close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1

код для вставкиСкачать
Математическая логика.
Задачей математической логики является изучение правильных способов изучения,т.е. Таких способов рассуждений,которые приводят к верным результатам,когда верны исходные посылки.
Предметом логики являются законы человеческого мышления.
Как самостоятельная наука логика оформилась трудами Аристотеля. Он систематизировал имеющиеся к тому времени сведения,которые впоследствии получила название формальная логика.
Математика является наукой,в которой все утверждения доказываются умозаключениями=>математика является основным потребителем логики.
Развитие математики пришло к тому,что развитие логики произошло на математической основе.Впервые идею о математической логике предложил Вильгельм Лейбниц. Он считал,что основные логические понятия должны обозначать символы и должны соединяться определенными правилами.
Первая реализация идей Лейбница принадлежит Булю. Он создал алгебру,в которой все высказывания обозначаются символами. В 1854 году он выпустил первые сочинения на эту тему,т.е. Буль позиционировал свою алгебру как инструмент законов изучения человеческого мышления.
Введение символических обозначений в логику имело такое огромное значение. Оно создало основу для математической логики.
К концу 19 века для математики важное значение приобрели вопросы обоснования основных её идей и её понятий. Эти задачи имели логическую природу и привели к дальнейшему развитию математической логики. Здесь большой вклад внесли Фридрих Фреге и Георг Кантор.Первый основал арифметику,а второй теорию множеств.
Особенности математического мышления объясняются особенностями абстракции и многообразием взаимосвязи .Они отражаются в логической систематизации в доказательстве логической теории.
Современную математическую логику рассматривают как раздел математики,посвященный вопросам доказательств основ математики.
Одной из важнейших причин развития математического логики произошло из-за появления аксиоматического метода в математике. В аксиоматической построении некоторой теории выбирается система неопределенных понятий и отношений между ними. Эти отношения называются базисными.
После этого без доказательства выбираются основные положения,которые называются аксиомами,а все основные положения теории выводятся из аксиом.
Евклид пытался определить неопределенное понятие. Многие вещи он принимал на веру,но в истинность его положений не вызывала сомнений. Такой подход просуществовал до 19 века.
Лобачевский выдвинул о невозможности положения 5ого постулата Евклида и все это подкрепил созданием своей геометрии. После этого Клейн доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского.
Усилиями Клейна и Лобачевского впервые были решены проблемы невозможности доказательства и непротиворечивости аксиоматической теории. Из системы аксиом нельзя вывести 2 противоречивых друг другу утверждения.
Доказательство может воспроизводиться несколькими способами,один из них-моделирование.
Моделирование-в качестве элементов и отношений выбираются элементы некоторого множества,затем проверяется:будет ли для данного множества выполняться положения моделированной теории.
Метод моделирования сводит вопрос о непротиворечивости одной теории к вопросу о непротиворечивости другой теории. Большинство моделей строятся на основе множеств. Отсюда вопрос-а не противоречива ли сама теория множеств. К теории множеств к концу 19 в. появилось много противоречий,которые назывались парадоксом теории множеств.
Другие методы обоснования математики связано с Фамилией Гильберта. Они(он и его школа) основывались на построении математической теории,в которой все аксиомы заключены в некотором алфавите и точно указываются правило вывода 1 формулы из другой.
Математическая теория,непротиворечивость которой требует доказательств,становится предметом другой науки,которую Гильберт назвал метаматематика. В связи с этим возникает задача построения формализованной аксиоматической теории в математической логике.
Алгебра логики.
Алгебра логики-часть математики,посвященная изучению алгебраических операций над величинами. Простейшие алгебраические операции-это арифметические действия над натуральными и положительными рациональными числами,встречаются в ранних математических трудах,причем в это время были известны все основные св-ва этих действий,и к концу 19 века св-ва арифметических операций были изучены для Q и R , Q является подмножеством R.
Для R вводятся 2 операции:сложение у умножение,которые подчиняются целому ряду аксиом.
I) Для любых a и b ,принадлежащих R,однозначно сопоставлен элемент R,который называется суммой и обозначается a+b ,причем для любых a,b,c,принадлежащих R,справедливы следующие неравенства:
1)a+b=b+a(коммутативность);
2)a+(b+c)=c+(a+b) (ассоциативность);
3)a+0=a(св-во нуля);
4)a+(-a)=0(св-во противоположного элемента);
На языке логики перечисленные свойства означают,что R по сложению являются коммутативной группой.
II)Для любых a и b ,принадлежащих R,однозначно сопоставлен элемент R,который называется произведением и обозначается a*b ,причем для любых a,b,c,принадлежащих R,справедливы следующие неравенства:
1)a*b=b*a;
2)a*(b*c)=c*(b*c);
3)a*1=a;
4)a<>0; a R; a^(-1)*a=1 (существование обратного числа);
На языке логики перечисленные свойства означают,что R\{0} по умножению являются коммутативной группой.
III) Для сложения и умножения справедлива дистрибутивность:
a*(b+c)=ab+ac;
В 19 веке расширился круг расширился круг обществ,к которым стали принадлежать алгебраические операции,а отсюда возникли алгебра логики,алгебра множеств и.т.д.
В алгебре логики рассматривается множество высказываний,вводятся операции над ними, изучение свойств этих операций и приводит к возникновению алгебры логики как таковой.
Свойства операций алгебры логики приводит к дальнейшим обобщениям,а именно к алгебре Буля,конкретными моделями которой являются алгебра логики и алгебра множеств(алгебра логики и множеств являются часть алгебры Буля)
Понятие высказывания:основным понятием алгебры логики является понятие простого высказывания. Под высказыванием понимается всякое повествовательное предложение,утверждающие что-либо о чем-нибудь ,и при этом можно сказать-истинно оно или ложно в данной ситуации. Логическими значениями высказываний является истина или ложь.
Высказывания,представляющие собой 1 утверждение,называются простыми.
Высказывания,которые получаются из простых с помощью грамматических связок не,и,или,если то,тогда и только тогда когда, называются составными.
В алгебре логики все высказывания рассматриваются только с точки зрения их логического значения.
Высказывание может быть либо ложным,либо истинным. Высказывание не может быть истинным и ложным.
Автор
lovematanfo
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
54
Размер файла
13 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа