close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

vector

код для вставкиСкачать
§1.Определители и их свойства.
Опр.1
. Пусть дана таблица из 4-х чисел, которую будем называть КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЕЙ. 2221
1211
аа
аа
ОПРЕДЕЛИТЕЛЕМ 2-го порядка называется число, обозначаемое 2221
1211
аа
аа
=Δ
и вычисляемое по правилу (1). 2211
аа −=Δ
Пример: 5
13
12
−=
−
=Δ
Опр.2.
Пусть дана таблица из 3-х чисел, то есть КВАДРАТНАЯ матрица. . ОПРЕДЕЛИТЕЛЕМ третьего порядка называется число, обозначаемое как 333231
232221
131211
ааа
ааа
ааа
333231
232221
131211
ааа
ааа
ааа
=Δ
и вычисляемое по формуле: =Δ
112332332112312213133221312312332211
аааааааааааааааааа
−
−−++
(2) Пример: 4
132
121
321
=
−
−−=Δ
Опр. 3.
МИНОРОМ какого-либо элемента данного определителя называется определитель, который получается из данного путем вычёркивания из него i-ой строки и j-ого столбца. ij
a
Пример: 2221
1211
12
аа
аа
М =
= 21
а
=
23
М
333231
232221
131211
ааа
ааа
ааа
=
3231
1211
аа
аа
Опр.4.
АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ДОПОЛНЕНИЕМ данного элемента определителя называется число ( )
ij
ji
МА
+
−= 1 где i- номер строки, j- номер столбца. Пример: 32
)1(
+
−=
ij
А
33
23
3231
131211
ааа
ааа
= -
3231
1211
аа
аа
2221
ааа
Свойства определителей: ТЕОРЕМА№1.
(о разложении определителя по элементам строки или столбца). Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их соответствующие алгебраические дополнения. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Разложим определитель третьего порядка по элементам первой строки: 333231
232221
131211
ааа
ааа
ааа
=
=
++
131312121111
АаАаАа
( )
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
1
аа
аа
а
аа
аа
а
аа
аа
а +−+
( ) ( )
(
)
312232211323313321123223332211
ааааааааааааааа
−
+
−
−−=Δ
= 312213332112322311322113233112332211
аааааааааааааааааа
−
−
−++
Сравнив с (2)-видим, что получается то же самое. Что и требовалось доказать. Опр. 5.
Замена строк столбцами называется ТРАНСПОНИРОВАНИЕМ определителя. ТЕОРЕМА№2.(
о транспонировании определителя). «При транспонировании определитель не изменяется» ТЕОРЕМА№3
. (об умножении определителя на число). «Общий множитель какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя, то есть к
аака
аака
аака
=
333231
232221
131211
333231
232221
131211
ааа
ааа
ааа
Или: если определитель умножается на число, то на это число умножаются все элементы какой-либо одной строки (столбца). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. =
333231
232221
131211
аака
аака
аака
теор.1=
313121211111
АкаАкаАка
+
+
=
)
(
313121211111
АаАаАак
+
+
=теор.1= =
к
333231
232221
131211
ааа
ааа
ааа
Что и требовалось доказать. ТЕОРЕМА№4.
(о замене местами двух строк или двух столбцов) При замене местами двух строк или двух столбцов знак определителя меняется на противоположный. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: легко провести, используя формулу (2). ТЕОРЕМА№5
.(первый признак нулевого определителя). Определитель, имеющий нулевую строку или нулевой столбец, равен 0 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Нулевую строку (столбец) можно представить как строку каких-то чисел, умноженных на 0, а согласно теореме 3, в этом случае весь определитель умножается на 0: 22
12
0
0
а
а
=
2221
1211
0
0
аа
аа
=теор.3=0
2221
1211
аа
аа
=0 Что и требовалось доказать. ТЕОРЕМА№6
. (второй признак нулевого определителя). Определитель, имеющий две одинаковые строки или два одинаковых столбца,=0 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При замене местами двух одинаковых строк (столбцов) в определителе ничего не меняется, однако, согласно теореме 4, знак определителя при этом должен поменяться на противоположный. А это возможно только тогда, когда 0
=
Δ
ТЕОРЕМА№7
. (о сложении определителей). Если элементы какой-либо строки (столбца) представить в виде суммы, то такой определитель можно разбить на сумму двух определителей. 3332
2
31
1
31
2322
2
21
1
21
1312
2
11
1
11
аааа
аааа
аааа
+
+
+
=
3332
1
31
2322
1
21
1312
1
11
ааа
ааа
ааа
+
3332
2
31
2322
2
21
1312
2
11
ааа
ааа
ааа
1
Δ
2
Δ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 3332
2
31
1
31
2322
2
21
1
21
1312
2
11
1
11
аааа
аааа
аааа
+
+
+
=теорема1=
(
)
(
)
(
)
31
2
31
1
3121
2
21
1
2111
2
11
1
11
АааАааАаа +++++
=
(
)
31
1
3121
1
2111
1
11
АаАаАа
++
+
(
)
31
2
3121
2
2111
2
11
АаАаАа
++
=теорема1=
1
Δ
+
2
Δ
Что и треб. доказать. ТЕОРЕМА№8
. (о тождественном преобразовании определителя). Если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить числа, пропорциональные соответствующим элементам другой строки (столбца), то определитель от этого не изменится. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 33323231
23222221
13121211
аакаа
аакаа
аакаа
+
+
+
= теорема 7=
333231
232221
131211
ааа
ааа
ааа
+
333232
232222
131212
аака
аака
аака
=теорема 3= 333231
232221
131211
ааа
ааа
ааа
+
к
333232
232222
131212
ааа
ааа
ааа
=теорема 6 =
333231
232221
131211
ааа
ааа
ааа
ТЕОРЕМА№9
. (о нулевом разложении определителя). Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна 0. То есть: 0
231322122111
=++
АаАаАа
§2 Системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера.
Уравнения (система уравнений), содержащие неизвестные только в первой степени, называются линейными. Рассмотрим квадратную системы, когда число неизвестных равно числу уравнений. (1) nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxахаха
=+++
=+++
=+++
...
...
...
2211
22222121
11212111
где - неизвестные, а -коэффициенты системы(заданные числа). - свободные члены (заданные числа) n
xxx
...,
21
ij
a
n
bbb
...,
21
Если хотя бы один из свободных членов не равен 0, то система 1 называется неоднородной
. Если же все свободные члены=0, то получаем систему вида: 0...
0...
0...
2211
2222121
1212111
=+++
=+++
=
+
++
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xахаха
(2) которая называется однородной
. Далее для краткости будем рассматривать частный случай системы трёх уравнений с тремя неизвестными. 3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxахаха
=++
=++
=++
(3) Из коэф. системы (3) составим определитель Δ
=
333231
232221
131211
ааа
ааа
ааа
, который называется главным
определителем системы. =Δ
1
33323
23222
13121
ааb
ааb
ааb
, =Δ
2
33331
23221
13111
аbа
аbа
аbа
, =
Δ
3
33231
22221
11211
bаа
bаа
bаа
, называются дополнительными определителями. Будем считать, что А
ij
представляет собой алгебраич. дополнение соответствующего элемента главного определителя. Домножим первое уравнение системы (3) на алгебраическое дополнение А
11
, второе на ,третье на А
31
21
A
331333312323113131
221323212222112121
111313112121111111
bАxaАxaАxaА
bАxaАxaАxaА
bАxаАхаАхаА
=++
=++
=++
складываем ( ) ( )
(
)
331221111
333312321131123231222112111313121211111
bAbAbA
хаАаАаАхаАаАаАхаАаАаА
++=
=
+
+
+
+
+
+++
Анализируя полученное с учётом теорем 1 и 9 в §
1 получаем 1321
00 Δ=++
Δ
ххх
Если теперь первое уравнение системы (3) умножить на А второе на А третье на А, то аналогично мы получим ,
12
,
22
32
2321
00 Δ=+Δ+
ххх
Повторяя процедуру третий раз, мы получим 3321
00 Δ=Δ++
ххх
Таким образом имеем 33
22
11
Δ=Δ
Δ=Δ
Δ=Δ
х
х
х
(4) или Δ
Δ
=
Δ
Δ
=
Δ
Δ
=
3
3
2
2
1
1
х
х
х
(5) – ФОРМУЛЫ КРАМЕРА. Формулы (4),(5) позволяют легко доказать следующую теорему: ТЕОРЕМА№1
1.)
Если главный определитель системы (1) или (3) 0
≠
, то система имеет единственное решение. 2.)
Если главный определитель системы (1) или (3) =0 и все дополнительные определители =0, то система имеет множество решений 3.)
Если главный определитель системы (1) или (3) =0, а хотя бы один из дополнительных определителей 0
≠
, то система решений не имеет и называется в этом случае НЕСОВМЕСТНОЙ. Рассмотрим однородную систему 0
0
0
3332211
323222121
313212111
=++
=++
=++
xaxaxa
xaxaxa
xахаха
nn
(6) На основании теоремы 5 §
1 очевидно, что все дополнительные определители системы = 0. Следовательно в этом случае формулы (4) примут вид 0
0
0
3
2
1
=Δ
=Δ
=Δ
х
х
х
(7) Это позволяет легко доказать следующую теорему. ТЕОРЕМА№2.
1.)
Если главный определитель однородной системы (6) 0
≠
Δ
,то однородная система имеет единственное решение 321
ххх
=
=
=0, которое называется ТРИВИАЛЬНЫМ. 2.)
Если главный определитель однородной системы (6) ,0
=
Δ
то имеем бесчисленное множество решений. Пример: =−−
−=++
−=+−
323
132
22
321
321
321
ххх
ххх
ххх
0
231
321
112
=
−−
−
=Δ
8
233
321
112
1
−=
−−
−
−−
=Δ
Решений нет, система несовместна. §3 Векторная алгебра. Определение вектора.
Опр.1.
ВЕКТОР- направленный отрезок прямой, для которого каким-то образом заданы длина и направление. В а
→
А
В
→
А Опр.2.
Векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой назывются КОЛЛИНЕАРНЫМИ. →
→
↑↑
b
a
- коллинеарны и сонаправлены. ba
→→
↑↓
- коллинеарны и противоположно направлены. Опр.3. Длина вектора называется его модулем. а
→
Опр.4.
Два вектора и b
называются РАВНЫМИ, если они коллинеарны, сонаправленны и при этом имеют одинаковые модули, то есть а
→
→
bа
→→
=
и . →
→
↑↑
b
а
§4 Линейные действия над векторами.
Опр.1.
СУММОЙ векторов и b
называется вектор, обозначаемый как и получаемый по правилу треугольника: «если конец вектора а
совместить с началом вектора b
и затем построить вектор из начала первого вектора в конец второго, то данный вектор будет являться суммой этих векторов. » а
→
→
→→
+
bа
→
→
а
→
b
→
a
r
→→
+
bа
ТЕОРЕМА 1.
Сумма векторов обладает свойством коммутативности abbа
→→→→
+=+
а
→
b
→
а
→
abbа
→→→→
+=+
b
→
СЛЕДСТВИЕ: Т.о. сумма представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на и b
как на сторонах. →→
+
bа
а
→
→
Аналогично можно показать, что сумма трёх векторов представляет собой диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах как на рёбрах. а
→
+
b
+
с
b
→
с
→
а
→
→
→
Опр.2.
Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется НУЛЕВЫМ ВЕКТОРОМ. « 0
» →
Опр.3.
Два вектора называются противоположными, если они имеют одинаковые модули, коллинеарны и противоположно направлены. Вектор, противоположный , обозначается - а
. При этом противоположные векторы обладают свойством +(-
а
)=0. а
→
→
а
→
→
Опр.4. Разностью векторов и b
называется вектор, обозначаемый как -
b
и представляющий собой сумму векторов а
+(-
b
) а
→
→
а
→
→
→
→
- b
→
а
→
b
→
а
- →
b
→
а
→
Опр.5.
Произведением вектора на число а
→
λ
называется вектор a
r
λ
, коллинеарный вектору а
, то есть →
a
r
a
r
λ
, и имеющий модуль равный а
→
•
λ
. Произведение вектора на скаляр обладает следующими свойствами: 1.)
0*
a
= r
0
→
2.)
λ
*
0
=
0
→
→
3.)
( )
μ
λ
+
а
→
=
λ
а
→
+
μ
а
→
4.)
λ
+
→→
bа
=
λ
а
→
+
λ
b
→
5.)
λ
→
а
μ
=
( )
λμ
а
→
6.)
+ +…+ =
n
, n
∈
N а
→
а
→
а
→
а
→
§5. Линейная зависимость векторов. Базис на плоскости и пространстве.
Опр.1.
Пусть дана совокупность из n векторов 1
a
r
,
2
a
r
…
n
a
r
и совокупность из n чисел n
λ
λ
λ
...,
21
. Тогда сумма произведений nn
aaa
r
r
r
λ
λ
λ
+
+
+
...
2211
(1) называется ЛИНЕЙНОЙ КОМБИНАЦИЕЙ ВЕКТОРОВ. Опр.2.
а) совокупность векторов 1
a
r
,
2
a
r
…
n
a
r
называется ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМОЙ, если их линейная комбинация может быть равна 0 только в том случае, когда все числа i
λ
=0 б) Совокупность векторов 1
a
r
,
2
a
r
…
n
a
r
называется ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМОЙ, если их линейная комбинация может быть равна 0, когда не все числа i
λ
=0. То есть n
aaa
r
rr
λ
λ
λ
+++
...
2211
=
0
r
(2) Линейно зависимые вектора обладают двумя свойствами: ТЕОРЕМА 1
Хотя бы один вектор из совокупности линейно зависимых векторов может быть представлен линейной комбинацией остальных. То есть, если имеется совокупность линейно зависимых векторов nn
aaaa
r
r
r
r
α
α
α
α
+
+
+
+
...
2211
(*),то =а
r
nn
aaa
rrr
λ
λ
λ
+
++
...
2211
(3) - есть РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА по векторам а
r
1
a
r
,
2
a
r
… n
a
r
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В (*) переносим все слагаемые кроме первого слева-направо и делим всё на α
. =а
r
n
n
aаа
rrr
⋅−−⋅−⋅−
α
α
α
α
α
α
...
2
2
1
1
Введя обозначение α
α
λ
i
i
−=
получим (3). Что и требовалось доказать. ТЕОРЕМА 2.
Если в данной совокупности векторов 1
a
r
,
2
a
r
…
n
a
r
часть этих векторов линейно зависима, то и вся совокупность векторов линейно зависима. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть известно, что 1
a
r
и 2
a
r
линейно зависимы 0
2211
r
r
r
=+
аа λλ
, где 0,
21
≠
λ
λ
. Тогда 00...0
32211
r
r
r
r
r
=++++
n
аааа λλ
На основании определения 2 можно утверждать что вся совокупность векторов
1
a
r
,
2
a
r
…
n
a
r
линейно зависима. ТЕОРЕМА 3.
(признак линейной зависимости двух векторов). Для того, чтобы и а
r
b
r
были линейно зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеаны. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть а
→
b
Тогда по определению 4, §4 =
→
а
→
λ
b
→
. 1
а
-
→
λ
b
→
=0. следовательно а
и b
r
r
линейно зависимы. Опр.3. Векторы, лежащие в одной плоскости или на параллельных плоскостях наз. компланарными.
ТЕОРЕМА 4.
(о разложении вектора на плоскости). Если на плоскости даны два неколлинеарных (т.е. линейно независимых) вектора 21
,ee
r
r
, то любой третий вектор, компланарный с ними, можно представить в виде разложения: а
→
2211
eeа
r
r
r
λ
λ
+=
(4) которое является единственным. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство проведём с помощью геометрических построений. Построим параллелограмм с диагональю, совпадающей с вектором и со сторонами, направленными вдоль векторов а
→
1
e
r
и 2
e
r
. Согласно правилу параллелограмма данное построение соответствует равенству (4). а
→
22
е
r
λ
11
е
r
λ
ТЕОРЕМА 5.
(условие линейной зависимости трёх векторов). Любые три компланарных вектора всегда линейно зависимы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1)
Среди тройки компланарных векторов есть два неколлинеарных. По теореме 4 это означает, что третий вектор можно разложить по формуле (4), что в свою очередь, согласно теореме 1 означает, что все 3 вектора линейно зависимы. 2)
Среди тройки компланарных векторов есть пара коллинеарных. Согласно теореме 3 это означает, что эти два вектора линейно зависимы. Тогда по теореме 2 все три вектора линейно зависимы. Что и требовалось доказать. ТЕОРЕМА 6. (
о разложении вектора в пространстве). «Если даны 3 некомпланарных (т.е. линейно независимых) вектора ., то любой четвёртый вектор может быть представлен в виде разложения ,,
321
еее
rrr
а
→
332211
еeeа
rrrr
λ
λ
λ
+
+=
(5), которое является единственным. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Проводится с помощью геометрических построений. Построим параллелепипед с рёбрами, направленными вдоль векторов .
,,
321
еее
r
r
r
и с диагональю, совпадающей с вектором. а
→
Построенный параллелепипед, согласно след. Теор. 1 соответствует равенству (5). Что и требовалось доказать. а
→
3
e
r
2
e
r
1
e
r
ТЕОРЕМА 7.
(признак линейной зависимости четырёх и более векторов). Четыре и более векторов всегда линейно зависимы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возможны два случая. 1)
Среди 4-х векторов есть 3 некомпланарных, тогда согласно теореме 6 4-й вектор можно разложить по формуле (5), а это в свою очередь означает, что все 4 вектора линейно зависимы (теорема 1) 2)
Среди четырёх векторов есть 3 компланарных, следовательно, по теореме 5 они линейно зависимы. Поэтому и все 4 вектора линейно зависимы. Что и требовалось доказать. Опр.4.
Совокупность линейно независимых векторов, по которым осуществляется разложение других векторов, называется БАЗИСОМ. Т.о. из теоремы 4 вытекает, что базисом на плоскости могут быть любые два неколлинеарных вектора. А из теоремы 6 вытекает, что базисом в пространстве могут быть любые три компланарных вектора. Опр. 5. Если е
21
,е
r
r
- базис на плоскости и .
,,
321
еее
r
r
r
- базис в пространстве, то 321
,,
λ
λ
λ
в разложениях (4) и (5) называются координатами вектора. Следствие: На плоскости в заданном базисе каждому вектору соответствует единственная пара чисел (координат). В пространстве каждому вектору в заданном базисе соответсвует единственная тройка чисел (координат). §6. Проекция вектора на вектор.
Опр.
ПРОЕКЦИЕЙ ВЕКТОРА на вектор a
r
b
r
называется скаляр , обозначаемый аПр
в
r
и вычисляемый по формуле : аПр
в
r
•= a
r
cos
(
)
ba
r
r
^
(1) Свойства проекции вектора на вектор 1) aПрaПр
bb
rr
rr
λ
λ
=
2) cПрaПрcaПр
bbb
rrrr
rrr
+=+ )(
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО свойства 2 Из рисунка видно, что проекция суммы равна сумме проекций. с
r
а
r
bа
r
r
+
aПр
b
r
r
cПр
b
r
r
)(
caПр
b
rr
r
+
§ 7 Скалярное произведение векторов .
ОПР 1
Скалярным произведением векторов а
r
и b
r
наз. скаляр , обозначаемый ba
r
r
⋅
и равный произведению их модулей на косинус угла между ними, т.е. (
)
babаba
r
r
r
r
r
r
,cos
⋅⋅=⋅
( 1 ) ТЕОРЕМА 1
(Связь между скалярным произведением и проекцией вектора на вектор) Скалярное произведение векторов a
r
и b
r
и их проекции друг на друга связаны соотношениями aПрbbПрaba
b
a
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅=⋅=⋅
( 2 ) Доказательство: Формула (2) вытекает из сопоставления формулы (1) § 6 , и (1) § 7. СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРИЗВЕДЕНИЯ
. 1) abba
r
r
r
r
⋅=⋅
(
коммутативность
) 2) ( )
(
)
baba
r
r
r
r
⋅⋅=⋅⋅
λλ
(
ассоциативность
) 3) (
)
cbbacba
r
r
r
rr
r
r
+=+
(
дистрибутивность
) Первое свойство вытекает из (1). Второе свойство вытекает из (2) с учетом первого свойства проекции §6. Третье свойство вытекает из (2) с учетом второго свойства проекции §6. ТЕОРЕМА 2 (
Условие ортогональности двух векторов
) Для того, чтобы ⊥
a
r
b
r
неоходимо и достаточно , чтобы их скалярное произведение равнялось 0. Доказательство: Пусть нам известно , что a
r
⊥
b
r
, тогда 00
2
cos =⋅⋅=
⋅⋅=⋅ babаba
r
r
r
r
r
r
π
. Ч.Т.Д. ОПР 2
Скалярное произведение вектора a
r
самого на себя называется скалярным квадратом и обозначается 2
а
r
ТЕОРЕМА 3
(Теорема о скалярном квадрате
) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля , т.е. : 2
2
аа
r
r
=
(3) Доказательство: 2
2
0cos аааааа
r
r
r
r
r
r
=⋅=⋅=
ПРИМЕР:
Какому условию должны удовлетворять векторы ba
r
r
+
и ba
r
r
−
, чтобы они были перпендикулярны? (
)
(
)
0=−+
baba
r
r
r
r
, 0
22
=−ba
r
r
, 22
ba
r
r
=
теорема 3 2
2
ba
r
r
=
, ba
r
r
=
Ответ :
для этого достаточно , чтобы ba
r
r
=
§8 Прямоугольные декартовы координаты.
ОПР 1
Вектор , имеющий единичную длину, называется единичным вектором или ортом.
ОПР 2
1)
если базисные векторы взаимно (попарно) перпендикулярны , то такой базис называется прямоугольным или ортогональным . 2)
если все базисные векторы единичной длинны , то такие вектора называются – базисными ортами , а сам базис называется нормированным.
3)
ортогональный и нормированный базис называется ортонормированным
или Декартовым
. В декартовом базисе базисные орты обозначаются : 1,,,
.,,
===⊥⊥⊥ kjikikjji
kji
r
rr
r
r
r
rrr
r
rr
. ОПР 3
В трехмерном пространстве зафиксируем точку О и назовем ее началом координат . Разместим в этой точке декартов базис. Вдоль базисных ортов проведем оси X,Y,Z и будем считать, что базисные орты .,,
kji
r
r
r
задают масштаб этих осей. Полученная таким образом система координат называется прямоугольной Декартовой системой координат .
В Декартовом базисе координаты a
r
обозначаются : , zyx
aaa
,,
Если в произвольном базисе разложение a
r
имело вид : 332211
eaeaeaa
rr
r
r
+
+
=
, То в Декартовом базисе разложение того же вектора a
r
имеет вид : kajaiaa
zyx
r
r
r
r
++=
ТЕОРЕМА 1
(
Геометрический смысл координат вектора в декартовом базисе
) В Декартовом базисе координаты вектора равны его проекциям на соответствующие базисные орты aПрa
i
x
r
r
=
aПрa
j
у
r
r
=
aПрa
кz
r
r
=
Доказательство: (
)
=++=
kajaiaПрaПр
zyxi
i
r
rr
r
r
§
6 , 2 свойство = +
iaПр
x
i
r
r
.
+jaПр
y
i
r
r
.
=kaПр
z
i
r
r
.
§
6 , 1свойство= =
+
iПрa
i
x
r
r
.
+jПрa
i
y
r
r
.
=kПрa
i
z
r
r
.
§
6 , определение= 1 1 0 0 =
0cos
⋅ia
x
r
+
o
y
ja 90
cos
⋅
r
+
o
z
ka
90
cos
⋅
=
ОПР 4
r
х
а
Координатой точки М
будем называть координаты вектора ОМ
, начало которого совпадает с началом координат, а конец с данной точкой. Координаты точки записываются следующим образом М (x,y,z). Сравни с записью координат вектора
{
}
zyx
aaaа,,=
r
. §9 Действия над векторами, заданными в координатной форме.
ТЕОРЕМА 1
При сложении векторов их соответствующие координаты складываются , при вычитании – вычитаются, а при умножении вектора на число , все координаты этого вектора умножаются на это число, т.е. {
}
zzyyxx
babababa
+++=+
,,
r
r
{
}
zzyyxx
babababa
−−−=−
,,
r
r
{
}
zyx
aaaa
λ
λ
λ
λ
,,=
r
Доказательство: =+++++=+
kbjbibkajaiaba
zyxzyx
r
r
r
r
rr
r
r
( )
( )
( )
kbajbaiba
zzyyxx
§
4 , опр.5, 3 сво-во= r
rr
+++++
ОПР 1 z Введем следующие обозначения : (
)
xa
r
∠
=
α
, (
)
ya
r
∠
=
β
, ( )
za
r
∠=
γ
Тогда a
r
γ
α
cos
, cos β
,
γ
cos
- называются β
направляющими косинусами
вектора. α
х y U
ТЕОРЕМА 2
U
(
Скалярное произведение в декартовом базисе)
Скалярное произведение векторов a
r
и b
r
kajaiaa
zyx
r
rr
r
++=
kbjbibb
zyx
r
rr
v
++=
в декартовом базисе , равно сумме произведений их соответствующих координат zzyyxx
babababa ++=
v
r
(1) Доказательство: Отметим еще раз , то что 1
222
=== kji
r
rr
, 0=== ikkjji
r
r
r
r
r
r
(
)
kajaiaba
zyx
r
rr
r
r
++=
(
)
kbjbib
zyx
r
rr
++
= 0 0
=
+
2
iba
xx
r
+
2
jba
уу
r
+
2
kba
zz
r
(
)
jibaba
xyyx
r
r
+
+
(
)
++ kibaba
xzzx
r
r
(
)
=+
kjbaba
zyyz
r
r
zzyyxx
bababa ++=
Получается (1), ЧТД U
ТЕОРЕМА 3
U
(
Теорема Пифагора
) В Декартовом базисе модуль вектора kajaiaa
zyx
r
r
r
r
++=
равен 222
zyx
aaaa ++=
r
(2) Доказательство: ==
2
aa
rr
§
7 , Т 3 =
=
2
a
r
(1) zzyyxx
aaaaaa ++=
222
zyx
aaa ++=
= ЧТД U
ТЕОРЕМА 4
U
Координаты a
r
в декартовом базисе можно записать следующим образом : αcos
aa
x
r
=
, βcos
aa
y
r
=
, γcos
aa
z
r
=
(3) Доказательство: По Теореме 1 §
8 , aПрa
i
x
r
r
=
=∠=
),(cos
iaa
r
r
r
опр.1
=∠=
),(cos
xaa
r
r
αcos
a
r
, ЧТД. U
ТЕОРЕМА 5
U
Координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам Если 1
0
=n
r
, то { }
γ
β
α
cos,cos,cos
0
=
n
r
Доказательство: Доказательство вытекает из формулы (3) U
ТЕОРЕМА 6
Направляющие косинусы вектора 222
cos
zyx
x
aaa
a
++
=
α
; 222
cos
zyx
y
aaa
a
++
=
β
222
cos
zyx
z
aaa
a
++
=
γ
(4) Доказательство: Доказательство вытекает из формулы (3) , используя формулу (2) U
ТЕОРЕМА 7
Сумма квадратов направляющих косинусов равна 1 , т.е. 1coscoscos
222
=++
γβα
(5) Доказательство: Доказательство вытекает из формул (4) U
ТЕОРЕМА 8
U
(угол между векторами
) Косинус угла между векторами {
}
zyx
aaaa
;;
=
r
и {
}
zyx
bbbb
;;
=
r
в декартовом базисе находится по следующей формуле: ( )
222222
;cos
zyxyyz
zzyyxx
bbbaaa
bababa
ba
++⋅++
++
=∠
r
r
(6) Доказательство: По опр. 1 §
7 ( )
⇒∠=
bababa
r
r
r
r
r
r
;cos ( )
ba
ba
ba
r
r
r
r
r
r
=∠
;cos подставляя сюда (1) и (2) §9 получаем ( )
222222
;cos
zyxyyz
zzyyxx
bbbaaa
bababa
ba
++⋅++
++
=∠
r
r
, ЧТД. U
ТЕОРЕМА 9 U
(условие перпендикулярности векторов
) В декартовом базисе условие перпендикулярности векторов {
}
zyx
aaaa
;;
=
r
и {
}
zyx
bbbb
;;
=
r
имеет вид : 0
=
++
zzyyxx
bababa
(7) Доказательство: Согласно Теор.2 §
7 , если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0 . Следовательно, из формулы (1) данного параграфа вытекает (7) U
ТЕОРЕМА 10
U
(
Условие коллинеарности 2-х векторов
) Два вектора {
}
zyx
aaaa
;;
=
r
и {
}
zyx
bbbb
;;
=
r
коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны λ====
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
b
a
r
r
(8) Доказательство: Пусть ba
r
r
, тогда § 4, опр.5 ba
r
r
λ=
, но {
}
zyx
bbbb λλλλ
;;
=
r
, приравнивая между собой соотв. координаты получаем xx
ba
λ
=
, yy
ba
λ
=
, zz
ba
λ
=
, откуда получается (8). U
ТЕОРЕМА 11
U
(координаты вектора, заданного точками начала и конца
) Если ( )
1111
zyxM
и ( )
2222
zyxM
, то (
)
12121221
,,
zzyyxxMM −−−
; Т.е. из координат конца вектора вычитаются соответствующие координаты начала . Доказательство:
Согласно опр.4 §
8 z {
}
1111
,,
zyxOM =
M
B
1
B
{
}
2222
,,
zyxOM =
M
B
2
B
Согласно определению суммы векторов 0 y 21
1
2
MMOMOM +=
21
1
2
MMOMOM =−
,согласно теореме1 получаем x то,ЧТД. U
ТЕОРЕМА 12 Расстояние между 2-мя точками , расстояние d,между точками ( )
1111
zyxM
и (
)
2222
zyxM
определяется по формуле: ( ) ( ) ( )
2
12
2
12
2
12
zzyyxxd −+−+−=
(9) Доказательство: Формула (9) представляет собой 21
ММ
U
§10 Векторное произведение векторов.
U
ОПР 1 U
Векторное произведение векторов U
{
}
zyx
aaaa
;;
=
r
и {
}
zyx
bbbb
;;
=
r
- ВЕКТОР обозначаемый как bа
r
r
×
и в декартовом базисе вычисляемый по формуле: zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba
r
rr
r
r
=×
(1) Lля нахождения координат и модуля этого вектора разложим (1) по элементам 1-ой строки: bа
r
r
×
( )
( )
(
)
kbabajbabaibaba
xyyxzxxzyzzy
r
r
r
−+−+−=
(2) (2)- это разложение векторного произведения по базисным ортам kji
r
r
r
,,
. Тогда bа
r
r
×
( )
( )
(
)
222
xyyxzxxzyzzy
babababababa −+−+−=
(3) U
ТЕОРЕМА 1
U
(О модуле векторного произведения
) Модуль векторного произведения bа
r
r
×
численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах , как на сторонах , и поэтому может быть вычислен по формуле: ( )
bababa
r
r
r
r
r
r
;sin
∠=×
(4) U
ТЕОРЕМА 2
U
(Направление векторного произведения
) Векторное произведение bа
r
r
×
перпендикулярно плоскости , в которой лежат вектора a
r
и b
r
и направлено по правилу правой руки: а
r
-указательный палец, b
r
-средний палец, тогда bа
r
r
×
- большой палец. Доказательство: Найдем скалярное произведение )1()( =×⋅ baa
r
r
r
§
9
(
)
(
)
(
)
=
−
+
−
+
−=
xyyxzzxxzyyzzyx
babaababaababaa
⇒
=
−
+
−+−= 0
xzyyzxzyxxzyyzxzyx
baabaabaabaabaabaa ⊥⇒
a
r
bа
r
r
×
Аналогично можно доказать ,что ⇒=×⋅ 0)( bab
r
r
r
⊥
b
r
а
r
r
×
b a
S U
ПРИМЕР 1 U
(к теореме 1):
Найти S треугольника с вершинами А(1,-1,2) , В(-1,2,3) , С(0,-2,1) Решение : S
B
ABC
B
=1/2S
B
ABCD
B
=1/2
bа
r
r
× =1/2
ACAB×
}{
1;3;2−=AB
{ }
1;1;1 −−−=AC
kji
kji
ACAB
r
rr
r
r
r
532
111
132 +−−=
−−−
−=× 382594 =++=× ACAB
= S
B
abc
B
=
2
38
U
Свойства векторного произведения 1) bа
r
r
× аb
v
r
×−=
антикоммутативность Доказательство: zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba
r
r
r
r
r
=×
=
теорема 4 §1=
zyx
zyx
aaa
bbb
kji
r
r
r
−
=
опр
аb
v
r
×−=
ЧТД 2) ( )
bа
r
r
×λ
=
(
)
ba
r
r
×λ
- ассоциативность. Доказательство: ( )
bа
r
r
×λ
=
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
λλλ
r
r
r
=
λ
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
r
r
r
=
(
)
ba
r
r
×λ
3) (
)
cabacba
r
r
r
r
r
r
r
×+×=+×
- дистрибутивность Доказательство: (
)
=+× cba
r
r
r
+++
r
r
r
=
теор.7 §
1=
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
r
r
r
+
zyx
zyx
ссс
aaa
kji
r
r
r
=
caba
r
r
r
r
×+×
U
§11 Смешанное произведение векторов
U
U
ОПР 1
U
Смешанным произведением
U
векторов a
r
,
cb
r
r
, называется число, обозначаемое (
)
cba
r
r
r
⋅× и представляющее собой скалярное произведение векторов (
)
ba
r
r
× и с
r
. S В
С
А
ТЕОРЕМА 1.
(вычисление смешанного произведения в декартовом базисе). (
)
cba
r
r
r
⋅× =
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
rrr
rrr
r
r
r
(1) zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba
r
r
r
r
r
=×
k
bb
aa
j
bb
aa
i
bb
aa
zx
yx
zx
zx
zy
zy
r
rr
+−=
Разложим определитель (1) по 3-й строке: =
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
z
zx
yx
y
zx
zx
x
zy
zy
c
bb
aa
c
bb
aa
c
bb
aa
+−=
Мы получили сумму произведений соответствующих координат векторов bа
r
r
×
и c
r
, что в свою очередь является их скалярным произведением. U
ТЕОРЕМА 2
U
(Геометрический смысл смешанного произведения векторов ) Смешанное произведение векторов a
r
,
cb
r
r
,, равно (по абсолютной величине) объему параллелепипеда , построенного на этих векторах как на ребрах. V=S*H (*) Теорема1 §10 , bа
r
r
×
=S (**) αcoscH
r
=
(***) Согласно опр.
скалярного произведения
( )
αcos
⋅⋅×=× cbacba
r
r
r
r
r
r
= (**)(***) = S*H = V
±
, ЧТД Т.о. (
)
Vcba =⋅×±
r
r
r
U
ТЕОРЕМА 3
U
(Условие компланарности 3-х векторов )
Для того ,чтобы 3 вектора a
r
,
cb
r
r
,, были компланарными, необходимо и достаточно, чтобы их смешенное произведение равнялось 0 Доказательство: Пусть известно , что a
r
,
cb
r
r
, -компланарны, тогда очевидно, что V параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен 0, а по Теор.2 ,это значит, что смешанное произведение равно 0. ЧТД b a
S с α
н
U
СЛЕДСТВИЕ
В декартовом базисе условие компланарности 3-х векторов {
}
zyx
aaaa
;;
=
r
ﰠ
{
}
zyx
bbbb
;;
=
r
{
}
zyx
сссс
;;
=
r
, имеет вид =
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
0 (3) ТРИ КИТА, НА КОТОРЫХ ДЕРЖИТСЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ U
Условие перпендикулярности векторов a
B
x
B
b
B
x
B
+a
B
y
B
b
B
y
B
+a
B
z
B
b
B
z
B
=0 U
Условие коллинеарности векторов λ===
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
bа
r
r
×
=0 Условие компланарности 3-х векторов
=
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
0 
Автор
zimin
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
910
Размер файла
410 Кб
Теги
vectors
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа