close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задания к ЕГЭ С5 - 2011 год

код для вставкиСкачать
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
1
СОДЕРЖАНИЕ
стр.
Введение
………………………………
2
1. Алгебраические методы решения
2
1.1.
Задачи вида b
x
a
……………...
2
1.2. Задачи вида 0
2
c
x
b
x
a
3
1.3. Сведение задачи к зад
а
че вида b
x
a
или 0
2
c
x
b
x
a
……...
8
● задачи, содержащие целые раци
о-
нальные выражения высшей степ
е
ни
8
● задачи, содержащие дробно
-
рацио
-
нальные в
ы
ражения
…………………..
9
● задачи, содержащие выражения с модулями ………………………
……..
10
● задачи, содержащие иррационал
ь-
ные выраж
е
ния
……………
………...
..
1
3
● задачи, содержащие показательные в
ы
ражения
…………………………….
1
5
● задачи, содержащие логарифмич
е-
ские в
ы
ражения
………………………
1
6
● задачи, содержащие тригонометр
и-
ческие выражения
…………………….
1
8
1.
4
.
Метод зам
е
ны
…………………….
1
9
● введение одной новой перем
е
н
ной
..
1
9
● введение двух новых переме
н
ных
...
20
● тригонометрическая подстано
в
ка
…
2
1
1.
5
. Выявление необходимых усл
о
вий
2
1
●
выбор подходящего значения пар
а-
метра или переменной
………………..
2
1
● инвариантность
……………
……….
2
2
2. Функциональные методы реш
е-
ни
я
…………………………………….
31
2.1. Использование непрерывности функции
……………………………….
31
● метод интервалов
…………………..
3
2
● метод рационализации
……………..
32
2.2. Использование ограниченности функции
……………………………….
32
● метод оце
н
ки
………………………..
32
● н
е
отрицательность фу
нкции
……….
33
● на
ибольшее и наименьшее знач
е-
ние функции
…………………………..
34
2.3. Использование монотонности фун
к
ции
……………………………….
3
6
● монотонность функции на множ
е-
стве R
…………………………
……….
3
6
● монотонность функции на
пром
е-
жутке
……………………………
……..
3
7
● функции разн
ой монотонности
….
3
7
● задачи вида x
x
f
f
))
(
(
………….
3
8
2.4. Использование производной функции
……………………………….
3
9
3.
Функционально
-
графические мет
о
ды решения
…………………….
40
3.1.
Координатная плоскость хОу
……
4
1
● задачи вида
a
x
f
)
(
………………
4
1
● задачи вида
a
x
g
x
f
)
(
)
(
……….
4
1
● задачи вида )
(
)
(
a
x
g
x
f
……….
4
2
● задачи вида 0
0
)
(
)
(
y
x
x
a
x
f
…
4
5
● задачи вида )
(
)
(
x
ag
x
f
………….
4
6
● задачи общего вида 0
)
,
(
x
a
f
…..
4
6
● задачи о
бщего вида )
;
(
)
;
(
x
a
g
x
a
f
4
7
3.2. Координатн
ые
плоскост
и
аОх
или хОа
…………………………………….
4
8
● задачи вида )
(
x
a
или
)
(
a
x
4
8
● задачи вида 0
)
,
(
x
a
f
…………….
50
4. Геометрические методы решения
5
3
Упр
ажнения
………………………….
61
Ответы и указания
…………………
..
74
Список и источники литературы
….
78
МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011
(типовые задания С5)
Уравнения и неравенства
с параметрами:
количество решений
Корянов А. Г.
,
г. Брянск
,
akoryanov
@
mail
.
ru
Прокофьев А.А.
,
г. Москва
,
aaprokof@yandex.ru
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
2
Введение
Среди множества задач с параметр
а
ми выделим один класс задач, связанный с количеством решений уравнения (нер
а-
венства), системы уравнений (нер
а-
венств).
За
дачи такого вида обычно формул
и-
руют в следующем виде: най
ти
все зн
а-
чения параметра (
параметров
),
при к
о-
торых уравнение (неравенство, сист
е
ма
)
имеет конечное множество решений (
ровно одно, ровно два и т.д.
),
бесконе
ч-
ное множество решений (
интервал, о
т-
резок,
луч, прямая, часть плоскости –
о
б
ласть
),
не имеет решений. В пособии рассмотрены основные подходы к решению задач с параметрами: алгебраический, функциональный, фун
к-
ционально
-
графический и геометрич
е-
ский.
1. Алгебраические методы
В данном разделе задачи (уравнения, неравенства, системы) классифициров
а-
ны по их виду. Здесь рассмотрены такие методы: метод сведения задачи к равн
о-
сильной, перебор различных значений параметра, замена переменной, выявл
е-
ние необходимых и достаточных усл
о
вий или необходимых услови
й. 1.1. Задачи вида b
x
a
Рассмотрим задачи вида b
x
a
, где символ заменяет один из знаков
= , > , < , , и системы линейных уравнений.
уравнения
Уравнение вида b
x
a
с переменной x
имеет единственное р
е
шение при 0
a
; имеет бесконечное множество р
е-
шений при 0
,
0
b
a
; не имеет реш
е-
ний при 0
,
0
b
a
.
Пример 1.
(М
ГУ
,
2002)
.
При каких значениях пар
а
метра b
уравнение
)
3
(
3
2
)
3
2
(
9
2
4
2
b
b
x
b
b
b
x
не имеет корней
?
Решение.
Данное уравнение является линейным относительно неизвестной х
.
.
3
2
)
3
2
(
)
3
1
(
)
9
(
2
3
4
b
b
b
x
b
Последнее
уравнение не имеет ко
р
ней тогда и только тогда, когда .
0
3
2
)
3
2
(
)
3
1
(
0
9
2
3
4
b
b
b
b
Первое уравнение этой системы имеет два корня: ,
3
1
b
.
3
2
b
Подст
а-
новка показывает, что второму условию удовл
е
творяет только .
3
1
b
Ответ
:
.
3
b
неравенства
Неравенства вида b
x
a
с переме
н-
ной x
имеет решением промежуток ;
a
b
при 0
a
; промежуток a
b
;
при 0
a
; промежуток )
;
(
при 0
,
0
b
a
; не имеет р
е-
шений при 0
,
0
b
a
.
Пример 2
.
При каких значениях пар
а-
метра a
неравенство x
a
ax
3
2
6
имеет решением все действительные числа
?
Решение.
Приведем данно
е нераве
н-
ство к виду )
3
(
2
)
3
(
a
x
a
и рассмотрим несколько случ
а
ев.
1. Пусть 0
3
a
, тогда получаем 2
x
.
2. При 0
3
a
имеем 2
x
.
3. Если 0
3
a
,
т.е
.
3
a
,
то числ
о-
вое н
е
равенство 0
0
выполняется при всех зн
а
чениях х
.
Ответ: 3
a
.
системы уравнений
Пусть коэффициенты уравнений си
с-
темы 1
1
1
,
c
y
b
x
a
c
by
ax
о
т
личны от нуля. Тогда:
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
3
1) чтобы система
имела единственное решение, необходимо и достаточно в
ы-
полнени
я
условия ;
1
1
b
b
a
a
(1)
2) чтобы система имела бесконечно много решений, необходимо и достато
ч-
но в
ы
полнени
я
условия ;
1
1
1
с
с
b
b
a
a
(2)
3) чтобы система не имела решений,
необходимо и достаточно выполнени
я
у
с
ловия .
1
1
1
с
с
b
b
a
a
(3)
Случай, когда коэффициенты равны н
у-
лю, ну
ж
но рассматривать отдельно.
Пример 3
.
Исследовать систему л
и-
нейных уравнений
.
3
)
1
(
2
,
5
,
4
27
)
2
(
y
a
x
y
x
a
Решение.
Определим значения пар
а-
метра a
, при кот
о
рых 1
27
2
2
a
a
. Это возможно, если 0
56
2
a
a
)
0
1
(
a
, т.е. при 8
a
или 7
a
.
Если 8
a
или 7
a
, то решени
й нет, так как 2
3
1
27
2
2
a
a
.
При 8
a
и 7
a
, умножая первое уравнение системы на –
2, а второе на 2
a
, и складывая левые и правые части уравнений, из полученного лине
й
ного уравнения найде
м )
7
)(
8
(
)
5
(
3
a
a
a
y
. Аналогично де
й
ствуя, найдем )
7
)(
8
(
2
)
17
(
9
a
a
a
x
. Следовательно, си
с-
тема при 8
a
и 7
a
имеет единс
т-
венное решение.
Ответ.
Если 7
a
или 8
a
,
то реш
е
ний нет; если 7
a
и 8
a
, то )
7
)(
8
(
)
5
(
3
;
)
7
)(
8
(
2
)
17
(
9
a
a
a
a
a
a
.
В следующей задаче используем пр
и-
ем обратной задачи. Пусть 2
1
A
A
A
–
множество допустимых значений пар
а-
метра а
, входящего в уравнение (нер
а-
венство
, систему), причем 1
A
–
множес
т-
во значений параметра, при которых з
а-
дача имеет решение, 2
A
–
множество зн
а-
чений параметра, при которых задача не имеет решение. Если найдены множ
е
ства А и 2
A
, то
легко определить множ
е
ство 1
A
.
Пример 4
.
Определить, при каких зн
а-
чениях параметра a
ура
в
нения 1
ay
x
и a
y
ax
2
им
е
ют хотя бы одно общее реш
е
ние.
Решение.
Допустимые значения пар
а-
метра а
составляют множество всех де
й-
ствительных чисел.
Решим обратную з
а-
дачу. Найдем значения параметра a
, при кот
о
рых система уравнений a
y
ax
ay
x
2
,
1
не имеет решений. Это возможно (см. у
с-
ловие (3)), е
с
ли a
a
a
2
1
1
1
(
*
). Из равенства 1
1
a
a
находим 1
a
или 1
a
(удовлетворяют условию 0
a
). Для этих значений нер
а
венство в (
*
) также выполняется. След
о
вательно, исходная задача выпо
л
н
яется при всех значениях а
, о
т
личных от –
1 и 1.
Ответ.
1
a
.
1.2. Задачи вида
0
2
c
x
b
x
a
Рассмотрим задачи вида 0
2
c
x
b
x
a
,
где символ з
а
меняет один из знаков
= , > , < , , и системы уравнений (н
е-
равенств).
·
Функция c
bx
ax
y
2
)
0
(
a
з
а-
дает п
а
раболу с вершиной в точке )
;
(
в
в
y
x
С
.
·
Функция n
m
x
a
y
2
)
(
)
0
(
a
задает п
а
р
аболу с вершиной в точке )
;
(
n
m
C
.
Пусть c
bx
ax
x
f
2
)
(
)
0
(
a
.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
4
1
.
Квадратное уравнение 0
2
c
bx
ax
)
0
(
a
(
1
)
не имеет решений тогда и только тогда, когда 0
D
.
2
.
К
вадратное уравнение (
1
) имеет
:
а)
два различных корня тогда и только т
о
гда, когда 0
D
;
б)
два (может быть кратных) корня т
о-
гда и только тогда, к
о
гда 0
D
;
в)
два положительных корня тогда и только т
о
гда, когда
0
,
0
,
0
4
0
,
0
,
0
2
2
1
2
1
a
b
a
c
ac
b
x
x
x
x
D
или ;
0
,
0
)
0
(
,
0
в
x
f
a
D
г) два отрицательных корня тогда и только т
о
гда, когда
0
,
0
,
0
4
0
,
0
,
0
2
2
1
2
1
a
b
a
c
ac
b
x
x
x
x
D
или ;
0
,
0
)
0
(
,
0
в
x
f
a
D
д) корни разных знаков тогда и только т
о
гда, когда
0
)
0
(
0
0
0
2
1
f
a
ac
a
c
x
x
;
е) корень, равный нулю тог
да и только тогда, когда 0
0
2
1
с
x
x
;
ж)
два ра
з
ных корня M
x
x
2
1
,
тогда и только т
о
гда, когда ;
,
0
)
(
,
0
в
M
x
M
f
a
D
з)
два разных корня M
x
x
2
1
,
тогда и только т
о
гда, когда ;
,
0
)
(
,
0
в
M
x
M
f
a
D
и)
два корня 2
1
x
M
x
тогда и тол
ь-
ко тогда, к
о
гда 0
)
(
M
f
a
;
к)
корни M
x
m
x
2
1
тогда и только тогда, к
о
гда
;
0
)
(
,
0
)
(
M
f
a
m
f
a
л)
корни 2
1
x
M
x
m
тогда и только т
о
гда, когда
;
0
)
(
,
0
)
(
M
f
a
m
f
a
м)
корни 2
1
x
M
m
x
тогда и только т
о
гда, когда
;
0
)
(
,
0
)
(
M
f
a
m
f
a
н) один корень внутри интервала )
,
(
M
m
, а другой вне этого интервала т
о-
гда и только т
о
гда, когда 0
)
(
)
(
M
f
m
f
.
уравнения
Уравнение вида 0
2
c
x
b
x
a
с переменной x
при 0
a
приводится к уравнению степени не в
ы
ше первой; при 0
a
является квадра
т
ным уравнением.
Пример 5
.
(МГУ
,
1980)
.
При каких значениях параметра a
ура
в
нение 0
2
3
2
)
1
3
(
2
a
ax
x
a
имеет два действительных различных корня
?
Решение.
1. Если 0
1
3
a
,
т.е. ,
3
1
a
то получаем уравнение ,
0
1
3
2
x
кот
о
рое имеет один корень.
2. При 3
1
a
по
лучаем квадратное уравнение, которое имеет два действ
и-
тельных различных корня тогда и только Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
5
тогда, когда
его дискриминант полож
и-
телен: .
0
)
2
3
)(
1
3
(
0
4
2
a
a
a
D
Решая это неравенство при условии 3
1
a
, получаем ответ.
Ответ:
16
17
9
;
3
1
3
1
;
16
17
9
.
Пример 6
.
(МГУ
,
2004)
.
При каких значениях пар
а
метра a
уравнение 0
5
1
2
2
a
a
x
x
не имеет решений
?
Решение. Квадратное уравнение не имеет решений тогда и только тогда, к
о-
гда его дискриминант отрицателен: .
0
5
7
9
0
a
a
D
Решая это неравенс
т-
во методом интервалов, получаем о
т
вет.
Замечание. При 5
a
дробь не о
п-
ределена, поэтому и уравнение не опр
е-
делено
, и в этом случае
не имеет смысла г
о
ворить о решениях уравнения
.
Ответ
: ;
7
9
)
5
;
(
.
Пример 7
.
(МГУ
,
2007)
.
Най
ти
все значения параметра а
,
при каждом из к
о
торых среди корней уравнения 0
1
)
4
(
2
a
x
a
ax
имеется ровно один отрицательный.
Решение. 1
.
Пусть ,
0
a
тогда
пол
у-
чаем линейное уравнение ,
0
1
4
x
к
о-
торое имеет единственный отрицател
ь-
ный к
о
рень .
4
1
x
2
.
При 0
a
получаем квадратное уравнение, дискриминант которого р
а
вен
.
16
4
3
)
1
(
4
)
4
(
2
2
a
a
a
a
a
D
а) Уравнение имеет ровно один к
о-
рень, т.е. .
0
D
Отсюда .
3
13
2
2
a
Так как корень ,
0
2
4
a
a
x
то остае
т-
ся .
3
13
2
2
a
б) Уравнение имеет корни разных зн
а-
ков. В этом случае свободный член пр
и-
веденного уравнения отрицателен (ди
с-
крим
и
нант будет положительным): .
0
1
0
1
a
a
a
в) Один из корней равен нулю, т.е. .
1
0
1
a
a
Квадратное уравн
е-
ние принимает вид ,
0
3
2
x
x
и имеет ко
р
ни ,
0
x
.
3
x
Значение 1
a
не удовлетворяет усл
овию задачи.
Ответ
:
.
3
13
2
2
0
;
1
Пример 8
(МИОО
,
2010).
Най
ти
все значения параметра a
,
п
ри каждом из которых уравнение
0
)
12
)(
12
(
5
5
2
a
a
x
a
a
x
имеет два различных отрицательных корня.
Решение. Используя теорему Виета, запи
шем условия существования двух различных отрицательных корней для квадратн
о
го уравнения:
.
0
,
0
,
0
2
1
2
1
D
x
x
x
x
Рассмотрим первые два неравенства
;
0
5
5
,
0
)
12
)(
12
(
a
a
a
a
;
0
)
5
(
)
5
(
,
0
)
12
)(
12
(
2
2
a
a
a
a
;
0
10
2
,
0
)
12
)(
12
(
a
a
a
.
12
a
Теперь рассмо
трим дискриминант с учетом того, что
.
12
a
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
6
,
0
)
12
)(
12
(
4
5
5
2
a
a
a
a
,
0
)
12
)(
12
(
4
10
2
a
a
,
25
144
2
a
,
169
2
a
.
13
13
a
Учитывая условие
12
a
,
получ
а
ем .
12
13
a
Ответ
:
(
–
13
; –
1
2
).
неравенства
Пример 9
.
(МГУ
, 2005)
.
При каких ц
е-
лых a
нер
а
венство
0
log
2
3
log
2
2
2
1
2
1
x
a
x
a
верно для любого значения
x
?
Решение.
Квадратный трехчлен отн
о-
сительно x
отрицате
лен при всех x
т
о-
гда и только тогда, когда его дискрим
и-
нант отрицателен. Обозначим b
a
2
1
log
, тогда 0
3
2
2
1
b
b
D
, т.е.
1
3
b
. Тогда 2
log
log
8
log
2
1
2
1
2
1
a
. Отсюда 8
2
a
.
Вы
бирая целые значения a
из пром
е-
жутка )
8
;
2
(
, получаем ответ.
Ответ:
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.
В следующем примере используем прием, при котором параметр рассматр
и-
вают в качестве отдельной переменной.
Пример 10
. (МГУ
,
1992
)
.
Найти все значения x
,
для каждого из которых н
е-
равенство
0
4
5
6
)
2
1
(
)
2
(
2
2
3
a
a
x
x
a
x
a
выполняется хотя бы при одном знач
е-
нии .
]
2
;
1
[
a
Решение.
Перепишем данное нераве
н-
ство так:
)
4
2
(
)
(
2
3
2
x
x
a
a
a
f
.
0
)
5
6
2
(
2
3
x
x
x
Левая часть его –
квадратный трехчлен относительно а
. Для того чтобы квадра
т-
ный трехчлен с положительным коэфф
и-
циентом при 2
a
принимал положител
ь-
ные значения хотя бы в одной точке о
т-
резка ]
2
;
1
[
, необходимо и дост
а
точно, чтобы он был положителен хотя бы в о
д-
ном из концов этого отрезка. П
о
лучаем сов
о
купность неравенств для x
:
0
)
2
(
,
0
)
1
(
f
f
.
0
)
1
)(
3
(
,
0
)
1
)(
2
(
x
x
x
x
x
Решения неравенств совокупности объединяем для от
вета.
Ответ:
)
;
1
(
)
1
;
0
(
)
2
;
(
.
системы уравнений (
неравенств
)
Пример 11
. (МИОО
,
2010)
.
Най
ти
все значения a
,
при каждом из которых система a
y
x
a
x
y
2
2
,
имеет ровно два решения.
Решение.
Исключая параметр из си
с-
темы,
п
о
лучаем уравнение .
0
)
1
)(
(
x
y
x
y
Отсюда x
y
или
.
1
x
y
Пусть
x
y
, тогда из системы имеем квадратное уравнение ,
0
2
a
x
x
ди
с-
криминант которого равен
.
4
1
1
a
D
Е
сли
,
1
x
y
то из системы имеем квадра
т
ное уравнение 0
1
2
a
x
x
, которое
имеет
дискр
и
минант .
4
3
2
a
D
Рассмотрим разные случаи для ди
с-
криминантов.
1.
0
,
0
2
1
D
D
0
4
3
,
0
4
1
a
a
4
1
4
3
a
.
2.
0
,
0
2
1
D
D
.
0
4
3
,
0
4
1
a
a
Система н
е-
равенств не имеет решений.
3.
0
,
0
2
1
D
D
.
0
4
3
,
0
4
1
a
a
Си
с
тема не и
меет р
е
шений.
4.
0
,
0
2
1
D
D
0
4
3
,
0
4
1
a
a
4
3
a
.
При 4
3
a
п
ервое уравнение имеет вид
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
7
0
4
3
2
x
x
. Числа
2
3
и 2
1
его ко
р-
ни. Второе уравнение имеет вид 0
4
1
2
x
x
и число 2
1
его единс
т-
венный к
о
рень
.
5.
0
,
0
2
1
D
D
.
0
4
3
,
0
4
1
a
a
Си
с
тема не имеет решений.
6.
.
0
,
0
2
1
D
D
В этом случае выше прив
е-
денные квадратные уравн
е
ния не имеют общих корней (докажите, приравнивая корни). Тогда исходная си
с
тема имеет четыре различных решения.
Случай 1
x
x
, т.е. 2
1
x
, прив
о-
дит к значениям 2
1
y
и .
4
3
a
Тогда п
о
лучаем одно уравнение ,
0
4
3
2
x
x
кот
о
рое имеет корни 2
3
и .
2
1
Ответ
:
4
1
4
3
a
.
Пример 12
.
(МГУ
,
1988)
.
Най
ти
все значения параметра a
,
при каждом из которых си
с
тема уравнений
0
1
2
,
0
2
3
xy
y
x
y
x
axy
имеет единственное решение
.
Решение.
Второе уравнение исходной си
с
темы можно переписать в виде ,
0
)
1
(
)
2
(
x
x
y
откуда следует, что эта система ни при каком значении параметра а
не имеет решений с условием .
2
x
Поэтому и
с-
ходная система ура
в
нений равносильна системе
;
2
1
,
0
2
3
)
1
(
x
x
y
x
y
ax
.
2
1
,
0
8
)
9
2
(
)
2
2
(
2
x
x
y
x
a
x
a
Найдем все значения параметра а
, при которых первое уравнение последней системы имеет решение .
2
x
Для т
а-
ких значений а
должно выполняться р
а-
венство ,
0
8
)
2
)(
9
2
(
)
2
)(
2
2
(
2
a
a
откуда находим, что .
5
,
0
a
При 5
,
0
a
первое уравнение сист
е-
мы перепишется в виде .
0
8
10
3
2
x
x
Эт
о уравнение имеет два корня 2
1
x
и .
3
4
2
x
Второму из них соответствует значение .
5
,
0
2
y
Для 2
1
x
соотве
т-
ствующего значения у
не существует. Итак, при 5
,
0
a
исходная си
стема имеет единственное решение ,
2
1
;
3
4
и это значение а
отвечает усл
о
вию задачи.
При 1
a
первое уравнение системы перепишется в виде .
0
8
7
x
Оно имеет единственное решение ,
7
8
x
с
о-
отве
тствующее значение у
равно .
6
1
Итак, при 1
a
исходная система уравн
е-
ний имеет единственное решение ,
6
1
;
7
8
и это значение а
отвечает усл
о-
вию задачи.
При 1
a
первое уравнение системы
есть квадратное уравнение с дискрим
и-
нантом )
2
2
(
8
4
)
9
2
(
2
a
a
D
.
17
28
4
2
a
a
Если ,
0
D
то первое уравнение си
с-
темы, а значит, и исходная система, не имеют решений. Если 0
D
и 5
,
0
a
,
1
a
то пе
р-
вое уравнение системы имеет два реш
е-
ния, отличных от )
2
(
. Следов
а
тельно, система имеет два решения. Эти зн
а
чения а
не удовлетворяют условию зад
а
чи.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
8
Равенство 0
17
28
4
2
a
a
D
в
ы-
полняется для .
2
2
4
7
a
Оба эти значения отличны от ).
5
,
0
(
Следов
а-
тельно, при 2
2
4
7
a
первое ура
в-
нение системы, а вместе с ним и си
с
тема, имеют по одному решению. Ответ:
.
2
2
4
7
;
2
1
;
1
Пример 1
3
.
(МГУ
,
1967)
.
Найти все зна
чения а
,
при каждом из которых си
с-
тема 4
,
0
)
3
2
)(
(
ax
a
ax
a
x
не имеет решений
. Решение.
1. Если 0
a
,
то второе н
е-
равенство системы не выполняется, и система не имеет решений.
2
.
Пусть .
0
a
В этом случае данная сис
тема равносильна следующей сист
е-
ме:
.
4
,
0
3
2
)
(
a
x
a
a
x
a
x
Согласно условию задачи для любого a
x
4
должно выполняться неравенство:
.
0
3
2
)
(
)
(
a
a
x
a
x
x
f
Решением этого неравенства является промежуток a
a
a
3
2
;
или a
a
a
;
3
2
при a
a
a
3
2
. Но н
айдутся числа x
, к
о-
торые
больше всех ч
и
сел ,
4
a
а
, ,
3
2
a
a
и для них выполняется неравенство
.
0
)
(
x
f
3
.
Пусть .
0
a
В этом случае данная система равносильна следующей сист
е-
ме:
.
4
,
0
3
2
)
(
a
x
a
a
x
a
x
Согласно условию задачи для любого a
x
4
должно выполняться неравенство:
.
0
3
2
)
(
)
(
a
a
x
a
x
x
f
Решением этого неравенства является объединение промеж
утков )
;
(
a
;
3
2
a
a
или a
a
3
2
;
;
a
.
Нер
а
венство 0
)
(
x
f
будет выполняться при всех значениях a
x
4
при условиях a
a
a
a
a
a
3
2
4
,
4
,
0
3
2
4
4
0
2
a
a
a
0
2
a
.
Получаем окончательный ответ
.
0
2
a
Ответ:
]
0
;
2
(
.
1.3. Сведение задачи к зад
а
че вида
b
x
a
или 0
2
c
x
b
x
a
Линейный двучлен и в особенности квадратный трехчл
ен занимают це
н-
тральное место в задачах с параметрами. Это связано с тем, что разные задачи тем или иным способом (замена переменной, разложение на множители и т.д.) можно привести к исследованию линейного дв
у-
члена или квадратного трехчлена.
задачи, содерж
ащие целые
раци
о
нальные выражениями
высшей ст
е
пени
Пример 14
. (МГУ
,
2002)
.
Най
ти
все значения параметра а
,
при каждом из которых ура
в
нение 2
2
2
4
)
2
(
2
a
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
4
)
2
(
2
)
5
(
2
2
0
2
8
2
a
a
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
9
и
меет
: а
)
единственное решение
;
б
)
ро
в-
но дв
а различных решения.
Решение.
Обозначим
,
4
)
2
(
2
)
(
2
2
a
a
x
a
x
x
f
y
тогда уравнение принимает вид .
0
2
8
)
5
(
)
(
2
2
a
a
y
a
y
y
g
Ква
д
ратный трехчлен )
(
x
f
)
4
)(
(
a
x
a
x
принимает в одной точке значение ,
4
)
2
(
a
f
а остал
ь-
ные
свои значения (большие 4
) –
по два раза. Поэтому уравнение имеет еди
н-
ственный корень тогда и только т
о
гда, когда:
1) 4
,
0
)
4
(
в
y
g
4
2
5
,
0
2
8
)
5
(
4
16
2
a
a
a
a
,
2
2
a
а ровно два корня –
в следующих случ
а-
ях:
2) 4
2
1
y
y
4
,
0
в
y
D
4
2
5
,
0
)
2
8
(
4
)
5
(
2
2
a
a
a
a
;
1
a
3) 2
1
4
y
y
0
)
4
(
g
.
2
2
,
2
2
a
a
Ответ:
а) ;
2
2
б) .
)
;
2
2
(
}
1
{
)
2
2
;
(
Пример 15
. (МГУ
,
2008)
.
Най
ти
все значения параметра a
, при которых уравнение 0
1
)
1
(
)
1
2
(
)
1
(
2
3
4
x
a
x
a
x
a
x
на промежутке )
1
;
(
имеет не менее двух корней.
Решение. Приведем уравнение к виду 0
)
1
2
(
1
)
1
(
2
1
2
a
x
x
a
x
x
,
0
3
2
)
1
(
2
a
y
a
y
где функция x
x
x
f
y
1
)
(
возрастает на пром
е
жутке )
1
;
(
от до .
0
)
1
(
f
Поэтому исходное уравнении имеет не менее двух корней на пром
е-
жутке )
1
;
(
тогда и только тогда, к
о-
гда полученное уравнение имеет два ко
р-
ня
, принадлежащие интервалу
),
0
;
(
т.е. к
о
гда 0
)
3
2
(
4
)
1
(
0
3
2
0
1
2
a
a
a
a
20
3
,
0
)
)(
(
,
1
2
,
1
2
1
a
a
a
a
a
a
20
3
a
.
О
твет:
20
3
a
.
задачи, содержащие дробно
-
рациональные выражения
Пример 16
. Определить
количество различных решений уравн
е
ния 0
5
2
2
b
x
x
с параметром b
.
Решение.
Данное уравнение равн
о-
сильно системе
.
,
5
b
x
x
Из условия b
5
получаем, что
ч
и
с-
ло 5 является корнем исходного уравн
е-
ния, если 5
b
. При 5
b
нет корней.
Ответ:
при 5
b
единственный к
о
рень, при 5
b
нет корней.
Пример 1
7
. При каких значениях
п
а-
раметра a
уравнение 0
5
6
2
3
2
)
1
3
(
2
2
2
x
x
a
a
x
a
x
имеет единс
т
венное решение
?
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
10
Решение. При условии 1
x
и 5
x
имеем 2
1
a
x
и 1
2
2
a
x
(обратная те
о
рема Виета). Для выполнения условия задачи необходимо рассмотреть пять случ
а
ев.
1) 1
1
2
,
5
2
,
1
2
a
a
a
1
a
.
2) .
5
1
2
,
5
2
,
1
2
a
a
a
Нет решений.
3) 1
2
,
5
1
2
,
1
1
2
a
a
a
1
a
.
4)
.
5
2
,
5
1
2
,
1
1
2
a
a
a
Нет решений.
5) .
2
1
2
,
5
2
,
1
2
a
a
a
a
Нет решений.
Ответ:
1
a
или .
1
a
Пример 1
8
. (МГУ
,
2003).
Найти все значения параметра b
,
при каждом
из которых отрезок ]
1
;
3
[
целиком с
о-
держится среди решений нер
а
венства 0
2
3
x
b
b
x
.
Решение. Неравенство перепишем так: 0
2
3
b
x
b
x
или .
0
2
)
3
(
)
(
b
x
b
x
x
f
Воспользуемся условиями располож
е-
ния корней квадратн
ого трехчлена: оба корня меньше числа (
–
3) или оба корня больше числа (
–
1), т.е. выполняются у
с-
ловия
3
,
0
)
3
(
в
x
f
или ,
1
,
0
)
1
(
в
x
f
где абсцисса вершины
параболы
.
4
7
2
2
3
в
b
b
b
x
Рассмотрим первую систему неравенств.
3
4
7
,
0
2
3
)
3
3
(
b
b
b
.
6
7
12
,
0
)
6
)(
1
(
b
b
b
b
Для второй системы неравенств имеем.
1
4
7
,
0
2
1
)
3
1
(
b
b
b
.
3
1
7
4
,
0
)
2
)(
3
1
(
b
b
b
b
Объединяем полученные решения и з
а-
писываем ответ.
Ответ:
;
3
1
)
6
;
(
.
задачи, содержащие выражения
с модулями
Пример 19
. Определить количество различных решений уравнения a
x
|
3
|
в зависимости от п
а
раметра а.
Решение. По сво
й
ству модуля имеем 0
|
3
|
x
. П
о
этому при 0
a
исходное уравнение корней не имеет. Пусть 0
a
, тогда уравнение 0
|
3
|
x
имеет один корень 3
x
. Если 0
a
, то из уравн
е-
ния a
x
|
3
|
получаем два различных корня 3
a
x
или 3
a
x
. Ответ:
е
сли 0
a
, то нет решений; если 0
a
–
одно решение; при 0
a
–
два
.
Пример 20
. Сколько решений в зав
и-
симости от параметра а имеет уравн
е-
ние 1
2
ax
x
?
Решение.
Рассмотрим два случая.
1. Пусть ,
0
2
x
т.е. 2
x
. Тогда данное уравнение принимает вид: ,
1
2
ax
x
.
1
)
1
(
a
x
Последнее Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
11
уравнение при 1
a
решений не имеет, а при 1
a
имеет единс
т
венный корень .
1
1
a
x
Найдем те значения параметра а
, при которых для корня выполняется у
с
ловие 2
x
:
2
1
1
a
0
1
1
2
a
a
.
1
,
5
,
0
a
a
Следовательно, в первом случае исхо
д-
ное ур
авнение имеет одно решение при всех значениях )
;
1
(
]
5
,
0
;
(
a
и не имеет решений при ].
1
;
5
,
0
(
a
2
.
Если ,
2
x
то будем иметь ура
в-
нение 1
2
ax
x
или .
3
)
1
(
a
x
При 1
a
по
следнее уравнение не им
е-
ет корней, а при 1
a
–
единственное решение a
x
1
3
, которое должно удовлетворять условию 2
x
:
2
1
3
a
0
1
1
2
a
a
.
5
,
0
1
a
Таким
образом, во втором случае зада
н-
ное уравнение при всех значениях )
5
,
0
;
1
(
a
имеет одно решение, а при )
;
5
,
0
[
]
1
;
(
a
решений не им
е-
ет.
Сравнивая результаты (см. рис. 1
),
на
й-
денные в двух случаях, получаем ответ.
Ответ:
если ]
1
;
5
,
0
(
a
, то нет р
е
шений; если )
;
1
(
}
5
,
0
{
]
1
;
(
a
–
одно р
е
шение; при )
5
,
0
;
1
(
a
–
два.
Пример 2
1
. При каких значениях b
уравнение
0
2
3
|
|
)
2
4
(
2
2
b
b
x
b
x
имеет два ра
з
личных решения
?
Решение.
Пусть ,
|
|
t
x
где .
0
t
Т
о-
гда задачу можно переформул
и
ровать: при каких значениях b
квадратное ура
в-
нение 0
2
3
)
2
4
(
2
2
b
b
t
b
t
имеет один п
о
ложительный корень?
По теореме, обратной теореме Виета на
й
дем корни квадратн
ого уравнения ,
1
b
t
.
2
3
2
b
t
Возможны три случая.
1) 0
0
2
1
t
t
0
2
3
0
b
b
.
3
2
0
b
2) 0
0
2
1
t
t
0
2
3
0
b
b
Нет реш
е-
ний.
3) 0
1
2
1
t
t
t
0
2
3
b
b
b
.
1
b
Ответ
:
1
;
3
2
0
b
b
.
Замечание.
Другое решение данного пр
имера смотрите в разделе «
Функци
о-
наль
но
-
графические методы
решения
».
Пример 2
2
. (МИОО
,
2010)
.
Найти все значения а
,
при каждом из которых н
е-
равенство 3
1
1
2
2
x
x
ax
x
выполняется при всех
x
.
Решение. Приведем неравенство к в
и-
д
у
.
3
1
1
3
2
2
x
x
ax
x
Так как квадратный трехчлен 1
2
x
x
принимает полож
и
тельные значения при всех значениях x
, то приходим к дво
й-
ному неравенству ),
1
(
3
1
)
1
(
3
2
2
2
x
x
ax
x
x
x
затем к системе
.
0
2
)
3
(
2
,
0
4
)
3
(
4
2
2
x
a
x
x
a
x
a
a
О
д
н
о
р
е
ш
е
н
и
е
О
д
н
о
р
е
ш
е
н
и
е
О
д
н
о
р
е
ш
е
н
и
е
Рис. 1
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
12
Для
выполнения неравенств при всех
зн
а-
чениях
x
необходимо и достаточно п
о-
ставить условия для ди
с
криминанта
0
16
)
3
(
,
0
64
)
3
(
2
2
2
1
a
D
a
D
4
3
,
8
3
a
a
4
3
4
,
8
3
8
a
a
1
7
,
11
5
a
a
1
5
a
.
Ответ:
1
5
a
.
Пример 2
3
.
(МГУ
,
1993)
. Найти все значения параметра а
, при каждом из которых неравенс
тво 2
2
4
a
a
x
x
спр
а
ведливо для всех действительных x
.
Решение. При a
x
неравенство ра
в-
носильно неравенству
,
0
)
4
)(
(
a
x
a
x
справедливому при всех a
x
тогда и только тогда, когда ,
4
a
a
т.е. при .
2
a
Аналогично, при a
x
приходим к неравенству ,
0
)
4
)(
(
a
x
a
x
спр
а-
ведливому при всех a
x
при
,
4
a
a
т.е. при .
2
a
Ответ:
2
;
2
.
Пример 2
4
. (МГУ
,
1995)
.
Найти все значения параметра а
,
при которых н
е-
равенство 0
9
2
6
4
2
2
a
x
a
x
x
имеет не б
о
лее одного решения
.
Решение
. Преобразуем данное нер
а-
венство 0
4
9
|
2
|
6
|
2
|
2
2
a
x
a
x
, 4
)
3
|
2
(|
2
a
x
. Неравенство
a
x
a
3
2
|
2
|
3
2
имеет не больше одного р
е
шения лишь при 0
3
2
a
(сделайте графическую илл
ю
страцию для функций |
2
|
x
y
и
a
y
3
2
), то есть при 3
2
a
.
Ответ:
3
2
a
.
Пример 25
.
В зависимости от знач
е-
ний параметра a
определить количес
т
во различных решений системы уравн
е
ний .
8
2
,
0
|)
|
2
)(
8
(
2
2
a
y
ax
y
x
x
y
Решение.
Рассмотрим первое уравн
е-
ние системы 0
|)
|
2
)(
8
(
2
y
x
x
y
.
0
|
|
2
,
0
8
2
y
x
x
y
Следовательно, исходная система равн
о-
сильна совокупности двух систем
(
I
) 2
2
8
2
,
8
a
ax
y
x
y
и (
II
) .
8
2
,
2
|
|
2
a
ax
y
x
y
Решим систему (
I
). Подставляя 8
2
x
y
во второе уравнение этой си
с-
темы, п
о
лучим 2
2
8
2
8
a
ax
x
или 0
)
(
2
a
x
, т.е. система (
I
) при всех зн
а-
чениях параметра имеет решение a
x
, 8
2
a
y
.
Решим систему (
II
). Она в свою оч
е-
редь также равносильна совокупности двух систем (
II
а
) 2
8
2
,
0
,
2
a
ax
y
x
x
y
и (
I
I
б
) .
8
2
,
0
,
2
2
a
ax
y
x
x
y
Для системы (
II
а
) подставляя x
y
2
в уравнение 2
8
2
a
ax
y
, пол
у
чим 2
8
)
2
2
(
a
a
x
.
При 1
a
это уравнение имеет вид 9
0
x
, т.е. решений нет. При 1
a
уравнение имеет одно р
е-
шение a
a
x
2
2
8
2
. Проверяя выполн
е-
ние условия 0
x
имеем 1
0
2
2
0
2
2
8
2
a
a
a
a
.
Следовательно, система (
II
а
) при 1
a
имеет одно решение a
a
x
2
2
8
2
, 1
8
2
a
a
y
.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
13
Аналогично решая систему (
II
б
), п
о-
лучим, что при 1
a
она имеет одно р
е
шение a
a
x
2
2
8
2
, 1
8
2
a
a
y
.
Заметим, что решения систем (
II
а
) и (
II
б
) различны при 1
a
, та
к как ура
в-
нение a
a
a
a
a
a
2
2
2
2
2
2
8
2
2
8
2
2
не имеет корней.
Рассмотрим случаи совпадения реш
е-
ний систем (
I
) и (
II
). Из уравнения a
a
a
2
2
8
2
при 1
a
получаем 0
8
2
2
a
a
. Отсюда 3
1
2
,
1
a
. С учетом условия 1
a
ост
а-
ется 2
a
.
Из уравнения a
a
a
2
2
8
2
при 1
a
получаем 0
8
2
2
a
a
. Отсюда 3
1
2
,
1
a
. С учетом условия 1
a
о
с
тается 4
a
.
В итоге получаем, что исходная си
с-
тема уравнений имеет:
при 1
a
одно решение )
8
;
(
2
a
a
.
при 1
1
a
или 4
a
два решения )
8
;
(
2
a
a
и
ли
1
8
;
2
2
8
2
2
a
a
a
a
;
при 2
a
два решения )
8
;
(
2
a
a
или 1
8
;
2
2
8
2
2
a
a
a
a
;
при ,
4
a
2
4
a
и 1
2
a
три решения
)
8
;
(
2
a
a
,
1
8
;
2
2
8
2
2
a
a
a
a
, 1
8
;
2
2
8
2
2
a
a
a
a
.
Ответ:
при 1
a
одно решение; при 1
1
a
, 2
a
и 4
a
два
р
е-
шения
; при ,
4
a
2
4
a
и 1
2
a
три
решения
.
Замечание. Друго
е решение данного примера смотрите в разделе «Функци
о-
нально
-
графические методы решения».
задачи, содержащие
иррациональные выраж
е
ния
Пример 26
. Определить
количество различных решений уравн
е
ния 0
)
1
(
q
x
x
с параметром q
.
Решение.
Из данного ур
авнения пол
у-
чаем два корня 1
x
или q
x
. Второй корень удовлетворяет условию 0
q
x
. Для первого корня имеем 0
1
q
или 1
q
. Значит, при 1
q
ис
ходное уравн
е-
ние имеет два различных решения q
x
или 1
x
, при 1
q
–
один корень 1
x
, при 1
q
–
один корень q
x
.
Ответ:
если 1
q
, то два различных корня; если 1
q
, то один корень.
Пример 27
. При каких значениях b
уравнение 3
x
b
x
имеет единс
т-
венное решение
?
Решение.
Имеем 3
x
b
x
0
3
,
9
6
2
x
x
x
b
x
.
3
,
0
9
5
2
x
b
x
x
Квадратное уравнение 0
9
5
2
b
x
x
имеет дискриминант .
11
4
b
D
1
.
0
D
при .
75
,
2
b
В этом случае ква
д
ратное уравнение 0
25
,
6
5
2
x
x
имеет один корень
5
,
2
x
, который удовлетв
о
ряет условию .
3
x
2
.
Пусть ,
0
D
т.е. .
75
,
2
b
Тогда квадратное уравнение имеет два действ
и-
тельных различных корня. Чтобы зада
н-
ное уравнение имело один корень, н
ео
б-
ходимо рассмотреть два сл
у
чая.
а) Один из корней ,
3
1
x
а другой .
3
2
x
Подставим значение 3
x
в квадратное уравнение, получим .
3
b
Соответс
т
вующее уравнение 0
6
5
2
x
x
имеет корни ,
2
1
x
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
14
.
3
2
x
Для первого корня не выполн
я-
ется условие .
3
1
x
б) В случае, когда 2
1
3
x
x
, знач
е-
ние квадратного трехчлена b
x
x
x
f
9
5
)
(
2
при 3
x
от
риц
а-
тельно, так как 0
)
(
x
f
на промежутке ).
,
(
2
1
x
x
Получаем ,
0
3
)
3
(
b
f
.
3
b
Ответ: .
3
;
75
,
2
b
b
Пример 28
. При каких значениях п
а-
раметра а уравнение a
x
x
1
им
е-
ет еди
нственное решение
?
Решение.
Пусть ,
1
t
x
где .
0
t
О
т
сюда .
1
2
t
x
Уравнение 0
1
t
x
имеет один корень, если .
0
0
t
Получ
а
ем квадратное уравнение ,
0
1
2
a
t
t
дис
криминант к
о
торого равен .
4
5
a
D
1. Если ,
0
D
т.е. 25
,
1
a
, то ква
д-
ратное уравнение 0
25
,
0
2
t
t
или 0
)
5
,
0
(
2
t
имеет единственный корень .
0
5
,
0
t
Следовательно, исхо
дное уравнение имеет один к
о
рень при 25
,
1
a
.
2. Если ,
0
D
т.е. 25
,
1
a
, то ква
д-
ратное уравнение имеет два корня.
а) Корни будут разных знаков при у
с-
ловии 0
1
2
1
a
t
t
, т.е. из них только один п
оложительный корень. Решая си
с-
тему неравенств ,
0
1
25
,
1
a
a
получим у
с-
ловие ,
1
a
при котором исходное ура
в-
нение имеет один корень.
б) Хотя бы один из корней равен н
у-
лю, в этом случае ,
0
1
a
.
1
a
Ква
д-
ратное уравнение имеет два неотриц
а-
тельных корня 0
1
t
и 1
2
t
. Значит, исходное уравнение также имеет два корня.
Ответ:
.
1
;
25
,
1
a
a
Пример 29
. При каких
a
уравнение
0
11
2
3
2
2
a
a
x
x
имеет единс
т
венное решение
?
Решение.
Пусть ,
t
x
где .
0
t
Т
о-
гда задачу можно переформулировать: при каких значениях а квадратное ура
в-
нение 0
11
2
3
2
2
2
a
a
t
t
имеет один неотр
и
цательный корень
?
Возможн
ы три случая.
1. Если квадратное уравнение имеет один корень, то он будет равен .
4
3
t
Этот корень не удовлетворяет у
с-
ловию задачи.
2. Корни разных знаков.
Необходимое и достаточное условие: 0
2
1
t
t
0
11
2
2
a
a
.
5
,
5
0
a
3) Один из корней равен нулю, другой –
отрицательный. В этом случае необх
о-
димо выполнение условия .
0
11
2
2
a
a
Отсюда
0
a
или .
5
,
5
a
Для
этих зн
а-
чений
один корень равен нулю, другой равен
).
5
,
1
(
Замечание. В данной задаче не потр
е-
бовалось рассматривать дискриминант. Ответ:
5
,
5
;
0
.
Пример 30
. (МГУ
,
2000)
.
При каких значениях a
неравен
ство
0
1
4
2
)
2
(
2
2
x
a
a
x
a
x
имеет единственное решение
?
Решение.
Так как д
анное неравенство
определено при 1
x
, то оно
имеет еди
н-
ственное решение (
1
x
) тогда и только тогда, когда наименьший корень ква
д-
ратного тре
х
члена a
a
x
a
x
4
2
)
2
(
2
2
не меньше 1. Квадратный трехчлен имеет дискрим
и-
нант 2
)
2
3
(
a
D
и корни
a
x
2
1
, a
x
2
2
. Взаимное расположение ко
р-
ней приводит к совокупности систем:
3
2
2
1
2
1
,
3
2
1
2
,
2
2
a
a
a
a
a
a
и .
1
3
2
1
,
3
2
1
2
,
2
2
a
a
a
a
a
a
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
15
Объединяем решения систем и пол
у-
чаем ответ.
Ответ:
1
;
2
1
.
задачи, содержащие показательные выражения
Пример 31
. Определить
количество различных решений уравнения 3
2
2
1
2
t
x
с параметром t
.
Решение.
Если 0
3
2
t
, то есть 5
,
1
t
, то данное уравнение не имеет корней. При 5
,
1
t
получаем единс
т-
венный корень 1
)
3
2
(
log
2
1
2
t
x
.
Ответ:
при 5
,
1
t
нет корней; при 5
,
1
t
оди
н корень.
Пример 3
2
. При каких значениях п
а-
раметра а уравнение 0
3
4
2
3
5
4
2
a
a
a
x
x
имеет единственное решение
?
Решение.
Пусть ,
2
t
x
где .
0
t
Т
о-
гда задачу можно переформулировать: при каких значениях а квадратное ур
а
в-
нение
0
3
4
)
3
5
(
2
2
a
a
t
a
t
имеет один положительный корень
? По теореме, обратной теореме Виета найдем корни квадра
т
ного уравнения ,
1
a
t
.
3
4
2
a
t
Возможны следующие
случа
и
.
1) 0
0
2
1
t
t
0
3
4
0
a
a
.
4
3
0
a
2) 0
0
2
1
t
t
0
3
4
0
a
a
Нет реш
е-
ний.
3) 0
1
2
1
t
t
t
0
3
4
a
a
a
.
1
a
4) Один из корней равен нулю, другой –
положительный. В этом случае 0
0
2
1
2
1
t
t
t
t
0
3
5
0
3
4
2
a
a
a
.
4
3
a
Ответ
:
.
1
;
4
3
0
a
a
Пример 33
.
(МАДИ
,
2001). Найти все значения параметра а
, при которых н
е-
равенство
x
x
x
a
a
a
2
15
6
2
2
5
4
верно при всех значениях х.
Решение.
Пусть ,
2
t
x
где .
0
t
Получим неравенство 0
)
3
(
2
)
3
(
5
2
a
t
a
at
степени не выше второй.
Если 0
а
,
то имеем неравенство 15
6
t
,
которое
выполняется не при всех пол
о
жительных значениях t
. При 0
а
имеем квадратное нераве
н-
ство, котор
ое должно выполняться при всех полож
и
тельных значениях t
. Найдем дискриминант 2
)
3
(
25
a
D
)
75
17
)(
3
(
)
3
(
8
a
a
a
a
и абсциссу вершины a
a
t
2
)
3
(
5
в
пар
а
болы
)
3
(
2
)
3
(
5
)
(
2
a
t
a
at
t
f
. Рассмо
т-
рим несколько случаев расположения п
а-
раб
о
лы о
тносительно оси t
.
1. Парабола, ветви которой направл
е-
ны вверх, расположена выше оси t
.
0
)
75
17
)(
3
(
,
0
0
,
0
a
a
a
D
a
17
75
3
a
.
В этом случае 0
)
(
t
f
при всех значен
и-
ях
t
, в частности, при 0
t
.
2. Парабола, ветви которой направл
е-
ны вверх, касается оси t
в точках пром
е-
жутка ]
0
;
(
. .
3
0
2
)
3
(
5
,
17
75
;
3
,
0
0
,
0
,
0
в
a
a
a
a
a
t
D
a
3. Парабола, ветви которой направл
е-
ны вверх, пересекает ось t
в двух разли
ч-
ных точках 1
t
и
2
t
, причем 0
2
1
t
t
.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
16
.
3
,
3
0
17
75
3
0
)
0
(
,
0
,
0
,
0
в
a
a
a
a
f
t
D
a
Нет р
е
шений.
Случай
для 0
а
рассмотрите самосто
я-
тельно.
Ответ:
17
75
;
3
.
задачи, содержащие логарифмич
е
ские выражения
Пример 34
. Определить
количест
во различных решений уравн
е
ния 2
)
(
log
3
mx
, где m
пар
а
метр.
Решение.
Данное уравнение равн
о-
сильно уравнению 9
mx
. При 0
m
получаем ложное равенство 9
0
; при 0
m
единственный корень m
x
9
.
Ответ:
при 0
m
нет корней; при 0
m
один корень.
Пример 35
. При каких значениях а уравнение 0
log
log
2
3
2
3
a
x
x
имеет четыре разли
ч
ных корня
?
Решени
е
. Пусть ,
log
3
t
x
где .
0
t
Тогда задачу можно перефо
р
мулировать следующим образом
: при каких значениях а ква
д
ратное уравнение 0
2
2
a
t
t
имеет два различных пол
о
жительных корня
?
Возможен один случа
й
.
0
0
0
2
1
2
1
t
t
t
t
D
0
5
,
0
0
2
0
8
1
a
a
.
8
1
0
a
Ответ
:
.
8
1
;
0
Пример 36
. (МФТИ
,
2004)
.
Найдите все значения параметра а
,
при которых ура
в
нение
x
a
x
5
5
log
25
log
имеет е
динс
т
венное решение.
Решение.
Обозначим ,
log
5
q
a
.
0
5
t
x
Тогда получаем уравнение .
0
2
q
t
t
Переформулируем задачу: найдите все значения параметра a
, при которых ср
е-
ди корней уравнения 0
2
q
t
t
имее
т-
ся ровно один п
о
ложительный корень
.
Это возможно в двух сл
у
чаях.
1. Если ,
0
4
1
q
D
т.е. ,
4
1
q
,
5
1
4
a
.
2
1
t
2. Если 0
4
1
q
D
и квадратное уравнение имеет один положительный к
о
рень. При 4
1
q
это уравнение имеет два ра
з
личных корня, причем при 0
4
1
q
оба корня пол
о
жительны, так как их сумма равна 1, а произведение равно .
0
q
Е
с
ли же ,
0
q
то только один корень положителен. Следовател
ь-
но, ,
0
log
5
a
т.е. 1
a
.
Ответ
:
;
1
;
5
1
4
.
Пример 37
. (МГУ
,
2002)
.
Най
ти
все значения параметра а
,
при каждом из которых уравн
е
ние
0
)
lg(
)
15
lg(
)
16
)(
1
(
2
3
a
x
x
a
x
x
и
меет единственное решение.
Решение. Имеем
0
)
lg(
)
15
lg(
)
16
)(
1
(
2
3
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
a
x
x
a
x
x
15
,
0
,
0
15
,
16
,
1
2
3
.
8
,
15
4
1
a
x
a
x
a
x
x
Из неравенства a
x
a
15
следует, что
0
x
и, значит, .
4
x
Рассмотрим два случая.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
17
1. 1
x
–
корень уравнения при в
ы-
полнении условий: a
a
a
8
1
,
15
1
.
8
1
,
1
15
1
a
a
2. 4
x
–
корень уравнения пр
и в
ы-
полнении услови
й:
a
a
a
8
4
,
15
4
2
1
,
4
15
4
a
a
Поэтому данное
уравнение имеет единс
т-
венный корень либо при ,
8
1
,
15
4
15
1
a
a
либо при ,
4
1
a
либо при
.
2
1
a
Ответ:
.
4
;
1
2
1
15
4
;
8
1
8
1
;
15
1
Пример 38
.
Найти все значения пар
а-
метра а
, при которых неравенство
1
5
log
2
x
a
выполняется для всех значений x
?
Решение.
Рассмотрим два случая.
1. 5
,
1
5
,
1
2
2
a
x
a
a
x
a
5
1
0
5
,
1
a
a
a
.
2. .
5
,
1
0
5
,
1
0
2
2
a
x
a
a
x
a
После
д-
нее неравенство системы не выполняе
т
ся
при всех значениях x
.
Ответ:
)
5
;
1
(
.
Пример 39
.
Найти все значения пар
а-
метра a
,
при которых система уравн
е
ний 6
)
(
),
10
8
17
(
log
2
)
2
(
log
2
3
3
a
y
x
a
x
y
x
y
x
имеет ровно два решения
.
Решение.
Рассмотрим первое уравн
е-
ние системы )
10
8
17
(
log
2
)
2
(
log
3
3
y
x
y
x
)
10
8
17
(
log
)
9
9
18
(
log
3
3
y
x
y
x
.
2
,
1
0
2
,
10
8
17
9
9
18
y
x
x
y
y
x
y
x
y
x
Подставляя 1
x
y
во второе уравн
е-
ние и
с
ходной системы, получим
5
)
(
2
a
a
x
.
(
*
)
Уравнение (
*
) имеет решение, е
с
ли 0
5
a
, т.е. при 5
a
. При 0
5
a
, т.е. при 5
a
, получ
а-
ем 5
x
. Тогда 6
y
. В этом случае 2
11
y
x
, т.е. исходная система имеет решение и при том единственное.
При 5
a
, получаем два решения уравнения (
*
): 5
1
a
a
x
и a
x
2
5
a
. Им соответствуют зн
а
чения 5
1
1
a
a
y
и 5
1
2
a
a
y
.
Исходная система будет иметь ровно два решения, если обе найденные пары )
,
(
1
1
y
x
и )
,
(
2
2
y
x
будут удовлетворять 2
y
x
.
Для пары )
,
(
1
1
y
x
получаем:
5
2
3
2
2
5
2
1
2
a
a
a
a
)
5
(
4
)
3
2
(
,
0
3
2
,
0
5
,
0
3
2
2
a
a
a
a
a
0
11
16
4
,
5
,
1
,
5
,
5
,
1
2
a
a
a
a
a
2
27
4
2
27
4
,
5
,
1
,
5
,
1
5
a
a
a
2
27
4
5
a
.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
18
Для пары )
,
(
2
2
y
x
получаем:
a
a
a
a
2
3
5
2
2
5
2
1
2
0
11
16
4
,
0
5
,
0
2
3
2
a
a
a
a
2
27
4
5
a
.
Следовательно, обе пары будут я
в-
ляться решениями исходной системы при a
таких, что 2
27
4
5
a
.
Ответ:
2
27
4
5
a
.
задачи, содержащие
тригонометрические выраж
е
ния
Пример 40
. Найти все значения пар
а-
метра b
, при каждом из которых ура
в-
нение b
x
x
2
sin
2
2
cos
3
имеет решение.
Решение.
Преобразуем данное ура
в-
нение к виду b
x
x
)
sin
2
sin
cos
2
(cos
)
2
(
3
2
2
,
b
x
)
2
cos(
13
,
где 13
3
arccos
.
Уравнение 13
)
2
cos(
b
x
имеет решения тогда и только тогда, когда 1
13
b
, то есть при 13
13
b
.
Ответ:
13
13
b
.
Пример 4
1
. (МГУ
,
1989)
. Най
ти
все значения параметра а
,
при каждом из которых ура
в
нение
x
x
a
a
2
2
cos
sin
2
2
9
6
0
3
)
sin
1
(
2
18
12
2
a
x
a
a
не имеет решений.
Решение. Введя обозначени
е ,
sin
t
x
и
с
ходное уравнение перепишем в виде .
6
7
)
3
(
2
2
2
a
a
t
a
(
*
)
Теперь задача может быть переформул
и-
рована так: найти все значения параме
т-
ра а, при каждом из которых уравнение
(
*
) не имеет корней, принадлежащих промежу
т
ку
.
1
1
t
При 3
a
уравнение (
*
) принимает вид ,
6
0
и, следовательно, при 3
a
и
с
ходное уравнение не имеет решений.
При 3
a
уравнение (
*
) может быть переписано в виде ,
)
3
(
6
7
2
2
2
a
a
a
t
откуда искомые значения параметра а
есть решения совокупности неравенств 1
)
3
(
6
7
2
2
a
a
a
и .
0
)
3
(
6
7
2
2
a
a
a
(
**
)
Первое из этих неравенств равносильно неравенству .
0
)
3
(
3
2
a
a
Множ
е
ство его решений есть .
3
a
Так как )
6
)(
1
(
6
7
2
a
a
a
a
и на множестве 3
a
имеем ,
0
)
3
(
2
a
то множество решений второго неравенства совокупн
о-
сти (
**
) при условии 3
a
есть 3
1
a
и .
6
3
a
Объединяя найденные значения а
, п
о-
лучаем ответ.
Ответ
:
.
6
1
;
3
a
a
Пример 42
. (МИОО
, 2010
)
.
Найти все значения
a
,
при каждом из которых уравнение 1
cos
2
2
x
a
имеет ровно в
о
семь различных решени
й.
Решение. Преобразуем уравнение
Z
n
n
x
a
,
2
2
2
, ,
,
0
,
)
2
(
2
2
2
Z
n
n
n
x
a
...
,
2
,
1
,
0
,
)
2
(
2
2
n
n
a
x
Каждому положительному значению подкоренного выражения соответствуют ровно два значения неизвестной, нулев
о-
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
19
му –
одно, а отрицательному –
ни одного. П
о
этому для того чтобы решений было ро
в
но 8, необходимо и достаточно, чтобы подкоренное выражение было полож
и-
тельным при 3
,
2
,
1
,
0
n
и отрицател
ь-
ным при ...
,
6
,
5
,
4
n
Таким образом, получ
им систему н
е-
равенств
;
0
)
4
2
(
,
0
)
3
2
(
2
2
2
2
a
a
.
8
|
|
,
6
|
|
a
a
Отсюда получаем значения .
8
;
6
6
;
8
a
Замечание.
Для решения задачи мо
ж-
но к уравнению ,
2
2
2
n
x
a
Z
n
, применить графич
ескую иллюстрацию
(см. рис. 2
)
. Функция 2
2
x
a
y
задает верхнюю полуокружность с центром в начале координат и переменным ради
у-
сом |
|
a
. Функция n
y
2
, Z
n
, задает семейство горизонталь
ных прямых. Н
е-
обход
и
мо указать границы для радиуса полуо
к
ружности, обеспечивая нужное количество т
о
чек их пересечения.
Ответ:
8
;
6
6
;
8
.
1.
4
.
Метод замены Выше были рассмотрены задачи, в к
о-
торых использовали метод введения н
о-
вой переменной. В таких случаях треб
у-
ется исследовать область изменения н
о-
вой переменной, и задача с новой пер
е-
менной может быть переформулирована. В данном разделе еще раз подробно ост
а-
новимся на методе замены переменной (переменных).
введение одной новой переменной
При
мер 43
. (
ЕГЭ 2010
,
С5).
Най
ти
все значения
a
,
при
каждом из
которых уравнение
0
14
20
16
6
)
5
8
(
36
2
a
a
a
x
x
имеет единс
т
венн
ое решение
.
Решение
(1
-
й способ
). Пусть ,
6
t
x
где .
0
t
Тогда задачу можно пере
фо
р-
мулировать: при каких значениях а
ква
д-
ратное уравнение 0
14
20
16
)
5
8
(
2
2
a
a
t
a
t
имеет один положительный корень? Зн
а-
чит, другой корень должен быть непол
о-
жительным. Используя теорему Ви
е
та, имеем два случая
(
1
t
и
2
t
–
корни
ква
д-
ратного уравн
е
ния):
1) 0
2
1
t
t
0
14
20
16
2
a
a
2
1
4
7
a
.
2)
0
0
2
1
2
1
t
t
t
t
0
5
8
,
0
14
20
16
2
a
a
a
2
1
a
.
Отсюда .
2
1
4
7
a
Замечание. В рассмотренных случ
а
ях нет необходимости в исследовании ди
с-
криминанта на наличие действител
ь
ных корней уравнения. В первом случае св
о-
бодный член 2
1
t
t
c
отрицательный, а
значит,
дискриминант положител
ь
ный. Во втором случае свободный член равен нулю, поэтому
уравнение имеет ко
р
ни.
Решение (2
-
й
способ
)
.
Пусть t
x
6
,
где 0
t
. Тогда исходное уравнение примет вид 0
14
20
16
)
5
8
(
2
2
a
a
t
a
t
.
Так как дискриминант D
полученного ура
в
нения положительный 81
)
14
20
16
(
4
)
5
8
(
2
2
a
a
a
D
, то уравнение
имеет два различных ко
р
ня 2
4
a
t
или 7
4
a
t
, причем при всех значениях a
верно н
е
равенство 7
4
2
4
a
a
. y
x
O
y
=
8
y
=
a
2
x
2
y
=
2
y
=
4
y
=
6
|
a
|
Рис. 2
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
20
Исходное уравнение будет иметь еди
н-
ственное решение, если одно из ч
и
сел 2
4
a
и 7
4
a
будет положител
ь
ным, а другое неположительным. Отсюда след
у
ет
0
2
4
,
0
7
4
a
a
.
2
1
4
7
a
Приведем функционально
-
графичес
-
кое решение уравнения.
Решение (
3
-
й
способ
)
.
Пусть t
x
6
, тогда и
с
ходное уравнение примет вид 0
14
20
16
)
5
8
(
2
2
a
a
t
a
t
.
Вычислим дискриминант квадратн
о
го уравн
е
ния 81
)
14
20
16
(
4
)
5
8
(
2
2
a
a
a
D
и найдем его корни 2
4
a
t
или 7
4
a
t
.
Возвратимся к переменной х
: 2
4
6
a
x
или .
7
4
6
a
x
Отсюда п
о-
лучаем 4
2
6
x
a
и 4
7
6
x
a
или 2
1
4
6
x
a
и 4
7
4
6
x
a
. Построим гр
а-
фики полученных функций (
см. рис. 3
). Рассмотрим прямые, параллел
ь
ные оси x
и пересекающие построенные графики. Единственная точка пересечения получ
а-
ется при условии .
2
1
4
7
a
Ответ.
2
1
4
7
a
.
введение двух новых переменных
Пример 44
. Най
ти
все значения пар
а-
метра a
,
при каждом из которых си
с-
тема
уравнений
0
17
2
7
18
6
9
9
,
0
3
3
3
2
2
2
2
a
a
ay
ax
y
x
a
ay
ax
xy
имеет ровно два различных решения
.
Решение
. Группируя в первом уравн
е-
нии системы члены, получим
3
)
3
(
)
3
(
2
a
ax
ay
xy
3
)
3
)(
(
a
x
a
y
.
Группируя члены и выделяя полные квадраты во втором уравнении, имеем
17
2
3
)
(
9
)
3
(
2
2
2
a
a
a
y
a
x
.
Тогда система примет вид .
17
2
3
)
(
9
)
3
(
,
3
)
3
)(
(
2
2
2
a
a
a
y
a
x
a
x
a
y
В
в
едем новые переменные a
x
u
3
и a
y
v
. Тогда получаем систему .
17
2
3
9
,
3
2
2
2
a
a
v
u
uv
Умножая первое уравнение этой си
с-
темы на (
6
) и складывая со вторым уравнением, получим уравнение 1
2
3
)
3
(
2
2
a
a
v
u
.
(1)
Если 0
1
2
3
2
a
a
, то уравнение (1), а значит и исходная система не им
е
ют решения.
Если 0
1
2
3
2
a
a
, что в
ы
полняется при 1
a
и 3
1
a
, то уравн
е
ние (1), а значит и исходная система имеют реш
е-
ния.
Из урав
нения (1) при этих значениях параметра получаем v
u
3
. Учитывая первое уравнение си
с
темы, имеем 3
3
2
v
, т.е. 1
1
v
и 1
2
v
. Отсюда 3
1
u
и 3
2
u
. Сле
довательно, исхо
д-
ная система будет иметь два различных решения
(проверьте самостоятельно)
.
Если 0
1
2
3
2
a
a
, то уравнение (1) равносильно совокупности Рис. 3
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
21
.
1
2
3
3
,
1
2
3
3
2
2
a
a
v
u
a
a
v
u
Учитывая первое уравнение системы, имеем: если 1
2
3
3
2
a
a
v
u
, то 0
3
1
2
3
3
2
2
a
a
v
v
(
*
); если 1
2
3
3
2
a
a
v
u
, то 0
3
1
2
3
3
2
2
a
a
v
v
(
*
*
). Каждое из уравнений (
*
) и (
*
*
) будет иметь два решения. Следовательно, и
с-
ходная си
с
тема будет иметь более двух реш
е
ний.
Ответ
.
1
и 3
1
.
тригонометрическая подстановка
Пример 45
. Исследовать количество различных решений уравнения 1
2
1
2
1
2
2
x
x
a
a
a
a
в зависимости от значений параметра а.
Решение
.
Так как основания для пок
а-
зательных выражений положительны, то реш
им систему неравенств .
1
0
1
1
,
0
0
2
1
,
0
2
1
2
2
a
a
a
a
a
a
a
Пусть b
a
tg
, где 4
0
b
, тогда им
е-
ем b
b
b
a
a
2
sin
1
tg
2
tg
1
2
1
2
2
;
b
b
b
b
a
a
2
sin
2
cos
tg
2
tg
1
2
1
2
2
.
Исходное уравнение примет следующий вид
1
2
sin
2
cos
2
sin
1
x
x
b
b
b
или 1
2
sin
2
cos
b
b
x
x
. (
*
)
Исследуем полученное уравнение, уч
и-
тывая ограничения 1
2
cos
0
b
, 1
2
sin
0
b
при 4
0
b
.
Если 2
x
, то уравнение (
*
) выполн
я-
ется.
Пусть 2
x
, тогда в силу монотонн
о-
сти показательной функции получаем 2
)
2
(sin
)
2
(sin
b
b
x
и 2
)
2
(cos
)
2
(cos
b
b
x
Следовательно, .
1
2
cos
2
sin
b
b
x
x
Аналогично при 2
x
получаем нер
а-
венство .
1
2
cos
2
sin
b
b
x
x
Отсюда п
о-
лучаем ответ.
Ответ
: если )
1
;
0
(
a
, то один
к
о
рень; если )
;
1
[
]
0
;
(
a
, то нет корней.
1.
5
. Выявление необходимых условий
Задачи, в которых поиск
значений п
а-
раметра или переменной затруднителен
, выделяют необходимые условия для п
о-
лучения множества этих значений
-
претен
дентов, затем из них отбирают зн
а-
чения в ответ, используя достаточные у
с-
ловия. В
ыбор подходящего значения
параметра или переме
н
ной
В некоторых задачах условие выпо
л-
няется при всех значениях переменной а
или x
из некоторого множества.
По
д-
ставляя в условие удобное значение о
д-
ной переменной, находят множество н
е-
обходимых значений др
у
гой переменной.
Пример 46
.
Найти
все значения
x
, удовлетворяющие уравнению
)
7
5
(
log
2
)
3
|
(|
log
6
1
|
|
2
x
x
a
x
a
x
при любом действительном значении а
.
Решение
. Если данное уравнение им
е-
ет решение при любом значении пар
а-
метра а
, то оно имеет решение и при 1
a
. Подставим значение 1
a
в и
с-
ходное уравнение, получим )
7
5
(
log
2
)
3
(
log
6
3
x
x
x
x
. (*)
Найдем решения получен
ного уравн
е-
ния, переходя к уравнениям
-
следствиям.
;
6
)
7
5
(
2
x
x
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
22
;
13
7
5
x
x
.
0
6
2
x
x
Отсюда корни 3
x
или 2
x
. При 3
x
уравнение (
*
) не определено. Зн
а-
чение 2
x
является корнем этого ура
в-
нения: 2
log
2
5
log
4
5
(верно).
Таким образом, необходимо, чтобы зн
а
чение 2
x
являлось корнем исходного ура
в-
нения для всех значений а
. Проверим достаточность. Подставим 2
x
в данное уравнение, получим р
а-
венство 1
)
3
|
|
2
(
log
3
|
|
2
a
a
, которое в
ы-
полняется при всех R
a
, так как 0
3
|
|
2
a
при всех значениях а
.
Ответ
: 2.
Пример 47
.
При каких значениях п
а-
раметра
а
неравенство
1
2
2
)
1
(
log
2
2
2
2
x
x
a
a
выполняется для любого знач
е
ния x
?
Решение
.
Так как данное неравенство должно выполняться при любых знач
е-
ниях x
, то оно должно иметь место и при 0
x
. Подставляя в исходное не
равенс
т-
во 0
x
, приходим к неравенству 1
2
log
2
2
a
, которое равносильно сист
е-
ме .
4
3
4
,
3
2
2
,
1
2
2
2
2
2
2
a
a
a
a
a
Найдем достаточные условия. Для усл
о-
вия 4
3
2
a
имеем 2
2
1
2
a
. Тогда исходное неравенст
во равносильно си
с-
теме 4
3
,
2
2
2
)
1
(
,
0
2
2
)
1
(
2
2
2
2
2
2
a
a
x
x
a
x
x
a
4
3
,
2
2
2
)
1
(
2
2
2
2
a
a
x
x
a
.
4
3
,
0
4
2
)
1
(
2
2
2
2
a
a
x
x
a
Чтобы неравенство последней системы выполнялось при всех значениях x
, н
е-
обходимо и достаточно, чтобы дискр
и-
минант квадратного трехчлена был отр
и-
цател
ь
ным
.
0
)
4
)(
1
(
1
2
2
1
a
a
D
Для удобства обозначим t
a
2
, тогда получаем неравенство 0
)
4
)(
1
(
1
t
t
или 0
5
5
2
t
t
,
имеющее решения 2
5
5
2
5
5
t
. Отсюда находим достаточные условия
.
2
5
5
3
.
4
3
,
2
5
5
2
5
5
2
2
2
a
a
a
Ответ
: 2
5
5
|
|
3
a
.
Инвариантность
* Инварианты (от лат. invarians, род
и-
тельный падеж invariantis —
неизменя
ю-
щийся), числа, алгебраические выраж
е-
ния и т. п., связанные с каким
-
либо мат
е-
матическим объектом и остающиеся н
е-
изменными при
определенных преобр
а-
зованиях этого объекта или системы о
т-
счёта, в которой описывается объект.
Ниже будут рассмотрены задачи, имеющие характерную особенность: их условия
не изменяются либо при замене знака одной или нескольких переменных на противоположны
й (
«симметрия о
т-
носительно знака»
), либо при перест
а-
новке нескольких переменных (
«си
м-
метрия относительно перестановки п
е-
ременных»
), либо при замене переме
н
ной на некоторое выражение с переменной.
При решении задач указанного вида используется следующий алг
оритм:
во
-
первых, в
ыполняется проверка на инвариантность
;
во
-
вторых, из проверки выполнения необходимых условий
находятся допу
с-
тимые значения параметра (при «симме
т-
рии относительно знака» переменной подставляется ее нулевое значение; при «симметрии относит
ельно перестановки» переменных все переменные обозначают одной бу
к
вой); Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
23
в
-
третьих, проверяется достато
ч-
ность условий
, т.е. для найденных допу
с-
тимых значений параметра выполняется проверка того, что при полученных зн
а-
чениях параметра уравнение (система и т
.д.) действительно имеет требуемое чи
с-
ло решений. Замечание
.
Последний этап заключ
а-
ется либо в доказательстве существов
а-
ния требуемого числа решений, либо в его опровержении.
Приведенный алгоритм является о
б-
щим и для решения уравнений и нер
а-
венств, а такж
е систем уравнений и нер
а-
венств с одним или несколькими пар
а-
метрами. преобразование )
(
х
x
®
или
)
(
у
у
®
Выражения, инвариантные относ
и-
тельно преобразования )
(
х
x
®
или )
(
у
у
®
, называют симм
етричными о
т-
носительно знака переменной x
, или п
е-
ременной у
. В этом случае графики в
ы-
ражений симметричны относительно оси у
или оси x
соответственно.
При решении уравне
ний
(неравенств, систем уравнений или неравенств)
и
с-
пользуют следующие у
т
верждения. Утверждение
1
.
Если выражение )
(
x
f
–
инвариантно относительно преобраз
о-
вания )
(
х
x
®
и уравн
е
ние 0
)
(
x
f
имеет корень 0
x
,
то число 0
x
также корень этого уравнения.
Утверждение 2
.
Если выражение )
;
(
y
x
F
инвариантно относительно пр
е-
образования )
(
х
x
®
и уравнение 0
)
;
(
y
x
F
имеет решение )
;
(
0
0
y
х
, то и пара чисел
)
;
(
0
0
y
х
также решение
этого уравн
е
ния.
Утверждение 3
.
Если выражение )
;
(
y
x
F
инвариантно относительно пр
е-
образования )
(
у
у
®
и уравнение 0
)
;
(
y
x
F
имеет ре
шение )
;
(
0
0
y
х
, то и пара чисел )
;
(
0
0
y
х
также решение этого уравн
е
ния.
Для четных функций )
(
x
f
y
выр
а-
жение )
(
x
f
симметрично
относительно знака переменной
x
. Как извес
тно, гр
а-
фик четной функции симметричен отн
о-
сительно прямой 0
x
.
Если
для выр
а-
жения )
(
x
f
выполн
я
ется равенство )
(
)
(
x
a
f
a
x
f
, т.е. график функции )
(
x
f
y
симметричен относительно пр
я-
мой a
x
,
то удобнее сделать замену t
a
x
, чтобы рассматривать че
т
ную функцию )
(
t
f
.
При исследовании на «симметрию о
т-
носительно знака» в выражении )
,
(
y
x
F
для пары )
,
(
y
x
провер
яются подстано
в-
кой в него пары )
,
(
y
x
, )
,
(
y
x
, )
,
(
y
x
. Если при подстановке пар )
,
(
y
x
и )
,
(
y
x
выражение не меняется, то говорят, что наблюдается «симметрия относительно знака» переменной x
; для пар )
,
(
y
x
и )
,
(
y
x
–
«симметрия отн
о-
сительно знака» переменной y
; для пар )
,
(
y
x
и )
,
(
y
x
–
«симметрия относ
и-
тельно знаков» обеих переменных. Пример 48
. (
ЕГЭ 2010
,
С5).
Найти все значения a
,
при каждом из которых уравнение |
4
|
|
4
|
)
4
(
2
2
a
x
a
x
a
x
имеет единс
т
венный корень.
Решение
. При каждом конкретном значении параметра a
функции 2
2
)
4
(
)
(
a
x
x
f
и |
4
|
)
(
a
x
x
g
|
4
|
a
x
, входящие в левую и правую части уравнения, являются четными, п
о-
скольку выполняются условия:
1. они определены на всей числовой прямой (области
определения симме
т-
ричны относительно начала координат);
2
.
2
2
)
4
(
)
(
)
(
a
x
x
f
)
(
)
4
(
2
2
x
f
a
x
,
|
4
|
|
4
|
)
(
a
x
a
x
x
g
)
(
|
4
|
|
4
|
x
g
a
x
a
x
.
Следовательно, если число 0
x
к
о
рен
ь уравнения )
(
)
(
x
g
x
f
, то число 0
x
также будет являться корнем этого ура
в-
нения.
Условие единственности будет выполняться, если 0
x
–
корень ура
в-
нения )
(
)
(
x
g
x
f
и других корней нет.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
24
Подстав
ив в исходное уравнение зн
а-
чение 0
x
, получим уравнение относ
и-
тельно параметра a
:
|
4
|
|
4
|
)
4
(
2
a
a
a
.
0
2
|
4
|
,
0
|
4
|
0
|
4
|
2
)
4
(
2
a
a
a
a
Отсюда получаем три значения пар
а-
метра 6
a
, 4
a
и 2
a
.
Пусть 6
a
. Подставив 6
a
в и
с-
ходное уравнение, получим |
2
|
|
2
|
4
2
x
x
x
. Правая часть этого уравнения после раскрытия на пр
о-
межутках модулей имеет вид
.
2
если
,
2
,
2
2
если
,
4
,
2
если
,
2
|
2
|
|
2
|
x
x
x
x
x
x
x
Урав
нения x
x
2
4
2
и x
x
2
4
2
не имеют корней, а уравнение 4
4
2
x
имеет единственный корень 0
x
, удо
в-
летворяющий условию 2
2
x
.
Пусть 2
a
. Подставив это зн
ачение параметра в исходное уравнение, опять получим уравнение |
2
|
|
2
|
4
2
x
x
x
,
име
ющее
единственный корень 0
x
.
Пусть 4
a
. Подставив это значение параметра в исходное уравнение, пол
у-
чим 2
|
|
,
0
|
|
|
|
2
2
x
x
x
x
2
,
2
,
0
x
x
x
.
Значение 4
a
не соответствует у
с-
ловию задачи.
Ответ
: 2
,
6
.
Замечание. Другое р
е
шение данного примера см. в разделе «Функционально
-
графические методы».
Пример 49
.
(МГУ, 1999)
.
Найти все зн
ачения параметра а
,
при которых уравнение
1
2
1
2
)
1
2
(
2
a
a
x
x
x
имеет нечетное число решений. Решение. Данное уравнение инвар
и-
антно (неизменно) при замене x
на x
(докажите). Поэтому, если число 0
x
я
в-
ляется корнем исходного уравнения, то число 0
x
также будет корнем. Вследс
т-
вие этого, количество корней может быть н
е
четным только в случае, когда среди корней находится число .
0
0
x
Подста
в
ляя в исходное ура
внение ,
0
x
получ
а
ем уравнение относительно а
: ,
1
|
2
|
2
a
a
,
0
1
|
|
2
a
.
1
|
|
a
1
.
Если 1
a
, то исходное уравнение примет вид .
2
2
1
2
)
1
2
(
x
x
x
Оно распадается на два ура
внения:
0
1
2
)
1
2
(
x
x
x
или .
4
1
2
)
1
2
(
x
x
x
Первое уравнение имеет один корень .
0
x
Второе уравнение разрешим отн
о-
сительно x
2
(
4
x
не является корнем этого уравнения):
4
4
2
x
x
x
или .
4
8
1
2
x
x
Показательная функция x
y
2
моното
н-
но возрастает
от 0 до и ее график
проходит через точку )
1
;
0
(
(см. рис. 4
).
Дро
б
но
-
линейная функция возрастает на пр
о
межу
тках )
4
;
(
и
).
;
4
(
Ее Рис. 4
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
25
график –
гипербола, пр
о
ходящая через точку ),
1
;
0
(
с верт
и
кальной асимптотой 4
x
и горизо
н
тальной асимптотой .
1
y
Второе ура
в
нение не имеет корн
ей. В этом случае и
с
ходное уравнение имеет ровно 1 корень.
2
.
Случай
1
a
рассмотрите сам
о-
стоятельно.
Ответ:
1
a
или 1
a
.
Пример 50
.
(МГУ
,
1995).
Найти
все значения параметра a
,
при которых н
е-
равенство
x
a
x
x
a
x
2
cos
16
16
2
2
cos
2
2
имеет единственное р
е
шение
?
Решение
.
Приведем данное нераве
н-
ство к следующему в
и
ду
0
2
cos
)
16
2
cos
(
2
2
x
a
x
x
a
.
Так как функция x
a
x
x
a
x
f
2
cos
)
16
2
cos
(
)
(
2
2
является четной, то необходимым усл
о-
вием единственн
ости решения нераве
н-
ства 0
)
(
x
f
является н
а
личие решения 0
x
. При 0
x
имеем 0
1
)
3
(
)
0
(
2
a
a
f
.
Последнее неравенство в
ы
полняется при 3
a
или 1
a
.
Провер
им достато
ч
ность.
При 3
a
знаменатель 0
2
cos
3
x
, п
о-
этому пол
у
чаем
0
)
16
2
cos
3
(
2
2
x
x
и
ли
16
2
cos
3
2
x
x
.
Так как 4
2
cos
3
x
и 4
16
2
x
, то .
0
0
1
2
cos
;
4
16
,
4
2
cos
3
2
x
x
x
x
x
При 1
a
имеем нер
а
венство
0
2
cos
)
16
2
cos
(
2
2
x
a
x
x
a
0
)
16
2
cos
(
2
2
x
x
a
,
которое выполняется при всех R
x
.
Ответ
: 3.
Пример
51
.
(
ЕГЭ
-
20
11
,
демонстр
а-
ционный вариант
,
С5).
Найти
все зн
а-
чения параметра a
,
при к
аждом из к
о-
торых система уравн
е
ний 4
|,
|
2
)
1
(
2
2
4
y
x
x
y
x
a
имеет единственное решение.
Решение
.
Заметим, что если пара ч
и-
сел )
,
(
0
0
y
x
является решением данной системы уравнений, то пара )
,
(
0
0
y
x
–
также ее решение. Следовател
ьно, для единственности р
е
шения необходимо, чтобы выполнялось равенство 0
0
x
x
, т.е. 0
0
x
. Подставив это значение неи
з-
вестной x
в систему, получим:
.
2
,
0
;
2
,
4
4
,
2
2
y
a
y
a
y
y
a
Допустимыми значениями параметра являются лишь значения 0
a
и 4
a
.
Пусть 0
a
. Тогда исходная система уравнений примет вид: .
4
,
2
|
|
2
2
y
x
x
y
Подставив y
из первого уравнения системы во второе
, получим 4
)
2
|
(|
2
2
x
x
или |
|
2
2
x
x
.
Это уравнение имеет три корня ,
0
x
2
x
и 2
x
. Следовательно, при 0
a
данная в условии система уравнений имеет три
пары решений ),
2
;
0
(
)
0
;
2
(
и )
0
;
2
(
. Пусть 4
a
. Тогда исходная система уравнений примет вид: 4
|,
|
2
)
1
(
4
2
2
4
y
x
x
y
x
или .
4
,
2
|
|
4
2
2
4
x
y
x
x
y
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
26
Из первого уравнения полученной сис
темы следует 2
y
, а из второго 2
|
|
y
. Следовательно, если система имеет решение, то это пары вида )
2
,
(
x
. Подставляя 2
y
в систему, получаем 0
0
,
0
|
|
4
2
4
x
x
x
x
.
Следовательно,
при 4
a
решение )
2
;
0
(
исходной системы уравнений единственное.
Ответ
.
4
a
.
Пример 52
.
Найдите все значения п
а-
раметра a
,
при которых система ура
в-
нений 2
2
3
4
4
3
,
0
8
2
9
2
3
)
1
(
x
a
y
a
a
a
a
y
a
a
x
имеет ровно три различных решения.
Решение. Система имеет смысл при значениях параметра 3
a
. Поскольку переме
н
ная x
входит в каждое уравнение системы в четной степени, то з
аметим, что если пара чисел 0 0
(,)
x y
является р
е-
шением данной системы уравнений, то пара 0 0
(,)
x y
–
также решение. Следов
а-
тельно, для того, чтобы система имела нечётное число решений необходимо, чтобы 0 0
x x
, т.е. 0
0
x
. Подставив 0
x
в систему, п
о
лучим:
;
0
,
0
8
2
9
2
3
)
1
(
2
3
4
y
a
a
a
a
y
a
a
.
0
8
2
9
2
2
3
4
a
a
a
a
Решив полученное уравнение относ
и-
тельно a
, найд
е
м допустимые значени
я-
ми параметра. Рассмотрев целые делит
е-
ли свободного члена мног
очлена 8
2
9
2
2
3
4
a
a
a
a
, з
а
метим, что 1
a
и 2
a
есть его корни. Используя схему Горнера, пол
у
чим 1
2
9
2
8
1
1
3
6
8
0
2
1
5
4
0
Отсюда следует, что 8
2
9
2
2
3
4
a
a
a
a
)
4
5
)(
2
)(
1
(
2
a
a
a
a
)
4
)(
2
(
)
1
(
2
a
a
a
, т.е. допустимыми являются значения ,
1
a
2
a
. Значение 4
a
не удовл
е-
творяет усл
о
вию 3
a
.
Проверим, какие из полученных знач
е-
ний параметра являются достаточн
ы
ми.
Пусть 1
a
. Тогда исходная система уравнений примет вид: .
2
,
0
2
4
x
y
x
Полученная система будет иметь единственн
ое решение )
0
;
0
(
.
Пусть 2
a
. Тогда исходная система уравнений примет вид: 2
2
4
2
4
5
,
0
5
5
,
0
5
x
y
x
x
x
y
y
x
.
5
,
0
)
5
(
2
2
2
x
y
x
x
Полученная система имеет три реш
е-
ния )
0
;
0
(
, )
5
5
;
5
(
и )
5
5
;
5
(
.
О
т
вет
:
2
a
.
Пример
53
.
(Пробный вариант № 52 от ФЦТ
,
ЕГЭ 2011
,
декабрь).
Найти все значения параметра a
,
при каждом из
которых система )
2
(
8
)
)(
(
,
0
12
|
|
8
2
2
x
a
y
a
y
x
y
x
x
имеет ровно 8
решений.
Решение. 1
-
й способ
. Данная система равносильна следующей системе
.
)
4
(
|,
|
4
)
4
(
2
2
2
2
a
y
x
y
x
Заметим, что данная система уравн
е-
ний обладает «симметрией отно
сительно знака» переменной y
. Из равенства л
е-
вых частей уравнений системы, при у
с-
ловии, что
и
х правые части неотриц
а-
тельны, следует
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
27
4
4
|,
|
4
2
2
y
y
a
y
4
4
,
4
15
4
1
|
|
2
2
y
a
y
y
.
4
4
,
4
15
2
1
|
|
2
2
y
a
y
Уравнение 0
4
15
,
4
15
2
1
|
|
4
15
2
1
|
|
2
2
2
2
a
a
y
a
y
будет иметь четыре различных решения относительно y
при выполнении усл
о-
вий
2
1
4
15
,
4
15
0
4
15
2
1
,
0
4
15
2
2
2
2
a
a
a
a
2
2
15
2
15
2
a
a
.
Отметим, что значения y
, получаемые в процессе решения при найденных зн
а-
чениях a
, будут удовлетворять условиям 0
,
4
4
y
y
поскольку при этих a
из неравенства 2
1
4
15
2
a
следует 1
4
15
2
1
|
|
2
a
y
.
Для каждого полученного решения 0
y
такого, что 0
|
|
4
0
y
,
уравн
е
ние |
|
4
)
4
(
0
2
y
x
будет иметь два ра
з-
личных решения относительно x
, а, сл
е-
довательно, исходная система будет иметь 8 решений. Решение.
2
-
й способ.
Покажем, что восемь различных решений –
это макс
и-
мальное количество решений данной системы. Действительно после исключ
е-
ния переменной x
из системы 2
2
2
2
)
4
(
|,
|
4
)
4
(
a
y
x
y
x
получим уравнение 0
4
)
(
2
2
a
t
t
t
f
,
(
*
)
где t
y
|
|
. Квадратное уравнение (
*
) имеет максимум два различных корня при условии 0
)
4
(
4
1
2
a
D
. Если корни положительны (при условии 0
4
2
2
1
a
t
t
и 0
1
2
1
t
t
), то из уравнения t
y
|
|
получим четыре ра
з-
личных числа для переменной у
. Кажд
о-
му из четырех значений y
будет соо
т-
ветствовать максимум два различных знач
е
ния x
из уравнения |
|
4
)
4
(
2
y
x
при условии
0
|
|
4
y
или 4
t
, т.е. 4
0
)
4
(
в
t
f
Запишем все условия вместе 4
2
1
,
0
16
,
0
4
,
0
)
4
(
4
1
4
,
0
)
4
(
,
0
,
0
2
2
2
2
1
a
a
a
t
f
t
t
D
в
4
4
15
4
,
4
15
2
2
2
a
a
a
.
Отсюда получаем ответ.
Ответ
. 2
;
2
15
2
15
;
2
.
преобразование )
;
(
)
;
(
х
y
y
x
®
При исследовании
выражения
)
;
(
y
x
F
на «симметрию относительно перест
а-
новки переменных» для пары )
,
(
y
x
пр
о-
веряется пара )
,
(
x
y
подстановкой в и
с-
ходное
выр
а
жение.
В некоторых выражениях наблюдае
т-
ся «симметрия» относительно и перест
а-
новки переменных и изменения у них Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
28
знака. В этих случаях для пары )
,
(
y
x
проверяются подстановкой в исходное выражение п
а
ры )
,
(
x
y
, )
,
(
x
y
, )
,
(
x
y
.
При решении уравнений (неравенств, систем уравнений или неравенств) и
с-
пользуют следующее
у
т
верждение
.
Утверждение 4
.
Если выражение )
;
(
y
x
F
–
инвариантно относ
и
тельно преобразования у
x
®
и х
у
®
и
ура
в-
нение 0
)
;
(
y
x
F
имеет решение
)
;
(
0
0
y
x
,
то пара чис
ел
)
;
(
0
0
x
y
также р
е
шение
этого ура
в
нения.
Пример 54
.
Найти все значения пар
а-
метра a
,
при кот
орых система
нер
а-
венств
3
,
3
2
2
y
ay
x
x
ax
y
имеет единственное р
е
шение.
Решение
. Заметим, что если при нек
о-
тором значении параметра a
пара чисел )
,
(
0
0
y
x
является решением данной си
с-
темы неравенств, то пара )
,
(
0
0
x
y
–
также решения, поскольку при подстановке второй пары уравнения системы остаю
т-
ся теми же, но меняются местами. След
о-
вательно, необходимым условием еди
н-
ственности решения является со
в
падение этих пар. Если )
,
(
)
,
(
0
0
0
0
x
y
y
x
, то 0
0
y
x
.
Подставляя 0
0
y
x
в систему, пол
у-
чим, что каждое неравенство примет вид 0
3
)
1
(
3
0
2
0
2
0
0
0
x
a
x
x
ax
x
,
которое будет иметь единственное реш
е-
ние в случае, если дискриминант D
с
о-
ответс
т
вующего квадратного трехчлена равен 0
, т.е. 0
12
)
1
(
2
a
D
. Решая уравнение 12
)
1
(
2
a
, пол
у
чаем два значения параметра 3
2
1
a
и 3
2
1
a
. Подставляя 3
2
1
a
в систему н
е-
равенств, пол
учаем 3
)
3
2
1
(
,
3
)
3
2
1
(
2
2
y
y
x
x
x
y
.
0
3
)
3
2
1
(
,
0
3
)
3
2
1
(
2
2
x
y
y
y
x
x
Сложив левые части и правые части неравенств си
с
темы, получим
0
6
3
2
3
2
2
2
y
y
x
x
0
)
3
3
2
(
)
3
3
2
(
2
2
y
y
x
x
0
)
3
(
)
3
(
2
2
y
x
.
Отсюда следует, что система имеет единственное решение 3
x
и 3
y
.
Аналогично действуя, получим, что при 3
2
1
a
система имеет единс
т-
венное р
е
шение 3
x
и 3
y
.
Ответ
.
3
2
1
.
Пример 55
. (МФТИ
,
2009).
Найти
при ка
ких значениях параметра a
имеет единственное решение система уравн
е-
ний
.
0
,
0
2
2
a
y
x
a
y
x
Решение
. Заметим, что если при нек
о-
тором значении параметра a
пара чисел )
,
(
0
0
y
x
является решение
м данной си
с-
темы уравнений, то пара )
,
(
0
0
x
y
–
также решения. Следовательно, необх
о-
димым условием единственности реш
е-
ния является совпадение этих пар. Если )
,
(
)
,
(
0
0
0
0
x
y
y
x
, то 0
0
y
x
или 0
0
x
y
.
Подс
тавляя 0
0
x
y
в систему, пол
у-
чим, что каждое уравнение системы пр
и-
мет вид a
x
a
x
x
25
,
0
)
5
,
0
(
0
2
0
0
2
0
.
При 25
,
0
a
уравнение имеет два дейс
т-
вительных корня; при 25
,
0
a
не имеет действ
и
тельных решений, а при 25
,
0
a
–
единственное решение 5
,
0
0
x
и т
о-
гда 5
,
0
0
y
. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
29
Проверим, что условие 25
,
0
a
явл
я-
ется достаточным для данной задачи. Подставляя 25
,
0
a
в систему уравн
е-
ний, получаем .
0
25
,
0
,
0
25
,
0
2
2
y
x
y
x
Сложив левые части и правые части уравнений, получим
0
5
,
0
2
2
y
y
x
x
0
)
25
,
0
(
)
25
,
0
(
2
2
y
y
x
x
0
)
5
,
0
(
)
5
,
0
(
2
2
y
x
.
Отсюда следует, что система имеет единственное решение 5
,
0
x
и 5
,
0
y
.
О
твет
:
0,25.
Пример 56
.
Определить все значения параметра a
,
при которых система уравнений .
12
)
(
,
2
5
2
2
2
y
x
a
y
xy
x
имеет ровно два решения, и при найде
н-
ных значениях параметра решить си
с-
тему ура
в
нений
.
Решение
. Пусть пара
чисел )
,
(
0
0
y
x
является решением данной системы ура
в-
нений. Так как многочлены 2
2
y
xy
x
и 2
)
(
y
x
являются симметрическими от
носительно перемен
ных x
и y
, то п
а-
ры )
,
(
0
0
y
x
, )
,
(
0
0
x
y
и )
,
(
0
0
x
y
–
та
к
же решения. Заметим, что пары )
,
(
0
0
y
x
и )
,
(
0
0
y
x
различны. Иначе получаем, что ,
0
0
0
x
x
0
0
0
y
y
, но пара )
0
;
0
(
не удовлетворяет второму уравнению системы. Аналогично, ра
з-
личны п
а
ры )
,
(
0
0
x
y
и )
,
(
0
0
x
y
. Следовательно, для того, чтобы сист
е-
ма имела два решения необходимо, чт
о-
бы пара )
,
(
0
0
y
x
совпадала с парой )
,
(
0
0
x
y
или парой )
,
(
0
0
x
y
. Второй случай невозможен, иначе из второго уравнения системы пол
у
чаем 12
)
(
2
0
0
x
x
. Если совпали пары )
,
(
0
0
y
x
и )
,
(
0
0
x
y
, то пары )
,
(
0
0
y
x
и )
,
(
0
0
x
y
также совпадут. Из совпад
е
ния пар )
,
(
0
0
y
x
и )
,
(
0
0
x
y
, получаем 0
0
y
x
. Подставим в систему: .
12
4
,
2
5
2
0
2
0
x
a
x
Отсюда, 3
2
0
x
и 1
a
. Проверим, является
ли значение 1
a
достато
ч
ным.
Пусть 1
a
. Тогда исходная система уравнений примет вид: ;
12
2
,
3
;
12
)
(
,
3
2
2
2
2
2
2
2
y
xy
x
y
xy
x
y
x
y
xy
x
.
6
,
3
2
2
y
x
xy
Заметим, что переменные x
и y
одн
о-
го знака. Тогда возведя первое уравнение в квадрат, получим 2
2
2
4
2
2
2
2
6
,
0
9
6
6
,
9
y
x
y
y
y
x
y
x
.
6
,
0
)
3
(
2
2
2
2
y
x
y
Эта система имеет две пары решений )
3
,
3
(
и )
3
,
3
(
.
Ответ
: д
ва решения )
3
,
3
(
и
ли
)
3
,
3
(
п
ри 1
a
.
Пример 57
.
(МГУ
,
1986)
.
Найти все значения а
,
при каждом из которых си
с-
тема 1
2
4
49
|
|
7
|
1
|
1
2
2
x
a
x
y
y
x
(1)
имеет ровно четыре различных решения
. Решение.
Запишем систему в виде .
4
|
1
|
|
|
7
,
1
|
1
|
|
|
7
4
4
a
x
y
x
y
(2)
Обозначим ,
|
1
|
u
x
v
y
|
|
7
,
(3)
где
0
u
и .
0
v
(4)
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
30
Получим систему уравнений .
4
,
1
4
4
a
v
u
v
u
(5
)
Если )
,
(
0
0
v
u
–
какое
-
либо
решение си
с-
те
мы (5
),
удовлетворяющее нер
а
венствам 0
,
0
0
0
u
, то из формул (3) следует, что исходная система будет иметь четыре различные
р
е
шения
.
7
;
1
,
7
;
1
,
7
;
1
,
7
;
1
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
v
u
v
u
v
u
v
u
(6)
Так как )
,
(
0
0
u
–
решение сист
е
мы (5), удовлетворяющее нераве
н
ствам ,
0
0
u
0
0
, то из формул (3) следует, что и
с-
ходная система будет также иметь четыре различные р
е
шения:
.
7
;
1
,
7
;
1
,
7
;
1
,
7
;
1
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
u
v
u
v
u
v
u
v
(7
)
Чтобы исходная система имела четыре различные решения, необходимо для восьми пар чисел (6) и (7) поставить одно из условий:
,
0
0
u
или ,
0
0
v
или .
0
0
v
u
Пусть ,
0
u
тогда из системы (5)
им
е-
ем
1
и
4
1
a
.
Пусть ,
0
тогда из системы (5)
им
е-
ем
1
u
и
4
1
a
.
Пусть ,
u
тогда из системы (5)
им
е-
ем
2
1
u
и
32
1
a
.
Рассмотрим систему (5
)
при 32
1
a
.
8
1
,
1
4
4
v
u
v
u
(8)
Обозначив ,
uv
t
будем иметь
,
2
1
2
)
(
2
2
2
t
uv
v
u
v
u
2
2
2
2
2
4
4
2
)
(
v
u
v
u
v
u
.
2
4
1
2
)
2
1
(
2
2
2
t
t
t
t
Следовательно, t
удовлетворяет квадра
т-
ному уравнению ,
8
1
2
4
1
2
t
t
т.е. уравнению .
0
8
7
4
2
2
t
t
Это уравн
е-
ние имеет два корня 4
1
1
t
и 4
7
2
t
. Нас и
н
тересуют неотрицательные решения v
u
,
системы (8). Из первого уравнения (8) следует, что должны выполняться н
е-
равенс
т
ва ,
1
0
,
1
0
v
u
и, значит, .
1
t
Следовательно, 4
1
t
и все неотр
и-
цательные решения системы (8) соде
р-
жатся среди решений системы .
4
1
,
1
uv
v
u
Решая эту систему, находим, что она имеет единственное решение ,
2
1
u
.
2
1
v
Эта пара удовлетворяет си
стеме (8). Для нее среди решений (6), (7) и
с-
ходной системы имеется ровно четыре разли
ч
ных .
28
1
;
4
3
,
28
1
;
4
5
Решая также систему (5
)
при 4
1
a
, убежд
а-
емся, что она им
е
ет только два решения )
1
;
0
(
и )
0
;
1
(
в неотрицател
ь
ных числах. Для них среди решений (6), (7) и
с
ходной системы имеется ровно четыре разли
ч-
ных ),
0
;
0
(
),
0
;
2
(
.
7
1
;
1
Ответ:
4
1
;
32
1
a
a
.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
31
преобразование )
(
х
g
x
®
Если выражение )
(
x
f
не меняется при замене x
на некоторое выражение )
(
x
g
, то п
ри решении уравнений и
с
пользуют сле
дующе
е утве
р
ждение
. Утверждение 5
.
Если выражение )
(
x
f
–
инвари
антно относительно преобраз
о-
вания )
(
х
g
x
®
и уравн
е
ние 0
)
(
x
f
имеет корень 0
x
,
то число )
(
0
x
g
также корень этого уравнения.
Пример 58
. (МГУ
, 1998). Найти все значения параметра а
,
при которых уравнение 0
4
5
1
cos
2
2
2
1
2
2
a
x
x
a
x
x
имеет единственное решение.
Решение.
Если ненулевое число 0
x
является
решением
данного уравнения, то число 0
1
x
также
решение этого ура
в-
нения (покажите
). Равенство 0
0
1
x
x
является необход
и-
мым условием единственности реш
е
ния данного ура
в
нения. Из уравнения 0
0
1
x
x
получаем
1
0
x
или
1
0
x
.
Если 1
x
, то из данного ур
авнения получим 0
4
3
2
a
a
, то есть 2
3
a
или 2
1
a
.
При 1
x
из данного уравнения им
е
ем уравнение 0
4
3
2
a
a
, не имеющее корней.
Проверим достаточность полученных значений a
. Пусть 2
1
a
, тогда исходное уравн
е-
ние примет следующий вид
x
x
x
x
1
cos
2
1
1
2
2
1
2
2
.
Последнее уравнение имеет бесконе
ч-
ное множество решений (рассмотрите графики).
Пусть 2
3
a
, тогда имеем
x
x
x
x
1
cos
2
3
1
2
2
1
2
2
.
Из неравенства 1
1
2
1
2
x
x
(док
а-
жите) имеем неравенство 2
1
2
2
1
2
x
x
, а значит, 2
3
1
2
2
1
2
x
x
при всех значениях x
. Правая часть последнего уравнения
2
3
1
cos
2
3
2
x
x
при всех
0
x
.
Отсюда получаем 1
2
3
1
cos
2
3
,
2
3
1
2
2
1
2
2
x
x
x
x
x
.
Ответ:
2
3
a
.
2.
Фун
к
циональные методы реш
е
ния
Наличие свойств (ограниченность, м
о-
нотонность и т.д.) функций, входящих в уравнения (неравенства) позволяет пр
и-
менить нест
андартные методы решения к стандартным по формулировке задач
а
м.
2.1. Использование непрерывности функции
Выше были рассмотрены задачи, в к
о-
торых были
использованы свойства ква
д-
ратичной функции для решения нер
а-
венств, либо использован метод интерв
а-
лов. В да
нном разделе еще раз подробно ост
а
новимся на методе интервалов.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
32
метод интервалов
Пример 59
.
(МГУ
,
2003)
.
Найти все значения параметра b
,
при каждом из которых отрезок ]
1
;
3
[
целиком с
о-
держится среди решений нераве
н
ства 0
2
3
x
b
b
x
.
Решение. Неравенство перепишем так: 0
2
3
b
x
b
x
или .
0
2
)
3
(
)
(
b
x
b
x
x
f
На рис. 5
расставлены знаки )
(
x
f
на числовой прямой в зависимости от вз
а-
имного расположения точек 2
b
x
и b
x
3
.
Условие задач
и выполняется, если для квадратичной функции имеет место
b
b
b
b
3
1
2
3
3
2
или 2
1
3
3
3
2
b
b
b
b
Отсюда получаем значения 0
;
3
1
)
6
;
(
b
или .
0
b
Ответ:
;
3
1
)
6
;
(
.
метод рационализации
Пример 6
0
.
(ЕГЭ
,
2003).
Найдите все значения параметра а
,
при которых о
б-
ласть определения функции 5
4
log
3
2
lg
x
a
x
a
y
a
x
x
18
log
2
10
a
x
a
x
x
содержит ровно одно целое число. Решение.
1
.
По определению лог
а-
рифма выражение, стоящее под знаком лог
а
рифма, больше нуля. Преобразуем это выражение.
18
log
2
10
5
4
log
3
2
a
x
x
a
x
a
a
x
a
x
x
x
5
4
5
4
5
5
a
a
a
x
a
x
a
a
x
x
)
)(
(
5
5
4
x
a
a
a
x
.
2
.
Неравенс
тво 0
)
)(
(
5
5
4
x
a
a
a
x
или 0
)
)(
(
5
5
4
a
x
a
a
x
заменим равн
о-
сильным
0
)
)(
4
)(
1
(
a
x
x
a
,
используя метод рационализации.
3
.
Пусть 1
a
, тогда получаем ложное неравенство 0
0
. Если 1
0
a
,
то н
е-
равенство имеет вид 0
)
)(
4
(
a
x
x
. Так как a
4
, то решения последнего неравенства )
;
4
(
)
;
0
(
a
содержат бесконечно много целых чисел.
Пусть 1
a
, тогда имеем неравенство 0
)
)(
4
(
a
x
x
, решением которого я
в-
ляется промежуток )
4
;
(
a
или )
;
4
(
a
. Зн
а-
чение 4
a
не удовлетворяет условию задачи. Чтобы интервал )
4
;
(
a
содержал ровно одно целое число 3, поставим у
с-
ловие 3
2
a
. Для интервала )
;
4
(
a
п
о-
ставим условие 6
5
a
, чтобы он с
о-
держал ровно одно целое число 5.
Ответ
: ]
6
;
5
(
)
3
;
2
[
.
2.2. Использование ограниченности функции
Для использования ограниченности фун
кции необходимо уметь находить множество значений функции и знать оценки области значений стандартных функций (например, 1
sin
1
x
, 0
x
и т.д.).
метод оценки
Иногда уравнение (неравенство) )
(
)
(
x
g
x
f
устроено так, что на всей ОДЗ неизвестной имеют место нераве
н-
ства f x A
и g x A
при некотором А
. В этом сл
у
чае:
а) решение неравенства )
(
)
(
x
g
x
f
или уравнения )
(
)
(
x
g
x
f
св
о
дится к x
x
b
b
3
b
3
b
+
Рис. 5
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
33
нахождению те
х значений x
, для кот
о-
рых одновр
е
менно f x A
и A
x
g
)
(
;
б) решение неравенства )
(
)
(
x
g
x
f
сводится к нахождению тех решений н
е-
равенства A
x
f
)
(
, для которых опред
е-
лена
фун
к
ция )
(
x
g
.
Пример 61
. Определить количество решений уравнени
я
x
x
ax
1
sin
2
в зависимости от параметра а.
Решение. Оценим левую часть ура
в-
нения 2
sin
2
2
ax
. Так как 2
1
x
x
при 0
x
и 2
1
x
x
при 0
x
, то исходное уравнение равносил
ь-
но совокупности двух систем.
(
I
) ,
,
1
,
2
2
1
,
2
1
,
2
sin
2
Z
n
x
n
a
x
x
ax
(
II
) .
,
1
,
2
2
1
,
2
1
,
2
sin
2
Z
n
x
n
a
x
x
ax
Ответ
: при ,
,
2
2
1
Z
n
n
a
один к
о-
рень, при ,
,
2
2
1
Z
n
n
a
н
ет реш
е
ний.
Пример 62
.
(МГУ
,
1988
).
Найти на
и-
большее значение параметра b
,
при к
о-
тором н
е
равенство 16
8
16
8
2
2
5
x
x
b
x
x
b
x
b
cos
3
2
имеет хотя бы одно решение.
Решение.
При 0
b
неравенство в
ы-
полняется. Пусть .
0
b
Преобразуем данное неравенство x
b
x
b
x
b
b
b
cos
3
2
)
4
(
1
)
4
(
2
2
или .
cos
3
2
)
4
(
1
)
4
(
2
2
x
x
b
x
b
b
Так как сумма двух взаимно обратных п
о-
ложительных величин не меньше 2, то л
е-
вая часть не меньше b
2
. Правая часть не больше .
3
2
Следовательно, чт
о
бы данное неравенство имело хотя бы одно р
е
шение, необходимо выполнение условия ,
3
2
2
b
.
9
1
b
Наибольшее значение .
9
1
b
Если ,
9
1
b
то левая часть после
д-
него не
равенства не меньше ,
3
2
а правая часть не больше .
3
2
Значит,
левая и пр
а-
вая части равны .
3
2
Левая
часть достигает наименьшего знач
е
ния при условии 2
2
)
4
(
1
)
4
(
x
b
x
b
или ,
81
)
4
(
4
x
1
x
или 7
x
. При этих знач
е
ниях x
правая часть равна .
3
2
Ответ: 9
1
.
неотрицательность функции
Пусть левая часть уравнения (нераве
н-
ства) 0
)
(
x
f
есть сумма нескольких функций )
(
...
)
(
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
x
f
x
f
n
, ка
ж
дая из которых неотрицательна для любого x
из области ее определения. Т
о-
гда неравенство 0
)
(
x
f
или уравнение 0
)
(
x
f
равносильно си
стеме уравн
е
ний
.
0
)
(
.....
..........
,
0
)
(
,
0
)
(
2
1
x
f
x
f
x
f
n
а неравенство 0
)
(
x
f
сводится к нах
о-
ждению области определения функции )
(
x
f
.
Пример 63
.
(МГУ, 1995).
Найдите все значения параметра а
,
при которых уравн
е
ние 37
)
|
|
6
(
12
)
|
|
6
(
2
2
2
a
x
x
a
x
x
a
18
cos
имеет ровно два решения. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
34
Решение.
Данное уравнение приведем к виду
0
18
cos
1
)
6
|
|
6
(
2
2
a
a
x
x
.
Так как в левой части последнего уравнения стоит сумма неотрицательных выражений, то уравнение равносильно системе
0
18
cos
1
,
0
6
|
|
6
2
a
a
x
x
.
,
9
,
3
3
|
|
,
3
,
,
2
18
,
3
)
3
|
(|
2
Z
Z
n
n
a
a
x
a
n
n
a
a
x
Уравнение 3
3
|
|
a
x
системы имеет ровно два корня в двух сл
у
чаях.
1. Пусть 3
a
, тогда уравнение n
9
3
выполняется при 3
n
.
2. Если
0
3
3
a
, то
им
е
ем 6
a
. Из неравенства 6
9
n
получаем одно целое значение 1
n
, при этом
9
a
.
Ответ:
–
3; 9.
наибольшее и наименьшее значения функции
В некоторых задачах нахождение на
и-
больше
го или наименьшего значений функции является необходимым элеме
н-
том решения.
Пример 64
.
(МГУ
,
2005).
Найти все значения а
,
при каждом из которых уравн
е
ние 1
9
3
4
x
a
x
x
x
имеет хотя бы один корень. Решение.
Запишем уравнение в виде 0
4
3
1
9
x
a
x
x
x
.
Непрерывная функция x
a
x
x
x
x
f
4
3
1
9
)
(
:
1) неограниченно возрастает при ,
1
x
так как при любом раскрытии м
о
дулей имеем
,
3
4
9
9
)
(
m
kx
a
x
x
x
x
x
f
г
де
0
1
4
4
9
k
.
2) убывает при ,
1
x
так как пр
и л
ю-
бом раскр
ы
тии модулей имеем
,
3
4
9
9
)
(
m
kx
a
x
x
x
x
x
f
где 0
9
4
4
9
k
.
Следовательно, 1
x
–
точка
миним
у-
ма
функции f
, а область ее значений есть множество ).
);
1
(
[
f
Поэтому уравн
е-
ние будет иметь корень т
о
гда и только тогда, когда .
0
)
1
(
f
Решим это нераве
н
ство:
;
4
1
3
a
;
4
3
1
4
a
;
7
1
a
;
7
1
7
a
.
6
8
a
Ответ:
.
6
8
a
Пример 65
. (МИОО
, 2010).
Найти все значения а, при каждом из которых н
е-
равенство
x
a
x
x
2
3
2
1
выполняется для любого
х
.
Решение.
Неравенство преобразуется к виду ,
3
)
(
x
f
где .
2
2
1
)
(
x
a
x
x
x
f
Точки 1
и a
разбиваю
т числовую прямую на интервалы, на каждом из к
о-
торых функция )
(
x
f
совпадает с лине
й-
ной (при любом раскрытии знаков мод
у-
ля). На левом и
н
тервале (
a
x
x
,
1
) функция прин
и
мает вид )
(
x
f
1
2
a
x
и является убывающей.
На правом интервале (
a
x
x
,
1
) фун
к-
ция принимает вид 1
2
5
)
(
a
x
x
f
и является возра
с
т
ающей.
Это означает, что функция огр
а
ничена снизу. График функции предста
в
ляет ломаную линию, состоящую из ча
с
тей прямых. Точки 1
и a
являются то
ч
ками излома, поэтому Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
35
в этих точках функция может принимать наименьшее значение.
Все значения функции )
(
x
f
больше 3 т
о
гда и только тогда, когда 3
)
(
,
3
)
1
(
a
f
f
3
2
1
,
3
2
1
2
a
a
a
3
2
1
,
2
5
1
a
a
a
3
2
1
,
3
2
1
,
5
,
2
1
,
5
,
2
1
a
a
a
a
a
a
3
2
,
4
,
5
,
1
,
5
,
3
a
a
a
a
.
5
,
1
a
Ответ:
)
5
,
1
;
(
.
Пример 66
.
(МГУ
,
1988)
.
Най
ти
все значения параметра а
,
при каждом из которых для любого значения
x
выпо
л-
няется нер
а
венство 3
cos
cos
sin
2
sin
3
2
2
a
x
x
x
a
x
.
Решение.
Упростим под
модульное выражение a
x
x
x
a
x
x
f
2
2
cos
cos
sin
2
sin
3
)
(
a
x
x
a
x
2
2
cos
1
2
sin
2
2
cos
1
3
a
x
x
a
2
2
cos
2
sin
,
2
)
2
sin(
1
2
a
x
a
где
.
1
arccos
2
a
a
Для
выполнения условия задачи нео
б-
ходимо и достаточно, чтобы наименьшее (
m
) и набольшее (
М
) значения функции )
(
x
f
удовлетворяли си
с
теме 3
3
M
m
3
2
1
3
2
1
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
1
1
5
1
2
2
0
1
)
1
(
1
0
5
)
5
(
1
2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
.
0
4
,
2
a
a
Ответ:
]
0
;
4
,
2
[
.
Пример 67. (МИОО
,
2011).
При каких значениях параметра c
уравнение )
2
sin(
3
)
2
(
cos
2
1
2
2
2
2
2
x
x
x
x
c
имеет решения
?
Решение.
Используя формулу пон
и-
жения степ
ени, приведем уравнение к виду )
2
sin(
3
)
2
2
cos(
1
1
2
2
2
2
x
x
x
x
c
или
1
)
2
sin(
3
)
2
cos(
1
2
1
2
2
2
c
x
x
x
x
.
Пусть 1
2
2
2
x
x
t
, где ]
4
;
0
(
t
, т
ак как 2
2
)
1
(
2
1
2
2
2
x
x
x
, а множество значений функции 2
)
1
(
2
)
(
x
x
f
есть пром
е-
жуток ]
2
;
(
. Тогда уравнение примет вид
1
sin
3
cos
c
t
t
или
2
1
3
cos
c
t
.
Полученное уравнение будет иметь р
е-
шение, если число 2
1
c
будет принадл
е-
жать множеству значений функции 3
cos
t
на промежутке
]
4
;
0
(
.
Сделаем замену 3
t
u
. Тогда при 4
0
t
получим 3
4
3
u
. На
пр
о-
межутке ;
3
функция u
cos
уб
ы
вает и принимает все значения из пром
е
жутка 1
;
2
1
, а на промежутке 3
4
;
функция u
cos
возрастает и принимает Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
36
все значения из пром
е
жутка 3
4
cos
;
1
. Так как 3
5
3
3
3
4
,
то 2
1
3
5
cos
3
4
cos
. Следов
а
тельно, множество зна
чений функции u
cos
на промежутке 3
4
;
, а значит и фун
к-
ции 3
cos
t
на промежутке ]
4
;
0
(
, есть 2
1
;
1
.
Искомые значения c
найдем, решив неравенство 2
1
2
1
1
c
. Отсюда 2
1
c
. Ответ:
)
2
;
1
[
.
2
.3. Использование монотонности функции
При использовании монотонности функций различают случаи, когда фун
к-
ции, стоящие в обеих частях уравнения (неравенства), имеют одинаковую мон
о-
тонность или разную м
о
нот
онность.
монотонность функции на множ
е
стве R
Если функция )
(
t
f
строго монотонна на R
, то уравнение )
(
)
(
x
g
f
x
h
f
равносильно уравнению ).
(
)
(
x
g
x
h
Если функция )
(
t
f
строго возрастает на R
, то нер
авенство
)
(
)
(
x
g
f
x
h
f
ра
в
носильно неравенству ).
(
)
(
x
g
x
h
Если функция )
(
t
f
строго убывает на R
, то неравенство
)
(
)
(
x
g
f
x
h
f
ра
в-
носильно н
е
равенству ).
(
)
(
x
g
x
h
Пример 6
8
.
(МГУ
,
2004).
Найти все значения параметра 4
;
4
p
,
при к
о-
торых нераве
н
ство
0
2
)
3
)(
1
(
)
2
(
x
p
x
p
выполняется при любых
0
x
. Решение.
Если ,
2
p
то получается линейное неравенство .
0
3
)
1
(
p
x
p
По условию оно должно выполняться при любых 0
x
, в частности при .
0
x
О
т
сюда .
3
p
С другой стороны при 3
p
нер
а
венство действительно спр
а-
ведливо для всех 0
x
. Таким обр
а
зом,
.
4
3
p
П
ри 2
p
исходное неравенство не вы
полняется при всех
зна
чениях
x
. При 2
p
неравенство прин
и
мает вид .
0
3
)
1
(
p
x
p
Если ,
1
p
то лине
й-
ная функ
ция 3
)
1
(
)
(
p
x
p
x
f
во
з-
растает, поэтому для всех 0
x
нераве
н-
ство 0
)
(
x
f
выполняться не может. Е
с-
ли ,
1
p
то 0
2
)
(
x
f
для всех x
, в том числе и для 0
x
.
Након
ец, для 1
p
линейная функция 3
)
1
(
)
(
p
x
p
x
f
убывает и при 0
x
принимает значение .
0
3
)
0
(
p
f
Значит, при 0
x
нер
а-
венство тем более в
ы
полняется.
Ответ:
4
;
3
1
;
4
.
Пример 6
9
.
(
2010
,
тренировочная работа МИОО
,
С5). Най
ти
все знач
е
ния a
,
при каждом из которых уравн
е
ние a
x
x
a
x
x
a
x
8
4
64
2
4
5
2
не имеет действительных
решений
.
Решение. Обозначим a
x
x
y
4
5
2
. Тогда a
x
y
x
4
5
2
. В новых обозн
а-
чениях уравнение примет вид
y
a
x
a
x
a
x
y
4
8
4
5
64
,
откуда y
a
x
y
a
x
4
4
3
3
3
3
.
Рассмотрим функцию t
t
t
f
4
)
(
. В этом случае последнее уравнение примет вид
)
(
)
3
3
(
y
f
a
x
f
.
Функция t
t
t
f
4
)
(
опреде
лена при всех t
и является возрастающей на всей числовой прямой (как сумма двух возра
с-
тающих функций). Тогда уравн
е
ние Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
37
)
(
)
3
3
(
y
f
a
x
f
равносильно уравн
е-
нию y
a
x
3
3
.
Выполнив обратную замену, пол
у
чим a
x
x
a
x
4
5
3
3
2
или 0
8
2
a
x
x
.
Последнее уравнение, а значит и и
с-
хо
д
ное уравнение, не имеет действител
ь-
ных решений, если его дискриминант о
т-
риц
а
телен: 0
4
8
2
a
, т.е. при 16
a
. Ответ.
16
a
.
монотонность функции на пром
е
жутке
Если функция )
(
t
f
строго монотонна на своей области существования –
пр
о-
межутке М
, то уравнение )
(
)
(
x
g
f
x
h
f
равн
о
сильно системе
.
)
(
,
)
(
),
(
)
(
M
g
E
M
h
E
x
g
x
h
Если функция )
(
t
f
определена и явл
я-
ется возрастающей на своей области о
п-
ределения –
промежутке М
, то нераве
н-
ство )
(
)
(
x
g
f
x
h
f
равносильно си
с-
теме
,
)
(
,
)
(
),
(
)
(
M
g
E
M
h
E
x
g
x
h
где )
(
h
E
и )
(
g
E
–
множ
е
ство значений функций )
(
x
h
и )
(
x
g
соответс
т
венно.
Если функция )
(
t
f
строго убывает на своей области определения –
промежу
т
ке М
, то неравенство )
(
)
(
x
g
f
x
h
f
ра
в-
носильно системе
,
)
(
,
)
(
),
(
)
(
M
g
E
M
h
E
x
g
x
h
где )
(
h
E
и )
(
g
E
–
множество значений функций )
(
x
h
и )
(
x
g
соответс
т
венно.
Пример 70
.
В зависимости от знач
е-
ний параметра a
решит
ь
неравенство
x
a
a
a
x
9
8
.
Решение.
Дан
ное неравенство можно представить в виде a
a
a
x
a
x
8
8
или )
(
)
(
a
f
x
f
, где функция t
a
t
t
f
8
)
(
возрастает на пром
е
жутке )
;
8
[
a
.
Отсюда имеем систему, равносильную данному неравенству
.
8
,
a
x
a
x
Рассмотрим несколько случаев для значений параметра а
.
1. Пусть 0
a
, тогда в условии не о
п-
ределен корень a
8
и не определено н
е-
равенство. 2. Если 0
a
, то решением системы является 0
x
. 3. При 0
a
из системы неравенств получаем решение ]
;
8
[
a
a
.
Ответ
: если 0
a
, то 0
x
;
если 0
a
, то a
x
a
8
.
функции разной монотон
ности
Уравнение )
(
)
(
x
g
x
f
, где )
(
x
f
–
возрастающая, а )
(
x
g
–
убывающая функции, либо не имеет решений (
см. рис.
6
а
), либо имеет единственное реш
е-
ние (
см. рис.
6
б
).
Пусть на промежутке )
;
(
b
a
заданы возрастающая функция )
(
x
f
и убыва
ю-
щая функция )
(
x
g
, причем 0
x
–
корень уравнения )
(
)
(
x
g
x
f
, принадлежащий промежутку )
;
(
b
a
. Тогда решение нер
а-
венства )
(
)
(
x
g
x
f
–
все числа из пр
о-
x
O
y
y
=
g
(
x
)
x
O
y
y
=
g
(
x
)
а
б
Рис 6
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
38
межутка )
;
(
0
b
x
, а решение неравенства )
(
)
(
x
g
x
f
–
промежуток )
;
(
0
x
a
(см. рис. 7
).
Пусть на промежутке )
;
(
b
a
задана возрастающая функция )
(
x
f
и 0
x
–
к
о-
рень уравнения c
x
f
)
(
, принадлеж
а-
щий промежутку )
;
(
b
a
. Тогда решение неравенства c
x
f
)
(
–
все числа из пр
о-
межутка )
;
(
0
b
x
, а решение неравенства c
x
f
)
(
–
промежуток )
;
(
0
x
a
(см. рис. 8
).
Пример 7
1
.
(МИОО
,
тренирово
ч
ная работа, 2011).
Найти все значения
пар
а-
метра
a
, при которых система
x
y
x
x
x
y
a
2
,
)
2
(
log
2
2
2
имеет ровно два решения.
Решение
. Выр
азим из второго уравн
е-
ния 2
2
x
x
y
и подставим в первое уравн
е
ние 2
log
y
y
a
.
Рассмотрим два случая.
1. Пусть 1
0
a
. Так как функция y
z
a
log
убывает, а функция
2
y
z
возрастае
т на промежутке
)
1
;
0
(
, то ура
в-
нение 2
log
y
y
a
имеет на этом пром
е-
жутке не более одного корня. О
п
ределим знаки значений функции )
(
y
f
2
log
y
y
a
на промежутке
]
1
;
[
2
a
0
2
)
(
log
)
(
4
2
2
2
2
a
a
a
a
f
a
и
0
1
1
1
log
)
1
(
2
a
f
.
Поэтому уравнение 2
log
y
y
a
имеет на пром
е
жутке )
1
;
0
(
ровно один корень 0
y
. Тогда второе уравнение 0
2
0
2
y
x
x
имеет дискриминант
0
1
0
1
y
D
и имеет два различных корня. Следов
а-
тельно
,
данная си
с
тема уравнений имеет два различных реш
е
ния.
2. Пусть 1
a
. Если уравнение 2
log
y
y
a
им
е
ет корни, то они больше 1. Тогда уравнение
0
2
0
2
y
x
x
имеет ди
скрим
и
нант
0
1
0
1
y
D
и не имеет действительных ко
р
ней.
Ответ:
)
1
;
0
(
.
задачи вида x
x
f
f
))
(
(
Если функция )
(
x
f
строго возрастает на некотором промежутке, то ура
в
нения x
x
f
)
(
и x
x
f
f
))
(
(
равносил
ь
ны на этом промежутке.
Пример 7
2
.
Найти все значения пар
а-
метра a
,
при которых уравнение a
x
a
x
имеет два различных корня
.
Решение.
Данное уравнение приведем к в
и
ду x
a
a
x
или x
x
f
f
))
(
(
,
где a
x
x
f
)
(
возрастает на пром
е-
жутке )
;
0
[
. Значит, исходное уравн
е-
ние равносильно уравн
е
нию x
a
x
.
Исследование последнего уравнения (аналитическим или графическим спос
о-
бом) пр
е
доставим читателю.
Ответ
: 0
;
4
1
.
a
b
x
y
=
f
(
x
)
O
y
x
0
y
=
g
(
x
)
Рис. 7
a
b
x
y
=
f
(
x
)
O
y
x
0
c
Рис. 8
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
39
2.4. Использование
производной
фун
к
ции
Пример 7
3
.
(ЕГЭ
,
2003).
Найти все значения p
,
при которых уравнение 17
sin
2
2
cos
3
x
p
x
имеет корни.
Решение.
При условии 0
sin
x
да
н-
н
ое уравнение приведем к следующему виду x
p
x
x
sin
17
2
sin
)
sin
2
1
(
3
2
или x
x
p
sin
10
sin
3
3
.
Пусть t
x
sin
, где ]
1
;
0
(
)
0
;
1
[
t
.
Функция t
t
t
p
10
3
)
(
3
является нече
т-
ной и имеет производную 10
9
)
(
2
t
t
p
,
приче
м 0
)
(
t
p
на рассматриваемом множестве. Так как функция )
(
t
p
убыв
а-
ет и непрерывна на промежутке )
1
;
0
(
, то она принимает все значения из пром
е-
жутка )
0
;
7
[
))
0
(
);
1
(
[
p
p
.
В силу нечетности функции )
(
t
p
множество ее значений ]
7
;
0
(
)
0
;
7
[
. Следов
а
тельно, при всех значениях р
из этого множества данное уравнение будет иметь решения.
Ответ
: ]
7
;
0
(
)
0
;
7
[
.
Пример 7
4
.
В зависимости от знач
е-
ний параметра a
определить количес
т-
во различных решений системы уравн
е-
ний
.
0
2
5
,
2
5
)
1
2
(
log
2
2
y
x
x
x
x
y
a
Решение.
Из первого уравнения си
с-
темы получаем, что входящие в уравн
е-
ние выражения имеют смысл при 0
a
, 1
a
и 5
,
0
y
. Рассматривая второе уравнение как квадратное относительно x
, получим, что оно имеет реш
е
ние, если его дискриминант y
D
8
25
будет н
е-
отрицательным. Отсюда 8
25
y
.
Данная система равносильна смеша
н-
ной системе .
8
25
5
,
0
,
2
2
)
1
2
(
log
y
y
y
a
Обозначим 1
2
y
t
, тогда система примет вид .
4
21
0
,
1
log
t
t
t
a
Заметим, что 1
t
является корнем уравнения системы при всех допустимых значениях a
. При 1
0
a
в левой части уравнения системы стоит убывающая функция, в правой –
возрастающая. Следовательно, при 1
t
1
0
a
полученная сист
е
ма имеет единственное решение, а тогда и
с-
ходная система уравнений имее
т два р
е-
шения, так как при 1
t
п
о
лучаем 1
y
. Из уравнения
0
2
5
2
x
x
ему соо
т-
ветствуют два корня 2
17
5
2
,
1
x
. Пусть 1
a
. Рассмотрим функцию 1
log
)
(
t
t
t
f
a
на про
м
е
жутке 4
21
;
0
и определим количество корней уравн
е-
ния 0
)
(
t
f
на этом промежутке в зав
и-
симости от значений пар
а
метра a
.
Функция )
(
t
f
дифференцируема при 0
t
и 1
ln
1
1
)
(
a
t
t
f
.
Из уравнения 0
)
(
t
f
получаем a
t
ln
1
, 0
)
(
t
f
при a
t
ln
1
0
и 0
)
(
t
f
при a
t
ln
1
. Следовательно, точка a
t
ln
1
0
точка мак
симума фун
к-
ции )
(
t
f
. Заметим, что 1
0
t
при e
a
, 1
0
t
при e
a
, и 1
0
t
при e
a
1
.
Если e
a
, то 0
)
1
(
)
(
0
f
t
f
и функция )
(
t
f
имеет единственный к
о-
рень 1
t
.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
40
Если e
a
, то 1
0
t
, а так как 0
)
1
(
f
, то 0
)
(
0
t
f
(см. рис. 9
). П
о-
скольку ®
)
(
t
f
при 0
®
t
, то на пр
о-
межутке )
,
0
(
0
t
фун
к
ция )
(
t
f
имеет еще один корень. Следовательно, исходная система будет иметь еще два реш
е
ния.
Если e
a
1
, то 1
0
t
, а так как 0
)
1
(
f
, то 0
)
(
0
t
f
(см. рис. 10
). Найдем значение a
, при котором 0
4
21
f
из ура
в
нения 1
4
21
4
21
log
a
или 4
17
4
21
log
a
. Отс
ю
да e
a
17
4
4
21
.
С
оответстве
н
но 0
4
21
f
при e
a
17
4
4
21
. Это зн
а-
чит, что на промежутке 4
21
,
1
фун
к
ция )
(
t
f
имеет еще один корень. Следов
а-
тельно, и
с
ходная система будет иметь еще два реш
е
ния.
При 17
4
4
21
a
фун
к
ция )
(
t
f
имеет еще один корень 4
21
t
. Но в этом случае 8
25
y
и уравнение 0
4
25
5
2
x
x
им
е-
ет единственное реш
е
ние 2
5
x
. Значит, исходная система имеет три р
е
ше
ния.
Соответственно 0
4
21
f
при 17
4
4
21
1
a
. Это значит, что на пр
о-
межутке 4
21
,
1
функция )
(
t
f
не имеет к
о
рней. Ответ
:
е
сли
0
a
или 1
a
, то р
е
шений н
ет; если 1
0
a
или 17
4
4
21
1
a
, то два решения; если 17
4
4
21
a
–
три
реш
е
ния
; если e
a
17
4
4
21
–
четыре
р
е
шения
;
если e
a
–
два
р
е
шения
; если e
a
–
четыре
р
ешения
.
3. Функци
о
нально
-
графические
методы
Встреча
ю
щиеся
задачи на исследов
а-
ние уравнения или нераве
н
ства
с пар
а-
метром а
можно зап
и
сать в виде
)
,
(
)
,
(
a
x
g
a
x
f
,
(1)
где символ заменяет один из знаков
=, > , < , , .
Так как основу уравнений и нер
а-
венств составляют выражения )
,
(
a
x
f
и )
,
(
a
x
g
, то в зависимости от того, какая роль отводится параметру в задаче (п
а-
раметр –
фиксированное число, или п
а-
раметр –
переменная), запись )
,
(
a
x
f
рассматривается либо как семейство функций с переменной x
, либо как в
ы-
ражение с двумя переменн
ы
м
и x
и а
.
В соответствии с этим используется два о
с-
новных граф
ических приема решения п
о-
добных задач:
первый –
построение гр
а-
фического образа задачи на координа
т-
ной плоскости Oxy
, второй –
на коорд
и-
натных плоск
о
стях Oxa
или Oax
.
t
f
f
t
0
Рис. 9
t
f
f
t
0
Рис. 10
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
41
3
.1.
Координатная плоскость Oxy
задачи вида a
x
f
)
(
При решении задач данного вида на координатной плоскости Oxy
изображ
а-
ют график функции )
(
x
f
y
. Тогда при заданном значении параметра a
множ
е-
ство решений уравнения a
x
f
)
(
явл
я-
ется проекцией на ось абсцисс точек п
е-
ресечения горизонтальной прямой a
y
с графиком функции )
(
x
f
, а множество решений неравенства a
x
f
)
(
являе
тся проекцией на ось абсцисс
всех точек прямой a
y
, ординаты которых удовл
е-
творяют н
е
равенству a
x
f
)
(
.
Пример 7
5
.
Определите количество различных корней уравнения
2
2
2
3
3
4
a
a
x
x
в зависимости от параметра а.
Р
ешение.
Рассмотрим взаимное ра
с-
положение графика функции 3
4
)
(
2
x
x
x
f
и прямой A
a
a
x
g
2
2
3
)
(
на координатной плоскости Оху
. Из рисунка 1
1
видно, что при 0
A
графики не имеют общих т
о-
чек; если ,
1
0
A
то графики имеют ч
е-
тыре точки пересечения; две общие точки пол
у
чаем при условии 0
A
или .
1
A
На рисунке 1
1
представлен случай, к
о-
гда графики имеют ровно три общих то
ч-
ки. Данное уравнение имеет три разли
ч-
ных корня, е
сли выполняется условие .
1
2
3
2
a
a
A
О
т
сюда 5
,
0
a
или .
1
a
Аналогично находим знач
е
ния а
для других случаев.
Число ра
з-
личных ко
р
ней
0
2
Усл
о
вия
0
2
3
2
a
a
.
1
2
3
,
0
2
3
2
2
a
a
a
a
О
т
вет
0
;
;
5
,
1
5
,
1
;
0
1
;
5
,
0
Число ра
з-
личных корней
3
4
Условия
1
2
3
2
a
a
.
1
2
3
,
0
2
3
2
2
a
a
a
a
Ответ
1
;
5
,
0
5
,
1
;
1
5
,
0
;
0
зад
а
чи вида a
x
g
x
f
)
(
)
(
и параллельн
ый перенос гр
а
фика вдоль оси Оу
При решении задач данного вида и
с-
пользуется семейство фун
к
ций a
x
g
x
g
a
)
(
)
(
, графики которых отл
и-
чаются от графика функции )
(
x
g
y
смещением вдоль оси Оу
на а единиц вверх при ,
0
a
вниз –
при .
0
a
Пример 7
6
.
Най
ти
все значения а, при каждом из которых фун
к
ция
a
x
a
x
x
f
2
|
|
2
2
)
(
имеет ровно три нуля
.
Решение.
Переформулируем задачу: най
ти
все значения а
,
при каждом из к
о-
торых
уравнение
a
x
a
x
2
|
|
2
2
имеет ровно три ра
з
личных решений
.
При 0
a
уравнение x
x
|
|
4
имеет один к
о
рень 0
x
. При 0
a
построим графики фун
к
ций 2
|
|
2
2
a
x
y
и a
x
y
. Первая фу
нкция является кусочно
-
линейной и ее график (
см. рис. 1
2
) получается из граф
и-
ка функции |
|
4
x
y
с помощью элеме
н-
тарных преобразований (параллельного переноса последнего вдоль оси ординат на 2
2
a
единиц вниз и симметричног
о отр
а-
жения наверх относительно оси аб
с
цисс части гр
а
фика функции 2
2
|
|
4
a
x
y
1
g
(
x
)
=
3
a
a
2
y
x
2
1
O
Рис. 11
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
42
расположенной ниже этой оси). Постр
о-
енный график (
см. рис. 12
) пер
е
секает ось Ох
в точках 0
;
2
2
a
A
и 0
;
2
2
a
B
, а ось Оy
в точке )
2
;
0
(
2
a
C
. Функция a
x
y
задает прямую, п
а-
раллельную прямой x
y
, пересека
ю
щую оси координат в то
ч
ках )
0
;
(
a
и )
;
0
(
a
.
Графики функций a
x
y
и 2
|
|
2
2
a
x
y
пересекутся в трех то
ч-
ках тогда и тол
ько тогда, когда прямая a
x
y
пройдет через точку А
или то
ч-
ку С (
см. рис. 1
2
)
.
Во всех остальных случаях количество точек пересечения графиков функций б
у
дет или больше, или меньше трех. Определим значения пар
а-
метра а
в первом и во втором сл
у
чае. Если прямая a
x
y
проходит ч
е
рез точку А
,
то из уравнения a
a
2
0
2
при усл
о
вии 0
a
получаем 2
a
. Если прямая a
x
y
проходит ч
е
рез точку С
, то
из уравнения a
a
2
2
при условии 0
a
пол
у
ча
ем 5
,
0
a
.
Ответ
. 5
,
0
,
2
.
задачи вида )
(
)
(
a
x
g
x
f
и паралле
л
ь
ный перенос графика вдоль оси
Ох При решении задач данного вида и
с-
пользуется семейство функций )
(
)
(
a
x
g
x
g
a
, графики которых отл
и-
чаются о
т графика функции )
(
x
g
y
смещением вдоль оси Ох
на а единиц влево при ,
0
a
вправо –
при .
0
a
Пример
7
7
.
Определить значения п
а-
раметра a
,
при которых ура
в
нение 0
5
2
|
|
2
|
9
)
(
|
2
2
2
a
ax
x
x
a
x
будет иметь наибольшее число корней.
Решение.
Приведем уравнения к сл
е-
дующему виду
|
|
2
4
)
9
)
((
|
9
)
(
|
2
2
x
a
x
a
x
. (
*
)
Рассмотрим два случая.
1. Если 0
9
)
(
2
a
x
, то уравнение будет иметь вид 0
|
|
2
4
x
. Отсюда 2
x
и 2
x
. Для того, чтобы найде
н-
ные значения x
являлись р
е
шениями уравнения (
*
)
,
должны выполняться у
с-
ловия:
если 2
x
, то 0
)
5
)(
1
(
0
9
)
2
(
2
a
a
a
)
;
1
[
]
5
;
(
a
;
если 2
x
, то 0
)
5
)(
1
(
0
9
)
2
(
2
a
a
a
)
;
5
[
]
1
;
(
a
.
2. Если 0
9
)
(
2
a
x
, то уравнение будет иметь вид |
|
7
)
(
2
x
a
x
. На рис. 1
3
представлены график фун
к-
ций |
|
7
x
y
, стоящей в правой части последнего уравнен
ия, и графики фун
к-
ций 2
)
(
a
x
y
, стоящей в левой его части a
. Так как должно выполняться условие 9
)
(
2
a
x
, то для существов
а-
A
y
x
y
=
2
|
2
|
x
|
a
2
|
C
B
O
I
I
I
2
a
2
Рис. 12
y
=
7
+
|
x
|
y
x
1
O
5
2
1
9
7
y
=
(
x
+
a
)
2
Рис. 13
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
43
ния корней должно быть и 9
|
|
7
x
, т.е. 2
2
x
. Э
то возможно только при ]
5
;
1
[
]
1
;
5
[
a
(см. рис. 1
3
). Причем решение при этих значен
и
ях a
будет одно. При 1
a
и 5
a
пол
у-
чим 2
x
; при 5
a
и 1
a
получим 2
x
; при )
5
;
1
(
)
1
;
5
(
a
р
е
шением будет некоторое )
2
;
2
(
x
.
Сравнивая пол
у
ченные реш
е
ния в пе
р-
вом и вт
о
ром случ
а
ях, имеем:
при )
1
;
1
(
a
уравнение не имеет р
е-
шений;
при 1
a
и 1
a
уравнение одно решение;
при остальных значениях a
–
два р
е-
шения.
Ответ:
При )
;
1
(
)
1
;
(
a
уравнение имеет два корня.
Пример 7
8
.
При каких значениях п
а-
раметра a
неравенство
0
3
|
|
3
2
x
a
a
x
x
имеет хотя бы одно неположительное решение
?
Решение.
Приведем неравенство к в
и-
ду 4
|
|
3
)
(
1
2
2
a
x
a
x
x
x
.
График функции 1
2
2
x
x
y
2
)
1
(
x
–
парабола, полученная из 2
x
y
, параллельным перен
о
сом влево
вдоль оси Ox
на 1
(см. рис. 14)
. График функции
4
|
|
3
)
(
)
(
a
x
a
x
x
y
a
,
стоящей в правой части неравенства, при каждом значении параметра a
получае
т-
ся из графика функции 0
если
,
4
4
,
0
если
,
4
2
4
|
|
3
x
x
x
x
x
x
y
параллельным переносом на a
единиц вдоль оси Ox
(см. рис. 14)
. Решением исходного неравенства я
в-
ляется множество всех таких x
, для к
о-
торых то
ч
ки на графике функции )
(
x
y
a
расположены не ниже точек графика функции 2
)
1
(
x
y
.
Имеется два критических положения графика функции )
(
x
y
a
, удовлетворя
ю-
щих условию задачи.
(I) График
функции )
(
x
y
a
проходит через точку )
1
;
0
(
A
как указано на рис. 1
4
.
Из уравнения 1
4
)
(
4
a
x
при 0
x
получаем 75
,
0
a
.
(II
) График
функции )
(
x
y
a
проходит через точку B
как указано на рис. 1
4
. В этом случае прямая 4
)
(
2
a
x
y
я
в-
ляется касательной к графику функции 2
)
1
(
x
y
. В этом случае совпадают значения производных от функций в то
ч-
ке касания и значения ординат точек к
а-
сания графиков. Из условия 4
)
(
2
1
2
2
a
x
x
x
получ
а
ем уравнение 2
2
2
x
, т.е. 2
x
–
абсцисса точки касания граф
и-
ков. Тогда из условия совпадения орд
и-
нат получаем 4
)
2
(
2
)
1
2
(
2
a
или 5
,
3
a
.
Следовательно, при 75
,
0
5
,
3
a
и
сходное неравенство имеет хотя бы о
д-
но неположительное реш
е
ние.
Ответ
. 75
,
0
5
,
3
a
.
Пример 7
9
.
При каких значениях п
а-
раметра a
система
уравн
е
ний 2
2
8
2
,
0
|)
|
2
)(
8
(
a
y
ax
y
x
x
y
имеет ровно два р
е
шения
?
Решение.
Рассмотрим первое уравн
е-
ние си
с
темы 0
|)
|
2
)(
8
(
2
y
x
x
y
1
I
I
I
1
4
1
B
A
y
x
Рис. 14
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
44
.
2
|
|
,
8
2
x
y
x
y
(1)
Следовательно, исходная система равн
о-
сильна следу
ю
щей:
.
8
2
,
2
|
|
,
8
2
2
a
ax
y
x
y
x
y
(2)
Заметим также, что .
0
,
2
,
2
2
|
|
x
x
y
x
y
x
y
Геоме
т
рическое место точек плоскости Oxy
, координаты которых удо
в
летворяют совокупности (1) выделено на рис. 1
5
красным цветом и состоит из параб
о
лы 8
2
x
y
и двух лучей, лежащих на пр
я-
мых x
y
2
и x
y
2
.
Графиками функции 2
8
2
a
ax
y
при разных значениях a
являю
т
ся прямые.
Определим
,
при каких значениях пар
а-
метра a
прямая, заданная уравнением 2
8
2
a
ax
y
является касательной к п
а-
раболе 8
2
x
y
. Для этого испол
ьзуем условие касания графиков функции )
(
x
f
и )
(
x
g
, состоящем в том, что в точке кас
а-
ния совпадают значения производных функций и ординаты граф
и
ков ).
(
)
(
),
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
В нашем случае имеем
.
8
2
8
,
2
2
2
2
a
ax
x
a
x
Из первого уравнения получаем a
x
. Второе уравнение при этом пр
е
вращается в тождество. Следовательно, при ка
ж
дом a
эти прямая и пар
а
бола касаются в точке с координатами )
8
,
(
2
a
a
. Соответстве
н-
но при л
юбом значении a
исходная си
с-
тема имеет решение )
8
,
(
2
a
a
.
При разных значениях a
имеется чет
ы-
ре крит
и
ческих положения прямой 2
8
2
a
ax
y
(см. рис. 1
5
):
I
. Прямая параллельна прямой x
y
2
. Так как угловой коэффиц
и
ент этой прямой равен 2, то из уравнения 2
2
a
получ
а
ем 1
a
.
II
. Прямая п
а
раллельна прямой x
y
2
. Так как угловой коэфф
и
циент этой прямой равен 2
, то из уравнения 2
2
a
пол
у-
чаем 1
a
.
III
.
Прямая проходит через точку A
(точку пересечения прямой x
y
2
и пар
а-
болы при 0
x
). Из уравнения x
x
2
8
2
п
о
лучаем 2
x
и 4
x
(не подходит). В этом случае 2
a
.
IV
.
Прямая проходит через точку B
(точку пересечения прямой x
y
2
и п
а-
раболы при 0
x
). Из уравн
е
ния x
x
2
8
2
получаем 4
x
и 2
x
(не подходит). В этом случае 4
a
.
Точки 1
,
2
,
4
и 1 разбивают числ
о-
вую прямую Oa
на
промежутки. Замечаем (см. рис. 1
5
), что условию з
а-
дачи удо
в
летворяют все a
такие, что }
2
{
}
4
{
)
1
;
1
[
a
. При этих значен
и-
ях параметра
система (2) имеет два реш
е-
ния.
Ответ:
1
1
,
2
,
4
a
a
a
.
2
y
x
4
O
6
8
6
4
2
B
A
I
I
I
I
V
I
I
I
Рис. 15
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
45
задачи вида 0
0
)
(
)
(
y
x
x
a
x
f
и
поворот графика относительно то
ч
ки
Рассмотрим применение семейства функций вида 0
0
)
(
)
(
y
x
x
a
x
f
a
, к
о-
торому соответствует семейство прямых, проходящих через точку )
,
(
0
0
y
x
. Пар
а-
метр а выполняет роль углового коэфф
и-
циента указ
анных прямых, поэтому при увеличении значений параметра получ
а-
ем прямые, отличающиеся друг из друга поворотом на некоторый угол против ч
а-
совой стрелки о
т
носительно точки )
,
(
0
0
y
x
(
центр поворота
).
Мн
о
жество прямых, проходящих через точку )
,
(
0
0
y
x
, называют еще
пу
ч
ком прямых
, где )
,
(
0
0
y
x
является центром пучка.
Пример 80
.
(ЕГЭ
,
2007).
Най
ти
все зн
а
чения а
,
для к
о
торых при ка
ж
дом x
из пр
о
м
е
жутка 8
;
4
знач
е
ние в
ы
раж
е-
ния 8
log
2
2
x
не ра
в
но
зн
а
чению выр
а-
жения
.
log
)
1
2
(
2
x
a
Решение. 1. Пусть ,
log
2
t
x
тогда при 4
x
имеем 2
t
; если 8
x
, то 3
t
. Так как функция x
t
2
log
непр
е-
рывная и возрастающая, то при всех зн
а-
чениях п
е
ременной
x
из промежутка
]
8
;
4
(
переменная t
принимает все знач
е-
ния из промежутка ]
3
;
2
(
. 2. Переформулируем
задачу
:
най
ти
вс
е
значения
а
,
для
которых
при
ка
ж
дом
t
из п
ромежутка ]
3
;
2
(
значение выр
а-
жения 8
2
t
не равно значению выраж
е-
ния .
)
1
2
(
t
a
3. Графиком функции 8
2
t
y
явл
я-
ется парабола, ветви которой н
а
правл
ены вверх
(см. рис. 1
6
)
. Функция
t
a
y
)
1
2
(
задает семейство прямых, проходящих ч
е
рез начало координат. При увеличении углового коэффициента прямые повор
а-
чиваются
против часовой стре
л
ки.
4. Парабола 8
2
t
y
пересекает пр
я-
мую 2
t
в то
ч
ке (2;
4): 4
8
2
2
y
. Угловой коэ
ф
фициент прямой t
a
y
)
1
2
(
,
проход
я
щей через точку (2; 4), равен: 2
1
2
a
. Парабола п
е-
ресекает прямую 3
t
в точке (3; 1): 1
8
3
2
y
. Угловой
коэффициент прямой t
a
y
)
1
2
(
,
проходящей через точку (3;
1), р
а
вен: 3
1
1
2
a
.
5. Условие «
значение выражения
8
2
t
не равно значению выражения
t
a
)
1
2
(
при 3
;
2
t
»
графически озн
а-
чает, что прямая t
a
y
)
1
2
(
не перес
е-
кает параболу на промежутке
]
3
;
2
(
. Это выполняется при усл
о
виях .
3
1
1
2
,
2
1
2
a
a
Решая совокупность неравенств, пол
у-
чаем о
т
вет.
Ответ
: 3
2
,
2
1
a
a
.
y
t
y
=
t
2
8
1
1
3
2
O
Рис. 16
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
46
задачи вида )
(
)
(
x
ag
x
f
и сжатие (
растяжение
)
графика вдоль оси Оу
При решении задач данного вида и
с-
пользуется семейство функций )
(
)
(
x
ag
x
g
a
, графики которых отлич
а-
ются от графика функции )
(
x
g
y
сж
а-
тием (растяжением
) вдоль оси Оу
: раст
я-
жением, если ;
1
a
сжатием при ;
1
0
a
преобразованием симметрии относительно оси x
, если ;
1
a
сочет
а-
нием указанных преобразований для о
с-
тальных зн
а
чений 0
a
.
Пример 81
.
При каких значениях п
а-
раметра а уравнение
0
|
1
|
2
x
ax
имеет три р
е
шения
?
Решение
.
Перепишем данное уравн
е-
ние в следующем виде: .
1
2
x
ax
График функции 1
x
y
–
«уголок» с вершиной в точке (1;0), ветви которого направлены вниз
(
см. рис. 17)
. Функция 2
ax
y
a
задает семейство парабол с ве
р-
шиной (0;0) при 0
a
и прямую 0
y
при .
0
a
Изменение параметра а влияет на направление
ветвей параб
о
лы.
Если ,
0
а
то пряма
я 0
y
и гр
а
фик функции 1
x
y
имеют одну о
б
щую точку, а следовательно данное ура
в
нение –
один корень. Значение 0
a
не удовл
е-
творяет условию з
а
дачи. Если ,
0
a
то ветви параболы напра
в-
лены вверх, и графи
ки не имеют о
б
щих точек.
Пусть ,
0
a
тогда ветви параболы б
у-
дут направлены вниз. Легко доказать, что в этом случае парабола и прямая 1
x
y
имеют две общие точки, проверив, что для уравнения 0
1
2
x
ax
дискри
м
и-
нант 0
4
1
a
D
.
Еще одна
общая то
ч-
ка будет, когда прямая 1
x
y
являе
т-
ся к
а
сательной к графику функции 2
ax
y
. Обозначим через 0
x
абсциссу точки касания прямой 1
x
y
с пар
а-
болой 2
ax
y
и запишем условия кас
а-
ния:
;
1
,
1
0
2
0
0
x
ax
x
y
;
1
,
1
2
0
2
0
0
x
ax
ax
.
4
1
,
2
0
a
x
Ответ
.
.
4
1
a
задачи общего вида
0
)
,
(
x
a
f
Рассмотрим два примера семейства функций, графическая интерпретация к
о-
торых связана соответственно с прямой или параболой и не т
ребует простых пр
е-
образований графика функции.
Пример 8
2
.
Най
ти
все значения пар
а-
метра a
,
для которых при каждом зн
а-
чении x
,
не принадлежащем промежу
т-
ку )
3
;
1
[
,
значение выражения x
a
2
2
не равно
знач
е
нию выражения .
6
)
1
(
a
x
Решение
. Из условия задачи следует 6
)
1
(
2
2
a
x
x
a
или .
0
6
)
2
(
2
a
a
x
a
Ра
с
смотрим линейную функцию 6
)
2
(
)
(
2
a
a
x
a
x
f
. Заметим, что )
3
)(
2
(
)
(
a
x
a
x
f
. При 2
a
фун
к-
ция 0
)
(
x
f
является постоянной, и этот случай не удовлетворяет условию задачи. Пусть 2
a
, тогда условие задачи в
ы-
полняется, если линейная функция )
(
x
f
имеет нул
ь
на промежутке )
3
;
1
[
(
см. рис. 18
). 1
y
=
|
x
1
|
y
x
1
O
y
=
a
x
Рис. 17
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
47
Отсюда получаем аналитические у
с
ловия
1
3
,
3
3
a
a
0
4
a
.
Ответ
. )
0
;
4
[
.
Пример 83
.
Най
ти
все значения пар
а-
метра а
,
для которых при каждом зн
а-
чении x
из промежутка ]
1
;
1
(
,
значение выражения 3
3
2
2
5
x
x
a
не равно
значению выраж
е
ния ).
2
(
2
3
x
a
Решение
. 1. Пусть ,
3
t
x
тогда при 1
x
имеем 1
t
; если 1
x
, то 1
t
. Так как функция 3
x
t
непреры
в-
ная и возраста
ю-
щая, то при всех значениях п
е
р
е-
менной
x
из пр
о-
межутка
]
1
;
1
(
п
е-
р
е
менная t
прин
и-
мает все зн
ачения из пр
о
межутка ]
1
;
1
(
. Перефо
р
мулируем
зад
а
чу
:
най
ти
все
значения
а
,
для
которых
функция
4
)
5
2
(
)
(
2
2
t
a
t
a
t
f
не имеет нулей на
промежутке ]
1
;
1
(
. 2
.
Пусть ,
0
a
тогда имеем ,
0
)
(
t
f
0
4
5
t
или ,
5
4
t
что не удовл
е-
творяет условию задачи. Если ,
0
a
то графиком функции )
(
t
f
y
является п
а-
рабола (
см. рис. 19
), ветви которой н
а-
правлены вверх. Так как ,
4
)
0
(
f
то условие задачи выполняется, если 0
)
(
t
f
на
промежутке ]
1
;
1
(
. 3
.
Решим си
с
тему
неравенств.
0
)
1
(
,
0
)
1
(
f
f
0
4
)
5
2
(
,
0
4
)
5
2
(
2
2
a
a
a
a
0
9
2
,
0
)
1
(
2
2
a
a
a
.
1
a
Ответ
. .
1
a
задачи общего вида
)
;
(
)
;
(
x
a
g
x
a
f
Наибольшую трудность представл
я
ют задачи, в которых исследуется взаи
м
ное расположение графиков двух с
е
мейств функций.
Пример 84
.
Для каждого значения п
а-
раметра а определит
ь
число различных реш
е
ний уравнения 2
3
2
2
a
a
ax
x
.
Решение
. О
тметим, что равенство имеет смысл, если .
2
a
Квадратный трехчлен a
ax
x
3
2
2
при a
x
имеет наиме
ньшее значение 2
3
a
a
. Дискр
и-
минант ква
д
ратного трехчлена a
a
D
12
4
2
. Ра
с
смотрим три случая: 0
D
(
I
),
0
D
(
II
), 0
D
(
III
).
I
. Пусть ,
0
D
т.е. ,
0
12
4
2
a
a
0
a
(не выполняется условие 2
a
) или .
3
a
При 3
a
из семейства фун
к-
ций 2
a
y
a
получаем прямую 1
y
, имеющую
две общие точк
и с параболой (
см. рис. 20
), т.е. при 3
a
исходное уравнение имеет два реш
е
ния.
II
. Рассмотрим случай, когда ,
0
D
т.е. ,
0
12
4
2
a
a
.
3
0
a
Прямая из семейства функций 2
a
y
a
не будет пер
е
секать параболу (рис. 1
1
),
если будет выполняться условие 2
3
2
a
a
a
с учетом 2
a
и .
3
0
a
Отсюда имеем .
3
1
2
a
y
x
O
3
1
a
+
3
5
2
a
>
0
2
a
<
0
a
+
3
Рис. 18
y
t
1
1
O
4
Рис. 19
1
y
x
O
1
I
I
I
I
I
I
Рис. 20
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
48
Пусть 2
3
2
a
a
a
, тогда при 3
1
a
параб
о
ла и прямая имеют одну общую точку. Аналогично получаем у
с-
ловие 3
3
1
a
для двух общих т
о-
чек.
III
. Если ,
0
D
т.е. ,
0
12
4
2
a
a
то 3
a
с учетом 2
a
. График функц
ии a
ax
x
y
3
2
2
и прямая из семейства 2
a
y
a
могут иметь две общие точки (
см. рис. 20
), если 3
,
0
2
a
a
или .
3
,
3
2
2
a
a
a
a
В первом случае решений нет, во вт
о
ром пол
у
чаем .
2
2
3
a
Три общие точки –
при условии 3
,
3
2
2
a
a
a
a
.
2
2
a
И
,
наконец, четыре общие точки –
при условии ;
3
,
3
2
0
2
a
a
a
a
.
2
2
a
Ответ. При 3
1
a
корней нет
; при 3
1
a
один корень; при 2
2
3
1
a
два различных корня; при 2
2
a
–
три; при 2
2
a
–
ч
е
тыре.
3.
2. Координатн
ые
плоскост
и
Оха
и Оах
Данный метод представляет собой н
е-
которое обобще
ние графического метода решения уравнений и неравенств, осн
о-
ванного на использовании координатной плоскости Oxa
или Oax
. В последнем случае ось Ox
называют коо
р
динатной
,
ось Oa
–
параме
т
рической
,
а плоскости Oxa
и Oax
–
координатно
-
параметрическими
(или КП –
плоск
о-
стями
). При использовании это метода исхо
д-
ное уравнение (или неравенство) прео
б-
разуют к виду )
(
x
a
или )
(
a
x
. В первом случае на плоскости Oxa
строят график функции )
(
x
, а затем, пересекая полученный график прямыми, пара
л-
лельными оси Ox
, получают необход
и-
мую информацию. Во втором
–
произв
о-
дят построения графика функции )
(
a
на плоскости Oax
. Другой вариант этого
приема связан с нахождением графич
е-
ского решения уравнения (неравенства) вида 0
)
,
(
a
x
f
, а затем его аналитич
е-
ской инт
ерпретацией. Построение граф
и-
ка уравнения 0
)
,
(
a
x
f
с двумя пер
е-
менными x
и
а на плоскости Oax
явл
я-
ется основой для ответа на поставленный вопрос о решениях уравнения с параме
т-
ром. Графическим реш
е
ние
м неравенства 0
)
,
(
a
x
f
, где символ заменяет один из знаков > , < , , , являются множ
е-
ства точек (области) пло
скости
, коорд
и-
наты которых удовлетворяют данному неравенству
.
При решении конкретной задачи коо
р-
динатно
-
параметрическим методом в х
о-
де р
е
шения плоскость Oxa
разбивается на «частичные области», внутри каждой из которых геометрически интерпретир
у-
ется и решается поставленная задача.
Замечание
.
В частности, понятие «частичных областей» используется при решении уравнений и неравенств, соде
р-
жащих неизвестные под знаком абсолю
т-
ной величины (этот метод называют м
е-
тодом «частичных областей»
)
.
В свою очередь при решении логарифмических и показательных (и некоторых других) уравнений и неравенств также приходи
т-
ся разбивать плоскость Oxa
на области.
задачи
вида
)
(
x
a
или )
(
a
x
При решении уравнения или нераве
н-
ства )
,
(
)
,
(
a
x
g
a
x
f
иногда удаетс
я в
ы-
разить одну из переменных в явном виде, что позволяет перейти от задачи с пар
а-
метром к задаче без параметра, а именно к исследованию функциональной зав
и-
симости одной переменной от другой.
Для решения неравенств полезным б
у-
дет напомнить одно простое утв
ержд
е-
ние: пусть имеется график функции )
(
x
f
y
, тогда множество точек плоск
о-
сти, расп
о
ложенных выше графика, будет Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
49
геометрическим изобр
а
жением решения неравенства )
(
x
f
y
, а для точек, леж
а-
щих ниже графика –
н
е
равенства )
(
x
f
y
.
Пример 85
.
(
Экзаменационная раб
о-
та
,
1994 г
.)
.
При каких значениях a
ура
в-
нение 0
2
3
|
|
)
2
4
(
2
2
a
a
x
a
x
имеет два различных р
е
шения
?
Решение. Пусть ,
|
|
t
x
тогда пол
у-
чим квадра
т
ное уравнение ,
0
2
3
)
2
4
(
2
2
a
a
t
a
t
имеющее корни a
t
или .
2
3
a
t
О
т-
сюда получаем a
x
|
|
и .
2
3
|
|
a
x
П
о-
строим графики двух функций |
|
)
(
x
x
a
и 3
2
|
|
)
(
x
x
a
, которые имеют две о
б-
щие т
очки )
1
;
1
(
и )
1
;
1
(
(
см. рис. 21
). Первый график (уголок) имеет «верш
и-
ну» )
0
;
0
(
, а вт
о
рой –
3
2
;
0
. Рассматривая семейство горизонтал
ь-
ных прямых, получаем всевозможные о
т-
веты для более общей задачи: для кажд
о-
го значения a
определите число разли
ч-
ных решений ура
в
нения 0
2
3
|
|
)
2
4
(
2
2
a
a
x
a
x
.
Значения
параметра a
)
0
;
(
0
3
2
;
0
Число различных
корней
0
1
2
Значения
параметра a
3
2
1
;
3
2
1
)
;
1
(
Число разли
ч-
ных корней
3
4
2
4
Запишем ответ для исходной задачи. Ответ:
;
3
2
0
a
.
1
a
Замечание.
Здесь полезным
оказался тот факт, что корни квадратного уравн
е-
ния лег
ко выразить через параметр (т.е. дискриминант является квадратом нек
о-
торого выражения). В этом случае сп
о
соб решения, использующий явные выраж
е-
ния для корней, является одним из на
и-
более рациональных.
Построение граф
и-
ка уравнения сводится к построению н
е-
ско
льких простейших графиков функций.
Пример 8
6
. (МИЭТ
,
2002).
При каких значениях параметра a
имеет ровно два ра
з
личных корня уравнение
0
)
2
)
2
(
(
2
2
2
a
x
a
x
a
x
?
Решение.
Корни данного уравнения должны удовлетворять условию 2
2
a
x
(условие существования квадратного корня из выражения 2
2
a
x
). Заметим, что )
2
)(
(
2
)
2
(
2
x
a
x
a
x
a
x
. Т
о-
гда 0
)
2
)
2
(
(
2
2
2
a
x
a
x
a
x
.
2
,
,
2
,
2
2
2
x
a
x
a
x
a
x
Следовательно, корнями уравнения могут быть числа 2
1
2
a
x
, a
x
2
и 2
3
x
. По условию задачи требуется найти значения параметра a
, при кот
о-
рых уравнение имеет ровно два разли
ч-
ных корня. Для отбора искомых значений параметра на плоскости Oax
построим графики функций 2
2
a
x
, a
x
и 2
x
(
см. рис. 22
). Каждая прямая const
a
, параллельная оси Ox
, перес
е-
кает каждый из построенных графиков, и о
рдината точки пересечения дает знач
е-
ние корня исходного уравнения при у
с-
a
x
O
I
I
I
1
1
a
=
1
Рис. 21
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
50
ловии, что 2
2
a
x
. Точки )
,
(
x
a
, коо
р-
динаты которых удовлетворяют после
д-
нему неравенству, расположены на пло
с-
кости Oax
в выделенно
й фоном области.
Имеется пять критических полож
е
ний этих прямых
: I
)
2
a
, II
) 1
a
, III
) 5
,
0
a
, IV
) 0
a
, V
) 1
a
.
В этих случаях о
ни проходят через точки пер
есечения графиков. Точки 0
,
5
,
0
,
1
,
2
и 1 разбивают числовую прямую Oa
на шесть промежутков. Ра
с-
смотрим каждый из них:
(1) )
2
;
(
a
и (2) )
1
;
2
(
a
. На этих промежу
т
ках уравнение имеет три корня.
(3) )
5
,
0
;
1
(
a
. Уравнение имеет два корня (график функции 2
x
ра
с-
положен ниже графика функции 2
2
a
x
).
(4) )
0
;
5
,
0
(
a
. Уравнение имеет один корень, так как графики функций a
x
и 2
x
–
ниже гр
а
фика функции 2
2
a
x
.
(5) )
1
;
0
(
a
. Уравнение имеет два корня (график функции 2
x
–
ниже графика функции 2
2
a
x
).
(6) )
;
1
(
a
. Урав
нение имеет три корня.
Соответственно при каждом из знач
е-
ний 2
a
, 1
a
или
1
a
уравнение имеет два корня (рис. 15
).
Ответ.
]
1
;
0
(
)
5
,
0
;
1
[
}
2
{
.
задачи вида 0
)
,
(
x
a
f
Рассмотрим у
равнения и неравенс
т
ва, в которых переменн
ые
x
или a
з
а
даны в неявном виде, и выразить какую
-
либо п
е
ременную в явном виде сложно.
В предлагаемых задачах уравнение с двумя переменными 0
)
,
(
x
a
f
, как пр
а-
вило,
задает на координатной плоскости некоторые линии. Это составляет основу при решении неравенств.
Для
решения неравенств вида 0
)
,
(
x
a
f
удобно использовать метод областей
, суть которого представлена ниже при решении примеров.
Для решен
ия уравнений или нер
а-
венств, содержащих знак модуля, обычно использ
у
ют метод «частичных областей». Основная идея этого метода
состоит в том, что решение задачи в исходной о
б-
ласти (в частности, на плоск
о
сти Oxa
) сводится к решению со
вокупности см
е-
шанных систем (уравнений и нер
а-
венств), не содержащих знаков абсолю
т-
ной величины, в каждой частичной о
б-
ласти, на которые разбивается исхо
д
ная область.
Пример 87
.
Определит
ь
количество корней уравнения 2
2
3
a
x
a
x
в завис
и
мости от значений параметра
а
.
Решение.
Данное уравнение равн
о-
сильно совокупности четырех систем:
1) ;
2
5
,
0
,
0
a
x
a
x
a
x
2) ;
2
5
,
0
,
0
a
x
a
x
a
x
3) ;
2
5
,
0
,
0
a
x
a
x
a
x
4) .
2
5
,
0
,
0
a
x
a
x
a
x
Решения первой системы образуют о
т-
резок ВС
(
см. рис. 23
), р
еш
е
ния второй системы составляют о
т
резок АВ
, решения третьей системы дают отрезок DC
и р
е-
шения четвертой системы –
отр
е
зок AD
.
x
a
x
=
2
a
2
1
1
2
O
x
=
2
I
V
I
V
I
I
I
I
I
Рис. 22
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
51
Таким образом, координаты всех точек плоскости, принадлежащих сторонам п
а-
раллелограмма ABCD
, составляют мн
о-
жество решений данного
уравнения. О
п-
ределим координаты точек А
, В
, С
, D
. Для этого решим системы, составле
н
ные из уравнений пр
я
мых линий 2
5
x
a
(
ВС
), 5
2
5
1
x
a
(
АВ
),
5
2
5
1
x
a
(
DC
), 2
5
x
a
(
AD
),
пересекающихся в вер
шинах параллел
о-
грамма. Пол
у
чим: ,
2
1
;
2
1
A
,
3
1
;
3
1
B
,
2
1
;
2
1
C
.
3
1
;
3
1
D
Рассматривая прямые const
a
в п
е-
ресечении с параллелограммом, пол
у
чаем ответ.
Ответ
. При 5
,
0
a
или 5
,
0
a
нет корней; при 5
,
0
a
или 5
,
0
a
один корень; при 5
,
0
5
,
0
a
два корня.
Пример 88
.
(ЕГЭ
,
2004)
.
Най
ти
все значения параметра а
,
при которых множес
т
во решений неравенства 2
2
2
1
8
1
x
a
x
a
x
x
a
содержится в некотором отрезке дл
и-
ной 7 и при этом содержит какой
-
нибудь отрезок длиной
4. Решение.
1. Преобразуем данное н
е-
равенство ;
2
)
2
(
8
3
2
x
a
x
a
x
x
a
x
;
0
)
2
)(
(
8
)
(
3
2
x
x
a
x
a
x
x
0
4
2
3
x
a
x
x
.
Для графич
е
ского решения по
следнего неравенства используем метод обла
с
тей.
2. Обозначим 2
3
4
)
,
(
x
a
x
x
x
a
f
.
Найдем н
у
ли: ;
0
4
2
3
x
a
x
x
,
a
x
,
4
x
.
0
x
Построим пр
я
мые в системе координат Оах
(см. рис. 24
). Далее
опр
е-
деляем знак значения выражения )
,
(
x
a
f
в одной из областей 0
)
1
;
0
(
f
, затем расставляем знаки в других областях, и
с-
пользуя правило знакочередов
а
ния.
3. Рассмотрим области, выделенные фоном и представляющие граф
и
чески множ
ество решений
последнего нераве
н-
ства. В случае 4
4
a
множество р
е-
шений не содержит отрезок длины 4. При 4
a
множество решений есть объединение двух промежу
т
ков: ).
;
4
(
)
4
;
0
(
a
Если ,
8
4
a
то
множес
т
во решений не содержит отрезок длины 4. При 8
a
множество решений соде
р-
жит отрезок длины 4, но не входит в о
т-
резок длины 7. Пусть ),
7
;
(
a
т
о
гда решения )
0
;
(
a
не содержатся в отре
з
ке длины 7. П
ри 4
;
7
a
решения )
0
;
(
a
удовл
е-
творяют условию з
а
дачи. Ответ
:
4
;
7
.
1
x
a
1
O
1
1
D
C
B
A
Рис. 23
a
x
O
1
1
x
=
4
+
+
4
4
+
4
4
Рис. 24
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
52
Пример 89
.
(МИОО
,
тренировочная работа
,
декабрь 2010).
Найти все знач
е-
ния параметра a
,
при каждом из кот
о-
рых си
стема 3
,
1
,
0
49
14
7
2
x
ax
y
y
x
xy
y
имеет единственное решение.
Решение. Группируя члены в левой части первого уравнения системы, ее можно ра
з
ложить на множители
49
14
7
2
y
x
xy
y
)
7
(
)
49
14
(
2
x
xy
y
y
)
7
)(
7
(
)
7
(
)
7
(
2
x
y
y
y
x
y
.
Тогда первое уравнение систе
мы ра
в-
носильно совокупности двух линейных уравн
е
ний
.
7
,
7
0
49
14
7
2
x
y
y
y
x
xy
y
Второе уравнение системы 1
ax
y
задает семейс
т
во прямых, проходящих через точку с координатами )
1
;
0
(
.
Исходная система будет иметь единс
т-
венное р
ешение при тех значениях пар
а-
метра a
, при которых соответствующая прямая из этого семейства имеет только одну точку пересечения с прямой 7
y
или прямой 7
x
y
в полуплоскости, расположенной правее пр
я
мой 3
x
(см. рис. 25
). Имеется четыре критических полож
е-
ния для пр
я
мых 1
ax
y
:
I
. Прямая 1
1
x
a
y
проходит через точку )
7
;
3
(
A
. Из уравнения 1
3
7
1
a
получаем 2
1
a
.
II
. Прямая 1
2
x
a
y
проходит через точку пересечения прямых 3
x
и 7
x
y
с координатами )
4
;
3
(
B
. Из уравнения 1
3
4
2
a
получаем 1
2
a
.
III
.
Прямая 1
3
x
a
y
параллельна прямой 7
y
, т.е. 0
3
a
.
IV
. Прямая 1
4
x
a
y
параллельна прямой 7
x
y
, т.е. 1
4
a
.
Соответственно, данная в условии си
с-
тема будет иметь единственное решение, если прямая 1
ax
y
будет прох
о
дить в области на плоскости Oxy
выделенной фоном, что соответствует значениям п
а-
раметра 0
1
a
или 2
1
a
. Ответ
. ]
2
;
1
(
]
0
;
1
(
.
Пример 90
.
(
ЕГЭ 2010
,
С5).
Найти все значения a
,
при каждом из которых уравнение |
4
|
|
4
|
)
4
(
2
2
a
x
a
x
a
x
имеет единс
т
венный корень.
Решение
. Введем обозначение b
a
4
, тогда уравнение примет вид
|
|
|
|
2
2
b
x
b
x
b
x
. (
*
)
Раскроем знаки модулей и построим гр
а-
фики полученных уравнений в плоскости bOx
.
1) .
1
)
1
(
,
,
2
,
,
2
2
2
2
b
x
b
x
b
x
x
b
x
b
x
b
x
2) .
1
)
1
(
,
,
2
,
,
2
2
2
2
b
x
b
x
b
x
b
b
x
b
x
b
x
3) .
1
)
1
(
,
,
2
,
,
2
2
2
2
b
x
b
x
b
x
b
b
x
b
x
b
x
C
B
3
A
O
y
x
7
y
x
7
y
a
x
1
y
a
x
1
y
a
x
1
7
1
y
a
x
1
Рис. 25
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
53
4) .
1
)
1
(
,
,
2
,
,
2
2
2
2
b
x
b
x
b
x
x
b
x
b
x
b
x
График уравнения (
*
) состоит из чет
ы-
рех полуокружностей
(см. рис. 26
)
. Пр
о-
водя прямые, параллельные оси x
, пол
у-
чим одну общую точку с построенным граф
и
ком при 2
b
или 2
b
. Функция 4
)
(
b
b
a
с переменной b
является во
з-
рас
тающей, поэтому каждому значению b
соответс
т
вует единственное значение а
. Таким образом исходное уравнение им
е-
ет единс
т
венное решение при 6
a
или 2
a
.
Ответ
:
2
,
6
.
4. Геометрические методы решени
я
В случае применения графических м
е-
тодов решения систем уравнений и нер
а-
венств используется г
еометрическая и
н-
терпретация уравнений или неравенств, связанная с геометрическим смыслом модуля, формулы расстояния между дв
у-
мя точками на плоскости, неравенством
треугольника, или метод наглядной гр
а-
фической интерпретации с использован
и-
ем графического образа задачи на коо
р-
динатной пло
с
кости Oxy
.
отрезки
Пример 9
1
.
(№16, § 15 сборника С5 2011).
Для каждого значения a
р
ешит
ь
систему уравнений
.
29
2
104
20
4
100
12
16
,
0
58
10
14
2
2
2
2
2
2
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
Решение. Запишем второ
е
уравнение системы в виде
2
2
)
6
(
)
8
(
a
x
29
2
)
10
(
)
2
(
2
2
a
x
.
Заметим, что левая часть этого ура
в-
нения –
сумма расстояний от точки )
,
(
x
a
M
до точек )
8
,
6
(
A
и )
2
,
10
(
B
(см. рис. 27
), причем расстояние между точками А
и В
равно 29
2
. Для любой точки 1
M
, не принадлежащей прямой АВ
сумма расстояний 29
2
1
1
B
M
AM
(неравенство тре
угольника). Для точки M
, принадлежащей прямой АВ
сумма расстояний 29
2
MB
AM
, только в случае, если M
–
точка отре
з
ка АВ
. Уравнение прямой, проходящей ч
е
рез точки А
и В
, им
е
ет вид 23
2
5
a
x
.
Точки отрезка АВ
имеют координаты 23
2
5
,
a
a
, где 10
6
a
.
Подставляя 23
2
5
a
x
в первое уравнение системы, получим
23
2
5
14
23
2
5
2
2
a
a
a
0
265
90
4
29
0
58
10
2
a
a
a
.
Откуда 1
x
=
b
x
b
1
2
x
=
b
1
1
2
Рис. 2
6
1
0
x
a
8
4
0
6
M
1
B
M
A
O
Рис. 27
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
54
29
415
2
180
2
29
265
29
90
90
2
a
. Заметим, что значение 29
415
2
180
1
a
5
20
140
29
400
2
180
не удовлетвор
я-
ет условию 10
6
a
. Для значения 29
415
2
180
2
a
пол
у-
чаем 29
441
2
180
29
400
2
180
2
a
, т.е. 8
29
222
29
220
7
2
a
. Тогда 29
415
5
217
23
29
415
2
180
2
5
x
.
Ответ
. Если 29
415
2
180
a
, то 29
415
5
217
x
; при остальных a
р
е-
шений нет.
Замечание.
Заметим, что первое ура
в-
нение системы можно преобразовать к виду 0
58
10
14
2
2
a
x
a
x
2
2
2
4
)
5
(
)
7
(
a
x
.
Получили уравне
ние окружности радиуса 4 с центром в точке )
7
;
5
(
O
(см. рис. 27
). Эта окружность имеет единственную о
б-
щую точку с отрезком AB
.
окружность и отрезок
Пример 92
.
Найти все значения а, при которых система уравнений
2 2 2 2
2 2 2
64 16 36 12 10,
x y x x y y
x y a
имеет два решения
.
Решение. Запишем первое уравнение системы в в
и
де
2 2 2 2
( 8) ( 6) 10
x y x y
.
Пусть (;)
M x y
–
точка координатной плоскости (см. рис. 28
), тогда л
е
вая часть этого уравнения есть сумма расстояний от
то
ч
ки M
до точек 1
( 8;0)
M
и 2
(0;6)
M
.
Так как расстояние между точками 1
M
и 2
M
равно 10, то координаты точки M
удовлетворяют первому уравнени
ю си
с-
темы в том и только в том случае, когда M
лежит на отрезке 1 2
M M
. В самом д
е-
ле, если M
не принадлежит прямой 1 2
M M
, то указанная сумма расстояний больше 10
(неравенство треугольника). В случае, когда точка M
л
е
жит на прямой 1 2
M M
вне отрезка 1 2
M M
, эта сумма та
к-
же бол
ь
ше 10.
Второе уравнение системы 2 2 2
x y a
задает семей
ство окружн
о
стей радиуса | |
a
с центром в точке О
. Условию задачи будет удовлетворять окружность, име
ю-
щая две общие точки с отре
з
ком 1 2
M M
. Это возможно, если радиус окружности | |
a
будет больше радиуса, при котором окружность касается отрезка 1 2
M M
(в этом случае | |
a h
, где h
–
высота в тр
е-
угольнике 1 2
OM M
, опущенная из точки О
на 1 2
M M
(см. рис. 28
), т.
е.
6 8 24
10 5
h
и меньше или равен 2
OM
, т.е. 6
|
|
a
. Отсюда 6
|
|
5
24
a
. О
т
вет.
5
24
6
a
, 6
5
24
a
.
O
x
h
M
1
6
y
M
2
M
Рис. 28
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
55
окружность и прямая
Пример 93
.
Найти все значения пар
а-
метра
а
,
при каждом из которых сист
е-
ма ура
в
нений
a
y
x
y
x
,
1
2
2
имеет еди
н-
с
т
венное решение
.
Решение.
Изобразим в одной коорд
и-
натной плоскости графики, заданные уравнениями системы (см. рис. 29
).
На рисунке видно, что система будет иметь единственное решение, если пр
я-
мая x
a
y
кас
а
ется окружности 1
2
2
y
x
и ее решениями будут коо
р-
динаты точек E
и D
.
Найдем значение а
, при котором пр
я-
мая касается окружности, для чего ра
с-
смотрим равнобедренный прямоу
гол
ь-
ный треугольник ODA
(это действител
ь-
но так, ибо прямая ,
x
y
а значит и прямая ,
x
a
y
составляют с полож
и-
тельным направлен
и
ем оси Ox
угол в 45
). Так как ,
1
AD
OD
по теореме Пифагора пол
у
чаем .
2
OA
a
Тогда второе значение a
, при кот
о
ром прямая x
a
y
касается окружн
о
сти 1
2
2
y
x
, будет равно ).
2
(
Ответ:
2
a
.
Пример 94
.
(МИОО
,
диагностич
е-
ская работа
,
2011)
.
Най
ти
все значения параметра a
, при каждом из которых си
с
тема
a
a
y
a
x
y
x
2
)
2
(
)
(
,
11
|
1
2
|
2
2
имеет единс
т
венное решение
.
Решение. (
1
-
й способ
)
. Неравенство системы задает полосу с границами
-
прямыми 10
2
y
x
и 12
2
y
x
. Уравнение системы при 2
a
не опр
е-
делено. Если 2
a
, то уравнение 0
)
4
(
)
2
(
2
2
y
x
задает точку )
4
;
2
(
C
, принадлежащую пол
о
се, так как выпо
л
няется неравенство 11
|
1
8
2
|
(см. рис. 30
)
.
При 2
a
уравнение системы задает окружность с центром )
2
,
(
a
a
M
и ради
у-
сом a
r
2
. Окружность б
у
дет иметь единственную точку с полосой, е
с
ли она будет касаться полосы, и центр ее при этом будет лежать вне п
о
лосы.
Центры семейства окружностей, з
а-
данных уравнением системы при 2
a
, лежат на прямой x
y
2
, которая перес
е-
кает пр
я
мую 10
2
y
x
в точк
е )
4
;
2
(
B
и пр
я
мую 12
2
y
x
в точке )
8
,
4
;
4
,
2
(
A
. Окружность будет касат
ь-
ся полосы в точках А или
В
, при этом в первом случае абсцисса центра окружн
о-
сти 4
,
2
a
, а во втором –
2
a
. Т
очка
A
не подходит, так как значение 4
,
2
a
. Так как точка В
принадлежит окружн
о
сти, то имеем 2
)
2
4
(
)
2
(
2
2
a
a
a
.
Отсюда получаем квадратное уравн
е
ние 0
8
21
5
2
a
a
, корни которого 2
,
1
a
(не удовлетворяют условию 2
a
) или 3
a
.
Ответ
: 3
;
2
.
1
y
x
1
2
1
1
2
D
O
E
A
B
Рис. 29
4
y
x
4
8
2
M
O
C
B
A
1
0
8
6
6
2
Рис. 30
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
56
Замечание.
Друг
ой способ решения задачи связан с применением формулы расстояния от точки )
,
(
0
0
y
x
M
до пр
я-
мой l
, заданной на координатной плоск
о-
сти Оху уравнением 0
d
by
ax
:
2
2
0
0
|
|
)
,
(
b
a
d
by
ax
l
M
.
(
*
)
Расстояние от центра )
2
,
(
a
a
M
окру
ж-
ности до прямой 0
10
2
y
x
равно р
а
диусу a
r
2
. Отсюда получаем одно уравнение
a
a
a
2
2
1
|
10
2
|
2
2
с ко
р
нями 2
,
1
a
или 3
a
.
Расстояние от центра )
2
,
(
a
a
M
окру
ж-
ности до второй прямой 0
12
2
y
x
равно радиусу a
r
2
. Отсюда пол
у-
чаем второе уравнение
a
a
a
2
2
1
|
12
2
|
2
2
,
не имеющее ко
р
ней.
Ф
ормулу (
*
)
легко получить из фо
р-
мулы расстояния от точки )
,
,
(
0
0
0
z
y
x
M
до плоскости , заданной в прямоугол
ь-
ной системе координат Оху
z
уравнением 0
d
cz
by
ax
([1], с
тр. 116):
2
2
2
0
0
|
|
)
,
(
c
b
a
d
cz
by
ax
l
M
. (
**
)
Действительно, уравнение 0
d
by
ax
задает плоскость , перпендикуля
р
ную плоскости Оху
. Пер
е
секая плоскость плоскостями c
z
, получаем п
рямые. В случае 0
z
получаем прямую, зада
н
ную на плоскости Оху
уравнением 0
d
by
ax
.
Поэтому ра
с
стояние от точки )
,
(
0
0
y
x
M
до прямой 0
d
by
ax
в п
лоскости Оху
равно расстоянию от точки )
0
,
,
(
0
0
y
x
M
до плоскости , заданной уравнением 0
d
by
ax
. Отсюда из формулы (
**
) получаем фо
р
мулу (
*
).
окружности (
круги
)
Пример 95
.
При каких значениях п
а-
раметра a
система неравенств
56
12
4
14
8
,
5
2
4
2
2
2
2
2
2
a
a
y
x
y
x
a
y
x
y
x
имеет единс
т
венное решение
.
Решение.
Данную систему можно з
а-
писать следующим обр
а
зом: .
)
3
2
(
)
7
(
)
4
(
,
)
1
(
)
2
(
2
2
2
2
2
2
a
y
x
a
y
x
При 0
a
система примет вид 2
2
2
2
2
3
)
7
(
)
4
(
,
0
)
1
(
)
2
(
y
x
y
x
и будет иметь единственное решение )
1
;
2
(
.
При 0
a
первое
неравенство сист
е-
мы задает круг радиуса |
|
a
с центром в точке ( 2;1)
A
, второе неравенство –
внешность круг
а
радиуса |
3
2
|
a
с це
н-
тром в точке (4;7)
B
, вкл
ю
чая и границу этого круга. При 5
,
1
a
второму нер
а-
венству системы удовлетворяют коорд
и-
наты всех точек плоскости.
Расстояние между центрами этих
кр
у-
гов равно
2 2
(4 2) (7 1) 10
AB
.
Еди
н
ственное решение система будет име
ть в случае, если круг с центром в точке A
содержится внутри круга с це
н-
тром в точке B
и касается его границы. В этом случае круги касаются, и координ
а-
x
y
B
C
A
Рис. 31
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
57
ты точки касания С
–
единственное р
е-
шение системы
(см. рис. 3
1
)
.
Дан
н
ая
с
и-
туация возможна
,
если |
3
2
|
10
|
|
a
a
.
Решая последнее уравнение
, получим 13
a
и 7
a
.
Ответ.
7
;
0
;
13
.
Пример 96
. (МФТИ
,
2008).
Найти все значения параметра a
,
при которых система 4
4
,
|
|
|
|
10
49
2
2
2
2
2
a
x
y
x
y
x
y
x
имеет хотя бы одно решение.
Решение. Данная система будет ра
в-
носильна следующим системам
2
2
2
2
2
)
4
4
(
,
1
)
25
|
|
10
(
)
25
|
|
10
(
a
y
x
x
y
y
x
x
)
2
(
.
)
2
(
)
1
(
,
1
)
5
|
(|
)
5
|
(|
2
2
2
2
2
a
y
x
y
x
При 0
x
, 0
y
неравенство (1) си
с-
темы задает круг радиуса 1 с центром в точке 1
O
)
5
;
5
(
. Поскольку для любой п
а-
ры чисел )
,
(
y
x
, удовлетворяющей нер
а-
венству (1) п
а
ры чисел )
,
(
y
x
, )
,
(
y
x
, )
,
(
y
x
также удовлетворяют нераве
н-
ству (1), то геометрич
е
ское место точек 1
F
плоскости Oxy
, координаты которых удовлетворяют (1) –
точки четырех кр
у-
гов радиуса 1, выделенных на рис. 32
ф
о-
ном.
Геометрическое место
точек 2
F
пло
с-
кости Oxy
, координаты которых удовл
е-
творяют уравнению
(2) –
точки окружн
о-
сти радиуса |
|
a
с центром в точке )
0
;
2
(
M
. Т
о
гда (см. рис. 32):
34
)
0
5
(
)
2
5
(
2
2
4
1
MO
MO
,
74
)
0
5
(
)
2
5
(
2
2
3
2
MO
MO
.
Для касающихся окружностей спр
а-
ведливо утверждение: «их центры и то
ч-
ки касания лежат на одной прямой». Сл
е-
довател
ь
но, (см. рис. 32):
1
34
1
1
AO
MO
MA
, 1
34
1
1
OB
MO
MB
,
1
74
MC
и 1
74
MD
.
Так как 6
34
, 8
74
, то 1
74
1
8
1
6
1
34
. Система будет иметь решение, если множества 1
F
и 2
F
имеют хотя бы одну общую точку. Это возможно, если радиус окружности, равн
ый |
|
a
, множес
т
ва 2
F
удовлетворяет неравенствам: 1
34
|
|
1
34
a
или 1
74
|
|
1
74
a
.
Ответ
: при
]
1
34
;
1
34
[
|
|
a
]
1
74
;
1
74
[
, при остальных a
решений нет
.
x
2
5
B
M
A
O
O
3
O
4
O
2
O
1
5
D
C
y
Рис. 32
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
58
симметрические выражения
Приведем свойства графика уравнения 0
)
;
(
y
x
, где выражение )
;
(
y
x
обл
а-
дает симметрией относительно знака, л
и-
бо симметрией относительно перестано
в-
ки переменных.
Пусть G
–
график уравнения 0
)
;
(
y
x
. 1.
Если )
;
(
)
;
(
y
x
y
x
, то график G
имеет ось симметрии Оу
.
2.
Если )
;
(
)
;
(
y
x
y
x
, то гр
а
фик G
имеет ось симметрии Ох
.
3.
Если )
;
(
)
;
(
y
x
y
x
, то график G
имеет центр симме
т
рии О
.
4.
Если )
;
(
)
;
(
y
x
x
y
, то графи
к G
имеет ось симметрии прямую x
y
.
Пример 97
.
При каких действител
ь-
ных значениях параметра а система
a
y
x
y
x
2
2
,
12
|
|
2
|
|
3
имеет наибольшее число решений
?
Решение.
Уравнение 12
|
|
2
|
|
3
y
x
задает ромб, точка пересечения диаг
он
а-
лей которого –
начало к
о
ординат (0;0), 4
OA
, 6
OB
(см. рис. 33
)
.
Выражения |
|
2
|
|
3
y
x
и 2
2
y
x
не меняют свой вид
при замене x
на x
и y
на y
. Поэтому ромб и окружность имеют общие оси симметрии Oy
и Ox
.
Так как
окружность с прямой (отре
з
ком) может иметь самое большее две о
б
щие точки, то данная система имеет н
аибол
ь-
шее число решений, когда окру
ж
ность a
y
x
2
2
пересекает каждую сторону ромба в двух внутре
н
них точках (общее количество –
восемь точек). Это возмо
ж-
но тогда, когда радиус этой о
к
ружности
(
a
r
) больше половины его мен
ьшей диагон
а
ли. Рассмотрим треугольник АОВ
: высота, проведенная к гипотенузе АВ
, равна
,
AB
OA
OB
h
где 4
OA
, 6
OB
, ,
52
6
4
2
2
AB
.
13
13
12
h
Значит, 4
13
13
12
a
или .
16
13
144
a
Ответ
:
.
16
;
13
144
a
Пример 98
.
Сколько решений имеет система уравнений
a
y
x
y
x
|
|
|
|
,
1
2
2
в зависимости от значений параметра а
?
Решение.
Отметим, что при 0
a
вт
о-
рое уравнение не имеет решений. Если ,
0
a
то второе уравнение имеет реш
е-
ние (0; 0), но оно не является решением первого уравнения. Пусть 0
a
. Граф
и-
ком первого уравнения системы является о
к
ружность с центром (0; 0) и радиуса 1. Второе уравнение задает семей
ство гом
о-
тетичных квадратов с центром гомот
е
тии (0; 0)
(см. рис. 34
)
. Выражения |
|
|
|
y
x
и 2
2
y
x
не м
е-
няются при замене x
на x
и y
на y
. 1
y
x
2
O
2
Рис. 34
1
y
x
2
O
5
4
3
6
5
4
3
2
1
B
A
Рис. 33
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
59
Значит, квадрат и окружность имеют о
б-
щие оси си
м
метрии Оу
и Ох
, и окру
ж-
ность с прямой (отре
з
ком) может иметь две о
б
щие точки (пер
е
сеч
е
ние), одну о
б-
щую точку (кас
а
ние), не иметь общих т
о-
чек, то да
н
ная си
с
тема может иметь че
т-
ное колич
е
ство разли
ч
ных реш
е
ний, или не иметь реш
е
ний. Если квадрат находится внутри о
к-
ружности, то система не имеет решений. Когда квадрат окажется вписанным в о
к-
ружность (при 1
a
), система будет иметь четыре решения. При 2
a
квадрат будет о
писанным около окру
ж-
ности и р
е
шений системы станет опять четыре. Если брать промежуточные зн
а-
чения ),
2
;
1
(
a
то каждая сторона квадрата имеет две общие точки с о
к-
ружностью, а значит, система будет иметь восемь решений. При 2
a
си
с-
тема р
е
шений не имеет.
О
т
вет
:
При 1
a
или 2
a
решений нет; при 1
a
или 2
a
–
четыре
решения
; при 2
1
a
–
в
о
семь
решений
.
Пример 99
.
Най
ти
значения п
ар
а-
метра а
,
при которых система
уравн
е-
ний
a
x
y
y
x
|
|
,
1
2
2
имеет ровно два разли
ч
ных решения
.
Решение.
Первое уравнение системы задает окружность радиуса 1 с центром (0; 0). Вт
о
рое уравнение a
x
y
|
|
задает семейство «уголков» с верши
ной на оси Oy
(см. рис. 35
). Так как выражения 2
2
y
x
и |
|
x
y
не меняются при замене x
на x
, то графики уравн
е
ний системы имеют общую ось симме
т
рии 0
x
. Рассмотрим случай касания окружн
о-
сти и угла. Так как ,
45
AOB
,
1
AB
OA
,
2
OB
то .
2
a
Из р
и
сунка видно, что условию задачи удовлетворяют следующие знач
е
ния ).
1
;
1
(
}
2
{
a
О
т
вет:
).
1
;
1
(
}
2
{
Пример 10
0
.
(Пробный вариант № 51 от ФЦТ
,
ЕГЭ 2011).
Найти все знач
е-
ния параметра ,
a
при каждом из кот
о-
рых система уравнений ).
3
(
12
)
)(
(
,
0
27
|
|
12
2
2
x
a
y
a
y
x
y
x
x
а)
имеет ровно
два решения
;
б)
имеет ровно
ч
етыре
решения
;
в)
имеет ровно
шесть
реш
е
ни
й
;
г)
имеет ровно
восемь
реш
е
ни
й
;
д) не имеет реш
е
ний.
Решение.
Приведем данную систему уравнений к следующему виду
.
)
6
(
,
)
6
(
9
|
|
2
2
2
2
a
y
x
x
y
Первое уравнение системы задает гр
а-
фик, состоящий из частей парабол (ве
р-
ши
ны )
9
;
6
(
и )
9
;
6
(
), симметричных относительно оси Ox
и обладающей осью симметрии 6
x
. Второе уравн
е-
ние системы задает семейство окружн
о-
стей (при 0
a
) с центром )
0
;
6
(
и р
а-
диусом |
|
a
r
, и также име
ю
щих оси симметрии 6
x
и 0
y
. Поэтому гр
а-
фик первого уравнения может иметь че
т-
ное количество общих точек с окружн
о-
стью, либо не иметь общих т
о
чек
.
График первого уравнения системы пересекает ось x
в двух точках, которые найдем из уравнения 0
)
6
(
9
2
x
: 9
x
или 3
x
.
1
y
x
1
2
1
1
2
O
A
B
Рис. 35
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
60
На рисунке 36
изображены особые случаи расположения окружност
и.
1
.
Окружность проходит через точки )
9
;
6
(
и )
9
;
6
(
и имеет радиус 9
|
|
a
r
.
2
.
Окружность проходит через точки )
0
;
9
(
и )
0
;
3
(
и имеет радиус 3
|
|
a
r
.
3
.
Окружность касается парабол. Для нахождения радиуса окружности в этом случае достаточно рассмотреть четве
р-
тую часть конфигурации, расположенную в области ,
3
6
x
.
9
0
y
Система будет иметь вид ,
)
6
(
,
)
6
(
9
2
2
2
2
a
y
x
x
y
из которой исключаем переменную x
:
0
9
2
2
a
y
y
.
Чтобы окружность им
е
ла с параболой единственную общую точку в рассматр
и-
ваемой области, поставим условие для ди
с
криминанта
0
)
9
(
4
1
2
a
D
.
Отсюда 2
35
|
|
a
r
.
Таким образом, окружность (в частн
о-
сти точка) не имеет общих точек с граф
и-
ком (состоящий из частей парабол), если 2
35
|
|
0
a
r
или 9
|
|
a
r
; имеет
:
две различные о
б
щие точки при 9
|
|
a
r
; ровно шесть общих т
о
чек при 3
|
|
a
r
; ровно восемь общих точек при 3
|
|
2
35
a
r
; ровно чет
ы
ре о
б
щие точки при 2
35
|
|
a
r
или 9
|
|
3
a
r
.
Ответ
: при
2
35
;
2
35
)
9
;
(
a
)
;
9
(
решений нет; при 9
a
два р
е
шения; при
)
9
;
3
(
2
35
;
2
35
)
3
;
9
(
a
–
четыре; при
3
a
–
шесть
; при
3
;
2
35
2
35
;
3
a
–
в
о
семь.
y
x
2
2
4
8
4
1
0
6
O
Рис. 36
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
61
Упражнения
1. (МГУ
,
2002).
При каких значениях п
а-
раметра b
уравнение )
3
(
3
2
)
3
2
(
9
2
4
2
b
b
x
b
b
b
x
имеет бесконечно много корней?
2.
(МГУ
,
1982).
Для каких значений a
решение уравнения a
ax
a
x
2
5
13
15
10
больше 2?
3. (МИЭТ
,
2003).
Найдите наименьшее целое число a
, при котором уравн
е
ние
0
9
3
2
2
a
x
x
имеет хотя
бы одно решение.
4.
(МГУ
,
2003).
Найдите все значения параметра a
, при каждом из которых ура
в
нение 0
1
)
1
(
2
x
a
ax
имеет единственное решение. 5. При каких значениях a
уравнение 0
3
2
x
ax
имеет единственное р
еш
е
ние?
6. При каких значениях a
уравнение
0
3
)
2
4
(
)
2
(
2
x
a
x
a
имеет единственное реш
е
ние?
7. При каких значениях a
уравн
е
ние
0
3
4
2
a
x
ax
имеет более одн
о
го корня?
8. При каких значениях a
уравнение
0
9
3
)
6
2
(
)
3
(
2
a
x
a
x
a
a
имеет б
о
лее одного корня?
9. (МИЭТ
,
2002).
Найдите все знач
е
ния параметра a
, при которых уравн
е
ние:
а) 0
6
2
3
2
3
a
x
x
x
имеет ровно один корень;
б) 0
24
3
2
3
a
x
x
x
имеет ровно два различных к
о
рня.
10.
(МГУ
,
1990).
Найдите все значения параметра a
, при каждом из которых уравнение
5
|
10
|
|
2
|
)
1
(
2
a
x
a
a
x
a
имеет два различных положительных корня. 11.
(МГУ
,
1992).
При каких значен
и
ях параметра a
сумма S
квадратов корней ура
в
нения 0
3
4
2
2
2
2
a
a
ax
x
является наибольшей? Чему равна эта сумма? 12.
(МФТИ
, 2003).
Найдите все значения а
, при кот
о
рых уравнение
0
5
4
)
7
4
(
2
a
x
a
ax
имеет в точности один корень на отрезке .
]
0
;
4
[
13.
(МИОО
,
2010).
Найдите все значения п
а
раметра a
, при каждом из которых все ко
р
ни уравнения 0
)
4
(
1
12
3
3
2
3
2
a
a
x
a
a
ax
удовлетворяют неравенству 1
|
|
x
.
14.
Для каждого значения параме
т
ра a
укажите количество корней уравнения а) 0
|
2
|
a
x
x
; б) 0
|
4
5
|
2
a
x
x
.
15.
(МГУ
,
2000).
Найдите все значения a
, при ка
ж
дом из которых уравнения
0
1
6
)
1
2
(
2
ax
x
a
и 0
1
2
x
ax
имеют общ
ий корень. 16.
Найдите все знач
е
ния параметра a
, при которых уравн
е
ние:
а)
0
3
2
2
)
2
(
2
a
ax
x
a
имеет два различных корня одного зн
а
ка;
б)
0
1
)
1
3
(
)
4
3
(
2
2
x
a
x
a
a
имеет два различных корня, распол
о
женных по ра
з
ные стороны от числа
1.
17. (МИЭТ
,
2003).
Найдите все знач
е
ния параметра a
, при которых уравн
е
ние
0
2
7
5
2
4
a
ax
x
имеет хотя бы один целый корень. 18. (ЕГЭ
,
2007). Найдите все значения a
, для которых при каждом x
из промежу
т-
ка )
1
;
3
[
значение выр
а
жения 3
7
2
4
x
x
не равно
значению выраж
е-
ния .
2
ax
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
62
19.
(МГУ
,
1996).
При каких значениях параметра a
уравн
е
ние
)
2
2
(
4
)
2
(
2
2
2
2
2
x
x
a
a
x
x
им
е
ет ровно 3 различных решения? 20.
(МГУ
,
1997).
При каких значениях a
уравнения
0
)
3
4
(
)
1
(
)
1
2
(
2
3
2
2
x
x
a
x
x
a
x
и a
x
x
a
x
)
2
5
5
(
)
3
5
(
2
2
0
)
6
8
2
(
2
3
x
x
не имеют общего реш
е
ния?
21.
При каких значениях a
уравнение 0
3
1
2
x
ax
x
имеет единственное р
е
шение?
22. (Экзаменационная работа за курс средней школы
,
2000 г.). При каких зн
а-
чениях m
имеет единственный корень уравнение:
а) 0
3
1999
4
1999
2
2
m
m
x
x
;
б) 0
8
2000
6
2000
2
2
m
m
x
x
?
23. (
Экзаменационная работа за курс средней школы
,
1994 г.). При каких зн
а-
чениях a
уравнение
0
2
|
|
)
1
3
(
2
2
a
a
x
a
x
имеет четыре различных р
е
шения?
24.
(МГУ
,
1994).
При каких значениях а
уравнение 0
1
|
1
|
)
1
(
2
2
x
x
a
имеет четыре раз
личных решения? 25.
(МГУ
,
2003).
При каких значениях п
а
раметра а уравнение 0
35
2
|
9
|
2
2
x
a
a
x
не имеет решений? При каких значениях параметра a
все решения этого уравн
е-
ния принадлежат отрезку ?
63
;
30
26. (МГУ
,
2005).
Найдите все знач
ения а
, при каждом из которых уравн
е
ние:
а) |
3
|
9
|
|
3
4
x
a
x
x
x
имеет два различных корня; б) |
2
|
7
|
|
2
3
x
x
a
x
x
имеет хотя бы один корень. 27.
(МГУ
,
2005).
Найдите все значения a
, при каждом из которых уравн
е
ние
|
2
|
10
|
|
3
5
x
a
x
x
x
имеет хотя бы один корень.
28.
(МГУ
,
1992).
Найдите все значения п
а
раметра c
, при которых уравнение
c
x
x
x
x
x
x
4
|
2
3
|
|
2
|
2
2
2
имеет ровно три различных решения.
29.
(МГУ
,
1992).
Найдите все значения п
а
раметра k
, при которы
х уравнение |
4
|
3
11
|
|
2
2
k
x
k
k
x
x
а) не имеет решений;
б) имеет конечное непустое множество решений.
30.
(МГУ
,
1984).
Найдите все значения п
а
раметра а
, при каждом из которых все решения уравнения 0
4
|
|
2
x
a
a
x
принадлежат отрезку 4
;
0
.
31. (МГУ
,
2000).
Найдите все значения параметра a
, при которых при любых зн
а
чениях параметра b
уравнение
a
x
b
x
|
1
2
|
|
2
|
имеет хотя бы одно решение. 32.
Найдите все значения пар
а
метра а
, при
каждом из которых уравн
е
ние
2
)
2
1
(
1
1
ax
x
a
ax
имеет единственный корень.
33. (МИЭТ
,
2001).
При каких a
уравн
е-
ние
0
2
2
|
|
4
x
a
a
x
имеет решения и все решения удовлетв
о-
ряют нер
а
венству 1
2
x
?
34. (Экзаме
национная работа за курс средней школы
,
1994 г.). При каких зн
а-
чениях параметра a
уравнение
|
1
|
2
x
a
x
имеет единственное реш
е
ние? Найдите это решение.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
63
35. При каких значениях параметра a
уравнение 1
2
x
a
x
имеет ровно три корня?
36.
(МИОО
,
2010).
Найдите все знач
е
ния а
, при каждом из которых уравнение
a
x
a
x
2
|
|
2
2
имеет ровно три ра
з
личных решений.
37.
(МИОО
,
2010).
Найдите все знач
е
ния а
, при каждом из которых фун
к
ция
a
x
a
x
x
f
2
|
|
2
2
)
(
имеет две различных точки перемены знака.
38. Найдите все значения параметра a
, при которых уравнение x
a
x
3
10
|
5
|
имеет ровно три ра
з
личные решения. Для каждого полученного значения а
найд
и
те все эти решения.
39. (МИОО
,
2010).
Найдите все знач
е
ния a
, при каждом из которых график фун
к-
ции a
x
x
x
x
f
|
3
2
|
)
(
2
2
пересекает ось абсцисс более чем в двух различных точках.
40. (МИОО
, 2010).
Найдите все знач
е
ния a
, при каждом из которых график фун
к-
ции a
x
x
x
x
x
f
|
4
5
|
2
3
)
(
2
2
пер
е
секает ось абсцисс менее чем в трех ра
з
личных точках.
41. Сколько решений в зависимости от параметра а
имеет уравн
е
ние
а) 1
|
2
|
ax
x
;
б) 2
|
4
|
ax
x
?
42. Найдите значения параметра а
, при которых уравнение ax
x
x
|
6
5
|
2
имеет ровно три разли
ч
ных решения.
43. Найдите все значения параметра а
, при которых уравнение )
1
(
|
3
4
|
2
x
a
x
x
имеет два разли
ч
ных корня. Укажите эти корни.
44. (МГУ
,
2004).
Найдите все значения параметра а
, при каждом из ко
торых уравнение )
4
(
|
|
5
2
x
a
x
x
имеет ровно три различных корня. 45. При каких значениях параметра a
система уравнений |
1
|
|
|
,
2
x
y
x
ay
имеет единственное реш
е
ние?
46.
Выясните, при каких значениях a
уравнение :
3
|
1
|
|
2
|
x
a
x
а) имеет единственный корень, и найд
и
те его;
б) имеет ровно два корня, и найдите их;
в) имеет бесконечное множество корней.
47. (МИОО
,
2010).
Найдите все знач
е
ния а
, при каждом из которых имеет ро
в
но один корень ура
внение
а) |
3
|
1
|
2
|
x
a
x
;
б) |
2
|
|
3
|
1
a
x
x
.
48. При каких значениях параметра а
уравнение 0
|
1
|
2
x
ax
имеет три р
е
шения?
49. Сколько решений в зависимости от значений параметра а
имеет уравн
е
ние
a
x
x
|
3
2
|
2
?
50. Найдите все значения а
, при к
а
ждом из которых уравнение 0
|
2
|
1
1
4
2
x
a
x
x
a
имеет ровно три различных корня.
51. (МИЭТ
,
2001).
При каких значениях п
а
раметра a
уравнение 0
)
4
6
(
4
|
2
|
2
x
x
a
a
x
имеет ровно три различных корня?
52
. (МИЭТ
,
2001).
При каких значен
и
ях параметра a
уравнение 4
|
3
4
2
|
|
3
2
2
|
a
x
a
x
0
)
13
39
2
32
4
(
2
a
x
ax
ax
имеет ровно три различных корня?
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
64
53. (МГУ
,
олимпиада «Ломон
о
сов»
,
2005).
Найдите все значения а
, при ка
ж-
дом из которых ура
в
нени
е:
|
1
|
8
4
2
|
|
x
x
x
a
x
не имеет ни одного корня. 54. (МГУ
,
2003).
При каких значениях а
уравнение
0
9
)
2
cos(
4
)
1
(
2
3
2
2
a
x
a
x
имеет единственное реш
е
ние?
55. Определить в зависимости от знач
е-
ний параметра a
количество решений системы
уравн
е
ний .
|
|
2
),
2
(
4
y
x
x
y
x
a
y
56. (МФТИ
,
2008).
Найдите все знач
е
ния а
, при которых уравн
е
ние |
3
|
|
2
|
|
6
|
2
a
ax
ax
имеет хотя бы одно действительное р
е-
шение.
57. (МИОО
,
2010).
Найдите все знач
е
ния а
, при каждом из которых уравнение a
x
x
x
x
|
5
6
|
|
8
6
|
2
2
имеет ровно три корня.
58.
Найдите все значения п
а
раметра a
, при которых система неравенств
)
(
2
)
1
(
4
1
5
),
1
(
4
2
2
2
2
2
2
ay
x
x
a
a
a
x
y
y
x
y
имеет решение. 59. При каких значениях параметра а
чи
с-
ло корней уравнения a
x
x
7
|
|
8
2
равно а
?
60.
При каких значениях параметра a
уравнение 1
2
|
|
x
a
x
имеет не более одного корня?
61.
При каких значениях параметра a
уравнение
ax
x
x
12
|
8
3
|
|
6
3
|
имеет не более одного корня? 62.
(МГУ
,
20
05).
При каких значениях параметра a
уравн
е
ние
a
x
x
x
1
3
1
|
|
имеет ровно три различных решения? 63. (МИЭТ
,
2003).
Найдите все знач
е
ния параметра a
, при которых уравн
е
ние
1
2
2
|
|
2
a
ax
x
имеет р
овно три различных решения. 64. Найдите все значения параметра а
, при которых количество корней уравн
е-
ния 0
2
)
5
,
2
(
2
3
x
x
x
a
равно количеству общих точек линий a
y
x
2
2
и .
|
1
|
3
x
y
65.
Определите значения параметра a
, при которых уравнение имеет ровно 7 дейс
т
вительных корней, и найдите эти корни, если:
а) 0
4
|
4
|
||
)
4
|
(|
2
x
a
x
;
б) 0
|
5
|
7
)
5
(
2
2
2
a
x
x
.
66. При каких значениях параметра а
уравнение a
x
x
1
имеет единс
т-
венное р
ешение?
67. (МГУ
,
2007).
При каких значениях с данное уравнение имеет единственное решение?
а) x
c
x
2
16
;
б) 3
x
c
x
.
68. (МГУ
,
1994).
Найдите все значения a
, при кот
о
рых уравнение 2
2
2
2
1
3
8
6
x
a
ax
x
x
a
имеет ровно одно решение. 69. При каких значениях параметра а
уравнение 7
2
6
ax
x
имеет единственное р
е
шение?
70. Найдите все значения а
, при кот
о
рых уравнение 3
7
9
a
ax
x
имеет единственное решение.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
65
71. (МГУ
,
2007).
Для каждого значения а
из пром
ежутка )
0
;
3
(
найдите число ра
з-
личных решений уравнения 0
2
)
2
5
2
(
2
2
a
x
a
ax
x
.
72. (МИЭТ
, 2002).
Найдите все знач
е
ния параметра a
, при которых уравн
е
ние
0
9
8
)
1
2
(
2
2
2
a
x
a
x
a
x
имеет ровно два различных корня.
73.
При каких значениях параметра a
имеет ровно два различных корня ура
в-
нение
0
)
2
)
2
(
(
2
2
2
a
x
a
x
a
x
?
74. (МИОО
,
2010).
При всех а
решите ура
в
нение 1
2
x
a
x
.
75. Найдите все значения параме
т
ра a
, при каждом из которых данное уравнение имеет решение:
а) 2
2
2
2
3
3
x
x
x
x
a
a
;
б) 0
4
4
5
5
2
2
x
x
x
x
a
a
.
76. Найдите все пары а и b
, для ка
ж
дой из которых уравнение
|
3
|
2
)
3
(
4
2
a
x
a
x
b
имеет ровно два корня.
77. (МИЭТ
,
2006).
При каких значениях п
араметра a
уравн
е
ние
0
2
5
2
)
7
(
4
2
2
a
a
a
x
x
имеет два различных корня, сумма кот
о-
рых равна 2? 78. (МГУ
,
2005).
При каких значениях п
а
раметра а уравнение x
x
x
a
a
a
9
)
4
3
(
6
3
2
4
)
1
(
имеет единс
т
венное решение? 79. (МГУ
,
1993).
Найдите все значения параметра b
, при которых
уравнение 0
16
3
6
9
2
2
b
b
x
x
не имеет р
е
шения. 80. Найдите все значения a
, при каждом из которых уравн
е
ние 0
14
20
16
6
)
5
8
(
36
2
a
a
a
x
x
имеет единс
т
венное решение.
81. (НГ
У
,
1994).
При каких значениях параметра a
уравн
е
ние
0
4
6
3
1
2
2
x
x
x
a
имеет единственное решение? 82. (МГУ
,
2007).
При каких значениях п
а
раметра а
уравнение 1
1
1
3
2
)
4
4
(
4
2
2
3
16
x
x
x
x
a
0
1
2
2
a
a
имеет три различных корня? 83. (МГУ
,
1985).
При каждом значении параметра a
решить ура
в
нение 0
2
)
1
(
2
4
3
1
a
a
a
x
x
.
84. (МИОО
,
2010). Найдите
все знач
е
ния a
, при каждом из которых уравн
е
ние a
x
x
a
x
x
a
x
8
4
64
2
4
5
2
не имеет дейс
твительных решений.
85.
(МГУ
,
1999).
Найдите все значения п
а
раметра а
, при которых уравнение
1
2
1
2
)
1
2
(
2
a
a
x
x
x
имеет нечетное число решений. 86. (МГУ
,
2000).
Найдите все значения параметра a
, при каждом из которых уравнение
)
)
4
((
log
)
1
(
log
5
,
5
2
5
,
5
x
a
x
a
a
имеет два различных решения. 87. При каких значениях а
уравнение 0
log
log
2
3
2
3
a
x
x
имеет четыре различных корня?
88. (МФТИ
,
2004).
При каких значениях параметра a
уравн
е
ние
x
a
x
)
log
4
(
log
2
2
имеет ед
инственное решение. 89. При каких значениях параметра a
данное уравнение имеет хотя бы одно решение:
а) ;
cos
sin
3
a
x
x
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
66
б) ;
|
cos
3
sin
2
|
a
x
x
в) 3
sin
cos
x
x
a
?
90. При каких значениях параметра a
данное уравнение имеет хотя бы одно решение:
а) a
x
x
x
x
2
2
cos
2
cos
sin
3
sin
;
б) a
x
x
|
7
cos
sin
5
|
2
?
91. (МИЭТ
,
2003).
Найдите все знач
е
ния параметра a
, при которых уравн
е
ние
16
12
3
cos
)
16
(
3
sin
8
2
a
x
a
x
a
имеет хотя бы одно решени
е.
92. (ЕГЭ
,
2003). Найдите все значения p
, при к
о
торых уравнение x
p
x
2
tg
1
cos
2
7
имеет хотя бы один корень.
93. (МГУ
,
1989).
Найдите все значения параметра а
, при каждом из которых уравнение x
x
a
a
2
2
cos
sin
2
2
9
6
0
3
)
sin
1
(
2
18
12
2
a
x
a
a
не име
ет решений. 94. (МГУ
,
2001).
Для каждого значения а
найдите все решения уравнения
0
sin
2
)
(
sin
2
2
cos
2
a
a
x
x
,
пр
и
надлежащие промежутку .
2
x
95. (МГУ
,
1999). При каких значениях a
уравнение
0
1
2
2
cos
2
2
cos
2
a
a
x
x
име
ет ровно одно решение на промежу
т-
ке 2
0
x
? 96. (МГУ
,
2003
). При каких значениях параметра а
уравнение 0
)
2
2
(sin
log
sin
4
a
x
a
x
имеет ровно два корня на отрезке
2
5
;
2
? 97. (МГУ
,
2002). Найдите все знач
е
ния параметра a
, при которых уравнение x
a
a
x
a
cos
)
2
(
cos
)
1
(
2
2
0
2
4
2
2
a
a
имеет более одного решения на отрезке 3
4
;
0
. 98. (МГУ
,
1996). Для каждого значения а найдите число решений уравнения
,
1
2
cos
tg
x
x
a
при
надлежащих пр
о
межутку 2
;
0
. 99. (МИОО
,
2010).
Найдите все знач
е
ния а
, при каждом из которых уравн
е
ние:
а) 1
cos
2
2
x
a
имеет ровно десять ра
з
личных решений;
б) 0
sin
2
2
x
a
имеет ровно в
о-
семь различных решений;
в) 0
sin
2
2
x
a
имеет ровно шесть ра
з
личных решений.
100.
(МГУ
,
2004)
При каких значениях параметра a
уравнение
0
5
))
3
sin(
1
(
2
x
x
ax
имеет ровно 5 различных корней? 101.
(МГУ
,
1993).
При каких значениях а
, принадлежащих интервалу 2
;
2
, уравнение 1
6
cos
3
)
sin(
2
x
a
x
имеет р
е
шения?
102. (МИЭТ
,
2001).
Найдите все знач
е-
ния параметра a
, при которых имеет х
о-
тя бы одно решение уравн
е
ние:
а)
0
)
4
(
3
)
arccos(cos
2
a
x
x
;
б)
0
)
arcsin(sin
2
,
0
)
2
(
2
a
x
x
.
103. (МИОО
,
2010). Найдите
все знач
е-
ния a
, при каждом из которых уравн
е
ние 2
7
6
sin
)
3
sin(
2
a
x
x
a
x
a
x
x
2
4
не имеет действительных решений.
104. (МИОО
,
2010). Найдите
все знач
е-
ния a
, при каждом из которых уравн
е
ние )
2
cos(
3
2
10
cos
2
a
x
a
x
x
a
x
x
8
2
имеет единственное решение.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
67
105. (ЕГЭ
,
2003). Найдите все значения p
, при к
о
торых уравнение x
p
x
2
cos
7
sin
4
3
не имеет корней.
106.
Найдите сумму корней уравнения
x
x
x
3
cos
2
6
2
4
2
4
на промежутке 3
2
;
2
.
107.
(ЕГЭ
,
20
08).
Решите уравн
е
ние:
а) )
3
4
cos(
25
)
cos(
25
|
3
4
|
2
3
6
x
x
x
x
;
б) 4
2
8
)
8
15
(
cos
90
)
8
15
cos(
90
x
x
x
x
.
108.
При каких значениях параметра a
ура
в
нение x
x
x
x
a
6
6
3
|)
|
7
cos
4
(
имеет нечетное число корней? Определ
и-
те при найденных значениях параметра чи
с
ло корн
ей уравнения и найдите все его корни. 109.
(МГУ
,
1998).
Найдите все значения параметра a
, при которых уравн
е
ние
0
4
5
1
cos
2
2
2
1
2
2
a
x
x
a
x
x
имеет единственное решение. 110. (НГУ
,
1991).
Найдите все значения п
а
раметра a
, при которых уравнение
2
2
sin
cos
2
log
1
x
x
a
имеет решение. 111. (МГУ
,
2008).
Найдите все значения параметра a
, при которых уравн
е
ние
17
8
4
log
4
1
arctg
8
2
4
17
x
x
x
x
2
32
64
8
sin
2
2
x
x
a
a
имеет единственное решение, и опред
е-
лите это решение.
112. (МГУ
,
2008).
Найдите все значения параметра a
из промежутка 2
;
0
, при каждом из которых система a
x
y
y
x
a
x
y
y
x
cos
4
)
3
(
)
3
(
,
sin
2
|
3
|
|
3
|
2
2
имеет ровно четыре различных реш
е
ния.
113.
(МГУ
,
1995).
Найдите все знач
е
ния
а
, при кот
о
рых неравенство a
x
a
x
x
x
cos
9
9
2
cos
2
2
имеет единственное решение. 114.
Найдите все значения параметра a
, при которых уравн
е
ние 3
2
)
arcsin(
arcsin
ax
x
имеет решение.
115. (МФТИ
,
1994).
Найдите все знач
е-
ния параметра a
, a
, при кот
о-
рых система уравнений
2
1
sin
cos
,
0
)
12
15
4
)(
4
4
1
(
2
2
2
a
x
a
y
y
x
y
x
имеет ровно три решения.
116.
(МИОО
,
2010).
Найдите все знач
е-
ния а
, для каждого из которых нераве
н-
ство
0
1
3
4
2
a
x
ax
а) выполняется для всех x
;
б) выполняется для всех 0
x
;
в) выполняется для всех 0
x
;
г) выполняется для всех 0
1
x
.
117.
(МИОО
,
2010).
Найдите все знач
е-
ния а
, при каждом из которых из нер
а-
венств 1
0
x
следует нер
а
венство 0
2
)
5
(
)
2
(
2
2
x
a
x
a
a
.
118.
(МГУ
,
1994).
Найдите такие знач
е-
ния x
, при которых нер
а
венство 0
)
13
33
(
)
27
13
(
)
2
4
(
2
a
x
a
x
a
выполняется для всех а
, удовлетворя
ю-
щих условию 3
1
a
.
119. (МИЭТ
,
2003).
При каких значен
и
ях параметра a
каждое число из промежу
т-
ка ]
7
;
5
[
является решением нераве
н
ства 0
16
25
)
5
1
(
2
2
a
x
a
ax
?
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
68
120.
(МИОО
,
2010).
Найдите все знач
е-
ния a
, при каждом из которых общие р
е-
шения не
равенств 1
2
2
a
x
x
и a
x
x
4
1
4
2
образ
у
ют на числовой оси отрезок длины ед
и
ница.
121.
(МГУ
,
1987).
Найдите все значения параметра p
, при каждом из которых множество всех решений нер
а
венства
0
)
2
)(
(
2
x
p
x
p
не содержит ни одного решения нераве
н-
ства .
1
2
x
122. (МГУ
,
1974).
Найдите все значения а
, при которых н
е
равенство 0
1
2
a
x
a
x
выполняется для всех т
а
ких x
, что .
2
1
x
123. (МИЭТ
,
2
004).
При каких значениях п
а
раметра a
неравенство
0
7
3
2
)
3
)(
(
2
x
x
x
x
a
не имеет решений?
124. (М
ФТИ
,
1996).
Найдите все знач
е-
ния параметра a
, при которых нераве
н-
ство
a
x
x
x
x
7
10
4
16
20
8
2
2
является верным при
всех значениях x
. 125. (ЕГЭ
,
2004).
Найдите все значения параметра а
, при которых множество р
е-
шений нер
а
венства 2
2
2
1
8
1
x
a
x
a
x
x
a
содержится в некотором отрезке дл
и
ной 7 и при этом содержит какой
-
нибудь о
т-
резок длиной 4. 126
. (МГУ
,
1994).
Для каких значений a
система н
е
равенств
2
,
0
12
2
x
a
x
x
выполняется хотя бы при одном значении х
?
127. (МИЭТ
,
2000).
Найдите все знач
е
ния параметра а
, при которых неравенс
т
во
16
3
4
x
x
a
выполняется при всех x
. 128. (МИЭТ
,
2003).
При каких значен
и
ях параметра a
неравенс
т
во
0
3
|
|
3
2
x
a
a
x
x
имеет хотя бы одно неположительное решение? 129. (МГУ
,
2000).
Найдите все значения п
а
раметра а
, при которых нер
авенство 5
2
2
a
x
x
не имеет решений на о
т
резке 2
;
1
.
130.
(МИОО
,
2010).
Найдите все знач
е
ния а
, при каждом из которых неравенс
т
во 3
|
1
|
|
|
2
2
x
a
x
x
выполняется для любого х
.
131.
(МГУ
,
2005).
Найдите все значения, к
оторые может принимать сумма a
x
при условии 3
2
2
4
2
a
x
a
x
.
132. (МИОО
,
2010).
Найдите все пары чисел p
и q
, для каждой из которых н
е-
равенс
т
во 2
|
|
2
q
px
x
не имеет реше
ний на отрезке 5
;
1
.
133. (МИЭТ
,
1998).
При каких значениях параметра a
существует единственное значение x
, являющееся решением нер
а-
венства x
a
x
ax
2
2
? 134.
(МГУ
,
1996)
Определите
, при к
а
ких значениях a
решения н
е
равенства x
a
x
образуют на числовой прямой отрезок длиной |
|
2
a
.
135.
(МГУ
,
1992).
Найдите все значения параметра а
, при которых все числа x
из отрезка ]
5
;
1
[
удовлетворяют нераве
н
ству .
0
5
6
1
3
2
3
a
x
x
ax
136. При каких значениях a
неравенс
т
во x
a
x
2
1
имеет р
е
шение?
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
69
137. (МИЭТ
,
1998).
Найдите все знач
е
ния параметра a
, при которых нераве
н
ство 1
3
a
a
x
выполняется при всех x
. 138.
(МГУ
,
1995).
Найдите все значения п
а
раметра а
, при которых неравенство a
x
x
4
30
16
не имеет ни одного целочисленного р
е-
шения.
139. (МГУ
,
1988).
Найдите наибольшее значение параметра а
, при котором нер
а-
ве
н
ство 1
2
)
1
2
(
2
2
x
x
a
x
x
a
a
2
sin
4
3
x
a
имеет хотя бы одно решение. 140. (МГУ
,
1988).
Найдите все значения п
а
раметра a
, при каждом из которых для любог
о значения x
выполняется нер
а-
венство
x
x
a
x
cos
sin
)
1
(
2
sin
|
2
6
|
2
cos
5
2
a
x
.
141. (МИОО
,
2010).
Найдите все знач
е-
ния a
, при каждом из кот
о
рых решения данного неравенства образуют отрезок дл
и
ны 1:
а) |
3
|
1
|
2
|
x
a
x
;
б) |
4
|
2
|
3
|
x
a
x
.
142. (МИОО
,
2010).
Найдите все знач
е-
ния a
, при каждом из которых множес
т-
вом решений данного неравенства явл
я-
ется отр
е
зок:
а) 2
|
|
3
a
x
x
; б) 3
|
|
5
a
x
x
.
143. (
МИЭТ
,
2001).
Найдите все знач
е-
ния параметра a
, при которых решением н
е
равенства |
4
3
|
)
5
,
0
2
(
|
4
3
|
2
x
a
ax
x
x
x
является отрезок длиной 0,5.
144. (МИЭТ
,
2001).
При каких значен
и
ях параметра a
уравнение
x
x
x
x
a
1
2
2
2
4
7
2
4
имеет решение? 145. (МГУ
,
2002).
Найдите все значения параметра a
, при каждом из которых н
е-
равенство
a
a
x
x
x
x
11
|
2
2
|
8
4
4
)
2
2
(
2
26
x
x
a
имеет хотя бы одно решение. 146. (МИЭТ
,
2001).
При каких значен
и
ях параметра
a
неравенс
т
во
x
a
x
a
2
log
8
log
3
1
,
0
0001
,
0
выполняется не для всех x
из интервала )
256
;
16
(
? 147.
(МИОО
,
2011).
Найдите все знач
е-
ния параметра a
, при каждом из кот
о
рых система ура
вн
е
ний
x
y
x
a
a
y
),
(
log
1
)
3
4
4
(
log
2
2
имеет решение. 148.
(ЕГЭ
,
2003).
Найдите все значения a
, при которых область определения фун
к-
ции 5
,
0
5
,
4
log
5
,
0
4
5
,
0
a
x
a
x
a
y
a
x
x
x
соде
р
жит ровно одно целое число.
149. (ЕГЭ
,
2003). Из области определ
е-
ния фун
к
ции
4
4
7
7
log
x
x
a
a
a
y
взяли все целые положительные числа и сл
о
жили их. Найдите все значения a
, при которых такая сумма будет бол
ь
ше 7, но меньше 11.
150. (МИЭТ
,
2004).
Найдите все знач
е-
ния параметра a
, при которых уравн
е
ние
0
5
)
1
(
log
3
log
2
2
)
1
(
1
a
x
x
a
a
име
ет ровно два различных корня, ра
с-
стояние между которыми меньше 0,24.
151.
(МГУ
,
2005).
Найдите все значения а
, при кот
о
рых неравенство
1
4
log
2
x
a
выполняется для всех значений x
.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
70
152.
(МИОО
,
2010).
Найдите все знач
е-
ния a
,
при каждом из которых общие р
е-
шения неравенств a
x
y
2
и a
x
y
2
являются решениями нераве
н
ства 3
2
a
x
y
.
153.
Определите, при каких значениях a
имеет бесчисленное множество реш
е
ни
й система уравн
е
ний .
3
3
,
3
3
y
ax
ay
x
154.
Определите, при каких значениях п
а
раметра a
не имеет решений система уравн
е
ний: .
5
5
)
8
(
)
14
3
(
,
1
3
2
2
a
y
a
x
a
a
y
ax
155.
Исследуйте систему линейных ура
в-
нений:
.
2
2
)
1
2
(
,
4
)
2
(
3
3
2
a
y
a
ax
a
y
a
x
a
156.
Най
дите все значения параме
т
ра p
, при каждом из которых система уравн
е-
ний 1
,
1
y
px
py
x
имеет единственное решение.
157.
При каких значениях a
для любого b
найдется хотя бы одно c
, такое, что система уравн
е
ний
1
)
1
(
2
,
2
ac
y
b
x
ac
y
bx
имеет хотя бы одно решение?
158.
Найдите все значения параметра a
, при которых имеет единственное реш
е-
ние си
с
тема уравнений:
.
1
sin
,
cos
)
1
|
(|
2
2
y
x
x
y
a
x
159.
На
йдите все значения параме
т
ра a
, при которых система ура
в
нений
14
)
(
),
1
(
2
2
2
2
y
x
a
y
x
имеет два решения.
160. (МГУ
,
2006).
Найдите все значения параметра a
, при которых система ура
в-
нений
0
20
7
4
8
4
,
0
2
2
2
2
2
2
2
a
a
ay
ax
y
x
a
ay
ax
xy
имеет ровно два различных решения. 161. (МИОО
,
2011). Найдите все знач
е-
ния а
, при каждом из которых си
с
тема 6
log
,
6
log
|
|
2
2
y
x
x
x
a
y
x
имеет ровно два решения.
162. (МИЭТ
,
1998
).
Найдите все знач
е-
ния параметра a
, при которых система ур
а
в
нений 3
2
,
2
y
x
a
y
x
имеет решение, удовлетворяющее усл
о
виям 0
,
0
y
x
.
163.
Найти все значения параметра a
, при которых си
с
тема уравнений
2
2
1
2
,
0
|)
|
6
)(
1
(
a
x
ay
x
y
y
x
имеет ровно два решения.
164. (МГУ
,
олимпиад
а «Ломон
о
сов»
,
2008).
При каких значениях а существует единственное решение системы уравн
е-
ний ?
)
3
(
)
4
(
,
9
2
2
2
2
a
y
x
y
x
165. Найти все значения параметра a
, при каждом из которых система
0
17
2
7
18
6
9
9
,
0
3
3
3
2
2
2
2
a
a
ay
ax
y
x
a
ay
ax
xy
имеет ровно два разли
чных решения.
166. Найдите значения параметра a
, при которых система a
x
y
y
x
|
|
,
1
2
2
имеет ровно два различных решения.
167. (НГУ
,
1992).
Найдите все значения параметра a
, при которых система ура
в-
нений
x
a
y
y
a
x
|
2
|
,
|
2
2
|
имеет бесконечно много решений. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
71
168. (М
ФТИ
,
2002).
Найдите все знач
е-
ния параметра a
, при которых система ура
в
нений 5
,
0
)
2
(
,
2
)
1
2
(
log
)
2
7
5
(
log
2
2
2
a
x
y
a
y
y
x
y
x
имеет ровно два решения.
169.
(МИОО
,
тренир
о
вочная работа
,
декабрь 20
10).
Найдите все значения п
а-
раметра a
, при каждом из которых си
с-
тема 2
,
1
,
0
20
9
4
2
x
ax
y
y
x
xy
y
имеет единственное решение.
170. Найдите все значения параметра a
, при которых данная система уравнений
имеет ровно дв
а действ
и
тельных решения:
а) ;
,
12
|
3
2
|
|
|
2
|
|
2
2
a
y
x
x
y
y
x
б) .
,
10
|
4
3
|
|
|
|
|
2
2
2
a
y
x
y
x
y
x
171. (МФТИ
,
2010).
Найдите все знач
е-
ния параметра a
, при которых си
с
тема 1
2
2
,
0
2
|
1
|
|
1
|
2
2
a
ay
y
x
y
x
x
имеет ровно три различных решения.
172.
(МИОО
,
2011).
На
йдите все знач
е-
ния a
, при которых система уравн
е
ний:
а) 2
2
2
)
3
2
(
3
,
|
|
3
12
|
3
|
4
x
y
a
y
x
y
имеет ровно четыре решения;
б) 2
2
2
)
1
(
4
,
|
|
12
60
|
2
|
5
x
a
y
x
y
x
имеет ровно восемь решений.
173.
Найдите все значения параметра a
, при которы
х си
с
тема уравнений
2
)
(
2
1
3
,
1
x
a
y
a
y
x
имеет единственное решение.
174.
Найдите все значения параме
т
ра a
, при которых си
с
тема уравнений
0
9
)
6
(
2
)
(
,
0
log
2
)
3
(
log
2
25
5
a
y
a
x
x
y
имеет хотя бы одно решение.
175.
Найдите все значения параметра a
, при которых си
с
тема уравнений
4
)
3
(
)
5
(
,
9
)
3
1
(
)
4
1
(
2
2
2
2
2
y
x
a
a
y
a
x
имеет единственное решение.
176.
(МГУ
,
2001).
Найдите все значения параметра a
, при каждом из которых си
с-
тема уравн
е
ний
3
3
3
)
2
(
2
,
3
)
2
(
x
a
y
x
a
a
y
x
a
имеет не более двух решений. 177.
(МГ
У
,
1966).
Найдите все значения а
, при кот
о
рых система 1
,
|
|
2
2
2
2
|
|
y
x
a
x
y
x
x
имеет только одно решение. 178.
(МГУ
,
1966).
Найдите все значения a
и b
, при которых сист
е
ма 4
2
2
2
2
z
y
x
b
z
xyz
a
z
xyz
имеет только одно решение. 179.
(МГ
У
,
2007
). Найдите все знач
е
ния параметра а
, при каждом из которых си
с-
тема 0
)
4
(
,
8
|
|
5
)
6
2
5
(
)
6
2
5
(
2
y
a
x
y
y
a
x
x
имеет единственное решение. 180.
При каких значениях параметров a
и b
си
с
тема b
a
y
x
y
a
b
x
y
x
y
x
2
1
|
2
|
|
2
|
,
5
2
)
(
4
|
|
4
)
(
2
2
2
имеет мин
имальное число решений. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
72
181. (МИОО
,
2010).
Найдите все знач
е-
ния p
, при каждом из которых найдется q
т
а
кое, что система p
x
q
y
y
x
|
|
,
1
2
2
имеет единственное решение.
182. (МИОО
,
2010).
Найдите все знач
е-
ния p
, при каждом из которых для люб
о-
го q
сист
е
ма p
x
q
y
y
x
|
|
,
1
2
2
имеет решения.
183. При каком значении параметра а
система уравнений 4
)
(
,
0
5
|
|
3
2
2
y
a
x
y
x
имеет три различных решения?
184. При каких значениях параметра а
си
с
тема 2
|
|
|
|
,
2
y
x
ax
a
y
а) имеет пять решений; б) имеет на
ибольшее число решений?
185. (МГУ
,
2006).
Определите, при к
а
ких значениях параметра b
при любых зн
а-
чениях параметра a
система уравн
е
ний
0
,
0
4
6
5
2
2
ab
ax
y
y
x
y
x
имеет ровно два различных решения
)
;
(
y
x
.
186.
При каких значениях параметра a
система
a
y
x
x
y
2
2
2
,
4
|
|
имеет ровно два решения?
187. При каких значениях параметра а
си
с
тема a
y
x
y
x
2
2
,
4
имеет решение? 188. Найдите все значения а
, при кот
о
рых систем
а уравнений 2
2
2
2
2
2
2
,
10
12
36
16
64
a
y
x
y
y
x
x
y
x
имеет единственное решение.
189. Найдите все значения параметра а
, при которых система уравнений x
y
x
xy
2
,
0
25
8
2
имеет единственное решение, удовлетв
о-
ряющее условию .
2
2
2
a
y
x
190. (МИОО). Найдите все пары а и b
, для каждой из которых имеет не м
е
нее пяти решений )
;
(
y
x
система уравн
е
ний
.
1
4
,
1
)
2
)(
1
(
)
2
(
2
2
axy
y
x
y
bx
y
x
y
y
x
bx
191. (МИОО). Найдите значения пар
а-
метра а
, при каждом из которых имеет единственное решение )
;
(
y
x
система ура
в
нений
.
3
)
1
2
(
,
3
)
1
2
(
2
2
2
2
x
a
y
a
y
y
a
x
a
x
192. Найдите все значения параметра a
, при каждом из которых система 25
6
)
(
)
(
|,
|
|
24
7
7
|
2
2
a
a
y
a
x
y
x
y
x
имеет ровно два р
е
шения.
193.
Найдите все значения параметра a
, при каждом и
з которых система 1225
84
7
24
)
(
,
|
24
7
7
|
2
2
a
a
y
a
x
y
x
y
x
имеет ровно два р
е
шения.
194.
Найдите все значения параметра a
, при которых имеет единственное реш
е-
ние система нер
а
венств:
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
73
а) ;
)
(
,
)
(
2
2
,
a
y
x
a
x
y
б) 2
2
( ) 2,
( ) 3 2.
y x y x y a
x y x y x a
195.
Найди
те все значения параме
т
ра a
, при которых система нер
а
венств
2
5
10
3
,
1
1
7
2
2
2
2
2
y
xy
x
a
a
y
xy
x
имеет решение.
196.
Найдите все значения параметра a
, при которых система нер
а
венств
56
12
14
8
4
,
5
2
4
2
2
2
2
2
2
a
y
x
a
y
x
y
x
a
y
x
имеет единственное решение.
197. (МГУ
,
2009).
Найдите все значения параметра a
, при каждом из которых множество точек координатной плоск
о-
сти, координаты которых )
,
(
y
x
удовл
е-
творяют системе 0
)
)(
(
,
0
79
12
14
65
10
16
2
2
2
2
a
y
a
x
y
x
y
x
y
x
y
x
является отрезком.
198.
Определить значения параметра a
, при которых си
с
тема неравенств 2
1,
3 1
x a
x x a
имеет единственное р
е
шение. 199. При каких значениях параметра а система неравенств |
|
,
1
2
2
2
2
x
a
y
a
ay
y
x
имеет ровно два решения?
200. (МФТИ
,
2008).
Найд
ите все знач
е-
ния параметра a
, при которых си
с
тема 1
2
,
|
|
|
|
8
31
2
2
2
2
2
a
y
y
x
y
x
y
x
имеет хотя бы одно решение.
201. (МГУ
,
1997).
При каких значен
и
ях a
система 1
)
cos(
,
4
4
xy
y
x
a
y
x
имеет единственное решение. 202. (М
ГУ
,
1984).
Найдите все зн
а
чения параметра a
, при каждом из кот
о
рых система нер
а
венств
a
y
x
a
x
y
2
,
2
2
2
имеет единственное решение.
203.
(МГУ
,
2001).
Найдите все знач
е
ния а
, при к
о
торых система 0
1
)
1
(
2
,
0
4
2
)
1
(
2
2
a
x
a
ax
a
ax
x
a
имеет еди
нственное решение. 204. Найдите все знач
е
ния параметра a
, при которых данная система неравенств имеет единственное р
е
шение:
а) (МФТИ
,
2004) ;
0
6
2
,
0
2
2
a
x
x
a
x
x
б) .
0
4
,
0
2
2
2
a
x
x
a
x
x
.
205. (МГУ
,
1994).
Найдите все значения п
араметра b
, при каждом из которых имеет единственное решение система н
е-
равенств 0
2
4
2
2
,
0
4
7
2
4
2
2
b
bx
y
bx
b
x
by
by
206. (МГУ
,
2001).
При каких целых зн
а-
чениях параметра k
система нер
а
венств
2
2
2
2
2
2
5
4
2
5
5
,
20
10
4
2
k
ky
kx
y
x
k
k
y
x
y
x
имеет хотя бы одно решение? 2
07.
(МИОО
,
2010).
Найдите все знач
е-
ния а
, при каждом из которых система 4
,
0
)
3
2
)(
(
ax
a
ax
a
x
не имеет решений.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
74
208. (МГУ
,
2001).
Найдите все значения п
а
раметра a
, при которых система
0
3
)
3
(
,
0
2
)
2
3
(
)
3
(
2
3
2
3
ax
x
a
x
a
x
a
x
a
x
имеет единственное реше
ние.
209.
(МГУ
,
1967).
Найдите все значения a
, при каждом из которых не имеет р
е-
шений система неравенств:
а) ;
8
,
0
2
2
ax
x
a
x
a
ax
x
б) .
8
,
0
2
2
ax
x
a
x
a
ax
x
210.
(МГУ
,
1967).
Найдите все зн
а
чения a
, при ка
ж
дом
из которых система 2
,
0
2
2
)
3
(
2
2
a
ax
a
a
x
a
ax
не имеет решений. 211.
(МГУ
,
1967).
Найдите все зн
а
чения a
, при ка
ж
дом из которых система
4
5
,
0
2
2
2
2
a
ax
a
ax
a
x
a
не имеет решений. 212.
(МГУ
,
1994).
При каких знач
е
ниях параметров a
и b
система нер
а
венств 0
1
,
1
sin
2
ax
x
bx
a
имеет единственное р
е
шение? 213. (МИОО
,
2011). Найдите все пол
о-
жительные значения a
, при каждом из которых имеет единственное реш
е
ние данная сист
ема:
а) ;
4
4
,
,
36
15
8
2
2
2
y
a
y
x
y
x
б) .
4
1
,
,
13
3
4
2
2
2
x
a
y
x
y
x
214.
(МИОО
,
диагностическая раб
о
та
,
2011). Найдите все значения параме
т
ра a
, при каждом из которых си
с
тема
4
3
)
(
)
3
(
,
12
|
2
3
|
2
2
a
a
y
a
x
y
x
имеет единс
т
венное решение.
215. (Пробный в
ариант № 52 от ФЦТ
,
ЕГЭ 2011).
Найдите все значения пар
а-
метра ,
a
при каждом из которых си
с
тема уравнений )
2
(
8
)
)(
(
,
0
12
|
|
8
2
2
x
a
y
a
y
x
y
x
x
имеет ровно восемь решений.
Ответы
1. 3
. 2.
)
;
1
(
)
2
;
(
. 3. 2
. 4.
0; 1. 5. 12
1
;
0
. 6. 5. 7. )
1
;
0
(
)
0
;
4
(
. 8. )
;
0
(
0
;
3
1
3
. 9. а) 5
,
3
a
, 10
a
; б)
28
a
и 80
a
. 10.
7
5
a
. 11.
3
a
, 18
S
. 12.
4
5
;
4
23
. 13. ]
5
2
;
3
2
[
}
0
{
. 14.
а)
При 0
a
и 1
a
одно решение; при 0
a
и 1
a
–
два; при 1
0
a
–
три; б)
при 25
,
2
a
и 0
a
два решения; при 25
,
2
a
–
три; при 0
25
,
2
a
–
ч
е
тыре. 15.
9
2
;
0
;
4
3
. 16.
а)
)
6
;
2
(
)
5
,
1
;
1
(
;
б) )
2
;
1
(
)
2
;
4
(
. 17. 5
,
2
,
1
,
0
. Ук
а
зание.
Рассмотреть уравнение как квадратное о
т
носительно a
. 18. ,
9
a
3
/
5
a
. 19. 2
a
; 4
15
1
a
.
Указание.
Разл
о
жить на множители. Н
апример, обозн
а
чив 2
2
x
x
t
и получив уравнение 0
4
)
(
2
2
2
2
x
a
a
t
. 20. ;
75
,
0
a
;
0
a
1
a
. 21.
3
10
;
2
. 22. а)
}
4
;
1
{
]
3
;
0
[
; б)
}
9
;
1
{
]
8
;
0
[
. 23
. )
;
1
(
)
1
;
5
,
0
(
. 24. 8
1
;
0
. 25. ;
7
;
2
5
7
2
5
;
2
211
9
. Указание.
Привести уравнение к виду 35
2
|
9
|
2
2
x
a
a
x
. График левой части –
«уголок», вершина которого 2
2
;
9
(
a
a
) перемещается
по параболе 2
81
2
x
y
. 26. а) )
18
;
24
(
; б)
12
a
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
75
или 8
a
.
27. 14
18
a
. 28. 4
19
;
4
. 29. а)
);
0
;
23
(
б)
23
a
, 0
a
. 30. 2
3
4
a
. 31. 2,5. Указание.
Использ
о-
вать свойства м
о
дуля. 32. 0; 1. Указание.
Рассмотреть условие касания графиков в точке )
1
;
0
(
. 33. 3
2
5
2
a
. 34. При 1
1
a
единс
т
венное ре
шение 1
2
a
a
x
. 35. 5
,
0
; .
1
36. ;
2
.
5
,
0
Указание. Использ
о
вать функционально
-
графический метод. 37. ]
2
;
(
)
;
2
(
)
0
;
5
,
0
[
. 38. При
6
a
,
2
1
x
,
5
,
0
2
x
8
3
x
и при 10
a
, ,
5
,
2
1
x
,
0
2
x
10
3
x
. 39. )
1
;
5
,
3
(
. 40. )
;
0
[
]
2
;
(
. 4
1. а) При 1
;
5
,
0
a
решений нет; при 5
,
0
]
1
;
(
a
)
;
1
(
–
одно; при )
5
,
0
;
1
(
a
–
два; б)
при )
5
,
0
;
1
[
a
решений нет; при )
;
1
[
5
,
0
)
1
;
(
a
–
одно; при )
1
;
5
,
0
(
a
–
два.
42. .
6
2
5
43. )
;
2
[
0
)
2
;
(
a
, 1
x
, 3
a
x
. 44. 0; 1.
45. 1
. 46. а)
1
|
|
a
, ;
1
x
б)
1
|
|
a
, 1
1
x
, ;
1
5
2
a
a
x
в)
1
a
и .
1
a
47. а)
8
;
4
; б) 8
;
4
. 48. .
25
,
0
a
49. Если 0
a
, то р
е
шений нет, если 0
a
или ,
4
a
то –
д
ва; если 4
a
, то –
три; если 4
0
a
, то –
чет
ы-
ре. 50. 1
. 51. 2
,
4
. 52. 0,
,
1
,
0
,
1
3
1
. 53. .
5
7
a
54.
,
0
1
a
3
2
2
a
. Указание.
Ввести новую переменную 1
x
t
и использовать симметрию отн
о-
сител
ь
но знака t
. 55. При )
2
;
0
(
)
0
;
(
a
и 4
a
два реш
е
ния; при 0
a
и ]
4
;
2
[
a
–
о
д
но; при )
;
4
(
)
4
;
2
(
a
–
три. Указание. И
с-
пользовать метод графической интерпр
е-
тации. 56. 5
,
1
a
, 0
a
. 57. 5
a
. 58.
3
;
3
1
.
59. 7. 60. 2
a
. Указание. И
с-
пользовать функци
о
нально
-
графический м
е
тод. 61. 1
a
, 75
,
0
a
, 6
a
, 6
a
. Указание. И
с
пользовать функционально
-
графический метод. 62.
2.
Указание. И
с-
пользовать функционал
ь
но
-
графический метод или инвариан
т
ность, заметив, что x
x
x
x
x
1
1
3
1
3
1
1
3
1
. 63. 2
3
;
4
1
. Указание. Использовать фун
к
ционально
-
графи
-
ческий м
е
тод. 64. 10
;
8
;
5
,
2
. 65.
а)
При 5
a
корни 0
;
3
;
5
;
8
; б)
при 10
a
корни 10
, 7
, 3
, 0. 66. 25
,
1
a
или .
1
a
67. а) ]
4
;
4
(
}
2
4
{
;
б) ;
75
,
2
c
3
c
. 68. ]
4
;
3
(
)
3
;
2
[
. 69. ]
0
;
5
,
3
[
a
; .
1
a
70. 16
3
0
a
, 4
1
a
. 71.
Если ,
2
3
a
то одно р
е
шение; если ,
1
2
a
то два; если ,
0
1
a
то три. 72. 0
3
2
a
, 3
2
9
4
a
. 73.
]
1
;
0
(
)
5
,
0
;
1
[
}
2
{
. 74. Если 1
a
, то решений нет; е
с
ли 1
a
, то
2
1
1
2
a
x
. 75. а) 0
;
12
1
. Указ
а-
ние.
Ввести новую переменную 2
2
x
x
t
. Далее рассмо
т
реть уравнение t
t
f
f
))
(
(
. б)
0
;
20
1
. 76. ,
R
a
4
0
b
. 77. 1. 78. 4
5
1
;
;
3
4
. Указание.
Свести задачу к исследованию расположения относ
и-
тельно нуля корней квадратного уравн
е-
ния 0
)
4
3
(
)
3
2
(
)
1
(
2
a
t
a
t
a
. 79. ]
4
;
4
[
. 80. 2
1
4
7
a
. 81. }
1
{
]
0
;
(
. 82. .
)
5
;
4
(
)
4
;
1
(
)
1
;
0
(
Указ
ание.
Разл
о-
жить на множители. 83. При 0
a
реш
е-
ний нет; при 0
a
единственное р
е
шение a
2
log
2
; при 1
a
единственное реш
е-
ние 0; при ,
0
a
1
a
два
р
е
шения ,
log
2
a
a
2
log
2
. 84. 16
a
. 85.
1; 1
. Указание.
Использовать симметрию о
т-
носител
ь
но знака x
. 86. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
76
)
;
5
,
6
(
)
5
,
6
;
6
(
. 87. ).
125
,
0
;
0
(
88.
,
2
4
a
1
0
a
. 89. а)
2
2
a
; б)
13
0
a
;
в)
2
2
|
|
a
. 90. а)
2
1
2
3
2
1
2
3
a
; б)
8
195
,
0
a
. 91. ]
4
;
0
[
]
12
;
(
a
)
;
8
[
. 92. 9
;
0
. 93. .
6
1
;
3
a
a
94. 2
3
при ,
2
2
n
a
;
Z
n
при других a
реш
е-
ний нет. Указание. Применить метод оценки, сначала преобразовав уравнение. 95. .
1
;
2
a
a
96. 4
;
2
3
1
2
1
;
4
1
. 97. }
1
{
10
3
;
3
1
. Указание. Привести уравнение к виду 0
)
(cos
)
1
(
x
f
a
, а д
а
лее исследовать квадратный трехчлен. 98. При 1
,
0
,
1
a
a
a
три р
е
шения; при 1
a
–
пят
ь; при 0
,
1
1
a
a
–
семь. 99. а) )
10
;
8
(
)
8
;
10
(
; б) )
4
;
3
(
)
3
;
4
(
; в) )
2
;
3
(
)
3
;
2
(
. 100.
.
2
1
;
30
11
10
3
;
30
13
101.
;
3
0; 3
. 102. а) 2
12
47
a
; б)
39
,
0
2
,
0
a
. 103. 4
a
. Указание. Привести уравнение
к в
и
ду 2
6
2
)
3
sin(
2
2
a
x
x
a
x
x
a
a
x
x
3
2
6
sin
2
. Далее ра
с-
смотреть функцию )
3
sin(
2
)
(
a
t
t
t
y
.
104.
16
a
. 105. )
;
11
(
)
7
;
(
.
106.
0. Указание. Показать, что уравнение не имеет корней на промежутке 3
2
;
2
. 107.
а)
3
; 1
; 7
2
; б)
3; 5; 31
4
. 108.
При 25
,
1
a
единстве
н-
ный корень 0. 109. 5
,
1
. Указание.
Ура
в-
нение не изменится при зам
е
не x
на x
1
. 110. 4
14
1
;
0
)
0
;
1
[
. 111. При 1
a
4
x
. Указание.
Выполни
ть зам
е
ну 4
x
t
. Использовать симметрию отн
о-
сительно знака t
. 112. ,
2
1
5
arccos
1
a
)
1
2
arccos(
2
a
. Указание.
Ввести н
о-
вые переменные y
x
u
2
3
2
1
, x
y
v
2
3
2
1
. Далее использова
ть си
м-
метрию относительно знаков и перест
а-
новки переменных u
и v
. 113. 2. Указ
а-
ние.
Использовать симметрию относ
и-
тельно знака x
. 114.
]
2
;
5
,
0
[
. 115. 4
3
arccos
;
2
2
;
3
2
3
2
;
2
2
;
4
3
arccos
. Указание.
И
с-
пользовать метод графической интерпр
е-
тации. Ответ получается из усл
о
вия 4
3
cos
2
1
a
,
0
cos
a
. 116. а)
1
a
; б)
1
a
; в)
0
a
; г)
3
1
a
. 117.
]
3
;
3
[
. 118.
]
6
3
;
5
[
]
2
;
6
3
[
. 119. 5
,
0
a
. 120.
25
,
0
;
.
1
121. 0
p
, 3
p
. 122. .
1
2
1
a
123. 3
. 124. 3
14
a
. 125.
4
;
7
. 126.
20
a
. 127.
16
3
a
. 128.
4
3
2
7
a
. 129.
]
2
;
4
[
. 130.
)
;
5
,
1
(
. 131.
]
5
;
1
[
. 132. ,
6
p
7
q
. 133. 0. 134.
2
2
1
;
2
. 135. 3
5
a
. Указание. Уч
е-
сть монотонность функции 1
3
2
x
y
и взаимное расположение на отрезке ]
5
;
1
[
ее графика и графика прямой 5
)
3
6
(
a
a
y
. 136. 2
a
. 137. 1
a
. 138. 224
a
. 139. 16
1
. Указание. Использовать то, что 2
1
t
t
пр
и
0
t
. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
77
140. ]
8
,
5
;
1
[
. Указание. Использоват
ь о
г-
раниченность тригонометрического дв
у-
члена x
B
x
A
B
A
2
cos
2
cos
2
2
2
2
B
A
. 141. а) ,
5
,
2
1
a
5
,
9
2
a
; б)
,
2
1
a
.
22
2
a
142. а) )
5
;
25
,
1
[
)
1
;
1
(
;
б) )
4
;
2
(
]
25
,
2
;
8
(
. 143. 5
,
0
a
. 144. 17
a
. Указание. З
а-
мена x
x
t
2
2
, где 2
t
. 145. )
;
7
(
)
4
;
8
(
a
. Указание. З
а
мена x
x
t
2
2
, где 2
t
. Далее рассмотреть ф
ункцию 16
|
|
8
)
(
)
(
2
a
t
a
t
t
f
2
)
4
|
(|
a
t
. 146. 4
2
a
. 147.
2
3
;
4
1
. 148.
).
5
;
3
(
149.
.
9
39
;
4
150. )
;
5
,
3
(
3
8
;
2
2
;
6
11
. 151.
)
4
;
1
(
. 152. 8
9
a
. 153.
3
. 154. 6
. 155.
При 1
a
или 1
a
решений нет; при 0
a
бесконечно много решений в
и
да )
2
;
(
c
, где R
c
; пр
и }
1
;
0
;
1
{
a
одно р
е
ш
е-
ние вида 2 4 3
2 2
3 6 2 2 4
;
2 2 2 2
a a a a
a a
. 156.
)
;
1
(
)
1
;
1
(
)
1
;
(
p
. 157. )
;
4
[
]
8
;
(
. 158.
2
a
.
Указ
а
ние. Использовать симметрию о
т
носительно знака x
. 159.
2,5. 160. 3
1
, 2. Указание.
Замена ,
a
x
u
,
2
a
y
v
a
a
b
5
3
2
. 161.
e
e
a
1
1
или 1
1
a
e
e
. 162. 6
5
,
1
a
. 163.
3
6
a
, 2
6
a
, 6
2
1
6
2
1
a
. 164. ,
4
1
a
64
2
a
. 165. 1
1
a
и 3
1
2
a
. 166. )
1
;
1
(
}
2
{
. 167. 3
4
.
Указание. И
с-
пользовать графическую интерпрет
а
цию. 168. 4
1
2
5
a
. 169.
0
1
a
, 5
,
1
1
a
. 170. а) 1
9
2
a
, 2
117
4
a
; б)
2
a
, 121
2500
a
. 171. 2
2
. 172.
а) 5
12
,
5
12
)
4
;
3
(
)
3
;
4
(
; б)
5
;
13
60
13
60
;
5
. 173. 25
,
1
a
, 5
1
a
. 174.
2
105
9
1
a
. 175.
1
; 4
33
7
. Указание. Использовать у
с-
ловие касания о
к
ружностей –
расстояние между центрами равно
сумме ради
у
сов в случае внешнего касания и модулю ра
з-
ности радиусов в случае внутренн
е
го. 176.
)
0
;
5
,
0
[
}
1
{
}.
1
{
]
5
,
0
;
0
(
Ук
а-
зание.
Привести к в
и
ду .
0
)
1
(
1
)(
1
(
),
1
(
2
2
2
x
a
x
x
x
a
x
a
y
177.
0
. Указание.
Использовать симметрию о
т-
носительно знака x
. 178. 2
b
a
. Ук
а-
зание.
Использовать симметрию относ
и-
тельно знака x
и y
. 179.
.
4
;
2
180.
Одно реш
е
ние при 1
;
1
b
a
. 181
. ,
1
p
1
p
. 182. .
1
1
p
183. 7
a
. 184. а) 2
;
2
; б)
2
;
2
3
2
2
3
2
;
2
. 185. )
1
;
4
(
. 186.
4
a
. 187. 8
a
188. ,
6
8
a
,
5
24
a
.
8
6
a
189. )
;
5
25
,
1
[
]
5
25
,
1
;
(
. 190. ;
4
a
R
b
; 2
;
4
b
a
. 191. 2
. Указание.
Использовать симметрию о
т-
носительно перестановки переме
н
ных x
и y
. 192.
2
;
49
69
. 193.
3
. 194.
а) 25
,
0
a
. Указание.
Использовать симметрию о
т-
носительно перестановки переме
н
ных x
и y
; б) 25
,
2
a
. Указание.
Использовать симметрию относ
и
тельно знака x
. 195.
1
a
. Указание. Умножая первое нер
а-
венство на 2, а второе на (
1
), и склад
ы-
вая их, п
олучим 1
4
)
3
(
2
a
y
x
. О
т-
сюда 1
a
. Далее достаточно пок
а
зать, Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
78
что при любом 1
a
система имеет р
е-
шение. Так как в этом случае 1
1
1
2
1
1
a
a
a
, то достаточно пок
а-
зать, что система 2
5
10
3
,
1
7
2
2
2
2
2
y
xy
x
y
xy
x
имеет реш
е
ние. 196.
3
13
и 3
7
. 197. )
6
2
8
;
6
2
5
(
)
6
2
8
;
6
2
5
(
. 198.
1,25
и 5. 199. 2
2
. 200. 1
41
|
|
4
a
. 201. 0. Указание. И
с-
пользовать симметрию выражений отн
о-
сительно знака обеих переме
н
ных. 202
. 8
1
a
.
203.
3
4
;
4
3
. 204.
а)
0
;
4
1
;
б)
1
a
или .
4
a
205.
3
1
. Указание. Замена 2
y
u
, 1
x
v
. Д
а
лее использовать симметрию относ
и
тельно перестановки переме
н
ных u
и v
. 206. }
3
;
4
;
...
;
10
;
11
{
\
Z
. 207.
]
0
;
2
[
. 208.
;
3
. Указание. Ра
з
ложить правые
части неравенств на множители .
0
)
)(
3
(
,
0
)
)(
2
)(
1
(
a
x
x
x
a
x
x
x
209.
а)
]
3
;
1
[
; б) ]
1
;
3
[
. 210.
5
1
a
. 211.
0
a
, 5
,
0
a
. 212. ,
2
a
,
2
2
k
b
;
Z
k
,
2
a
R
b
. Указание. Из второго н
е-
равенства получить оценку для a
. 213.
а)
;
17
36
]
10
4
;
5
(
б)
.
5
13
]
17
;
10
(
214.
2
;
3
4
. 215.
2
;
2
15
2
15
;
2
.
Список и источники литературы
1.
Геометрия. 10
–
11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.
Б. Кадомцев и др.]. –
18
-
е изд. –
М.: Просвещение, 2009.
2
. Еди
ный государственный экза
мен 2011
. Математика. Универсальные мат
е-
риалы для подгото
в
ки учащихся / ФИПИ –
М.: Интеллект
-
Центр, 2011
.
3
. ЕГЭ 2010. Математика: Сборник тренировочных работ / Высоцкий И.Р., Зах
а
ров П.И., Панфёров В.С., Семёнов А.В., Сергеев И.Н., Смирнов В.А., Ше
с-
таков С.А., Ященко И.В. –
М.: МЦНМО, 2009.
4
. ЕГЭ 2011
. Математика. Типовые тестовые задания /под ред. А.Л. Семен
о-
ва, И.В. Ященко. –
М.: Издательство «Э
к-
за
мен», 2011
.
5
. Задачи письменного экзамена по м
а-
тематике за курс средней школы. Усл
о-
вия и решения. Вып. 1
-
1
6. –
М.: Школ
ь-
ная Пресса, –
(Библиотека журнала «М
а-
тематика в школе»).
6
.
Корянов
А.
Г., Прокофьев А.А.
И
с-
пользование метода наглядной графич
е-
ской интерпретации при решении ура
в-
нений и неравенств с параметрами. // М
а-
тематика в школе. 2
01
1
. №1. –
стр. 18
-
2
6
.
и 201
1. №2
. –
с
тр
. 25
-
32
.
7
.
Неравенства с двумя переменными: графическое и аналитическое реш
е
ния
/ А. Корянов. –
М.: Чистые пруды, 2008. (Библиотечка «Первого сентя
б
ря», серия «Математика». Вып. 22).
8.
Корянов
А.
Г., Прокофьев А.А.
Ра
з-
ли
ч
ные подходы к решени
ю задач С5 ЕГЭ. // «
Математика
»,
201
1
, № 5
. − с
тр
.
1
1
–
2
1
.
9
.
Математика. Алгебра. Начала м
а-
тематического анализа. Профильный ур
о-
вень: задачник для 10
-
11 классов / М.И. Шабунин, А.А. Прокофьев, Т.А. Оле
й-
ник, Т.В. Соколова. –
М.: БИНОМ. Лаб
о-
рат
о
рия знаний. 200
9. –
477 с.
10
. Математика. Алгебра. Начала м
а-
тематического анализа. Профильный ур
о
вень: учебник для 11 класса / М.И. Ш
а
бунин, А.А. Прокофьев. –
2
-
е изд., испр. и доп. –
М.: БИНОМ. Лаборатория зн
а
ний. 2011. –
391 с.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
1
6
.0
4
.2011
.
www.alexlarin.narod.ru
79
1
1
. Панферов В.С., Сергеев И.Н. О
т-
личник ЕГЭ. Математика. Реш
е
ние сложных задач; ФИПИ –
М.: Ите
л
лект
-
Центр, 2010.
1
2
.
Прокофьев А.А. Задачи с пар
а
ме
т-
рами. Учебное пособие. –
М.: МИЭТ, 2004. –
256 стр.
1
3
. Самое полное издание типовых вари
антов реальных заданий ЕГЭ 2011
: Математика /
авт.
-
сост. И.
Р. В
ы
соцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. –
М.: АСТ: Аст
рель, 2010
. –
(Федеральный и
н
ститут п
е
дагогических измерений).
1
4
. Фалин Г., Фалин А. Инвариан
т-
ность и задачи с параметрами. //
Квант. 2007. №5, –
с. 45
-
47.
1
5
.
Ященко И.В., Шестаков С.А., З
а-
харов П.И. Подготовка к ЕГЭ по матем
а-
тике в 2010 году. Методичес
кие указ
а-
ния. –
М.: МЦНМО, 2010
.
1
6
.
www
.
mathege
.
ru
–
Математика ЕГЭ 2010
, 2011
(открытый банк зад
а
ний)
.
1
7
.
www
.
alexlarin
.
narod
.
ru
–
сайт
по оказанию информационной поддержки ст
у
дентам и абитуриентам при подготовке к ЕГЭ
,
поступлени
и
в ВУЗы и изучении различных разделов высшей мат
ематики.
1
8
. http://eek.diary.ru/
–
сайт по ок
а
з
а-
нию помощи абитуриентам, ст
у
дентам, учит
е
лям по математике. 
Автор
svetlana.golosenko
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1 528
Размер файла
1 216 Кб
Теги
Задания к ЕГЭ С5 - 2011 год
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа