close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Н.Д. Денисов-Винский Mathcad при решении задач по Высшей математики. 3 курс.

код для вставкиСкачать
Mathcad при решении задач по Высшей математики. 3 курс. Содержание: Введение 1. Случайные события 1.1. Пространство элементарных событий 1.2. Основы комбинаторики. Число перестановок и число сочета-ний 2. Случайные величины 2.1. Функция
 Негосударственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский институт энергобезопасности и энергосбер
е
жения
К
АФЕДРА Е
СТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ И ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИХ ДИСЦ
ИПЛИН
Н.Д. ДЕНИСОВ
-
ВИНСКИЙ
Mathcad
I
II
курс
Теория
вероятностей и
м
атематическая статистика
Москва 2009
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
2
Mathcad
. I
II
курс. Теория вероятностей
и математическая статист
и
ка. –
М.: МИЭЭ, 2009, 93
с
.
Одобрено кафедрой естественнонаучных и общетехнических дисци
п-
лин М
И
ЭЭ: 17 сентября 2009 г.
Авт
ор: Н.Д. Денисов
-
Винский
Редакторы
: Семёнов
С.В.
Ерохин С.В.
Автор выражает свою благодарность рецензенту к.т.н., доценту к
а-
федры «Электротехники и электроники» МИЭЭ Черёмухину Василию Ефим
о
вичу, за полезные замечания и дополнения, котор
ые послужили улучшению н
а
стоящего издания.
Автор с благодарностью примет от читателей все критические зам
е-
чания и указания по адресу: denisov
.
vinskiy
@
yandex
.ru
© МИЭЭ, 2009
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1
. Случайные события
1
.1
.
Пространство э
лементарных событий
1
.2
.
Основы комбинаторики. Число перестановок и число сочет
а-
ний
2
. Случайные величины
2
.1. Функция распределения
2
.2. Свойства функции распределения
2
.3. Дискретные случайные величины
2
.4. Непрерывные случайные величины
2
.5. Свойс
тва плотности распределения
2
.6. Математическое ожидание и дисперсия
3
. Основные распределения случайных величин
3
.1. Биномиальное распределение
3
.2. Распределение Пуассона
3
.3. Равномерное распределение
3
.4. Экспоненциальное распределение
3
.5. Норма
льное распределение
4
. Элементы математической статистики
4
.1. Понятие выборки
4
.2. Понятие генератора случайных числе
4
.3. Функции создания случайных чисел с различными законами распределения
4
.4. Выборочное математическое ожидание и дисперсия
4
.5. Интервальные оценки
5
. Элементы прикладной статистики
5
.1. Общие понятия регрессии
5
.2. Линейная регрессия
5
.3. Экспоненциальная регрессия
5
.4. Синусоидальная регрессия
5
.5
. Линейная регрессия общего вида
6
. Пример решения домашних задач
7
. Литература
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
4
ВВЕДЕНИЕ
При подготовке студентов в МИЭЭ по специальности Электр
о-
снабжение особое место занимает преподавание естественнонау
ч-
ных дисциплин и математики, как универсал
ь
ного инструмента для познания других дисциплин. Обучение построено таким обр
а-
зом, что
все разделы, которые будут изучены студентом в курсе математики, пр
и
годятся ему при изучении дальнейших дисциплин, в том числе специальных. Именно поэтому курс математики вкл
ю-
чает в себя только самые важные и необходимые темы. В ходе с
о-
ставления курса был
а проведена определённая работа по включ
е-
нию в разделы математики тех тем, которые находят наибольшее отражение в других дисциплинах по специальности «Электр
о-
снабж
е
ние». При изучении данного пособия необходимо обратить вним
а
ние на следующее:
1.
Жирным шрифто
м выделены команды, располагающиеся либо в меню системы Mathcad, либо на панелях рабочего окна. Например: Matrix (Матрицы)
меню Insert (Вста
в-
ка).
2.
Примеры взятые непостредствено из системы Mathcad
б
у-
дут располагаться по середине страницы. 3.
Пример, взятый из
Mathcad
для визуализации теории, как правило имеет внизу комментарий.
4.
В книге приведены отрывки из учебного пособия Ерохина С.В. «Теория вероятности и математическая статистика» для того, чтобы студенту было удобнее работать с учебным пособием.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
5
1
. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
1
.1. ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
СОБЫТИЙ
Теория вероят
ностей
—
раздел математики, изучающий з
а-
кономерности случайных явлений, наблюдаемых при многокра
т-
ном повторении опыта. Результаты опытов (экспериментов) наз
ы-
ваются событиями. Собы
тия бывают составными и элемента
р-
ными
(ω).
Пример:
Пусть опыт
состоит в подбрасывании игральной ко
с-
ти и н
а
блюдении числа выпавших очков X. Тогда можно ввести следующие эл
е
ментарные случайные события: {X = 1}, {X = 2}, ... , {X = 6}
, и составные события, со
стоящие из нескольких элеме
н-
тарных {2 < X < 6}, {X -
че
т
но}, {X -
нечетно}
и т.д.
В системе Mathcad
элементарные события могут быть записаны в виде матрицы
-
строки или матрицы
-
столбца
(Рис. 1
.1.1)
.
Рис. 1
.1.1. Пример записи случайного события в системе Mathcad
Совокупность Ω всех элементарных событий ω
в опыте назыв
а-
ется пространством элементарных событий
.
Событие называется невозможным
, если при повторении оп
ы-
та оно никогда не происходит (выпадение 7 очков при броске и
г-
ральной кости). Возможности си
стемы Mathcad
ограничены при работе со сл
у-
чайными событиями. Это связано с тем, что при работе со случа
й-
ным событиями не требуется применения специальных функций и операций. В подавляющем большинстве при работе со случайными событиями и в общем в теории ве
роятности используется элеме
н-
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
6
тарные операции сложения, вычитания, умножения и деления. И
с-
ключения составляют только некоторые операции. Например это функция, вычисляющая число перестановок и число сочетаний. Данная функция распространена в теории вероятнос
ти. Рассмо
т-
рим её вычисление в системе Mathcad
.
1
.2. ОСНОВЫ КОМБИНАТОРИКИ
ЧИСЛО ПЕРЕСТАНОВОК И ЧИСЛО СОЧЕТАНИЙ
Существуют задачи теории вероятности, которые
требуют зн
а-
ния комбинаторики. Комбинаторика изучает приёмы нахождения чи
с
ла различных комбинаци
й, составленных из данных предметов (эл
е
ментов дискретного множества предметов) при определённых условиях. Напомним
ее основные фо
р
мулы.
Допустим, есть n
различных предметов. Сколькими способами мо
ж
но расставить их по порядку? Например, три предмета 1, 2 и
3 можно ра
с
ставить следующими способами: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Итого, 6 вариантов. Если же предметов N
, то число таких в
а-
риантов
n
n
...
3
2
1
!
-
число размещений
.
Усложним задачу: теперь из n
различных предметов нужно в
ы-
брать k
)
(
n
k
. Порядок выбираемых предметов не важен, важно лишь какие предметы будут выбраны. Например, при выборе двух предметов из трех 1, 2, 3 возможны следующие варианты: 1
и 2, 1
и 3, 2
и 3. В общем случае число вариантов вычисляется по формуле
)!
(
!
!
k
n
k
n
C
k
n
.
Число k
n
C
называется числом сочетаний
из n
по k
(читается: С из n
по k
). Например: .
10
6
2
120
)!
2
5
(
!
2
!
5
2
5
C
Очевидно, 1
0
n
n
n
C
C
.
Для работы с задачами комбинаторики в Mathcad
предусмо
т-
рены две следующие
функции:
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
7
-
функция permut
(
n
, m
)
–
вычисление числа размещений;
-
функция combin
(
m
, n
)
–
вычисление числа сочетаний.
Пример использования функции combin
(
m
,
n
)
(Рис. 1
.2.1.)
и permut
(
n
, m
)
(Рис. 1
.2.2.)
.
Рис. 1
.2.1. Пример применения
функции combin
(
m
,
n
)
для вычисления числа сочетаний
Рис. 1
.2.2. Пример применения функции permut
(
m
,
n
)
для вычисления
числа
размещений
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
8
2
. СЛУЧАЙНЫЕ
ВЕЛИЧИН
Ы
2
.1. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Случайной величиной
Х называется функция элементарного собы
тия ω с областью определения Ω и областью значений R
. Др
у-
гими словами, случайная величина принимает случайные ч
и
словые значения. Эти значения называются реал
изациями
случайной в
е-
личиной
Х
Многие величины науке и технике, а также повседневной жи
з-
ни, являютс
я случайными. Время, затрачиваемое на дорогу, кол
и-
чество заявок на телефонную станцию, прибыль организации, рост человека, колич
е
ство пораженных целей при стрельбе и т. д., все это описывается сл
у
чайными величинами. Важнейшую роль случайные величины играют
и в энергетике. Срок службы обор
у-
дования, время технического обслуживания также являются сл
у-
чайными величинами.
Случайные величины будем обозначать прописными (большими) л
а
тинскими буквами X
, Y
, Z
.
Законом распределения
случайной величины
называется лю
-
бо
е правило (таблица, функция), позволяющее находить вероятн
о-
сти всех возможных собы
тий, связанных со случайной велич
и-
ной
.
Для описания случайной величины рассмотрим вероятность P{Х ≤ х} для различных х
. Это вероятность того, что случайная в
е-
личина
окажется меньше нек
о
торого числа х
.
Функция
F
Х
(
x
) = P
{Х ≤ х},
определенная для всех чисел x, н
а-
зывается функцией распределения случайной величины
Х.
Да
лее для простоты записи мы будем обозначать F
(
x
) = F
x
(
x
) = Р{Х
≤ х
}
.
Функция распределения является одной из форм закона ра
с-
пределе
ния для случайной величины
всех типов и однозначно о
п-
реде
ляет случайной величиной
. Далее вме
сто фразы «случайная в
е-
личины
, имеющая функцию распределения F
[
x
]
» будем говорить для кратко
сти: «случайная величина
с распределен
и
ем F
(
x
)
»
.
Случайные величины могут быть непрерывными, так и ди
с-
кретными. В Mathcad
функцию распределения можно задать таким же способом, как и обычную функцию
.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
9
2
.2. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Вспомним из курса математики некоторые свойства функций распределения.
1) F
(
x
)
определена для всех
х
.
2) 0 ≤ F
(
x
) ≤ 1
для всех х
, как F
(
x
)
—
вероятность.
3
) F
(
x
2
) —
F
(
x
1
) = P
{
x
1
< X
≤ x
2
},
если
x
2
> x
1
. 4
) F
(
x
2 ) ≥ F
(
x
1
)
для
x
2
> x
1
, т.е.
F
(
x
)
не убывает
. 2
.3. ДИ
СКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Случайная величина
называется дискретной
, если множество ее возможных значений конечно или счетно.
Простейшей формой закона распределения дискретной сл
у-
чайной величины
с
конечным множеством значений является ряд ра
с
пределения
p
к
=
Р{Х = x
k
}, который задается аналитически или табл
и
цей.
Х
х
1
x
2
x
3
…
x
k
…
P
p
1
p
2
p
3
…
p
k
…
Например, опыт состоит в броске игрального кубика, а элеме
н-
тарным событием является количество выпавших очков. Число возможных реал
и
заций случайной величин
ы
конечно и равно 6. Если предположить, что выпадение любых граней равновер
о-
ятно, т
о ряд распределения для данной случайной величины
имеет вид:
Х
1
2
3
4
5
6
P
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
В Mathcad
дискретные случайные величины мож
но при пом
о-
щи матриц –
а точнее векторов: о
ни же матрицы
-
столбцы и матр
и-
цы
-
строки (См. рис. 2.3.1. и 2
.3.2.)
.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
10
Рис. 2
.
3
.1. Пример
задания дискретных случайных величин
Другой пример с бросанием игральной кости.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
11
Рис. 2
.
3
.2. Пример
задания дис
кретных случайных величин
2
.4. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Случайная величина
X
с непрерывной функцией распреде
ления называется
непрерывной. Непрерывная случайная величина
не может принимать каких
-
то конкретных значений, можно говорить лишь о вер
оятности поп
а-
дания реализ
а
ции случайной величины
в какой
-
либо интервал.
Примерами непрерывных случайных величин
являются: время службы прибора
и т. п.
Для непрерывной случайной величины
невозможно построить ряд распределения, поэтому их определяют по
-
друго
му.
Плотностью распределения
случайной величины
X
называе
т-
ся неотрицательная кусочно
-
непрерывная функция f
Х
(
x
)
, для кот
о-
рой при любом х
выполняе
т
ся соотношение
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
12
x
X
X
dt
t
f
x
F
,
)
(
)
(
где F
X
(
x
)
–
функция распределения случайной величины.
Для простоты дальнейших обозначений будем п
и-
сать f
(
x
) =
f
Х
(
x
). Плотность вероятности является одной из форм закона
распределения для непрерывных случайных величин
.
2
.5. СВОЙСТВА ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
1) f
(
x
) ≥
0 для всех
х
, т. е. плотность неотриц
ательна
.
Плотность фактически есть вероятность, а вероятность не может быть отриц
а-
тельной.
2)
,
1
)
(
dt
t
f
т.е. выполняется
условие нормировки
плотн
о-
сти.
(См. рис. 3.5.1.)
3) 2
1
}
{
)
(
2
1
x
x
x
x
x
P
dt
t
f
-
это основное свойство плотн
о-
сти. Для того
, чтобы в
ычислить вероятность попадания случайной величины
в интервал, достаточно посчитать площадь под граф
и-
ком плотно
сти случайной величины
над этим интервалом. Таким образом, чем выше значения плотности в точке, тем больше вер
о-
ят
ность для случайной вели
чины
принять значение в окрестности этой точки.
4)
F
'(
x
) = f
(
x
). Это свойство устанавливает простую взаим
о-
связь м
е
жду плотностью и функцией распределения.
Для примера рассмотрим плотность распределения стандар
т-
ного нормального распределения -
2
2
2
1
)
(
x
e
x
f
.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
13
Рис. 2
.5.1. Нормировка функции плотности распределения
2
.6. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ
Случайные величины могут быть дискретными и непрерывн
ы-
ми. Если Х –
непрерывная
случайная величина
c
плотностью f
(
x
)
то ее математич
еское ожидание и дисперсия вычисляются по форм
у-
лам:
;
)
(
dx
x
f
x
m
x
.
)
(
)
(
2
dx
x
f
m
x
d
x
x
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
14
Математическим ожиданием
дискретной случайной вел
и-
чины н
а
зывается число n
k
k
k
x
p
X
M
1
]
[
. Оно обозначается также символом m
x
.
Математическое ожидание
является своеобразным "средним" знач
е
нием случайной величины
.
Дисперсией
дискретной случайной величины называется число n
k
x
k
k
m
x
p
X
D
1
2
)
(
]
[
. Она обозначается d
x
. Чаще
рассматр
и-
вают среднее квадратическое отклонение
.
x
x
d
Дисперсия ха
рактеризует рассеивание значений случайной в
е-
личины относ
и
тельно ее математического ожидания.
Пример.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию двух сл
у-
чайных величин:
СВ 1
X
1
-
1
1
P
1/2
1/2
СВ 2
X
2
-
1
00
1
00
P
1/2
1/2
Для СВ1 получаем:
;
0
5
,
0
1
5
,
0
)
1
(
1
x
m
.
1
5
,
0
)
0
1
(
5
,
0
)
0
1
(
2
2
1
x
d
Для СВ
2
получаем:
;
0
5
,
0
100
5
,
0
)
100
(
2
x
m
.
10000
5
,
0
)
0
100
(
5
,
0
)
0
100
(
2
2
2
x
d
Таким образом, математические ожидания величин совпадают, а ди
с
персии отличаются в 10000 раз.
Далее
приведён пример решения этой задачи в системе Mat
h-
cad
(Рис. 2
.6.1.)
.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
15
Рис. 2
.6.1. Вычисление математического ожидания и дисперсии
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
16
3
. ОСНОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
3
.1. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть о
пыт повторяется n
раз, вероят
ность успеха каждый раз
р
авна p
, вероятность неудачи p
q
1
(согласно схеме Берну
л-
ли)
. Рассмотрим случайную величину X
–
число успехов после
n
опытов. Очевидно, он
а
принимает все целочисленные знач
ения от 0 до n
. По формуле Бернулли:
.
}
{
k
n
k
k
n
q
p
C
k
X
P
Данное
распределение называется биномиальным распред
е-
лен
и
ем
и обозначается Bi
(
n
,
p
)
.
Ряд распределения представлен в таблице:
X~Bi(n,p)
0
1
…
k
…
n
-
1
n
P
q
n
npq
n
-
1
…
k
n
k
k
n
q
p
C
…
nqp
n
-
1
p
n
Математическое ожидание и дисперсия биномиально распр
е-
делённой случайной величины вычисляются по следующим фо
р-
мулам: np
x
M
]
[
npq
x
D
]
[
.
Решим пример сначала «вручную», потом используя прос
тые арифм
е
тические функции среды Mathcad
, а после чего разберём специал
ь
ные функции среды Mathcad
для работы с биномиальным распр
е
делением.
Пример.
Стрелок стреляет по трем мишеням. Вероятность поразить ка
ж-
дую равна р = 0,6
. Построить ряд распределения сл
учайная вел
и-
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
17
чина
Х
–
чис
ло
пораженных мишеней. Вычислить ее математич
е-
ское ожидание и ди
с
персию.
Решение
.
Эта случайная величина
распределена по биномиальному зак
о-
ну. Она принимает значения 0, 1, 2 и 3. Вычислим вероятности по формуле Бе
р
нулли:
;
064
,
0
}
0
{
3
q
X
P
;
288
,
0
}
1
{
2
npq
X
P
;
432
,
0
}
2
{
2
2
3
q
p
C
X
P
.
216
,
0
}
3
{
3
p
X
P
Составляем ряд распределения:
X
0
1
2
3
P
0,064
0,288
0,432
0,216
Математическое ожидание и дисперсию можно вычислить по ряду распределения, но проще воспользоваться ф
ормулами:
M
[
X
] = np
= 3
∙0,6 = 1,8;
D
[
X
] = npq
= 3
∙0,6∙0,4 = 0,72.
Теперь решим этот пример при помощи простых арифметич
е-
ских функций среды Mathcad
(Рис. 3
.1.1.)
.
Рис. 3
.1.1.(а) Построение ряд
а
р
аспределения случайной величины
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
18
Рис. 3
.1.1.(б) Пост
роение ряд
а
р
аспределения случайной величины
Вычисление мат
е
матического ожидания и дисперсии
В системе Mathcad
есть ряд специальных функций, которые описывают основные распределения случайных величин.
Функция в системе Mathcad
, которая описывает ряд
ра
спределения вероя
т-
ности
по биномиальному закону, наз
ы
вается dbinom
(
k
,
n
,
p
).
Это функция, которая выдаёт массив данных в зависимости от количества испытаний n
, а также вероятности удачного исхода к
а-
ждого испытания p
. Переменная
k
является счетчиком числа усп
е-
хов и принимает значения от 1 до n
. Синтаксис её записи в системе Mathcad
может быть записан следующим образом:
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
19
n
k
..
1
:
)
,
,
(
p
n
k
dbinom
P
k
Результатом вычисле
ния этой функции будет массив да
нных P
, который полностью сопоставлен с набором событий от 1 до n
. Помимо функции плотности распределения для биномиального закона распределения, существует также функция распределения. Она записывается следующим образом:
pbinom
(
k
,
n
,
p
)
Как и функция ряда
распределения, эта функция возвращает массив данных, который полностью соответствует событию X
, n
–
количество испытаний, p
–
положительный исход каждого исп
ы-
тания
, k
–
это счётчик
масси
ва
.
Теперь рассмотрим пример решения выше поставленной задачи при помощи этих функций системы Mathcad
(Рис. 3
.1.2.)
.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
20
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
21
Рис. 3
.1.2. Построение
графиков плотности распределения и функции распр
е-
деления по биномиальному закону (при n
=
3
и p
=
0,6)
Теперь рассмот
рим решение той же самой задачи
при ко
лич
е-
стве мишеней равном
пяти и вероят
ности
попадания в каждую p
= 0,73. Проследим, как изменятся
графики.
Решим эту задачу при помощи специальных функций системы Mathcad
(Рис. 3
.1.3.)
.
Рис. 3
.1.3 (а). Построение
ряда
распределения и ф
ункции распредел
е
ния по биномиальному закону (при n
=
5 и p
=
0,73)
Далее построим график функции плотности распределения и график функции распределения.
Найдём математическое ожидание и дисперсию.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
22
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
23
Рис. 3
.1.3 (б
). Построение
графиков ряда
распределения и функции ра
с-
пределения по биномиальному закону (при n
=
5
, p
=
0,73)
3
.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ПУАССОНА
Дискретная случайная величина
X
,
принимающая значения
k
= 0,1, ..., имеет распределение Пуассона с параметром а > 0, что си
м-
волически записывается как X
~ П
(а), если ее ряд р
а
спределения задается фо
р
мулой
.
!
}
{
a
k
e
k
a
k
X
P
Математическое ожидание и дисперсия для распределения П
у-
ассона од
и
наковы и равны а: m
х
= d
x
= a
.
Распределение Пуассона широко используется
в теории масс
о-
вого о
б
служивания. При
ведем пример типичной ситу
ации
.
Пусть на телефонную станцию в произвольные мо
менты врем
е-
ни случайным образом поступают заявки
так, что выполняются три усл
о
вия:
а) вероятность появления любого количества заявок за как
ой
-
либо о
т
резок времени не зависит от того, сколько их поступило за любой другой, не пересекающийся с ним отрезок, т.е. заявки ра
с-
пределяются на оси времени независимо друг от друга. Это усл
о-
вие независимости;
б) вероятность появления за достаточно малый и
нтервал врем
е-
ни ∆
t
двух и более заявок пренебрежимо мала по сравнению с в
е-
роятно
стью поступления в течение этого интервала времени одной заявки. Это усл
о
вие ординарности
;
в) вероятность появления фиксированного числа заявок в и
н-
терва
ле времени зависит ли
шь от длины этого интервала, но не з
а-
висит от его расположения на оси времени
. Это условие стаци
о-
нарности.
В данном случае случайная величина
X
, равная числу заявок, поступивших на телефонную станцию за единицу времени, имеет распред
е
ление П
(а)
, где a
—
ср
еднее число заявок, поступающих в единицу времени. Теоретически, прийти может любое число за
я-
вок, но наиболее вероятное знач
е
ние равно среднему!
Пример. А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
24
В магазин в сред
нем заходят 3 покупателя за 5 минут. Какова вероятность, что в ближайшие 5 минут
в магазин зайдут 5 покуп
а-
телей?
Решение
Поток покупателей описывается распределением Пуассона с параметром а = 3
. Таким образом, искомая вероятность равна в
е-
роятности реализ
а
ции k
= 5
для случайной величины
П(3):
.
1
,
0
!
5
3
}
5
{
3
5
e
X
P
В системе
Mathcad
ряд
распределения Пуассона описывается сл
е-
дующей фун
к
цией
dpois
(
k
, λ
)
где k
–
целое не отрицательное число, кото
рое мо
жет выст
у
пать как счётчик по графику плотности распределения, λ
-
неотриц
а-
тельный параметр распределения Пуассона. Наравне с р
ядом распределения Пуассона, в системе Mathcad
есть также функция распределения Пуассона. Она записывается сл
е
дующим образом:
ppois
(
k
, λ
)
Так же как и в ряду
распределения Пуассона, здесь k
–
целое н
е отрицательное число, которое мо
жет выступать как счёт
чик по гр
а-
фику плотности распределения, λ
-
неотрицательный пар
а
метр распределения Пуассона.
Теперь наглядно рассмотрим
,
как меняется характер ряда
ра
с-
пределения в зависимости от параметра a
. Построим в системе Mathcad
несколько
таких распределений
(рис. 3
.2.1)
. А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
25
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
26
Рис. 3
.2.1. Построение
ряда
распределения Пуассона в зависимости от п
а
раметра распределения
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
27
Применительно к выше поставленной задач
е
с покупател
ем
в магазине, коэффициент распределения
a
= 3, так как это есть сре
д-
няя величина (она же равняется и дисперсии и математическому ож
и
данию), при этом интересующее нас количество покупателей равно 5. Построив это распределение можно также определить вероя
т-
ность того,
зайдёт ли в ближайшее время в магазин
шесть покуп
а-
телей и
ли
два покупателя
(Ри
с. 4.2.2.)
.
Рис. 3
.2.2. Решение задачи с применением ряда
распределения П
у
ассона
Разберём несколько непрерывных рас
пределений
, которые та
к-
же широко встр
е
ча
ются на
практике.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
28
3
.3. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Равномерное распределение является прост
ейшим среди н
е-
прерывных распределений. Для простоты будем рассматривать сл
у
чайные величины, равномерно распределенные на отрезке. Случайная величина
Х
распределена равномерно
на отрезке [
a
,
b
] (Х~
R
(
a
,
b
)), если плотност
ь вероятности имеет вид
].
,
[
,
0
],
,
[
,
1
)
(
b
a
x
b
a
x
a
b
x
f
Если случайная величина распределена равномерно на отре
з
ке, то вероятность ее попадания в какой
-
либо внутренний интервал зависит лишь от длины интервала, а не от его расположения вну
т-
ри отрезка. Другими словами, попадание в любую точку отрезка равновероя
т
но.
Для примера вычислим математическое ожидание и диспе
р
сию случайно величины Х~
R
(
0
,
1
)
, т. е. равномерно распределе
н
ной на о
т
резке [0,1].
Ее плотность определяется формулой:
].
1
,
0
[
,
0
],
1
,
0
[
,
1
)
(
x
x
x
f
Математическое ожидание:
.
2
1
|
2
)
(
1
0
2
1
0
x
dx
x
dx
x
xf
m
x
Дисперсия:
.
12
1
24
1
24
1
|
3
2
1
2
1
2
1
)
(
2
1
1
0
3
1
0
2
2
x
x
d
x
dx
x
f
x
d
x
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
29
Замечания
Распределение R(0;1)
используется для моделирования случа
й-
ных величин
с произвольно заданным законом распределения.
Для работы с равномерным распределением в системе Mathcad
существует две функции –
функц
ия плотности и функ
ция ра
спр
е-
деления.
Синтаксис функции плотности равномерного распределения:
dunif
(
x
, a
, b
)
где
x
–
есть переменная дл
я области распределения функции
, a
и b
–
есть границы плот
ности
.
Для функции равномерного распределения синтаксис фун
к
ци
и выглядит следующим образом:
punif
(
x
, a
, b
)
внутренние переменные описываются аналогично. Рис. 3
.3.1. Пример применения функции dunif
При увеличении интервала высота графика функции т.е. её зн
а-
чения будет уменьшаться, так как площ
адь, которая ограничена А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
30
кривой графика функции и осью абсцисс должна равняться един
и-
це. А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
31
Рис. 3
.3.2. Пример применения функции dunif
(), punif
()
Читатель может обратить внимание, что в зависи
мости от изм
е-
нения граничных точек интервала меняется график функции ра
с-
пределения –
меняется угол наклона кривой и плотности распред
е-
ления
–
меняется максимум функции
. 3
.4. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Случайная величина
Х имеет экспоненциальное (показател
ь-
ное)
распределение с параметром λ > 0, если ее плотность вероя
т-
ности имеет вид
0
,
0
0
,
)
(
x
x
е
x
f
х
Функция распределения такой СВ Х ~ E
(
λ
) имеет вид
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
32
0
,
0
0
,
1
)
(
x
x
е
x
F
х
Математическое ожидание и дисперсия экспоненциально ра
с-
пред
е
ленн
ой СВ определяются формулами:
;
1
X
m
.
1
2
X
d
Экспоненциальное распределение является одним из основных ра
с
пределений, используемых в теории надежности.
Продолжительность безотказной работы многих технических устройств, вр
емя технического обслуживания, а также время з
а-
держки вылета самолета по вине технических служб аэропорта удовлетворительно описываются соответствующими экспоненц
и-
альными распред
е
лениями.
Экспоненциальное распределение в системе Mathcad
описыв
а-
ется следующ
ими функц
иями.
Функция плотности
:
dexp
(
x
, r
)
где x
–
переменная, которая может быть задана либо дискре
т
но, либо непрерывно, причём она должна быть положител
ь
ной, а r
–
это параметр экспоненциального распределения.
В курсе теории вероятности переменная r
обозначается (смотрите выше) одн
а
ко в системе Mathcad
он обозначается через r
.
Функ
ция
распределения:
pexp
(
x
, r
)
аналогично с функцией плотности её параметры определяются аналогично
.
Две эти формулы могут выдавать либо дискретны
е значения, либо непрерывные значения.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
33
Рассмотрим пример применения функции плотности экспоне
н-
циального распределения, а также саму функцию экспоненциал
ь-
ного распределения в
системе Mathcad
.
Функцию отобразим ди
с-
кретно.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
34
Ниже изобразим непрерывн
ые
функции плотности вероятн
о-
сти и распределение вероятности.
Рис. 3
.4.1. Пример непрерывного задания функций распределения и функции плотн
о
сти распределения
Графики функции плотности распределен
ия и функции распр
е-
деления вероятности могут изображаться как дискретно, так и н
е-
прерывно, в зависимости от задачи, которая поставлена. При изм
е-
нении параметра экспоненциального распределения в сторону ув
е-
личения, лучше использовать непрерывное отображение
функций.
3
.5. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Случайная величина Х
имеет нормальное распределение
с м
а-
темат
и
ческим ожиданием m и дисперсией σ
2 > 0, т.е.
Х ~ N
(m; σ
2
), если ее плотность выражается формулой
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
35
2
2
2
)
(
2
1
)
(
m
x
e
x
f
.
Важно помнить внешний вид
графика этой функции, завис
и-
мость вида графика от параметров распределения и физический смысл самого распред
е
ления.
График плотности нормального распределения, называемый кривой Гаусса
(см. рис. 3.5.1)
.
Как видно, математическое ожидание m
указывает на об
ласть наибо
лее вероятных значений случайной величины
. При измен
е-
нии m
график плотности сдв
и
гается вдоль оси Ох.
Рис. 3.5.1
. Графики плотности нормального распределения при ра
з
личных значениях параметров
Дисперсия σ
2
"
отвечает" за ра
зброс значений случайной вел
и-
чины
вокруг ее математического ожидания. Если она мала, то зн
а-
чения сконцентрированы вокруг m
–
"крутой пик" (
σ
1
). Чем ди
с-
персия выше, тем равномернее распределена СВ, "холм" пологий (σ
2
). Нормальное распределение имеет широко
е распространение в пр
и
кладных задачах. Например, ошибки измерений распределены по но
р
мальному закону. Никакой прибор никогда не выдаст точное значение измеряемой величины, неизбежны ошибки в ту или иную сторону. Р
е
зультат измерения является случайной вели
чиной. Чем хуже прибор, тем больше дисперсия, т. е. ошибка измерений.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
36
Важное значение имеет распределение с классическими пар
а-
метрами m
= 0, σ
2
= 1 -
N
(0,1), называемое стандартным но
р-
мальным распределением
. Распределения с другими параметрами получаются из него простейшими арифметическими операциями. Плотность N
(0,1) –
фун
к
ция 2
2
2
1
)
(
t
e
t
f
, где x
m
x
t
.
Вероятность того, что СВ N
(0,1) принимает значение от 0 до y
определяется функцией Лапласа
.
dt
e
a
Ф
a
t
0
2
0
2
)
(
.
Рис
. 3
.5.1. Функция Лапласа
Для работы с нормальным распределением в системе Mathcad
определены следующие функции.
Функция плот
ности нормального распределения
:
dnorm
(
x
, μ
, σ
)
где x
–
есть переменная величина функции (может задаваться как дискретно, так и непрерывно), μ
–
математическое ож
и
дание и σ
–
среднеквадр
а
тичное отклонение, которое должно быть всегда больше ноля.
Функция
распределения:
pnorm
(
x
, μ
, σ
)
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
37
аналогично функции плотност
и нормального распределения x
–
есть переменная величина функции, μ
–
среднее значение, оно же математическое ожидание и σ
–
среднеквадратичное отклонение, которое должно быть всегда больше ноля.
Р
ассмотрим эти функции
(Рис. 3
.5.2.). А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
38
Рис. 3
.5.2. Пример применения функций dnorm
()
Р
ассмотрим пример функции плотности нормального распред
е-
ления и функцию распределения
(Рис. 3
.5.3.)
.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
39
Рис. 3
.5.3. Функция плотности нормального ра
спределения и
функция распределения
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
40
4
. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКИ
4
.1. ВЫБОРКА
Математическая статистика –
наука о математических мет
о
дах, позволяющая по статистическим данным (реализациям случайной величины) построить модель иссл
едуемого явления (например, пло
т
ность случайной величины).
Можно сказать, задачи математической статистики обратны задачам теории вероятностей. Теория вероятностей, зная зак
о
ны распределения случайной величины, пытается ответить на вопросы об их реализация
х. Математическая статистика, наоборот, по и
з-
вестным реализациям пытается определить законы распределения СВ.
Ключевым объектом для изучения в математической статист
и-
ке является выборка
.
Выборкой называется вектор Z
n
= (
x
1
, x
2
, …, x
n
), компонентами которог
о являются реализации некоторой случайной величины. Например, если в течение недели каждый день в одно и то же время замерять напряжение в сети (случайная величина!), то такая выборка
будет выглядеть примерно так: 215 В, 225 В, 21
7 В, 230 В, 228 В, 222 В,
210 В (в системе Mathcad
она задана ниже –
см. рис. 4.1.1.)
. Можно ли по этим данным сказать что
-
то определенное о распределении случайной величины, ее математическом ожидании и дисперсии? В этом и состоит задача математической статистики. Разумеется, чем
больше выборка, тем точнее можно ответить на заданные в
о
просы.
Рассмотрим, как в системе Mathcad
можно задать выборку.
Во
-
первых
, покажем, что уже существующая выборка -
допу
с-
тим это измерение температуры нагрева обмотки двигателя
–
м
о-
жет быть пре
д
ставле
на в среде Mathcad
как матрица
-
строка, т.е. вектор. При таком способе задания создаётся матрица
-
строка н
е-
обходимого количества элементов. Это удобно с точки зрения дальнейшей работы с этими данными
-
анализа данных
, нахожд
е-
ния математическ
о
го ожидания и д
исперсии.
Ниже приведён пример задания выборки в системе Mathcad
.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
41
Рис. 4
.1.1. Задание
трёх векторов
выборки в системе Mathcad
4
.2. ПОНЯТИЕ ГЕНЕРАТОРА СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
Очень часто необходимо создать математическую модель как
о-
го
-
либо процесса и исс
ледовать её. Входными данными математ
и-
ческой модели могут быть как строго определённые величины, л
и-
бо случайные величины, либо строго определённые величины со случайными погрешностями. Последнее в практике случается до
с-
таточно часто. Для создания случайных
с равномерным распред
е-
лением величин в системе Mathcad
есть функция случайной вел
и-
чины rnd
(
a
)
где a
–
есть верхняя/нижняя граница случайных величин. Др
у-
гими словами, функция выдаёт множество случайных величин от 0
до a
.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
42
Рис. 4
.2.1. Пример при
менения генератора случайных чисел
Часто возникает необх
одимость смоделировать отклонение от заданной величины
–
например скачки напряжения в сети
. Ра
с-
смотрим реализацию в си
с
теме Mathcad
(Рис. 5.2.2.)
Рис. 4
.2.2. Пример моделирования отклонения от
заданной величины
Приведём ещё один пример с большим количеством да
н
ных.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
43
Р
ассмотрим пример использования функции случайных вел
и-
чин в Mathcad
для создания вектора выборки из вектора данных. Ве
к
тор данных также зададим при помощи функции случайных вел
и
чи
н.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
44
Рис. 4
.2.3. Пример генерации случайных значений
и выборки
для 5 вел
и
чин
4
.3. ФУНКЦИИ СОЗДАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С РАЗЛИЧНЫМИ ЗАКОНАМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Помимо стандартной функции случайной величины rnd
(
a
)
, к
о-
торую мы разобрали выше
(см. п. 4.2.)
, существуют также спец
и-
альные функции случайных чисел, результатом которых является набор случайных чисел, но значение которых подчиняется опред
е-
лённ
о
му закону. Эти функции созданы на базе функций законов плотн
о
ст
и распределения, а именно хорошо
и
звестные функции биноминального распределения, экспоненциального распредел
е-
ния, нормального распределения, распределения Пуассона, равн
о-
мерного ра
с
пределения. Запишем общий вид этих функций:
1. Функция случайных чисел биномиального распределения:
rbinom
(
m
,
n
, p
)
2. Функция случайных чисел экспоненциального распредел
е-
ния:
rexp
(
m
, r
)
3. Функция случайных чисел нормального распределения:
rnorm
(
m
, μ
, σ
)
4. Функция случайных чисел распределения Пуассона:
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
45
rpois
(
m
, λ
)
5. Функция случайных чисел равномерного рас
пределения:
runif
(
m
, a
, b
)
.
где
m
–
число
случайных величин
; n
–
целое число, удовлетв
о-
ряющее
условию n
> 0;
p
–
удовлетворяет условию 0 < p
< 1
;
r
–
должно удовлетворять условию r
> 0;
μ
, σ
, λ
–
коэффициент удо
в-
летворяющий условию λ
, μ
, σ
> 0;
a
, b
–
пар
аметры распредел
е
ния;
Приведём пример использования функции случайных чисел экспон
енциального распределения (Рис.4
.3.1.). А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
46
Рис. 4
.3.1. Пример генерации случайных чисел экспоненциального закона ра
с
пределения при n
=9
Увеличим число случайных чисел
функции экспоненциальн
о-
го распределения n
= 70
(Рис. 5.3.2.)
.
Рис. 4
.3.2. Пример генерации случайных чисел А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
47
экспоненциального закона ра
с
пределения при n
=9
На рисунке 4.3.1 и 4
.3.2 была выполнена сортировка получе
н-
ных данных, чтобы читатель мог у
бедиться, что Mathcad
генерир
у-
ет случайные числа именно по экспоненциальному закону распр
е-
деления.
4
.4. ВЫБОРОЧНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ Среди всех задач математической статистики здесь мы ра
с-
смотрим только основные задачи –
нахождение математического ожидания (средняя величина) и дисперсии.
Итак, если имеется выборка Z
n
= (
x
1
, x
2
, …, x
n
), реализаций н
е-
которой случайной величины Х, то вы
борочным средним и выб
о-
рочной дисперсией
Х называются следующие велич
и
ны:
n
k
k
X
x
n
m
1
,
1
n
k
X
k
X
m
x
n
d
1
2
.
)
(
1
Как легко видеть, выборочное среднее представляет собой среднее арифметическое данных выборки. Задача математического ожидания заключается в нахождении средней величины, рядом с которой «колеблется» измеренные в
е-
личины. Дисперсия в свою очередь показывает насколько «разм
ы-
то» поле измеренных величин относительно среднего значения. Однако дисперсия не отражает реальной картины «размытости», так как все разности возводятся во вторую степень. Это и понятно, так как если бы не было функци
и второй степени, то дисперсия была бы равна нулю, при любом значении математического ож
и-
дания и любом количестве измеренных величин. Для того
чтобы отразить реальную картину «
размытости
» и
з-
меренных величин по отношению к средней величине
, вводится поняти
е среднеквадратичного отклонения или стандартного о
т-
клонения:
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
48
X
ср
d
.
Рассмотрим несколько наглядных приме
ров, которые демонс
т-
рируют смысл вышесказанного.
Рис. 4.4.1. Пример вычисления
выборочного математического ожидания и ди
с
перс
ии
В следующем примере увеличим разброс значений вектора, подсчитаем математическое ожидание, дисперсию и среднеквадр
а-
тичное о
т
клонение.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
49
Рис. 4.4.2. Пример вычисления
выборочного математического ожидания и ди
с
персии
Обратите внимание, что при уве
личении разброса данных, м
а-
тематическое ожидание, которое характеризует среднюю велич
и-
ну, почти не изменилось, в то время как дисперсия и среднеквадр
а-
тичное отклонение, которые характеризуют «разброс» величин о
т-
носительно среднего значения, увеличилось в н
е
сколько раз.
Данные примеры дают об общем понимании таких понятий как
математическо
е
ожида
ние
, дис
персия
и среднеквадратич
еское
о
т-
клоне
ние
.
Ниже визуализируем эти два примера
(рис. 4.4.3 и рис. 4.4.4)
. А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
50
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
51
Рис. 4.4.3. Пример вычисления
выборочно
го математического ожидания и ди
с
персии
с визуализацией
Увеличиваем разброс измеряемой величины.
Рис. 4.4.4. Пример вычисления
выборочного математического
ожидания и ди
с
персии
с визуализацией
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
52
4
.5. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Допустим, известно, что некоторая случайная величина Х
ра
с-
пределена по нормальному закону с неизвестными параметрами Х ~ N
(m; σ
2
). Имеется также выборка реализаций данной случайной вел
и
чины Z
n
= (
x
1
, x
2
, …, x
n
)
, по которой вычислены выборочные математическое ожидание и ди
с
персия X
m
и X
d
.
Можно ли при таких условиях указать интервал
, в котором с вероятностью α (
как правило, α ≥ 0,9) будет лежать математич
е-
ское ожидание исходной случайной вел
и
чины m
? Оказывается, можно. Центр этого доверите
льного интервала
находится в точке X
m
, а радиус доверительного
интервала в
ы
числяется по формуле:
),
1
(
1
n
t
n
d
r
X
где, α –
уровень доверия, n
–
число элементов выборки, а число t
α
(
n
-
1)
–
квантили распределения Стьюдента
.
Зде
сь хочется обр
а-
тить внимание читателей, что t
α
(
n
-
1)
есть переменная, которую б
е-
рут из таблицы в зависимости от входных условий (см. учебное пособие [
4
]
). В системе Mathcad
это
реализовано при помощи функции квантили обратного распределения Стьюдента
(Рис.
4
.5.1.)
qt
(
p
,
d
)
где d
–
число элементов выборки, p
-
уровень доверия.
Таким образом, доверительный интервал для m
выглядит сл
е-
дующим о
б
разом: ).
;
(
r
m
r
m
X
X
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
53
Рис. 4
.5.1.
Пример применения функции qt
()
для вычисления доверител
ь
ного интерв
ала
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
54
5
. ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ
СТАТИСТИКИ
(факультативный материал)
5
.1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ РЕГРЕССИИ
Перед тем как приступить к описанию общих понятий регре
с-
сии, хочется отметить, что данный раздел не является обязател
ь-
ным в программе подго
товки. Цель, которую ставит автор, публ
и-
ку
я
данный раздел, помочь тем читателям, которые имеют дело с обработкой экспериментальных
данных. Очень часто
,
изучив пр
о-
грамму по курсу «Теория вероятности и математическая статист
и-
ка»
,
слушатели задают вопрос по о
бработке да
н
ных, в том числе и экспериментальных и каким образом можно их обрабатывать пр
о-
стыми, существующими на сегодняшний, день программными п
а-
кетами, такими как MS
Excel
или Mathcad
. Описание функций пр
о-
граммного продукта MS
Excel
выходит за рамки дан
ного уче
б
ного пособия. Рассмотрим те функции для обработки экспериментал
ь-
ных данных, которые имеет программный ко
м
плекс Mathcad
.
Широко распространенной задачей обработки данных является представление их совокупности некоторой функцией )
(
x
y
. Задача регрессии чаще всего заключается в получении параметров этой функции такими, чтобы функция приближала «облако» исходных точек (заданных например векторами VX
и VY
) с наименьшей среднеквадратичной погреш
ностью. В этом случае говорят о ре
г-
рессии методом наименьших квадратов. 5
.2. ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИ
Я
Чаще всего используется линейная регрессия
, при которой функция описывает отрезок прямой и имеет вид:
b
kx
x
y
)
(
напомним, что k
-
это угол наклона прямой в оси OX
, а к
о-
эффициент b
-
это смещение прямой относительно начала коо
р-
динат. Рассмотрим следующий пример.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
55
Допустим, есть исходные данные, которые б
ыли получены в хо
д
е эксперим
ента
. Зададим вектор измерен
ной величины
в зав
и-
симости от времени.
Рис. 5
.2.1. Данные, заданные векторно
Для построения зависимости приведённых данных в системе Mathcad
есть две специальные функции.
Функция intercept
(
VX
, VY
)
–
которая возвращает
значение к
о-
эффициента b
-
смещение кривой относительно начала координат. Функция slope
(
VX
, VY
)
–
функция, которая возвращает пар
а-
метр k
-
угловой коэффициент наклона прямой к оси OX
.
В этих
двух функция VX
и VY
–
есть вектора данных, которые должны быть заданы. Причём необходимо, чтобы количество эл
е-
ментов этих векторов было одинаково. Также в системе Mathcad
есть функция corr
(
VX
, VY
)
, которая возвращает значение коэфф
и-
циента корреляции. Ко
рреля
ция
-
статистическая взаимосвязь двух или нескол
ь
ких случайных величин
(либо в
еличин, которые можно с некот
о
рой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом, и
з-
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
56
менения одной или нескольких из этих величин приводят к сист
е-
матическому изменению другой или других величин. Математич
е-
ской мерой корреляции двух случайных велич
ин служит коэффициент корреляции
.
Корреляция может быть
положительной и отрицательной (во
з-
можна также ситуация отсутствия статист
и
ческой взаимо
связи -
например, для независимых случайных величин). О
т
рицательная корреляция
-
корреляция, при которой увеличение одной переме
н-
ной связано с уменьшением другой переме
нной, при этом коэфф
и-
циент корреляции отрицателен. Положительная корреляция
-
ко
р-
реляция, при которой увеличение одной переменной связано с ув
е-
личением другой переменной, при этом коэффициент корреляции п
о
ложителен.
На рисунк
е 5
.2.2 изображено «облако» зн
ачений измеренной величины, а над ним значение коэффициента корреляции. Стоит также отметить третью строку –
несмотря на наличие зависимости, коэффициент корреляции равен нулю. Рис. 5
.2.2
. Значения коэффициентов корреляции
Коэффициент корреляции
или парный коэффициент коррел
я-
ции
в теории вероятностей
и статистике
-
э
то показатель характера взаимосвязи
двух случайных величин
. Коэффициент корреляции обозначается латинской буквой R и может принимать значения между -
1 и +1. Если значение по модулю находится ближе к 1, то это означает нал
ичие сильной связи (при коэффициенте коррел
я-
ции ра
в
ном единице говорят о функциональной связи), а если ближе к 0, то сл
а
бой.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
57
Рассмотрим пример в системе Mathcad
(Рис. 5
.2.3)
Рис. 5
.2.3
. Построение линейной регрессии
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
58
Теперь увеличим «разброс дан
ных» и посмотрим как изм
е-
ниться график и коэффициент корреляции (Рис. 6.2.4)
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
59
Рис. 5
.2.4
. Построение линейной регрессии
В следующем примере линейной регрессии создадим большое количество экспериментальных данных при помощи функции сл
у-
чайных велич
ин (генератора случайных чисел) -
Random
.
Постр
о-
им линейную регрессию и вычислим коэффициент корреляции (Рис. 5
.2.5)
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
60
Рис. 5
.2.5
. Построение линейной регрессии для случайных величин
5
.3. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ РЕГРЕССИЯ
Помимо линейной и регрессии о
бщего вида, полезно также ещё знать экспоненциальную регрессию. Экспоненциальная функция описывается следующим уравн
е-
нием, записанным в общем виде:
C
e
A
x
H
x
B
)
(
где C
B
A
,
,
-
коэффициенты, которые так или иначе влияют на форму
кривой. Нахождение регрессии сводится к нахождению этих коэффициентов, аналогично как в линейной регрессии.
Для нахождения этих коэффициентов в системе Mathcad
пр
е-
дусмотрены следующие функции:
expfit
(
VX
, VY
, Guess
)
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
61
где VX
–
вектор значений по оси OX
, VY
–
вектор значений по оси OY
, а Guess
–
вектор начальных приближенных параме
т-
ров экспоненциальной регрессии.
Таким образом, для того, чтобы построить экспоненциальную регрессию необходимо задать два вектора данных,
а также задать вектор начальных приближённых параметров экспоненциальной регрессии. Смотрите пример
ы
ниже
(Рис. 5.3.1 и рис. 5
.3.2)
.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
62
Рис. 5
.3.1
. Построение экспоненциальной регрессии
Рассмотрим другой пример. А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
63
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
64
Рис. 5
.3.2
. Построен
ие экспоненциальной регрессии
По большому счёту характер результирующей кривой не зав
и-
сит от того, какие будут введены приближённые параметры эксп
о-
ненциальной регрессии. При этом конечно не стоит вводить в пе
р-
вом столбце ноль, так как в уравнении C
e
A
x
H
x
B
)
(
первое слагаемое обнулиться и результатом приближения будет прямая, параллельная оси OX
. 5
.4. СИНУСОИДАЛЬНАЯ РЕГРЕССИЯ
Р
ассмотрим ещё одну регрессию, функция которой также им
е-
ет широкое распространение в технике -
особенно в электрон
и
ке
–
это синусоидальная регрессия. Так же как и в случае с экспоненциальной регрессией запишем общим вид синусоидальной функции:
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
65
C
B
x
A
x
H
)
sin(
)
(
Хотя этот общий вид и не является
окончательным общим в
и-
дом, так как под знаком
синуса отсутствует переменная при x
, однако она достаточна для того, чтобы полностью описать син
у-
соидальное приближение. Для работы с синусоидальной регрессией в системе Mathcad
предусмотрена функция
sinfit
(
VX
, VY
, Guess
)
где VX
и
VY
–
векторы значений, а Guess
–
так же как и в эк
с-
поненциальной регрессии вектор начальных значений. Приведём пример. А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
66
Рис. 5
.4.1
. Построение синусоидальной регрессии
Однако этой функцией не всегда можно пользоваться, так как нельзя задавать к
оэффициент при x
(Рис. 5
.4.2)
. Пример ниже. А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
67
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
68
Рис. 5
.4.2
. Ошибка в построении синусоидальной регрессии
В этом случае можно пользоваться регрессией общего вида
(см. 5
.5)
, при этом подбирая коэффициенты у функций.
(Рис. 5
.4.3)
Рис. 5
.4.3
.
Построение синусоидальной регрессии с применением функции регрессии общего вида
5
.5
. ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ ОБЩЕГО ВИДА
В Mathcad
реализована возможность выполнения линейной регрессии общего вида. При ней заданная совокупность точек
пр
и-
ближается к функции вида:
...
)
(
2
2
)
(
1
1
)
,...,
2
,
1
,
(
x
F
K
x
F
K
Kn
K
K
x
F
)
(
...
x
Fn
Kn
.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
69
Таким образом, функции регрессии является линейной комб
и-
нацией функций )
(
1
x
F
, )
(
2
x
F
, … )
(
x
Fn
, причём сами эти фун
к-
ции могу
т быть нелинейными, что резко расширяет возможности такой аппроксимации и распространяет её на многие нелинейные функции. Для реализации линейной регрессии общего вида используется такая функция системы Mathcad
, как
linfit
(
VX
, VY
, F
)
,
которая возвращает
вектор
коэффициентов
K
ли
не
йной регре
с-
сии общего вида, при котором среднеквадратичная погре
ш
ность приближения «облака» исходных точек, координаты которых хр
а-
нятся в векторах VX
и VY
, оказывается мин
и
мальной. Вектор F
должен содержать функции )
(
1
x
F
, )
(
2
x
F
, … )
(
x
Fn
, записанные в символьном виде. Приведём пример
(Рис. 5
.5.1)
.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
70
Рис. 5
.5.1. Пример построение регрессии общего вида
Большой недостаток этого способа заключается в том, что н
е-
обходимо са
мому подбирать ту совокупность функции, на которую по мнению читателя «похоже» «облако» значений. В данном сл
у-
чае Mathcad
только ищет коэффициенты, которые стоят перед функциями
(рис. 5
.5.2)
.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
71
Рис. 5
.5.2. Пример построение регрессии общего вида
Рассмотрим такой пример
построения линейной регрессии при помощи функц
ии регрессии общего вида (Рис. 5
.5.3)
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
72
Рис. 5
.5.3 (а). Пример построения линейной регрессии при помощи функции регрессии общего вида
В данном сл
учае было бы разумно, если программа находила бы линейную регрессию, однако, как было сказано выше, она ищет только коэффициенты перед теми функциями, которые сам задаёт пользователь. В данном случае программа просто выдала средний результат.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
73
Рис. 5
.5.
3 (б). Пример построения линейной регрессии при помощи функции регрессии общего вида
После того как была задана линейная функция, программа н
а-
шла соответствующий коэффициент при переменной x
. Т.е. в уравнении b
kx
x
y
)
(
этот коэффициент k
. Также обратите внимание на то, что функция начинается не из начала координат. Здесь программа «нашла» второй коэффициент при второй функции в векторе функций равный 0,429. Другими словами, программа «подняла» гр
афик для того, чтобы приближ
е-
ние было как можно точнее.
А в следующем примере мы зададим вторую функцию в стол
б-
це функций 0
)
(
2
x
F
. При этом результирующая функция будет выходить из начала координат. Но при этом изменятся другие к
о-
эффициенты
.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
74
Рис. 5
.5.3 (в). Пример построения линейной регрессии при помощи функции регрессии общего вида
Таким образом, нахождение регрессии общего вида при пом
о-
щи этой функции является относительно сложным
занятием, одн
а-
ко при правильном нахождении комбинац
ии функций, резул
ь
тат будет достаточно точным. В данном случае можно дать н
е
сколько советов по подбору функций. Во
-
первых, создавайте всегда матрицу функций по меньшей мере 5 функций. В самом крайнем случае оставшиеся ячейки мо
ж-
но записать в виде нулевой функции и она не окажет ни какого влияния на результат. Во
-
вторых, применяйте единичную фун
к-
цию –
она позволит «регулировать» положение результирующей функции относительно оси OX
. Ниже рассмотрим ещё один пример
построение регрессии э
л
е-
ментарной функции при помощи функции построения регрессии о
б
щего вида (Рис. 5
.5.4)
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
75
Рис. 5
.5.4 (а). Пример построения квадратичной регрессии при помощи функции регрессии общего вида
Если мы в вектор функций добавим единичную функцию, то график резу
льтирующей функции «подвинется».
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
76
Рис. 5
.5.4 (б). Пример построения квадратичной регрессии при помощи функции регрессии общего вида
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
77
6
. ПРИМЕР
Ы
РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
1. Случайная величина Х ~ Bi
(
5
; 1/4). Найти наиболе
е и наим
е-
нее вероятные знач
е
ния Х.
РЕШЕНИЕ
СВ распределена по биномиальному закону с параметрами n
= 6 и p
= ¼ и принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Вычислим вероятн
о-
сти ре
а
лизаций с помощью формулы Бернулли:
;
237
,
0
4
3
)
1
(
}
0
{
5
5
p
X
P
;
396
,
0
4
3
4
1
5
)
1
(
}
1
{
4
4
p
np
X
P
;
264
,
0
4
3
4
1
!
3
!
2
!
5
)
1
(
}
2
{
3
2
3
2
2
5
p
p
C
X
P
;
088
,
0
4
3
4
1
!
2
!
3
!
5
)
1
(
}
3
{
2
3
2
3
3
5
p
p
C
X
P
;
014
,
0
4
3
4
1
5
)
1
(
}
4
{
4
4
p
np
X
P
.
001
,
0
4
1
}
5
{
5
5
p
X
P
Очевидно, что наиболее вероятное значение СВ –
Х = 1, на
и-
менее вер
о
ятное –
Х = 5.
Ниже приведём решения данной задачи в системе Mathcad
.
При решении это
й задачи используется функция ряда бином
и-
ального распределения –
dbinom
(
k
, n
, p
)
. А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
78
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
79
Пример решения задачи №1 в системе Mathcad
2. За время эксплуатации автомобиля в среднем случается 4 прокола на 100
000 км. Число проколов описывается распредел
е-
нием Пуассона. Рассчитать вероятность того, что за 150
000 км случится не более о
д
ного прокола.
РЕШЕНИЕ
Если за 100 000 км в среднем случается 4 прокола, то за 150 000 их будет 6. Следовательно
, число проколов за 150 000 км о
п-
ределяется СВ с ра
с
пределением Пуассона с параметром а = 6
. Интересующая нас вероятность равна вероятности возникн
о-
вения 0 или 1 прокола. По формуле для распределения Пуассона получ
а
ем:
.
017
,
0
!
1
6
!
0
6
}
1
{
}
0
{
6
1
6
0
e
e
X
P
X
P
P
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
80
3. Величина промаха
при стрельбе описывается нормальным законом распределения. Средний
промах составляет 10 см. Какова вероятность совершить пр
о
мах более 7 см?
РЕШЕНИЕ
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
81
Искомую вероятность можно отобразить на графике плотности нормал
ь
ного
распределения:
0,7 = 7/10 –
отношение искомой ошибки к средней ошибке. Требуемая вероятность на графике закрашена. Таким образом:
Р = 1 –
2Ф
о
(0,7).
По таблице находим Ф
о
(0,7) = 0,2580. Получаем:
Р = 1 –
2Ф
о
(0,7) = 1 -
2
∙0,2580 = 0,484.
При
мер решения задачи в системе Mathcad
.
Здесь используем функцию нормального распределения.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
82
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
83
4. Спортсмен стреляет по 50 мишеням. Вероятность поразить мишень не зависит от предыдущих выстрелов и составляет 0,8. Определить ве
роятность того, что число пораженных мишеней превысит 45.
РЕШЕНИЕ
Воспользуемся формулой Муавра
-
Лапласа:
.
}
{
npq
np
l
Ф
npq
np
k
Ф
k
M
l
P
о
о
В нашем случае: n
= 50 –
число опытов;
p
= 0,8 –
вероятность успеха, q
= 0,2 –
вероятность неудачи;
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
84
l
= 45 –
нижняя граница, верхняя граница не указана (
k
= ∞). Математическое ожидание -
np
= 40, СКО -
83
.
2
8
npq
.
Вычислим аргументы функции Ф
о
:
k
= ∞
, Ф
о
(+
∞) = 0,5;
.
76
,
1
83
.
2
40
45
npq
np
l
Значит, искомая вероятность равна
P
{
M
> 45} = 0,5 -
Ф
о
(1,76) = 0,5 –
0,46 = 0
,04. А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
85
5. Средняя температура июня в г. Москве по годам приведена в таблице
Год
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
Москва
+16
+18
+15
+13
+19
+20
+23
По приведенным данным определить:
а) Выборочное среднее и выборочную дисперсию средней те
м-
перату
ры июня;
б) Построить центральный доверительный интервал уровня д
о-
верия 0,95 для неизвестного математического ожидания средней температуры июня.
РЕШЕНИЕ
Для начала вычислим д
исперсию для данной выборки темпер
а-
тур. Величина выборки n
= 7.
Выборочное средне
е:
n
i
i
X
X
n
m
1
.
71
,
17
7
23
20
19
13
15
18
16
1
Выборочная дисперсия:
63
,
9
)
(
1
1
2
n
i
X
i
X
m
X
n
d
Радиус доверительного
интервала:
).
1
(
1
n
t
n
d
r
X
Значение t
α
(
n
-
1)
при соответствующем
уровне доверия α = 0,95 и величине выборки n
= 7 находится из таблицы: t
0,95
(6) = 2,447
.
(см. таблицу в учебном пособии [
6
]
)
Вычисляем радиус:
.
1
,
3
447
,
2
6
63
,
9
r
Доверительный интервал с центром в X
m
и радиусом r
имеет вид
(17,71 -
3,1;17,71 + 3,1) = (14,61;20,81).
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
86
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
87
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Дьяконов В.П. Mathcad 11/12/13 в математике. –
М.: Горячая линия –
Телеком, 2007. –
958 с., ил.
2
. Денисов
-
Винский Н.Д. Mathcad
при решении задач по курсу математика. I
курс. Учебное пособие для студентов. Специал
ь-
ность 140211 «Электр
о
снабжение». –
М.: МИЭЭ, 2007.
3. Денисов
-
Винский Н.Д. Mathcad
при решении задач по курсу математика. I
I
курс. Учебное пособие для студентов. Специал
ь-
ность 140211 «Электр
о
снабжение». –
М.: МИЭЭ, 2007.
4
. Ерохин С.В. Теория вероятности и математическая статист
и-
ка. Учебное пособие для сту
дентов. Специальность 140211 «Эле
к-
тр
о
снабжение». –
М.: МИЭЭ, 2009
5
. Сеидова С
-
Ф. Г. Mathcad
в помощь студентам высших уче
б-
ный заведений. –
М.: Изд
-
во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. 6
. Сеидова С
-
Ф. Г. Решение задач высшей математики при п
о-
мощи системы Mathc
ad
. –
М.: Изд
-
во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.
А
втор:
Дени
сов
-
Винский Н.Д.
E
-
mail: denisov.vinskiy@yandex.ru
88
Формат 60
×90 1/16. Тираж 100.
Производственно
-
торговая фирма Московского института энергобезопасн
о
сти и энергосбережения.
105043, Москва, ул. 4
-
я Парковая, д. 27, тел. 965
-
3790, 652
-
2412,
факс
965
-
3846.
www.mieen.ru
, e
-
mail: ptf@mieen.ru
Автор
denisov.vinskiy
Документ
Категория
Техническая литература
Просмотров
7 855
Размер файла
1 669 Кб
Теги
высшей, при, mathcad, решении, задач, Денисов-Винский, математики, курс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа