close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

13 (2)

код для вставкиСкачать
 Свойства Марковских источников сообщений
Цепи Маркова, как правило, гомогенны, стационарны и регулярны.
Цепь Маркова будет гомогенной, если переходные вероятности между состояниями не зависят от выбора времени точки отсчета, т.е. вероятности зависят только от разности времени отсчетов:
π((j/i)) ⃖= p(S (n) = S_i→S (n+1) =S_j).
Если рассматривать случай, когда l= n_2-n_1(интервал времени), m=n_3-n_2, тогда используется рекурсивная формула, представляющая собой частоту случайного уравнения Колмогорова - Чепмена, которое имеет вид:
π_(l, m)((i/j) ⃖) = ∑_r▒π_m ((r/j) ⃖)*π_l((i/r) ⃖).
Частный случай: π_(n_3, n_1 )((i/j) ⃖) =∑_(l=1)^N▒π_(n_3, n_2 ) ((j/l) ⃖)*π_(n_2, n_1 )((l/j) ⃖).
Таким образом, что бы получить матрицу переходных вероятностей на любом шаге n, необходимо многократно применить умножение этой матрицы к распределению вероятностей начальных состояний, т.е.:
p_n=p_0*П^n.
Гомогенная цепь Маркова в полном объеме описывается матрицей переходных вероятностей и исходным распределением вероятностей начальных состояний.
Марковская цепь отображается в виде:
Гомогенная модель Марковской цепи представляет собой возможные состояния источника и варианты смены этих состояний, выраженные через вероятности.
Гомогенная цепь Маркова является стационарной, если распределение вероятностей состояний постоянно во времени:
р_0=р_∞ , где
р_∞ - предельное распределение вероятностей.
В этом случае распределение вероятностей состояний является собственным вектором матрицы переходных вероятностей.
Свойство регулярности гомогенных цепей Маркова можно проверить одним из трех способов:
проверить существование предельной матрицы переходных вероятностей, в которой все N - строк представляют собой предельное распределение вероятностей:
П_∞= lim┬(n→∞)⁡〖П^n 〗=(█(р_∞@р_∞@р_∞ ));
предельное распределение состояний цепи Маркова является единственным стационарным распределением вероятностей состояний для любой регулярной цепи Маркова; цепь регулярна, если существует n, при котором все компоненты некоторого столбца матрицы переходных вероятностей отличны от нуля, то есть, если на некотором шаге существует, по меньшей мере, одно состояние цепи, которое может быть достигнуто из любого начального состояния:
П^n= (█(■(... &π((i/j) ⃖)&...)@■(... &π((i/(j+1))) ⃖&...)@■(...&...&...)@■(...&π((i/(j+m)) ⃖)&...))).
Если в Марковской цепи на вероятность появления символа оказывает влияние rпредыдущих символов, то говорят, что память такого источника охватывает r-символов, а сам источник называется конечным дискретным источником с памятью r.
Очевидно, что он обладает свойствами эргодичности, поэтому чтобы полностью задать конечный дискретный эргодический Марковский источник с памятью r, необходимо:
задать непустое множество состояний:
SЄ {S_1, ..., S_N}, при S_i- вектор, длиной r;
каждому состоянию S_i Х_i= {x_1, ..., x_M}, p(x_j)=p(S_i/x_j);
задано начальное распределение состояний:
p_0=(p_0 (S_1 ), ..., p_0 (S_N ));
состояние S[n], образованное (в момент времени n) из (r-1) символа, путем добавления очередного символа дискретного источника без памяти Х[n], что в свою очередь приводит к появлению нового состояния S[n+1].
Энтропия эргодического Марковского источника вычисляется исходя из того, что некоторое состояние источника является, как бы, подысточником без памяти, обладающим своей энтропией, тогда, учитывая эргодичность этихподысточников, энтропию Марковского источника определяют, как среднюю или как математическое ожидание энтропий подысточников.
H_∞(X)=∑_(i=1)^N▒p_∞ H(X/S_i), где
p_∞ - предельное распределение вероятностей состояний;
H(X/S_i) - условная энтропия подысточнока;
тогда H(X/S_i)= -∑_(m=1)^M▒p_(S_i ) (x_m)*〖log〗_2 p_(S_i )(x_m), где
p_(S_i )(x_m) - вероятность появления символов x_m, при условии, что источник находится в состоянии S_i.
Энтропия стационарного эргодического Марковского источника с памятью обладает теми же свойствами, что и дискретный источник с памятью общего вида.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
29
Размер файла
21 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа