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i
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1
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1
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1
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z
2
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2
+ iy
2
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z
1
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2
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x
1
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2
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y
1
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2
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z
1
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z
2
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z
1
> z
2
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1
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2
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2
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2
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z
1
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1
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1
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z
1
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2
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z
1
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2
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y
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1
y
2
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x
2
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x +iy = x �iy:
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z
1
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2
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1
§ ¹z
2
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²
(¹z) = z;
²
z
1
¢ z
2
= ¹z
1
¢ ¹z
2
;
² z ¢ ¹z = (x +iy)(x �iy) = x
2
+y
2
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1
2
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1
2i
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z
1
z
2
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x
1
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1
x
2
+iy
2
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(x
1
+iy
1
)(x
2
�iy
2
)
(x
2
+iy
2
)(x
2
�iy
2
)
=
x
1
x
2
+y
1
y
2
x
22
+y
2
2
+i
y
1
x
2
�x
1
y
2
x
22
+y
2
2
:
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???
1
i
= �i;
???
2 +i
1 +2i
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(2 +i)(1 �2i)
1
2
+2
2
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n
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x+iy
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x = ½cos';y = ½sin';
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2
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Arg z
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2¼
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Arg i =
¼
2
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Arg i =
5¼
2
?????
Arg i =
9¼
2
????? ???? ?????
?????????????
Arg z
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?????????????P?????????????????????ג?
arg z
???א?????
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Arg z
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?
¼
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�¼
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¼
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arg i =
¼
2
?
?
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Arg z = arg z +2¼k
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k 2 Z
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arg z =
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¼ +arctg(y=x);x < 0;y ¸ 0;
�¼ +arctg(y=x);x < 0;y < 0;
¼=2;x = 0;y > 0;
�¼=2;x = 0;y < 0:
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0
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2
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1
+i sin'
1
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2
+i sin'
2
) =
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1
cos'
2
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1
sin'
2
) +i(sin'
1
cos'
2
+cos'
1
sin'
2
) =
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1
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2
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?
ס?ן?ל???ף?????ן?מ?ף?לקס?כ
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ע?כ???ן?ל??ל?ף?ץ?ן?לף?ץ???נ?????לsן???ף?ע???נ??
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?
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?
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????מ
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מ?ף???ן?ע
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?
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?
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?
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¢
n
:
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e
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= 1=e
i'
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:
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�
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z = 1
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arg 1 = 0
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1 = 1 ¢ (cos 0 +i sin0) = 1 ¢ e
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:
�
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jij = 1
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arg i =
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2
?
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¼
2
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¼
2
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z = �1
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j �1j = 1
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arg (�1) = ¼
?
�1 = 1 ¢ (cos ¼ +i sin¼) = 1 ¢ e
i¼
:
?
z = �i
??????????????
j �ij = 1
??????????????????
arg (�i) = �
¼
2
?
�i = 1 ¢ (cos
³
�
¼
2
´
+i sin
³
�
¼
2
´
) = 1 ¢ e
�i¢¼=2
:
�
?
z = 1 +i
??????????????
j1 +ij =
p
2
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arg (1 +i) =
¼
4
?
1 +i =
p
2 ¢ (cos
¼
4
+i sin
¼
4
) =
p
2 ¢ e
i¢¼=4
:
�
?
z = �sin
¼
8
� i cos
¼
8
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2
¼
8
+ cos
2
¼
8
= 1
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????ה????????????????????????????????????????????? ?????????
z
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�
5¼
8
???ל??????? ??????????????
z = e
�
5¼i
8
:
???
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ע?ץ?�???נ?ם???�?‏?ן?מ
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ךלע?‏?�?ק???מ?ם?ש?ם?�?ך?�?מ?ם?�
פ?ע?ן?מ?ע???ף?ם?ש?ע?�?‏?�???ם?ק???ע?ף
?
ףלע?? �???ם??
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??????????ח?????????????????????????ח????????????????? ?????????????????????????????????????????
²
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?
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z
1
?
z
2
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z = 0
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????????????????????????????????????????ו????????????????????ל?????????????????????????????????????????????ה
????????????????ב????????????????????????????????????????????????א?????????????
z
1
+ z
2
???????????????????
?????????????????????????????????????????????????????????????
z = 0
?????????????????????????????????????????
???????????????????????
z
1
+z
2
???ל??????? ?????????????????????????????????????????????????ה??????????
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?
????ח???????????????????????????????????????????????????????????????????????
??�?ב?????????�
jz
1
+z
2
j · jz
1
j +jz
2
j:
²
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????????????ה?????א???�???‗?????????????�???ג??????????????
?????????P? ????�???א???????ג????????
z
1
¢ z
2
= ½
1
e
i'
1
¢ ½
2
e
i'
2
= ½
1
(cos'
1
+i sin'
1
) ¢ ½
2
(cos'
2
+i sin'
2
) =
= ½
1
½
2
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1
cos'
2
�sin'
1
sin'
2
) +i(cos'
1
sin'
2
+sin'
1
cos'
2
)g =
= ½
1
½
2
fcos('
1
+'
2
) +i sin('
1
+'
2
)g = ½
1
½
2
e
i('
1
+'
2
)
:
???
²
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??ה?????א???�?? א???�??????????????ג?
??????????? ????????????ג????????
z
1
z
2
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½
1
e
i'
1
½
2
e
i'
2
=
½
1
(cos'
1
+i sin'
1
) ¢ (cos'
2
�i sin'
2
)
½
2
(cos
2
'
2
+sin
2
'
2
)
=
=
½
1
f(cos'
1
cos'
2
+sin'
1
sin'
2
) +i(�cos'
1
sin'
2
+sin'
1
cos'
2
)g
½
2
¢ 1
=
=
½
1
½
2
fcos('
1
�'
2
) +i sin('
1
�'
2
)g =
½
1
½
2
e
i('
1
�'
2
)
:
²
??????????א???????????????�???ג ??????‗?????ב??????????????????????????????????????????????????
z
n
= [½(cos'+i sin')]
n
=
?
???????????????????????????????????????
=
= ½
n
(cos(n') +i sin(n')):
�????
½ = 1
???????????????קר?????????�?????????ג?????
(cos'+i sin')
n
= cos(n') +i sin(n');
??????ו??????????????????????
(e
i'
)
n
= e
in'
:
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????ח ?????????????
????א???�?ב???????�?????????????א???????????????????????‗?????ב??????ג?
????????? ????????�??????????
????‗???????????????�?ב???????‗????????
²
?
????�???????????????????????????????????�?ב?????�???????‗??????????א??????????
z
n
= ½e
i'
= ½e
i('+2¼k)
;k 2 Z:
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z = ½
1
n
e
i('+2¼k)
n
:
? ??? ???
????????????????????????
e
2¼i
= 1
?????????????????ד?????????????????????????????????????????????????????????
???????????????????????????????ה?????????????????????????????????????????ח?ב???ה
k = 0;1;:::;n �1
?
???rq??ts???????????t???????????????????????????????
ף?ע
?
מ?????ס?נ????Pלף?ץ?ן?לף?ץ???נ?
???
?????????ט????????????????????א????ב
n
??�‗??????‗????????????????
n
??????�?????????????????????????�??
????????????????????????????????????????ו???????????????????????????????????????????ח?????????????????????????
??????????????
n
? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????
½
1
n
??????????????? ???????????
?
????????????????????????????????????????‗?????????�???????????P? ??????א???�?????????????‗?�????????
??????????????�??
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² jz
1
+z
2
j · jz
1
j +jz
2
j;
² jz
1
¢ z
2
j = jz
1
j ¢ jz
2
j;
²
¯¯¯¯
z
1
z
2
¯¯¯¯
=
jz
1
j
jz
2
j
;
???????????????????
¯¯¯¯
1
z
¯¯¯¯
=
1
jzj
;
² jz
n
j = jzj
n
;n 2 Z:
?????????????
�
?
?????????????????
(1 +i)
3
?
(1 +i)
3
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³
p
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´
3
= 2
3=2
µ
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3¼
4
+i sin
3¼
4
¶
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�
?
?????????????????
³
1+i
p
3
1�i
´
40
?
�
1 +i
p
3
1 �i
!
40
=
µ
2e
i¼=3
p
2e
�i¼=4
¶
40
=
³
p
2 e
i(¼=4+¼=3)
´
40
=
= 2
20
e
70i¼=3
= 2
20
e
�2¼i=3
= �2
19
(1 +i
p
3):
?
?????????????????
4
p
1
?
4
p
1 = 1 ¢
³
e
i(0+2¼k)
´
1=4
=
8>><>>:
1
?????
k = 0;
i
?????
k = 1;
�1
?????
k = 2;
�i
?????
k = 3:
???
?
?????????????????
5
p
1 +i
?
5
p
1 +i =
³
p
2 ¢ e
i(¼=4+2¼k)
´
1=5
=
10
p
2 ¢ e
i(¼=20+8¼k=20)
=
=
10
p
2 ¢
8>>>>>>><>>>>>>>:
cos
¼
20
+i sin
¼
20
?????
k = 0;
cos
9¼
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arg z = 0
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v(x;y)
????????ח??????‗???????
????????????????????????????????????????? ???????????????????????
G
??????
?
???א??????????????????? ??? ???
????????????????????????????????????????????????? �???????ב??????????????
f
0
(z) = u
x
+iv
x
??�?????ו??????
f
0
(z)
?????????????????????????????????????????????????????
u
x
?
v
x
?
¥
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????????????????? ?????????????גה????????????????????????????????????????????????????
???
u
x
;u
y
;v
x
;v
y
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G
?
???
u(x;y)
?
v(x;y)
???????????????????????????????
??????????????????????
G
?
()
f(z)
?
?????????????????????????
?
G
???????????
????????????????????????????????ח
w = z¹z
??????????????????????????????????????????
u(x;y) = x
2
+y
2
???????????????????????
v(x;y) = 0
????????????????????????????????????
??????ח????????
2x = 0;2y = 0
????????????????????????ח?????? ???????????????????????
z = 0
??�???????????????????????ח ?????????
??????????????????????????????ח?ו????????????????????????????????
z = 0
?
w
0
(0;0) = lim
¢z!0
¢z¢¹z
¢z
= lim
¢x!0;¢y!0
(¢x �i¢y) = 0:
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
??? ????????????????????? ????ב?????????????????ו?????? ??????????????? ????????????????????????????
??????‗??א?????????????????????????????????????????א????ב???????????ח?ב???????ו??????????????????????????????
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????????????????????????????
???
?
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�
?
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???
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?
?
???????
z = ½e
i'
?
f(z) = u(½;') + iv(½;')
???
???????
???
?
z 6= 0
??????????
?
???????
???
????????
???
???
???
???
???
???
?
???t????????????t????????????
?
?
v
'
= ½u
½
;
? ???????
u
'
= �½v
½
;
? ??? ???
???
???????
???
???ן?????????
?
f
0
(z)
???
?
??????????
?
�ד?
?
????????
f
0
(z) = �
i
z
(u
'
+iv
'
) =
1
z
(v
'
�iu
'
):
? ??? ???
?
?????????????????????????ל?
?ל?????????
x = ½cos'
?
y = ½sin'
?????
u
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x
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y
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'
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x
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y
½cos';
v
½
= v
x
cos'+v
y
sin';v
'
= �v
x
½sin'+v
y
½cos':
?????????????????????????????????????????????????????? ??????????ד??? �???????????????
u
½
= v
y
cos'�v
x
sin'= ½
�1
v
'
;
u
'
= �v
y
½sin'�v
'
½sin'= �½v
½
:
???????????????????????????????????????????ד??? ????????????????????? ??????????ב???ח ??????????ח?ב???ה
?????????????????????????????
f
0
(z) =
1
z
(v
'
�iu
'
) =
=
(�v
x
½sin'+v
y
½cos') �i(�u
x
½sin'+u
y
½cos')
½(cos'+i sin')
=
=
(�v
x
sin'+u
x
cos') �i(�u
x
sin'�v
x
cos')
cos'+i sin'
=
=
(u
x
+iv
x
)(cos'+i sin')
cos'+i sin'
= u
x
+iv
x
:¥
???
?????????????
�
?
?????????????
e
z
?????????????????????????????????????????????????? ???????????????ג????ו???????
??????????????????????????????????????????????????
u(x;y) = e
x
cos y;v(x;y) = e
x
siny;
u
x
(x;y) = e
x
cos y = v
y
(x;y);u
y
(x;y) = �e
x
siny = �v
x
(x;y):
�
?
?????????????
z
n
?
n = 1;2;3;:::
???????????????????????????ל??????????????????????
???????????????ג??? ו??????????????????????? ?????????????ט?????? ??????????????? ?????????????ה
????????????????????ה
z
n
= ½
n
(cos n'+i sinn');
v
'
= n ¢ ½
n
¢ cos n'= ½u
½
;
u
'
= �n ¢ ½
n
¢ sinn'= �½v
½
:
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�?????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????ה????????????????
??????????????
�
?
?
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?
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G
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?�
?
?
f(z) +g(z)
?
???
?
?????
?
???????t???????????
?
?????
G
?
???
???????
(f +g)
0
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0
+g
0
;
?ד????????
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?�
?
?
f(z) ¢ g(z)
?
???
?
?????
?
??????????????????
?
?????
G
?
???
???????
(fg)
0
= f
0
g +g
0
f;
?ד????????
????�??t?
?t�
?
?
f(z)=g(z)
?
???
?
?????
?
??????????????????
?
????
G
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?
?????????t??????t?????????????????
?
?
???
???????
µ
f
g
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0
=
f
0
g �fg
0
g
2
:
?ד????????
???
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�
?
?
???????
g(z)
?
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?
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?
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?
g(z)
???
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?
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?
???
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?
????????
?
?????????
?
?????????????????
G
?
???
???????
f(g(z))
0
= f
0
(g(z)) g
0
(z):
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?
?????????????????????????ל?
???????????????????????ד???????????? ???????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????ה????????????????????????
????????????????ח??????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????
????ב???????????ח???????????????????????????????????????????????????????????????????ה??????????????????????????
???????????ט???????????????????????
? ???????????????????????????????????????????‗?????????????????????????????????????????????????????????
???????????ד????????????????????
f(z +¢z)g(z +¢z) �f(z)g(z)
¢z
=
=
f(z +¢z)g(z +¢z) �f(z)g(z +¢z) +f(z)g(z +¢z) �f(z)g(z)
¢z
=
= g(z +¢z) ¢
f(z +¢z) �f(z)
¢z
+f(z) ¢
g(z +¢z) �g(z)
¢z
:
�???????ה????????????????????????????
¢z!0
????????????????????????????????? ?????????????ל???????
????????????????
G
????ב??????????????????????????????????????????????????
f(z)g(z)
?????????????????????
????? ??????????????????????????????????????? ? ??????????????????????? ???????????????????????????????????
f(z)
?
g(z)
???????????????????????????????????????????????????????
f(z)g(z)
?????????????????????
G
??????????????????????????? ?????????‗????????????????? ???????????????????????? ?????
f(z)g(z)
??????????????ח???????????????????????????????????????????
?
????????????????????????????? ??? ??????????
? ????????????ד?????????????????????????ח????ג??????????????????????
¥
??????????????
?
?
???????
w = f(z) = f(x + iy) = u(x;y) + iv(x;y)
?
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?
?
?
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?
?
?
G
?
f
0
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0
) 6= 0
?
z
0
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0
+iy
0
2 G
???
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?
?????
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?
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W
?????
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?
w
0
= u
0
+ iv
0
= f(z
0
)
?
?
?
?????
?
??? ?
???
???????????
??????????????
�??t?
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?
?
z = �(w)
?
???
???????
�(w)
?
???
?
?????
?
??????????????????
?
?????
W
?
�
0
(w) = 1=f
0
(z):
?
?????????????????????????ל?
?????????????
f(z)
???????????????????????????????
(x;y)
???????
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??�???????????????????????????????????????????????????????????????????????
(u
0
;v
0
)
???
?????????????????????
(u;v)
???????????????
x = x(u;v)
?
y = y(u;v)
???????????????????????????
ח????ג???????????????????????????????????????????????????????????????????????????
(x;y)!(u;v)
?
J(x;y) =
¯¯¯¯
u
x
(x;y) u
y
(x;y)
v
x
(x;y) v
y
(x;y)
¯¯¯¯
=
= u
x
(x;y)v
y
(x;y) �u
y
(x;y)v
x
(x;y) =
= [
????????????????????????????????????????
] = u
2x
(x;y) +v
2
x
(x;y) = jf
0
(z)j
2
:
�???????????????ח
J(x
0
;y
0
) 6= 0
??�?????????????????????????????????????????????????????????????????
??????????????????????????????א???????????ג?????????????????????????????????????????
U
?????????
(x
0
;y
0
)
?
?????????????????????????????????ג?????????????????
f(z)
??????????????????ח??????????????????????
W
???????
???
(u
0
;v
0
)
????????
????????ב??????????????????????????????????????????????????????????????????????????
(u;v)!(x;y)
???
W
?
U
?
?????????????????
J(x;y)
?????????????????????
(x;y)!(u;v)
????????????ב????????????
????????????????????ה
(x;y) 2 U
?
?
???????????????
z = �(w)
????????????????????ח?????????????ח???????????????????ב???ח
u+iv
?
x + iy
??�?????????????????????ו??????‗?????????????????????????
w 2 W
????ב????????????????
?????????
lim
¢w!0
�(w +¢w) ��(w)
¢w
= lim
¢z!0
µ
f(z +¢z) �f(z)
¢z
¶
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=
1
f
0
(z)
:
?????????????????????????????????????????????????????????????
f
0
(z)
?????????????????????????????????????
ב????????ג?????????????P????????????????????????ב???????????????????????????????????????????????????????????????
?????????????
�(w)
?????????????ג?????????????????????????????
W
?
¥
???????????????????
�????????‗?????????????
w = f(z)
???????????????????????????‗?????????
?????????????????
D
? ???????????????????????????????????
E
??????ג?????????????????????????????????
z = �(w)
?????????????????????????????????????????????
E
???????????
D
????????? ???????????
?????????????????????????????
???????????????
?P?????????????????????????????????????????
sinz
?
cos z
?
shz
?
chz
?????????
ח????ג????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?????????????
tg z
?????????????ג?????????????????????????????????
z 6=
¼
2
+n¼
???????????????
ctg z
???????????????‗???????????????????????????????
z 6= n¼
???????????????
thz
?
cthz
????????ח??????
?????????????????????????????ל???????
z 6= i(
¼
2
+ n¼)
?
z 6= in¼
???????????????
Ln z
?
a
z
?
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z
a
?
Arcsin z
?
Arccos z
?
Arctg z
??????????????????ח????ג???????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
???????????????
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????ח????ג???????????????????
e
z
??????????ב???ח??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????ח????????????????????????????????????א??????????ח?ב???????????????????????????????????????????ח????
?????????????????ה?????????????ה???????????ב???ח???????????????????????????????????????ו???????????????
????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????? ???????????????????????
�???????????????????????????????????????????????ח????????????????????????????????????????????????????‗?
??????????????????ח????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????P??? ???????????
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????א???????????????????????????????????
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
???????????
??????????????????? ????????????ח
w = e
z
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0 < Im z < 2¼
?
????????????????????????????????????????????????ח?????????????????????????????????????
w
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ח?ב????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????ג? ?????????
????????????????????????????????????????????????
z
??????????ב??????‗????????????????????????? ?????????????
?????????????????????????????????????????????????????????????????????
w
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ח?????????????????????????????????ה??????????????????????????????????????????????? ?P???????????????????????
?????????ו????????????????????????????????????????????????????????????????ג??????????????????????????????????????
????? ???????????????s????????????????????????????????????? ??????????????????????????ח??????????????????????
????ח???????????????????????????????????????ג????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????
z = lnjwj +iarg w
?????????????????????????????????????????????????????????????????ג?????????????????????????????????????????????
??????????????
???P??????????????????????
?
?????t????
?
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?
???
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?t?
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????????????????
?t?
מ??
????????????????ג ????‗?�??????
A
xx
+A
yy
= 0;
?ד????????
?
???????????
A
???????
?
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u
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v
?
?
?
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u(x;y)
?
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u(x;y)
?
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???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????
f(z)
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u(x;y)
?
v(x;y)
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???
?
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??????????????????????????????????????????????????????????????ט?
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x
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y
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u
xx
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u
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xy
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u
xx
+u
yy
= 0
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????????????????????????
y
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x
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v
xx
+v
yy
= 0
?
¥
??????????????????????????????????????ח?ב?????????????????????ח????????????????????????????ח????ג?
פ?�?ףאמ?ן?ק?ם?ש?ע?�?‏?ם?מ?ם
?
??????????????????????????????????????????????????????????????????s???????????????????????????????????????????????
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????s???
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
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???????????????????????????????????????????????????????????????????????????s??????????????????? ???????????????????????
???????????????P?????????????P?????????????????????????????????????????????????????????????????????s???????????????
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
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?????????????????????????ה?????????????????????ה‗???????????????????ג?????????????????????????ד??????????????
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x = ½cos'
?
y = ½sin'
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1
½
A
½
+
1
½
2
A
''
= 0:
??????????????
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?
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?
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G
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?
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?
?
?
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?
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???
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?
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v(x;y)
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f(z)
?
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u(x;y)
?
v(x;y)
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y
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y
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x
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y
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x
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(�u
y
) =
@
@x
(u
x
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???
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v(x;y)
??? ?????????
(x
0
;y
0
)
?????????????????????????????ג?
??????????????????????????????????????????????ח???????????????????????????????????ח?ב??????????????
(0;0)
?
(x;y)
?
v(x
0
;y
0
) =
(x
0
;y
0
)
Z
0
�u
y
dx +u
x
dy +C:
?????????
C
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?????????????
f(z) = u(x;y) +iv(x;y)
?????????????ג?????????????????????????????
G
?????????
????????????????????????????????????????????????????????
¥
???????????????????
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????????????????????????ח ????????????????????????????ח?????????
?????????????????????????????????????
???????????
??????????????????????????????????ו???????????????????????????????????????????????ח??????????
????ח
f(z) = u(x;y) +iv(x;y)
?????????
u(x;y) =
x
x
2
+y
2
;f(1) = 1:
?
????????????
? ?
??
???????????????ג???????????????????????
u(x;y)
??????????????????????????????????????????
??? ????????????????????????????????????????????????????ח ?????????????????????????? ?????????????????????????
???????????
u
x
?
u
xx
?
u
y
?
u
yy
?
u
x
=
µ
x ¢
1
x
2
+y
2
¶
x
=
1
x
2
+y
2
�
2x
2
(x
2
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2
)
2
=
�x
2
+y
2
(x
2
+y
2
)
2
;
u
xx
=
µ
x ¢
1
x
2
+y
2
¶
xx
=
µ
�x
2
+y
2
(x
2
+y
2
)
2
¶
x
=
2x
3
�6xy
2
(x
2
+y
2
)
3
;
?ד????????
u
y
=
µ
x ¢
1
x
2
+y
2
¶
y
= �
2xy
(x
2
+y
2
)
2
;
u
yy
=
µ
x ¢
1
x
2
+y
2
¶
yy
=
�2x
3
+6xy
2
(x
2
+y
2
)
3
:
?ד?????�??
?????????????????????????????????????ד????????????ד?????�?????????????ח???????????????
u(x;y)
?????
?????????ג????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
f(z)
?????????????????
???
? ?
??
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u
y
= �v
x
???????????????????????
v(x;y)
?
v(x;y) = �
x
Z
u
y
(»;y) d» =
x
Z
2»yd»
(»
2
+y
2
)
2
=
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x
Z
y d»
2
(»
2
+y
2
)
2
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y
x
2
+y
2
+C(y);
? ?????????
????
C(y)
???????????????????????????????????????????
y
??????????????????????????????????????????????
???????????
x
????????????? ????????????????????????????????????????????????????‗????????????????????????
?????????????
u
x
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y
???????????????????????????????
y
??????????????????? ????????????????????????
??????????????
u
x
??????????????????
v
y
=
µ
�
y
x
2
+y
2
+C(y)
¶
y
=
�x
2
+y
2
(x
2
+y
2
)
2
+C
y
(y) =
�x
2
+y
2
(x
2
+y
2
)
2
= u
x
:
?
????ח??????????????????????????
C
y
(y) = 0
????? ???
C(y) ´ C
??ג???
C
?????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????
f(z)
???????????????
f(z) = u(x;y) +iv(x;y) =
x
x
2
+y
2
�
iy
x
2
+y
2
+iC:
??????????ה????????????????????????????????
C
?????????????????????????????????
z = 1
???????????????????
?????????????????????????????????????????????????????
f(1) = 1
??�????????????
C = 0
?
? ?
??
??????????????????????????????????????????
x
?
y
?
z
???????????????????????????????????
????????
x =
1
2
(z + ¹z);y =
1
2i
(z � ¹z):
????????
f(z) =
x
x
2
+y
2
�
iy
x
2
+y
2
=
1
2
(z + ¹z) �
1
2
(z � ¹z)
�
1
2
(z + ¹z)
¢
2
+
�
1
2i
(z � ¹z)
¢
2
=
=
¹z
1
4
(z
2
+2z¹z + ¹z
2
) �
1
4
(z
2
�2z¹z + ¹z
2
)
=
¹z
¹zz
=
1
z
:
???
??????????????????ל? ????????????? ??????r????s??t???q
r??s??????????q r?? ?????????q ????????r???s??t???q r?????t????t????
?????????????
ע?‏?ן???ן?ף???ע ן
?
ףלע?ר?ע?ך?ע?ק?ם??
סאךל�?ר?‏?ן?ץ?‏?ף?ם?נ?ן?ץ
???????????????????????????????????????????????????????????ג?????????????
?????????????????
z = z(t) = x(t)+iy(t)
??????
t 2 [a;b]
?????????????????????????????
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
x(t)
?
y(t)
?????
????????ח?????????????ח?ב????????????????????????????
???
x(t);y(t)
?????????????????????????????????????????
[a;b]
? ???????????????????
?????????????????????????????????????????????????
(a;b)
?
???
(x
0
(t))
2
+(y
0
(t))
2
6= 0
?????
t 2 [a;b]
?
????????????ב?????????????????????ה ???????????????ה????????????????
t = t
1
?
t = t
2
?
t
1
;t
2
2 (a;b)
??????????הא??????????????????????????????????????ח??????????????????????????????
x(t
1
) = x(t
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