close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Rzavinskay

код для вставкиСкачать
Министерство образования Российской Федерации Московский государственный институт электронной техники (Технический университет) Е.В. Ржавинская, Т.А. Олейник, Т.В. Соколова Лекции по линейной алгебре Учебное пособие Утверждено редакционно-издательским советом института Москва 2001 ББК 22.143 Р48 УДК 512.8 Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, проф. А.М.Аллавердиев, доц. Е.Н.Васильева. Ржавинская Е.В., Олейник Т.А., Соколова Т.В. Р48 Лекции по линейной алгебре. Уч. пособие. - М.: МИЭТ, 2001. - 92 с.: ил. ISBN 5-7256-0276-1 Пособие представляет собой краткий курс линейной алгебры, соответствующий действующим в настоящее время государственным образовательным стандартам. Тщательно продуманное изложение дало возможность в небольшом объеме охватить обширный материал. Лекции 1 и 2 посвящены определителям и матрицам, лекции 3 и 4 - системам линейных уравнений. В лекциях 5 - 8 рассматриваются линейные пространства и линейные операторы, действующие в них. Большое число примеров и упражнений значительно расширяет содержание руководства. Пособие предназначено для студентов первого курса факультетов МПиТК и ИМЭ. Учебное пособие Ржавинская Елена Владимировна Олейник Татьяна Анатольевна Соколова Татьяна Владимировна Лекции по линейной алгебре Редактор Л.М.Рогачева. Выпускающий редактор С.В.Козинцева. Технический редактор Л.Г.Лосякова. ЛР № 020516 от 12.05.97. Подписано в печать с оригинала макета 07.12.01. Формат 60х84 1/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 5,34. Усл.-изд. л. 4,6. Тираж 300 экз. Заказ 297. Отпечатано в типографии ИПК МИЭТ. 103498, Москва, МИЭТ. ISBN 5-7256-0276-1 © МИЭТ, 2001 Предисловие Курс "Линейная алгебра" в МГИЭТ, как и в большинстве технических вузов, читается в первом семестре и включает 34 часа лекций и 51 час практических занятий. Пособие написано на основе опыта преподавания авторами этой математической дисциплины на факультетах МП и ТК и ИМЭ. Оно охватывает часть курса, а именно: лекции 1 - 4 посвящены теории систем линейных уравнений, лекции 5 - 8 - линейным векторным пространствам и линейным операторам. Значительное сокращение числа часов, отведенных на изучение ставшего традиционным курса линейным алгебры, привело к возникновению новой концепции курса (как и вообще подобных "старых" курсов). Чтобы изложение не стало поверхностным, а сокращение объема материала не сказалось отрицательно на математической эрудиции слушателей, авторы пошли по следующему пути. Многие теоремы приводятся без доказательств, но при этом строго формулируются и иллюстрируются примерами. Усвоению материала, по замыслу авторов, должны способствовать подробно разобранные в тексте примеры и типовые задачи. Кроме того, в конце каждого параграфа приводятся упражнения для самостоятельной работы, к которым предполагается непременно обращаться на практических занятиях. Таким образом, семинарские занятия примут на себя часть нагрузки по усвоению теоретического материала (значительно большую, чем это было ранее). Кроме того, студенты могут отрабатывать этот материал самостоятельно, формируя навыки работы с книгой, развивая математическое мышление, умение задавать вопросы и искать ответы на них. При самостоятельной работе с пособием читателю следует обратить внимание на определения и формулировки теорем. Очень полезным при усвоении материала является вывод свойств и доказательство утверждений, формулировки которых приведены в пособии. Так, в лекции 1 дано понятие матрицы и определителя произвольной размерности, приведены их свойства, часть из которых доказана, а оставшиеся свойства могут быть выведены читателем самостоятельно. В лекции 2 введено понятие обратной матрицы, указано необходимое и достаточное условие ее существования и обоснован алгоритм построения. Доказательство свойств обратной матрицы предоставлено читателю в качестве упражнения. Кроме того, здесь же введено понятие ранга матрицы, приведены способы его нахождения. В лекции 3 рассмотрены основные понятия, связанные с системами линейных уравнений, обоснован метод Гаусса их решения. Лекция 4 посвящена общей теории систем линейных уравнений: доказано достаточное условие существования и единственности решения системы из линейных уравнений с неизвестными, обоснован алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений, введено понятие фундаментальной системы решений однородной системы, рассмотрена их связь с решениями неоднородной. n
n
В лекции 5 введено аксиоматическое определение линейного пространства, приведены различные примеры, большое внимание уделено проверке аксиом для конкретных пространств. В лекции 6 доказана теорема о преобразовании координат при переходе от одного базиса к другому, дано определение подпространств и приведены их примеры. Лекция 7 рассматривает понятие линейного оператора, его матрицы, доказана теорема о матрицах линейного оператора в разных базисах. Дано определение собственных векторов и собственных значений линейного оператора, доказана теорема о приведении матрицы линейного оператора к диагональному виду. Лекция 8 посвящена евклидовым пространствам. Большое внимание уделено примерам и проверке аксиом. Введено понятие ортогонального и ортонормированного базиса, обоснован процесс ортогонализации. Таким образом, в пособии отражены те темы и разделы курса "Линейная алгебра", которые вызывают наибольшее затруднение при изучении. Авторы считают, что пособие частично или полностью может быть использовано на всех технических факультетах. Лекция 1. Матрицы Определение и некоторые свойства определителей порядка n. Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Свойства этих операций 1.1. Основные понятия Определение 1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Для обозначения матрицы используются круглые скобки или сдвоенные вертикальные линии: 11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
......
......
........................
......
n n
n n
s
s sn s s
a a a a a a
a a a a a a
A
a a a a a a
= =
sn
. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами, элемент матрицы ij
a
A
расположен в ее -й строке и -м столбце. i
j
Числа s
и (число строк и столбцов матрицы) называются ее порядками. n
Говорят также, что A
- матрица размером s
n
×
. Если s
n=
, матрица A
называется квадратной. Для краткой записи используется также обозначение ( )
ij
A
a
=
(или ij
A
a
=
) и далее указывается, в каких пределах изменяются и , например, i
j
ij
A
a
=
, 1,...,i s
=
, . (Запись читается так: матрица 1,...,
j
=
n
A
с элементами a
, i
изменяется от 1
до ij
s
, - от 1
до .) j
n
Среди квадратных матриц отметим диагональные матрицы, у которых все элементы с неравными индексами (
i
j
≠
) равны нулю: 11
22
33
0 0...0
0 0...
0 0...0
...............
0 0 0 0
nn
a
a
a
a
0
. Будем говорить, что элементы расположены на главной диагонали. 11 22
,,...,
nn
a a a
Диагональная матрица вида 1 0 0...0
0 1 0...0
0 0 1...0
...............
0 0 0...1
E
=
называется единичной матрицей. В дальнейшем будут встречаться матрицы вида 11
21 22
31 32 33
1 2 3
0 0...0
0...0
...0
...............
...
n n n nn
a
a a
a a a
a a a a
и , 11 12 13 1
22 23 2
33 3
...
0...
0 0...
...............
0 0 0...
n
n
n
nn
a a a a
a a a
a a
a
которые называются треугольными матрицами, а также матрицы, состоящие из одного столбца: 1
2
...
n
a
a
a
и одной строки: 1 2,
(,...,)
n
a a a
(матрица-столбец и матрица-строка). Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. 1.2. Определители порядка n Пусть дана квадратная матрица порядка : n
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
............
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
=
. (1.1) Составим всевозможные произведения элементов матрицы, расположенных в разных строках и разных столбцах, т.е. произведения вида n
a a
1 2
1 2
...
n
n
a
α
α
⋅ ⋅ ⋅
α
j
. (1.2) Число произведений вида (1.2) равно (примем этот факт без доказательства). !n
Будем считать все эти произведения членами определителя порядка , соответствующего матрице (1.1). n
Вторые индексы множителей в (1.2) составляют перестановку первых натуральных чисел 1
. n
,2,...,n
Говорят, что числа и в перестановке составляют инверсию, если , а в перестановке i
расположено раньше . i
j
i
>
j
Пример 1. В перестановке шести чисел, 1 2
, числа и , и , и 3
, 4
и 3
, 5
и составляют инверсии. 6 4 5 3
6
4
6
5
6
3
Перестановка называется четной, если число инверсий в ней четно, и нечетной, если число инверсий в ней нечетно. Пример 2. Перестановка 1 2
- нечетная, а перестановка 1
- четная ( инверсий). 6 4 5 3
2 3 4 5 6
0
Определение 2. Определителем порядка n, соответствующим матрице (1.2), называется алгебраическая сумма членов, составленная следующим образом: членами определителя служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем слагаемое берется со знаком "+", если множество вторых индексов является четной перестановкой чисел 1
, и со знаком "–", если нечетной. !n
,2,...,n
Обозначать определитель матрицы (1.2) принято так: 11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
det
............
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
A A
a a a
= =
. Замечание. Определение 2 для и 2n
=
3n
=
приводит к уже знакомым нам определителям 2-го и 3-го порядка: 11 12
11 22 12 21
21 22
a a
a a a a
a a
= −
, 11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13
31 32 33
a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a
= + + −
13 22 31 23 32 11 12 21 33
a a a a a a a a a− − −
. Транспонированием вокруг главной диагонали матрицы A
называется переход к матрице T
A
, для которой строки матрицы A
являются столбцами, а столбцы - строками: 11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
............
...
n
n
T
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
=
. Будем говорить, что определитель T T
A
∆ =
получен транспонированием определителя . ∆
Свойства определителя порядка п 1. (определитель не меняется при транспонировании вокруг главной диагонали). T
∆ = ∆
2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, определитель равен нулю. 3. От перестановки двух строк определитель меняет лишь знак. 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю. 5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на число , определитель умножится на k
. k
6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю. 7. Если все элементы -й строки определителя представлены в виде суммы , то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме -й, такие же, как в исходном определителе, а -я строка в одном определителе состоит из , а в другом - из . i
1
j
=
,,...
ij j j
a b c
= +
i
j
c
n
i
j
b
Определение 3. -я строка определителя является линейной комбинацией остальных его строк, если такие, что, умножая -ю строку на , а затем складывая все строки, кроме -й, получим -ю строку. i
j
,1,...,1,1,...,
j
k j i i n
∃ = − +
j
k
i
i
8. Если одна из строк определителя является линейной комбинацией остальных его строк, определитель равен нулю. 9. Определитель не изменится, если к элементам одной его строки прибавить соответствующие элементы другой, умноженные на одно и то же число. Замечание. Мы сформулировали свойства определителя для строк. В силу свойства 1 (
∆ =
) они справедливы и для столбцов. T
∆
Все приведенные свойства были доказаны на практических занятиях для ; для произвольного примем их без доказательства. 3
n
=
n
Если в определителе ∆
порядка выбрать элемент и вычеркнуть столбец и строку, на пересечении которых расположен , оставшиеся строки и столбцы образуют определитель порядка n
ij
a
a
n
ij
1
−
, который называется минором определителя ∆
, соответствующим элементу . ij
a
Пример 3. В определителе 1 1 0
2 3 5
4 7 11
−
∆ =
−
минором элемента является определитель 22
3
a
=
22
1 0
4 11
M
−
=
−
. Определение 4. Алгебраическим дополнением ij
A
элемента определителя называется его минор, умноженный на ij
a
∆
( 1)
i j
+
−
, где - номер строки, - номер столбца, в которых расположен выбранный элемент . i
j
ij
a
Пример 4. В определителе 1 1 0
2 3 5
4 7 11
−
∆ =
−
алгебраическое дополнение 2 2
22
1 0
( 1) 11
4 11
A
+
−
= ⋅ − =
−
−
. Теорема 1 (о разложении по строке). Определитель равен сумме произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения. Теорема 1 позволяет свести вычисление определителя порядка к вычислению определителей порядка . n
n
1
n
−
Пример 5. Вычислить определитель 4-го порядка: 2 3 4 1
4 2 3 2
3 1 4 3
1 1 2 0
−
−
∆ =
−
−
. Решение. Воспользуемся теоремой 1 и разложим определитель ∆
по 4-й строке: 4 1 4 2
3 4 1 2 4 1
1 2 3 2 ( 1) ( 1) 4 3 2 ( 1)
1 4 3 3 4 3
+ +
−
∆ = ⋅ − ⋅ − + − ⋅ ⋅ − +
−
4 3 4 4
2 3 1 2 3 4
2 4 2 2 ( 1) 0 4 2 3 ( 1)
3 1 3 3 1 4
+ +
− −
+ ⋅ − ⋅ − + ⋅ − ⋅ − =
− −
3 4 1 2 4 1 2 3 1
2 3 2 4 3 2 2 4 2 2
1 4 3 3 4 3 3 1 3
− −
= − − − − ⋅ − =
− −
свойство 9
0 0 1 0 0 1 0 0 1
4 5 2 0 5 2 2 0 4 2
8 8 3 3 8 3 3 8 3
= − − − − − ⋅
− − − −
=
теорема 1
4 5 0 5 0 4
2 32 40 15 24
8 8 3 8 3 8
− −
= − − − ⋅ = − + − =
− − − −
17
. Замечание. Можно вначале упростить определитель, воспользовавшись свойством 9, а затем использовать теорему 1. Тогда вычисление определителя порядка сведется к вычислению всего одного определителя порядка n
. n
1
−
Пример 6. Вычислить 2 3 4 1
4 2 3 2
3 1 4 3
1 1 2 0
−
−
∆ =
−
−
. Решение. Прибавим первый столбец ко второму и первый столбец, умноженный на (
), к третьему, в результате получим 2
−
2 1 0
4 2 5 2
3 2 2 3
1 0 0 0
−
−
∆ =
−
1
. Теперь применим теорему 1 и разложим по последней строке: 4 1
1 0 1
1 2 5 2 ( 1)
2 2 3
+
−
∆ = ⋅ − ⋅ −
−
, вычисление определителя 4-го порядка свелось к вычислению всего одного определителя 3-го порядка. Далее аналогично к первому столбцу прибавим третий и полученный определитель разложим по первой строке: 0 0 1
4 5
4 5 2 8 25 1
5 2
5 2 3
−
∆ = − − = = − = −
−
−
7
, вычисление определителя третьего порядка свелось к вычислению всего одного определителя второго порядка. Пример 7. Вычислить определитель порядка : n
1 2 3...
1 0 3...
1 2 0...
...............
1 2 3...0
n
n
n
−
∆ =
− −
− − −
. Решение. Первую строку прибавим ко второй, третьей и т.д. -й строке. Придем к определителю n
1 2 3...
0 2 6...2
0 0 3...2
...............
0 0 0...
n
n
n
n
∆ =
. Получен определитель треугольного вида. Применим раз теорему 1 (разложим по первому столбцу) и получим 1
n
−
1 1
2 6...2 3 8...2
0 3...2 0 4...2
1 ( 1) 1 2
........................
0 0...0 0...
n n
n n
n
n n
+
∆ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ = =
L
...!
. Замечание. Определитель треугольного вида равен произведению элементов главной диагонали. 1.3. Основные операции над матрицами Определение 5. Две матрицы ij
A
a
=
, 1,2,..,
i s
=
, 1,2,..,
j n
=
, и ij
B b
=
i j
∀ ∀
, , , будем называть равными, если . 1,2,..,
i s
=
ij
b
=
1,2,..,
j
=
n
ij
a
Краткая запись: A
B
=
. Таким образом, две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы равны. Определение 6. Суммой двух матриц ij
A
a
=
, 1,2,..,
i s
=
, , и 1,2,..,
j n
=
ij
B b
=
, 1,2,..,
i s
=
, , называется такая матрица 1,2,..,
j
=
n
ij
c
=
C
, i s
, , что 1,2,
=
..,1,2,
=
..,
j n
ij
i j c
ij ij
a b
∀
∀ =
+
. Иначе говоря, складывать можно только матрицы одних и тех же порядков, причем сложение осуществляется поэлементно. Пример 8. Найти сумму матриц 3 4 2
2 5 5
1 7 6
A
−
=
−
и . 0 3 1
3 7 8
0 1 9
B
−
=
В соответствии с определением 6 находим 3 1 1
5 12 13
1 6 15
C A B
−
= + =
−
. Правило сложения матриц распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых. Определение 7. Произведением матрицы ij
A
a
=
, 1,2,..,
i s
=
, , на вещественное число называется такая матрица 1,2,..,
j
=
n
λ
ij
C c
=
, , , для которой 1,2,..,
i s
=
1,2,..,
j
=
n
ij
i j c
ij
a
∀
∀ =
λ
. Иными словами, чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это число все ее элементы и оставить полученные произведения на прежних местах. Пример 9. Найти линейную комбинацию
3 2
A
B
+
матриц 2 1 1
0 1 4
A
−
=
−
и . 2 1 0
3 2 2
B
−
=
−
Пользуясь определением 7, получаем 6 3 3
3
0 3 12
A
−
=
−
, , 4 2 0
2
6 4 4
B
−
=
−
далее привлекаем определение суммы матриц (определение 6): 2 5 3
3 2
6 7 8
A B
−
+ =
− −
. Свойства операций сложения матриц и умножения на число 1. Сложение коммутативно, A
B B A
+ = +
. 2. Сложение ассоциативно,
( ) (
)
A
B C A B C
+ + = + +
. 3. Существует нулевая матрица Θ
, удовлетворяющая условию
A
A
+Θ =
для всех А. 4. Для любой матрицы А существует противоположная матрица В, удовлетворяющая условию A B
+
= Θ
. Для любых матриц А и В и любых действительных чисел ,
λ
µ
имеют место равенства: 5. ( )
A
B A
= λ +λ
B
λ +
. 6. ( )
A
A A
λ +µ = λ +µ
. 7. ( )
(
)
A
A
λµ = λ µ
. 8. 1
A
A
⋅ =
. Проверим свойство 1. Обозначим C A B
=
+
, D B A
=
+
. Пусть ij
C c
=
, ij
D d
=
, . Имеем 1,2,..,
i s
=
c b
= +
1,2,..,
j
=
a
n
=
b a
+ =
так как сложение чисел
определение 6
коммутативно
ij ij ij ij ij ij
, d
и, так как равенство доказано для произвольного элемента, в соответствии с определением 5 . Свойство 1 доказано. C D
=
Аналогично доказывается свойство 2. В качестве матрицы Θ
возьмем матрицу порядка s
n
×
, все элементы которой равны нулю. строк
столбцов
0...0
.........
0...0
s
n
Θ =
1442443
Сложив с любой матрицей Θ
A
по правилу, данному в определении 6, мы матрицы A
не изменим, и свойство 3 справедливо. Проверим свойство 4. Пусть 11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
............
...
n
n
s
s s
a a a
a a a
A
a a a
=
n
. Положим 11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
............
...
n
n
s
s s
a a a
a a a
B
a a a
− − −
− − −
=
− − −
n
A B
+ = Θ
. Тогда , следовательно, свойство 4 справедливо. Проверку свойств 5 - 8 опустим. Определение 8. Произведением матрицы ik
A
a
=
, 1,2,..,
i s
=
, , на матрицу 1,2,..,
k
=
p
kj
B b
=
, , 1,2,..,
k p
=
1,2,..,
j
n
=
, называется матрица ij
C c
=
1 1
kj i j
b a= =
, , , с элементами . 1,2,..,
i s
=
2 2
...
j
a b+
1,2,=
ip pj
a b+ +
..,
j n
1
p
ij ik
k
c a
=
∑
i
b
Краткая запись: . С AB=
Пример 10. Найти произведение матриц 4 9
1 3
A
=
−
и 2 3
1 5
B
−
=
. В соответствии с определением 8 находим 4 9 2 3
1 3 1 5
AB
−
=
=
−
4 2 9 1 4 ( 3) 9 5 8 9 12 45 17 33
( 1) 2 3 1 ( 1) ( 3) 3 5 2 3 3 15 1 18
⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ + − +
= =
− ⋅ + ⋅ − ⋅ − + ⋅ − + +
=
. Пример 11. Перемножить матрицы 5 1 3 1
2 0 1 4
A
−
=
−
и 1 3 0
2 1 1
3 0 2
4 1 2
B
−
−
=
−
. Имеем 1 3 0
5 1 3 1 2 1 1
2 0 1 4 3 0 2
4 1 2
AB
−
− −
= ⋅
− −
=
5 2 9 4 15 1 1 1 6 2 10 15 5
2 3 16 6 4 2 8 11 10 10
− + + + − + − − + −
= =
− − + + +
. Замечание 1. Число элементов в строке матрицы A
равно числу элементов в столбце матрицы (число столбцов матрицы B
A
равно числу строк матрицы ). B
Замечание 2. В матрице строк столько же, сколько в матрице C AB=
A
, а столбцов столько же, сколько в . B
Замечание 3. Вообще говоря, A
B BA
≠
(умножение матриц некоммутативно). Чтобы обосновать замечание 3, достаточно привести хотя бы один пример. Пример 12. Перемножить в обратном порядке матрицы A
и из примера 10. B
2 3 4 9 8 3 18 9 11 9
1 5 1 3 4 5 9 15 1 24
BA AB
− + −
= = =
− − + −
≠
, таким образом, в общем случае A
B BA≠
. Отметим, что в частном случае равенство A
B BA
=
возможно. Матрицы A
и , для которых выполняется равенство B
A
B BA
=
, называются перестановочными или коммутирующими. Упражнения. 1. Найти все матрицы, перестановочные с данной: а) ; б) . 1 2
1 1
− −
1 1
0 1
2. Найти все матрицы второго порядка, квадраты которых равны нулевой матрице. 3. Доказать, что ( )
T T
T
A
B B A
=
⋅
. Свойства умножения матриц 1. Умножение дистрибутивно, ( )A B C AС BC+ = +
, ( )
A
B C AB AC+ = +
. 2. Умножение ассоциативно, ( ) (
)
A
B C A BC=
. Докажем свойство 1. Пусть ik
A
a=
, 1,2,..,i s
=
, 1,2,..,k p
=
, ik
B b=
, , , 1,2,..,i s=
1,2,..,k p=
kj
C c=
, k p
1,2,..,
=
, 1,2,..,j n
=
. A
B U+ = =
1,2,..,i s
=
1,2,..,k p
=
Обозначим ik
u
, , , ij
UC T t= =
, , 1,2,..,i s=
1,2,..,j n
=
, ij
A
C V v= =
, ij
W w= =
BC
. Имеем по определению, так как 1 1
( )
p p
ij ik kj ik ik kj
U A B
k k
T UC
t u c a
= +
= =
=
= =
∑ ∑
b c+ =
+
1 1 1
( )
p p p
ik kj ik kj ik kj ik kj ij ij
k k k
ij
a c b c a c b c v w
w
v
ij
= = =
= + = + =
∑ ∑ ∑
14243 14243
, и, таким образом, в соответствии с определением 5 T V
W
=
+
BC+
, или, возвращаясь к старым обозначениям, . Свойство 1 доказано. ( )A B C AС+ =
Так как умножение матриц некоммутативно, следовало бы доказать и правую дистрибутивность: ( )
A
B C AB AC
+
= +
. Опустим доказательство, так как оно аналогично приведенному доказательству левой дистрибутивности. Докажем свойство 2. Пусть ik
A
a=
, 1,2,..,i s
=
, 1,2,..,k r
=
, kl
B b=
, , , 1,2,..,k r=
1,2,..,l p=
lj
C c=
, l p
1,2,..,
=
, 1,2,..,j n
=
. Обозначим il
A
B U u= =
, , 1,2,..,i s=
1,2,..,l p
=
, ij
UC T t= =
, , , 1,2,..,i s=
1,2,..,j n=
kj
V v= =
BC
, 1,2,..,k r
=
, 1,2,..,j n
=
, ij
A
V W= =
w 1,2,..,=
, , . i s
1,2,..,j n=
Имеем вносим под
1 1 1 1 1
знак внутренней суммы
lj
p p p
r r
ij il lj ik kl lj ik kl lj
c
T UC U AB
l l k l k
t u c a b c a b c
= =
= = = = =
= = =
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
изменяем порядок выносим за
1 1 1 1
суммирования знак внутренней
суммы
ik
p p
r r
ik kl lj ik kl lj
a
к l k l
a b c a b c
= = = =
= =
∑ ∑ ∑ ∑
W
1
r
ik kj ij
V BC AV
k
a v w
= =
=
= =
∑
=
=
)
, таким образом, . T W=
Вернемся к старым обозначениям и получим: ( ) (
A
B C A BC
=
, т.е. свойство 2 доказано. Для квадратных матриц справедливо следующее утверждение, которое приведем без доказательства. Теорема 2. Для любых двух квадратных матриц A
и B
A
B A B= ⋅
. Приведем пример, иллюстрирующий утверждение теоремы 2. Пример 13. Даны матрицы 1 2
3 5
A
=
и 0 1
2 7
B
−
=
. Вычислить A
B
. Воспользуемся теоремой 2: 1,2 2
A B AB A B= − = ⇒ = ⋅ = −
. Найдем произведение A
B
непосредственно: 1 2 0 1 4 13
.
3 5 2 7 10 32
AB
−
= =
4 13
128 130 2
10 32
AB = = − =
−
. Следовательно, результаты совпадают. Лекция 2. Обратная матрица. Ранг матрицы Построение обратной матрицы методом присоединенной. Ранг матрицы. Нахождение ранга матрицы методами окаймляющих миноров и элементарных преобразований 2.1. Обратная матрица Далее будут рассматриваться квадратные матрицы. Единичная матрица строк
столбцов
1 0...0
0 1...0
............
0 0...1
n
n
E
=
144424443
в умножении квадратных матриц порядка играет роль, аналогичную роли числа единица в умножении чисел: n
A
AE EA A∀ = =
. (2.1) Действительно, пусть 11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
............
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
=
. Непосредственная проверка дает: A
E A=
. Аналогично EA A
=
, и равенство (2.1) справедливо. Утверждение 1. Матрица - единственная матрица, обладающая свойством (2.1). E
Доказательство. Пусть такая, что E
′
∃
A
AE E A A
′ ′
∀ = =
. (2.2) Рассмотрим произведение . EE
′
(2.2)
(2.1)
EE E
E E
EE E
′
=
′
⇒ =
′ ′
=
. Определение 1. Пусть A
- произвольная квадратная матрица. Матрица называется правой обратной для B
A
, если A
B E
=
. Матрица C
называется левой обратной для A
, если CA
E
=
. Определение 2. Квадратная матрица A
называется вырожденной (особенной), если 0A =
, и невырожденной (неособенной), если 0A ≠
. Утверждение 2. Вырожденная матрица не имеет ни правой, ни левой обратной. Доказательство. Пусть A
- вырожденная. Допустим, - правая обратная для B
A
, т.е. A
B E=
. Тогда теорема 2
0
из лекции 1
0
A
AB A B
=
= ⋅ =
, но 1AB E
=
=
, - что является противоречием, следовательно, A
не имеет правой обратной. Аналогично доказывается, что A
не имеет и левой обратной. Утверждение 3. Пусть - произвольный определитель порядка n. Сумма произведений всех элементов любого столбца (строки) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца (строки) равна нулю. ∆
Доказательство. Пусть 11 1 1
21 2 2
1
......
......
...............
......
j n
j n
n nj
a a
a a a
a a a
∆ =
nn
a
j
. В силу теоремы о разложении по строке (лекция 1, теорема 1) имеем 1 1 2 2
...
j j j j nj n
a A a A a A∆ = + + +
, где kj
A
- алгебраическое дополнение к элементу . kj
a
Пусть b b
- произвольные вещественные числа. Рассмотрим сумму . 1 2
,,...,
n
b
1 1 2 2
S b A b A= +
...
j j n
b A+ +
nj
Привлекая ту же теорему о разложении по строке, можем записать 11 1 1
21 2 2
1
-й
столбец
......
......
...............
......
n
n
n n
j
a b a
a b a
S
a b a
=
nn
n
j
=
. Возьмем в качестве чисел , , элементы i-го столбца определителя , , тогда k
b
1,...,k =
∆
i ≠
1 1 2 2
...
i j i j ni nj
S a A a A a A
∗
= + + +
11 1 1 1
21 2 2 2
свойство
определителя
1
-й -й
столбец столбец
.........
.........
0.
.....................
.........
i i n
i i n
n ni ni nn
i j
a a a a
a a a a
a a a a
= =
Утверждение 3 доказано. Переходим к построению обратной матрицы методом присоединенной. Пусть A
- невырожденная матрица порядка : n
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
............
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
=
. Матрица 11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
............
...
n
n
n n nn
A A A
A A A
A
A A A
∗
=
называется присоединенной для A
. Элементами матрицы A
∗
являются алгебраические дополнения к элементам матрицы A
, причем алгебраические дополнения к элементам i-й строки матрицы A
помещены в i-й столбец A
∗
. A
орема по жден
.
E
=
=
A
1
=
A
−
1
−
Обозначим A = ∆
. Матрица 1
B
∗
=
∆
является правой и левой обратной для A
. Действительно, те о разложении строке
и утвер ие 3
0...0 1 0...0
0...0 0 1...0
1 1
........................
0 0...0 0...1
A
B A A
∗
∆
∆
= ⋅ =
∆ ∆
∆
Следовательно, матрица 1
B A
∗
=
∆
- правая обратная для . Аналогично 1
A
A E
∗
=
∆
, и матрица 1
B A
∗
=
∆
является и левой обратной для A
. Она называется обратной для A
и обозначается 1
A
−
. Итак, 11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
1
............
...
n
n
n n nn
A A A
A A A
A
A A A
−
∆
. Утверждение 4. Матрица 1
A
−
- единственная обратная для A
. Действительно, допустим, такая, что C∃
CA AC E
=
=
. Рассмотрим . С другой стороны, , следовательно C
( )
1 1
CAA C AA CE C
− −
= =
1 1
EA A
− −
=
=
( )
1 1
CAA CA A
− −
= =
1
A
−
=
. Пример 1. Найти 1
для матрицы . 2 8
3 7
A
=
Решение. Имеем 14 24 10 0
A
= − = − ≠
∆ =
, следовательно, A
существует. Находим алгебраические дополнения к элементам матрицы A
и составляем присоединенную матрицу: 11 12 21 22
7 8
7,3,8,2,
3 2
A A A A A
∗
−
= = − = − = =
−
. Откуда 1
7 8 0,7 0,8
1
3 2 0,3 0,2
10
A
−
− −
= − =
− −
. Пример 2. Решить матричное уравнение 2 4 8 1
3 7 2 3
X
⋅ =
. Решение. Обозначим . Тогда исходное уравнение принимает вид 2 4 8 1
,
3 7 2 3
A B
= =
A
X B
=
. (2.3) Имеем 1
2 4
14 12 2 0
3 7
A
A
−
= = − = ≠ ⇒∃
. Домножим обе части уравнения (2.3) слева на матрицу 1
A
−
и получим 1
X
A B
−
=
. Итак, 1
7 4
1
3 2
2
A
−
−
=
−
, 7 4 8 1 56 8 7 12 24 5/2
1 1
3 2 2 3 24 4 3 6 10 3/2
2 2
X
− − −
= = =
− − + − + −
−
. Упражнения. Докажите следующие свойства обратной матрицы. 1. Если A
∆ =
, то 1
1
A
−
=
∆
. 2. ( )
1
1 1
A
B B A
−
− −
= ⋅
. 3. ( )
. ( )
1
1
T
T
A A
−
−
=
2.2. Ранг матрицы Пусть A
- прямоугольная матрица размера s
n
×
: 11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
............
...
n
n
s
s s
a a a
a a a
A
a a a
=
n
. Назовем арифметическими n-мерными векторами упорядоченные наборы чисел строки матрицы n
A
и обозначим их через , ,…,
1 1 12 1
(,...,)
n
aα =
1
,
a a
2 21 22
(,,...,
n
a a aα =
2
)
1 2
(,,...,)
s
s s sn
a a a
α
=
. Нулевым арифметическим вектором назовем (0,0,...,0)
θ
=
. Будем говорить, что система векторов 1 2
,,...,
s
α
α α
линейно зависима, если , не все равные нулю, что . ,1,...,
i
k i s∃ =
s s
k α = θ
1 1 2 2
...
k kα + α + +
Система векторов 1 2
,,...,
s
α α α
называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой. Пример 3. В матрице 1 1 3 5 7
3 4 4 2 3
4 3 1 3 4
A
−
= − −
−
−
2
1
(1,1,3,5,7)
α = −
, , . 2
(3,4,4,2,3)
α = − − −
3
(4,3,1,3,4)
α = −
Решение. Имеем , следовательно, и система строк матрицы 3 1
α = α +α
1 2 3
( 1)
α +α + − ⋅ α = θ
A
линейно зависима. Заметим, что и столбцы матрицы A
можно рассматривать как арифметические s
-мерные векторы. Определение 3. Пусть A
- прямоугольная матрица размера s
n
×
. Выберем в A
произвольные строк и столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют определитель k
k
M
порядка , который называется минором порядка матрицы k
k
A
. Определение 4. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы A
называется рангом матрицы A
. Обозначение ранга A
: rang
A
. Пример 4. Найти ранг матрицы A
: 1 2 2 3
2 4 3 5
A
−
=
− −
. Решение. Заметим, что миноры первого порядка - это элементы матрицы, выпишем их все (в данном случае, миноров первого порядка восемь): 1
. ,2,2,3,2,4,3,5
− −
−
Уже на этом шаге можно утверждать, что , так как среди миноров первого порядка есть отличные от нуля. rang 1
A ≥
Выпишем все миноры второго порядка: 1 2
2 4
−
−
, 1 2
2 3
−
, 1 3
2 5
, 2 2
4 3
−
− −
, 2 3
4 5
−
−
, 2 3
3 5
−
и отметим, что, например, 13
12
1 2
7 0
2 3
M = = −
−
≠
и по определению 4 (миноры третьего порядка из элементов матрицы rang 2
A =
A
составить нельзя, так как содержит всего две строки). Пусть матрица A
имеет размер s
n×
и rang
A
r
=
. Это означает, что хотя бы один минор M
порядка отличен от нуля, а все миноры порядка и выше равны нулю. Минор r
1
r +
M
называется базисным, а столбцы матрицы, его содержащие, - базисными столбцами матрицы A
(строки, содержащие минор M
, называются базисными строками). Теорема 1 (о базисном миноре). Столбцы, содержащие базисный минор, линейно зависимы. Любой столбец матрицы A
является линейной комбинацией базисных столбцов одного и того же базисного минора. Доказательство. Пусть rang
A
r=
и отличен от нуля минор M
, расположенный в первых строках и первых столбцах матрицы r
r
A
, то есть в левом верхнем углу: 11 1 1
1
1
......
...............
......
...............
......
r n
r rr
rn
s
sr sn
a a a
A
a a a
a a a
=
. Докажем сначала, что арифметические векторы 11
1
1
...
s
a
a
α =
, , 21
2
2
...
s
a
a
α =
1
...
r
r
s
r
a
a
α =
составляют линейно независимую систему. Допустим, что линейно зависимы, тогда , , что , то есть выполняется система тождеств: 1 2
,,...,
r
α α α
0
j
≠
1
,...,,,1
r
k k j j∃ ∃ ≤
r
≤
k
1 1 2 2
...
r r
k k kα + α + + α = θ
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
...0,
...0,
........................................
...0.
r r
r r
s s sr r
a k a k a k
a k a k a k
a k a k a k
+
+ + =
+
+ + =
+
+ + =
(2.4) Первые равенств системы (2.4) можно переписать в виде r
1
11 1
1
1
0
..................
0
j
r
j r
r rj rr
a
a a
k k k
a a a
+ + + + =
. Учитывая, что , отсюда получим 0
j
k ≠
1 1
1
1
............
j j
r
r
j j
rj rj rr
a a
a
k k
k k
a a
= − − −
a
; j-й столбец определителя M
оказался линейной комбинацией остальных. Тогда - противоречие, и, следовательно, векторы линейно независимы. 0
M =
1 2
,,...,
r
α α α
Докажем теперь, что любой столбец матрицы A
является линейной комбинацией первых столбцов. r
Рассмотрим вспомогательный определитель 11 1 1
1
1
...
............
...
...
r l
l
r rr
k kr
a a
a a
a a
∆ =
rl
kl
a
a
a
, полученный "окаймлением" минора M
элементами k-й строки и l-го столбца, 1,
. Утверждается, что 1
k s r l n≤ ≤ + ≤ ≤
0
l
∆
=
. Действительно, возможны два случая. Случай 1: . Тогда k r>
l
∆
- минор матрицы A
порядка 1
r
+
и по условию (наивысший порядок отличных от нуля миноров равен , следовательно, все миноры порядка равны нулю). 0
l
∆ =
r
1
r +
Случай 2: . Тогда содержит две одинаковые строки, следовательно, . k r≤
0
l
∆ =
l
∆
Итак, всегда . Разложим по последней строке. 0
l
∆ =
l
∆
Отметим, что если kj
A
- алгебраическое дополнение к элементу из последней строки определителя , то kj
a
l
∆
11 1,1 1.1 1
1
1,1,1
......
..................( 1)
......
j j l
r j
kj
r r j r j rl
a a a a
A
a a a a
− +
+
+
− +
= ⋅
−
, и kj
A
не зависит от ( был номером строки в матрице k
k
A
, а в l
∆
эти элементы занимают строку). Поэтому алгебраические дополнения к элементам в , , можем обозначить 1
=
r
l
∆
+
kj
a
1,..,
j
n
j
A
. 1 1 2 2
0
...0
l k k kl
M
a A a A a M
≠
∆ = + + + = ⇒
1 2
1 2
...
r
kl k k kr
A A A
a a a
a
M
M M
= − − − −
. Полагая , получим 1,...,
k =
s
s
равенств: 1 2
1 11 12
...
r
l r
A A A
a a a
1
a
M
M M
= − − − −
, 1 2
2 21 22
...
r
l r
A A A
a a a
2
a
M
M M
= − − − −
, ………………………………………… 1 2
1 2
...
r
s
l s s
A A A
a a a
sr
a
M
M M
= − − − −
, или в матричной форме: 1 11 12
2 21 22
1 2
1 2
...
............
l r
l r
r
1
2
s
l s s
a a a
a a a
A A A
M M M
a a a
= − − − −
sr
a
a
a
, то есть -й столбец матрицы l
A
оказался линейной комбинацией первых столбцов с коэффициентами r
1 2
,,...,
r
A
A A
M
M M
− − −
. Было принято, что . 1
r l+ ≤ ≤
n
1
2
r
r
Если 1
, то l r≤ ≤
1 11 1
2 21 2
1
0...1...0
............
l l
l l
s
l s sl
a a a a
a a a a
a a a a
= ⋅ + + ⋅ + + ⋅
sr
. Таким образом, любой столбец матрицы A
является линейной комбинацией базисных столбцов. Теорема доказана. Замечание. Аналогичное утверждение справедливо и для строк: через строки матрицы, содержащие базисный минор, линейно выражаются все остальные строки матрицы. Теорема 2. Если в матрице A
некоторый минор M
порядка отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то r
rang
A
r=
. Доказательство этого утверждения опустим. Пример 5. Найти ранг матрицы A
: 2 1 3 2 4
4 2 5 1 7
2 1 1 8 2
A
− −
= −
−
.
Решение. Имеем (следовательно, ). 1
1
2 0
M = ≠
rang 1
A ≥
12
12
2 1
0
4 2
M
−
= =
−
; 13
12
2 3
10 12 2 0
4 5
M = = − = − ≠
( ); rang 2
A⇒ ≥
123
123
2 1 3
4 2 5
2 1 1
M
−
= − =
−
0
; 134
123
2 3 2
4 5 1 80 6 8 20 2 96 106 106 0
2 1 8
M
−
= = + − + − − = −
=
; 135
123
2 3 4 2 3 4
4 5 7 0 1 1 0
2 1 2 0 2 2
M = = − −
− −
=
. Таким образом, известен минор второго порядка, отличный от нуля (
), а все миноры третьего порядка, окаймляющие его, равны нулю, следовательно, . 13
12
2 0
M = − ≠
rang 2
A =
Базисный минор 13
12
2 3
4 5
M =
. Через первый и третий столбцы линейно выражаются остальные столбцы матрицы. Изложенный способ нахождения ранга матрицы называется методом окаймляющих миноров. Метод элементарных преобразований Определение 5. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие: 1) перестановка двух строк (столбцов) матрицы; 2) умножение всех элементов строки (столбца) на вещественное число λ ≠
; 0
3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число. Справедливо следующее утверждение, которое приводится без доказательства. Теорема 3. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы. Определение 6. Матрица A
размером s
n
×
имеет диагональную форму, если , кроме , 0
ij
i j a∀ ∀ =
11
,...,
rr
a a
0 min(,
r s
)
n
≤
≤
, то есть 11
22
0...0...0
0...0...0
..................
0 0......0
..................
0 0...0...0
rr
a
a
A
a
=
. Отметим, что rang
A
r
=
, так как минор M
порядка , расположенный в левом верхнем углу (в первых строках и первых столбцах), отличен от нуля, а все миноры, окаймляющие его, равны нулю (они содержат столбец из нулей). r
r
r
Утверждение. Всякую матрицу элементарными преобразованиями можно привести к диагональной форме. Действительно, пусть 11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
............
...
n
n
s
s s
a a a
a a a
A
a a a
=
n
. Если , то по определению 6 0
ij
i j a∀ ∀ =
A
имеет диагональную форму. Если , то, переставляя строки и столбцы, можно добиться того, что . Умножим все элементы первой строки на 0
ij
i j a∃ ∃ ≠
11
a ≠
0
11
1
a
: 1
12
11 11
21 22 2
1 2
1...
...
............
...
n
n
s
s s
a
a
a a
a a a
A
a a a
′
=
n
. Первую строку, умноженную на , прибавляем ко второй, умноженную на - к третьей,…, умноженную на 21
a
−
31
a
−
1
s
a
−
- к s
-й. Таким образом, получаем матрицу 1
12
11 11
22 2
2
1...
0...
............
0...
n
n
s
sn
a
a
a a
a a
A
a a
′ ′
′′
=
′ ′
. Первый столбец, умноженный на 12
11
a
a
−
, прибавляем ко второму,..., умноженный на 1
11
n
a
a
−
- к -му, получим n
22 2
2
1 0...0
0...
............
0...
n
s
sn
a a
A
a a
′′ ′′
′′′
=
′′ ′′
. С матрицей, оставшейся в правом нижнем углу, совершаем аналогичные преобразования. После конечного числа шагов придем к матрице диагонального вида. Пример 6. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований. 2 1 3 2 4
4 2 5 1 7
2 1 1 8 2
A
− −
= −
−
Решение. Договоримся об обозначениях. Запись A
A
′
→
будет означать, что матрица A
′
получена из матрицы A
с помощью элементарных преобразований. При этом i
-ю строку исходной матрицы A
обозначим , а -ю строку преобразованной матрицы i
α
i
A
′
- . Для -х столбцов будем использовать соответственно обозначения β
, β
. i
α
%
i
i
i
%
2 2 1
1 1
3 3 1
( 2)
0,5
( 1)
2 1 3 2 4 1 1 3 2 4
4 2 5 1 7 2 2 5 1 7
2 1 1 8 2 1 1 1 8 2
=
+ − ⋅
= ⋅
=
+ − ⋅
− − − −
− → −
− −
α α α
β β
α α α
%
%
%
→
2 2 1
3 3 1
4 4 1
5 5 1
( 3)
2
( 4)
1 1 3 2 4
0 0 1 5 1
0 0 2 10 2
= +
= + − ⋅
= + ⋅
= + − ⋅
− −
→ − − →
− −
β β β
β β β
β β β
β β β
%
%
%
%
2 5
5 2
1 0 0 0 0
0 0 1 5 1
0 0 2 10 2
=
=
−
− →
− −
β β
β β
%
%
3 3 2
( 2)
1 0 0 0 0
0 1 1 5 0
0 2 2 10 0
=
+ − ⋅
→ − − →
− −
α α α
%
3 3 2
4 4 2
( 1)
5
1 0 0 0 0
0 1 1 5 0
0 0 0 0 0
=
+ − ⋅
= + ⋅
− − →
β β β
β β β
%
%
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
→ −
.
Матрица приобрела диагональную форму, rang 2
A
=
1 0
1 0
0 1
= − ≠
−
. Упражнение. Найти ранг матрицы A
методом окаймляющих миноров и методом элементарных преобразований: 3 2 1 2 0
4 1 0 3 0
2 1 2 1 1
3 1 3 9 1
A
−
−
=
− −
− −
. Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений Первоначальные понятия. Метод Гаусса 3.1. Метод Гаусса Пусть дана система s
уравнений первой степени (линейных) с неизвестными. Неизвестные обозначим n
1
,...,
n
x
x
, уравнения будем считать пронумерованными: первое, второе,…, s
-е. Коэффициент из i
-
го уравнения при неизвестном j
x
обозначим , свободный член - b
. ij
a
i
Система запишется в следующем виде: 11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...,
...,
...........................................
....
n n
n n
s
s sn n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =
+ + + =
+ + + =
s
(3.1) Определение 1. Решением системы линейных уравнений (3.1) называется такой набор чисел , что каждое из уравнений (3.1) обращается в тождество после замены неизвестных 1
,...,
n
k k
i
x
числами , . i
k
1,...,
i n
=
Определение 2. Система (3.1) называется несовместной, если она не имеет решений, и совместной, если она имеет решения. Определение 3. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений более одного. Определение 4. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если они обе несовместны, или обе совместны и имеют одни и те же решения. Наиболее удобным для практического разыскания решений системы (3.1) является метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса. Выполним следующие преобразования системы: обе части одного уравнения умножим на некоторое число и прибавим к обеим частям другого уравнения. Покажем, что мы придем к эквивалентной системе. Пусть обе части первого уравнения системы (3.1), умноженные на число , прибавляются к обеим частям второго уравнения. Получаем систему λ
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...,
...,
...........................................
...,
n n
n n
s
s sn n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =
′ ′ ′
+ + + =
+ + + =
s
′
1
(3.2) где a a
, …, 21 21 11
a
′
= +λ
2 2
n n
a a a
′
n
=
+λ
, b b
2 2
b
′
1
=
+λ
. Пусть - решение системы (3.1). Это означает, что выполняются тождества: 1
,...,
n
k k
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...,
...,
...........................................
....
n n
n n
s
s sn n
a k a k a k b
a k a k a k b
a k a k a k b
+ + + =
+ + + =
+ + + =
s
(3.3) Равенства (3.3) означают, что набор чисел удовлетворяет первому, третьему,…, 1
,...,
n
k k
s
-му уравнению системы (3.2). Удовлетворяют эти числа и второму уравнению, так как, если к обеим частям второго тождества в системе (3.3) прибавить обе части первого, умноженные на , получим λ
11 21 1 1 2 2 1
( )...( )
n n n
a a k a a k b
λ + + + λ + = +λ
b
. Таким образом, всякое решение системы (3.1) является решением системы (3.2). Справедливо обратное. Пусть - решение системы (3.2), тогда 1
,...,
n
k k
. 11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...,
...,
...........................................
....
n n
n n
s
s sn n
a k a k a k b
a k a k a k b
a k a k a k b
+ + + =
′ ′ ′
+ + + =
+ + + =
s
′
(3.4) Тождества (3.4) означают, что набор чисел удовлетворяет первому, третьему,…, 1
,...,
n
k k
s
-му уравнению системы (3.1). Если к обеим частям второго тождества в (3.4) прибавить обе части первого, умноженные на , получим (−λ
)
21 1 2 2
...
n n
a k a k b
+ + =
, то есть удовлетворяют также второму уравнению в (3.1), и всякое решение системы (3.2) является решением системы (3.1). Системы (3.1) и (3.2) в соответствии с определением 4 эквивалентны. 1
,...,
n
k k
Перейдем к изложению метода Гаусса. Дана система (3.1). Пусть (если это не так, возьмем в качестве первого любое другое уравнение с коэффициентом при 11
0
a
≠
1
x
, отличным от нуля, и перенумеруем уравнения; хотя бы одно такое уравнение найдется, - иначе 1
x
просто отсутствовал бы). Обе части первого уравнения, умноженные на 21
11
a
a
−
, прибавим к обеим частям второго уравнения, умноженные на 31
11
a
a
−
, - к обеим частям третьего и т.д., умноженные на 1
11
s
a
a
−
- к обеим частям s
-го уравнения. Придем к новой системе: 11 1 12 2 1 1
22 2 2 2
2 2
...,
...,
..................................
....
n n
n n
s sn n
a x a x a x b
a x a x b
a x a x b
+ + + =
′ ′
+ + =
′ ′
+ + =
s
′
′
(3.5) Система (3.5) эквивалентна системе (3.1). Первое неизвестное исключили из всех уравнений системы, начиная со второго. Уже после первого шага может встретиться уравнение вида 1 2
0 0...0
n i
x
x x
′
⋅ + ⋅ + + ⋅ =
b
2
i s
, ≤
≤
. (3.6) Если , этому уравнению удовлетворяет любой набор чисел . В этом случае уравнение будем отбрасывать. Если 0
i
b
′
=
1
,...,
n
k k
0
i
b
′
≠
, уравнению (3.6) не удовлетворяет никакой набор чисел , и система, содержащая такое уравнение (3.6), несовместна, следовательно, несовместна и эквивалентная ей система (3.1). В этом случае преобразования по методу Гаусса будем прерывать. 1
,..
k
.,
n
k
Итак, имеем систему (3.5). Среди коэффициентов , ij
a
2,..,
i s
=
, , есть отличные от нуля (иначе либо система несовместна, либо уравнения можно отбросить). Пусть для определенности 2,..,
j
=
n
22
0
a
′
≠
(если , но отличен от нуля коэффициент при 22
a
0=
2
x
в другом уравнении, можно перенумеровать уравнения, если 2,...,
j n
∀
=
, можно перенумеровать неизвестные). Обе части второго уравнения, умноженные на 2
0
j
a
=
31
22
a
a
′
−
′
, прибавим к обеим частям третьего уравнения и т.д., обе части второго уравнения, умноженные на 2
22
s
a
a
′
−
′
, - к обеим частям s
-го уравнения. Этим исключим неизвестное 2
x
из всех уравнений, кроме первого и второго, и придем к системе 11 1 12 2 13 3 1 1
22 2 23 3 2 2
33 3 3 3
3 3
...,
...,
...,
................................
....
n n
n n
n n
s
sn n s
a x a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x b
a x a x b
+ + + + =
′
′ ′
+ + + =
′′ ′′ ′′
+ + =
′′ ′′ ′′
+ + =
′
′
Аналогичным образом продолжим процесс исключения неизвестных. Если после нескольких шагов получим уравнение вида (3.6), в котором , можно сделать вывод о несовместности системы. Если же такое уравнение не встретится, придем к системе 0
i
b
′
≠
11 1 12 2 1 1 1
22 2 2 2 2
( 1) ( 1) ( 1)
......,
......,
...................................................
...,
k k n n
k k n n
k k k
k n
kk kn k
a x a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x b
− − −
+ + + + + =
′ ′ ′
+ + + + =
+ + =
(3.7) эквивалентной системе (3.1). Здесь , 11
0
a
≠
22
0
a
′
≠
, …, ( 1)
0
k
kk
a
−
≠
, . ,
k s k n
≤ ≤
При система (3.7) имеет вид k n
=
11 1 12 2 1 1
22 2 2 2
( 1) ( 1)
...,
...,
................................................
.
n n
n n
n n
nn n n
a x a x a x b
a x a x b
a x b
− −
+ + + =
′ ′
+ + =
=
′
(3.8) Из последнего уравнения найдем значение n
x
(
a
( 1)
0
n
nn
−
≠
), подставим в -е - найдем 1n −
1
n
x
−
(
a
( 2)
1,1
0
n
n n
−
− −
≠
) и т.д., до первого уравнения, из которого определится 1
x
. Система (3.8) в этом случае имеет единственное решение и эквивалентная ей система (3.1) является определенной. При в последнем уравнении системы (3.7) присвоим неизвестным k n<
1
,...,
k
n
x
x
+
произвольные числовые значения: 1 1
,...,
k k n
n
x
c x
+ +
c
=
=
. Из последнего, -го уравнения системы (3.7) найдем k
k
x
( ), подставим в -е уравнение - найдем ( 1)
0
k
kk
a
−
≠
1k −
1
k
x
−
и т.д., двигаясь снизу вверх по системе (3.7), найдем вполне определенные значения 1
,...,
k
x
x
. Так как значения для неизвестных 1
,...,
k
n
x
x
+
можно выбрать бесчисленным множеством способов, система (3.7) в случае будет неопределенной. k n<
Итак, метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. Если в процессе преобразований встретится уравнение, в котором все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля, система несовместна. Если такое уравнение не встретится, система совместна. Она является определенной, если приводится к треугольному виду (3.8), и неопределенной, если приводится к трапецеидальному виду (3.7). Пример 1. Решить систему методом Гаусса: 1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 5
5 7
2 2
2 3 3 14
x x x
x x x
x x x
x x x
+ + =
,
,
,
.
+
+ = −
+ + =
+ − =
Решение. Исключаем неизвестное 1
x
. Первое уравнение, умноженное на , прибавляем ко второму, умноженное на 1−
2
−
, к третьему и четвертому, получаем 1 2 3
2 3
2 3
2 3
3 5
2 4 1
5 8
3 5 4.
x x x
x x
x x
x x
+ + =
,
2,
,
−
+ = −
− − = −
− − =
Обе части второго уравнения умножим на 1
2
−
: 1 2 3
2 3
2 3
2 3
3 5
2 6,
5 8
3 5 4.
x x x
x x
x x
x x
+ + =
− =
− − = −
− − =
,
,
,
,
. Второе уравнение, умноженное на , прибавляем к третьему, умноженное на - к четвертому, получим в результате: 5
3
1 2 3
2 3
3
3
3 5
2 6
11 22,
11 22.
x x x
x x
x
x
+ + =
− =
− =
− =
Обе части третьего уравнения, умноженные на 1
−
, прибавляем к четвертому уравнению, получим 1 2 3
2 3
3
3
3 5
2 6
11 22,
0 0
x x x
x x
x
x
+ + =
− =
− =
⋅ =
,
,
.
Последнее уравнение отбрасываем, из третьего уравнения находим , подставляем во второе: и находим 3
2x = −
2
4 6x + =
2
2x
=
. Затем 2
x
и 3
x
подставляем в первое уравнение: , откуда 1
x
6 2 5+ − =
1
x
1
=
. Итак, , , - решение исходной системы, найденное методом Гаусса. 1
1x =
2
2x =
3
2x = −
Упражнения. Системы уравнений решить методом Гаусса: 1.
2. 1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 1
2 2
3,
2 3
x x x
x x x
x x x
x x x
+ − = −
+ − =
+ + =
+ − =
,
1,
1.
3,
0,
,
6.
,
,
5.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3
3 5
4 3
3 13
x x x
x x x
x x x
x x x
− + =
+ − =
− + =
+ − = −
3.
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 1
2 1
2 5
x x x x
x x x x
x x x x
− + + =
− + − = −
− + + =
Лекция 4.
Исследование и решение произвольной системы линейных уравнений Правило Крамера. Исследование произвольной системы линейных алгебраических уравнений. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений 4.1. Правило Крамера Пусть дана система линейных алгебраических уравнений с неизвестными: n
n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...,
...,
...........................................
....
n n
n n
n n nn n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =
+ + + =
+ + + =
n
(4.1) Обозначим ij
A
a=
, . ,1,...,i j n=
A
∆ =
будем называть определителем системы (4.1). Обозначим 1
...
n
x
X
x
=
, . Система (4.1) равносильна матричному уравнению 1
...
n
b
B
b
=
A
X B=
. (4.2) Теорема 1. Если 0A∆ = ≠
, то система (4.1) имеет, притом единственное, решение. Доказательство. Так как 0A∆ = ≠
, то 1
A
−
∃
. Умножим обе части (4.2) на 1
A
−
слева: ( )
(
)
1 1
1
A
AX A A X EX X A B
− −
= = = =
−
. Итак, решением матричного уравнения (4.2) является матрица 1
X
A B
−
=
- матричное уравнение (4.2) имеет решение, следовательно, система (4.1) совместна. ( )
1 1 2 2
1
...
j j j nj n
x A b A b A b= ⋅ + ⋅ + + ⋅
∆
=
11 1 1
21 2 2
1
-й
столбец
обозначим ......
......
1
,1,...
...............
......
j
n
j
n
n n nn
j
a b a
a b a
j n
a b a
∆
∆
= =
∆ ∆
1444442444443
.
=
(4.3) Решение системы (4.1) дается формулами (4.3), и так как ,
j
∆
∆
, , вполне определенные числа, единственно. 1,...,j =
n
Теорема доказана. Правило Крамера: если 0A∆ = ≠
, то решение системы (4.1) может быть найдено по формулам j
j
x
∆
=
∆
, 1,...,
j
n
=
, где j
∆
- определитель, который получится из , если столбец коэффициентов при ∆
j
x
заменить столбцом свободных членов. Пример 1. По правилу Крамера, если оно применимо, решить систему 1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 4 5 2
2 3 3 2
2 0
x x x
x x x
x x x
+ − =
− + =
− + =
,
,
.
Решение. Имеем 3 4 5
2 3 3 9 12 20 15 18 8 18 0
1 2 1
−
∆ = − = − + + − + − = ≠
−
, следовательно, правило Крамера применимо. 1
2 4 5 2 4 5
7 8
2 3 3 0 7 8 2 2( 7 16) 1
2 1
0 2 1 0 2 1
− −
−
∆ = − = − = ⋅ = − + =
−
− −
8
, 2
3 2 5 3 2 8
2 8
2 2 3 2 2 1 1 18
2 1
1 0 1 1 0 0
− −
−
∆ = = = ⋅
=
, 3
3 4 2 3 10 2
10 2
2 3 2 2 1 2 1
1 2
1 2 0 1 0 0
∆ = − = = =
−
8
. По формулам (4.3) находим 1
1
1
x
∆
= =
∆
, 2
2
1
x
∆
= =
∆
, 3
3
1
x
∆
=
=
∆
. 4.2. Исследование произвольной системы линейных уравнений Пусть дана система s
уравнений с неизвестными: n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...,
...,
...........................................
....
n n
n n
s
s sn n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =
+ + + =
+ + + =
s
(4.4) Обозначим матрицу из коэффициентов :
A
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
............
...
n
n
s
s s
a a a
a a a
A
a a a
=
n
. Матрица A
содержит матрицу A
и еще столбец свободных членов, она называется расширенной матрицей по отношению к A
: 11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
...
...
...............
...
n
n
s
s sn
a a a b
a a a b
A
a a a b
=
s
. Теорема 2 (Кронекера - Капелли). Система совместна тогда и только тогда, когда rang rang
A
A=
. Доказательство. Необходимость. Пусть система (4.4) совместна и - решение (4.4), следовательно, справедливы тождества 1 2
,,...,
n
λ λ λ
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...,
...,
.............................................
....
n n
n n
s
s sn n
a a a b
a a a b
a a a b
λ + λ + + λ =
λ + λ + + λ =
λ + λ + + λ =
s
(4.5) В матрице A
к последнему столбцу прибавим первый, умноженный на , второй, умноженный на 1
−λ
2
−
λ
,…, -й, умноженный на Получим, учитывая (4.5), n
.
n
−λ
A
~
11 12 1
21 22 2
1 2
...0
...0
...............
...0
n
n
s s sn
a a a
a a a
B
a a a
=
. Поскольку выполнялись элементарные преобразования, то rang rang
B A=
, но (добавление столбца из нулей не может изменить ранга), отсюда rang rang
B =
A
rang rang
A
A=
. Достаточность. Пусть rang rang
A
A r=
r
=
. Это означает, что существует минор порядка , а все миноры порядка 0
D ≠
1
r
+
, окаймляющие , равны нулю. D
Пусть расположен в левом верхнем углу матрицы D
A
(это предположение не ограничивает общности рассуждений, так как можно переставить уравнения и перенумеровать неизвестные и тем самым добиться того, что будет расположен в первых строках и первых столбцах матрицы D
r
r
A
): 11 1 1
1
1
......
...............
......
...............
......
r n
r rr
rn
s
sr sn
a a a
a a a
a a a
. Тогда первые строк матрицы линейно независимы, а остальные r
s
r−
строк являются их линейной комбинацией (теорема о базисном миноре), следовательно, через первые уравнений линейно выражаются остальные r
s
r−
r
уравнений. Таким образом, вся система (4.4) эквивалентна первым уравнениям: 11 1 1 1
1 1
...,
..............................
....
n n
r rn n
a x a x b
a x a x b
+ + =
+ + =
r
n n
(4.6) Случай 1: r n. Система (4.6) имеет единственное решение (определитель системы (4.6) , - применяем теорему 1). Его можно найти, например, по правилу Крамера. =
0
D ≠
Случай 2: r. Перепишем (4.6) в виде n<
(4.7) 11 1 1 1 1,1 1 1
1 1,1 1
......,
..............................................................
.......
r r r r n n
r rr r r r r r r
a x a x b a x a x
a x a x b a x a x
+ +
+ +
+ + = − − −
+ + = − − −
Неизвестные 1
,...,
r
x
x
назовем главными, 1
,...,
r
n
x
x
+
- свободными. Присвоим свободным неизвестным произвольные числовые значения, положим 1 1
,...,
r r n
n
x
c x
+ +
=
c=
. Тогда согласно теореме 1 из системы (4.7) определится единственный набор 1 1
,...,
r r
x
c x c
=
=
1 1
,...,
r r
главных неизвестных. Таким образом, набор чисел n
x
c x c
=
=
, 1 1
,...,
r r n
n
x
c x
+ +
=
c=
является решением системы (4.4). Значения свободных неизвестных можно выбрать бесчисленным множеством способов, поэтому система (4.4) имеет бесчисленное множество решений. И в случае 1 и в случае 2 система оказалась совместной. Достаточность доказана. Определение 1. Формула, выражающая решение системы (4.4) в виде вектор - функции n r
−
свободных неизвестных, называется общим решением системы (4.4): 1 1
1
1
(,...,)
................
(,...,
.................
r n
r r n
r
n
x c c
x
c c
X
c
c
+
+
+
=
. Пример 2. Исследовать совместность системы и, если система совместна, найти общее решение и одно частное: 1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 2
4 2 5 7
2 8
x x x x
x x x x
x x x x
4,
,
2.
−
+ − =
−
+ + =
−
+ + =
Решение. Найдем ранг матриц A
и A
: 2 1 3 2 4
4 2 5 1 7
2 1 1 8 2
A
− −
= −
−
~
2 1 3 2 4
0 0 1 5 1
0 0 2 10 2
− −
−
−
−
−
~ ~
2 1 3 2 4
0 0 1 5 1
0 0 0 0 0
− −
− −
. Итак, rang 2 rang
A
A= =
(минор второго порядка 2 3
0
0 1
M =
−
≠
, все миноры, его окаймляющие, равны нулю и в A
, и в A
). Следовательно, согласно теореме 2 система совместна. Так как , система имеет бесчисленное множество решений. rang 4A <
Вся система эквивалентна системе первых двух уравнений: 1 2 3 4
3 4
2 3 2
5 1
x x x x
x x
− + − =
− + = −
4,
.
В качестве главных неизвестных возьмем 1
x
и 3
x
(
M
0
≠
), свободных - 2
x
и 4
x
и перепишем систему в виде 1 3 2 4
3 4
2 3 4 2
1 5
,
x
x x
x x
+ = + +
= +
x
- "укороченная" система. Отсюда 3 4
1 5
x
x= +
и ( )
1 2 4 4 2
1 1
(4 2 3 15 ) 1 13
2 2
4
x
x x x x x= + + − − = + −
. Общее решение 2 4
2
4
4
0,5 0,5 6,5
1 5
x
x
x
X
x
x
+ −
=
+
. Частное решение получим, присвоив конкретные числовые значения свободным неизвестным, например, 2 4
0,0x x
=
=
, тогда частное
0,5
0
1
0
X
=
. 4.3. Системы линейных однородных алгебраических уравнений Пусть дана система линейных однородных уравнений: 11 1 1
1 1
...0,
.................................
...0.
n n
s sn n
a x a x
a x a x
+ + =
+ + =
(4.8) Система (4.8) всегда совместна (решение 1 2
...0
n
x x x
=
= = =
всегда присутствует среди решений). Если rang
A
r n= =
, то это решение - единственное, если r n
<
, система (4.8) имеет бесчисленное множество решений (и, следовательно, есть решения, отличные от 1 2
...0
n
x x x
=
= = =
). Теорема 3. Любая линейная комбинация решений системы однородных линейных уравнений (4.8) является решением системы (4.8). Доказательство. Пусть и 1
2
1
...
n
X
α
α
=
α
1
2
2
...
n
X
β
β
=
β
- произвольные решения системы (4.8). Пусть i
- некоторое число, 1
. Подставим i s≤ ≤
1 1
2 2
1 2
...........
n n
Y X X
α +β
α +β
= + =
α +β
в i
-е уравнение системы (4.8): 1 1 1
( )...(
i in n
a aα +β + + α +β =
)
n
2
2
1 2
1 1 1 1
0, так как - решение (4.8) 0, так как - решение (4.8)
(...)...(...) 0.
i in n i in n
X X
a a a a
= =
= α + + α + + β + + β =
144424443 1442443
1
Следовательно, Y X X= +
i
удовлетворяет -му уравнению системы (4.8) при произвольном , , то есть i
1 i s≤ ≤
1
Y X X
=
+
является решением (4.8). Пусть λ
- произвольное вещественное число, 1
2
1
...
n
Z X
λ
α
λ
α
= λ =
λ
α
. Подставим Z
в -е уравнение системы (4.8), 1
i
i s
≤
≤
: 1
1 1 1 1
0, так как - решение (4.8)
( )...( ) (...) 0
i in n i in n
X
a a a a
=
λα + + λα = λ α + + α =
144424443
1
Следовательно, Z
X= λ
- решение (4.8). Итак, сумма любых двух решений системы (4.8) и произведение любого решения на число являются решениями системы (4.8), следовательно, любая линейная комбинация решений системы (4.8) является решением. Определение 2. Пусть дана система линейных однородных уравнений с матрицей A
, rang
A
r=
. Пусть неизвестные 1
,...,
n r
i i
x
x
−
являются свободными. Обозначим через , , то единственное решение системы, которое получится, если неизвестному k
e
1,...,k n=
r−
k
i
x
присвоить значение 1
, а остальным свободным неизвестным - значение . 0
Система решений называется фундаментальной системой решений данной системы линейных однородных уравнений. 1
,...,
n r
e e
−
Справедливо следующее утверждение, которое приведем без доказательства. Теорема 4. Пусть дана система линейных однородных уравнений с матрицей A
, rang
A
r=
1
,...,
, и - фундаментальная система решений. Тогда всякое решение системы является линейной комбинацией решений e
1
,...,
n r
e e
−
r
n
e
−
. Пример 3. Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы 1 2 3 4
1 2 3 4
0,
0.
x x x x
x x x x
+
+ + =
+
− + =
(4.9) Решение. Первое уравнение, умноженное на 1
−
, прибавим ко второму: 1 2 3 4
3
0,
2 0
x x x x
x
.
+
+ + =
− =
Отсюда 3 1 2
0,
4
x
x x= = − −
x
. Общее решение 2 4
2
4
0
x
x
x
X
x
− −
=
, свободными являются неизвестные 2
x
и 4
x
, главными - 1
x
и 3
x
. 1
x
2
x
3
x
4
x
1
e
1
−
1
0
0
2
e
1
−
0
0
1
Векторы и составляют фундаментальную систему решений системы (4.9), 1
1
1
0
0
e
−
=
2
1
0
0
1
e
−
=
2 1 4 2
X
x e x e= +
. Последнее равенство можно проверить непосредственно. Лекция 5
. Линейные пространства Аксиоматическое определение линейного пространства. Базис и размерность линейного пространства
5.1. Аксиоматическое определение линейного пространства Определение 1. Совокупность элементов произвольной природы называется линейным пространством, если для любых элементов и из установлено понятие суммы V
,,...
x y
x
y
V
+
x
y
, а для любого элемента из и любого действительного числа x
V
λ
установлено понятие произведения элемента на число x
λ
, обозначаемое . При этом для введенных операций выполнены следующие восемь аксиом: λ
x
1. Сложение коммутативно, + = +
x
y y
x
. 2. Сложение ассоциативно,
( )
(
)
+ + = + +
x
y
z x
y
z
. 3. Существует нулевой вектор , удовлетворяющий условию для всех . θ
+ =
x θ x
x
4. Для любого вектора существует противоположенный вектор x
y
, удовлетворяющий условию . + =
x y θ
Для любых векторов , и любых действительных чисел x
y
,
α
β
имеют место равенства: 5. ( )
. α+β = α +β
x x
x
6. ( )
= α +β
x y x y
α +
}
. 7. α β
. ( ) ( )
= αβ
x x
8. 1
. ⋅ =
x x
Элементы линейного пространства принято называть векторами. Пример 1. Совокупность всех многочленов степени составляет линейное пространство. {
( )
n
P x=
V
n≤
Решение. Проверим выполнение всех аксиом. В самом деле, пусть 0 1
( )...
n
n n
P x a a x a x= = + + +
x
; 0 1
( )...
n
n n
Q x b b x b x= = + + +
y
. По правилу сложения двух многочленов имеем ( )
(
)
0 1 0 1
( ) ( )......
n n
n n n n
P x Q x a a x a x b b x b x+ = + = + + + + + + + =
x y
( ) ( )
0 0 1 1
...( )
n
n n
a b a b x a b x= + + + + + + =
( ) ( )
0 0 1 1
...( ) ( ) ( )
n
n n n n
b a b a x b a x Q x P x= + + + + + + = + = +
y
x
, следовательно, аксиома 1 выполняется. Аксиома 2 проверяется аналогично. В качестве нулевого вектора берем многочлен, тождественно равный нулю, . ( ) 0
xθ ≡
Для любого многочлена имеет место аксиома 3: ( )
n
P x
( ) ( ) ( ) 0 ( )
n n
P x x P x P x+θ = + =
n
n
. Проверим выполнение аксиомы 4. Пусть - произвольный многочлен из . В качестве противоположенного элемента 0 1
( )...
n
n
P x a a x a x= = + + +
x
V
y
возьмем многочлен . По свойству сложения многочленов имеем 0 1
...
n
n n
a a x a x− − − −
( )
Q x= =
y
( ) ( )
n n
P x Q x+ = + =
x y
( ) (
0 1 0 1
......
n n
n n
a a x a x a a x a x= + + + + − − − −
)
=
( ) ( ) ( )
0 0 1 1
...( )
n
n n
a a a a x a a x x= − + − + + − = θ
. Таким образом, аксиома 4 верна. Аксиомы 5 - 8 проверяются аналогично. Так как все аксиомы линейного пространства выполняются для множества многочленов степени ≤
, то V
является линейным пространством. V
n
Пример 2. Совокупность всех квадратных матриц порядка 2 составляет линейное пространство. V
Решение. Проверим выполнение аксиом. Пусть , . 11 12
21 22
a a
A
a a
=
11 12
21 22
b b
B
b b
=
По правилу сложения матриц 11 11 12 12
21 21 22 22
a b a b
A B
a b a b
+ +
+ =
+ +
. Но элементы матриц - вещественные числа, следовательно, и ,,1,2,
ij ij ij ij
i j i j a b b a∀ ∀ = + = +
11 11 12 12 11 11 12 12
21 21 22 22 21 21 22 22
a b a b b a b a
A
B B
a b a b b a b a
+ + + +
+ = = = +
+ + + +
A
)
)
)
, аксиома 1 выполняется. Пусть С
. 11 12
21 22
с с
с с
=
По правилу сложения матриц 11 11 11 12 12 12
21 21 21 22 22 22
( ) ( )
( )
( ) ( )
a b с a b с
A B С
a b с a b с
+ + + +
+ + =
+ + + +
, 11 11 11 12 12 12
21 21 21 22 22 22
( ) (
( )
( ) (
a b с a b с
A B С
a b с a b с
+ + + +
+ + =
+ + + +
. Аналогично, так как элементы матриц - вещественные числа , откуда ,,1,2,( ) ( )
ij ij ij ij ij ij
i j i j a b с a b c∀ ∀ = + + = + +
( ) (
A
B C A B C+ + = + +
, аксиома 2 выполняется. В качестве нулевого вектора выступает матрица . 0 0
0 0
θ =
Действительно, для любой матрицы имеем: 11 12
21 22
a a
A
a a
=
11 12
21 22
0 0
0 0
a a
A
A
a a
+ +
+θ = =
+ +
- аксиома 3 выполняется. Для произвольной матрицы в качестве противоположного элемента возьмем матрицу . 11 12
21 22
a a
A
a a
=
11
21
B
=
12
22
a a
a a
− −
− −
По правилу сложения матриц 11 11 12 12
21 21 22 22
( ) ( )
0 0
( ) ( )
0 0
a a a a
A B
a a a a
+ − + −
+ = =
+ − + −
- аксиома 4 имеет место. Итак, аксиомы 1 - 4 справедливы. Аналогично проверяется выполнение аксиом 5 - 8. Таким образом, совокупность всех квадратных матриц порядка 2 - линейное пространство. V
Упражнения. 1. Доказать, что множество всех геометрических векторов является линейным пространством. 2. Пусть - множество всех упорядоченных наборов чисел вида n
R
1 2
,...,
n
(,)
n
x
x x
,...,
n
. Пусть и 1 2
(,,...,)
n
x x x= ∈
x R
n
1 2
(,
y y=
)
n
y
∈
y
R
. Положим 1 1 2 2
(,,...,
)
n n
x
y x y+ = + +
x
y+
x y
. Пусть - произвольное действительное число, положим λ
(,
1 2
,)
n
...,
x
x xλ
λ = λ
x
λ
. Доказать, что R
- линейное пространство (
R
называют линейным пространством -мерных арифметических векторов). n n
n
3. Доказать, что множество непрерывных на отрезке [
a,b
С
]
[
]
,
a b
функций является линейным пространством. Следует отметить, что, вводя линейное пространство, мы отвлекаемся не только от конкретной природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования суммы векторов и произведения на число, - важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли аксиомам, сформулированным в определении линейного пространства. Укажем некоторые следствия из аксиом. 1. Единственность нулевого элемента. Действительно, допустим, и - нулевые элементы, следовательно, . 1
∃
θ
+
x x θ
∃
2
θ
x
,
∀ ∈ + = =
1 2
x V x θ
Имеем (так как - нулевой), но (так как θ
- нулевой), следовательно, 1 2
+ =
θ θ θ
2 1 2
+ =
θ θ
1
2
θ
1 2
акс. 1
+ =
θ θ θ
1
1 2
=
θ θ
. 2. Единственность противоположного элемента. Пусть a
и , - противоположные элементы для , то есть , . ∈
V
2
+
a a
1
a
=
θ
2
a
a
1
+ =
a a θ
Рассмотрим вектор a a
. Имеем 1
(
+ +
a
2
)
1
2
1 2 1
( )
+ + = + =
a a a a θ a
. С другой стороны, 1 2 1 2 2 2 2 1
акс. 2 акс.1
( ) ( )
+ + = + + = + = + = ⇒ =
a a a a a a θ a a θ a a a
. Теперь всюду далее противоположный элемент для будем обозначать . a
−a
3. Существование и единственность разности. Дадим определение разности. Для любых двух векторов и назовем разностью и такой вектор , что a
b
a
b
d
+
=
b d a
. Обозначим . = −
d a b
Положим . ( )
= + −
d a b
Имеем акс. 1 акс.2
( ( )) (( ) )
+ = + + − = + − + =
b d b a b b b a
( ( ))
= + − + = + = + =
b b a θ a a θ a
. Следовательно, вектор ( )
=
+ −
d a b
удовлетворяет определению разности. Покажем, что он единственный вектор, удовлетворяющий этому определению. Пусть ∃ +
. :
=
c b с a
К обеим частям последнего равенства прибавим вектор (
)
−
b
: акс.1 акс. 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))
+ + − = + + − = + + − =
b c b c b b c b b
( )
= + = = + − ⇒ =
c θ c a b c d
- таким образом, вектор - единственный. (
= + −
d a b
)
4. Для любого вещественного числа α
α
⋅ =
θ θ
. 5. Для любого вектора 0
. ∈
a V
⋅ =
a θ
6. Если , то либо , либо α⋅ =
a θ
0
α =
=
a θ
. Для любого вещественного числа и любого α
∈
a V
справедливы соотношения: 7. α⋅
; ( ) (
− = − α⋅
a a
)
)
8. ( )
. (
−α ⋅ = − α⋅
a a
Следствия 4 - 8 докажите самостоятельно. 5.2. Базис линейного пространства Определение 2. Пусть - линейное пространство. Вектор называется линейной комбинацией векторов V
u
,,...,
x
y
z
, если найдутся такие числа α β
, что ,,...,
γ
...
=
α +β + + γ
u x
y
z
. Определение 3. Система векторов ,,...,
x
y
z
, принадлежащих линейному пространству , называется линейно зависимой, если найдутся такие числа , не все равные нулю одновременно, что выполняется равенство V
...,
,,
α β γ
...
α +β + + γ =
x
y
z θ
. Определение линейно зависимой системы векторов можно дать в следующей эквивалентной форме, иногда более удобной. Определение 3'. Система векторов ,,...,
x
y
z
, принадлежащих линейному пространству , называется линейно зависимой, если один из векторов является линейной комбинацией остальных. V
Определение 4. Система векторов ,,...,
x
y
z
, принадлежащих линейному пространству , называется линейно независимой, если из равенства V
...
α +β + + γ =
x
y
z θ
следует, что . ...0
α = β = = γ =
Пример 3. Пусть - линейное пространство всех матриц порядка . Доказать, что векторы V
2 2
×
0 1
0 2
A
=
и 1 0
0 0
B
=
линейно независимы. Решение. Рассмотрим линейную комбинацию A B
λ
+µ = θ
: 0 1 1 0 0 0
0 2 0 0 0 0
λ +µ =
. (5.1) Привлекая правила умножения матриц на число и сложения матриц, получим 0 1 1 0 0 0
0 2 0 0 0 2 0 0 0 2
λ µ µ λ
λ +µ = + =
λ λ
,
. (5.2) Равенства (5.1) и (5.2) дают 0,
0,
2 0
µ =
λ =
λ =
откуда λ =
, следовательно, 0
µ =
A
и - линейно независимы. B
Справедливы следующие два утверждения, которые приведем без доказательства. Теорема 1. Всякая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима. Теорема 2. Всякая система векторов , содержащая линейно зависимую подсистему векторов, 1 2
,,...,
r
a a a
k r
k
<
, линейно зависима. Определение 5. Система векторов линейного пространства называется базисом в , если 1 2
,,...,
n
e e e
V
V
1) e e
линейно независима; 1 2
,,...,
n
e
2) ∀ ∈
(вещественные числа): 1 2
,,...,
n
x ∃λ λ λ
V
1 1 2 2
...
n n
= λ +λ + +λ
x e e e
. (5.3) Правая часть равенства (5.3) называется разложением вектора по базису , а числа - координатами вектора в базисе . x
x
1 2
,,...,
n
e e e
1 2
,,...,
n
e e e
1 2
,,...,
n
λ λ λ
Приведем примеры базисов в конкретных линейных пространствах. Пример 4. V
- линейное пространство всех геометрических векторов, базисом являются любые три некомпланарных вектора. Пример 5. - линейное пространство всех многочленов степени . Показать, что базисом является система векторов {
( )
n
P x=
V
n≤
2
3
,...,
}
1 2 1
1,
n
n
x
x x
+
= = =
e e e
=
e
. Решение. Составим линейную комбинацию векторов 1 2 1
,,...,
n
+
e e e
и приравняем ее нулевому вектору: 1 1 2 2 1 1
...
n n+ +
λ +λ + +λ =
e e e θ
, или 1 2 1
...0
n
n
x x
+
λ +λ + +λ =
. Имеет место основная теорема алгебры: всякий многочлен степени с действительными коэффициентами имеет ровно корней, при этом каждый корень считается столько раз, какова его кратность. Это утверждение означает, что равенство n
n
...
1 2 1
0
n
n
x x
+
λ
+λ +λ =
V
+
возможно не более, чем в точках, то есть не может выполняться тождественно (как равенство между векторами в ). n Следовательно, допущение, что линейная комбинация векторов с коэффициентами 1 2 1
,,...,
n+
e e e
1 2 1
,,...,
n
+
λ λ λ
0
равна нулевому вектору , влечет , это означает, что θ
1 2 1
...
n+
λ = λ = = λ =
1 2 1
,,...,
n
+
e e e
- линейно независимы. Пусть - произвольный многочлен степени . В последней записи представлен в виде линейной комбинации векторов , что вместе с линейной независимостью этих векторов доказывает, что система 0 1
( )...
n
n
P x a a x a x= + + +
(
n
P
1 2 1
,,...,
n+
e e e
n
n≤
)
x
1 2 1
,,...,
n
+
e e e
- базис в пространстве многочленов степени n
≤
(в соответствии с определением 5). Пример 6. - линейное пространство всех квадратных матриц порядка 2. Показать, что базисом является система V
1
1 0
0 0
E
=
, , , . 2
0 1
0 0
E
=
3
0 0
1 0
E
=
4
0 0
0 1
E
=
Решение. Убедимся в том, что система - линейно независима. Составим линейную комбинацию и приравняем ее θ
: 1 2 3 4
,,,
E E E E
1 1 2 2 3 3 4 4
E E E Eλ +λ +λ +λ =
θ
, или 1 2 3 4
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
λ +λ +λ +λ =
, откуда 1 2
3 4
0 0
0 0
λ λ
=
λ λ
. Последнее равенство дает , следовательно, система векторов линейно независима. 1 2 3 4
0
λ = λ = λ = λ =
1 2 3 4
,,,
E E E E
Пусть - произвольный вектор из . 11 12
21 22
a a
A
a a
=
V
Привлекая определение сложения матриц и произведения матрицы на число, получим 11 12
11 1 12 2 21 3 22 4
21 22
a a
A
a E a E a E a E
a a
= = + + +
, то есть любой вектор из можно представить в виде линейной комбинации . В соответствии с определением 5 это вместе с доказанной выше линейной независимостью означает, что
- базис. V
1 2 3 4
,,,
E E E E
3 4
,
E
1 2 3 4
,,,
E E E E
1 2
,,
E E E
Упражнение. Доказать, что в линейном пространстве система векторов , , …, n
R
..,1)
1
(1,0,...,0)
=
ε
2
(0,1,...,0)
=
ε
(0,0,.
n
=
ε
является базисом. Теорема 3. Пусть - линейное пространство, - базис в , . Координаты относительно базиса определены однозначно. V
1 2
,,...,
n
e e e
V
∈
x V
x
Доказательство. Пусть , ∈
x V
1 1 2 2
...
n n
=
α +α + +α
x e e
e
и . 1 1 2 2
...
n n
= β +β + +β
x e e e
Имеем ( )
+ − =
x x θ
. С другой стороны, 1 1 2 2
следствие 8
из аксиом
( ) (...)
n n
α+ − = α +α + + +
x x e e e
1 1 2 2
акс. 6
( 1) (...)
n n
+ − ⋅ β +β + +β =
e e e
1 1 2 2 1 1 2 2
(...) (( 1) ( 1)...( 1) )
n n n n
= α +α + +α + − ⋅ β + − ⋅ β + + − β =
e e e e e e
1 1 2 2 1 1 2 2
акс. 7 (...) (( ) ( )...( ))
n n n n
= α +α + +α + −β + −β + + −β =
e e e e e e
1 1 1 2 2 2
акс. 2,3,1
( ) ( )...( )
n n n
= α −
β
+ α −
β
+ + α −
β
=e e e θ
. Откуда в силу линейной независимости векторов следует α −
1 2
,,...,
n
e e e
1 1
0,...,0
n n
β
= α −
β
=
, то есть 1 1
,...,α =
n n
β
α =
β
. Допустив, что вектор имеет два разложения по базису , мы получили, что эти разложения совпадают, это и означает, что координаты вектора относительно базиса определены однозначно. x
1 2
,,...,
n
e e e
x
1 2
,,...,
n
e e e
Теорема доказана. Теорема 4. Пусть - линейное пространство, - базис в . При сложении любых двух векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число. V
1 2
,,...,
n
e e e
V
Докажите самостоятельно. Теорема 5. Пусть - линейное пространство, - базис в . Всякая система V
1 2
,,...,
n
e e e
V
s
векторов 1 2
,,...,
s
x x x
при s
n>
линейно зависима. Доказательство. Достаточно доказать утверждение для 1
s
n
=
+
(если 1
s
n
> +
, сошлемся на теорему 2). Пусть - произвольная система векторов в V
. 1 2
,,...,
n
+
x x x
1
1
Случай 1. Среди есть , следовательно, система - линейно зависима. 1 2
,,...,
n
+
x x x
θ
1 2 1
,,...,
n
+
x x x
Случай 2. ∀ =
. ,1,...,1,
j
j j n
+ ≠x θ
Так как система - базис, существуют такие 1 2
,,...,
n
e e e
ij
α
, что 1,...,1,1,...,
i n j
= + =
n
1 11 1 12 2 1,
...
n n
= α +α + +α
x e e
e
e
n
e
, 2 21 1 22 2 2,
...
n n
= α +α + +α
x e e
, (5.4) …………………………………… 1 1,1 1 1,2 2 1,
...
n n n n n
+ + + +
= α +α + +α
x e e
. Среди чисел есть отличные от нуля (иначе 11 12 1,
,,...,
n
α α α
1
=
x θ
11
0
). Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что α
≠
(в противном случае можно перенумеровать базисные векторы), следовательно, 1,
12
1 1 2
11 11 11
1
...
n
n
α
α
= − − −
α α α
e x e
e
. (5.5) Подставив (5.5) во все равенства (5.4), начиная со второго, получим 2 21 1 22 2 2,
...
n n
=
β
+
β
+ +
β
x x e
e
n
, …………………………………… (5.6) 1 1,1 1 1,2 2 1,
...
n n n n n
+ + + +
=
β
+
β
+ +
β
x x e
e
1
. Векторы линейно выражаются через . 2
,..,
n
+
x x
1 2
,,...,
n
x e e
Если в первом равенстве в системе (5.6) 22 23 2,
...0
n
β
=
β
= =
β
=
, то 2 21
=
1
β
x
x
1
и система векторов линейно зависима. Тогда, согласно теореме 2, система векторов также линейно зависима. 1 2
,
x x
1 2
,,...,
x x
n
+
x
Если же среди 22 23 2,
,,...,
n
β β
β
есть отличные от 0, то, не ограничивая общности рассуждений, считаем, что 22
0
β
≠
. Из первого равенства в (5.6) имеем 2,
23
21
2 2 1 3
22 22 22 22
1
...
n
n
β
β
β
= − − − −
β β β β
e x x e
e
1
. (5.7) Подставим (5.7) во все равенства (5.6), начиная со второго, получим выражения 3
,..,
n
+
x x
через . 1 2 3
,,,...,
n
x x e e
Процедуру повторим 2
n
−
раза и придем к равенству 1 1 1 2 2
...
n n
+
=
n
γ
+
γ
+ +
γ
x x x
x
1
. Один из векторов системы 1 2
,,...,
n
+
x x x
,
оказался линейной комбинацией остальных, следовательно, 1 2 1
,...,
n
+
x x
x
линейно зависимы. Теорема доказана. Следствие. Все базисы линейного пространства состоят из одного и того же числа векторов. V
Действительно, пусть e e
(I) и 1 2
,,...,
n
e
1 2
,,...,
s
′
′
e
′
e e
(II) - два базиса в . V
Допустим, s
n>
. Так как система (I) - базис, то в силу теоремы 5 это означает, что система (II) линейно зависима. Это противоречит тому, что (II) - базис. Отсюда s
n
≤
. Допустим теперь, что . Так как система (II) - базис, то в силу теоремы 5 это означает, что система (I) линейно зависима. Это противоречит тому, что (I) - базис. Следовательно, n s>
n s
≤
. Вместе эти два заключения дают s
n=
. Определение 6. Число векторов в любом базисе линейного пространства называется размерностью линейного пространства. V
Для размерности линейного пространства принято обозначение . V
dim
V
В рассмотренных примерах: 1) если - линейное пространство всех геометрических векторов пространства, ; V
dim 3=
V
2) если - линейное пространство всех многочленов степени , ; V
1
n
+
n
≤
dim =
V
3) если - линейное пространство всех квадратных матриц порядка 2, . V
V
dim 4=
Лекция 6. Связь между базисами линейного пространства. Линейные подпространства Матрица перехода от базиса к базису. Связь координат одного и того же вектора в двух базисах. Линейные подпространства. Примеры 6.1. Связь между базисами линейного пространства Пусть - линейное пространство, (I) и V
1 2
,,...,
n
e e e
1 2
,,...,
n
′
′
e e e
′
e
e
n
e
(II) - два базиса в . V
Так как (I) - базис, любой вектор из , в частности любой вектор системы (II), можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (I), то есть найдутся такие числа , что V
ij
,,1,...,
i j n
τ =
1 11 1 21 2 1
...
n n
′
= τ + τ + + τ
e e e
2 12 1 22 2 2
...
n n
′
= τ + τ + + τ
e e e
………………………………. (6.1) 1,1 2,2
...
n n n nn
′
= τ + τ + + τ
e e e
Определение 1. Матрица ,,1,...,
ij
T i j
= τ =
n
называется матрицей перехода от базиса (I) к базису (II). Замечание 1. Столбцы матрицы перехода ,,1,...,
ij
T i j
= τ =
1 2
,,...,
n
n
, являются координатами в разложении векторов ′
′ ′
e e e
по базису (I). Справедливость этого замечания непосредственно следует из равенств (6.1). Замечание 2. Матрица перехода от базиса к базису является невырожденной матрицей. Доказательство этого факта опустим. Справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Пусть - линейное пространство, (I) и (II) - два базиса в , - матрица перехода от (I) к (II), , и V
...+
1 2
,,...,
n
e e e
n n
′
1 2
,,...,
n
′ ′ ′
e e e
∈
x V
= α
V
n n
e
T
=
1 1 2 2
+α + α
x e e
1 1 2 2
...
′ ′
β
+
β
+ +
β
x e e
e
, тогда 1 1
2
1
......
n n
T
−
2
β
α
β
α
=
β
α
. (6.2) Доказательство. Подставим в разложение по базису (II) выражения из (6.1), получим x
,1,2,...,
i
i
′
=
e
n
e
1 1 2 2
1 вносим под знак 1 1 1
внутренней суммы
...
i
n n n
n n i i i ki k
i i k
e e
β
= = =
′ ′ ′ ′
= β +β + +β = β = β τ =
∑ ∑ ∑
x e e e
меняем порядок выносим 1 1 1 1
суммирования
за знак внутренней суммы
k
n n n n
i ki k i ki k
e
i k k i
e e
= = = =
= β τ = β τ =
∑ ∑ ∑ ∑
1 1
n n
i ki k
k i
e
= =
= β τ
∑ ∑
. Последнюю сумму запишем развернуто: 1 1 2 2
1 1 1 1 1
...
n n n n n
i ki k i i i i i ni n
k i i i i
e e e
= = = = =
β
τ =
β
τ +
β
τ + +
β
τ =
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
1 11 2 12 1 1 1 21 2 22 2 2
(...) (...)...
n n n n
=
β
τ +
β
τ + +
β
τ +
β
τ +
β
τ + +
β
τ +
e e
+
n
1 1 2 2
(...)
n n n nn
+
β
τ +
β
τ + +
β
τ
e
. По условию , используя теорему о единственности разложения вектора по базису (теорема 3 в лекции 5), получим 1 1 2 2
...
n n
= α +α + +α
x e e e
1 1 11 2 12 1
...
n n
α =
β
τ +
β
τ + +
β
τ
, 2 1 21 2 22 2
...
n n
α =
β
τ +
β
τ + +
β
τ
, …………………………………… 1 1 2 2
...
n n n n
α =
nn
β
τ +
β
τ + +
β
τ
, что в матричном виде выглядит как равенство 1 1
2 2
......
n n
T
α β
α
β
=
α
β
. Отсюда следует 1 1
2 2
1
......
n n
T
−
β
α
β
α
=
β
α
. Теорема доказана. Пример 1. - линейное пространство всех геометрических векторов плоскости, (I) - произвольный декартов базис, 2
V
1
,
e e
2
1 2
,
′
′
e e
(II) - декартов базис, полученный поворотом векторов и на угол 1
e
2
e
ϕ
против хода часовой стрелки. Найти матрицу перехода от (I) к (II) и связь координат одного и того же вектора в (I) и (II). Имеем {
}
1
cos,sin
′
= ϕ ϕe
, {
}
2
sin,cos
′
= − ϕ ϕ
e
( рис. 6.1). Тогда cos s
sin c
T
in
os
ϕ
− ϕ
ϕ
. e
2
e
e
e
1
'
'
2
1
ϕ
Ри
с
.
6
.
1
.
=
ϕ
T
- матрица перехода от (I) к (II). Найдем T
. 1
−
2 2
in
cos sin 1
os
ϕ
= = ϕ+ ϕ =
ϕ ϕ
cos s
sin c
T
ϕ −
1
cos
sin
T
−
и sin
cos
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
. =
−
Формула (6.2) в этом случае имеет вид 1 1
2 2
cos sin
sin cos
β α
ϕ ϕ
=
β α
− ϕ ϕ
, где - координаты произвольного вектора 1 2
,α α
∈
x V
в базисе (I), а координаты этого же вектора в базисе (II). 1
,β β
2
Пример 2. - произвольное линейное пространство, di
V
m 2
=
V
. Векторы ,
e
и заданы своими координатами в 1
(1,1)
′
=
e
2
′
(1,2)=
(6,9)=
x
некотором базисе . Доказать, что система 1 2
,
e e
1 2
,
′
′
e e
- базис в , и найти координаты вектора в базисе . V
θ
x
1 2
,
′ ′
e e
2
′
e
2
′
λ
= θ
0,
2 0
=
=
1 1
1 2
=
2 1 0∆ = −
1= ≠
0=
1
,
′
e e
2
=V
2
′
e
1 2
(,)
β β
−
1 1
2 1 1
1 2
T
− =
= =
2 1
1 1
−
3
3
=
+
Сначала докажем, что система - базис. Рассмотрим линейную комбинацию векторов и , равную нулевому вектору : 1 2
,
′ ′
e e
1
′
e
1 1 2
′
+λe e
. Покоординатно последнее равенство запишется в виде системы двух уравнений: 1 2
1 2
λ + λ
λ + λ
.
(6.3) Определитель системы (6.3) , следовательно, система (6.3) имеет единственное решение . 1 2
λ = λ
Итак, допустив, что линейная комбинация векторов 1
′
e
и 2
′
e
, равна , мы с необходимостью получили, что коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю. Это означает, что система векторов θ
2
′
линейно независима, а так как , векторы dim
1 2
,
′
′
e e
являются базисом в . Обозначим этот базис (II). V
Найдем матрицу перехода от (I) к (II). В силу определения 1 T
(координаты векторов 1 1
1 2
=
1
′
e
и в (I) располагаем по столбцам). Обозначим координаты вектора в (II). x
Воспользуемся теоремой 1. Найдем T
. 1
, T
1−
=
−
и по формуле (6.2) получим 1
2
2 1 6 12 9
1 1 9 6 9
β
− −
= =
β
− −
. Итак, x e
. 1 2
3 3
′ ′
= + e
Упражнения. 1. {
}
2
( )
P x
=V
- линейное пространство многочленов степени . Доказать, что система многочленов 2≤
2 2 2
1,2,
x
x x x
x
+
− + −
2
1,,
образует базис в . Найти матрицу перехода от базиса V
x
x
1
к этому базису и координаты многочлена 2
2
x
x
−
,,
− +
в нем. ′
′ ′
e e e
x
2. В произвольном линейном пространстве векторы 1 2 3
и заданы своими координатами в некотором базисе : 1 2
,,
e e
3
e
1
(1
,1,1
)
′
=
e
, , , . 2
(1,1,2)
′
=e
3
(1,2,3)
′
=e
(9,6,14)
=x
Доказать, что система векторов - базис в , и найти координаты в этом базисе. 1 2 3
,,
′ ′ ′
e e e
V
x
3. В произвольном линейном пространстве векторы (I) и (II) заданы своими координатами в некотором базисе: , , , V
(3
1 2 3
,,
e e e
1 2 3
,,
′ ′ ′
e e e
(1,2,1)
=
1
e
2
(2,3,3)
=e
3
(3,7,1)
=e
1
,1,1)
′
=
e
, 2
(5,2,1
)
′
=
e
, . Доказать, что системы (I) и (II) являются базисами в и найти матрицу перехода от (I) к (II). 3
′
e
(1,1,6)
= −
V
6.2. Линейные подпространства Определение 2. Пусть - линейное пространство. Непустое подмножество линейного пространства ( ) называется линейным подпространством в , если выполняются два условия: V
L
V
,
⊆ ≠L V L
∅
V
1) ∀ ∈
; ( )
∀ ∈ + ∈x L y L x y L
2) ∀ ∈
при любом вещественном числе x L
( )
λ
λ ∈x L
. Пример 1. Пусть - линейное пространство всех арифметических -мерных векторов (
n
=V R
n
)
1
n
x
,...,x
)
0
L
; - совокупность всех векторов, у которых первая и последняя компоненты равны нулю, то есть векторов вида (
. - подпространство в . L
2 1
0
n
,...,x
−
,x,
n
R
Действительно, пусть и ∈x L
∈
y L
, следовательно, по определению и L
( )
1
0 0
,x,
=x
2
n
...,x,
−
(
)
2 1
0 0
n
,y,...,y,
−
=y
. По правилу сложения векторов в n
R
(
)
2 2 1 1
0 0
n n
,x y,...,x y,
− −
+ = + + ∈x
y
L
L
и, таким образом, сумма любых двух векторов из L
принадлежит . ∈
n
x R
( ) ( )
2 1 2 3
0 0,,,...,0,x x= λ λ ∈x L
λ
L
L
V
L
V
L
V
n
..,x
−
λ
⋅
∈x L
V
0
⋅ =x θ
∈
θ L
V
( 1)
−
⋅ = −x x
1 2
,,...,
k
a a a
V
k k
+λ a
1 2
,,...,
k
...
+
λ
λ λ
..}
k k
λ a
L
V
∅
i
{.
+ +
k
a
≠L
Пусть и - произвольное вещественное число. Но ∈x L
λ
(так как ), следовательно, по правилу умножения вектора на число в и вместе с любым вектором произведение его на тоже принадлежит . В соответствии с определением 2 это означает, что - линейное подпространство в . n
⊆
L R
n
λ =
R
0λ⋅
n
R
,x,.λ
Замечание. Если - линейное подпространство в , то само является линейным пространством относительно введенных в операций сложения и умножения на число. L
Действительно, требования 1) и 2) в определении 2 означают, что в определены операции сложения векторов и умножения вектора на число. L
Аксиомы 1 и 2 выполняются в , так как они имеют место в . Убедимся в справедливости аксиомы 3. Пусть , , следовательно, согласно условию 2) 0
∈x L
0
λ =
, но, по следствию 5 из аксиом в , , таким образом, и в справедлива аксиома 3. L
Пусть , . Следовательно, согласно условию 2) , но, по следствию 8 из аксиом в ∈x L
1
λ = −
( 1)
− ⋅ ∈x L
, таким образом, и в L
справедлива аксиома 4. ( )
− ∈x L
Аналогично проверяется справедливость аксиом 5 - 8, следовательно, - линейное пространство. L
Пусть - произвольное линейное пространство, - некоторая система векторов в . Рассмотрим совокупность всех векторов вида , где V
1 1 2 2
λ +λa a
принимают всевозможные вещественные значения. Обозначим множество этих векторов . называется линейной оболочкой векторов a a
. L
является подпространством в . 1 1 2 2
= λ +λL a a
1 2
,,...,
Действительно, (так как, например, сами векторы a
, , принадлежат L
). ,
⊆L V
1,...,i =
k
Пусть , , следовательно, по определению такие, что ∈a L
1 2
,,
λ µ µ
∈b L
..,
k k
µ
L
k
1 2
,,...,,.
∃ λ λ
1 1 2 2
...
k
=
λ +λ + +λa a a
a
, . 1 1 2
= µ +µ +µb a
2
...
+a
k k
a
Имеем и . 1 1 1 2 2 2
( ) ( )...( )
k k
+ = λ +µ + λ +µ + + λ +µa b a a a
k
( )
+ ∈a b L
Пусть a
, - произвольное вещественное число. ∈L
δ
Имеем (
)
(
)
1 1 2 2 1 1
(...)...
k k k k
δ =δ λ +λ + +λ = δλ + + δλa a a a a
a
и ( )
δ
∈a L
. Таким образом, выполняются условия 1) и 2) определения 2 и является линейным подпространством в . L
V
Говорят, что порождено системой векторов a a
или "натянуто" на систему a a
. L
1 2
,,...,
k
a
L
1 2
,,...,
k
a
Заметим, что само линейное пространство может рассматриваться как линейная оболочка любого своего базиса. V
Пример 2. Найти размерность и базис линейной оболочки векторов , , =
4
V R
1
(0,
= −x
1,2,0)
2
(1,0,2,1)
= −x
3
(1,2,6,1)
=
− −x
. Найдем ранг матрицы, строками которой являются данные векторы , , : 1
x
2
x
3
x
~ ~
1 0 2 1
0 1 2 0
1 2 6 1
A
−
= −
− −
1 0 2 1
0 1 2 0
0 2 4 0
−
−
−
1 0 2 1
0 1 2 0
0 0 0 0
−
−
. Минор второго порядка 1 0
0
0 1
A
≠ ⇒ =
−
rang
1 2 3
{,,}
x x x
2
, следовательно, первые две строки матрицы линейно независимы. Значит, векторы и составляют линейно независимую систему векторов в , а следовательно, и в линейной оболочке , и вектор через них линейно выражается. Тогда любой вектор 1
x
4
2
x
R
3
x
∈
y
L
1
x
2
x
тоже линейно выражается через и . Векторы и являются базисом в , . 1
x
m
L
2
x
1 2 3
{,,}
L x x x
=
di 2
=
Упражнение. - линейное пространство арифметических векторов . Найти размерность и все базисы линейной оболочки векторов , V
)
4
R
1
x
(1,0,0,1
= −
2
(2,1,1,0)
=
x
, , 3
(1,1,1,1)
=x
4
(0,1,2,3)
=
x
. Лекция 7. Линейные операторы Линейный оператор - определение и примеры. Матрица линейного оператора. Собственные числа и собственные векторы. Линейные операторы с простым спектром 7.1. Понятие линейного оператора Определение 1. Пусть - линейное пространство и каждому вектору , принадлежащему , поставлен в соответствие вектор , . Соответствие называется оператором, определенным в линейном пространстве . V
V
:
x
y
∈y V
→y
A x
V
Принята также запись: . Вектор называется прообразом, а - образом при отображении оператором . ( )
=y A x
x
A
y
Определение 2. Оператор , определенный в линейном пространстве , называется линейным, если: A
+
V
∀
y
x)
1) ∀ ∈
∈ + =x V
V A(x
y
) A( A(
y
)
; 2) ∀ ∈
- вещественного числа x V
∀λ
λ
= λA( x) A(x)
. Пример 1. V
- линейное пространство всех геометрических векторов плоскости, - зеркальное отражение относительно оси (рис. 7.1). - линейный оператор. A
x
A
(
x
)
x
y
Рис.7.1.
Ox
A
Убедимся, что выполняется требование 2) в определении 2. Пусть - произвольное вещественное число, по определению умножения на для геометрического вектора , вектор uu
имеет то же направление, что и , если , и противоположное, если , и λ
λ
r
λ <
x
OB
= λx
u
x
0
0
λ >
OB
= λ ⋅
uuur
x
. Рис. 7.2 соответствует случаю 0
λ
>
, 1
λ
>
(
0
λ
<
рассматривается аналогично). Пусть , , - зеркальное отражение вектора относительно оси , OK
= x
uuur
OB
= λx
uuur
Ox
OP
uuur
OK
uuur
OD
u
uur
- зеркальное отражение вектора OB
u
uur
. Тогда ~ и, значит, OK
∆
P
∆
OBD
OB OD
OK OP
=
. Но OB
= λ ⋅
OK
u
uu
r uu
ur
, поэтому OD
= λ
uuur
OP
uuur
⋅
. Кроме того, направление вектора OP
u
uur
OP
совпадает с направлением вектора , следовательно, OD
uuur
OD
=
λ⋅
u
uur
uuur
. Таким образом, имеем ( )
( )
OP A x
OD A x
OD OP
=
= λ
= λ⋅
uuur
uuur
uuur uuur
Также, }
( ) ( )
⇒ λ = λA x A x
. исходя из геометрических соображений, можно доказать, что , следовательно, оператор зеркального отражения относительно оси является линейным оператором. + = +A(x y) A(x) A(y)
A
Ox
O C
x
y
K
B
P
D
Ри
с
.
7
.
2
.
Упражнения. 1. - линейное пространство всех многочленов степени , - оператор дифференцирования, {
( )
n
P x=V
n≤
A
:( ) ( )
n n
P x P x
′
→A
. Доказать, что - линейный оператор. A
2. - линейное пространство всех непрерывных на отрезке [
=
a,b
V C
]
[
]
,a b
функций. Для любой оператор определен следующим равенством: ( )f x ∈V
A
( ( )) ( )
x
a
f x f t dt=
∫
A
, [
]
,
x
a b∈
. Доказать, что - линейный оператор. A
Определение 3. Пусть - линейное пространство, - базис в , - линейный оператор в . Матрицей линейного V
1 2
,,...,
n
e e e
V
A
V
оператора в базисе называется матрица A
1 2
,,...,
n
e e e
ij
Q a=
n
e
, , такая, что ,1,..,i j n=
A ( ),A i i
( )A j
( ) = − =A j j
1 11 1
a a= +e
2 12 1
a a= +e
1 1 2
n n
a a= +e
1 2
),( ),...,A e
,j
( )A i
1 0
0 1
(= A
0,−
−
Oxyz
V
,,i j k
V
),...,
A
1 2
( ),(A e A e
21 2 1
( )...
n n
a+ +A e e e
, 22 2 2
( )...
n n
a+ +A e e e
, …………………………………….. (7.1) 2
( )...
n nn
a+ +A e e e
n
. −
,i
Q =
Замечание 1. Столбцы матрицы являются координатами в разложении векторов по базису e e
. Q
)
( (
n
A e A e
1 2
,,...,
Пример 2. Найти матрицу линейного оператора зеркального отражения относительно оси Ox
в базисе i
. O
x
-
j
=
A
(
j
)
j
i=
A
(i)
y
Ри
с
.
7
.
3
.
Решение. По определению оператора (рис. 7.3). ) =j j
Используя разложение векторов и по базису , находим: , . Полученные строки координат располагаем по столбцам: ( )A i
{ }
1,0= =
j
i
{ }
1
. Упражнение. - линейное пространство всех геометрических векторов, - декартов базис, - декартова система координат, - оператор проектирования на ось . Доказать, что - линейный оператор, и найти его матрицу в базисе . 3
V
Ox
i j
A
,,k
Замечание 2. Пусть - линейное пространство, - линейный оператор в , (I) - базис в . Матрица оператора в базисе (I) определена однозначно. A
1 2
,,...,
n
e e e
V
Для того, чтобы в этом убедиться, разложим векторы по базису (I). Столбцы матрицы представляют собой координаты этих векторов, которые согласно теореме 3 лекции 5 определяются единственным образом, следовательно, матрица оператора в (I) определена однозначно. ( )
n
A e
A
Q
Q
Теорема 1. Пусть - линейное пространство, (I) - базис в , - линейный оператор в , V
1 2
,,...,
n
e e e
V
A
V
,,,1,.
ij
i j=
..,Q a n=
- матрица линейного оператора в базисе (I), A
∈
x
V
, 1 1
n
...
n
x
x+
= +x e e
, , . Тогда (x
)=y A
1 1
n
y y= +y e e
...
n
+
1 1
......
n n
y x
Q
y x
=
=
=
kn
n
. Доказательство. Имеем 1 1 1 1
линейный ( ) (...) ( )...( )
n n n n
x x x x
−
= = + + = + +
А
y A x A e e A e A e
(7.1) вносим под
1 1 1 1 1
знак внутренней суммы
( )
i
n n n n n
i i i ki k i ki k
x
i i k i k
x x a x a
= = = = =
= = =
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
A e e e
меняем порядок выносим за
1 1 1 1
суммирования
знак внутренней. суммы
л
n n n n
i ki k i ki k
е
k i k i
x a x a
= = = =
= =
∑ ∑ ∑ ∑
e e
. По условию . 1 1
1
...
n
n n k k
k
y y y
=
= + + =
∑
y e e e
Используя теорему о единственности разложения вектора по базису (теорема 3 из лекции 5), получим 1 1 2 2
1
,1...,...
n
k i ki k k n
i
k k n y x a x a x a x a
=
∀ = = = + + +
∑
. (7.2) Заметим, что в последнем равенстве числа - элементы k-й строки матрицы Q
. 1 2
,,...,
k k k
a a a
Учитывая правило умножения матриц, равенство (7.2) запишем в виде 1 1
......
n n
y x
Q
y x
=
. Теорема доказана. Пример 3. Для линейного оператора зеркального отражения относительно оси найти, как преобразуются координаты произвольного вектора. Ox
Решение. Матрица оператора была найдена в примере 2: 1 0
0 1
Q
=
−
. В силу теоремы 1, если 1
2
x
x
=
x
1
2
y
y
=
y
1
2
x
x
=
(=
y A x
}
- прообраз, а - образ, , то , то есть первая координата образа остается без изменения, а вторая меняет лишь знак (рис. 7.4). )
1
x
−
1
2 2
1 0
0 1
y
y x
=
−
O
x
x
1
y
x
2
x={
x
,
x
}
1
2
A(x) ={
x
,
−
x
}
2
Рис.7.4.
1
Пример 4. - линейное пространство всех многочленов степени , - линейный оператор дифференцирования. Найти его матрицу в базисе {
2
( )P x=
V
2≤
A
2
1,,
x
x
2
P x= −
и, используя теорему 1, продифференцировать многочлен . 2
3 4x+ −
7
Решение. Находим образы векторов базиса и разлагаем полученные векторы по базису 1,
( )
i
A e
2
,
x
x
: ( )
1
( ) (1) 1 0 (0,0,0)
′
= = = =
A e A
, ( )
2
( ) ( ) 1 (1,0,0)x x
′
= = = =
A e A
, ( )
2 2
3
( ) ( ) 2 (0,2,0)x x x
′
= = = =
A e A
. Матрица оператора в базисе 1,
A
2
,
x
x
имеет вид 0 1 0
0 0 2
0 0 0
Q
=
, а вектор . Обозначим 2
2
7
3 4 7 4
3
P x x
−
= − + − =
−
1
2
3
( )P
2
β
=
β
β
A
. По теореме 1 имеем 1
2
3
0 1 0 7 4
0 0 2 4 6
0 0 0 3 0
β −
β = = −
β −
, или в виде разложения по базису 1,
2
,
x
x
: 2
( ) 4 6P x
=
−
A
. Упражнение. - линейное пространство всех геометрических векторов плоскости, - декартов базис, - декартова система координат, - оператор поворота плоскости вокруг начала координат на угол 2
V
,
i
j
Oxy
A
3
π
ϕ =
против часовой стрелки. Доказать, что - линейный оператор, найти матрицу оператора в базисе и координаты образа вектора . A
j
Q
A
,
i
{ }
2
1,
=
x
7.2. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
Определение 4. Квадратные матрицы и называются подобными, если существует невырожденная матрица , такая, что B
C
Q
1
C Q BQ
−
=
. Теорема 2. Пусть - линейное пространство, (I) и (II) - два базиса в , T
- матрица перехода от (I) к (II), - линейный оператор в , - матрица оператора в (I), - матрица оператора в (II). Тогда V
V
1 2
,,...,
n
e e e
A
1 2
,,...,
n
′ ′ ′
e e e
V
B
A
C
A
1
C T BT
−
=
. Это утверждение примем без доказательства. Пусть ,,,1...
ij
A
a i j= =
n
. Матрица A
E
−
λ
, где - единичная матрица порядка , а E
n
λ
- произвольное вещественное число, называется характеристической матрицей для . Она имеет вид A
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
.............
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
A E
a a a
−λ
−λ
−λ =
−
λ
. Определитель A
E−λ
- некоторый многочлен порядка относительно . n
λ
Определение 5. Многочлен A
E
−
λ
A
называется характеристическим многочленом матрицы , а его корни - характеристическими корнями матрицы . A
Теорема 3. Подобные матрицы имеют одинаковый набор характеристических корней. Доказательство. Пусть , - невырожденная матрица. Имеем 1
C Q BQ
−
=
Q
1 1 1
( )
C E Q BQ E Q BQ Q E Q
− − −
−λ = −λ = − λ =
1 1
свойства теорема об
умножения определителе
матриц произведения
матриц ( )
Q B E Q Q B E Q B E
− −
= −λ = ⋅ −λ ⋅ =
−λ
. Характеристические многочлены матриц В и С совпадают, следовательно, совпадают и характеристические корни. Теорема доказана. Следствие. Матрицы, задающие линейный оператор в различных базисах, имеют один набор характеристических корней. (Теорема 2 + теорема 3.) Определение 6. Характеристические корни матрицы линейного оператора (в любом базисе) называются характеристическими корнями линейного оператора. Определение 7. Весь набор характеристических корней называется спектром оператора. Определение 8. Пусть - линейное пространство, - линейный оператор в . Вектор называется собственным вектором оператора , если найдется действительное число V
A
V
A
≠
x θ
λ
, такое, что ( )
= λ
A x x
. Число называется собственным значением, соответствующим данному собственному вектору . λ
x
Справедливо следующее утверждение, которое приведем без доказательства. Теорема 4. Действительные характеристические корни линейного оператора, если они существуют, и только они, служат собственными значениями линейного оператора. Пример 5. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора зеркального отражения относительно оси . Ox
Матрица оператора была найдена в примере 2: Q
1 0
0 1
=
−
. Составляем характеристическое уравнение: 1 0
0
0 1
Q E
−λ
−λ = =
− −λ
, откуда (1
и , . )( 1 ) 0
−λ − −λ =
1
1
λ =
2
1
λ = −
Числа , - характеристические корни линейного оператора (в соответствии с определением 6), они действительны и, согласно теореме 4, являются собственными значениями. Найдем соответствующие им собственные векторы. 1
1
λ =
2
1
λ = −
По определению собственного вектора x
( )
=
λ
A x x
, но , следовательно, ищем векторы, удовлетворяющие уравнению , или Q
, или ( )
Q=
A x x
Q = λ
x x
E= λ
x
x
0,
0,
(
. (7.3) )
Q E−λ = θ
x
При λ =
имеем Q E
. Подставим ее в (7.3): 1
1
1
0 0
0 2
−λ =
−
1
2
0 0 0
0 2 0
x
x
=
−
, что равносильно системе уравнений (7.4) 1 2
1 2
0 0
0 2
x x
x x
⋅ + ⋅ =
⋅ − ⋅ =
откуда , и решением системы (7.4) являются все векторы вида 2
0
x =
1
(1)
0
c
X
=
, 1
c
- произвольное вещественное число, отличное от нуля. При λ =
получаем , подставляем в (7.3): 2
1
−
2
2 0
0 0
Q E
−λ =
0,
0,
A
1
2
2 0 0
0 0 0
x
x
=
, получаем систему уравнений 1 2
1 2
2 0
0 0
x x
x x
⋅ + ⋅ =
⋅ + ⋅ =
откуда , - произвольное вещественное число, отличное от нуля. (2)
2
0
X
с
=
2
с
Геометрически это означает, что любой ненулевой вектор, приложенный к началу координат с концом на оси , является собственным, отвечающим собственному значению (действие на него оператора сводится к умножению его на , а любой ненулевой вектор с концом на оси является собственным, отвечающим собственному значению (то есть действие оператора на этот вектор заключается в умножении его на (рис. 7.5)). Ox
1
1
λ =
2
λ =
A
1
1
λ =
2
λ =
Oy
1
−
1
−
x
=
A
(
x
) - собств.,
λ
= 1
y
- собств.,
λ = –1
A(y)
O
x
y
Ри
с
7
.
5
.
Упражнение. - линейное пространство всех геометрических векторов, - линейный оператор проектирования на ось . Найти все его собственные числа и собственные векторы. V
A
Ox
7.3. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду путем перехода к новому базису Линейный оператор задается в базисе (I) диагональной матрицей тогда и только тогда, когда все векторы базиса (I) - собственные. A
1 2
,,...,
n
e e e
Действительно, пусть (I) - собственные векторы, отвечающие собственным значениям соответственно, то есть 1 2
,,...,
n
e e e
1 2
,,...,
n
λ λ λ
1 1
( )
= λ
A e e
1
2
n
n
1
, 2 2
( )
= λ
A e e
, ………………. (7.5) ( )
n n
= λ
A e e
. Из равенств (7.5) следует справедливость разложений по базису (I): 1 1 1 2
( ) 0...0
n
= λ ⋅ + ⋅ + + ⋅
A e e e e
, 2 1 2 2
( ) 0...0
n
= ⋅ +λ ⋅ + + ⋅
A e e e e
, ……………………………………. 1 2
( ) 0 0...
n n
= ⋅ + ⋅ + +λ ⋅
A e e e e
, и по определению матрицы оператора (определение 3) имеем 1
2
0...0
0...0
0 0...0
0 0 0
n
Q
λ
λ
=
λ
, (7.6) то есть матрица оператора в (I) - диагональная (по диагонали стоят собственные значения). Q
A
Обратно. Пусть - матрица оператора в базисе (I) имеет диагональный вид (7.6), следовательно, Q
A
1 1
( )
=
λ
e
A e
,…,
( )
n n
n
=
λ
A e e
и, таким образом, векторы - собственные с собственными значениями . ,1,...,
i
i =
e
n
,1,.
i
λ =
..,
i n
Вопрос о том, можно ли линейный оператор задать в некотором базисе диагональной матрицей, равносилен вопросу о том, существует ли для данного оператора базис, состоящий из собственных векторов. Теорема 5. Пусть - линейное пространство, - линейный оператор в , - собственные векторы оператора , отвечающие собственным значениям V
..,
k
b
A
...,
V
1 2
,,.
b b
A
1 2
,,
k
λ
λ λ
. Если , то - линейно независимы. ,
i j i∀ ∀ ≠
i j
λ ≠ λ
j ⇒
1 2
,,...,
k
b b b
Доказательство. Доказательство проведем индукцией по числу векторов . k
При имеем один вектор 1
k =
1
≠
b θ
(по определению собственный вектор отличен от нулевого), вектор составляет линейно независимую систему. 1
b
Пусть утверждение теоремы справедливо для 1
k
−
: всякая система собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям, является линейно независимой. 1
k −
Пусть имеется система собственных векторов , относящихся к различным собственным значениям k
1 2
,,...,
k
b b b
1 2
,,...,
k
λ
λ λ
(
∀ ∀
). ,
i j
i j i j≠ ⇒λ ≠ λ
Предположим, система - линейно зависима, то есть найдутся числа , не все равные нулю, такие, что выполняется равенство 1 2
,,...,
k
b b b
k
α
1 2
,,...,
α α
α +
. (7.7) 1 1 2 2
...
k k
α + +α =
b b b θ
Не ограничивая общности рассуждений, можем считать, что (иначе перенумеруем векторы). 1
0
α ≠
Применим к обеим частям равенства (7.7) оператор : A
1 1 2 2 1 1
- линейный
(...) ( )...( )
k k k k
α +α + +α = α + +α
A
A b b b A b A b
=
1 1 1
- cобственные,
1
...( )
i
k k k
b
i,...,n =
= α λ + +α λ = =
b b A θ θ
. Из последнего равенства получаем 1 1 1
...
k k k
α λ + +α λ =
b b θ
. (7.8) Обе части равенства (7.7), умноженные на k
λ
, вычтем почленно из обеих частей (7.8), получим 1 1 1 1 1
( )...( )
k k k k k
− −
α λ −λ + +α λ −λ =
b θ
b
. (7.9) Равенство (7.9) означает, что векторы 1 2 1
,,...,
k
−
b b b
- линейно зависимы (их линейная комбинация с коэффициентами, не равными одновременно нулю, например, коэффициент при отличен от нуля, равна ), но это противоречит предположению индукции: векторы - собственные, относящиеся к различным собственным значениям. Следовательно, - линейно независимы, и утверждение теоремы справедливо при любом . Теорема доказана. 1
b
θ
...,
1 2 1
,,
k
−
b b b
1 2
,,...,
k
b b b
V
k
A
A
V A
n
,
λ
,
λ λ
,
1 2
,
e e
n
=
1 2
,,...,
e e
1
2
0...
0.
.........
0 0..
λ
λ
0
1 4
2 3
B
=
2 2
λ −
3 4
= − λ +
−λ
8
=
Определение 9. Линейный оператор называется линейным оператором с простым спектром, если все его характеристические корни действительны и различны. Теорема 6. Всякий линейный оператор с простым спектром может быть задан диагональной матрицей. Доказательство. Пусть - линейное пространство, dim
n
=
V
n
, - линейный оператор в , имеет простой спектр. Тогда характеристических корней . Пусть это числа 1 2
,...,
λ
A
λ
, в силу теоремы 4 - собственные значения оператора . 1 2
,...,
n
λ
Пусть - соответствующие этим собственным значениям собственные векторы, тогда согласно теореме 5 - линейно независимы, и так как 1 2
,...,
n
e e e
,...,
n
e
dim
V
, - базис. В этом базисе, как было отмечено выше, матрица оператора имеет вид n
e
0
..
...
.
n
Q
=
λ
и является диагональной матрицей. Теорема доказана. Пример 6. Линейный оператор задан своей матрицей в некотором базисе. Выяснить, существует ли для данного оператора базис, в котором его матрица имеет диагональный вид. В случае положительного ответа найти этот базис и соответствующую ему матрицу . A
Q
Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение: 1 4
4 5
2 3
B E
−λ
−λ = λ − λ −
, 2
4 5
0
λ
− λ − =
, откуда , - характеристические корни оператора . Они вещественны и различны, следовательно, согласно теореме 6 для оператора существует базис, состоящий из собственных векторов, и в этом базисе матрица оператора имеет вид 1
5
λ =
A
2
1
λ = −
A
5 0
0 1
Q
=
−
. Находим собственные векторы. При λ =
имеем 1
5
1
2
4 4 0
2 2 0
x
x
−
=
−
, или . Все ненулевые векторы вида являются собственными с собственным значением 1
(1)
1 2 1 2
1
2 2 0
c
x x x x X
c
− = ⇒ = ⇒ =
1
1
c
c
1
5
λ
=
. При λ =
имеем 2
1
−
1
2
2 4 0
2 4 0
x
x
=
, или 2 4
. Все ненулевые векторы вида - собственные с собственным значением 2
(2)
1 2 1 2
2
2
0 2
c
x x x x X
c
−
+ = ⇒ = − ⇒ =
2
2
2
c
c
−
2
1
λ
= −
. Полагаем , имеем e
, 1 2
1
c c= =
1
1
1
=
2
2
1
−
=
e
. В базисе матрица оператора имеет вид Q
. 1 2
,
e e
A
Лекция 8. Евклидовы пространства Определение евклидова пространства. Ортогональные и ортонормированные базисы. Процесс ортогонализации Шмидта. 8.1. Понятие евклидова пространства Определение 1. Евклидовым пространством называется n-
мерное линейное пространство, в котором каждой паре векторов поставлено в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением векторов и (это число обозначим ), причем выполняются следующие аксиомы: n
E
x,y
x
y
(
x,y
)
)
)
)
I) ; n
∀ ∈
x E
n
∀ ∈
y E
( ) (,
=
x,y y x
II) ∀ ∈
; n
∀ ∈
x E
n
y E
n
∀ ∈
z E
(,) (,) (
+ = +
x y z x z y,z
III) ∀ ∈
(,
; n
∀ ∈
x E
n
y E
∀λ∈
R
) (,
λ = λ
x y x y
IV) ∀ ∈
(,
. n
x E
≠ ⇒
x θ
) 0
>
x x
Замечание. Аксиомы II и III справедливы также в форме II’: и III’: (,) (,) ( )
+ = +
x y z x y x,z
(,) (,)
λ = λ
x y x y
Пример 1. Пусть - линейное пространство геометрических векторов, скалярное произведение определено равенством 3
V
(,) cos
∧
= ⋅ ⋅
x y x y x,y
. (8.1) Аксиомы I - IV выполняются (см. алгебраические свойства скалярного произведения, доказанные в векторной алгебре), следовательно, со скалярным произведением, определенным равенством (8.1), является евклидовым пространством. 3
V
Пример 2. В линейном пространстве арифметических векторов формула n
R
1 1 2 2
( )
n n
x
y x y...x y= + + +
x,y
, (8.2) где 1 2
(
n
x
,x,...,x )=
x
, y
, задает скалярное произведение. 1 2
(
n
y,y,...,y=
)
Докажем это. Проверим выполнение аксиом I - IV. Поскольку компоненты ,
i i
x
y
1,...,
i =
n
∈
R
- вещественные числа, имеем 1 1 1 1
( )...( ),
n n n n
x y...x y y x y x= + + = + + =
x,y y,x
следовательно, аксиома I выполняется. Пусть . По определению сложения в 1 2
(,,...,)
n
n
z z z=
z
1 1
(,,)
n n
n
R
x
y...x y+ +
+ =
x y
. Имеем 1 1 1
(8.2)
(,) ( ) ( )
n n n
x
y z...x y z
+ = + + + +
x y z
=
)
=
1 1 1 1
( ) (
n n n n
x z y z...x z y z
= + + + +
1 1 1 1
(...) (...) (
n n n n
x z x z...y z y z
= + + + + + + = +
x,z) (y,z)
, аксиома II справедлива. Пусть - произвольное вещественное число. По определению умножения вектора на число в λ
n
R
1 2
( )
n
x
,x,...,x
λ = λ λ λ
x
. Далее имеем 1 1 1 1
(8.2)
( ) ( ) ( ) (...) ( )
n n n n
x y...x y x y x y
λ = λ + + λ = λ + = λ
x,y x,y
, аксиома III выполняется. Проверим выполнение аксиомы IV: 2 2
1
(8.2)
( )
n
.
x
...x= + +x,x
Если , то среди компонент вектора найдется ≠x θ
x
0
i
x
≠
, , тогда и , следовательно, аксиома IV выполняется. 1 i n≤ ≤
2 2
1
0
n
x...x+ + >
( ) 0>x,x
Таким образом, линейное пространство арифметических векторов со скалярным произведением (8.2) является евклидовым пространством. n
R
В любом евклидовом пространстве справедливы следствия из аксиом I - IV: n
E
а) ; n
∀ ∈x E
(,0=x θ)
б) если , , то 1 1
...
k k
= α + +αx a a
1
...
l
= β + +β
1 l
y b
b
1 1
(,) ( ).
k l
i j
i j= =
= α β
∑∑
i j
x y a,b
Доказательство следствий проведите самостоятельно. Определение 2. Нормой вектора называется число, равное n
∈x E
(x,x)
. Обозначим норму: x
. Норма x
- аналог длины вектора, определенной для геометрических векторов. Угол между векторами и в евклидовом пространстве определяется равенством x
y
cos
∧
=
⋅
(x,y)
x,y
x y
. (8.3) Покажем, что угол действительно можно определить равенством (8.3), то есть покажем, что ∧
x,y
( )
1≤
⋅
x,y
x y
. Теорема 1 (неравенство Коши - Буняковского). Для любого и любого справедливо неравенство n
∈x E
n
∈y E
2
2
≤ ⋅
(x,y) x y
2
. (8.4) Доказательство. Пусть - произвольное вещественное число. Положим a x
. Тогда по аксиоме IV имеем α
= −α
y
( 0
=
−α −α ≥
a,a) (x y,x y)
. Воспользуемся аксиомами I - III: 2
( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0
f
α = −α −α = − α +α ≥
(x y,x y) x,x x,y y,y
. Так как , то дискриминант квадратного трехчлена неположителен: ( ) 0
f
∀α α ≥
D
( )
f
α
2
4,4( )( ) 0
D
= −
(x y) x,x y,y
≤
)
. Отсюда или 2
,( )(≤
(x y) x,x y,y
2
2
≤ ⋅
(x,y) x y
2
, и неравенство (8.4) выполняется. Теорема доказана. Упражнения. 1. Пусть 1 2
(,)
x
x
=
x
2
R
и - произвольные векторы пространства арифметических векторов . Показать, что скалярное произведение в можно определить следующими способами: 1 2
(,)
y y
=
y
R
2
а) 1 1 2 2
(,) 2 5
x
y x y
= +
x y
; б) 1 1 2 2
(,) 3
x
y x y
= +
x y
. Вычислить скалярное произведение векторов (1,2)
=
−
x
и (5,1)
=
y
каждым из указанных способов. 2. Доказать, что в пространстве соотношение [
,a b
C
]
(,) ( ) ( )
b
a
f g f x g x dx
=
∫
задает скалярное произведение. Написать неравенство Коши - Буняковского для этого пространства. 8.2. Ортогональные и ортонормированные базисы в n
E
Определение 3. Пусть - евклидово пространство, n
E
n
∈
x E
, . Векторы и называются ортогональными, если n
∈
y E
x
y
(,) 0=
x y
. Определение 4. Система векторов называется ортогональной системой векторов в евклидовом пространстве , если при . 1 2
,,...,
k
a a a
n
E
( )
i j
=
a,a
0
k
0
,,1,..,
i j i j
≠ =
Справедливо следующее утверждение. Теорема 2. В евклидовом пространстве всякая система ненулевых попарно ортогональных векторов линейно независима. n
E
Доказательство. Пусть - произвольная ортогональная система векторов в E
; a
. 1 2
,,...,
k
a a a
1,..,
i k
i
≠
θ
n
∀ =
Пусть 1 1
...
k k
α + +α =
a a θ
. (8.5) Умножим обе части (8.5) скалярно на : 1
a
1 1 1 2 2 1 1 1
(,) ( )...(,) (,)
k k
α +α + +α =
a a a,a a a θ a
. (8.6) Поскольку система векторов ортогональна, то верны равенства: ,…, ; следствие а) из аксиом дает 1 2
,,...,
k
a a a
) 0=
2 1
( ) =
a,a
1
(,
k
a a
1
(,) 0=
θ a
; согласно аксиоме IV . Тогда из равенства (8.6) получим . 1 1
(,) 0>
a a
1 2
b a
1
0α =
2
...α =
1 2
,
1
a
2
a
1 2
) 0=
b b
2 1
(,) 0=
a b
1
(
1 2
α +
b a
1 2 2 3
+β +
b a
3
b
1
a
1
β
2
β
3 2
(,) =
b b
3 1
3 2
(,
(,
b b
b b
0
1
) (
) (
= β
= β
1 1 1
0
1 1 2
(,)
(,
= β
= β
) b b
b b
1
)
)
2
−
Аналогично, скалярно умножая (8.5) последовательно на , получим , следовательно, система - линейно независима. 2
,...,
k
a a
0
k
= α =
1 2
,,...,
k
a a a
Теорема доказана. Опишем процесс построения ортогонального базиса в линейной оболочке любых линейно независимых векторов. k
Пусть a a
- линейно независимы. ,...,
k
a
Шаг 1. Примем . 1 1
=
b a
Шаг 2. Примем . Отметим, что 2 1
= α +
b
2
≠
b θ
1
a
1
a
, так как является линейной комбинацией и , причем и линейно независимы (линейная комбинация векторов и с коэффициентами, один из которых, а именно коэффициент при , заведомо отличен от нуля, не может равняться нулю). 2
b
2
a
2
a
2
a
Подберем так, чтобы , то есть 1
α
(,
1 1 1 1
,) (,)= α +
b b b
и 1
1 1
2 1
1
1 1
(,) 0
(,)
(,)
≠θ⇒
≠
−
b
b b
a b
b b
α =
. Шаг 3. Примем . Отметим, что 3 1
= β
b b
3
≠
b θ
3 1
(,)
, так как является линейной комбинацией , и , а эти векторы линейно независимы. Подберем и так, чтобы 2
a
3
a
0
=
b b
и . 1 1 2 2 3 1 2 2 1 3 1
0
1 2 2 3 2 2 2 2 3 2
0 0
,(,) (,) 0,
,) ) (,) (,) 0
≠ =
= ≠
+β + +β + =
+β + +β + =
b b a b b b a b
b b a b b b a b
,
отсюда 3
1
1 1
(,
(,
β = −
a b
b b
, 3 2
2 2
(,)
(,)
a b
b b
β =
. Шаг 4. Пусть уже построена ортогональная система ненулевых векторов 1
,...,
s
b b
, причем , является линейной комбинацией векторов a a
. ,1
i i
∀ ≤ ≤
s
1
i
b
1
,...,
i
Положим 1 1 1
...
s
s s s+ +
= γ + + γ +
b b b a
. Вектор , так как является линейной комбинацией линейно независимых векторов 1s+
≠
b θ
1 2 1
,,...,
s
+
a a a
с коэффициентами, один из которых, а именно коэффициент при 1
s
+
a
, заведомо отличен от нуля (поскольку 1
s
+
a
не входит в 1
,...,
s
b b
). Коэффициенты 1
,...,
s
γ γ
подберем так, чтобы 1
s
+
b
был ортогонален векторам 1
,...,
s
b b
: 1
(,) 0,1,2,...,
s i
i s
+
= =
b b
. Отсюда 1 1 1 1 1 1
0
(,)...,(,)...
s i s s s i i+ +
=
= γ + + γ + = γ + +
b b ( b b a b ) b b
1
0 0
(,)...(,) (,) 0
i i i s s i s i+
≠ =
+γ + + γ + =
b b b b a b
и 1
(,
(,)
)
s
i
i
i i
+
γ = −
a b
b b
, . 1,...,
i s
=
Продолжая процесс, построим ортогональную систему векторов , причем , , откуда в силу теоремы 2 следует, что - линейно независимы. Линейная оболочка векторов является подпространством размерности (
di
), а это означает, что b
- базис в (по построению - ортогональный). 1
,...,
k
b b
k
m
L
,1,...,
i i k
∀ =
k
b
k
i
≠
b θ
1
,...,
k
1
,...,
b
1
,...,
a a
L
k
=
b
L
Описанный выше процесс носит название процесса ортогонализации Шмидта. Пример 3. - евклидово пространство геометрических векторов. Применяя процесс ортогонализации Шмидта, построить ортогональный базис в подпространстве, натянутом на векторы и a
. 3
E
( 1,1,
1
(1,2,2)=
a
2
5)= − −
Полагаем 1 1
(1,2,2)= =
b a
, b b
. 2 1 1
= α +
2
a
Подбираем : 1
α
2 1 1 1 2 1
(,) (,)= α + =
b b b a b
1 1 1 2 1
(,) (,) 0= α + =
b b a b
, откуда 2 1
1
1 1
(,)
1 2 10
1
(,) 1 4 4
− + −
α = − = − =
+ +
a b
b b
. a (b )
1 1
b
2
a
2
x
O
y
z
Ри
с
.
8
.
1
.
Итак, {
}
2 1 2
0,3,3
=
+ = −
b b a
L a
1
(1
, и базис в линейной оболочке составляют векторы 1
(,
,2
2
)
a
,2)
=
b
)
, . 2
(0,3,3= −
b
Геометрический смысл процедуры иллюстрирует рис. 8.1. Подпространство , натянутое на вектора , - плоскость, проходящая через и векторы и , приведенные к точке . В этой плоскости построен базис b
, b
, такой, что L
(
O
1
,
a a
(0,0
O
1 2
2
,0)
1
a
2
2
a
0,0,0)
1
⊥
b b
. Упражнения. 1. Проверить ортогональность системы векторов 1
(1,2,1,3)
=
−
a
и в евклидовом пространстве и дополнить ее до ортогонального базиса. 2
(2,1,3,1)= −
a
4
R
2. Применяя процесс ортогонализации Шмидта, построить ортогональный базис в линейной оболочке системы векторов: , , , 1
(1,2,2)
f
= −
2
( 1,0,1)
f
= − −
3
(5,3,7)
f
= − −
4
(6,5,5)
f
=
− −
. Замечание. Всякое евклидово пространство обладает ортогональными базисами. n
E
Действительно, пусть - евклидово пространство, n
E
dim
n
n
=
E
n
e
, - базис в . Применим к базису процесс ортогонализации Шмидта - получим некоторый ортогональный базис в . 1 2
,,...,
n
e e e
n
E
n
E
1 2
,,...,
e e
Определение 5. Вектор называется нормированным, если ,
n
∈
a a E
1=
a
. Если , то нормированием называется переход к вектору ≠
a θ
=
a
b
a
(
b
является нормированным, так как (,)
=
=
a a
b b,
a a
1
= ⋅
2
(a,
a
1=
)
a
и, следовательно, 1=
b
). Определение 6. Система векторов в евклидовом пространстве называется ортонормированной системой, если 1 2
,,...,
k
e e e
n
E
1, если ,
(,)
0, если ,,1,....
i j
i j
i j i j k
=
=
≠ =
e e
Всякое евклидово пространство обладает ортонормированными базисами. В самом деле, ранее было показано, что всякое евклидово пространство обладает ортогональными базисами. Возьмем в произвольный ортогональный базис и нормируем все его векторы, то есть перейдем к системе векторов n
E
1
,...,
n
b b
1
1
1
,...,
n
n
n
= =
b
b
e e
b b
. (8.7) Система (8.7) - ортонормированный базис в . n
E
Пример 4. - евклидово пространство геометрических векторов. Указать какой-нибудь ортонормированный базис в линейной оболочке векторов и a
. 3
E
1
(=
1,2,2)
a
2
( 1,1,5)= − −
В примере 3 был построен ортогональный базис 1
(1,2,2)
=
b
, в . 2
(0,3,3)= −
b
1 2
(,)
L a a
Имеем 1
1 4 4 3= + + =
b
, 1
1
1
1 2 2
,,
3 3 3
= =
b
e
b
, 2
0 9 9 18 3 2= + + = =
b
, 2
2
2
1 1
0,,
2 2
= = −
b
b
e
. Векторы e e
- ортонормированный базис в . 1 2
,
1 2
(,)
L a a
Упражнения. 1. Указать какой-нибудь ортонормированный базис в линейной оболочке векторов , , 1
(1,2,2)
f
= −
2
( 1,0,1)
f
= − −
3
(5,3,7)
f
=
− −
, . 4
(6,5,5)
f
= − −
2. - евклидово пространство геометрических векторов. Построить какой-нибудь ортонормированный базис в линейной оболочке векторов , и 3
E
1
(1,1,1)
=a
2
(1,2,3)
=a
3
(2,1,0)
=
a
. Оглавление Лекции по линейной алгебре
...................................................1 Предисловие
..............................................................................3 Лекция 1. Матрицы
...................................................................5 1.1. Основные понятия
.........................................................5 1.2. Определители порядка n
...............................................7 1.3. Основные операции над матрицами
..........................12 Лекция 2. Обратная матрица. Ранг матрицы
........................19 2.1. Обратная матрица
........................................................19 2.2. Ранг матрицы
................................................................24 Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений
.33 3.1. Метод Гаусса
................................................................33 Лекция 4. Исследование и решение произвольной системы линейных уравнений
...............................................................40 4.1. Правило Крамера
.........................................................40 4.2. Исследование произвольной системы линейных уравнений
.............................................................................42 4.3. Системы линейных однородных алгебраических уравнений
.............................................................................46 Лекция 5. Линейные пространства
........................................50 5.1. Аксиоматическое определение линейного пространства
........................................................................50 5.2. Базис линейного пространства
...................................55 Лекция 6. Связь между базисами линейного пространства. Линейные подпространства
...................................................62 6.1. Связь между базисами линейного пространства
......62 6.2. Линейные подпространства
.......................................66 Лекция 7. Линейные операторы
............................................70 7.1. Понятие линейного оператора
....................................70 7.2. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
..........................................................75 7.3. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду путем перехода к новому базису
...79 Лекция 8. Евклидовы пространства
......................................83 8.1. Понятие евклидова пространства
...............................83 8.2. Ортогональные и ортонормированные базисы в n
E
86 Оглавление
...............................................................................92 
Автор
elle-greentown
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
945
Размер файла
1 876 Кб
Теги
rzavinskay
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа