Кватернионы в компьютерной графике

Математические основыкомпьютерной графики
В.В.Усов
1 Кватернионыв компьютерной графике
1.1 Определение кватерниона
Кватернионы были открыты Гамильтоном в XVIII веке.Кватернионы являются некоммутативным
расширением поля комплексных чисел,и поэтому часто называют гиперкомплексными числами.
Кватернион по аналогии с комплексными числами можно представить в виде q = w + xi +
yj + zk,где w,x,y,z- вещественные числа,а i,j,k -мнимые единицы.Сложение кватернионов
определяется аналогично сложению комплексных чисел,а умножение кватернионов определяется
правилами умножения мнимых единиц:
i
2
= j
2
= k
2
= −1,i ∙ j = k,j ∙ k = i,k ∙ i = j,j ∙ i = −k,k ∙ j = −i,i ∙ k = −j.
Легко проверяется,что операция умножения кватернионов ассоциативна
(q
1
∙ q
2
) ∙ q
3
= q
1
∙ (q
2
∙ q
3
).
1.2 Сопряжение,модуль и обратный кватернион
По аналогии с комплексными числами в пространстве кватернионов вводится операция сопряжения.
Если q = w +xi +yj +zk,то сопряженный с q кватернион
q определяется правилом
q = w −xi −yj −zk.
Отметим,что операция сопряжения обладает свойством:
q
1
∙ q
2
=
q
2
∙
q
1
.
Это следует из того,что данное соотношение справедливо на множестве
1,i,j,k
.Легко проверить,что
q ∙
q =
q ∙ q = w
2
+x
2
+y
2
+z
2
.
Модуль |q| кватерниона q определяется выражением
|q| =
q
q.
Несмотря на то,что в пространстве кватернионов отсутствует коммутативность операции умножения,
легко устанавливается,что
|q
1
∙ q
2
| = |q
2
∙ q
1
| = |q
1
| ∙ |q
2
|.
Из выражения
q ∙
q =
q ∙ q = |q|
2
получаем,что если положить
q
−1
=
q
|q|
2
,
то q
−1
∙ q = q ∙ q
−1
= 1.Поэтому кватернион
q
−1
=
q
|q|
2
,
называется обратным для кватерниона q и этим оправдано его обозначение.
1
1.3 Геометрия кватернионов
Рассмотрим четырехмерное евклидово пространствоE
4
с ортонормированным базисом
e
1
,e
2
,e
3
,e
4
.
Построим линейное отображение Θ множества кватернионов Q в E
4
определив его на множестве
единиц(линейном базисе кватернионов) следующим образом
Θ(1) = e
1
,Θ(i) = e
2
,Θ(j) = e
3
,Θ(k) = e
4
.
Пусть X ∈ E
4
q ∈ Q
X = x
1
e
1
+x
2
e
2
+x
3
e
3
+x
4
e
4
,q = w +xi +yj +zk,
Положим
[X] = (x
1
,x
2
,x
3
,x
4
),[q] = (w,x,y,z).
Тогда имеем [Q(q)] = [q].Отметим,что для любого q ∈ Qсправедливо равенство
|Θ(q)| = |q|
Отображение Θпозволяет перенести на линейное пространство кватернионов Qважнейшие понятия.
Расстояние между кватернионами
ρ(q
1
,q
2
) = |Θ(q
1
) −Θ(q
2
)| = |q
1
−q
2
|.
Скалярное произведение кватернионов
(q
1
,q
2
) = (Θ(q
1
),Θ(q
2
)) = Re(q
1
∙
q
2
),
где Re(q) действительная часть кватерниона,т.е.для
[q] = (w,x,y,z) [Re(q)] = (w,0,0,0).
Подпространства Re(Q)и Im(Q)
Для [q] = (w,x,y,z) положим [Im(q)] = (0,x,y,z).Тогда q = Re(q) +Im(q) и для любых a,b ∈ Q
имеем (Re(a),Im(b)) = 0.Обозначим Re(Q) = {q ∈ Q|Im(q) = 0} и Im(Q) = {q ∈ Q|Re(q) = 0}.Tогда
Q = Re(Q) ⊕Im(Q)
прямая сумма подпространств.
Угол между кватернионами
cos(
(q
1
,q
2
)) =
(q
1
,q
2
)
|q
1
||q
2
|
.
Cопоставим кватерниону q три линейных преобразования пространства Q
q
R
:Q →Q,
q
L
:Q →Q,
U(q):Q →Q
по правилам q
R
(a) = a∙ q,q
L
(a) = q ∙ a,и U(q)(a) = q ∙ a∙ q
−1
.Изучим действие этих преобразований.
Лемма 1
ρ(q
R
(q
1
),q
R
(q
2
)) = |q||q
1
−q
2
|,
ρ(q
L
(q
1
),q
L
(q
2
)) = |q||q
1
−q
2
|,
ρ(U(q)(q
1
),U(q)(q
2
)) = |q
1
−q
2
|,
Лемма 2 (Об инвариантных подпространствах)
Для произвольных a ∈ Q,|a| = 0 и q ∈ Qимеем
U(a)(Re(q)) ∈ Re(Q),
U(a)(Im(q)) ∈ Im(Q),
(a ∙ Re(q) ∙
a) ∈ Re(Q),
(a ∙ Im(q) ∙
a) ∈ Im(Q).
2
Доказательство.Первое утверждение очевидно.Второе можно доказать непосредственнымвычислением.
Но,как мы покажем,оно является прямым следствием первого.Действительно,из
|U(a)(q)| = |q|
вытекает,что (U(a) сохраняет скалярное произведение.Имеем
q ∈ Im(Q) ⇐⇒(1,q) = 0.
Поскольку
(U(a)(1),U(a)(q)) = (1,U(a)(q)) = (1,q),
то для q ∈ Im(Q) получаем(1,U(a)(q)) = 0.Поэтому из q ∈ Im(Q) следует,что U(a)(q) ∈ Im(Q).Третье
утверждение очевидно.Для доказательства последнего утверждения разделим произведение
(a ∙ Im(q) ∙
a)
на |a|
2
,и сведем таким образом к уже установленному второму утверждению.
Лемма 3
cos(
(q
R
(q
1
),q
R
(q
2
))) = cos(
(q
R
(q
1
),q
R
(q
2
))).
Для действия q
L
равенства аналогичны.
1.4 Правило умножения кватернионов
Непосредственным вычислением устанавливается
Лемма 4 Для q
1
,q
2
∈ Qимеем
Re(q
1
∙ q
2
) = Re(q
1
)Re(q
2
) −(Im(q
1
),Im(q
2
)),
Im(q
1
∙ q
2
) = Re(q
1
)Im(q
2
) +Re(q
2
)Im(q
1
) +Im(q
1
) ×Im(q
2
),
где
Im(q
1
) ×Im(q
2
) =
i j k
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
,
если
[q
1
] = (w
1
,x
1
,y
1
,z
1
),[q
2
] = (w
2
,x
2
,y
2
,z
2
).
Из леммы получаем правило умножения кватернионов.Пусть
[q
1
] = (w
1
,v
1
),[q
2
] = (w
2
,v
2
),w
1
,w
2
∈ R,v
1
,v
2
∈ R
3
Тогда
[q
1
∙ q
2
] = (w
1
w
2
−(v
1
,v
2
),w
1
v
2
+w
2
v
1
+v
1
×v
2
)
1.5 Сферические координатыкватерниона
Пусть q ∈ Q,[q] = (w,x,y,z).Сферические координаты кватерниона (ρ,φ,ψ,θ) связаны с его
декартовыми координатами (w,x,y,z) следующими соотношениями:
w = ρcos(φ),
x = ρsin(φ) cos(ψ),
y = ρsin(φ) sin(ψ) cos(θ),
z = ρsin(φ) sin(ψ) sin(θ),
где ρ ∈ (0,∞),φ ∈ (0,π),ψ ∈ (0,π),θ ∈ (0,2π).
Выражения сопоставляющие декартовым координатам сферические имеют вид:
ρ =
w
2
+x
2
+y
2
+z
2
,
φ = arccos(w/
w
2
+x
2
+y
2
+z
2
),
ψ = arccos(x/
x
2
+y
2
+z
2
),
угол θ определяется из равенств
cos(θ) = y/
y
2
+z
2
,
sin(θ) = z/
y
2
+z
2
.
3
1.6 Степень кватерниона.Формула Эйлера
Запишем кватернион q в виде
q = |q|(cos(φ) +sin(φ) ∙ I),
где I ∈ Im(Q),|I| = 1 Используя правило умножения кватернионов,получаем
q
2
= |q|(cos
2
(φ) −sin
2
(φ) +2 cos(φ) sin(φ) ∙ I)
или
q
2
= |q|
2
(cos(2φ) +sin(2φ) ∙ I)
По индукции получаем формулу Эйлера для степени кватерниона
q
n
= |q|
n
(cos(nφ) +sin(nφ) ∙ I),n = 1,2,3,...
1.7 Отображениe exp:Q →Q
Отображение
exp:Q →Q
для q ∈ Qопределяется формулой
exp(q) =
∞
n=0
q
n
n!
.
Этот ряд сходится для всех q ∈ Q.Представив кватернион q в виде
q = |q|(cos(φ) +sin(φ) ∙ I),
выразим exp(q) через элементарные функции.Используя формулу Эйлера легко получаем
exp(q) =
∞
n=0
|q|
n
(cos(nφ) +sin(nφ)I)
n!
или
exp(q) =
∞
n=0
|q|
n
cos(nφ)
n!
+I ∙
∞
n=0
|q|
n
sin(nφ)
n!
.
Для вычисления сумм
A =
∞
n=0
|q|
n
cos(nφ)
n!
,
B =
∞
n=0
|q|
n
sin(nφ)
n!
,
заметим,что
A+B ∙ i =
∞
n=0
(|q| exp(iφ))
n
n!
= exp(|q| exp(iφ)) = exp(|q|(cos(φ) +i sin(φ))).
Но
exp(|q|(cos(φ) +i sin(φ))) = exp(|q|(cos(φ))(cos(sin(φ)) +i sin(sin(φ))).
Следовательно
A = exp(|q|(cos(φ))) ∙ cos(sin(φ)),
B = exp(|q|(cos(φ))) ∙ sin(sin(φ)).
Итак,установлена
Лемма 5 Если
q = |q|(cos(φ) +sin(φ) ∙ I),
где I ∈ Im(Q),|I| = 1,то
exp(q) = exp(|q|(cos(φ))) ∙ cos(sin(φ)) +exp(|q|(cos(φ))) ∙ sin(sin(φ)) ∙ I.
4
1.8 Вращение пространства E
3
индуцированное кватернионом
Пусть q ∈ Q,|q| = 0 и U(q):Q →Qзадано соотношением
U(q)(s) = q ∙ s ∙ q
−1
.
Тогда имеем |U(q)(s)| = |s|,и из леммы об инвариантных подпространствах следует,что отображение
U(q):Im(Q) →Im(Q)
сохраняет длины векторов.Покажем,что отображение является вращением пространства Im(Q) ≈ E
3
.
Рассмотрим множество неподвижных точек I(q) отображения U(q)
I(q) = {s ∈ Im(Q)|U(q)(s) = s}.
Если s ∈ I(q),то q ∙ s = s ∙ q.
Пусть s ∈ Im(Q),q = w + v,w ∈ Re(Q),v ∈ Im(Q).Используя правило умножения кватернионов
получаем
sq = w ∙ s +s ∙ v = −(s,v) +w ∙ s +s ×v,
qs = w ∙ s +v ∙ s = −(s,v) +w ∙ s +v ×s.
Следовательно,если s ∈ I(q),то s×v = v×s.Из s×v = v×s получаем,что s = λv,где λ-действительное
число.Итак,установлена
Лемма 6 Пусть q ∈ Q,[q] = (w,v),v = (x,y,z).Tогда
(U(q)(s) = s) =⇒(s = λ(xi +yj +zk))
.
Для дальнейшего нам понадобится следующее.
Теорема 1 Пусть
ϕ:L →L
-линейное преобразование линейного пространства конечной размерности n,[ϕ]
E
E
-матрица ϕ
в базисе
E =< e
1
,e
2
,...,e
n
>
определенная равенством [ϕ(X)]
E
= [X]
E
[ϕ]
E
E
,где [X]
E
= (x
1
,x
2
,...,x
n
) -координаты вектора
X ∈ L в базисе E.
Тогда определитель
χ(ϕ,λ) = det([ϕ]
E
E
−λ ∙ I)
называемый характеристическим многочленом линейного преобразования ϕ зависит от
выбора базиса.
Из этой теоремы следует,что определитель det(ϕ) = det([ϕ]
E
E
) является инвариантом линейного
преобразования.
Легко устанавливается
Лемма 7 Пусть p,q ∈ Q.Тогда
1)Линейные преобразования
p
L
:Q →Q,q
R
:Q →Q,
перестановочны p
L
◦ q
R
= q
R
◦ p
L
.
2) U(p) = U(λ ∙ p) для любых p ∈ Q,|p| > 0,λ ∈ R,λ = 0.
3) Если |p| = 0,то U(p) =
1
|p|
2
(p
L
◦
p
R
)
Лемма 8 Пусть p ∈ Q.
Q = Re(Q) ⊕I(p) ⊕I(p)
⊥
- разложения пространства в прямуюсумму инвариантных относительно преобразования
U(p):Q →Q
подпространств.Toгда определители
det(U(p)
4
) = 1,det(U(p)
3
) = 1,det(U(p)
2
) = 1,
где U(p)
4
= U(p),U(p)
3
= U(p)|
Im(Q)
,U(p)
2
= U(p)|
I(p)
⊥
.
5
Доказательство.На каждом из инвариантных подпространств U(p) сохраняет расстояние.Поэтому
определители могут принимать лишь два значения +1,−1.Преобразование U(p) гомотопно
тождественному.Поскольку det(U(1)) = 1,то и det(U(p)
i
) = 1.
Лемму можно установить также вычислив предварительно матрицы [p
L
],[p
R
] и [U(p)] в естественном
базисе < 1,i,j,k >пространства Q.Приведем эти матрицы для [p] = (w,x,y,z),|p| = 1.
[
p
R
] =
w −x −y −z
x w z −y
y −z w x
z y −x w
[p
L
] =
w x y z
−x w z −y
−y −z w x
−z y −x w
[U(p)] =
w
2
+x
2
+y
2
+z
2
0 0 0
0 x
2
+w
2
−z
2
−y
2
2xy +2wz 2xz −2wy
0 2xy −2wz y
2
−z
2
+w
2
−x
2
2 y z +2wx
0 2xz +2wy 2y z −2wx z
2
−y
2
−x
2
+w
2
Матрица [U(p)
3
] получается из [U(p)
4
] вычеркиванием первого столбца и первой строки.
Лемма 9 Ортогональное преобразование двумерого пространства с определителем равным
единице является вращением.
Из установленных лемм вытекает
Теорема 2 Линейное преобразование
U(p):Im(Q) →Im(Q)
является вращением пространства Im(Q) вокруг вектора Im(p).
Если |p| = 1,то угол ϕ вращения определяется равенством
ϕ = 2 ∙ arccos(Re(p)).
Матрица движения 4 × 4 определяющее вращение пространства вокруг единичного вектора v =
(α,β,γ) на угол ϕ имеет вид:
[Rot(n,ϕ)]
L
=
1 −α
2
cos ϕ +α
2
(1 −cos ϕ)αβ +γ sinϕ (1 −cos ϕ)αγ −β sinϕ 0
(1 −cos ϕ)αβ +γ sinϕ
1 −β
2
cos ϕ +β
2
(1 −cos ϕ)βγ −αsinϕ 0
(1 −cos ϕ)αγ +β sinϕ (1 −cos ϕ)βγ −αsinϕ
1 −γ
2
cos ϕ +γ
2
0
0 0 0 1
Это матрица cоответствует матрице [U(p)
3
] заданной кватернионом единичной длины:
[p] = [cos(ϕ/2),sin(ϕ/2)v]
1.9 Полезные функции использующие кватернионы
1.9.1 Вращение переводящее направление вектора v
1
в направление вектора v
2
Кватернион q реализующий такое вращение определяется так.Пусть
[q] = ((v
1
,v
2
),v
1
×v
2
)
Положим [Q] = (|q|,0,0,0),тогда
[Rot(v1,v2)] = [q +Q]
В этой формуле отсутствуют тригонометрические функции.При вычислении матрицы [U(q)] следует
использовать тождество
U(q) =
1
|q|
2
(q
L
◦
q
R
).
Тогда нет необходимости нормировать векторыv
1
,v
2
!
6
1.9.2 Вычисление кватерниона соответствующего матрице вращения
Матрица вращения [U(q)
3
] соответствующяя кватерниону [q] = (w,x,y,z) c точностью до множителя
1/(w
2
+x
2
+y
2
+z
2
) имеет вид:
[U(q)
3
] =
x
2
+w
2
−z
2
−y
2
2xy +2wz 2xz −2 wy
2xy −2wz y
2
−z
2
+w
2
−x
2
2y z +2wx
2xz +2wy 2y z −2 wx z
2
−y
2
−x
2
+w
2
Выразим координаты кватерниона через элементы матрицы m= [U(q)
3
],
m[i,j],i = 1,2,3;j = 1,2,3.
Пусть
a = (m[1,1] +m[3,3])/2,
b = (m[3,1] −m[1,3])/4,
c = (m[1,2] −m[2,1])/4,
d = (m[2,3] −m[3,2])/4.
Тогда получаем систему уравнений:
w
2
−y
2
= a
wy = b
wz = c
wx = d
Cчитая w > 0 положительным получаем:
w =
a
2
+
a
2
4
+b
2
Затем находим x,y,z.
1.9.3"Прямая",соединяющая вращения
Для того,чтобы построить все промежуточные вращения между U(p
1
) и U(p
2
) соединим кватернионы
p
1
,p
2
отрезком
p(t) = p
1
∙ (1 −t) +p
2
∙ t,t ∈ [0,1].
Тогда вращение U(p(t)) при изменении параметра t от нуля до единицы непрерывно превращается
из вращения U(p
1
) во вращение U(p
2
).Полезно предварительно кватернион p
2
умножить на −1,если
Re(p
1
),Re(p
2
) имеют разные знаки.Таким образом мы избегаем краха,при p
1
= −p
2
.Если p
1
= −p
2
,
то вращение U(p
1
) совпадает с вращением U(p
2
) совпадают,а при t=1/2 кватернион p(t) обращается в
нулевой кватернион.
1.9.4 Простейшее оснащение кривой репером
Рассмотрим гладкуюкривуюв R
3
,
γ:[a,b] →R
3
.
Предположим требуется с каждой точкой γ(t) = (x(t),y(t),z(t)) кривой γ связать некоторую локальную
декартову систему координат,координатный репер которой
R(t) =< o(t),e
1
(t),e
2
(t),e
3
(t) >
обладает свойством:
o(t) = γ(t),e
3
(t) = γ
(t)/|γ
(t)|.
Для этого достаточно в качестве векторов
e
1
(t),e
2
(t),e
3
(t)
взять строки матрицы [U(q(t))],соответствующей кватерниону
[q(t)] = (z
(t),−y
(t),x
(t),0).
7
1.9.5 Поверхность с границей,составленной из четырех кривых
Рассмотрим в пространстве четыре кривые
bottom:[0,1] →R
3
,up:[0,1] →R
3
,
right:[0,1] →R
3
,left:[0,1] →R
3
,
образующие"четырехугольник"
bottom(1) ∼ right(0),right(1) ∼ up(1),up(0) ∼ left(1),left(0) ∼ bottom(0),
где знак ∼означает совпадение или"близость"соответствующих точек.Поверхность
Ψ:[0,1] ×[0,1] →R
3
у которой
Ψ(0,v) = left(v),Ψ(1,v) = right(v),
Ψ(u,0) ∼ bottom(u),Ψ(u,1) ∼ up(u)
может быть построена следующим образом.
8