close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Лекция 17 Колебания Метод векторных диаграмм 3 мая

код для вставкиСкачать
3
мая
2011
г
.
ЛЕКЦИЯ 17
ПЛАН ЛЕКЦИИ
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН
1.
Общие представления о колебательных и волновых процессах.
2.
Гармонические колебания и их характеристики.
3.
Метод
векторных
диаграмм
.
Представление
гармонических
колебаний
в
комплексной
форме
.
4.
Сложение
гармонических
колебаний
.
Биения
.
5.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу
.
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН
Общие представления о колебательных и волновых процессах.
Колебаниями
называются
процессы,
которые
обладают
той
или
иной
степенью
повторяемости
во
времени
.
Колебательные
процессы
наблюдаются
в
системах
различной
физической
природы
.
Если
состояние
системы
описывается
конечным
числом
переменных
(имеет
конечное
число
степеней
свободы),
то
мы
имеем
дело
с
собственно
колебательными
процессами
.
Примеры
:
колебания
груза,
подвешенного
на
пружине,
колебания
маятника,
колебания
тока
в
электрическом
контуре
и
т
.
д
.
В
системах
с
бесконечным
числом
степеней
свободы
(сплошная
среда)
колебательный
процесс,
начавшийся
в
одном
месте,
распространяется
в
пространстве
.
Говорят,
что
в
пространстве
распространяется
волна
.
Волна
характеризуется
периодичностью
не
только
во
времени,
но
и
в
пространстве
.
Примеры
:
звуковые
волны,
электромагнитные
волны
и
т
.
д
.
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН
Общие представления о колебательных и волновых процессах.
Использование
колебательных
процессов
:
в
часах
(механических
и
электронных),
в
радиоприемниках
и
телевизорах
(колебательные
контуры),
акустике
(звуковые
волны),
в
связи
(электромагнитные
волны)
и
т
.
д
.
Колебания
разделяют
на
свободные
и
вынужденные
,
автоколебания
и
параметрические
колебания
.
Свободными
или
собственными
называются
колебания,
которые
развиваются
в
системе,
представленной
самой
себе
после
того,
как
она
была
выведена
из
состояния
равновесия
.
Колебания
совершаются
за
счет
первоначально
сообщенной
энергии
.
Например,
колебания
груза
на
пружине
в
поле
сил
тяготения
.
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН
Общие представления о колебательных и волновых процессах.
Вынужденные
это
такие
колебания,
в
процессе
которых
происходит
периодическое
воздействие
внешнего
источника
энергии
.
Пример
–
электромагнитные
колебания
в
контуре,
куда
включена
периодическая
ЭДС
.
Автоколебания
поддерживаются
за
счет
внешнего
источника
энергии
.
Но
:
автоколебательная
система
сама
управляет
внешними
воздействиями,
обеспечивая
поступление
энергии
в
такт
с
колебаниями
.
Пример
–
механические
часы
.
Храповой
механизм
часов
подталкивает
маятник
в
такт
с
его
колебаниями
.
Внешний
источник
энергии
-
сжатая
пружина
либо
опускающийся
груз
.
Параметрические
колебания
.
Внешнее
воздействие
периодически
изменяется
какой
либо
параметр
системы,
определяющий
ее
свойства
.
Например,
в
процессе
колебаний
маятника
может
периодически
изменяться
длина
нити,
на
которой
подвешен
маятник
.
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН
Общие представления о колебательных и волновых процессах.
Системы,
в
которых
возможны
колебательные
процессы,
делятся
на
линейные
и
нелинейные
.
Динамика
процессов
в
линейных
колебательных
системах
описывается
линейными
дифференциальными
уравнениями,
система
подчиняется
принципу
суперпозиции
.
Нелинейные
колебательные
системы
описываются
нелинейными
дифференциальными
уравнениями
.
Большинство
физических
систем
нелинейны,
однако,
при
малых
отклонениях
от
положения
равновесия
они
демонстрируют
линейные
свойства
.
Между
колебательными
процессами
различной
природы
имеется
аналогия
.
Колебания
различной
природы
подчиняются
одинаковым
законам
.
Пример
:
колебания
груза,
подвешенного
на
пружине,
и
изменение
заряда
конденсатора
в
колебательном
контуре
происходят
по
одному
и
тому
же
закону
.
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН
Гармонические колебания и их характеристики
Гармонические
колебания
представляют
собой
наиболее
простой
вид
колебаний
.
Изучение
гармонических
колебаний
важно
по
следующим
причинам
:
Гармоническими
называются
такие
колебания,
при
которых
колеблющаяся
величина
изменяется
со
временем
по
закону
косинуса
(синуса)
.
а)
колебания,
встречающиеся
в
природе
и
технике,
часто
имеют
характер,
близкий
к
гармоническому
;
б)
различные
периодические
процессы
можно
представить
как
наложение
периодических
колебаний
.
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН
Гармонические колебания и их характеристики
Гармонические
колебания
некоторой
величины
описываются
уравнениями
вида
:
-
круговая или циклическая частота;
где
-
амплитуда
колебания,
т
.
е
.
наибольшее
положительное
отклонение
величины
от
ее
значения
в
состоянии
равновесия
;
и -
фазы колебаний, характеризующие текущее отклонение величины от равновесия.
При или , т.е. и -
это начальные фазы колебаний.
или
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН
Гармонические колебания и их характеристики
Между параметрами гармонических колебаний существует связь :
где
-
частота
колебаний
(количество
колебаний
в
единицу
времени),
-
период
колебаний,
или
время
полного
колебания
.
Метод векторных диаграмм
Колебания
можно
изображать
графически
в
виде
векторов
на
плоскости
.
Изображенная
таким
способом
схема
колебаний
называется
векторной
диаграммой
.
Рассмотрим произвольный вектор , образующий с осью угол Если
привести
этот
вектор
во
вращение
относительно
точки
с
угловой
скоростью
,
то
проекция
конца
вектора
будет
перемещаться
по
оси
в
пределах
от
до
.
Координата
этой
проекции
будет
изменяться
со
временем
по
закону
Метод векторных диаграмм
Таким
образом,
гармоническое
колебание
может
быть
задано
с
помощью
вектора,
длина
которого
равна
амплитуде
колебания,
а
направление
вектора
образует
с
осью
угол,
равный
начальной
фазе
колебания
.
Проекция
конца
вектора
будет
совершать
гармоническое
колебание
с
амплитудой,
равной
длине
вектора,
с
круговой
частотой,
равной
угловой
скорости
вращения
вектора,
и
с
начальной
фазой,
равной
.
(углу,
образованному
вектором
с
осью
.
в
начальный
момент
времени)
.
0
Представление гармонических колебаний в комплексной форме.
Возможен
еще
один
вариант
представления
колебаний,
отличающийся
от
метода
векторной
диаграммы
лишь
по
форме
.
Колеблющуюся
величину
записывают
не
в
виде
синуса
или
косинуса,
а
представляют
комплексным
числом
.
Переход
к
комплексной
форме
записи
-
с
помощью
теоремы
Эйлера
:
где -
мнимая единица.
Уравнение
гармонического
колебания
в
комплексной
форме
будет
иметь
вид
В
этой
формуле
реальное
физическое
смещение
получается
из
вещественной
части
комплексного
числа
Представление
гармонических
колебаний
в
комплексной
форме
позволяет
заменить
громоздкие
тригонометрические
преобразования
более
простыми
действиями
над
комплексными
величинами
.
Сложение гармонических колебаний.
Рассмотрим
сложение
двух
гармонических
колебаний
одинакового
направления
и
одинаковой
частоты
:
и В
любой
момент
времени
смещение
колеблющейся
точки
будет
суммой
смещений
и
.
Воспользуемся
методом
векторной
диаграммы
для
определения
вида
и
параметров
результирующего
колебания
.
Каждое
из
колебаний
в
отдельности
представляет
собой
вектор
(
и
.
),
длина
которого
равна
амплитуде
колебания,
а
направление
вектора
образует
с
осью
угол,
равный
начальной
фазе
колебания
.
Сложение гармонических колебаний.
По
правилам
сложения
векторов
построим
результирующий
вектор
.
Проекция
этого
вектора
на
ось
равна
сумме
проекций
слагаемых
векторов
:
Результирующий
вектор
вращается
с
той
же
угловой
скоростью
,
что
и
векторы
и
.
Следовательно,
результирующее
колебание
будет
гармоническим
колебанием
с
частотой
,
амплитудой
и
начальной
фазой
:
Сложение гармонических колебаний.
В этом уравнении Таким
образом,
метод
векторной
диаграммы
позволяет
свести
сложение
нескольких
гармонических
колебаний
одной
частоты
к
операции
сложения
векторов
.
Выводы из анализа выражения для амплитуды:
а)
Если
разность
фаз
колебаний
равна
или
кратна
нечетному
числу
,
т
.
е
.
колебания
находятся
в
противофазе,
то
амплитуда
результирующего
колебания
будет
равна
по
модулю
разности
амплитуд
.
Колебания
будут
ослаблять
друг
друга
.
(вывести самостоятельно, используя теорему косинусов)
Сложение гармонических колебаний.
б)
Если
частоты
колебаний
различны,
то
векторы
и
будут
вращаться
с
разными
угловыми
скоростями
на
векторной
диаграмме
.
Результирующий
вектор
в
этом
случае
уже
не
будет
определять
гармоническое
колебание
.
Его
величина
и
скорость
вращения
будут
меняться
со
временем
.
Квадрат
результирующей
амплитуды
такого
колебания
будет
выражаться
уравнением
вида
Следовательно, сумма гармонических колебаний одного направления с разными частотами не является гармоническим колебанием.
Сложение гармонических колебаний.
Интересен
случай,
когда
два
складываемых
гармонических
колебания
одинакового
направления
мало
различаются
по
частоте
.
Результирующее
движение
при
этих
условиях
-
гармоническое
колебание
с
пульсирующей
амплитудой
.
Такое
колебание
называется
биениями
.
Биения
Пусть имеются два колебания, различающиеся только частотами:
Сложим эти колебания:
Сложение гармонических колебаний.
Биения
Применим для преобразования формулы теорему сложения косинусов:
получим уравнение результирующего колебания в виде:
В
итоге
получили
выражение
для
почти
гармонического
колебания
с
частотой
,
амплитуда
которого
изменяется
по
некоторому
периодическому
закону
(амплитуда
положительна,
поэтому
модуль)
:
-
циклическая частота биений
-
период биений.
Сложение гармонических колебаний.
Биения
Амплитуда
Сложение гармонических колебаний.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
Мы
рассмотрели
различные
варианты
сложения
однонаправленных
векторных
колебаний
.
Существуют
более
сложные
случаи,
когда
складываются
векторные
колебания,
происходящие
по
разным
направлениям
.
Рассмотрим
результат
сложения
двух
гармонических
колебаний
одинаковой
частоты,
происходящих
во
взаимно
перпендикулярных
направлениях
вдоль
осей
и
.
Пример
:
на
управляющие
вертикальные
и
горизонтальные
пластины
осциллографа
поданы
периодические
гармонические
сигналы
.
Пусть
начальная
фаза
первого
колебания
равна
нулю
.
Тогда
уравнения
колебаний
будут
иметь
вид
:
Сложение гармонических колебаний.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
Для
нахождения
уравнения
траектории
результирующего
колебания
исключим
из
уравнений
параметр
:
Во
втором
уравнении
использовали
тригонометрическую
формулу
для
косинуса
суммы
.
Заменим во втором уравнении на и на В итоге получим:
После преобразований сведем последнюю формулу к виду
Сложение гармонических колебаний.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
Выясним
форму
кривых,
определяемых
этим
уравнением
.
а) Пусть разность фаз Из уравнения следует При четных получается или , При нечетных получается Сложение гармонических колебаний.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
Нарисуем графики этих зависимостей.
Первому
из
полученных
уравнений
соответствует
прямая
1
-
2
на
рисунке,
второму
уравнению
–
прямая
3
–
4
.
1
4
3
2
б)
Пусть
разность
фаз
будет
любой,
кроме
уже
рассмотренных
значений
.
Тогда уравнением траектории будет выражение Это уравнение эллипса
. Таким
образом,
точка,
участвующая
в
двух
взаимно
перпендикулярных
колебаниях
с
одинаковой
частотой,
движется
по
эллиптической
траектории,
соответствующим
образом
ориентированной
по
отношению
к
выбранной
системе
координат
Сложение гармонических колебаний.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
Параметры
траектории
определяются
соотношением
амплитуд
и
разностью
фаз
исходных
колебаний
.
Пример: если , , то получим уравнение вида Это
каноническое
уравнение
эллипса
Стрелками покажем направление движения точки вдоль траектории при и Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При эллипс вырождается в окружность.
Сложение гармонических колебаний.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
Если
частоты
взаимно
перпендикулярных
колебаний
неодинаковы,
то
траектория
результирующего
движения
может
иметь
вид
сложных
кривых,
называемых
фигурами
Лиссажу
.
Пример
:
Пусть
отношение
частот
взаимно
перпендикулярных
колебаний
равно
1
:
2
и
разность
фаз
.
Уравнения колебаний имеют вид: Результирующее
колебание
показано
на
рисунке
.
Траектория
вырождается
в
незамкнутую
кривую,
по
которой
точка
движется
туда
и
обратно
.
Это
одна
из
простейших
фигур
Лиссажу
.
Сложение гармонических колебаний.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Если взаимно перпендикулярные колебания происходят с циклическими частотами и , где и –
целые числа:
Задание из теста 27.11.2010 http://
www.heuristic.su/effects/catalog/est/byId/description/1250/index.html
Задание из теста 27.11.2010 Задание из теста 27.11.2010 Задание из теста 27.11.2010
Задание из теста 27.11.2010 Точка М одновременно колеблется по гармоническому закону вдоль осей координат OX и OY с одинаковыми амплитудами, разность фаз равна При соотношении частот 3:2 траектория точки М имеет вид:
Лекция окончена, тщательнее готовьтесь к лабораторным работам!!!
Автор
ya.scsc
Документ
Категория
Презентации
Просмотров
8 867
Размер файла
1 079 Кб
Теги
лекция, диаграмма, метод, векторных, мая, колебания
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа