close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Лекция 5. Линии второго порядка.Плоскость и прямая в пространстве.

код для вставкиСкачать
Тема 2. Аналитическая геометрия.
Лекция 5. Линии второго порядка. Плоскость и прямая
в пространстве.
Лінії другого порядку. Площина та пряма у просторі.
Вопросы:
1. Линии второго порядка.
2. Окружность.
3. Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению.
4. Эллипс.
5. Гипербола и её асимптоты. Правильная гипербола.
6. Парабола.
7. Решение экономических примеров.
8. Преобразование координат.
9. Полярная система координат.
10.Плоскость и прямая в пространстве.
11.Уравнение поверхности в R3.
12.Уравнение сферы.
13.Общее уравнение плоскості.
14.Понятие про поверхности 2 порядка.
15.Общин и канонические уравнения прямой в пространстве.
Лінії другого порядку. Коло. Знаходження центру та радіуса кола за загальним рівнянням. Еліпс. Гіпербола та її асимптоти. Правильна гіпербола.
Парабола. Розв'язування економічних прикладів. Перетворення координат.
Полярна система координат.
Площина та пряма у просторі. Поняття рівняння поверхні в R3.
Рівняння сфери. Рівняння площини, яка проходить через точку
перпендикулярно вектору. Загальне рівняння площини та його дослідження.
Поняття про поверхні 2-го порядку. Загальні та канонічні рівняння прямої у
просторі.
2.3.1. Общее уравнение линии второго порядка
Кривыми второго порядка являются окружность, эллипс, гипербола, парабола. Уравнениями этих линий являются уравнения второго порядка относительно x и y, которые в общем виде записываются
Ax2  Bxy  Cy2  Dx  Ey  F  0.
(2.23)
В то же время, в зависимости от значений параметров A, B, C, D, E, F,
такое уравнение может определять окружность, эллипс, гиперболу, параболу,
две пересекающиеся прямые, две параллельные прямые (совпадающие), точ2
2
ку, пустое множество (мнимую кривую). Например, уравнение x  y  0
y  x, y  x;
определяет две пересекающиеся прямые
уравнение
1
 y  2x  5 y  2x  0 — две параллельные прямые
y  2x  5, y  2x; уравнение
x2  y2  9  0 — пустое множество.
2.3.2. Окружность
Определение 2.12. Окружностью называется множество точек на
плоскости, расстояние которых от заданной точки (центра) равно постоянному числу (радиусу).
Составим уравнение окружности радиуса R с центром в точке Ca, b .
M  x, y 
Возьмем текущую точку
сюда
 x  a2   y  b2  R2 —
(2.24)
каноническое уравнение окружности или
неявное уравнение окружности, центр которой
находится в точке С(а,b).
y
С(a,b)
b
 x  a2   y  b2  R . От-
. Тогда CM  R или
2
x2  y 2  R —
(2.25)
частный случай окружность с центром в О
(0,0).
M(x,y)
0
a
x
Рис. 2.22
Если
раскрыть
D  2a, E  2B, F
 a2
скобки,
то
получим
x2  y2  Dx  Ey  F  0,
где
b R .
2
2
Таким образом, уравнение относительно x, y будет уравнением
окружности, если:
1) оно уравнение второй степени относительно x и y,
2) в нем отсутствует член с произведением x y,
3) в нем коэффициенты при x2 и y2 равны между собой,
D2 E2
  F  0.
2
2
4) уравнение имеет вид x  y  Dx  Ey  F  0, где 4 4
2
2
Чтобы построить окружность x  y  Dx  Ey  F  0, надо в этом уравне-
нии
выделить
2
полные
2
квадраты
по
и
x
y:
D 
E D E

 x  2    y  2   4  4  F.

 

2
Пример
2
2.10.
y
Построить
окружность
x  y  4x  6 y 12  0,
2
2
Решение. Выделяем полные квадраты по х и по y.
x  4x  4  4  y  6 y  9  9 12  0,  x  2   y  3  5 .
C  -2,3
2
2
2
2
Поэтому центром окружности является точка
радиус R  5.
2
b
y
С(-2,3)
R=5
2
0
x
, ее
Рис.2.23
Тема 2. Аналитическая геометрия.
2.3.3. Эллипс
Определение 2.13. Эллипсом называется геометрическое место точек,
сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
x2 y 2

 1 a  0, b  0 , a  b


a 2 b2
(2.26)
Исследуем форму эллипса:
Так как х и y входят в уравнение в четных степенях, то линия симметрична относительно обеих осей координат и относительно начала координат.
Это следует из того, что если точка M  p, q  лежит на линии, то и точки
M   p, q  M   p, q 
,
также лежат на линии. Поэтому достаточно исследовать
линию в первой четверти.
x2
y2

0,
1
2
2
y  b.
x a
Так как b
то a
, т.е.
. Аналогично
Линия находится
D   x, y  a  x  a,  b  y  b
внутри прямоугольника
.
b 2 2
a x .
a
Так как в первой четверти y  0 , то уравнение эллипса в
b 2 2
y
a x
a
первой четверти имеет вид:
. При х=0, y  b . Следовательно (0, b)
y
– точка пересечения с осью Оу.
Если 0<x<a, то у убывает от b до 0, следовательно, 0<у< b .
Если x  a , то у не существует. Нарисуем график.
Точки
A1  a,0 , A2  a,0 , B1  0, b  , B2  0,b 
са, отрезки B1B2 , A1A2 — осями. При a  b эл-
y
B2
F1
A1
M
c
b
0
a
B1
называются вершинами эллип-
липс превращается в окружность. Точки
F2
x
A2
и
F2  c,0 ,
где
c  a 2  b2
a
2
F1  c,0
 b2  c2 , b2  a2  c2 
(2.27)
называются фокусами эллипса. Фокусы находятся на большей оси. Поэтому здесь предполагаем, для определенности, a  b.
Рис. 2.24
Отношение

c
a
(2.28)
называется эксцентриситетом. Эксцентриситет характеризирует форa 2  b2
b

 1   ,
a
 a  то при   0
му эллипса. Очевидно, что 0    1. Так как
2
3
a b,
т. е. эллипс превращается в окружность. При  1
намного меньше a, т. е. эллипс сжимается по вертикали.
b становится
2.3.4. Гипербола
Определение 2.14. Гиперболой называется геометрическое место точек
плоскости, абсолютное значение разности расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
x2 y 2
  1  a  0, b  0
a2 b2
(2.29)
Исследуем форму гиперболы.
Так как х и y входят в уравнение в четных степенях, то линия симметрична относительно обеих осей координат и относительно начала координат.
Поэтому, как и в случае эллипса, достаточно исследовать линию в первой
четверти.
y2
x2

1,
1
2
2
Так как b
то a
, т.е. x  a , т. е. линия находится вне полосы
D   x, y  a  x  a.
A1  a,0
С осью Ох линия пересекается в точках
и
2
2
A2  a,0.
С осью Оy линия не пересекается так как при x  0 y  b , что невозможно.
Разрешим уравнение (2.29) относительно переменной у, получим
y
b 2 2
x a .
a
y
b 2 2
x a .
a
Для первой четверти
Область допустимых значений
2
х  а  0 . Отсюда видно, что с изменением х от 0 до а у принимает мнимые
значения, следовательно, точки, абсциссы которых 0  х  а гиперболе не
принадлежат. Если х возрастает от 0 до +∞, то у возрастает от 0 до +∞.
Покажем, что гипербола имеет две асимптоты.
Определение 2.15. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки кривой от начала координат вдоль кривой в том или
ином направлении.
Так как функцию можно представить в виде
2


b 2 2 b
b 2 2 b
b
b
x a  x
x a  x  x
x2  a2  x 
a
a
a
a
a
a
2
2
2
2
x a  x
x a  x b
b
b
ab
b
x 
 x
 x
2
2
2
2
a
a
a
x a  x
x a  x a
y



b
y x
a .
при больших х, то наклонные будем искать в виде
4
Тема 2. Аналитическая геометрия.
Из рисунка видно, что PM  MN. Но
ab
.
MN  yac.  yгип  x  x2  a2
Последнее выражение  0 при x , а следовательно и
PM  0 при неограниченном удалении
точки
М
от
начала
координат,
b
y x N
a
y
b 2 2
x a
a
y
P
M( x,y)
т.е
0
b
y x
a — асимптота.
при x . То есть
x
Рис. 2.25
b
y   x.
a
В силу симметрии гипербола имеет две асимптоты
(2.30)
По результатам этих исследований построим линию (Рис. 2.25).
y
y
M
B2
y
x
x
k  0B2 x
x
b
 k  bc  ad 



c2 
M
A2
B1
x
F2
b
0  - d ,- a 
0
 c
a
k  0 A2
Рис. 2.26
Точки
Рис. 2.27
A1  a,0 , A2  a,0
c
x
k 0x
B1
B1
A1
Рис. 2.28
называются вершинами гиперболы,
отрез-
ки B1B2 , A1A2 — осями. A1A2 — действительная ось, B1B2 , — мнимая ось.
При a  b гипербола называется равносторонней. В этом случае ее асимптоты взаимно перпендикулярны. Точки
F1  c,0
c  a 2  b2  c  a  b
2
2
2

и
F2  c,0 ,
где
(2.31)
называются фокусами гиперболы. Фокусы находятся на действительной оси.
Отношение

c
a
(2.32)
называется эксцентриситетом. Эксцентриситет характеризирует форму
a 2  b2
b

 1   ,
a
 a  то при  1
гиперболы. Очевидно, что   1. Так как
2
b
становится намного меньше a, т. е. гипербола сжимается по вертикали, при
  b становится намного больше а, т. е. гипербола распрямляется.
Можно показать, что графики обратно пропорциональной зависимости
y
k
x
M
x
0
A1
B2
0
x
F1
y k  0
y
и дробно-линейной функции
y
ax  b
, где с  0, abc  ad  0
cx  d
равносто5
ронние гиперболы с асимптотами — осями координат (|| осям координат)
(Рис. 2.26, 2.27).
Пример 2.11. Эксцентриситет гиперболы равен 2 . Составить простейшее уравнение гиперболы, проходящей через точку М( 3 , 2 ).
c
 2
Решение. Согласно определению эксцентриситета, имеем a
, или
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c  2a . Но c  a  b , следовательно, a  b  2a или a  b , т, е. Гипербола
равнобочная.
Другое равенство получим из условия нахождения точки М на гиперболе, т. е.
 3   2 
2
2
3 2
  1,
a
b
a2 a2
т.
2
2
x y
 1
2
е. a  1. Таким образом, уравнение искомой гиперболы имеет вид 1 1
,
2
2
x  y  1.-равносторонняя гипербола.
2
2
1
3 2
 2 1
2
2
2
, или a b
, поскольку a  b , получим
2.3.5. Парабола
Определение 2.16. Параболой называется множество точек на плоскости, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой (директрисы).
Для вывода простейшего уравнения параболы выберем ось Ох прямоугольной системы координат так, чтобы она проходила через фокус перпендикулярно директрисе. Начало координат пусть находится на середине между фокусом и директрисой. Направление осей координат указано на чертеже.
Расстояние от фокуса до директрисы обозначим через р . Тогда уравнение
директрисы
x
p
2.
(2.33)
Фокус имеет координаты
p 
F  ,0  .
2 
Возьмем текущую точку
M  x, y 
 p 
A   , y .
ординаты точи  2  Поэтому
p2
p2
x2  px   x2  px   y2 ,
4
4
(2.34)
на параболе. По условию AM=FM. Ко2
2
p
p
2
2


 x  2    y  y    x  2    y  0 ,




y2  2 px —
(2.35)
2
Исследуем форму параболы. Поскольку y  0 , то х не может быть отри-
цательным и все точки кривой лежат в правой полуплоскости. При возрастании х от 0 до   неограниченно возрастает .
Кривая симметрична относительно оси Ох. Точка пересечения параболы
y
6
Тема 2. Аналитическая геометрия.
с осью симметрии называется вершиной параболы.
Cy2  Dx  Ey  F  0 C  0
0
K
x
Параболой будет линия, уравнение котоM(x,y) рой при определенном выборе декартовой системы координат можно записать в виде
y
p
A   , y 
2


p
2
2
или Ax  Dx  Ey  F  0  A  0, E  0 .
x
 p

;0 
 2

F
Рис. 2.29
1
y   x2  4x  3.
2
Пример 2.12. Построить кривую
Найти фокус и дирек-
трису.
Решение.
y  5,5
y
0
F




1 2
1
x  8x  6 
 x2  8x  16  16  6 
2
2
1
1
y
 x  42  10   x  42  5.
2
2
1
x
y  5   x  42 .
2
y


Полагая x  4  x, y  5  y , получаем
x
0
y
1
y   x2
2 . 2 p  2, p  1, F 4;4,5
кус, y  5,5 — директриса.
—
фо-
Рис. 2.30
2.3.6. Экономические примеры
Пример 2.13. Модель Рейли — гравитационная аналогия при определении предпочтений потребителя. Для объяснения предпочтений людей
при выборе места отдыха, работы, торгового центра т.д. используется подход
заимствований из физики. Рейли рассматривал притягательность SAM  города А для человека в любой точке M пропорциональной величине города —
прежде всего численности населения PA — и обратно пропорциональной
S A M  
PA
rA2 .
квадрату расстояния rA между этой точкой и городом
Найдем множество точек, в которых притяжения городов А, В с населением PA PB одинаково. Точки одинакового притяжения к городу образуют
концентрические окружности с центром этом городе. Введем на плоскости
прямоугольную систему координат, в которой город А занимает точку (a,0) ,
7
город
В
(a,0) .
точку
Если
притяжение
городов
одинаково,
PA PB
S A  M   SB  M  
 .
rA2 rb2
P
k A
PB . Для определенности считаем, что PA  PB
Обозначим
то
 k  1 . По-
этому
krB2  rA2  k  x - a   y 2    x  a   y 2 .


2
y
по-
-a
A
0
M(x,y)
a
c
B
C
После
лучаем
x
c
2
простых
преобразований
 x - c2  y2  R2 ,
где
a  k  1
2a k
; R
.
k 1
k 1
Рис. 2.31
Итак, линия равномерней притягательности есть окружность с центром
в точке C  c,0. Так как k  1, то c  a, т.е. точка С расположена правее точки
В. Внутри круга сильнее притягательность города В, а вне круга — города А.
Пример 2.14. Найти линию равной притягательности для Донецка и
Харькова.
Решение. Так как расстояние между городами 240 км, то a=120. Численность населения
Харькова и Донецка —1,440 млн., 1,010 млн., соответственно.
120  2,455
c
 647,
0,455
Поэтому
k
1,470
 1,455
1,010
,
2 120 1,455
R
 636.
0,455
-120
240
Харьков 11
c  647
Донецк R  636
120
Рис.2.32
УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ
2.4.1. Уравнение поверхности, уравнение плоскости
Определение 2.17. Уравнением данной поверхности (в некоторой системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой поверхности,
и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.
8
Тема 2. Аналитическая геометрия.
Например, в декартовой прямоугольной системе координат уравнение
(х-а)2+(у-в)2+(z-c)2=r2
определяет сферу, центр которой находится в точке С(а,в,с) и радиуса r.
Простейшим видом поверхности является плоскость.
Теорема. В декартовых координатах каждая плоскость определяется
уравнением первой степени Ах+Ву+Сz+D=0.
Такое уравнение называется общим уравнением плоскости.
Определение 2.18. Каждый вектор (не равный нулю), перпендикулярный к некоторой плоскости, называется нормальным к ней вектором.
Определение 2.19. Уравнение
А(х-х9)+В(у-у9)+С(z-z0)=0
называется уравнением плоскости, проходящей через точку М0(х0,у0, z0) и
имеющей нормальный вектор n =(А, В, С)
2.4.2. Неполные уравнения плоскости
Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения первой степени, когда
какие-либо коэффициенты А, В, С, D обращаются в нуль:
1) при D=0 уравнение имеет вид Ах+Ву+Сz=0 и определяет плоскость,
проходящую через начало координат;
2) при С=0 уравнение имеет вид Ах+Ву+D=0 и определяет плоскость,
параллельную оси Оz (или проходящую через эту ось);
3) при В=0 и С=0 уравнение имеет вид Ах+D=0 и определяет плоскость,
параллельную координатной плоскости Оуz (или совпадающую с ней);
4) при В=0 уравнение имеет вид Ах+Сz+D=0 и определяет плоскость
параллельную оси Оy (или проходящую через нее);
5) при А=0 уравнение имеет вид Ву+Сz+D=0 и определяет плоскость,
параллельную оси Ох (или проходящую через нее);
6) при А=0 и С=0 уравнение имеет вид Ву+D=0 и определяет плоскость,
параллельную координатной плоскости Охz (или совпадающую с ней);
7) при А=0 и В=0 уравнение имеет вид Сz+D=0 и определяет плоскость,
параллельную координатной плоскости Оxу (или совпадающую с ней).
2.4.2. Уравнение прямой
В пространстве R3 прямая линия задается как пересечение двух плоскостей и соответственно задается в виде двух уравнений первой степени (в декартовых координатах)
 А1х  В1 у  С1z  D1  0

 А2 х  В2 у  С2 z  D2  0.
от общего вида прямой можно перейти к каноническому
х  х0 y  y0 z  z0



m
n ,
где (ℓ,m,n) – координаты направляющего вектора прямой, (х0,у0,z0) - координаты точки через которую проходит прямая.
9
Автор
ДонАгрА-З
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
844 Кб
Теги
лекция, прямая, пространство, линия, плоскости, порядке, второго
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа