close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задания к ЕГЭ С1 - 2011 год

код для вставкиСкачать
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометриче
ских уравнен
и
ях
25.12.2010
www.alexlarin.narod.ru
1
МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011
Отбор корней
в тригонометрических у
равнениях
(типовые задания С1)
Корянов А.
Г.
,
г.
Брянск
akory
a
nov
@
mail
.
ru
Прокофьев А.А.
,
г. Москва
aaprokof@yandex.ru
СОДЕРЖАНИЕ
стр.
1. Способы отбора корней в триг
о-
нометрических уравнен
и
ях.………..
1
2
.
Отбор общих корней в нескол
ь-
ких сериях решений тригонометр
и-
ческого уравн
е
ния…………………
..
1
3
.
Отбор корней уравнения, удовл
е-
творяющих дополнительным усл
о-
виям……
…………………………
…..
2
а) корни уравнения принадлежат промежу
т
ку…………………
…...
2
б) корни уравнения удовлетворяют неравенс
т
ву………………………
4
4
.
Отбор корней уравнения, связа
н-
ный с методом зам
е
ны
……………
...
4
5
.
Уравнения, содержащие дробные выраж
е
ния…………………………
...
5
6
.
Уравнения
, содержащие ирр
а-
циональные выраж
е
ния
……………
.
6
7
.
Уравнения, содержащие показ
а-
тельные выраж
е
ния…………………
8
8
.
Уравнения, содержащие лог
а-
рифмические выраж
е
ния…………
...
8
9
.
Уравнения, содержащие модули
.
..
9
10
.
Уравнения, содержащие обра
т-
ные тригонометрическ
ие выраж
е-
ния…………………………………
…
10
11
.
Комбинированные уравн
е
ния…
.
1
0
12
.
Упражн
е
ния………………
……...
1
2
Список и источники литерат
у
ры
.
….
2
1
1. Способы отбора корней
в тригон
о
метрических уравнениях
При отборе корней в процессе реш
е-
ния тригонометрических уравнени
й обычно используют один из следующих спос
о
бов.
●
Арифметический способ
:
а) непосредственная подстановка пол
у-
ченных корней в уравнение и имеющи
е
ся ограничения
;
б) перебор значений целочисленного п
а-
раметра и вычисление корней.
●
Алгебраический способ
:
а) ре
шение неравенства относительно н
е-
известного целочисленного параметра
и вычисление корней
;
б) исследование уравнения с двумя цел
о-
численными параметрами.
●
Геометрический способ
а) изображе
ние корней
на тригонометр
и-
ческой
окружности
с последующим о
т-
бором с у
четом имеющихся огранич
е
ний
;
б) изображение корней
на числовой пр
я-
мой
с последующим отбором с уч
е
том имеющихся ограничений
.
2
. Отбор общих корней в нескольких се
риях решений тригонометрического
урав
нения
Пример 1.
Решить уравнение
:
0
5
cos
cos
x
x
.
Решение.
Данное уравнение равн
о-
сильно совокупности уравнений
0
5
cos
,
0
cos
x
x
,
5
10
,
2
n
x
k
x
Z
n
k
,
.
Рассмотрим уравнение 5
10
2
n
k
.
После преобразований получаем 2
5
k
n
. Следовательно, вторая серия решений включает в себя первую серию решений. Отбор корней удобно проводить на тр
и-
гонометрическо
й окружности
, исп
ол
ь
зуя градусную меру полученных р
е
шений 180
90
k
x
или 36
18
n
x
.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометриче
ских уравнен
и
ях
25.12.2010
www.alexlarin.narod.ru
2
Ответ
:
5
10
n
, Z
n
.
Пример 2
.
Решить
уравнение
:
2
3
cos
cos
x
x
.
Решение.
Из неравенств 1
cos
x
и 1
3
cos
x
следует, что равенство во
з-
можно только в том случае, когда оба слагаемых одновременно буд
ут равны 1.
2
3
cos
cos
x
x
1
3
cos
,
1
cos
x
x
,
3
2
,
2
k
x
n
x
.
,
Z
k
n
Втор
ая серия решений вк
лючает пе
р-
в
ую се
рию, поэтому имеем
решение си
с-
темы
Z
n
n
x
,
2
.
Ответ
: Z
n
n
,
2
.
Пример 3
.
Решить
уравнение
:
sin7 cos4 1
x x
.
Решение
.
Воспользовавшись форм
у-
лой преобразования произведения синуса и кос
и
нуса в сумму, приводим уравнение к виду sin11 sin3 2
x x
, откуда пол
у-
чим sin11 2 sin3
x x
. Так как при л
ю-
бом значении x
sin11 1
x
, а 2 sin3 1
x
, то р
а
венство sin11 2 sin3
x x
может выполняться в том и только в том случае, когда sin11 1,
2 sin3 1
x
x
2
,,
22 11
2
,.
6 3
n
x n
m
x m
Z
Z
Найдем такие целые значения n
и m
, при которых решения в полученных с
е-
риях совпадают
2 2
22 11 6 3
n m
,
т.е. 3 2 11
n m
. Выраж
ая из последнего равенства n
, п
о
лучаем 2 2
3
3
m
n m
. Так как n
–
целое, то последнее равенс
т-
во возможно, только если 2 2
m
д
е
лится на 3, т.е. 2 2 3,
m k k
Z
. О
т
сюда 1
2
k
m k
. Поскольку m
должно быть целым, то k
должно быть четным. Если 2
k p
, где p
Z
, то 2
1 2 3 1
2
p
m p p
. Следовате
л
ь
но, 2 (3 1)
2
6 3 2
p
x p
.
Ответ
:
2,
2
p p
Z
.
3
. Отбор корней уравнения
, удовлетв
о
ряющих дополнительным услов
и
ям
а
)
корни уравнения принадлежат
пр
о
межутку
Пример
4.
Най
ти
все решения ура
в
н
е-
ния
x
x
cos
2
sin
, принадлежащие пр
о-
межутку 4
3
;
.
Решение.
Приведем уравнение к в
и
ду Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометриче
ских уравнен
и
ях
25.12.2010
www.alexlarin.narod.ru
3
0
)
1
sin
2
(
cos
x
x
.
Отсюда пол
у
чаем два уравнения 0
cos
x
или 2
1
sin
x
. 1) 0
cos
x
, Z
n
n
x
;
2
.
Если 0
n
, то 4
3
;
2
2
,
x
.
Если 1
n
, то 4
3
;
2
3
2
3
,
x
.
Если 1
n
, то 4
3
;
2
2
,
x
.
Если 2
n
, то
4
3
;
2
3
2
3
,
x
.
2) 2
1
sin
x
,
n
x
2
6
или Z
n
n
x
,
2
6
5
.
Если 0
n
, то 4
3
;
6
6
,
x
или 4
3
;
6
5
6
5
,
x
.
Если 1
n
, то для первой серии решений 4
3
;
6
13
6
13
,
x
.
Если 1
n
, то 4
3
;
6
11
6
11
,
x
или
4
3
;
6
7
6
7
,
x
.
Замечание. Другой вариант отбора корней можно провести на тригономе
т-
рическом круге, учитывая, что общий наименьший положительный период функций x
sin
и x
cos
, входящих в ура
в-
нение, ра
вен 2
.
Ответ
:
;
2
;
2
6
.
Пример
5.
Най
ти
все решения ура
в
н
е-
ния
1
3
sin
2
sin
2
2
x
x
, принадл
е
ж
а
щие о
т
рез
ку ]
2
;
1
[
.
Решение.
Воспользуемся формулами по
нижения степени и преобразования суммы функций в прои
з
ведение 1
3
sin
2
sin
2
2
x
x
1
2
6
cos
1
2
4
cos
1
x
x
0
6
cos
4
cos
x
x
0
cos
5
cos
2
x
x
0
cos
,
0
5
cos
x
x
,
2
,
5
10
k
x
k
x
Z
k
5
10
k
x
, Z
k
(см. Пример 1
).
Решим двойное неравенство 2
5
10
1
k
20
2
10
k
20
2
10
k
2
20
2
10
k
2
1
10
2
1
5
k
.
Так как 16
17
2
1
2
,
3
5
2
1
5
, 6
17
2
1
3
10
2
1
10
и Z
k
, то 2
k
. Т
о
гда 2
5
2
10
x
.
Ответ
:
2
.
Приме
р
6
. Ука
зать
количество ко
р
ней уравнения
0
12
cos
6
cos
6
sin
3
ctg
x
x
x
x
на пр
о
межутке ]
2
;
0
[
.
Решение
. Умножая обе части уравн
е-
ния на ,
0
3
sin
x
получаем ,
0
12
cos
3
sin
3
sin
x
x
x
.
0
)
12
cos
1
(
3
sin
x
x
Отсюда имеем
0
3
sin
,
1
12
cos
x
x
,
3
,
6
k
x
n
x
Z
k
n
,
П
рове
дем
отбор корней
, используя тригонометрическ
ую
окружность
.
Для эт
ого полученные значения в
серии р
е-
шений и серии ограничений изобразим на тригонометрическо
й окружности
и в
о
т-
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометриче
ских уравнен
и
ях
25.12.2010
www.alexlarin.narod.ru
4
вет запишем количество не
совпавших в обе
их сериях значений переменной х
.
Ответ
:
6.
б
)
корни уравнения удовлетворяют
н
е
равенству
Пример 7
. Най
ти
все корни уравн
е
ния
0
)
3
sin
2
)(
1
sin
2
(
x
x
,
удовлетв
о
ряющие неравенству 0
cos
x
.
Реше
ние. Данное уравнение равн
о-
сильно совокупности уравнений
2
3
sin
,
2
1
sin
x
x
,
2
3
2
,
2
3
,
2
6
5
,
2
6
k
x
k
x
n
x
n
x
Z
k
n
,
.
Изобразим полученные решения на тригонометрической окружности. Ка
ж-
дому уравн
е
нию соответствуют две точк
и на тригонометрической окружн
о
сти. В ответ запишем только решения, распол
о-
жен
ные
на дуге окружности, соответс
т-
вующей неравенству 0
cos
x
, т.е. леж
а-
щие в I
и IV
четвертях
.
Следовательно, данному условию удо
в-
летворяют решения k
2
3
или n
2
6
, Z
k
n
,
.
Ответ
:
k
2
3
,
n
2
6
, Z
k
n
,
.
4
. Отбор корней уравнения, связанный с методом замены
Пример
8
.
Решить уравнение
:
0
1
sin
sin
2
2
4
x
x
.
Р
ешение.
Обозначим t
x
2
sin
, где 1
0
t
. Тогда получим квадратное уравнение 0
1
2
2
t
t
, имеющее корни 1
1
t
и 2
1
2
t
(не удовлетворяет усл
о-
вию 1
0
t
).
Для урав
нения 1
sin
2
x
имеем
;
1
2
2
cos
1
x
1
2
cos
x
; n
x
2
2
, n
x
2
, Z
n
.
Ответ
:
n
2
, Z
n
.
Пример 9
. Решит
ь
уравнение
:
0
15
arccos
8
arccos
2
x
x
.
Решение
.
Положим t
x
arccos
. Так как множество значений функции x
arccos
–
отрезок ;
0
, найдем решения Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометриче
ских уравнен
и
ях
25.12.2010
www.alexlarin.narod.ru
5
уравнения 0
15
8
2
t
t
, удовлетв
о-
ряющие условию t
0
. Т
а
кой к
орень один: 3
t
. Если 3
t
, то 3
arccos
x
, откуда 3
cos
x
.
Ответ
:
3
cos
.
5
. Уравнения, содержащие дробные выражения
Пример 10
.
Решить уравнение
:
x
x
x
sin
1
sin
1
cos
.
Решение. Данное уравнение равн
о-
сильно системе
0
sin
1
),
sin
1
)(
sin
1
(
cos
x
x
x
x
1
sin
,
0
cos
cos
2
x
x
x
1
sin
,
1
cos
,
0
cos
x
x
x
,
2
2
,
2
,
2
m
x
k
x
n
x
Z
m
k
n
,
,
Для отбора корней используем тригон
о-
метрический круг.
Ответ
:
Z
k
n
k
n
,
,
2
,
2
2
.
Пример
11
.
Решить уравнение
:
0
1
tg
1
cos
2
cos
x
x
x
.
Решение.
Данное уравнение равн
о-
сильно системе 0
1
tg
,
0
cos
,
0
1
cos
2
cos
x
x
x
x
1
tg
,
0
cos
,
0
)
1
cos
2
(
cos
x
x
x
x
1
tg
,
0
cos
,
2
1
cos
x
x
x
,
4
,
2
,
2
3
m
x
n
x
k
x
Z
n
m
k
,
,
.
Ответ
:
Z
k
k
,
2
3
.
Пример 1
2
. Решите уравн
е
ние
:
1
tg
1
sin
1
2
x
x
.
Решение
. Уравнение определено при условиях 0
sin
x
и 0
cos
x
. Используя тригонометрич
е
ские формулы, получим 0
ctg
ctg
2
x
x
. Отсюда 0
ctg
x
или .
1
ctg
x
Ко
рни первого уравн
е
ния Z
n
n
x
,
2
,
не удовлетворяют н
е-
равенству 0
cos
x
. Решения второго уравнения Z
k
k
x
,
4
,
удовлетв
о-
ряют условиям 0
sin
x
и 0
cos
x
. Де
й-
ств
и
тельно, так как число 2
является общим наименьшим положительным п
е-
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометриче
ских уравнен
и
ях
25.12.2010
www.alexlarin.narod.ru
6
риодом функций ,
ctg
x
x
sin
и ,
cos
x
то достаточно рассмотреть точки на триг
о-
нометрическом круге
(
сделайте рисунок
)
, соответствующие услов
и
ям ,
1
ctg
x
0
sin
x
и 0
cos
x
.
Ответ
: Z
k
k
x
,
4
.
Замечание. Замена выражения x
2
sin
1
на выражение x
2
ctg
1
является тожд
е-
ственным преобразованием при у
с
ловии 0
sin
x
, а замена x
tg
1
на x
ctg
может привести к появлению посторонних ко
р-
ней Z
n
n
x
,
2
.
Пример 13
. Решит
ь
уравнение
:
1
3
cos
2
sin
cos
x
x
x
.
Решение
. Общий наименьший пол
о-
жительный период функц
ий x
cos
, ,
3
cos
x
x
2
sin
равен .
2
Поэтому дост
а-
точно рассмотреть решения уравнения на промежутке )
2
;
0
[
.
Умножим обе части уравнения на .
0
3
cos
x
Далее п
олуч
а
ем x
x
x
3
cos
2
sin
cos
0
2
sin
cos
3
cos
x
x
x
0
2
sin
sin
2
sin
2
x
x
x
0
)
1
sin
2
(
2
sin
x
x
.
2
1
sin
,
0
2
sin
x
x
,
2
6
7
,
2
6
,
2
m
x
l
x
k
x
.
,
,
Z
m
l
k
На промежутке )
2
;
0
[
содержатся корни 0, 2
, , 2
3
, 6
7
, 6
11
. Из условия 0
3
cos
x
получаем ,
,
3
6
Z
n
n
x
а на пром
е
жутке )
2
;
0
[
,
6
x
,
2
x
,
6
5
x
,
6
7
x
,
2
3
x
.
6
11
x
Таким образом, остались числа 0 и , а значит, исходное уравнение имеет множество корней .
,
Z
t
t
x
Ответ
: .
,
Z
t
t
Пример 14
.
Решит
ь
уравнение
:
0
2
sin
2
sin
cos
sin
6
x
x
x
x
.
Решение
. Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента
,
0
2
sin
2
sin
2
sin
3
x
x
x
.
0
2
sin
3
2
sin
x
x
Так как ,
0
2
sin
3
x
то последнее уравнение равносильно системе
,
0
,
0
2
sin
x
x
.
0
,
,
2
k
k
k
x
Z
Отв
ет
: .
0
,
,
2
k
k
k
Z
6
. Уравнения, содержащие иррациональные в
ы
ражения
Пример
15
.
Решить уравнение
:
0
sin
2
2
cos
cos
5
x
x
x
.
Решение.
Перепишем уравнение в в
и-
де x
x
x
sin
2
2
cos
cos
5
.
Последнее уравнение равносильно си
с-
теме .
0
sin
,
sin
4
2
cos
cos
5
2
x
x
x
x
Решим уравнение системы
);
cos
1
(
4
)
1
cos
2
(
cos
5
2
2
x
x
x
0
3
cos
5
cos
2
2
x
x
.
Отсюда 2
1
cos
x
или 3
cos
x
(нет ко
р-
ней). Из уравнения 2
1
cos
x
получаем Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометриче
ских уравнен
и
ях
25.12.2010
www.alexlarin.narod.ru
7
Z
n
n
x
,
2
3
,
или ,
2
3
n
x
Z
n
.
Проверим для полученных значений x
выполнение
у
с
ловие 0
sin
x
:
,
2
3
3
sin
2
3
sin
n
;
0
2
3
,
2
3
3
sin
2
3
sin
n
.
0
2
3
Ответ
:
Z
n
n
,
2
3
.
Пример 16
.
Решить уравнение:
x
x
ctg
sin
1
1
.
Решение
.
Данное уравнение равн
о-
сильно смешанной системе .
ctg
sin
1
1
,
0
ctg
2
x
x
x
Вначале решим уравнение: x
x
2
ctg
sin
1
1
;
1
sin
1
sin
1
1
2
x
x
;
1
sin
1
1
sin
1
sin
1
1
x
x
x
;
0
sin
1
2
sin
1
1
x
x
.
В области определения, которое зад
а-
ется условием 0
sin
x
, последнее ура
в-
нение распадается на два, равн
о
сильных ему в совокупности уравнения: 1
)
0
sin
1
1
x
; 1
sin
x
; n
x
2
2
, Z
n
.
2)
0
sin
1
2
x
; 2
1
sin
x
; n
x
n
6
1
, Z
n
.
Отберем значения x
, удовлетворя
ю-
щие условию 0
ctg
x
.
Для корней первой серии 0
2
2
ctg
n
, следовательно, усл
о-
вие 0
ctg
x
в
ы
полнено для всех n
x
2
2
, Z
n
. Для корней второй серии 6
)
1
(
ctg
6
)
1
(
ctg
n
n
n
нечетно.
если
,
3
четно,
если
,
3
n
n
Таким образом, условие 0
ctg
x
в
ы-
полнено только для четных знач
е
ний )
,
2
(
Z
m
m
n
n
, т.е. для m
x
2
6
.
Ответ
:
n
2
2
, 2,
6
n n
Z
.
Пример 1
7
. Решит
ь
уравнение
:
2
3
2
cos
2
x
.
Решение
.
Рассматривая данное ура
в-
нение как простейшее тригонометрич
е-
ское уравн
е
ние, получим
.
,
2
6
2
2
Z
n
n
x
Так как ,
2
2
2
x
то 2
2
0
2
x
.
Из всех чисел вида Z
n
n
,
2
6
о
т-
резку ]
2
;
0
[
принадлежит только число 6
. Поэтому последнее уравнение равн
о-
сильно уравнению .
6
2
2
x
Возведя обе части уравнения в ква
д-
рат, получим
,
36
2
2
2
x
откуда .
36
2
2
x
О
т
вет
: .
36
2
2
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометриче
ских уравнен
и
ях
25.12.2010
www.alexlarin.narod.ru
8
7
. Уравнения, содержащие показательные в
ы
ражения
Пример
18
.
Решить уравнение
:
27
3
3
cos
3
cos
cos
x
x
x
.
Реш
ение.
Преобразуем данное ура
в-
нение
;
3
3
2
3
cos
2
3
cos
2
x
x
0
2
3
cos
2
3
cos
2
x
x
.
Обозначи
в
,
cos
t
x
где 1
1
t
, п
о-
лучим для неизвестной t
к
вадратное уравнение 0
3
3
2
2
t
t
, которое им
е
ет корни 2
3
1
t
и 3
2
t
(не удовлетв
о-
ряет условию 1
1
t
).
Выполнив обратную замену,
и
з ура
в-
нения 2
3
cos
x
получаем Z
n
n
x
,
2
6
5
.
Ответ
:
Z
n
n
,
2
6
5
.
Пример
19
. Решит
ь
уравнение
:
x
x
3
4
13
22
cos
.
Решение.
Так как 0
x
, то 1
3
x
. Л
е
вая часть уравнения ограничена
, так как 1
4
13
22
cos
1
x
. Поэтому данное уравнение равносильно системе
1
3
,
1
4
13
22
cos
x
x
0
),
(
1
22
cos
x
верно
О
т
вет
:
0
.
8
. Уравнения, содержащие логарифм
и
ческие выражения
Пример 20
. Решит
ь
уравнение
:
)
cos
(
log
)
(sin
log
2
2
x
x
.
Решение
. Данное уравнение равн
о-
сильно системе
.
0
sin
,
cos
sin
x
x
x
Из уравнения системы получаем ,
1
tg
x
,
4
n
x
Z
n
. Неравенс
т-
ву 0
sin
x
удовлетворяют числа ,
2
4
3
n
x
Z
n
.
Ответ
: ,
2
4
3
n
x
Z
n
.
Приме
р 2
1
.
Решит
ь
уравнение
:
2
)
(cos
log
)
sin
(
log
2
2
x
x
Решение
.
Данное уравнение равн
о-
сильно смешанной системе:
2
)
cos
sin
(
log
,
0
cos
,
0
sin
2
x
x
x
x
.
25
,
0
cos
sin
,
0
cos
,
0
sin
x
x
x
x
Решим вначале уравнение этой си
с
темы:
25
,
0
cos
sin
x
x
5
,
0
2
sin
x
,
,
2
6
5
2
,
,
2
6
2
Z
Z
k
k
x
n
n
x
.
,
12
5
,
,
12
Z
Z
k
k
x
n
n
x
Условиям 0
sin
x
и 0
cos
x
удовл
е-
творяет совокупность значений x
, пр
и-
надлежащих четвертой координатной четверти. Тогда решения исходного уравнения можно з
а
писать следующим образом:
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометриче
ских уравнен
и
ях
25.12.2010
www.alexlarin.narod.ru
9
.
,
2
12
5
,
,
2
12
Z
Z
k
k
x
n
n
x
Ответ
:
n
2
12
, Z
n
; k
2
12
5
, Z
k
.
9
. Уравнения, содержащие модули
Пример
22
.
Решить уравнение
:
x
x
sin
3
|
cos
|
.
Решение.
Из данного уравнения пол
у-
чаем ра
вносильную систему
0
sin
,
sin
3
cos
,
sin
3
cos
x
x
x
x
x
,
,
0
sin
3
3
tg
x
x
,
0
sin
,
6
x
n
x
Z
n
.
Так как функции x
tg
и x
sin
имеют о
б-
щий наименьший положит
ельный период 2
, то отбор корней проведем на триг
о-
нометрическом круге
(сделайте рисунок)
.
Ответ
:
.
,
,
2
6
5
;
2
6
Z
n
k
n
k
Пример 23
. Решит
ь
уравнение
:
x
x
x
sin
2
cos
|
cos
|
.
Решение
.
Рассмотрим два множества значений неизвестной x
на ч
и
сл
о
вой пр
я
мой, на к
о
т
о
рых 0
cos
x
и .
0
cos
x
1) Пусть 0
cos
x
, тогда данное ура
в-
нение принимает вид:
x
x
x
sin
2
cos
cos
0
sin
x
.
,
Z
n
n
x
Условию 0
cos
x
удовлетворяют только значения .
,
π
2
Z
n
n
x
2) Для условия 0
cos
x
исходное уравнение перепишем так:
x
x
x
sin
2
cos
cos
0
cos
sin
x
x
1
tg
x
.
,
4
Z
k
k
x
Условию 0
cos
x
удовлетворяют только значения .
,
2
4
3
Z
k
k
x
Ответ
: ;
,
π
2
Z
n
n
.
,
2
4
3
Z
k
k
Пример 24
. Р
е
шит
ь
уравнение
:
x
x
x
x
sin
2
|
sin
|
3
cos
4
|
cos
|
7
.
Решение
. Рассмотрим значения синуса и косинуса по четвертям координатной окружн
о
сти.
Первая четверть:
x
x
sin
5
cos
3
5
3
tg
x
.
,
2
5
3
arctg
Z
k
k
x
Вторая че
т
верть:
x
x
sin
5
cos
11
5
11
tg
x
,
2
5
11
arctg
l
x
.
Z
l
Третья четверть:
x
x
sin
cos
11
11
tg
x
,
2
arctg11
m
x
.
Z
m
Четвертая четверть:
x
x
sin
cos
3
3
tg
x
.
,
2
arctg3
Z
n
n
x
Ответ
: ,
2
5
3
arctg
k
,
2
5
11
arctg
l
,
2
arctg11
m
,
2
arctg3
n
где
.
,
,
,
Z
n
m
l
k
Пример 25
. Решит
ь
уравнение
:
2
)
4
25
,
0
sin
3
(
x
9
25
,
0
sin
6
25
,
0
sin
2
x
x
2
1
.
Решение
. Имеем 2
1
|
25
,
0
sin
3
|
|
25
,
0
sin
3
4
|
x
x
.
Так как при всех R
x
,
0
25
,
0
sin
3
4
x
0
25
,
0
sin
3
x
,
то п
о
лучаем ;
2
1
25
,
0
sin
2
1
x
;
2
2
25
,
0
sin
x
Z
n
n
x
n
,
4
)
1
(
.
Ответ
: Z
n
n
n
,
4
)
1
(
.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометриче
ских уравнен
и
ях
25.12.2010
www.alexlarin.narod.ru
10
10
. Уравнения, содержащие обратные тригонометричес
кие функции
Пример 2
6
.
Решит
ь
уравнение
:
)
3
arccos(
)
3
arccos(
2
x
x
.
Решение
.
Уравнение равносильно си
с-
теме 1
3
1
,
3
3
2
x
x
x
2
4
,
0
6
2
x
x
x
2
4
,
3
,
2
x
x
x
2
x
.
Ответ
: 2
.
Пример 27
.
Решит
ь
уравнение
:
x
x
2
sin
arc
arccos
.
Решение
.
Область допустимых знач
е-
ний уравнения определяется условиями 1
x
, 1
2
x
, т.е. 5
,
0
x
. Более того, поскольку значения арккосинуса огран
и-
чены отрезком ,
0
, а арксинуса –
отре
з-
ком 2
;
2
, то равенство левой и пр
а-
вой частей уравнения возможно только в случае, если их значения лежат на о
тре
з-
ке 2
;
0
, т.е. с учетом области допуст
и-
мых значений переменной x
имеем
5
,
0
0
x
. Таким образом, решение уравнения следует искать на множестве 5
,
0
0
x
. Так как функция t
y
cos
убывает на о
т-
резке 2
;
0
, то на отрезке 5
,
0
;
0
ура
в-
нение x
x
2
sin
arc
arccos
равн
о
сильно уравн
е
нию
x
x
2
sin
arc
cos
arccos
cos
, которое, в свою очередь, на 0;0,5
ра
в-
носильно ура
в
нениям: 2
4
1
x
x
, 2
2
4
1
x
x
, 1
5
2
x
, 5
1
x
(при 5
,
0
0
x
)
. Ответ
:
5
1
. Пример 28
.
Решит
ь
уравнение
:
6
2
1
4
3
arccos
x
x
x
.
Решение
.
В соответствии с определ
е-
нием аркко
синуса запишем ограничения, кото
рым должна
удовлетворять
переме
н-
ная
x
. Область допустимых значений уравнения опред
е
ляется условиями 1
2
1
4
3
1
x
x
, а поскольку значения арккосинуса огр
а
ничены отрезком ,
0
,
то для выполн
е
ния равенства необходимо выполнение условия 6
0
x
. П
о-
лучаем сист
е
му неравенств
1
6
0
,
1
2
1
4
3
,
1
2
1
4
3
6
0
,
1
2
1
4
3
1
x
x
x
x
x
x
x
x
.
5
5
6
,
0
2
1
3
5
,
0
2
1
5
x
x
x
x
x
x
Подставляя полученное единстве
н
ное значение 5
x
в исходное уравнение, п
о
лучи
м 6
)
5
(
)
5
(
2
1
4
)
5
(
3
arccos
, 11
11
arccos
или )
1
arccos(
ве
р
но.
Следовательно, данное уравнение имеет единственное решение 5
x
.
Ответ
:
5
.
11
. Комбинированные уравнения
Пример 29. Решит
ь
уравн
ение
:
0
)
sin
2
(
log
)
tg
3
(
log
)
1
cos
2
(
31
2
13
x
x
x
.
Решение
. Из д
анно
го
уравнени
я
пол
у-
чаем два уравнения 5
,
0
cos
x
или 3
3
tg
x
при условии Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометриче
ских уравнен
и
ях
25.12.2010
www.alexlarin.narod.ru
11
5
,
0
sin
,
0
sin
,
0
tg
x
x
x
.
5
,
0
sin
,
0
sin
x
x
Получаем
,
6
,
2
3
2
k
x
n
x
Z
k
n
,
с ограничениями ,
6
)
1
(
,
0
sin
m
x
x
n
Z
m
.
Так как тригонометрические функции (
x
sin
, x
cos
, x
tg
), входящие в данное уравнение, имеют общий на
и
меньший пол
ожительный период 2
, то и
зобразим множество реше
ний на числовой окру
ж-
ности
, выделив промеж
у
ток )
;
[
.
О
т
вет
:
.
,
2
3
2
Z
n
n
Пример 30
.
Решит
ь
уравнение
:
0
6
1
4
cos
2
sin
2
2
2
2
x
x
x
x
.
Решение
. Данное уравнение р
авн
о-
сильно смешанной системе
.
0
6
,
0
1
4
cos
2
sin
2
2
2
2
х
х
x
x
Решим вначале уравнение этой сист
е-
мы.
0
1
4
cos
2
sin
2
2
2
x
x
0
1
2
2
cos
1
sin
2
2
x
x
0
2
sin
sin
2
2
x
x
0
cos
sin
2
sin
2
2
x
x
x
0
)
cos
(sin
sin
x
x
x
;
0
cos
sin
,
0
sin
x
x
x
;
1
tg
,
0
sin
x
x
.
,
4
,
,
Z
Z
k
k
x
n
n
x
Перейдем к решению неравенства:
0
6
2
х
х
0
)
6
(
x
x
6
0
x
.
Среди реше
ний уравнения отберем те, которые принадлежат интервалу )
6
;
0
(
.
Рассмотрим первую серию решений.
6
0
n
, Z
n
,
6
0
n
, Z
n
,
1
n
.
Следовательно
, интервалу )
6
;
0
(
прина
д
лежит x
.
Рассмотрим вторую серию реш
е
ний.
6
4
0
k
, Z
k
,
4
1
6
4
1
k
, Z
k
.
Поскольку 75
,
1
4
1
3
6
4
1
6
4
1
4
6
25
,
1
, то у
с-
ловиям 4
1
6
4
1
k
,
Z
k
,
удовлетв
о-
ряют два значения: 0
k
и 1
k
. Зн
а
чит, интервалу )
6
;
0
(
принадлежат два реш
е-
ния из второй серии: 4
1
х
и 4
5
2
х
.
Ответ
: 4
, , 4
5
.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометриче
ских уравнен
и
ях
25.12.2010
www.alexlarin.narod.ru
12
12
. Упражнения
1
. Решите уравн
е
ние
:
0
10
2
sin
19
2
sin
2
2
x
x
.
О
т
вет
:
.
,
2
3
)
1
(
Z
n
n
n
2
. Решите уравн
е
ние
:
0
1
sin
5
cos
2
2
x
x
.
О
т
вет
:
.
,
6
)
1
(
1
Z
n
n
n
3
.
Найти сумму корней уравнения 0
)
1
)(sin
1
tg
(
x
x
, принадлежащие промежутку ]
350
;
50
[
.
Ответ
: .
405
4
.
Найти сумму корней уравнения 0
2
sin
)
3
ctg
(
x
x
, принадл
е
жащие промежутку ]
300
;
100
[
.
Ответ
: .
390
5
. Найдите те решения уравнения
2
2
sin
x
, для которых 0
cos
x
.
О
т
вет
:
.
,
2
4
Z
n
n
6
. Найдите те решения уравнения
2
1
cos
x
, для которых 0
sin
x
.
О
т
вет
:
.
,
2
3
2
Z
n
n
7
.
Найдите все корни уравн
е
ния 0
)
3
sin
2
)(
1
sin
2
(
x
x
, удовлетв
о-
ряющие неравенству 0
tg
x
.
Ответ
: .
,
2
4
Z
n
n
8
.
Найдите все корни уравн
е
ния 0
)
1
cos
2
)(
1
cos
2
(
x
x
, удовлетв
о-
ряющие неравенству 0
sin
x
.
Ответ
: .
,
,
2
3
2
,
2
4
Z
n
k
k
n
9
.
Найдите все корни уравн
е
ния 0
)
4
cos
3
)(
3
cos
2
(
x
x
, удовлетв
о-
ряющие неравенству 0
tg
x
.
Ответ
: .
,
2
6
5
Z
n
n
1
0
.
Найдите все корни уравн
е
ния 0
)
1
cos
2
)(
3
tg
(
x
x
, удовлетворя
ю-
щие н
еравенству 0
sin
x
.
Ответ
: .
,
,
2
3
2
,
2
3
Z
n
k
k
n
1
1
.
Найдите все корни уравн
е
ния 0
)
1
sin
2
)(
1
tg
(
x
x
, удовлетворя
ю-
щие неравенству 0
cos
x
.
Ответ
: .
,
2
4
5
Z
k
k
1
2
.
Найдите все корни уравн
е
ния 1
tg
3
2
x
, удовлетворя
ю
щие неравенству 0
sin
x
.
Ответ
: .
,
,
2
6
7
,
2
6
Z
n
k
k
n
1
3
.
Найдите все корни уравн
е
ния x
x
sin
sin
2
2
, удовлетворяющие нер
а-
венству 0
cos
x
.
Ответ
: .
,
,
2
4
3
,
2
Z
n
k
k
n
1
4
.
Найдите все корни уравн
е
ния 0
cos
3
cos
2
2
x
x
, удовлетв
о
ряющие нер
а
венству 0
sin
x
.
Ответ
: .
,
;
2
6
5
;
2
2
Z
n
k
k
n
1
5
.
Найдите все корни уравн
е
ния x
x
tg
3
tg
2
, удовлетворяющие нер
а-
венству 0
cos
x
.
Ответ
: .
,
,
2
3
4
,
2
Z
n
k
k
n
16
. Найдите наименьший по модулю к
о-
рень
уравнени
я
0
cos
3
7cos3
x
x
.
О
т
вет
:
.
7
6
arccos
17
. Найдите наименьший по модулю к
о-
рень
уравнени
я
0
sin
2
5sin3
x
x
.
О
т
вет
:
0.
18
.
Решите уравнение
:
0
cos
ctg
x
x
.
О
т
вет
:
.
,
2
Z
n
n
19
. Решите уравнение
:
0
sin
tg
x
x
.
О
т
вет
:
.
,
Z
n
n
20
. Решите уравнение
:
5
2ctg
3tg
x
x
.
О
т
вет
:
.
,
,
3
2
arctg
,
4
Z
k
n
k
n
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометриче
ских уравнен
и
ях
25.12.2010
www.alexlarin.narod.ru
13
21
. Решите уравнение
:
1
ctg
3
4tg
x
x
.
О
т
вет
:
.
,
,
4
3
arctg
,
4
Z
k
n
k
n
22
.
Решите уравнение: x
x
ctg
3
ctg
.
Ответ
: .
,
2
Z
n
n
23
.
Решите уравнение: 0
1
4
cos
3
2
ctg
x
x
.
Ответ
: .
,
2
3
Z
n
n
24
.
Решите уравнение: 0
sin
5
cos
2
ctg
x
x
x
.
Ответ
: .
,
,
4
8
,
6
Z
n
k
n
k
25
.
Решите уравнение: x
x
x
x
tg
5
tg
4
tg
2
tg
.
Ответ
: Z
n
n
,
6
, где Z.
k
k
n
,
6
3
26
.
Решите уравнение: 0
sin
3
sin
x
x
.
Ответ
: .
,
3
Z
n
n
27
.
Решите уравнение: 0
1
cos
2
3
sin
2
x
x
.
Ответ
: .
,
2
3
Z
n
n
28
.
Решите урав
нение: x
x
x
cos
tg
2
sin
.
Ответ
: .
,
2
3
Z
n
n
29
.
Решите уравнение: 0
cos
sin
cos
1
x
x
x
.
Ответ
: .
,
2
Z
n
n
30
.
Решите уравнение: 0
4
cos
sin
x
x
x
Ответ
: .
0
,
,
4
n
n
n
Z
3
1.
Решите уравнение: 1
3
cos
cos
cos
sin
x
x
x
x
.
Ответ
: .
,
2
8
Z
n
n
32
.
Решите уравнение: 0
sin
3
5sin
tg
3
tg
4
2
2
x
x
x
x
.
Ответ
: .
,
2
4
3
arctg
Z
n
n
33
.
Решите уравнение: 0
cos
4
5cos
ctg
4
ctg
3
2
2
x
x
x
x
.
Ответ
: .
,
2
3
4
arcctg
Z
n
n
34
.
Решите уравнение: x
x
x
x
2
cos
4
sin
2
sin
4
cos
.
Ответ
: .
,
2
12
Z
n
n
35
.
Решите уравнение:
0
sin
ctg
4
ctg
cos
4
x
x
x
x
.
Ответ
: .
,
2
3
1
arccos
Z
n
n
36
.
Решите уравнение: 1
sin
7
cos
4
tg
2
sin
3
2
x
x
x
x
.
Ответ
: .
,
6
)
1
(
Z
n
n
n
37
.
Решите уравнение: 0
1
ctg
sin
1
2
cos
x
x
x
.
Ответ
: .
,
6
)
1
(
Z
n
n
n
38
.
Решите уравнение: 0
3
2sin
1
cos
2
cos
x
x
x
.
Ответ
: .
,
,
2
3
2
,
2
Z
n
k
n
k
39
.
Решите уравнение:
0
3
2cos
1
sin
2
cos
x
x
x
.
Ответ
: .
,
;
2
6
5
;
Z
n
k
n
k
40
. Решите уравнение:
0
3
tg
sin
3
cos
2
2
2
x
x
x
.
Ответ
: .
,
2
3
2
,
Z
k
k
k
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометриче
ских уравнен
и
ях
25.12.2010
www.alexlarin.narod.ru
14
41
. Решите уравнение
: 0
3
ctg
cos
3
sin
2
2
2
x
x
x
.
Ответ
: .
,
,
2
6
,
2
Z
n
k
n
k
4
2
. Решите уравнение: 0
1
2cos
tg
3
2
ctg
2
x
x
x
.
Ответ
: .
,
2
3
2
,
Z
k
k
k
4
3
. Решите уравнение: 0
3
2sin2
1
sin
2
cos3
sin2
sin4
x
x
x
x
x
.
Ответ
: ,
2
3
5
,
2
,
2
6
5
k
k
k
Z
k
.
4
4. Найдите вс
е значения x
, при ка
ж
дом из которых выражения x
x
2
tg
4
sin
и x
x
x
2
tg
sin
cos
4
4
принимают равные знач
е-
ния.
Ответ
: .
,
2
12
)
1
(
Z
k
k
k
4
5. Решите уравнение: x
x
x
cos
2
3
sin
2
cos
.
Ответ
: .
,
,
2
2
3
,
2
6
Z
n
k
n
k
4
6
. Решите уравнение
:
0
cos
2
sin
2
3
sin
sin
2
sin
x
x
x
x
x
.
Ответ
:
),
1
2
(
2
5
2
,
2
,
2
n
m
k
.
,
,
Z
n
m
k
47
. Реш
и
те уравнение
:
0
sin
2
cos
2
3
cos
cos
2
cos
x
x
x
x
x
.
О
т
вет
:
),
1
2
(
2
5
4
,
,
4
5
2
n
m
k
.
,
,
Z
n
m
k
48
. Решите уравнение: 0
sin
1
cos
cos2
x
x
x
.
Отве
т
: .
,
,
2
3
,
2
Z
n
k
n
k
49.
Решите уравнение: 0
cos
1
sin
3
2
cos2
x
x
x
Ответ
: .
,
,
2
6
,
2
2
Z
n
k
n
k
50. Решите уравнение: 0
sin
1
2
3
sin
2sin
2
x
x
x
Ответ
: .
,
2
3
2
Z
n
n
51. Решите уравнение: 0
cos
1
sin
5
6sin
2
x
x
x
.
Ответ
: .
;
2
3
1
arcsin
;
2
6
5
n
n
Z
n
.
52. Решите уравнение: 0
ctg
cos
cos
6cos
2
3
x
x
x
x
.
Ответ
: ,
2
3
1
arccos
,
2
3
2
n
n
Z
n
.
53. Решите уравнение: 0
tg
sin
sin
3
2sin
2
3
x
x
x
x
.
Ответ
: .
,
2
6
5
Z
n
n
54. Решите уравнение: 0
ctg
cos
cos
3
2cos
2
3
x
x
x
x
.
Ответ
: .
,
2
3
2
Z
n
n
55. Решите уравнение: 0
sin
tg
tg
3
x
x
x
.
Ответ
: .
,
,
2
4
3
,
2
4
Z
n
k
n
k
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометриче
ских уравнен
и
ях
25.12.2010
www.alexlarin.narod.ru
15
56. Решите уравнение: 0
cos
ctg
ctg
3
x
x
x
.
Ответ
: .
,
2
4
Z
k
k
57. Решите уравнение: 0
cos
2
3
9
sin
x
x
.
Ответ
: .
,
2
6
5
Z
k
k
58. Решите уравнение: 0
tg
23
3
9
2
cos
x
x
.
Ответ
: .
,
2
4
Z
k
k
59. Решите уравнение: 25
25
3
sin
2
2
2
x
x
x
.
Ответ
: 0
.
60
.
Решите уравнение
:
0
4
)
2
(sin
2
x
x
.
О
т
вет
:
.
0
;
2
;
2
;
2
;
2
61
. Р
ешите уравнение
0
5
6
)
1
3
(cos
2
x
x
x
.
О
т
вет
:
.
3
4
;
3
2
;
0
;
6
;
1
62.
Решите уравнение:
3
4
8
,
0
sin
2
2
2
x
x
x
.
Ответ
: 8
5
.
63. Решите уравнение:
x
x
x
sin
2
2
cos
cos
5
.
Ответ
: .
,
2
3
Z
n
n
64. Решите уравнение:
0
)
1
cos
)(
1
sin
2
(
x
x
.
Ответ
: .
,
2
6
5
Z
n
n
65. Решите уравнение:
0
)
1
sin
)(
1
cos
2
(
x
x
.
Ответ
: .
,
,
2
3
2
,
2
2
Z
n
k
n
k
66. Решите уравнение:
0
tg
2
)
4
cos
9
cos
2
(
2
x
x
x
.
Ответ
: .
,
,
2
3
,
Z
n
k
n
k
67. Решите уравнение:
0
tg
11
)
5
sin
9
sin
2
(
2
x
x
x
.
О
твет
: .
,
,
2
6
5
,
Z
n
k
n
k
68. Решите уравнение:
x
x
cos
2
2
cos
4
3
.
Ответ
: .
,
2
6
6
arccos
Z
n
n
69. Решите уравнение: 1
sin
6
sin
2
5
x
x
.
Ответ
: .
,
6
)
1
(
Z
n
n
n
70. Решите уравнение: x
x
x
2
sin
2
1
cos
sin
.
Ответ
: .
,
,
4
,
2
Z
n
k
n
k
71. Решите уравнение: 0
cos
sin
x
x
.
Ответ
: .
,
,
2
2
,
Z
n
k
n
k
72. Решите уравнение: x
x
sin
2
2
cos
Ответ
: .
,
6
)
1
(
1
Z
n
n
n
73. Решите уравнение: 0
cos
sin
2
2
sin
2
x
x
x
Ответ
: .
,
,
2
4
3
,
2
Z
n
k
n
k
74. Решите у
равнение: 0
sin
cos
2
2
sin
2
x
x
x
Ответ
: .
,
,
2
4
,
2
2
Z
n
k
n
k
75. Решите уравнение: 0
tg
)
4
sin
5
(
3
cos
cos
10
2
x
x
x
x
Ответ
: ,
2
5
3
arccos
,
2
3
2
n
k
Z
n
k
,
.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометриче
ских уравнен
и
ях
25.12.2010
www.alexlarin.narod.ru
16
76. Решите уравнение: 0
6
3
sin
5
sin
2
2
x
x
x
.
Ответ
: ,
2
6
5
,
2
6
k
k
N
k
.
77. Решите уравнение: 0
3
3
cos
5
cos
2
2
x
x
x
.
Ответ
: ,
2
3
,
2
3
k
k
N
k
.
78. Решите уравнение: 0
ctg
7
cos
8
sin
4
2
x
x
x
.
Ответ
: .
,
2
3
2
Z
k
k
79. Решите уравнение: 0
tg
7
sin
8
cos
4
2
x
x
x
.
Ответ
: .
,
2
6
5
Z
k
k
80. Решите уравнение: 0
tg
7
sin
8
cos
4
2
x
x
x
.
Ответ
: ,
2
6
5
k
.
Z
k
81. Решите уравнение: 0
sin
3
cos
7
2
cos
3
x
x
x
.
Ответ
: Z
n
n
,
2
2
.
82. Решите уравнение: 0
tg
3
cos
4
x
x
Ответ
: Z
n
n
,
2
4
3
arccos
.
83. Решите уравнение: 0
cos
5
sin
6
x
x
.
Ответ
: Z
n
n
,
2
6
5
arcsin
.
84. Решите уравнение: 0
cos
)
7
8
)(
7
4
)(
7
2
(
y
y
y
y
.
Ответ
: 4
7
.
85. Решите уравнение: 0
cos
)
9
13
)(
9
4
)(
9
2
(
y
y
y
y
.
Ответ
: 4
9
.
86. Решит
е уравнение:
2
sin
2
sin
sin
2
cos
2
2
4
2
x
x
x
x
.
Ответ
: ,
2
2
arctg
2
,
2
2
n
k
.
,
Z
n
k
87. Решите уравнение: 4
cos
3
4
cos
3
3
3
2
x
x
.
Ответ
: Z
n
n
,
2
4
.
88
.
Решите уравнение
:
1
sin
log
cos
x
x
.
О
т
вет
:
.
,
2
4
Z
k
k
89
. Решите уравнение
:
1
cos
3
log
sin
x
x
О
т
вет
:
.
,
2
3
Z
k
k
90
. Решите уравнение
)
60
cos
1
(
log
cos
log
sin
log
3
3
3
x
x
.
О
т
вет
:
.
,
2
4
Z
n
n
91
. Решите уравнение
x
x
sin
log
)
1
sin
2
(
log
3
2
3
.
О
т
вет
:
.
,
2
2
Z
n
n
92
. Решите
уравнение
:
)
cos
2
1
(
log
cos
log
2
5
5
x
x
.
О
т
вет
:
.
,
2
3
Z
n
n
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометриче
ских уравнен
и
ях
25.12.2010
www.alexlarin.narod.ru
17
93. Решите уравнение
:
0
)
sin
(
log
)
3
cos
7
cos
2
(
41
2
x
x
x
.
О
т
вет
:
.
,
2
2
,
2
3
Z
n
n
n
94. Решите уравнение
:
0
)
cos
(
log
)
3
sin
7
sin
2
(
14
2
x
x
x
.
О
т
вет
:
.
;
2
,
2
6
5
Z
n
n
n
95. Решите уравн
е
ние
:
0
)
tg
3
(
log
)
3
cos
2
)(
1
cos
2
(
cos
6
x
x
x
x
.
О
т
вет
:
.
,
2
3
Z
n
n
96. Решите уравнение
:
0
)
tg
lg(
)
1
sin
2
)(
1
sin
2
(
sin
x
x
x
x
.
О
т
вет
:
.
,
2
6
5
Z
n
n
97. Решите уравнение
:
0
)
cos
2
(
log
)
sin
2
(
log
)
3
tg
(
31
2
13
x
x
x
.
О
т
вет
:
.
,
2
3
Z
n
n
98. Решите уравнение
:
0
)
sin
2
(
log
)
tg
3
(
log
)
1
cos
2
(
31
2
13
x
x
x
.
О
т
вет
:
.
,
2
3
2
Z
n
n
99. Решите уравнение
:
0
3cos
)
sin
2
(
log
2
x
x
.
О
т
вет
:
.
,
2
6
5
Z
n
n
100. Решите уравнение
:
0
5tg
)
cos
2
(
log
5
x
x
.
О
т
вет
:
.
,
2
3
2
Z
n
n
101. Решите уравнение
:
0
sin
7
)
tg
3
(
log
7
x
x
.
О
т
вет
:
.
,
2
6
7
Z
n
n
102.
Решите уравнение
x
x
x
cos
sin
sin
3
1
2
.
О
т
вет
:
.
,
2
Z
n
n
103
.
Решите уравнение
:
x
x
x
sin
cos
cos
4
1
2
.
О
т
вет
:
.
,
2
2
Z
n
n
104
. Решите уравнение
:
4
6
)
5
2
(
2
2
x
x
0
)
13
sin(
x
О
т
вет
:
.
2
105
. Решите уравнение
:
9
6
)
3
(
2
2
x
x
0
2
13
cos
x
О
т
вет
:
.
3
106
. Решите уравнение
:
16
49
2
1
log
2
3
2
cos
sin
x
x
x
x
.
О
т
вет
:
.
4
1
107. Решите уравнение: x
x
cos
|
2
sin
|
.
Ответ
: .
,
,
2
6
,
2
Z
k
n
k
n
108. Решите уравнение: 5
,
0
|
sin
|
ctg
x
x
.
Ответ
: .
,
,
2
3
,
2
3
2
Z
n
k
n
k
109. Решите уравнение:
x
x
x
sin
2
cos
|
cos
|
.
Ответ
: .
,
,
2
4
5
,
2
Z
n
k
n
k
110. Решите уравнение: 3
2
cos
2
|
sin
|
4
x
x
.
Ответ
: .
,
6
Z
n
n
11
1. Решите уравнение: 2
2
cos
2
2
sin
x
x
.
Ответ
: .
,
2
4
Z
n
n
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометриче
ских уравнен
и
ях
25.12.2010
www.alexlarin.narod.ru
18
112. Найдите все решения уравнения |
cos
|
cos
2
sin
x
x
x
из промежутка ]
2
;
0
[
.
Ответ
: 2
1
arctg
,
2
1
arctg
,
2
3
,
2
.
113. Решите уравнение: 2
sin
2
|
cos
|
2
sin
x
x
x
.
Ответ
: .
,
2
6
5
Z
n
n
114. Решите уравн
е
ние: 2
)
4
5
,
0
cos
3
(
x
1
9
5
,
0
cos
6
5
,
0
cos
2
x
x
.
Ответ
: .
,
2
Z
n
n
115. Решите уравнение
:
2
)
4
sin
3
(
x
3
2
7
9
sin
6
sin
2
x
x
.
Ответ
: .
;
3
)
1
(
1
Z
n
n
n
116. Решите уравне
ние
:
2
)
3
2
,
0
sin
2
(
x
2
1
2
,
0
sin
2
2
,
0
sin
2
x
x
.
Ответ
: .
;
5
Z
n
n
11
7
. Решите уравнение
:
0
sin
5
|
sin
|
4
cos
3
|
cos
|
2
x
x
x
x
.
О
т
вет
:
,
2
4
,
2
9
5
arctg
k
n
.
,
Z
k
n
11
8
.
Решите уравнение
:
0
sin
3
|
sin
|
5
cos
6
|
cos
|
4
x
x
x
x
.
О
т
вет
:
,
2
5
arctg
,
2
4
5
arctg
k
n
.
,
Z
k
n
11
9
. Решите уравнение
:
x
x
3
4
13
22
cos
.
О
т
вет
:
0
.
1
20
.
Решите уравнение
:
2
33
3
11
sin
2
x
x
.
О
т
вет
:
0
.
12
1
.
Решите уравнение
:
11
6
2
2
)
cos(
x
x
x
.
О
т
вет
:
3.
12
2
.
Решите уравнение
:
7
4
3
2
2
sin
x
x
x
.
О
т
вет
:
–
2.
12
3
.
Решите уравнение
:
2
2
4
4
1
cos
x
x
x
.
О
т
вет
:
.
2
12
4
.
Решите уравнение
:
1
sin
4
2
2
x
x
x
.
О
т
вет
:
.
2
12
5
.
Решите уравнение
:
x
x
x
2
3
sin
10
6
2
.
О
т
вет
:
3.
12
6
.
Решите уравнени
е
:
x
x
x
4
cos
5
4
2
.
О
т
вет
:
–
2.
12
7
.
Решите уравнение
:
2
2
2
3
cos
2
2
2
x
x
x
.
О
т
вет
:
.
12
8
.
Решите уравнение
:
3
2
2
sin
3
2
2
x
x
x
.
О
т
вет
:
2
.
12
9
.
Решите уравнение
:
)
2
,
0
3
2
2
(
arcsin
2
3
x
x
x
)
2
,
0
2
3
arcsin(
2
x
x
.
О
т
вет
:
0; 1.
1
30
.
Решите уравнение
)
2
,
0
5
2
(
arccos
2
3
x
x
x
)
2
,
0
4
2
arccos(
2
x
x
.
О
т
вет
:
0.
13
1
.
Решите уравнение
:
0
16
arctg
)
9
8
4
(
arctg
2
2
x
x
x
.
О
т
вет
:
–
0,5
; 0,9
.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометриче
ских уравнен
и
ях
25.12.2010
www.alexlarin.narod.ru
19
13
2
.
Решите уравнение
:
0
2
arcsin
)
6
5
(
2
x
x
x
.
О
т
вет
:
0; 2
.
13
3
.
Решите уравн
ение
:
0
2
arccos
)
3
7
2)(2
(
2
x
x
x
x
.
О
т
вет
:
–
2; 0,5; 2.
13
4
.
Решите уравнени
е
:
0
10
4
cos
sin
14
2
x
x
.
О
т
вет
:
,
3
k
.
Z
k
13
5
.
Решите уравнение
:
x
x
x
4
cos
5
sin
sin
.
О
т
вет
:
,
5
10
k
.
Z
k
1
3
6
.
Решите уравнение
:
x
x
x
6
cos
5
cos
cos
.
О
т
вет
:
,
5
k
.
Z
k
13
7
.
Укажите все корни уравн
е
ни
е
,
0
sin
2
2
sin
x
x
принадлежащие отрезку 2
3
;
2
3
.
О
т
вет
:
,
75
,
0
,
0
,
75
,
0
,
,
25
,
1
25
,
1
,
.
13
8
.
Укажите наибольший корень ура
в-
нения 2
sin
3
2
cos
x
x
, принадлежащий отрезку ]
;
3
[
.
О
т
вет
:
6
7
.
13
9
.
Укажите наименьший корень ура
в-
нения x
x
cos
3
2
2
cos
, принадлеж
а-
щий о
т
резку ]
5
,
0
;
5
,
2
[
.
О
т
вет
:
3
7
.
1
40
.
Решите уравнение
:
1
2
cos
3
cos
x
x
.
О
т
вет
:
,
2
k
.
Z
k
14
1
.
Решите уравнение
1
2
cos
3
sin
x
x
.
О
т
вет
:
,
2
2
k
.
Z
k
14
2
.
Решите уравнение
:
x
x
2
2
sin
4
16
)
1
(
.
О
т
вет
:
–
1.
14
3
.
Решите уравнени
е
:
0
cos
2
tg
3
tg
sin
3
x
x
x
x
.
О
т
вет
:
,
4
,
0
arcsin
)
1
(
1
k
k
.
Z
k
14
4
.
Решите уравнение
:
)
sin
(
log
)
(cos
log
3
3
x
x
.
О
т
вет
:
,
2
4
k
.
Z
k
14
5
.
Решите уравнение
:
2
3
2
cos
2
x
.
О
т
вет
:
36
2
2
.
14
6
.
Решите уравнение
:
2
3
3
sin
2
x
.
О
т
вет
:
3
27
2
.
14
7
.
Решите уравнение
:
0
3
7
4
2
2
cos
2
x
x
x
.
О
т
вет
:
,
2
4
,
2
4
,
1
,
4
3
n
k
.
0
,
,
n
k
n
Z
14
8
.
Решите уравнение
:
0
4
7
3
2
3
sin
2
x
x
x
.
О
т
вет
:
,
2
3
,
2
3
2
,
3
4
,
1
n
k
.
0
,
,
n
k
n
Z
14
9
.
Решите уравнение
:
x
x
x
cos
4
sin
2
1
3
sin
.
О
т
вет
:
,
2
2
3
,
2
10
7
,
2
10
3
m
n
k
.
,
,
Z
m
k
n
1
50
.
Решите уравнение
:
x
x
x
10
cos
7
sin
3
sin
2
1
.
О
т
вет
:
;
k
.
Z
k
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометриче
ских уравнен
и
ях
25.12.2010
www.alexlarin.narod.ru
20
15
1
.
Решите уравнение
:
t
t
t
cos
2
sin
3
2
cos
.
О
т
вет
:
,
2
6
arctg
,
2
k
n
.
,
Z
k
n
15
2
.
Решите уравнение
:
t
t
t
sin
2
cos
2
sin
5
.
О
т
вет
:
,
2
1
,
0
arctg
,
2
2
k
n
.
,
Z
k
n
15
3
.
Решите уравнение
:
2
cos
4
5
sin
)
8
4
(
log
2
2
x
x
x
x
.
О
т
вет
: 2.
15
4
.
Решите уравнение
:
4
sin
cos
)
13
4
(
log
2
3
x
x
x
x
.
О
т
вет
: –
2.
15
5
.
Решите уравнение
:
|
)
cos
)
2
cos((
|
x
x
|
)
43
39
9
(
log
|
1
2
4
x
x
.
О
т
вет
: 2.
15
6
.
Решите уравнение
:
x
x
x
cos
sin
|
sin
|
.
О
т
вет
:
,
n
.
Z
n
15
7
.
Решите уравнение
:
|
2
sin
|
3
cos
cos
x
x
x
.
О
т
вет
:
,
2
6
,
2
k
n
.
,
Z
k
n
15
8
.
Решите уравнение
:
|
2
cos
|
3
sin
sin
x
x
x
.
О
т
вет
:
,
2
6
,
2
6
5
,
2
4
m
n
k
.
,
,
Z
m
k
n
15
9
.
Найдите все решения уравнения
5
2
cos
8
4
1
cos
2
x
x
на отрезке ]
;
[
.
О
т
вет
:
4
1
arccos
.
1
60
.
Найдите значение выражения 2
cos
, если удовлетворяет условию 2
3
4
sin
.
О
т
вет
:
2
1
;
2
1
;
2
3
;
2
3
.
16
1
.
Найдите значение выражения 3
sin
, если удовлетворяет усл
о
вию 2
3
6
sin
.
О
т
вет
:
2
1
;
2
1
;
2
3
;
2
3
.
16
2
.
Решите уравнение
:
2
cos
3
2
cos
1
x
x
.
О
т
вет
:
;
2
3
2
n
.
Z
n
16
3
.
Решите уравнение
:
2
2
2
cos
cos
1
x
x
.
О
т
вет
:
,
2
3
)
1
(
1
n
n
.
Z
n
16
4
.
Решите уравнение
:
0
sin
)
2
cos
2
(
1
cos
2
2
x
x
x
.
О
т
вет
:
,
2
4
3
n
.
Z
n
16
5
.
Скол
ько различных корней имеет уравнение
0
1
)
sin
(cos
2
2
2
x
x
x
?
Ответ
:
4.
16
6
.
Сколько различных корней имеет уравнение
0
)
1
(
log
)
1
(sin
2
5
,
0
x
x
?
Ответ
:
2.
16
7
.
Сколько различных корней имеет уравнение
?
0
)
8
cos
sin
6
cos
3
(sin
21
2
x
x
x
x
x
x
Ответ
:
127.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометриче
ских уравнен
и
ях
25.12.2010
www.alexlarin.narod.ru
21
16
8
.
Найдите сумму р
азличных корней уравнения
x
x
x
14
2
3
sin
7
cos
7
sin
4
2
2
2
6
5
3
4
cos
2
5
2
3
cos
2
5
3
sin
x
x
x
на о
т
резке ]
5
;
3
[
.
Ответ
:
8
.
16
9
.
Решите уравнение
:
0
1
sin
1
sin
2
sin
cos
2
2
2
x
x
x
x
.
О
т
вет
: 6
.
1
70
.
Найдите все решения уравнения
x
x
x
4
sin
2
5
sin
3
sin
2
2
2
,
для которых определено выражение 8
2
tg
x
.
Ответ
:
,
8
16
,
k
n
,
,
Z
k
n
где Z
m
m
k
,
1
4
.
17
1
.
Найдите все решения уравнения
0
6
cos
5
cos
2
4
cos
2
2
2
x
x
x
,
для которых определено выражение 2
2
ctg
x
.
О
т
вет
:
,
10
20
,
k
n
,
,
Z
k
n
где Z
m
m
k
,
2
5
.
Список и источники литературы
1.
Денищева Л.О., Глазков Ю.А., Краснянская К.А., Рязановский А.Р., С
е-
менов П.В. Единый государственный э
к-
замен 2008. Математика. Учебно
-
тренировоч
ные матер
иалы для подг
о
то
в-
ки учащихся / ФИПИ –
М.: Инте
л
лект
-
Центр, 2007.
2
. ЕГЭ
-
2011. Математика: типовые э
к-
заменационные варианты: 30 вар
и
антов / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. –
М.: Национальное образ
о
вание, 2010. 3
. ЕГЭ
-
2011. Математика: типовые э
к-
замена
ционные варианты: 10 вар
и
антов / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. –
М.: Национальное образ
о
вание, 2010.
4
. ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания /под ред. А.Л. Семен
о-
ва, И.В. Ященко. –
М.: Издательство «Э
к-
замен», 2011.
5
. Единый государственны
й экзамен 2011. Математика. Универсальные мат
е-
риалы для подготовки учащихся / ФИПИ –
М.: Инте
л
лект
-
Центр, 2011.
6.
Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы. У
с-
ло
вия и решения. Вып. 1
-
6
, 8, 12, 14, 18, 25
. –
М.: Школьная Пресса, –
(Би
блиот
е-
ка журнала «Математика в шко
ле»), 1993
-
2003.
7. Самое полное издание типовых в
а-
риантов реальных заданий ЕГЭ 2011: Матем
а
тика /авт.
-
сост. И
.
Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. –
М.: АСТ: Астрель, 2011. –
(
Федеральный и
н
ститут педагогических измер
е
ний).
8
. Шестаков С.А., Захаров П.И. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С1 / Под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. –
М.: МЦНМО, 2011.
9. www
.
alexlarin
.
narod
.
ru
–
сайт по ок
а-
зани
ю информационной поддержки ст
у-
дентам и абитуриентам при подготовке к ЕГЭ
, пост
у
плению в ВУЗы и изучении различных ра
з
делов высшей математики.
10. http
://
eek
.
diary
.
ru
/
–
сайт по оказ
а-
нию помощи абитуриентам, студе
н
там, учителям по математике. 11
. www
.
egemathem
.
ru
–
единый гос
у-
дарс
т
венный экзамен (от А до Я).
Автор
svetlana.golosenko
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1 721
Размер файла
439 Кб
Теги
Задания к ЕГЭ С1 - 2011 год
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа