close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Избранные аппроксимативные свойства множеств в банаховых пространствах

код для вставкиСкачать
ФИО соискателя: Бородин Петр Анатольевич Шифр научной специальности: 01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ Шифр диссертационного совета: Д 501.001.85 Название организации: Московский государственный университет им.М.В.Ломоносо
??С???С??? ??СУ??РСТ????Ы? У????РС?Т?Т
имени ???? ??????С???
??Х????????Т???Т?Ч?С??? Ф??У?ЬТ?Т
?а правах рукописи
У?? ???????????? ?????????
?ородин Петр ?натольевич
???Р???Ы? ?ППР??С???Т???Ы? С???СТ??
?????СТ? ? ????Х??ЫХ ПР?СТР??СТ??Х
Специальность ???????? ? вещественный? комплексный и
функциональный анализ
??Т?Р?Ф?Р?Т
диссертации на соискание ученой степени
доктора физико?математических наук
?осква ????
Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального
анализа механико?математического факультета ?осковского
государственного университета имени ???? ?омоносова?
?фициальные оппоненты?
доктор физико?математических наук?
профессор ?ванов ?алерий ?ванович
?декан механико?математического ф?та
Тульского государственного ун?та?
доктор физико?математических наук?
профессор Семенов ?вгений ?ихайлович
?зав? каф? теории функций и геометрии
?оронежского государственного ун?та?
доктор физико?математических наук?
профессор Царьков ?горь ?ерманович
?профессор каф? математического анализа
??У имени ???? ?омоносова?
?едущая организация?
?нститут математики и механики
Уральского отделения Р??
?ащита диссертации состоится ?? октября ???? г? в ?? часов ?? минут
на заседании диссертационного совета ? ?????????? при ??У имени
???? ?омоносова по адресу? ??????? Российская Федерация? ?осква?
?СП??? ?енинские горы? ?осковский государственный университет
имени ???? ?омоносова? механико?математический факультет? ауди?
тория ??????
С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке
??У имени ???? ?омоносова ??омоносовский пр?т? ??? сектор ?? ??й
этаж??
?втореферат разослан ?? сентября ???? года?
Ученый секретарь
диссертационого совета
? ?????????? при ??У?
доктор физ??матем? наук?
профессор
???? Сорокин
??Щ?Я Х?Р??Т?Р?СТ??? Р???ТЫ
?иссертация посвящена избранным вопросам теории приближе?
ний в линейных нормированных пространствах ?геометрической тео?
рии приближений??
(X, · ) ? линейное нормированное
пространство? M ? непустое подмножество X ? ?(x, M ) := inf{ x?y :
y ? M } ? расстояние от элемента x ? X до M ? PM (x) = {y ?
M : x ? y = ?(x, M )} ? метрическая проекция элемента x на
множество M ? то есть множество элементов наилучшего приближе?
ния для x в M ? ?сновные аппроксимативные свойства множества M
?ктуальность темы? Пусть
определяются свойствами оператора метрического проектирования
PM : x ? PM (x) ? вообще говоря? неоднозначного и определенного
не на всем X ? Так? M называется множеством существования? ес?
ли оператор PM определен на всем пространстве X ? и множеством
единственности? если PM однозначен на своей области определения?
?сли M является одновременно множеством существования и мно?
жеством единственности? то есть для любого x ? X в M существует
ровно один элемент наилучшего приближения PM (x)? то M называ?
ется чебышевским множеством?
Теория приближений в нормированных пространствах берет свое
начало в классической работе П??? Чебышева ??????? в которой? в
частности?
доказана
чебышевость
множества
Pn
алгебраических
Rmn рациональ?
ных функций со степенью числителя не выше m и степенью
знаменателя не выше n в пространстве C[a, b] действительнознач?
ных функций? непрерывных на отрезке [a, b]? ? этой же работе
многочленов
степени
П??? Чебышев
по
не
выше
существу
ектирования на множества
?
дальнейшем
пространстве
???????
изучались
???? ?олмогоровым
тельное
становление
и
описал
Pn
геометрические
C
n
множества
оператор
Rmn
и
?? Хааром
теории
???????
теории
приближений
в
С??? ?ернштейном
??Я? Ремезом
геометрической
про?
?теорема об альтернансе??
вопросы
???????
метрического
???????
?конча?
приближений
как
самостоятельной ветви теории приближений произошло в конце
?????х
и
в
?????е
годы
благодаря
работам?
в
первую
очередь?
?? ?ли? ???? ?фимова и С??? Стечкина? а затем ???? ?ердышева?
??П? ?ласова?
?? ?сплунда?
???? ?аркави?
?? ?рауна?
???? ?шмана?
?? ?р?ндстеда?
С?Я? Хавинсона?
?? ?ульберта?
Ф? ?ойча?
?? ?ингера? ?? ?рипке? ?? ?инденштраусса? П? ?орриса? Т? Ривлина?
У? Рудина?
др?
?
Р? Фелпса?
дальнейшем
приближений
в
Р? Холмса?
исследования
нашей
стране
Э? Чини?
по
геометрической
проводились
?
?? Эдельштейна
в
основном
и
теории
пред?
ставителями
научной
П??? ?льбрехтом?
школы
С??? Стечкина?
???? ?ндреевым?
??Р? ?лимовым?
??С? ?алаганским?
???? ?асильевой? ???? ?вановым? ???? ?арловым? С??? ?онягиным?
???? ?ощеевым? ???? ?ившицем? ???? ?ариновым? ??С? Рютиным?
??Ф? Устиновым? ???? Царьковым и др?? а также ???? ?алашовым?
С??? ?удовым?
???? ?вановым?
??П? Фонфом
и
многими
другими
математиками?
? современном понимании геометрическая теория приближений
изучает взаимосвязи между различными аппроксимативными свой?
ствами множеств ?чебышевость? единственность? существование? ап?
проксимативная компактность? солнечность? антипроксиминальность
и т?д?? с их тополого?геометрическими свойствами ?линейность? вы?
пуклость? разного рода связность? гладкость и т?д?? при различных
условиях ?строгая выпуклость? равномерная выпуклость? гладкость
и т?д?? на нормированное пространство?
При всем многообразии исследований по геометрической теории
приближений? эта теория содержит большое число давно поставлен?
ных проблем? не поддающихся решению? ?аиболее острой из них при?
знается проблема выпуклости чебышевских множеств ????? ?фимов?
всякое ли чебышевское множество в гильбер?
товом пространстве выпукло? ? конечномерном евклидовом про?
С??? Стечкин? ?? ?ли??
странстве выпуклость всякого чебышевского множества была дока?
зана ?? ?унтом еще в ???? г? ?и в одном бесконечномерном бана?
ховом пространстве чебышевские множества не охарактеризованы в
геометрических терминах? С проблемой выпуклости тесно связана
также проблема характеризации банаховых пространств? в которых
каждое чебышевское множество выпукло ?эта проблема до конца не
решена и в конечномерном случае??
? связи с проблемой выпуклости чебышевских множеств была
доказана
Теорема ? ????? ?фимов и С??? Стечкин? ? ?????? Чебышевское
множество в гладком равномерно выпуклом банаховом простран?
стве ?в частности? в гильбертовом пространстве? выпукло тогда
и только тогда? когда оно аппроксимативно компактно?
Теорема ? позволяет переформулировать проблему выпуклости
следующим образом? существует ли в гильбертовом пространстве не
аппроксимативно компактное чебышевское множество? ? ? главе дис?
сертации для целого класса банаховых пространств? в частности?
для сепарабельного гильбертова пространства дается утвердитель?
? ???? ?фимов? С??? Стечкин? ??ппроксимативная компактность и чебышев?
ские множества?? ?окл? ?? СССР? ?????
?
?????? ????????
ный ответ на менее категоричный вопрос? существует ли такое не
M ? что метрическая проек?
любого x ? X ?
аппроксимативно компактное множество
ция
PM (x)
непуста и конечна для
? то же время введенное в связи с теоремой ? понятие аппрокси?
мативной компактности оказалось основополагающим в геометриче?
ской теории приближений и ее приложениях? ?ппроксимативно ком?
пактные множества стали исследоваться сами по себе?
? любом банаховом пространстве
X
всякое ограниченно компакт?
ное множество ?то есть множество? пересечение которого с любым
замкнутым шаром компактно? является аппроксимативно компакт?
ным? ? частности? в любом
X
все конечномерные подпространства
являются аппроксимативно компактными? ? достаточно ?хороших?
пространствах
X
аппроксимативно компактными являются все за?
мкнутые подпространства? Такие пространства названы простран?
ствами ?фимова?Стечкина?
?менно? банахово пространство
X
называется
пространством
?фимова?Стечкина ??? ?ингер?? если любое секвенциально слабо за?
мкнутое множество M ? X аппроксимативно компактно в X ?
Теорема ? ??? ?ингер? ? ?????? Следующие условия эквивалент?
ны?
??? X ? пространство ?фимова?Стечкина?
??? каждое замкнутое подпространство в X аппроксимативно ком?
пактно?
??? каждое выпуклое замкнутое множество в X аппроксимативно
компактно?
??? X рефлексивно и удовлетворяет следующему условию? если по?
следовательность его элементов {xn } слабо сходится к элементу
x и xn ? x ? то найдется такая подпоследовательность {xnk }?
что xnk ? x ? 0?
Примерами пространств ?фимова?Стечкина служат пространства
Lp ? 1 < p < ??
? силу теоремы ? задача описания аппроксима?
тивно компактных подпространств содержательна ?и до сих пор не
решена? для пространств? не являющихся пространствами ?фимова?
Стечкина? в первую очередь для пространств
C(K)
L1 ? L?
и пространства
функций? непрерывных на ?хаусдорфовом? компакте
K?
?о ??
главе настоящей работы получено полное описание аппроксимативно
компактных подпространств в пространствах типа ? ?то есть в про?
странствах
C(K)
для компактов
K
с конечным числом предельных
точек??
? ?? ?????r? ????? r???r?s ?? ???r?????t??? ??????t??ss??
?t ??????
??? ??????? ????????
?
???? r???? ??t?? ??r?s
?ля банаховых пространств? не являющихся пространствами ?фи?
мова?Стечкина? актуальны две другие задачи? во всяком ли таком
пространстве существует аппроксимативно компактное? но не огра?
ниченно компактное множество?? во всяком ли таком пространстве
существует ограниченное выпуклое аппроксимативно компактное те?
ло? ?лава ? диссертации содержит положительное решение этих за?
дач соответственно для любого слабо компактно порожденного бана?
хова пространства ?W CG?пространства? и для любого рефлексивно?
го пространства или несепарабельного
в произвольном
W CG?пространства? Попутно
W CG?пространстве строится пример нетривиально?
го чебышевского множества ?вопрос о существовании неодноточеч?
ного собственного чебышевского подмножества в произвольном ба?
наховом пространстве возник в школе С??? Стечкина и до сих пор не
решен??
?ернемся к проблеме выпуклости?
? настоящему времени получены десятки результатов? в которых
выпуклость чебышевского множества
M
доказана в различных клас?
сах банаховых пространств при различных условиях на структуру
M
или на оператор метрического проектирования
PM ?
?аибольший
вклад в развитие этого направления геометрической теории прибли?
жений был внесен ??П? ?ласовым? ?от одна из его многочисленных
теорем?
Теорема ?? ???П? ?ласов? ? ????? Пусть X
? локально равно?
мерно выпуклое гладкое банахово пространство? ?сли множество
M ? X чебышевское и для любого x ? M с PM (x) = {y} справедливо
равенство
lim PM (x + ?(x ? y)) = y,
??0+
то M выпукло?
Теорема ? продолжает наметившуюся в теореме ? ?линию? усло?
вий выпуклости чебышевского множества
M ? формулируемых в тер?
минах того или иного вида непрерывности оператора метрического
проектирования
PM
?так? в теореме ? фигурирует так называемая
?радиальная непрерывность? оператора
PM ??
? дальнейшем такого
рода условия стали формулироваться в терминах множества точек
разрыва оператора
PM ?
?аиболее слабые из этих условий получены
?
??С? ?алаганским ??????? а также С??? ?онягиным ??????
?
? ??П? ?ласов? ?? чебышевских и аппроксимативно выпуклых множествах??
?атем? заметки?
??? ??????? ????????
? ??С? ?алаганский? ??П? ?ласов? ?Проблема выпуклости чебышевских мно?
жеств?? Успехи матем? наук?
???? ??????? ????????
?
? ??? главе диссертации проблема выпуклости чебышевского мно?
жества получает положительное решение при дополнительном ап?
проксимативном условии иного типа? а именно? при условии
бышевости этого множества с
N
N ?че?
2? Приведем необходимые опреде?
ления?
(X, · ) ? действительное банахово пространство? ?ля эле?
ментов x1 , . . . , xN ? X и множества M ? X положим
?(x1 , . . . , xN ; M ) = inf{ N
k=1 xk ? y : y ? M };
PM (x1 , . . . , xN ) = {y ? M : N
k=1 xk ? y = ?(x1 , . . . , xN ; M )}
? метрическая N ?проекция точек x1 , . . . , xN на множество M ?
Пусть
?тметим? что сама по себе постановка задачи о минимизации сум?
мы расстояний от заданных элементов
ного множества
M
x1 , . . . , x N
до элемента задан?
в банаховом пространстве далеко не нова? еще
в ???? г? ??Ш? Рубинштейн рассматривал даже более общие суммы
?с положительными весами при нормах? и получал характеристики
M ? минимизирующих такие суммы?
N ?чебышевским? если для любых
элементов выпуклого множества
?ножество
M
назовем
x1 , . . . , xN ? X выполнено одно из следующих двух условий?
??? ?(x1 , . . . , xN ; M ) > ?(x1 , . . . , xN ; X) и PM (x1 , . . . , xN ) одноточечна?
??? ?(x1 , . . . , xN ; M ) = ?(x1 , . . . , xN ; X) и PM (x1 , . . . , xN ) = ??
? случае N = 1 это определение дает обычные чебышевские мно?
жества? ?сякое N ?чебышевское множество является чебышевским?
?сновной результат ??? главы состоит в доказательстве выпукло?
сти
N ?чебышевского
множества? при четном
N
? в любом равно?
мерно выпуклом банаховом пространстве? при нечетном
N
3
? в
любом равномерно выпуклом гладком банаховом пространстве? ?о?
казать последнее утверждение при
N =1
означало бы решить про?
блему выпуклости? ?днако до сих пор вероятная выпуклость чебы?
шевского множества
M
в равномерно выпуклом гладком банаховом
пространстве доказывалась лишь при дополнительным условиях ?см?
выше??
При доказательстве результатов ??? главы существенно использу?
ется теорема ?? а также другая теорема ??П? ?ласова о связности
чебышевских множеств?
Теорема ?? ???П? ?ласов? ? ????? ? равномерно выпуклом бана?
ховом пространстве X всякое P ?связное ?в частности? чебышев?
ское? множество V ?связно?
?десь
P ?связность
множества
метрической проекции
PM (x)
M
означает непустоту и связность
для любого
x ? X?
а
V ?связность
? ??П? ?ласов? ?Чебышевские множества и некоторые их обобщения??
заметки?
??? ??????? ??????
?
мно?
?атем?
жества
M
означает? что пересечение
пространства
X
M
с любым замкнутым шаром
или пусто? или связно?
Теорема ? в ??? главе по необходимости переносится на случай
несимметрично нормированных пространств? что само по себе явля?
ется проявлением общей тенденции? последние двадцать лет теория
приближений в несимметричной норме активно развивается? и это
развитие стимулировало перенесение основных результатов теории
банаховых пространств на случай несимметричной нормы?
?етрическая
N ?проекция
естественно связана с точками Штей?
нера?
Точкой Штейнера элементов x1 , . . . , xN банахова пространства X
N
называется такой элемент s = s(x1 , . . . , xN ) ? X ? что
k=1 xk ?
N
s = inf x?X k=1 xk ? x ? ?етрудно видеть? что точки Штейнера
составляют метрическую N ?проекцию PX (x1 , . . . , xN )?
?апример? в случае гильбертова пространства X = H и N = 3
точка Штейнера s(x1 , x2 , x3 ) существует и единственна? она лежит в
аффинной плоскости точек x1 ? x2 ? x3 и либо совпадает с одной из
?
них ?если в треугольнике x1 x2 x3 есть угол? не меньший 120 ?? либо
совпадает с точкой Торичелли ?из которой все стороны треугольника
?
видны под углом 120 ??
?етрудно показать? что в рефлексивном пространстве
Штейнера существует для любого набора точек
X
точка
x1 , . . . , x N ?
Первый пример несуществования точки Штейнера в банаховом
пространстве построил ?? ?еселы ??????? При этом он доказал? что
всякое нерефлексивное банахово пространство можно так эквива?
лентно перенормировать? что в новой норме для некоторых трех то?
чек
x1 ? x2 ? x3
точка Штейнера
s(x1 , x2 , x3 )
не существует?
? заключительном параграфе ? главы диссертации для каждого
N = 3, 4, 5, . . .
построен пример такого банахова пространства
таких элементов
нера
s(x1 , . . . , xN )
x1 , . . . , x N
X
и
в этом пространстве? что точка Штей?
не существует? Этот пример отличен от примеров
?? ?еселы и других авторов и обладает дополнительным свойством
?устойчивости?? ?дейно результаты о точках Штейнера примыкают?
конечно? к ??? главе? и порождают целый ряд вопросов о кратчайших
сетях в банаховых пространствах ?несуществование точки Штейнера
для заданных трех точек означает и несуществование кратчайшей се?
ти? то есть связного графа минимальной длины? затягивающего эти
три точки??
?ообще отметим? что круг задач? возникающих в связи с результа?
тами ??? главы? не ограничивается ?геометрическими? рамками? ведь
эти? условно говоря?
N ?приближения
?когда в заданном множестве
ищется элемент с наименьшей суммой расстояний до заданных
?
N
элементов?? допускают все основные постановки задач теории при?
ближений ? получение прямых и обратных теорем? сходимость раз?
личных методов приближения? оценки поперечников и т?д? При этом
вместо суммы расстояний до заданных
N
элементов можно брать их
максимум или другую подходящую функцию от этих расстояний?
?? глава диссертации? а также часть ??? главы связаны с другим
классическим направлением геометрической теории приближений ?
теорией чебышевских подпространств?
Хорошо известно? что одновременная рефлексивность и строгая
выпуклость банахова пространства необходимы и достаточны для
того? чтобы все его линейные подпространства были чебышевскими
?например? такими являются пространства
Lp ? 1 < p < ???
Поэтому
особый интерес представляет задача описания чебышевских подпро?
странств в нерефлексивных пространствах ?прежде всего в простран?
ствах
L1
и
C ??
? пространстве
C
конечномерные чебышевские под?
пространства описаны ?? Хааром ?????? и ?ж? ?эйрхьюбером ???????
а чебышевские подпространства конечной коразмерности ? ???? ?ар?
кави ??????? Соответствующие результаты для пространства
L1 полу?
чены Р? Фелпсом ?????? и ???? ?аркави ??????? ?днако даже в самых
простых нерефлексивных банаховых пространствах о чебышевских
подпространствах с бесконечными размерностью и коразмерностью
известно очень мало ?неизвестно? существуют ли такие подпростран?
ства в пространствах
C[0, 1]
и ???
?ператор метрического проектирования
PY
бывает разрывным?
бывает непрерывным? но не липшицевым ?например? для подпро?
странства
Y = Pn
многочленов степени не выше
n
2
в
C[0, 1]??
и уж совсем редко бывает линейным? как показывает следующая
Теорема ? ?Рудин?Смит? ? ????? ?? ?ингер? ? ?????? Пусть X ?
действительное банахово пространство размерности dim X 3? и
натуральные числа n? k удовлетворяют условиям 1 n < dim X ?1?
2 k < dim X ? Следующие условия эквивалентны?
??? X ? гильбертово пространство?
??? всякое подпространство Y ? X размерности n обладает од?
нозначной и линейной метрической проекцией?
??? всякое подпространство Y ? X коразмерности k обладает
однозначной и линейной метрической проекцией?
?о ?? главе диссертации получены полные описания чебышевских
? ?? ?????? ???? ???t?? ??????r?t? ?? ??st ???r?????t???? ? ???r??t?r???t??? ??
?????s???s?? ??????t????s ??t????t?????
? ?? ?????r?
???? ??????? ???????
??st ???r?????t??? ?? ??r??? ?????r s????s ?? ??????ts ?? ?????r
s??s????s? ??r????r? ??r????????????r????? ??r?? ?????
?
подпространств с линейным оператором метрического проектирова?
1
ния в пространствах C ? L1 и в пространстве H Харди? ?сследуется
также липшицевость оператора метрического проектирования на че?
бышевские подпространства указанных пространств? а также общих
банаховых пространств?
? ??? главе получены также описания конечномерных ??чебышевс?
ких подпространств в пространствах
L1
и
C?
Эти результаты ана?
логичны упоминавшимся выше теоремам Хаара и Фелпса? ? целом
можно сказать? что ??чебышевских подпространств в этих простран?
ствах существенно меньше? чем чебышевских? ?роме того? исследует?
ся свойство зеркальности метрической ??проекции на подпростран?
ство ?как для обычной метрической проекции на подпространство
?наилучшим? свойством является линейность? так для метрической
??проекции таковым свойством является ее зеркальность?? ? частно?
сти? получен аналог теоремы ?? гильбертовы пространства охарак?
теризованы в терминах зеркальности метрической ??проекции на их
подпространства?
?? глава диссертации посвящена новому разделу геометрической
теории приближений ? задаче о плотности полугруппы? порожден?
ной заданным множеством
M?
в банаховом пространстве? ? общем
виде эта задача ставится так?
Пусть
ства
X?
M
? некоторое заданное подмножество банахова простран?
?ерно ли? что множество
?
M + ··· + M
R(M ) =
n=1
всюду плотно в
X?
n
то есть любой элемент из
X
приближается конечными суммами элементов из
сколь угодно точно
M?
Полученные в ?? главе результаты? относящиеся к этой задаче?
четко делятся на две части? ??? нахождение условий на
M
и
X?
до?
R(M ) было аддитивной подгруппой в X ?
??? нахождение условий на M и X ? достаточных для того? чтобы за?
мкнутая аддитивная подгруппа? порождаемая множеством M ? совпа?
дала с X ? ?нтересно? что в результатах первой части существенную
роль играет выпуклость сферы S(X)? а в результатах второй части
статочных для того? чтобы
? гладкость этой сферы?
?сточником и модельным примером для задачи о плотности полу?
группы послужила теория приближений наипростейшими дробями?
?аипростейшей дробью степени
ция вида
n
rn (z) =
k=1
n называется рациональная функ?
P (z)
1
=
,
z ? ak
P (z)
?
{ak }nk=1 ? точки комплексной плоскости C? а P (z) = c(z ? a1 ) ·
· · · · (z ? an )? c ? C \ {0}? ? любой многочлен с нулями в этих точках?
1
?сли E ? множество на комплек?ной плоскости? ME =
:a?E
z?a
X ? некоторое банахово пространство функций? определенных на
где
каком?либо множестве комплексной плоскости? не пересекающемся с
E ? то задача о том? приближается ли всякая функция f ? X наипро?
стейшими дробями с полюсами из E ? эквивалентна задаче о плотно?
сти множества R(ME ) в X ?
?сследования по приближению наипростейшими дробями в раз?
личных функциональных пространствах были начаты в нашей стране
в конце ?????х по инициативе ??П? ?олженко? ? настоящему вре?
мени в этой тематике получено немало результатов ????? ?анченко?
??Я? ?анченко? ??Р? ?аюмов? ???? ?ондакова? ???? ?осухин? Я??? ?о?
вак? ??Ю? Протасов? П??? Чунаев??
?о началось все со следующей экстремальной задачи? поставлен?
rn (z)
оси R?
ной ???? ?ориным в ?????е годы? Пусть наипростейшая дробь
по модулю не превосходит
1
в каждой точке действительной
?ак близко могут подходить к оси
R полюсы ak
этой дроби? ?ругими
словами? стремятся ли к нулю величины
d(n) = inf
?
?
n
min |Im ak | :
?
k=1
1
z ? ak
L? (R)
?
?
1 ,
?
и если стремятся? то с какой скоростью?
???? ?анченко полностью решил эту задачу?
Теорема ? ????? ?анченко? ? ?????
d(n)
?знак
ln ln n
ln n
(n ? ?)
слабой эквивалентности означает? что отношение левой и
правой частей ограничено сверху и снизу положительными постоян?
ными??
?роме того? ???? ?анченко исследовал аналогичную задачу для
наипростейших дробей? ограниченных единицей по норме
Lp (R)? 1 <
p < ?? Приведем точную формулировку полученного им результата?
1
+ 1q = 1? Hp (C+ ) ? пространство Харди в
Пусть 1 < p < ??
p
+
+
верхней полуплоскости C ? то есть пространство голоморфных в C
? ???? ?анченко? ??ценки расстояний от полюсов логарифмических производ?
ных до прямых и окружностей?? ?атем? сб??
?
????? ??????? ??????
?
функций
f
с конечной нормой
f
Hp (C+ )
|f (x + ia)|p dx
= sup
a>0
1
p
.
R
f ? Hp (C+ ) имеет конечные угловые пределы f (x)
для почти всех x ? R? образующие функцию f (x) ? Lp (R)? Про?
+
странство Hp (C ) содержит все наипростейшие дроби с полюсами в
?аждая функция
нижней полуплоскости?
Положим
d(n, p) =
inf
?
?
?
n
min Im ak :
k
k=1
1
+ f (z)
z ? ak
1, Im ak > 0, f ? Hp (C+ )
?
?
.
?
Lp (R)
Теорема ? ????? ?анченко? ?????? ?ля любых p ? (1; ?) и n ? N
имеют место неравенства
2q sin ?p
d(n, p)
q
, 12 )
B( q?1
2
,
1
+ p1 = 1?
q
Примечательно? что правая часть здесь не зависит от
где
B(?, ?)
? бета?функция Эйлера?
полюсы наипростейших дробей
rn (z)
n?
так что
независимо от их количества
не могут сколь угодно близко подходить к действительной оси при
1
условии rn Lp (R)
1? ?ругими словами? слагаемые z?a
наипростей?
k
шей дроби в случае 1 < p < ? ?в отличие от случая p = ?? не
?интерферируют?? не могут в сумме дать маленькую
Lp ?норму
на
действительной оси? не удалившись от нее достаточно далеко?
?ак заметили ???? ?осухин и автор? этот факт означает? что функ?
1
ция ?
не приближается в Lp (R) наипростейшими дробями r(z)
z?i
1
?если бы норма разности R(z) = ?
? r(z) была меньше ?? то наи?
z?i
1/p
простейшая дробь ?R(z/?)/? имела бы норму меньше ?
? то есть
?i?? так что наипростейшие дроби не плот?
1 < p < ?? ? дальнейшем класс Sp (R) функций
меньше ?? и полюс в точке
Lp (R)
Lp (R)? с
ны в
при
из
любой точностью приближаемых в этом пространстве
наипростейшими дробями? был полностью описан ??Ю? Протасовым
??????? ?менно?
Sp (R)
состоит из тех функций пространства
Lp (R)?
которые являются логарифмическими производными целых функ?
ций порядка не выше
1/q ?
где
1/p + 1/q = 1?
? тоже время с помощью теоремы ? в работе ???? ?осухина и
автора было доказано? что для любого
??
u>0
наипростейшие дроби с
{z : |Im z| < u} всюду плотны в пространстве
C0 (R) = {f : R ? C, f ? C(R), f (x) ? 0 при x ? ?} с равномерной
полюсами вне полосы
нормой?
?стественным продолжением этих исследований стало изучение
аппроксимативных свойств наипростейших дробей на полуоси
R+ = [0, ?)?
? ?? главе диссертации доказывается всюду плотность
Lp (R+ ) при p 2? а также исследован вопрос
Lp (R+ ) наипростейших дробей с ограничения?
наипростейших дробей в
о всюду плотности в
ми на расположение полюсов? При доказательстве этих результатов
существенно используется теорема ??
? ?? главе исследуется также задача о всюду плотности наипро?
стейших дробей с полюсами из заданного множества
E
в простран?
AC(K) функций? непрерывных на заданном компакте K и голо?
морфных во внутренних точках этого компакта? компакт K не раз?
бивает плоскость и не пересекается с E ? При E = C \ K эта задача
стве
положительно решена ???? ?анченко и ??Я? ?анченко ??????? ?на
оказывается нетривиальной даже для случая компактного множе?
ства
E
?в отличие от аналогичной задачи для общих рациональных
аппроксимаций?? ? этом случае для плотности оказывается необходи?
K ? ?озникает
гипотеза о том? что если компакт E ?окружает? компакт K со связ?
ным дополнением? то наипростейшие дроби с полюсами из E плотны
в AC(K)? Эту гипотезу удается доказать в случае? когда E содержит
мым? чтобы компакт
E
?окружал? почти весь компакт
конечное число замкнутых спрямляемых контуров? ?окружающих?
K?
и этот результат вытекает из общих теорем о плотности полу?
группы в банаховом пространстве? доказанных в начале главы?
?роме того? в главе ?? получены оценки расстояний до оси или по?
луоси от полюсов наипростейших дробей? ограниченных по норме
Lp
на этих множествах? ? частности? уточняются оценки ???? ?анченко
для величин
d(n, 2) = ? ?
d(n, p)
из теоремы ?? и находится точное значение
Эти результаты находят применения в следующей главе?
? глава диссертации посвящена так называемой обратной зада?
че теории приближений? или задаче о существовании элемента
заданными уклонениями
?(x, Mn )
от расширяющейся системы
M2 ? . . . заданных подмножеств заданного
X ? ?сточником для этой задачи послужила
x
с
M1 ?
банахова пространства
Теорема ? ?С??? ?ернштейн? ? ?????? ?ля всякой числовой по?
следовательности d0
d1
d2
. . . ? dn ? 0? существует функция?
? С??? ?ернштейн? ??б обратной задаче теории наилучшего приближения
непрерывных функций?? в кн?? С??? ?ернштейн? Собрание сочинений? Т? ?? ?зд?во
?? СССР? ????? С? ????????
??
непрерывная на заданном отрезке [a, b]? наименьшие равномерные
уклонения которой от многочленов степени не выше n равны ука?
занным числам? En (f ) = dn ? n = 0, 1, . . . ?
?оказательство С??? ?ернштейна было перенесено ??Ф? Тиманом
на случай произвольной системы
нечномерных подпространств
ства
X?
Yk
Y1 ? Y2 ? . . .
строго вложенных ко?
произвольного банахова простран?
d1 d2
n = 1, . . . ?
для всякой последовательности
ствует элемент
x?X
с
?(x, Yn ) = dn ?
. . . ? dn ? 0?
суще?
? связи с этим возникла и до сих пор не решена следующая за?
дача?
Пусть задана система
Y1 ? Y2 ? Y3 ? . . .
строго вложенных
замкнутых линейных подпространств некоторого бесконечномерного
?
банахова пространства (X, · )? полная в X ?
n=1 Yn = X ? а также
d2 d3 . . . ? dn ?
0? Существует ли элемент x ? X ? уклонения ?(x, Yn ) которого от
подпространств Yn равны этим числам? ?(x, Yn ) = dn ? n = 1, 2, . . . ?
последовательность неотрицательных чисел
d1
?сли такой элемент существует для любых таких подпространств
Yn и чисел dn ? то говорят? что пространство X обладает ????свойством?
? ???? г? ???? ?икольский заметил? что если пространство X обла?
дает ????свойством? то оно рефлексивно? ? то же время ??С? Тюрем?
ских доказал? что
гильбертово пространство обладает ????свойством?
?роме гильбертова пространства? до сих пор неизвестно ни одного
другого примера пространства
X?
обладающего ????свойством? Ша?
пиро ?????? показал? что в любом бесконечномерном пространстве
X для любых подпространств Y1 ? Y2 ? . . . и любых чисел d1
d2 . . . ? dn ? 0? существует такой элемент x? что ?(x, Yn ) = O(dn )
?n ? ??? Этот результат был усилен ??С? Тюремских ??????? ко?
торый при тех же предположениях установил существование такого
элемента
x ? X?
что
?(x, Yn )
dn ? ?n = 1, 2, . . . ??
?з результатов
Ю??? ?рудного ?????? следует? что для всякой невозрастающей вы?
пуклой последовательности
последовательности
{Yn }
dn ? 0 ?dn
(dn?1 + dn+1 )/2?
и любой
строго вложенных подпространств в про?
X существует такой элемент x ? X ? что ?(x, Yn ) dn для
всех n и ?(x, Yn )
Cdn для бесконечно многих номеров n и неко?
торой константы C ? Упомянем еще результат ?льмиры и ?ель То?
странстве
ро ??????? в условиях поставленной выше задачи для любых двух
dn ? 0 и ?n ? 0 положитель?
x ? X ? что ?(x, Yn )/dn ? 0? но
невозрастающих последовательностей
ных чисел найдется такой элемент
?(x, Yn )/dn = O(?n ) ?n ? ???
?роме того? теорема ?ернштейна?
Тимана ?случай конечномерных подпространств
Yn ?
обобщалась на
различные классы линейных метрических пространств?
??
? ? главе диссертации приведены подробный обзор результатов?
относящихся к задаче существования элемента с заданными уклоне?
ниями от расширяющейся системы подпространств? и положитель?
ное ее решение при дополнительных условиях на уклонения
на подпространства
dn
или
Yn ?
x с заданны?
множеств Mn
? последнее время задача о существовании элемента
?(x, Mn ) от расширяющейся системы
решается в случае нелинейных множеств Mn ? например? множеств
Rn рациональных функций степени не выше n? Так? ???? Пекарский
?????? доказал? что для любой строго монотонной последователь?
ности dn ? 0 существует комплекснозначная функция f ? непрерыв?
ная на отрезке [a, b]? наименьшие равномерные уклонения которой
от комплек?нозначных рациональных функций степени не выше n
равны указанным числам? ?(f, Rn ) = dn ? n = 0, 1, 2, . . . ? ?о сих пор
неизвестно? существенно ли условие строгой монотонности dn в этом
ми уклонениями
утверждении? При этом ???? Пекарский предложил общую схему до?
казательства такого рода утверждений ?о существовании функции с
заданными уклонениями от системы нелинейных множеств??
? ? главе диссертации с помощью схемы ???? Пекарского дока?
f ? C0 (R) с произвольно заданны?
ми строго монотонно стремящимися к нулю уклонениями ?(f, SFn )
от множеств SFn наипростейших дробей степени не выше n? и по?
зывается существование функции
казывается? что при нестрогой монотонности задаваемых уклонений
такой функции может не быть? ?роме того? исследуются свойства
уклонений
?(f, SFn )
для функций
f
в пространстве
L2 (R+ )?
Цель работы? построение нетривиальных примеров множеств
с заданными аппроксимативными свойствами в классах банаховых
пространств? описание чебышевских подпространств с линейным или
липшицевым оператором метрического проектирования в конкрет?
ных функциональных пространствах? исследование выпуклости
чебышевских множеств и свойств метрической
N ?проекции?
N?
доказа?
тельство общих результатов о плотности полугруппы? порожденной
заданным множеством в банаховом пространстве? и приложение их
в теории приближения наипростейшими дробями? исследование за?
дачи существования элемента с заданными уклонениями от системы
расширяющихся множеств в банаховом пространстве?
?аучная новизна работы? ?се результаты работы являются
новыми? ? диссертации получены следующие основные результаты?
?? Построены нетривиальные примеры множеств с заданными ап?
проксимативными свойствами в классах банаховых пространств?
?? ?писаны чебышевские подпространства с линейным операто?
??
ром метрического проектирования в функциональных пространствах
C ? L1 и H 1 ?
?? ?оказана выпуклость
N ?чебышевских
множеств при
N
2
в
произвольном гладком равномерно выпуклом банаховом простран?
стве?
?? ?сследована плотность множества наипростейших дробей ?в
том числе и с ограничением на полюсы? в различных пространствах
функций? определенных на различных подмножествах комплексной
плоскости?
?? ? нескольких новых частных случаях положительно решена за?
дача существования элемента с заданными уклонениями от системы
расширяющихся множеств в банаховом пространстве?
?етоды исследования? ? работе используются различные ме?
тоды теории функций действительного и комплексного переменного?
функционального анализа? геометрии и топологии?
Теоретическая и практическая ценность? Работа носит тео?
ретический характер? Результаты диссертации могут найти примене?
ние в теории функций? функциональном анализе и геометрии?
?пробация работы? Результаты диссертации неоднократно до?
кладывались на семинаре по теории функций действительного пе?
ременного под руководством академика Р?? П??? Ульянова ??????
????? и чл??корр? Р?? ??С? ?ашина? а затем под руководством акаде?
мика Р?? ??С? ?ашина? проф? ???? ?олубова? проф? ???? ?ьяченко и
чл??корр? Р?? С??? ?онягина? на научном семинаре кафедры высшей
математики ?осковского физико?технического института ?государ?
ственного университета? под руководством проф? ??С? Половинкина?
на семинаре по теории приближений и граничным свойствам функ?
ций под руководством проф? ??П? ?олженко? на семинаре по теории
приближений под руководством проф? ???? Царькова? на семинаре
по теории рациональных аппроксимаций под руководством проф?
???? ?птекарева? проф? ???? Сорокина и доц? ??С? ?уярова? на семи?
наре по минимальным сетям под руководством проф? ???? ?ванова
и проф? ???? Тужилина? на школах С??? Стечкина по теории функ?
ций ??????????? ????? ?????? на Саратовских ?????? ????? ????? ?????
????? ?????? ?оронежских ?????? ????? ????? и ?азанских ????? и
????? школах?конференциях по теории функций? на международной
конференции по функциональному анализу? посвященной ???летию
?? Пелчинского ?Познань? Польша? ?????? на международной кон?
ференции? посвященной ???летию со дня рождения С??? Стечкина
??осква? ?????? на международной конференции по гармоническому
анализу и теории приближений ??реван? ?рмения? ?????? на между?
??
народной конференции им? ???? Петровского ??осква? ??????
Публикации? Результаты диссертации опубликованы в ?? рабо?
тах автора ?все из перечня ????? список которых приведен в конце
автореферата?
Структура и объем работы? ?иссертация состоит из введения?
пяти глав и списка литературы из ??? наименований? ?бщий объем
диссертации ? ??? страниц?
С???Р????? ??СС?РТ?Ц??
? главе ? собраны различные примеры множеств с заданными
аппроксимативными свойствами в классах банаховых пространств?
Эти примеры вынесены в отдельную главу? во?первых? потому? что
каждый из них представляет собой решение задачи? поставленной не
автором и имеющей свою историю ?описанную выше?? а во?вторых?
потому? что эти примеры ?в том числе и своей нетривиальностью?
демонстрируют все богатство проблематики геометрической теории
приближений?
Теорема ???? ? любом W CG?пространстве X существует че?
бышевское множество M со следующими дополнительными свой?
ствами? M выпукло? ограничено? аппроксимативно компактно? и
?(x, M ) < x для любого ненулевого элемента x ? X ?
?лючевую роль в доказательстве этого результата играет теоре?
ма ?эвиса?Фигеля??жонсона?Пелчинского ?????? о характеризации
W CG?пространств?
Теорема ???? ? любом бесконечномерном W CG?пространстве
существует ограниченное? аппроксимативно компактное? но не ло?
кально компактное множество?
??окальная компактность множества
M
означает? что для вся?
кой его точки найдется замкнутый шар положительного радиуса с
центром в этой точке? пересечение которого с
M
компактно??
Теорема ???? ?
любой банаховой решетке? порядок в которой
определяется счетным симметрическим базисом с константой сим?
метричности ?? с дополнительным условием строгой монотонно?
сти нормы относительно координат ?например? в любом простран?
стве lp ? 1 p < ??? существует такое не аппроксимативно ком?
пактное и ограниченное множество M ? что метрическая проекция
PM (x) непуста и конечна для любого x ? X ?
Этот результат получен совместно с ???? Пятышевым?
??
n = 3, 4, 5, . . . строятся но?
вые примеры сепарабельных банаховых пространств X и таких эле?
ментов x1 , . . . , xn ? X ? что точка Штейнера s(x1 , . . . , xn ) в X не суще?
ствует для всех наборов x1 , . . . , xn ? достаточно близких к x1 , . . . , xn ?
?апомним? точкой Штейнера s(x1 , . . . , xn ) называется любая точка с
минимальной суммой расстояний до элементов x1 , . . . , xn ?
? ??ом параграфе ? главы для каждого
? главе ?? исследуется линейность и липшицевость операторов
PY метрического проектирования на чебышевские подпространства
Y общих банаховых и конкретных функциональных пространств X ?
?сновным инструментом этого исследования служит коэффици?
ент линейности оператора PY ? а именно? величина
?(Y ) = inf
?(q1 + q2 , Y )
: q1 , q2 ? Q(Y ), q1 + q2 = 0 ,
q1 + q2
Q(Y ) = {q ? X : PY (q)
подпространству Y ?
где
к
0}
?
квазиортогональное множество
Теорема ???? ?ля любого чебышевского подпространства Y
спра?
ведливы следующие утверждения?
??? 0 ?(Y ) 1? ?(Y ) = 1 тогда и только тогда? когда оператор
PY линеен?
??? если оператор PY удовлетворяет условию ?ипшица с констан?
1
той k ? PY (x1 ) ? PY (x2 )
k x1 ? x2 ?x1 , x2 ? X ? то ?(Y ) k+1
?
??? если ?(Y ) > 0? то PY удовлетворяет условию ?ипшица с кон?
1
стантой k = ?(Y
+ 1?
)
??? ?(Y ) = 0 тогда и только тогда? когда оператор PY не является
липшицевым?
??? если оператор PY разрывен? то ?(Y ) = 0? обратное? вообще го?
воря? неверно?
?еравенства в утверждениях ??? и ??? этой теоремы? связывающие
коэффициент линейности
?(Y )
и липшицеву константу
k = k(Y )?
могут оба обращаться в равенства?
Следующий результат является простым следствием теорем ?? ?ин?
денштраусса и ?? Цафрири и теоремы ????
Следствие ?????? ?сли банахово пространство X не изоморфно
гильбертову пространству? то в X есть либо нечебышевское под?
пространство Y ? либо чебышевское подпространство Y с ?(Y ) = 0
?то есть с нелипшицевым оператором метрического проектирова?
ния??
Пусть
C[K] ? пространство действительнозначных или комплекс?
нозначных непрерывных функций на компактном хаусдорфовом то?
??
K ? с обычной равномерной нормой f =
пологическом пространстве
sup{|f (t)| : t ? K}?
Теорема ???? Пусть Y
? чебышевское подпространство в C[K]?
Тогда
??? если dim Y = 0 или codim Y 1? то ?(Y ) = 1?
??? если dim Y 1 и codim Y 2? то ?(Y ) 1/2?
??? если компакт K бесконечен? то при 2
dim Y < ? или 2
codim Y < ? справедливо равенство ?(Y ) = 0?
? частности? оператор метрического проектирования на чебы?
шевское подпространство Y ? C[K] линеен тогда и только тогда?
когда или Y = {0}? или Y = C[K]? или Y имеет коразмерность ??
Утверждение ??? является следствием результатов П? ?орриса
?????? и ?? ?лайна ??????? ?еравенство
?(Y )
1/2
в утверждении
??? теоремы ??? является точным? По?видимому? в утверждении ???
теоремы ??? можно снять ограничения
частном случае? когда компакт
точек ?то есть
C[K]
K
dim Y < ?
и
codim Y < ??
?
имеет конечное число предельных
является пространством типа
c??
это действи?
тельно удается сделать?
Теорема ???? Пусть компакт K имеет конечное число предель?
ных точек?
??? Собственное подпространство Y ? C[K] аппроксимативно ком?
пактно тогда и только тогда? когда оно конечномерно?
??? ?ператор PY метрического проектирования на чебышевское под?
пространство Y ? C[K] непрерывен тогда и только тогда? когда
либо codim Y 1? либо dim Y < ??
? частности? если чебышевское подпространство
Y
dim Y
то
удовлетворяет условиям
2
или
codim Y
2?
C[K]
?(Y ) = 0?
в таком
?тметим? что аппроксимативная некомпактность факторрефлек?
сивных подпространств
Y
?в частности? подпространств
коразмерности? в общих пространствах
C[K]
Y
конечной
с бесконечным
K
уста?
новлена ???? ?ндреевым ???????
Что касается утверждения ??? теоремы ???? в общих простран?
ствах
C[K]
с бесконечным
шевских подпространств
Y
K
разрывность оператора
конечной коразмерности
PY для чебы?
> 1 доказана
П? ?оррисом ??????? для факторрефлексивных чебышевских подпро?
> 1 ? ???? ?ндреевым ??????? ? существова?
пространствах типа c чебышевских подпространств с бес?
странств коразмерности
нии же в
конечной размерностью и бесконечной коразмерностью на данный
момент ничего не известно?
Пусть
L1 (M ) = L1 (M, ?, µ)
? пространство действительнознач?
??
ных или комплекснозначных функций? определенных на множестве
M
произвольной природы и суммируемых на
по
??конечной
ме?
??алгебре ? подмножеств этого множества? ?ля
каждой функции f ? L1 (M ) ее носитель supp f := {t ? M : f (t) = 0}
определен с точностью до множества меры 0?
ре
µ?
M
заданной на
Теорема ???? ??? ?ля любого чебышевского подпространства Y
в
действительном пространстве L1 (M ) имеет место либо равенство
?(Y ) = 1? либо неравенство ?(Y ) 1/2?
??? ? произвольном ?действительном или комплексном? простран?
стве L1 (M ) подпространство Y является чебышевским с ?(Y ) = 1
тогда и только тогда? когда существует такое разбиение множе?
ства M на два непересекающихся µ?измеримых множества M1 и
M2 и такой линейный оператор A : L1 (M1 ) ? L1 (M2 )? строго умень?
шающий норму каждого ненулевого элемента ? Ay < y при y =
0?? что
Y = {y ? L1 (M ) : y|M2 = A (y|M1 )} ,
где y|N обозначает сужение функции y на множество N ? M ?
?еравенство
?(Y )
1/2
в утверждении ??? теоремы ??? является
точным?
Утверждение ??? теоремы ??? в частном случае пространства
доказывалось П? ?оррисом ???????
1
1
Пространство Харди H = H (U ) состоит из функций
литических в единичном круге
f
Пространство
H1
H1
U = {z ? C : |z| < 1}
1
:= sup
0 r<1 2?
L1 [0, 1]
f (z)?
ана?
и таких? что
2?
|f (rei? )| d? < ?.
0
изометрически изоморфно подпространству ком?
плексного пространства
2
мой {1, z, z , . . . }?
L1 (C := {z : |z| = 1})?
порожденному систе?
H 1 изучались срав?
что при любом n =
Чебышевские подпространства в пространстве
нительно мало? С?Я? Хавинсон ?????? доказал?
0, 1, 2, . . . подпространство комплексных многочленов степени не вы?
1
ше n является чебышевским в H ? С??? Стечкин ?????? привел при?
1
мер конечномерного нечебышевского подпространства в H ? ?вто?
1
ром было показано? что в H имеется достаточно много чебышевских
подпространств любой конечной размерности или коразмерности ?в
L1 (C) вообще нет чебышевских подпространств с конечной ненулевой
размерностью или коразмерностью??
Теорема ???? ? пространстве H 1 нет нетривиальных подпро?
странств Y ? для которых Q(Y ) ? линейное подпространство раз?
мерности больше ?? ? частности? чебышевское подпространство
??
Y ? H 1 имеет линейный оператор метрического проектирования
тогда и только тогда? когда или Y = {0}? или Y = H 1 ? или Y име?
ет коразмерность ??
C[K] и в пространстве H 1 со?
подпространств Y с линейным оператором
Таким образом? в пространствах
вокупность чебышевских
PY
? в отличие от
L1 (C)? см? теорему ??? выше ? исчерпывается тем
минимумом? который обязателен для каждого банахова пространства
?нулевое подпространство? все пространство и чебышевские подпро?
странства коразмерности ? имеют линейный оператор метрического
проектирования в любом банаховом пространстве??
? главе ??? исследуются свойства метрической
выпуклость
N ?чебышевских
N ?проекции
и
множеств ?определения этих понятий
см? выше??
Следствие ?????? Пусть натуральное число N четно? ? локаль?
но равномерно выпуклом банаховом пространстве всякое ограничен?
но компактное N ?чебышевское множество выпукло?
Следствие
Пусть натуральное число N четно? ? ло?
кально равномерно выпуклом рефлексивном банаховом пространстве
ограниченно компактное множество является N ?чебышевским то?
гда и только тогда? когда оно выпукло?
??????
Примечательно? что утверждения этих следствий неверны для
N =1
? нужна гладкость пространства?
Теорема ???? ??? Пусть N
четно и X ? равномерно выпуклое
банахово пространство? ?ножество M ? X является N ?чебышевс?
ким тогда и только тогда? когда оно выпукло и замкнуто?
??? Пусть N 3 нечетно? и X ? гладкое равномерно выпуклое
банахово пространство? ?ножество M ? X является N ?чебышевс?
ким тогда и только тогда? когда оно выпукло и замкнуто?
Показывается? что условие гладкости пространства в утвержде?
нии ??? этой теоремы убрать нельзя?
Теорема ???? Пусть X = H ? гильбертово пространство? N
2? и для множества M ? H существует такое ? > 0? что для
любых точек x1 , . . . , xN ? H с ?(x1 , . . . , xN , H)
??(x1 , . . . , xN ; M )
метрическая N ?проекция PM (x1 , . . . , xN ) состоит из одной точки?
Тогда M выпукло?
Это утверждение усиливает теорему ??? в случае гильбертова про?
странства?
?ля произвольного единичного вектора
??
e ? H
и произвольного
числа
k > 0 через Ae,k
обозначим линейный оператор? производящий
растяжение пространства
H
в
k
раз вдоль направления
e? Ae,k (x) =
x + (k ? 1)(x, e)e?
Следствие ?????? ?сли чебышевское множество M ? H устой?
чиво в том смысле? что образы Ae,k (M ) являются чебышевскими
множествами для любого e ? S(H) и любого k ? [1 ? ?, 1] ?где
? ? (0, 1) ? некоторое фиксированное число?? то M выпукло?
По аналогии с определением солнца? введенного ???? ?фимовым
M в банаховом пространстве X
назовем N ?солнцем? если для любых x1 , . . . , xN ? X найдется такой
элемент y ? PM (x1 , . . . , xN )? что y ? PM (x1 , . . . , xN ) для любых точек
xk ? лежащих соответственно на лучах {y + ?(xk ? y) : ? 0}? k =
1, . . . , N ?при xk = y такой луч вырождается в точку??
и С??? Стечкиным ??????? множество
Теорема ???? Пусть X ? произвольное банахово пространство?
и множество M ? X является N ?чебышевским и N ?солнцем для
бесконечной последовательности натуральных N ? Тогда M выпук?
ло?
? связи с теоремой ??? возникает вопрос? существует ли? для за?
2? N ?чебышевское множество? которое не является N ?
солнцем? ?ля N = 1 пример такого множества впервые был построен
данного
N
?анхэмом ???????
Следствие ?????? Пусть X ? произвольное банахово простран?
ство? ?сли ограниченно компактное множество M ? X являет?
ся N ?чебышевским для некоторой бесконечной последовательности
натуральных N ? то оно выпукло?
Следствие ?????? Пусть X ? конечномерное банахово простран?
ство? ?сли множество M ? X является N ?чебышевским для неко?
торой бесконечной последовательности натуральных N ? то оно вы?
пукло?
? двух предпоследних параграфах ??? главы описываются конеч?
номерные ??чебышевские подпространства в пространствах
Теорема ???? n?мерное
C
и
L1 ?
подпространство Y является ??чебы?
шевским в C[K] тогда и только тогда? когда всякая ненулевая функ?
ция y ? Y обращается на K в нуль не более чем в n ? 1 точках и
|y| принимает всякое свое положительное значение не более чем в
n точках?
Этот результат является аналогом известной теоремы ?? Хаара
?????? о конечномерных чебышевских подпространствах в простран?
??
стве
C?
С помощью теоремы ?эйрхьюбера из него выводится
Следствие ?????? ?сли C[K] содержит ??чебышевское подпро?
странство Y размерности n 3? то K непрерывно вкладывается
в окружность и не содержит подмножеств? гомеоморфных отрез?
ку?
Теорема ???? n?мерное
подпространство Y является ??чебы?
шевским в L1 (E) тогда и только тогда? когда не существует та?
кого ненулевого функционала f ? Y ? ? что разность E \ ({t ? E :
|f (t)| = f L? (E) } ? {t ? E : f (t) = 0}) состоит из менее чем n
атомов?
Это утверждение аналогично теореме Р? Фелпса ?????? о конечно?
мерных чебышевских подпространствах в
? пространстве
L1 ?
L1 [a, b] на отрезке [a, b] ? R с классической мерой
?ебега нет чебышевских ? а значит? и ??чебышевских ? подпро?
странств с конечной ненулевой размерностью или коразмерностью
????? ?рейн? ?????? ?ольшинство известных чебышевских подпро?
странств этого пространства также оказываются не ??чебышевскими?
Тем не менее? ??чебышевские подпространства в
L1 [a, b] все же суще?
ствуют ? целый класс таких подпространств описан в теореме ????
? заключительном параграфе главы ??? исследуется свойство зер?
X = H
PY (x1 , x2 )
кальности метрической ??проекции? ?сли
пространство? то метрическая ??проекция
? гильбертово
для любых эле?
x1 , x2 ? H \ Y состоит из единственной точки y на отрезке
[PY (x1 ), PY (x2 )]? делящей его в отношении ?(x1 , Y ) : ?(x2 , Y )? ?апри?
мер? если Y ? подпространство коразмерности ? ?гиперплоскость? и
элементы x1 ? x2 находятся по одну сторону от Y ?H ? действитель?
ное?? то ломаная x1 yx2 представляет собой путь луча света? идущего
из x1 в x2 с отражением от Y как от зеркала?
Пусть Y ? подпространство банахова пространства X ? ?удем
говорить? что Y обладает зеркальной выборкой из метрической ??
проекции? если для любых x1 , x2 ? X \ Y найдется элемент y ?
PY (x1 , x2 )? удовлетворяющий равенству
ментов
x2 ? y
x1 ? y
=
.
?(x1 , Y )
?(x2 , Y )
Теорема ????? Пусть X ? действительное банахово простран?
ство размерности dim X 2? и натуральные числа n? k удовлетво?
ряют условиям 1 n < dim X ? 1 k < dim X ? Следующие условия
эквивалентны?
??? X ? гильбертово пространство?
??
??? всякое подпространство Y ? X размерности n обладает зер?
кальной выборкой из метрической ??проекции?
??? всякое подпространство Y ? X коразмерности k обладает
зеркальной выборкой из метрической ??проекции?
Этот результат аналогичен приведенной выше теореме ??
? первых параграфах ?? главы получены некоторые условия
на множество
M
X?
R(M ) =
и банахово пространство
чтобы замыкание в
X
полугруппы
ло? во?первых? подгруппой в
совпадала со всем
X?
достаточные для того?
?
n=1 M + · · · + M бы?
n
а во?вторых? чтобы эта подгруппа
X?
Теорема ???? Пусть в равномерно выпуклом банаховом простран?
стве X задано разностороннее минимальное множество ? = ?1 ?
· · ·??m ? состоящее из спрямляемых ?замкнутых или разомкнутых?
кривых ?j ? Тогда R(?) ? подгруппа в X ?
?десь множество
M
называется разносторонним? если для любого
?
ненулевого функционала f ? X существует такой элемент x ? M ?
f (x) < 0 ?Re f (x) < 0 в случае комплексного X ?? а разносторон?
нее множество M называется минимальным? если для всякого x ? M
?
и всякой окрестности U (x) найдется такой функционал f ? X ? что
f (y) > 0 для любого y ? M \ U (x)? Разностороннесть множества M
всегда является необходимым ?а в случае конечномерности X ? и
достаточным? условием для того? чтобы R(M ) было подгруппой в
X?
что
Построены примеры? показывающие как существенность спрям?
ляемости кривых
пространства
X
?j ? так и существенность равномерной выпуклости
в теореме ????
Теорема ???? Пусть G ? замкнутая аддитивная подгруппа рав?
номерно гладкого пространства X с модулем гладкости s(? )? и непре?
рывное отображение ? : [0, 1] ? G имеет такой модуль непрерыв?
ности ?? (?)? что s(?? (?)) = o(?) при ? ? 0? Тогда G содержит за?
мкнутое R?линейное подпространство L? порожденное элементами
вида a ? b? где a, b ? ?([0, 1])?
? частности? если отображение ? липшицево? то G содержит
L при любом модуле гладкости s(? )?
Следствие
?сли для функции f из вещественного про?
странства L2 (R) преобразование Фурье f обращается в нуль на мно?
жестве нулевой меры ?ебега на R и интегральный модуль непре?
??????
??
рывности
1/2
2
|f (t + h) ? f (t)| dt
?2 (f, ?) = sup
0 h ?
R
обладает свойством ?22 (f, ?) = o(?) при ? ? 0 ?например? если f ?
финитная функция? удовлетворяющая условию ?ипшица?? то сум?
мы функций ±f (t ? ?)? ? ? R? плотны в пространстве L2 (R)?
Существенность условия на интегральный модуль непрерывности
f = I[0,1]
?порожденная сдвигами этого индикатора подгруппа в L2 (R) состо?
ит только из целозначных функций и не совпадает с L2 (R)?? Участ?
вующее в формулировке следствия условие ? f обращается в нуль
функции
f
в этом следствии показывает пример функции
на множестве нулевой меры? является критерием полноты системы
{f (t ? ?) : ? ? R}
в
L2 (R)
по классической теореме ?инера?
?ля приложений в теории приближения наипростейшими дробя?
ми необходимы утверждения о выпуклости подгрупп? порожденных
образами множеств комплексной плоскости?
Теорема ???? Пусть G ? замкнутая аддитивная подгруппа рав?
номерно гладкого пространства X ? модуль гладкости которого удо?
влетворяет равенству s(? ) = O(? 2 ) при ? ? 0 ?например? X = Lp
при p
2?? E ? связное множество на плоскости? и липшицево
отображение ? : E ? X таково? что ?(E) ? G? Тогда G содержит
замкнутое R?линейное подпространство L? порожденное элемента?
ми вида a ? b? a, b ? ?(E)?
Следствие ?????? Пусть связные компакты E1 и E2 лежат со?
ответственно в верхней и нижней полуплоскостях комплексной
плоскости? и каждый из них является множеством единственно?
1
?то
сти для гармонических функций? Тогда суммы дробей вида ± z?a
есть логарифмические производные рациональных функций? или раз?
ности наипростейших дробей? с полюсами a ? E1 ? E2 плотны в
пространстве Lp (R) при p 2?
? связи с этим следствием напомним? что наипростейшие дроби
?логарифмические производные многочленов? не плотны ни в одном
из пространств
Lp (R)? 1 < p < ??
Следствие ?????? Пусть связный компакт E не пересекается с
положительной полуосью R+ действительной оси и является мно?
жеством единственности для гармонических функций? Тогда сум?
1
с полюсами a ? E плотны в пространстве
мы дробей вида ± z?a
Lp (R+ ) при p 2?
??
?ля множества
E ? C через E ниже обозначается замыкание объ?
E со всеми ограниченными компонентами связности допол?
нения C \ E ? а AC(K) обозначает пространство функций? непрерыв?
ных на компакте K ? C и голоморфных в его внутренних точках? с
единения
обычной равномерной нормой?
Теорема ???? Пусть K
и E ? непересекающиеся компакты в
комплексной плоскости?
??? ?сли разность K \ E содержит бесконечно много точек? то
наипростейшие дроби с полюсами из E не плотны в пространстве
AC(K)?
??? ?сли K имеет связное дополнение и E содержит такие вза?
имно внешние замкнутые жордановы спрямляемые контуры
?1 , . . . , ?m ? что K ? ?m
j=1 Int ?j ? то наипростейшие дроби с полюса?
ми из E плотны в AC(K)?
Утверждение ??? здесь выводится из теорем ??? и ???? ?озможно?
условие
K ? E \E
?при связном дополнении к компакту
K ? является
достаточным для того? чтобы наипростейшие дроби с полюсами из
E
AC(K)? но доказать это пока не удается? ? слу?
K лежит в одной компоненте связности множества E \ E ?
в AC(K) наипростейших дробей с полюсами из E может
были плотны в
чае? когда
плотность
быть легко выведена из следующего результата ?ореваара ???????
всякая функция? голоморфная в ограниченной односвязной области
D
и не имеющая нулей в
D?
может быть с любой точностью равно?
D приближена многочленами? все нули которых лежат
?D этой области?
мерно внутри
на границе
?ля разностей наипростейших дробей? то есть логарифмических
производных рациональных функций? имеет место
Теорема ???? Пусть в комплексной плоскости заданы компакт
K со связным дополнением и компакт E ? C\K ? удовлетворяющий
одному из следующих условий?
?? E ? K ?
?? E связен и является множеством единственности для гармони?
ческих функций?
1
с полюсами a ? E плотны в про?
Тогда суммы дробей вида ± z?a
странстве AC(K)?
? следующих двух утверждениях речь идет о приближении наи?
простейшими дробями на полуоси? При их доказательстве применя?
ются теорема ? ???? ?анченко и сформулированное выше следствие
??????
Теорема ????? ??? ?аипростейшие дроби не плотны в простран?
??
стве Lp (R+ ) при каждом p ? (1; 2)?
??? При любых p 2 и ? > 0 множество наипростейших дробей
y2
2
с полюсами в области ?? = {z = x + iy : x < 4?
2 ? ? } всюду плотно
в Lp (R+ )?
?
?? = {z : |Im z| >
?бласть ?? является образом множества
2
?} при отображении z ? z ? ?раница области ?? есть парабола с
фокусом в начале координат?
Теорема ????? ?ля любого ? ? [0, ?2 ] наипростейшие дроби с по?
люсами в угле ?? = {z : arg z ? (?, 2? ? ?)} содержатся в соб?
ственном полупространстве пространства Lp (R+ ) ?в частности?
не всюду плотны в этом пространстве? при каждом p ? 1, 2??2?
??2?
и всюду плотны в Lp (R+ ) при каждом p
2??2?
?
??2?
Этот результат? с одной стороны? является обобщением теоремы
????? а с другой стороны? он показывает? что область
???? нельзя заменить никаким углом
??
в теореме
?? ? ? > 0?
? следующей теореме уточняется оценка ???? ?анченко для вели?
d(n, p) из теоремы ?? ?овая оценка лучше оценки ???? ?анченко
при всех p и является точной при p = 2?
чин
Теорема
?????
неравенство
?ля любых p ? (1; ?) и n ? N имеет место
q q
22q?2 ? q?1
B
,
pq
2 2
где
1
p
+
1
q
= 1? B(?, ?) =
1
?q22?p
pB( p2 , p2 )
d(n, p)
q?1
,
t??1 (1 ? t)??1 dt ? бета?функция Эйлера?
0
Следствие ??????? ?ля любого n ? N имеет место равенство
d(n, 2) = ?.
?тметим? что теорема ? дает оценку
d(n, 2)
4
?
?
? заключительном параграфе ?? главы получены оценки рассто?
яний до полуоси
r
Lp (R+ )
заданном
R+
от полюсов наипростейших дробей
r
с условием
1 для некоторого p ? (1, 2]? Полюсы таких дробей r при
p ? (1, 2) не могут? а при p = 2 могут подходить к полуоси
R+ сколь угодно близко? ? первом случае получается аналог теоремы
?? а во втором ? аналог теоремы ??
Следствие ??????? ?ля каждого n
20 полюсы наипростейшей
дроби r степени не выше n с условием r L2 (R+ ) 1 не могут подхо?
дить к полуоси R+ ближе чем на (3302 ln n)?1 ? но могут подходить
??
на расстояние C1 (ln ln n)2 / ln n ?по отрицательной полуоси?? где C1
? некоторая константа?
?лава ? начинается с подробного обзора результатов? посвящен?
ных задаче существования элемента с заданными уклонениями
от расширяющейся системы
{Yn }
dn
строго вложенных подпространств
банахова пространства ?см? выше?? ? следующем утверждении эта
задача решается при дополнительных и довольно сильных условиях
на уклонения?
Теорема ???? Пусть X ? произвольное бесконечномерное бана?
хово пространство? Y1 ? Y2 ? . . . ? произвольная счетная система
строго вложенных подпространств в X ? а числовая последователь?
ность
{dn }?
n=1
?
такова? что dn >
dk для каждого натурального
k=n+1
n n0 ? при котором dn > 0? Тогда существует элемент x ? X ? для
которого ?(x, Yn ) = dn ?n = 1, 2, . . . ??
?спользуя теорему ???? С??? ?онягин ?????? показал? что для вся?
кой системы строго вложенных подпространств
ном банаховом пространстве
нулю последовательности
dn /4
?(x, Yn )
4dn
dn
X
{Yn }
в произволь?
и всякой монотонно убывающей к
существует такой элемент
при каждом
x ? X?
что
n?
? следующем утверждении от уклонений
dn
требуется лишь стро?
гая монотонность? но зато накладываются сильные ограничения на
подпространства
Yn ?
Следствие ?????? Пусть X
есть одно из пространств c0 или
lp ? 1 < p < ?? d1 > d2 > . . . ? dn ? 0? а система строго вложен?
ных подпространств Y1 ? Y2 ? . . . такова? что для любого n n0
размерность факторпространства Yn+1 /Yn бесконечна? Тогда в X
существует такой элемент x? что ?(x, Yn ) = dn ?n = 1, 2, . . . ??
?сли доказать аналог следствия ????? для пространства
l1 ?
то
он будет доказан для любого сепарабельного банахова пространства
X
?поскольку всякое такое пространство изометрически изоморфно
некоторому факторпространству l1 /Y ??
?аключительные параграфы ? главы содержат результаты о су?
ществовании функций
f
с заданными наименьшими уклонениями
?n (f ) = ?(f, SFn ) от множеств SFn наипростейших дробей
не выше n в различных функциональных пространствах?
Теорема ???? ?ля любой последовательности {dn}?n=0
степени
неотри?
цательных чисел? строго убывающей вплоть до нуля? dn > 0 =?
dn > dn+1 ? существует такая функция f ? C0 (R)? что ?n (f ) = dn ?
??
n = 0, 1, 2, . . . ?
Показывается? что условие строгого убывания последовательно?
сти
{dn }
вплоть до
0
в теореме ??? существенно?
?втор глубоко благодарен Сергею ?ладимировичу ?онягину? ?го?
рю ?ермановичу Царькову и своему учителю ?вгению Прокофьевичу
?олженко?
ПУ?????Ц?? ??Т?Р? П? Т??? ??СС?РТ?Ц??
?? П??? ?ородин? ?Пример ограниченного аппроксимативно ком?
пактного множества? не являющегося компактным??
наук?
Успехи матем?
???? ??????? ????????
?? П??? ?ородин? ??вазиортогональные множества и условия гиль?
бертовости банахова пространства??
?атем? сб??
????? ??????? ??????
?? П??? ?ородин? ?? линейности оператора метрического проекти?
рования на чебышевские подпространства в пространствах
?атем? заметки?
L1
и
C ??
???? ??????? ????????
?? П??? ?ородин? ?Чебышевские подпространства в пространстве
H
1
Харди??
?????s?s ??t???
???? ??????? ????????
?? П??? ?ородин? ?? выпуклых аппроксимативно компактных мно?
жествах и пространствах ?фимова?Стечкина??
та? Сер? ?? ?атем? ?ехан??
?естник ?оск? ун?
????? ? ?? ??????
?? П??? ?ородин? ?Теорема ?анаха??азура для пространств с несим?
метричной нормой и ее приложения в выпуклом анализе??
заметки?
?атем?
???? ??????? ????????
?? П??? ?ородин? ??ппроксимативные свойства подпространств в
пространствах типа
хан??
c?? ?естник ?оск? ун?та? Сер? ?? ?атем? ?е?
????? ? ?? ??????
?? П??? ?ородин? ???? ?осухин? ?? приближении наипростейши?
ми дробями на действительной оси??
?естник ?оск? ун?та? Сер? ??
?атем? ?ехан?? ????? ? ?? ???? ?? диссертацию включена теорема ??
доказанная совместно с ???? ?осухиным? и теоремы ? и ?? доказан?
ные автором??
?? П??? ?ородин? ?? задаче существования элемента с заданными
уклонениями от расширяющейся системы подпространств??
заметки?
?атем?
???? ??????? ????????
??? П??? ?ородин? ??ценки расстояний до прямых и лучей от по?
люсов наипростейших дробей? ограниченных по норме
множествах??
?атем? заметки?
Lp
на этих
???? ??????? ????????
??? П??? ?ородин? ??ыпуклость ??чебышевских множеств в гиль?
бертовом пространстве??
?естник ?оск? ун?та? Сер? ?? ?атем? ?е?
??
хан??
????? ? ?? ??????
??? П??? ?ородин? ??оэффициент линейности оператора метриче?
ского проектирования на чебышевское подпространство??
метки?
?атем? за?
???? ??????? ????????
??? П??? ?ородин? ?Приближение наипростейшими дробями на по?
луоси??
?атем? сб??
????? ??????? ??????
??? П??? ?ородин? ???? Пятышев? ?Пример не аппроксимативно
компактного множества существования с конечнозначной метриче?
ской проекцией??
?атем? заметки? ???? ??????? ???????? ?? диссерта?
цию включен результат? доказанный совместно с ???? Пятышевым??
??? П??? ?ородин? ?Пример несуществования точки Штейнера в
банаховом пространстве??
?атем? заметки?
???? ??????? ????????
??? П??? ?ородин? ?? зеркальном свойстве метрической ??проекции??
?естник ?оск? ун?та? Сер? ?? ?атем? ?ехан?? ????? ? ?? ??????
??? П??? ?ородин? ?? выпуклости N ?чебышевских множеств?? ?з?
вестия Р??? Сер? матем?? ???? ??????? ??????
??? П??? ?ородин? ?? ??чебышевских подпространствах в простран?
ствах
L1
и
C ?? ?атем? заметки?
???? ??????? ????????
??
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
53
Размер файла
390 Кб
Теги
Докторская
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа