close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Н.Д. Денисов-Винский Mathcad при решении задач по Высшей математики. 1 курс.

код для вставкиСкачать
Mathcad при решении задач по Высшей математики. 1 курс. Содержание: Введение 4 Основы математической системы Mathcad 6 Массивы, векторы, матрицы и их элементы 13 Решение систем линейных 30 алгебраических уравнений 30 Работа с комплексными ч
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
1
Негосударственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский институт энергобезопасности и энергосбер
е
жения
К
АФЕДРА Е
СТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ И ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИХ ДИСЦ
ИПЛИН
Mathcad
при решении задач по
курсу
МАТЕМАТИКА
I
курс
Москва 2007
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
2
Mathcad
при решении задач по
курсу Математика. I
курс
.
–
М.: МИЭЭ, 2007
, 113
с.
Одобрено кафедрой естественнонаучных и общетехнических ди
с-
циплин М
И
ЭЭ: 17 сентября 2007 г.
Автор
ы
:
Никита
Д. Денисов
-
Винский, Рец
ензент:
доц. Сергей В. Семёнов.
Автор с благодарностью приме
т от читателей все критические замечания и
указания по адресу
:
denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
© МИЭЭ, 2007
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
................................
................................
..................
4
Основы математической системы Mathcad
.......................
6
Массивы, векторы, матрицы и их элементы
...................
13
Решение систем линейных
................................
.................
30
алгебраических уравнений
................................
.................
30
Работа с комплексными числами
................................
......
35
Вычисление пределов функций
................................
.........
39
Построение графиков функций
................................
.........
42
Нелинейные алгебраические уравнения
..........................
55
Дифференциальное исчисление
................................
........
57
Построение графиков функций в пространстве
.............
71
Примеры решения домашнего задания в Mathcad
.........
78
Примеры использования Mathcad
в дисципл
ине «Теоретические основы электротехники»
..........
Ошибка! Закладка не определена.
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
4
Введение
При подготовке
студентов по специальности Электр
о-
снабжение в МИЭЭ
особое место занимает преподавание е
с-
тественнонаучных дис
циплин
и математик
и
, как универсал
ь-
ного инструмента для познания других дисциплин
. Обучение постро
е
но таким образом, чтобы всё то, что студент изучает на курсе математики, ему пригодилось для изучения дал
ь-
нейших дисциплин, в том числе специальных. Именно поэт
о-
му курс матема
тики включает в себя только самые важные и необходимы темы. При составлении
курса была прове
дена определённая
работа
, которая ставила перед собой задачу включить в разделы математики те темы, которые находят наибольшее отражение в других дисциплинах по спе
циальн
о-
сти «Электроснабжение». При выполнении домашних заданий по математик
е
бол
ь-
шая часть времени у студента уходит на выполнение элеме
н-
тарных действий над числами –
сложение, вычитание, извл
е-
чение корней, возведение в степень и пр. Эти действия зача
с-
тую
он выполняет на калькуляторе. Однако калькулятор не только обладает ограниче
н
ными возможностями вычислений в математики, но и не позволяет едино решать целую задачу –
т.е. без дополнительных действий в тетради. Выходом из этой ситуации является система ма
тематич
е
ских вычислений –
Mathcad
.
Он позволяет полностью решить задачу с необх
о-
димыми промежуточными вычислениями и действиями
в с
а-
мой программе. Собственно говоря, Mathcad
создан разр
а-
ботчиками как инструмент работы расчётчиков
–
инженеров, проектировщиков
, исследователей. Он создавался как мо
щ-
ный калькул
я
тор, позволяющий решать рутинные задачи инженерной пра
к
тики
, ежедневно встречающихся в
работе. Главным достоинством Mathcad
и его колоссальными пр
е-
имуществом перед другими ра
с
чётными средствами являются ле
гкость и наглядность программирования задачи, отображ
е-
ние сложных математических выраж
е
ний в том виде, в каком они обычно оформляются на листе бумаги.
Именно поэтому
,
при под
готовке
высококвалифицированных сп
е
циалистов по специальности
«
Электроснабжение
»
в
МИЭЭ
введено преп
о-
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
5
давание системы Mathcad
наравне
с другими общетехнич
е-
скими дисциплин
а
ми.
При изучении данного пособия, необходимо обратить внимание на следующее:
1.
Жирным шрифтом выделены команды, располага
ю-
щиеся либо в меню системы Mathcad
,
либо на панел
ях рабочего окна. Например: Matrix (Матрицы)
меню Insert
(Вста
в
ка).
2.
Жирным подчеркнутым шрифтом выделены примеры или пункты, на которые необходимо обратить вним
а-
ние. Например
: Пример
, Важно !!!
.
3.
Пример, взятый непосредственно из системы Mathcad
будет прив
едён в штриховой рамке. Как правило они будут располагаться либо по правой, либо по левой стор
о-
не страницы. В редких случаях -
по середине.
4.
Курсивом отмечены важные определения в тексте
.
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
6
I
. О
сновы математической системы Mathcad
1.1 Алфавит входного языка системы Mathcad
Общение с пользователем системы Mathcad
осуществл
я-
ется при помощи математического и визуального ориентир
о-
ванного входного языка общения с сист
е
мой. Большинство операторов и функций входного языка знакомо пользователю
по курсу математики. Благодаря этому большая часть расч
ё-
тов в системе Mathcad
не требует программирования в общ
е-
принятом смысле этого сл
о
ва.
Алфавит входного языка –
это совокупность символов и слов, которые используются при задании команд и функций, необ
ход
и
мых для решения интересующего пользователя класса задач. К укрепленным элементам языка относятся типы да
н-
ных, операторы, встроенные функции, функции пользоват
е-
ля, процед
у
ры и управляющие структуры. Говоря простым языком, Mathcad
как бы является упр
о-
щ
енной версией редактора Word
с возможностью
осущест
в-
лять бол
ь
шое количество математических вычислений –
от самых простых: сложение или вычитание двух чисел, до мн
о-
гомерного математическ
о
го моделирования.
П
ри этом сама система Mathcad
как бы совмещает в себ
е редактор (текст
о-
вой, графический) и мощный кал
ь
кулятор
с возможностями сло
жных многомерных вычислений
непосредст
венно в док
у-
менте, т
.е.
,
по большому счёту
,
нет необходимости в
ы
полнять вычисления на лист
ке бумаги при помощи настольного кал
ь-
кулятора, строи
ть графики от руки, а потом все это офор
м-
лять на компьютере –
это мож
но сделать сразу в Mathcad
, причём оформление документа, особенно в последних верс
и-
ях
Mathcad
,
ничуть не уступают возможностям
Word
. Д
ругими словами –
алфавит
Mathcad
можно разделить на две со
ставляющие: первая
необходима для оформления док
у-
ме
н
та и Mathcad
рассматривает её как комментарии, а вто
рая
–
для
т
о
го, чтобы Mathcad
мог работать с ней и выполнять
математиче
ские операции
–
это операторы, константы, пер
е-
менные и т.п. автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
7
1.2 Применен
ие чисел и констант
К важнейшим типам данных в системе Mathcad
относятся константы, обычные и системные переменные, массивы (ве
к-
торы и матр
и
цы) и данные файлового типа. Константы –
имеющие уникальные имена объекта, хр
а-
нящие некоторые значения, которые оп
ределяются в процессе з
а
грузки системы. Mathcad
поддерживает следующие типы констант:
• целочисленные константы (
например, 0, 1, 23, -
45 и т.д.)
;
• вещественные числа с мантиссой и порядком (напр
и-
мер, 5
10
5
.
12
, где десятичная мантисса с конста
н
той 5
.
12
и порядком 5
);
• символьные константы, име
ю-
щие численное значение (например
,
чи
с
ло );
• системные константы, хран
я-
щие определенные параметры системы (например, погре
ш
нос
ть вычисления TOL
или нижнее значение индекса в ма
с
сивах);
• единицы измерения физич
е-
ских вел
и
чин;
• строковые константы –
любые цепочки символов, заключенные в к
а
вычки;
Для проведения физических расчётов в Mathcad
может применяться особый вид констант
–
единицы измерения ра
з-
мерных величин. Помимо своего числового знач
е
ния, они характеризуются ещё и указанием на то, к какой физической величине они относятся. При необходимости
Mathcad
выпо
л-
няет физические расчёты с соответствующим преобразован
и-
ем ра
з
мерн
ых величин. Забегая в перёд
,
стоит отметить, что системная константа «
TOL
» отвечает за допустимую погрешность для различных численных алгоритмов. Системная константа «
ORIGIN
» о
т-
вечает за индекс первого элемента массива.
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
8
1.3 Переменные
Переменные также являются имеющими уникальные имена объектами. Однако в отличие от констант они вначале не определены, а после определения могут принимать любые значения в пределах своего типа. Имена констант, переме
н-
ных и иных объектов называют идентификаторами
. В
Mat
h-
cad
тип переменной определяется её значением. Так, пер
е-
менные могут быть числов
ы
ми, строковыми, символьными –
поэтому тип переменной предв
а
рительно не задаётся.
Имена (идентификаторы) могут иметь практически л
ю-
бую длину, и в них могут входить любые латинские и греч
е-
ские буквы, а также цифры. Однако начинаться идентифик
а-
тор может только с буквы. Кроме того, необходимо отметить, что в идентификаторах недопустимо использование проб
е-
лов. Некоторые спецсимволы (например
,
знак подчёркивания «_») могут входить в сост
ав идентификатора, другие (напр
и-
мер, знаки арифметических действий) недопустимы, поскол
ь-
ку ведут к неоднозначности идентификации переменной. Значение строковых переменных задаются в кавы
ч
ках
.
Настоятельно не рекомендуется в
идентификаторах и
с
пользовать бу
квы ру
с
ского языка. Строчные и прописные буквы в идентификат
о-
рах различаются
. Идентификаторы должны быть уникальными, т.е. они не м
о
гут совпадать с именами встроенных или опре
деленных пользователем фун
к-
ций. Также Mathcad
позволяет зада
вать сло
ж
ные имена. Д
л
и-
на идентификатора не ограничена.
Назначение переменных в Mathcad
соответствует назн
а-
чению переменных в математике. Уже само их название г
о-
ворит о том, что значения переменных могут меняться. Они используются для обобщенного представления данных опр
е-
делен
ного типа. К прим
е
ру, вычисление значения выражения (3+7), равного пяти, носит весьма частный характер. Куда более общим является вычисление значения выражения (
x
+ y
) как суммы значений двух переменных –
x
и y
. В частности, при x
= 3 и y
= 7 для (
x
+ y
) п
олучим зн
а
чение 10, но уже при x
= 1 и y
= 3 вычисление (
x
+ y
) даст уже 4. автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
9
1.4 Операторы и операнды
Операторы –
элементы языка, предназначенные для со
з-
дания математических выражений совместно с данными, им
е-
нуемыми операндами. Это знаки арифметических о
пераций, вычи
с
ления сумм и произведений членов ряда, производных, интегралов и т.п. После указания операндов (аргументов с
о-
ответствующих операторов) операторы становятся исполня
е-
мыми программными блоками. Также Mathcad
позволяет з
а-
давать
пользовательские о
п
е
раторы. 1.5 Встроенные математич
е
ские и иные функции
Mathcad
поддерживает множество встроенных функций, т.е. функци
й
, определённых в самой системе и готовых к и
с-
пользова
нию. Функции
возвра
щают
некот
о
рое значение в ответ на обращение к
ним
с указание
м аргумента (или сп
и
ска аргументов). Они возвращают символьное или числовое зн
а-
чение, вектор или матрицу. В систему встроен ряд элеме
н-
тарных математических фун
к-
ций, например функция вычи
с-
ления синуса sin(x)
, натурал
ь-
ного логари
ф
ма )
ln(
x
и т.д. Функции вводятся своими именами, принятыми в системе Mathcad
. Иногда эти имена несколько отличаются от ста
н-
дартных обозначений –
в основном некот
о
рым сокращением. К примеру,
тригономе
т
рическая функция арктангенса «
arctg(x)
»
в Mathcad
обозначается как «
atan(x)
»
. При вводе функции посредством палитры функций появл
я
ется шаблон для ввода параметров. Если на имени функции установлен курсор вв
о
да, то нажатие клавиши F
1 открывает страницу справки об ук
а
занной функции. Возможно также задание функции пользователя, к
о
торые создаются самим пользователем. Благодаря функциям пол
ь-
зователя обеспечивается расширение входн
о
го языка Mathcad
и его адаптация к специфическим з
а
дачам пользователя. автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
10
Многие функции не относятс
я к математическим. Напр
и-
мер, это функции осуществления файловых оп
е
раций или систе
м
ные функции.
1.6 Математические выражения и приоритет операций
Функции, наряду с операторами, могут входить в матем
а
тическое выр
а-
жение. Например, рассмотрим сл
е-
дующее в
ы
ражение 4
)
sin(
5
:
d
. В этом выражении «
d
»
-
переме
н
ная, « 5
»
и « 4
»
–
числовые константы, «
∙ »
и « + » -
опер
а
торы и «
)
sin(
»
-
встрое
н-
ная функция. Необход
и
мо помнить, что для вычисления этого выражени
я перед ним должно быть определено значение «
». Важно !!!
В большинстве задач используется углы зап
и-
сываются в градусах. Однако тригон
о-
метрические функции Mathcad
работают только с радианами. Поэтому для удобс
т-
ва углы можно вводить
в градусах, одн
а-
ко, при использовании тригонометрич
е-
ских функций, их н
е
обходимо переводить в радианы. Обратные тригонометрические функции также в
ы
водят значения в р
а-
дианах. Поэтому для удобства их необх
о-
димо пер
е
вести в градусы. Выполнение
математически
х выр
а-
жений осуществляется с учетом общ
е
принятого приорит
е-
та операций:
внач
а
ле исполняются встроенные функции, з
а-
тем логические операторы, далее опер
а
ции возведения в ст
е-
пень, умножения и деления и последними -
операции слож
е-
ния и выч
и
тания. При выполнени
и символьных операций константы и е
и
с
пользуются только в символьном виде. Это значит,
ч
то и
х числе
н
ное значение не вычисляются при выводе результатов символьных вычислений. автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
11
1.7 Присваивание переменным значен
ий
Задание значений переме
н-
ным называется операцией присваивания. В отличие от классической записи операции присваивания в математике в Mat
h
cad
знак равенства « = » можно использовать как опер
а
тор присва
и
вания только один раз, при первом присваивании зна
чения новой переменной любого типа. Основное назн
а
чение этого оператора –
вывод значения переменной или в
ы
ражения, после которых и ст
а-
виться знак равенства. До пе
р
вого присваивания переменная не определена (не имеет знач
е
ния) и поэтому знак « = » ср
а-
батыва
ет как оператор пр
и
сваивания. Основным знаком присваивания является составной знак « := », вводимый двоеточием. Его можно применять как при первом присваивании значения переменной, так и при л
ю
бом следующей по порядку операции присваивания. Существует та
кже «жирный» знак равенства, который и
с-
пол
ь
зуется в логических операциях сравнения и в записях уравнений. Необходимо отметить, что попытка использования н
ео
п-
ред
е
ленной переменной ведёт к
выводу сообщения об ошибке «
This
variable
or
function
is
not
d
e-
fine
d
above
» (
«Э
та переме
н-
ная или функция не определена ранее
»
), при этом переменная о
к
рашивается в я
р
ко
-
красный цвет. 1.8 Локальные и глобальные присваивания
Если переменной присваивается значение с помощью оператора « := », то такое пр
и
сваивание является
локальным и действует лишь до очередной операции присваивания. Если операция присваивания не проводилась, то пер
е
менная будет автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
12
неопределенной, и её нельзя будет использ
о
вать в численных ра
с
чётах.
Однако с помощью знака « » (три гор
и-
зонтальные черточки) можно обеспечить гл
о-
бальное присваивание, когда переменная п
о-
лучает и имеет заданное значение незав
и
симо от того, в каком месте документа стоит опер
а-
тор глобального при
сваивания. К пр
и
меру,
если переменной присвоено таким образом неко
торое знач
е-
ние в самом конце документа, то она будет иметь это же зн
а-
чение и в начале документа. Разумеется, в дальнейшем знач
е-
ние переменной можно изменить и с помощью оператора л
о-
кального присваив
а
ния. Статус присваивания не следует путать со статусом с
амих пе
ременных. В
се описанные переменные являются глобал
ь-
ными, поскольку их можно определять в любом месте док
у-
мента и в л
ю
бом месте изменять их значение. 1.9 Задание ранжированных переменных
До сих пор мы рассматривали переменные, которые им
е-
ют единс
твенное значение. Однако в математике часто возн
и-
кает нео
б
ходимость в задании некоторого ряда значений –
чаще всего упорядоченного. Например, для вычисления фа
к-
ториала необходимо сформировать ряд чисел от « 1 » до « N
» и перемножить их. Также упорядоченны
й ряд значений к
а-
кой
-
то переменной необходим для построения графика фун
к-
ции –
Mathcad
строит графики функции по точкам, соединяя их отрезками.
Для
создания таких рядов в Mathcad
используются так н
а-
зываемые ранжированные переменные. Иногда они заменяют упра
в
ляющие структуры –
циклы, и т.д. В самом простом случае для создания ранжированной п
е-
реме
н
ной используется выражение _end
N_begin..N
:
Name
где Name
-
имя переменной, N_begin
-
её начальное зн
а-
чение, N_end
-
конечное значение, « .. » –
символ
, указыва
ю-
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
13
щий на изменение переменной в заданных пред
е
лах. Если N_begin
> N_end
, то шаг изменения переменной будет равен +1, в противном сл
у
чае -
1
. Для создания ранжированной п
еременной общего вида с произвольным шагом используется выраж
е
ние
N_end
..
Step)
(N_begin
N_begin,
:
Name
Здесь Step
-
з
а-
данный шаг измен
е-
ния переме
н
ной (он должен быть полож
и-
тельным, если N_begin
< N_end
, или о
т
рица
тельным в пр
о-
тивном случае). С п
о-
мощью этой формы задания ранжирова
н
ной переменной та
к-
же можно задавать как возрастающие, так и уменьшающие знач
е
ния ранжир
о
ванных пер
е
менных.
II
. М
ассивы, векторы, матрицы и их элеме
н
ты
2.1 Основные понятия
Центральным
понятием линейной алгебры является пон
я-
тие массива, т.е. обозначенной именем совокупности данных. К таким простейшим данным принадлежат векторы –
одн
о-
мерные масс
и
вы. Ранжированная переменная отличается от вектора тем, что нево
з
можно использование её отдел
ьных значений, скажем второго или пятого. Существуют также двумерные массивы –
их принято наз
ы
вать матрицами. Как вектор, так и матрица, состоят из отельны
х
элементов, к к
о-
торым возможен доступ. Доступ означает, что каждому эл
е-
менту вектора или массива (в общем случае это дв
у
мерный массив -
матрица) может быть присвоено значение
,
и к ка
ж-
дому элементу можно обратиться для считывания этого зн
а-
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
14
чения. Так, элементами вектора, например V
, являются и
н-
дексированные п
е
ременные i
V
. Здесь i
-
номер, или индекс, элемента ма
с
сива V
.
В Mathcad
массив (это может быть либо вектор, либо ма
т-
рица), как и любая другая переменная, задаётся именем. М
е-
сто положение элемента задаётся одним индек
сом для вект
о-
ра или двумя индекс
а
ми для матрицы. Индексы могут быть только целыми полож
и
тельными числами или нулём.
Для ввода индекса используется клавиша “[“ –
прямая о
т-
крывающая скобка. Не следует путать индексированные п
е-
реме
н
ные со скалярными переменн
ыми, имеющими индекс в своём имени, например силу тока -
1
I
, где нижний может об
о-
значать силу тока в контуре «1» некоторой электрической цепи. Подобные и
н
дексы –
индексы в имени переменной –
вводятся с помощью точки, причём синий уголо
к курсора ввода при этом охватывает всё имя, а н
е только область ввода индекса.
2.2 Основные определения линейной алгебры
Перед рассмотрением возможности системы Mathcad
в решение задач линейной алгебры
, рассмотрим краткие опр
е-
деления, относ
я
щиеся к ней
.
Матрица
размера (
n
m
) –
прямоугольная двумерная таблица, содержащая m
строк и n
столбцов элементов, ка
ж-
дый из которых может быть представлен числом, константой, переменной, си
м
вольным или мат
ематическим выражением. Квадратная матрица
–
матрица, у которой число строк равно m
числу столбцов n
, т.е. (
m
= n
).
Единичная матрица
–
это квадратная матрица, элементы кот
о
рой находящиеся на главной диагонали равны единице, а элементы не находящиеся на главной диагонали равны нулю.
Транспонированная матрица
–
матрица, к которой стол
б-
цы и строки меняются местами.
Обратная матрица
–
это квадратная матрица, получе
н-
ная из квадратной матрицы того же размера, определ
итель которой отл
и
чен от нуля, и при умножении на которую даёт единичную ма
т
рицу. автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
15
Диагональная матрица
–
матрица, у которой все элеме
н-
ты, кроме элементов главной диагонали равны нулю.
Ранг матрицы
–
наибольший из порядков отличных от нуля миноров квадратн
ой матрицы. Нулевая матрица
–
матрица, все элементы которой равны н
у
лю.
2.3 Ввод элементов векторов и матриц
Вектора и матрицы можно вводить непосредственно п
у-
тём ввода их элементов –
индексированных переменных, л
и-
бо вводя эл
е
менты вектора или матрицы в заданный шаблон. В первом случае для указания
подстрочных индексов п
о-
сле имени переменной нажимается клавиша символа откр
ы-
вающейся квадратной скобки –
Клавиши
Отображаемое знач
е
ние
V
[ 2 :
:
V
2
V
[ 3 :
:
V
3
Для элементов матрицы подстрочные индексы вводятся анал
о
гично с разделением их запятыми –
Клавиши
Отображаемое знач
е
ние
M
[ 1,2 :
:
M
1,2
M
[ 0,1 :
:
M
0,1
При этом необходимо помнить, что все ос
тальные эл
е-
менты вектора или матрицы, которые не были введены пол
ь-
зователем, будут автоматически иметь нулевые значения. Пример
–
(для вектора) было введено 1
:
V
0
и
2
:
V
2
. Т
а-
ким образом, мы получим вектор (ил
и матрицу
-
ст
олбец), число строк
в котором, будет равняться трём (необходимо помнить, что в Mathcad
по умолчанию первый элемент вект
о-
ра или матрицы получает нулевое значение –
т.е. самый вер
х-
ний элемент для вектора имеет индекс «0», для матрицы л
е-
вый верхний элемент им
еет индекс «0,0» <далее см. примеч
а-
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
16
ние>) и будет иметь такой вид -
2
0
1
:
V
. Эл
е
мент индексом «1» не был задан пользователем и получил автом
а
тически нулевое значение. Пример
–
(для матрицы) было введено 3
:
M
1,1
и 2
:
M
0,1
. Та
ким образом,
мы получим матрицу размера 1
1
, к
о
торая будет иметь вид -
3
0
2
0
:
M
. Важно !!!
Как уже б
ы-
ло отмечено выше, элеме
н-
ты ве
к
тора или матрицы являются индексированн
ы-
ми переменными и характ
е-
риз
уются одним (для вект
о-
ра) или двумя (для ма
т
р
и-
цы) индексами –
номером элемента в строке (или столбце) для вектора или номером элемента в строке и номером эл
е
мента в столбце. Например, j
i,
M
означает эл
е
мент матрицы, расположенной в стр
о
ке
i
и столбце j
.
Mathcad
допускает о
т-
счёт индексов с “0” или “1”. (напомним, что по умолч
а-
нию отсчёт индексов нач
и
нается с “0”). Это задаётся соотве
т-
ствующим значен
и
ем систе
м
ной переменой ORIGIN
. По
умолчанию 0
ORIGIN
. Для индекс
а
ции векторов и матриц с единицы введите 1
:
ORIGIN
. Если надо ве
р
нуться к инде
к-
сации с нуля з
а
дайте 0
:
ORIGIN
.
В случае вектора и матрицы, индексы определяют дал
ь-
нейший размер вект
ора или матрицы. Во втором случае для задания векторов и матриц можно либо воспользоваться командой Matrix (Матрицы)
меню автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
17
Insert
(Вста
в
ка)
, либо нажать комбинацию клавиш Ctrl
+
V
, либо щёл
к
нуть на кнопке с изображением шаблона матрицы. Любое из этих действи
й вызывает появление диалогового о
к-
на, в котором надо указать ра
з
мер матрицы, т.е. количество строк m
и столбцов n
. Для векторов один из этих параме
т-
ров должен быть равен единице. Однако рекомендуется зад
а-
вать в
ектор при 1
n
-
т.е. число столбцов равно единице. Это делает ра
боту с векторами более наглядной
и удоб
ной
. С помощью шаблона можно ввести
матрицу с максимальным размером
до 100
100
. Для ввода больших матриц использ
у-
ется
м
е
тод, позволяющий загрузить матрицу из файла. 2.4 Векторные и матричные операции
Для работы с векторами и матрицами система Mathcad
подде
р
живает ряд специальных операторов и функций. Ниже представлены основные векторные и матричные операции, реша
ю
щие
простейшие задачи линейной алгебры –
прежде всего выпо
л
нение арифметических операций над векторами и матрицами. При выполнении арифметических операций над вектор
а-
ми и матрицами необходимо помнить, что при выполнении этих операций, аналогия с обычными чис
лами не выполняе
т-
ся
. Так, к прим
е
ру, складывать и вычитать можно только те вектора и матрицы, к
о
торые имеют одинаковый размер. А операция деления матрицы на матрицу вообще не существ
у-
ет. Пусть дано два вектора и две матрицы –
2
1
:
V1
,
4
3
:
V2
,
4
1
3
1
:
M1
,
4
2
3
1
:
M2
;
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
18
• Операция сл
о
жения
: V2
V1
:
summa_V
,
6
4
summa_V
;
M2
M1
:
summa_M
,
8
3
6
2
summa_M
;
Необходимо помнить, что для присвоения знач
е-
ни
я к
а
кой
-
то переменной используется оператор
–
“:
=
”, а для выв
о
да значения какой
-
то переменной, в н
а-
шем случае это резул
ь
тат сложения двух векторов или матриц, использует
ся опер
а
тор
–
“=”. При этом имя п
е-
ременной, т.е. ма
т
рицы и вектора может быть различной
. О
д-
нако необх
о
димо помнить, что это имя следует вводить
л
а-
тинск
и
ми
буквами –
“
M
1”, “
M
a
triza
1”, “
Matr
_1”, “
Mat
-
1”, “
Matriza
_
Vasja
” и т.п.
• Операция вычитания
: V2
V1
:
raznost_V
,
2
-
2
-
raznost_V
;
M2
M1
:
raznost_M
,
0
1
0
0
raznost_M
;
• Умножение на число
: V1
:
zahl_V
,
4
2
zahl_V
;
M1
:
zahl_M
,
8
2
6
2
zahl_M
;
В данном случае число 2
. Если мы ходим разделить все элементы матрицы или ве
к
тора на како
е
-
то число, к автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
19
примеру «5», то нео
б-
ходимо просто взять число 5
1
, т.е. умн
о-
жить матрицу на число, обратное данному. Если мы х
о
дим поменять знак у всех элементов вектора или ма
т
рицы на противоположный, то необходимо просто у
м
ножить векто
р или ма
т
рицу на число 1
. При у
м
ножении вектора или матрицы на 0
, мы получим нулей ве
к
тор или нулевую матр
и
цу. • Умножение матриц
: M2
M1
:
mal_M
,
19
9
15
7
mal_M
;
Необходимо помнить, ч
то не все матрицы можно друг на друга перемножить. А также, что результат перемножения матриц зависит от того, в какой последовательности они п
е-
ремн
о
жаются друг на друга. Как известно
M1
M2
M2
M1
.
• Операция транспонирования
: T
V1
:
tr_V
,
2
1
tr_V
;
T
M1
:
tr_M
,
4
3
1
1
tr_M
;
• Обратная матрица
: -1
M1
:
zuruck_M1
,
1
1
3
4
zuruck_M1
;
• Вычисление определителя
: M1
:
opr_M1
,
1
opr_M1
;
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
20
Н
еобходимо помнить, что обратная матрица существует только для квадратной матрицы, определитель которой отл
и-
чен от нуля. Поэтому рекомендуется перед вычислением о
б-
ратной матр
и
цы, в
ычислить её определитель. В случае, если определитель квадратной матри
цы раве
н нулю, то при в
ы-
числении
обратной ма
т
рицы Mathcad
выдаст ошибку. • Выделение n
-
го элемента вектора
: 1
V1
:
a
,
2
a
;
• Выделение элемента матрицы
: 1,0
M1
:
m
,
1
m
;
• Выде
ление столбца матрицы
: 0
M1
:
Vm
,
1
1
Vm
.
2.5 Векторные и матричные функции
Mathcad
поддерживает ряд встроенных векторных и ма
т-
ричных функций, которые облегчают решение задач лине
й-
ной а
л
гебры и других сфер приложения
векторов и матриц. Приведём н
е
которые из них.
Пусть –
9
5
1
:
V1
, 3
6
:
V2
,
1
2
:
V3
, 7
2
6
9
5
8
4
3
1
:
M1
• Функция length
(
V
)
–
возвращает число элементов ве
к-
тора (только для вектора); для V1
-
получаем 3
length(V1)
; для V
2 –
получаем 2
length(V2)
; при этом необходимо помнить, что значение этой функции может быть присвоено любой переменной. Н
а-
пр
и
мер: length(V1)
:
z
, тогда получаем значение переме
нной автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
21
3
z
; данной свойство справедливо для всех функций в си
с-
теме Mathcad
;
• Функция last
(
V
)
-
возвращает номер последнего эл
е-
мента (только для вектора); для вектора V1
получаем -
2
last(V1)
; со
бственно г
о-
воря, эта функция выводит номер индекса последнего эл
е-
мента вект
о
ра; • Функция max
(
V
)
-
возвращает максимальный по зн
а-
чению элемент вектора или матрицы;
для вектора V1
получаем -
9
max(V1)
; для матрицы
M1
получаем -
9
max(M1)
;
• Функция min
(
V
)
-
возвращает минимальный по знач
е-
нию элемент вектора или матрицы;
для вектора V2
получаем -
3
min(V2)
; для матр
и-
цы M1
получаем -
1
min(M1)
;
• Функция identity
(
n
)
-
создаёт единичную матрицу п
о-
рядка n
;
например
,
для 2
n
получаем )
identity(2
:
E1
, что 1
0
0
1
E1
• Функция augment
(
M
1,
M
2)
-
объединяет в одну две матрицы M1
и M2
, имеющие одинаковое число строк (объ
е-
динение идёт по горизонтали); также данная функция может объединить и два вектора, порядок которых совпадает, в р
е-
зультате получится матр
и
ца с числом столбцов равно двум и числом строк, равное числу строк этих векторов; (при и
с-
пользовании этой функции необходимо по
м
нить, что число строк у объединяющих матрицах должно быть ра
в
но);
например -
V2)
,
augment(V1
:
Vaug
, получаем такой р
е-
зуль
тат -
1
3
2
6
Vaug
;
• Функция stack
(
M
1,
M
2)
–
объединяет «по вертикали» две матрицы M1
и M2
, имеющее одинаковое число столбцов;
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
22
• Функция submatrix
(
A
, ir
, jr
, ic
, jc
)
–
возвращает по
д-
матрицу, состоящ
ую изо всех элементов, содержащих в стр
о-
ках с ir
по jr
и столбцов с ic
по jc
, причём должно выпо
л-
няться усл
о
вие (
jr
ir
и jc
ic
);
П
ример
-
)
M1,0,1,0,1
submatrix(
:
R
, получаем, что 5
8
3
1
R
;
• Функция diag
(
V
)
-
создаёт диагональную матрицу, элементы главной диагонали которой равны элементам ве
к-
тора V
;
2.6 Функции, возвращающие специальные характерис
т
и
ки матриц
Следующие функции возвращают специальные характ
е-
ристики матриц:
• Функция cols
(
M
)
–
возвращает число столбцов матр
и-
цы M
;
Обратите внимание на термин «функция возвращает»
. Данный термин применяется для всех языков прогр
аммир
о-
вания. Как правило, программа обращается к функции с к
а-
ким
-
либо числом или набором чисел –
массивом. В ответ на обращение функция возвращает как
-
либо результат вычисл
е-
ния -
в нашем случае число.
• Функция rows
(
M
)
–
возвращает число строк матрицы M
;
• Функция rank
(
M
)
–
возвращает ранг матр
и
цы M
;
• Функция sort
(
V
)
–
сортировка элементов вектора в п
о-
рядке возрастания их знач
е
ния;
Для решения не
которых задач в курсе э
лектротехники и при выполнении курс
ового проекта н
е
обходимо будет для дост
а
точно больших векторов или матриц найти сумму или автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
23
произведение всех или некоторых элементов векторов или ма
т
риц. Пусть дан вектор V1
. Необходимо найти сумму и прои
з-
ведение всех его элементов.
При этом необход
и
мо помнить, что данный вектор может получат
ь
ся при решении какой
-
то задачи. К примеру, порядок этого вектора определяется к
а-
ким
-
то выражением и записывается в переменную n
. Т.е. n
есть число, со
ответствующее колич
е
ству элементов в этом векторе. (Когда какие
-
то параметры задачи задаются в нея
в-
ном виде –
т.е. через переменные, зн
а
чения которых будет определяться из условия конкретной задачи, то такая задача называется –
задача в общем виде). Т
а
ким образом
,
порядок вектора V1
может быть сколь угодно большой, и найти су
м-
му или пр
о
изведение его эле
ментов «в
ручную» будет очень сло
ж
но.
Для решения этой задачи в Mathcad
предусмотрена фун
к-
ция Суммирование
и Произведение
, которые наход
ятся на панели Матанализ
. При этом, как и в любой другой фун
к-
ции, значения этих функций может быть, а в подавляющем случае и должно, зап
и
сано в какую
-
то переменную. Пример
–
пусть дан вектор 3
2
:
V1
. Необходимо на
й-
ти сумму и произведение е
го элементов. В этом случае зап
и-
сываем: автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
24
1
-
n
0
i
i
V1
:
summa_V1
,
5
summa_V1
;
1
-
n
0
i
i
V1
:
ie_V1
proizveden
,
6
ie_V1
proizveden
;
Замечания
:
• Символ подчёркивания “_” также очень часто примен
я-
ется в названиях переменных. Его основная функц
ия –
это функция пробела. Напомним, что в идентификаторе, т.е. им
е-
ни переменной пробелов быть недол
ж
но. • Переменная n
содержит в себе количество элементов вектора. При этом и
н
дексация элементов вектора начинается не с «1», а с «0».
Поэтому в цикле для Суммы
и Произвед
е-
ния
необходимо з
а
дать переменную «
0
i
», но это только в том случае, если мы ходим начинать суммировать или умн
о-
жать с первого элемента, который имеет и
н
декс «0». • В
векторе V1
мы задаём индекс, по которому будет осуществляться доступ к данным вектора (или в общем сл
у-
чае ма
с
сива) V1
. Таким образом, суммирование или произведение элеме
н-
тов вектора происходит следующим образом. Оператор берёт первый элеме
нт с индексом «
0
i
», т.е. 0
V1
, равный какому
-
то числу, суммирует или умножает его со следующим эл
е-
ментом данного вектора 1
V1
, поле чего действие повторяет до автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
25
тех пор, пока оператор не прейдет к э
лементу «
1
-
n
». Резул
ь-
тат этого сложения или умножения записывается в переме
н-
ную, которая стоит перед этим операт
о
ром. При решении задач в общем виде, когда порядок ве
к
тора есть величина переменная, данный способ вычисления (у
м-
ножения или суммирование элементов матрицы или ве
к
тора) очень удобен. То
же самое относится и к матр
и
цам.
2.6 Вычисление определит
е
ля матрицы
Напомним, что каждой квадратной матрице порядка n
можно поставить в соответс
т-
вие число, называем
ое опред
е-
лителем (об
о
значается det(A)
или ). Система Mathcad
предо
с-
тавляет возможность вычи
с
лять определитель квадратной матрицы. На панели Матрицы
находиться кнопка Вычисл
е-
ние определителя
. Можно непосредственно вв
ести ма
т
рицу и найти значение опред
е
лителя, либо задать матрицу в пер
е-
менную и вычислить о
п
ределитель от п
е
ременной. 2.7 Элементарные преобр
а
зования матриц
Напомним, что к элементарным преобразованиям отн
о-
сятся преобразования следующих т
и
пов:
• замен
а местами двух параллельных рядов ма
т
рицы;
• умножение всех эл
е-
ментов ряда матрицы на число не равное нулю;
• прибавление (поэл
е-
ментно) к ряду матрицы другого параллельного ряда, умноженного на число.
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
26
На панели Матрицы
находиться кнопка Задать диапаз
он дискре
т
ной величины
, которая позволяет в автоматическом режиме прох
о
дить по элементам вектора или матрицы. Таким образом, данная команда организует сво
е
образный цикл с заданным шагом (по умо
л
чанию шаг равен “1”). Для задания Диапазона ди
с
кретной велич
ины
задаётся переменная, например j
, ставиться Оператор пр
и-
своения
-
:
j
, после чего вызывают оператор Задать диапазон ди
с
кретной в
е-
личины
–
куда в «черные квадратики» записыв
а
ется начало диапазона и его к
о-
нец. Так
им образом, орган
и-
з
у
ется цикл по заданному пр
о
межутку. Для того, чтобы осущ
е-
ствлять элементарные пр
е-
обр
а
зования над матрицами нео
б
ходимо задать диапазон для дискре
т
ной величины –
как правило это количество строк или количество стол
б-
цов и при помощи операт
о-
ра присвоения осуществить необходимые преобразов
а
ния над эл
е
ментами строк или столбцов –
вычитая, складывая или умножая на число поэлемен
т
но. 2.8 Задание векторов в системе Mathcad
Из курса векторной алгебры известно, что вектор –
это направленный пря
молинейный отрезок, т.е. отрезок
,
име
ю-
щий определенную длину и определенное направление. Т
а-
ким образом, чтобы задать вектор на одномерной системе к
о-
ординат –
на прямой, двумерной системе координат –
на плоскости или трёхмерной системе координат –
в простра
н-
стве, необходимо знать его проекции. Проекции вектора в автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
27
общем случае можно получить, зная координаты точки нач
а-
ла и конца вектора. Как правило, координаты точки з
а
даются радиус
-
вектором
z
y
x
r
;
;
или k
z
j
y
i
x
r
, где i
, j
и k
единичные векторы (орты), выделенные на коорд
и
натных осях Ox
, Oy
и Oz
соответственно. В теории линейной алгебры есть так называем
ая основная фо
р
мула векторного исчисления
, которая имеет вид k
a
j
a
i
a
a
z
y
x
и представляет собой разложение ве
к-
тора по ортам координатных осей. Числа x
a
, y
a
, z
a
назыв
а-
ются координатами
вектора
a
, т.е. координаты вектора -
прое
к
ция на соответствующие координатные оси. Именно координаты вектора характеризуют его ориентацию в пр
о-
странстве (на плоскости, на прямой) и определяют его длину. Координаты вектора также мож
но найти, зная координ
а-
ты т
о
чек конца и начала вектора. Пусть даны координаты двух точек 1
1
1
;
;
z
y
x
A
и 2
2
2
;
;
z
y
x
B
. Тогда координаты вект
о-
ра AB
им
е
ют вид k
z
z
j
y
y
i
x
x
AB
1
2
1
2
1
2
.
В Mathcad
векторы являются частн
ым случаем матриц, и поэтому для них справедливы те же операции, что и для ма
т-
риц. Вместе с тем для векторов в линейной алгебре пред
у-
смотрен целый ряд специальных о
пераций, и все они реал
и-
зованы в
системе Mathcad
.
Пусть вектор AB
зада
н своими координат
а
ми
k
j
i
AB
3
2
1
. Для того, чтобы задать данный ве
к
тор в системе Mathcad
и чтобы для него были доступны все оп
е-
р
а
ции векторной алгебры, необходимо создать матрицу, с
о-
стоящую из о
д
ного столбца и трёх строк (для трёхмерной систем
ы координат; для дв
у
мерной системы координат, т.е. если вектор задан на плоскости, необходимо со
з
дать матрицу, состоящую из одн
о
го столбца и двух строк; если вектор задан на прямой –
т.е. в одномерной системе координат, то необх
о-
димо создать матрицу, состо
я
щую из одного столбца и одной строки; в о
б
щем случае для, к примеру, двумерной системы координат можно задать матр
и
цу, состоящую из одного автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
28
столбца и трёх строк, но при этом проекция вектора на ось z
будет н
у
левой). Важно
!!!
Необходи
мо помнить, что все векторы в сист
е-
ме Mathcad
задаются именно матрицей столбцом. Если вектор будет задан матрицей строкой, то после задания матрицы н
е-
обходимо поставить операцию транспонирования –
в проти
в-
ном случае Mat
h
cad
не сможет работать с этой матриц
ей как с вектором. В теории линейной алгебры широко применяются вектора n
-
мерного пространства. В этом случае размер матрицы столбца –
т.е. количество строк в матрице зависит от того, в каком n
-
мерном пространстве задаётся вектор. В этом случае быв
ает удобно записать вектор как транспонированную ма
т-
рицу строку. 2.9 Линейные операции над вект
о
рами
Под линейными оп
е-
рациями над векторами понимают операции сл
о-
жения и вычитания ве
к-
торов, а также умнож
е
ние вектора на число. В этом случае линейные оп
ер
а-
ции над векторами ни чем не отличаются от лине
й-
ных операций над матр
и
цами. Однако должно выпо
л-
няться условие –
вектора, над которыми выполняется слож
е-
ние или вычитание
должны быть одинакового ра
з
мера.
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
29
2.10 Длина вектора
Как известно вектор ха
рактеризуется не только направл
е-
нием, но и длиной. Пусть дан вектор k
a
j
a
i
a
a
z
y
x
. Тогда соответственно x
a
, y
a
, z
a
-
его координаты и длина его находит
ся по фо
р
муле
: 2
2
2
z
y
x
a
a
a
a
. Для того, чтобы найти длину вектора, заданного матр
и-
цей, в Mathcad
необходимо воспользоваться командой М
о-
дуль
с панели Арифметика или командой Вычисление о
п-
ределителя
с панели Матрицы
. Однако чтобы не путаться –
лучше пользоваться кома
н
дой модуля.
В этом случае система выдаст модуль вектора –
т.е. его длину. 2.11 Скалярное и векторное произв
е
дение
Скалярным произведением двух ненулевых векторов a
и b
называется число
, равное прои
з-
ведению длин этих в
ект
о
ров на косинус угла между ними. Р
е-
зультатом векторного произвед
е-
ния
,
явля
ется
вектор, а точнее его коо
р
динаты. В данном случае Mathcad
выдаёт координаты ве
к-
тора, записа
н
ные матрицей. В данном случае последовател
ь-
ность коорд
и
нат зависит от того, в какой
последовател
ь
ности они были введены в самих вект
о
рах
(т.е.
,
если первая строка отвечает за орт
i
, то и в векторном прои
з
ве
дении
первая строка в пол
у
чившейся матрице тоже будет отвечать за это
т
орт). Необх
о
д
и
мо помнить, что во всех ве
кторах, между к
о-
торыми будут в дальнейшем производиться действия должны иметь одинак
о
вую последовательность коорд
и
нат в матрице автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
30
–
т.е. первой строке относиться координата орт i
, ко второй строке отн
о
ситься координата орт j
, к третьей строке отн
о-
ситься орт k
. Необходимые операторы Скалярное произв
е-
дение
и Ве
к
торное произведение
находятся на панели Ма
т-
рицы
.
2.12 Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением трех векторов
называетс
я число c
b
a
. Здесь второй и третий вектор перемножаться векторно, а результат умножается на первый скалярно. Такое произведение н
а
зывается ещё векторно
-
скалярным. Оно представляет собой некот
о
рое число. III
. Решение систем линейных алгебраических уравн
е
ний
3.1 Общие понятия
Линейная алгебра относится к числу наиболее известных и х
о
рошо отработанных разделов математики. Векторные и матри
ч
ные операторы и функции
Mathcad
позволяют решать ш
и
рокий круг задач линейной алгебры. К числу н
аиболее важных относится р
е
шение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Рассмот
рим СЛАУ
, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Система, зап
и
санная в общем виде:
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
31
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
...
....
..........
..........
..........
..........
...
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
Данную систему можно записать в матричной форм
е:
B
X
A
,
где nn
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
2
1
n
2
22
21
1
12
11
, n
x
x
x
X
...
2
1
, m
b
b
b
B
...
2
1
.
В данном случае необходимо найти вектор столбец X
, который содержит в себе искомые элементы данной системы уравн
ений. Исходя из основ линейной алгебры и аналитич
е-
ской геометрии, матрица столбец может быть найдена сл
е-
дующим образом –
B
A
X
1
где матрица 1
A
-
матрица, обратная
к матрице
A
.
Для того чтобы р
ешить СЛАУ в Mathcad
, необходимо для заданной системы в рабочем поле Mathcad
записать две ма
т-
рицы –
матрицу коэффициентов A
и матрицу свобод
ных
чл
е-
нов B
, которая является матрицей столбцом. После чего з
а-
писать в
ыражение вида B
A
:
X
-1
и вывести значения матр
и-
цы столбца X
. Система выдаст матрицу столбец, которая б
у-
дет содержать р
е
шения СЛАУ. Однако необходимо п
омнить, что если определитель
матрицы к
о
эффициентов равен нулю, то та
кая СЛАУ называется вырожденной
и не имеет единс
т-
венного решения
. В этом случае Mathcad
сообщит об ошибке. Это связано с тем, что в процессе решения СЛАУ нео
б
ходимо находить матрицу, обратную к матрице коэ
ф
фициентов A
, а автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
32
она существуе
т только в том случае, если определитель этой матрицы о
т
личен от нуля. Пример
–
необходимо решить СЛАУ -
3
x
5
x
3
x
2
x
4
x
1
x
3
x
2
x
3
2
1
3
1
3
2
1
.
Матрица коэффициентов и матрица свободных членов в Mathcad
будет записана так –
5
3
1
4
0
1
3
2
-
1
:
A
,
3
2
1
:
B
.
После чего для искомого вектора неизвестных записыв
а-
ем т
а
кое выражение –
B
A
:
X
-1
.
После чего для получения ответа, необходимо просто в
ы-
вести значение вектора X
. Получаем –
1
0
2
-
X
.
Для решения этой же системы можно воспользоваться функцией lsolve
(
A
,
B
)
–
которая также выдаёт матрицу сто
л-
бец, с
о
стоящую из найденных решений (в
скобках данной функции зад
а
ются имена матриц через запятую)
.
Для данной функции A
-
это матрица к
о
эффициентов для СЛАУ, а B
-
матрица свободных
коэффицие
н
тов. Результатом также будет найденный, как и в предыдущем сл
у
чае, вектор X
. автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
33
Для проверки правильности найденного решения мы м
о-
жет просто перемножить матрицу коэффициентов СЛАУ на найденную матрицу
-
столбец неизвестных –
X
A
:
N
,
получаем -
3
2
1
N
.
Замечание
:
Если вдруг окажется, что какой
-
то элемент в матрице к
о-
эффициентов СЛА
У или матрице
-
столбце
был введён
неве
р-
но, но нет необходимости заново вводить матрицу коэффиц
и-
ентов или матр
и
цу
-
столбец свободных членов. Для этого просто необходимо уже в готовой матрице исправить необх
о-
димое число и машина автомат
и
чески пересчитает уравнение.
Иногда приходи
ться иметь дело с системами, в которых число уравнений меньше, чем число неизвестных. Пример такой системы:
2
x
7
x
x
4
x
9
4
x
2
x
2
x
5
x
3
6
x
x
3
x
7
x
2
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
В курсе линейной алгебры и аналитической геометрии т
а-
кие системы решаются по методу Гаусса. Этот метод закл
ю-
чается в том, что мы вначале записываем расширенную ма
т-
рицу, после чего приводим её к ступенчатой форме послед
о-
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
34
вательностью элементарный преобразований, затем от матр
и-
цы ступенчатой формы обратно переходим к системе уравн
е-
ний. При этом мы всегда получаем, что некоторые переме
н-
ные могут принимать любые значения, определяя все реш
е-
ния системы, и поэтому система имеет бесконечно много р
е-
шений. В Mathcad
данные системы можно решать при помощи операторов Given
и Find
. Причём оператор Given
опред
е
ляет начало решения системы,
а опер
а-
тор Find
выводит решения этой си
с-
темы.
Для решения этой системы при помощи операт
о-
ров Given
и Find
необходимо н
а-
брать с клавиат
у-
ры ключевое сл
о-
во «
Given
», при этом необходимо после п
о
следней буквы оператора «
Given
» не наж
и
мать пробел, в противном случае Mathcad
воспр
и
мет этот оператор как обычную стр
о
ку. Далее опустить
курсор на две
-
три позиции вниз и набрать соотве
т
ствующее уравн
е
ние, как оно зап
и
сано в самой си
с
теме. При записи этого уравн
е-
ния не забывать ст
а
вить знак У
м-
н
о
жение
, кот
о
рый находится
на пан
е-
ли Арифм
е
тика
. После ввода левой части ура
в
нения необходимо пост
а-
вить вместо трад
и-
ционного Знак р
а-
венства
на панели Арифмет
и
ка
, знак Булево равенство
, который располаг
а
ется на панели Б
у
лево.
В правой части ввести оставшийся свободный член уравн
е-
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
35
ния
, в нашем сл
у
чае это «6». Таким же образом ввести все остальные уравнения системы. При этом жел
а
тельно вводить их в столбик, один под др
у
гим. После того, как все необходимые уравнения будут введ
е-
ны, отступаем несколько строк в низ и записываем с клави
а-
тур
ы оператор «
Find
», где в скобочках
, через запятую указ
ы-
ваем переменные, значения которых нам необходимо выве
с-
ти. После того, как все переменные будут введены, необх
о-
димо закрыть скобку и вместо традиционного Знак равенс
т-
ва
на панели Арифметика
ввести Симво
лический знак р
а-
венства
, который располагается на панели Вычисл
е
ния
и имеет форму стрелки. По
сле ввода этого знака
Mathcad
в
ы-
да
ст ответ, который будет
решением данной системы. В о
б-
щем случае данная запись будет похожа на пример, прив
е-
дённый на рисунке спра
ва. Если при решении данной задачи предполагается, что к
а-
кие
-
то коэффициенты в данной системе будет меняться, то в самой сист
е
ме их необходимо вести как переменные, которые будет принимать какие
-
то значения, введённые вверху. Для системы, состоящей из дву
х уравнений с тремя неизвестн
ы-
ми, данная запись может пр
и
нять такой вид, как показано на рисунке слева. Меняя коэффицие
н
ты d
c,
b,
a,
, Mathcad
будет автоматически пересчитывать значения искомых переме
н-
ных. IV
. Работа с комплексными чи
с
лами
4.1 Общие положения
Комплексным числом z
называется число вида iy
x
z
, где x
и y
-
действительные числа, а 1
-
:
i
-
мнимая един
и
ца. Число x
наз
ы-
вается действительной частью комплек
с-
ного числа z
, а y
-
мнимой частью
.
Для того
,
чтобы начать работать с ко
м-
плексными числами в
Mathcad
необход
и-
мо в самом начале вычислений задать мнимую
единицу. Ка
к автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
36
правило, в системе Mathcad
она обозначае
т
ся «
i
» или
«
j
» , пользователь сам может выбрать обознач
е
ние для нее.
С
амо комплексное чи
сло, состоящее из двух слагаемых
, задаётся действительной частью и комплекс
ной частью, к
о-
торая умнож
а
ется на мнимую единицу. Другими словами
,
порядок
сла
гаемых
не важен, действ
и-
тел
ь
ная и мнимая
часть определяется не их местом в чи
с-
ле, а умножением их на
мн
и
мую
единицу, которая и показыв
а-
ет, что данное сл
а-
гаемое мнимое
, а отсутст
в
ие мнимой единицы
ук
а
зывает на то, что это дейс
т-
вител
ь
ная часть. Для упрощения работы с комплек
с-
ными числами в Mathcad
о
п
ределены автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
37
некот
о
рые функции:
• arg
(
z
) –
вычисление аргумента комплек
с
ного числа iy
x
z
;
• Im
(
z
) –
выдел
е
ние мнимо
й части iy
x
z
;
• Re
(
z
) –
выделение действительной части комплексн
о-
го числа iy
x
z
.
При изображении комплексного числа на комплексной плоскости полезно провести аналогию с векторами на пло
с-
кости. Как известно, для задани
я вектора на плоскости нео
б-
ходимо знать проекции этого вектора на оси, которые опр
е-
деляют эту плоскость. Комплексное число состоит из двух частей –
мнимой части и действительной части, которые о
д-
новременно являются проекцией вектора (комплексного чи
с-
ла) на
оси комплексной пло
с
кости.
Для того, чтобы изобразить комплексное число на ко
м-
плексной плоскости в Mathcad
’
e
удобно пользоваться ма
т-
ричным отображением графиков. Для этого вводим ко
м
плексное чи
с-
ло, после чего при помощи функций выделения мнимой и действи
тел
ь-
ной части комплексного числа вв
о-
дим матрицы проекций на коорд
и-
натные оси в последовательн
о
сти отображения комплексных ч
и
сел. После этого на графике появятся отрезки, которые и будут графич
е-
ским отображен
и
ем комплексного числа. Необходимо отм
е-
тить, что все вект
о
ра комплексной плоск
ости являются рад
и-
ус
-
векторами,
т.е. к
о
ордината начала вектора совпадает с н
а-
чалом системы к
о
ординат.
Как у любого вектора –
у комплексного числа помимо а
р-
гумента (т.е. ориентацией вектора в пространстве или друг
и-
ми словами угл
ом) есть ещё и модуль –
его длина. В Mathcad
модуль комплек
с
ного сила вычисляется также как и модуль вектора при помощи опер
а
ции Модуль числа
на панели Арифметика
.
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
38
4.2 Сложение, вычитание, умнож
е
ние и деление комплексных ч
и
сел
Суммой двух комплексных чисел 1
1
1
iy
x
z
и 2
2
2
iy
x
z
называется число 2
1
2
1
2
1
3
y
y
i
x
x
z
z
z
. Другими сл
о-
вами, чтобы получить сумму двух комплексных чисел нео
б-
ходимо сложить их действител
ь-
ны
е
и мнимые ч
асти. Тоже самое и при вычитании
одного ко
м-
плекс
но
го числа из друг
о
го:
2
1
2
1
2
1
3
y
y
i
x
x
z
z
z
.
При перемножении
ко
м-
плексных чисел необходимо пользоваться правилом раскр
ы-
тия скобок
,
при этом надо по
м
нить, что 1
-
:
2
i
. Арифметические операции над комплексными числами в среде Mathcad
осущес
твляются точно так
же
,
как и с обы
ч-
ными числами и в
ы
ражениями. 4.3 Тригонометрическая и показательная форма записи комплек
с
ного числа
Помимо алгебраической («
iy
x
z
» -
эта форма записи комплексного числа называется алгебраической
фор
мой зап
и-
си комплексного числа) существует ещё тригонометрическая
и показательная
форма записи комплексного чи
с
ла. Используя выражения для модуля и аргуме
н
та:
,
cos
z
х
,
sin
z
у
можно записать
)
sin
(cos
i
z
z
.
Такая за
пись называется
тригонометрической фо
р-
мой
комплексн
о
го числа.
Показательные
и триг
о-
нометрические функции в области комплексных чисел автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
39
связаны между собой фо
р
мулой:
sin
cos
i
е
i
,
которая называется формулой Эйл
е
ра
.
Пусть комплексное число z
в тр
игонометрической форме им
е
ет вид )
sin
(cos
i
z
z
.
На основании формулы Э
й-
лера выражение в скобках мо
ж-
но заме
нить показательным
в
ы-
ражение
м
. В результате пол
у-
чим
i
e
z
z
.
Эта запись называется п
о-
казательной формой
комплек
с-
ного числа, z
модуль числа; φ
–
а
р
гумент числа.
V
. Вычисление пределов функций
Общие положения
Пределом функции f(x)
называют то её значение b
, к к
о-
торому функция неограниченно приближается в точке a
x
(предел в то
ч
ке) или слева или справа от неё.
• предел в точке «
a
» -
b
f(x)
lim
a
x
;
• предел слева от точки «
a
» -
b
f(x)
lim
a
x
;
• предел справа от точки «
a
» -
b
f(x)
lim
a
x
.
При этом подразумевается, что сама функция f(x)
опр
е-
делена на некотором промежутке, включающем точку a
x
, и во всех точках, близких к ней слева и справа. В последнем случае пр
е
дел вычисляется для k
-
a
x
или k
a
x
, при k
, стремящимся к нулю. Пределом может быть число, матем
а-
тическое выражение и положительная или отрицательная бесконе
ч
ность. автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
40
Как правило, предел необх
о-
димо вычислять в точках, где фун
к
ция существовать не может, однако необходимо знать повед
е-
ние этой функции вблизи этой точки. При этом нео
б
ходимо по
м-
нить, что, как правило, пр
е
делы вблизи точки, в которой функция не существует, справа и слева -
разли
ч
ны. Примеров может служить функция x
1
f(x)
. В данном сл
у
чае на область определения функции накладывается условие -
0
x
. В точке 0
x
фун
к-
ция не существ
у
ет. Из этого следует, что числе
н
ное значение фун
к
ции x
1
f(x)
в точке 0
x
мы найти не можем. В этом случае вычислять предел в точке будет не с
о
всем правильно, т.к. значение функции будет зав
и
сеть от того, с какой стор
о-
ны от этой точке мы будем устремляться к ней. При -
0
x
мы получ
а
ем -
-
x
1
lim
0
x
, в тоже время при 0
x
x
1
lim
0
x
. Таким о
б
разом, точка 0
x
есть точка ра
з
рыва для фун
к
ции x
1
f(x)
. автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
41
Аналогичный пример можно привести с другой функц
и-
ей. Пусть 3
1
e
f(x)
x
. В данном случае, если мы будем вычи
с-
лять пр
е
дел в точке 0
x
, в которой функция существует, то при вычислении предела «в точке», «слева от точки» и «спр
а-
ва от точки» мы получим о
дин и тот же результат. Однако, при вычисле
нии
предела в точке, в которой функция не сущ
е-
ствует, в данном случае 3
x
, будет иметь значение –
вычи
с-
ляем мы предел «слева от точки» или «справа от то
ч
ки».
Основное назначение вычисление пред
елов сводится к прим
е
нению их к исследованию поведения функции в точке, в которой она не существует, либо поведение фун
к
ции на бесконечности. Также вычисление пределов находит широкое применение в исследова
нии
функции, которая задана разли
ч-
ными аналитическ
им выражениями в различных о
б
ластях.
Необходимо помнить, что не все функции имеют пред
е-
лы. Примером таких функций служат пери
о-
дические фун
к-
ции, такие как sin(x)
f(x)
или cos(x)
f(x)
. Предел этих функций на бе
с-
конечности не существу
ет в силу их пери
о
дичности.
Для вычисления пределов функций в Mathcad
введена д
и-
рект
и
ва (оператор) limit
. Помимо ввода с наборной панели Calculus
(Вычисления)
, её можно ввести в трех различных формах нажатием следующих комбинаций кл
а
виш.
• Ctrl
+ L
–
ввод шаблона директивы вычисления пр
е-
дела функции при x
, стремящемся к заданному значению;
• Ctrl
+ A
–
ввод шаблона директивы вычисления пр
е-
дела функции слева от заданной точки;
• Ctrl
+ B
–
ввод шаблона директивы вы
числения пр
е-
дела функции справа от заданной точки;
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
42
Для получения результата установите после блока вычи
с-
ления предела оператор си
м
вольного вывода (
). Предел (если он существует) будет вычислен, и результат появи
т
ся в шаблоне около о
стрия стрелки. Если функция не имеет пр
е-
дела, то выводится сообщение об ошибке (вычисляемое в
ы-
ражение окрашивается кра
с
ным цветом).
VI
. Построение графиков функций
6.1 Определение математического графика
Mathcad
предоставляет широкие возможности для п
о-
строения графиков функций как на плоскости так и простра
н-
стве. Математ
и
ческими графиками мы будем называть те графики, которые строятся на основе тех или иных явно з
а-
данных математических зависимостей. М
атематические гр
а-
фики в Mathcad
являются такими же о
бъектами, как и ко
н-
станты, переменные, текстовые блоки, форм
у
лы и т.п.
В системе Mathcad
предусмотрено построение двумерн
о-
го графика или графика в декартовой системе координат (л
и-
ния на пло
с
кости), полярного графика, графика поверхности (построение п
о
верхн
ости в трехмерной системе координат), контурного графика, точечного графика, трехмерной ди
а-
граммы, а также построения векторного поля. В данном ра
з-
деле будет рассмотрено построение двумерного графика и работы с ним. 6.2 Работы с двумерным графиком
Граф
ики в
Mathcad
могут иметь различные размеры и п
е-
ремещаться в окне редактирования документа. Для в
ы
вода шаблона двумерного (декартового) графика на панели Гр
а-
фики
есть команда Декартов график
, которая выводит на окно редактирования шаблон для п
о
строения дву
мерного графика. Это обычный график на плоскости с воображаем
ы-
ми (или действительно нарисованными) осями X
(горизо
н-
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
43
тальная) и Y
(верт
и-
кальная), расположе
н-
ными под прямым углом друг к др
у
гу. Каждая точка граф
и
к
а в дека
р-
товой системе координат характ
е-
ризуется своими координатами x
и )
(
x
f
y
, где x
-
аб
с
цисса точки, а y
-
её ордината. Точки соедин
я
ются друг с другом разнообразн
ы
ми ли
ниями (сплошной, пункти
р
ной и т.д.). Могут быть показаны исхо
д-
ные (узловые) точки графика в виде жирных точек, квадрат
и-
ков, кружков и т.д. Во
з-
можно также постро
е-
ние на одном р
и
сунке гр
а
фиков нескольких фун
к
ций. Незаполненный шаблон графика пре
д-
ставляет с
обой большой пустой прямоугольник с шабло
н
ными местами ввода да
н
ных в виде темных маленьких пр
я-
моугольников, расп
о
ложенных около осей абсцисс и ординат б
у
дущего графика. В них необходимо ввести в
ы
ражения, з
а-
дающие к
о
ординаты точек графика по осям X
и Y
. В о
б
щем случае это могут быть функции некот
о
рой переме
н
ной x
. В общем случае функция может иметь любое имя, кот
о-
рое удовлетворяет пра
вилам
задания идентификатора. Пол
ь-
зователю необходимо ввес
ти это имя, после чего в откр
ы-
вающихся скобках указать то имя переменной, к
о
торая будет фигурировать как переменная в этом графике функции. Это п
е
ременная также должна иметь имя. После закрывающейся автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
44
скобки необходимо указать оператор присваивания («двоет
о-
ч
ие» со знаком «ра
в-
но»), т.е. « :
». После этого оператора задаё
т-
ся сама функция, гр
а-
фик которой необх
о-
димо постр
о
ить. Для того, чтобы п
о-
строить график фун
к-
ции, которая была з
а-
дана ранее в окне, н
е-
обходимо при помощи команды в
ы
вести ша
б-
лон для построения графика функции на окно р
е
дактирование документа и вп
и-
сать в левый черный квадр
а
тик имя функции с п
е
ременной, график к
о
торой необходимо п
о
строить, а в нижнем че
р
ном квадратике вписать переменную, которая фигурирует в з
а-
данной функции,
график которой н
е
о
б
ходимо построить. П
о-
сле этих действий в окне появиться график необходимой фун
к
ции.
Если строятся графики нескольких функций в о
д
ном шаблоне, то фун
к-
ции следует разд
е-
лять запятыми. Для выд
е
ления данных в шаблоне удобно и
с-
пользовать клав
иши пер
е
мещения ку
р-
сора. Можно также выделить данные в шабл
о
не с помощью мыши. Рядом с ка
ж
дой функцией об
о
значена л
и
ния опр
е
д
е-
ленного типа (сплошная, пун
к
тирная, штрих пун
к
тирная и т.д.) и цв
е
та, к
оторый
соответствует графику той функции, изображенного на пло
с
кости.
Если график уже построен, то при его выделении появл
я-
ются крайние места ввода с автоматически введенными чи
с-
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
45
лами, которые служат для указания предельных знач
е
ний абсцисс и ординат, т.е. задают масштаб графика. В принципе можно не запо
л
нять эти м
еста ввода самостоятельно, но тогда масштаб, скорее всего, окажется не вполне удобным, напр
и-
мер
,
будет представлен не округлёнными десятичными чи
с-
лами, обеспечивающими максимальный размер гр
а
фика. Тем не менее, рекомендуется всегда вначале использовать авт
ом
а-
тическое масштабиро
вание, а
затем выбирать более подход
я-
щий ма
с
штаб. Существует ещё один способ п
о-
строения графика в си
с
теме Mathcad
на плоскости (в дека
р-
товой системе коо
р-
динат). В приве
де
н-
ном
выше способе необходимо задать функцию в окне р
е-
дактирова
ния док
у-
мента, после чего имя и переме
н
ную этой функции вв
е
сти в шаблон для п
о-
строения графика. Этот способ испол
ь
зуется в большинс
т
ве случаев. Однако бывают случаи, к
о
гда необходимо знать пр
о-
сто хара
к
тер функции (грубо говоря, выяснить
,
как она пр
и-
близ
и
те
льно выглядит и
ли
просто вспо
м
нить эл
е
ментарную функцию типа )
sin(
x
или )
cos(
x
). В этом случае можно вв
е-
сти этой фун
к
цию уже непосредственно в шаблон для п
о-
строения функций. При этом имя переменных могут быть разными (в п
ервом случае это может быть зависимость пр
о-
сто от какой
-
то переменной x
, а во втором случае зависимость уже от времени t
). В этом сл
у
чае необходимо через запятую указать имя этих переменных на горизо
н
тальной оси
. 6.3 Особенности построения графиков функции одной пер
е
менной
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
46
Для наиболее распространенных графиков в декартовой системе координат Mathcad
предусматривает два способа п
о-
строения графиков функции одной пер
е
менной f(x)
:
• упроще
нный способ без задания ранжированной п
е-
ременной x
(пределы в этом случае изменения автоматич
е-
ски задаются в пр
е
деле от -
10 до 10);
• обычный способ с заданием ранжированной пер
е-
менной x
.
Напомним, что для упр
ощенного построения двумерного графика некоторой функции f(x)
надо ввести выражение для пр
а
вой части этой функции, отметить его курсором ввода (синим уголком) и затем вывести шаблон двумерного граф
и-
ка, либо непосредстве
н
ным образом ввест
и эту функцию в сам шаблон. Останется ввести x
в место ввода горизонтал
ь-
ной оси и, отведя указ
а-
тель мыши в стор
о
ну и щёлкнув левой кнопкой, получить готовый гр
а-
фик. Опять же напо
м-
ним, что таким же обр
а-
зом можно строить на одном рисунк
е и граф
и-
ки нескольких функций –
вводя их непосредс
т-
венно через запятую в шаблон для построения функций. Графики б
у-
дут построены линиями различного типа и цв
е
та. При обычном способе построения графиков необходимо ввести саму функцию и интервал изменения е
ё аргумента (н
а-
пример, x
). Начинающие пользователи обычно задают ра
н-
жированную переменную x
целочисленной, например -15..15
:
x
. При этом они забывают, что в данном сл
у
чае график задаётся небол
ь
шим чи
слом точных цел
о
численных зн
а
чений x
: -
15, -
14, -
13, …, -
1, 0, 1, …, 14, 15. В некоторых случаях это ведёт к грубому искажению формы граф
и
ка.
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
47
Простейшим способом избавиться от указанных н
е-
до
с
татков графиков является их построение при
более мелком шаге изменения x
. Если к пр
и
меру задать x
как ..15
-15,-14,95
:
x
, шаг и
з-
менения x
будет равен уже не 1, а 0.05. Указание в числе -
14.95 разделительной точки означает перех
од от цел
о-
численного представления x
к представл
е
нию в виде принципиально приближе
н
ных вещ
е-
ственных ч
и
сел с плавающей точкой. Изменив тем самым шаг построения графика, заметно измен
я
ется его вид.
6.4 Графики с параметрическим зад
а
ни
ем функции
В
Mathcad
допускается строить двумерные графики с п
а-
раме
т
рическим заданием функций по осям координат.
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
48
При этом на местах ввода, как на вертикальной, так и на горизонтальной оси, могут стоять производные функции о
д-
ной переме
н
ной. Все график
и строятся после задания независимой пер
е-
менной x
как ранжированной. Однако можно переме
н
ную не задавать, в этом случае диапазон её изменения автом
а
тически устанавливается в инте
р
вале от -
10 до 10.
6.5 Приёмы формат
и
рования двумерн
ых графиков
Чтобы построить график в автоматическом режиме в
ы-
числ
е
ний, достаточно вывести указатель мыши за пределы графического объекта и щелкнуть левой кнопкой. При п
о-
строении во время вычислений ординат функции область п
о-
крывается зелёной штриховкой, з
атем график функции поя
в-
ляется внутри шабл
о
на. Если что
-
либо в построенном графике не вполне удовл
е-
творяет пользователя, можно применить команды изменения формата гр
а
фика. Эти команды позволяют изменять заданные по умолчанию параметры графиков. Заметим, ч
то окно зад
а-
ния форматов графиков появляется
,
если дважды щел
к
нуть мышью на графике либо щёлкнуть один раз, если график в
ы-
делен. На открывшемся окне имеются четыре вкладки: Оси X
-
Y
, След, Метки и Умо
л-
чание.
На
и
больший интерес с точки зрения редактировани
я гр
а-
фика пре
д
ставляют вкладки Оси X
-
Y
и
След
. На вкладке Оси X
-
Y
при установке фла
ж
ков для осей X
и Y
на шаблоне графика функции появляется сетка, размер которой зависит от вв
е-
дённого числа в поле Размер сетки
, которое становиться до
с-
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
49
тупным после того, как будет снят флажок с Авто сетка
. При желании также можно изм
е
нить и цвет сетки, воспользова
в-
шись кнопкой Цвет
. На вкладке Оси X
-
Y
есть поле Стиль Оси
, которое п
о
зволяет редактировать расп
о-
ложение и обознач
е
ние
, а также масштаб осей X
и Y
. Так при уст
а-
новке кнопки Перес
е-
ч
е
ния
на графике в я
в-
ном виде появятся
,
с
о-
ответственно
,
оси д
е-
картовой системы к
о-
ординат в соответс
т-
вующем масштабе при этом масштаб по пер
и
метру исче
з
нет. На вкладке След
окна редактирования параметров граф
и-
ка можно редактировать уже непосредственно стиль отобр
а-
жения самого графика –
а именно такие свойства как Тип линии
, Цвет линии
, Толщина л
и
нии
и т.д. Графики можно перемещать по полю окна докум
ен
та и
изменять в размерах. Для этого надо выделить график, щел
к-
нув на нём мышью. Можно поступить по иному –
поместить указатель мыши вблизи графика и, нажав левую кнопку м
ы-
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
50
ши, перемещать указатель в направлении графика, захватывая его рамкой в
ы
деления в в
иде прямоугольника из черных пунктирных л
и
ний. Как только график окажется внутри пунктирного прям
о
угольника, надо отпустить кнопку мыши. График будет в
ы
делен.
Стоит поместить указатель мыши вблизи границы выд
е-
ления, форма указателя изменит
ся –
вместо мален
ького кра
с-
ного крестика он прио
б
ретёт вид ладони руки. Если теперь начать п
е
ремещать мышь при нажатой левой кнопке, то весь шаблон графику будет перемещаться. Установите его в ну
ж-
ное место и отпустите левую кнопку мыши. Рисунок окаже
т-
ся на новом месте. Дл
я изменения размеров рисунка нужно подвести указ
а-
тель мыши к маркерам изменения размера. Эти маркеры имеют вид м
а
леньких черных прямоугольников. Указатель при этом приобретает форму двухсторонней стрелки, указ
ы-
вающей, в каких направлениях можно изменять ра
змер р
и-
сунка. Нажав левую кнопку мыши и захватив соответству
ю-
щую сторону или угол шаблона рисунка, мо
ж
но, не отпуская кнопку, растягивать или сжимать шаблон. После того как кнопка будет отпущена, размер рисунка измениться. Сж
и
мать и растягивать графики мож
но в вертикальном, горизонтал
ь-
ном и диагонал
ь
ном направлении. Если при выделенном рисунке нажать клавишу F
3, рис
у-
нок будет перенесен в буфер обмена. Переместив ку
р
сор в новое место и нажав клавишу F
4, можно вставить рисунок на новое место. Кроме того, ряд
команд форматирования граф
и-
ков имеется в контекс
т
ном меню. Оно появляется при щелчке на графике правой кнопкой м
ы
ши. Также полезно отметить, что, помимо команд для опер
а-
ций с буфером обмена, в контекстном меню имеются кома
н-
ды трассиро
в
ки графиков Trace
(
Трассировка)
, изменения масштаба выделенной част графика Zoom
(Масштаб)
и в
ы-
вода графиков или текстовых надписей поверх изображ
е
ния. Всё это и много
е
др
у
гое позволяет создавать сложные графики с поясняющими надписями, к
о
торые не
возможно задать с
ис
пользов
анием
обычных команд форматир
о
вания. автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
51
6.6 Полулогарифмические и логарифм
и
ческие графики
В ряде случаев граф
и-
ки в линейном масштабе, устано
в
ленном по умо
л-
чанию, бывают недост
а-
точно представител
ь
ными и не выявляют математ
и-
ческих закономерностей п
о
строен
ия то или иной функции. Например, гр
а-
фик логари
ф
мической функции в линейном масштабе имеет резко н
е-
л
и
нейный вид с крутым участком при малых зн
а-
чениях x
и д
о
вольно пл
о-
ским при больших знач
е-
ниях x
.
При построении п
о-
лулогарифмического гр
а-
фика (масштаб оси Y
линейный, а по сои X
л
о
гарифмич
е-
ский) график логарифмической фун
к
ции превращается в пр
я-
мую. автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
52
При построении степенных функций они также превр
а-
щаются в прямые линии,
однако с изменением степени мен
я-
ется угол наклона графика к гор
и
зонтальной оси. Графики в логарифмическом и полулогарифмическом масштабе строятся как обычные графики. Однако их надо формировать с п
о
мощью окна форматирования. На вкладке Оси X
-
Y
окна форма
т
и
рования двумерных графиков нужно установить флажок Логари
ф
мический масштаб
. Графики такого типа довольно широко используются в ради
о
технических расчётах для построения логарифмических амплиту
д
но
-
частотных характеристик. Они применяются также для ан
а
лиза
устойчивости радиотехнических устройств и схем
, графико
в
срабатывания автоматических выключат
е-
лей и др.
6.7 Построение графиков в поля
р
ной системе координат
В полярной системе коо
р-
динат каждая точка задаётся у
г
лом и длиной его
радиус
-
вектора r
. График фун
к-
ции в полярной систе
ме к
о-
ординат обычно строит
ся при изменении угла в опред
е-
лённых предела
х
, чаще всего от 0
до 2
. Выбор команды Полярны
й график
в подм
е-
ню Графики
в
ы
водит шаблон такого графика. Этот шаблон имеет форму о
к
ружности и с
о-
держит места ввода да
н
ных. На рисунке также пок
а
зана всплывающая подсказка с сообщением о необход
и
м
о
сти з
а-
полнения мест ввода для построения гр
а
фика. Перед по
строением таких графиков надо задать пределы изменения ранжированной пер
е
менной (она может иметь и другое имя). П
осле вывода шаблона следует ввести в м
е
сто ввода снизу и функцию r
в мест
о ввода слева, а также ук
а-
зать нижний предел и
з
менения длины радиус
-
вектора r
-
в автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
53
место ввода справа снизу и вер
х
ний предел –
в место ввода справа сверху. Эти места вв
о
да становятся видимыми при выделении гр
а
фика. В полярной системе
к
о-
ординат также как и в д
е-
картовой системе координат существует возможность прямого п
о
строения граф
и-
ков функций без определ
е-
ния диапазона и
з
менения независимой пер
е
менной. При прямом построении графика достаточно просто заполнить место ввода функции. Сам
у функцию надо описать её уравнени
я
ми, кот
о-
рые вписываются в соответству
ю
щие места ввода. Можно также задать построение графиков н
е
скольких функций в о
д-
ном шаблоне. Стоит щелкнуть мышью вне области граф
и
ка, как последний будет п
о
строен. 6.8 Графики функ
ций, заданных аналитическими выраж
е
ниями в различных областях
Многие реальные процессы невозможно описать при п
о-
мощи одной функции на всем времени
действия этого пр
о-
цесса. Это связа
но н
е только с характером процесса, но и с его продо
л
жительностью. Други
м словами с начала действия какого
-
то процесса до о
п
ределённого момента времени этот процесс описывает одна функция (и
ли набор одних функций), затем
до другого момента врем
е
ни это процесс описывает уже совершенно другая функция, однако процесс остаётся те же самым. Примером может служить следу
ю
щая функция:
4
t
2
при
cos(t)
2
t
0
при
sin(t)
t
y
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
54
Mathcad
предоставляет возможности не только строить данные функции, но и наравне с обычными функциями и
с-
следовать их. Для того, чтобы задать функцию, заданную аналитич
е
ским выр
ажением в различных о
б-
ластях необходимо во
с
пользоваться операт
о-
ром Добавить строку программы (
Add
line
)
, которая располагается на панели Программ
и
рование.
Как и в обычных функциях
,
необходимо задать имя фун
к-
ции, а также определиться с переменной, которая будет фиг
у-
рировать в аналитических выражениях, к
о-
торые и будут зад
а
вать эту функцию. После этого поставить Оператор пр
и
сваивания
и вызвать команду Добавить строку пр
о-
граммы (
Add
line
)
, которая располагается на панели Пр
о-
граммир
о
вание.
По
я-
вит
ся вертикальная
л
и-
ния в двумя че
р
ными ква
д
ратиками, количес
т-
во которых будет зав
и-
сеть от того, на скольких промежутках задаётся необходимая пользов
а-
телю функция. После этого для каждого ква
д-
ратика необходимо в
ы-
звать Условный опер
а-
тор
, который располаг
а-
ется на п
а
нели Пр
о-
граммиров
а
ние
. Там он обозначен как if
. После чего по обе стороны от Условного опер
а
тора if
появятся два черных квадратика, в ле
вый
н
е
обходимо вписать фун
к
цию, а в правый область на которой она задаётся. При этом необх
о-
димо воспользоваться опер
а
торами Мен
ьше чем, Больше чем, Меньше чем или равно и
Больше чем или равно,
к
о-
торые располагаются на панели Булево.
После того, как б
у-
дет задана функция, её, как и обычные функции, можно в
ы-
вести на изображение, воспользовавшись шаблоном для п
о-
строения граф
и
ков. автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
55
VII
. Нелинейные алге
б
р
а
ические уравнения
Огромное количество задач вычислительной математики связ
а
но с решением нелинейных алгебраических уравнений, а также систем таких ура
в
нен
ий. Примером может служить
уравнение 0
1
2
x
2
3
x
. Также зачастую при
ходиться иметь дело с уравнениями, объединяющими
в себе раз
личн
о-
го рода функции, например
0
x
-
sin(x)
2
. При этом необх
о-
димость решения нелинейных уравнений возникает зачастую на промежуточных шагах, при ре
а
лизации фрагментов более сложных алгори
тмов (к примеру,
при расчётах дифф
е-
ренциальных уравнений при помощи разнос
т
ных схем и т.д.)
Постановка задачи выглядит следующим образом. Пусть им
е
ется либо одно алгебраическое уравнение с неизвестными x
: т.е. 0
)
(
x
f
, где )
(
x
f
-
некоторая функция, либо система из N
алге
б
раических уравнений: 0
)
,...,
(
...
0
)
,...,
(
1
1
1
1
x
x
f
x
x
f
. Требуется найти ко
р
ни, т.е. все значения x
(или, в случае системы все покомп
о
нентные векторы, которые переводят уравнение или систему ура
в
нений в верное равенство или равенства
)
. Для решения нелинейных алгебраических уравнений, а также систем нелинейных алгебраических уравнений прим
е-
няется специальный вычислительный блок Given
/
Find
(Д
а-
но/
Найти)
, состоящий из трёх частей, идущих последов
а-
тельно друг за другом:
Given
–
ключевое слово;
уравнение или система уравнений, записанная логич
е-
скими операторами в виде равенств и, возможно, н
е
равенств;
Find
(
x
1
, x
2
, … x
n
)
–
встроенная функция для решен
ия уравн
е-
ний или системы уравнений относ
и-
тельно пер
е
менных x
1
, x
2
, … x
n
.
Вставлять логические операторы следует, пользуясь п
а-
нелью инструментов Булево
. Значение функции Find
пре
д-
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
56
ставляет собой матрицу, составленную из всевозможных р
е-
шений по каждой перемен
ной, причём количество её строк в точности равно числу а
р-
гументов Find
. Пусть дано уравнение 0
8
2
x
3
2
3
x
x
. Необх
о-
димо найти его корни. Для этого в любом св
о-
бодном месте поля пишем ключевое слово Given
, которое является началом вычисл
и
тельного
блока для решения уравнения. Следует отме
тить,
что в этом вычи
с-
лительном блоке не следует задать какие
-
то переменные, функции, операторы и пр. не относящиеся к р
е
шаемому ура
в-
нению. После написания ключевого слова Given
пишется с
а-
мо уравнение, корни которо
го н
е
обходимо найти. При этом можно использовать панель Арифметика
для ввода арифм
е
т
и-
ческих действий и степеней. При пом
о-
щи оператора Булево равенство
с панели Булево
приравнив
а-
ем полученное ура
в-
нение к нулю. (По большому счёту
,
в Mat
h
cad
ориентация записи
слагаемых уравнения относ
и-
тельно знака Булево равенство
не имеет большой разницы. К пр
и
меру, данное уравнение мы можем зап
и
сать так -
x
x
8
2
x
3
0
2
3
, либо так x
x
8
2
x
3
2
3
. Все эти записи будут ан
а
логичными). После того, как будет запи
сано ура
в
нение,
вычислительный блок завершает команда Find
,
внутри кот
о
рой пишется та пер
е-
менная, относительно которой будет р
е
шаться уравнение. После того, как Find
будет за
полнен, сразу з
а ним ста
вит
ся символ Символический знак равенства
с панели Вычисл
е-
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
57
ния
. Если вс
е
введено
верно
, то сразу за ним появиться ответ, который будет представлять из себя матр
и
цу, в которой будут записаны решения уравнения. Чтобы п
о
лучить значения п
е-
ременной с плавающей запятой, необх
о
димо сразу после п
о-
лученной матрицы поставит
ь символ Знак равенства
, кот
о-
рый располагается на панели Вычи
с
ления
. В этом случае Mathcad
выдаст ответ с плавающей з
а
пятой. Однако точность такого ответа будет в значительной степени отл
и
чаться. Полезно заметить, сама функция или функции могут н
е-
посре
д
ст
венно задаваться и не в теле оператора Given
/
Find
.
Оператор Given
/
Find
также позволяет решать уравнения и си
с
темы уравнений в общем виде.
VIII
. Дифференциальное исчисление
8
.1 Основные положения
Математический анализ находит широкое применение в ре
шение учебных, инженерных, экономических, статистич
е-
ских, научно
-
технических и других задач. Подавляющее большинство проце
с
сов, операций и т.д. можно описать при помощи функций разли
ч
ной степени сложности. Функция какого
-
либо процесса может з
а
висеть либо
от одной какой
-
то переменной (например, от времени, температуры) либо от многих переменных. В подавляющем бол
ь
шинстве случаев, даже при рассмотрении не очень сложных пр
о
цессов функция зависит от многих переменных, причём количество переме
н-
ных может быть с
коль угодно большим.
Если мы какой
-
то процесс или операцию может описать при помощи функции –
это означает, что мы сможем пре
д-
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
58
сказать какой
-
то процесс или операцию. Сами функции п
и-
шутся на основе каких
-
либо законов (в физике -
на основе законов физики и ма
тем
а
тики, в электротехники –
на основе законов электротехники, в теплотехн
и
ки –
на основе законов термодинамики и т.д.). Если мы сможем, зная
,
какой функц
и-
ей описывается данный процесс, пре
д
сказать этот процесс,
то мы сможем узнать значение этой функции сп
устя какое
-
то время или при изменении
какого
-
либо параметра или пар
а-
метров. Однако в большинстве случаев важно не значение самой функции при изменении одного или нескольких её параме
т-
ров, а именно поведение функции при их изменении. В этом случае может иг
рать роль такое поведение функции как её возрастание после какого
-
то убывания или наоборот её уб
ы-
вание, после какого
-
то во
з
растая. Более того
,
в большинстве случаев предста
в
ляет интерес
,
с какой скоростью функция убывает и возрастает, при каком значении па
раметра или п
а-
раметров функция будет иметь максимальное или минимал
ь-
ное значение. Также может быть интересен вопрос о том, к
а-
кие параметры и каким образом их надо изменить, чтобы фун
к
ция провела себя определённым образом. Данные вопросы являются не
просто
основными, а дом
и-
нирующими в современной технике. Ещё раз хочется напо
м-
нить, что все
процессы могут быть описаны при помощи функций, а значит исследованы. Так в те
о
рии управления данный принцип является основополагающим. Для примера можем взять элементарн
ую холодильную установку, где в
ы-
ходным параметром или п
а
раметром контроля является (или как принято ещё говорить –
входным сигн
а
лом) температура в каком
-
либо помещении, а функция, т.е. её р
е
зультатом в данном случае может являться система управления работ
ы двигателя компрессора –
т.е. система, отвечающая за холод
о-
производительность холодильной установки. В данном сл
у-
чае нас интересует больше не сама температура в помещении, а скорее скорость её изменения –
ведь от этого зависит, с к
а-
кой интенсивностью буде
т увеличиваться холодопроизвод
и-
тельность холодильной уст
а
новки. Для того,
чтобы исследовать функцию и найти все инт
е-
ресующие нас подробности функции в математике есть ра
з-
дел, кот
о
рый называется Математическим анализом. Одним автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
59
из центральных понятий математ
ического анализа явл
я
ется определение производной, а также дифференц
и
руемость функции. Операции
дифференцирования реализовано в Mat
h
cad
как в численной, так и в аналитической форме и об
о
значается при помощи традиционного оператора, т.е. соответствует мате
м
а-
тич
е
ским символам (например, подобно таким операциям как сложение, вычитание, умн
о
жение или вычисление предела). Если расчеты в
ы
полняются с помощью вычислительного процесса, необходимо хорошо предста
в
лять себе особенности численного алгоритма, действие к
оторого остаётся для пол
ь-
зователя «за кадром». С п
о
мощью Mathcad
можно вычислять производные скалярных функций любого количества арг
у-
ментов, причём как функции, так и аргуме
н
ты могут быть и действительными и комплексн
ы
ми. Пусть функция )
(
x
f
y
определена на некотором инте
р-
вале b
a
;
. Проделаем следующие операции:
• аргументу b
a
x
;
дадим приращение ;
;
:
b
a
x
x
x
• найдём соответствующее приращение фун
к
ции: );
(
)
(
x
f
x
x
f
y
• составим
отношение приращения функции к прир
а-
щению аргумента: x
y
;
• найдём предел этого отн
о
шения при :
0
x
x
y
x
lim
.
Если этот предел существует, то его называют произво
д-
ной
функции )
(
x
f
и
обозначают одним из симв
о
лов ),
(
'
x
f
dx
dy
.
Тогда, согласно определ
е
нию получаем:
x
x
f
x
x
f
y
x
)
(
)
(
lim
0
0
или 0
0
0
)
(
)
(
lim
)
(
0
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x
.
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
60
Производная функции )
(
x
f
y
есть некот
о
рая функция )
(
'
x
f
, произведённая из данной фун
к
ции.
Функция )
(
x
f
y
, имеющая производную в к
а-
ждой точке интервала b
a
;
, называется дифференциру
е-
мой в этом и
н
тервале; опер
а-
ция нахождения производной функции назыв
а
ется дифф
е-
ренц
иров
а
нием.
Значение производной функции )
(
x
f
y
в точке 0
x
x
обозначае
т
ся );
(
0
'
x
f
Пример
:
Найти произво
д
ную функции 2
x
y
.
• аргументу x
даём прир
а
щение x
;
• находим приращение фун
к
ции :
y
;
2
)
(
)
(
2
2
2
x
x
x
x
x
x
y
• составляем отнош
е
ние :
x
y
x
x
x
x
x
x
x
y
2
2
2
;
• находим предел этого отношения: x
x
x
x
y
x
x
2
)
2
(
lim
lim
0
0
.
Таким образом, x
x
2
2
.
Производная константы равна нулю, т. к. равно нулю приращ
е
ние функции: .
0
с
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
61
Таким образом, прои
з
водная непрерывной функции )
(
x
f
y
-
это предел, к которому стремиться отношение бе
с-
конечно малого
приращения функции к соответствующему бесконечно малому приращению арг
у
мента x
. Если речь идёт о вычислении численного значения прои
з-
водной, то оно делается в некоторой точке 0
x
x
. Как извес
т-
но, знач
е
ние производн
ой геометрически
характеризуется наклоном касательной в графику )
(
x
f
в точке 0
x
x
. Прои
з-
водную можно ра
с
сматривать и как скорость изменения функции в заданной точке. В экстремумах функций прои
з-
водная равна нулю. Помим
о производно
й, часто оперируют понятием дифф
е-
ре
н
циала:
x
x
f
x
df
)
(
)
(
т.е. произведением производной функции на приращение её арг
у
мента 0
x
.
Если функция имеет производную в точке 0
x
x
, то она непрерывная в
этой точке. Разрывные функции в точках ра
з-
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
62
рыва не имеют производных, хотя у них возможны произво
д-
ные слева и справа от точек разрыва. Непрерывность фун
к-
ции не является достаточным призн
а
ком того, что она имеет производную. Не все непрерывные функции имеют
про
и
з-
водные во всех точках. Существуют
н
е
прер
ывные функции, вообще не имеющие
пр
о
изводных. Производная от первой производной (x)
f
, т.е. функция (x)
f
, называется производной второго порядка. Могут быть и производные в
ысшего порядка. Шаблон Mathcad
для вычи
с-
ления произво
д
ных высшего порядка м
ожно использовать для вычисления
производных до 5
-
го порядка включ
и
тельно. Mathcad
вычисляет производные в численном виде ада
п-
тивным методом Риддера. Он г
а
рантирует 7
-
8 точных знак
ов для первой производной. Вычисление производных высших порядков –
выше пяти –
может сопровождаться потерей то
ч-
ности вычислений и резким возрастанием времени вычисл
е-
ния. Поэтому лучше всего в этом случае попытаться найти символьное выражение для производн
ой и затем уже числе
н-
ное. 8
.2 Аналитическое дифференцирование функции
Для того, чтобы аналитически найти производную фун
к-
ции в Mathcad
нео
б
ходимо –
задать в любом свободном месте окна документа функцию одной переменной (при этом нео
б
ходимо помнить о п
равилах ввода иде
н
тификатора, т.е. имени на с
а
му функцию и переменную в этой функции), к примеру: 2
:
f(x)
2
3
x
x
x
; после чего вызвать с п
а-
нели Матанализ
оператор Произво
д
ная
. В данном операторе есть два черных квадрат
и-
ка, куда необходимо будет впис
ать имя фун
к
ции –
т.е. её идентификатор и переменную
,
от которой она зависит, а та
к-
же переменную функции
,
по которой происходит ди
ф
фере
н-
цирование. Таким образом
,
в черный квадр
а
тик
около гор
и-
зонтальной строки вписывае
т
ся имя функции с переме
н
ной, в чер
ный ква
д
ратик
под горизонтальной строкой впис
ы
вается автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
63
переменная, по которой происходит дифференцирование. В данном случае запись символа вычи
с
ления производной в системе Mathcad
ни чем не отличается от традиционного обозначения вычисления производной
в математике. Для того, чтобы вычислить знач
е-
ние производной –
т.е. найти это значение в символьном в
и-
де, необходимо после оператора дифф
е-
ренцирования указать оператор Симв
о-
лический знак равенства,
который расп
о
лагается на панели Вычисления
. После чего бу
дет вычисл
е
но значение производной в симв
о-
лическом в
и
де. автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
64
Как правил
о, возникает необходимость не просто вычи
с-
лить
производ
ную
от какой
-
то зада
н
ной функции, а зада
ть
функ
цию
, которая является произво
д
ной от заданной. В этом случае можно результат вычислени
я производной –
как пр
а-
вило
,
результатом также является функция от заданной пер
е-
менной, присвоить как
ой
-
то функции, которая и будет я
в-
ляться производной от заданной. К
ней будут пр
и
менимы все сво
й
ства и операции, которые возможны над функциями в Mat
h
cad
.
В
о многи
х случаях при вычислении
символьной пр
о-
из
водной от какой
-
то достаточно большой функции символ
ь-
ный процессор Mathcad
не упрощает получе
н
ное выражение
.
Например,
при вычисл
е
нии производной по слагаемым не приводит ответ к общему знаменателю
,
ч
то усло
жняет пон
и-
мание ответа ди
ф
ференцирова
ния. Для того,
чтобы упростить получившийся результат дифференциров
а
ния (этот способ может применяться не только при операции дифференцир
о
вания, а просто –
как способ приведения к общему знамен
а
телю) необх
о-
димо вызвать команду simplify
, которая ра
с-
п
о
лагается на панели Символы.
В левый черный квадратик н
е-
обходимо вписать либо выражение, либо фун
к-
цию, которая была з
а-
дана ранее. После чего оператор с права от с
е
бя, после стр
е-
лочки, выдаст готовый резул
ь
тат. Необходимо напо
мнить, что в описанном применении операт
о
ра дифференцирования его результатом является функция той же переменной x
. Исходная функция сможет зависеть не только от аргуме
н-
та x
, но и от других аргументов, например )
,
,
,
(
t
z
y
x
f
и т.п. В этом сл
у
чае дифференцирование производится точно так же, причём становится более понятной необходимость определ
е-
ния переменной дифференцирования (в нижнем местозапо
л-
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
65
нителе оператора диффере
н
цирования). Расчёты производных п
о разным аргументам (в этом случае говорят от частных прои
з
водных), разумеется, будут давать совершенно разные результаты. 8
.3 Вычисление производной в точке
Помимо того, что зачастую бывает необходимо считать прои
з
водную в общем виде, иногда бывает до
статочно знать значение (т.е. численное значение) этой производной в к
а
кой
-
то заданной точке. Для того чтобы рассчитать пр
о-
изводную в точке, необх
о
димо пре
д-
варительно задать значение арг
у-
мента в этой точке. Результатом дифференц
и
рования в этом случае бу
дет число —
значение произво
д-
ной в этой точке. Е
с-
ли резул
ь-
тат удае
т
ся отыскать аналитич
е-
ски, то он приводи
т
ся в виде числ
о-
вого выраж
е
ния, а для того, чт
о
бы пол
у
чить его в форме числа, до
с
т
а-
точно ввести п
о
сле выда
н
ного в
ы-
ражения символ ч
и
слового равенс
т-
ва «
=». Однако для того, чтобы продиффере
н
цировать функцию, вовсе необязательно предвар
и
тельно присваивать её какое
-
либо имя. Можно определить функцию неп
о
средственно в операторе дифференциров
а
ния. Ещё раз напомним, что оператор дифференцирования, в основном
, соответствует его общепринятому математическ
о-
му обозначению, и поэтому его легко использовать инту
и-
тивно. Однако в нек
о
торых случаях при вводе оператора дифференцирования следует проявить осторожность. Ра
с-
смотрим один показательный пример, который демонс
трир
у-
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
66
ет неправильное применение оператора ди
ф
ференцирования для вычисления производной в точке. Вместо в
ы
числения производной sin
(
x
) при х=2, как этого можно было ож
и
дать, получено нулевое значение. Это случилось из
-
за того, что а
р
гумент функции sin
(
x
) вве
ден не в виде переменной х, а в виде числа. Поэтому Mathcad
воспринимает последнюю стр
о-
ку как вычи
с
ление сначала значения синуса в точке х=2, а затем дифференцир
о
вание этого значения (т. е. константы) также в точке х=2, в соотве
т
ствии с требованием первой строки листинга. Поэтому ответ, на самом деле, неудивителен —
в какой точке ни дифференцируй константу, резул
ь
татом будет ноль.
8
.4 Дифференцирование в точке
Для того, чтобы численно продифференцировать фун
к-
цию f(x)
в некоторой точке, следует использовать оператор численного вывода (вместо символьного).
Необходимо –
определить точку 0
x
x
, в которой будет вычи
с
лена производная, например 1
.
0
x
; далее необходимо ввести оператор дифференцирования и обыч
ным обр
а
зом ввести имя функции и аргумента на места черных квадрат
и
ков; ввести оп
е-
ратор численного результ
а
та «=». Необходимо помнить об опр
е-
делении точки, в которой произв
о
дится численное диффере
н-
циров
а
ние –
в противном случае будет выдано сообщение об о
шибке, гл
а
сящее, что переменная или фун
к
ция, входящая в выражение, ранее не определена. Между тем, си
м
вольное дифференцирование не требует обязательного явного з
а
дания точки дифференцир
о
вания. В этом случае вместо значения производной (числа или числового выражения) будет выдана аналитическая зав
и
симость. автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
67
8
.5 Производные высших порядков
Mathcad
позволяет численно определять производные высших порядков, от 3
-
го до 5
-
го включительно. Чтобы в
ы-
числить прои
з
водную функции f(x)
N
-
го поря
дка в точке
х
, нужно проделать те же самые действия, что и при взятии пе
р-
вой производной, за тем исключением, что вместо оператора Производная необходимо применить опер
а-
тор Производная N
-
го порядка. Этот опер
а-
тор вводится с той же панели Ca
l
culus
(В
ы-
числен
ия)
, и содержит еще два дополн
и-
тельных местозаполнителе, в которые след
у-
ет поместить число N
. В полном соответс
т-
вии с математич
е-
ским смыслом оп
е-
ратора, определ
е-
ние порядка прои
з-
водной в одном из местозаполн
и
теле (черненький ква
д-
ратик) приводит к а
в
томатиче
скому появлению того же числа в др
у
гом из них. Очевидно, что "производная" при N
=0 по определению равна с
а
мой функции, при N
=1 п
о-
лучается обычная первая производная. О
б
ратите внимание, что, как и при вычислении обычной производной, необход
и-
мо перед операт
ором дифференцирования присвоить а
р
г
у-
менту функции значение, для к
о
торого будет вычисляться прои
з
водная. А вот для аналитического нахождения прои
з-
водных высших порядков при помощи оператора символьн
о-
го вывода, вводить зн
а
чения аргумента не след
у
ет.
Необход
имо помнить, что численный метод предусма
т-
ривает возможность вычисления производных до 5
-
го поря
д-
ка, а символьный процессор умеет считать производные пр
о-
извольного п
о
рядка (конечно, если аналитическое решение задачи в принципе сущес
т
вует).
Чтобы вычислить производную порядка выше 5
-
го чи
с-
ленно, можно последовательно применить несколько раз оп
е-
ратор N
-
й производной. Однако следует помнить о том, что автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
68
численное определение производных высших порядков пр
о-
изводится тем же в
ы
числительным методом Риддера, что и дл
я первых производных. Поскольку, как уже было сказано, для первой производной этот м
е
тод обеспечивает точность до 7
—
8 значащих разрядов числа, при повышении порядка пр
о-
изводной на каждую единицу точность п
а
дает примерно на один ра
з
ряд.
8
.6 Частные произво
дные
Как уже было отмечено выше, подавляющее больши
н
ство функций зависят не от одной,
а
от многих переменных. Для того,
чтобы исследовать функцию, которая зависит от многих переменных необходимо исследовать её по каждой переме
н-
ной, при этом остальные пер
еменные принимать как конста
н-
ты. От
сюда и вытекает понятие час
т-
ной производной. Частные производные вычисляе
т-
ся в Mathcad
таким же образом, как и обы
ч
ные производные. Необходимо задать функцию нескольких пер
е-
менных, и в нижнем черном квадр
а-
тике указать по
какой переменной необходимо вычислить произво
д
ную. Для того чтобы изменить вид оператора дифференцир
о
вания на представление частной производной, следует: В
ы
звать контекстное меню из области оператора дифференцир
о
вания нажатием правой кнопки м
ы-
ши; выбрать
в контекстном меню верхний пункт View
D
e-
rivative
As
(Показывать пр
о
изводную как)
; в появившемся подменю выбрать пункт Partial
Derivative
(Частная прои
з-
водная)
.
8
.7 Построение асимптоты графика функции
Асимптотой
графика функции называется прямая, ра
с-
ст
ояние до которой от точки, лежащей на графике, стремит
ь-
ся к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по гр
а
фику.
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
69
Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизо
н
тальными.
Говорят, что прямая a
x
является в
ертикальной аси
м-
птотой
граф
и
ка функции )
(
x
f
y
, если )
(
lim
x
f
a
x
.
Уравнение наклонной аси
м
птоты
будем искать в виде b
kx
y
.
Необходимо найти численное значение коэффициентов
k
и b
уравн
е
ния прямой b
kx
y
.
Данные коэффициенты находим согласно выр
а
жениям:
x
x
f
k
x
)
(
lim
kx
x
f
b
x
)
(
lim
Таким образом, если для функции )
(
x
f
y
существует асимптота, то коэффициенты k
и b
для уравнения пр
я
мой b
kx
y
находятся согласно этим фо
р-
мулам.
Если хотя бы один из пределов не сущес
т
вует или равен беск
о
нечности, то кривая )
(
x
f
y
н
а-
клонной асимптоты не им
е
ет.
В
частности, если 0
k
, то )
(
lim
x
f
b
x
. Поэтому b
y
-
ура
в-
нение горизонтал
ь-
ной аси
м
птоты
.
Пусть дана фун
к-
ция 2
5
x
:
y(x)
2
x
x
. Построим для неё аси
м
птоту. автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
70
8
.8 Формула Тейлора, Маклорена и разложени
е элементарных фун
к
ций
Формула Тейлора служит для приближения функции f(x)
многочленом Тейлора. Как правило, достаточно взять 4
-
5 сл
а-
гаемых, чтобы ошибка приближения (остаточный член) стала незначител
ь
ной в небольшой окрестности заданно
й точки a
. Формула Тейлора при 0
a
, называется формулой Ма
к-
лорена
. Эти формулы используются в прикладных програ
м-
мах и калькул
я
торах для вычисления значений элементарных функций с бол
ь
шой точностью.
Команда Expand
to
Series
(разложить в ряд)
выполняет разложение выражения в ряд Тейлора относительно выделе
н-
ной пер
е
менной с заданным по запросу числом членов ряда n
(число опр
е
деляется по степеням ряда). По умолчанию задано 6
n
.
Разложение возможно для функции заданной переме
н-
ной. В разложении указывается остаточная погрешность ра
з-
ложения. Эта команда даёт разложение в ряд в точке 0
x
, именуемое также рядом Маклор
е
на. Для того, чтобы разложить заданную функц
ию в ряд Маклорена, необходимо вызвать с пан
е
ли Символы
вызвать команду Символ разложить последов
а-
тельно
, который на панели ещё назыв
а
ется как series
. В левый черный квадратик, который на
ходится с
лева от символа команды series
необходимо вписать функцию, кот
о-
рую необходимо разложить. Её можно списать туда неп
о-
средственно, либо вписать название фун
к
ции, которая была задана ранее вместе с переменными этой фун
к
ции. В правый черный квадратик, который следует непосредственно за кл
ю-
чевым словом series
необходимо
вписать переменную, отн
о-
сительно которой будет разложена заданная функция. В с
а-
мый крайний правый черный квадратик необходимо вписать количество членов разлож
е
ния.
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
71
В ряде случаев необходимо не просто получить результат, записать его в функцию –
таким обр
азом надо задать фун
к-
цию отн
о
сительно той переменной, относительно которой необходимо ра
з
ложить функцию. IX
. Построение графиков функций в простра
н
стве
9.1 Общие положения
В старых версиях Mathcad
при построении графика п
о-
верхности, представленной функцией y)
z(x,
двух переме
н-
ных, приход
и
-
лось предварительно определять матрицу M
аппликат (высот z
) её точек. Разумеется, этот
способ возможен и более поз
д-
них
верс
и
ях Mathcad
. Поскольку элеме
нты ма
т-
рицы M
-
индексированные п
е
ременные с целочисленн
ы-
ми индексами, то перед созд
а-
нием матрицы требуется з
а-
дать индексы в виде ранжир
о-
ванных переменных с цел
о-
численными значениями, а з
а-
тем уже из них формировать автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
72
сетку значений x
-
и y
-
коо
р
динат для а
п
пликат y)
z(x,
. Зн
а-
чения x
и y
при этом обычно должны быть вещественными числами, нередко как положительными
,
так и отрицательн
ы-
ми.
Всё это приводит к усложнению алгоритма подготовки данных для построения трехмерного графика поверхности, особенно бол
ь
шие трудности
это
вызывает у студентов –
они не всегда пон
и
мают, зачем все эти сложности и как задать область изменения x
и y
, чтобы была построена ну
ж
ная часть поверхности. После того,
как была определена функция, график, а то
ч-
нее п
о
верхность, которую
надо построить, необходимо задать ранжирован
ные переменные.
К
ак пр
а
вило, их обозначают через буквы i
и j
, которые, если вспомнить курс аналитич
е-
ской геоме
т
рии
,
являются ортами координат x
и y
. Предел этих переменных зависит от того
,
насколько точно пользов
а-
тел
ь хочет построить п
о
верхность (здесь уместна аналогия с графиком функции на плоскости, где «плавность» кривой з
а-
висела от того, какой диапазон будет определён для ранжир
о-
ванной переменной)
. Однако необходимо по
м
нить, что чем больше будет установлен предел для ранжированной пер
е-
менной, тем дольше система будет «думать» прежде чем из
о-
бразить данную поверхность. Н
е
обходимо также учесть, что поверхность, которая будет построенная Mathcad
можно вр
а-
щать на шаблоне относительно произвол
ь
ной оси, с целью её «рассмо
тр
е
ния» со всех сторон. В этом случае также процесс вращения будет затягиваться из
-
за того, что система будет пересчитывать множество точек, количество которых напр
я-
мую зависит от пределов ранжированных переме
н
ных. После задания ранжированных переменных необходимо задать матрицу –
имя матрицы должно соответс
т
вовать всем правилам задания идентификатора. Для матрицы устанавл
и-
ваем нижние индексы –
первый индекс
,
как правило
,
отвеч
а
ет за ось x
, а второй за ось y
-
х
отя порядок оси также в бол
ь-
шинстве случаев з
а
висит от пользователя. Далее в матрицу записываем значения функции при всех возможных сочет
а-
ниях ранжированных переме
н
ных. После указанных выше действий командой График п
о-
верхности
с меню Графики
вводится шабл
он графика, левый автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
73
верхний угол к
о
торого помещается в место расположения курсора. Шаблон, в свою очередь, содержит единс
т
венное место ввода –
темный прямоугольник у л
е
вого нижнего угла основного шаблона. В него необходимо имя матрицы аппл
и-
кат поверхности. П
осле этого надо установить указатель м
ы-
ши в стороне от графического блока и щелкнуть левой кно
п-
кой.
В данном случае построена поверхность в виде «пров
о-
лочного каркаса» со всеми видимыми линиями. В данном случае от ранж
и
рованных переменных зависит
,
наск
олько эт
а
сетка будет гуще или реже. Наглядность представления поверхностей и трехмерных фигур зависит от множества факторов: масштаба построений, автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
74
углов поворота фигуры относительно осей, применения алг
о-
ритма удаления невидимых линий или отказа от него, и
спол
ь-
зование функционал
ь
ной окраски и т.д. Применение алгоритма невидимых линий делает рисунок более наглядным. Дальнейшее повышение наглядности во
с-
приятия тре
х
мерных графиков обеспечивается применением функциональной окраски. По существу она даёт дополн
и-
тельную информацию о третьем измерении. С помощью команд изменения формата можно получить множество разновидностей трехмерной графики. В частн
о-
сти, возм
о
жен вывод координатных осей, «параллелепипеда», обрамляющего фигуру, и иных деталей подобных графиков,
например титульных надписей. Поскольку график строится на основе матрицы, содерж
а-
щей только координаты высот фигуры, то истинные масшт
а-
бы по осям x
и y
неизвестны и на рисунках не проставляю
т-
ся. Возможно, впроч
ем, выводить порядковые номера эл
е-
ментов матриц в зада
н
ном направлении. Необходимо следить за тем, как сформировать векторы x
и y
, чтобы фигура в
ы-
глядела естественно и была видна нужная часть фигуры в пространств
е. Все это несколько затрудняет быстрое создание графиков трехмерных поверхностей нужного в
и
да. 9.2 Построение параметрически заданных поверхностей
Большие возможности даёт несколько иной способ зад
а-
ния поверхностей –
в параметрическом виде. При этом пр
и-
ходится фо
р
мировать три матрицы, X
, Y
и Z
, и указывать их в шаблоне в виде Z
Y,
X,
. В этом случае скобки необходимы, п
о
скольку в противном случае Mathcad
попытается постро
ить три поверхности по да
н
ным матриц X
, Y
и Z
. В данном случае параметрический способ построения объе
м
ных тел позволяет без особых затруднений перейти как в сферич
е
скую, так и в цилиндричес
кую систему координат. В этом случае все координаты зависят от одной переменной, которая является параметром. При обычном способе постро
е-
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
75
ния поверхностей необходимо задавать зависимость коорд
и-
наты Z
, как функцию от двух других координ
ат X
и Y
.
9.3 Построение трёхмерных фигур с вырезом
Параметрическая форма задания трехмерных фигур о
т-
крывает ещё одну возможность –
представление объемных фигур с вырезом. Такие фигуры отличаются повышенной н
а-
глядностью, ибо в вырезе видна внутренняя структура фигур. Всё что надо для этого постро
е
ния, -
ограничить диапазон изменения параметрических углов, сделав его меньше обы
ч-
ного значения 2
.
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
76
9.4 Построение трехмерных графиков без
задания матрицы
Последние версии системы Mathcad
обладает принцип
и-
ально новой возможностью –
допускается построение трё
х-
мерных графиков без задания матрицы аппликат поверхн
о-
сти. В результате построение графиков поверхностей выпо
л-
няется так же просто, как
и построение двумерных графиков. В данном случае для построения достаточно задать фун
к-
цию двух пер
е
менных и указать её имя (необходимо указать именно имя функции –
т.е. её идентификатор, без указ
а
ния входящих в неё переменных) в месте ввода шаблона г
рафика. Единственным недостатком такого упрощенного метода п
о-
строения поверхностей является неопределённость в масшт
а-
бировании, поэтому для получения приемлемого вида граф
и-
ка требуется форматирование. Впрочем, в любом случае п
о-
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
77
лучение графика достаточно эф
фективном виде всегда треб
у-
ет его форматиров
а
ния. 9.5 Построение графика поверхности, заданной в векторной
параметрической форме
Описанный выше метод быстрого построения поверхн
о-
сти может иметь множество вариантов. Один из них –
зад
а-
ние повер
х
ности в ве
кторной параметрической форме.
Данный способ задания графика –
называется матричным. В нём фигурирует две переменные, а каждая строка матрицы отвечает за свою координату. Для создания исходного графика не требуется никаких промежуточных операций. Вид гра
фика можно улучшить п
у-
тём формат
и
рования графика мышью. Для того, чтобы с простотой пользоваться всевозможн
ы-
ми функциями Mathcad
для построение фигур и поверхностей в пространстве, необходимо достаточно уверенно владеть м
а-
тематич
е
ским аппаратов, в частнос
ти таким понятиями как цилиндрическая система координат, сферическая система к
о-
ординат, переход о одной системы координат к другой, -
к
а-
кой вид имеют те или иные уравнения кривых в пространстве –
в частности шар, эллипсоид, гиперболоид и т.п. автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
78
X
. Примеры решения контрольной работы по математике в Mat
h
cad
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
79
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
80
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
81
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
82
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
83
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
84
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
85
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
86
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
87
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
88
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
89
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
90
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
91
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
92
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
93
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
94
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
95
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
96
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
97
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
98
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
99
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
100
Построим поверхность функции x
xy
y
x
y)
z(x,
2
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
101
Литература
1. Дьяконов В.П. Mathcad
11
/
12
/
13 в математике. –
М.: Горячая линия –
Телеком, 2007. –
958 с., ил.
автор: Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail
: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.
ru
102
Формат 60
×90 1/16. Тираж 50.
Производственно
-
торговая фирма Моско
вского института энергобезопасн
о
сти и энергосбережения.
Автор
denisov.vinskiy
Документ
Категория
Техническая литература
Просмотров
8 731
Размер файла
3 340 Кб
Теги
высшей, при, mathcad, решении, задач, Денисов-Винский, математики, курс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа