close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Met TV Test 2005

код для вставкиСкачать
МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ МИКОЛАЇВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ для підсумкового контролю знань студентів з вищої математики модулі 15, 16 (теорія ймовірностей) з використанням кредитно-модульної системи навчання та рейтингової оцінки знань з контролем на ПЕОМ для студентів денної та заочної форм навчання спеціальностей: 7.050106 – облік та аудит, 7.050202 – менеджмент організацій, 7.050206 – менеджмент зовнішньоекономічної діяльності, 7.091902 – механізація сільського господарства, 6.010100 – професійне навчання, 6.091900 – енергетика сільськогосподарського виробництва Миколаїв – 2005 Тестові завдання для підсумкового контролю знань студентів з вищої математики, модулі 15, 16 (теорія ймовірностей) з використанням кредитно-
модульної системи навчання та рейтингової оцінки знань з контролем на ПЕОМ для студентів денної та заочної форм навчання спеціальностей: 7.050106 – облік та аудит, 7.050202 – менеджмент організацій, 7.050206 – менеджмент зовнішньоекономічної діяльності, 7.091902 – механізація сільського господарства, 6.010100 – професійне навчання, 6.091900 – енергетика сільськогосподарського виробництва Підготували: д.т.н., професор Шебанін В.С., к.т.н., доцент Веремієнко М.О., к.т.н., доцент Мірошніченко О.А., к.т.н., доцент Богза В.Г., к.ф.-м.н., доцент Шебаніна О.В., в.о. доцента Цепуріт О.В., ст. викладач Хилько І.І., ст. викладач Богданов С.І., ас. Домаскіна М.А., ас. Шептилевський О.В., ас. Романчук Н.О., ас. Широков В.С. Резензенти: Будак В.Д., д.т.н., професор МДУ ім. В.О. Сухомлинського Табацков В.П., к.т.н., доцент МДАУ Друкується згідно з рішенням методичної Ради Миколаївського державного аграрного університету, протокол № 3 від 16.11.2005 р. Надруковано у видавничому центрі МДАУ. Зам. ____ Наклад 100 прим. 54010, м.Миколаїв, вул. Паризької Комуни, 9 ВСТУП У методичних рекомендаціях дано матеріал для проведення підсумкового тестового контролю з вищої математики по модулям 15,16 (теорія ймовірностей). Завдання для підсумкового контролю складаються з двох частин: теоретичні тестові завдання та практичні задачі. Матеріал підібрано таким чином, щоб дати можливість викладачеві ефективно за допомогою ПЕОМ перевірити як засвоєння студентами необхідного теоретичного матеріалу, так і набуття ними основних умінь та практичних навичок. Кожна задача складена у загальному вигляді з використанням коефіцієнта a
, який видається кожному студенту індивідуально в залежності від номера залікової книжки (дві останні цифри номера). Це дозволяє урізноманітнити задачі та виключити їх повторення. Результат розв’язання задач також можна перевірити за допомогою ПЕОМ. Розділ 1. Тестові завдання 1. Сформулюйте принцип суми: а) якщо множина А містить N(A)=n елементів, множина В містить N(B)=m елементів, а множина АВ=ø, тоді множина А+В містить N(A+B)=ø елементів; б) якщо множина А містить N(A)=n елементів, множина В містить N(B)=m елементів, а АВ= ø, тоді множина А+В містить N(A+B)=n
´
m; в) якщо множина А містить N(A)=n елементів, множина В містить N(B)=m елементів, а множина АВ=ø , тоді множина А+В містить N(A+B)=n+m елементів; г) якщо множина А містить N(A)=n елементів, множина В – N(B)=m елементів, тоді множина А+В містить N(A+B)=n+m елементів; 2. Сформулюйте принцип добутку: а) нехай потрібно виконати послідовно k дій. Якщо першу дію можна виконати n
1
способом, другу n
2
способами, третю n
3
способами і так до k-ї дії, яку можна виконати n
k
способами, то всі k дій послідовно можнуть бути виконані n
1
´
n
2
´
… ´
n
k
способами; б) нехай потрібно виконати послідовно k дій. Якщо першу дію можна виконати n
1
способом, другу n
2
способами, третю n
3
способами, то всі k дій можна виконати n
1
+n
2
+n
3
+…+n
k
способами; в) нехай потрібно виконати послідовність k дій. Якщо першу дію можна виконати n
1
способом, другу n
2
способами, третю n
3
способами, то всі k дій можна виконати k
´
n
1
способами; г) нехай потрібно виконати k дій послідовно, тоді їх можна виконати k! способами; 3. Які сполуки називаються розміщеннями із n елементів по k (k≤ n)? а) розміщеннями із n елементів по k називаються такі сполуки, які складаються із k елементів взятих із даних n елементів; б) розміщеннями із n елементів по k (k≤n) називаються такі впорядковані сполуки, які складаються з k елементів, взятих із даних n елементів і відрізняються одна від одної елементами або їх порядком; в) розміщеннями із n елементів по k (k≤n) називаються такі впорядковані сполуки, які складаються з k елементів, взятих із даних n елементів і відрізняються їх порядком; г) розміщеннями із n елементів по k (k≤n) називаються такі впорядковані сполуки, які складаються з k елементів, взятих із даних n елементів і відрізняються елементами; 4. Наведіть формулу для обчислення числа розміщень із n по k елементів. а) ( )
!kn
!n
A
k
n
-
=
; б) =
A
k
n
!
k
!n
; в) ( )
!kn!k
!n
A
k
n
-
=
; г) ( )
!kn!k
!n
C
k
n
-
=
; 5. Які сполуки називаються перестановками? а) розміщення із n елементів по n називаються перестановками; б) розміщення із n елементів по k, які відрізняються тільки порядком називаються перестановками; в) сполуки із n елементів по k називаються перестановками; г) розміщення із n елементів по k, які відрізняються лише елементами називаються перестановками; 6. Наведіть формулу для обчислення числа перестановок. а) !nP
n
=
; б) !k
A
k
n
=; в) !
k
!n
P
k
n
=; г) ( )
!kn
!n
P
k
n
-
=
; 7. Які сполуки називаються сполученнями (комбінаціями) із n елементів по k (k≤n)? а) сполученнями із n елементів по k елементів називаються сполуки, що містять k елементів, взятих із даних n елементів, які відрізняються хоча б одним елементом; б) сполученнями із n елементів по k елементів називаються сполуки, що містять k елементів, взятих із даних n елементів які відрізняються порядком; в) сполученнями із n елементів по k елементів називаються сполуки, що містять k елементів, взятих із даних n елементів, які відрізняються порядком і елементами; г) комбінаціями із n елементів називаються розміщення із n елементів по k; 8. Наведіть формули для обчислення числа сполучень із n елементів по k (k≤n) а) ( )
!kn!k
!n
С
k
n
-
=
; б) ( )
!kn
!n
C
k
n
-
=
; в) ( )
!kn
!n
A
k
n
-
=
; г) !n
C
n
=
; 9. Що таке сполучення з повтореннями? а) сполученням з повтореннямии із n елементів по k називається сполука, що містить k елементів взятих із даних n елементів, серед яких є однакові; б) сполуки з повтореннями це сполучення з повтореннями; в) сполучення з повтореннями це розміщення із n елементів по n; г) сполучення, які відрізняються лише порядком елементів називаються з повтореннями; 10. Серед вказаних виберіть правильну рівність: а) CC
kn
n
k
n
-
=; б) CC
n
k
k
n
=; в) CC
1k
n
k
n
-
=; г) CC
nk
n
k
n
-
=; 11. Яка подія називається випадковою? а) випадковою подією називається подія, яка при виконані певного комплексу умов S може як відбутися так і не відбутися; б) випадковою називається подія, яка може як відбутися так і не відбутися; в) випадковою називається подія, ймовірність появи якої випадкова; г) випадковою називається подія, ймовірність появи якої досить мала; 12. Дайте означення достовірної події. а) достовірною подією називається подія Ω, яка при виконані певного комплексу умов S обов’язково відбудеться; б) достовірною подією називається подія Ω, яка обов’язково відбудеться; в) достовірною подією називається подія Ω, яка може відбутися, а може й не відбутися; г) достовірною подією називається подія Ω, ймовірність появи якої досить велика; 13. Яка подія називається неможливою? а) неможливою називається подія ø, яка при виконані даного комплексу умов S не може відбутися; б) неможливою називається подія, яка ніколи не відбудеться; в) неможливою називається подія, яка може відбутися, а може й не відбутися; г) неможливою називається подія, ймовірність появи якої дуже низька; 14. Що називається простором елементарних подій? а) простором елементарних подій, що відповідають певному випробуванню, є довільна множина, що задовольняє властивості: кожному результату випробування відповідає лише один елемент цієї множини, що називається елементарною подією; б) простором елементарних подій називаються всі можливі результати для даного випробування; в) простором елементарних подій називають всі елементарні події; г) простором елементарних подій називаються дві будь-які протилежні події; 15. Які події називаються несумісними? а) події А і В називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої в одному і тому ж випробуванні; б) дві протилежні події називаються несумісними; в) події А і В називаються несумісними, якщо вони є неможливими; г) події А і В називаються несумісними, якщо подія А може відбутися, а подія В не може відбутися ніколи; 16. Які події називаються сумісними? а) події А і В називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає можливості появи іншої; б) події А і В називаються сумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої; в) події А і В називаються сумісними, якщо вони відбуваються одночасно; г) події А і В називаються сумісними, якщо вони є протилежними; 17. Які події називаються протилежними? а) подія A
називається протилежною до події A, якщо вона відбувається тоді і тільки тоді, коли подія А не відбувається; б) події називаються протилежними, якщо вони несумісні; в) дві рівноможливі події називаються протилежними; г) події називаються протилежними, якщо вони можуть відбутися одночасно; 18. Які події утворюють повну групу? а) події А
1
, ..., А
n
утворюють повну групу подій, якщо вони попарно несумісні і їх сума збігається з усім простором елементарних подій Ω; б) різні результати даного випробування утворюють повну групу; в) всі можливі результати даного випробування утворюють повну групу; г) події А
1
, .., А
n
, які є елементарними, утворюють повну групу; 19. Дайте означення попарно несумісних подій. а) події А
1
, ..., А
n
називаються попарно несумісними, якщо ніякі дві з них не можуть відбутися разом; б) події А
1
, ..., А
n
називаються попарно несумісними, якщо вони не відбуваються разом; в) події А
1
, ..., А
n
називаються попарно несумісними, якщо вони між собою протилежні; г) події А
1
, ..., А
n
називаються попарно несумісними, якщо поява однієї виключає можливість появи всіх інших; 20. Дайте означення рівноможливих подій. а) події А
1
, ..., А
n
називаються рівноможливими, якщо при виконанні певного комплексу умов S у кожної з них існує однакова можливість відбутися, або не відбутися; б) події А
1
, ..., А
n
називаються рівноможливими, якщо при виконанні певного комплексу умов S відбуваються всі одночасно; в) події А
1
, ..., А
n
називаються рівноможливими, якщо вони попарно сумісні; г) події А
1
, ..., А
n
називаються рівноможливими, якщо вони попарно несумісні; 21. Що називається сумою подій? а) сумою (об’єднанням подій) А і В називається подія С=А+В (С=АUВ), яка полягає або в появі події А, або в появі події В, або в появі події А і В; б) сумою подій А і В називається подія С=А+В; в) сумою подій А і В називається подія, яка складається з елементарних подій, що входять одночасно до А і до В; г) сумою подій А і В називається подія, коли відбувається або А або В; 22. Що називається добутком подій? а) добутком (або перетином) подій А і В називається подія С=АВ (С=А∩В), яка складається з елементарних подій, що входять в обидві події А і В; б) добутком (або перетином) подій А і В називається подія С=АВ (С=А∩В), яка складається з подій, які входять або до А або до В; в) добутком подій А і В називається подія С=А
´
8; г) добутком подій називається подія, коли відбуваються одночасно А і В; 23. Дайте класичне означення ймовірності. а) ймовірністю Р(А) даної події А називається відношення числа результатів m, які сприяють появі даної події, до загального числа n, рівноможливих і єдино можливих результатів випробувань, що утворюють повну групу, тобто m
n
P = ; б) ймовірністю Р(А) даної події A називається відношення числа результатів m до загального числа n можливих результатів; в ) ймовірність дорівнює m поділить на n; г) n
m
P =; 24. Дайте геометричне означення ймовірності. а) ймовірність випадкової події А дорівнює відношенню міри g до міри G, тобто G
g
)A(P =; б) ймовірність випадкової події А дорівнює ймовірності попадання точки на відрізок; в) g
G
)A(P =; г) ймовірність, яка використовується при розв’язанні задач геометрії, називається геометричною; 25. Дайте статистичне означення ймовірності. а) статистичною ймовірністю події А називається число, навколо якого групуються відносні частоти цієї події або сама відносна частота: )A(Wlim)A(P
n
n ¥®
=
; б) відношення числа результатів m, які сприяють появі даної події, до загального числа n, рівноможливих і єдиноможливих результатів випробувань, що утворюють повну групу, називають відносною частотою; в) ймовірність випадкової події А дорівнює відношенню міри g до G; г) *
*
n
m
)A(W =; 26. Виберіть правильне твердження: а) якщо подія А – випадкова, то 0
£
Р(А) £
1; б) якщо подія А – випадкова, то Р(А)
£
1; в) якщо подія А – випадкова, то Р(А)= 0; г) якщо подія А – випадкова, то Р(А) ³
0; 27. Сформулюйте теорему для додавання ймовірностей несумісних подій. а) якщо випадкові події А і В несумісні, то ймовірність появи однієї з них дорівнює сумі ймовірностей цих подій: Р(А+В)=Р(А)+Р(В); б) якщо випадкові події А і В несумісні, то ймовірність появи однієї з них дорівнює сумі ймовірностей цих подій А і В без ймовірності їх сумісної появи: Р(А+В)=Р(А)+Р(В )-
Р(АВ); в) якщо випадкові події А і В несумісні, то ймовірність їх одночасної появи дорівнює сумі їх ймовірностей Р(А+В)=Р(А)+Р(В); г) якщо випадкові події А і В несумісні, то ймовірність їх одночасної появи дорівнює добутку їх ймовірностей )
B
(
P
)
A
(
P
)
B
A
(
P
×
=
+
; 28. Які події називаються незалежними? а) подія А називається незалежною від події В, якщо ймовірність появи події А не залежить від появи чи непояви події В; б) подія А називається незалежною від події В, якщо вони не можуть відбутися одночасно; в) подія А називається незалежною від події В, якщо вони відбуваються одночасно; г) подія А називається незалежною від події В, якщо поява А не залежить від появи В; 29. Які події називаються залежними? а) події А і В називаються залежними, якщо ймовірність появи однієї з них залежить від появи або не появи іншої; б) події А і В називаються залежними, якщо ймовірність появи однієї залежить від ймовірності появи іншої; в) події А і В називаються залежними, якщо вони відбуваються одночасно; г) події А і В називаються залежними, якщо вони разом ніколи не відбуваються; 30. Дайте означення умовної ймовірності. а) умовною ймовірністю Р
A
(В) називається ймовірність появи події В за умови, що подія А відбулася; б) умовною ймовірністю Р
A
(В) називається ймовірність події А за умови, що подія В вже відбулася; в) умовною ймовірністю Р
A
(В) називається ймовірність одночасної появи події А і В; г) умовною ймовірністю Р
A
(В) називається ймовірність появи події В за умови, що А ніколи не відбудеться; 31. Сформулюйте теорему про ймовірність добутку незалежних подій А і В. а) ймовірність сумісної появи двох випадкових незалежних подій дорівнює добутку їх ймовірностей )
B
(
P
)
A
(
P
)
AB
(
P
×
=
; б) ймовірність сумісної появи двох випадкових подій А і В дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, за умови, що перша вже відбулася )
B
(
P
)
A
(
P
)
AB
(
P
×
=
; в) ймовірність появи однієї з двох подій дорівнює добутку їх ймовірностей )
B
(
P
)
A
(
P
)
AB
(
P
×
=
; г) ймовірність появи двох незалежних подій дорівнює сумі їх ймовірностей без ймовірності їх сумісної появи Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-P(AB); 32. Сформулюйте теорему множення ймовірностей залежних подій. а) ймовірність сумісної появи двох випадкових подій А і B дорівнює добутку ймовірності однієї із них на умовну ймовірність іншої за умови, що перша подія вже відбулася )B(P)A(P)AB(P
A
×
=
; б) ймовірність появи двох подій А і В дорівнює добутку їх ймовірностей )
B
(
P
)
A
(
P
)
AB
(
P
×
=
; в) ймовірність сумісної появи двох подій А і В дорівнює сумі їх ймовірностей Р(АВ)=Р(А)+Р(В); г) якщо випадкові події А і В несумісні, то ймовірність появи однієї з них дорівнює сумі ймовірностей цих подій Р(А+В)=Р(А)+Р(В); 33. Сформулюйте теорему додавання сумісних подій. а) якщо випадкові події А і В сумісні, то ймовірність появи хоча б однієї з них дорівнює сумі їх ймовірностей без ймовірності їх сумісної появи Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ); б) якщо випадкові події А і В сумісні, то ймовірність появи однієї з них дорівнює сумі їх ймовірностей Р(А+В)=Р(А)+Р(В); в) якщо випадкові події А і В сумісні, ймовірність їх сумісної появи дорівнює сумі їх ймовірностей Р(АВ)=Р(А)+Р(В); г) якщо випадкові події А і В сумісні, то ймовірність їх сумісної появи дорівнює добутку їх ймовірностей Р(АВ)=Р(А)
´
Р(В); 34. Сформулюйте теорему повної ймовірності. а) ймовірність події А, яка може настати за умови появи однієї з незалежних подій Н
1
, Н
2
, …, Н
n
, що складають повну групу, дорівнює ( )
å
=
´=
n
1k
k
Hk
)A(PHP)A(P; б) ймовірність події А, яка може настати за умови появи будь-якої з подій Н
1
, Н
2
, …, Н
n
, дорівнює (
)
å
´
=
)A(PHP)A(P
k
Hk
; в) ймовірність події А, яка може настати за умови появи однієї з незалежних подій Н
1
,Н
2
,…,Н
n
, дорівнює
( )
å
=
´=
n
1k
hkk
)A(PHP)A(P; г) ймовірність події А, яка може настати за умови появи однієї з незалежних подій Н
1
, Н
2
, …, Н
n
, що складають повну групу, дорівнює Р(А)=
( )
å
=
n
1k
k
HP; 35. Дайте означення гіпотези. а) незалежні події, що складають повну групу називаються гіпотезами; б) будь-які незалежні події називаються гіпотезами; в) деякі припущення про початковий стан називаються гіпотезами; г) події, сума ймовірностей яких дорівнює 1, називаються гіпотезами; 36. Чому дорівнює сума ймовірностей гіпотез? а) сума ймовірностей гіпотез дорівнює å
=
=
n
1k
k
1)H(P; б) сума ймовірностей гіпотез 1)0
H(Р
k
££
å
; в) сума ймовірностей гіпотез залежить від конкретної задачі; г) сума ймовірностей гіпотез залежить від кількості гіпотез; 37. Сформулюйте формули Байєса для ймовірностей гіпотез. а) нехай Н
1
,Н
2
,…,Н
n
- події, що складають повну групу. Тоді для будь-якої випадкової події А, що може з'явитись лише за умови появи однієї з подій Н
1,
…,Н
n
і такої, що Р(А)≠0, виконуються рівності: Р
А
(Н
к
)=
(
)
(
)
( )
( )
å
=
´
´
n
1i
i
Hi
k
Hk
AP
AP
PH
PH
; б) для будь-якої випадкової події А, що може з'явитись лише за умови появи однієї з подій Н
1,
…,Н
n
і такої, що Р(А)≠0, виконуються рівності Р
А
(Н
к
)= (
)
(
)
( )
( )
å
´
´
AP
AP
PH
PH
i
Hi
k
Hk
; в) для будь-якої події Н
і
, яка є гіпотезою, справедлива рівність Р
А
(Н
і
)=
(
)
(
)
( )
AP
AP
PH
hii
´
; г) ймовірність події А, яка може настати за умови появи однієї з подій Н
1,
…,Н
n
, що складають повну групу дорівнює Р(А)=
( )
( )
AP
PH
hk
n
1k
k
´
å
=
; 38. Як здійснюється ступінь довіри до вибраних гіпотез після випробування? а) після проведення випробування переоцінюються ймовірності гіпотез; б) ймовірності гіпотез залишаються незмінними після випробування; в) ймовірності обраних гіпотез зменшуються; г) ймовірності обраних гіпотез збільшуються; 39. Які випробування називаються незалежними? а) нехай n разів проводиться певне випробування, в якому можна спостерігати появу подій А
1
, А
2
, ... , А
n
. Випробування називаються незалежними, якщо результати кожного з них не залежать від результатів інших; б) випробування називаються незалежними, якщо події, що відбуваються в них незалежні; в) випробування називаються незалежними, якщо вони мають рівні ймовірності; г) випробування називаються незалежними, якщо в кожному з них отримується один і той самий результат; 40. Дайте означення випробуваннь Бернуллі? а) незалежні випробування, що проводяться багато разів називаються випробуваннями Бернуллі, якщо в кожному з них є лише два можливі наслідки і ймовірності цих наслідків є сталими для всіх випробувань; б) незалежні випробування, що повторюються багато разів називаються випробуваннями Бернуллі; в) випробування які мають лише два можливих наслідки, називаються випробуваннями Бернуллі; г) випробування які мають лише два можливих наслідки і ймовірності цих наслідків є сталими для всіх випробувань, називаються випробуваннями Бернуллі; 41. Скільки подій містить простір елементарних подій кожного окремого випробування Бернуллі? а) 2 події; б) n подій; в) n-1 подій; г) 2
n
події; 42. Наведіть формулу Бернуллі появи події А рівно k разів в n незалежних випробуваннях. а) P
n
(k)=
qp
C
knk
k
n
-
; б) P
n
(k)=
pq
C
knk
k
n
-
; в) P
n
(k)=
qp
A
knk
k
n
-
; г) P
n
(k)=
qp
C
nk
k
n
; 43. Сформулюйте теорему Пуассона про ймовірність появи деякої події А рівно k разів у n випробуваннях Бернуллі. а) якщо у схемі Бернуллі кількість випробувань n, (n
®¥
), а ймовірність р появи події А в одному випробуванні мала (р
®
0), але np=
l
, то ймовірність появи k разів події А у n випробуваннях дорівнює l-
¥®
l
= e
!
k
)k(Plim
k
n
n
;
б) якщо в схемі Бернуллі кількість випробувань n ймовірність р появи події А в даному випробувані (p
®
1), але np=
l
, то ймовірність появи k разів події А у n випробуваннях P
n
(k)=
l-
l
e
!
k
k
;
в) ймовірність того, що у n випробуваннях Бернуллі, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює р (0
<
р
<
1), подія настане k разів і не настане (n-k) разів, дорівнює P
n
(k)=
C
k
n
p
k
q
n-k ; 44. Сформулюйте локальну теорему Муавра-Лапласа. а) якщо ймовірність р появи події А у кожному випробуванні стала і 0
<
р
<
1, то ймовірність P
n
(k) того, що подія А з’явиться у n незалежних випробуваннях k разів, наближено дорівнює (тим точніше, чим більше n) значенню функції )x(
npq
1
e
2
1
npq
1
y
2
2
x
j=
p
×=
-
, де х=
npq
npk
-
; б) ймовірність P
n
(k) того, що подія А з’явиться у n незалежних випробуваннях k разів, наближено дорівнює (тим точніше, чим більше n) значенню функції y=
npq
1
j
(x), де х=
npq
npk
-
; в) якщо ймовірність р появи події А у кожному випробуванні стала (р
®
0), то ймовірність P
n
(k) ймовірність того, що подія А з’явиться у n (n
®
0) незалежних випробуваннях k разів, наближено дорівнює (тим точніше, чим більше n ) значенню функції y=
npq
1
j
(x), де х=
npq
npk
-
; г) якщо кількість випробувань у схемі Бернуллі n, (n
®
0) ймовірність р появи події А в кожному випробуванні мала (р
®
0), але np=
l
, то ймовірність появи k разів події А у n випробуваннях P
n
(k)= k
k
e
!
k
-
l
;
45. Сформулюйте інтегральну теорему Муавра-Лапласа. а) якщо ймовірність р появи події А в кожному випробуванні стала і 0
<
р
<
1, то ймовірність P
n
(k
1
; k
2
) того, що подія А настане не менше k
1
і не більше k
2
разів, наближено дорівнює визначеному інтегралу ( )
dze
2
1
k;kP
2
x
1
x
2
2
z
21n ò
-
p
», де х
2
=
npq
np
k
2
-
, х
1
=
npq
np
k
1
-
; б) якщо ймовірність P
n
(k
1
; k
2
) того, що подія А в кожному випробуванні стала і 0
<
р
<
1, то ймовірність P
n
(k
1
k
2
) того, що подія А настане не менше k
1 і не більше k
2
разів, наближено дорівнює P
n
(k
1;
k
2
)=
j
(х
2
)-
j
(х
1
), де х
2
=
npq
np
k
2
-
, х
1
=
npq
np
k
1
-
; в) якщо кількість випробувань у схемі Бернуллі n (n
®¥
), ймовірність p появи події А в кожному випробувані мала (p
®
0), але np=
l
, то ймовірність появи k разів події А у n випробуваннях P
n
(k)= k
k
e
!
k
-
l
;
г) якщо ймовірність р появи події А в кожному випробуванні стала і 0
<
р
<
1, то ймовірність P
n
(k) того, що подія А з’явиться у n незалежних випробуваннях k разів, наближено дорівнює (тим точніше, чим більше n) значенню функції y=
npq
1
j
(x), де х=
npq
npk
-
; 46. Сформулюйте теорему Бернуллі про ймовірність відхилення відносної частоти від сталої ймовірності. а) якщо у кожному з n незалежних випробувань подія настає з ймовірністю р (0
<
р
<
1), то при досить великому числі випробувань n з ймовірністю близькою до одиниці, частота настання події А буде відрізнятися від її сталої ймовірності менше, ніж на як завгодно мале додатне число e
; б) теорема Бернуллі P
n
(k)=
k-nk
k
n
qp
C
;
в) якщо ймовірність р появи події А у кожному випробуванні стала і 0
<
р
<
1, то ймовірність P
n
(k) того, що подія А з’явиться у n незалежних випробуваннях k разів, наближено дорівнює (тим точніше, чим більше n) значенню функції y=
npq
1
j
(x), де х=
npq
npk
-
; г) якщо ймовірність р появи події А в кожному випробуванні стала і 0
<
р
<
1, то ймовірність P
n
(k
1
; k
2
) того, що подія А настане не менше k
1
і не більше k
2
разів, наближено дорівнює P
n
(k
1;
k
2
)=
j
(х
2
)-
j
(х
1
), де х
2
=
npq
np
k
2
-
, х
1
=
npq
np
k
1
-
; 47. Яка величина називається випадковою? а) випадковою називається величина, яка в результаті експерименту може набувати лише одного можливого числового значення, заздалегідь невідомого і обумовленого випадковими причинами; б) випадковою називається величина, яка при виконанні певного комплексу умов S, може як відбутися, так і не відбутися; в) випадковою називається величина, яка в результаті експерименту може набути лише одного числового значення; г) випадковою називається величина, яка набуває одне деяке ізольоване значення; 48. Яка величина називається дискретною випадковою величиною (ДВВ)? а) ДВВ називається така випадкова величина, яка набуває скінченої, або зліченної кількості числових значень з певними ймовірностями; б) ДВВ називається така випадкова величина, яка набуває тільки одного конкретного значення; в) ДВВ називається така випадкова величина, яка при виконанні певного комплексу умов S, відбувається в будь-якому випадку; г) ДВВ називається така випадкова величина, яка в результаті експерименту може набути лише одного можливого числового значення; 49. Яка величина називається неперервною випадковою величиною (НВВ)? а) НВВ називається випадкова величина, яка може набувати будь-якого значення з деякого скінченного або нескінченного інтервалу; б) НВВ називається випадкова величина, з деякого інтервалу; в) НВВ називається така випадкова величина, яка може набути не менше одного можливого числового значення, заздалегідь невідомого і обумовленого випадковими причинами; г) НВВ називається така випадкова величина, яка набуває скінченої або зліченої кількості числових значень з непевними ймовірностями; 50. Що таке закон розподілу ДВВ? а) законом розподілу ВВ називається закон, за яким кожному її значенню відповідає певна ймовірність цього значення; б) законом розподілу ВВ називається закон, за яким одному значенню величини відповідає лише одне значення функції; в) законом розподілу ВВ називається графік функції ДВВ; г) законом розподілу ВВ називається інтегральна функція розподілу; 51. В чому полягає біномний закон ДВВ? а) ДВВ має біномний розподіл, якщо вона набуває значення х
1
=0,...,х
n
=n з ймовірностями P
n
(k)= k-nk
k
n
qp
C
;
б) ДВВ має біномний розподіл, якщо вона набуває значення х
1
=0,...,х
n
=n з ймовірностями P
n
(k)= k
k
e
!
k
-
l
;
в) ДВВ має біномний розподіл, якщо вона набуває значення х
1
=0,...,х
n
=n з ймовірностями P
n
(k)=q
k-1
p; г) ДВВ має біномний розподіл, якщо вона набуває значення х
1
=0,...,х
n
=n з ймовірностями, які обчислюються по біному Ньютона; 52. В чому полягає розподіл Пуассона? а) ДВВ X має розподіл Пуассона з параметром l
(
l
=np), якщо вона набуває значення х
1
=0,...,х
n
=n з ймовірностями k
k
e
!
k
)kX(P
-
l
==
;
б) ДВВ X має розподіл Пуассона з параметром l
(
l
=np) якщо вона набуває значення х
1
=0,...,х
n
=n з ймовірностями P
n
(k)= k-nk
k
n
qp
C
;
в) ДВВ X має розподіл Пуассона з параметром l
(
l
=np) якщо вона набуває значення х
1
=0,...,х
n
=n з ймовірностями P
n
(k)=q
k-1
p; г) ДВВ X має розподіл Пуассона з параметром l
(
l
=np) якщо вона набуває значення х
1
=0,...,х
n
=n з ймовірностями, які обчислюються по біному Ньютона; 53. В чому полягає геометричний закон розподілу? а) ДВВ має геометричний закон розподілу, якщо вона набуває значення х
1,
..., х
n
з ймовірностями P(X=k)=q
k-1
p; б) ДВВ має геометричний закон розподілу, якщо вона набуває значення х
1,
....,х
n
з ймовірностями P
n
(k)= k
k
e
!
k
-
l
; в) ДВВ має геометричний закон розподілу, якщо вона набуває значення х
1,
....,х
n з ймовірностями P
n
(k)= k-nk
k
n
qp
C
;
г) ДВВ має геометричний закон розподілу, якщо вона набуває значення х
1,
....,х
n з ймовірностями, які обчислюються по біному Ньютона; 54. Що таке математичне сподівання ДВВ? а) математичним сподіванням ДВВ X називається число, яке дорівнює сумі добутків усіх її можливих значень на відповідні ймовірності; б) математичним сподіванням ДВВ X називається сума добутків усіх її можливих значень; в) математичним сподіванням ДВВ X називається число, яке дорівнює квадрату відхилення X від математичного сподівання; г) математичним сподіванням ДВВ X називається середній очікуваний результат; 55. Наведіть формулу для обчислення М(X) дискретної випадкової величини. а) å
=
=
n
1i
ii
px)X(M ; б) 2
))X(Mx()X(M -=; в) ii
px)X(M
=
; д) p
x
)
X
(
M
=
; 56. За якою формулою обчислюється М(X) для біномного закону розподілу ДВВ? а) p
n
)
X
(
M
=
; б) pq
n
)
X
(
M
=
; в) p
1
)X(M =; г) 2
p
q
)X(M =; 57. За якою формулою обчислюється М(X) для геометричного закону розподілу? а) p
1
)X(M =; б) p
n
)
X
(
M
=
; в) 2
p
q
)X(M =; г) pq
n
)
X
(
M
=
; 58. За якою формулою обчислюється М(X) випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона? а) l
=
)
X
(
M
; б) pq
n
)
X
(
M
=
; в) 2
p
q
)X(M =; г) p
1
)X(M =; 59. Дайте означення дисперсії ДВВ. а) дисперсією ДВВ X називається число, яке дорівнює математичному сподіванню квадрату відхилення X від її математичного сподівання; б) дисперсією ДВВ X називається число, яке дорівнює математичному сподіванню квадрата відхилення; в) дисперсією ДВВ X називається число, яке дорівнює сумі добутків всіх можливих значень на їх ймовірності; г) дисперсією ДВВ X називається число, яке дорівнює сумі добутків всіх можливих значень; 60. Назвіть формулу для обчислення дисперсії дискретної випадкової величини. а) 2
))X(MX(M)X(D -=;
б) å
=
=
n
1i
ii
px)X(D; в) 2
)X(M)X(D =; г) )X(M))X(M()X(D
22
-=; 61. За якою формулою обчислюється D(X) для біномного закону розподілу? а) pq
n
)
X
(
D
=
; б) p
n
)
X
(
D
=
; в) å
=
=
n
1i
ii
px)X(D г) 2
p
q
)X(D =; 62. За якою формулою обчислюється D(X) для геометричного закону розподілу? а) 2
p
q
)X(D =; б) p
1
)X(D =; в) pq
n
)
X
(
D
=
; г) p
n
)
X
(
D
=
; 63. За якою формулою обчислюється D(X) для закону Пуассона? а) l
=
)
X
(
D
; б) pq
n
)
X
(
D
=
; в) 2
p
q
)X(D =; г) p
1
)X(D =; 64. Що таке середнє квадратичне відхилення ДВВ? а) середнім квадратичним відхиленням ДВВ X називається число s
(X), що визначається за рівністю (
)
XD)X( =s; б) середнім квадратичним відхиленням ДВВ X називається число s
(X), яке дорівнює å
=
=s
n
1i
ii
px)X(;
в) середнім квадратичним відхиленням ДВВ X називається число s
(х), що визначається за рівністю 2
))X(MX(M)X( -=s;
г) середнім квадратичним відхиленням ДВВ X називається число s
(X), що визначається за рівністю 22
))X(M()X(M)X( -=s; 65. Наведіть спрощену формулу обчислення D(X) дискретної випадкової величини. а) 22
))X(M()X(M)X(D -=; б) 2
))X(MX(M)X(D -=;
в) å
=
=
n
1i
ii
px)X(D;
г) (
)
X)X(D s=; 66. Яка функція називається інтегральною функцією розподілу ВВ? а) інтегральною функцією F(x) розподілу називається ймовірність того, що випадкова величина X у результаті випробування набуде значення, меншого за значення х – довільне дійсне число; б) інтегральною функцією F(x) розподілу називається ймовірність того, що X потрапить у заданий інтервал; в) інтегральною функцією F(x) розподілу називається похідна від її диференціальної функції; г) інтегральною функцією F(x) розподілу називається набуте значення, більше за деяке конкретне X; 67. Що називають диференціальною функцією розподілу? а) диференціальною функцією розподілу f(x) неперервної випадкової величини називається перша похідна від її інтегральної функції F(x); б) диференціальною функцією розподілу F(x) називається похідна від її інтегральної функції f(x); в) диференціальною функцією розподілу f(x) називається ймовірність того, що X у результаті випробування набуде значення меншого за довільне задане число x; г) диференціальною функцією розподілу f(x) називається ймовірність того, що X у результаті випробування набуде значення меншого за 1; 68. Як обчислюється математичне сподівання НВВ? а) М(X)= dx)x(fx
b
a
ò
; б) М(X)= dx)x(f
b
a
2
x
ò
; в) М(X)= dx)x(f
b
a
2
x
ò
- D(х); г) М(X)= dx)x(fx
b
a
ò
-( D(х))
2
; 69. Як обчислюється D(X) НВВ? а) D(X)= dx)x(f
b
a
2
x
ò
-(М(X))
2;
б) D(X)=
ò
b
a
2
dx)x(fx
; в) D(X)= dx)x(fx
b
a
ò
; г) D(X)= dx)x(fx
b
a
ò
-М(X). 70. Що таке рівномірний закон розподілу НВВ? а) НВВ X називається рівномірно розподіленою на відрізку [a, b], якщо щільність розподілу її стала на цьому відрізку і має вигляд ï
ï
î
ï
ï
í
ì
>
£<
-
£
=
b;x при ,1
;bxa при ,
ab
1
a;x при ,0
)x(f б) НВВ X називається рівномірно розподіленою на відрізку [а, b], якщо щільність розподілу її стала на цьому відрізку має вигляд f(x)=
l
l
-
е, х
³
0; в) НВВ X називається рівномірно розподіленою на відрізку [а, в], якщо щільність розподілу її стала на цьому відрізку має вигляд ( )
e
2
2
2
ax
2
1
)x(f
s
-
-
ps
=; г) НВВ X називається рівномірно розподіленою на відрізку [а, в], якщо її графік пряма лінія, паралельна осі ox; 71. Як обчислюється М(X) для рівномірно розподіленої НВВ? а) М(X)=
2
ba
+
; б) М(X)=
2
ab
-
; в) М(X)=а+b; г) М(X)=а; 72. Як обчислюється D(X) для рівномірно розподіленої НВВ? а)
(
)
12
ab
)X(D
2
-
=; б) (
)
2
ab )X(D -=; в) 2
ba
)X(D
+
=; г) ( )
6
3ab
)X(D
-
=
; 73. Як обчислюється s
(X) для рівномірно розподіленої НВВ? а)
(
)
6
3ab
)X(
-
=s
; б)
(
)
12
ab
)X(
2
-
=s ; в)
2
ba
)X(
+
=s; г)
2
ba
)X(
+
=s; 74. Що таке показниковий закон розподілу НВВ? а) НВВ називається розподіленою за показниковим законом розподілу з параметром l
>0
, якщо її щільність розподілу ймовірності має вид: î
í
ì
³l
<
=
l
0,x ,e
0,x ,0
)x(f
x-
де l
- додатня стала; б) НВВ називається розподіленою за показниковим законом розподілу з параметром l
>0
, якщо її щільність розподілу ймовірностей має вид: f(x)=
a
b
1
-
, а< х
£
b; в) НВВ називається розподіленою за показниковим законом розподілу з параметром l
>0
, якщо її щільність розподілу ймовірності має вид: ( )
e
2
2
2
ax
2
1
)x(f
s
-
-
p
s
=; г) НВВ називається розподіленою за показниковим законом розподілу з параметром l
>0
, якщо її щільність розподілу ймовірності має вид: f(x )=
l-
l
e
!
k
k
; 75. Як обчислюється М(X) для показникового закону розподілу? а) l
=
1
)X(M; б) l
=
q
)X(M; в) 2
1
)X(M
l
=; г) l
=
)
X
(
M
; 76. Як обчислюється D(X) для показникового закону розподілу? а) 2
1
)X(D
l
=; б) l
=
1
)X(D; в) l
=
)
X
(
D
; г) 2
q
)X(D
l
=; 77. Як обчислюється s
(X) для показникового закону розподілу? а) l
=s
1
)X(; б) 2
1
)X(
l
=s; в) 2
q
)X(
l
=s; г) l
=s
q
)X(; 78. Що називається нормальним законом розподілу НВВ? а) ВВ називається розподіленою нормально з параметрами а i s
, якщо її щільність розподілу ймовірності має вигляд: e
2
a2
2
)ax(
2
1
)x(f
-
-
ps
=, де ¥
<
<
¥
-
x
; б) ВВ називається розподіленою нормально з параметрами а і s
, якщо її щільність розподілу має вигляд: f(x)=
a
b
1
-
, а
£
х
£
b; в) ВВ називається розподіленою нормально з параметрами а і s
, якщо її щільність розподілу має вигляд: f(x)=
l
e
-
l
e , х
³
0; г) ВВ називається розподіленою нормально з параметрами а і s
, якщо її щільність розподілу має вигляд: f(x)=
a
s
, х
>
0; 79. Як обчислюється М(X) для нормального розподілу? а) M(X)=а; б) M(X)=np; в) M(X)=npq; г) M(X)=а
2.
; 80. Як обчислюється D(X) для нормального розподілу? а) D(X)= s
2;
б) D(X)=а
2;
в) D(X)=npq; г) D(X)=
2
p
q
; 81. Як обчислюється s
(X) для нормального розподілу? а) s
(X)= s
; б) s
(X)=
)X(D; в) s
(X)=a; г) s
(X)=а+
s
; 82. Сформулюйте правило трьох сигм. а) якщо ВВ X має нормальний розподіл, то ймовірність її відхилення від математичного сподівання, яке більше трьох середньоквадратичних відхилень, близька до 0; б) якщо ВВ X має нормальний розподіл, то ймовірність її відхилення від М(X), близька до 0; в) якщо ВВ X має нормальний розподіл, то ймовірність її відхилення від математичного сподівання, яке більше трьох середньоквадратичних відхилень; г) якщо ВВ X має нормальний розподіл, то ймовірність її відхилення від математичного сподівання, яке більше трьох середньоквадратичних відхилень, дорівнює 0. Розділ 2. Задачі 1. 3 міста Сапфір в місто Янтар ведуть (
a
+ 2) дороги, а з міста Янтар в місто Сонячне ведуть (
a
+ 5) доріг. Скількома різними дорогами можна здiйснити подорож з міста Сапфір в місто Сонячне через місто Янтар ? 2. Скількома способами можна вибрати два різних числа (їх порядок відіграє суттєву роль) з послідовності чисел 1,2,.., a
,..., a
+11 ? 3. Скількома способами можна вибрати з послiдовностi чисел 1,2,..., a
,..., 2
a
+5 два числа (при цьому їх порядок не вiдiграє суттєвої ролi), одне з яких менше (
a
+4), а друге — бiльше (
a
+4)? 4. У вазi стоять 10 червоних і (
a
+2) білих троянди. Скiлькома способами можна вибрати три квiтки з вази? 5. 3 вази, де стоять 10 червоних та (
a
+3) білих гвоздики, вибирають одну червону і двi білі квiтки. Скiлькома способами це можна зробити? 6. Куб, всi гранi якого пофарбовано, розпиляли на [
]
)53(25)15(
2
+a×++a×a кубикiв однакового розмiру. Скiльки кубикiв будуть мати три пофарбованi гранi? ([x] – ціла частина x) 7. В ящику знаходиться (2
a
+10) деталей, з яких (
a
+6) - нестандартнi. Скiлькома способами можна взяти (
a
+9) деталей таким чином, щоб (
a
+7) з них буди стандартнi? 8. У ящику знаходиться (2
a
+10) одинакових кубиків, з яких (
a
+4) пофарбовано. Навмання дiстають один з виробiв. Знайти ймовiрнiсть того, що вiн не буде пофарбований. 9. В урнi знаходиться (
a
+6) бiлих та (
a
+4) чорних куль. З урни дiстають одну кулю i вiдкладають осторонь. Ця куля виявилась бiлою. Пiсля цього з урни дiстали ще одну кулю. Знайти ймовiрнiсть того, що обидвi кулi будуть бiлими. 10. Із послiдовностi чисел 1, 2, ..., a
, ..., a
+25 вибирають два числа (при цьому їх порядок має важливе значения). Знайти ймовiрнiсть того, що записавши їх “в один ряд” одержимо число 1945. 11. В урнi (
a
+3) бiлих та 10 чорних куль. З урни дiстали вiдразу двi кулi. Знайти ймовiрнiсть того, що обидвi кулi будуть бiлими. 12. У ящику є (
a
+5) бiлих та 10 чорних куль. Навмання дiстають три кулі. Знайти ймовiрнiсть того, що тiльки двi з них будуть бiлими. 13. З послiдовності чисел 1, 2,..., a
,..., 2
a
+7 вибирають два числа (при цьому їх порядок має важливе значения). Знайти ймовірнiсть того, що записавши їх “в один ряд” одержимо непарне число. 14. Куб, всi гранi якого пофарбовано, розпиляли на [
]
)2(108)18(
2
+a×++a×a кубикiв однакового розміру, які потім ретельно перемішали. Знайти ймовiрність того, що взятий навмання кубик буде мати тiльки одну пофарбовану грань. ([x] – ціла частина х). 15. В урнi знаходиться (
a
+5) бiлих та 12 чорних куль. З урни дiстали вiдразу двi кулi. Знайти ймовірність того, що обидвi кулi будуть одинакового кольору. 16. За круглий стіл випадково сiдають (
a
+9) людей. Знайти ймовiрнiсть того, що дві певнi особи А та В сидiтимуть поряд. 17. На лаву випадковим чином сiдають (
a
+8) людей. Знайти ймовiрність того, що двi фiксованi особи M та N сидiтимуть поряд. 18. Серед партії з (
a
+10) виробiв вiдділ технічного контролю виявив 5 нестандартних виробiв. Чому дорівнює вiдносна частота появи нестандартного виробу? 19. При випробуваннi партiї виробiв вiдносна частота дорівнює 0,8. Знайти число придатних виробiв, якщо було перевiрено 10
a
+7 виробiв. 20. Після бурi на дiлянцi між 60 та 200 кiлометрами телефонної лінії, трапився обрив проводу. Яка ймовірність того, що розрив трапився між 80 та (80+
a
) кiлометрами лінії? 21. У квадрат з вершинами (0;0), (0; a
), (
a
; 0), (
a
;
a
) навмання ставиться точка М(х;у). Знайти ймовiрнiсть того, що корені рівняння 0уухх
2
=++ - дiйснi. 22. Куля 2222
zух a=++ розміщена усередині еліпсоїда 1z
ух
2
2
2
2
2
=+
a
+
a
. Знайти ймовірність того, що точка, яку поставлено навмання усередину елiпсоїда, опиниться у серединi кулi. 23. При дослiдженні схожостi партії насiння нового сорту було виявлено, що з 2
a
+3 насiнин не зiйшло a
+1 насiнин. Чому дорiвнює вiдносна частота схожостi насiння ? 24. Пiсля висiвання партiї насiння вiдносна частота схожостi дорiвнює 0,9. Знайти число насiнин, що зійшли, якщо було посiяно 10
a
+5 насiнин. 25. Олівець розламано на двi частини у випадковiй точцi. Знайти ймовiрнiсть того, що менший з уламкiв є довжиною не бiльше нiж a
+
6
5
довжини стержня. 26. У кубi зi стороною 2
a
знаходиться куля радiусом (
a
-1). У куб навмання ставиться точка. Знайти ймовірність того, що вона опиниться у середині кулі. 27. У сигналiзатор надходять сигнали від двох пристроїв, причому надходження кожного з сигналів рiвноможливо у будь-який момент проміжка часу довжиною 2
a
. Моменти надходження сигналiв не залежать один від одного. Сигналiзатор спрацьовує, якщо рiзниця між моментами надходження сигналiв менше нiж час
a
. Знайти ймовiрнiсть того, що сигналiзатор спрацює за час 2
a
, якщо кожне з пристроїв надасть тiльки один сигнал. 28. В урнi (
a
+3) бiлих та 10 чорних куль. З урни виймають одну кулю i вiдкладають осторонь. Ця куля виявилась бiлою. Пiсля цього з урни беруть ще одну кулю. Знайти ймовiрність того, що ця куля буде чорною. 29. Серед (
a
+7) виробiв 6 бракованих, а 80 % з небракованих виробiв є першосортними. Яка ймовірність того, що вибраний навмання вирiб є першосортним? 30. В урнi (
a
+7) бiлих та 10 червоних куль. З урни виймають одну кулю, вiдзначають її колiр i повертають кулю в урну. Пiсля цього з урни береться ще одна куля. Знайти ймовiрнiсть того, що обидвi вийнятi кулi будуть бiлими. 31. В урнi (
a
+9) жовтих та 10 синіх куль. З урни виймають вiдразу двi кулi. Знайти ймовiрнiсть того, що обидвi вийнятi кулi будуть жовтими. 32. В урнi (
a
+3) бiлих та 10 синіх куль. З урни виймають вiдразу двi кулi. Знайти ймовiрність того, що цi кулi будуть рiзного кольору. 33. В урнi a
бiлих, (
a
+1) червоних та (
a
+2) синіх куль. З урни виймають одну кулю, яка виявилась синьою і вiдкладають осторонь. З урни беруть ще одну кулю, яка виявилась червоною i вiдкладають осторонь. Пiсля цього з урни беруть ще одну нулю. Знайти ймовiрнiсть того, що вона буде бiлою. 34. Підприємство виготовляє %
1
100
÷
ø
ö
ç
è
æ
+a
a
стандартних виробiв, з них (
)
%
2
1100
÷
ø
ö
ç
è
æ
+a
+
a
виробiв першого сорту. Знайти ймовiрнiсть того, що вибраний навмання вироб є першого сорту. 35. У трьох ящиках знаходяться деталi. У першому (
a
+7) штук (з них 5 нестандартних), у другому – (
a
+2) штук ( з них 6 нестандартних), у третьому – (
a
+5) штук (з них 3 нестандартних). З кожного ящика навмання беруть одну деталь. Знайти ймовiрнiсть того, що всi вийнятi деталi виявляться стандартними. 36. В урнi (2
a
+3) бiлих та (
a
+4) червоних куль. З урни виймають вiдразу три кулi. Знайти ймовiрнiсть того, що всi вони будуть червоного кольору. 37. В урні a
бiлих, (
a
+1) червоних та (
a
+2) чорних куль. З урни виймають вiдразу три кулi. Знайти ймовiрнiсть того, що всi вони будуть рiзного кольору. 38. В урні (
a
+15) куль: 10 червоних, 5 синих та a
бiлих. Знайти ймовірність появи кольорової кулi. 39. Двi одинаковi монети радiуса a
розмiщені в серединi круга радiуса (
a
+10), в який навмання ставиться точка. Знайти ймовiрнiсть того, що ця точка стане на одну з монет, якщо монети не перекриваються. 40. В одному ящику (
a
+5) бiлих та (
a
+10) червоних куль, а в другому ящику (
a
+10) бiлих та (
a
+5) червоних куль. Знайти имовiрнiсть того, що хоча б з одного ящику буде вийнято одну бiлу кулю, якщо з кожного ящика вийнято по однiй кулi. 41. У ящику (
a
+12) виробiв, з яких 6 пофарбовані. Робiтник навмання взяв 2 вироби. Знайти ймовірність того, що хоча б один в них пофарбований. 42. Студент прийшов на залiк, знаючи з (
a
+30) питань тiльки 24. Яка ймовiрнiсть скласти залiк, якщо після відмови вiдповiдати на питания викладач задає ще одне питання? 43. В ящику (
a
+15) деталей, серед яких 2 нестандартнi. Знайти ймовірність того, що з навмання вибраних 8 деталей буде не бiльше однієї стандартної. 44. На курсi (
a
+10) студентiв, серед них 7 вiдмінникiв. За списком навмання вибирають трьох студентiв. Знайти ймовiрнiсть того, що хоча б один студент відмінник. 45. Два стрілка стрiляють по мішені. Ймовiрностi влучення в цiль вiдповiдно дорiвнюють 0,7 та 0,01(
a
+1). Знайти ймовiрнiсть того, що при одному залпi в мішень попаде не менше одного стрілка. 46. Студент вивчив з (
a
+60) запитань тільки 45. Кожен екзаменацiйний бiлет включає 3 запитання. Знайти ймовiрнiсть того, що студент знає не менше 2 запитань свого екзаменацiйного бiлету. 47. Ймовiрність хоча б одного влучення в цiль при 4 пострiлах дорiвнює 0,01(
a
+1). Знайти ймовiрнiсть влучення в цiль при одному пострілi. 48. Є три зовнiшньо однакових урни. У першій (
a
+7) бiлих куль та (
a
+5) червоних; у другiй (
a
+4) бiлих та (
a
+6) червоних; у третiй - тiльки бiлi кулi. Навмання з однієї з урн витянуто одну кулю. Знайти ймовiрнiсть того, що ця куля бiла. 49. Є дві урни. У першiй урні (
a
+7) жовтих куль та (
a
+5) синіх; у другiй (
a
+2) жовтих та (
a
+4) синіх. З другої урни у першу перекладають не дивлячись одну кулю. Пiсля цього з першої урни беруть одну кулю. Знайти ймовiрнiсть того, що ця куля буде жовтою. 50. В лабораторiї є (
a
+3) комп’ютерiв нової моделi та (
a
+1) старої. Ймовiрнiстъ того, що пiд час роботи комп’ютер нової моделi не вийде з ладу 0,98; для старої моделi ця ймовiрнiсть рiвна 0,88. Студент працює на навмання вибраному комп’ютерi. Знайти ймовiрнiсть того, що до кiнця виконання роботи комп’ютер не вийде з ладу. 51. Є дві партii однакових кубиків. Перша складається з (
a
+5) кубиків, серед яких 4 пофарбованих; друга – з (
a
+10) кубиків, серед яких 8 пофарбованих. З першої партії беруть випадковим чином 5 кубиків, з другої 8 кубиків i змішують мiж собою. З одержаної партiї з 13 кубиків беруть один. Знайти ймовiрнiсть того, що взятий кубик буде пофарбованим. 52. У групі студентiв 20 вiдмiнникiв, (
a
+10) добре вчиться та 10, якi вчаться погано. Вiдмінники на iспиті можуть одержати тiльки вiдміннi оцiнки. Якi вчаться добре, можуть з рiвною ймовiрністю отримати вiдміннi та добрi оцiнки. Студенти, якi вчаться погано, можуть одержати з рiвною ймовiрнiстю добрi, задовiльнi та незадовiльнi оцiнки. Для iспиту викликається навмання один студент. Знайти ймовiрнiсть того, що вiн отримає вiдмiнну або добру оцiнку. 53. В першій коробцi є (15+
a
) працюючих та (5+
a
) непрацюючих радiолампи, в другiй коробцi є (19+
a
) працюючих та (6+
a
) непрацюючих. З другої коробки навмання взята лампа i перекладена в першу. Знайти ймовiрнiсть того, що лампа, яку навмання дiстали з першої коробки, буде працюючою. 54. Для iспиту викладач приготував (31+2
a
) задач: (11+
a
) по похiдним i (20+
a
) по iнтегралам. Для складання iспиту студент повинен розв’язати першу задачу, яка була отримана. Яка ймовiрнiсть того, що студент складе iспит, якщо він вміє розв’язувати тільки (5+
a
) задач по похiдним та (15+
a
) задач по iнтегралам? 55. В трьох ящиках знаходяться мишi. В першому (5+
a
) бiлих та (3+
a
) сірих мишей, а в другому – (4+
a
) бiлих та (3+
a
) сiрих, в третьому (2+
a
) бiлих та (2+
a
) сiрих. Яка ймовірнiсть того, що з навмання взятого ящика дiстанемо бiлу мишу? 56. В групi спортсменiв (25+
a
) лижників, (12+
a
) велосипедистів та (7+
a
) бiгунів. Ймовiрнiсть виконати фахову норму така: для лижника 0,9; для велосипедиста 0,8 i для бiгуна 0,75. Знайти ймовiрнiсть того, що спортсмен, якого взяли навмання виконає норму. 57. Робiтник отримав (3+
a
) коробки деталей, виготовлених заводом № 1 i (2+
a
) коробки деталей, виготовлених заводом № 2. Ймовiрнiсть того, що деталь заводу № 1 стандартна рiвна 0,8, а ймовiрнiсть того, що заводу №2 - 0,9. Робiтник навмання взяв деталь з коробки. Знайти ймовiрнiсть того, що взято стандартну деталь. 58. Деякий вироб виготовляється на двох заводах. Вiдомо, що об’єм продукцii першого заводу в (
a
+2) раз перевищує об’єм продукцiї другого заводу. Частка браку на першому заводi складає 0,1 %, на другому - 0,2%. Навмання взятий вироб виявився бракованим. Яка ймовірнiсть того, що цей вироб виготовлено на першому заводi? 59. Є три урни. У першiй (
a
+5) бiлих кулi та (
a
+3) червоних, у другiй – (
a
+4) бiлих та (
a
+5) червоних кулi, у третiй - 3 бiлих кулi. Дехто пiдходить навмання до однiєї з урн i виймає з неї 1 кулю. Ця куля виявляється бiлою. Знайти ймовiрність того, що ця куля витягнута з третьої урни. 60. Є п’ять урн. В першiй, другiй та третiй урнi є (
a
+2) бiлих та (
a
+3) червоних кулi. Випадково вибирається урна i з неї виймається куля. Яка ймовiрнiсть того, що вибрана четверта, або п’ята урна, якщо вийнято білу кулю? 61. У партiї виробiв змішано вироби трьох заводiв: (
a
+7) виробiв першого, (
a
+17) виробiв другого та (
a
+12) виробiв третього заводу. Вiдомо, що ймовiрнiсть дефекту для виробiв першого, другого та третього заводiв дорiвнює вiдповiдно 0,3; 0,1; 0,2. Якщо виріб дефектний, то вiн не проходить вiдбiр. Взято навмання один iз виробiв із змішаної партiї. Вiн не пройшов випробування. Знайти ймовiрнiсть того, що вироб виготовлено на першому заводi. 62. Для участi в спортивних змаганнях видiлено з першої бригади - a
+1, з другої (
a
+2), з третьої (
a
+3) робiтникiв. Ймовiрнiсть того, що робiтник першої, другої та третьої бригади попаде в збiрну команду вiдповiдно дорiвнюють 0,9; 0,7; 0,8. Навмання вибраний робiтник в результатi змагань потрапив у збiрну команду. До якої з бригад ймовiрнiше всього належить цей робітник? 63. Два автомата виготовляють однаковi деталi. Продуктивнiсть першого автомату в (
a
+2) раз бiльше продуктивності другого. Перший виробляє 60% деталей вiдмінної якості, а другий 84%. Навмання взята деталь виявилась вiдмінної якостi. Знайти ймовiрнiсть того, що деталь виготовлено першим автоматом. 64. Є три партiї деталей по (25+
a
) в кожнiй. Число стандартних деталей в першiй, другiй та третiй партiях вiдповiдно (25+
a
); (20+
a
); (15+
a
). З вибраної партiї навмання взято деталь, яка виявилась стандартною. Деталь повертають в партію, i другий раз беруть деталь, яка також виявляється стандартною. Знайти ймовiрність того, що деталь з третьої партiї. 65. В трьох однакових ящиках знаходяться миші. В першому ящику - (5+
a
) білих та (12+
a
) сiрих мишей, в другому - (7+
a
) бiлих та (10+
a
) сiрих, в третьому - (6+
a
) бiлих та (11+
a
) сiрих. З навмання взятого ящика дiстали бiлу мишу. Яка ймовiрнiсть того, що дiстали мишу з другого ящика? 66. Для участi в спортивних змаганнях видiлено з першої бригади – (
a
+5), з другої (
a
+9), з третьої (
a
+7) робiтникiв. Ймовiрнiсть того, що робiтник першої, другої або третьої бригади попаде в збiрну команду вiдповiдно дорiвнюють 0,85; 0,65; 0,95. Навмання вибраний робiтник в результатi змагань потрапив у збiрну команду. До якої з бригад ймовiрнiше всього належить цей робiтник? 67. Прилад складається з чотирьох вузлiв. Ймовірність безвiдмовної роботи на протязi зміни для кожного вузла дорівнює 40
30
+
a
+
a
. Вузли виходять з ладу незалежно один вiд одного. Знайти ймовiрнiсть того, що за зміну: 1)вiдмовить рiвно один вузол; 2) вiдмовить хоча б один вузол; 3) вiдмовить не бiльше одного вузла; 4) прилад працює безвідмовно; 5) знайти найiмовiрнiше число вузлiв, якi за зміну вiдмовлять. 68. В середньому iз (
a
+75) студентiв iспит з математики складає (
a
+50). Знайти ймовірність того, що з трьох студентiв деякої групи iспит складуть: а) всi три студента; б) не менше двох студентiв. 69. Схожiсть насiння дорiвнюе (60+5Е
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
20
)%. Для випробування вiдбирають 5 + Е
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
20
насiнин. Знайти ймовiрнiсть того, що буде: а) рiвно 3+Е
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
20
сходів; б) не менше 4 +Е
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
20
сходiв. (Е(х) – ціла частина х, наприклад, Е
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
20
= 0 при a
= 1 ¸
19; Е
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
20
= 1 при a
=20 ¸
39; Е
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
20
= 2 при a
= 40
¸
59.) 70. Доля плодiв, що пошкодженi хворобою в прихованiй формі, складає (15+2Е
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
20
)%. Випадковим чином вiдбирають 5+Е
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
20
плодiв. Знайти ймовiрнiсть того, що в вибiрцi буде: а) рiвно 3 + Е
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
20
пошкоджених плодів; б) не бiльше одного пошкодженого плода. (Е(х) – ціла частина х) 71. В деякому ставку коропи складають (12+2Е
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
20
)%. Знайти ймовiрність того, що з 7+Е
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
20
риб, яких було виловлено в цьому ставку, виявиться: а) 5+Е
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
20
коропи; б) не менше 5+ Е
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
20
коропи. (Е(х) – ціла частина х). 72. До складу надходять вироби, )
5
(
+
a
a
100 % яких, вищої якості. Скiльки виробiв треба взяти навмання зі складу, щоб з ймовірністю 0,997 можна було стверджувати, що частiсть виробiв вищого сорту знаходиться між 0,75 та 0,85? Вважати, що Ф(0,4985) = 2,97. 73. Ймовiрнiсть влучення в цiль при кожному з 300 пострiлiв дорівнює 7
7
+
a
. Яке максимально можливе вiдхилення частостi вiд ймовiрностi влучення при одному пострiлi можна очiкувати з ймовiрнiстю 0,997. Вважати, що Ф(0,4985) = 2,97. 74. Ймовiрнiсть влучення в цiль при кожному пострiлі дорiвнює 0,001. Знайти ймовiрнiсть влучення в цiль двох та бiльше куль, якщо число пострiлiв дорiвнює (1000+10(
a
+1)). 75. Схожiсть насiння пшениці (65+6Е ÷
ø
ö
ç
è
æ
a
20
)%. Яка ймовірнiсть того, що з посiяних (10
a
+300) зерен зiйде рівно (10(
a
+1)+150)? 76. Серед зерен жита (0,05+0,01Е ÷
ø
ö
ç
è
æ
a
20
)% насіння бур’яну. Яка ймовiрнiсть того, що при випадковому вiдборi 5000 зерен буде знайдено (2+Е ÷
ø
ö
ç
è
æ
a
20
) насінин бур’ яну? 77. Схожість насiння кукурудзи (75+4Е ÷
ø
ö
ç
è
æ
a
20
)%. Яка ймовiрнiсть того, що з (10
a
+200) зерен зiйде не менше (10
a
+80) i не бiльше (10
a
+100) насiнин? 78. Схожість насiння сорго дорiвнює (40 +5Е ÷
ø
ö
ç
è
æ
a
20
)%. Яка ймовiрнiсть того, що з посiяних (10
a
+350) зерен зiйде: а) не бiльше (10
a
+ 110) насiнин; б)бiльше (10
a
+110). 79. Ймовірнiсть пошкодження яблук паршою складає (50+6Е
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
20
). Скільки яблук треба відібрати, щоб з ймовірністю 0,995 можна було стверджувати, що частість відбору яблук, пошкоджених паршою, відхиляється від сталої ймовірності по абсолютній величині не більше ніж на 0,3? Вважати, що Ф(0,4975)=2,81. 80. Середнє число фахівців, які щорічно вступають до аспірантури при економiчних вузах складає 100 чоловiк. Використовуючи нерiвнiсть Чебишева оцiнити ймовiрнiсть того, що в даному роцi буде вступати не бiльше 100+(
a
+2) чоловiк. 81. Неперервна випадкова величина Х має нормальний розподiл 2
2
2
)ах(
е
2
1
)x(f
s
-
-
ps
=. Оцінити за нерiвнiстю Чебишева ймовірність ),
а
)5а(
ах(Р
s
+
<- якщо s
=0,5(
a
+1). 82. Дискретка випадкова величина Х задана рядом розподiлу Х 0,3 0,6 Р 1
1
+
a
1
+
a
a
Використовуючи нерiвнiсть Чебишева, оцiнити ймовiрнiсть того, що 2,0)Х(МХ <-. 83. Пристрiй складається з 15 незалежно працюючих елементiв. Ймовiрнiсть вiдмови кожного елемента за час Т дорiвнює 2
1
+
a
. Оцiнити ймовiрнiсть того, що абсолютна величина рiзницi мiж числом вiдмовлених елементiв i середнiм числом вiдмов за час Т буде не менше двох. 84. Середня довжина деталі 100 см, а дисперсія дорівнює 5
+
a
a
. Користуючись нерiвнiстю Чебишева, оцiнити ймовiрнiсть того, що виготовлена деталь буде за своєю довжиною не менше 99 см і не більше 101 см. 85. Пристрiй складається з 15 незалежно працюючих елементiв. Ймовiрнiсть вiдмови кожного елемента за час Т дорівнює 3
2
1
+
a
. Використовуючи нерiвнiсть Чебишева оцiнити ймовiрнiсть того, що абсолютна величина рiзницi мiж числом вiдмов i середнiм числом вiдмов за час Т виявиться менше 4. 86. Ймовiрнiсть появи подiї А в кожному випробуваннi дорівнює 2
1
+
a
. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що число Х появи подiї А буде знаходитись в межах вiд 40 до 60, якщо буде проведено 100 незалежних випробувань. 87. Ймовірність появи події в кожному випробуванні дорівнює 1
2
1
+a
. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що число Х появи події буде знаходитись в межах вiд 100 до 200, якщо буде проведено 500 випробувань. 88. Дискретна випадкова величина Х задана рядом розподілу: X 2 5 P 1
1
+
a
1
+
a
a
Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що 4)X(MX <-. 89. Дискретна випадкова величина Х задана рядом розподілу Х -1 0 1 Р 20
5
+
a
20
+
a
a
20
15
+
a
+
a
Знайти ймовірність (
)
1XР
=
. 90. Дискретна випадкова величина Х задана рядом розподілу Х -2 -1 0 1 2 Р 10
2
+
a
10
4
+
a
10
1
+
a
+
a
10
3
+
a
+
a
10
2
+
a
Знайти ймовірність того, що величина Х набере значення, що не перевищуває за абсолютною величиною 1. 91. Дискретна випадкова величина Х задана рядом розподілу: X
-1 1 P 1
2
+
a
a
1
2
1
+
a
+
a
Побудувати ряд розподілу випадкової величини У = Х ×
Х та обчислити ймовірність P(Y=1). 92. Дискретна випадкова величина Х задана функцією розподілу ï
ï
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
ï
ï
í
ì
>
£<
+a
£<
+a
+a
£<
+a
£<
+a
£
=
4xпри,1
4x3при,
17
4
3x2при,
17
1
2x1при,
17
9
1x0при,
17
3
0хпри,0
)x(F Знайти ймовірність P(X=2). 93. Дискретна випадкова величина Х задана рядом розподілу: X
5 10 15 20 25 P 10
1
+
a
20
2
3
+
a
+
a
20
2
4
+
a
+
a
20
2
3
+
a
10
4
+
a
Знайти ймовірність того, що величина Х прийме значення, яке не перевищує 15. 94. Дискретна випадкова величина задана функцією розподілу : ï
ï
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
ï
ï
í
ì
>
£<
+a
+a
£<
+a
+a
£<
+a
£<
+a
£
=
5xпри,1
5x4при,
202
172
4x3при,
202
15
3x2при,
202
11
2x1при,
202
7
1›при,0
)x(F Знайти ймовірність події P(X=3). 95. Дискретна випадкова величина Х задана рядом розподілу: X
1 3 5 7 9 P 15
1
+
a
30
2
10
+
a
+
a
30
2
13
+
a
+
a
10
2
+
a
30
2
1
+
a
Визначити функцію розподілу та побудувати її графік. У відповіді вказати значення F(x), якщо 5 <
х £
7. 96. Схожість насіння дорівнює 100
7
×
+
a
a
%
. Для дослідження відібрано 7 насінин. Написати біноміальний розподіл дискретної випадкової величини Х (число сходів серед 7 відібраних насінин). Побудувати многокутник розподілу та вказати ймовірність появи рівно 5 всходів з 7 насінин. 97. Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу: X
-1 0 1 P 10
3
+
a
10
+
a
a
10
7
+
a
а дискретна випадкова величина У задана законом розподілу : Y -1 0 1 P 10
2
+
a
+
a
10
6
+
a
10
2
+
a
Побудувати ряд розподілу випадкової величини Z = X
×
Y , та обчислити ймовірність P(Z=0). 98. Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини Х, що задана законом розподілу: Х -1 1 Р 1
2
+
a
a
1
2
1
+
a
+
a
99. Знайти дисперсію дискретної випадкової величини Х заданої законом розподілу: Х -1 1 Р 1
2
+
a
a
1
2
1
+
a
+
a
100. Знайтии математичне сподiвання дискретної випадково величини Z=Х+У, де Х, У незалежні випадкові величини, кожна з рядом розподілу: Х -1 1 Р 1
2
+
a
a
1
2
1
+
a
+
a
Y -1 1 Р 1
2
+
a
a
1
2
1
+
a
+
a
101. Знайти дисперсію дискретної випадкової величини Z=X-Y, де X, Y незалежні випадкові величини, кожна з рядом розподілу: Х -1 1 Р 1
2
+
a
a
1
2
1
+
a
+
a
Y -1 1 Р 1
2
+
a
a
1
2
1
+
a
+
a
102. Здійснюються (
a
+7) незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи успіху дорівнює 0,8. Знайти дисперсію числа появи успіху в цих випробуваннях. 103. Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини Z=2X+Y, де Х, У незалежних випадкові величини, кожна з рядом розподілу: Х -(
a
+1) (2
a
+1) Р 0,2 0,8 Y -(
a
+1) (2
a
+1) Р 0,2 0,8 104. Здійснюється (7+
a
) незалежних випробувань, у кожному з ймовірністю появи успіху дорівнює 0,7. Знайти дисперсію числа появи успіху в цих випробуваннях. 105. Неперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу (розподіл Коші) arctgx
1
2
A
)x(F
p
+
+
a
= ; -
¥
<
x <
+¥
Знайти сталу А. 106. Неперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу ( )
ï
î
ï
í
ì
+a>
+a£<aa-
a£
=
1x при ,1
1x при ,x
x при ,0
)x(F
2
Знайти ймовiрнiсть попадання величини Х в інтервал .)1(2 ;
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
+a
+a
a
+a 107. Неперервна випадкова величина Х розподілена за законом Лапласа, тобто щільність розподілу Х має вигляд: 0,eA)x(f
x
>a×=
a-
. Знайти сталу А. 108. Знайти вираз функції щільності розподілу ймовірності величини Х та обчислити ймовірність попадання її на ділянку від 2
1
+
a
+
a
до a
+1. 109. Неперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу: ï
ï
î
ï
ï
í
ì
+a£<-a-
+a
+a+
-a-£
=
1x1якщо,
)1(8
)1х(
1хякщо,0
)x(F
3
3
Визначитии диференціальну функцію розподілу та побудувати її графік. Знайти ймовірність попадання величини Х в інтервал ÷
ø
ö
ç
è
æ
+a
+a
)1(2;
2
1
. 110. Неперервна випадкова величина X задана законом Сімпсона, тобто її функція щільності розподілу має вигляд: ( )
( )
ï
î
ï
í
ì
aa-Ï
aa-Î
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
a
+
a
=
;x при,0
;xпри ,
x
1
1
)x(f Знайти ймовірність попадання величини X в інтервал ÷
ø
ö
ç
è
æ
a
+a
a
-;
1
. 111. Неперервна випадкова величина Х задана диференціальною функцією розподілу ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
a
>
a
£<-a
a
£
=
2
хякщо,0
2
x0якщо),xx(
A
0хякщо,0
)x(f
2
Знайти коефіцієнт А та побудувати графік функції f(x). 112. Випадкова величина Х задана інтегральною функцією ( )
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
a£<-a
+a
+a-
-a£
=
3x1якщо,
12
)1х(
1хякщо,0
)x(F
2
2
Знайти ймовірність того, що в результаті 5 незалежних випробувань величина Х рівно 3 рази прийме значення, що належить інтервалу (2
a
;4
a
). 113. Неперервна випадкова величина Х задана диференціальною функцією ( )
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
a£<
a+a
+a+
£
=
2x0якщо,
24
)1х(
0хякщо,0
)x(f
2
Знайти ймовiрнiсть попадання величини Х в інтервал ÷
ø
ö
ç
è
æ
a
a
;
2
. 114. Неперервна випадкова величина Х задана диференціальною функцією ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
a>
a£<
a+a
+a+
£
=
хякщо,0
x0якщо,
203
)10х(2
0хякщо,0
)x(f
2
Визначити інтегральну функцію розподілу та ймовірність того, що в незалежних випробуваннях Х прийме рівно 2 рази значення, що належить інтервалу ÷
ø
ö
ç
è
æ
a
a
2
;
3
. 115. Неперервна випадковаа величина Х рівномірно розподілена на ділянці (
a
; 2
a
) ï
î
ï
í
ì
aaÏ
aaÎ
a
=
)2;(х,0
)2;(х,
1
)x(f
Знайти математичне сподівання величини Х. 116. Неперервна випадкова величина Х рівномірно розподілена за “законом прямокутного трикутника” ï
î
ï
í
ì
aaÏ
Î
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
-
a
=
)2;(хпри,0
)2;0(хпри,
х
1
2
)x(f
Знайти математичне сподівання величини Х. 117. Неперервна випадкова величина Х задана законом Сiмпсона („законом рівнобедреного трикутника”): ï
î
ï
í
ì
aa-Ï
aa-Î
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
a
-
a
=
);(хпри,0
);(хпри,
х
1
1
)x(f
Знайти дисперсію D(X). 118. Крива розподілу неперервної випадкової величини Х являє собою
пiвелiпс з пiввiсями a
та 0у,
2
³
pa
ï
î
ï
í
ì
aa-Ï
aa-Î-a
pa
=
);(хпри,0
);(хпри,х
2
)x(f
2
2
Знайти дисперсію D(X). 119. Неперервна випадкова величина Х задана законом Лапласа: ¥<<-¥
î
í
ì
a
=
a-
x,е
2
)x(f
х
. Знайти дисперсію D(X). 120. Неперервна випадкова величина Х рівномірно розподілена на ділянці [ (
a
+1); 2(
a
+ 1)]. Знайти математичне сподівання величини Х заданої диференціальною функцією: [
]
[ ]
ï
î
ï
í
ì
+a+aÏ
+a+aÎ
+a
=
)1(2);1(х,0
)1(2);1(х,
1
1
)x(f
121. Неперервна випадкова величина Х розподілена за „законом прямокутного трикутника” ï
î
ï
í
ì
aÏ
aÎ
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
-
a
=
);0(хпри,0
);0(хпри,
х
1
2
)x(f
Знайти дисперсію величини Х. 122. Знайти дисперсію випадкової величина Х, заданої диференціальною функцією: ï
î
ï
í
ì
aa-Ï
aa-Î
a+
=
);(хпри,0
);(хпри,
1
1
)x(f
123. Знайти дисперсію випадкової величина Х, заданої законом Лапласа: );(х,е
2
1
)x(f
х)1(
+¥-¥Î×
+
a
=
+a-
. 124. Неперервна випадкова величина Х має щільність розподілу: .е
2
1
)x(f
2
2
2
)х(
s
a--
×
ps
=
Знайти математичне сподівання величини Х. 125. Неперервана випадкова величина Х має щільність ймовірності: .е
2
1
)x(f
2
2
2
х
a
-
×
pa
=
Знайти дисперсію величини Х. 126. Знайти математичне сподівання суми незалежних випадкових величин 2
1
ХХ
+
, диференціальні функції розподілу яких відповідно дорівнюють ( )
2
2
х
1
е
2
1
)x(f
a--
×
p
=
,
( )
2
2
1х
2
е
2
1
)x(f
-a--
×
p
=
. 127. Знайти дисперсію суми незалежних випадкових величин 2
1
ХХ
+
, диференціальні функції розподілу яких відповідно дорівнюють: 2
2
2
х
1
е
2
1
)x(f
a
-
×
p
a
=
, 2
)2(2
2
х
2
е
2)2(
1
)x(f
+a
-
×
p+a
=
. 128. Неперервна випадкова величина Х має щільність розподілу ймовірностей: .е
2
1
)x(f
2
2
2
2
)1(х
s
÷
ø
ö
ç
è
æ
+a-
×
ps
=
Знайти математичне сподівання величини Х. 129. Неперервна випадкова величина Х має щільність ймовірності: .е
2
1
)x(f
2
2
2
2
)1(х
s
÷
ø
ö
ç
è
æ
+a-
×
ps
=
Знайти математичне сподівання величини Х. 130. Неперервна випадкова величина Х має щільність ймовірності: 2
)2(2
2
х
е
2)2(
1
)x(f
+a
-
×
p+a
=. Знайти дисперсію величини Х. Список рекомендованої літератури 1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.; Наука, 1987, 400с. 2. Гмурман В.Е. Введение в теорию вероятностей и математическую статистику. – М.: Высшая школа, 1977, 479с. 3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1975, 335 с. 4. Колосовский М.И. Краткое руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – Изд-во Саратовского ун-та, 164 с. 5. Теорія ймовірностей. Конспект лекцій і практичних занять: Навч. посібник /М.А.Мартиненко, Р.К.Клименко, І.В.Лебедєва. – К.: Видавництво Українського державного університету харчових технологій., 1999 – 244с.:іл. ЗМІСТ Вступ 3 Розділ 1. Тестові завдання 4 Розділ 2. Задачі 34 
Автор
V1to4ka2008
Документ
Категория
Наука
Просмотров
742
Размер файла
411 Кб
Теги
met_tv_test_2005
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа