close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

6

код для вставкиСкачать
Алгебра Буля.
Равносильности третьей группы показываю,что алгебра логики обладает коммутативными и ассоциативными законами относительно конъюнкции и дизъюнкции и дистрибутивным законом конъюнкции относительно дизъюнкции. Все они имеют место в алгебре чисел,поэтому на формулами алгебры логики можно производить все операции,которые справедливы в алгебре чисел. Кроме этого,в алгебре логики имеется ряд равносильностей(законов) поглощения, Де Моргана,и так далее. Эта особенность приводит к следующему обобщению:
Рассмотрим некоторое непустое множество М элементов любой природы,в котором определены отношения равенства и три операции:+,-,* . Пусть эти отношения подчиняются следующим законам/аксиомам:
1а) 1б)
2а) 2б)
3а) 3б) ФОРМУЛЫ С ТЕТРАДКИ
4а) 4б)
5)
6а) 6б)
7а) 7б)
Такое множество называется Булевой алгеброй.
Если под элементами множества М понимать высказывания,под операциями +,-,* понимать соответственно v,-,*,а знак равенства заменить на знак равносильностями, то как следует из равносильностей, все аксиомы булевой алгебры выполняются для алгебры высказываний. В тех случаях,когда для некоторой системы аксиом удается подобрать объекты и отношения между ними так,что все аксиомы выполняются,то считается,что найдена интерпретация ,построена модель для данной системы аксиом => алгебра логики является моделью булевой алгебры.
Алгебра Буля имеет и другие интерпретации , например,алгебра множеств.
Алгебра множеств.
Алгебра множеств возникла в конце 19 века в связи с необходимостью обоснования математики.
Первые серьёзные работы по алгебре множеств принадлежат Кантору. Множество является первичным понятием, которому определению не подлежит, но дадим его описание.
Множество-собрание,совокупность объектов,объединенных по некоторому признаку. Множество считается заданным,если указан признак,по которому относительно любого объекта можно сказать:входит ли этот объект в множество или нет.
Пример:множество чисел,алфавит,множество студентов и так далее.
Объекты,входящие в множество,называются элементами множества.Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита,а элементы строчными.
хϵА – элемент х принадлежит множеству А.
А={x}
Если можно выписать все элементы множества,то они выписываются в фигурных скобках:
М={а,b,c}
Множество,которое содержит конечное число элементов,называется конечным. К числу конечных множеств относится и пустое множество(множество не содержащее элементов). Считается,что множество одно.
Существуют так же и бесконечные множества:множества натуральных и рациональных чисел.
Рассмотрим множество А,и если из этого множества можно выделить часть элементов по какому-либо признаку,которое образует множество В,то говорят,что множество В содержится в мн-ве А.
Из определения подмножества множества можно сказать,что оно содержится в любом множестве. Любое множество содержится само в себе.
Равенство множеств.
Определение:если имеются два множества А и В и имеют места включения (А ᴄ В,В с А)*,то говорят,что множества А и В равны между собой и А=В.
Равенство 2х множеств означает полное их совпадение,и из определения равенства множеств следует,что для доказательства данного равенства требуется доказать 2 включения *.
Рассмотрим операции над множествами:
1) S=AᴗB – объединение 2х множеств.Объединением 2х множеств А и В называется новое множество S,состоящее из всех элементов обоих множеств,причем одинаковые элементы учитываются 1 раз. Совершенно аналогично определяем объединение любого произвольного кол-ва множеств. Если А с В , то АᴗВ = В. АᴗА=А.Аᴗᴓ=А.
2) В=А\В –разность множеств. Разностью двух множеств А и В называется множество в,содержащее те элементы множества,которые не являются элементами множества В,при этом множество В может не содержаться в множестве А. Очевидно,что А\А=ᴓ,А\ᴓ=А.
3) Р=АᴒВ-пересечение множеств. Пересечением 2х множеств А и В называется новое множество Р,состоящее из всех общих элементов множеств А и В.
//При работе с множествами «с» означает принадлежность!
Автор
lovematanfo
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
39
Размер файла
10 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа