close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

ТМ и ТП

код для вставкиСкачать
Московский институт электронной техники
Технический университет
А.Г. Фокин
Теоретическая механика и теория поля
(конспект лекций)
Математический аппарат в теоретической физике (механике).
1. Обобщенные координаты.
2. Описание эволюции системы в конфигурационном пространстве.
Для, того чтобы задать пространственное положение системы нужно координаты. В простейшем случае - декартовые координаты:
Материальная точка (м.т.)DN - число координат, которое необходимое для Размер пространства (D)задания координат.
Число точек (N)Связи - любое ограничение, накладываемое на движение системы.
r1 , rN ; ra=(xa,ya,za); rai-номер проекции на ось. x - 1
y - 2 D=3
z - 3
Голономные связи - могут быть выражены через координаты точек через равенства:
RN=(r1 ... r2)
φα(RN,t)=0 - уравнение k-атой связи. α€[1;k],k - число связей.
Если присоединить время, то связь не стационарная - усложняет теорию.
Стационарные связи.
φα(RN)=0; k-уравнений, k - координаты могут быть выражены через другие. n≡DN-k
n - число степеней свободы - число независимых координат (перемещений), задающих пространству положение системы, они независимы.
Любые независимые переменные, полностью определяющие пространственное положение системы, называется обобщенными координатами.
Плоский математический маятник.
k
0 Y
D=2
n=1
l
φ
l=√x2 + y2 = const
уравнение связи (голономная)
n=2*1-1=1
mx=l*cosφ
y=l*sinφ
X
3. Конфигурационное пространство.
Пространственно обобщенных координат - конфигурационное пр-во (воим - это угол). Как правило ортогонально.
qi , i€[1,n]
q - n-мерный вектор.
D=3
1
q
изображенная2
траектория
изображение
точки
конфигур.реальное
пр-во
q
q| - полная производная по времени- скорость.
dqi /dt≡q|i ≡ тождественно или по определению.
Эволюция системы - развитие системы - движение изображения точки по изображенной траектории, которая соответствует движению реальных точек в реальном пространстве по реальным траекториям (в механике).
Задачей в механике является описание эволюции системы (механической).
Набор обобщенных координат и скоростей - динамические элементы.
[q + q|] - динамические элементы (переменные).
Этот вариант динамических переменных используется в методе Лагранжа.
Лекция №2
Принцип наименьшего действия
Вариация - изменение функции для данной координаты
Вариации координат и функций.
y=y(x); dy=y/ * dх;
2dx→0;dy→0;
δy
y(x)
dy
dx
1
x
Вариации бесконечно малые (произвольные)
q2t2
δq
δq1,δqi;; →δqi в общем случае.
L=L(q) Эйнштейн
F=f(q)=
t1
q1
Рассмотрим линейную часть по приращению первой вариации.
n=1 δF(q)=F|δq=δq
; ;
Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона).
Из всех возможных траекторий движения системы в этом конф. пространстве реализуется та, для которой вариация действия равна 0.
функционал t.
L - функция Лагранжа (функция динамических переменных)
δS=0уравнения движения Лагранжа.
Конечные точки траектории зафиксированы→вариации координат в эти моменты равны 0.
,; ;δ, - коммутат. (перестановочные)
δqi→; ;
; - вариация на концах = 0
;подъинтегральное выражение = 0; вариации координат не зависимы линейно. Fi=0 →
Функция Лагранжа и её свойства.
L=T(кинетическая энергия)-U(потенциальная энергия)
U=U(x,t) - внешнее поле не стационарно.
U=U(x) - стационарное поле.
Если U(x)=0 то свободная материальная точка.
1. Уравнение движения Лагранжа инвариантно
; ;
;т.к. функции через вариации координат, а они на концах равны 0.
Функция Лагранжа простейших систем.
для 1 м.т.
n=D система n материальных точек.
Кинетическая энергия материальных точек аддитивна.
экстенсивный параметр - параметр зависит от размеров системы
потенциальная энергия:
U включает взаимодействия 1) из вне
2) между частиц (внутри)
внешнее воздействие аддитивно.
N=312 3
N=2: Uint=U12
L=T-U
а) стационарное поле
б) замкнутая система
- для замкнутой системы
Пространство замкнутой системы двух материальных точек.
одинаковые частицы:m1=m2
маятник:D=2;n=1
k=1
;U=mgl(1-cosθ)
l
θ
m
Можно получить уравнение движения Лагранжа.
рассмотрим малые колебания:
Свойства симметрии пространства и времени.
Для замкнутой системы реализуются свойства:
1) однородности времени
2) однородности и изотропности пространства.
t1,t2 - начало наблюдения для системы. Для замкнутой системы выбор роли не играет.
Свойства однородности:
,τ-время смещения начала отсчета.
f(t)
-обобщенная координата, - обобщенная скорость
используя формулу: Интеграл движения.
Рассмотрим функцию динамических переменных и времени.
- сохраняющая своё значение при эволюции системы (при движении в конфигурационном пространстве).
Определение:
интеграл движения 1-я функция динамических переменных и времени, сохраняющая свое значение при движение системы в конфигурационном пространстве по избранной траектории
в случае стационарных связей этот интеграл движения есть энергия.
Метод Лагранжа T+U=E Закон сохранения энергии - следствие однородности времени для замкнутой системы.
=0 E=const - для стационарных внешних полей.
Свойство однородности пространства.
Транс. в пр-ве - перемещение системы как целого на одно расстояние вектора. Замкнутая система:
однородность пространства обозначает инвариантность f-ций Лагранжа относительно преобразований пространства.
Инвариантность:
Уравнение движения: Px=c1
Py=c2
Pz=c3
Если система и уравнение движения инвариантны, то пространство однородно и импульс сохраняется.
Если пространство однородно на 1 или 2 направлении из 3-х, то по этим направления импульс сохраняется.
Циклические координаты.
Координаты от которых функция Лагранжа явно не зависит, называется циклической.
i-ая обобщенная координата
Обобщенный импульс.
для циклической координаты задача двух тел и сведение её к эквивалентной - одномерной.
Момент импульса:
изотропное пространство:
если однородное пространство говорит о том, что мы любую точку можем выбрать начальной координатой, то изотропное пространство является следствием инвариантности относительно имеет следствие к тому, что любое направление можно взять начальным.
Центральное поле - сферически симметричное.
Для замкнутой системы имеет место инвариантность системы как целого относительно любых вращений (вокруг любой оси).
Изменение вектора при бесконечно малом повороте.
δφ
инвариантность относительно вращения приводит к сохранению момента импульса М.
θ
изотропность пространства имеет следствием закон сохранения момента импульса.
Каждой проекции момента импульса соответствует ось вращения относительно которой имеет место инвариантность системы.
Если поле допускает - Вращение инвариаций относительно некоторой оси, то в этом случае имеет место закон сохранения проекций М на эту ось.
Замкнутая система M=const.
Система, находящаяся во внешнем поле с осевой симметрией допускает закон сохранения проекций М на эту ось.
Задача:
Замкнутая система двух материальных точек.
L(......)=T-U; U - не зависит от времени. Т=Т1+Т2
однородность пространства:
r=r1+r2 U=U(r)
r1R
0 r2
R - Центр масс, r - радиус-вектор определяемый положением второй точки относительно первой.
R-циклическая координата
M, R, V, m1, r1, v1,
m, r, v, m2, r2, v2,
R - Циклическая, следовательно ей соответствует интеграл движения.
0r
относительно центра поля момент импульса равен 0.
r и p - в одной плоскости, следовательно частица движется в одной плоскости.
Если 2 степени свободы.
φ - циклическая координата.
эффективный потенциал.
Uэф
r1 r0 r2
U
Одномерная задача:
1) E=U; T=0; мат. точка останавливается и начинает падать на центр.
E=Uef; r|=0; точка поворота: по касательной к кривой. 2) если min - точка движется по окружности: E=minUef
3) r- , r+ - точки поворота, движения в пространстве - эллиптическое.
y
b
r
r-0ar+ x
4) E=0; эллипс переходит в параболу.
5) E>0 - гипербола.
Финитное и инфинитное движения.
Финитное движение - движение в ограниченной части пространства (вся траектория в конечном объёме). Если траектория уходит в бесконечность - инфинитное движение (гипербола и парабола, 4 и 5 вид движения)
U
Лекция 5: малые колебания.
U=U(q)
0 1 2q
- условие экстремума определяю точки равновесия системы
> неустойчивое
< - устойчивое равновесие, вывод из равновесия приводит к стремлению вернуться в это положение.
Рассмотрим 1.
Если систему вывести из равновесия и предоставить самой себе, она будет совершать колебания вблизи этого положения. Диссипативные силы отсутствуют - незатухающие колебания.
Колебания системы с одной степенью свободы.
q0 - положение равновесия (устойчивое)
если последние слагаемые меньше, чем предыдущие, то это малые колебания.
- критерий малости колебаний - гармонические.
Если последние слагаемые необходимо учитывать, то колебания - ангармонические - нелинейные.
дисперсионное уравнение:
=0 - дисперсное уравнение.
Алгебраическое уравнение, которое ставится в соответствие дифференциальному после подстановки - изменяема величина - физический смысл.
условие не тривиальности решения (1):
Лекция №6.
Колебания системы с n степенями свободы.
L=T-U;-стационарная задача.
Будем считать, что последними членами можно пренебречь, если () достаточно мал.
=kij - матрица - положительно определённая.
kij>0 - обозначение устойчивого положения равновесия.
0,5;
m - Некоторая коэффициентная масса в декартовой С.О.
кинетическая энергия - квадратичная форма скоростей.
L=T-U= 1 2 3 4 матрица положительна, если все миноры >0 - правило Сильвестра.
Уравнение движения:
получаем: ;
Условие не тривиальности решения:
det[ ]=0 - дисперс. уравнение.
дает n корней. , p - индекс собственной частоты.
решением дисперсионного уравнения является спектр собственных частот.
координаты, которые совершают колебание по такому закону в спет. с n степенями свободы - нормальные координаты.
- исходные координаты.
- решение нормальных координат.
система разбивается на n независимых одном. осцилляторов. Получим легко их решения.
Решение - суперпозиция всех осцилляторов.
Эллипсоид: приведём матрицу к диагональному виду. Решение требует 2n начальных условий.
Лекция№7
Преобразования Лагранжа.
Лагранж.
, - динамические переменные
Гамильтон:
Каноническое уравнение (движения) Гамильтона.
n уравнений 2го порядка.
Динамические переменные в методе Лагранжа и Гамильтона.
pi,qi - динамически сопряженные.
Лекций №8
Описание эволюции системы в фазовом пространстве.
q3n=3; n=DN-K;
q1
q2
механическое состояние (динамическое) зная Метод Гамильтона: Фазовое пространство - пространство обобщенных координат и обобщенных импульсов.
точка в фазовом пространстве - фазовая точка. Эта точка описывает состояние системы.
(p,q) - состояние системы с 1ой ст. св.
траектория фазовая - описывает эволюцию системы.
n=1
p
q
Свойства Функции Гамильтона.
Функция Гамильтона простых систем (материальная точка).1, i=j
L=T; U=0, 0, i ≠ j
единичный симметричный
тензор 2го порядка
символ Кронекера
свободная материальная точка.
H=T= ; плоский математический маятник.
φ
m
Определённый интеграл движения в методе Гамильтона.
{f,q}=[f,q] - скобки Пуассона
если I явно не зависит от времени 0, то 0, следовательно [H,I]=0
H=T+U; H - энергия при стационарных связях. H=const=E
H - интеграл движения.
- условие того, что энергия - интеграл движения - энергия сохраняется - стационарное поле (условие) - силы консервативны.
Скобки Пуассона и их свойства.
3.Тождество Якоби.
4.если f1 и f2 - интегралы движения, т.е. , то и [f1,f2] - такиеже интегралы движения.
Теория поля.
1, i=j
условие ортонормированности при =10, i≠j
φ, где φ - скалярная функция
- единичный антисимметричный тензор (символ) третьего ранга.
1, i,j,k-(1,2,3) - четная перестановка
eijk=-ejik=0, i=j или... -1, (i,j,k)-(2,1,3) - четная перестановка
- проекция векторного произведения на i
Уравнения Максвелла.
Вакуум: источники поля:
- плотность (объемная) заряда.
- плотность тока.
2по правилу правого винтаопределяем dS
dS1
*,** - уравнения с источниками поля.
По источникам рассчитываем эл.-м поле
Закон сохранения заряда.
плотность тока - поток заряда.
j
если поток положительный, то заряд бывает.
Потенциал электромагнитного поля.
- скалярный и векторный потенциал.
векторный потенциал определяется напряжением магнитного поля.
Градиентная инвариантность:
такое использование потенциалов обнаруживает их неоднородность, т.е. потенциалы могут отличаться, а поя будут одинаковы.
инвариантность относительно преобразований.
- инвариантность, относительно преобразований потенциала.
Результаты, имеющие различный смысл, должны быть градиентно-инвариантны.
Объёмная плотность точечного заряда.
h(x) 1, x>=0
h(x)=
0, x<0
0x
функция Хабисайда
, кроме точки отсчета.
Теория обобщенных функций.
-дельта операция Дирака.
1, x>=x0
h(x, x0)=
0, x<x0
h|(x, x0)=δ(x-x0) - одномерная функция
δ(x)= δ(-x)
x0
δ(x) = ∞, x=0
= 0, x ≠0
[если φ-const]
0, r≠0
1)δ(-)=
≠0, r=0
2)F=const
3)
q
0
qнаблюдатель
1
2
Типы калибровки.
калибровка - дополнительное соотношение накладывается на потенциалы в силу градиентной инвариантности.
1)Калибровка Лоренса:
∆ - оператор Лапласа
=ٱ - оператор Даламбера.
ٱF=0 - волновое уравнение или однородное уравнение Даламбера.
2)Калибровка Кулона
- закон Кулона
3)Калибровка поперечных волн:
если φ=0 то остается только векторный потенциал Уравнение Даламбера:
для потенциального электромагнитного поля.
Калибровка Лоренца:
вводим оператор Даламбера:
ٱ из уравнений Максвелла с учетом калибровки Лоренца:
ٱ
Калибровка Лоренса приводит к стандартному уравнению Даламбера для потенциала
Сплошная среда - модель, заменяющая реальную среду.
однородная среда - инвариантна относительно трансляций.
изотропная - свойства среды инвариантны относительно вращения.
если точка такая одна - центральная симметрия.
ξ, μ, σ -проводимость.
усреднение у Сивухина
-неоднородная среда (зависит от )
ξ-const - однородная среда.
Анизотропия - описывается ξij - тензор диэлектрической проницаемости.
Уравнение Максвелла для электромагнитного поля в среде без пространственно-временной дисперсии.
Уравнение по ансамблю (среднестатистическое)
Ансамбль - множество образцов с одинаковыми свойствами, но разными характеристиками в каждой отдельной точке, т.к. атомы расположены иначе, следовательно, свойства разные.
yпараметр А[A,A+dA];
найти вероятность попадания по частоте появления данного числа.
А=1.... - 5 5\N-частота появления
А=2 - 3 множество А - ансамбль
x
Wi, Ai
- для непрерывного. вероятность, что А попадет в заданный интервал.
- плотность вероятности величины А.
Величина поля (объекты усреднения):
- локальная связь.
пространственно-временная дисперсия имеет место, если процессы быстропеременные.
<A> - статистическое уравнение
{A} - по объему и по времени усреднено.
Эргодическая гипотеза - утверждает, что < >={}, среднее по объему равно среднему по ансамблю.
{} - эксперимент
<> - теоретически.
если в среде:
Если усреднять : <>==
их можно усреднить
Под действием внешнего поля среда поляризуется. Это описывается двумя векторами:
- вектор поляризации
- вектор намагниченности.
2.
1.
если поля меняются быстро, то Р и М отделить невозможно и переходят на теорию с пространственно-временной дисперсией и М нет, и теория на языке Р.
Потенциалы электромагнитного поля в среде.
после усреднения:
Функциональные соотношения:
D=D(E)без учета пространственно-временной дисперсии
B=B(H)
j=j(E)
- если среда во внешнем электромагнитном поле.
если пространственно-временная дисперсия не учитывается, то P=P(E)
M=M(H)
1) D=D(E)
2) B=B(H)
3) j=j(E)y=y(x) по Тейлору разложим:
ограничивается линейными слагаемыми.
Среды, для которых нужно учитывать последующие члены называется нелинейной.
Мы рассмотрим только линейные.
Среды, для которых индукция отлична от нуля (E=0,D≠0,D=D0), то эти среды - пироэлектрики (имеется собственная поляризация) (пример - сегнетоэлектрики)
- условие стационарности
-при стационарных полях.
ٱ
ٱ при стационарном поле уравнение Пуассона
однородное уравнение Пуассона - уравнение Лагранжа
ٱмагнитостатика
Функция Грина(или функция источника). Уравнение Пуассона.
источник
наблюдатель
r2
r1
G - функция Грина Рассчитываем функцию Грина для неограниченной области: G в зависимости от координат упрощается.
физический смысл функции Грина: поле, создаваемое точечным источником в r1, где поле считается в r2
Свойства симметрии функции Грина:
если поменять источник и поле местами, то ничего не изменится.
q
r
неоднородное уравнение. Решение = решение общего однородного + частного неоднородного.
Поле, созданное системой источников = сумме полей, создаваемых в отдельности каждым.
рассмотрим потенциал:
частное решение неоднородного ур
электростат: магнитостат: Прибл. линии тока:
если проводники меняются I - сумма их.
Анизотропия - зависимость свойств от направления.
влияет на тензорные характеристики.
- диэлектрическая проницаемость
- магнитная проницаемость.
Матрица не является тензором, преобразования при преобразовании координат.
- вызывает преобразование компонент вектора.
уметь подставлять заданному преобразованию матрицу в соответствие:
;
- тензор 2го порядка. 2 матрицы.
Свойства симметрии кристаллов:
каждому кристаллу нужно поставить в соответствие декартова основания.
Осуществляя некоторые преобразования, наблюдаем совпадение полученного образца с исходным. Следовательно кристалл инвариантен относительно этого преобразования.
Надо найти эти преобразования:
- они образуют группу симметрий, следовательно поле симметрично.
Каждому преобразованию ставим в соответствие матрицу, следовательно преобразование матрицы тензора совпадает с исходным.
- инвариантность, следовательно некот. совпад. комп. тензора. не все независимые.
- в простом варианте симметричны
констант.
Условия на границе двух сред.
Гаусса-Острогацкого-Стокса
- скачек функции f на границе раздела.
n
h
2h
1
Квазистационарное магнитное поле.
-const - однородное
условие квазистационарности: 1е условие квазистационарности в Гауссовых ед.
() т.к. Нелокальность связи:
2. L<<λ, λ - либо длинна волны, либо параметр, характеризующий неоднородность поля
здесь, например поле меняется.
- длина и время свободного пробега. сравнительно малы относительно параметров поля.
Глубина проникновения поля:
- размерность Однородность уравнений Эйльгольца
глубина проникновения поля
с ростом z поле убывает
проводник
Квазистационарное поле убывает в е раз
расстояние, на которое поле убывает в е раз - глубина проникновения.
Уравнения Максвелла для электромагнитных волн в вакууме.
нормальные волны - волны, существующие в отсутствии источников.
запишем соответствующее им уравнения потенциалов.
ٱٱ нениеурав волновое ٱ
E и H совершают колебания в плоскости ортогональной волновому вектору.
ٱ в вакууме волны не затухают, следовательно постоянна амплитуда и фаза, определяющие состояние волны.
U=const - фронт волны - поверхность точек в одинаковой фазе.
скорость перемещения фронта волны или фазы - фазовая скорость.
Вектор ортогонального фронта волны - волновой вектор k.
- параметры воны.
- параметры пространственно-временной периодичности поля.
1) плоская
2) цилиндрическая
3) сферическая
Плоская волна.
- уравнение плоскости.
k
1
2
фронт
0
1)∆ - оператор Лагранжа
2)∆+k20-Фейтенгольца
3)ٱ - Даламбера = ∆- Квазистационарность
Простейшие решения: классификация по типу фронта волны.
1) плоские
2)цилиндрические
3)сферические
Вакуум (затухание=0), амплитуда постоянна.
уравнение фронта волны φ=const
фазовая скорость - скорость перемещения фронта волны (скорость перемещения фазы).
- уравнение фазовой скорости.
Направление в котором распространяется плоская волна - ось Х - упрощаем
если в разные стороны и х, следовательно плоская волна - монохроматическая (т.к. частота одна)
В цилиндрической и сферической нужно рассматривать потоки энергии.
2πrH - площадь цилиндрической поверхности.
условие сохранения энергии, излучаемой нитью:
Сферическая волна:
Плоская волна (возможно разложение по спектру излучения). Решение уравнения:
y
фронт волны
x
z
ٱ
ٱ
ٱ
произведение коэффициентов перед интегралами должен давать ;
-плоская монохр. волна
2
Автор
leshka.xd
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
663
Размер файла
849 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа