close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

МАТЕМАТИКА ТРИГОНОМЕТРИЯ

код для вставкиСкачать
Агентство образования администрации Красноярского края
Красноярский государственный университет
Заочная естественно-научная школа при КрасГУ
Математика: Модуль №1 для 10 класса. Учебно-методическая часть./ Сост.:
Т.И.Качаева, доцент кафедры высшей математики, КрасГУ. – Красноярск,
2006 — 46 c.
ISBN 5-7638-0702-2
МАТЕМАТИКА
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Печатается по решению Дирекции
Краевого государственного учреждения дополнительного образования
Заочная естественно-научная школа
при Красноярском государственном университете
Модуль № 1 для 10 класса
Учебно-методическая часть
© Красноярский
государственный
Красноярск 2006
ISBN 5-7638-0702-2
университет, 2006
2
тригонометрическая величина есть функция угла. Отсюда название
Программа модуля
1.
Историческая справка.
2.
Определение тригонометрических функций.
3.
Свойства тригонометрических функций и их графики.
однако
4.
Квадранты
математического анализа, а тригонометрические уравнения изучаются
тригонометрические функции.
единичной
окружности.
Казалось бы, тригонометрию можно считать лишь частью геометрии,
Знаки
тригонометрических
функций.
5.
функции
—
это
объект
изучения
методами алгебры.
Вычисление значений тригонометрических функций без таблиц.
Нахождение одних тригонометрических функций по значениям
других.
Основные формулы тригонометрии задаются теоремой синусов и
теоремой косинусов.
Кроме них, часто применяется теорема тангенсов, открытая в XV в.
6.
Тождественные преобразования тригонометрических выражений.
7.
Обратные тригонометрические функции и их графики.
8.
тригонометрические
немецким математиком И. Региомонтаном,
a−b
=
a+b
Простейшие соотношения между обратными тригонометрическими
функциями.
A− B
2 ,
A+ B
tg
2
tg
где a, b, с — стороны треугольника, а А, В, С — противоположные им углы,
1. ВВЕДЕНИЕ
р — полупериметр треугольника.
Слово "тригонометрия" составлено из греческих слов "тригонон" —
треугольник и "метрезис" — измерение.
Тригонометрия
—
Площадь треугольника помимо формулы Герона может быть выражена
через стороны и тригонометрические величины углов еще несколькими
математическая
дисциплина,
изучающая
способами:
зависимость между сторонами и углами треугольника.
S=
Углы произвольного треугольника нельзя связать непосредственно с
его
сторонами
рассмотрение,
кроме
A B C
tg tg .
2 2 2
помощью можно определить расстояние до недоступных предметов,
тригонометрические величины (синус, косинус, тангенс, котангенс). Эти
существенно упрощать процесс геодезической съемки местности для
величины уже можно связать со сторонами треугольника простыми
составления географических карт.
в
соотношений.
S = p 2 tg
Тригонометрия возникла из практических нужд человека. С ее
вводит
алгебраических
a 2 sin B sin C
,
2 sin( B + C )
углов,
алгебраическими
помощью
S=
Поэтому
тригонометрия
с
1
a ⋅ b sin C ,
2
соотношениями.
С
другой
стороны,
самих
по
значению
Потребность в решении треугольников раньше всего возникла в
тригонометрической величины можно определить угол, и обратно. Правда,
астрономии, и в течение долгого времени тригонометрия развивалась как
эти вычисления требуют длительных и утомительных расчетов, но эта работа
раздел астрономии.
проделана раз и навсегда и закреплена в таблицах.
Древнегреческие
Значение каждой тригонометрической величины изменяется с
изменением
угла,
которому
она
соответствует;
3
другими
словами,
ученые
разработали
"тригонометрию
хорд",
изложенную Птолемеем (II в.). Он вывел соотношения, между хордами в
круге,
которые
равносильны
современным
4
формулам
для
синуса
половинного и двойного угла, синуса суммы и разности двух углов.
Дальнейший шаг в развитии тригонометрии сделали индийские
ученые, которые заменили хорды синусами.
Общепринятые понятия тригонометрии сформулировались в процессе
долгого исторического развития. Если, например, при введении основных
понятий
представляется
естественным
принимать
радиус
Рис.1
тригонометрического круга равным единице, то эта простая идея появилась
Проведем окружность с центром в О (рис.1). Радиус ОА называется
только в X - XI вв.
Региомонтан составил обширные таблицы синусов (через 1 минуту с
начальным радиусом.
Если повернуть начальный радиус против часовой стрелки, то угол
точностью до седьмой значащей цифры).
Буквенные обозначения утвердились в тригонометрии лишь в середине
поворота — положительный;
XVIII в. благодаря Л. Эйлеру Этот великий математик придал всей
если
тригонометрии ее современный вид. Величины sin x, cos x и т.д. он
отрицательный.
рассматривал как функции числа х — радианной меры соответствующего
угла. Эйлер давал числу х всевозможные значения: положительные,
отрицательные, комплексные. Он ввел и обратные тригонометрические
На
повернуть
рис.1
по
начальный
часовой
стрелке,
то
радиус
перешел
в
угол
ОВ,
поворота
угол
—
поворота
положительный и равен 45°,
и начальный радиус перешел в ОС — угол поворота отрицательный и
равен (–45°).
функции.
Наряду с градусной мерой угла употребляется радианная мера угла.
Из геометрии известна следующая теорема.
2. Углы и их измерение
Определение 2.1. Угол — это часть плоскости, ограниченная двумя
лучами, выходящими из одной точки, вершины угла.
Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из них называется
плоским углом.
Теорема 2.1.
Отношение длины окружности к ее диаметру не
зависит от окружности, т.е. одно и то же для любых окружностей.
Отношение длины окружности (l) к диаметру (2R) принято обозначать
греческой буквой π:
l
=π .
2R
Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.
В качестве единицы измерения углов принят градус —
1
часть
180
развернутого угла (прямой).
Зафиксируем не только вершину угла, но и один из образующих его
лучей. Поместим вершину yгла в начало координат, а одну сторону направим
Число π — иррациональное.
Приближенное значение π ≈ 3,1416.
Длина окружности вычисляется по формуле
l = 2πR .
по оси ОХ.
5
6
Определение 2.2. Центральным углом в окружности называется
плоский угол с. вершиной в ее центре.
3. Тригонометрические функции острого угла
Решение всяких треугольников в конечном счете сводится к решению
Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется
дугой окружности, соответствующей этому центральному углу (рис.2)
прямоугольных треугольников. В прямоугольном треугольнике отношение
двух сторон не зависит от длин, а полностью зависит от величины одного из
углов.
Теорема 3.1.
Отношение сторон прямоугольного треугольника
зависит только от градусной меры угла.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ABC и А'В'С' — два прямоугольных
треугольника с одним и тем же углом а при вершинах А и А'.
Рис.2
Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера
соответствующего центрального угла.
Развернутому углу (прямой) соответствует длина полуокружности πR.
Углу в 1° соответствует дуга
Определение 2.3.
πR
180°
, углу в п° соответствует дуга
πR
180°
п.
Рис. 3
Требуется доказать, что
A′C ′ AC
=
A′B ′ AB
Радианной мерой утла называется отношение
длины соответствующей дуги к радиусу окружности, т.е.
AC1, равный А'С'.
π
180°
В частности, радианная мера угла 180° равна π.
ПРИМЕР 2.1. Найти площадь сектора радиуса 10см, если дуга сектора
содержит
3π
радиан.
2
Треугольники АВ1С1 и А'В'С' равны по первому признаку. Поэтому
угол АВ1С1 прямой, Значит, прямые В1С1 и ВС, перпендикулярные прямой
АС, параллельны.
По обобщенной теореме Фалеса:
AC1 AC
A′C ′ AC
=
, а так как AC1 = А'С', AB1 = А'В', то
.
=
AB1 AB
A′B ′ AB
РЕШЕНИЕ. Площадь круга равна π R2, где R — радиус круга.
S сек
и т.д.
Отложим на луче АВ отрезок AB1, равный А'В', на луч АС — отрезок
π
l
=
n
R 180
Радианная мера угла получается из градусной умножением на
A′B ′ AB
=
B ′C ′ BC
или
Аналогично
πR 2 3π 3 2 3
=
⋅
= πR = π ⋅ 100 см 2 = 75π см 2 .
2π 2 4
4
A′B ′ AB
=
,
B ′C ′ BC
что и требовалось доказать
Отношения различных пар сторон в прямоугольном треугольнике
7
8
называются тригонометрическими функциями его острого угла (рис. 4).
По отношению к углу В названия меняются:
b
a
b
a
sin B = , cos B = , tgB = , ctgB = , и т.д.
c
c
a
b
Для
некоторых
углом
можно
найти
точные
выражения
их
тригонометрических величин. Занесем их в таблицу.
Рис. 4
1. Синус угла А
Таблица 1
— это отношение противолежащего катета к
o
гипотенузе, т.е.
0
a
.
c
sin A =
2. Косинус угла А —
А
это отношение прилежащего катета к
гипотенузе, т.е.
cos A =
b
.
c
3. Тангенс угла А — это отношение противолежащего катета к
прилежащему, т.е.
tgA =
a
.
b
4. Котангенс угла А — это отношение прилежащего катета к
противолежащему, т.е.
b
ctgA =
a
5. Секанс угла А — отношение гипотенузы к прилежащему катету,
30o=
45o=
60o=
90o=
π
6
π
4
π
3
π
2
sin А
cos А
tg А
ctg А
stc А
costc А
0
1
0
∞
1
∞
1
2
3
2
1
3
2
3
2
2
2
2
2
1
3
2
1
2
3
1
0
∞
3
1
2
2
1
3
2
2
3
0
∞
1
4. Основные соотношения между тригонометрическими
функциями одного и того же угла
Из определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса и теоремы
Пифагора следуют основные тождества:
ПРИМЕР 4.1. Вычислить sin 18°.
Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с углом при вершине
т.е.
sec A =
c
.
b
6. Косеканс угла А — отношение гипотенузы к противолежащему
36°. Тогда углы при основании но 72° (рис.5).
Проведем биссектрисы углов А и В, обозначив их AM и ВК.
Треугольники ABC и MAC подобны по трем углам.
Пусть АВ = ВС = а, АС = b, обозначим МС = х, ВМ = а – х.
катету, т.е.
cos ecA =
c
.
a
Тогда из подобия треугольников следует
b x
=
a b
(1). Так как
биссектриса {AM) внутреннего угла треугольника делит сторону (ВС),
9
10
которую она пересекает, на отрезки, пропорциональные прилежащим
2
(
сторонам, то имеем
a a−x
=
.
x
b
(2)
ВК — является высотой треугольника ABC. Тогда ВКС прямоугольный,
а угол КВС = 18°. sin 18°=
b
2
a
=
=
(sin α + tgα )
2
( tgα +sin α )2
−
sin α + tg α
sin 2 α tg 2α
2
2
( tgα +sin α )2
)
= sin 2 α tg 2α − sin 2 α tg 2α = 0.
sin 2 α tg 2α
Тождество доказано.
b
.
2a
Итак, из (1) и (2) надо найти
ПРИМЕР 4.3. Пусть sin α + cos α = m. Найти sin4 α + cos4 α.
b2
1b
. Из (1) получаем x = , подставим в
2a
a
(2)
РЕШЕНИЕ. Выделим полный квадрат:
sin 4 α + cos 4 α = (sin 4 α + 2 sin 2 α cos 2 α + cos 4 α ) − 2 sin 2 α cos 2 α =
= (sin 2 α + cos 2 α ) 2 − 2 sin 2 α cos 2 α =
2
a a − ba
= 2
b
b
a
Обозначим
z1, 2
⎛ sin α + tgα ⎞
(sin α + tgα )2 − sin 2 α + tg 2α =
sin 2 α + tg 2α
⎜⎜
⎟⎟ −
=
2
2
2
1
1
+ tg12α
cos ec α + ctg α
+ tg1α
⎝ cos ecα + ctgα ⎠
sin α
sin 2 α
b
= z,
a
или
= 1 − 2 sin 2 α cos 2 α , ( т.к. sin 2 α + cos 2 α = 1).
a a 2 − b2 a 2
=
= 2 −1.
b
b2
b
1 1
=
− 1, z 2 + z − 1 = 0 ,
z z2
получаем
Найдем sin2α cos2α.
откуда
1b
−1± 5
> 0, то выбираем
=
. Так как по геометрическому смыслу
2a
2
5 −1
2
Отсюда sin 18° =
Возведем в квадрат исходное равенство:
(sin α + cosα )2 = m 2 ⇒ sin 2 α + 2 sin α cosα + cos 2 α = m 2 ,
1 + 2 sin α cosα = m 2 ⇒ sin α cos α =
т.е.
2
m −1
.
2
Следовательно,
2
1 5 −1
5 −1
.
=
2 2
4
(
)
2
⎛ m2 − 1⎞
1 + 2m 2 − m 4
m2 − 1
⎟⎟ = 1 −
sin α + cos α = 1 − 2⎜⎜
.
=
2
2
⎝ 2 ⎠
4
4
Используя основные формулы, можно найти cos 18°, tg l8°, ctg 18°.
5. Тригонометрические функции любого угла
ПРИМЕР 4.2. Доказать тождество:
Можно
2
⎛ sin α + tgα ⎞
sin 2 α + tg 2α
⎜⎜
⎟⎟ =
.
cos ec 2α + ctg 2α
⎝ cos ecα + ctgα ⎠
РЕШЕНИЕ. Тождество будет доказано, если установить, что разность
между выражениями, стоящими в левой и правой частях этого тождества,
равна нулю.
построить
всю
тригонометрию,
пользуясь
только
тригонометрическими функциями остpых углов. Однако решение многих
задач принимает единообразную форму, если распространить понятие
синуса, косинуса и т.д. на углы любой величины, положительные и
отрицательные.
Определение 5.1.
Окружность радиуса 1 с центром в начале
координат называют единичной окружностью.
Определение 5.2. Диаметр единичной окружности, лежащий на оси у,
назовем вертикальным, а на оси х — горизонтальным.
11
12
отрицательных углов.
Сопоставляя каждому числу х его синус и косинус, получим две
функции: х → у = sin х и х → у = cos х, определенные на всей числовой
прямой. Значит, D(sin x) = R, D(cos x) = R. Так как абсциссы и ординаты
точек единичной окружности принимают значении от –1 до +1, то области
значений этих функций равны [–1, l]. T.e. E(sin x) = [–1, 1], E(cos x) = [–1,1].
Поскольку
координаты
2
любой
точки
единичной
окружности
2
удовлетворяют уравнению х + у = 1, то для любого х
Рис.6
sin2 х + cos2 x = 1.
Пусть точка Ра(ха,уа) единичной окружности получена из точки
P0(1, 0) поворотом на угол в α радиан (рис.6).
Определение 5.3. Ордината точки Ра(ха,уа) — это синус угла α, т.е.
sin α =
yα
= уа. Ордината лежит на вертикальном диаметре — линии
1
точки Ра(ха,уа) к ее абсциссе, т.е. tg a =
yα sin α
=
.
xα cos α
Определение 5.6. Котангенсом угла а называется отношение
абсциссы точки Ра(ха,уа) к ее opдинаme, т.е. ctg a =
синусов.
Определение 5.4. Абсцисса точки Ра(ха,уа)— это косинус угла α, т.е.
x
cos α = α = ха.
1
Определение 5.5. Тангенсом угла а называется отношение ординаты
Абсцисса лежит на горизонтальном диаметре линии
xα cos α
.
=
yα sin α
Функция тангенс обозначается у = tg a. Из определения тангенса
следует, что tg a =
косинусов.
yα
xα
ха = 0. Это углы а = ±
π
2
неопределен, когда ха = 0. Найдем углы у которых
,±
3π
5π
,±
и т.д., т.е.
2
2
а–
Итак, D(tg x) = {R, х ≠
π
2
π
2
+ πk,
где
k∈Z.
+ πk, k ∈ Z) .
Вспомним наглядное представление о тангенсе (рис.8). Нарисуем
единичную окружность и проведем прямую х = 1.
Проведем через точку Ра и начало координат прямую, ее уравнение
Рис. 7
Если точка Рβ(хβ,уβ) находится во II четверти (рис.7), то sin β —
положительная величина, cos β — отрицательная величина.
Аналогично
для
других
четвертей,
13
углов,
больших
у = k х, где k =
yα
= tga.
xα
Точка пересечения K ( 1 , t g a ) прямых у = х tg a и х = 1 имеет ординату,
360°,
и
равную tg a.
14
Таким образом, значения тангенсов всех углов лежат на прямой х = 1
Перемножив тангенс уuла х на его котангенс, получаем:
tg х . ctg х = 1.
(линии тангенсов).
Это равенство справедливо для х ∈ { R , х ≠
π
2
+ πk1, , х ≠ πk2}.
Обобщая, получаем
х ∈ {R,х ≠
π
2
k, k ∈ Z}.
6. Основные свойства тригонометрических функций
6.1. Знаки тригонометрических функций
Рис 8
По рисунку (рис.8) видно, что если угол находится в I и III четверти, то
тангенс его положительный; если во II и IV, то отрицательный, E(tg x) = R.
Из определения тригонометрических функций следует, что их знаки в
четвертях будут следующими:
Аналогично, прямая у = 1 и прямая у = x tg a пересекаются в точке
N(
xα
, l), абсцисса которой равна котангенсу угла а (рис.9).
yα
ПРИМЕР 6.1. Определите знак произведения
А = sin 100° cos 200° tg . 20° ctg 145° tg 3 ctg 2.
РЕШЕНИЕ.
100° — I четверть, ордината положительна; 200° — III четверть,
абсцисса отрицательна; 120° — II четверть, ордината линии тангенсов
Рис.9
Прямую у = 1 называют линией котангенсов. Функция котангенс
обозначается у = ctg x.
отрицательна; 145° — II четверть, абсцисса линии котангенсов отрицательна;
3 рад — II четверть, отрицательный; 2 рад — II четверть, отрицательный.
Знак А = (+)(–)(–)(–)(–) ( – ) = (–). Знак произведения отрицательный.
Область определения и область значений котангенса соответственно
равны:
D(ctg x) = {R, х ≠ πk, k ∈ Z} ,
E(ctg x) = R.
15
ПРИМЕР 6.2. Определите знак разности:
a) sin 350° – sin 345° ; б) cos 3,1 – cos 2,9.
16
6.2. Четные и нечетные функции
Определение 6.1. Функция f называется четной, если для любого х из
области определения f значение (–х) также входит в область определения и
выполняется равенство f(–х ) = f(х ) .
Определение 6.2. Функция f называется нечетной, если для любого х
из области определения и (–х) входит в область определения, причем
выполняется равенство f(–х ) .= –f(х ) .
РЕШЕНИЕ.
а) значения 350° и 345° находятся в IV четверти, а там большему
Из определений следует, что
график любой четной функции
значению угла соответствует большее значение синуса, те sin 350° > sin 345°
симметричен относительно оси ординат, а нечетной функции симметричен
=> sin 350° – sin 345° > 0;
относительно начала координат (рис.10).
6) углы находятся во II четверти, большему значению угла
соответствует меньшее значение косинуса, т.е. cos 3,1 < cos 2,9 => cos3,1 –
cos 2,9 < .
ПРИМЕР 6.3. Упростить выражение
A=
РЕШЕНИЕ.
1 − sin α
1 + sin α
+
, при α ≠ πk.
1 + sin α
1 − sin α
Помножим
числители
и
знаменатели
Рис 10
подкоренных
выражений на их числители, получим
(1 − sin α )
2
A=
Так как
1 − sin 2 α
(1 + sin α )
1 − sin 2 α
Косинус — четная функция, а синус, тангенс и
котангенс — нечетные функции.
Доказательство. Вместе с любым α существует по определению и угол
2
+
Теорема 6.1.
.
(–α). А значит, существуют и синусы, и косинусы этих углов.
x 2 = x , получаем
A=
1 − sin α 1 + sin α
.
+
cos α
cos α
Так как |sina| < 1 при α ≠ πk , то 1 – sin α > 0, 1 + sin α > 0, следовательно
A=
1 − sin α 1 + sin α
2
+
=
=
cos α
cos α
cos α
⎧2 secα ; α ∈ I , II ÷åòâ.
= 2 sec α = ⎨
⎩− 2 sec α ; α ∈ II , III ÷åòâ.
Рис. 11
Рα и Р–α симметричны относительно оси абсцисс (рис.11).
Это означает, по определению синуса и косинуса, что при любом α
абcциссы углов совпадают, а ординаты противоположны, т.е. cos α = cos(–α),
sin(–α) = – sin α.
17
18
Тогда
sin(−α ) − sin α
tg (−α ) =
=
= −tgα ;
cos(−α ) cos α
ctg ( −α ) =
cos(−α ) cos α
=
= −ctgα ,
sin(−α ) − sin α
ϕ 2 (− x) =
f (− x) − f ( x)
f ( x) − f ( − x)
=−
2
2
нечетная.
Значит, нашли представление f(x) в виде суммы четной и нечетной
функций.
Докажем единственность.
Предположим, что существуют другие g1(x) ≠ φ1(х) — четная, и g2(x) ≠
что и требовалось доказать.
ПРИМЕР 6.4. Найдите все функции (с симметричной относительно
точки О областью определения), являющиеся одновременно четными и
φ2(х) — нечетная, что f(x) = g1(x) + g2(x).
Ищем по предыдущей схеме g1(x) и g2(x), получим, что g1(x) = φ1(х), а
g2(x) ≠ φ2(х). Пришли к противоречию. Значит, представление единственно.
нечетными.
РЕШЕНИЕ. Пусть f(x) является одновременно четной и нечетной, т.е.
f(–х ) = f(х )
и
f(–х ) = –f(х ) =>
6.3. Периодичность тригонометрических функций
Определение 6.3. Функция f называется периодической, если
левые части равны, значит, равны и правые, т.е.
f(х ) = –f(х ) => f(x) + f(x) = 0, 2f(х ) = 0 => f(х ) = 0 .
существует такое число Т ≠ 0, что при любом х из области определения f
Ответ: f(х ) = 0 является одновременно четной и нечетной.
число (х + Т) также принадлежит этой области и при этом выполняется
ПРИМЕР 6.5. Докажите, что любая функция с симметричной
равенство
f(x) = f(x+T).
относительно точки О областью определения представляется (притом
единственным образом) в виде суммы четной и нечетной функций.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что φ1(х) четная функция, а φ2(х) —
Число Т называется периодом функции f .
Определение 6.4. Основным периодом называется наименьший из
множества всех положительных периодов функции.
нечетная, и f(х ) = φ1(х) + φ2(х).
Тогда f(–х ) = φ1(–х) + φ2(–х) = φ1(х) – φ2(х), так как φ1(х) – четная, φ2(х)
Теорема 6.2. Если Т1 и Т2 — периоды функции f, mo число Т1 + Т2
также является периодом f.
— нечетная функции.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ПО определению периода и свойствам чисел:
Из этих равенств найдем φ1(х) и φ2(х).
f(x) = f(x+(Т1 + Т2))= f(x+Т1) + Т2)= f(x+Т1)= f(x).
Сложим равенства:
f(x) + f(–x) = 2 φ1(х) => φ1(х) =
f ( x) + f (− x)
.
2
Вычтем:
Итак, Т1 + Т2 — период функции f.
Следствие. Если Т — период функции, то число пТ (п ≠ 0, п ∈ Z) тоже
период этой функции.
f ( x) − f (− x)
f(x) – f(–x) = 2 φ2(х) => φ2(х)=
.
2
Проверим:
f (− x) + f ( x)
ϕ1 (− x) =
2
19
Теорема 6.3. Если периодическая функция имеет действительный
период, непрерывна и отлична т постоянной, то для нее существует
основной период Т0.
четная,
20
Теорема 6.4. Функции синус, косинус, тангенс, котангенс являются
Тогда
периодическими.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ЕСЛИ число α принадлежит области определения
какой-либо основной тригонометрической функции, то и числа α ± 2π тоже
tgα =
yα
,
xα
tg (α ± π ) =
− yα yα
,
=
− xα xα
ctgα =
xα
,
yα
ctg (α ± π ) =
− xα xα
.
=
− yα yα
принадлежат области определения, так как точки Ра и Pα±2π совпадают.
Значит, sin(α ± 2π) = sin α, cos(α ± 2π) = cos α, tg (α ± 2π) = tg α , cfcg(α ± 2π) =
Значит, π — период тангенса и котангенса.
ctg α. Итак, основные тригонометрические функции периодические.
По определению tg (α + Т) = tg α, полагая α = 0, получаем tg Т = 0, т.е.
Теорема 6.5. Основным периодом для функций синуса и косинуса
Т = πk, при k = 1 получаем Т0 = π. Аналогично для котангенса, Т0 = π..
является число То = 2π.
Теорема 6.7. Основной период функции у = sin nx равен
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем для синуса.
По определению периода sin(α + Т) = sin α. Полагая α =
sin(
π
2
+ Т) – sin
π
2
=> sin(
π
2
π
2
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Т — период данной функции, тогда sin n(x + Т)
, получим
+ Т) = 1. На единичной окружности только точки
Pπ/2+2πk имеют ординату, равную 1. Отсюда
π
2
+ Т=
π
2
2π
.
n
= sin nx, полагаем x = 0, получаем sin пТ = sin 0 = 0. Синусы равны нулю в
Р0+2πk и Рπ +2πk . Точка Рπ +2πk не подходит, так как она не подходит уже для
п = 1.
Значит, пТ = 2πk => Т =
+ 2πk => Т = 2πk. Так как Т0 ≠ 0 и Т0 > 0, то Т0 = 2π.
2πk
2π
,тогда при k = 1 Т0 =
.
n
n
Если отношение периодов двух функций f(x) и g(х) является
Докажем для косинуса.
рациональным числом, то сумма и произведение этих функций также
Аналогично, cos(α + Т) – cos α, полагаем α = 0, получаем cosТ – cos0= 1
будут периодическими функциями.
=> Т = 2πk; при k = 1, Т0 = 2π.
Если же отношение периодов всюду определенных и непрерывных
Основной период косинуса Т0 = 2π.
функций f и g будет иррациональным числом, то функции f + g и f . g будут
Теорема 6.6. Основным периодом для тангенса и котангенса является
непериодическими функциями.
число π.
Например, функции cos x sin 2 x и cos 2 x + sin x непериодические
функции, хотя функции sin
2 x и cos 2 x периодичны с основным периодом
2 π, sin х и cos х периодичны с периодом 2π.
ПРИМЕР
6.6.
Найти
основной
период
функции
f(x) = sin 2x + cos 3x + 2.
РЕШЕНИЕ. Основной период sin 2x равен
Рис. 12
Так как при любом значении а точки Рα
и Рα±π
симметричны
относительно начала координат (рис. 12), т.е Рα =(хα,уα), а Рα±π = =(–хα,–уα),
21
22
2π
= π = Т1. Основной период
2
cos 3x равен
2π
= Т2.
3
Значит, Т0 =
2π
α
— период функции f(x) = a (sin αx + β).
Тогда общий основной период должен удовлетворять условию:
пТ1 = kТ2,
πn=
т.е.
2π
2
k => n= k,
3
3
7. Формулы приведения
это выполняется при минимальных k = 3 и n = 2, т.е. Т0 =2π для функции f(x).
6.7.
ПРИМЕР
Доказать,
что
функция
у = cos x + cos λx
непериодическая, когда λ — иррациональное число.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Т — период функции, тогда должно
выполняться: cos(x + Т) + cos λ(х + Т) = cos x + cos λx,
1)
находить значения тригонометрических функций любых углов,
используя лишь значения углов, не превышающих 90°;
2)
совершать преобразования, упрощающие вид формул. Они верны
для любого угла α, условно считая его острым.
Определение
а) подставляем х = 0, получим cosT + cos λT = 2.
котангенса
Так как |cos х| ≤ 1, то cos Т = 1 и cos λT = 1.
7.1.
Кофункциями
синуса,
косинуса,
тангенса,
называются соответственно косинус, синус, котангенс,
тангенс.
Отсюда Т = 2πk и λT = 2πп; где п, k ∈ Z ; п , k ≠ 0.
Пусть х — любой угол.
n
Подставим Т = 2πk в λT = 2πп, получаем λ = .
k
Пришли к противоречию, λ — иррациональное число, а
Эти формулы дают возможность:
1.
n
—
k
Если
угол
положительный
больший
2π,
то,
пользуясь
периодичностью:
sin х = sin(α + 2πn) = sin α ,
cos х = cos(α + 2πn) = cos α;
рациональное. Значит, функция непериодическая.
ПРИМЕР 6.8. Найти основной период функции f(x) = a sin(αx + β),
и
для тангенса и котангенса;
tg х = tg (α + πn) = tg α ,
α ≠ 0.
ctg x = ctg (α + πn) = ctg α.
РЕШЕНИЕ. Пусть Т — период, тогда
a (sin α(x + Т) + β) = a sin(αx + β), откуда sin(α(x + Т) + β)= sin(αx + β), синусы
равны, когда углы отличаются на 2πk, к ∈ Z, k ≠ 0.
2.
Если
sin(–х) = – sin х:,
tg(–х) = –tg х ,
α Т = αх + 2πk, положим х = 0,
2πk
α
, тогда Т0 =
2π
α
.
2π
α
то,
пользуясь
четностью
и
3.
cos(–х) = cos x ,
ctg(–x) = –ctg x.
π
Тригонометрические функции угла из [ ,2π ] сводятся к
2
тригонометрическим функциям острого угла по таблице 2 (формулам
Сделаем проверку:
a (sin α(x +
отрицательный,
нечетностью функций, сводим к положительному углу:
α(x + Т) + β = αx + β + 2πk, отсюда
α Т = 2πk, Т =
угол
приведения):
) + β) = a (sin αx + 2π + β) = a (sin αx + β).
23
24
Таблица 2
cos(π +
Аргумент
Функция
х=
π
2
+α
x =π± α
х=
3π
+α
2
x =2π– α
sin х
cos α
m sin α
– cos α
–sin α
cos х
–sin α
– cos α
±sin α
cos α
tg х
–ctg α
±tg α
m ctg α
–tg α
ctg х
–tg α
±сtg α
m tg α
–ctg α
Т.е. для углов
π
2
2
2
π) > 0, так как угол π + π находится в IV четверти.
3
3
ПРИМЕР 7.3. Расположите в порядке возрастания числа (не пользуясь
таблицами и калькулятором): sin 10°, cos 275°, tg l90°, ctg 100°. Сведем к
синусам и тангенсам острого угла:
n ± α , считая α "условно" острым, можно пользоваться
мнемоническим правилом:
cos 275° = cos (270° + 5°) = sin 5° > 0,
1. Функция меняется на кофункцию, если в формуле приведения
аргумент α вычитается или прибавляется к числу
раз. Функция не изменяется, если
π
2
π
2
IV четв.
, взятому нечетное число
tg l90° = tg(180°+ 10°) = tg 10° > 0,
III четв.
взято четное число раз.
ctg 100° = (ctg (90° + 10°) = –tg 10° < 0,
2. Перед приведенной функцией ставится знак, совпадающий со знаком
приводимой функции, считая, что угол α является острым.
ПРИМЕР 7.1. Определить знак tg 10.
Так как π ≈ 3, 14; а
π
2
≈ 1,57, 3π ≈ 9,42.
Из рисунка видно, что tg 10° > sin 10°. Так как легко видеть, что для
любого 0 ≤ х ≤
π
2
, sin х < tg x, то записываем ответ.
Ответ: ctg 100° < cos 275° < sin 10° < tg 190°.
tg l0 ≈ tg(3π + 0,58) ≈ tg 0,58.
Угол в 0,58 рад. находится в I четверти. tg 0,58 > 0.
197
π.
ПРИМЕР 7.2. Вычислить cos
3
РЕШЕНИЕ. cos
II четв.
197
2
2
π = cos(65π + π) = cos(2 . 32π + π + π) = cos(π +
3
3
3
π
π
2
2
1
π) = cos(π + π – 2π) = cos(– ) = cos( ) = .
3
3
3
3
2
Найти ошибку в рассуждениях:
197
2
2
1
cos
π = cos(π + π) = cos( π) = – .
3
3
3
2
25
8. Тождественные преобразования
8.1. Формулы сложения и вычитания аргументов
Из школьного курса известны выводы формул:
cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β ,
sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ,
tg (α ± β ) =
ctg (α ± β ) =
tgα ± tgβ
,
1 m tgα ⋅ tgβ
ctgα ⋅ ctgβ m 1
.
ctgβ ± ctgα
26
8.2.
основными тригонометрическими функциями есть соотношения, которые
Формулы двойного угла
sin 2α = 2 sin α ⋅ cos α ,
позволяют по-разному написать одно и то же выражение.
cos 2α = cos α − sin α = 1 − 2 sin α = 2 cos α − 1 ,
2
tg 2α =
8.3.
2
2
2tgα
,
1 − tg 2α
ctg 2α − 1
.
2ctgα
ctg 2α =
Формулы суммы и разности
sin α + sin β = 2 sin
cos α + cos β = 2 cos
2
α+β
2
cos
sin
α+β
cos α − cos β = −2 sin
через нее выражать все остальные? Если взять в качестве такой функции
синус, то во многих формулах появятся квадратные корни. Такие формулы
неудобны.
α+β
sin α − sin β = 2 cos
Возникает вопрос: нельзя ли выбрать одну какую-нибудь функцию и
2
2
α+β
2
α −β
2
α −β
cos
sin
2
при п ∈ Z) выражаются через тангенс угла
,
α −β
2
α −β
2
Оказывается, все тригонометрические функции от аргумента х (и от пх,
,
8.7. Универсальная тригонометрическая подстановка
,
sin x =
,
cos x =
sin(α ± β )
sin( β ± α )
.
tgα ± tgβ =
, ctgα ± ctgβ =
cos α cos β
sin α sin β
2 sin 2x cos 2x
sin 2 2x
cos 2 2x − sin 2
sin 2 2x +
x
2
cos 2 2x
(разделим на cos 2 2x ) =
2 tg 2x
1 − tg 2
x
2
ctgx =
,
1
sin α sin β = (cos(α − β ) − cos(α + β )) ,
2
Применение этих формул сужает ОДЗ.
1
cos α cos β = (cos(α + β ) + cos(α − β )) ,
2
ПРИМЕР
tgα + tgβ
tgα ⋅ tgβ =
.
ctgα + ctgβ
8.5. Формулы понижения степени
1 + cos 2α
cos α =
,
2
1 − cos 2α
.
sin α =
2
2
2
A=
tg 2 2x + 1
,
1 − tg 2 2x
.
2tg 2x
через
z = tg
Применяя формулы
cos x =
2 tg 2x
1 + tg 2
1 − tg 2
1+
x
2
x
2
tg 2 2x
( x ≠ π + 2πn,
n∈Z),
( x ≠ π + 2πk ,
k ∈Z),
получим
Обилие тригонометрических формул связано с тем, что между
27
x
2
x
2
выражение
Область допустимых значений выражения А есть множество М=R.
x
1 + cos x
=±
,
2
2
x
1 − cos x
sin x
1 − cos x
tg = ±
=
=
.
2
1 + cos x 1 + cos x
sin x
1 − tg 2
,
РЕШЕНИЕ.
sin x =
cos
Выразить
tg 2 2x + 1
2
.
5 − 4 sin x + 3 cos x
8.6. Формулы половинного угла
x
1 − cos x
=±
,
2
2
8.1.
2tg 2x
(разделим на cos 2 2x ) =
cos 2 2x
+
tgx =
8.4. Формулы произведения
sin
x
рационально (без корней).
2
28
2
A=
5− 4⋅
=
2tg 2x
tg 2 2x + 1
+ 3⋅
1 − tg 2
1+
x
2
2 x
tg 2
=
2
=
8z
3(1 − z 2 )
+
5−
1+ z2
1 + z2
2
2
разделим на 2 sin
2
2(1 + z )
2(1 + z )
1+ z
=
=
.
5 + 5 z 2 − 8 z + 3 − 3 z 2 2 z 2 − 8 z + 8 ( z − 2) 2
О.Д.З. сузилась, ( x ≠ π + 2πk ,
2π
2π
32π
32π
4π
4π
8π
cos Lcos
sin
cos cos Lcos
65 =
65
65
65
65
65
65 =
2π
2π
2
2 sin
2 sin
65
65
64π
π
π
sin
sin(π − )
sin
65 =
65 =
65 = 1 .
= и т.д. =
2
2
2π 64
π
π
2 6 sin
2 6 sin
2 6 sin
65
65
65
B=
k ∈Z) .
РЕШЕНИЕ. Используем формулы половинного угла:
1 − cos 45° 1 − 22 2 − 2
= 2 =
= 2 − 1.
sin 45°
2
2
ПРИМЕР 8.5. Доказать, что tgα ⋅ tgβ + tgβ ⋅ tgγ + tgγ ⋅ tgα = 1, если
α + β +γ =
ПРИМЕР 8.3. Вычислить без таблиц:
A = sin 4
π
16
+ sin 2
A = sin 4
π
16
+ cos 4
A = (sin 2
π
16
π
16
sin 4
7π
π 7π
π
) = cos 4 .
= cos 4 ( −
16
2 16
16
+ sin 4
+ cos 2
.
π
π
cos 2
π
A = tgα ⋅ tgβ +
+ (sin 2
ПРИМЕР
равенства, обозначив ее
π
− α − β , то
2
8.6. Преобразовать выражение
Умножим и разделим В на
π
1 − tgα ⋅ tgβ
( tgα + tgβ ) = 1 ,
tgα + tgβ
acos x + b sin x к виду
РЕШЕНИЕ. Обозначим В = acos x + b sin x .
16π
32π
2π
4π
8π
B = cos cos cos cos cos
.
cos
65
65
65
65
65
65
65
1 − tgα ⋅ tgβ
,
tgα + tgβ
A sin( x + a) .
π
и
a 2 + b 2 , получим
⎛
⎞
a
b
B = ⎜⎜
cos x +
sin x ⎟⎟ a 2 + b 2 .
2
2
2
2
a +b
⎝ a +b
⎠
Так
29
часть
что и требовалось доказать.
ПРИМЕР 8.4. Вычислить без таблиц:
Воспользуемся формулой 2 sin α cosα = sin 2α . Домножим B на 2 sin
левую
Так как ctg (α + β ) =
3π
3π
+ cos 2 ) 2 −
16
16
16
16
1 2π
1 2 3π
== 1 − sin
+ 1 − sin
=
8
2
8
2
1
3π ⎞
π
π
− ) ⎟ = 2 − (sin 2 + cos 2 ) = 1,5.
8 ⎠
2
8
8
) 2 − 2 sin 2
Преобразуем
⎞
⎛π
A = tgα ⋅ tgβ + tg⎜ − (α + β ) ⎟( tgβ + tgα ) =
⎠
⎝2
= tgα ⋅ tgβ + ctg(α + β )( tgβ + tgα ).
3π
3π
+ cos 4
, выделим полные квадраты.
16
16
16
3π
3π
− 2 sin
cos 2
16
16
1⎛
π
π
= 2 − ⎜ sin 2 + cos 2 (
2⎝
8
2
2
2
А = tgα ⋅ tgβ + tgγ ( tgβ + tgα ) , так как по условию γ =
РЕШЕНИЕ. Используем формулы приведения:
5π
3π
π 5π
= cos 4 ( − ) = cos 4
,
16
2 16
16
π
РЕШЕНИЕ.
3π
5π
7π
+ sin 4
+ sin 4
.
16
16
16
sin 4
, получим:
2 sin
ПРИМЕР 8.2. Вычислить без таблиц tg 22о30'.
tg 22°30' =
π
65
как
⎛
a
⎜
⎜ 2
2
⎝ a +b
2
⎞ ⎛
b
⎟ +⎜
⎟ ⎜ 2
2
⎠ ⎝ a +b
2
⎞
⎟ = 1,
⎟
⎠
30
то
точка
с
координатами
⎛
a
⎜
⎜ 2
2
⎝ a +b
⎞ ⎛
b
⎟, ⎜
⎟ ⎜ 2
2
⎠ ⎝ a +b
⎞
⎟ лежит на единичной окружности, т.е. существует
⎟
⎠
a
sin α =
такое α, что
2
a +b
2
b
, cosα =
2
a +b
2
. Угол α
называется
tg
α
2
tg
β
2
=
cos
α +β
3 cos
2
α+β
1
= .
3
2
Итак, равенство доказано.
вспомогательным углом.
9. Графики тригонометрических функций.
a 2 + b 2 = А, получаем
Обозначив
9.1. График функции у = sin х (синусоида)'
B = A(sin α cos x + cos α sin x) = A sin( x + α ) .
Так как у = sin х периодическая функция с Т = 2π и нечетная
Итак, acos x + b sin x = A sin( x + α ) ,
a
где А = a 2 + b 2 , sin α =
a2 + b2
b
, cosα =
a2 + b2
α
равный периоду [–π, π], и построим график на промежутке [0, π], затем
sin α + sin β = 2 sin(α + β ) , где
8.7. Докажите, что если
ПРИМЕР
(симметричная относительно начала координат), то возьмем промежуток,
.
β
1
α + β ≠ πk , то tg tg = .
2 2 3
2 sin
2
⇒ 2 sin
cos
α −β
2
α −β
= 4 sin
2
α +β⎛
α −β
2
2
⎜ cos
⎝
Так как α + β ≠ πk , т о
Значит, cos
− 2 cos
Ох, получаем геометрическое изображение соответствующих значений
α +β
2
α+β
2
≠
2
− 2 cos
πk
2
α+β
cos
α+β
⇒
tg
Подставляя cos
2
tg
α −β
2
β
2
=
sin
cos
= 2 cos
α
2
α
2
sin
cos
α+β
2
β
2 =
β
2
α −β
2
2
⎟ = 0.
⎠
α+β
2
= 2 cos
≠ 0 , cos
α+β
2
α+β
2
≠ 0.
Рис. 13
.
На всей области определения у = sin х.
α +β
− cos
2
2 .
α −β
α +β
cos
+ cos
2
2
cos
α −β
, получаем
31
Дальнейшее построение графика ясно из рис. 13 б, рис.14.
α +β⎞
, тогда sin
= 0 или cos
2
функции sin х.
Рассмотрим
α
Для построения разделим верхнюю часть единичной окружности на 6
равных дуг (рис. 13 а,б), проводя перпендикуляры из точек деления на ось
РЕШЕНИЕ. Преобразуем исходное равенство:
α+β
отобразим симметрично, а затем с периодом 2π.
Рис. 14
Все свойства функции можно "прочитать" по графику.
1.
D (sin x) = R, E (sin x) = [–1, I].
2.
Нечетная функция (симметрия относительно начала координат).
32
3.
Периодическая с основным периодом Т0 = 2π.
правую полуокружность на 6 равных частей (рис.16) и отложив на линии
4.
Нули функции, то есть sin(x) = 0 при х = π n, n ∈ Z .
тангенсов равные тангенсам этих углов, легко построить график
5.
Положительная, то есть sin(x) > 0 при
x ∈ ( 2πn, π + 2πn) .
Отрицательная, то есть sin(x) < 0 при x ∈ (π + 2πn, 2π + 2πn)
6.
Возрастает (↑ ) от –1 до 1 на [ – π/2 + 2πn, π/2 + 2πn], убывает (↓)
от 1 до –1 на [π/2 + 2πn, 3π/2 + 2πn].
7.
Максимумы при x = π/2 + 2πn; минимумы при x = 3π/2 + 2πn.
9.2. График функции у = cos х (косинусоида)
Так как cos x = sin(x + π/2)
на (–∞,+∞), то график косинусоиды
получается из синусоиды сдвигом вдоль оси Ох влево на π/2 (рис. 15).
Рис.16
Продолжим с периодом π, получаем график функции во всей области
определения (рис. 17).
Рис. 15
Свойства функции.
1.
D(cos x) = R, E(cos x) = [–1,1].
2.
Четная (симметричная относительно оси ординат).
3.
Периодическая, с Т0 = 2π.
4.
cos (x) = 0 при х = π/2 + 2πn, n ∈ Z .
5.
cos(x) > 0 для
6.
Свойства функции тангенс.
x ∈ [− π 2 + 2πn, π 2 + 2πn] , cos(x) < 0 для
1. D(tg х) ={R, х ≠ π 2 + πn, n ∈ Z }, E (tg х) = R.
2. Нечетная функция (симметричная относительно начала координат).
x ∈ [π 2 + 2πn, 3π 2 + 2πn] .
3. Периодическая, с Т0 = π.
Убывает (↓) от 1 до –1 на [2πn, 3π 2 + 2πn] , возрастает (↑) от –1 до 1
4. Нули функции, tg х = 0 при х = πn , n ∈ Z .
5. Положительная, tg х > 0 при x ∈ (−πn, π 2 + πn) ,
на [π + 2πn, 2πn] .
7.
Рис.17
7..Максимумы при х = 2πn; минимумы при x = π + 2πn.
отрицательная, tg х < 0 при x ∈ ( − π 2 + πn, πn) .
6. Возрастает на каждом промежутке ( − π 2 + πn, π 2 + πn) .
9.3. График функции у = tg x (тангенсоида)
Так как tg x периодическая функция с Т0 = π, то достаточно взять
промежуток, равный π, где тангенс определен. Это (–π/2, π/2). Разделив
33
9.4. График функции у = ctg х (котангенсоида)
'Гак как ctg х = –tg (х + 1) для (0, π/2), то сначала отразим у = tg х
34
относительно оси абсцисс, затем сдвинем влево на π/2.
Затем воспользуемся симметрией и периодичностью
Функции f и g называют взаимно обратными функциями.
Если точка ( х, y) принадлежит графику функции = f(x), то точка (у, х)
принадлежит графику у = g(х), где g — обратная функция. Поэтому график
обратной функции получается из трафика у = f(x) с помощью преобразования
плоскости ху, переводящего точку (х, у) в точку (у, х).
Рис.18
Свойства функции котангенс.
Этим преобразованием является симметрия относительно прямой у = х.
1. D(ctg х) ={R, х ≠ πn, n ∈ Z }, E (ctg х) = R.
Итак, графики взаимно обратных функций у = f(x), у = g(x) симметричны
2.
Нечетная (симметричная относительно начала координат)
относительно прямой у = х.
3.
Периодическая, с Т0 = π.
4.
Нули функции, т.е. ctg х = 0 при х = − π 2 + πn , n ∈ Z .
монотонна на промежутке I, а множество ее значений есть промежуток J,
5.
Положительная, т.е. ctg х > 0 при ( πn, π 2 + πn ), отрицательная,
то на промежутке J существует функция g, обратная функции f и
Теорема 10.1. (без доказательства). Если функция f определена и
т.е. ctg х < 0 при ( − π 2 + πn,πn ).
6.
Убывающая на каждом промежутке ( πn, π + πn ).
обладающая следующими свойствами:
1) функция g определена и монотонна на J;
2) если функция f возрастает (убывает) на I, то g возрастает
10. Обратная функция. График обратной функции
(убывает) на J.
Теорема 10.2. Очень важная теорема о корне. Пусть функция f
Определение 10.1. Функция g называется обратной к f, если область
возрастает (убывает) на промежутке I, число а — любое из значений,
определения функции f является областью значений функции g, а область
принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x) = а имеет
значений f является областью определения g, причем g (у) = х и f(x) = у
единственный корень в промежутке I.
(D(f) = Е(g) и D(g) = E(f)).
Рассмотрим процесс получения обратной функции.
1. Пусть у = f(x) — заданная функция. Выражая х через у (если это
возможно), получаем равенство х = φ(y).
2. Переходя к общепринятым обозначениям для функции и аргумента,
11. Обратные тригонометрические функции.
11.1. Функция у = arcsin x (арксинус)
Функция синус на промежутке [–
получаем функцию у = φ(х), которая является обратной.
35
36
π π
, ] определена и возрастает и
2 2
принимает все значения от –1 до 1. Поэтому она обратима, т.е. имеет
обратную функцию. Эту обратную функцию называют арксинусом и
до
π
2
и такое, что его синус равен m По графику видно, что имеет место
равенство:
обозначают arcsin х.
arcsin(–х) = – arcsin х.
Из определения обратной функции следует, что D(arcsin) = [–1,1],
E(arcsin) = [–
π π
, ]. По теореме арксинус возрастающая функция. Ее график
2 2
симметричен графику у = sin х относительно прямой у = х (рис.19).
1.1.2. Функция у = arccos x (арккосинус)
Функция у = cos х убывает на [0, π] и принимает все значения из [–1, 1]
Значит, существует обратная функция. Она обозначается arcos x. График у =
arccos x симметричен у = cos х относительно прямой у = х (рис. 20).
Рис.19
Свойства функции арксинус.
1. D(arcsin x) = [–1,1], E(arcsin x) = [–
π π
,
2 2
Рис. 20
].
Свойства функции у = arccos х .
2. Нечетная.
1.
D(arсcos x) = [–1, 1]; Е(arccos x) = [0, π].
3. Положительная, arcsin x > 0 при х∈ [0, π 2] ;
2.
Нули, arccos х = 0 при х = 1.
отрицательная, arcsin х < 0 при х∈ [− π 2,0] .
3.
Убывающая функция.
Записи у = arccos х и х = cos y, 0 ≤ у ≤ π эквивалентны. Тогда cos (arccos
4. Нули, arcsin х = 0 при х = 0.
х) = х, 0 ≤ arccos х ≤ π.
5. Возрастающая.
Записи у = arcsin х и х = sin у, –
π
2
≤у≤
π
2
эквивалентны. Подставив в
равенство х = sin у вместо у его выражение, получаем х = sin(arcsin х),
–
π
2
Рис. 21
≤ arcsin х ≤
π
2
Итак, arccos m, где –1 < m < 1 — это число, взятое в пределах от 0
до π и такое, что его косинус равен т.
Имеет место равенство: arccos(–х) = π – arccos x (рис. 21).
.
Итак, arcsin m, где – 1 < m < 1 — это число, взятое в пределах от –
37
π
2
11.3. Функция у = arctg x (арктангенс)
Функция у = tg x возрастает на (–
π π
38
, ) и принимает значения от –∞ до
2 2
+∞. Поэтому для нее существует обратная функция, которая обозначается
arctg x (рис. 22).
Рис.23
Рис. 22
12. Простейшие соотношения между
Свойства функции arctg x.
1.
D(arctg x) = R; E(arctg x) = (–
π π
,
2 2
2.
Нечетная.
3.
Нули, т.е. arctg x = 0 при х = 0.
4.
обратными тригонометрическими функциями
).
arcsin x = − arcsin(− x) =
–
π
2
< arctg x <
2
arccos x = π − arccos(− x) =
Возрастающая. Для любого х имеем
tg (arctg x) = x,
π
π
2
11.4. Функция у = arcctg x (арккотангенс)
Функция у = ctg x убывает на (0, π) и принимает все значения от +∞ до
–∞. Поэтому для нее существует обратная функция, которая обозначается
arctgx = −arctg (− x) =
π
π
2
arcctgx = π − arcctg (− x) =
arcsin x + arccos x =
π
2
2
π
2
Свойства функции arcctg x.
1. D(arcctg x) = R; E (arcctg x) = (0,π).
2. Убывающая.
Для любого х имеем
0 < arcctg х < π .
39
x
1 − x2
x
1 + x2
− arctgx = arccos
1 + x2
40
π
2
,
,
x
arctgx + arcctgx =
,
,
1 − x2
− arcsin x = arcctg
− arcctgx = arcsin
arcctg x (рис.23).
ctg (arcctg х) = х
x
− arccos x = arctg
.
.
13. Тождественные преобразования выражений,
там положительный, т.e. sin у = 1 − x 2 , значит,
содержащих обратные тригонометрические функции
ПРИМЕР 13.1. Доказать, что arcsin x + arccos x =
π
2
.
ПРИМЕР 13.3. Упростить выражение sin(arctg х), где х ≠
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Перепишем равенство:
arcsin x =
По определению, –
π
π
2
2
каком промежутке находится
π
π
2
РЕШЕНИЕ. По определению, –
, а 0 ≤ arccos x ≤ π. Выясним, в
–
π
2
π
2
cos y =
π
2
– arccos х ≤
π
2
.
1 + tg 2 y
π
2
< arctg x <
π
2
. Обозначим у = arctg x.
, найдем sin у.
tg y
монотонности синуса.
2
1 + tg y
Значит, sin(arctg х) =
Итак, оба угла находятся в IV и I четверти, это промежуток
x
=
x
1 + x2
1 + x2
.
.
ПРИМЕР 13.4. Упростить выражение sin(2 arccos х).
РЕШЕНИЕ. Так как sin 2α = 2 sin α cos α , то
Значит, из равенства синусов будет следовать равенство углов.
sin(arcsin x) = x, sin(
π
2
− arccos x) = cos(arccos x) = x .
В промежутке монотонности синуса [–
π
2
,
π
2
] нет двух различных
углов, имеющих разные синусы, значит,
arcsin x =
1
sin y = tg y ⋅ cos y =
, получим
≤
+ πk,
sin у и положителен (IV ч.) и отрицателен (1 ч.), a cos y точно
0 ≥ –arccos x ≥ –π => –π ≤ –arccos x ≤ 0.
Добавим к неравенству
2
положителен.
− arccos x .
2
π
(k∈ Z).
− arccos x .
≤ arcsin х ≤
sin (arccos х) = 1 − x 2 , где |х| ≤ 1.
π
2
− arccos x ⇒ arcsin x + arccos x =
π
2
,
sin(2 arccos x) = 2 sin(arccos х) cos(arccos x) = 2 1 − x 2 . х = = 2 х 1 − x 2 .
ПРИМЕР 13.5. Вычислить sin (
3
3
РЕШЕНИЕ. Пусть α = arcctg (– ) => 0 < α < π и ctg α = – , так как
4
4
3
π
– < 0, то < α < π.
4
2
Найдем sin
что и требовалось доказать.
ПРИМЕР 13.2. Упростить выражение sin (arccos х), где |х| ≤ 1.
cos 2 α =
α
2
. Так как sin2
1
, то
1 + tg 2α
РЕШЕНИЕ.
Положим у = arccos х, тогда 0 ≤ у ≤ π и cos y = cos(arccos х) = х.
sin2 у = 1 – cos2у = 1 – х2, так как у находится в I и II четверти, то sin у
41
1
3
arcctg (– )).
2
4
Так как в интервале (
α
2
=
1 − cosα
, найдем cos α.
2
cos 2 α =
π
2
1
9
= .
2
4
25
1 + (− )
3
,π) косинус отрицателен, то cos y = −
42
3
=>
5
sin 2
α
2
=
Таь как
1 + 53 4
= .
2
5
π
4
<
α
2
<
π+
π
2
, то синус положительный, sin
α
2
=
2
, отсюда
5
2
1
3
sin( arcctg (− )) =
.
2
4
5
ПРИМЕР
π
3
) находится либо во II, либо в III четверти, а γ во II четверти.
Из Т(а + β) = Т(γ) не следует, что а + β = γ.
Например, cos 30° = cos 330°, но 30° ≠ 330°.
Равенство будет выполняться, если Т(а + β) = Т(γ), и, кроме того, а + β
и γ принадлежат одному и тому же промежутку монотонности функции Т (по
13.6. Вычислить arcsin (sin(–
15
π)).
7
теореме о корне).
Во II и III четверти целесообразно взять функцию синус, так как она
15
РЕШЕНИЕ. По определению –π/2 ≤ arcsin (sin(– π)) ≤ π/2, значит,
7
15
15
равенство arcsin (sin(– π)) = – π ложно.
7
7
монотонна во II и III четверти.
sin(а + β) = sin а cos β + sin β cos a=
= sin
Надо найти угол из [–π/2, π/2], синус которого ранен sin (–
15
π).
7
π
1
3 4 3 3 3
π
(− ) + cos
1 − cos 2 β = −
+
=
,
3 7
3
14
14
14
sin γ = 1 − cos 2 γ = 1 − (−
По формулам приведения
sin (–
15
π
π
π) = sin (–2π – ) = sin(– );
7
7
7
Отсюда arcsin (sin(–
ПРИМЕР
–
π
7
∈[–
π π
,
2 2
13 2 3 3
) =
14
14
положителен.
].
Итак, sin(а + β) = sin γ, причем а + β и γ принадлежат одному
промежутку монотонности (по теореме о корне), то равенство доказано.
15
π
π
π)) = arcsin (sin(– ) = – .
7
7
7
ПРИМЕР 13.8. Построить график у = sin (arcsin x),
13.7. Проверить равенство:
'Гак как |sin α| < 1, то область существования
1
1
13
arccos + arccos(− ) = arccos(− ) .
2
7
14
D(у) = [–1,1], E(у) = [–1,1].
В пределах области существования sin (arcsin x) = x.
1
π
1
РЕШЕНИЕ. Положим а = arccos
=> а = ; β = arccos(– ), 0 ≤ β ≤ π,
2
3
7
=> cos β = –
1
π
=> косинус отрицателен во II четверти, значит, < β < π;
7
2
γ = arccos(–
13
π
) =>
< γ < π (аналогично рассуждая).
14
2
Докажем, что а + β = γ
1. Сначала докажем, что выполняется равенство Т(а + β) = Т(γ), где Т
— некоторая тригонометрическая функция. Сумма углов (
π
2
+
π
3
<а + β <
ПРИМЕР 13.9. Построить график у = arcsin(sin x).
1. Е(у) = [–π/2, π/2], D(у) = (–∞, +∞).
2. Функция нечетная, так как arcsin(sin (–x)) = arcsin(– sin x) =– arcsin х.
Значит, достаточно построить график функции для х > 0, а затем
43
44
симметрично отобразить относительно начала координат.
3. Функция периодическая, так как arcsin(sin (x+2π)) = arcsin(sin x), т.е.
Т = 2π. Можно взять отрезок [–π, π] и затем периодически продолжить.
Математика: Тригонометрия
Модуль № 1 для 10 класса
Учебно-методическая часть
За счет симметрии построим только на отрезке [0, π].
Для 0 ≤ х ≤
π
2
имеем arcsin(sin х) = х.
Составитель: Татьяна Ивановна Качаева
π
Выясним, чему равен arcsin (sin х) для
первой четверти, чтобы sin х0 = sin х для х ∈ [
2
π
2
≤ х ≤ π. Надо найти х0 в
,π]. Это будет угол х0 = π – х,
Корректура автора
так как sin х0 = sin (π – х) = sin х.
Тогда arcsin (sin (π – х)) = π – х при х ∈ [
π
2
Редактор: О.Ф.Александрова
,π].
Подписано в печать 25.12.2006.
Формат 60х84/16.
симметрично относительно начала координат отражаем. Затем периодически
Бумага газетная.
Печать ризографическая.
продолжаем. Получаем график:
Усл. печ. л. 2,8.
Получаем уравнение прямой у = π – х. Строим на полупериоде,
Тиражируется на электронных носителях
Адрес в Internet: zensh.ru/resourses
Отдел информационных ресурсов управления информатизации КрасГУ
660041 г. Красноярск, пр. Свободный, 79, ауд. 22-05, e-mail: info@lan.krasu.ru
Литература
1.
2.
3.
4.
Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика,
1989.
Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной
математике. М.: Просвещение, 1991.
Абрамович М.И., Стародубцев М.Т. Математика. М.: Высшая
школа, 1976.
Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике.
М.: Просвещение, 1991.
45
Издательский центр Красноярского государственного университета
660041 г. Красноярск, пр. Свободный, 79, e-mail: rio@lan.krasu.ru
46
Документ
Категория
Информатика
Просмотров
214
Размер файла
686 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа