close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

obr of

код для вставкиСкачать
Образец оформления конспекта
лабораторной работы
Лабораторная работа №8
Определение момента инерции и проверка теоремы Штейнера
Цель работы
: экспериментальное определение момента инерции твердого тела с
помощью трифилярного подвеса и проверка теоремы Штейнера.
Оборудование
: трифилярный подвес, два тела цилиндрической формы,
миллиметровая линейка, секундомер.
Т е о р е т и ч е с к а я ч а с т ь.
Момент инерции – это величина
, зависящая от распределения масс в теле и
являющаяся, наряду с массой, мерой инертности тела при непоступательном движении.
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси момент инерции тела относительно
этой оси определяется выражением
å
D
=
2
i
i
r
m
I
,
где i
m
D
- элементарные массы тела; i
r
- их расстояния от оси вращения.
Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением или
измерить экспериментально. Если вещество в теле распределено непрерывно, то
вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла
ò
ò
=
=
V
V
dV
r
dm
r
I
2
2
r
,
где
dm
и dV
- масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянии r
от оси
вращения; r
- плотность тела. Экспериментально
момент инерции тела
можно определить с
помощью трифилярного
подвеса, изображенного
на рисунке. Подвес
представляет собой
круглую платформу,
подвешенную на трех
симметрично
расположенных нитях.
Верхние концы нитей
прикреплены к
неподвижному диску,
диаметр которого
меньше диаметра
платформы. Если на
платформу положить
тело и повернуть ее на небольшой угол вокруг оси О
О
¢
, то платформа начнет совершать
крутильные колебания, период которых равен
1
О
¢
О
mgRr
IH
T
p
2
=
,
где I
и m
- момент инерции и масса платформы с телом, Н
- расстояние между
платформой и верхним диском, R
и r
- расстояния от оси вращения до точек крепления
нитей соответственно на платформе и верхнем диске.
Таким образом, зная массу m
платформы с помещенным на нее телом, измеряя
параметры установки H
r
R
,
,
и период малых колебаний платформы T
, можно рассчитать
момент инерции
2
2
4
T
H
mgRr
I
p
=
. (1)
Передвигая тело по платформе, можно проверить теорему Штейнера, согласно
которой момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента
инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, и параллельной
данной оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями. В данной работе на платформу симметрично оси вращения помещаются два тела
цилиндрической формы массой 0
m
каждое. Тела можно помещать на платформе на
разных расстояниях a
от оси вращения, поэтому теорему Штейнера для нашего случая
можно записать в виде
2
0
2
2
2
a
m
I
I
c
+
=
,
где c
I
2
- момент инерции двух цилиндров относительно оси, проходящей через центр
масс.
Д о м а ш н е е з а д а н и е
.
1)
. Вывод формулы
2
2
0
mR
I
=
. Вычислим момент инерции тонкого диска (или цилиндра) массы m
и радиуса 0
R
относительно оси, проходящей через точку С
и перпендикулярной плоскости диска.
Рассмотрим тонкое кольцо радиусом r
и шириной dr
. Площадь такого кольца rdr
dS
p
2
=
.
Его момент инерции равен dm
r
dI
2
=
. Момент инерции всего диска определяется
интегралом ò
=
dm
r
I
2
. Масса кольца 2
0
2
R
rdr
m
dS
S
m
dm
=
=
,
где 2
0
R
S
p
=
- площадь всего диска. Вводя это выражение под знак интеграла, получим
2
·
С
0
R
r
dr
ò
=
=
0
0
2
0
3
2
0
2
2
R
mR
dr
r
R
m
I
.
2) Формула для расчета относительной погрешности момента инерции
.
T
T
H
H
r
r
R
R
I
I
I
D
+
D
+
D
+
D
=
D
=
2
d
. (5)
3
) Расчетное задание
.
550
=
m
г, )
1
115
(
±
=
R
мм, )
1
62
(
±
=
r
мм, )
5
570
(
±
=
H
мм.
Время 50 колебаний )
5
.
0
0
.
72
(
±
=
t
с.
)
01
.
0
44
.
1
(
±
=
T
с.
2
3
2
2
2
2
м
кг
10
55
.
3
)
44
.
1
(
57
.
0
)
14
.
3
(
4
062
.
0
115
.
0
8
.
9
55
.
0
4
×
×
=
×
×
×
×
×
×
=
=
-
T
H
mgRr
I
p
047
.
0
44
.
1
01
.
0
2
570
5
62
1
115
1
2
»
×
+
+
+
=
D
+
D
+
D
+
D
=
D
=
T
T
H
H
r
r
R
R
I
I
I
d
2
3
м
кг
10
17
.
0
×
×
=
×
=
D
-
I
I
I
d
2
3
м
кг
10
)
17
.
0
55
.
3
(
×
×
±
=
-
I
Э к с п е р и м е н т а л ь н а я ч а с т ь
Упражнение 1.
1) Параметры установки:
)
1
.
0
0
.
11
(
0
±
=
R
см, )
1
.
0
6
.
10
(
±
=
R
см, )
1
.
0
6
.
5
(
±
=
r
см,
597
=
m
г, 744
0
=
m
г, )
3
.
0
8
.
48
(
±
=
H
см.
Время 50 колебаний )
5
.
0
5
.
70
(
±
=
t
с.
Период колебаний )
01
.
0
41
.
1
(
±
=
T
с.
Экспериментальное значение момента инерции пустой платформы.
2
3
2
2
2
2
0
м
кг
10
59
.
3
)
41
.
1
(
488
.
0
)
14
.
3
(
4
056
.
0
106
.
0
8
.
9
597
.
0
4
×
×
=
×
×
×
×
×
×
=
=
-
T
H
mgRr
I
p
048
.
0
41
.
1
01
.
0
2
488
3
56
1
106
1
2
0
0
0
»
×
+
+
+
=
D
+
D
+
D
+
D
=
D
=
T
T
H
H
r
r
R
R
I
I
I
d
2
3
0
0
0
м
кг
10
17
.
0
×
×
=
×
=
D
-
I
I
I
d
3
2
3
0
м
кг
10
)
17
.
0
59
.
3
(
×
×
±
=
-
I
Теоретическое значение момента инерции пустой платформы.
2
3
2
2
0
0
м
кг
10
61
.
3
2
)
11
.
0
(
597
.
0
2
×
×
=
×
=
=
-
mR
I
Видно, что экспериментальное значение момента инерции пустой платформы в пределах
погрешности совпадает с теоретическим значением.
Упражнение 2. Проверка теоремы Штейнера.
Погрешность времени 50 колебаний 5
.
0
=
D
t
с.
м
,
10
2
-
×
а
2.50
4.00
5.50
7.00
8.60
м
,
10
2
-
×
D
а
0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
2
3
2
м
,
10
-
×
а
0.63
1.60
3.03
4.90
7.40
2
3
2
м
,
10
)
(
-
×
D
а
0.03
0.04
0.06
0.07
0.09
,
t
с
44.2
50.4
58.4
67.2
77.4
,
Т
с
0.88
1.01
1.17
1.34
1.55
2
3
1
м
кг
10
×
×
-
I
4.89
6.36
8.62
11.3
15.1
2
3
1
м
кг
10
×
×
D
-
I
0.17
0.31
0.41
0.5
0.7
2
3
2
м
кг
10
×
×
-
I
1.3
2.8
5.0
7.7
11.5
2
3
2
м
кг
10
×
×
D
-
I
0.3
0.5
0.6
0.7
0.9
1) Расчет 1
I
и I
D
2
2
3
2
2
2
2
0
1
м
кг
T
10
30
.
6
488
.
0
)
14
.
3
(
4
056
.
0
106
.
0
8
.
9
085
.
2
4
)
2
(
×
×
×
=
×
×
×
×
×
×
=
+
=
-
T
T
H
gRr
m
m
I
p
А) .
м
кг
10
89
.
4
10
)
88
.
0
(
30
.
6
2
3
3
2
1
×
×
=
×
×
=
-
-
I
2
3
3
1
1
1
м
кг
10
23
.
0
10
048
.
0
89
.
4
×
×
=
×
×
=
×
=
D
-
-
I
I
I
d
Б) .
м
кг
10
36
.
6
10
)
01
.
1
(
30
.
6
2
3
3
2
1
×
×
=
×
×
=
-
-
I
2
3
3
1
1
1
м
кг
10
31
.
0
10
048
.
0
36
.
6
×
×
=
×
×
=
×
=
D
-
-
I
I
I
d
В)
.
м
кг
10
62
.
8
10
)
17
.
1
(
30
.
6
2
3
3
2
1
×
×
=
×
×
=
-
-
I
2
3
3
1
1
1
м
кг
10
41
.
0
10
048
.
0
62
.
8
×
×
=
×
×
=
×
=
D
-
-
I
I
I
d
Г)
.
м
кг
10
3
.
11
10
)
34
.
1
(
30
.
6
2
3
3
2
1
×
×
=
×
×
=
-
-
I
2
3
3
1
1
1
м
кг
10
54
.
0
10
048
.
0
3
.
11
×
×
=
×
×
=
×
=
D
-
-
I
I
I
d
Д)
.
м
кг
10
1
.
15
10
)
55
.
1
(
30
.
6
2
3
3
2
1
×
×
=
×
×
=
-
-
I
2
3
3
1
1
1
м
кг
10
72
.
0
10
048
.
0
1
.
15
×
×
=
×
×
=
×
=
D
-
-
I
I
I
d
.
2) Расчет 2
I
и 2
I
D
.
4
А)
2
3
3
0
1
2
м
кг
10
3
.
1
10
)
59
.
3
89
.
4
(
×
×
=
×
-
=
-
=
-
-
I
I
I
,
2
3
3
0
1
2
м
кг
10
3
.
0
10
)
17
.
0
17
.
0
(
×
×
»
×
+
=
D
+
D
=
D
-
-
I
I
I
.
Б)
2
3
3
0
1
2
м
кг
10
8
.
2
10
)
59
.
3
36
.
6
(
×
×
»
×
-
=
-
=
-
-
I
I
I
,
2
3
3
0
1
2
м
кг
10
5
.
0
10
)
17
.
0
31
.
0
(
×
×
»
×
+
=
D
+
D
=
D
-
-
I
I
I
.
В)
2
3
3
0
1
2
м
кг
10
0
.
5
10
)
59
.
3
62
.
8
(
×
×
»
×
-
=
-
=
-
-
I
I
I
,
2
3
3
0
1
2
м
кг
10
6
.
0
10
)
17
.
0
41
.
0
(
×
×
»
×
+
=
D
+
D
=
D
-
-
I
I
I
.
Г)
2
3
3
0
1
2
м
кг
10
7
.
7
10
)
59
.
3
3
.
11
(
×
×
»
×
-
=
-
=
-
-
I
I
I
,
2
3
3
0
1
2
м
кг
10
7
.
0
10
)
17
.
0
5
.
0
(
×
×
»
×
+
=
D
+
D
=
D
-
-
I
I
I
.
Д)
2
3
3
0
1
2
м
кг
10
5
.
11
10
)
59
.
3
1
.
15
(
×
×
»
×
-
=
-
=
-
-
I
I
I
,
2
3
3
0
1
2
м
кг
10
9
.
0
10
)
17
.
0
7
.
0
(
×
×
»
×
+
=
D
+
D
=
D
-
-
I
I
I
.
3) Проверка теоремы Штейнера.
кг
72
.
1
10
)
0
.
1
0
.
7
(
10
)
5
.
1
8
.
11
(
3
3
2
2
2
1
22
21
max
=
×
-
×
-
=
-
-
=
-
-
a
a
I
I
g
,
кг
35
.
1
10
)
0
.
1
0
.
7
(
10
)
0
.
2
1
.
10
(
3
3
2
4
2
3
24
23
min
=
×
-
×
-
=
-
-
=
-
-
a
a
I
I
g
,
кг
536
.
1
2
35
.
1
72
.
1
2
min
max
=
+
=
+
=
ñ
á
g
g
g
,
5
кг
18
.
0
2
35
.
1
72
.
1
2
min
max
»
-
=
-
=
ñ
á
D
g
g
g
.
Таким образом, полученное из графика значение среднего углового коэффициента
равно
кг
)
18
.
0
54
.
1
(
±
=
ñ
á
g
.
Теоретическое значение углового коэффициента, как следует из теоремы Штейнера
2
0
2
2
2
a
m
I
I
c
+
=
,
должно равняться
кг
488
.
1
2
0
=
=
ñ
á
m
g
.
Вывод
. Видно, что в пределах погрешности полученное экспериментально
значение углового коэффициента совпадает с теоретическим значением, что подтверждает
справедливость теоремы Штейнера.
6
Автор
zimin
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
149
Размер файла
3 847 Кб
Теги
obr_of
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа