close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

геометрия1

код для вставкиСкачать
 Объем шара
Теорема
Объем шара радиуса R равен 4/3
π
R
3
R
x
B
O
C
M
A
Доказательство
Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке
O
и выберем ось Ox произвольным образом. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ox и проходящей через точку M этой оси, является кругом с центром в точке M.
Обозначим радиус этого круга через R
, а его площадь через S(x)
, где x-
абсцисса точки М. Выразим S(x) через х и R.
Из прямоугольного треугольника ОМС находим
R = √
OC²-OM² = √
R²-x²
Так как S (x) = п
r
²
, то S (x)
= п
(R
²
-x
²
)
. Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е., для всех х, удовлетворяющих условию –R ≤ x ≤ R
. Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел при a = –R, b = R
, получаем:
R R R R R
V
=
∫ п (
R²-x²
)
dx = п
R² ∫ dx
п
- ∫ x²dx = п
R²x ‌ - п
x
³/3 ‌ = 4/3 п
R
³
.
-R -R -R -R -R
Теорема доказана
x
Объёмы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора
А) Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. На рисунке 1 секущая плоскость α
, проходящая ч-з т.В, разделяет шар на 2 шаровых сегмента. Круг, получившийся в сечении, называется основанием каждого из этих
сегментов, а длины отрезков АВ и ВС диаметра АС, перпендикулярного к секу-
щей плоскости, называются
высотами сегментов. х
АВ=
h
α
О
А
С
Шаровой сегмент
Рис.1
Если радиус шара равен R
, а высота сегмента равна h (
на рис.1 h
=АВ
)
, то объём V шарового сегмента вычисляется по формуле:
V =
п
h
² (R-1/3h).
·
Б) Шаровым слоем называется часть шара, заключённая между 2-мя параллельными секущими плоскостями (рис.2). Круги, получившиеся в сечении шара этими плоскостями, называются основаниями шарового слоя, а расстояние между плоскостями – высотой шарового слоя. Объём шарового слоя можно вычислить как разность объёмов 2-ух шаровых сегментов.
А
В
С
х
Рис.2
Ш
а
р
ов
о
й
с
л
ой
В) Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 90
градусов, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов (рис.3). Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Если радиус шара равен R
, а высота шарового сегмента равна h
, то объём V
шарового сектора вычисляется по формуле:
V = 2/3 п
R² h
h
O
R
r
Рис.3
Шаровой сектор
Площадь сферы
В отличие от боковой поверхности цилиндра или конуса сферу нельзя развернуть на плоскость, и, следовательно, для неё не пригоден способ определения и вычисления площади поверхности с помощью развёртки. Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника.
Пусть описанный около сферы многогранник имеет n
граней. Будем неограниченно увеличивать n
таким образом, чтобы наибольший размер каждой грани описанных многогранников стремился к нулю. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани =>
2
4
R
S
p
=
Автор
safaralieva
Документ
Категория
Презентации
Просмотров
217
Размер файла
260 Кб
Теги
геометрия
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа