1. Мартиненко М.А. Теорія ймовірностей. 2. Жлуктечко В.І., Наконечний С.І. Теорія ймовірностей та математична статистика. 3. Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. 4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистике. 5. Шебанін В.С. та інші. Теорія ймовірностей та математична статистика. Контрольні завдання та методичні рекомендації до самостійної роботи студентів заочної, денної та дистанційної форм навчання економічного факультету, Миколаїв. – 2009. 1. Випадкові події та основні поняття теорії ймовірностей 1.1. Предмет теорії ймовірностей Теорія ймовірностей - це розділ математики, що вивчає математичні моделі випадкових явищ реального світу. Неможливо передбачити відбудеться чи ні випадкова подія. Якщо ж розглянути випадкові події, які можуть спостерігатися багаторазово за певних умов, то вони підпорядковані деяким закономірностям, які і вивчає теорія ймовірностей. Предметом теорії ймовірностей є вивчення імовірнісних закономірностей масових однорідних випадкових подій. Теорія ймовірності виникла в середині XVII століття у зв’язку з задачами, які ставила страхова справа, демографія та теорія азартних ігор. Методи теорії ймовірності широко застосовуються в різних галузях природознавства, техніки та економіки. Вони є основою для обґрунтовування математичної та прикладних статистик. 1.2. Випадкові події. Відносна частота. Статистична ймовірність Основним поняттям теорії ймовірності є випадкова подія, яка може відбутися або не відбутися при здійсненні деякої сукупності умов. Випадкові події позначають великими літерами А,В,С 1 ,С 2… Подія може фіксуватись в ході дослідження, експерименту, спостереження, які у подальшому будемо називати випробування. Отже, випробування – це ті умови в результаті яких відбувається подія. Наприклад: 1. Постріл по мішені – це випробування, в результаті може бути 2 події: або попадання, або промах. 2. Підкидання монети – випробування, поява герба або надпису – події. 3. Нехай в урні знаходяться кулі 2 кольорів – білого та чорного . A(S$.V>9"**6 – це діставання кулі з урни; подія – поява кулі певного кольору. Відносною частотою P * (W) випадкової події А називають відношення числа появи даної події m * до загального числа n * проведених випробувань, в кожному з яких може з’явитися або не з’явитися дана подія, тобто ( ) * * n m AP = * Приклад . Нехай проведено 30 пострілів по мішені, з них 20 разів – попадання в ціль. Знайти відносну частоту попадання. ( ) 3 2 30 20 AP ,20m ,30n ==== *** Властивість стійкості відносної частоти полягає в тому, що у більшості випадків існує таке стале число p , що відносна частота подій А при великому числі випробувань мало відрізняється від числа p. Статистичною ймовірністю появи подій називають сталу величину, біля якої групуються значення відносної частоті і записують ,P n ймовір по n m * ® ¥ ® = * * тобто при необмеженому зростанні числа випробувань відносна частота подій А збігається до ймовірності даної події, тобто ( ) * * n * n n m lim)A(PlimAP ** ¥®¥® == Приклад Бюффона. При багатократному підкиданні монети були зафіксовані наступні результати: Число підкидань монети n * Число появи герба m * Відносна частота p * 4040 2048 0,5069 12000 6019 0,5016 24000 12012 0,5005 Відносна частота при збільшенні кількості випробувань прямує до числа p=0.5 і яке за означенням і є статистичною ймовірністю. Згідно статистичних даних на 1000 народжених 515 хлопчиків, тобто P * (A) = 52.0 1000 515 ». 1.3. Види випадкових подій Події є вірогідні, неможливі і випадкові. Вірогідною (достовірною) називається подія, яка обов’язково відбудеться, якщо буде здійснена деяка сукупність умов. Вона позначається Ω (“омега”). Приклад: Поява хоча б одного із шести очок під час одного кидання грального кубика. Неможливою подією називається подія, яка ніколи не відбудеться, якщо буде здійснена деяка сукупність умов. Вона позначається Ø (порожня множина). Приклад: Поява любого числа більше 6 під час кидання грального кубика. Випадкова подія – це подія, яка при здійсненні деякої сукупності умов може відбутися або не відбутися. Приклад: Поява парної кількості очок під час кидання грального кубика. Дві події називаються несумісними у даному випробуванні, якщо поява однієї з них виключає появу іншої в даному випробуванні. Приклад: Влучення і промах під час одного пострілу. Приклад: Випадання герба (подія А) при підкиданні монети виключає випадання надпису (подія В). Події А і В несумісні. Дві події називаються сумісними у даному випробуванні, якщо поява однієї з них не виключає появу іншої в даному випробуванні. Приклад: Поява числа 2 і парної кількості очок під час підкидання грального кубика. Події називаються рівноможливими, якщо умови випробування не дають переваги одній події над іншими. Приклад: Поява 1,2,3 …6 очок під час кидання кубика. Події називаються єдиноможливими, якщо поява в результаті випробування однієї і тільки однієї з них є подія вірогідна. Приклад: Поява 1,2,3 …6 очок під час кидання кубика. Приклад: При одному пострілі єдиноможливими подіями є дві події; влучення в ціль і промах. Випадкові події утворюють повну групу, якщо при кожному випробуванні може з’явитися будь-яка з них і не може з’явитися будь-яка інша не сумісна з ними. Приклад : Поява 1,2,3…6 очок утворюють повну групу. 1.4. Класичне означення ймовірності Елементарними наслідками (подіями) i W називаються такі події, які неможливо розділити на більш прості. Множину усіх можливих елементарних наслідків називають простором елементарних наслідків, або подій W . Ймовірність P(A) настання даної події А називається відношення числа результатів m A, сприятливих для появи події А до загального числа n рівноможливих та єдиноможливих результатів випробувань, що утворюють повну групу n m )A(P A =. Приклад: Знайти ймовірності того, що в результаті двократного підкидання монети з’явиться герб. Розв’язання. Елементарні наслідки: W 1 = (Г;Г), W 2 = (Г;Н), W 3 = (Н;Н), W 4 = (Н;Г) ( ) . 4 3 n m )A(PW,W,W,W 4321 ==Þ=W Властивості ймовірності події: 1. Ймовірність вірогідної події P (Ω)= 1. 2. Ймовірність неможливої події P (Ø) = 0. 3. Ймовірність випадкової події знаходиться в межах від 0 до 1, тобто 0 < P (A) < 1. Відмінність між статистичною й класичною ймовірністю полягає в тому, що для визначення статистичної ймовірності проводяться випробування, а для класичної ймовірності тільки передбачають результати випробувань, які ще не проводились. Отже, класичну ймовірність визначають до проведення випробувань і Р(А) - це теоретична величина, а відносну частоту (статистичну ймовірність) – після проведення випробування і W(A) – емпірична. Обмеженість класичного визначення ймовірності полягає в тому, що: 1. Число елементарних наслідків випробування повинно бути кінцеве, а на практиці таке буває дуже рідко. 2. Не завжди можна представити результат випробування у вигляді сукупності елементарних подій. 3. Важко зробити висновок про рівноможливість елементарних наслідків випробування. Саме тому і вводиться поняття статистичної ймовірності та геометричної. Геометрична ймовірність – це ймовірність попадання точки в деяку область (відрізок, частина площини, частина просторової фігури). ( ) ( ) ( ) V v AP , S s AP , L AP === l При розв’язанні задач за класичним визначенням ймовірності часто використовуються формули комбінаторики та деякі її правила. 1.5. Елементи комбінаторики Різні групи складені з будь-яких елементів, що відрізняються елементами, або порядком цих елементів називаються сполуками, або комбінаціями елементів. Перестановкою називається комбінація, яка складається з n різних елементів, що відрізняються тільки порядком їх розташування 10! ,n...321!n де ,!nP n = × × × × = = Розміщеннями називаються комбінації з n елементів по m, відрізняються складом елементів, або їх розташуванням )1mn)...(2n)(1n(n )!mn( !n A m n +---= - = Сполученнями називають комбінації з n елементів по m, які відрізняються хоча б одним елементом. m m nm n P A )!mn(!m !n C = - = Правило суми: якщо деякий об’єкт А може бути вибраний із сукупності об’єктів m способами, а інший предмет В може бути вибраний n способами, то вибрати або А, або В об’єкти можна (m+n) способами. Правило добутку: якщо об’єкт A можна вибрати із сукупності m способами і після кожного такого вибору об’єкт В можна вибрати n способами, то пару об’єктів (А;В) у вказаному порядку можна вибрати (n∙m) способами.

Дата публикации: 28 Октябрь 2010 Владелец: V1to4ka2008 Просмотров: 1139

Категория: Наука Название: L_1_Tv Тэги: l_1_tv