close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оптимальное движение тела с подвижной внутренней массой в среде с сопротивлением

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Жучкова Ольга Сергеевна
ОПТИМАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА С
ПОДВИЖНОЙ ВНУТРЕННЕЙ МАССОЙ В СРЕДЕ
С СОПРОТИВЛЕНИЕМ
Специальность 01.02.05 —
«Механика жидкости, газа и плазмы»
Автореферат
диссертации на соискание учёной степени
кандидата физико-математических наук
Казань — 2018
Работа выполнена на кафедре аэрогидромеханики института математики и
механики им. Н.И. Лобачевского ФГАОУ ВО «Казанский (Приволжский)
федеральный университет»
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
старший научный сотрудник
Егоров Андрей Геннадьевич
Официальные оппоненты:
Баландин Дмитрий Владимирович,
доктор физико-математических наук,
профессор,
ФГАОУ ВО «Национальный исследователь­
ский Нижегородский государственный уни­
верситет им. Н.И. Лобачевского»,
профессор кафедры дифференциальных урав­
нений, математического и численного анализа
Поташев Андрей Валерьевич,
доктор физико-математических наук,
профессор,
Казанский кооперативный институт (филиал)
автономной некоммерческой образовательной
организации высшего образования Центросо­
юза Российской Федерации «Российский уни­
верситет кооперации»,
профессор кафедры «Естественные дисципли­
ны, сервис и туризм»
Ведущая организация:
ФГБУН Институт проблем механики имени
А.Ю. Ишлинского РАН, г. Москва
Защита состоится 29 марта 2018 г. в 14 часов 30 минут на заседании дис­
сертационного совета Д 212.081.11 при Казанском (Приволжском) феде­
ральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 35,
ауд. 610.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского (Приволж­
ского) федерального университета. Электронный вариант диссертации и
автореферата размещен на сайте http://www.kpfu.ru.
Автореферат разослан
Ученый секретарь
диссертационного совета
Д 212.081.11,
канд. физ.-мат. наук, доцент
2018 года.
А.А. Саченков
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность. История исследования механики осцилляционного
движения насчитывает многие десятилетия. В настоящее время она име­
ет несколько основных векторов развития, один из которых направлен на
разработку эффективных вибрационных движителей для перемещения мо­
бильных микророботов в вязкой жидкости. Ожидается, что развитие мик­
роробототехники в ближайшем будущем произведет революцию во многих
прикладных областях.
В настоящее время существуют несколько популярных концепций по
реализации вибрационных движителей для микроустройств. В данной ра­
боте рассматривается одна из них, связанная с передвижением микроробо­
та в сопротивляющейся среде за счет использования подвижной внутрен­
ней массы. Микроробот в этом случае представляет собой многомассовую
систему, состоящую из помещенного в сопротивляющуюся среду герметич­
ного корпуса и подвижных внутренних частей, обладающих значительной
массой. Приводясь в движение специальным источником энергии, внут­
ренние массы взаимодействуют с корпусом, инициируя его движение во
внешней среде и возникновение реакции со стороны среды на корпус. Ес­
ли такое сопротивление оказывается различным при движении корпуса в
прямом и обратном направлении, то возникает ненулевая средняя сила,
способствующая перемещению всей системы в сторону меньшего сопротив­
ления. Задавая специальные периодические законы движения внутренних
масс, можно регулировать возникающие силы реакции среды, обеспечивая
движение в выбранном направлении.
Изучением вибрационных мобильных устройств (вибророботов) в на­
стоящее время занимаются многочисленные отечественные и зарубежные
ученые: Ф.Л. Черноусько, Н.Н. Болотник, Т.Ю. Фигурина, Д.В. Балан­
дин, И.М. Зейдис, С.Ф. Яцун, K. Zimmermann, Е. Papadopoulos, A. Fidlin,
K. Furuta, H. Li, J.J. Thomsen и другие. Технически такие механизмы ре­
ализуются в России (Институт проблем механики РАН, Курский государ­
ственный технический университет), Германии (Технический университет
г. Ильменау), Японии и других странах.
Можно выделить три основных направления проводимых исследова­
ний. Первое связано с вопросами оптимизации движения вибророботов по
основным характеристикам, таким как средние скорость и перемещение
за один период в заданном направлении, отклонение от заданной траекто­
рии движения. Второе направление освещает вопросы проектирования и
реализации таких устройств. Основное число проведенных исследований
в данных направлениях касается вибророботов, перемещающихся по твер­
дой поверхности, и лишь малая часть затрагивает вопросы реализации
роботов, плавающих по поверхности вязкой жидкости. Последняя область
исследований влючает в себя работы по прямому численному моделиро­
3
ванию движения вибророботов в вязкой жидкости, в которых не затраги­
вается проблема оптимизации движения. Тем не менее для практической
реализации движения в вязкой жидкости важен вопрос выбора оптималь­
ных законов движения.
Целью работы является исследование процесса взаимодействия
двухмассового вибрационного робота с окружающей вязкой средой и во­
просов оптимизации его движения в жидкости.
Достижение поставленной цели предполагает решение следующих за­
дач:
1. Построение аналитической модели движения виброробота в среде
с нелинейным относительно скорости законом сопротивления, выбор кри­
терия оптимизации, постановка и решение задачи оптимизации движения
виброробота.
2. Оптимизация движения сферического виброробота в вязкой жид­
кости в рамках аналитических моделей гидродинамических сил сопротив­
ления.
3. Проведение численного эксперимента по движению сферического
виброробота в вязкой жидкости. Анализ гидродинамических сил, действу­
ющих на корпус. Оценка применимости аналитических моделей и получен­
ных на их основе результатов.
Методы исследования. Для решения поставленных задач исполь­
зуются методы оптимизации и вариационного исчисления, итерационные
алгоритмы численного решения нелинейных систем алгебраических и ин­
тегральных уравнений, методы вычислительной гидродинамики.
Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:
1. Для постановки задачи оптимизации движения виброробота впер­
вые предложен критерий минимизации энергетических потерь, позволя­
ющий находить энергетически эффективные законы движения корпуса в
сопротивляющейся среде. Найдено множество энергетически оптимальных
законов движения корпуса для анизотропного степенного закона сопротив­
ления. Подробно исследовано простейшее оптимальное движение, при ко­
тором период разбивается на два участка — с постоянными положительной
и отрицательной скоростями движения корпуса. Показано, что среди всех
оптимальных движений оно характеризуется максимальным размахом ко­
лебаний внутренней массы относительно корпуса.
2. Впервые задача оптимизации решалась для случая движения сфе­
рического виброробота в вязкой жидкости. В рамках квазистационарной
модели сил сопротивления получены энергетически оптимальные законы
движения сферического робота в вязкой жидкости для различных значе­
ний средней скорости движения. Впервые был сделан переход от условий
квазистационарности к учету предыстории движения. В данном случае
силы сопротивления включают в себя не только квазистационарное сопро­
тивление, но и нелокальные по времени силы Бассе. Исследовано влияние
4
наследственных сил на эффективность движения.
3. В области невысоких чисел Рейнольдса (Re < 1300) проведено
двухмерное и трехмерное прямое численное моделирование движения сфе­
рического виброробота по двухфазным законам, оптимальным с точки зре­
ния теоретических оценок, полученных по квазистационарной модели со­
противления. Анализ гидродинамических сил позволил выделить различ­
ные составляющие силы и изучить механизм влияния квазистационарных,
наследственных и инерциальных сил на движение робота и показатель эф­
фективности. Исследована зависимость эффективности движения от пара­
метров движения робота (периода и средней скорости движения, соотноше­
ния длительности фаз прямого и обратного движения), его конструкцион­
ных характеристик (соотношения массы внутреннего движителя и корпу­
са, массы робота и массы вытесненной жидкости) и свойств окружающей
жидкости.
Научная и практическая значимость. Работа носит, в основном,
теоретический характер. Вместе с тем полученные результаты могут ис­
пользоваться как научный задел для реального проектирования устройств,
способных перемещаться в низкорейнольдсовых диапазонах.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Постановка и решение задачи оптимизации движения виброробота
для степенных анизотропных законов сопротивления.
2. Постановка и решение задачи оптимизации движения сферическо­
го виброробота в вязкой жидкости в условиях квазистационарности и с
учетом сил Бассе.
3. Результаты прямого численного моделирования двухфазного дви­
жения сферического виброробота в вязкой жидкости. Структура гидроди­
намических сил, рассматриваемых как сумма квазистационарных, наслед­
ственных сил и сил присоединенных масс. Исследование влияния данных
составляющих на эффективность движения.
Достоверность полученных результатов обеспечивается корректно­
стью постановок задач и математических моделей, использованием апро­
бированных методов численного моделирования и проведением их внут­
ренних проверок для конкретной задачи (проверка сеточной сходимости),
апробацией на тестовых задачах и согласованием полученных результатов
с известными экспериментальными и численными данными.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 27 работ, в том
числе 5 в журналах из списка ВАК. В международных системах цитиро­
вания проиндексировано 6 статей.
Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссерта­
ционной работе, докладывались и обсуждались на 22 конференциях, семи­
нарах и конкурсах. Основные из них:
1. VIII, X, XI молодежные школы-конференции «Лобачевские чте­
ния», Казанский государственный университет, г. Казань, 2009, 2011, 2012.
5
2. Всероссийский конкурс научно-исследовательских работ студен­
тов и аспирантов в области математических наук, Ульяновский государ­
ственный университет, г. Ульяновск, 2012. (1 место)
3. IX, X Всероссийские научные конференции имени Ю.И. Неймарка,
Нижегородский государственный университет, г. Нижний Новгород, 2012,
2016.
4. Конкурс РАН на соискание медалей с премией для молодых уче­
ных за лучшую научную работу среди студентов вузов и молодых ученых,
2012. (Победитель в области проблем машиностроения, механики и процес­
сов управления)
5. Конференции «Обратные краевые задачи и их приложения», Ка­
занский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 2014.
6. 9th OpenFOAM Workshop, г. Загреб, Хорватия, 2014.
7. III Международный научный семинар «Динамическое деформиро­
вание и контактное взаимодействие тонкостенных конструкций при воздей­
ствии полей различной физической природы», МАИ, г. Москва, 2015.
8. XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теорети­
ческой и прикладной механики, Казань, 2015.
9. Научный семинар по теории управления и динамике систем под
руководством академика Ф.Л. Черноусько, Институт проблем механики
им. А.Ю. Ишлинского РАН, г. Москва, 2016.
10. Научный семинар «Прикладная механика сплошных сред» под
руководством д.ф.-м.н. А.Н. Рожкова, Институт проблем механики им.
А.Ю. Ишлинского РАН, г. Москва, 2016.
11. XI Международная конференция по неравновесным процессам в
соплах и струях (NPNJ’2016), г. Алушта, 2016.
12. VII European Congress on Computational Methods in Applied
Sciences and Engineering (ECCOMAS Congress 2016), о. Крит, Греция, 2016.
13. 11th International Conference on Mesh Methods for Boundary-Value
Problems and Applications, Казанский федеральный университет, г. Казань,
2016.
14. XVI Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачев­
ские чтения - 2017», Казанский федеральный университет, г. Казань, 2017.
Личный вклад автора заключается в совместной с научным руково­
дителем постановке задач, обсуждении и интерпретации результатов. По­
становка и реализация численных экспериментов, анализ результатов пря­
мого численного моделирования принадлежат автору.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 14–01–31230
мол_а и 16–31–00462 мол_а).
Объем и структура работы. Полный текст диссертации с 33 ри­
сунками и 11 таблицами изложен на 107 страницax, и состоит из введения,
трех глав, заключения и списка литературы. В конце каждой главы сфор­
мулированы выводы. Список литературы содержит 92 наименования.
6
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, при­
водится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулиру­
ются цель и задачи работы, отмечается научная новизна и практическая
значимость полученных результатов, перечисляются основные положения,
выносимые на защиту.
В первой главе диссертации с использованием методов вариаци­
онного исчисления решается задача об оптимальном движении двухмассо­
вого виброробота при наличии нелинейной реакции со стороны внешней
среды.
В параграфе 1.1 строится модель движения двухмассового виброробо­
та в сопротивляющейся среде, приводится постановка задачи оптимизации
его движения и вводится понятие коэффициента эффективности движе­
ния. Основное уравнение, описывающее движение системы, состоящей из
корпуса массы  и внутреннего движителя (внутренней массы) массы 
в неподвижной системе координат имеет вид
( +  ) ˙ + () = −¨
,
(1)
где  – скорость корпуса, а  – перемещение внутренней массы относи­
тельно корпуса,  – сила сопротивления среды движению тела. Данное
уравнение описывает скорость движения () корпуса при заданном законе
() движения внутренней массы. Для любого заданного периодического
с периодом  закона () уравнение (1) однозначно определяет периодиче­
скую с тем же периодом функцию (), а () играет роль кинематического
управления.
Задача оптимизации движения внутренней массы ставится следую­
щим образом: определить периодический закон () колебаний внутрен­
ней массы, который при фиксированном периоде  колебаний и заданной
средней скорости ⟨⟩ =  движения корпуса минимизировал бы мощность
внутреннего движителя  () = ⟨ · ()⟩.
Здесь угловыми скобками обозначается среднее по периоду. Удобство
приведенной постановки состоит в том, что исходная задача расщепляется
на две последовательно решаемые задачи. Первая состоит в нахождении
периодической с периодом  функции (), доставляющей минимум функ­
ционалу  () с учетом ограничений ⟨⟩ =  , ⟨⟩ = 0. Вторая позволяет
из уравнения (1) простым интегрированием восстановить закон движения
внутренней массы.
Для описания энергетических затрат на движение тела с помощью
внутреннего движителя (подвижной внутренней массы), вводится энерге­
тический коэффициент
 =  ( ) / (),
7
0≤≤1
(2)
как отношение мощности  ( ) =  ( ), необходимой для движения тела
с постоянной скоростью  , к реально затрачиваемой при периодическом
движении с той же средней скоростью мощности  ().
В параграфе 1.2 для степенного по скорости закона сопротивления
{︂
+  > 0

() = () || , () =
−  < 0
с коэффициентом (), задающим анизотропную реакцию со стороны сре­
ды, описывается ход решения задачи. В рассматриваемом случае, как и
для любых квазистационарных законов сопротивления, задача нахожде­
ния оптимального движения корпуса оказывается алгебраической.
Показано, что движение тела с максимальным энергетическим ко­
эффициентом реализуется в том случае, когда скорость тела принимает
два значения: +  и −−  . Чередование промежутков поступательного
и возвратного движения при этом может быть любым, но суммарное вре­
мя каждого из видов движения на интервале периодичности должно быть
равно  и (1 − ) соответственно. Безразмерные постоянные + , − , 
полностью определяются параметрами  и  = − /+ закона сопротивле­
ния. Каждому из бесконечного множества оптимальных законов движения
тела соответствует единственный периодический с периодом  закон ()
движения внутренней массы.
Основные харак­
η
теристики оптимально­
го движения тела для
0,8
предельных значений
0,6
параметров  и  при­
ведены в таблице 1. За­
0,4
висимость максималь­
ного
энергетического
0,2
κ
коэффициента  от по­
казателя степени  при
0 −2
−1
0
1
α
10
10
10
10
разных значениях па­
Рис. 1 — Зависимость коэффициента  от  при раметра анизотропии 
 = [10−4 ; 10−2 ; 0.2; 1; 2.5; 5; 10; 30; 102 ; 105 ]. Cтрелка представлена на рис. 1.
указывает направление роста 
Из множества оп­
тимальных законов выделяется простейший («базовый») закон, при кото­
ром поступательное и возвратное движения тела осуществляются на про­
межутках (0, ) и (, ). Для него восстанавливается закон движения
внутренней массы, даются оценки для максимальной скорости и разма­
ха колебаний внутренней массы. Показано, что базовое решение, помимо
того что является простейшим из оптимальных решений, обладает заме­
чательным экстремальным свойством: при заданном периоде колебаний
амплитуда колебаний внутренней массы не превосходит ту, что определя­
8
ется базовым решением, а при заданной длине тела период колебаний не
может быть меньше базового.
Таблица 1 — Характеристики оптимального движения тела




−
+
∞
1
1
0
1
∞
0.5
1
1
1
0
1
/(1 + )
0
(1 + )/
1
√
2
(√  −
√1) /
/(√  + 1)
1/(
√ √ − 1)
/(  − 1)
1
0.079
0.965
6.743
1.287
2
10
0.306
0.933
1.386
1.169
100
0.587
0.945
0.450
1.084
Во второй главе диссертации рассмотрены аналитические подхо­
ды к исследованию энергетически оптимального движения сферического
виброробота в вязкой жидкости. В параграфе 2.1 задача, сформулирован­
ная в главе 1, решается применительно к практически важному случаю
движения сферы в вязкой жидкости с существенно немонотонным законом
сопротивления. Эксперименты по стационарному обтеканию сферы вязкой
жидкостью показывают, что на графике зависимости силы сопротивления
 от безразмерной скорости  при  ≈ 3 · 105 наблюдается провал («кри­
зис сопротивления»). Кризис сопротивления приводит к немонотонности
функции Φ() =  · () энергетических потерь. Решение задачи миними­
зации мощности ⟨Φ()⟩ при ограничениях
⟨⟩ = 
(3)
⟨()⟩ = 0
(4)
в этом случае требует новых подходов. Они развиваются в данном разделе
и требуют, в первую очередь, более общего определения энергетического
коэффициента:
 = min ⟨Φ()⟩ / min ⟨Φ()⟩,
∈(3)
∈(3),(4)
0 ≤  ≤ 1.
(5)
Числитель здесь представляет минимальные энергетические затраты при
произвольном движении корпуса со средней скоростью  , а знаменатель
– те же затраты при движении за счет колебаний внутренней массы. Под­
черкнем, что для немонотонных законов сопротивления числитель не обя­
зан совпадать с Φ( ). В этом случае при его нахождении используется
операция овыпукления – построения максимальной выпуклой миноранты
функции Φ. Нахождение знаменателя в (5) проводится стандартными ме­
тодами вариационного исчисления с введением множителя Лагранжа для
ограничения (4).
9
Основным результа­
том
вычислений
является
10
0.24
представленная на рис. 2
0.22
зависимость
энергетиче­
Cx
0.2
ского
коэффициента
от
1
2 5
x10
средней скорости движе­
ния тела. Там же изоб­
ражен использованный в
расчетах график коэф­
−1
фициента сопротивления
10
η
0.079
x ( ) =  −2 ( ) сферы.
При стремлении чис­
2
3
4
U1 U2,3 U4 106
U
10
10
10
ла Рейнольдса  к нулю
энергетический коэффици­
Рис. 2 — Зависимости коэффициента сопротив­
ент стремится к нулю. Это
ления x и энергетического коэффициента  от
связано с тем, что на ма­
средней скорости  движения сферы
лых скоростях  закон со­
противления линеен, а при линейных законах, как известно, поступатель­
ное движение виброробота невозможно. С ростом  в докризисном диа­
пазоне зависимость x ( ) выполаживается, а коэффициент  приближа­
ется к значению 0.079, найденному в главе 1 для квадратичного закона
сопротивления. Движение тела при этом имеет двухфазный характер с
продолжительной поступательной и короткой высокоскоростной возврат­
ной фазами. При приближении  к 1 скорость возвратного движения
приближается к кризисным значениям. Однако энергетически невыгодно,
чтобы возвратное движение осуществлялось при низких сопротивлениях.
Вследствие этого на интервале (1 ,2 ) реализуется трехфазное движение,
при котором возвратное движение проводится с докризисной скоростью,
а фаза медленного поступательного движения с ростом  замещается фа­
зой быстрого поступательного движения со скоростью, отвечающей кризи­
су сопротивления. Далее в узком диапазоне (2 ,3 ) скоростей реализует­
ся наиболее энергетически выгодная ситуация с двумя фазами движения:
докризисной возвратной и кризисной поступательной. Именно здесь энер­
гетический коэффициент достигает максимального значения. При этом,
в отличие от базового режима, скорость поступательного движения пре­
восходит скорость возвратного. Обратная инверсия скоростей происходит
в интервале (3 ,4 ) посредством трехфазного движения с одной поступа­
тельной и двумя возвратными фазами. Начиная с  = 4 реализуется
двухфазный режим, отвечающий в пределе  → ∞ квадратичному закону
сопротивления.
Квазистационарное приближение в задаче оптимального управления
движением виброробота в вязкой жидкости ограничено случаем низких ча­
стот колебаний внутренней массы. В общем случае силы гидродинамиче­
Cx , η
0
0.26
10
ского сопротивления определяются теми течениями, которые были сфор­
мированы роботом в жидкости за все время движения. Поэтому они не
могут быть описаны исключительно в терминах мгновенной скорости, но
должны определяться всей предысторией движения.
В параграфе 2.2 учет предыстории осуществляется посредством нело­
кальной по времени силы сопротивления Бассе. Используемое в данной
части работы выражение для сил сопротивления имеет вид
=
1
x 2 ||  + 62 H [] ,
2
(6)
где  – радиус сферы,  и  – кинематическая вязкость и плотность жид­
кости, а оператор Бассе  определяется как
∫︁ 
(
˙ )
√︀
H [()] =
.
( −  )
−∞
Как видно, отличие (6) от квазистационарного приближения состоит лишь
в дополнительном учете сил Бассе.
В данном подразделе работы рассматривается простейший частный
случай x = const квадратичного сопротивления, отвечающий умеренным
числам Рейнольдса Re = 2/ из диапазона 800 < Re < 3 · 105 . Нормируя
скорость  на  , время  на период  , запишем задачу об оптимальном
управлении движением корпуса в виде
min = min (V [] + H [])
(7)
⟨⟩ = 1
(8)
⟨ ||⟩ = 0
⟨
⟩
3
V = || , H = ⟨H ⟩ .
(9)
При записи (9) дополнительно учтено, что ⟨H ⟩ = 0 для любой пери­
одической функции . Минимизация в (7) проводится на множестве пери­
одических с периодом единица функций, удовлетворяющих ограничениям
(8), (9). Единственный безразмерный параметр задачи (7)
√︂

12
=
(10)
x  
задает степень нестационарности движения тела, характеризуя отношение
сил Бассе к вязким силам. При  = 0 задача (7)–(9) оптимального управ­
ления движением корпуса сводится к алгебраической, решение которой
получено в главе 1.
11
η
u
0.08
0
−2
0.06
−4
s→∞
s=3
s=1
s = 0.1
s→0
−6
−8
−10 −3
10
−2
10
−1
10
Рис. 3 — Закон движения (; ) на
полупериоде для различных 
0.04
0.02
t
0
0.01
0.1
1
10
s
Рис. 4 — Зависимость эффективности 
от параметра 
Математически учет сил Бассе приводит к необходимости решения не
алгебраического (как в квазистационарном приближении), но интегрально­
го уравнения:
∫︁ ∞
sign( −  )
3 ||  + 
(
˙ ) √︀
 +  || −  = 0.
(11)
| −  |
−∞
Множители Лагранжа  и  отвечают ограничеиям (9), (8) соответственно.
В силу инвариантности (11) относительно сдвига и обращения времени
можно рассматривать задачу (8), (9), (11) на полупериоде 0 <  < 1/2,
задав на его концах условия симметрии
(0)
˙
= (1/2)
˙
= 0.
(12)
Задача (11)–(12) при фиксированных значениях  и  решалась численно
методом Ньютона на равномерной сетке.
Результаты расчетов представлены на рис. 3, 4, здесь для нагляд­
ности по оси абсцисс используется логарифмический масштаб. На рис. 3
на половине (0,1/2) периода изображены оптимальные зависимости ()
при различных значениях параметра . Как видно, с ростом  характер
квазистационарного оптимального закона движения корпуса сохраняется,
но скачок скоростей при  = ∆ постепенно сглаживается. Наиболее суще­
ственное изменение оптимального закона движения (; ) происходит в
диапазоне  от 0.1 до 3. При меньших чем 0.1 значениях  закон движения
близок к квазистационарному 0 (), полученному в пренебрежении силами
Бассе. При больших, чем 3, значениях , наоборот, можно пренебречь сила­
ми вязкого трения. Здесь (; ) практически совпадает с ∞ () = (; ∞).
На рис. 4 сплошной линией показана зависимость основной инте­
гральной характеристики – энергетического коэффициента  = 1/min –
от параметра . Штриховые линии на этом рисунке отвечают значению
0 = 0.079 и асимптотике () = ∞ −1 ( → ∞). Величина ∞ = 0.056
12
подсчитывается по мощности сил Бассе для ∞ () согласно формуле ∞ =
−1
(H [∞ ]) . Как и следовало ожидать, энергетический коэффициент моно­
тонно уменьшается с ростом параметра , что соответствует дополнитель­
ным потерям мощности движителя на преодоление сил Бассе.
В третьей главе диссертации на базе пакета OpenFOAM (Open
Field Operation and Manipulation) проводится прямое численное моделиро­
вание движения сферического виброробота в вязкой жидкости и анализ
гидродинамических сил, действующих на корпус.
Для изучения структуры сил сопротивления  и исследования меха­
низмов их воздействия на движущийся робот предлагается разложить их
на квазистационарную st , наследственную h силы и силу присоединен­
ных масс a . Квазистационарное сопротивление st – это сила, действую­
щая на сферу при установившемся стационарном движении и вычисляемая
по мгновенной скорости движения. Наследственное сопротивление h для
конечных чисел Рейнольдса определяется нелинейным нелокальным опе­
ратором. Сила присоединенных масс a является откликом на ускорение
сферы в жидкости.
Параграф 3.1 содержит математическую модель движения сфериче­
ского виброробота радиуса  в вязкой несжимаемой жидкости. Взаимодей­
ствие корпуса с вязкой жидкостью описывается системой уравнений Навье­
Стокса, содержащей первый безразмерный параметр задачи – число Рей­
нольдса Reav = 2av / , построенное по средней скорости  движения
корпуса. Как показано в главе 2, при невысоких значениях Reav для сфе­
рического робота наиболее эффективны двухфазные режимы движения.
Поэтому здесь рассматривается двухфазное движение виброробота в диа­
пазоне относительно небольших значений числа Рейнольдса Reav ≤ 102.
Такие законы задают периодическое переключение между двумя фазами,
во время которых корпус движется с постоянными скоростями + и − (см.
рис. 5). В соответствии с используемыми безразмерными переменными пол­
ный период такого движения определяется как 2, где безразмерный пара­
метр  с одной стороны равен половине безразмерного периода движения, с
другой стороны определяет отношение расстояния, пройденного за полный
uM
0
−10
−20
0.46
0.48
0.5
0.52
0.54
τ
Рис. 5 — Фрагмент закона движения корпуса M ( ) в области смены фаз движе­
ния. (Для представленного случая  = 0.01)
13
период, к диаметру сферы. Продолжительность возвратной фазы, во время
которой движение происходит со скоростью − , определяется как 2. Пе­
реключение между прямой и возвратной фазами происходит на коротких
временных интервалах суммарной длинной 4, ускорение здесь имеет вид
кусочно-линейной симметричной функции. Независимыми безразмерными
параметрами закона движения являются , , . Чтобы минимизировать
влияние сопротивления на интервалах ускорения, используется фиксиро­
ванное малое значение  = 0.001. Разность скоростей  = + − − опре­
деляется в ходе решения задачи из условия установившегося движения
виброробота с фиксированной средней скоростью  :
⟨ (M )⟩ = 0, ⟨M ⟩ = 1.
(13)
Здесь треугольными скобками обозначено осреднение по периоду. Равен­
ство нулю осредненных по периоду сил сопротивления обеспечивает воз­
можность восстановления периодического закона движения внутренней
массы из уравнения движения двухмассовой системы (1).
В параграфе 3.2 описывается способ построения численной модели
в пакете OpenFOAM. Задача решается как в двухмерной, так и в трех­
мерной постановке. Двухмерное моделирование базируется на свойствах
осевой симметрии геометрии корпуса и формирующихся течений при дви­
жении в жидкости на невысоких средних скоростях. Трехмерное модели­
рование, являющееся ресурсоемкой проблемой, необходимо, поскольку оно
позволяет подтвердить наличие осевой симметрии течений в исследуемом
диапазоне параметров. Верификация численной модели проводится в па­
раграфе 3.3.
В параграфе 3.4 представлены основные результаты численного мо­
делирования. При условии  ≪ 1 устойчивость осесимметричных режи­
мов определяется ключевым образом числом Рейнольдса, вычисленным
по мгновенной скорости течения на прямой фазе. Проведенные расчеты
охватывают следующую область параметров задачи 20 < Reav ≤ 102,
0.2 <  ≤ 6, 0.04 <  ≤ 0.2, в которой течение осесимметрично.
На рис. 6 изображена характерная динамика течения за один период
движения сферы. Время жизни вихревых колец определяется параметра­
ми рассматриваемого процесса. При параметрах, обозначенных на рис. 6,
кольца быстро диссипируют, в то же время при другой комбинации пара­
метров, изображенной на рис. 7, хорошо видны 4 вихревых кольца в следе
за телом.
Анализ гидродинамических сил показывает, что сила a , являющая­
ся линейной функцией ускорения, не может использоваться для направлен­
ного движения робота. Соответственно, движение обеспечивается действи­
ем квазистационарных и наследственных сил на прямой и возвратной фа­
зах. Тривиальное разделение этих компонент оказывается возможным для
фазы поступательного движения. В конце длинной фазы поступательного
14
(a)
(d)
(b)
(e)
(c)
(f)
Рис. 6 — Мгновенная структура течения для  = 2.19, Reav = 47,  = 0.08.
Завихренность (красным – положительная, синим – отрицательная). Картины
(a)-(f) соответствуют моментам времени  = [1/6; 2/6; 3/6; 4/6; 5/6; 1]
движения сила, действующая на сферу, принимает близкое к стационар­
ному значение. Таким образом, все, за вычетом стационарного сопротивле­
ния, можно отнести к наследственной составляющей. На быстрой фазе дви­
жения оценку квазистационарной составляющей по решению стационарной
задачи можно проводить только условно. На возвратной фазе мгновенное
число Рейнольдса Re− достаточно велико, в случае обтекания сферы пото­
ком с постоянной скоростью ему соответствуют трехмерные нестационар­
ные режимы обтекания. В то же время, согласно полученным результатам,
на короткой возвратной фазе наблюдаются устойчивые осесимметричные
течения около сферы. Причиной этому служит малая продолжительность
возвратной фазы, за время которой трехмерная неустойчивость не успева­
ет развиться.
Для вычисления коэффициентов сопротивления при прямом и обрат­
ном движении применяются формулы:
+
−
x+ = h+ + st
= ⟨⟩+ /2+ , x− = h− + st
= ⟨⟩− /2− .
Здесь треугольными скобками с индексом «+» или «–» обозначено осред­
нение сил по соответствующей фазе.
Рис. 7 — Трехмерная картина течения при  = 1.26, Reav = 60,  = 0.08. Модуль
завихренности (красным – максимальное значение, синим – минимальное)
15
На рис. 8 представлены
графики зависимости коэффи­
2
циентов сопротивления x+ , x−
C−x , b = 0.16
1.8
на фазах от их продолжитель­
Cst
1.6
ности при фиксированной сред­
+
Cx , b = 0.08
1.4
ней скорости движения. Про­
C−x , b = 0.08
1.2
должительность регулируется
1
за счет двух параметров: без­
0.8
размерного периода движения
0.6
2 и относительной продол­
Reav жительности возвратной фазы
100
200
300
400
500
. Как видно, на поступатель­
Рис.
8
—
Результат
разложения ной фазе средняя сила убы­
для Reav
=
47 при 
=
0.16,
вает с ростом продолжитель­
 = [0.7; 1.4; 2.1; 2.81; 4.38; 5.61] (◁ марке­
ры) и при  = 0.08,  = [1.09; 2.19; 4.38; 5.48] ности, стремясь к квазистаци­
(∘ маркеры). Стрелки указывают направле­ онарному значению. Суммар­
ный вклад h в полную силу на
ние роста 
фазе при этом уменьшается от
45% до 18%. Такое поведение сил связано в первую очередь с тем, что
увеличение  приводит к удлинению временного отрезка стационарного
обтекания на фазе (см. рис. 9).
На рис. 10 видно, что за­
кон
с
малой долей возвратной
2
R/u+
фазы ( = 0.08) обеспечива­
3.5
ет все более высокую эффек­
тивность движения при увели­
3
чении . Напротив, для зако­
2.5
на с долей возвратной фазы
2
 = 0.16 с ростом  прекраща­
ется монотонный рост эффек­
1.5
тивности и при  > 3 происхо­
1
дит ее снижение. Это объясня­
ется тем, что с ростом парамет­
tu
2
4
6
8
10
12
14
+
ра  оптимальным становится
Рис. 9 — Изменение сил на прямой фазе при закон с малой долей возврат­
Reav = 47 и  = 2.19,  = 0.04 (штриховая ной фазы. Пунктирной и штри­
линия),  = 2.19,  = 0.08(сплошная линия), ховой линиями отмечены значе­
 = 4.38,  = 0.08 (штрихпунктирная ли­ ния эффективности, прогнози­
ния). Серые линии – соответствующие зна­ руемые квазистационарной мо­
чения квазистационарных составляющих
делью для законов с той же до­
лей возвратной фазы и средней скоростью движения. С ростом  показа­
тель эффективности для  = 0.08 стремится к соответствующему значению
как к асимптоте на больших величинах  ≫ 6.
Cx
2.2
C+x , b = 0.16
16
Показано, что естествен­
ное ограничение на размах ко­
лебаний внутренней массы (он
не может превышать величину
диаметра корпуса) позволяет
моделировать движение сфери­
ческого виброробота малой эф­
фективности. В соответствую­
щем данному ограничению диа­
пазоне параметров не удается
достичь эффективности выше
1.1%. Для повышения эффек­
тивности, как показывают неко­
торые исследования, можно ис­
пользовать корпус иной фор­
мы, например, каплеобразной,
клиновидной и др.
η
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
1
2
3
4
5
κ
Рис. 10 — Зависимость эффективности  от
параметра  при Reav = 47 и  = 0.16 (I
маркеры),  = 0.08 (∙ маркеры); эффектив­
ность в рамках квазистационарной модели
при Reav = 47 и  = 0.16 (пунктирная чер­
ная),  = 0.08 (пунктирная серая).
В заключении приведены основные результаты работы:
1. Предложена постановка задачи оптимизации движения вибраци­
онных роботов в смысле минимизации энергетических затрат, которая об­
ладает рядом преимуществ перед традиционными постановками задач оп­
тимизации. Решена задача оптимизации движения виброробота для анизо­
тропных степенных законов сопротивления. Исследовано влияние парамет­
ров закона сопротивления на основные характеристики закона движения.
Получены оценки эффективности оптимальных законов для различных
свойств окружающей среды.
2. Предложены аналитические подходы к решению задачи оптимиза­
ции движения сферического виброробота в вязкой несжимаемой жидкости,
в которых сила сопротивления, действующая со стороны жидкости на кор­
пус робота, представляется в виде явной аналитической зависимости от
мгновенного числа Рейнольдса или дополняется силами Бассе для учета
предыстории движения. В рамках квазистационарной модели найдены оп­
тимальные законы движения сферического виброробота для движения с
различными средними скоростями, получена зависимость показателя эф­
фективности движения от средней скорости корпуса (числа Рейнольдса).
Показано, что полученные значения показателя эффективности являются
верхней оценкой для эффективности, высчитываемой при учете наслед­
ственных эффектов посредством сил Бассе.
3. С использованием пакета OpenFOAM проведено прямое численное
моделирование движения сферического виброробота по периодичным двух­
фазным законам в вязкой несжимаемой жидкости. Моделирование прово­
дилось в двухмерной осесимметричной и трехмерной постановках. Пока­
зано наличие осевой симметрии формирующихся течений в рассматрива­
17
емом диапазоне параметров. Проведен анализ структуры гидродинамиче­
ских сил и их влияния на эффективность движения. Показано, что ква­
зистационарная модель дает верхнюю оценку эффективности движения,
к которой можно приблизиться при неограниченном увеличении периода
колебаний. Рассмотрен вопрос реализуемости и эффективности изучаемых
законов движения тела за счет колебаний внутренней массы.
СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ АВТОРА
ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Работы,
опубликованные
в
журналах,
рекомендованных
ВАК и индексируемых в международных системах цитирования:
1. Егоров А. Г. Оптимальное по энергетическим затратам движение
виброробота в среде с сопротивлением /А. Г. Егоров, О. С. Захарова //
Прикладная математика и механика. — 2010. — Т. 74, № 4. — С. 620–632.
2. Егоров А. Г. Оптимальное квазистационарное движение виброро­
бота в вязкой жидкости /А. Г. Егоров, О. С. Захарова // Изв. Вузов. Ма­
тем. — 2012. — № 2. — С. 57–64.
3. Егоров А. Г. Об энергетически оптимальном движении виброро­
бота в сопротивляющейся среде /А. Г. Егоров, О. С. Захарова // Вестн.
ННГУ: Матем. Моделирование. Оптимальное управление.— 2013. — Т. 1,
№ 3. — С. 258–264.
4. Егоров А. Г. Энергетически оптимальное движение виброробота в
среде с наследственным законом сопротивления /А. Г. Егоров, О. С. Заха­
рова // Изв. РАН. ТиСУ. — 2015. — № 3. — С. 168–176.
5. Нуриев А. Н. Численное моделирование движения клиновидного
двухмассового виброробота в вязкой жидкости /А.Н. Нуриев, О.С. Захаро­
ва // Выч. Механика сплошных сред. — 2016. — Т. 9, № 1. — С. 5–15.
6. Nuriev A. The optimal control of a multi-mass vibration propulsion
system in a viscous incompressible fluid / A. Nuriev, O. Zakharova //
VII European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and
Engineering (ECCOMAS Congress 2016) Crete Island, Greece, 5–10 June 2016.
— 2016. — V. 4 — С. 7121–7129.
7. Nuriev A. N. The study of the wedge-shaped vibration-driven robot
motion in a viscous fluid forced by different oscillation laws of the internal
mass / A. N. Nuriev, O. S. Zakharova, O. N. Zaitseva, A. I. Yunusova // IOP
Conference Series: Materials Science and Engineering. — 2016. — V. 158,
№ 1. — С. 1–8.
Работы, опубликованные в других изданиях:
8. Захарова О. С. Оптимальное движение тела с подвижной внутрен­
ней массой в среде с сопротивлением / О. С. Захарова // Всероссийский
конкурс научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в обла­
сти математических наук: сборник работ победителей/ под общ. ред. А.С.
Андреева. — Ульяновск: УлГУ, 2012. — С. 106–109.
18
9. Егоров А. Г. Энергетически оптимальное движение виброробота в
вязкой жидкости [Электронный ресурс] / А. Г. Егоров, О. С. Захарова //
Труды IX Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания
механических систем» (Нижний Новгород, 24–29 сентября2012 г.) / Под
редакцией Д.В. Баландина, В.И. Ерофеева, И.С.Павлова. — Нижний Нов­
город: Издательский дом «Наш дом», 2012. — С. 358–367. — 1 электрон.
опт. диск (CD-ROM).
10. Захарова О. С. Оптимальное управление движением сферическо­
го виброробота в вязкой жидкости / О. С. Захарова // Международная
конференция «Восьмые Окуневские чтения». 25-28 июня 2013 г., Санкт­
Петербург: Материалы докладов/ Балт. гос. техн. ун-т. — СПб, 2013. —
С. 140–143.
11. Нуриев А. Н. Разработка численной модели движения виброхода в
вязкой жидкости [Электронный ресурс] /А. Н. Нуриев, О. С. Захарова //
Материалы конференции «Обратные краевые задачи и их приложения».—
Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2014. — 6 c. — 1 электрон. опт. диск (CD­
ROM).
12. Захарова О. С. Об оптимальном движении виброробота в среде
с сопротивлением [Электронный ресурс] / О. С. Захарова, А. Г. Егоров,
А. Н. Нуриев // ХI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам
теоретической и прикладной механики: сборник трудов (Казань, 20 – 24
августа 2015 г.). — Казань: Издательство Казанского (Приволжского) фе­
дерального университета, 2015. — С. 1458–1460. — 1 электрон. опт. диск
(CD-ROM).
13. Захарова О. С. Численное и аналитическое исследование оптималь­
ного движения системы с вибрационным движителем в вязкой жидкости
[Электронный ресурс] / О. С. Захарова, А. Н. Нуриев // Труды X Все­
российской научной конференции «Нелинейные колебания механических
систем» (Нижний Новгород, 26–29 сентября 2016 г.). — Нижний Новгород:
Издательский дом «Наш дом», 2016. — С. 370–379. — 1 электрон. опт. диск
(CD-ROM).
14. Захарова О. С. Решение задачи оптимизации движения двухмас­
сового виброробота в вязкой жидкости / О. С. Захарова, А. Н. Нуриев //
Материалы XI Международной конференции по неравновесным процессам
в соплах и струях. (NPNJ’2016) 25-31 мая 2016 г. Алушта. — М.: Изд-во
МАИ, 2016. — С. 337–338.
15. Жучкова О. С. О роли наследственной составляющей гидродина­
мической силы при движении сферического виброробота в вязкой жид­
кости / О. С. Жучкова // Труды математического центра им. Н.И. Ло­
бачевского. Т. 55. Лобачевские чтения – 2017: материалы Шестнадцатой
молодежной научной школы-конференции (Казань, 24-29 ноября 2017 г.) /
сост. А.А. Агафонов. — Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2017. — С. 49–52.
19
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
779 Кб
Теги
оптимальное, среды, сопротивления, массой, движение, внутренние, тела, подвижном
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа