close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Похідна.Геометричний та фізичний зміст

код для вставкиСкачать
Похідна. Фізичний і
геометричний зміст похідної.
Похідна та диференційованість функції
Функція f має в точці x похідну:
f (x)
f ' ( x ) lim
x
x 0
Фізичний зміст похідної:
( t ) lim
Геометричний зміст похідної:
S (t )
t 0
k tg f ' ( x 0 )
t
Функція f диференційована
в точці x:
f ( x ) A( x ) x a ( x; x ) x,
lim a ( x ; x ) 0 , A ( x ) R
x 0
Функція f неперервна в точці x
Арифметичні операції над
диференційованими функціями u I v:
( u v )' u ' v ' , ( uv )' u ' v uv ' ,
u u ' v uv '
.
' 2
v
v
Похідна складеної функції y=f(u),
u=ф(x):
y
'
x
y ' u
u
x
'
Похідна оберненої функції x=ф(y):
1
'( y) f '(x)
Таблиця похідних
Похідні вищого порядку:
f
(n)
( x) ( f
( n 1 )
( x ))' , n 2 ,3 ...
В чому полягає суть
фізичного та
геометричного змісту
похідної та як його
використовувати в
математичних задачах?
І.Ньютон сформулював дві основні
проблеми математичного аналізу:
1). Довжина шляху, який долається, є
постійною(тобто в будь-який
момент часу); необхідно знайти
швидкість руху у пропонований час;
2). Швидкість руху постійно дана;
необхідно знайти довжину
пройденого у запропонований час
шляху.
1). Задача про миттєву швидкість:
V t S (t )
2). Задача про знаходження змінного
струму, який проходить по провіднику:
3). Друга похідна:
(t)
4). Приклад:
Висновок:
під редакцією М.І.Сканаві.
Ільюх С. М.
Задача 15.120.
Тіло масою m0 рухається прямолінійно
за законом
S(t)= αt +βt+ λ
α, β, λ –сталі
Довести, що сила яка діє на тіло стала
2
Ільюх С. М.
Доведення:
F=m0a
a(t)=V’(t)=S”(t);
S’(t)=(αt2+ βt+ λ)’=2αt+β;
a(t)=S”(t)=(2αt+ β)’=2α;
a(t)=2α,
α=const;
Ільюх С. М.
Сила, що діє на тіло – стала.
Задача 15.121
Тіло масою m0 рухається прямолінійно за
законом
2
S (t ) 2t 1
Довести, що сила, яка діє на тіло,
пропорційна кубу пройденого шляху.
Доведення
F=m0a;
Сила, що діє на тіло, пропорційна
кубу пройденого шляху.
дотична
M
січна
N
Дотичною до кривої в
даній точці M,
називається граничне
положення січної MN,
коли точка N прямує
вздовж кривої до точкиM.
y
f ' ( x 0 ) tg k-кутовий коефіцієнт
k tg f ' ( x 0 )
f ( x0 x )
f ( x0 )
y f ( x 0 ) f ' ( x 0 )( x x 0 )
рівняння дотичної до графіка функції
в точці з абсцисою x 0 .
y
x
x
x0
x0 x
x
y f ( x)
arctgk , якщо k 0 arctgk , якщо k 0 геометричного змісту похідної
1) Обчисліть f ' (1) , якщо кут між дотичною
проведеної до графіка функції y f ( x ) у точці
з абсцисою x 0 1 і додатнім напрямом осі OX,
дорівнює 30 0 .
Розв’язання
f ' (1) tg 30
0
3
3
2) До графіка функції y 0 ,5 x проведено
дотичну у точці з абсцисою x 0 3 . Обчисліть
тангенс кута нахилу дотичної до додатнього
напрямку осі абсциса.
2
Розв’язання
f ' ( 3 ) 3;
f ' ( x 0 ) tg tg 3 .
3) На малюнку зображено графік функції y f ( x )
і дотичну до нього в точці з абсцисою x 0.
y
Знайти значення f ' ( x 0 )
y f ( x)
Розв’язання
f ' ( x 0 ) tg ,
1
x0
1
x
135 ,
0
tg 45
0
1.
4) На малюнку зображений графік функції y f ( x ) та дотичні до нього в точках x1
x 2 . Користуючись геометричним змістом похідної, знайдіть
y
f ' ( x1 ) f ' ( x 2 ) .
Розв’язання
f ' ( x1 ) tg 45 1;
0
f ' ( x 2 ) tg 0 0 ;
0
f ' ( x1 ) f ' ( x 2 ) 1
x2
45
0
0
x1
x
5) Знайдіть, при яких значеннях параметра а
дотична до графіка функції y x 3 ax 2 у точці
з абсцисою x 0 1 проходить через точку
N(3;4).
Розв’язання
y f ( x 0 ) f ' ( x 0 )( x x 0 );
f ( x0 ) 1 a ;
f ' ( x ) 3 x 2 ax ;
2
f ' ( 1) 3 2 a ;
y 1 a ( 3 2 a )( x 1)
y (3 2 a ) x a 2 ,
т .N y 4 (3 2 a )3 a 2 ,
a 1.
Висновки
y1=k1x +b1,
<=> k1=k2, <=> y1IIy2
y2=k2x +b2,
y1=k1x +b1,
<=> k1·k2= -1, <=> y1 I y2
y2=k2x +b2,
Задача 1
На параболі y= 4- X вибрано дві
точки з абсцисами x= -1 і x=3. Через ці
точки проведено січну. Знайти рівняння
дотичної до параболи, яка паралельна
січній.
Розв'язання
1) y = kx + b – рівняння січної
Дана січна проходить через точки :
(-1;3), (3;-5)
Складаємо рівняння січної:
3 = -k + b;
8= -4k,
-5 =3k + b;
k= -2, то b=1
y= -2x +1 – рівняння січної
2)y=f(x0) + f '(x0)(x-x0) – рівняння
дотичної
f(x0)=4 - x02;
f '(x0)= -2x0;
y =4- x02 - 2x0(x-x0),
y = -2x0x +x02 + 4,
3) y1=kx +b1, y2=k2x +b2,
k1=k2 <=> y1||y2
4)За умовою паралельності прямих,
маємо :
-2x0= -2
x0=1.
Отже, y = -2x-3 - шукане рівняння
дотичної.
Задача 2
Записати рівняння дотичної до
графіка функції f(x)= -x2+4, яка
перпендикулярна до прямої x-2y+2=0.
Розв'язання
y = f(x0) +f '(x0)(x-x0),
f (x0) = -x02+4,
f '(x0) = -2x0,
y= -x02 +4 - 2x0(x-x0),
y= -2x0x +x02 +4 - рівняння дотичної
y= 0,5x +1 - рівняння прямої
перпендикулярної до дотичної
y1=k1x +b1 і y2=k2 +b2
k1· k2= -1<=>y1 I y2
За умовою перпендикулярності
прямих маємо :
якщо k1= -2x0, k2=0,5,то -2x0·0,5= -1,x0=1.
Отже, y= -2x+5 - шукане рівняння
дотичної
Задача 3
Знайти величину кута між двома
дотичними проведеними з точки (0;-1)
до графіка функції y=x2.
Задача 4
Знайти площу трикутника, утвореного
бісектрисами координатних кутів і дотичної
до кривої y= в точці М(3;2)
Автор
sudarinya_324512
Документ
Категория
Презентации
Просмотров
1 474
Размер файла
679 Кб
Теги
похідна, геометричні, фізичний, зміст
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа