close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Прогнозирование случайной величины с применением статистических методов

код для вставкиСкачать
Методические указания к выполнению практической работы
 1
СОДЕРЖАНИЕ стр. Введение 1. Объект и методы прогнозирования 2. Теоретические основы построения математической модели про-
гноза 2.1. Идентификация модели 2.2. Оценка эффективности 3. Методика и алгоритм построения прогнозной модели 4. Теоретические основы разработки прогнозных моделей 4.1 Прогнозирование независимой случайной величины Список рекомендуемой литературы 2
ВВЕДЕНИЕ Одним из основных направлений совершенствования системы органи-
зации вагонопотоков, активно осваиваемых в настоящее время на Российских железных дорогах, является автоматизация процессов управления грузовыми перевозками. Под управлением мы будем понимать воздействие на систему
1
, вы-
бранное из множества возможных воздействий на основании имеющейся для этого информации, улучшающее (оптимизирующее) функционирование дан-
ной системы. Автоматизация - целенаправленное совокупное применение 1) тех-
нических средств, 2) экономико-математических методов и 3) организацион-
ных комплексов управления, освобождающих человека частично или полно-
стью от непосредственного участия в процессе управления. Высшая цель автоматизации – автоматическое управление – форми-
рование управляющих команд и их выполнение без непосредственного уча-
стия человека. Однако достижение автоматического управления не всегда возможно. В практических условиях уровень автоматизации ограничивается особенностями управляемой системы. Система называется сложной
, если для нее характерны следующие при-
знаки: 1. наличие сложной, составной цели, параллельное существование раз-
ных целей или последовательная смена целей; 2. наличие одновременно многих структур у одной системы (напри-
мер, технологической, административной, функциональной и т. д.); 3. невозможность описания системы в одном языке, необходимость использования нескольких языков для анализа и проектирования от-
дельных ее подсистем. Система относится к классу организационно-технологических
, если ей соответствуют следующие характеристики: 1
С определением термина «система» можно ознакомиться в 3
1. технологический процесс, реализуемый системой, имеет вероятност-
ный характер; 2. последовательность технологических операций определяется по ре-
зультатам выполнения предыдущей (или нескольких предыдущих) операции и не может быть точно определена до её завершения; 3. технологические правила и предписания на входные и выходные значения контролируемых параметров задаются в виде диапазонных ограничений. Применительно к
сложным организационно-технологическим систе-
мам реализовать автоматическое управление практически невозможно. Это вызвано в частности следующими причинами: - смена целей функционирования системы часто приводит к необходимости изменения алгоритма управления. Алгоритмом называется точный поря-
док вычислительного процесса, начинающийся с произвольной совокупно-
сти исходных данных и направленный на получение результата, полно-
стью определяемого этими
исходными данными. - возникновение непредвиденных условий процесс принятия управляющих решений. Поэтому для управления сложными организационно-технологическими системами применяется синтез автоматического управления и человеческого интеллекта (здесь под интеллектом мы понимаем способность ориентиро-
ваться в незнакомых условиях и находить решение слабо формализованных задач). Такой уровень автоматизации управления называется информатиза-
цией. При этом человек выполняет именно те операции в общем алгоритме управления, которые не поддаются формализации. На этом принципе строят-
ся автоматизированные системы управления (АСУ) в которых формализо-
ванные операции выполняют автоматы и ЭВМ, а неформализованные – чело-
век. Система организации вагонопотоков безусловно является сложной ор-
ганизационно-технологической системой. Для управления ею применяются 4
различные экономико-математические методы и алгоритмы, важное место среди которых занимают методы прогнозирования. Изучению некоторых та-
ких методов и посвящено данное учебно-методическое пособие. Материал, изложенный в пособии, ориентирован на студентов специ-
альностей 190701 «Организация перевозок и управление на транспорте (же-
лезнодорожный транспорт)», 071900 «Информационные системы на желез-
нодорожном транспорте», и предназначен для: 1) ознакомления с теоретиче-
скими основами методов и алгоритмов статистического прогнозирования, 2) развития практических навыков использования методов на примере выпол-
нения лабораторных работ. 1. ОБЪЕКТ И МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ Прогнозирование – одна из форм предсказания
2
, основанная на специ-
альном научном исследовании, предметом которого являются вероятностно-
возможные перспективы развития некоторого явления. Данное определение носит обобщенный характер и охватывает боль-
шое количество методов предсказания. С другой стороны, любая практиче-
ская задача прогнозирования может быть удовлетворительно решена лишь ограниченным числом методов. Для выбора этих методов, необходимо уточ-
нить
объект прогнозирования. В данном учебно-методическом пособии в качестве объекта прогнози-
рования
мы будем рассматривать некоторую математическую скалярную ве-
личину, определенную на множестве вещественных чисел. Причем, эта вели-
чина является случайной, т.е. к ней применимы следующие утверждения: - в нашем распоряжении имеются средства для многократной регистра-
ции значений величины (постоянно или в фиксированные моменты времени); - значения величины могут изменяться от наблюдения к наблюдению; - законы изменения значений величины нам неизвестны. 2
К другим формам предсказания относятся предчуствие, предвосхищение, предугадывание 5
Для заданного объекта прогнозирования в качестве способа прогнози-
рования
в данной книге применяется моделирование
3
, точнее математическое моделирование
4
. Тогда, задача прогнозирования сводится к разработке мате-
матической модели, предсказывающей изменения скалярной случайной ве-
личины. Математическая модель – приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической сим-
волики. Для построения математической модели применяются различные методы, т.е. совокупности приемов и операций направленных на достиже-
ние определенных результатов
. В данном пособии рассматриваются стати-
стические методы построения прогнозных моделей, основанные на положе-
ниях теории вероятностей, корреляционного и регрессионного анализа. 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОГНОЗА Под математической прогнозной моделью будем понимать совокуп-
ность: 1) аналитической функции, позволяющей на основании исходной информа-
ции рассчитать точечное значение прогноза, 2) доверительного интервала в точке прогноза задающего нижнюю и верх-
нюю границы возможных отклонений прогнозного значения. Статистические методы построения прогнозной функции основаны на следующих процедурах: 1) Идентификация функции. На данном этапе выдвигаются ряд предположе-
ний и гипотез. На их основе, используя методы и алгоритмы математической статистики, выполняется поиск наилучшей прогнозной функции. 2) Оценка эффективности функции
. На данном этапе выполняется анализ на-
блюдаемых и прогнозируемых при помощи функции значений. По результа-
3
В качестве альтернативных способов прогнозирования выступают анкетирование, экстраполяция, интер-
поляция. 4
Математическое моделирование – процесс изучения явления с помощью математической модели 6
там анализа формируется заключение о правдоподобности принятых гипотез, и делается вывод об эффективности применения функции для построения прогнозной модели. Необходимость определения границ доверительного интервала объяс-
няется тем, что прогнозная функция приводит к неизбежной ошибке прогно-
за. Эта ошибка тем больше, чем сильнее исходные условия прогноза отлича-
ются от условий, в которых построена функция (другими словами, величина ошибки зависит от горизонта прогнозирования). Доверительный интервал с требуемой точностью определяет диапазон ошибки для заданных исходных данных. 2.1.1 Идентификация прогнозной функции Прогнозную функцию f
случайной величины Y
будем представлять в виде равенства: ),( XfY
П
(2.1) где X
- множество влияющих факторов, - вектор числовых параметров модели. Из (2.1) следует, что идентификация прогнозной функции сводится к нахождению ),( Xf
. Данный процесс включает следующие этапы. 1. Определение множества влияющих факторов X
. На данном этапе в общем случае возникает ошибка учета факторов. Эта ошибка возникает из-за непол-
ноты наших знаний о природе прогнозируемой величины. Поэтому на мо-
мент проводимых исследований данную ошибку мы будем считать неустра-
нимой
. Определение множества влияющих факторов выполняется различны-
ми методами (например, методом экспертных оценок). Рассмотрение этих методов выходит за рамки данного учебного пособия. Поэтому в дальнейших рассуждениях множество влияющих факторов X
мы будем полагать задан-
ным. 2. Выдвижение гипотез о характере и виде зависимости f
между случайной величиной Y
и множеством влияющих факторов X
(зависимость может быть 7
линейная, экспоненциальная, степенная и т.д., а также включать различные комбинации влияющих факторов). Т.е. на данном этапе выполняется замена неизвестной зависимости предполагаемой. Такая замена называется аппрок-
симацией. Если гипотеза о виде и характере зависимости f
неверна, возни-
кает ошибка аппроксимации. В данном пособии мы принимаем гипотезу о линейном
характере зави-
симости прогнозируемой величины от множества влияющих факторов, т.е.: )(),(
0
XXfY
П
(2.2) где ),...(,
10 P
- неизвестные коэффициенты. PiXZZZX
iPP
...1;));(),...(()(
11
- функции от влияющих факторов. Функции PiZ
ii
...1);(
характеризуют независимое
воздействие неко-
торого подмножества влияющих факторов XZ
i
на значение прогнозируе-
мой величины. Элементы вектора являются числовыми коэффициентами, определяющими степень воздействия каждой функции )(
ii
Z
на значение прогнозируемой величины. На основании принятой гипотезы о существовании линейной зависи-
мости между прогнозируемой величиной и множеством влияющих факторов, выдвигается следующая гипотеза о виде функций )(
ii
Z
. После этого выпол-
няется расчет параметров . 3. Расчет числовых параметров . Исходными данными для расчета являют-
ся: 1) выборка наблюдений случайной величины Niy
i
...1};{
ﰠгде N
- размер выборки, 2) выборка наблюдений значений влияющих факторов }),...,(,...,),...,{(}{
111 NLPi
xxxxx , где L
- число влияющих факторов. В общем случае, определить точное значение параметров на основа-
нии перечисленных выборок невозможно, поскольку размер выборок огра-
ничен и может оказаться недостаточным для определения точных значений коэффициентов. Поэтому в дальнейших рассуждениях переходят к оценоч-
ным значениям b
неизвестных параметров. На данном этапе важно выбрать 8
метод, позволяющий найти «хорошие» оценки b
. «Хорошими» называются оценки, которые обладают следующими свойствами: 1) состоятельность
- необходимо, чтобы при увеличении объема случай-
ной выборки значение оценки приближалось к истинному значению расчетной величины; 2) несмещенность
- необходимо, чтобы, используя на практике получен-
ную оценку, мы не делали систематической ошибки в сторону завыше-
ния или занижения результатов; 3) эффективность
- необходимо, чтобы полученная в результате расчетов оценка, по сравнению с другими оценками обладала наименьшим рас-
сеиванием (дисперсией). Доказано, что применительно к линейной функции (2.2)
методом рас-
чета «хороших» оценок является метод наименьших квадратов. Согласно этого метода, расчет оценок bb
,
0
достаточно просто решается с применением матричной алгебры. Исходными данными для расчета явля-
ются: 1) N
i
y
y
y
y
...
}{
2
1
- матрица-столбец статистических наблюдений случайной вели-
чины. Размерность матрицы 1
N
. 2) LPZ ;
)(Z ... )(Z )(Z 1
.......................................................
)(Z ... )(Z )(Z 1
)(Z ... )(Z )(Z 1
)(Z ... )(Z )(Z PPN22N11N
PP2222112
PP1221111
PP2211
- матрица значений функций от выбранных факторов в серии статистических наблюдений. Размерность мат-
рицы )1( PN
. Первый столбец матрицы отождествляется с фиктивным фактором и соответствует значению при коэффициенте 0
b
, поэтому всегда равен 1. 9
Матрица-столбец оценок вектора коэффициентов P
b
b
b
bbb
...
1
0
0
определяется по формуле: YZZZb
')'(
1
(2.3) где: '
Z
- транспонированная матрица Z
; 1
)'(
ZZ
- операция вычисления матрицы, обратной результату произведе-
ния Z
Z
'
. Алгоритмы ручного выполнения операций над матрицами (умножение, транспонирование, получение обратной матрицы) подробно описаны в [__]
5
. После того как определены значения оценок bb
,
0
модель считается идентифицированной. 2.1.2 Оценка эффективности прогнозной функции Основу оценки эффективности прогнозной функции составляет анализ наблюдаемых и прогнозируемых значений. Расхождение между этими значе-
ниями называется ошибкой прогноза. Поскольку значение ошибки прогноза непосредственно зависит от слу-
чайных статистических выборок }{
i
y
, }{
i
x
(их размера и наблюдаемых значе-
ний), то и сама ошибка прогноза является случайной
величиной. Ее анализ выполняется по следующим статистическим характеристикам: - математическое ожидание – среднее значение ошибки, - дисперсия – средний квадрат отклонений ошибки относительно ее матема-
тического ожидания. Для того, чтобы считать прогнозную функцию эффективной и исполь-
зовать ее на практике, ошибка прогноза должна удовлетворять следующим 5
Мы намеренно не приводим здесь правила выполнения алгебраических операций над матрицами, посколь-
ку в настоящее время существует достаточно широкий спектр программного обеспечения, позволяющего автоматически выполнять подобные расчеты. 10
условиям. 1. Среднее значение ошибки равно 0. Если данное условие нарушено, это значит, что в ошибке присутствует детерминированная (неслучайная) состав-
ляющая (т.е. мы делаем систематическую ошибку при прогнозе, что делает прогнозную модель бесполезной на практике) которая может быть вызвана: 1) неучетом некоторых влияющих факторов (ошибка на первом этапе идентификации прогнозной функции), 2) неправильной функциональной формой модели (ошибка на втором этапе идентификации прогнозной функции). 3) сочетанием первого и второго случаев. Таким образом, ошибку прогноза мы можем определить как Ошибка прогноза = Ошибка неучета факторов + Ошибка аппроксимации (2.4) 2. Дисперсия ошибки постоянна и не зависит от влияющих факторов. 3. Значения ошибок не зависимы от предыдущих значений (не автокоррели-
рованы). В случае, если статистические выборки }{
i
y
, }{
i
x
составлены по наблюдениям в последовательные моменты времени (т.е. являются временными рядами), можно предположить о зависимости ошибки прогноза по наблюдениям, от-
стоящим друг от друга на 1, 2, 3 и т.д. момента времени. Этот случай называет-
ся автокорреляцией ошибок. Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной
зависимо-
сти между рассматриваемыми величинами. Он изменяется на интервале [-1;1]. Если коэффициент корреляции принимает предельные значения – имеется линейная функциональная зависимость. При рассмотрении временного ряда одной из главных характеристик, описы-
вающих его внутреннюю структуру является автокорреляционная функция. )()(
),(
),(
ktt
kttK
kttr
где ),( kttK - автоковариационная функция между значениями временного ряда в моменты времени t
и kt
. 1),(
ttr
. 11
В общем виде значение автокорреляционной функции зависит от момента вре-
мени t
и размера сдвига k
. Нарушение второго и третьего условий приводит к тому, что оценки параметров bb
,
0
, рассчитанные по формуле (2.3), теряют свойство эффектив-
ности. На практике это означает, что заключения о качестве построенной прогнозной функции оказываются неоправданно оптимистичными. Проверка каждого из перечисленных условий выполняется по ряду критериев. Анализ среднего значения ошибки Метод наименьших квадратов, определяет ошибку прогноза в точках наблюдения как квадрат разности между наблюдаемыми и прогнозируемыми значениями величины при одинаковых значениях влияющих факторов
6
, т.е. Niyy
П
i
Н
ii
...1;)(
2
. Способ определения случайной ошибки зависит от постулированного ут-
верждения о законе ее распределения. Так, метод наименьших квадратов, опира-
ется на утверждение о нормальном законе распределения ошибок. Если же пред-
положить, что случайная ошибка подчиняется двустороннему экспоненциаль-
ному закону распределения, то наилучшей мерой расхождения будет сумма абсо-
лютных расхождений между наблюдаемыми и прогнозируемыми значениями. Методика расчета «хороших» оценок bb
,
0
в этом случае описывается методом максимального правдоподобия. Поскольку ошибка прогноза является случайной величиной, можно оценить ее математическое ожидание и дисперсию 2
S
. В том случае, если 0
и 0
2
S
прогнозная функция описывает зави-
симость условного среднего значения
случайной величины от включенных в нее факторов. Такая функция называется регрессией. Нахождение регрессии (или функции максимально близкой к ней) – одно из необходимых условий 6
В этом случае оценочные значения коэффициентов b
будут «хорошими» 12
построения эффективной прогнозной модели. Если же 0
и 0
2
S
это значит, что наша прогнозная функция дает систематическую ошибку. В данном случае основанная задача – найти сте-
пень влияния каждого слагаемого ошибки прогноза (см. формулу (2.4)). Если предположить, что на этапе формирования множества влияющих факторов мы применили эффективные экспертные методы, то значительная доля ошибки неучета факторов в общей ошибке прогноза говорит о том, что мы в настоящий момент не в состоянии эффективно выполнять прогнозиро-
вание случайной величины, поскольку не знаем всех значимых факторов, влияющих на ее значение. С другой стороны, если ошибка прогноза практически полностью объ-
ясняется неточностью аппроксимации, значит в наших рассуждениях мы уч-
ли все значимые влияющие факторы, но неправильно выбрали вид функции аппроксимации. В данной ситуации у нас есть надежда найти подходящую функцию аппроксимации (возможно рассмотрев другой, не линейный класс функций, или выбрав другую функциональную форму функций )(
ii
Z
), ко-
торая позволит эффективно выполнять прогнозирование случайной величи-
ны. Для анализа степени влияния слагаемых ошибки прогноза (формула (2.4)) на ее значение применяют следующие критерии. 1. Коэффициент детерминации 2
R
. Данный критерий является одним из ос-
новных, по которым оценивается эффективность прогнозной модели. Его значение изменяется на интервале ]1;0[
. Коэффициент детерминации показывает, насколько полно влияющие факторы и их комбинации, присутствующие в прогнозной модели, описыва-
ют изменение значений случайной величины. Чем ближе значение 2
R
к 1, тем точнее может
оказаться прогнозная функция. Однако, тщательное изучение данного критерия, выявило у него ряд «негативных» свойств, а именно: 13
- при прочих равных условиях значение коэффициента будет расти с умень-
шением числа наблюдений. Так, если наблюдений всего два, то этот коэф-
фициент всегда будет равен единице. Поэтому данный коэффициент вы-
ражает скорее «алгебраическое» качество построенного уравнения регрес-
сии; - при увеличении числа влияющих факторов включаемых в модель (даже малозначимых), коэффициент детерминации
растет. Данное свойство при-
водит к усложнению прогнозной модели и тем самым снижает содержа-
тельное (статистическое) значение критерия. Поэтому иногда дополни-
тельно применяют скорректированный коэффициент детерминации или другие критерии, используемые для выбора модели (критерий Маллоуза, Акаике, Шварца). Методика их расчета такова, что они «штрафуют» за то, что в модели используется слишком большой набор факторов. К сожалению, критерий 2
R
характеризует лишь степень полноты учета факторов, и мало говорит нам о качестве выбранного вида модели, т.е. на-
сколько выбранная нами функция пригодна для прогнозирования. Для ответа на этот вопрос применяется общий F-критерий. 2. Общий F-критерий O
F
. Основная идея данного критерия состоит в сле-
дующем. Выдвигается основная гипотеза: функция выбранного вида не
по-
зволяет с требуемой точностью спрогнозировать значение случайной вели-
чины Y
поскольку включает только те факторы (сочетание факторов), кото-
рые не
оказывают существенного влияния на значение Y
. Или, говоря язы-
ком математической статистики, все
включенные в функцию факторы и их сочетания являются незначимыми. Формально это означает, что все коэффи-
циенты bb
,
0
, включенные в прогнозную функцию равны 0. Оценка правдоподобности этой гипотезы выполняется при помощи общего F-критерия, значение которого вычисляется в двух шкалах: процент-
ной и абсолютной. Процентное значение F-критерия показывает, насколько процентов ос-
новная гипотеза согласуется с результатами статистических наблюдений. На 14
основании полученного значения исследователь принимает решение: при-
нять или отвергнуть гипотезу. В прикладных исследованиях сформировалась следующая практика принятия решения: если процентное значение F-
критерия превышает 5-и процентный порог, то функция данного вида счита-
ется непригодной для прогнозирования случайной величины Y
(т.е. гипотеза 0
H
принимается)
7
. Если имеются несколько альтернативных видов функций процентное значение F-критерия для которых не превышает 5-и процентный порог, то выбор наиболее подходящей осуществляется по абсолютному значению F-
критерия. Абсолютное значение F-критерия есть количественная величина, показывающая во сколько раз объясненная дисперсия больше остаточной. Таким образом, в процессе поиска наилучшей функции аппроксимации мы должны стремиться к минимизации процентного значения критерия F-
критерия (при этом нам необходимо помнить про 5-% порог) и максимизации его абсолютного значения. 3. Информационные критерии Акаике (AIC), Шварца (BIC). Данные крите-
рии применяются как вспомогательные при анализе ошибки прогноза. Кри-
терий AIC направлен на минимизацию дисперсии ошибки прогноза. Целью BIC является максимизация вероятности выбора истинной модели. Регрессия считается
тем лучше, чем ниже значения критериев AIC, BIC. Анализ дисперсии ошибки.
В том случае, если дисперсия ошибки одинакова для всех наблюдений, имеет место гомоскедастичность ошибок. В противном случае ошибки явля-
ются гетероскедастичными. Существуют различные типы гетероскедастичности ошибок. Напри-
мер, значения ошибок прогноза могут зависеть от влияющих факторов, включенных в прогнозную модель, или от значения математического ожида-
ния прогнозируемой случайной величины. Соответственно существуют и 7
Логика здесь простая: непротиворечивость наблюдаемых и прогнозных значений (т.е. опровержение гипо-
тезы 0
H
) должна быть не менее 95%. 15
различные критерии проверки на гетероскедастичность. Наиболее распро-
страненным критерием для проверки является 2
. Его значение вычисляется в двух шкалах – абсолютной и процентной. При анализе дисперсии на гетероскедастичность в данном пособии мы будем придерживаться следующего правила: если процентное значение кри-
терия 2
превышает 5-и процентный порог, то гетероскедастичность ошибки отсутствует (т.е. дисперсия ошибок однородна
). Анализ автокорреляции ошибок.
Наиболее типичным случаем является автокорреляция ошибок первого порядка (т.е. когда значение ошибки прогноза в текущем наблюдении зави-
сит от ошибки в предшествующем). Для анализа автокорреляции ошибок первого порядка
применяются следующие критерии. 1. Критерий Дарбина-Уотсона DW
. Данный критерий проверяет гипотезу о том, что автокорреляция ошибок первого порядка отсутствует. Значение кри-
терия изменяется в интервале ]4;0[
. В случае отсутствия автокорреляции ошибок значение приблизительно равно 2. При положительной автокорреля-
ции оно смещается к 0, а при отрицательной – к 4. 2. Критерий Годфрея )1(AR
. Значение критерия рассчитывается в абсолютной и процентной шкалах. Анализ критерия выполняется по правилу: если про-
центное значение критерия превышает 5-и процентный порог, то автокорре-
ляция ошибок первого порядка отсутствует. В данном учебном пособии мы приняли гипотезу о линейном характере за-
висимости случайной величины от влияющих факторов как априорную (т.е. не подвергаемую сомнению). Однако, следует знать, что проверка такой гипотезы может быть выполнена по следующим критериям: 1) Критерий функциональной формы. Отклонение математического ожидания ошибки прогноза от 0 может быть вызвано нелинейным (внешне нелинейным) характером зависимости. Для выявления нелинейности оцениваемой функции регрессии, выполняется проверка гипотезы о правильности спецификации функциональной формы. Расчет критерия выполняется в абсолютной и про-
16
центной шкалах 2) Критерий нормальности распределения ошибки прогноза. Метод наименьших квадратов, применяемый для расчета оценок bb
,
0
в линейных прогнозных мо-
делях, опирается на нормальный закон распределения ошибки прогноза. одна-
ко, если фактическое распределение отлично от нормального, это приводит к тому, что расчетные значения bb
,
0
,
O
F
будут неточны. Поэтому для подтвер-
ждения данного утверждения проверяется гипотеза о нормальности распреде-
лении ошибки. Если процентный уровень значимости превышает 5-и процент-
ный порог, то гипотеза принимается. 2.1.3 Построение доверительного интервала Для построения доверительного интервала необходимо задать точность ﰠс которой мы хотим определить диапазон возможного отклонения про-
гнозного значения от наблюдаемого (как правило, принимается 95%-й уро-
вень точности). После этого доверительный интервал I
определяется как: ][
,1
2
nN
П
tSyI
(2.5) где П
y
- прогнозное значение случайной величины для заданных исходных данных 2
S
- несмещенная оценка дисперсии ошибки ,1nN
t
- двусторонний квантиль t
-распределения (определяется по таблицам исходя из заданных параметров nN
). N
- число наблюдений в статистической выборке n
- количество влияющих факторов, включенных в прогнозную функцию. 3. МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ ПРОГНОЗНОЙ МОДЕЛИ Задача построения прогнозной модели начинается с выбора методов решения. Для этого на основании экспертного анализа объекта прогнозиро-
вания, выдвигается ряд утверждений наделяющих объект некоторыми пред-
полагаемыми свойствами. Ранее мы сформулировали два таких утверждения: 17
1. Случайная величина Y
зависит от конечного множества известных
8
зна-
чимых
9
, влияющих факторов X
. 2. Зависимость случайной величины от влияющих факторов носит линейный характер. Причем, эта линейная связь проявляется по параметру i
b
, а не значению фактора )(
ii
Z
. Это значит, что при любом
значении коэф-
фициента i
b
увеличение (уменьшение) значение фактора )(
ii
Z
при-
водит только к одному
из следующих действий: наблюдаемое значе-
ние случайной величины Y
а) увеличивается, б) уменьшается, в) оста-
ется таким же (впрочем данный случай означает, что фактор )(
ii
Z
не является значимым). В качестве примера нелинейной связи приведем зависимость )(
~
ii
Z
Y
. Здесь: - при 1
увеличение )(
ii
Z
приводит к уменьшению Y
; - при 1
любое изменение )(
ii
Z
никак не влияет на значение Y
; - при 1
увеличение )(
ii
Z
приводит к увеличению Y
. Эти утверждения мы назовем основной гипотезой о свойствах объекта прогнозирования. Из первого утверждения следует, что для построения прогнозной моде-
ли эффективными могут оказаться статистические методы регрессионного и корреляционного анализа. Второе утверждение определяет выбор метода наименьших квадратов (МНК) как наилучшего для решения поставленной задачи. Методика построения прогнозной модели основанная на МНК
сле-
дующая 1. Ограничение области поиска прогнозной функции. Выражение (2.2) опи-
8
Т.е. таких значение которых мы можем достоверно определить в любой момент времени 9
Под значимыми мы будем понимать такие факторы, изменение значений любого из которых приводит к существенному изменению исследуемой случайной величины 18
сывает класс линейных функций, включающий практически бесконечное число
различных видов функций. Так, )(X
может быть представлен поли-
номом, или степенной функцией, элементы )(
ii
Z
могут быть выражены че-
рез логарифмические, показательные функции и т.д. Поэтому, исходя из не-
которых априорных соображений, для обеспечения приемлемого времени поиска, область поиска ограничивается одним – двумя видами функций. Ограничение выполняется путем ввода дополнительной гипотезы (со-
вокупности дополнительных уточняющих утверждений) о свойствах объекта прогнозирования. 2. Поиск прогнозной функции на основе
исходных данных. Цель данного этапа - найти регрессию (или функцию максимально близкой к ней) среди множества функций заданного вида. Поиск сводится к определению вектора )(X
одним из методов направленного перебора. Расчет оценочных значений параметров bb
,
0
выполняется методом наименьших квадратов. Оценка близости функций к истинной регрессии и выбор наилучшей функции среди множества альтернативных выполняется посредством анализа критериев BICAICFR
,,,
2
. 3. Оценка эффективности прогнозной функции. Если на втором этапе не уда-
лось найти функцию с удовлетворительными значениями критериев BICAICFR
,,,
2
, это значит, что принятые гипотезы ошибочны. Поэтому необ-
ходимо выполнить поиск прогнозной функции среди другого класса функций (не линейного) или другого вида функций. При удовлетворительном значении критериев BICAICFR
,,,
2
выполня-
ется расчет и анализ критериев на гетероскедастичность и автокорреляцию ошибок. Если получаемые значения удовлетворительны, найденная прогноз-
ная функция считается эффективной. В противном случае она также может быть использована при прогнозе, но ее результаты будут менее точны. 4. Оценка полезности прогнозной модели (построение доверительного ин-
тервала). Эффективность прогнозной функции означает, что
она при задан-
19
ных значениях влияющих факторов позволяет рассчитать ожидаемое среднее
значение прогнозируемой величины. Однако, отклонения между прогнози-
руемыми и наблюдаемыми значениями могут быть столь существенны, что прогноз становиться практически бесполезным. Поэтому на данном этапе выполняется оценка возможного отклонения про-
гнозных значений от наблюдаемых в точке прогноза и полученный результат сравнивается с допустимыми нормами. По результатам сравнения принима-
ется решение о полезности прогнозной модели на практике. 4. ПОСТРОЕНИЕ РЕГРЕССИОННЫХ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ 4.1 АЛГОРИТМ ПОИСКА ПРОГНОЗНОЙ ФУНКЦИИ Применение метода наименьших квадратов устанавливает итеративный характер поиска наилучшей прогнозной функции. Каждая итерация состоит из следующих шагов: 1. выдвижение гипотезы о слагаемых )(
X
, включенных в прогнозную функ-
цию, 2. расчет оценочных значений параметров bb
,
0
для заданной функции, 3. анализ среднего значения ошибки прогноза. Блок-схема алгоритма поиска приведена на рисунке. Метод, устанавли-
вающий последовательность выдвижения гипотез о слагаемых прогнозной функции (блок 1 схемы 2.2) существенно влияет как на количество итераций алгоритма поиска (а значит и временную эффективность алгоритма), так и на точность результатов поиска (точность алгоритма). В настоящее время суще-
ствуют различные методы, устанавливающие последовательность выдвиже-
ния гипотезы: метод всех возможных регрессий, исключения, включения, шаговый регрессионный метод. Достаточно подробно их описание, условия применения и эффективность можно найти. 20
Рисунок 2.2 Блок-схема алгоритма поиска наилучшей функции аппроксима-
ции НЕТ
11. Коне
ц
2. Расчет оценок параметров функции bb
,
0
3. Расчет значений критериев BICAICFR
,,,
2
характеризующих точность аппроксимации функции Д
А
НЕТ
6. Остались еще нерас-
смотренные функции? 5. Исключение функции текущего вида из исходного множества полиномиальных функций
Д
А 7. Формирование решения о невозможности построения про-
гнозной модели по одной из причин: 1) не учтены все значимые влияющие факторы; 2) утверждение о линейном ха-
рактере зависимости ошибочно. 8. Рассчитанные значения критериев )1(,,
2
ARDW
подтверждают гетероскеда-
стичность и автокорреля-
ц
ию ошибки п
р
огноза 9. Формирование решения о недостаточ-
ной эффективности прогнозной функции из-за ошибочно принятых основной и дополнительной гипотез Д
А
10. Выбор текущей функции в качестве прогнозной НЕТ 4. Точность удовлетворительна? Итерация
1. Выдвижение гипотезы о слагаемых прогнозной функции 21
Алгоритм направленного перебора гипотез о прогнозной функции
В методах направленного поиска применяется частный F-критерий в основу применения которого заложены следующие соображения. Если в некоторую функцию аппроксимации NKXXf
K
);,...,(
€
1
вводится дополнительный влияющий фактор 1K
X
(т.е. мы переходим к другой функ-
ции ),,...,(
€
11 KK
XXXf
) то значение общего F-критерия изменяется. Из этого следует, что вводимый фактор характеризуется некоторой степенью значи-
мости для функции ),...,(
€
1 K
XXf
. Количественной оценкой этой степени важ-
ности является частный F-критерий Ч
F
, значение которого рассчитывается в абсолютных и процентных шкалах. Полученные значения позволяют судить о правдоподобности гипотезы о равенстве нулю коэффициента 1
K
b
при вво-
димом факторе. Существенная вероятность правдоподобности гипотезы (бо-
лее 5%) говорит о нецелесообразности включения данного фактора в функ-
цию аппроксимации ),...,(
€
1
K
XXf
. Частный F-критерий позволяет реализовать идею направленного пере-
бора функций области поиска (блок 1 алгоритма 2.2), сократив тем самым время работы алгоритма. На его применении основаны такие методы поиска наилучшей функции аппроксимации, как метод включения и метод исключе-
ния. Дальнейшее развитие идея направленного перебора исходных функций аппроксимации получила в шаговом регрессионном методе. В нем не только применяется частный F-критерий для оценки полезности очередного вклю-
чаемого фактора, но и сформулированы правила, определяющие порядок рассмотрения включаемых факторов. Данный порядок устанавливается при помощи частного коэффициента корреляции. В основу идеи его применения заложено следующее свойство критерия O
F
: абсолютное значение критерия увеличивается в том случае, если очередной вводимый фактор 1K
X
имеет: - высокую корреляцию (т.е. тесную линейную связь) с остатками )
€
(
YY
по уже введенным в функцию факторам K
XX
,...
1
; 22
- низкую корреляцию с уже введенными факторами K
XX,...
1
. Из этого свойства следует, что первым претендентом на включения це-
лесообразно рассматривать тот фактор, который имеет наиболее высокий ча-
стный коэффициент корреляции наблюдаемым значением. Применение шагового регрессионного метода при ручной реализации алгоритма (рис. 2.2) позволяет существенно сократить время поиска наилуч-
шей функции аппроксимации. Однако при машинном выполнении расчетов, данное преимущество несущественно
. Выбор метода поиска наилучшей прогнозной функции в значительной мере зависит от функциональных возможностей существующих средств ав-
томатизации. Для выполнения самостоятельных заданий данного учебного пособия рекомендуется применять программное приложение «Matrixer v. 5.1». Оригинальная версия программы расположена в Интернете по адресу http://www.nsu.ru/ef/tsy/index.htm.
Исходя из функциональных возможностей программы «Matrixer», при выполнении поиска прогнозной функции по алгоритму __ следует придер-
живаться следующих правил: - первой выдвигается гипотеза о том (блок 1 алгоритма __), что прогнозная функция может быть представлена полиномом (2.8) (наиболее простая поли-
номиальная функция). NN
XbXbbY ...
€
110
(2.8) - переход к другой гипотезе выполняется посредством одной из операций: 1) включение в полином слагаемого более высокого порядка. При этом пред-
почтение на включение отдается тому слагаемому, процентное значение t-
критерия которого а) не превышает 5-и процентный порог, б) минимально среди всех остальных значений
10
. 10
В данном случае t-критерий является альтернативой описанному ранее частному F-критерию, его приме-
нение основано на тех же правилах. 23
2) исключение из полинома незначимого слагаемого. Данная операция вы-
полняется в первую очередь с теми слагаемыми, для которых процентное значение частного F-критерия максимально. Алгоритм этих операций представлен на рис 2.3. Рисунок 2.3 Блок-схема алгоритма включения (исключения) влияющих факторов в модель 6
Оценка процентных значений t-критерия для множества претенден-
тов на включение
Претендент существует? Включаем претендента в модель 1
Д
А
НЕТ
Оценка процентных значе-
ний частного F-критерия для множества претендентов на исключение Претендент существует? Д
А Исключаем претендента из модели НЕТ
24
4.2 ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ НА ОСНОВЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ВЛИЯЮЩИХ ФАКТОРОВ 1 Область поиска прогнозной функции
В качестве дополнительной гипотезы в данной работе вводятся сле-
дующие утверждения: 1. Влияющие факторы X
являются вещественными. 2. Область поиска прогнозной функции ограничена функциями полиноми-
ального вида. Под полиномом в данной работе понимается функция, выраженная равенст-
вом: i
NK
N
KK
iN
xxxbbxxY
)()2(
2
)1(
101
...),...( где: ),...(
1 N
xxY
- прогнозируемая случайная величина, зависящая от множества влияющих факторов N
xx
,...
1
, Libb
i
...1;,
0
- оценочные значения числовых параметров )(),...,1(
NKK
- показатели степеней при влияющих факторах (целые неотрица-
тельные числа, в том числе и равные 0). Максимальное значение степени в фор-
муле определяет степень полинома. Общее количество полиномиальных функций, составляющих область поиска про-
гнозной функции зависит от числа влияющих факторов и степени полинома. ____ формула или таблица____ 4. Автоматизация построения прогнозной модели случайной величины. Ввод исходных данных в программу «Matrixer» выполняется в сле-
дующей последовательности «Матрицы → Создать → Название матрицы → Ввод исходных данных». Выполнение итерации алгоритма в программе «Matrixer» выполняется в следующем порядке: 1. Формирование прогнозной функции в соответствии с текущей гипотезой. «Панели → Регрессии → Линейная регрессия → Выбрать зависимую пе-
25
ременную (
Y
) → Выбрать регрессоры
11
(слагаемые, включаемые в функ-
цию)». 2. Расчет для выбранной функции параметров bb
,
0
и значений критериев BICAICFR
O
,,,
2
. Данная операция выполняется из окна программы «Линейная регрессия» нажатием кнопки . Пример результатов расчета представлен на рис 2.4. Рисунок 2.4 Пример результатов расчета показателей выбранной функции 3. Оценка t-критериев для слагаемых (претендентов на включение) более вы-
сокого порядка. «Результаты → Эффекты второго порядка». Полученные ре-
зультаты (рис. 2.5) упорядочены по мере уменьшения значимости включения факторов. 11
В поле выбора регрессоров по умолчанию всегда включается 1. Это фиктивный влияющий фактор при коэффициенте 0
b
. Коэффициент детерминации Общий F-критерий первое значение – абсолютное второе - процентное Параметры bb
,
0
26
4. Оценка частных F-критериев для факторов (претендентов на исключение). «Результаты → Критерий удаления переменных → Выбрать последовательно каждый фактор-претендент». После выбора очередного фактора выполняется автоматический расчет частного F-критерия (рис 2.6). Первым из уравнения удаляется фактор для которого: а) значение частного F-критерия превышает 5-и процентный порог, б) максимально среди всех факторов-
претендентов. Рис. Пример результатов расчета значение t-критерия для включаемых в функцию факторов Процентное значение t-критерия 27
Рис 2.6 Пример результатов расчета частного F-критерия Для расчета границ доверительного интервала в программе «Matrixer» выполняются следующие действия: - расчет несмещенной оценки среднеквадратического отклонение ошибки прогноза 'S
: «Результаты → Дополнительно → Описательные статистики: остатки», - расчет значения двустороннего квантиля (применительно к рассматривае-
мой задаче выполняется с параметрами 95.0,12
t
): «Показать → Распределения → Вероятность (0.95) → Найти (Граница) → Степени свободы (df1=12) → распределение (t Стьюдента) → Хвост распределения (Середина) → Рассчи-
тать». Результат вычислений выводится в поле «Граница». 5. Пример построения прогнозной модели Исходные данные: Выделенный фактор Частный F-критерий для выделенного фактора Первое значение – абсолютное Второе - процентное 28
1. Исследуемая случайная величина Y
- потребление резины в шинной про-
мышленности, 2. Влияющие факторы, отобранные экспертными методами: 1
X
- производство автомобилей 2
X
- валовый национальный доход 3
X
- чистый годовой доход на душу населения 4
X
- потребление моторного топлива Статистические наблюдения значений исходных данных приведены в табли-
це 2.2. Таблица 2.2 Y X1 X2 X3 X4 0,871 1,287 0,984 0,987 1,046 1,22 1,281 1,078 1,064 1,081 0,975 0,787 1,061 1,007 1,051 1,021 0,796 1,013 1,012 1,046 1,002 1,392 1,028 1,029 1,036 0,89 0,893 0,969 0,993 1,02 1,213 1,4 1,057 1,047 1,057 0,918 0,721 1,001 1,024 1,034 1,014 1,032 0,996 1,003 1,014 0,914 0,685 0,972 0,993 1,013 1,17 1,291 1,046 1,027 1,037 0,952 1,17 1,004 1,001 1,007 0,946 0,817 1,002 1,014 1,008 1,096 1,231 1,049 1,032 1,024 0,999 1,086 1,023 1,02 1,03 1,093 1,001 1,035 1,053 1,029 Задача: опираясь на основную и дополнительную гипотезы построить про-
гнозную модель случайной величины Y
на основе значений влияющих фак-
торов ),,,(
4321
XXXX
и оценить ее эффективность Решение задачи. Последовательность вычислений сведем в таблицу 2.3. 29 Таблица 2.3 Значение критериев эффективности функции №№ ите-
рации Исследуемая прогнозная функция 2
R
O
F
абс. [
O
F
пр.] AIC BIC Включаемый фак-
тор и значение его t-критерия Исключаемый фактор и значение его F-критерия (поцентное) 1 443322110
€
XbXbXbXbbY
81,61% 12,21 [0,05%] -2,56 -2,27 21
*XX
; 4,97% 2 2112443322110
€
XXbXbXbXbXbbY
87,72% 14,29 [0,03%] -2,84 -2,50 4
X
; 70,41% 3 21123322110
€
XXbXbXbXbbY
87, 54% 19,32 [0,01%] -2,95 -2,66 3
X
; 38,17% 4 211222110
€
XXbXbXbbY
86,6% 25,85 [0%] -3,0 -2,77 2
X
; 9,38% 5 2112110
€
XXbXbbY
82,9% 31,51 [0%] -2,89 -2,70 Окончание Расчета 30
Как видно из полученных результатов, прогнозные функции 4 и 5 мож-
но рассматривать как альтернативные поскольку переход от 4-й функции к 5-
й приводит к улучшению критерия O
F
, но ухудшению критериев BICAICR
,,
2
. Поэтому дальнейшая оценка этих функций выполняется по критериям, ха-
рактеризующим гомоскедастичность и автокорреляцию ошибки прогноза (таблица __). Таблица 2.4 Альтернативные функции Критерий 211222110
€
XXbXbXbbY 2112110
€
XXbXbbY Гетероскедастичность 89,96% 57,48% AR(1) 3,6% 16,8% DW 2,73 2,52 Из таблицы __ следует, что функция 5 более предпочтительна, кроме того она не противоречит необходимым условиям свойств ошибки прогноза. Поэтому именно ее мы принимаем в качестве прогнозной функции. Тогда окончательный вид прогнозной функции принимает вид 211
**543.2*58,2919,0 xxxY
П
а доверительный интервал в точках прогноза по формуле (2.5) определяется как: ]1,0[ П
YI
4. Варианты заданий для лабораторной работы №1 Опираясь на основную и дополнительную гипотезы построить про-
гнозную модель случайной величины Y
на основе значений влияющих фак-
торов. Вариант 1 Y Х1 Х2 Х3 Х4 18,24 256 36384 37253 1,14 42,8 512 54320 62622 1,08 16,34 512 47440 32577 0,77 47,52 1024 64836 39450 0,71 0,98 512 3520 1669 0,48 31
25,8 256 44052 30058 1,29 18,62 512 51532 34637 0,81 10,26 512 31360 24557 0,74 31,92 512 55110 51610 1,31 9,28 512 23774 19422 1,07 9,28 256 21979 53807 1,14 0,96 512 4436 2465 0,62 43,12 1024 62309 60346 0,68 8,1 512 21974 25720 0,71 6,5 256 27524 40000 1,06 3,24 512 13318 25000 0,66 3,2 512 12224 25000 0,71 Вариант 2 Y X1 X2 X3 X4 X5 0,534 573 1059 46,5 53,8 84,1 0,535 651 1356 52,7 54,5 88,7 0,57 606 1273 49,4 52,1 92 0,528 630 1151 48,9 50,3 87,9 0,548 547 1135 53,1 51,9 91,5 0,555 557 1236 54,9 55,2 91,4 0,481 489 1231 56,2 45,5 82,4 0,516 685 1564 56,6 44,3 91,3 0,475 536 1182 59,2 46,4 85,4 0,486 685 1564 63,1 56,4 91,4 0,554 664 1588 50,6 48,1 86,7 0,519 703 1335 51,9 48,4 81,2 0,492 653 1395 62,5 51,9 89,2 0,517 586 1114 50,5 56,5 88,9 0,502 534 1143 52,1 57 88,9 0,508 523 1320 50,5 61,2 91,9 0,52 580 1249 54,6 60,8 95,4 0,506 448 1028 52,2 53,4 91,8 0,595 476 1057 42,9 53,2 92,9 0,568 528 1057 42,4 56,6 90,9 Вариант 3 Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 34 1 17,75 60,2 5,83 69 1,49 77,9 2,42 74,4 32,9 2 14,76 57,5 3,83 75 2,72 77,2 3,3 72,6 43 3 27,99 62,3 5,17 72 3,12 75,8 7,1 72,2 40 4 16,76 60,5 1,64 77,8 3,45 76,1 3,01 70,5 23 5 11,36 69,5 3,49 77,2 3,85 79,7 2,84 73,4 32
38 6 22,71 55 7 65,9 3,35 79,4 2,42 73,6 20 7 17,91 66,2 2,85 70,1 0,51 83,4 3,48 79,2 44,6 8 23,31 61,8 3,8 69 2,63 75,9 3,99 77,8 46,3 9 18,53 59,5 4,67 69,2 4,24 76,5 3,82 75,7 52,2 10 18,56 66,4 5,32 71,4 3,15 76,2 4,72 70,7 52,3 11 12,45 58,4 3,56 71,3 4,57 76,7 6,44 70,7 51 12 16,05 66 6,2 70 2,24 75,1 1,94 75,1 59,9 13 27,1 59,3 5,93 69,7 4,89 74,3 3,17 72,2 54,7 14 19,05 57,5 6,16 71,6 4,56 75,4 5,07 74 52 15 20,79 64,6 5,88 71,7 3,73 72,6 5,88 71,8 43,5 16 21,88 55,1 4,7 64,1 2,96 72,1 3,43 72,5 56,7 17 20,02 56,5 6,41 69,8 2,45 73,8 3,56 68,9 30,5 18 23,17 55,6 10,39 66,3 1,72 72,8 1,49 80,6 60,5 19 19,15 59,2 3,42 68,6 4,14 75 2,54 73,9 46,1 20 18,28 63,5 5,51 72,4 3,47 76,2 2,34 73 48,2 21 18,45 59,8 5,7 68,4 4,65 69,7 2,39 67,7 43,1 22 22 62,2 6,11 65,2 4,45 72,1 6,21 70,5 62,2 23 19,05 59,6 5,4 74,2 3,84 74,7 4,78 70 52,9 24 15,67 60 5,31 73,2 3,28 74,6 2,33 73,2 53,9 25 15,92 55,6 6,36 72,9 1,79 77,4 7,1 72,1 48,4 26 16,75 63,6 3,07 67,2 3,29 79,8 1,79 77,2 52,8 27 12,34 62,4 2,56 74,7 4,51 72,7 4,42 73 62,1 28 15,82 59 4,84 68,9 3,54 77,9 3,76 72,9 66 29 15,24 62,5 3,8 66,4 7,55 70,5 2,55 73 64,2 30 21,72 62,8 4,11 71,5 2,29 72,3 4,92 76,3 63,2 31 25,08 59,7 4,43 67,4 2,76 72,6 5,36 73,2 75,4 32 17,79 57,4 3,36 69,4 5,51 72,6 3,04 72,4 76 33 26,61 66,6 3,12 69,1 6,27 71,6 4,31 72,5 Вариант 4 Y1 X1 X2 X3 X4 0,909 1,287 0,984 0,987 1,046 1,252 1,281 1,078 1,064 1,081 0,947 0,787 1,061 1,007 1,051 1,022 0,796 1,013 1,012 1,046 1,044 1,392 1,028 1,029 1,036 0,905 0,893 0,969 0,993 1,02 1,219 1,4 1,057 1,047 1,057 0,923 0,721 1,001 1,024 1,034 1,001 1,032 0,996 1,003 1,014 0,916 0,685 0,972 0,993 1,013 1,173 1,291 1,046 1,027 1,037 0,938 1,17 1,004 1,001 1,007 33
0,965 0,817 1,002 1,014 1,008 1,106 1,231 1,049 1,032 1,024 1,011 1,086 1,023 1,02 1,03 1,08 1,001 1,035 1,053 1,029 Список рекомендуемой литературы 1. Теория вероятностей. Учеб. пособие для вузов / Е.С. Вентцель. - М.: Высш. шк., 2002. – 575 с. 2. Математическая статистика. Учеб. пособие для вузов / В.Б. Горяинов, И.В. Павлов, Г.М. Цветкова и др. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. – 424 с. 3. Математические методы статистики. Г. Крамер
М.: Изд-во Мир, 1976. – 648 с. 4. Прикладной регрессионный анализ. / Н. Дрейпер, Г. Смит. М.: Изд-во «Статистика», 1973. – 392 с. 5. Основы совершенствования системы организации вагонопотоков на железнодорожном транспорте. Ч.1 Учеб. пособие / В.Н. Скляров Рос-
тов-на-Дону: Изд-во РГУПС, 2006. – 100 с. 6. __эконометрика интернет-ресурс 7. _проверка статистических гипотез 8. Рабочая книга по прогнозированию. /под редакцией С.Н. Селиванова, В.А. Покровоского М.: Изд-во «Мысль», 1982. – 432 с. 
Автор
Z
Z3   документа Отправить письмо
Документ
Категория
Наука
Просмотров
1 593
Размер файла
405 Кб
Теги
статистика, прогнозирование
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа