можно в принципе определить векторы электрического и магнитного п
олей. Следовательно, выражение для силы Лоренца (4) можно рассматривать как определение электрического и магнитного полей (векторов и ). В самом деле, измерив ускорение движущей
ся заряженной частицы массой m
, определим полную электромагнитную силу по второму закону Ньютона(электрическая и магнитная составляющие электромагнитной силы относятся к одной и той же системе отсчета. Более того, эта система отсчета должна быть инерциальной, иначе пришлось бы учитывать силы инерции): . Далее, остановив частицу и измерив силу , действующую на неподвижный заряд q
в той же самой точке пространства, например с помощью динамометра, определим как напряженность электрического поля , так и вектор магнитной силы
. Затем, испытывая все возможные направления движения,
найдем такое, двигаясь вдоль которого частица не подвергается действию магнитной силы, -
это и есть направление вектора индукции магнитного поля в данной точке пространства. При этом не должно смущать то обстоятельство, что проце
дура испытания различных направлений движения может потребовать много времени. Дело в том, что рассматриваемый эксперимент скорее мысленный, чем лабораторный, хотя в принципе его можно осуществить и в лаборатории.
Теперь пусть частица движется со скоростью
, перпендикулярной к направлению вектора . Умножим векторно слева на выражение (1), записанное для такого случая:
Учитывая здесь известное тождество в
екторной алгебры , а также соотношения
и , найдем окончательно
(5)
Отметим, что выражение для электромагнитной силы (4) остается справедливым для
переменных полей и произвольных значений скорости заряда .
Аналогично электрическому полю векторов поле магнитной индукции может быть геометрически наглядно представлено с помощ
ью линий поля, проведенных так, что касательная к этим линиям в каждой точке совпадает с направлением вектора индукции , а густота линий пропорциональная модулю вектора в данном месте. Однако магнитное по
ле в отличие от электростатического устроено так, что изобразить его с помощью линий поля не всегда возможно.
ИЛЛЮСТРАЦИИ
. Картину магнитной индукции можно наблюдать с помощью мелких железных опилок, которые в магнитном
поле намагничиваются и, подобно мал
еньким магнитным стрелкам, ориентируются вдоль линий индукции.
1. Линейный ток
2. Виток с током.
Пример линий магнитной индукции полей постоянного магнита и катушки с током приведен на рис.
Магнитное поле медленно движущегося точечного заряда
Оп
ыт показывает, что элементарное магнитное поле, созданное зарядом
q
, который движется со скоростью v
медленно (v<< c
) в точке, характеризуемой радиус
-
вектором r
описывается формулой
:
(6)
Здесь, как обычно, -
радиус
-
вектор, начинающийся на точечном заряде q
и заканчивающийся в точке наблюдения магнитного поля .
Согласно (6) вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы и , причем линии поля индукции представляют собой окружности (Рис.). При использовании формулы (6) важно понимать, что все три вектора (
и ), входящие в нее, соответствуют одному и тому же моменту времени.
Замечание
.
Довольно часто для сокращения записей вводят величину (³мю ноль´), определяя ее как (Согласно решению XVII Генер
альной конференции по мерам и весам значение установлено как не подлежащее уточнению)
Величину 0
обычно называют магнитной постоянной. Никакого физического смысла (как и электрическая постоянная 0
) она не имеет.
Рис. Взаим
ное расположение вектора скорости точечного заряда q, вектора магнитного поля , созданного этим движущимся зарядом, и радиус
вектора точки наблюдения. Окружность изображает одну из линий магнитного поля
18. Два частных случая преобразования полей
. (1. Докажите, что если в ИСО S
, , то в ИСО S
'
, движущейся со скоростью
,
2. Докажите, что если в ИСО S
, , то в ИСО S
'
, движущейся со скоростью , ).
Два частных случая преобразования полей и .
В настоящем параграфе, опираясь на специальную теорию относительности, рассмотрим два частных, но очень важных типа электромагнитного поля. В итоге обнаружим связь компонент и в электромагнитном поле каждого из двух типов. 1 случай. Если в некоторой системе отсчета электромагнитное поле является электрическим (т.е. ), то в другой системе отсчета , движущейся относительно К со скоростью , компоненты электромагнитного поля отличны от нуля и связаны соотношением:
Рассмотрим точечный заряд
Q
> 0
, покоящийся в -
системе отсчета. В точке на конце вектора электрическое поле описывается формулой:
.
В системеотсчета , движущейся со скоростью , заряд Q
движется со скоростью и создает на конце вектора (поперечные размеры не изменяются, только продольные)
магнитное поле определяется по формуле (6):
,
(
7
), где поэтому
и электрическое поле:
(т.к. ).
Таким образом, Таким образом, приходим к следующему выводу: если в некоторой системе отсчета электромагнитное поле является электрическим (
), то в любой другой системе отсчета, движущейся относительно первой со скоростью , компоненты электромагнитного поля отличны от нуля и связаны друг с другом соотношением (
7
).
Отсюда, в частности, следует, что если в некоторой системе отсчета электрически заряженное тело имеет скорость , то электрическая и магнитная компоненты электромагнитного поля, создаваемого его зарядом, связаны в этой системе отсчета соотношением
(
8
)
2
случай
.
Теперь рассмотрим другой тип электромагнитного поля, которое в K
-
сис
теме отсчета имеет только магнитную компоненту:
. а)
б)
Рис. а)
Электронейтральный прямолинейный провод с током I и пробн
ый заряд q покоятся в K
-
системе отсчета
; б)
проводник, но уже заряженный и с током
наблюдается из -
системы отсчета. Пробный заряд движется и испытывает действие как электрического, так и магнитного полей.
Такое поле в некоторой K
-
системе отсчета создает, например, электронейтральный (в этой системе отсч
ета) прямолинейный проводник с током I (Рис.
а
). На покоящийся в этой системе отсчета пробный заряд q не действует сила Лоренца, так как электрического поля нет, а магнитное на покоящийся заряд не действует. В другой системе отсчета , движущейся относительно системы S со скоростью вдоль тока I, проводник оказывается заряженным и создает поля (Рис.
б
). Пробный заряд q в системе отсчета движется со скоростью
и потому испытывает действие как поля , так и поля :
Из релятивистской механики известно, что хотя сила не является величиной инвариантной по отношен
ию к преобразованиям Лоренца, однако, если сила равна 0 в одной системе отсчета, то она отсутствует и во всех других инерциальных системах отсчета. Таким образом, поскольку, .
Следовательно, (
9
)
Итак, е
сли в некоторой системе отсчета электромагнитное поле является магнитным (
), то в любой другой системе отсчета, движущейся со скоростью относительно первой, компоненты и электромагнитного поля отличны от нуля и связаны друг с другом соотношением (
9
).
19. Закон Био
-
Савара
-
Лапласа. Основная задача магнитостатики. Рассмотреть пример (по выбору): поле , создаваемое отрезком прямолинейной нити с током; поле на оси кругового тока; поле на оси соленоида конечной длины.
Закон Био
-
Савара -
Л
апласа.
Задачу о вычислении силы, действующей со стороны одного проводника с током на другой, как и аналогичную электростатическую задачу о силе, действующей со стороны одного покоящегося заряда на другой, удобно разделить на две. Сначала нужно найти магни
тное поле, созданное одним проводником в точках расположения второго проводника, затем вычислить силу, действующую со стороны этого магнитного поля на второй проводник. Поле находят с помощью закона Био
-
Савара
-
Лапласа
и принципа суперпозиции магнитного пол
я , а силу -
с помощью закона Ампера.
Скорость упорядоченного движения электронов в проводнике обычно мала
(
миллиметры в секунду).
Рассмотрим проводник. Выделим в нем небольшой участок длиной и посмотрим
, какое поле создает этот фрагмент в точке наблюдения.
В элементарном фрагменте проводника объемом находится носителей заряда, то есть Формула (6), описывающая элементарное ма
гнитное поле, созданное зарядом dQ
, который движется со скоростью в точке, характеризуемой радиус
вектором r
записывалась
В элементарном фрагменте проводника, по которому течет ток, заряд может б
ыть найден по формуле:
,
где e
±
заряд электрона, n
±
концентрация электронов, S
±
площадь поперечного сечения проводника, dl
±
длина проводника. Теперь, подставив в , получим:
(12)
или в виде
(13)
-
уравнение (12 )обычно называют уравнением Био ±
Савара ±
Лапласа, где I
±
величина тока, dl
±
величина фрагмента проводни
ка, создающего поле, а вектор r
начинается на источнике тока и заканчивается в точке наблюдения.
Направление вектора определяется правилом буравчика: оно совпадает с направлением вращения рукоятки буравчика при его поступательно
м перемещении вдоль тока.
Основная задача магнитостатики.
Выше
. было показано, что элемент тока создает в точке наблюдения элементарное магнитное поле:
-
закон Био ±
Савара ±
Лапласа.
Теперь, принимая
во внимание принцип суперпозиции магнитных полей, можно решить основную задачу магнитостатики ±
по известному распределению токов в пространстве найти вектор в ин
тересующей нас точке наблюдения.
Поле , создаваемое отрезком прямолинейной нити с током
Вид конечной формулы будет зависеть от выбора системы координат (отсчета углов)!!!
Найдем магнитное поле, создаваемое отрезком прямолинейной нити в точке наблюдения. Разместим отрезок нити пар
аллельно оси x
, а точку наблюдения поместим в начало координат.
По закону Био ±
Савара ±
Лапласа
, x
y
r
а сам вектор направлен за лист. , или .
Тогда наше выражение для принимает вид:
.
Точно также, как в предыдущем пункте получается поле для бесконечно длинной нити, для нее
; тогда поле беск
онечной нити: Если электростатическую формулу умножить на и заменить на , а на , то .
Такие замены естественны, если мы пересядем в систему отсчета, движущуюся вдоль заряженной нити со скоростью V
, тогда в этой системе отсчета нитка будет двигаться в противоположную сторону со скоростью V
и будет представлять собой ток, , и в этой системе отсчета будет регистрироваться магнитное поле, которое можно посчитать, воспользовавшись одним из частных случаев преобразования полей, рассмотренным ранее.
Пример 2 (
Магнитное поле н
а оси кругового тока.
На Рис. 1.1 показан вектор от одного элемента тока . Ток I
течет по тонкому кольцу радиусом R
. Ось Z
расположена перпендикулярно плоскости кольца, и ее начало (точка 0) совпадает с центром кольца.
От всех элементов тока будет образ
овываться конус векторов (Рис. 1.2). Из симметрии конуса видно, что результирующий вектор направлен вдоль оси Z
. Поэтому для нахождения его модуля достаточно сложить проекции векторов на ось Z
. Проекция dB
z
от одного элемента то
ка Idl
в соответствии с законом Био
-
Савара определяется как
.
Рис. 1.1. Вектор и его проекция dB
z
на ось Z кольцевого тока
I.
Элементарное поле cоздается элементом тока Рис. 1.2. Множество элементарных векторов , созданных в точке наблюдения А
(см. Рис. 1.1) элементами тока кольца, и их сумма -
вектор Интегрирование последнего выражения по всем элементам кольца с учетом соотношений sin
=
R
/
r
и дает окончательно
Отсюда следуют два важных частных случая:
1)
магнитное поле в центре кольца (
z
=
0)
2) магнитное поле вдали от кольца (
z
>> R
)
Если, введем по определению величину (модуль) магнитного момента кольца с током (см. пункт 8.7 -
характеристика петли с током, называется ма
гнитным моментом, по определению , где .
Направление связано с направлением тока в контуре правилом правого винта.)
В нашем случае:
m
=
R
2
I
.
Тогда последний результат прин
имает вид
Пример 3. Поле на оси соленоида конечной длины (в книге -
пример 5)
20. Сила Ампера. Момент сил, действующих на рамку с током в магнитном поле.
Действие магнитного поля на проводник с током.
Закон Ампера или сила, действующая на пр
оводник с током во внешнем магнитном поле .
Рассмотрим элементарный объем проводника во внешнем магнитном поле .
Носители, количеством и зарядом каждый, движутся с одинаковой дрейфовой скоростью , -
концентрация носителей, а объем так мал, что поле в нем однородно.
На каждый н
оситель действует сила , на все носители .
Мы нашли элементарную силу, действующую на элемент проводника объемом , в котором с плотностью течет ток, со стороны магнитного поля.
Если и однородны по сечению проводника, то для достаточно прямолинейной проволоки длиной , с учетом получаем (1.1)
(1.2)
Часто полученные формулы называют законом Ампера.
В системе единиц СИ за единицу магнитной индукции принята индукция такого магнитного поля, в котором на каждый метр длины проводника при силе тока 1
А дейс
твует максимальная сила Ампера 1
Н. Эта единица называется тесла
(Тл).
Тесла ±
очень крупная единица. Магнитное поле Земли приблизительно равно 0,5·10
±
4
Тл. Большой лабораторный электромагнит может создать поле не более 5
Тл.
Если угол α между направле
ниями вектора и тока в проводнике отличен от 90°, то для определения направления силы Ампера удобно пользоваться правилом буравчика
: воображаемый буравчик располагается перпендикулярно плоскости, содержа
щей вектор и проводник с током, затем его рукоятка поворачивается от направления тока к направлению вектора Поступательное перемещение буравчика будет показывать направление силы Ампера (рис.
1). Правило буравчика часто называют правилом правого винта
.
Одним из важных примеров магнитного взаимодействия является взаимодействие параллельных токов. Закономерности этого явления были экспериментально установлены Ампером
. Если по двум параллельным проводникам электрические токи текут в одну и ту же сторону, то наблюдается взаимное притяжение проводников. В случае, когда
токи текут в противоположных направлениях, проводники отталкиваются.
Взаимодействие токов вызывается их магнитными полями: магнитное поле одного тока действует силой Ампера на другой ток и наоборот.
Для того, чтобы при магнитном взаимодействии параллельны
е токи притягивались, а антипараллельные отталкивались, линии магнитной индукции поля прямолинейного проводника должны быть направлены по часовой стрелке, если смотреть вдоль проводника по направлению тока. Для определения направления вектора магнитного поля прямолинейного проводника также можно пользоваться правилом буравчика: направление вращения рукоятки буравчика совпадает с направлением вектора если при вращении буравчик перемещается в направлении ток
а (рис.
2).
Рисунок 1
Магнитное поле прямолинейного проводника с током
Рисунок 2
Магнитное взаимодействие параллельных и антипараллельных токов
Рис.2
поясняет закон взаимодействия параллельных токов.
Магнитное взаимодействие параллельных проводни
ков с током используется в Международной системе единиц (СИ) для определения единицы силы тока ±
ампера:
Ампер
–
сила неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным проводникам бесконечной
длины
и ничтожно малого кругового сечения, расп
оложенным на расстоянии 1
м один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу магнитного взаимодействия, равную 2·10
–
7
Н на каждый метр длины.
21. Интегральная форма теоремы о циркуляции магнитного поля. Пример применения по выбору (ма
гнитное поле прямого бесконечно длинного провода с током; магнитное поле тороидальной катушки; магнитное поле длинного соленоида).
Соленоидальность («трубкообразность») магнитного поля.
Непосредственным вычислением (чем мы зан
иматься не будем) можно показать, что дивергенция поля , созданного точечным зарядом Q
, движущимся со скоростью , равна нулю.
Таким образом, в рассма
триваемом поле нет особенностей, аналогичных источникам или стокам («отрицательный заряд») электростатического поля, т.е. электрических зарядов. Магнитные линии в отличие от силовых линий электростатического поля оказываются замкнутыми (однако, можно при
вести примеры, где они не являются замкнутыми Смотри лекцию 7
Магнитное поле начало). Такое поле, (где магнитные линии замкнуты) называют бездивергентным или соленоидальным, т.е. «трубчатым». В интегральной форме условие соленоидальности имеет вид:
.
Принцип суперпозиции для поля приводит к
аддитивности потоков полей , создаваемых отдельными ис
точниками.
Учет аддитивности Ф
расширяет область применимости формулы . Более того, опыт показывает, что формулы и справедливы для любых магнитных по
лей, независимо от их происхождения. Циркуляция магнитного поля постоянных токов.
Найдем циркуляцию магнитного поля по контуру Г
: , созданного бесконечным прямолинейным пров
одником, т.е. лентой с током I
. В пункте 8.6 (смотри пример 1) было показано, что это поле описывается формулой:
Выберем контур Г
в виде окружности, совпадающей с одной из линий поля , а направление обхо
да совпадает с направлением линий поля, тогда
Формула справедлива для контура любой формы, а не только для окружности, п
лоскость которой перпендикулярна линиям тока.
Теперь возьмем произвольное направление и представим его в виде трех перемещений: , и так, как это пок
азано на рисунке. Ясно, что любое перемещение в пространстве можно представить как суперпозицию этих трех взаимно перпендикулярных направлений.
Т.к. , ведь поле в нашем примере будет направлено по касат
ельной к окружности, то
Остальные два слагаемых будет обращаться в ноль из
-
за перпендикулярности соответствующих векторов. Именно эта скобка имеется в виду в формуле .
Мы расширили области применимости ф
ормулы на произвольный замкнутый контур, охватывающий наш прямолинейный ток.
Ф
ормула справедлива и для случая, когда источником поля служат множ
ество прямолинейных проводников с током.
(4)
Теперь поговорим о том, что есть алгебраическая сумма токов. Выберем произвольный контур Г
с некоторым направлением обхода, и произвольную поверхность, опирающуюся на этот контур, прон
изывают рассматриваемые нами токи. В правой части формулы записана алгебраическая сумма токов, при этом для нашего примера (см. Рис) , знак токов определяется по правилу правого винта. В случае непрерывн
ого распределения токов в пространстве можно записать: поток вектора через произвольную поверхность , опирающуюся на контур Г
. Рассмотренн
ый пример показывает, что теорема о циркуляции вектора магнитной индукции может быть использована для расчета магнитных полей, создаваемых симметричным распределением токов, когда из соображений симметрии можно «угадать» общую стр
уктуру поля.
В заключении теорема о циркуляции может выражается соотношением
Пример
на применение теоремы о циркуляции
Тороидальная катушка
Имеется немало практически важных примеров расчета магнитных полей с помощью теоремы о
циркуляции. Одним из таких примеров является задача вычисления поля тороидальной катушки (рис.
2).
Предполагается, что катушка плотно, то есть виток к витку, намотана на немагнитный тороидальный сердечник. В такой катушке линии магнитной индукции замыкают
ся внутри катушки и представляют собой концентрические окружности. Они направлены так, что глядя вдоль них, мы увидели бы ток в витках, циркулирующим по часовой стрелке. Одна из линий индукции некоторого радиуса r
1
≤
r
<
r
2
изображена на рис.
2. Применим т
еорему о циркуляции к контуру L
в виде окружности, совпадающей с изображенной на рис.
линией индукции магнитного поля. Из соображений симметрии ясно, что модуль вектора одинаков вдоль всей этой линии. По теореме о циркуляции мо
жно записать: B
· 2π
r
= μ
0
IN
,
где N
±
полное число витков, а I
±
ток, текущий по виткам катушки. Рисунок 2.
Применение теоремы о циркуляции к тороидальной катушке
I
Г
Следовательно,
(Таким образом, модуль вектора магнитной индукции в тороидальной кат
ушке зависит от радиуса r
. Если сердечник катушки тонкий, то есть r
2
±
r
1
<<
r
, то магнитное поле внутри катушки практически однородно. Величина n
= N
/
2π
r
представляет собой число витков на единицу длины катушки. В этом случае B
=
μ
0
I
n
.
В это выражени
е не входит радиус тора, поэтому оно справедливо и в предельном случае r
→
∞. Но в пределе каждую часть тороидальной катушки можно рассматривать как длинную прямолинейную катушку. Такие катушки называют соленоидами
. Вдали от торцов соленоида модуль магнитн
ой индукции выражается тем же соотношением, что и в случае тороидальной катушки.
22. Дифференциальная форма теоремы о циркуляции магнитного поля.
Дифференциальная форма теоремы о циркуляции магнитного поля
.
Ротор ;«вихрь» векторного поля.
Рассмотрим элементарный плоский контур в виде прямоугольника, лежащего в плоскости XY
в магнитном поле (вообще говоря, неоднородном). Найдем элементарную циркуляцию поля по этому контуру
.
Совершаем обход против часовой стрелки.
Рассмотрим отношение циркуляции к площади Для аналогичных контуров в плоскостях ZY
и ZX
, получим
Эта формула не зависит от формы контура.
Рассмотрим произвольную площадку
контура, наклоненного к осям . Удобен фрагмент плоскости в виде треугольника, стороны которого паралл
ельны соответствующим координатным плоскостям.
На этом треугольнике построим тетраэдр с гранями, параллельными координатным плоскостям.
Введем п
о определению ротор поля .
(6).
(7)
Проекция ротора поля
на любое направление равна отношению циркуляции вектора поля по бесконечно малому контуру, перпендикулярному , к
площади , охватываемой этим контуром.
Направление совпадает с направлением нормали к такой площадке, для ко
торой максимально.
Используя оператор Гамильтона , запишем
x
y
0
x+dx
x
z
1
2
3
4
(8)
Заметим, что (7) не зависит от системы координат, а (6) и (8) применимы только в декартовой.
Векторное поле, ротор
которого равен 0, называется безвихревым, а если , то вихревым.
Локальная форма теоремы о циркуляции магнитного поля.
Воспроизведем формулу
-
теорема о циркуляции в интегральной форме.
С учетом
-
связь между плотностью тока и величиной тока.
Если мы подставим (5) в (3) и запишем полученное выражение для элементарного контура, то
Учтем здесь формулу (7).
, т.к. -
любой, то .
(9) ±
локальная форма теоремы о циркуляции магнитного поля;
Очевидно, что магнитное поле будет вихревым только там, где плот
ность тока не равна нулю.
23. Магнитное поле при наличии вещества. Сравнительный анализ описания электрического и магнитного полей в веществе. Условия на границе раздела двух магнетиков.
Магнитные моменты в веществе
.
До сих пор мы рассматривали магнит
ные поля и токи в вакууме
. В веществе магнитное поле возбуждается не только электрическими токами
, текущими по проводам
, но и движениями зарядов внутри атомов и молекул
. Также известно
, что существуют постоянные магниты
, и вопрос состоит в том
, какие токи создают это магнитное поле
. Ампер выдвинул следующую гипотезу
: в веществе циркулируют замкнутые токи
. Каждый замкнутый ток представляет собой магнитный момент и создает магнитное поле вокруг себя
. Без внешнего поля они ориентированы беспорядочно и полное поле от них равно нулю
. Под влиянием внешнего магнитного поля магнитные моменты молекул приобретают преимущественную ориентацию
. Отсюда суммарный магнитный момент образца не равен нулю
, вещество (
магнетик
) намагничивается и появляется внутреннее поле . Гипотеза Ампера -
это гипотеза о молекулярных или атомных токах
. Однако поясним
, какова реальная физика
, отвечающая появлению магнитных моментов в веществе
. Атомы состоят из положительных ионов и внешних электронов
. Последние вращаю
тся вокруг атомных ядер по замкнутым орбитам (
орбитальное движение
) и тем самым имеют магнитные моменты
. Кроме того
, электроны обладают спином -
собственным вращающим (
механическим
) моментом импульса и собственным магнитным моментом
. Орбитальное движение и
спиновые моменты описываются квантовомеханически
, они аналогичны токам и
, соответственно
, возбуждают магнитные поля
. Сравнительный анализ описания электрического и магнитного полей в веществе.
Установлено, что многие вещества приобретают магнитный момен
т под влиянием внешнего магнитного поля, а некоторые обладают магнитными свойствами и в отсутствие магнитного поля.
Степень намагничивания описывают объемной плотностью магнитного момента (намагниченность).
Диэлектрик
Столбик д
иэлектрика создает вне себя такое же
электрическое поле, как два заряда и .
.
Магнетик
Если мы рассмотрим своеобразный столбик магнетика, возьмем намагниченность и умно
жим его на объем этого столбика, то мы узнаем магнитный момент этого фрагмента магнетика: То есть магнитное поле снаружи от магнетика совпадает с магнитным полем ленты с то
ком, поверхностная плотность которого Лента с током, (соленоид, труба).
Мы показали, что , а для магнитного аналога поверхностная плотность тока ±
из гипотезы Ампера (внутри магнетика есть молекулярные то
ки) поверхность магнетика обтекается некоторым молекулярным током. Единицы -
. Итак, слой магнетика с дипольным магнитным моментом единицы объема создает вне себя магнитное пол
е такое же, как лента с током шириной .
Теперь обратим внимание на внутреннее поле диэлектрика и магнетика.
Диэлектрик
Введем понятие среднего э
лектрического поля внутри диэлектрика, как это было сделано некоторое время назад. Рассмотрим слой диэлектрика с дипольным моментом , а также пару точек 1 и 2 в непосредственной близости от диэлектрика. Другая система –
плоский ко
нденсатор. Т.к. , и во внешней области , значит и во внутренней области
Значит среднее по объему значение поля внутри диэлектрика равно полю , создава
емому в пустом пространстве между обкладками конденсатора эквивалентным распределением зарядов:
Магнетик
Рассмотрим теперь аналогичную магнитную задачу. На ри
сунке изображены намагниченный стержень и эквивалентный ему цилиндр с поверхностным током. Мы доказывали, что поля во внешней области, создаваемые изображенными на рисунке объектами, одинаковы. Рассмотрим теперь поля внутри этих объектов. Воспользуемся тео
ремой о потоке. Для любой точки вне цилиндров
S
Столбик намагниченного вещества.
некоторая поверхность, изображающая сечени
е плоскостью листа
+ + + + + + + + + + + + + + + +
Соленоид
Значит поверхностные интегралы по произвольным частям поверхности, лежащим внутри объектов:
.
Отсюда следует, что Усредненное по объему внутри магнетика магнитное поле равно полю, созданному в пустом пространстве внутри соленоида эквивалентным распределением токов .
По теореме Гаусса для вектора , примененной к конденсатору:
Полученное равенство можно переписать в векторном виде:
-
поле внутри конденсатора.
Теорема о
потоке для вектора (домножаем скалярно полученное равенство на и интегрируем): или в дифференциальной форме:
Запишем дифференциальную форму теоремы Гаусса для электрического поля с учетом диэлектрика:
Домножим на и перенесем в левую часть :
По определению вводится вектор .
Кроме того, по нашему определению диэлектриков, Перепишем теоремы о дивергенции и о потоке для вектора :
Перепишем
иначе выражение для вектора :
В аналогичной магнитной задаче:
В отличие от соответствующей формулы для диэлектриков, эта формула не была ране
е нами выведена. Здесь речь идет о соленоиде и применении теоремы о циркуляции магнитного поля к полю внутри бесконечно длинного соленоида. Итак, по теореме о циркуляции:
,
где -
полный ток, пронизываю
щий данный контур.
Ненулевой вклад в дивергенцию -
.
, Это равенство можно переписать в векторном виде:
Теорема о циркуляции вектора (домножаем скалярно на и интегрируем):
или в дифференциальной форме:
,
где -
плотность тока, созданная молекулярными токами.
В аналогичной магнитной задаче:
,
где -
плотность свободных токов, которую мы можем сами регулировать.
По определению введем вспомогательный вектор: (*)
.
Рассмотрим магнетики, у которых магнитный момент возникает из
-
за того, что мы его погружаем в магнитное поле, проводя аналогию с диэлектриками:
(
хи
-
магнитная восприимчивость).
Так получилось, что справа стоит вектор Теорема о циркуляции:
, или И, по аналогии с вектором в электричестве:
Модуль вектора имеет размерность силы тока, деленной на длину, в связи с этим единицей величины является ампер на метр .
24. Явле
ние электромагнитной индукции (
контур движется в постоянном магнитном поле;
контур покоится, а источник магнитного поля движется; контур и источник магнитного поля покоятся, а магнитное поле изменяется со временем).
Три способа создания ЭДС индукции с
помощью магнитного поля.
Контур движется в постоянном магнитном поле.
Проводящий контур перемещается поступательно со скоростью в неоднородном магнитном поле, магнитная составляющая силы Лоренца, действ
ующая на свободные электроны, приводит их в движение вдоль контура со скоростью относительно контура. Скорость электрона относительно лаборатории равна . Утверждается, что скорости электронов много меньш
е скорости света.
Составляющая силы Лоренца вдоль контура Это составляющая формирует поле сторонних сил с напряженностью По определению равна циркуляции :
-
мы показали, что индукция равна скорости изменения потока через боковую поверхность. Далее сведем поток через боковую поверхность к потоку через основания цилиндра.
Знаки расставлены в соответствии с нормалями.
Подставляя, получаем:
(1)
Контур покоится, а источник магнитного поля движе
тся.
Наличие индукционного тока в этом случае свидетельствует о возникновении электродвижущей силы электрической природы, так как привести в движение покоящиеся в контуре электроны проводимости может только электрическое поле. Именно это электрическое поле
, возникающее в пространстве, в котором покоится проводящий контур, и ответственно за появление ЭДС индукции.
Примем во внимание, кроме того, что в случаях и наблюдается одно и то же явление, но в разны
х системах отсчета.
Относительно лабораторной системы отсчета К
контур покоится, а источник магнитного поля движется со скоростью . В инерциальной системе К’
, движущейся вместе с магнитом наблюдается только поле , тогда в лабораторной системе отсчета по второму частному случаю преобразованию полей (формула (8) из п. 8.3) кроме магнитного поля существует еще и электрическое с напряженностью .
-
приходим к тому же соотношению.
Таким образом, величина ЭДС, как и прежде, определяется скоростью изменения потока вектора магнитного поля, но в отличие от случая уже через неподвижный контур, о чем свидетельству
ет значок частной производной.
И контур, и магнит покоятся, а магнитное поле изменяется со временем.
В случае магнитное поле в районе покоящегося контура изменялось со временем, что было связано с дви
жением источника магнитного поля. Теперь рассмотрим случай, когда изменяющееся магнитное поле в районе покоящегося контура создается покоящимся источником, но не постоянного (как в случае ), а переменного магнитного поля. Сделаем предположение о том, что нужную временную зависимость магнитного поля в районе контура всегда можно осуществить с помощью специально подобранного и специальным образом движущегося источника постоянного (в системе отсчета, связанной с источником) магнитного
поля. Если это предположение верно, то сводим случай к случаю ). Опыты Фарадея (см. рис.) не противоречат такому предположению.
(2)
25. Явление электромагнитной индукции. За
кон Фарадея (интегральная и дифференциальная формы). Электрическое вихревое поле.
Закон Фарадея
Магнитным потоком Φ через площадь S
контура называют величину Φ = B
·
S
·
cos
α,
где B
±
модуль вектора магнитной индукции
, α ±
угол между вектором
и нормалью к
плоскости контура
Локальная или дифференциальная форма записи закона Фарадея.
Формула (2) для элементарной циркуляции по бесконечно малому контуру принимает вид
С другой стороны, по определению ротора вектора для вектора (
)(7)
Проекция ротора поля
на любое направление равна отношению циркуляции вектора поля по бесконечно малому контуру, перпендикулярн
ому , к площади , охватываемой этим контуром) Сопоставив две формулы
. Отсюда получаем следующее: , так как площадка взята п
роизвольная, то (3).
Таким образом, электрическое поле является вихревым там, где .
26. Явление самоиндукции и взаимной индукции. (Пример: индуктивность длинного соленоида).
Энергия магнитного поля.
Явление самоиндукции и взаимной индукции
Самоиндукция
является важным частным случаем электромагнитной индукции, когда изменяющийся магнитный поток, вызывающий ЭДС индукции, создается током в самом контуре. Рассмотрим замкнутый ко
нтур произвольной формы из тонкого проводника, по которому течет .
В соответствии с законом Био
-
Савара
-
Лапласа пропорционально , а значит и собственный магнитный поток
этого поля через произвольную поверхность, опирающуюся на этот конт
ур пропорционален , где -
коэффициент самоиндукции или
индуктивность
контура. (1)
1
Гн
=
1
Вб
/
1
А.
Если ток в рассматриваемом контуре по каким
-
то причинам изменяется, то измен
яется и магнитное поле этого тока, а, следовательно, и собственный магнитный поток, пронизывающий контур. В контуре возникает ЭДС самоиндукции, которая согласно правилу Ленца
препятствует изменению тока в контуре.
.
В качестве примера рассчитаем индуктивность длинного соленоида,
имеющего N
витков, площадь сечения S
и длину l
. Магнитное поле соленоида определяется формулой (
см.
лекцию про т. о циркуляции
) B
= μ
0
I
n
,
n
=
N
/
l
Φ
= B
S
N
= μ
0
n
2
S
l
I
.
L
= μ
0
n
2
S
l
= μ
0
n
2
V
,
где
V
= Sl
L
μ
= μ
L
= μ
0
μ
n
2
V
.
(2)
где L
ik
I
k
-
магнитный поток, пронизывающий i
-
й контур, обусловленный магнитным полем тока k
-
го проводника. Слагаемое L
ii
I
i
в (2) описывает магнитный поток сквозь i
-
й контур, создаваемый током, текущим по этому контуру, т.е. L
ii
-
индуктивность i
-
го контура
. Коэффициенты L
ik
(
i
k
)
называют взаимной индуктивностью контуров.
L
ik
=
L
ki
-
так называемая теорема взаимности
.
Энергия магнитного поля
.
Рисунок 3
Магнитн
ая энергия катушки. При размыкании ключа K
лампа ярко вспыхивает
Для создания тока в проводнике необходимо совершить работу. Рассмотрим ту часть энергетических затрат, которая связана с возникновением магнитного поля тока.
Пусть ток формируют заряды, ра
сположенные на ободе колеса, которое приводится во вращение (см. рисунок). Увеличивая скорость вращения, мы увеличиваем ток, а значит и магнитное поле тока (
создается именно этим током). Изменяющееся во
времени магнитное поле , в соответствии с законом электромагнитной индукции Фарадея, генерирует вихревое электрическое поле , направление которого противоположно току, поэтому придется прикладывать силу
против сил вихревого поля. Работа приложенной нами силы по перемещению по замкнутому контуру единичного заряда равна и противоположная по знаку величине циркуляции , т.е.
.
Соответственно работа нашей (приложенной нами) силы по переносу заряда вдоль контура:
Если индуктивность нашего контура (колеса) , то . И тогда
Это работа приложенной нами силы по созданию тока и магнитного поля. Найденная работа определяет магнитную энергию созданного тока:
заряды
27. Энергия магнитного поля. Объемная плотность магнитной энергии.
Найдем выражение для энергии магнитного поля через вектор .
Вывод соответствующей формулы проведем для поля, созданного длинным соленоидом:
, тогда
-
энергия магнитного поля, локализованного в куске соленоида объемом V
.
-
объемная плотност
ь энергии магнитного поля.
S
I
I
28. Собственная магнитная энергия контура с током и энергия взаимодействия двух контуров с токами. Объемная плотность магнитной энергии в случае наложения двух магнитных полей.
Рассмотрим два контура с токами, причем учтем
взаимодействие магнитных полей контуров. Мы решили увеличить ток в первом контуре на , а во втором ±
на и посмотрим, какую работу нам придется совершить. :
Элементарная работа по созданию токов в контурах:
Эти три слагаемых можно выразить через векторы полей и , созданные токами и . По принципу суперпозиции магнитных полей:
Тогда объемная плотность энергии может быть представлена в таком виде:
Поля аддитивны, а энергии нет.
29. Явление магн
итоэлектрической индукции (эффект Максвелла).
Интегральная и дифференциальная формы.
Явление магнитоэлектрическое индукции
Рассмотрим небольшое тело с зарядом , которое в лабораторной системе отсчета за малое время совершает перемещение . В сопутствующей системе отсчета заряженное тело не создает магнитного поля (т.к. там покоится), поэтому в лабораторной системе отсчета поля и связаны следующей формулой:
(см формулу 8, п.8.3).
На рисунке изображено наше небольшое заряженное тело, а также 2 положения выбранного нами контура Г
(верхнее и нижнее основания цилиндра).
Цирк
уляция магнитного поля вдоль контура Г запишется в виде:
Сведем поток к потоку через произвольную поверхность S
, опирающуюся на контур Г
. Для этого построим вспомогательную по
верхность , смещенную относительно поверхности S
на вектор . Попытаемся изобразить тот же рисунок, но рассеченный вертикальной плоскостью. Выберем произвольную поверхность S
(допустим, в виде «сачка»), оп
ирающуюся на контур Г
. Аналогично для контура . Выберем нормали к поверхностям S
и . Пусть поверхность S
такова, что наш заряженный цилиндр пересекается этой поверхностью. Пунктиром изобразим цилиндрик в несколько ранний момент времени.
Часть заряда может попасть внутрь гауссовой поверхности образованной поверхностями ﰠ
ﰠ
. По
теореме Гаусса можно записать (для поля 鷺
« » т.к. используется внутренняя нормаль.
Здесь все потоки связаны с положением маленького заряженного тела в момент времени . По
ложение этого заряженного тела в момент времени показано на рисунке пунктиром. Видно, что заряд пересек поверхность за время от до . Кроме того, поток через поверхность в момент времени t
равен потоку через поверхность S
в момент времени t
–
dt
: Таким образом, получаем:
Возвращаясь к выражению для циркуляции магнитного поля, получим:
Распространим полученный результат на случай, когда поля и создаются множеством заряженных движущихся т
ел с зарядами , тогда получится:
Г
S
dq
Г
q
(1)
Таким образом, показано, что циркуляция магнитного поля определяется не только величиной тока проводимости, но и скоростью изменения потока
электрического поля (током смещения).
-
ток смещения.
Если электрическое поле стационарно и ток смещения равен нулю, то получаем теорему о циркуляции магнитного поля из магнитостатики
, заметим, что инте
гральной формуле (1) соответствует дифференциальная:
(2) ±
связь
в одной точке пространства
. Это особенность всех дифференциальных уравнений.
30. Система уравнений Максвелла для электромагнитного п
оля в интегральной и дифференциальной форме.
Физический смысл уравнений.
Таким образом, в нашем распоряжении вся система уравнений Максвелла, являющаяся основой современной электродинамики
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В СРЕДЕ
, где индукции и связаны с напряженностями и соотношениями
,
граничные условия, когда на границе раздела нет ни свободных зарядов, ни токов проводимости
Несколько замечаний о токе смещения.
Следует иметь виду, что ток смещения эквивалентен току проводимости только в отношении способности создавать магнитное поле.
Токи смещения существуют лишь там, г
де меняется со временем электрическое поле. В диэлектриках ток смещения состоит из двух существенно различных слагаемых так как вектор , то отсюда видно, что плотность тока смещения складывается из «исти
нного» ока
смещения и тока поляризации ²
величины, обусловленной движением связанных зарядов. В том, что токи поляризации возбуждают магнитное поле, нет ничего неожиданного, ибо эти токи по пр
ироде своей не отличаются от токов проводимости. Принципиально новое содержится в утверждении, что и другая часть тока смещения (
), которая не связана ни каким движением зарядов, а обусловлена только измене
нием электрического
поля, также возбуждает магнитное поле. 31. Разность потенциало
в на идеальных индуктивности, емкости, сопротивлении, источнике переменного напряжения и
правила Кирхгофа в квазистационарном режиме.
Разность потенциалов в квазистационарном электромагнитном поле
Рассмотрим свойства электрических цепей, основными элементами которых являются катушка индуктивности, конденсатор, резистор и источник напряжени
я.
Хотя в квазистационарном режиме электрические и магнитные поля меняются со временем, тем не менее, для отдаленных концов выводов каждого из четырех названных выше элементов можно использовать понятие разности потенциалов. Рассмотрим подробнее обосновани
е этого утверждения для каждого элемента.
Индуктивность.
На концах а и b
(рис. 1) удаленных выводов идеальной индуктивности L
с квазистационарным током I(t)
возникает разность потенциалов, равная .
Рис. 1. Идеальная индуктивност
ь и вспомогательный контур Г
Для доказательства рассмотрим контур Г, который одной своей частью проходит внутри провода, а другой -
в области пространства, где практически отсутствует магнитное, а значит, и вихревое электрическое поле. Последнее свойство н
аблюдается в связи с тем, что концы а и b выводов индуктивности находятся достаточно далеко от нее. Это позволяет считать индуктивность сосредоточенным элементом цепи.
Пусть направление обхода контура Г совпадает с направлением тока I(t) (cм. рис. 1), тогд
а можно записать
.Первый из интегралов в правой части равенства вычисляется вдоль траектории, расположенной в проводнике, где в соответствии с законом Ома -
(закон Ома в дифференциальной форме, где
-
величи
на, обратная удельному сопротивлению
называется удельной электрической проводимостью ) и отсутствием
сопротивления у идеальной индуктивности справедливо утверждение . Второй интеграл в силу сосредоточенно
сти индуктивности не зависит от формы внешнего участка контура Г (конечно, если не располагать этот участок вблизи от индуктивности) и поэтому может быть представлен в виде разности потенциалов (
). Таким образом, с одной стороны, имеем
, а с другой стороны, одно из уравнений Максвелла дает
.
В итоге для напряжения на индуктивности имеем
(2)
Емкость.
На концах a
и b
(рис. 2) удаленных выводов идеальной емкости С
с квазистационарным током I
(
t
) возникает
разность потенциалов, равная Q/C
.
Рис. 2. Идеальная емкость и вспомогательный контур Г
Для доказательства рассмотрим контур Г с направлением обхода, совпадающим с направлением тока. (Заметим, что на рис. 2 изображен момент зарядки конденсатора, поэтому I
(
t
)
=
dQ
/
dt
.) Циркуляция электрического поля по контуру Г может быть представлена в виде
.
Проводники а
1 и 2
b
не обладают сопротивлением, поэтому в соответствии с законом Ома первый и третий интегралы в правой части равенства равны нулю. Второй интеграл в квазистационарном режиме, как и в электростатике, может быть записан в виде
.
Четвертый интеграл, изображающий напряжение между концами а
и b
, может трактоваться как разность потенциалов:
.
Такая возможность появляется в свя
зи с тем, что емкость считается сосредоточенной и вихревое электрическое поле вдали от нее исчезающе мало. Что же касается циркуляции поля по контуру Г, то она равна нулю в соответствии с уравнением Максвелла
и предположением об
идеальности емкости, т.е. о том, что L
=
0. Таким образом, приходим к выражению для напряжения на емкости:
(3)
Сопротивление.
На концах а
, b
(рис. 3) удаленных выводов идеального сопротивления R
с квазистационарным током I(t)
возникает разность потенциалов, равная IR
.
Рис. 3. Идеальное сопротивление и вспомогательный контур Г
Для доказательства рассмотрим контур Г с направлением обхода, совпадающим с направлением тока. Циркуляцию электрического поля по контуру Г представим в виде
.
Первый и третий интегралы в правой части равенства равны нулю, так как закон Ома для участков a
1и 2
b
, не обладающих сопротивлением, дает . На участке 12 внутри сопротивления находим
.
Здесь учтено, что j
=
I
/
S
, , а также, что векторы и коллинеарны. Как и для случая постоянного тока, выражение имеет смысл сопротивления R
участка 12. Наконец, примем во внимание, что коэффициент самоиндукции L
рассматриваемой цепи a
12
b равен нулю, а значит, в соответствии с уравнением Максвелла (или интегральной формой записи закона Фарадея)
циркуляция электрического поля по контуру Г равна нулю. Учтем также, что участ
ок ab
контура Г расположен вдали от сосредоточенного сопротивления и погружен в практически безвихревое поле . В результате оказывается, что напряжение
не зависит от конфигурации внешнего участка контура Г между точками a и
b
.
Т
аким образом, для напряжения на сопротивлении имеем
(4)
Источник питания
.
Условная схема типичного источника переменного напряжения приведена на рис. 4. Вращающийся с помощью внешнего устройства магнит создает изменяющийся поток магнитного поля через идеальную индуктивность. В результате между точками а
и b
возникает переменное напряжение.
Рис. 4. Источник питания. Вращающийся магнит создает переменный магнитный поток через идеальную индуктивность
Покажем, что это напряжение не зависит от тока, текущего через источник, и может рассматриваться как разность потенциалов между точками а
и b
.
Рассмотрим контур Г, направление обхода которого совпадает с направлением тока I
(
t
)(см. рис. 4). Будем пренебрегать собственным магнитным полем тока I
(
t
) по сравнению с большим магнитным полем вращающегося магнита, так что именно последний создает переменный поток магнитного поля Ф
мг
через витки индуктивности. Циркуляция поля по контуру Г в соответствии с уравнением Макс
велла записывается в виде
Электродвижущая сила
не зависит от тока I
(
t
), текущего через источник. Кроме того, справедливо представление
.
Так как проводник a
12
b
не обладает сопротивлением и подчиняется з
акону Ома, то равны нулю первые три интеграла в правой части равенства. Интеграл , вычисляемый по внешней части контура Г, не зависит от формы этой части, т.е. может рассматриваться как разность потенциалов:
.
Это следует из предположения, что рассматрив
аемый источник является сосредоточенным, т.е. не создает вне себя переменных, а следовательно, в соответствии с уравнениями Максвелла и вихревых полей.
Таким образом, разность потенциалов на клеммах источника является заданной функцией времени и не зависит
от тока, текущего по цепи: (5)
Принципиальное отличие напряжения на клеммах источника (5) от соответствующих выражений для напряжения на индуктивности (2), емкости (3) и сопротивлении (4) состоит в том, что его величина не зави
сит от величины тока и определяется только свойствами самого источника. Поэтому источник напряжения называют активным элементом цепи в отличие от остальных элементов, величина напряжения на которых зависит от величины тока или от характера его изменения со
временем. В соответствии с этим индуктивность, емкость и сопротивление называют пассивными элементами цепи.
Правила Кирхгофа для цепей квазистационарного тока.
Pассмотрим электрическую цепь, состоящую из сосредоточенных элементов R, L, C,
(
t
)
,
cоединенны
х идеальными проводниками (не обладающими ни сопротивлением, ни индуктивностью, ни емкостью). В любой цепи такого рода можно обнаружить контуры и узлы. Контуром называется замкнутый участок электрической цепи, а узлом -
точка, в которой соединено больше дв
ух проводов.
Первое правило Кирхгофа. Так как электрическая емкость узла равна нулю, то заряд не может накапливаться в узле и в соответствии с законом сохранения заряда результирующий поток заряда через замкнутую поверхность, охватывающую любой узел цепи, равен нулю, т.е. алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:
(6)
Здесь индексом k
обозначены номера токов, сходящихся в узле, а алгебраические знаки входящих и выходящих токов противоположны.
Второе правило Кирхгофа.
Одним из важнейших свойств сосредото
ченных элементов цепи квазистационарного тока, проанализированного ранее, является отсутствие вне элементов меняющихся со временем электрических и магнитных полей. Это свойство приводит к тому, что циркуляция поля по любому замкнутому контуру, связывающем
у выводные клеммы сосредоточенных элементов любой замкнутой цепи, равна нулю. Поэтому
, (7)
где U
k
-
напряжение на любом сосредоточенном элементе цепи с индексом k
. Учитывая, что для активных элементов выполняется равенство (5), и оставляя в левой части р
авенства (7) суммы только по пассивным, а в правой части только по активным элементам, запишем окончательно
. (8)
3
2
. Последовательный RLC
-
колебательный контур
. Свободные гармонические колебания
.
.
Последовательный RLC
-
колебательный контур
Рис. 6. Последовательный RLC контур, подключенный к источнику переменной ЭДС
Рассмотрим колебательный контур (рис. 6), состоящий из последовательно
соединенных идеальных индуктивности L
, емкости С
и резистора R
, подключенный к источнику ЭДС, напряжение которого является заданной функцией времени (
t
). При выполнении усло
вия квазистационарности на основании второго правила Кирхгофа получим
.
Принимая во внимание, что I
=
dq
/
dt
, придем к уравнению колебательного контура:
, (9)
которое является линейным дифференциальным уравнением второго порядка.
Вводя обозначения ; ; , (10)
уравнение (9) представим в приведенном виде:
. (11)
В форме (11) уравнение колебательного контура совпадает с уравнением вынужденных колебаний гармонического осциллятора с затуханием. Величина
называется собственной частотой гармонических колебаний, а -
коэффициентом затухания.
Свободные гармонические колебания
Если внешний источник ЭДС отсутствует
, то уравнение (11) (линейное и однородное относительно , , ) описывает свободные затухающие колебания. Если же нет и омического сопротивления
, То есть в контуре нет потерь электромагнитной энергии (
R
=
0),
то уравнение (11) принимает вид
(
12
)
Рисунок
Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний
Уравнение (12) описывает свободные колебания в LC
-
контуре в отсутствие затухания. По виду оно в точности совпадает с уравнением свободн
ых колебаний груза на пружине в отсутствие сил трения. Рис.
иллюстрирует аналогию процессов свободных электрических и механических колебаний. На рисунке приведены графики изменения заряда q
(
t
) конденсатора и смещения x
(
t
) груза от положения равновесия, а также графики тока J
(
t
) и скорости груза υ (
t
) за один период колебаний
Система, поведение которой описывается уравнением (12), называется гармоническим осциллятором. Решение уравнения (12)
q
(
t
)
=
q
0
cos
(13)
описывает гармонические колебания зарядов на обкладках конденсатора.
Две независимые постоянные q
0
и
в (13) определяются начальными условиями. Если в качестве начальных условий взять з
начение заряда q
(0) и тока I
(0) в момент времени t
= 0, то откуда
(14)
Из (10) следует, чт
о собственная частота гармонических колебаний выражается через величины L и
С
формулой
. (15)
Так как период колебаний Т
0
связан с циклической частотой соотношением , то из (15) следует формула У. Томсона (Кельвина):
.
Величина q
0
в (13), определяющая максимальное (положительное) значение заряда q
(
t
)
,
называется амплитудой заряда, а величина -
фазой колебаний заряда (
-
начальная фаза). Важно иметь в виду, что собственная частота гармонических колебаний зависит только от свойств самой колебательной системы (см. форму
л
у (15)), в то время как амплитуда заряда q
0
и начальная фаза колебаний заряда определяются не столько свойствами системы, сколько начальными условиями (см. формулу (14) и рис. 7).
Рис. 7. График зависимости заряда на пластине конденсатора от времени -
свободные гармонические колебания. Заряд в начальный момент связан с амплитуд
ой заряда и начальной фазой колебаний заряда
33.
Свободные затухающие колебания
в последовательном RLC -
колебательном контур
е. Добротность колебательного контура и ее связь с числом к
олебаний за время релаксации, с логарифмическим декрементом затухания, с относительной потерей энергии за период.
Свободные затухающие колебания
С учетом омического сопротивления уравнение колебательного контура записывается в виде
. (17)
Для его анализа
введем вспомогательную функцию (
t
) в соответствии с формулой
.
Подставляя последнюю в (17), получим для (
t
)дифференциальное уравнение
, (18)
которое формально совпадает с уравнением (12), но с коэффициентом , принимающим как положительные, так и отри
цательные значения.
При введем новую величину в соответствии с формулой .
При этом уравнения (12) и (18) совпадают, а значит, совпадают и их решения. Следовательно,
(
t
)
=
q
0
cos
(
)
.
Таким образом, решение уравнения (17) имеет вид
. (19)
График функци
и (19), представленный на рис. 8, свидетельствует о том, что она непериодична. Однако величина q
периодически проходит через нуль, достигая в промежутках минимальных и максимальных значений. В этом смысле процесс, описываемый выражением (19), является коле
бательным. Такие свободные затухающие колебания могут быть охарактеризованы периодом, равным удвоенному времени между двумя последовательными прохождениями величины q
(
t
) через нуль (Приравнивая нулю, можно убедиться в том, что период Т
есть время между дв
умя последовательными максимальными (или двумя последовательными минимальными) значениями величины q
(
t
)):
. (20)
Рис. 8. График зависимости заряда на пластине конденсатора от времени свободные затухающие колебания. Пунктиром показан график зависимост
и амплитуды затухающих колебаний заряда
Все реальные контуры содержат электрическое сопротивление R
. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной
в контуре, превращается в джоулево тепло, и колебания становятся затухающими
(рис.
8).
Множитель в формуле (19) называют амплитудой затухающих колебаний заряда. Она экспоненциально убывает во времени, уменьшаясь в е
раз за время
ﰠ
называемое временем затухания (временем релаксации). Число колебаний, совершаемых за время , равно
Логарифм отношения амплитуд в моменты прохождения величины q(t)
через соседние максимумы называют логарифмическим декрементом затухания:
.
Величина
(21)
называется добро
тностью колебательного контура, можно записать
где N
±
число полных колебаний, совершаемых системой за время затухания IJ. Добротности Q
любой колебательной системы, способной совершать свободные колебания, может быть дано энергетическое определение: Для RLC
-
контура добротность Q
выражается формулой Добротность электрических контуров, применяемых в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.
Следует отметить, что собственная частота ω свободных колебаний в контуре с не очень высо
кой добротностью несколько меньше собственной частоты ω
0
идеального контура с теми же значениями L
и C
. Но при Q
≥
(5·10) этим различием можно пренебречь.
34. Описание вынужденных колебаний в последовательном RLC -
колебательном контур
е с помощью векторных диаграмм. Резонанс в колебательном контуре. Добротность.
Вынужденные колебания в электромагнитном контуре
Рассмотрим выну
жденные электромагнитные колебания в контуре, показанном на рис. 6. Для основного в этой задаче линейного неоднородного дифференциального уравнения (11) справедлив принцип суперпозиции, который утверждает следующее. Если q
1
(
t
) является решением при внешнем
воздействии 1
(
t
)
, а q
2
(
t
) -
при воздействии 2
(
t
), то функция q
(
t
)
=
q
1
(
t
)
+
q
2
(
t
)является решением при воздействии (
t
)
=
1
(
t
)
+
2
(
t
)
.
Кроме того, согласно теореме Фурье всякая периодическая функция достаточно общего вида может быть разложена в ряде Ф
урье, т.е. представлена в виде суммы конечного или бесконечного числа синусоидальных функций. Это позволяет задачу о вынужденных колебаниях под действием достаточно произвольно меняющейся со временем ЭДС свести к частной задаче о вынужденных колебаниях под
действием гармонической ЭДС. Таким образом, задача сводится к решению уравнения
. (34)
Среди частных решений этого уравнения найдем такое, которое меняется со временем по гармоническому закону с частотой внешней ЭДС . Для этого, вводя комплексное предст
авление для правой части уравнения (34)
,
будем искать q
(
t
) в виде . При этом , . После подстановки этих представлений в (34) находим
.
Сравнивая последнее выражение со стандартной формой записи комплексной амплитуды
,
находим для амплитуды заряда q
0
и сдвига фаз заряда по отношению к внешней ЭДС:
.
Таким образом, частное решение уравнения (34) имеет вид
. (35)
Добавив к решению (35) общее решение (19) соответствующего однородного уравнения (17), получим
.
Добавленное слагаемое описывает свободн
ые затухающие колебания заряда в контуре с частотой . Выбором постоянных и
можно удовлетворить любым начальным условиям. Однако, каковы бы они ни были, свободные колебания экспоненциально затухают, и через время t
>>
1
/
практически останутся только одн
и вынужденные колебания, совершенно не зависящие от начальных условий.
Малые частоты (
)
. Заряд на емкости успевает ³подстраиваться´ под мгновенное значение ЭДС. Явление самоиндукции не проявляется, ток очень мал и почти вся величина приложенного напряже
ния источника падает на емкости. Ток, опережая на
по фазе ЭДС, обеспечивает синфазные колебания заряда и величины ЭДС. Рис. 16 и следующие соотношения характеризуют низкочастотные вынужденные колебания:
(40)
Рис. 16. Векторная диаграмма для RLC
-
контура в случае низких частот (
)
Большие частоты (
).
Заряд на конденсаторе накапливаться практически не успевает. Ток тоже невелик, поскольку его амплитуда пропорциональна заряду. Таким образом, напряжение источника почти полностью падает на индуктивности. Рис. 17 и следующие формулы соответствуют случаю высокочастотных колебаний:
(41)
Рис. 17. Векторная диаграмма для RLC
-
контура в случае высоких частот (
)
Область резонанса (
). Как показывает соответствующий анализ формул (36) и (38), амплитуды заряда и тока достигают максимальных значений при частотах и соответственно (см. рис. 13а, и 14а,). При этом в случае слабого затухания (
)резонансные частоты практически совпадают друг с другом и равны собственной частоте . Принимая во внимание , приходим к вывод
у, что в этой области частот напряжения на индуктивности и емкости близки по величине и противоположны по фазе. Таким образом, практически вся величина ЭДС падает на омическом сопротивлении R
, обеспечивая максимальную амплитуду тока (величина | z
| при этом минимальна). Важно отметить, что при резонансе ток и ЭДС синфазны, а это обеспечивает максимально возможную мощность, поступающую от источника в контур и рассеивающуюся на резисторе. Рис. 18 и следующей формулы описывают резонансную область частот:
(
42)
Рис. 18. Векторная диаграмма для RLC
-
контура в случае резонанса тока (
)
Заметим, что отношение максимального значения заряда при резонансе (в случае малого затухания (
)
q
0
(
)к статическому значению заряда q
0
(0) равно добротности контура Q. Действит
ельно,
,
что совпадает с определением (21).
Таким образом, при резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке в Q
раз превышают амплитуду напряжения внешнего источника.
Рисунок 2.3.4.
Резонансные кривые для контуров с различными значениями до
бротности Q
Рис.
2.3.4 иллюстрирует явление резонанса в последовательном электрическом контуре. На рисунке графически изображена зависимость отношения амплитуды UC
напряжения на конденсаторе к амплитуде 0 напряжения источника от его частоты ω для различн
ых значений добротности Q
. Можно показать, что максимум резонансных кривых для контуров с низкой добротностью несколько сдвинуты в область низких частот.
35. Волновое уравнение. Электромагнитные волны.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Система уравнений Мак
свелла для электромагнитного поля.
Как мы говорили ранее, вся теория электромагнитного поля сводится к четырем уравнениям Максвелла, которые мы записывали для вакуума (см. лекцию 18, раздел 13) и в среде, с участием векторов и . Мы записывали их в интегральной, давайте запишем и в дифференциальной форме.
,
, где индукции и с
вязаны с напряженностями и соотношениями
,
(5),
а плотность тока проводимости а
, где
(за
кон Ома)
(6)
Уравнения (1) и (3) ±
теоремы о потоках, а уравнения (2) и (4) отражают явления электромагнитной и магнитоэлектрической индукций. (См. соответствующие лекции).
Изменение во времени
порождает вихревое электрическое пол
е , изменяющееся в окружающем пространстве. А изменение во времени порождает переменное вихревое поле . Из этого следует возможность существования переменных электромагнитных п
олей вдали от зарядов и токов проводимости не только в среде, но и в вакууме (
). Электрические и магнитные переменные поля взаимно порождают друг друга, удаляясь от источника и теряют связь с ним. Возникает электромагнитная волна,
которая существует в пространстве даже после выключения источника. Источниками электромагнитных волн являются электрические заряды, движущиеся с ускорением, переменные токи и изменяющиеся во времени электрические и магнитные поля.
Волновое уравнения
Упро
щая задачу, будем считать, что среда: однородная, (
), изотропной (свойства не зависят от направления) нейтральной, т.е. отсутствуют заряды (
), непроводящей, отсутствуют токи (
). Тогда уравн
ения Максвелла имеют вид
(1)
(2)
(3)
(4)
Здесь оператор дифференцирования, и т. к. и , то для них используются частные производные (точка фиксированная).
Используя полученную систему и известное тождество векторной алгебры , найдем ротор ротора от обеих частей уравн
ения (2):
Учитывая , что оператор Лапласа, приравняем правые части и получим для напряженности электрического поля дифференциальное уравнение:
(7)
Такое же уравнение можн
о получить для напряженности магнитного поля, исходя из уравнения (4)
(8)
Заметим, что коэффициент имеет размерность обратного коэффициента скорости, то есть
(9)
Уравнения типа (7) и (8) описыв
ают процесс распространения колебаний в пространстве, который представляют собой волну. Поэтому такие уравнения называют волновыми уравнениями. Так например, распространение колебаний вдоль натянутой длинной струны описывается таким же уравнением, если заменить на поперечное отклонение у малого элемента струны. В декартовой системе координат волновое уравнение (7) запишется в виде 36. Плоские электромагнитные волны. Основные свойства волн.
Плоские волны
Р
ассмотрим одномерный случай, когда и зависят только от x, t
и не зависят от y и
z. Тогда ; (10)
Частным решением уравнении (10) является простая синусоидальная волна, бегущая в направлении х со скоростью :
; (11)
Если при х
= 0 возбуждены колебания электромагнитног
о поля то в некоторой точке с координатой х колебания начнутся с запаздыванием по времени на где -
скорость распространения колебаний ( скорость волны)
Пусть фаза ко
лебаний при х
= 0 в момент времени равна
Через время колебания дойдут до точки х с тем же значением фазы, то есть:
где: -
волновое число, -
показатель преломления среды;
-
длина волны, распространяющейся в вакууме, это расстояние проходимое волной за период T
Введение волнового числа Позволило записать фазу колебаний в симметр
ичной форме по отношению к переменным х
и t
(12)
Зафиксируем значение фазы колебаний. Тогда уравнение Представляет собой плоскость, перпендикулярную направлению распространения волны (плоск. yz
)
Скорость пере
мещения фазовой (волновой) плоскости с заданным значением фазы
-
это как раз та скорость ,которая присутствует в волновом уравнении.
Дифференцируя (12) по времени при , получим для фазовой скорости
Процесс распространения колебаний электрического поля в плоской волне показан на рис.1 Рис.1. Процесс распространения колебаний а) колебания во времени в фиксированной точке x б) колебания в пространстве в фиксированный м
омент времени
в) спектр волны Уравнение плоской волны, бегущей в произвольном направлении
Если волна распространяется в произвольном направлении x' и проходит через точку наблюдения P(x,y,z), то уравнение волны запишется в виде ( см. рис.2)
или
(
13)
где -
волновой вектор, задающий направление, в котором бежит волна волна. Модуль волнового вектора равен
15.3.2 Уравнение плоской во
лны в комплексном представлении.
Рассмотрим гармоническое колебание с амплитудой и фазой . На рис.3 изображн вектор в комплексной плоскости.
За единичный отрезок вдоль мнимой оси принята величина . Длина вектора равна амплитуде колебаний , а конец вектора находится в точке, представляющей комплексное число.
где -
фазовый угол, отсчитываемый от действительной оси против часо
вой стрелки.
Для плоской волны фаза . Проекция вектора на действительную ось дат колебания по косинусу , а проекция на мнимую ось -
колебания по синусу Комплексное представление колебан
ий удобно для выполнения математических операций. Вернуться к исходной действительной форме записи можно по формулам
; Таким образом, плоскую волну часто записывают в виде где -
комплексная амплитуда.
Свойства плоских волн
Рассматриваемые волны называют плоскими. Электромагнитная плоская волна состоит из распространяющихся колебаний электрического и магнитного полей, обладающих следующими свойствами:
1) Существует единственное направление распространения (в нашем случае это ось х
)
2) Напряжнность полей и не зависит от поперечных координат y и z
В любо
й плоскости (yz)
, перпендикулярной оси х
, свойства волны ( величина и направление напряжнностей, фаза колебаний) в фиксированный момент времени постоянны ( одни и те же для всех точек плоскости) и все производные и в уравнениях Максвелла обращаются в нуль
3) Поперечность колебаний в электромагнитной волне
Из (1) и (3) в случае однородной и электромагнитной среды следует:
Для выбранных плоских волн, бегущих вдоль оси х
, величины и постоянны в пространстве. Но мы рассматриваем только осциллирующие поля, поэтому положим и . Это означа
ет, что колебания и происходят поперк направлению распространения:
Электромагнитные волны, распространяющиеся в свободном пространстве (вдали от зарядов и токов), являются поперечными волнами.
Замечание
Отметим, что мы не учитываем влияние поверхностей, ограничивающих среду, и граничных условий. Поперечность колебаний и относится только к волнам, распространяющимся в большом объме, когда влияние границ нес
ущественно, Так, например, световые волны, бегущие вдоль стекловолокна, могут иметь продольные составляющие напряжнностей и 4) Ортогональность векторов и в плос
кой волне и синфазность их колебаний.
Запишем уравнения плоской волны в виде (14)
При заданном виде решения из системы уравнений Мак
свелла в дифференциальной форме можно получить
(1')
(2')
(3')
(4')
Из (1') и (3') снова следует Поперечность колебаний и :
; Из (2') и (4') видно, что в процессе колебаний и ортогональны. В любой момент времени
При этом векторы и образуют правовинтовую тройку.
Кроме того, в любом момент врем
ени напряжнности E и Н одновременно достигают амплитудных значений и одновременно обращаются в нуль ( свойство синфазности колебаний
) 37. Энергия электромагнитной волны. Вектор Пойнтинга.
Энергия электромагнитных волн. Поток энергии. Плотность потока энергии. Интенсивность
Волны переносят энергию. Пусть плоская волна распространяется в однородной изотропной среде вдоль оси X со скоростью Выделим площадку , перпендикулярную оси Х. Тогда за время через пройдт энергия , заключнная в объме цилиндра (рис. )
где -
плотность энергии электромагнитного поля (энергия в единичн
ом объме):
, По аналогии с плотностью потока частиц ,
плотностью тока , где -
число частиц в единице объма, введм плотность потока энергии
, -
это энергия, переносимая волной в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения
Единственное направление распространение энергии в плоской волне в однородной изотропной среде это направление волнового вектора . Поэтому можно записать В
непроводящей среде колебания и происходят в одинаковой фазе:
Используя это условие синфазности колебаний, выразим модуль через и :
Таким образом,
Векторы и в плоской волне взаимно перпендикулярны и образуют с вектором правовинтовую тройку, и Поэтому плотность потока энергии ( )
Вектор -
называется вектором Пойтинга
Для потока энергии через произвольную площадку получаем формулу , Полный поток электромагнитной энергии через поверхность S равен Интенсивность волны
Найдм среднее значение модуля вектора Пойтинга с учтом условия си
нфазности и соотношения . Пусть , где . Тогда .
Среднее значение равно .
Среднее значение называется интенсивностью
волны (обозначение ) , где Т
-
период колебаний.
Видно, что интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды колебаний в электромагнитной волне . В о
бласти частот, соответствующих видимому свету, период колебаний в электромагнитной волне
Примники света инерционны, они не способны реагировать на сколь быстрое изменения электромагнитного поля и регистрируют средний поток энергии и
ли энергетическую величину, образованную из потока. Средний поток равен , где фоточувствительная площадка примника.
38. Перенос импульса и момента импульса электромагнитной волной.
Импульс электромагнитной
волны
Пусть плоская волна с компонентами поля и распространяется в вакууме в направлении оси Х и падает по нормали на поверхность слабо проводящего тела, для которого Электрическое пол
е волны возбудит ток плотности
где -
удельная проводимость. Выделим элемент объма вещества . Этот элемент соответствует элементу тока
Магнитное поле волны будет дейс
твовать на этот элементарный ток с силой (сила Ампера) равной Эта сила направлена по оси Х (см. рис.). Выделенному объму сообщается импульс
(1)
В этом же элементе объма поглощается мощно
сть выделяющаяся в виде теплоты. Принимая во внимание, что и , поглощаемую мощность можно представить в виде
(2)
Сравнивая (1) и (2), по
лучим или в расчте на единицу объма (
и ) видим, что Вывод:
Электромагнитная волна, несущая энергию в единице объ
ма, обладает объмной плотностью импульса учитывая, что
Можно представить в виде
Автор
yashka192
Документ
Категория
Образование
Просмотров
1 635
Размер файла
3 494 Кб
Теги
voprosy_i_otvety_po_kursu_elektromagnetizm
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа