close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Н.Д. Денисов-Винский Mathcad при решении задач по Высшей математики. 2 курс.

код для вставкиСкачать
Mathcad при решении задач по Высшей математики. 2 курс. Содержание: Введение 4 I. Первообразная и неопределённый интеграл 6 II. Вычисление неопределённых интегралов 16 III. Определённый интеграл 23 IV. Приложение определённого интеграла 31
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
Негосударственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский институт энергобезопасности и энергосбер
е
жения
К
АФЕДРА Е
СТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ И ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИХ ДИСЦ
ИПЛИН
Н.Д. Д
ЕНИСОВ
-
ВИНСКИЙ
Mathcad
при решении задач по к
урсу
МАТЕМАТИКА
I
I
курс
Москва 2009
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
2
Mathcad при решении задач по курсу Математика. I курс. –
М.: М
И
ЭЭ, 2009, 132
с.
Одобрено кафедрой естественнонаучных и общетехнических дисци
п-
лин М
И
ЭЭ: 17 сентября 2009
г.
Автор: Н.Д. Денисов
-
Винс
кий
Рецензент: С.В. Семёнов
Автор выражает благодарность своим коллегам Панченко А.В. и Ерохину С.В. за критические замечания, которые послужили улучшению данного издания.
Автор также выражает свою благодарность студентам групп ЭЗ5 и ЭЗ6, з
а рекомендации, которые они высказали при подготовке второй части методического пособия.
Автор с благодарностью примет от читателей все критические зам
е-
чания и указания по адресу:
denisov
.
vinskiy
@
yandex
.ru
© МИЭЭ, 2009
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
................................
................................
................................
.
4
I
. Первообразная и неопределённый интеграл
................................
.......
6
II
. Вычисление неопределённых интегралов
................................
........
16
III
. Определённый интеграл
................................
................................
..
23
IV
. Приложение определённого интеграла
................................
..........
31
V.
Несобственный интеграл
................................
................................
.
42
VI
. Тригонометрические ряды Фурье
................................
...................
49
VII
. Числовые ряды
................................
................................
...............
58
VIII
. Дифференциальные уравнения
................................
....................
73
IX
. Примеры решения домашнего задания за 3 семестр в системе Mathcad
................................
................................
....................
108
X
. Примеры решения домашнего задания за 4 семестр в системе Mathcad
................................
................................
....................
117
Литература
................................
................................
..........................
131
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
4
ВВЕДЕНИЕ
При подготовке студентов в МИЭЭ
по специальнос
ти Электр
о-
снабжение особое место занимает преподавание естественнонау
ч-
ных дисциплин и математики, как универсал
ь
ного инструмента для познания других дисциплин. Обучение построено таким обр
а-
зом, что все разделы, будут изучены студентом в
курсе математ
и-
ки, п
р
и
годятся ему
при изучении дальнейших дисциплин, в том числе специал
ь
ных. Именно поэтому курс математики включает в себя только самые важные и необходимы
е
темы. В ходе
составл
е-
ния курса была проведена определённая работа по включению
в разделы математики т
е
х
тем, которые находят наибольшее отр
а-
жение в других дисциплинах по специальности «Электроснабж
е-
ние». В процессе
выполнени
я
домашних заданий по математике большая часть времени у студента уходит на выполнение элеме
н-
тарных действий над числами –
сложение,
вычитание, извл
е
чение корней, возведение в степень и пр. Эти действия он
обычно
в
ы-
полняет на калькуляторе. Однако калькулятор имеет ограниче
н
ные
возможности вычислений в математике, и не позволяет выпо
л
нить задачу полностью
, без дополнительных действий в тетради. Р
е-
шить эту задачу, с необходимыми промежуточными вычислениями и действиями в самой программе, призвана система математич
е-
ских вычислений –
Mathcad
. Эта система
была
создана разрабо
т-
чиками как инструмент работы инженеров
-
расчётчиков
, проект
и-
ровщико
в, исследователей. Mathcad
создавался как мощный калькулятор, позволяющий решать рутинные задачи инж
е-
нерной практики
, ежедневно встречающиеся в работе. Главными преимуществами
Mathcad
перед другими расчётными средств
а
ми являются наглядность и легкость прог
раммирования задачи, от
о-
бражение сложных мат
е
матических выражений в том виде, в каком они обычно оформляются на листе бумаги. Именно поэтому при подготовке высококвалифицированных специалистов в МИЭЭ
по специальности «Электроснабжение» введено преподавание
сист
е-
мы Mathcad
наравне с другими общетехническими дисциплин
а
ми.
При изучении данного пособия необходимо обратить вним
а
ние на следующее:
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
5
1.
Жирным шрифтом выделены команды, располагающиеся либо в меню системы Mathcad, либо на панелях рабочего окна. Например:
Matrix (Матрицы)
меню Insert (Вста
в-
ка).
2.
Подчеркнутым
жирным шрифтом выделены примеры или пункты, на которые необходимо обратить внимание. Н
а-
пример: Пример
, Важно !!!
.
3.
Пример, взятый непосредственно из системы Mathcad б
у-
дет приведён в штриховой рамке. Как
правило он будет располагаться либо по правой, либо по левой стороне стр
а
ницы. В редких случаях -
по с
е-
редине.
4.
Курсивом отмечены важные определения в тексте.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
6
I
. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕ
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТ
Е
ГРАЛ
Прежде чем перейти к вычислени
ю
неопре
делённых интегр
а-
лов в системе Mathcad
, необходимо вспомнить основные поняти
я
и определения, касающиеся данного
раздела курса мат
е
матики. Функция
)
(
x
F
называется первообразной для функции )
(
x
f
на интервале )
,
(
b
a
(конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала )
(
x
f
является пр
о
изводной для )
(
x
F
, т.е. )
(
)
(
x
f
x
F
.
Из этого определения следует, что задача нахождения перв
о-
образной обратна задаче дифференциров
ания. Необходимо по з
а-
данной функции )
(
x
f
найти функцию )
(
x
F
, производная кот
о-
рой равна )
(
x
f
. Первообразная определена неоднозначно: например для фун
к-
ции х
1
первообразными будут и фун
к
ци
я x
ln
, и функция 1
ln
x
: x
x
x
1
)
1
(ln
)
(ln
. Операция интегрирования обратна операции дифференциров
а-
ния. В методических указаниях по работе в системе Mathcad для первого курса было показано, каким образом можно осущес
т
вить
операцию дифференцирования. Необходимо напомнить, что н
а-
равне с операцией символьного дифференцирования, когда резул
ь-
татом вычисления производной была функция от одно
й
или н
е-
скольких переменных
,
существует также операция численного дифференцирования, т.е.
вычисление производной какой
-
то фун
к-
ции в точке. В определённых задачах такой способ бывает пре
д-
почтительней –
так как
нет необходимост
и
знать скорость измен
е-
ния к
а
кой
-
то функции в зависимости от времени. Д
остаточно знать скорость изменения этой функции в
определённый
момент врем
е-
ни. Хочется также напомнить, что при выполнении каких
-
либо действий с исследованием функций, вычисления производных и прочее, рекомендуется всегда строить её график. Это во многом А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
7
способствует лучшему пониманию материала, а главн
ое –
смысла и
с
следования функции. Для вычисления неопределённого интеграла на панели Мат
а-
нализ используется
оператор Неопределённый интеграл
, зн
а
чок которого полностью соответствует применяемому значку интегр
а-
ла в математике. При нажатии на этот значок на
рабочем ст
о
ле системы Mathcad появи
тся
шаблон, который необходимо будет заполнить для вычисления неопределённого интеграла функции.
Оператор «Неопределённый интеграл» на панели Матанализ.
При нажатии на этот значок на рабочем столе
системы Mathcad появи
тся шаблон, который необходимо будет заполнить для в
ы-
числения неопределённого интеграла функции. В чёрный квадр
а-
тик, который располагается между зн
а
ком интеграла и символом «
d
» необходимо вписать имя функции вместе с переменной, от к
о-
торой эта функция зависит. На это м
е
сто можно вписывать либо непосредственно имя функции или саму функцию. Во второй че
р-
ный квадратик необходимо вписать переменную, по которой будет происходить интегрирование з
а
данной функции. Для получения результата необ
ходимо воспол
ь
зоваться командой Символьный знак равенства
, который располагается на панели В
ы
числения
.
Для примера вычислим интеграл от тригонометрических фун
к-
ций.
Вычисление неопределённого интеграла от тригонометрических фун
к
ций.
Далее на примере работы в системе Mathcad
рассмотрим н
е-
сколько свойств неопределённого интеграла. Рекомендую читат
е-
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
8
лю вспомнить таблицу неопределенных интегралов, а также сво
й-
ства неопределённого интеграла, непосредственно следующего из определения. Это с
войство отражает то
, что операция интегрир
о-
вания обратна операции дифференцирования, и наоборот, опер
а-
ция ди
ф
ференцирования обратна операции интегрирования. Демонстрация в системе Mathcad
одного
из свойств интегрирования и дифференци
рования.
На следующем примере продемонстрируем одно отличител
ь-
ное свойство вычисления определённого интеграла в системе Mathcad
. Из курса математики известно, что C
dx
0
и C
x
dx
1
.
Однако при вычислении этих же интегралов в си
с
теме Mathcad
мы получим:
Вычисление неопределённого интеграла в системе Mathcad
от «0» и «1».
Как и в этом случае, так и в случае вычисления неопределённ
о-
го интеграла от )
sin(
x
и от )
cos(
x
Mathcad
не вы
даёт константу C
. Это объясняется тем, что для Mathcad
воспринимает её как п
е-
ременную, поэтому это всегда надо учитывать, когда в дальне
й-
шем буду
т
решаться задачи связанные с дифференциальными ура
в
нениями, где будут существовать начальны
е условия. На следующих примерах посмотрим, как при помощи системы Mathcad
можно продемонстрировать другие свойства неопред
е-
лённого интеграла. Для примера возьмём интегрирование показ
а-
тельной и степенной функций.
Из курса математики известно, что А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
9
C
а
x
dx
x
а
а
1
1
и C
a
a
dx
a
x
x
ln
.
Далее приведём примеры вычисления этих функций в системе Mat
h
cad
.
Для степенной функции в общем и частном видах (необход
и
мо также обратить внимание на то, что Mathcad
не выдаёт конста
н
ту интегрирования).
Пример вычисления неопределённого интеграла от степенной функции в общем и частном видах.
Для показательной функции в общем и частном видах.
Пример вычисления неопределённого интеграла от показательной фун
к
ции в общем и частном видах.
Приведём пример ещё нескольких наиболее распространённых функций из таблицы неопределённых интегралов, которые наиб
о-
лее часто встречаются в задачах.
Пример вычисления неопределённого интеграла от дробной фун
к
ции.
Зд
есь стоит обратить внимание на то, что константа а
, которая располагается в подынтегральной функции
,
необязательно должна А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
10
иметь квадратную степень. Например, если стоит константа 4
, то её можно представить, как 2
2
. Если же стоит константа 3, то её можно представить как 2
3
. Аналогично и с другими табличн
ы-
ми значениями интегралов.
Приведём ещё несколько примеров.
Примеры вычисления неопределённы
х интегралов в системе Mathcad
.
Следует помнить, что Mathcad
не всегда корректно может в
ы-
числить неопределённый интеграл в общем виде, однако в частном случае вычисление будет произведено верно.
«Некорректное» вычисление неопределён
ного интеграла в общем виде. Появляется комплексная составляющая.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
11
Фактически
операция вычисления неопределенного интеграла является бесполезной, и предназначена только для того, чтобы увидеть
,
как собственно выглядит первообразная для данной функции. Это об
ъ
ясняется тем, что невозможно вычислить какое
-
то значение у получившейся функции, не говоря уже о том, что н
е
возможно будет построить график этой функции. Всё это делает операцию символьного дифференцирования, показательной опер
а-
цией, чт
о
бы просто «воочи
ю увидеть» первообразную от заданной фун
к
ции. Такой способ вычисления интеграла, когда из панели Матан
а-
лиз вызывается оператор Неопределённый инт
е
грал
, после чего вписывается подынтегральная функция и при помощи символьн
о-
го знака равенства выводится резул
ьтат вычисления, является до
с-
таточно редким и при больших расчётах применяется только как проверочный способ. В большинстве случаев необходимо вычи
с-
лить как неопределённый, так и определённый интеграл от фун
к-
ции, которая была уже задана ранее, причём резул
ьтат вычисления неопределённого интеграла необходимо также записать в функцию и при дальнейших расчётах найти значение этой функции в какой
-
либо точк
е
или построить её график.
Ниже приведу пример, который иллюстрирует, каким образом, вычисляется неопределё
нный интеграл от функции, которая была задана ранее и как результат вычисления записывается в функцию.
Пример вычисления неопределённого интеграла от функции, з
а
данной ранее.
Приведу ещё один пример.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
12
Пример вы
числения неопределённого интеграла от более сложной функции, з
а
данной ранее.
Помимо необходимости вычисления интеграла от функции, к
о-
торая была задана ранее, а также необходимости записи резул
ь
тата вычисления в функцию, существует также необходимость на
хо
ж-
дения значения результирующей функции в какой
-
либо точке.
Ра
с
смотрим следующий пример.
Пример вычисления значения результирующей функции в какой
-
либо точке.
Обратите внимание на следующее. Для того
,
чтобы вычислить значение фун
кции в какой
-
либо точке, необходимо произв
ести
в
ы-
чи
с
ление в качестве «символьного вычисления». При этом Mathcad
может выдавать значения типа )
2
ln(
или 2
e
и прочее, т.е. не в
ы-
водя само число. Поэтому для того, чтобы получить
сам р
е
зультат, необходимо скопировать выражение символьного резул
ь
тата при помощи оператора Вычислить численно
на панели Калькул
я
тор и
получить это число, как показано на примере выше. Помимо того, что данные могут вноситься непосредственно вместо переме
нной в результирующей функции, также можно з
а-
давать
ся
переменные, которые уже заранее
содержат численные значения
.
Их можно
использовать для вычисления значения фун
к-
ции, как подынтегральной, так и функции, которая является р
е-
зультатом интегрирования подынт
егральной функции.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
13
На следующем примере разберём этот случай.
Пример вычисления значения функции от переменной, заданной выше.
На рисунке ниже показано, что Mathcad
«отказывается» ст
р
о-
ить график первообразной функции. Как построить г
рафик перв
о-
образной функции разберём в разделе «Определённый инт
е
грал».
Mathcad
«отказывается» строить график первообразной фун
к
ции. Для построения графика см. раздел «Определённый инт
е
грал».
Помимо того, что приходится вычислять не
определённые и
н-
тегралы от функции одной переменной, в большинстве как мат
е-
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
14
матических, так и инженерных зада
ч
приходится вычислять как неопределенные, так и определенные интегралы функции нескол
ь-
ких переменных. Привед
ем
несколько примеров на вычисление инте
гралов от функции нескольких переменных.
Пример вычисления неопределенного интеграла от функции двух пер
е
менных.
Пример вычисления неопределённого интеграла
от функции трёх переменных.
Зачастую
, помимо того, что есть необходимость вычислять н
е-
определённый интеграл от функции нескольких переменных, та
к-
же
существует
необходимость вычисл
я
ть значения первообразной нескольких переменных в з
а
данной точке.
Привед
ем
ниже пример такого вычисления.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
15
Пример вычисления значения первообразной в заданных точках.
Мы
разобрали возможности системы Mathcad
для вычисления неопределенных интегралов. В следующем разделе будут привед
е-
ны
примеры вычисления неопределённых интегралов в системе Mathcad
.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
16
II
. ВЫЧИСЛ
ЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
В курсе математики были изучены такие способы нахождения неопределённого интеграла, как непосредственное подвед
е
ние функции под знак дифференциала, непосредственная замена пер
е-
менной, метод интегрирования по частям. Также был
и показаны способы интегрирования рациональных дробей типа
)
(
)
(
x
Q
x
P
m
n
и и
н-
тегрирование тригонометрических выр
а
жений. Задача этого раздела -
показать, как можно при помощи сист
е-
мы Mathcad
вычислять интегралы сложных функций, а также пр
и-
менять различные способы интег
рирования в системе Mathcad
.
Первый способ, который следует разобрать –
это непосредс
т-
венное подведение функции под знак дифференциала. Если интеграл имеет вид dx
x
t
x
t
f
)
(
))
(
(
, то замена переме
н-
ной осуществляется подведением множителя )
(
x
t
под знак ди
ф-
ференциала: dt
dx
x
t
)
(
, и задача сводится к вычислению инт
е-
грала dt
t
f
)
(
. Пример:
x
x
d
x
xdx
dx
x
x
dx
x
cos
)
(cos
cos
sin
cos
sin
tg
(
задача сведена к вычислению t
dt
, где x
t
cos
) C
x
|
cos
|
ln
)
. Пример:
x
d
e
xdx
e
x
x
sin
cos
sin
sin
(задача сведена к в
ы
числению dt
e
t
, где x
t
sin
) C
e
x
sin
)
. В системе Mathcad
нет необходимости применять данное пр
а-
вило и делать подведение функции под знак дифференциала. А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
17
Пример вычисления неопределённого интеграла.
Ответ, который был получен в примере в системе Mathcad
, вполне соответствует ответу, который был получен при вычисл
е-
нии данного интеграла «вручную». Здесь следует также отметить, что при записи «вручную» мы м
ожем записать выражение )
cos(
x
под знаком дифференциала, т.е. так ))
(cos(
x
d
. Однако
,
таким же образом записать данное в
ы-
ражение в системе Mathcad
невозможно, так как под знаком ди
ф-
ференциала должна стоять переменная, по которой буд
ет происх
о-
дит
ь
интегрирование выражения. Приведём следующи
й
пример.
Пример вычисления неопределённого интеграла.
Как и в предыдущем примере, нет необходимости вносить под знак дифференцирования тригонометрическую фун
к
цию )
sin(
x
. А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
18
Как для первого, так и
для второго примера следует сделать следующее замечание
:
когда в каких
-
либо расчётах происходит операция интегрирования или
операция дифференцирования
,
вс
е-
гда необходимо делать проверку правильности полученных р
е-
зультато
в. Для этого может быть создана дополнительная фун
к
ция. Для непосредственной проверки правильности выполненной оп
е-
рации си
с
темой Mathcad
рекомендуется строить графики, так как результат либо интегрирования, либо дифференцирования м
о
жет быть записан системо
й в произвольной форме, поэтому проще д
е-
лать пр
о
верку при помощи графиков. Если графики исходной и результирующей функции совпадают на интересующем промежу
т-
ке, то операцию можно считать выполненной правильно.
К выше разобранным примерам можно сделать ещё п
ояснения относительно ключевого слова simplify
. Данная операция упрощ
а-
ет полученный результат и выводит его на экран. Какого
-
либо м
а-
тематического смысла она не несёт, её основная задача -
предст
а-
вить полученный результат в более читабельном для пользовател
я виде.
Следующий метод, который необходимо разобрать –
это метод непосредственной замены переменной. Замену переменной можно осуществлять формальным свед
е-
нием подынтегрального выражения к новой переменной. Если п
е-
ременную х
представить в виде функции от новой переменной t
, при этом dt
t
x
dx
)
(
. Получим
dx
x
f
)
(
dt
t
x
t
x
f
)
(
))
(
(
.
Разберём такой пример.
Сделаем в интеграле xdx
e
x
cos
sin
замену переме
н
ной x
t
sin
. Выражаем все множители подынтегрального выр
а
жен
ия через переменную t
: 2
2
2
1
sin
1
cos
;
1
;
arcsin
t
x
x
t
dt
dx
t
x
;
Получаем:
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
19
xdx
e
x
cos
sin
C
e
dt
e
t
dt
t
e
t
t
t
2
2
1
1
C
e
x
sin
Так же
,
как и в предыдущем случае
,
нет необходимости делать замену переменной, просто достаточно записать оператор инте
гр
и-
рования и сделать проверку полученного результата. Наиболее интересный способ с точки зрения применения во
з-
можности системы Mathcad
-
способ интегрирования рационал
ь-
ных дробей. В курсе математики за 3 семестр был разобран такой пример:
dx
х
х
х
3
2
2
3
2
Для разложения этой дроби на простейшие выполняем сл
е-
дующие дейс
т
вия:
1) Раскладываем знаменатель на множители, решая квадратное ура
в
нение
0
3
2
2
х
х
,
25
)
3
(
2
4
1
4
2
2
ac
b
D
,
2
/
3
1
4
5
1
2
2
,
1
a
D
b
x
)
3
2
)(
1
(
)
2
/
3
)(
1
(
2
3
2
2
х
х
х
х
х
х
2) Дробь представляется в виде суммы двух простых дробей
3
2
1
)
3
2
)(
1
(
2
3
х
В
х
А
х
х
х
3) Чтобы найти коэффициенты А и В, приведем две дроби справа к общему знаменателю:
)
3
2
)(
1
(
)
3
(
)
2
(
)
3
2
)(
1
(
)
1
(
)
3
2
(
3
2
1
x
x
B
A
x
B
A
x
x
x
B
x
A
х
В
х
А
4) Приравниваем полученный числитель к числителю исхо
д-
ной дроби:
2
3
)
3
(
)
2
(
x
B
A
x
B
A
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
20
Приравнивая отдельно коэффициенты при х
и свободные чл
е-
ны, получ
а
ем систему уравнений:
2
3
3
2
B
A
B
A
Откуда А = 1, В = 1
.
5) Таким образом, исходный интеграл разбивается на два пр
о-
стых:
C
x
x
x
dx
x
dx
dx
х
х
х
)
3
2
ln(
2
1
)
1
ln(
3
2
1
3
2
2
3
2
В Mathcad
он может б
ыть решён в одно действие.
Пример вычисления неопределённого интеграла.
Однако необходимо любые вычисления сопровождать прове
р-
кой. Поэтому этот пример может быть выполнен следующим обр
а-
зом
:
Пример вычисления неоп
ределённого интеграла.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
21
Может получиться так, что Mathcad
не сможет взять интеграл от этого выражения и выдаст ошибку –
т.е. не будет считать. Тогда для того, чтобы избавиться от ненужных вычислений «на бумаге» можно применять систему Mathcad
непосредстве
нно как обычный калькулятор. К примеру, уравнение 0
3
2
2
х
х
можно решить при помощи пары операторов Given
–
Find
. В Mathcad
это может выглядеть следующим образом.
Пример решения квадратного уравнения в Mathcad
.
В след
ующем примере рассмотрим интегрирование тригон
о-
метрических выражений. Проинтегрируем выражение x
x
dx
cos
7
sin
4
7
.
Пример интегрирования тригонометрического выражения.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
22
Обратите внимание на этот пример
:
после проверки исходной под
ынтегральной функции не получилось, даже после упрощения полученного выражения –
функции )
(
x
g
. Поэтому для того, чт
о-
бы проверить правильность полученного значения неопределённ
о-
го, необходимо построить графики и
с
ходной функции )
(
x
f
и проверочной фун
к
ции )
(
x
g
.
Проверка правильности вычисления неопределённого интеграла.
Поскольку графики данных функций совпадают, то можно считать, что интеграл был взят системой Mathcad
верно, несм
отря на то, что при проверке результатов было получено совсем другое выражение. В данном разделе была поставлена цель показать,
как при п
о-
мощи системы Mathcad
могут
быть решены относительно сло
ж
ные задачи по вычислению неопределённых интегралов и какие сл
о
ж-
ности могут встречаться при их вычисл
е
нии. После того, как были разобраны неопределённые интегралы, перейдём к изучению определённых интегралов. А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
23
III
. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГ
РАЛ
В предыдущих разделах было показано, каким образом можно при помощи системы M
athcad
вычислять неопределённые интегр
а-
лы. Как было сказано выше, процедура вычисления неопределё
н-
ного интеграла сводится к вычислению первообразной функции и не несёт в себе большой смысловой нагрузки. Для того, чтобы перейти уже непосредственно к примен
ению системы Mathcad
для вычисления определённого интеграла, вспомним теоретический раздел, посвящённый определённому и
н-
тегралу из курса математики.
Геометрическая трактовка в понятию определённый интеграл.
Рассмотрим на координатной плоскости область D
, огран
и-
ченн
ую
осью Ox
, графиком непрерывной функции )
(
x
f
y
, з
а-
данной на отрезке ]
;
[
b
a
, и двумя отрезками вертикальных прямых a
x
и, b
x
,
соединяющи
х
точки оси Ox
с точками графика (см.
рис.). Площадь этой области называется определенным интегралом
функции f
(
x
)
на отрезке ]
;
[
b
a
и обозначается символом b
a
dx
x
f
)
(
. При этом число а
называется нижним пределом интегрирования
, а число b
–
верхним
.
Далее вспомним формулу Ньютона
-
Лейбница, которая вносит ясность в вычисление определённо
го интеграла.
Связь между определенным и неопределенным интегралом у
с-
танавливает Формула Ньютона
-
Лейбница.
Если )
(
x
f
непрерывна А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
24
на отрезке ]
,
[
b
a
, и )
(
x
F
-
некоторая первообразная функции )
(
x
f
, т
о
.
b
a
a
F
b
F
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
Разность в правой части формулы Ньютона
-
Лейбница об
о-
знач
а
ется специальным символом: )
(
)
(
)
(
a
F
b
F
x
F
b
a
(здесь b
a
x
F
)
(
читается как "подстановка от a
до b
"), поэтому формулу Нь
ю
тона
-
Лейбница обычно записывают так: b
a
b
a
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
Таким образом, задача вычисления определенного интеграла сводится к нахождению первообразной (неопределенного интегр
а-
ла) и вычислению разности ее значений при верхнем и нижнем пределе интегр
и
ро
вания.
Разберём следующий пример.
Вычислим площадь под синусоидой (вычисление определённ
о-
го интеграла):
2
1
1
0
cos
cos
)
cos
(
sin
0
0
x
xdx
.
Вычислим площадь под параболой (вычисление определённого интеграла):
3
1
0
3
1
3
1
0
3
1
0
2
x
dx
х
Прежде чем перейти к инструменту сис
темы Mathcad
для в
ы-
числения определённого интеграла, давайте посмотрим
,
каким о
б-
разом, основыва
я
сь на определении определённого интеграла по Ньютону
-
Лейбницу
,
можно вычислить определённый интеграл.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
25
Вычисление определённого интеграла средствами неопред
елённого и
н
теграла. Аналогичный пример рассмотрим со степенной функцией.
Вычисление определённого интеграла средствами неопределённого и
н
теграла.
Хочется обратить ваше
внимание на подчеркивание функции )
(
x
F
, как в первом, так и во
втором примере. Это по
д
черкивание связано не с ошибкой, которая возникает в процессе вычисления в системе Mathcad
, а с тем, что данная функция была либо определ
е-
на и использована ранее (
имеется в виду её идентификатор
,
назв
а-
ние функции), либо переопределя
ет какую
-
то внутреннюю фун
к-
цию системы
,
т.е. ведётся её перез
а
пись. А теперь познакомимся собственно с возможностями системы Mathcad
по вычислению определённого интеграла. Для того, чтобы вызвать оператор вычисления определённого интеграла, необх
о-
димо на панели Исчисления
найти значок Определённый инт
е-
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
26
грал
. После его нажатия на экране системы появится следующий символ.
Значок определённого интеграла.
Его основные отличия от значка неопределённого интеграла заключаются в том, что в нём есть черные ква
дратики для внесения туда пределов интегрирования. Соответственно верхний значок –
это верхний предел интегрирования, нижний значок –
это нижний предел интегрирования. Например, выражения, которые были в
ы-
числены ранее при помощи неопределённого интеграла, могут быть вычислены при помощи определённого интеграла следу
ю-
щим образом.
Пример вычисления определённого интеграла.
Необходимо
обратить внимание на следующую вещь. Для того, чтобы получить результат в неопределённом интеграле, необход
и-
мо было испол
ьзовать оператор Символьное вычисление
, кот
о-
рый расп
о
лагается на панели Символьная
. Это было сделано для того, что
бы
при вычислени
и
неопределённого интеграла резул
ь
тат был выдан в виде функции
,
т.е. был выдан символьный р
е
зультат. Однако в случае определён
ного интеграла мы получаем численное значение
. П
оэтому для получения результата необходимо испол
ь-
зовать оператор Вычислить численно
, который ра
с
полагается на панели Калькулятор
. Однако это не исключает возможность и
с-
пользования оператора Символьное вычисле
ние
, который расп
о-
лагается на панели Символьная
при решении чи
с
ленных задач. Обратим внимание на следующий пр
и
мер.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
27
Применение символьного оператора для вычисления числовых значений.
Иногда полезно получать результат вычисления именно в т
а-
ком виде, не
жели в числовом. Смотрите пример ниже.
Применение численного оператора.
Далее рассмотрим основные свойства определённого интеграла и докажем их на примере вычислений в системе Mathcad
.
Первое свойство. Константу можно выносить за знак опред
е-
ленного интеграла
b
a
b
a
dx
x
f
A
dx
x
Af
)
(
)
(
.
Данное свойство можно пояснить на примере вычисления в системе Mathcad
определённого интеграла, например, от степенной функции.
Демонстрация первого свойства определённого интеграла.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
28
Обратите внимание в этом примере,
что результат нахождения определённого интеграла можно записать в переменную и в дал
ь-
нейшем применять её для расчётов.
Второе свойство. Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов.
b
a
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
))
(
)
(
(
Демонстрация второго
свойства определённого интеграла.
Если обращать внимание на синтаксис записи определённого интеграла в системе Mathcad
, то также справедлива сл
е
дующая запись.
Демонстрация второго свойства определённого интеграла.
Третье свойство. Если )
(
x
f
интегрируема по отрезку ]
,
[
b
a
и точка c
принадлежит этому отрезку, то А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
29
b
a
c
a
b
c
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
В системе Mathcad
это может выглядеть следующим обр
а
зом.
Демонстрация третьего свойства определённого интеграла.
Помимо демонстрации третьего свойства определённого инт
е-
грала
,
здесь также можно обратить внимание на то, что сами пр
е-
делы интегрирования могут задаваться непосредственно через п
е-
ременную, которая была определена выше или значение которой был
о
получен
о
ка
к результат вычисления каких
-
либо выражений.
Четвертое свойство. Смена знака равносильна смене пределов интегрирования
a
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
Докажем это при помощи системы Mathcad
.
Демонстрация четвёртого свойства определённого интеграла.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
30
После того как были даны основные определения определё
н-
ного интеграла, а также разобраны примеры о том, как работает с определёнными интегралами система Mathcad
, перейдём непосре
д-
ственно к приложению определённого интеграла. А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
31
IV
. ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛ
ЁННОГО ИНТЕГРАЛА
Один и
з
ярки
х
примеров применения определённого интегр
а
ла, следующий из определения, которое было дано выше
,
–
это вычи
с-
ление площадей фигур. Это приложение относится к геометрич
е-
скому смыслу определённого интеграла. Вспомним теорию.
Пусть )
(
x
f
и
)
(
x
g
-
две непрерывные функции, заданные на о
т
резке ]
;
[
b
a
, причём )
(
)
(
x
g
x
f
при всех ]
;
[
b
a
x
. Между графиками )
(
x
f
y
и )
(
x
g
y
лежит область D
, с боков огр
а-
ниченная отрезк
а
ми прямых a
x
и b
x
.
Если обе функции неотрицательны, то есть 0
)
(
x
f
, то для вычисления площади области D
достаточно заметить, ч
то она равна разности площадей областей g
D
и f
D
, лежащих между о
т-
резком ]
;
[
b
a
(снизу) и, с
о
ответственно, графиком )
(
x
g
y
и )
(
x
f
y
(сверху). Для нах
о
ждения площадей
областей g
D
и f
D
применим формулу Ньютона
-
Лейбница и п
о
лучим:
b
a
b
a
b
a
f
g
D
dx
x
f
x
g
dx
x
f
dx
x
g
S
S
S
))
(
)
(
(
)
(
)
(
Вычисление п
лощадей при помощи определённого интеграла.
Приведём пример нахождения площади под кривой в системе Mathcad
. Для степенной функции.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
32
Вычисление площади под кривой при помощи определённого и
н
теграла.
Однако для того, чтобы процедура вычисления опреде
лённого интеграла была более наглядна, т.е. чтобы можно было визуально увидеть ту площадь, которая вычисляется, Mathcad
предоставляет такую возможность визуализации. Смотрите пример ниже.
Визуализация геометрической трактовки определённого интегр
а
ла.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
33
Заштрихованная площадь соответствует той площади, которую вычисляет определённый интеграл. Другими словами, заштрих
о-
ванная площадь на приведённом выше рисунке равна 174
,
4
A
. Этот пример наглядно показывает, какую площадь и между какими инт
ервалами вычисляет определённый интеграл. В данном случае пределами, как интегрирования, так и пределами для построения площади являются числа a
и b
. При изменении их значения будет меняться пределы интегрировани
я, а также будет меняться з
а-
штрихованная область на рисунке. Теперь давайте вспомнить из курса математики, что если гр
а-
фик функции находится выше оси Ox
, т.е. функция на всем пр
о-
межутке интегрирования принимает положительные значения,
то интеграл получается положительным. Если же график функции располагается ниже оси Ox
, т.е. функция на всем промежутке и
н-
тегрирования принимает отрицательные значения, то интеграл п
о-
лучится отрицательным. Если на всем промежутке инте
грирования функция принимает как положительные, так и отрицательные зн
а-
чения, то числовое значение определённого интеграла будет скл
а-
дываться из «положительной» части интеграла и его «отрицател
ь-
ной» части. Наглядно это может демонстрировать следующий приме
р. Сравните его с предыдущ
и
м.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
34
Визуализация геометрической трактовки определённого интегр
а
ла.
В данном случае при изменении пределов интегрирования м
е-
няется и значение этого интеграла. Несмотря на то, что заштрих
о-
ванная площадь стала больше, само значе
ние интеграла стало меньше, чем в предыдущем примере. Может получиться и так, что значение определённого интегр
а-
ла будет нулевым. Такое обычно происходит, когда функция п
е-
риодическая и пределы интегрирования для неё заданы симме
т-
рично.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
35
Пример интегриро
вания тригонометрической функции.
Теперь рассмотрим некоторые простые физические прилож
е-
ния интеграла. Если тело в период времени с 1
t
по 2
t
имеет скорость )
(
t
v
(скорость меняется со временем)
, тогда перемещение (ра
с
стояние между начальной и конченой точкой маршрута) будет в
ы
числяться по формуле:
2
1
)
(
t
t
dt
t
v
S
Таким образом, скорость является производной перемещения, а перемещение –
интегралом от скорости. Путь тела (длина траектории
или то расстояние
,
которое фа
к-
тически проехал
о
) вычисляется по следующей формуле:
2
1
)
(
*
t
t
dt
t
v
S
.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
3
6
Если скорость тела не меняет знака (тело движется в одном н
а-
правлении), то его путь и перемещение совпадают.
Разберём следующий пример:
Скорость тел
а меняется по закону 2
2
48
)
(
t
t
t
(м/с). Определить перемещение и путь тела за первые 6 и 9 секунд. Р
е-
шение этой задачи может выглядеть следующим образом.
Решение задачи на нахождение перемещения и пройденного пути по з
а-
данной формуле скорос
ти движения тела.
Для наглядности построим график скорости, а также найдём её значение в заданные моменты времени.
График изменения скорости движения тела и значение скорости в з
а
данные моменты времени.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
37
Таким образом, в момент времени 6
2
t
тело начинает дв
и-
гаться в обратном направлении. При этом перемещение начинается уменьшаться –
как это видно из графика зависимости изменения скорости от времени. Однако само перемещение –
т.е. пройденный путь постоянно увеличивается. Данные резу
льтаты вычисления достигаются вводом в подынтегральную функцию знака модуля. Таким образом, если необходимо вычислить суммарную площадь, которая образуется между графиком функции и осью Ox
вне зав
и-
симости от того, какие значение приним
ает функция -
полож
и-
тельные или отрицательные, необходимо вводить оператор М
о-
дуль
под знак интеграла. Существует ещё одно достаточно распространённое примен
е-
ние определённого интеграла. С этой задачей вы
столкнётесь, к
о-
гда будет
е
проходить курс «Общая эне
ргетика» и выполнять ку
р-
совую работу. Речь идёт о вычислении потребляемой электроэне
р-
гии. Если потребляемая мощность предприятия изменяется по зак
о-
ну P
(
t
)
, то количество потребленной электроэнергии за время с t
1
по t
2 вычисл
я
ется по формуле:
2
1
)
(
t
t
dt
t
P
E
.
Рассмотрим пример. Мощность предприятия в течение дня меняется по закону 320
15
)
(
2
t
t
t
P
(кВт). Сколько электроэнергии потребляет пре
д
приятие в период с 8 до 18 часов?
Согласно формуле
,
получаем:
18
8
18
8
18
8
2
3
2
)
320
2
15
3
(
)
320
15
(
)
(
t
t
t
dt
t
t
dt
t
P
E
8
320
2
8
15
3
8
18
320
2
18
15
3
18
2
3
2
3
=
ч
кВт
3
1
3023
Решим эту же задачу в системе Mathcad
, изобразим при этом график заданной функции и временные пределы.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
38
Решение задачи на потребляемую мощность предприятием в з
а
данный промежуток времени.
В данном случае для простоты,
как вычисления, так и пре
д-
ставления результатов была выбрана степенная функция второго порядка. Однако в большинстве случаев отсутствует строго опр
е-
делённые зависимости от режима потребления электроэнергии. Поэтому данные функции представляют собой
набор экспериме
н-
тальны
х
(фактически измеренных) данны
х
, по которы
м
уже
пров
о-
дится вычисление фактической потреблённой мощности. Каким образом
,
это может происходить и как это считается –
смотр
и
те курс «
Теория вероятности и Математическая статистика
»
, а также при
л
о
жение к нему –
Mathcad
III
курс. А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
39
Под конец данного раздела хотелось бы вспомнить некоторые договорённости, которые были даны в разделе посвященном Нео
п-
ределённому интегралу. Если вы
внимательно изучали
раздел Н
е-
определённый интеграл, то наверняка помнит
е
, что Mathcad
«отк
а-
зывался» строить график функции, которая была получ
е
на путём интегрирования. Также невозможно было записать значение пе
р-
вообразной функции, после того, как был найден и
н
теграл. На рисунке ниже приведём пример, а после обсудим его. Вычисление определённого интеграла по переменной.
В данном примере были дан
ы
две функции
:
первая функция )
(
x
F
была задана в качестве символьной функции, а вторая функция )
(
x
F
была задана как числовая функция, но оди
н из пр
е-
делов которой является переменная, от которой задаётся фун
к
ция, т.е. x
. Как было показано ранее
, график функции, заданн
ый
выше, не может быть построен и его нельзя применять в качестве фун
к-
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
40
ции для вычисления. Поэтому для того,
чтобы использовать фун
к-
цию в дальнейших вычислениях, необходимо брать от первообра
з-
ной определённый интеграл, один предел к
о
торого 0, а второй предел –
переменная
,
по которой берётся интеграл. Однако следует учит
ы
вать, что этот метод работает не всегда. Э
то иллюстрирует сл
е
дующий пример. Пример нахождения определённого интеграла,
как функцию от переме
н
ной.
В данном случае график сместился относительно оси Ox
на единицу вверх. Характер графика от этого не изменился –
кривая, кото
рая построена, является )
cos(
x
, это также показывает пр
о-
верка дифференцированием –
это показано внизу примера. Однако с математической точки зрения результат является неверным.
Вот здесь хотел
ось
бы
сделать о
д
но важное замечание для всех т
ех
, кто использует систему Mathcad
в математических, технич
е-
ских, экономических, экспериментал
ь
ных расчётах. Никогда не надо слепо доверять всем тем расчётам и результ
а
там, который А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
41
выдаёт система Mathcad
. Mathcad
–
это очень мощный калькул
я-
тор, позволяющий
упростить большинство математических дейс
т-
вий
. О
днако необходимо производить трассировку (
отладочное выполнение программы, при котором на экран или на принтер в
ы-
водятся аргументы и результаты выполнения каждой команды
)
всех этих действий, визуализировать все данные, в противном сл
у-
чае вы
может
е
столкнуться с неверным резул
ь
татом. Ещё один пример, наглядно демонстрирующий возможную ошибку при вычислении определённого интеграла.
Пример нахождения определённого интеграла,
как функцию от переме
н
ной.
Как
и в предыдущем примере, проверка показала, что опред
е-
лённый интеграл был вычислен верно, однако как график, так и сам вывод результата при помощи символьного оператора показ
ы-
вает, что результат отличается на «1», т.е. график первообразной смещён по оси Oy
вверх на одну единицу. Как в этом, так
как и в предыдущем примере
,
этого можно избежать, если из получи
в-
шейся функции вычесть «1», найдя её в первообразной при пом
о-
щи пр
о
верки.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
42
V.
НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГ
РАЛ
Прежде чем перейти к этой теме
, рекомендуется вспомнить о
с-
новные правила работы в системе Mathcad
с пределами –
их о
с-
новные свойства, предел на бесконечности, предел функции в то
ч-
ке, где она не существует.
До сих пор при рассмотрении определенного интеграла b
a
dx
x
f
)
(
мы п
редполагали, что отрезок интегрирования ]
;
[
b
a
и сама функция )
(
x
f
ограничены. Однако это не всегда так. Рассмотрим интеграл как функцию от верхнего предела инте
г-
риров
а
ния: b
a
dx
x
f
x
Ф
)
(
)
(
Если эта функция имее
т предел )
(
lim
b
I
b
то число I
н
а-
зывается значением несобственного интеграла первого р
о
да
a
dx
x
f
I
)
(
а сам интеграл a
dx
x
f
)
(
называется сходящимся
(иными сл
о
вами, интеграл сходится
). Если же к
онечного предела )
(
lim
b
I
b
не существует, то интеграл a
dx
x
f
)
(
называется расходящимся
(то есть инт
е
грал расходится
). Геометрически, если 0
)
(
x
f
, величина несобственного инт
е-
грала означает
a
dx
x
f
)
(
, по определению, площадь бесконечно А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
43
длинной области D
, лежащей в координатной плоскости между лучом )
;
[
a
на оси Ox
, графиком )
(
x
f
y
и вертикальным отре
з
ком a
x
(рис.). Сходящиеся интегралы соответствуют таким областям D
, площадь которых конечна (хотя сама область D
н
е ог
раничена), а расходящиеся (в случае 0
)
(
x
f
) -
неограниченным областям с бес
конечной площ
а
дью. Само определение значения интеграла через предел интегр
а
лов по конечным, но увеличивающимся отрезкам означает исче
р
пание площади I
S
путем учёта все большей её части b
a
b
dx
x
f
S
)
(
правый вертикальный отрезо
к, проведённый при b
x
, отодвиг
а-
ется всё дальше и дальше в бесконечность; в пределе будет учтена вся площадь под граф
и
ком )
(
x
f
y
. Разберём следующий пример.
Вычислить несобственный интеграл I
рода
0
2
1
x
dx
. При вычислении несобственных интегралов можно польз
о-
ваться т
е
ми же приемами, что и с обычными интегралами. Так, по формуле Нь
ю
тона
-
Лейбница:
0
)
(
1
0
0
2
arctg
arctg
x
arctg
x
dx
Условную запись )
(
arctg
следует понимать как 2
lim
arctgx
x
Получаем, что интеграл сходится и его значение равно
2
1
0
2
x
dx
Теперь эту же задачу решим в системе Mathcad
. Также буд
ем
применять передел функции на бесконечности.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
44
Смотрите пример ниже.
Нахождение несобственного интеграла 1 рода.
Зача
стую есть необходимость применять предел для вычисл
е-
ния несобственного интеграла –
это сделано, во
-
первых, для н
а-
глядности, а во
-
вторых
,
для более точного описания самой проц
е-
дуры нахождения несобственного интеграла. Однако можно обо
й-
тись и без него. Нахождение несобственного интеграла 1 рода.
Поскольку рассматриваемая функция
2
1
1
)
(
x
x
f
чётная, то её график симметричен относительно оси Oy
, так что площадь под граф
и
ком левее оси
Oy
точно такая же, как и площадь правее оси Oy
, то есть тож
е равна 2
, а площадь под всем графиком (над всей осью Ox
) ест
е
ственно считать равной . Докажем это на примере.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
45
Нахождение несобственного интеграла 1 рода.
Рассмотрим несобственный интеграл 1
x
dx
Действуя так же, как в предыдущем примере, получаем: 1
ln
)
ln(
ln
0
1
x
x
dx
Но x
x
ln
lim
)
ln(
.
Значит, несобственный интеграл 1
x
dx
расходится и, сл
е-
довательно, не имеет никакого числового зн
а
чения. Аналогичным об
разом рассуждения могут проводиться и при вычислении данной задачи в системе Mathcad
. Если, например, при символьно
м
вычислении несобственный интеграл будет расходи
т-
ся, то сам интеграл «покраснеет» и появится надпись Это вычи
с-
ление не сходится к решению
. Е
сли интеграл будет вычисляться А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
46
как символьное решение, то результат этого вычисления будет обозначен как undefined
, что будет обозначать, что несобственный интеграл просто не определён
,
т.е. не существует конечной площ
а-
ди между графиком функции и осью Ox
. Ниже разобран такой пример. Вычисление несобственного интеграла первого рода.
Обратите внимание, что один из определенных интегралов р
а-
вен «0». Это вполне объяснимо, так как функция является симме
т-
ричной относительно начала коор
динат –
т.е. нечётной. Поэтому при вычислении интеграла от до результат будет равен «0», несмотря на то, что в отдельности как на , так и на интеграл будет не определён.
Далее рассмотрим несобственный интеграл 2 рода.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
47
Пусть функция )
(
x
f
имеет в точке b
x
разрыв II
рода, н
а-
пример, предел слева
)
(
lim
0
x
f
b
x
. Тогда интеграл b
a
dx
x
f
)
(
будет интеграл от неограниченной функции по ограниченной о
б-
ласти интегриров
а
ния. Такой интеграл называется несобственным интегралом II
рода.
Строго говоря, этот интегра
л определяется как левосторонний
преде
л
:
1
1
)
(
lim
b
a
b
b
dx
x
f
I
Если этот предел сущес
твует, то несобственный интеграл н
а-
зывается сходящимся
, а если предела не существует, то расход
я-
щимся
. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого ч
и-
слов
о
го значения; в этом случае условно записывается b
a
dx
x
f
)
(
Геометрически вычислени
е несобственного интеграла второго рода представляет собой вычисление площади неограниченной фигуры под графиком функции )
(
x
f
y
над отрезком ]
;
[
b
a
.
Рассмотрим пример.
Вычислить интеграл 1
0
2
1
x
dx
Заметим, чт
о подынтегральная функция претерпевает разрыв II
рода в точке 1
х
(знаменатель обращается в нуль). Следовател
ь-
но, этот инт
е
грал является несобственным интегралом II
рода. Его можно вычислить теми же методами, что и обычный собственный и
нтеграл. Применим формулу Ньютона
-
Лейбница:
1
0
1
0
2
2
0
arcsin
1
arcsin
arcsin
1
x
x
dx
Теперь посмотрим, как можно вычислить несобственный инт
е-
грал 2 рода в системе Mathcad
.
Смотрите пример ниже.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
48
Вычисление несобственного интеграла 2 рода.
Предел в данном примере был в
ычислен неслучайно. Основная задача заключалось в том, чтобы показать читателю
:
несмотря на то, что в какой
-
то точке график дальше не строится, все равно пр
е-
дел в точке, где функция не существует равен . В заключение этого раздела х
отелось бы отметить, что практ
и-
чески все те же самые принципы имеют место в вычислении сх
о-
димости и расходимости числовых рядов. Об этом смотрите ниже. А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
49
VI
. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
РЯДЫ ФУРЬЕ
При изучении разнообразных периодических процессов, т.е. процессов,
которые через определённый промежуток времени п
о-
вторяется (встречаются в радиотехнике, электронике, теории упр
у-
гости, теории и практике автоматического регулирования и т.д.), целесообразнее разлагать периодические функции, описывающие эти процессы, не в с
тепенной ряд, а в так называемый тригономе
т-
рический ряд.
Важным классом функциональных рядов являются тригон
о-
метрические ряды. Эти ряды удобны для разложения периодич
е-
ских функций, описывающих различные периодические процессы (например, переменный ток и по
казатели качества электрической энергии).
Тригонометрический ряд, это ряд вида
...
)
sin(
)
cos(
...
)
sin(
)
cos(
2
1
1
0
nx
b
nx
a
x
b
x
a
a
n
n
1
0
)
sin(
)
cos(
2
n
n
n
nx
b
nx
a
a
.
где 0
a
, n
a
, n
b
-
коэффициенты ряда (действительные числа).
Если )
(
x
f
-
периодическая функция с периодом 2
и удо
в-
летворяет на отрезке ;
некоторым условиям (условиям Д
и-
рихле), тогда эту функцию можно разложить в тригонометрич
е-
ский ряд:
1
0
)
sin(
)
cos(
2
)
(
n
n
n
nx
b
nx
a
a
x
f
который называется ря
дом Фурье.
Коэффициенты такого ряда называются коэффициентами Ф
у-
рье и вычисляются по формулам:
dx
x
f
a
)
(
1
0
, dx
nx
x
f
a
n
)
cos(
)
(
1
dx
nx
x
f
b
n
)
sin(
)
(
1
, ....
3
,
2
,
1
n
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
50
Таким образом, разложение периодической функции в триг
о-
но
метрический ряд Фурье сводится к вычислению определённых интегралов и записи функциональной зависимости функции. Рассмотрим пример.
Разложим элементарную степенную функцию x
x
f
)
(
на и
н-
тервале ;
. Все вычисления будем п
роизводить в системе Mathcad
и параллельно давать комментарии к вычислениям.
Построение графика разлагаемой функции. Обозначение её периода ра
з
ложения.
В данном примере мы построили график функции на том и
н-
тервале, на котором в дальнейшем будет прои
сходить разложение. Этот период может быть выбран произвольно. Границы периода в данном случае задаются переменными 1
x
и 2
x
. После того, как были заданны границы периода разложения, и была задана сама функция, кот
орая будет раскладываться на этом А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
51
периоде, необходимо вычислить коэффициенты ряды Фурье –
т.е. найти три определённых интеграла, а именно
dx
x
f
a
)
(
1
0
, dx
nx
x
a
n
)
cos(
1
dx
nx
x
b
n
)
sin(
1
.
Найдём значения этих определённых интегр
алов.
Нахождение коэффициентов ряда Фурье.
После того, как были найдены коэффициенты Фурье, в завис
и-
мости от точности конечного результата задаётся число n
-
т.е. количество составляющих конечной функции –
т.е. количество слагае
мых. Для наглядности конечных результатов построим серию гр
а-
фиков при разных значениях n
, а также будем находить опред
е-
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
52
лённый интеграл на произвольном промежутке и отслеживать, как будет меняться результат.
Визуализация графиков д
ля разных значений «
n
».
В данном примере функции были заданы одна от другой, так как при возрастании n
их значения повторяются. В конечном р
е-
зультате они имеют следующий вид.
Значения функций ряда Фурье при различных значениях «
n
».
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
53
Данный способ за
дания результирующей функции является достаточно громоздким и неудобным. Однако его основное пр
е-
имущество в том, что максимально нагляден. А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
54
В системе Mathcad
существует возможность задания функции непосредственно через оператор Суммирование
, который
нах
о-
дится на панели Исчисление
. Приведём три примера на примен
е-
ние этого оператора, а также отследим, как меняется точность п
о-
лученного графика в сравнении с оригинальным, и найдём эту то
ч-
ность (смотрите выше).
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
55
Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье.
Функция x
x
f
)
(
является симметричной функцией относ
и-
тельно начала координат, поэтому определенные интегралы dx
x
f
a
)
(
1
0
и dx
nx
x
f
a
n
)
cos(
)
(
1
были равны нулю. Рассмотри
м
функцию общего вида x
e
x
f
)
(
и разложим её в т
ригонометрический ряд Фурье при помощи системы Mathcad
. Пример разложения дан ниже.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
56
Для получения более точного результата зададим количество разложений 45
nx
. Однако следует помнить, что время, затр
а-
чиваемое на разложение с увел
ичением nx
, возрастает в геометр
и-
ческой прогрессии. Могут встречаться такие случаи, что система Mathcad
может отказаться считать этот пример.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
57
Разложение в тригонометрический ряд Фурье функции x
e
x
f
)
(
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
58
VII
. ЧИСЛОВЫ
Е РЯДЫ
В предыдущей главе нами была разобрана тема, касающаяся тригонометрических рядов Фурье и разложение периодических функций в этот ряд.
В этой главе мы познакомимся с числовыми рядами, а также возможностями системы Mathcad
по их исследованию. Следует отметить, что к
а
ких
-
либо специальных функций для исследования сходимости числовых рядов в си
с
теме Mathcad
не предусмотрено, как в принципе и для тригонометрических рядов Фурье. Однако существует дост
а
точное количество операторов, которые, при должном приме
н
е
нии, могут оказать помощь при исследовании числовых рядов. Вспомним те
о
рию.
Сумма членов бесконечной числовой последовательн
о
сти
,...
,...,
,
2
1
n
u
u
u
называется числовым рядом
.
n
i
i
n
u
u
u
u
1
2
1
...
При этом числа
,...
,...,
,
2
1
n
u
u
u
будем назыв
ать членами ряда, а u
n
–
общим членом ряда.
Суммы n
i
i
n
n
u
u
u
u
S
1
2
1
...
, n
= 1, 2, …
называю
т
ся частичными суммами ряда
.
Таким образом, можно рассматривать последовательности части
ч
ных сумм ряда S
1
, S
2
, …,
S
n
, …
Ряд 1
2
1
...
...
i
i
n
u
u
u
u
называется с
ходящимся
, е
с
ли сходится последовательность его частичных сумм. Сумма сход
я-
щегося ряда
–
предел последовательности его частичных сумм.
S
S
n
x
lim
, 1
n
n
u
S
.
Если последовательность частичных сумм ряда расходится, т.е. не имеет
предела, или имеет бесконечный предел, то ряд наз
ы-
вается расходящи
м
ся
,
и суммы не имеет.
Примеры:
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
59
1) Ряд 0 + 0 + 0 + … + 0 + …
очевидно сходится и его сумма равна 0.
2) Ряд 1 + 1 + 1 + …+ 1 +…
расходится, т. к. его частичные суммы n
S
n
.
3) Ряд 1 –
1 + 1 –
1 +…+ 1 -
… расходится, т. к. последовател
ь-
ность его частичных сумм имеет вид 1, 0, 1, 0,… и предела не им
е-
ет.
4) Ряд 0
2
1
...
8
1
4
1
2
1
1
n
n
представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Этот ряд сх
о-
дится и ег
о сумма равна 2
.
Рассмотрим некоторые свойства рядов.
1) Сходимость или расходимости ряда не нарушится, если и
з-
менить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.
2) Если ряд
n
u
сходится и его сумма равна S
, то ряд n
Cu
(
С
–
постоянное число)
тоже сходи
т
ся, и его сумма равна С
S
.
3) Рассмотрим два ряда
n
u
и
n
v
. Суммой
или разн
о
стью
этих рядов будет называться ряд
n
n
v
u
, где элементы пол
у-
чены в результате
сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми н
о
мерами.
Если ряды n
u
и n
v
сходятся и их суммы равны соотве
т-
ственно S
и , то ряд n
n
v
u
тоже сходится и его сумма ра
в
на S
+ .
n
n
v
u
= n
u
+
n
v
= S
+ Далее рассмотрим необходимо условие сходимости рядов.
Если ряд n
u
сходится, то необходимо, чтобы общий член u
n
стреми
л
ся к нулю. Однако это условие не является достат
очным. Можно гов
о
рить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд то
ч
но расходится. Например, гармонический ряд
1
1
...
4
1
3
1
2
1
1
n
n
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
60
является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю. Пример: Исследовать сходимость ряда ...
1
3
...
8
3
5
2
2
1
n
n
Исследуем общий член ряда: найдем
0
3
1
1
3
lim
n
n
n
Необходимый признак сходимости не выполняется, значит
,
ряд расходи
т
ся.
Теперь посмотрим, как данный пример можно решить в сист
е-
ме Mathcad
, используя при этом уже известные ин
струменты.
Исследование сходимости ряда по Необходимому условию сход
и
мости ряда.
Далее мы опишем ещё несколько признаков сходимости ряда, однако данный пример был рассмотрен потому, что, если этот пр
и-
знак сходимости ряда не выполняется, то нет необ
ходимости и
с-
следовать ряд на оставшиеся признаки сходимости ряда.
Таким образом, проверка необходимого условия сходимости ряда сходится в системе Mathcad
просто к вычислению предела заданной функции на бесконечности. Рассмотрим признаки сходимости рядов с
неотрицательными членами. Признак сравнения
Пусть даны два ряда
n
u
и
n
v
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
61
Если u
n
v
n
при любом n
, то из сходимости ряда n
v
сл
е
дует сходимость ряда n
u
, а из расходимости ря
да n
u
следует расх
о
димость ряда
n
v
Примеры:
1) Исследовать на сходимость ряд ...
)
ln(
1
...
)
3
ln(
1
)
2
ln(
1
n
Т.к. n
n
1
ln
1
, а гармонический ряд
n
1
расходится, то ра
с-
ходится и ряд n
ln
1
.
Решим данный пример в системе Mathcad
. Смотрите рисунок ниже.
Исследование сходимости ряда по признаку сравнения.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
62
В данном примере мы получили, что для числового ряда n
ln
1
выполняется необходимое условие сходи
мости ряда
,
т.е. предел n
n
ln
1
lim
стремится к
нулю. Далее по признаку сравнения мы получили, что на всей области значений оси Ox
числовой ряд n
ln
1
больше, чем числовой ряд n
1
-
это видно из графика функции. Пунктирная кривая отображает числовой ряд n
ln
1
, а сплошная кривая отображает ряд n
1
.
Рассмотрим другой пример.
Исследовать на сходимость ряд 1
2
1
n
n
n
Т.к. n
n
n
2
1
2
1
, а ряд
n
2
1
сходится (как убывающая геоме
т-
рическая пр
о
грессия), то ряд
1
2
1
n
n
n
тоже сходится.
Решим данный пример в системе Mathcad
.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
63
Исследование сходимости ряда по признаку сравнения.
Ряд n
2
1
по определению является сходящимся. Из графика функции видно, что на всей области значений оси Ox
числовой ряд n
2
1
находится выше, чем числовой ряд 1
2
1
n
n
n
, поэтому данный ряд является сходящимся.
В признаке сравнения для того, чтобы исследовать сходимость или расходимость ряда, необходимо иметь «эталонный» числовой ряд, с которым можно дальше проводить сравнение.
Рассмотрим следующий признак –
признак Даламбера.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
64
Пусть дан ряд n
u
и существует предел l
u
u
n
n
n
1
lim
. Тогда, если ,
1
l
то ряд сходится, а если 1
l
, то ряд расходится.
При 1
l
ряд может как сходит
ь
ся, так и расходит
ь
ся и нео
б-
ходимо применять другие приз
наки сходимости –
расходимости ч
и
словых рядов.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
1
!
1
n
n
; n
n
...
3
2
1
!
Вычисляем соотношение
1
0
1
1
)!
1
(
!
!
1
)!
1
(
1
1
n
n
n
n
n
u
u
n
n
Следовательно, по признаку Даламбера, ряд сходится.
В системе Mathcad
этот п
ример может быть решён следующим способом.
Примечание к примеру
:
Следует
обратить внимание на некоторые особенн
о
сти задания функции. Как показано ниже, для того, чтобы увел
и
чить или уменьшить переменную функции на какую
-
либо величину, нет н
е-
обходимости зад
авать новую функцию и исправлять данную пер
е-
менную. Достаточно в самой функции добавить изменение и в
ы-
вести результат при помощи символьного вычи
с
ления. Также важен
график функции Факториала. Оператор факт
о-
риала находится на панели Калькулятор
.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
65
Исслед
ование сходимости ряда по признаку Даламбера.
Рассмотри
м
следующий пример, который показывает иллюс
т-
рацию признака Даламбера для исследования сходимости числ
о-
вых рядов. 1
2
2
n
n
n
Вычисляем соотношение
1
2
1
2
)
1
(
2
2
2
:
)
1
(
2
2
2
2
1
2
2
1
1
n
n
n
n
n
n
u
u
n
n
n
n
n
n
Следовательно
, по признаку Даламбера, ряд расходится.
В системе Mathcad
этот пример может быть решён следующим способом.
Также всегда рекомендуется строить графики для визуализ
а-
ции полученных результатов.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
66
Исследование сходимости ряда по признаку Даламбера.
Под ге
ометрическим смыслом предела подразумевается отн
о-
шение последующего члена числового ряда к предыдущему –
т.е. в данном случае оно равно «2». Другими словами
,
каждый посл
е-
дующий член больше предыдущего в два раза
,
–
что указывает на то, что числовой ряд не может быть сходящимся. Рассмотри
м
признак Коши. Пусть дан ряд n
u
и существует предел l
u
n
n
n
lim
. Т
о
гда, если ,
1
l
то ряд сходится, а если 1
l
, то ряд расходится.
При 1
l
числовой ряд может
,
как сходит
ь
ся, так и расходит
ь-
ся.
Пример. Исследовать сходимость ряда
n
n
n
n
1
2
2
5
3
1
2
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
67
Вычисляем предел
1
3
2
5
3
1
2
lim
lim
2
2
n
n
u
n
n
n
n
Следовательно, по признаку Коши, ряд сходится.
Решим этот пример в системе Mathcad
.
Исс
ледование сходимости ряда по признаку Коши.
Рассмотрим ещё один важный признак, который необходим для исследования сходимости рядов –
это Интегральный признак.
Допустим, есть ряд n
u
и функция )
(
x
f
, связанная с чл
е-
н
ами ряда n
u
n
f
)
(
. Тогда, если сходится несобственный инт
е-
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
68
грал 1
)
(
dx
x
f
, то сходится и ряд. Если интеграл расходящийся, то расходи
т
ся и ряд.
Интегральный признак позволяет доказать расходимость га
р-
монич
е
ского ряда 1
1
n
n
. Этому ряду соответствует функция x
x
f
1
)
(
. Соо
т
ветствующий ей несобственный интеграл 1
1
dx
х
расходится, т. к.
1
1
ln
1
x
dx
х
Рассмотрим пример. Исследовать сходимость ряда 1
2
1
n
n
.
Этом
у ряду соответствует интеграл 1
2
1
dx
х
.
1
1
1
1
1
1
1
1
2
х
dx
х
интеграл сходится, а значит, ряд тоже сходится.
Вообще, ряды вида 1
1
n
p
n
сходятся при 1
p
и расходятся при 1
p
.
Таким образом, решение примера на определение сходимости числового ряда сводится к вычислению несобственного интеграла первого рода. Данный пример может быть решён в системе Mathcad
следу
ю-
щим образом.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
69
Исследование сходимости ряда по интегральному признаку.
Рассмотрим функциональные и степенные ряды.
Если членами ряда будут не числа, а функции, то ряд назыв
а-
ется фун
к
циональным
.
1
2
1
...
)
(
...
)
(
)
(
)
(
n
n
n
x
u
x
u
x
u
x
u
Подставляя вместо х
определенное значение х
о
, получаем ч
и-
словой ряд:
1
2
1
...
)
(
...
)
(
)
(
)
(
n
о
n
о
о
о
n
x
u
x
u
x
u
x
u
Этот ряд може
т быть как сходящимся, так и расходящимся.
Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функци
о
нальный ряд может при одних значениях х
сходиться, а при других –
расходит
ь-
ся. Поэтому вопрос сходимости ф
ункциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х
, при которых ряд сходи
т-
ся. Если ряд сходится при о
х
х
, то точка х
о
называется точкой сходимости
функционального ряда. Совокупность всех точек сх
о-
димости называется обла
стью сходимости
.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
70
Среди функциональных рядов особую роль играют степенные ряды, к
оторые используются для приближенного вычисления функций (ряды Тейлора и Маклорена) и интегралов, решения ди
ф-
ференциальных уравнений и др.
Степенным рядом называется функционал
ьный ряд в
и
да
0
2
1
1
0
...
...
n
n
n
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a
a
где ,...
,
,
3
2
1
а
а
а
-
действительные числа, коэффициенты ст
е-
пенного р
я
да
.
Рассматриваются также ряды по степеням )
(
о
х
х
0
2
2
1
)
(
...
)
(
)
(
n
n
o
n
о
о
о
x
x
a
х
х
а
х
х
а
а
,
где o
x
-
некоторое число.
Во
прос о сходимости степенных рядов очень важен. Область сходимости степенного ряда обладает некоторыми замечательн
ы-
ми свойств
а
ми.
Для каждого степенного ряда существует такое положительное число R
, что при всех х
таких, что R
х
ряд абсол
ютно сх
о
дится, а при всех R
х
ряд расходится. При этом число R
называется радиусом сходим
о
сти
. Интервал (
-
R
, R
)
называется интервалом сходимости
. Для решения вопрос
ов
о сходимости на границах и
н-
тервала необходимо проводить дополнительны
е исследования ст
е-
пенного ряда.
Радиус сходимости вычисляется по формуле 1
lim
n
n
n
a
a
R
или n
n
n
a
R
lim
1
Для рядов по степеням )
(
о
х
х
центр интервала сходимости смещается в точку o
x
-
R
x
R
х
o
о
;
.
Рассмотрим пример.
Найти интервалы сходимости ряда:
0
!
n
n
n
x
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
71
Коэффициенты ряда: !
1
n
а
n
Вычислим радиус сходимости
!
)!
1
(
lim
)!
1
(
1
!
1
lim
lim
1
n
n
n
n
a
a
R
n
n
n
n
n
Радиус сходимости бесконечен, следовательно, ряд сходится на всей ч
и
словой
оси.
Интервал сходимости функционального ряда.
Таким образом, радиус сходимости бесконечен, следовательно, ряд сходится на всей числовой оси.
Пример. 1
1
2
)
1
(
n
n
n
n
x
Это ряд по степеням )
1
(
x
, значит, центром области сход
и-
м
ости будет то
ч
ка 1
o
x
.
Коэффициенты ряда: 1
2
1
n
n
n
a
Радиус сходимости:
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
72
1
1
1
2
2
)
1
(
lim
2
)
1
(
1
:
2
1
lim
lim
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
R
2
1
2
lim
n
n
n
.
Следовательно, интервал сходимости ряда -
)
1
;
3
(
.
В Mathcad
это может выглядеть следую
щим образом.
Интервал сходимости функционального ряда.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
73
VIII
. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ У
РАВНЕНИЯ
Одной из наиболее важных
тем, которую стоит подробно ра
с-
смотреть
является
решение дифференциальный уравнений в си
с-
теме Mathcad
. Как правило, решение дифференциа
льных уравн
е-
ний требует от студента знание почти всех тем, которые он прох
о-
дит в курсе математики. Это и производная, и определённый
,
и н
е-
определённый интеграл, это и знание основ матричного исчисл
е-
ния, а также необходимость
умен
ия
решать уравнен
ия
и стро
и
ть
график
и
. Все это необходимо знать и помнить при решении ди
ф-
ференц
и
альных уравнений. Прежде чем приступить к методам решений дифференциал
ь-
ных уравнений в системе Mathcad
, необходимо вспомнить осно
в-
ные понятия и определения, которые даются студенту в кур
се м
а-
тематик
и
.
Давайте вспомним, что при решении различных задач матем
а-
тики, химии и других наук часто используются сложные матем
а-
тические модели в виде уравнений, связывающие независимую переменную, искомую функцию и её производные. Такие уравн
е-
ния называ
ются дифференциальными
уравнениями (ДУ). Решен
и-
ем дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. К примеру, решением уравнения )
(
x
f
y
является фун
к
ция )
(
x
F
y
-
первообразная для функции )
(
x
f
. Если искомая (н
е-
известная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкновенным (ОДУ). Есть примеры, где искомая функция зависит от н
е
скольких переменных -
ДУ в частных производных
, но в этом
курсе такие уравнения не рассматриваю
т
ся
. Наивысший порядок производной, входящий в дифференц
и-
альное уравнение, называют порядком этого уравнения. Например, уравнение 0
5
y
y
y
-
обыкновенное дифф
е-
ренциальное уравнение третьего порядка. З
ачастую в электрических системах необходимо описать или см
о
делировать процесс, проходящий сколь угодно большое время. Однако для описания процесса необходимо знать описание скор
о-
сти изменения этого процесса. А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
74
В самом простом случае мы знаем зависимость ско
рости изм
е-
нения процесса от времени. При этом мы также знаем начальные условия, т.е. знаем конкретные величины скорости этого процесса в определенный момент времени, как правило, при 0
0
t
. Из этих условий нам необходимо будет описать сам
процесс –
т.е. завис
и-
мость величины от времени t
. Из курса производных мы знаем, что скорость изменения как
о-
го
-
либо процесса есть первая производная от описания этого пр
о-
цесса. Таким образом,
скорость изменения силы тока на выходе и
з системы )
(
t
I
есть первая производная от самого значения с
и
лы тока по времени )
(
t
I
. З
ная скорость изменения силы тока на в
ы-
ходе из системы )
(
t
I
, а также зная граничные условия для опис
а-
ния этого про
цесса 0
0
t
, мы можем найти и закон изменения с
и-
лы тока по времени )
(
t
I
. Модели простейших электрических схем и соответствующие им уравнения будут рассмотрены далее.
Вспомним, что такое обыкновенные дифференциальные ур
а
в-
нения первого порядка.
Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) перв
о-
го п
о
рядка называется уравнение ,
0
)
,
,
(
y
y
x
F
где x
-
независимая переменная, )
(
x
y
-
неизвестная функция. В форме, разрешённой относ
ительно производной, уравнение пе
р-
вого п
о
рядка записывается так:
)
,
(
y
x
f
y
.
Если пользоваться другим обозначением производной, то мо
ж-
но з
а
писать как
)
,
(
y
x
f
dx
dy
.
Общим решением
ДУ первого порядка называется фун
к
ция )
;
(
c
x
y
, содержащая одну производную постоянную и удовл
е-
творяющая условиям:
-
функция )
;
(
c
x
является решением ДУ при каждом фикс
и-
рованном значении c
;
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
75
-
как
им
бы не было начальное условие 0
0
)
(
y
x
y
, мож
но на
й-
ти т
а
кое значение постоянной 0
c
c
, что функция )
;
(
0
c
x
y
удовлетв
о
ряет данному начальному условию.
Частным решением
ДУ первого порядка называется любая функция )
;
(
0
c
x
y
, полученная из общего решения )
;
(
c
x
y
при конкретном значении постоянной 0
с
с
. С ге
о
метрической точки зрения )
;
(
c
x
y
есть семейство интеграл
ь
ных кривых на плоскости Oxy
; частное решение )
;
(
0
c
x
y
-
одна к
ривая из этого семейства, прох
о
дящая через точку 0
0
,
y
x
А теперь перейдём к методам решения дифференциальных уравнений в системе Mathcad
.
В системе Mathcad
существует достаточно большой набор функций и операторов для решения как простых, т
ак и сложных дифференциальных уравнений. Однако наряду с этими функциями и операторами можно воспользоваться и простейшими приёмами типа интегрирования и решения линейных алгебраических уравн
е-
ний. Рассмотрим в подтверждени
е
этому несколько простых прим
е-
ро
в. Решить дифференциальное уравнение:
)
1
(
)
(
x
x
e
y
e
x
y
.
Здесь и далее будет подразумеваться то, что y
есть функция от переменной x
, т.е. )
(
x
y
-
искомая функция.
Для начала решим это диф
ференциальное уравнение методом интегрирования. Так как это уравнение с разделяющимися пер
е-
менными, то
справедливо записать следующее
)
1
(
x
x
e
y
e
dx
dy
.
Переносим функцию из знаменателя правой части в числитель левой части и дифференциал по x
переносим в правую часть. Тогда получаем:
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
76
dx
e
e
ydy
x
x
)
1
(
1
Таким образом, здесь имеет место два интеграла, которые н
е-
обходимо решить в общем виде. Первый интеграл: 1
1
ydy
I
.
Второй интеграл: dx
e
e
I
x
x
)
1
(
2
.
В
системе Mathcad
это может выглядеть следующим образом.
Решение дифференциального уравнения в системе Mathcad
методом и
н
тегрирования. Как видно из последней строки, которая приведена в примере
,
системе решена в общем виде
,
поэтому она проходит чере
з нач
а
ло координат. Убедиться в этом можно, построив график функции. (см. ниже). А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
77
Однако в большинстве реальных задач, которые сводятся к р
е-
шению дифференциальных уравнений существуют так называ
е
мые начальные условия. В теории решений дифференциальных урав
н
е-
ний эта задача называется задач
ей
Коши. Введём для данного пр
и-
мера начальные условия. Решить дифференциальное уравнение )
1
(
)
(
x
x
e
y
e
x
y
со следующим начальным условием: 1
)
0
(
y
.
График решения дифференциального уравнения в об
щем виде.
Далее разберём метод решения дифференциального уравнения с задачей Коши.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
78
Решение дифференциального уравнения с задачей Коши. Часть №1.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
79
Решение дифференциального уравнения с задачей Коши. Часть №2.
Данный метод решени
я дифференциальных уравнений в си
с-
теме Mathcad
называется методом непосредственного интегрир
о-
вания. Этот метод хорош тем, что пользователь может непосредс
т-
венно отслеживать любой этап решения уравнения и исправлять возможные ошибки. Однако к его недостатка
м относится дост
а-
точно большая громоздкость в вычислениях -
необходимо вводить много переменных, вычислять большое количество интегралов. П
о
этому в системе Mathcad
введена функция odesolve
(
x
,
b
, [число шагов])
, которая возвращает решение дифференциального у
ра
в-
нения в блоке Given
при заданных начальных условиях и в
конце интервала интегрирования b
. Эта функция имеет ряд особенностей. Если указан параметр число_ша
гов
, то решение выполняется с фиксированным шагом, иначе -
адаптивным
методом. Однако одним больш
им недоста
т
ком А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
80
данной функции является то, что аналитическое значение резул
ь-
тирующей функции не выводится, что является неприемлемым для её дальнейшего использ
о
вания. Рассмотрим ниже пример решения дифференциального ура
в-
нения с задачей Коши )
1
(
)
(
x
x
e
y
e
x
y
, 1
)
0
(
y
при помощи функции odesolve
.
Решение дифференциального уравнения при помощи оператора odesolve
.
Несмотря на то, что данная функция не выдаёт аналитического выражения решения дифференциального уравнения, результатом её можно пользоваться как ранее объявленной функцией
,
т.е., можно находить её производную
, е
ё определённый и неопределё
н-
ный интеграл. Однако во всех случаях аналит
и
ческое выражение для функций получить не удастся. Далее приведём пример.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
81
Пример примене
ния функции.
Обратите внимание
, в
первом примере для того, чтобы пол
у-
чить символьное выражение функции, необходимо было расписать дифференциальное уравнение с разделяющимися переменн
ы
ми
, т
.е. выделить все его части как при dx
, так и при dy
. Во втором пр
и
мере дифференциальное уравнение было записано так, как оно было дано в задаче –
т.е. без каких
-
либо промежуточных преобр
а-
зований. Разберём ещё один пример решения дифференциального ура
в-
нения этого типа –
у
равнение
с разделяющимися переменными.
Решить уравнение ;
0
3
)
1
(
2
2
dy
y
dx
x
начальные условия 1
)
2
(
y
.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
82
Традиционным способом его можно решить так.
Исходное уравнение -
с разделёнными переменными, интегр
и-
руя его, получим С
dy
y
dx
x
2
3
)
1
(
2
.
C
y
x
3
2
)
1
(
Соотношение C
y
x
3
2
)
1
(
-
общее решение (общий инт
е-
грал) уравнения
. Д
ля того, чтобы найти частное решение, удовл
е-
творяющее начальному условию, надо подставить в общее реш
е-
ни
е
данные зн
а
чения 0
x
и 0
y
, и найти значение постоянной C
на этом решении: 2
1
)
1
2
(
3
2
C
C
. Получим
решение п
о-
ставленной задачи: 2
)
1
(
3
2
y
x
. Если явно (в виде )
(
x
f
y
) выразить эту функцию, то получим:
3
2
)
1
(
2
x
y
Решение дифференциального уравнения интегральным методом. Часть №1.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
83
Решение дифференциального уравнения интегральным методом. Часть №2.
Обратите внимание на результат, котор
ый
выдала функция solve
. Из трёх полученных выражений только одно
является ве
р-
ным, так как
оба остальных содержат комплексный член. В данном случае нас это не устраивает, поскольку
результирующее выраж
е-
ние не может содержать комплексной величины. Далее рассмотрим решение того же примера, но при помощи функции odesolve
.
Обратите внимание на то, что при применении функций, которые созданы для решения дифференциальных ура
в-
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
84
нений числовыми методами (например, функция odesolve
) могут возникнуть ошибки при которы
х
, Mathcad
откажется считать зн
а-
чение результирующей функции на т
ом или ином промежутке. Пример этому приведён ниже. Поэтому рекомендуе
т
ся по мере возможности решать дифференциальные уравнения и
н
тегральным способом. Решение дифференциального уравнения при помощи оператора odesolve
.
Далее вспомним более общий вид дифференциального уравн
е-
ния с разделяющимися переменными.
Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися пер
е
менными
, которые имеют вид:
)
(
)
(
y
g
x
f
y
или
0
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
dy
y
g
x
f
dx
y
g
x
f
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
85
Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переме
н
ными:
-
записываем уравнение )
(
)
(
y
g
x
f
y
в форме )
(
)
(
y
g
x
f
dx
dy
, затем делим на )
(
y
g
и у
м
ножаем на dx
: dx
x
f
y
g
dy
)
(
)
(
;
-
уравнение 0
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
dy
y
g
x
f
dx
y
g
x
f
делим на )
(
)
(
1
2
y
g
x
f
: 0
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
y
g
dy
y
g
x
f
dx
x
f
;
Получены уравнения с разделёнными переменными. Интегр
и-
руя, п
о
лучим общие решения:
С
dx
x
f
y
g
dy
)
(
)
(
и С
y
g
dy
y
g
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
.
В обоих случаях возможна потеря решений: деление на фун
к-
цию может привести к уравнению, которое неэквивалентно данн
о-
му:
е
сли функция )
(
y
g
имеет действительные корни ,....
,
,
3
2
1
y
y
y
, то функции ,....
,
,
3
2
1
y
y
y
y
y
y
, очевидно, я
в-
ляю
т
ся решениями исходного уравнения;
если функция )
(
2
x
f
имеет действительные корни ,....
,
,
3
2
1
x
x
x
, функция )
(
1
y
g
имеет действительные корни ,....
,
,
3
2
1
y
y
y
, то фун
к
ции ,..
,
,
3
2
1
x
x
x
x
x
x
, ,....
,
,
3
2
1
y
y
y
y
y
y
являются решениями исходного уравн
е-
ния.
Приведём пример.
Решить ДУ );
1
(
y
x
y
Приводим данное уравнение к виду уравнения с
разделёнными пер
е
менными:
);
1
(
y
x
y
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
86
;
)
1
(
;
)
1
(
);
1
(
dx
x
y
dy
dx
x
y
dy
y
x
dx
dy
C
x
y
2
|
1
|
ln
2
При такой форме записи общего интеграла решение 1
y
п
о-
теряно. Приведем решение к явной форме:
1
1
2
|
1
|
ln
2
1
2
2
2
2
x
C
x
e
C
y
e
y
C
x
y
Здесь константа C
e
C
1
. Поскольку C
произвольна, то можно сч
и
тать произвольной и 0
1
С
.
Разберём этот пример в системе Mathcad
.
Решение дифференциального уравнения с
разделяющимися пер
е
менными. Часть №1
.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
87
Решение дифференциального уравнения с
разделяющимися пер
е
менными. Часть №2.
Разберём ещё один показательный пример на решение дифф
е-
ренциальных уравнений с разделяющимися переменными. После того, как буде
т
получен ответ, проверим правильность решения, подставив ответ в исходное уравнение. Решение дифф. уравнения с разделяющимися переменными. Часть №1.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
88
Решение дифф. уравнения с разделяющимися переменными. Часть №2.
Внизу производится проверка правильности решения дифф
е-
рен
циального уравнения с разделяющимися переменными. После того как ответ
,
т.е. функция
,
была подставлена в исходное дифф
е-
ренциальное уравнение
,
Mathcad
выдал достаточно громоздкий результат. Это не означает, что уравнение решено не верно. В да
н-
ном случае нео
бходимо применить функцию simplify
для упрощ
е-
ния полученного выражения. После её применения, результат стал равным нулю –
значит ответ найде
н
верно.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
89
Решение дифф. уравнения с разделяющимися переменными. Часть №3.
Перейдём к решению однородных дифферен
циальных уравн
е-
ний. Вспомним немного теорию. Так называются уравнения со специальным видом зависим
о
сти функции )
,
(
y
x
f
от своих аргументов:
x
y
f
y
.
Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися пер
е-
менными относительно новой неизвестной функции )
(
x
u
заменой )
(
)
(
x
u
x
x
y
, или )
(
)
(
x
u
x
x
y
. Подставляя в x
y
f
y
xu
y
, u
x
u
y
, получим ,
)
(
),
(
u
u
f
dx
du
x
u
f
u
x
u
(это уравнение с разделяющим
и-
ся переме
н
ными).
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
90
Разберём пример.
Решить ДУ
y
x
x
y
y
Это уравнение однородное, вводим новую переменную x
y
u
Получаем: ,
,
1
,
1
,
,
x
dx
udu
u
dx
du
x
u
u
x
u
u
x
u
u
y
ux
y
,
|
|
ln
2
,
2
|
|
ln
2
,
2
2
C
x
u
C
x
u
x
dx
udu
x
C
x
y
C
x
x
y
ln
,
ln
2
2
2
2
Общее решение уравнения -
x
C
x
y
ln
2
2
В систе
ме Mathcad
этот пример может быть решён следу
ю
щим образом.
Решение однородного дифференциального уравнения. Часть №1.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
91
Решение однородного дифференциального уравнения. Часть №2.
Рассмотрим ещё один пример.
Решить ДУ 0
)
2
(
2
2
dy
x
dx
xy
y
. Здесь ко
эффициенты при дифференциалах -
однородные фун
к-
ции второй степени, т. е. уравнение однородное. Делаем стандар
т-
ную замену переменной:
ux
y
, xdu
udx
dy
Подставляем в уравнение:
0
2
2
2
2
xdu
udx
x
dx
xux
x
u
.
Делим правую часть на 2
x
(не забывая о потерянном решении 0
x
)
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
92
0
2
2
xdu
udx
udx
dx
u
0
2
xdu
dx
u
u
x
dx
u
u
du
2
Интегрируем правую и левую част
и
:
C
u
u
du
u
u
u
u
du
u
u
du
1
ln
ln
1
1
1
)
1
(
2
C
u
u
1
ln
;
C
x
x
dx
ln
Получаем:
C
x
u
u
ln
1
ln
x
C
x
e
u
u
C
1
1
Возвращаемся к исходной переменной x
y
u
:
1
1
1
2
1
1
1
x
C
x
C
y
x
C
x
y
y
x
C
x
y
x
y
Это и есть общее р
е
шение.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
93
Этот же пример может быть решён в системе Mathcad
следу
ю-
щим образом.
Реш
ение однородного дифференциального уравнения. Часть №1.
В этом, как и в предыдущем примере
,
часть вычислений дел
а-
ется «вручную». В данном случае «самая тяжёлая работа» по в
ы-
числению интегралов достаётся системе Mathcad
. А остальные преобразования можно б
ез труда сделать «
вручную
»
.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
94
Решение однородного дифференциального уравнения. Часть №2.
Проверка также показала, что найденный нами результат удо
в-
летворяет исходному дифференциальному уравнению.
Существуют ещё два типа дифференциальны
х
уравнений, к
о-
торые необходимо разобрать в этом разделе. Это линейные дифф
е-
ренциальные уравнения и линейные однородные дифференциал
ь-
ные уравнения II
порядка с постоянными коэффициентами. На л
и-
нейных дифференциальных уравнениях мы останавливаться не буде
м
, так как они во
многом п
о методу их решения похожи на однородные дифференциальные уравнения. Будем разбирать вт
о-
рой тип уравнений.
Вспомним теорию.
В общем виде такие уравнени
я
записываются следующим о
б-
разом:
)
(
x
f
q
y
p
у
,
где p
и q
–
числа, f
(
x
)
–
функция, з
ависящая только от х.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
95
Если 0
)
(
x
f
, то такое уравнение называется однородным
.
Решение однородного уравнения сводится к решению хара
к-
теристич
е
ского уравнения:
0
2
q
pk
k
Это обычное квадратное уравнение. Возможны следующие в
а-
риа
нты:
1) Уравнение имеет два
действительных корня;
2) Уравнение имеет один
действительный корень;
3) Уравнение не имеет действительных корней (имеет два ко
м-
плек
с
ных). Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.
1) Характеристическое уравнение имеет два
ра
зличных действ
и
тельных корня 1
k
и 2
k
.
В этом случае общее решение однородного дифференциальн
о-
го уравн
е
ния записывается следующим образом:
x
k
x
k
e
C
e
C
x
y
2
1
2
1
)
(
Заметим, что в общее решение уравнения второго поряд
ка вх
о-
дят две константы.
Допустим, даны начальные условия: 0
0
)
(
y
x
y
, 1
0
)
(
y
x
y
и н
е
обходимо найти частное решение (определить константы С
1
и С
2
). Такая задача сводится к решению системы из двух линейных уравнений.
x
k
x
k
e
k
C
e
k
C
x
y
2
1
2
2
1
1
)
(
Подставляя начальные условия, получаем систему:
1
2
2
1
1
0
2
1
1
2
1
1
0
2
0
1
y
e
k
C
e
k
C
y
e
C
e
C
x
k
x
k
x
k
x
k
Решая ее, находим 1
C
и 2
C
.
Приведём пример.
Найти общее решение уравнения
0
6
5
y
y
y
Решение:
Запишем характеристическ
ое уравнение:
0
6
5
2
k
k
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
96
Решаем его:
2
3
2
24
25
5
2
,
1
k
Зная корни характеристического уравнения, записываем общее реш
е
ние дифференциального уравнения:
x
x
e
C
e
C
x
y
2
2
3
1
)
(
В системе Mathcad
это решение может выглядеть следующим образо
м.
Решение однородного дифференциального уравнения 2 порядка. Часть №1.
После полученного решения сделаем проверку, а также п
о-
строим график функции при определённых значениях константы.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
97
Решение однородного дифференциального уравнения 2 поряд
ка. Часть №2.
2) Найти частное решение уравнения
0
4
3
y
y
y
,
удовлетворяющее начальным условиям: ,
0
)
0
(
y
5
)
0
(
y
Решение:
Находим общее решение
0
4
3
2
k
k
4
1
2
16
9
3
2
,
1
k
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
98
x
x
e
C
e
C
x
y
4
2
1
)
(
-
общее решение
x
x
e
C
e
C
x
y
4
2
1
4
)
(
Для нахождения частного решения подставляем начальные у
с-
ловия в о
б
щее решение:
5
4
)
0
(
0
)
0
(
2
1
2
1
C
C
y
C
C
y
Решая систему, получаем ,
1
1
С
1
2
С
. Отсюда частное решение:
x
x
e
e
x
y
4
)
(
Решим это уравнение в системе Mathcad
.
Решение однородного дифференциального уравнения 2 порядка. Часть №1.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
99
Решение однородного дифференциального уравнения 2 порядка. Часть №2.
2) Характеристическое уравнение и
меет один
действ
и-
тельный к
о
рень k
В этом случае общее решение записывается следующим обр
а-
зом:
kx
kx
хe
C
e
C
x
y
2
1
)
(
Частное решение по начальным условиям находится аналоги
ч-
но пр
е
дыдущему случаю.
Пример:
Найти частное решение уравнения
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
100
0
4
4
y
y
y
,
удовлетворяющее начальным условиям: ,
2
)
0
(
y
1
)
0
(
y
Решение:
Находим общее решение
0
4
4
2
k
k
Это характеристическое уравнение имеет один корень -
2
k
.
x
x
хe
C
e
C
x
y
2
2
2
1
)
(
-
общее р
ешение.
x
x
x
хe
С
e
C
e
C
x
y
2
2
2
2
1
2
2
)
(
Находим частное решение:
1
2
2
2
1
2
1
С
С
С
С
,
1
1
С
1
2
С
Частное решение -
x
x
xe
e
x
y
2
2
)
(
В системе Mathcad
эту задачу можно решить следующим обр
а-
зом.
Решение однородного дифференциального уравнения 2 порядка с одним действительным корнем. Часть №1.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
101
Решение однородного дифференциального уравнения 2 порядка с одним действительным корнем. Часть №2.
После того, как был
о
найдено решение однородног
о дифф
е-
ренциального уравнения второго порядка
,
и была решена задача Коши, необходимо сделать проверку данного решения и построить гр
а
фик функции.
Обратите внимание, что оба вида обыкновенных дифференц
и-
альных уравнений второго порядка были решены и
н
тегральн
ым методом. А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
102
Решение однородного дифференциального уравнения 2 порядка с одним действительным корнем. Часть №3.
3) Характеристическое уравнение не имеет действительных корней (им
е
ет два
комплексно сопряженных корня i
)
Общее ре
шение уравнения в данном случае:
x
C
x
C
e
x
y
x
cos
sin
)
(
2
1
Пример:
Найти общее решение уравнения
0
2
2
y
y
y
Решение:
Записываем характеристическое уравнение и находим его р
е-
шения:
0
1
2
2
2
k
k
i
k
2
1
2
1
4
8
4
2
2
,
1
Следовательно, общее решение уравнения:
2
cos
2
sin
)
(
2
1
2
1
x
C
x
C
e
x
y
x
Решим этот пример в системе Mathcad
.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
103
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
104
Решение однородного дифференциального уравнения 2 порядка, которое не имеет действительных корней.
Теперь опишем простейшую электрическую цепь дифференц
и-
альн
ым уравнением. Вспомним теорию. Рассмотрим каждый элемент цепи в о
т-
дельности.
Сначала рассмотрим основные элементы цепи.
Генератор (Е)
:
Источник постоянного o
Е
U
или переменного t
Е
U
o
sin
напряжения.
Сопротивление
(R)
:
Падение напряжения на сопротивлении по закону Ома ,
IR
U
R
где I
–
ток, проходящий через сопротивление.
Катушка индуктивности
(L)
:
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
105
Падение напряжения на катушке зависит от скорости измен
е-
ния пр
о
текающего тока I
L
U
L
.
Конде
нсатор (с)
Если конденсатор имеет заряд q
, то падение напряжени
я
на нем c
q
U
c
Согласно второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма н
а-
пряжений всех участков замкнутого контура равна нулю. Прим
е-
нительно к схемам с источниками ЭДС, второ
й закон Кирхгофа можно формулировать таким образом: алгебраическая сумма н
а-
пряжений на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, вх
о
дящих в этот контур.
В общем виде этот пример рассмотрен в методических указ
а-
ниях к выполнени
ю контрольной работы по математик
е
за 4 с
е-
местр. Рассмотри
м
частное решение.
Пусть дана схема.
Электрическая схема с катушкой индуктивности и конденсат
о
ром.
В схему включены катушка с индуктивностью L
и конденс
а
тор емкостью C
и начальным зарядом q
(0)
=
q
0
. В момент времени t
=0
схема включается. Написать уравнение схемы, определить завис
и-
мость тока и напряжения конденсатора от времени. Кому нап
и-
сать?
По второму закону Кирхгофа схема описывается следующим уравнением:
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
106
0
)
(
)
(
C
t
q
t
i
L
Производная от
заряда –
это ток. Т.е. )
(
)
(
t
I
t
q
, или )
(
)
(
t
I
t
q
.
Тогда уравнение относительно )
(
t
q
принимае
т
следующий вид:
0
)
(
)
(
C
t
q
t
q
L
Это линейное однородное уравнение второго порядка с пост
о-
янными коэффициента
ми.
Решим эту задачу в частном случае в системе Mathcad
.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
107
Описание простейшей электрической цепи дифференциальным ура
в
нением.
Эти колебания являются не затухающими, так как в диффере
н-
циальном уравнении отсутствует функция сопротивления цепи. При
изменении значения индуктивности катушки и ёмкости ко
н-
денсатора период и характер колебаний будет меняться. А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
108
IX
. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ДО
МАШНЕГО ЗАДАНИЯ ЗА 3 СЕМЕСТР В СИСТЕ
МЕ MATHCAD
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
109
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
110
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
111
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
112
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
113
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
114
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
115
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
116
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
117
X
. ПРИМЕР
Ы РЕШЕНИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ
ЗА 4 СЕМЕСТР В СИСТЕ
МЕ MATHCAD
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
118
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
119
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
120
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
121
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
122
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
123
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
124
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
125
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
126
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
127
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
128
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
129
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
130
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
131
ЛИТЕРАТУРА
1. Дьяконов В.П. Mathcad 11/12/13 в математике. –
М.: Горячая линия –
Телеком, 2007. –
958 с., ил.
2. Денисов
-
Винский Н.Д., Ерохин С.В. Математика I
курс. I
семестр. Учебное пособие для студентов. Специальность 140211 «Эле
к
троснабжение». –
М.: МИЭЭ, 2007.
3. Денисов
-
Винский Н.Д., Ерохин С.В. Математика I
курс. II
семестр. Учебное пособие для сту
дентов. Специальность 140211 «Эле
к
троснабжение». –
М.: МИЭЭ, 2007.
4. Денисов
-
Винский Н.Д., Ерохин С.В. Математика II
курс. Учебное пособие для студентов. Специальность 140211 «Электр
о-
снабжение». –
М.: МИЭЭ, 2007.
5. Денисов
-
Винский Н.Д. Mathcad
при решени
и задач по курсу математика. I
курс. Учебное пособие для студентов. Специал
ь-
ность 140211 «Электр
о
снабжение». –
М.: МИЭЭ, 2007.
6. Сеидова С
-
Ф. Г. Mathcad
в помощь студентам высших уче
б-
ный заведений. –
М.: Изд
-
во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. 7. Сеидова С
-
Ф
. Г. Решение задач высшей математики при п
о-
мощи системы Mathcad
. –
М.: Изд
-
во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.
А
втор:
Денисов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yamdex.ru
132
Автор
denisov.vinskiy
Документ
Категория
Техническая литература
Просмотров
7 607
Размер файла
4 432 Кб
Теги
высшей, при, mathcad, решении, задач, Денисов-Винский, математики, курс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа