close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

L 2 Tv

код для вставкиСкачать
 Тема 2 Основні теореми теорії ймовірностей 2.1. Сума подій. Сумою подій А і В називається така подія С=A+B (C=A U B), яка полягає в появі або події A, або події B, або одночасно подій A і B. Зауваження: для несумісних подій подія C полягає в появі події A, або появі події B. Приклад
: Сума подій при одночасній стрільбі по мішені з двох гармат – це подія, яка полягає у влученні в ціль або першої, або другої, або двох гармат разом, тобто у влученні в ціль хоча б однієї з них. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій.
Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій P(A+B)=P(A)+P(B) Наслідок. Ймовірність появи однієї із декількох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій, тобто (
)
(
)
(
)
(
)
n21n21
APAPApAAAP
+
+
+
=
+
+
+
KK
Теорема. Суми ймовірностей попарно несумісних подій, які утворюють повну групу дорівнює 1. Протилежними називають дві події єдиноможливі в даному випробуванні, які утворюють повну групу. Подія A протилежна подія A
(
)
pAP
=
(
)
p1qAP
-
=
=
Теорема. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1: (
)
(
)
1APAP
=
+
, або 1
q
p
=
+
2.2. Добуток подій. Добутком подій A і B називається подія (
)
BAC BAC I
=
×
=
, яка полягає в сумісній появі події A та події В. Приклад
. Нехай подія А полягає в тому, що виготовлена деталь стандартна, подія В – деталь виготовлена заводом №1. Тоді подія B
A
C
×
=
полягає в тому, що заводом №1 виготовлена стандартна деталь. Події А і В називаються незалежними, якщо ймовірність появи однієї з них не залежить від ймовірності появи іншої події. Декілька подій називаються незалежними у сукупності, якщо незалежні кожні дві з них та незалежні кожна подія і добуток інших подій. Зауваження. Якщо події A
1
, A
2
, …, A
n
незалежні, то незалежними також, будуть і протилежні їм події n21
A,,A,A K
. Умовною ймовірністю називається ймовірність події В за умови, що подія А вже відбулася. Позначають (
)
BP
A
. Теорема множення ймовірностей залежних подій. Ймовірність появи двох залежних
подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчислену за припущенням, що перша подія вже відбулася, тобто (
)
(
)
(
)
BPAPBAP
A
×
=
×
, або (
)
(
)
(
)
APBPBAP
B
×
=
×
З даної теореми можна отримати формулу для знаходження умовної ймовірності )A(P
)BA(P
)B(
P
A
×
=
Приклад
. Знайти ймовірність того, що студент відповість на всі 3 запитання білету, якщо він знає відповіді тільки на 20 питань із 30. Розв’язання. Розглянемо події: А – студент знає відповідь на перше запитання, В – на друге запитання, С – на третє запитання, D – студент знає відповідь на всі три запитання. Подія D – це добуток попередніх трьох подій: C
B
A
D
×
×
=
Тоді: (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
CPBPAPCBAPDP
AB
A
×
×
=
×
×
=
P(A) – ймовірність того, що студент знає відповідь на перше питання: 30
20
)A(P =
P
А
(B) – ймовірність того, що студент знає відповідь на друге питання, за умови, що на перше він відповів (тобто теж знає відповідь): 29
19
)B(P
A
=
(залишилося питань 29 і відповіді він знає вже тільки на 19) P
АВ
(С) – ймовірність того, що студент знає відповідь на третє питання, за умови, що він відповів на перше та друге питання: 28
18
)C(P
AB
=
Остаточно маємо: 2807,0
28
18
29
19
30
20
)D(P »××=
Теорема множення для незалежних подій Ймовірність добутку двох незалежних
подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій, тобто (
)
(
)
(
)
BPAPBAP
×
=
×
Теорема про ймовірність появи хоча б однієї випадкової події Ймовірність появи хоча б однієї з подій A
1
, A
2
, …, A
n
незалежних
одна від одної, дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій n21
A,,A,A K
, тобто (
)
(
)
(
)
(
)
n21
APAPAP1AP K
×
×
-
=
, або (
)
n21
qqq1AP K
×
×
-
=
Теорема додавання ймовірностей сумісних подій Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних
подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх спільної появи, тобто (
)
(
)
(
)
(
)
BAPBPAPBAP
×
-
+
=
+
2.3. Формула повної ймовірності та формула Байєса. Нехай подія A може наступити при появі однієї з несумісних подій H
1
, H
2
, …, H
n
, які утворюють повну групу і називаються гіпотезами. Нехай відомі ймовірності даних гіпотез (
)
(
)
(
)
n21
HP,,HP,HP K
та відомі умовні ймовірності появи кожної з цих гіпотез (
)
(
)
(
)
AP,,AP,AP
n21
HHH
K
. Теорема. Ймовірність події A, яка може наступити тільки при умові появи однієї з несумісних подій H
1
, H
2
, …, H
n
,
які утворюють повну групу, дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірність події A, тобто (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
APHPAPHPAPHPAP
n21
HnH2H1
×
+
+
×
+
×
=
K
( )
å
=
×=
n
1i
Hi
)A(P)H(PAP
i
, де P(A) називається повною ймовірністю. Розглянемо гіпотези H
1
, H
2
, …, H
n
, які утворюють повну групу. Припустимо, що подія A може відбутися при умові появи однієї з даних гіпотез. Якщо подія A відбулася в результаті деякого випробування та ймовірність її відома, то можна визначити, як змінились внаслідок цього ймовірності гіпотез, використовуючи формулу Байєса ( )
)A(P
)A(P)H(P
HP
j
Hj
jA
×
=
. Формула Байєса використовується для переоцінки ймовірностей гіпотез за умови, що подія A відбулася. 
Автор
V1to4ka2008
Документ
Категория
Наука
Просмотров
882
Размер файла
121 Кб
Теги
l_2_tv
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа