close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Шпора по матану

код для вставкиСкачать
Теорема Ферма
:
(
Необходимое у
словие существования экстремума)
Если f
(
x
) дифференцируема в точке
0
x
и 0
x
–
точка локального экстремума, то 0
'( ) 0
f x
=
.
Доказательство:
Пусть 0
'( ) 0
f x
> Þ
f
(
x
) возрастает в точке 0
x
, т.е.
0 0 0
0 0
f
при x f
x
x f
> > >
< <
V
V V
V
V V
, т.е. 0
x
–
не точка экстремума.
Аналогично невозможен случай 0
'( ) 0
f x
<
, следовательно 0
'( ) 0
f x
=
. Теорема доказана.
Билет
12
Теорема Ролля.
Теорема
:
Если функция )
(
x
f
y
=
непрерывна на [
]
b
a
,
, дифференцируема на (
)
b
a
,
и
)
(
)
(
b
f
a
f
=
, то существует точка )
,
(
b
a
Î
x
, такая
, что 0
)
(
=
¢
x
f
.
Доказательство:
Так как функция f
непрерывна на [
a
,
b
]
, то существует точка x
1
, в которой f
достигает максимума и точка x
2
, в которой f
достигает минимума. Рассмотрим 2 случая:
1.
Обе точки x
1
и x
2
совпадают с a
или b
, тогда const
f
x
f
x
f
b
f
a
f
=
Þ
=
=
=
)
(
min
)
(
max
)
(
)
(
И тогда )
,
(
b
a
Î
"
x
производная 0
)
(
=
¢
x
f
2.
Одна из точек не является концевой отрезка [
a
,
b
]
. Пусть x
-
та из них, которая )
,
(
b
a
Î
, тогда в точке x
д
остигается локальный экстремум, кроме того, )
(
x
f
¢
$
, так как по условию )
(
x
f
¢
существует )
,
(
b
a
x
Î
"
. Поэтому по теореме Ферма 0
)
(
=
¢
x
f
, что и требовалось доказать.
Контрпример 1
Уберем непрерывн
ость в точке b
:
теорема потеряет силу.
Контрпример 2
Уберем дифференцируемость в одной из точек
:
теорема потеряет силу.
Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл:
если выполнены все услови
я теор
емы, то на графике функции !
)
(
x
f
y
=
существует точка )),
(
,
(
x
x
f
касательная в которой параллельна оси x
.
Физический смысл: при прямолинейном движении если перемещение тела = 0, то существуе
т момент времени, в который скорость тела = 0.
a
ξ
ξ
b
b
a
b
a
y
x
c
a
b
Билет 13
Теорема Коши. Физический смысл.
Теорема:
(Коши о среднем)
Пусть функции f(x)
и g(x)
непрерывны на отрезке [
a,b
] и имеют производные на интервале (
a,b
), одновременно не обращающиеся в ноль. При это
м g(b)
-
g(a)
¹
0 (
что следует из условия g΄(x)
¹
0)
. Тогда на интервале (
a,b
) найдется точка ζ, для которой выполняется неравенство:
(
)
(
)
z
¢
z
¢
=
-
-
g
f
a
g
b
g
a
f
b
f
)
(
)
(
)
(
)
(
, a<ζ<b
.
Доказательство
:
Вводим функцию H
(
x
)=(
f
(
b
)
-
f
(
a
))·
g
(
x
)
-
(
g
(
b
)
-
g
(
a
))·
f
(
x
)
. Очевидно, что она непрерывна
на [
a,b
] и имеет производную на (a,b)
, т.к. f(b)
-
f(a)
и g(b)
-
g(a)
постоянны. Кроме того, H(a)=H(b)
, поэтому по теореме Ролля найдется такая точка ζ из (a,b)
, что H΄(ζ)=0.
H΄(ζ)=(f(b)
-
f(a))·g΄(ζ)
-
(g(b)
-
g(a))·f΄(ζ)
Þ
(
f(b)
-
f(a))·g΄(ζ)=(g(b)
-
g(a))·f΄(ζ)
(
)
(
)
z
¢
z
¢
=
-
-
Þ
g
f
a
g
b
g
a
f
b
f
)
(
)
(
)
(
)
(
, т.к. по условию g(b)
-
g(a)
¹
0
и g΄(x)
¹
0
на (a,b)
.
Теорема доказана.
Физический смысл:
Если f΄(x)
и g΄(x)
–
скорости, то отношение перемещений равно отношению скоростей в какой
-
то момент времени.
Би
лет
14
Теорема о среднем Лагранжа.
Теорема
:
Пусть функция )
(
x
f
непрерывна на отрезке ]
,
[
b
a
и имеет производную на интервале )
,
(
b
a
. Тогда существует на интервале )
,
(
b
a
точка c
, для которой выполняется раве
нство )
(
)
(
)
(
)
(
c
f
a
b
a
f
b
f
¢
-
=
-
(1)
,
причем )
(
b
c
a
<
<
.
Доказательство
:
В теореме Коши, возьмем x
x
g
=
)
(
. Тогда 1
)
(
=
¢
x
g
,
a
a
g
=
)
(
, b
b
g
=
)
(
.
Из теоремы Коши: )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
c
g
c
f
a
g
b
g
a
f
b
f
¢
¢
=
-
-
Þ
)
(
)
(
)
(
c
f
a
b
a
f
b
f
¢
=
-
-
теорема доказана.
Физический смысл
:
Найдется момент времени когда мгновен
cp
V
V
=
(средняя скорость равна мгновенной)
Геометрический смысл
:
Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая есть график непр
ерывной на ]
,
[
b
a
функции, имеющей производную на )
,
(
b
a
, то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе )
(
b
c
a
c
<
<
такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стяги
вающей концы кривой ))
(
,
(
a
f
a
и ))
(
,
(
b
f
b
.
Равенство (1) называется формулой (Лагранжа) конечных приращений
. Промежуточное значение c
удобно записывать в виде )
(
a
b
a
c
-
+
=
q
, где q
есть некоторое число, удовлетворяющее неравенствам 1
0
<
<
q
. Тогда формула Лагранжа примет вид
))
(
(
)
(
)
(
)
(
a
b
a
f
a
b
a
f
b
f
-
+
¢
-
=
-
q
)
1
0
(
<
<
q
Она верна, очевидно, не только для b
a
<
, но и для b
a
³
.
Билет 15
Достаточное условие невозрастания (неубывания) функции на отрезке. Условие постоянства функции на отрезке.
Определение:
Функция f
называется строго возрастающей на отрезке [
a
,
b
], если для любых точек 1
х
, 2
х
из [
a
,
b
], удовлетворяющих неравенству 2
1
x
x
<
, имеет место неравенство
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
<
.
Определение:
Функция f
называется неубывающей на [
a
,
b
], если из того, что ]
,
[
,
2
1
b
a
x
x
Î
и 2
1
x
x
<
следует, что )
(
)
(
2
1
x
f
x
f
£
.
Определение:
Функция f
называется строго убывающей на отрезке [
a
,
b
], если из того, что ]
,
[
,
2
1
b
a
x
x
Î
и 2
1
x
x
<
следует, что )
(
)
(
2
1
x
f
x
f
>
. Определение:
Функция f
называется невозрастающей на [
a
,
b
], если из того, что ]
,
[
,
2
1
b
a
x
x
Î
и 2
1
x
x
<
следует, что )
(
)
(
2
1
x
f
x
f
³
.
Пример:
x
x
f
1
)
(
=
Ес
ли )
(
x
f
убывает на )
;
0
(
¥
+
и на )
0
;
(
-¥
, т
о нельзя говорить, что )
(
x
f
убывает на ( ; 0) (0 ; )
-¥ È +¥
.
Теорема 1:
(необходимое условие возрастания (неубывания) функции в точке 0
x
)
Если функция )
(
x
f
возрастает (неубывает) в точке 0
x
и дифференцируема в 0
x
, то 0
)
(
'
0
³
x
f
. Док
азательст
во:
0
lim
)
0
(
0
:
0
0
³
D
D
³
>
D
D
Þ
<
D
D
"
>
$
®
D
x
f
x
f
x
x
x
d
d
Теорема доказана.
Пример
:
3
)
(
x
x
f
=
возрастает в 0 и 0
)
0
(
'
=
f
Теорема 1’
:
(необходимое условие убывания
(не
возрастания
) функции в точке 0
x
)
Если функция )
(
x
f
убывает (невозрастает) в точке 0
x
и ди
фференцируема в 0
x
, то 0
)
(
'
0
£
x
f
. Доказательство –
аналогично теореме 1.
Теорема 2
:
(достаточное условие возрастания)
Если функция )
(
x
f
дифференцируема в 0
x
и 0
)
(
'
0
>
x
f
, то )
(
x
f
возрастает в точке 0
x
.
Доказательство
:
0
)
(
'
>
x
f
0
lim
0
>
=
D
D
®
D
A
x
f
x
f
A
x
f
x
x
Þ
>
>
D
D
Þ
<
D
D
"
>
$
0
2
:
0
d
d
возрастает.
Теорема доказана.
Замечание:
Если в точке 0
x
0
)
(
'
0
³
x
f
, то ни про возрастание, ни про убывание ничего сказать нельзя. Билет 1
Производная. Определение, непрерывность функции, имеющей производную.
Определение:
Производной от функции f
в точке x
называется предел, к которому стремится отношение ее приращения y
D
в этой точке к соответствующему приращению х
D
аргумента, когда последнее стремится к нулю:
0 0
( ) ( )
'( ) lim lim
x x
y f x x f x
f x
x x
D® D®
D +D-
= =
D D
Т.е., если )
(
x
f
определена в )
(
0
x
U
, то 0
0
при
)
(
х
х
х
x
U
x
-
=
D
Î
"
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
'
lim
)
(
)
(
и
0
x
x
x
f
x
f
x
x
f
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x
f
f
x
x
x
x
-
-
=
D
-
D
+
=
=
D
D
$
-
D
+
=
D
®
®
D
®
D
Теорема
:
(необходимое условие существования производной)
Если функция f
имеет конечную '
f
в точке 0
x
, то f
непрерывна в точке 0
x
.
Доказате
льство:
x
o
x
f
x
f
o
x
f
x
f
x
f
x
f
x
D
×
+
×
D
=
D
+
=
D
D
=
D
D
$
®
D
)
1
(
)
(
'
)
1
(
)
(
'
)
(
'
lim
0
0
0
0
При 0
,
0
®
D
®
D
f
x
,
Следовательно f
-
непрерывна в точке 0
x
.
Теорема доказана.
Замечание
:
обратное утверждение неверно, если функция f
непрерывна в то
чке x
, то отсюда не следует, что она имеет производную в этой точке.
Контрпример
:
x
y
=
Утверждение
:
если функция имеет в точке правую и левую производную, то она непрерывна и справа и слева.
Контрприме
р:
1
sin , 0
( )
0 , 0
x x
f x
x
x
ì
× ¹
ï
=
í
ï
=
î
0
1
lim sin 0 (0)
1
sin 0
'(0) - не существует
x
x f
x
x
x
f
x
®
+
× ==
D× -
D
=
D
A
B
C
( )
f x
x
D
0
x
0
( )
f x
x
Билет 2
Геометрический смысл производной.
Теорема
1:
График функции имеет невертикальную касательную тогда и только тогда, когда существует конечное значение производной этой функции в данной точке.
Дока
зательство:
Пусть существует значение f
’(
0
x
)
-
конечное, тогда
x
AC
D
=
f
BC
D
=
x
f
tg
сек
D
D
=
a
при 0
>
-
D
x
сек кас
tg tg
a a
®
Секущая стремится к касательной.
0
''( )
f x tg tg
сек кас
a a
¬ ®
=> 0
'( )
кас
f x tg
a
=
ч.т.д.
Пусть существует невертикальная касательная => существует кас
tg
a
-
конечный.
Секущая стремится к касательной.
a a
®
сек кас
tg tg
=> 0
0
lim'( )
®
D
$ =
D
x x
f
f x
x
Теорема доказана.
Билет
3
Арифметические свойства производной.
Пусть f
= f
(
x
) и g
= g
(
x
) –
функции, имеющие конечные производные в точке x
0
, тогда справедливы равенства:
1.
(
)
g
f
g
f
¢
±
¢
=
¢
±
2.
(
)
f
g
g
f
g
f
¢
+
¢
=
¢
*
2.1.
(
)
f
k
kf
¢
=
¢
гд
е k
–
константа
3.
2
g
f
g
g
f
g
f
¢
-
¢
=
¢
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. g
f
x
x
g
x
f
x
x
g
x
x
f
x
x
g
f
x
¢
±
¢
=
D
-
-
D
+
+
D
+
®
D
=
D
+
D
®
D
)
(
)
(
)
(
)
(
0
lim
)
(
0
lim
2.
f
g
g
f
x
x
f
Δx)
f(x
x
x
g
x
g(x)
x
x
g
x
x
f
x
x
f
Δx)
f(x
x
g
x
x
g(x)
x
x
g
x
x
f
x
x
x
f
Δx)
f(x
x
g
g(x)
x
x
g
x
x
f
x
x
x
g
x
f
x
x
g
x
x
f
x
x
x
g
x
f
x
x
g
x
x
f
x
x
g
f
x
g
f
¢
+
¢
=
D
-
+
®
D
+
D
-
D
+
®
D
=
D
-
+
®
D
+
+
D
-
D
+
D
+
®
D
=
D
-
+
+
-
D
+
D
+
®
D
=
=
D
*
-
*
+
+
*
+
-
D
+
*
D
+
®
D
=
=
D
*
-
D
+
*
D
+
®
D
=
D
*
D
®
D
=
¢
*
))
(
(
0
lim
)
(
)
(
0
lim
)
(
))
(
)(
(
0
lim
)
)
(
)(
(
0
lim
))
(
)(
(
)
)
(
)(
(
0
lim
)
(
)
(
)
(
)
(
0
lim
)
(
)
(
)
(
)
(
0
lim
)
(
0
lim
)
(
g(x)
Δx)
f(x
g(x)
Δx)
f(x
Заметим, что функция f
, как имею
щая производную, непрерывна, и потому при 0
®
D
x
)
(
)
(
x
f
x
x
f
®
D
+
3. [
]
(
)
(
)
2
)
(
0
lim
)
(
)
(
0
lim
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
lim
)
(
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
0
lim
)
(
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
0
lim
)
(
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
lim
)
(
)
(
)
(
)
(
0
lim
g
f
g
g
f
x
x
g
Δx)
g(x
x
x
f
x
f(x)
x
x
f
x
x
g
x
g
x
x
g
x
x
g
x
f
x
f
x
x
f
x
g
x
x
g
x
x
x
g
x
f
x
g
x
x
f
x
x
g
x
x
x
g
x
f
x
g
x
x
f
x
x
g
x
g
x
x
g
x
g
x
x
g
x
x
x
g
x
f
x
g
x
x
f
x
x
x
g
x
f
x
x
g
x
x
f
x
g
f
¢
-
¢
=
D
-
+
®
D
-
D
-
D
+
®
D
=
=
D
-
D
+
-
-
D
+
®
D
=
=
D
D
+
*
-
*
+
*
-
*
D
+
®
D
=
D
D
+
*
-
*
D
+
®
D
=
=
®
D
+
=
*
D
+
*
D
D
+
*
-
*
D
+
®
D
=
D
-
D
+
D
+
®
D
=
¢
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
g(x)
f(x)
g(x)
f(x)
Билет 4
Производная обратной функции.
Определение:
Пусть на интервале (
a
,
b
) задана непрерывная строго монотонная, т.е. стр
ого возрастающая или строго убывающая, функция )
(
x
f
y
=
. Пусть образ (
a
,
b
) есть интервал (
A
,
B
). тогда обратная к f
функция )
(
y
x
j
=
есть однозначная непрерывная и строго монотонная на (
A
,
B
) функция.
Зафик
сируем )
,
(
b
a
x
Î
и дадим ему приращение )).
,
(
(
b
a
x
x
Î
D
+
Тогда f
получит соответствующее приращение ).
(
что
такое,
))
,
(
,
(
x
x
f
y
y
B
A
y
y
y
y
D
+
=
D
+
Î
D
+
D
Наоборот, .
)
(
x
x
y
y
D
+
=
D
+
j
Вследствие непрерывности прямой и обратной функций для указанных y
x
D
D
и
имеет место утверждение: из 0
®
D
x
следует
0
®
D
y
, и обратно.
Пусть теперь функция j
в точке у имеет неравную нулю производную )
(
'
y
j
. Покажем, что в т
аком случае функция f
также имеет в соответствующей точке х производную. В самом деле, .
1
y
x
x
y
D
D
=
D
D
Так как из того, что 0
®
D
x
следует, что
0
®
D
y
, то
2 2
0
0
1 1 1
lim, и мы получили '( ), (1)
'( )'( )
lim
1
или . (1')
x
y
y
f x
x
x y y
y
dy
dx
dx
dy
j j
D®
D®
D
= = =
D
D
D
=
Этим доказано, что если )
(
x
f
y
=
есть строго монотонная непрерывная функция и )
(
y
x
j
=
обратная к ней функция, имеющая в точке у производную 0
)
(
'
¹
y
j
, то функция f
имеет в соответствующей точке х производ
ную, определяемую формулой (1).
Может случится, что в точке .
lim
0
¥
=
D
D
®
D
y
x
y
y
В этом случае, очевидно, функция f
имеет в соответствующей точке х производную 0
)
(
'
=
x
f
.
Если же 0
lim
0
=
D
D
®
D
y
x
y
, то для строго
возрастающей функции при этом 0
>
D
D
y
x
, а для строго убывающей 0
<
D
D
y
x
. В первом случае +¥
=
)
(
'
x
f
, а во втором -¥
=
)
(
'
x
f
.
Пример 1
.
0
,
log
ln
1
ln
1
)'
(
1
)'
(log
log
>
=
=
=
=
=
a
x
e
x
x
x
a
a
x
x
y
a
y
y
a
a
Если логарифм натуральный, то x
x
1
)'
(ln
=
.
Функция ln
x
как действительная функция определена только для положительных значений х.
Пример 2
.
0
,
1
1
)'
(ln
ln
¹
=
=
=
x
x
x
sign
x
x
x
y
где î
í
ì
<
-
>
=
0
х
для
1
0
х
для
1
x
sign
Пример 3
.
Пример 4
.
Функция x
y
arcsin
=
строго возрас
тает на отрезке [
-
1,1] и отображает этот отрезок на ].
2
,
2
[
p
p
-
Обратная к ней функция y
x
sin
=
имеет производную ,
cos
)'
(sin
y
y
=
положительную на интервале )
2
,
2
(
p
p
-
. Поэтому
.
1
1
,
1
1
sin
1
1
cos
1
)'
(sin
1
)'
(arcsin
2
2
<
<
-
-
=
-
=
=
=
x
x
y
y
y
x
Пример 5.
.
1
1
,
1
1
)'
arcsin
2
(
)'
(arccos
2
<
<
-
-
-
=
-
=
x
x
x
x
p
Пример 6.
.
,
1
1
1
1
sec
1
)'
(
1
)'
(
2
2
2
+¥
<
<
¥
-
+
=
+
=
=
=
x
x
y
tg
y
y
tg
x
arctg
Билет 5
Производная сложной функции.
Теорема:
Пусть функция
( )
f x
такая, что
)
(
0
x
f
¢
$
,
и функция ( )
g y
такая, что
)
(
0
y
g
¢
$
, )
(
0
0
x
f
y
=
. Тогда
функция ( ) ( ( ))
H x g f x
=
и
)
(
)
(
)
(
0
0
0
x
f
y
g
x
H
¢
´
¢
=
¢
$
.
Доказательство
:
( )
f x
дифференцируема в точке 0
x
, тогда:
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
y
O
y
y
g
g
x
O
x
x
f
f
D
+
D
´
¢
=
D
D
+
D
´
¢
=
D
Рассмотрим ?
H:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
(
))
(
(
))
(
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
x
O
x
O
y
g
x
x
f
y
g
y
g
x
O
x
x
f
x
f
g
x
f
g
x
x
f
g
H
y
y
y
D
+
D
´
¢
+
D
´
¢
´
¢
=
=
-
D
+
D
´
¢
+
=
-
D
+
=
D
®
D
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
(
))
(
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
)
(
0
0
0
0
0
0
0
x
O
x
x
f
y
g
H
x
O
x
O
x
y
x
O
x
x
f
O
x
O
x
x
f
y
g
y
O
y
y
g
y
g
y
y
g
x
H
x
O
D
+
D
´
¢
´
¢
=
D
D
=
D
´
¢
D
´
D
´
¢
+
D
+
D
´
¢
´
¢
=
D
+
D
´
¢
=
-
D
+
¢
D
Б
илет 6
Производные элементарных функций.
1. C
y
=
;
0
=
D
y
0
'
0
0
=
¹
D
=
D
D
y
x
x
y
2. R
Î
=
a
a
,
x
y
a
a
a
a
a
x
x
x
x
x
x
x
y
-
D
+
=
-
D
+
=
D
)
1
(
)
(
1
0
0
0
lim
1
)
1
(
lim
lim
-
®
D
®
D
®
D
×
=
D
D
×
×
=
D
-
D
+
×
=
D
D
a
a
a
a
a
a
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
3. x
e
y
=
x
e
e
x
e
e
y
x
x
x
x
x
x
x
D
-
=
D
-
=
D
®
D
D
+
®
D
)
1
(
lim
lim
'
0
0
x
e
x
D
®
-
D
)
1
(
4. x
y
sin
=
0 0 0 0
2 sin cos( ) 2 cos( )
sin( ) sin
2 2 2 2
lim lim lim lim cos
x x x x
x x x x
x x
y x x x
x
x x x x
D® D® D® D®
D D D D
× × + × × +
D +D-
= = = =
D D D D
(т.к. функция непрерывна)
Замечание
:
если функция имеет конечную производную в точке, то она непрерывна в этой точке (было доказано в Б
илете 1
), но она может быть разрывной в любой другой точке, кроме этой.
Пример
:
2
, ( )
0 , x x
f x
x
ì
ï
í
ï
î
Î
=
Ï
Q
Q
0 0
( ) 0
'(0) lim lim 0
x x
f f x
f
x x
D® D®
D D-
= = =
D D
, т.к.
2
( )
( ) , если 0 , если x
f x x x
x
x
x
ì
D
D =D DÎ
ï
=
D
í
D
ï
DÏ
î
Q
Q
0
0
¹
x
)
(
,
0
0
2
1
x
U
x
x
d
d
Î
$
>
"
Q
Q
Ï
Î
2
1
x
x
2
1
1
)
(
x
x
f
=
0
)
(
2
=
x
f
2
:
2
0
2
1
x
x
>
$
d
e
=
>
-
2
)
(
)
(
2
0
2
1
x
x
f
x
f
)
(
,
0
0
2
1
x
U
x
x
d
d
e
Î
$
>
"
$
e
>
-
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
-
не выполняется критерий Коши и в каждой точке 0
0
¹
x
функция разрывна.
0
( 1)
lim
x x
x
x
e e
e
x
D
D®
-
=
D
Билет 7
Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл.
Если функция f
имеет производную f΄(x
o
)
в точке x
o
, то существует предел (
)
x
f
x
f
x
¢
=
D
D
®
D
lim
0
, где Δ
f=f(x
o
+
Δ
x)
-
f(x
o
)
,
Þ
)
1
(
)
(
0
o
x
f
x
f
+
¢
=
D
D
,
Þ
)
(
)
(
0
x
o
x
x
f
f
D
+
D
¢
=
D
или )
(
x
o
x
A
f
D
+
D
=
D
, где A=f΄(x
o
)
.
Определение
:
Функция f
дифференциируема в точке x
o
, если ее приращение представимо в виде:
)
(
x
o
x
A
f
D
+
D
=
D
, где A
Δ
x=df
.
(*)
Дифференциал —
это главная линейная часть приращения функции.
Если существует конечная производная f΄(x
o
)
в точке x
o
, то функция f(x)
дифференцируема в этой точке.
Верно и обратное: если функция f
дифференцируема в точке x
o
, т.е. ее приращение представимо в виде (*), то она имеет производную в точке x
o
, равную A
:
(
)
(
)
0
0
( );
;
,.
lim
x
f A x o x
o x
f
A
x x
f
A f x A
x
D ®
D = D + D
D
D
= +
D D
D
¢
= Þ =
D
Ге
ометрический смы
сл дифференциала:
A
и B
–
точки графика f(x)
, соответствующие значениям x
o
и (x
o
+
Δ
x)
независимой переменной. Ординаты точек A
и B
соответственно равны f(x
o
)
и f(x
o
+
Δ
x)
. Приращение функции Δ
f=f(x
o
+
Δ
x)
-
f(x
o
)
в точке x
o
равно длине отрезка BD
и представимо в виде суммы Δ
f=BD=DC+CB
, где DC=tgα
Δ
x=f΄(x
o
)
Δ
x
и α
есть угол между касательной в точке A
к графику и положительным направлением оси x
. Отсюда видно, что DC
есть дифференциал функции f в точке x
o
: DC=df=f΄(x
o
)
Δ
x
.
При этом на долю второго члена CB
приращения
Δ
f
приходится величина )
(
x
o
D
. Эта величина, при больших Δ
x
, может быть даже больше, чем главный член, но она есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Δ
x
, когда Δ
x?0
.
α
D
C
B
A
x
y
0
Δ
x
x
o
x
o
+
Δ
x
Билет 8
Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
П
усть функция f
имеет производную в точке x
(конечную):
'
0
lim ( )
x
y
f x
x
D®
D
=
D
.
Тогда y
x
D
D
для достаточно малых x
D
можно записать в виде суммы )
(
x
f
¢
и не
которой функции, которую мы обозначим через )
1
(
)
(
o
x
=
D
e
, которая стремится к нулю вместе с x
D
: ( ) ( )
y
f x x
x
e
D
¢
= +D
D
0
)
(
(
®
D
x
e
, )
0
®
D
x
и приращение в точке может быть записано в виде: ( ) ( )
y f x x x x
e
¢
D= D+DD
или 0
( ) ( )
x
y f x x o x
D®
¢
D= D+D
(1)
,
ведь выражение 0
)
(
®
D
D
x
x
o
понимается как функция от x
D
такая, что ее отношение к x
D
стремится к нулю вместе с x
D
.
Пояснение:
0 0
( )
lim ( ) 0 lim 0 ( ) ( )
x x
x
x
x x O
x x
x
e
e e
® ®
D×
D
D=Þ =ÞD× =
D D
D
V V
Определение
. Функция f
называется дифференцируемой в точке x
, если ее приращение можно представить в виде: )
(
0
®
D
D
+
D
=
D
x
x
o
x
A
y
(2),
где А не зависит от x
D
, но вообще зависит от x
.
Теорема 1
:
Д
ля того, чтобы функция f
была дифференцируемой в точке x
, необходимо и достаточно , чтобы она имела конечную производную в этой точке.
Доказательство
:
Д
ос
таточность условия
доказана выше: из существования конечной производной )
(
x
f
¢
следовала возможность представления y
D
в виде (1), где можно положить A
x
f
=
¢
)
(
.
Необходимость условия
. Пусть функция f
дифференцируема в точке x
. Тогда из (2), предполагая 0
¹
D
x
, получаем 0
0
)
1
(
)
(
®
D
®
D
+
=
D
D
+
=
D
D
x
x
o
A
x
x
o
A
x
y
.
Предел правой части при 0
®
D
x
существует и равен А: A
x
y
x
=
D
D
®
D
0
lim
.
Это означае
т, что существует производная A
x
f
=
¢
)
(
.
Теорема доказана.
Билет
9 Производные высших порядков. Формула Лейбница.
Пусть функция y
=
f
(
x
) дифференцируема в точке Xo
, то есть существует ее производная в этой точке f
’ (
X
o
). Пусть f
-
дифференцируема в некоторой окрестности U
(
Xo
). f
’(
x
) определена на U
(
Xo
) и если дифференцируема в точке Xo
, то (
f
’(
Xo
))’=
f
’’(
Xo
).
Вообще
))'
(
(
)
(
)
(
)
1
(
x
f
x
f
n
n
=
+
Теорема: (
Формула Лейбница
)
Пусть функции U
и V
n
раз дифференцируемы, т.е. существуют )
(
n
U
и )
(
n
V
. Значит (
U
*
V
) –
тоже n
раз дифференцируема, при этом
å
=
-
=
n
k
k
n
V
k
U
k
n
C
n
V
U
0
)
(
*
)
(
*
)
(
)
*
(
Доказательство:
Метод математической индукции:
Пусть при n
=
m
–
верно, т.е.
å
=
-
=
m
k
k
m
V
k
U
k
m
C
m
V
U
0
)
(
*
)
(
*
)
(
)
*
(
(*)
Надо доказать, что
å
+
=
-
+
+
=
+
1
0
)
1
(
*
)
(
*
1
)
1
(
)
*
(
m
k
k
m
V
k
U
k
m
C
m
V
U
Доказательство:
1
( 1) ( ) ( 1 )
( * ) * *
1
0
( 1) ( ) ( ) ( 1 )
( * * )
0
( 1) ( ) ( ) ( 1 )
* * * * *
0 0
| 1;1 |
1
( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )
1
* * * *
1 0
1
(
m
m k m k
k
U V C U V
m
k
m
k m k k m k
k
C U V U V
m
k
m m
k m k k m k
k k
C U V C U V
m m
k k
l k m k m l
m m
l m l l m l
l l
C U V C U V
m m
l l
l
C
m
+
+ + -
= =
å
+
=
+ - + -
+ =
å
=
+ - +-
= + =
å å
= =
= = + - = + - =
+
+- +-
-
= + =
å å
= =
-
( ) ( 1 ) ( 1) (0) (0) ( 1)
0
) * * * * * *
1
( ) ( 1 ) ( 1) (0) (0) ( 1)
1 0
* * * * * *
1 1 1
1
1
( ) ( 1 )
* *
1
0
m
l m l m m
l m
C U V C U V C U V
m m m
l
m
l m l m m
l m
C U V C U V C U V
m m m
l
m
l m l
l
C U V
m
l
+- + +
+ + + =
å
=
+- + +
+
= + + =
å
+ + +
=
+
+-
=
å
+
=
Теорема доказана.
Билет 10
Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы первого дифференциала. Неинвариантность формы дифференциалов второго и высших порядков.
f
(
x
)
дифференцируема, xdx
x
d
dx
dx
dx
dx
x
d
dx
d
f
d
df
d
2
)
(
,
)
(
,
0
)
(
,
0
)
(
,
)
(
2
2
2
2
2
=
=
´
=
=
=
=
тогда )
(
1
f
d
d
f
d
n
n
=
+
. Далее, пусть f
–
n
раз дифференцируема, dx
f
df
¢
=
2
)
(
)
(
)
(
dx
f
dx
dx
f
dx
d
f
dx
f
d
dx
f
d
df
d
¢
¢
=
´
¢
¢
=
¢
+
´
¢
=
¢
=
__________________________
n
n
dx
dx
=
)
(
. Докажем, что n
n
dx
f
)
(
1) 1
=
n
, dx
f
df
¢
=
2) Пусть при n
= m
m
m
m
dx
f
f
d
)
(
=
3) 1
)
1
(
1
+
+
+
=
m
m
m
dx
f
f
d
1
)
1
(
)
1
(
0
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
+
+
+
+
=
´
=
+
=
=
=
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
dx
f
dx
dx
f
dx
d
f
dx
df
dx
f
d
f
d
d
f
d
Инвариантность/Неинвариантность.
1) y
(
x
), x
–
независимая переменная
, dx
y
dy
x
¢
=
, пусть x
= x
(
t
)
))
(
(
t
x
y
y
=
dx
y
dt
x
y
dt
t
x
y
dy
x
dx
t
x
t
¢
=
¢
´
¢
=
¢
=
)
))
(
(
(
2) y
(
x
), x
–
независимая переменная, 2
2
dx
y
y
d
xx
¢
¢
=
, )
(
t
x
x
=
, dx
y
dy
x
¢
=
x
d
y
dx
y
dx
d
y
dx
y
d
dx
y
d
dy
x
xx
x
x
x
2
2
2
)
(
)
(
¢
+
¢
¢
=
¢
+
¢
=
¢
=
, здесь
0
2
¹
x
d
, b
at
x
x
d
+
=
Û
=
0
2
.
Билет
11 Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма.
Определение 1:
.
f
(
x
) –
возрастает (не убывает) в точке 0
x
, если 0 0 0
( )::( )
U x x x x U x
$"+Î
V V
0 0
f f
x x
æ ö
> ³
ç ÷
è ø
V V
V V
.
Определение 1’
. f
(
x
) –
возрастает (не убывает) в точке 0
x
, если 0 0 0
0 0 0
( ) ( ) ( ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) ( )
x x f x f x f x f x
x x f x f x f x f x
>Þ> ³
<Þ< £
Определение 1’’
. f
(
x
) –
возрастает (не убывает) в точке 0
x
, если 0::0
f
x x
x
d d
$>"<Þ>
V
V V
V
Определение 2
. f
(
x
) –
убывает (не возрастает) в точке 0
x
, если 0 0 0
( )::( )
U x x x x U x
$"+Î
V V
0 0
f f
x x
æ ö
< £
ç ÷
è ø
V V
V V
.
Определение 2’
. f
(
x
) –
убывает (не возрастает) в точке 0
x
, если 0 0 0
0 0 0
( ) ( ) ( ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) ( )
x x f x f x f x f x
x x f x f x f x f x
>Þ< £
<Þ> ³
Определение 2’’
. f
(
x
) –
убывает (не возрастает) в точке 0
x
, если 0::0
f
x x
x
d d
$>"<Þ<
V
V V
V
Теорема 1
:
(
Необходимое условие возрастания (неубывания) функции в точке 0
x
)
Если f
возрастает (не
убывает) в точке 0
x
и дифференцируема в точке 0
x
, то 0
'( ) 0
f x
³
.
Доказательство:
Т.к. функция возрастает (не убывает), то, по определению 1’’ ,
0:0
f
x
x
d d
$><Þ>
V
V
V
, а значит и 0
lim 0
x
f
x
®
³
V
V
V
.
Т
еорема доказана.
Теорема 1’
(
Необходимое условие убывания (невозрастания) функции в точке 0
x
)
Если f
убывает (не возрастает) в точке 0
x
и дифференцируема в точке, то 0
'( ) 0
f x
£
.
Доказательство:
Т.к. функция убывает (не возрастает), то, по определению 2’’ ,
0:0
f
x
x
d d
$> <Þ<
V
V
V
, а значит и 0
lim 0
x
f
x
®
£
V
V
V
, теорема доказана.
Теорема 2
:
(
Достаточное условие возрастания
)
Если f
(
x
) дифференцируема в точк
е 0
x
, причем 0
'( ) 0
f x
>
, то f
(
x
) возрастает в точке 0
x
.
Доказательство:
По теореме о сохранении знака:
0
0
'( ) 0 lim 0
x
f
f x A
x
®
>Þ=>
V
V
V
, значит
0::0
2
f A
x x
x
d d
$>"<Þ>>Þ
V
V V
V
f
возрастает.
Теорема д
оказана.
Замечание:
если 0
'( ) 0
f x
³
, то про возрастание сказать ничего нельзя.
Теорема 2’
:
(
Достаточное условие убывания
)
Если f
(
x
) дифференцируема в точке 0
x
, причем 0
'( ) 0
f x
<
, то f
(
x
) убывает в
точке 0
x
.
Доказательство:
По теореме о сохранении знака:
0
0
'( ) 0 lim 0
x
f
f x A
x
®
<Þ=<
V
V
V
, значит
0::0
2
f A
x x
x
d d
$>"<Þ<<Þ
V
V V
V
f
(
x
) убывает.
Теорема доказана.
Замечание:
если 0
'( ) 0
f x
£
, то про убывание сказать ничего не
льзя.
0
0
0
0
( )'( )
( )'( )
x U x f x
x U x f x
"Î <
"Î >
Билет 16 Достаточные условия экстремума.
Теорема 1:
(первое достаточное условие существования экстремума)
Если f
(
x
) дифференцируема в )
(
0
Xo
U
, f
’ имее
т разные знаки слева и справа от Xo
=> Xo
–
точка экстремума.
Доказательство:
Т.к f
(
x
) с одной стороны возрастает, с другой убывает, т.е.
0 0
0
0
( ) ( )
x U x f x
"Î D>­¯
-
max
0
0 0
0
( ) ( )
x U x f x
"Î D<¯­
-
min
Теорема доказана.
Теорема 2:
(второе достаточное условие с
уществования экстремума)
Если в 0
x
f
(
0
x
)=0, f
’’(
0
x
)>0 –
min
; f
’’(
0
x
)<0 –
max
Доказательство:
f
’(
0
x
)=0, существует f
’’(
0
x
)=> f
’ определена в U
(
0
x
)
f
’(
x
) в точке 0
x
возрастает(
f
’’(
0
x
)>0)
f
’(
x
) в точке 0
x
убывает(
f
’’(
0
x
)<0)
1) f
’’(
0
x
)>0 f
’(
x
) возрастает, f
’(
0
x
)=0 =>
при x
<
0
x
при x
<
0
x
=>
0
x
–
точка минимума
2) Аналогично для f’’(
0
x
)<0…
Билет
17
Формула Тейлора для многочленов
.
Рассмотрим произвольный многочлен степени n
:
(1)
å
=
=
+
+
+
-
-
+
=
n
k
k
x
k
a
a
x
a
n
x
n
a
n
x
n
a
x
n
P
0
0
1
...
1
1
)
(
Пусть a
–
любое фиксированное число, тогда, полагая a
a
x
x
+
-
=
)
(
, получим
(2)
å
=
-
=
+
-
+
+
-
-
-
+
-
=
n
k
k
a
x
k
b
b
a
x
b
n
a
x
n
b
n
a
x
n
b
x
n
P
0
)
(
0
)
(
1
...
1
)
(
1
)
(
)
(
Это выражение называют разложение многочлена )
(
x
n
P
по степеням )
(
a
x
-
. Здесь n
b
b
b
,...,
1
,
0
–
числа, зависящие от i
a
и a
,
–
коэффициенты разложения )
(
x
n
P
по степеням )
(
a
x
-
. Подставим в выражение (2) a
x
=
, получим
(3)
0
)
(
b
a
n
P
=
Найдем последовательные производные )
(
x
n
P
и подставим в ним a
x
=
1
...
1
)
(
)
(
b
n
a
x
n
b
n
x
n
P
+
+
-
-
×
=
¢
1
)
(
b
a
n
P
=
¢
2
2
...
2
)
(
)
1
(
)
(
b
n
a
x
n
b
n
n
x
n
P
+
+
-
-
×
-
×
=
¢
¢
2
)
(
2
2
2
)
(
a
n
P
b
b
a
n
P
¢
¢
=
Þ
=
¢
¢
k
b
k
k
n
a
x
n
b
k
n
n
n
x
k
n
P
×
+
+
-
-
×
+
-
×
×
-
×
=
!
...
)
(
)
1
(
...
)
1
(
)
(
)
(
!
)
(
)
(
!
)
(
)
(
k
a
k
n
P
k
b
k
b
k
a
k
n
P
=
Þ
×
=
Таким образом, многочлен )
(
x
n
P
может быть представлен в виде
)
(
...
)
(
!
)
(
...
)
(
!
)
(
)
(
a
P
k
a
x
k
a
k
P
n
a
x
n
a
n
P
x
n
P
+
+
-
+
+
-
=
или
å
=
-
=
n
k
k
a
x
k
a
k
P
x
n
P
0
)
(
!
)
(
)
(
Последняя формула называется формулой Тейлора для многочлена )
(
x
n
P
по степеням )
(
a
x
-
. Отметим, что правая ч
а
сть этого выражения фактически не зависит от a
. Билет 18
Форму
ла Тейлора для дифференцируемых функций.
Если функция f
(
x
) n
раз дифференцируема в точке а, то для нее существует многочлен ( )
( )
( ) ( )
!
0
k
n
f a
k
Q x x a
k
k
= -
å
=
-
это многочлен Тейлора n
-
го порядка функции f
(
x
) в точке a
. Обозначим за 1
( ) ( ) ( )
n
R x f x Q x
+
= -
-
на
с
колько многочлен отличается от самой функции. 1
( )
n
R x
+
называют остаточным членом. Нужно доказать, что для «хороших» функций 1
( )
n
R x
+
будет достаточно мало. Докажем теорему, которую сформулируем в конце
.
=))
Рассмотрим
функцию f
; зафиксируем точку a
, в которой будем раскладывать функцию, и произвольную точку x
,
такую что f
(
x
) n
-
1 раз дифференцируема на [
a
,
x
] и n
раз дифференцируема на (
a
,
x
). В точке а функция дифференцируема n
-
1 раз, значит для нее можно составить много
член Тейлора n
-
1 порядка.
( )
1
0
( )
( ) ( ) ( )
!
k
n
k
n
k
f a
f x x a R x
k
-
=
= - +
å
Представим ( )
n
R x
в виде:
( ) ( ),
p
n
R x x a H x a
=- ¹
, где р –
произвольное число
, H
–
некоторая функция
,
зависящая от x
.
Рассмотрим функцию :
( )
1
0
( )
( ) ( ) ( )
!
k
n
k p
k
f u
F u x u x u H
k
-
=
= - +-
å
( ) ( )
( ) ( )
F x f x
F a f x
=
=
Рассмотрим F
(
u
)
на [
a
,
x
]
: F
(
u
) непрерывная на [
a
,
x
]
, дифференцируема на (
a
,
x
), F
(
x
)=
F
(
a
) Þ
по теореме Ролля (
)
* *
,:( ) 0
U a x F U
¢
$Î =
( 1)
2 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )...( ) ( )
1!2!( 1)!
n
n p
f u f u f u
F u f u x u x u x u x u H
n
-
-
¢ ¢¢
= + -+ - ++ - +-
-
; продифференцируем:
( )
2 1 1
( ) ( ) 2 ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )...( ) ( )
1!2!2!( 1)!
n
n p
f u f u f u
F u f u x u f u x u x u f u x u p x u H
n
- -
¢¢ ¢¢¢
¢ ¢ ¢ ¢¢
= + -- + - - - ++ - - -
-
-
и почти в
се взаимно уничтожается.
*
( ) 0
F U
¢
=
( ) *
* 1 * 1
( ) * *
( )
( ) ( )
( 1)!
( ) ( )
( 1)!
n
n p
n n p
f U
x U p x U H
n
f U x U
H
p n
- -
-
- = -
-
×-
=
-
* *
(,) ( );0 1
U a x U a x a
q q
Î Û=+ - <<
, тогда (
)
*
( ) ( )(1 )
n p
n p
x U x a
q
-
-
- =- -
(
)
( ) *
( ) ( )(1 )
( 1)!
n p
n
f U x a
H
p n
q
-
× - -
=
-
; ( ) *
( )( ) (1 )
( )
( 1)!
n n n p
n
f U x a
R x
p n
q
-
- -
=
-
Подставим теперь p
:=
n
;
( ) *
*
( )( )
( ),(,)
!
n n
n
f U x a
R x U a x
n
-
= Î
-
это остаточный член в форме Лагранжа. Подставим теперь p
:=
1
( ) 1
*
( ( ))( ) (1 )
( ),(,)
( 1)!
n n n
n
f a x a x a
R x U a x
n
q q
-
+- - -
= Î
-
-
это остаточный член в форме Коши
.
Рассмотрим форму Лагранжа:
Пусть теперь f
имеет непрерывную n
-
ю производную в точке а. Это означает, что на [
a
,
x
) функция n
раз диффер
енцируема. Значит f
(
x
) можно представить в виде:
( )
1
0
( )
( ) ( ) ( )
!
k
n
k
n
k
f a
f x x a R x
k
-
=
= - +
å
; ( ) *
*
( )( )
( ),(,)
!
n n
n
f U x a
R x U a x
n
-
= Î
* ( )
( ) ( ) ( );( ) 0 0
n n
f U f a x x
при x
ee
= + ® ®
, т.к. производная непрерывна. Тогда ( )
n
R x
можно представить в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
!!
n
n n
n
f a x
R x x a x a
n n
e
= - + -
; (
)
( )( ) ( )
n n
x x a O x a
e
- = -
(
)
( )
0
( )
( ) ( ) ( )
!
k
n
k n
k
f a
f x x a O x a
k
=
= - + -
å
-
это формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Теорема
Если функция n
-
1
раз дифференцируема на [
a
,
x
]
, n
раз на (
a
,
x
)
, то она раскладывается по форму
ле Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа и Коши. Если функция f
(
x
)
имеет непрерывную n
-
ю производную в точке а, то в окрестности точки а она раскладывается по формуле Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа, Коши и Пеано. Теорема
(о единс
твенности разложения функции по формуле Тейлора в форме Пеано)
Если (
)
(
)
2 2
0 1 0 2 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0
( ) ( )...( ) ( ) ( ) ( )...( ) ( )
n n n n
n n
a a x x a x x a x x O x x a a x x a x x a x x O x x
¢¢¢ ¢
+-+-++-+-=+-+-++-+-
, то i i
i a a
¢
"=
, i
a
-
коэффициенты из формулы Тейлора. Т.е. если есть какие
-
то другие коэффициенты i
a
¢
, то они тоже есть коэффициенты из формулы Тейлора: ( )
0
( )
!
i
i i
f x
a a
i
¢
==
Доказательство.
Устремим 0
x x
®
, получим, что 0 0
a a
¢
=
,
т.к.
(
)
0
( ) 0
n
O x x
-®
; тогда
(
)
(
)
1 0 0 0 1 0 0 0
( )...( ) ( ) ( )...( ) ( )
n n n n
n n
a x x a x x O x x a x x a x x O x x
¢ ¢
-++-+-=-++-+-
сокр
атив на 0
( )
x x
-
,
получим:
(
)
(
)
1 1 1 1
1 0 0 1 0 0
...( ) ( )...( ) ( )
n n n n
n n
a a x x O x x a a x x O x x
- - - -
¢¢
++-+-=++-+-
и опять же (
)
1
0
( ) 0,
n
O x x
-
-®
если 1 1
n
->
. И так мы можем проделать до n
-
го коэффициента. Теорема доказана.
Билет 19 Формула Тейлора для важнейших элементарных функций.
Общий вид формулы Тейлора для функций:
( )
2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )...( ) ( )
1!2!!
n
n
n
f a f a f a
f x f a x a x a x a R x
n
¢ ¢¢
= + - + - + + - +
, где
( )
n
R x
-
остаточный член.
При 0
a
=
получаем так называемую формулу Маклорена.
Ф
ормула Тейлора для важнейших элементарных функций:
1)
( )
x
f x e
=
, 0
0
x
=
, ( )
( )
n x
f x e
=
, ( )
(0) 1
n
f
=
. Отсюда получаем, что
1
0
1
( )
!
n
x k
n
k
e x R x
k
-
=
= +
å
. ( )
(0 ( 0))
( )
!
n
n
n
f x
R x x
n
q
+ -
=
,
( )
!
x n
n
e x
R x
n
q
=
, где 0 1
q
< <
. И в итоге имеем: ( )
!
x n
n
e x
R x
n
£
, n
®¥
, ( ) 0
n
R x
®
.
Пример
:
Пусть 0
1
x
=
, тогда получим:
1
1
1 1 1 1
(1) 1 1 (1)
!2!3!( 1)!
n
n n
k
e R R
k n
-
=
= + = + + + + +
-
å
, 1
(1)
!
n
R
n
£
.
2)
( ) sin
f x x
=
,
Поскольку ( )
( ) sin( )
2
n
n
f x x
p
= +
, ( )
1
2
0
при четном n
(0)
( 1)
при нечетном n
n
n
f
-
-
ì
ï
=
í
ï
- -
î
, формула имеет вид: 1
3 5 7
2
2
sin...( 1) ( )
3!5!7!!
n
n
n
x x x x
x x R x
n
-
+
= - + - + + - × +
, где n
–
нечётное число, а остаточный член в форме Лагранжа равен 2
2
( ) sin( )
( 2)!2
n
n
x n
R x x
n
p
q p
+
+
= × + +
+
, 0 1
q
< <
.
Очевидно, что для остаточного члена справедлива следующая оценка: 2
2
( )
( 2)!
n
n
x
R x
n
+
+
£
+
.
3)
( ) cos
f x x
=
,
Поскольку ( )
( ) cos
2
n
n
f x x
p
æ ö
= +
ç ÷
è ø
, то
2 4
2
2
( 1)
cos 1...( )
2 4!(2 )!
k
k
k
x x
x x R x
k
-
= - + + + × +
, 2 1
2
cos (2 1)
2
( )
(2 1)!
k
k
x k
R x x
k
p
q
+
æ ö
+ +
ç ÷
è ø
= ×
+
,
0 1
q
< <
, x
"
2
( ) 0
k
R x
®
, 1
x
<
.
4)
( ) ln(1 )
f x x
= +
,
1
( )
1
f x
x
¢
=
+
, 2
1
( )
(1 )
f x
x
¢¢
=-
+
, ( ) 1
( 1)!
( ) ( 1)
(1 )
n n
n
n
f x
x
-
-
= - ×
+
, ( ) 1
(0) ( 1) ( 1)!
n n
f n
-
= - × -
,
1 2 3 4 2 1
1
0
( 1) ( 1)!( 1)
ln(1 ) ( ) 1...( )
!2 3 4 1
k n n
n
k
n n
k
k x x x x
x x R x x R x
k n
- - -
-
=
- × - - ×
+ = × + = + - + - + + +
-
å
,
1
( 1) ( 1)!
( )
!(1 )
n
n
n
n
R x x
n x
q
-
- × -
= ×
× +
, 1
( ) 0
1
n n
n
n
x x
R x
n n
x
q
= × £ ®
+
при n
®¥
,
Рассмотрим остаточный член в форме Коши:
1
1
( 1) ( 1)!
( ) (1 )
( 1)!(1 )
n
n n
n
n
n
R x x
n x
q
q
-
-
- × -
= × × -
- × +
, 1
1
1
( )
(1 ) 1
n
n
n
x
R x
x x
q
q q
-
æ ö
×
-
= ×
ç ÷
ç ÷
- -
è ø
, 1
1
1
x
q
q
-
<
-
,
( )
1
n
n
x
R x
x
q
<
-
, где n
®¥
, ( ) 0
n
R x
®
и 1 0
x
- < <
.
5)
( ) (1 )
f x x
a
= +
,
1
( ) (1 )
f x x
a
a
-
¢
= +
, ( )
( ) ( 1)...( 1)(1 )
n n
f x n x
a
aa a
-
= - - + +
, ( )
(0) ( 1)...( 1)
n
f n
aa a
= - - +
,
2
( 1) ( 1)...( 1)
(1 ) 1...( )
2!!
n n
n
x x x x O x
n
a
aa aa a
a
- - - -
+ = + + × + + × +
,
Остаточный член в форме Пеано.
Автор
zimin
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1 996
Размер файла
164 Кб
Теги
матан, шпоры
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа