close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

coll 1

код для вставкиСкачать
Вопросы к коллоквиуму по математическому анализу
1 семестр
МП-10, 11, 12, 13, 14, 15, ИМЭ-15
1.
Точные верхние и нижние грани множества. Эквивалентные определения. Свойства. 2.
Теорема о существовании точной верхней грани ограниченного множества. 3.
Определение предела последовательности. Предельные точки. Единственность
предела.
4.
Извлечение корня из сходящейся последовательности. Доказать lim lim.
k
k
n n
n n
x a x a
®¥ ®¥
= Þ =
5.
Ограниченность сходящейся последовательности.
6.
Сохранение знака сходящейся последовательности.
7.
Предельный переход под знаком неравенства для последовательностей.
8.
Теоремы о сумме и произведении сходящихся последовательностей.
9.
Теорема о частном сходящихся последовательностей.
10.
Предел монотонной ограниченной последовательности.
11.
Число "
е
".
12.
Лемма о вложенных отрезках.
13.
Теорема Больцано-Вейерштрасса.
14.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, их свойства. Теорема
Больцано-Вейерштрасса для бесконечно большой последовательности. 15.
Критерий Коши сходимости последовательности.
16.
Предел функции
в точке. Эквивалентность определений по Коши и по Гейне.
Примеры функций, имеющих и не имеющих предела в точке.
17.
Ограниченность функции, имеющей конечный предел.
18.
Сохранение знака функции, имеющей конечный ненулевой предел.
19.
Предельный переход под знаком неравенства для функций.
20.
Арифметические действия над пределами функций.
21.
Первый замечательный предел.
22.
Второй замечательный предел.
23.
Критерий Коши существования предела функции. 24.
Функции, стремящиеся к 0 и к ¥
. Пределы на бесконечности.
25.
Определения «
о
»
-
малого, «
о
»
-
большого, эквивалентных функций. Вычисление
пределов с помощью эквивалентностей.
26.
Непрерывность функции в точке. Свойства. Теорема о непрерывности сложной
функции.
27.
Непрерывность основных элементарных функций. 28.
Теорема об ограниченности непрерывной на отрезке функции.
29.
Теорема о максимальном и минимальном значении непрерывной на отрезке функции.
30.
Теорема о переходе через 0 непрерывной на отрезке функции.
31.
Теорема о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции.
32.
Теорема о функции, обратной непрерывной монотонной.
33.
Односторонние пределы. Классификация точек разрыва. Существование
односторонних пределов у монотонных на отрезке функций. Упражнения к коллоквиуму по математическому анализу
1 семестр
МП-10, 11, 12, 13, 14, 15
1.
Доказать, что если существуют sup
X
и sup
Y
, то существует sup( )
X Y
+
и
sup( ) sup sup
X Y X Y
+ = +
(по определению).
2.
Доказать, что если существуют inf
X
и inf
Y
, то существует inf( )
X Y
+
и
inf( ) inf inf
X Y X Y
+ = +
( по определению).
3.
Доказать, что если существует inf
X
, то существует sup( )
X
-
и sup( ) inf
X X
- =-
(по
определению
4.
Доказать, что если существует sup
X
, то существует inf( )
X
-
и inf( ) sup
X X
- =-
( по
определению).
5.
Доказать, что если X Y
£
и существуют sup
X
, sup
Y
, то sup sup
X Y
£
( по определению).
6.
Доказать, что если X Y
£
и существуют inf
X
и inf
Y
, то inf inf
X Y
£
( по определению).
7.
Доказать, что если X Y
³
и существуют inf
X
и sup
Y
, то inf sup
X Y
³
( по определению).
8.
Доказать, что у ограниченного снизу множества существует inf
(непосредственно).
9.
Если в любой окрестности точки а
лежит бесконечное множество членов
последовательности, следует ли, что она
а) сходится;
б) ограничена?
8.
Может ли неограниченная последовательность иметь предельную точку?
9.
Может ли бесконечно большая последовательность иметь предельную точку?
10.
Верно ли утверждение: "Если последовательность имеет одну предельную точку, то она
сходится"?
11.
Найти верхний и нижний пределы у последовательности cos
n
y n
=
.
12.
Доказать, что функция Дирихле 1,
если ;
( )
0,
если .
x Q
f x
x Q
Î
ì
=
í
Ï
î
не имеет предела ни в одной точке (по
определениям по Коши и по Гейне, по критерию Коши)..
13.
Доказать, что функция 1
( ) cos
f x
x
=
не имеет ни правого, ни левого предела в точке 0
x
=
.
14.
Доказать по определению непрерывность функций ,
n
y x
=
,
n
y x
=
cos,
y x
=
sin.
y x
=
15.
Исходя из определения "
о
-малого" доказать {
}
min,
( ) ( ) ( )
n m
n m
o x o x o x
± =
.
16.
Исходя из определения "
о
-малого" доказать ( ) ( ) ( )
n m n m
o x o x o x
+
× =
.
17.
Исходя из определения "
о
-малого" доказать (
)
( ) ( )
n
m n m
o o x o x
×
æ ö
=
ç ÷
è ø
.
Допуск к коллоквиуму Расписать по определению по Коши и по Гейне, символами и словами, нарисовать картинку,
обозначив соответствующие окрестности для случаев:
1. 0
lim ( )
x x
f x A
®
=
; 2. 0
0
lim ( )
x x
f x A
® +
=
; 3. 0
0
lim ( )
x x
f x A
® -
=
; 4. lim ( )
x
f x A
®+¥
=
; 5. lim ( )
x
f x A
®-¥
=
; 6. lim ( )
x
f x A
®¥
=
; 7. 0
lim ( )
x x
f x
®
=+¥
; 8. 0
lim ( )
x x
f x
®
=-¥
; 9. 0
lim ( )
x x
f x
®
=¥
; 10. 0
0
lim ( )
x x
f x
® +
=+¥
; 11. 0
0
lim ( )
x x
f x
® +
=-¥
; 12. 0
0
lim ( )
x x
f x
® +
=¥
; 13. 0
0
lim ( )
x x
f x
® -
=+¥
; 14. 0
0
lim ( )
x x
f x
® -
=-¥
; 15. 0
0
lim ( )
x x
f x
® -
=¥
; 16. lim ( )
x
f x
®+¥
=+¥
; 17. lim ( )
x
f x
®+¥
=-¥
; 18. lim ( )
x
f x
®+¥
=¥
; 19. lim ( )
x
f x
®-¥
=+¥
; 20. lim ( )
x
f x
®-¥
=-¥
; 21. lim ( )
x
f x
®-¥
=¥
; 22. lim ( )
x
f x
®¥
=+¥
; 23. lim ( )
x
f x
®¥
=-¥
; 24. lim ( )
x
f x
®+¥
=¥
.
Автор
mks.93
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
481
Размер файла
148 Кб
Теги
coll_1
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа