close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Met TV Z 1 2006

код для вставкиСкачать
МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ МИКОЛАЇВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА ТА ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ЧАСТИНА 1 ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ Контрольні індивідуальні завдання і методичні рекомендації для самостійної роботи з використанням структурно-модульної системи навчання і рейтингової оцінки знань для студентів денної і заочної форм навчання спеціальностей 7.050106 - облік та аудит, 7.050201 – менеджмент організацій, 7.050206 - менеджмент зовнішньоекономічної діяльності МИКОЛАЇВ – 2006 2
Контрольні індивідуальні завдання і методичні рекомендації для само-
стійної роботи з використанням структурно-модульної системи навчання і рейтингової оцінки знань для студентів денної та заочної форм навчання спеціальностей 7.050106 - облік та аудит, 7.050201 - менеджмент організацій, 7.050206 - менеджмент зовнішньоекономічної діяльності Підготували: д.т.н., професор Шебанін В.С., к.т.н., доцент Веремієнко М.О., к.т.н., доцент Мірошниченко О.А., к.т.н., доцент Шебаніна О.В., к.т.н., доцент Богза В.Г., в.о. доцента Цепуріт О.В., ст. викладач Хилько І.І., ст. викладач Богданов С.І., ас. Домаскина М.А., ас. Шептилевський О.В., ас. Широков В.С., ас. Романчук Н.О. Друкується згідно з рішенням методичної ради Миколаївського державного аграрного університету, протокол № 4 від 20.12. 2006 р. Підписано до друку ___________ Наклад_________ Формат____________ Надруковано у видавничому відділі МДАУ. 254010 м. Миколаїв, вул. Паризької Комуни, 9 3
Вступ Розділ «Теорія ймовірностей» є складовою частиною курсу «Тео-
рія ймовірностей та математична статистика», що вивчається студента-
ми економічних спеціальностей 7.050106 - облік та аудит, 7.050201 - менеджмент організацій, 7.050206 - менеджмент зовнішньоекономічної діяльності . Методичні рекомендації складено у відповідності з робочою про-
грамою та модульно-рейтинговою структурою курсу. У зв’язку з цим вони містять теоретичний матеріал та практичні завдання, що допомо-
жуть студентам у вивченні наступних розділів курсу: Модуль 1. Випадкові події, основні поняття і теореми про ймовірності випадкових подій. Тема 1. Випадкова подія, її частота та ймовірність. Елементи комбіна-
торики. Тема 2. Теореми додавання та множення ймовірностей. Протилежні по-
дії. Тема 3. Повторення випробувань Модуль 2. Випадкові величини та їх числові характеристики. Тема 4. Види випадкових величин. Дискретні випадкові величини та їх закони розподілу. Тема 5. Числові характеристики дискретних випадкових величин Тема 6. Неперервні випадкові величини. Функція та щільність розподі-
лу ймовірностей. Числові характеристики неперервних випадкових ве-
личин. Тема 7. Рівномірний, показниковий і нормальний закони розподілу 4
Модуль 3. Основні закони розподілу неперервних випадкових вели-
чин. Дані методичні рекомендації спрямовані на допомогу студентам за-
очної форми навчання в самостійному вивченні матеріалу згідно вказа-
них модулів та містить список літератури, запитання до заліку та за-
вдання та правила виконання контрольної роботи. Розділ «Основні тео-
ретичні відомості» призначено для систематизації та закріплення знань після вивчення студентами вказаної літератури. Крім того в методичних рекомендаціях наведено приклади розв`язання деяких типових задач теорії ймовірностей. Порядок виконання контрольної роботи Студент виконує той варіант контрольної роботи, що збіга-
ється з двома останніми цифрами номера його залікової книжки. За-
вдання контрольних робіт для конкретного варіанта знаходяться на пере-
хресті рядка таблиці, що містить передостанню цифру номера залікової книжки та стовпчика, що містить останню цифру номера залікової книж-
ки. Наприклад, якщо номер залікової книжки студента 005534, то він ви-
конує задачі варіанта № 34. Завдання контрольної роботи цього варіанта містять задачі № 6, 18, 30, 32, 45, 56, 74, 90, 92. Контрольна робота має бути виконана в окремому зошиті та мати ти-
тульний аркуш, на якому наводяться необхідні відомості: навчальний шифр, приз віще, номер групи, назва факультету та назва курсу, що ви-
вчається. 5
Розв`язання задач слід розміщувати в порядку номерів, зберігаючи вказану в таблицях нумерацію. Перед виконанням завдання слід випи-
сати його умову. В тому разі, коли декілька задач мають спільне фор-
мулювання, необхідно переписати умову задачі, замінюючи загальні дані конкретними для свого варіанта. Виклад розв`язання задач пови-
нен бути детальним з відповідними посиланнями на питання теорії та наведенням формул, теорем, висновків, що використовувалися при розв`язанні задачі. Усі обчислення (в тому числі допоміжні) необхід-
но подавати повністю. У кінці роботи слід навести список літератури, якою користувався студент, а також поставити дату і особистий підпис. Виконану роботу студент повинен здати на рецензування в установлений термін. Роботи, в яких відсутні пояснення, не свого варіанту, а також офор-
млені без дотримання названих вимог, не перевіряються. Після рецензування студент повинен виправити всі вказані недоліки. Якщо роботу повернули на доопрацювання, то після виконання всіх вимог рецензента її слід подати на повторне рецензування, приславши при цьому попередньо виконану. Контрольну роботу слід виконувати самостійно. Якщо буде виявле-
но, що контрольна робота виконана несамостийно, то вона не буде за-
рахована, навіть якщо всі завдання виконані вірно. У період екзаменаційної сесії студент має подати прорецензовану та допущену до захисту контрольну роботу. За вимогою викладача студент повинен пояснити чи розв `язати повністю ту чи іншу задачу. 6
Завдання контрольної роботи Остання цифра номера залікової книжки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 1 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 13 14 15 16 17 18 19 20 11 12 24 25 26 27 28 29 30 21 22 23 35 36 37 38 39 40 31 32 33 34 46 47 48 49 50 41 42 43 44 45 57 58 59 60 51 52 53 54 55 56 68 69 70 61 62 63 64 65 66 67 89 90 81 82 83 84 85 86 87 88 2 100 91 92 93 94 95 96 97 98 99 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 15 16 17 18 19 20 11 12 13 14 27 28 29 30 21 22 23 24 25 26 39 40 31 32 33 34 35 36 37 38 42 43 44 45 46 47 48 49 50 41 53 54 55 56 57 58 59 60 51 52 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 87 88 89 90 81 82 83 84 85 86 3 99 100 91 92 93 94 95 96 97 98 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 17 18 19 20 11 12 13 14 15 16 30 21 22 23 24 25 26 27 28 29 33 34 35 36 37 38 39 40 31 32 43 44 45 46 47 48 49 50 41 42 59 60 51 52 53 54 55 56 57 58 78 79 80 71 72 73 74 75 76 77 85 86 87 88 89 90 81 82 83 84 4 98 99 100 91 92 93 94 95 96 97 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 19 20 11 12 13 14 15 16 17 18 23 24 25 26 27 28 29 30 21 22 37 38 39 40 31 32 33 34 35 36 48 49 50 41 42 43 44 45 46 47 55 56 57 58 59 60 51 52 53 54 62 63 64 65 66 67 68 69 70 61 83 84 85 86 87 88 89 90 81 82 Передостання
цифра
залікової
книжки
5 97 98 99 100 91 92 93 94 95 96 7
Остання цифра номера залікової книжки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 26 27 28 29 30 21 22 23 24 25 32 33 34 35 36 37 38 39 40 31 45 46 47 48 49 50 41 42 43 44 58 59 60 51 52 53 54 55 56 57 74 75 76 77 78 79 80 71 72 73 84 85 86 87 88 89 90 81 82 83 6 96 97 98 99 100 91 92 93 94 95 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 20 11 12 13 14 15 16 17 18 19 22 23 24 25 26 27 28 29 30 21 33 34 35 36 37 38 39 40 31 32 47 48 49 50 41 42 43 44 45 46 54 55 56 57 58 59 60 51 52 53 65 66 67 68 69 70 61 62 63 64 86 87 88 89 90 81 82 83 84 85 7 92 93 94 95 96 97 98 99 100 91 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 16 17 18 19 20 11 12 13 14 15 29 30 21 22 23 24 25 26 27 28 34 35 36 37 38 39 40 31 32 33 50 41 42 43 44 45 46 47 48 49 52 53 54 55 56 57 58 59 60 51 75 76 77 78 79 80 71 72 73 74 88 89 90 81 82 83 84 85 86 87 8 93 94 95 96 97 98 99 100 91 92 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 14 15 16 17 18 19 20 11 12 13 28 29 30 21 22 23 24 25 26 27 40 31 32 33 34 35 36 37 38 39 44 45 46 47 48 49 50 41 42 43 56 57 58 59 60 51 52 53 54 55 73 74 75 76 77 78 79 80 71 72 82 83 84 85 86 87 88 89 90 81 9 95 96 97 98 99 100 91 92 93 94 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11 25 26 27 28 29 30 21 22 23 24 38 39 40 31 32 33 34 35 36 37 49 50 41 42 43 44 45 46 47 48 60 51 52 53 54 55 56 57 58 59 63 64 65 66 67 68 69 70 61 62 90 81 82 83 84 85 86 87 88 89 0 94 95 96 97 98 99 100 91 92 93 8
Запитання до заліку
. 1. Предмет теорії ймовірностей. Поняття події. Класифікація подій. 2. Відносна частота. Стійкість відносної частоти. Статистична ймові-
рність. 3. Деякі відомості із комбінаторики. Комбінації, розміщення, переста-
влення. 4. Класичне визначення ймовірності. Його обмеженість. Геометрична ймовірність. 5. Поняття про сумісні та несумісні події. Сума подій. Теорема дода-
вання ймовірністей несумісних подій. 6. Повна група подій. Ймовірність суми повної групи подій. 7. Протилежні події. Ймовірність появи протилежної події. Вірогідні та неможливі події, їх ймовірності. 8. Незалежні події. Теорема множення ймовірностей незалежних по-
дій. Ймовірність появи хоча би однієї незалежної події. 9. Залежні події. Умовні ймовірності. Теорема додавання ймовірнос-
тей сумісних подій. 10. Формула повної ймовірності. Ймовірність гіпотез. Формули Байєса. 11. Повторні незалежні випробування. Формула Бернуллі. 12. Дискретні та неперервні випадкові величини. Закон розподілу ви-
падкової величини. Біномний закон розподілу. 13. Закон розподілу Пуассона. Ймовірність відхилення відносної час-
тоти від сталої ймовірності в незалежних випробуваннях. 14. Знаходження найімовірнішого числа появи події в незалежних ви-
пробуваннях. 15. Локальна теорема Лапласа (без доведення). 9
16. Інтегральна теорема Лапласа (без доведення). 17. Числові характеристики дискретних випадкових величин (матема-
тичне сподівання, середнє квадратичне відхилення, дисперсія). 18. Числові характеристики неперервних випадкових величин (матема-
тичне сподівання, середнє квадратичне відхилення, дисперсія). 19. Властивості математичного сподівання. 20. Властивості дисперсії. Поняття про моменти розподілу. 21. Математичне сподівання випадкової величини розподіленої за бі-
номним законом. 22. Дисперсія і середнє квадратичне відхилення випадкової величини розподіленої по біномному закону. 23. Математичне сподівання випадкової величини розподіленої за за-
коном Пуассона. 24. Дисперсія і середнє квадратичне відхилення випадкової величини розподіленої по закону Пуассона. 25. Поняття інтегральної функції розподілу. Властивості інтегральної функції, її графік. 26. Поняття диференціальної функції розподілу ймовірностей непере-
рвної випадкової величини та її властивості. Ймовірність попадання неперервної випадкової величини в заданий інтервал. 27. Знаходження інтегральної функції розподілу за відомою диферен-
ціальною функцією. 28. Закон великих чисел. Нерівність і теорема Чебишева. Значення тео-
реми Чебишева для практики. 29. Закон великих чисел. Теорема Бернуллі. 30. Нормальний закон розподілу випадкової величини. 10
31. Властивості функції щільності ймовірності нормального закону розподілу. 32. Ймовірність попадання в заданий інтервал нормальної випадкової величини. 33. Правило трьох сигм. 34. Математичне сподівання диференціальної функції нормального розподілу. 35. Дисперсія диференціальної функції нормального розподілу. 36. Поняття про теорему Ляпунова. Формулювання центральної грани-
чної теореми. 37. Оцінка відхилення теоретичного розподілу від нормального. Аси-
метрія і ексцес. 38. Показниковий розподіл. Числові характеристики. Основні теоретичні відомості Модуль 1. Випадкові події, основні поняття і теореми про ймовірно-
сті випадкових подій. Тема 1. Випадкова подія, її частота та ймовірність. Елементи комбіна-
торики. Класичне означення ймовірності. Ймовірністю Р(А) події А називають відношення числа m елементарних результатів випробування, сприят-
ливих появі цієї події до числа n усіх єдиноможливих та рівноможливих елементарних результатів випробування. n
m
)A(P = (1) Відносна частота події - це відношення 11
*
*
n
m
)A(P = , де *
m
- число випробувань, в яких відбулася подія А, *
n
- загальна кіль-
кість випробувань. Статистичне означення ймовірності. Число, навколо якого групують-
ся відносні частоти події А при великому числі експериментів назива-
ється ймовірністю події А і позначається Р(А). Переставленнями з n
елементів називаються сукупності n
елемен-
тів , що відрізняються порядком розташування. Кількість можливих пе-
реставлень з n
елементів знаходиться за формулою !
n
P
n
=
(2) Розміщеннями з n
елементів по m
елементів називаються сукупно-
сті, складені з m
елементів, вибраних з n
елементів, які відрізняються порядком розташування та складом елементів. Кількість можливих розміщень знаходиться за формулою !
m
!n
A
m
n
= (3) Комбінаціями з n
елементів по m
елементів називаються сукупнос-
ті, складені з m
елементів, вибраних з n
елементів, що відрізняються тільки складом елементів, порядок їх розташування не має значення. Кількість можливих комбінацій знаходиться за формулою )!mn(!m
!n
C
m
n
-
= (4) Питання для самоперевірки 1. Які події називаються вірогідними, неможливими, випадковими? Навести приклади вірогідних, неможливих та випадкових подій. 12
2. Які події (результати випробування) називаються елементарними? 3. Сформулюйте класичне означення ймовірності. 4. Що таке відносна частота появи події? В чому полягає властивість стійкості відносної частоти? 5. Сформулюйте статистичне означення ймовірності. В чому полягає основна відмінність між статистичною та класичною ймовірнос-
тями? Тема 2. Теореми додавання та множення ймовірностей. Протилежні події. Події називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої в даному випробуванні. Якщо події можуть настати одно-
часно в одному випробуванні, то вони називаються сумісними. Дві події називаються незалежними, якщо ймовірність появи однієї з них не залежить від того настала чи не настала інша подія, в протилеж-
ному разі події називаються залежними. Декілька подій називаються попарно незалежними, якщо незалежними є кожні дві з них. Сумою )
B
A
(
B
A
È
+
подій A
та B
називається подія, що полягає в появі події A
або події B
, або обох цих подій разом. Добутком )
B
A
(
B
A
Ç
×
подій A
та B
називається подія, яка полягає в появі обох цих подій разом. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій. )
B
(
P
)
A
(
P
)
B
A
(
P
+
=
+
(5) Для декількох несумісних подій виконується рівність 13
)
A
(
P
...
)
A
(
P
)
A
(
P
)
A
...
A
A
(
P
n
n
+
+
+
=
+
+
+
2
1
2
1
(6) Теорема множення ймовірностей незалежних подій. Ймовірність одно-
часної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій. )
B
(
P
)
A
(
P
)
B
A
(
P
×
=
×
(7) Для декількох попарно незалежних подій виконується рівність )
A
(
P
...
)
A
(
P
)
A
(
P
)
A
...
A
A
(
P
n
n
×
×
×
=
×
×
×
2
1
2
1
(8) Теорема множення ймовірностей залежних подій. Ймовірність одноча-
сної появи двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на ймовірність другої події, обчислену за умовою, що перша подія вже відбулася. )
A
/
B
(
P
)
A
(
P
)
B
A
(
P
×
=
×
(9) Теорема додавання ймовірностей сумісних подій. Ймовірність появи хоча би однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи. )
B
A
(
P
)
B
(
P
)
A
(
P
)
B
A
(
P
×
-
+
=
+
(10) Якщо в результаті випробування може настати лише одна з несуміс-
них подій n
A
,...,
A
,
A
2
1
і не може настати будь-яка інша елементарна по-
дія, то події n
A
,...,
A
,
A
2
1
утворюють повну групу подій. Протилежними називаються дві єдиноможливі події, що утворюють повну групу. Подія, протилежна події A
, позначається A
. Теорема. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці, тобто 14
1
=+ )A(P)A(P (11) , або 1
=
+
q
p
(12) , де p
- ймовірність події, q
- ймовірність протилежної події. Якщо відомо, що подія А може настати разом з однією з подій n
H
,...,
H
,
H
2
1
, що утворюють повну групу несумісних подій, то подію А можна надати як суму подій n
AH
...
AH
AH
A
+
+
+
=
2
1
. Ймовірність настання події А в цьому випадку обчислюється за форму-
лою повної ймовірності )H/A(P)H(P...)H/A(P)H(P)H/A(P)H(P)A(P
nn
+
+
+
=
2211
(13) Умовна ймовірність події i
H
за припущенням, що подія A
вже відбу-
лася, обчислюється за формулою Бейєса )A(P
)H/A(P)H(P
)A/H(P
ii
i
= (14) , де Р(А) - повна ймовірність події А. Питання для самоперевірки 1. Які події називаються сумісними, несумісними? Навести приклади сумісних та несумісних подій. 2. Яка подія називається сумою двох подій, добутком двох подій? 3. Сформулюйте терему додавання ймовірностей несумісних подій. 4. Сформулюйте терему додавання ймовірностей сумісних подій. 5. Які події називаються залежними, незалежними? Навести прикла-
ди залежних та незалежних подій. 6. Сформулюйте теорему множення ймовірностей незалежних подій. 7. Що називається умовною ймовірністю події? 15
8. Сформулюйте теорему множення ймовірностей залежних подій. 9. Наведіть формулу повної ймовірності, формулу Бейєса. 10. Які події називаються протилежними? Чому дорівнює сума ймовірностей протилежних подій? Тема 3. Повторення випробувань Якщо виконується декілька випробувань, в кожному з яких ймовір-
ність появи події А не залежить від результатів інших випробувань, то такі випробування називаються незалежними відносно події А. Формула Бернуллі. Якщо проводиться n
незалежних випробувань, в кожному з яких ймовірність появи події А дорівнює p
, то ймовірність того, що подія А настане рівно m
разів в n
випробуваннях дорівнює mnmm
n
n
qpC)m(P
-
= (15) , де p
q
-
=
1
Якщо число n
досить велике, то використання формули Бернуллі стає практично неможливим. У такому разі застосовується асимптотич-
на формула, що відображає локальну теорему Муавра-Лапласа. Ймовірність того, що в n
незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює p
, подія А настане рівно m
ра-
зів, наближено дорівнює )x(
npq
)m(P
n
j
1
» (16) , де npq
npm
x
-
= (17) , 16
2
2
1
x
e
npq
)x(
-
=
j
(18) )
x
(
j
- функція Гаусса, для знаходження значень якої за різних зна-
чень аргументу складені спеціальні таблиці. Оскільки )
x
(
j
- парна фу-
нкція, )
x
(
-
j
=
)
x
(
j
, то для всіх від`ємних значень аргументу в таблиці беруться відповідні додатні значення. Якщо 5
>
x
, то )
x
(
j
=0 Застосування асимптотичної формули (16) у тих випадках, коли ймовірність p
є близькою до нуля, призводить до значних відхилень від точного значення ймовірності )
m
(
P
n
. Тому при досить малих зна-
ченнях p
використовується асимптотична формула Пуассона. Якщо ймовірність появи події А в кожному з n
незалежних випро-
бувань мала, а число випробувань n
досить велике, то ймовірність то-
го, що подія А настане рівно m
разів, обчислюється наближено за фо-
рмулою l
l
-
×» e
!
m
)m(P
m
n
(19), де p
n
×
=
l
Формулу (19) використовують у тих випадках, коли 10
£
×
=
p
n
l
Формули Бернуллі, Пуассона, асимптотична формула, що відобра-
жає локальну теорему Муавра-Лапласа, дозволяють знайти ймовірність того, що подія А настане рівно m
разів в n
незалежних випробуван-
нях. На практиці часто потрібно буває визначити ймовірність того, що подія А настане не менш як 1
m
і не більше ніж 2
m
разів в n
незалежних випробуваннях, тобто число m
визначається подвійною нерівністю 2
1
m
m
m
£
£
. В таких випадках застосовується формула з інтегральної теореми Лапласа. 17
Ймовірність того, що в n
незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює p
, подія А настане не менш як 1
m
і не більше ніж 2
m
разів наближено дорівнює )
x
(
)
x
(
)
m
;
m
(
P
n
1
2
2
1
f
f
-
=
(20) , де ò
-
=
x
z
dze)x(
0
2
2
2
1
p
f
(21) npq
npm
x
-
=
1
1
, npq
npm
x
-
=
2
2
(22) )
x
(
f
- функція Лапласа, значення якої для додатних значень ар-
гументу x
)
x
(
5
0
£
£
наведені в спеціальній таблиці. Для від`ємних значень аргументу також користуються цією таблицею, враховуючи, що функція Лапласа є непарною, тобто )
x
(
)
x
(
-
-
=
f
f
. Якщо значен-
ня 5
>
x
, то 5
0
,
)
x
(
=
f
Запитання для самоперевірки 1. Які випробування називаються незалежними. 2. Навести формулу Бернуллі. 3. У яких випадках використовується локальна теорема Муавра-
Лапласа? Навести формули. 4. У яких випадках використовується формула Пуассона? Навести формулу Пуассона. 5. Сформулюйте інтегральну теорему Лапласа. 18
Модуль 2. Випадкові величини та їх числові характеристики. Тема 4. Види випадкових величин. Дискретні випадкові величини та їх закони розподілу Одним з основних понять теорії ймовірностей є поняття випадкової величини, з яким пов`язане уявлення про стохастичний експеримент, що полягає у вимірюванні певної числової величини Х. Випадковою величиною називається величина, що в результаті ви-
пробування може набути лише одного можливого значення, зазделе-
гідь невідомого і зумовленого випадковими причинами. Випадкові величини позначаються великими літерами ...,
Z
,
Y
,
X
а їх можливі значення n,i,z,y,x
i
i
i
1=K. Розрізняють два види випадкових величин: дискретні та неперервні. Дискретною називають випадкову величину, можливі значення якої є окремі ізольовані числа, які ця величина набуває з певними ймовірно-
стями. Кількість можливих значень може бути скінченою або нескін-
ченною. Неперервною називають випадкову величину, що може набувати будь-якого значення з деякого скінченого або нескінченного інтервалу. Законом розподілу дискретної випадкової величини називається від-
повідність між її можливими значеннями та їх ймовірностями. Закон розподілу дискретної випадкової величини можна задати: 1) таблицею, 2) графічно, 3) аналітично. Табличний спосіб. Таблиця розподілу ймовірностей має вигляд X
1
x
2
x
K
n
x
P
1
p
2
p
K
n
p
19
де n,i),xX(Pp
i
i
1===. У першому рядку стоять всі можливі значення дискретної випадко-
вої величини X
, а в другому - відповідні ймовірності цих значень. Враховуючи, що події 1
xX =, 2
xX =,…
n
xX = утворюють повну групу, å
=
=
n
i
i
p
1
1 (1). За допомогою формули (1) контролюють виконання розрахунків ймо-
вірностей у таблиці. Графічний спосіб. Закон розподілу дискретної випадкової величини X
можна зобразити графічно у вигляді многокутника розподілу. Для цього на осі абсцис прямокутної системи координат відкладаємо мо-
жливі значення дискретної випадкової величини, а на осі ординат - відповідні ймовірності цих значень. При цьому будуються точки з ко-
ординатами )
p
;
x
(
1
1
, )
p
;
x
(
2
2
,…,
)
p
;
x
(
n
n
та з`єднуються відрізками прямих. У результаті дістанемо геометричну фігуру, що називається многокут-
ником розподілу. Аналітичний спосіб. При аналітичному способі задання закону розподілу дискретної випадкової величини задається функція n,i),x(f)xX(Pp
i
i
i
1==== (2) Прикладом аналітичного способу задання закону розподілу є біномний розподіл. Біномним називають закон розподілу дискретної випадкової величи-
ни X
- числа появ події в n
незалежних випробуваннях, в кожному з 20
яких ймовірність появи події дорівнює p
. Ймовірність того, що X
при-
йме значення m
(
m
- число появ події) обчислюється за формулою Бе-
рнуллі mnmm
n
qpC)mX(P
-
== (3). Дискретна випадкова величина
X
має розподіл Пуассона з парамет-
ром l
(
p
n
×
=
l
), якщо вона набуває значення 0
1
=
x
, 1
2
=
x
, …, n
x
n
=
+
1
з ймовірностями l
l
-
×»= e
!
m
)mX(P
m
(4) Запитання для самоперевірки 1. Яка величина називається випадковою; дискретною випадковою; неперервною випадковою? 2. Що таке закон розподілу дискретної випадкової величини? На-
звіть способи задання закону розподілу. Наведіть приклади. 3. У чому полягає біномний закон розподілу дискретної випадкової величини? Наведіть приклад. 4. У чому полягає закон розподілу Пуассона дискретної випадкової величини? Наведіть приклад. Тема 5. Числові характеристики дискретних випадкових величин До числових характеристик випадкових величин належать мате-
матичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення. Математичним сподіванням дискретної випадкової величини X
на-
зивається число, що дорівнює сумі добутків усіх її можливих значень на відповідні ймовірності та позначається )
X
(
M
21
å
=
=
n
1i
ii
pxXM )( (5). Дисперсією дискретної випадкової величини X
називається число, що дорівнює математичному сподіванню квадрата відхилення X
від її математичного сподівання і позначається )
X
(
D
. )))X(MX((M)X(D
2
-= (6). Дисперсію зручно обчислювати за формулою )()()( XMXMXD
22
-= (7) Середнім квадратичним відхиленням називають корінь квадратний з дисперсії. )X(D)X( =
s
(8) Питання для самоперевірки 1. Що таке математичне сподівання дискретної випадкової величи-
ни? 2. Наведіть та доведіть основні властивості математичного сподіван-
ня. 3. Обчисліть математичне сподівання дискретної випадкової величи-
ни, розподіленої за біномним законом. 4. Обчисліть математичне сподівання дискретної випадкової величи-
ни, розподіленої за законом Пуассона. 5. Що таке дисперсія випадкової величини? 6. Наведіть формули для обчислення дисперсії дискретної випадко-
вої величини. 22
7. Що таке середнє квадратичне відхилення? Тема 6. Неперервні випадкові величини. Функція та щільність роз-
поділу ймовірностей. Числові характеристики неперервних випадко-
вих величин Інтегральною функцією )
x
(
F
розподілу або функцією розподілу ймовірностей випадкової величини називається ймовірність того, що випадкова величина X
у результаті випробування набуде значення, меншого за значення x
, де x
- довільне дійсне число. )
x
X
(
P
)
x
(
F
<
=
(9) Диференціальною функцією розподілу )
x
(
f
або щільністю розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини називається перша похідна від її інтегральної функції )
x
(
F
, тобто )
x
(
'
F
)
x
(
f
=
(10). Теорема. Ймовірність того, що неперервна випадкова величина на-
буде значення з інтервалу )
b
,
a
(
дорівнює визначеному інтегралу від щільності розподілу в межах від a
до b
: ò
=<<
b
a
dx)x(f)bXa(P (11), або використовуючи функцію розподілу )
a
(
F
)
b
(
F
)
b
X
a
(
P
-
=
<
<
(12) 23
Наслідок. Функція )
x
(
F
розподілу ймовірностей неперервної випа-
дкової величини виражається через щільність розподілу
)
x
(
f
за до-
помогою рівності ò
¥
-
=
x
dt)t(f)X(F (13) Для неперервних випадкових величин, як і для дискретних, вико-
ристовуються визначені раніше числові характеристики, але обчис-
люються вони за іншими формулами. Теорема. Якщо неперервна випадкова величина, що набуває можли-
вих значень з відрізка [
]
b
,
a
, має щільність )
x
(
f
, то її математичне сподівання знаходиться за формулою ò
=
b
a
dx)x(xf)X(M (14) Зауваження. Якщо можливі значення X
належать R
, то ò
¥
¥
-
= dx)x(xf)X(M (15) Дисперсія неперервної випадкової величини визначається таким чи-
ном, як і у випадку дискретної величини, а саме )))X(MX((M)X(D
2
-= (16) Теорема. Якщо неперервна випадкова величина набуває можливих значень з відрізку [
]
b
,
a
, то ò
-=
b
a
dx)x(f))X(Mx()X(D
2
(17) Зауваження. Якщо можливі значення X
належать R
, то 24
ò
¥
¥
-
-= dx)x(f))X(Mx()X(D
2
(18) Дисперсію неперервної випадкової величини можна також знайти за формулою ( )
XMdx)x(fx)X(D
b
a
22
-=
ò
(19), або ( )
XMdx)x(fx)X(D
22
-=
ò
¥
¥
-
(20) Середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини визначається та обчислюється за формулою: )X(D)X( =
s
(21) Запитання для самоперевірки 1. Яка функція називається інтегральною функцією розподілу ймові-
рностей випадкової величини? 2. Назвіть і доведіть основні властивості функції розподілу випадко-
вої величини. 3. Яка функція називається диференціальною функцією розподілу (щільністю розподілу)? 4. Назвіть основні властивості щільності розподілу 5. Як обчислюється математичне сподівання неперервної випадкової величини? 6. Як обчислюється дисперсія неперервної випадкової величини? 7. Як знайти ймовірність попадання неперервної випадкової величи-
ни в заданий інтервал? 25
Модуль 3. Основні закони розподілу неперервних випадкових величин. Тема 7. Рівномірний, показниковий і нормальний закони розподілу Основними законами розподілу неперервних випадкових величин є рівномірний, показниковий і нормальний. Неперервна випадкова величина X
називається рівномірно розпо-
діленою на відрізку [
]
b
,
a
, якщо щільність розподілу її стала на цьому відрізку і має вигляд ï
î
ï
í
ì
>
£<
-
£
=
bxпри
bxaпри
ab
axпри
)x(f
0
1
0
Функція розподілу має вигляд ï
î
ï
í
ì
>
£<
-
-
£
=
bxпри
bxaпри
ab
ax
axпри
)x(F
1
0
Теорема. Якщо неперервна випадкова величина X
рівномірно роз-
поділена на відрізку [
]
b
,
a
, то її числовими характеристиками є: 2
ba
)X(M
+
= (
)
12
2
ab
)X(D
-
= (
)
6
3ab
)X(
-
=
s
Неперервна випадкова величина X
називається розподіленою за показниковим законом з параметром 0
>
l
, якщо її щільність розпо-
ділу ймовірності має вигляд î
í
ì
³
<
=
-
0
00
xприe
xпри
)x(f
x
l
l
Функція розподілу має вигляд 26
î
í
ì
³-
<
=
-
01
00
xприe
xпри
)x(F
x
l
Теорема. Якщо неперервна випадкова величина X
розподілена за показниковим законом, то її числовими характеристиками є: l
1
=)X(M 2
1
l
=)X(D l
s
1
=)X( Неперервна випадкова величина X
називається розподіленою норма-
льно з параметрами s
,
a
, якщо її щільність розподілу ймовірності має вигляд ( )
2
2
2
2
1
s
ps
ax
e)x(f
-
-
= , (
)
+¥
¥
-
Î
;
x
, R
a
Î
, 0
>
s
, а її інтеграл ( )
dze)x(F
az
x
2
2
2
2
1
s
ps
-
-
¥
-
ò
=
називається нормальною функцією розподілу. Теорема. Якщо неперервна випадкова величина X
розподілена нор-
мально, то її математичне сподівання дорівнює параметру a
, а сере-
днє квадратичне відхилення дорівнює s
. Ймовірність того, що X
прийме значення, яке належить інтервалу )
;
(
b
a
, дорівнює ÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=<<
s
a
f
s
b
fba
aa
XP )(
, де dze)x(
z
x
2
2
2
1
-
¥
-
ò
=
p
f
- функція Лапласа, значення якої наведено в таблиці. 27
Ймовірність того, що абсолютна величина відхилення випадкової ве-
личини від її математичного сподівання менше додатного числа e
, дорівнює ( )
÷
ø
ö
ç
è
æ
=<-
s
e
fe
2aXP Питання для самоперевірки 1. Що таке рівномірний закон розподілу неперервної випадкової ве-
личини? Який вигляд мають функції щільності та розподілу; їх графіки? 2. Обчислити числові характеристики рівномірно розподіленої випа-
дкової величини. 3. Що таке показниковий закон розподілу неперервної випадкової величини? Який вигляд мають функції щільності та розподілу? 4. Обчислити числові характеристики неперервної випадкової вели-
чини, розподіленої за показниковим законом. 5. Що називається нормальним законом розподілу неперервної випа-
дкової величини? 6. Який вигляд має графік нормального розподілу? 7. Сформулюйте правило трьох сигм. Задачі для контрольних робіт 1. Студент знає 42 з 50 питань програми. Кожний екзаменаційний білет складається з 3 питань Знайти ймовірності таких подій: а) студент знає відповіді на всі три питання білета , б) студент знає від-
повідь лише на два запитання білета, в) студент знає відповідь лише на 28
одне запитання білета, г) студент не знає відповіді на жодне запитання білета, д) студент знає відповідь хоча б на одне запитання білета. 2. У двох урнах є кулі білого та чорного кольору. В першій урні міс-
тяться 10 куль, з них - 6 білих, у другій – 8 куль, з них - 3 білих. З кож-
ної урни навмання взяли по 2 кулі. Знайти ймовірності того, що серед вийнятих чотирьох куль: а) усі білі, б) одна куля біла, в) дві кулі білі, г) немає білих куль, д) є хо-
ча б одна біла куля. 3. Для сигналізації про аварію встановлено три прилади, які працюють незалежно один від одного. Ймовірність того , що при аварії подасть сигнал першій прилад, дорівнює 0,8, другий - 0,85, третій - 0,9. Знайти ймовірності того що при аварії : а) подасть сигнал тільки один при-
лад; б) подадуть сигнали тільки два прилади; в) подадуть сигнал всі три прилади; г) подасть сигнал хоча б один прилад; д) не поступить сигнал про аварію. 4. Три спортсмени в однакових та незалежних умовах виконали по од-
ному пострілу по одній мішені. Ймовірність вцілити в мішень для першого спортсмена дорівнює 0,75, для другого 0,9, для третього 0,85. Знайти ймовірності того, що: а) лише один спортсмен вцілить у мішень, б) лише два спортсмени вцілять у мішень, в) всі три спортсмена вці-
лять у мішень, г) хоча б один спортсмен вцілить у мішень, д) жоден зі спортсменів не вцілить у мішень. 5-10. У задачах 5-10 надано ймовірності появи кожної з трьох незалеж-
них подій 321
,,AAA
при проведенні випробування, що відповідно дорі-
внюють 321
,,ppp
. Знайти ймовірності наступних подій: а) здійсниться лише одна з трьох подій 321
,,AAA
; б) здійсняться лише дві події з трьох 29
321
,,AAA
; в) здійсниться хоча б одна з трьох подій 321
,,AAA
; г) здійс-
няться всі три події разом; г) жодна з трьох подій 321
,,AAA
не здійс-
ниться . 5 1
p = 0,7
2
p = 0,8 3
p = 0,9 6 1
p = 0,7 2
p = 0,8 3
p = 0,95
7 1
p = 0,7 2
p = 0,6 3
p = 0,75
8 1
p = 0,8 2
p = 0,75
3
p = 0,9 9 1
p = 0,6 2
p = 0,75
3
p = 0,9 10
1
p = 0,6 2
p = 0,85
3
p = 0,8 11. У трьох ящиках є по 20 деталей у кожному. Кількість стандартних деталей у першому, другому та третьому ящиках відповідно дорівнює 20, 15, 10. З навмання вибраного ящика навмання взята деталь, яка ви-
явилась стандартною. Знайти ймовірність того, що деталь була взята з третього ящику. 12. Кількість вантажних автомобілів, легкових автомобілів та автобусів, що проїжджають по шоссе, на якому стоїть бензоколонка, відносяться як 4:3:2. Ймовірність того, що буде заправлятися вантажний, легковий автомобіль та автобус дорівнюють 0,2; 0,4 та 0,3. На бензоколонку для заправки заїхав автотранспорт. Що ймовірніше : заїхав грузовий авто-
мобіль, легковий автомобіль чи автобус? 13. З 18 спортсменів 5 влучають в мішень з ймовірністю 0,8, 7 - з ймо-
вірністю 0,7, 4 - з ймовірністю 0,6 та 2 - з ймовірністю 0,5. Навмання вибраний спортсмен зробив постріл, але в мішень не влучив. До якої з груп ймовірніше всього належить цей спортсмен? 30
14. Ймовірність того, що прилади деякого виробництва відповідають стандарту, дорівнює 0,96. Запропонована спрощена система перевірки на стандартність, що дає позитивний результат з ймовірністю 0,98 для приладів, що відповідають стандарту, а для приладів, що не відповіда-
ють стандарту з ймовірністю 0,05. Знайти ймовірність того, що прилад, визнаний стандартним при перевірці за спрощеною системою, дійсно відповідає стандарту. 15. Для участі в сільських відбіркових змаганнях виділено з першої бригади - 4, з другої – 6, з третьої - 5 працівників. Ймовірності того, що працівник першої, другої, третьої бригади потрапить до збірної коман-
ди колгоспу, відповідно дорівнюють 0,9, 0,7 та 0,8. Навмання відібра-
ний працівник в результаті змагань потрапив до збірної колгоспу. До якої з бригад ймовірніше за все належав цей працівник? 16. Про відхилення від нормального режиму роботи станка-автомата подає сигнал прилад С-1 з ймовірністю 0,8, а прилад С-2 подає сигнал з ймовірністю 0,95. Ймовірність того, що на станку-автоматі встановле-
но прилад С-1 або С-2 відповідно дорівнюють 0,6 та 0,4. Одержано сиг-
нал про відхилення від нормального режиму роботи станка-автомата. Що ймовірніше : станок-автомат обладнано приладом С-1 чи С-2? 17. У двох ящиках упаковано радіолампи. У першому ящику є 12 ламп, з них одна нестандартна. У другому ящику 10 ламп, з них одна нестан-
дартна. З першого ящика взяли навмання деталь, яку переклали в дру-
гий. Знайти ймовірність того, що навмання взята лампа з другого ящика нестандартна. 18. Телевізійне ательє має 4 кінескопи. Ймовірність того, що кінескоп витримає гарантійний термін роботи, відповідно дорівнює 0,8, 0,85, 0,9, 31
0,95. Знайти ймовірність того, що навмання взятий кінескоп витримає гарантійний термін роботи. 19. У першому ящику є 20 деталей, з яких 15 стандартних, в другому – 30 деталей, з них 24 стандартних. Знайти ймовірність того, що навман-
ня взята деталь з навмання вибраного ящика стандартна. 20. Складальник одержав 3 коробки деталей, виготовлених заводом №1, та 2 коробки деталей, виготовлених заводом №2. Ймовірність того, що деталь заводу №1 стандартна дорівнює 0,8, заводу №2 – 0,9. Складаль-
ник навмання дістав деталь з навмання взятої коробки. Знайти ймовір-
ність того, що взята деталь стандартна. 21.Схожість насіння моркви 80%. Знайти ймовірність того, що з 10 по-
сіяних насінин проросте: а) менше чотирьох, б) п’ять , в) не менше п’яти. 22. У деякому ставку коропів 80%. Знайти ймовірність того, що з 7 ви-
ловлених в цьому ставку рибин коропів буде: а) менше п'яти, б) шість, в) не менше шести. 23. Схожість насіння кукурудзи 70%. Знайти ймовірність того, що з 9 посіяних зернин проросте а) менше трьох, б) чотири, в) не менше чоти-
рьох. 24. Схожість зерна пшениці 90%. Знайти ймовірність того, що з 10 по-
сіяних зернин проросте а) менше п`яти, б) шість, в) не менше шести. 25. Приймаючи ймовірності народження хлопчика та дівчинки рівними, знайти ймовірність того, що серед 7 новонароджених буде: а) менше трьох хлопчиків, б) чотири хлопчики, в) не менше чотирьох хлопчиків. 26. Схожість зерна кукурудзи 80%. Знайти ймовірність того, що з 8 по-
сіяних зерен проросте а) менше трьох, б) чотири, в) не менше чотирьох. 32
27. Схожість насіння сорго 90%. Знайти ймовірність того, що з 9 посія-
них зернин проросте а)менше чотирьох, б)п'ять, в) не більше п'яти. 28 У бавовні число довгих волокон складає 80%. Знайти ймовірність того, що з 7 навмання взятих волокон буде довгих : а) менше трьох, б) три, в) не менше трьох. 29. Схожість насіння цукрового буряку 70%. Знайти ймовірність того, що з 8 посіяних насінин проросте: а) менше трьох, б) чотири, в) не ме-
нше чотирьох . 30. Схожість зерна деякої рослини складає 96 %. Знайти ймовірність того, що з 6 посіяних зерен проросте: а) менше трьох, б) чотири, в) не менше чотирьох. 31. Ймовірність виживання бактерії після радіоактивного опромінення дорівнює 0,004. Знайти ймовірність того, що після опромінення з 500 бактерій залишиться а) рівно дві, б) менше двох, в) більше двох, г) хоча б одна бактерія. 32. Книга видана тиражем 50000 примірників. Ймовірність того, що в книжці є дефект брошуровки дорівнює 0,0001.Знайти ймовірність того, що тираж має неправильно зброшурованих книг а) рівно три, б) менше трьох, в) більше трьох, г) хоча б одна. 33. Пристрій складається з 1000 елементів, які працюють незалежно один від одного. Ймовірність відмовлення будь-якого елемента протя-
гом години дорівнює 0,003. Знайти ймовірність того, що протягом го-
дини відмовлять: а) рівно п’ять елементів, б) менше п’яти, в) більше п’яти, г) хоча б один елемент. 33
34. Ймовірність появи бракованої деталі дорівнює 0,008. Знайти ймові-
рність того, що серед 500 випадково відібраних деталей бракованих бу-
де: а) рівно дві, б) менше двох в) більше двох г) хоча б одна. 35. Ймовірність народження теляти з будь-яким захворюванням дорів-
нює 0,02. Знайти ймовірність того, що серед 300 новонароджених телят з якимось захворюванням буде: а) рівно чотири, б) менше чотирьох, в) більше чотирьох, г) хоча б одне теля. 36. Завод відправив на базу 1000 виробів. Ймовірність пошкодження виробу під час перевезення дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що на базу буде поставлено пошкоджених виробів: а) рівно п’ять , б) менше п’яти, в) більше п’яти. г) хоча б один. 37. Ймовірність того, що на кожній з 500 сторінок підручника є друкар-
ська помилка дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що навмання взята сторінка має друкарських помилок: а) рівно три, б) менше трьох, в) більше трьох, г) хоча б одну друкарську помилку. 38. Ймовірність пошкодження довгоносиком коренеплоду цукрового буряку на деякій ділянці дорівнює 0,003. Знайти ймовірність того, що серед 1000 коренеплодів пошкоджених буде: а) рівно два, б) менше двох, в) більше двох, г) хоча б один коренеплід. 39. У насінні сорго є 0,1% насіння бур’яну. Знайти ймовірність того, що серед відібраних 2000 насінин, насіння бур’яну буде: а) рівно чотири, б) менше чотирьох, в) більше чотирьох, г) хоча б одна. 40. Станок-автомат штампує деталі. Ймовірність того, що виготовлена деталь буде з браком, дорівнює 0,02. Знайти ймовірність того, що з 200 виготовлених деталей з браком буде: а) рівно три, б) менше трьох , в) більше трьох, г) хоча б одна деталь. 34
У задачах 41-50 дано, що на тракторному заводі робітник за зміну виго-
товляє n деталей. Ймовірність того, що виготовлена деталь буде першо-
го сорту дорівнює Р. Яка ймовірність того, що деталей першого сорту буде рівно К штук? 41
n = 100
p = 0,9 K = 96 42
n = 400
p = 0,9 K = 372
43
n = 225
p = 0,8 K = 165
44
n = 400
p = 0,8 K = 330
45
n = 625
p = 0,8 K = 510
46
n = 150
p = 0,6 K = 75 47
n = 300
p = 0,75
K = 240
48
n = 600
p = 0,6 K = 375
49
n = 625
p = 0,64
K = 370
50
n = 192
p = 0,75
K = 150
У задачах 51-60 задано ймовірність появи події А в кожному з n неза-
лежних випробувань. Знайти ймовірність того, що подія А з’явиться в цих випробуваннях: а) не менше 1
k
раз і не більше 2
k
разів, б) не мен-
ше 1
k
раз, в) не більше як 1
1
-
k
раз. 51
n = 150
p = 0,6 1
k
= 78 2
k
= 96 52
n = 100
p = 0,8 1
k
= 72 2
k
=84 53
n = 400
p = 0,9 1
k
= 345
2
k
= 372
54
n = 600
p = 0,4 1
k
= 210
2
k
= 252
55
n = 300
p = 0,75
1
k
= 210 2
k
= 225
56
n = 625
p = 0,36
1
k
= 225
2
k
= 255 35
57
n = 400
p = 0,5 1
k
= 190
2
k
= 215
58
n = 225
p = 0,2 1
k
= 45 2
k
= 60 59
n = 300
p = 0,25
1
k
= 75 2
k
= 90 60
n = 625
p = 0,64
1
k
= 400
2
k
= 430
У задачах 61-80 задано закон розподілу дискретної випадкової величи-
ни Х. Знайти 1) математичне сподівання М(Х), 2) дисперсію D(Х) – двома способами, 3) середнє квадратичне відхилення, 4) побудувати графік закону розподілу. Х 28 32 34 36 Х 23 25 28 29 61
Р
0,1
0,2
0,2
0,5
71
Р
0,3
0,2
0,4
0,1
Х 17 20 23 27 Х 17 21 25 27 62
Р
0,1
0,4
0,3
0,2
72
Р
0,2
0,4
0,3
0,1
Х 31 34 37 40 Х 24 26 28 30 63
Р
0,3
0,5
0,1
0,1
73
Р
0,2
0,2
0,5
0,1
Х 56 58 60 64 Х 12 16 19 21 64
Р
0,2
0,3
0,4
0,1
74
Р
0,1
0,5
0,3
0,1
Х 25 28 30 33 Х 25 27 30 32 65
Р
0,1
0,2
0,4
0,3
75
Р
0,2
0,4
0,3
0,1
Х 37 41 43 45 Х 30 32 35 40 66
Р
0,2
0,1
0,5
0,2
76
Р
0,1
0,5
0,2
0,2
Х 78 80 84 85 Х 12 14 16 20 67
Р
0,2
0,3
0,1
0,4
77
Р
0,1
0,2
0,5
0,2
Х 18 22 23 26 Х 21 25 28 31 68
Р
0,2
0,3
0,4
0,1
78
Р
0,1
0,4
0,2
0,3
36
Х 46 49 51 55 Х 60 64 67 70 69
Р
0,2
0,3
0,1
0,4
79
Р
0,1
0,3
0,4
0,2
Х 35 39 42 46 Х 45 47 50 52 70
Р
0,1
0,3
0,2
0,4
80
Р
0,2
0,4
0,3
0,1
У задачах 81-90 неперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу. Знайти 1) диференціальну функцію розподілу(щільність ймовірності, 2) математичне сподівання М(Х), 3) дисперсію D(Х), 4) середнє квадратичне відхилення, 5) побудувати графіки інтегральної та диференціальної функцій. 81. ï
î
ï
í
ì
>
£<
£
=
11
1
0
00
2
xпри
xприx
xпри
)X(F
82. ï
î
ï
í
ì
>
£<-
£
=
21
21
2
1
10
2
xпри
xпри)xx(
xпри
)X(F
83. ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
>
£<
£
=
p
p
p
p
xпри
xприxcos
xпри
)X(F
1
4
3
2
4
3
0
37
84. ï
î
ï
í
ì
>
£<
£
=
61
602
00
/xпри
/xприxsin
xпри
)X(F
p
p
85. ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
>
£<-
-£
=
01
0
2
2
0
xпри
xприxcos
xпри
)X(F
p
p
86. ï
ï
î
ï
ï
í
ì
>
£<
£
=
21
20
4
00
2
xпри
xпри
x
xпри
)X(F
87. ï
ï
î
ï
ï
í
ì
>
£<
£
=
31
30
9
00
2
xпри
xпри
x
xпри
)X(F
88. ï
î
ï
í
ì
>
£<-
£
=
41
421
2
1
20
xпри
xприx
xпри
)X(F 89. ï
î
ï
í
ì
>
£<+
£
=
311
31023
00
3
/xпри
/xприxx
xпри
)X(F
38
90. ï
î
ï
í
ì
>
£<
£
=
11
10
00
3
x,при
xприx
xпри
)X(F
У задачах 91-100 дано, що розмір деталей, які випускає цех на трактор-
ному заводі, розподілено за нормальним законом. Стандартна довжина деталі (математичне сподівання) дорівнює a
мм, середнє квадратичне відхилення s
мм. Знайти: а) ймовірність того, що діаметр навмання взятої деталі буде більше a
і менше b
мм, б) ймовірність того, що ді-
аметр деталі відхилиться від стандартної довжини не більше, як на d
мм. 91 a
=50
s
= 6 a
= 45
b
= 52
d
= 3 92 a
=20
s
= 3 a
= 17
b
= 26
d
= 1,5
93 a
=36
s
= 4
a
= 30
b
= 40
d
= 2 94 a
=60
s
= 5 a
= 54
b
= 70
d
= 8 95 a
=48
s
= 4 a
= 45
b
= 56
d
= 3 96 a
=30
s
= 3 a
= 24
b
= 33
d
= 1,5
97 a
=35
s
= 4 a
= 27
b
= 37
d
= 2 98 a
=45
s
= 5 a
= 40
b
= 48
d
= 3 99 a
=40
s
= 3 a
= 34
b
= 43
d
= 1,5
100
a
=25
s
= 2 a
= 20
b
= 27
d
= 1 39
Приклад виконання завдань контрольної роботи Задача 1. Задані ймовірності появи кожної з трьох незалежних подій А
1
, А
2
, А
3
при проведенні випробування, які відповідно дорівнюють р
1
=0,6, р
2
=0,5, р
3
=0,8. Знайти ймовірності наступних подій: а) відбудеться тіль-
ки одна з трьох подій А
1
, А
2
, А
3
; б) відбудуться тільки дві події з трьох подій А
1
, А
2
, А
3
; в) відбудуться всі три події ; г) жодна з подій не від-
будеться; д) відбудеться хоча б одна з трьох подій А
1
, А
2
, А
3
. Розв'язання За умовою ймовірності появи подій А
1
, А
2
, А
3
дорівнюють р
1
=0,6, р
2
=0,9, р
3
=0,8. Отже відповідні ймовірності протилежних подій (непо-
яви подій А
1
, А
2
, А
3 ) дорівнюють q
1
=1- р
1
=0,4, q
2
=1- р
2
=0,1, q
3
=1- р
3
=0,2. а) Знайдемо ймовірність події А, яка полягає в тому, що відбудеться тільки одна з трьох подій А
1
, А
2
, А
3
. Р(А)= р
1
q
2
q
3 + р
2
q
1
q
3 + р
3
q
1
q
2 =
8,01,04,02,09,04,02,01,06,0
×
×
+
×
×
+
×
×
= = 0,012 + 0,072 + 0,032 = 0,116; б) Знайдемо ймовірність події В, яка полягає в тому, що відбудуться дві з трьох подій А
1
, А
2
, А
3
. Р(В)= р
1
p
2
q
3
+ р
2
q
1
p
3
+ р
3
q
2
p
1
=
8,01,06,08,09,04,02,09,06,0
×
×
+
×
×
+
×
×
= = 0,108 + 0,288 + 0,048 = 0,444 в) Знайдемо ймовірність події С, яка полягає в тому, що відбудуться всі три події А
1
, А
2
, А
3
. Р(С) = р
1
p
2
p
3
=
8,09,06,0
×
×
= 0,432 г) Знайдемо ймовірність події Е, яка полягає в тому, що не відбудуться всі три події А
1
, А
2
, А
3
. 40
Р(С)= q
1
q
2
q
3
=
2,01,04,0
×
×
= 0,008 д) Знайдемо ймовірність події D, яка полягає в тому, що відбудеться хоча б одна з трьох подій А
1
, А
2
, А
3
. Р(D)=1-
2,01,04,0
×
×
=1-0,008 = 0,992 Задача 2. Для участі в спортивних змаганнях відібрано з першої групи стрілків - 12, з другої – 8 спортсменів. Ймовірності того, що спортсмен, відібра-
ний з першої і другої груп, вцілить у мішень, відповідно дорівнюють 0,9, 0,8. Чому дорівнює ймовірність того, що на змаганнях навмання ві-
дібраний спортсмен вцілить у мішень? Розв'язання. Позначимо: А – подія, яка полягає в тому, що на змаганнях навмання відібраний спортсмен вцілив у мішень, 1
H
- спортсмен належав до першої групи стрільців, 2
H
- спортсмен належав до другої групи стрільців Використаємо формулу повної ймовірності ( ) ( )
i
n
i
i
HAPHPAP/)(
1
å
=
=
. 6,0
20
12
)(
1
==HP
4,0
20
8
)(
2
==HP
,9,0)/(
1
=
HAP
8,0)/(
2
=
HAP
86,032,054,04,08,06,09,0)(
=
+
=
×
+
×
=
AP
Задача 3. Схожість зерна озимої пшениці становить 90%. Знайти ймовірність то-
го, що з 10 посіяних зерен проросте хоча б 8. 41
Розв'язання. Подія А – « проросте хоча б 8 зернин» (
)
8³m
полягає в тому, що при висіванні зернин можливі наступні результати: «проросте рівно 8 зер-
нин», « проросте рівно 9 зернин», « проросте рівно 10 зернин». Оскільки події несумісні, то на основі теореми додавання ймовірностей несумісних подій відшукувана ймовірність )10()9()8()8(
10101010
PPPmP ++=³
Використаємо формулу Бернуллі, яка надає ймовірність того, що подія здійсниться рівно m разів в n випробуваннях: mnmm
nn
qpCmP
-
=)(
Згідно з умовою задачі схожість зерна озимої пшениці - 90%, тобто ймовірність схожості однієї зернини 9,0
100
90
==p
, ймовірність проти-
лежної події (зернина не зійде) дорівнює 1,09,011
=
-
=
-
=
pq
. Під-
ставляючи ці значення в формулу, дістанемо ( )
194,001,09,0
!
2
!
8
!10
)1,0()9,0()8(
8
81088
1010
»××
×
=×=
-
CP
( )
388,01,09,0
!
1
!
9
!10
)1,0()9,0()9(
9
91099
1010
»××
×
=×=
-
CP
( )
349,09,0
!
0
!
10
!10
)1,0()9,0()10(
10
10101010
1010
»×
×
=×=
-
CP
Отже ймовірність події А Р(А)=0,194+0,388+0,349=0,941 42
Задача 4. Станок-автомат штампує деталі. Ймовірність того, що виготовлена де-
таль буде з браком, дорівнює 0,008. Знайти ймовірність того, що серед 500 виготовлених деталей з браком буде рівно три. Розв'язання . Згідно з умовою задачі n = 500, m = 3, p = 0,008. Використовуємо формулу Пуассона ( )
l
l
-
×» e
m
mP
m
n
!
, де pn
×
=
l
4008,0500
=
×
=
l
( )
6
0 1 8 3 6,06 4
!
3
4
3
4
3
500
×
=×»
-
eP
= 0,1958 Задача 5. На тракторному заводі робітник за зміну виготовляє 625 деталей. Ймо-
вірність того, що виготовлена деталь буде першого сорту дорівнює 0,8. Яка ймовірність того, що деталей першого сорту буде рівно 510 штук. n = 625, p = 0,8, k = 510. Розв'язання. Оскільки число випробувань n = 625 досить велике число, то для знаходження ймовірності використовуємо локальну теорему Му-
авра-Лапласа. )(
1
)( x
npq
ktP
j
==
, де npq
npk
x
-
=
, 2
2
2
1
)(
x
ex
-
=
p
j
- функція Гаусса. За умовами задачі 1
10
10
2,08,0510
8,0625510
==
××
×
-
=x
43
За таблицею значень функції Гаусса (див. табл.1 додатка) знаходимо значення 2420,0)1(
=
j
. Отже 0242,0
10
2420,0
2420,0
2,08,0510
1
)510(
625
==
××
==tP
Задача 6. Задано ймовірність р=0,2 появи події А в кожному з 225 незалежних випробувань. Знайти ймовірність того, що подія А з’явиться в цих ви-
пробуваннях не менше, ніж 39 разів і не більше, ніж 69 разів. Розв’язання. Ймовірність того, що подія наступить не менше 1
k
разів і не більше 2
k
разів за інтегральною теоремою Лапласа наближено дорівнює (
)
(
)
1221
);( xxkkP
n
ff
-»
, де npq
npk
x
-
=
1
1
, npq
npk
x
-
=
2
2
, ( )
ò
-
=
x z
dzex
0
2
2
2
1
p
f
- функція Лапласа. За умовою задачі n=225; p=0,2; q=1-p =1-0,2=0,8; к1=39; к2=60; За формулами, наданими вище, знаходимо 1
6
6
8,02,0225
2,022539
1
-=
-
=
××
×
-
=x
5,2
6
15
8,02,0225
2,022560
2
==
××
×
-
=x
44
(
)
(
)
8351
,03413,04938,015,2)60;39(
225
=
+
=
-
-
=
f
f
P
Задача 7. Задано закон розподілу дискретної випадкової величини Х. Знайти 1) математичне сподівання М(Х), 2) дисперсію D(Х) – двома способами, 3) середнє квадратичне відхилення, 4) побудувати графік закону розпо-
ділу. Х -7 3 13 23 33 Р 0,2 0,1 0,3 0,3 0,1
1) математичне сподівання М(Х) знайдемо за означенням за форму-
лою å
=
=
n
i
ii
pxXM
1
)(
М(Х) = (
)
13
1
0
33
3
0
23
3
0
13
1
0
3
2
0
7
=
×
+
×
+
×
+
×
+
×
-
,
,
,
,
,
; 2) дисперсію D(Х) знайдемо двома способами Перший спосіб Побудуємо закон розподілу випадкової величини [
]
2
)(XMX -
[
]
400)137()(
22
1
=--=- XMx
[
]
100)133()(
22
2
=-=- XMx
[
]
0)1313()(
22
3
=-=- XMx
[
]
100)1323()(
22
4
=-=- XMx
[
]
400)1333()(
22
5
=-=- XMx
45
[
]
2
)(XMX -
400 100 0 100 400 Р 0,2 0,1 0,3 0,3 0,1 D(Х)= 160
1
0
400
3
0
100
3
0
0
1
0
100
2
0
400
=
×
+
×
+
×
+
×
+
×
,
,
,
,
,
Обчислимо дисперсію випадкової величини другим способом, тобто за формулою )()()(
22
XMXMXD -=
Побудуємо закон розподілу випадкової величини 2
X
2
X
49 9 169 529 1089 Р 0,2 0,1 0,3 0,3 0,1 Знайдемо математичне сподівання квадрата випадкової величини (
)
32910108930529301691092049
2
=×+×+×+×+×=,,,,,XM
. Тоді згідно з наведеною формулою D(Х) = 329 -169 =160; 3) середнє квадратичне відхилення 6512160,)X(D)X( ===
s
; 4) Для побудови многокутника розподілу ймовірностей у прямокутній системі координат по осі абсцис відкладаємо у вибраному масштабі можливі значення випадкової величини, по осі ординат – відповідні ймовірності i
p
. Побудовані точки з координатами (
)
ii
px;
з`єднуємо відрізками пря-
мих. З першої та останньої точок опускаємо перпендикуляри на вісь аб-
сцис. Від значення математичного сподівання відкладаємо вправо та 46
вліво відрізки довжиною, рівною середньому квадратичному відхилен-
ню. Виконані таким чином побудови показано на рисунку. Задача 8. Неперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу. Знайти 1) диференціальну функцію розподілу(щільність ймовірності, 2) мате-
матичне сподівання М(Х), 3) дисперсію D(Х), 4) середнє квадратичне відхилення, 5) побудувати графіки інтегральної та диференціальної функцій. ï
î
ï
í
ì
>
£<-
£
=
2,1
21),1(
7
1
1,0
)(
3
x
xx
x
XF
Розв’язання. 1) Знаходимо диференціальну функцію випадкової величини. Для цього обчислюємо похідну по x
від інтегральної функції )(xF
47
ï
î
ï
í
ì
>
£<
£
==
2,0
21,
7
3
1,0
)(')(
2
x
xx
x
xFxf
2) Математичне сподівання знайдемо за формулою ò
=
b
a
dxxxfXM )()(
28
45
4
1
4
7
3
47
3
7
3
7
3
)(
2
1
4
2
1
3
2
1
2
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=×==×=
òò
x
dxxdxxxXM
3) Дисперсію знаходимо за формулою ( )
XMdxxfxXD
b
a
22
)()( -=
ò
074,0
3920
291
784
2025
35
93
784
2025
57
3
28
45
7
3
)(
2
1
5
2
2
1
4
»=-=-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
ò
x
dxxXD
4) Середнє квадратичне відхилення 272,0074,0)()( === XDX
s
5) Побудуємо графіки інтегральної та диференціальної функцій: 48
Задача 9. На тракторному заводі деталі, що випускає цех, розподілені за норма-
льним законом. Стандартна довжина деталі (математичне сподівання) дорівнює a
мм, середнє квадратичне відхилення - s
мм. Знайти: а) ймовірність того, що діаметр навмання взятої деталі буде більше a
і менше b
мм, б) ймовірність того, що діаметр деталі відхилиться від стандартної довжини не більше, як на d
мм. a
=5, s
=3, a
=4, b
=8, d
=4 Розв’язання. а) Використаємо формулу ÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=<<
s
a
f
s
b
fba
aa
XP )(
( ) ( ) ( ) ( )
33,0133,01
3
54
3
58
)84(
ffffff
+=--=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=<< XP
За таблицею значень функції Лапласа (див. додаток табл.2) знаходимо 3413,0)1(
=
f
, 1293,0)33,0(
=
f
. Отже 4706,01293,03413,0)84(
=
+
=
<
<
XP
; 49
б) у відповідності з формулою ( )
÷
ø
ö
ç
è
æ
=<-
s
d
fd
2aXP
, в яку треба підставити вихідні дані задачі, одержимо ( )
( )
8164,04082,0233,12
3
4
245 =×==
÷
ø
ö
ç
è
æ
=<-
ff
XP
Список рекомендованої літератури 1. Гмурман В.Е. Введение в теорию вероятностей и математическую статистику.- М.Высшая школа, 1977, 479 с. 2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятно-
стей и математической статистике.- М.Высшая школа, 1975, 335 с. 3. Мартиненко М.А., Клименко Р.К., Лебедєва І.В. Теорія ймовірно-
стей. - Київ: УДУХТ, 1999, 242с. 50
ДОДАТКИ Таблиця 1 Значення функції 2
2
2
1
)(
x
ex
-
=
p
j
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0
0,3989
3989
3989
3988
3986
3984
3982
3980
3977
3973
0,1
3970
3965
3961
3956
3951
3945
3939
3932
3925
3918
0,2
3910
3902
3894
3885
3876
3867
3857
3847
3836
3825
0,3
3814
3802
3790
3778
3765
3752
3739
3726
3712
3667
0,4
3683
3668
3653
3637
3621
3605
3589
3572
3555
3538
0,5
3521
3503
3485
3467
3448
3429
3410
3391
3372
3352
0,6
3332
3312
3292
3271
3251
3230
3209
3187
3166
3144
0,7
3123
3101
3079
3056
3034
3011
2989
2966
2943
2920
0,8
2897
2874
2850
2827
2803
2780
2756
2732
2709
2685
0,9
2661
2637
2613
2589
2565
2541
2516
2492
2468
2444
1,0
0,2420
2396
2371
2347
2323
2299
2275
2251
2227
2203
1,1
2179
2155
2131
2107
2083
2059
2036
2012
1989
1965
1,2
1942
1919
1895
1872
1849
1826
1804
1781
1758
1736
1,3
1714
1691
1669
1647
1626
1604
1582
1561
1539
1518
1,4
1497
1476
1456
1435
1415
1394
1374
1354
1334
1315
1,5
1295
1276
1257
1238
1219
1200
1182
1163
1145
1127
1,6
1109
1092
1074
1057
1040
1023
1006
0989
0973
0967
1,7
0940
0925
0909
0890
0878
0863
0848
0838
0818
0804
1,8
0790
0775
0761
0748
0734
0721
0707
0694
0681
0669
1,9
0656 0644
0632
0620
0608
0596
0584
0573
0562
0551
51
Продовження таблиці 1 х 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2,0
0,0540
0529
0519
0508
0498
0488
0478
0468 0459
0449
2,1
0440
0431
0422
0413
0404
0396
0387
0379 0371
0363
2,2
0355
0347
0339
0332
0325
0317
0310
0303 0297
0290
2,3
0283
0277
0270
0264
0258
0252
0246
0241 0235
0229
2,4
0224
0219
0213
0208
0203
0196
0194
0189 0184
0180
2,5
0175
0171
0167
0163
0158
0154
0151
0147 0143
0139
2,6
0136
0132
0129
0126
0122
0119
0116
0113 0110
0107
2,7
0104
0101
0099
0096
0093
0090
0088
0086 0084
0081
2,8
0079
0077
0075
0073
0071
0069
0067
0065 0063
0061
2,9
0060
0058
0056
0055
0053
0051
0050
0048 0047
0046
3,0
0,0044
0043
0042
0040
0039
0038
0037
00036
0035
0034
3,1
0033
0032
0031
0030
0029
0028
0027
0026 0025
0025
3,2
0024
0023
0022
0022
0021
0020
0020
0019 0018
0018
3,3
0017
0017
0016
0016
0015
0015
0014
0014 0013
0013
3,4
0012
0012
0012
0011
0011
0010
0010
0010 0009
0009
3,5
0009
0008
0008
0008
0008
0007
0007
0007 0007
0006
3,6
0006
0006
0006
0005
0005
0005
0005
0005 0005
0004
3,7
0004
0004
0004
0004
0004
0004
0004
0003 0003
0003
3,8
0003
0003
0003
0003
0003
0002
0002
0002 0002
0002
3,9
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0002 0001
0001
52
Таблиця 2 Значення функції dzex
zx
2
0
2
2
1
)(
-
ò
=
p
f
x Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) 0,00
0,0000
0,26
0,1026
0,52
0,1985
0,78
0,2823
1,04
0,3508
0,01
0,0040
0,27
0,1064
0,53
0,2019
0,79
0,2852
1,05
0,3521
0,02
0,0080
0,28
0,1103
0,54
0,2054
0,80
0,2881
1,06
0,3554
0,03
0,0120
0,29
0,1141
0,55
0,2088
0,81
0,2910
1,07
0,3577
0,04
0,0160
0,30
0,1179
0,56
0,2123
0,82
0,2939
1,08
0,3599
0,05
0,0199
0,31
0,1217
0,57
0,2157
0,83
0,2967
1,09
0,3621
0,06
0,0239
0,32
0,1255
0,58
0,2190
0,84
0,2995
1,10
0,3643
0,07
0,0279
0,33
0,1293
0,59
0,2224
0,85
0,3023
1,11
0,3665
0,08
0,0319
0,34
0,1331
0,60
0,2257
0,86
0,3051
1,12
0,3686
0,09
0,0359
0,35
0,1368
0,61
0,2291
0,87
0,3078
1,13
0,3708
0,10
0,0398
0,36
0,1406
0,62
0,2324
0,88
0,3106
1,14
0,3729
0,11
0,0438
0,37
0,1443
0,63
0,2357
0,89
0,3133
1,15
0,3749
0,12
0,0478
0,38
0,1480
0,64
0,2389
0,90
0,3159
1,16
0,3770
0,13
0,0517
0,39
0,1517
0,65
0,2432
0,91
0,3186
1,17
0,3790
0,14
0,0557
0,40
0,1554
0,66
0,2454
0,92
0,3212
1,18
0,3810
0,15
0,0596
0,41
0,1591
0,67
0,2486
0,93
0,3238
1,19
0,3830
0,16
0,0636
0,42
0,1628
0,68
0,2517
0,94
0,3264
1,20
0,3849
0,17
0,0675
0,43
0,1664
0,69
0,2549
0,95
0,3289
1,21
0,3869
0,18
0,0714
0,44
0,1700
0,70
0,2580
0,96
0,3315
1,22
0,3883
0,19
0,0753
0,45
0,1736
0,71
0,2611
0,97
0,3340
1,23
0,3907
0,20
0,0793
0,46
0,1772
0,72
0,2642
0,98
0,3365
1,24
0,3925
0,21
0,0832
0,47
0,1808
0,73
0,2673
0,99
0,3389
1,25
0,3944
0,22
0,0871
0,48
0,1844
0,74
0,2703
1,00
0,3413
1,26
0,3962
0,23
0,0910
0,49
0,1879
0,75
0,2734
1,01
0,3438
1,27
0,3980
0,24
0,0948
0,50
0,1915
0,76
0,2764
1,02
0,3461
1,28
0,3997
0,25
0,0987
0,51
0,1950
0,77
0,2794
1,03
0,3485
1,29
0,4015
53
Продовження таблиці 2 x Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) 1,30
0,4032
1,56
0,4406
1,82
0,4656
2,16
0,4846
2,68
0,4963 1,31
0,4049
1,57
0,4418
1,83
0,4664
2,18
0,4854
2,70
0,4965 1,32
0,4066
1,58
0,4429
1,84
0,4671
2,20
0,4861
2,72
0,4967 1,33
0,4082
1,59
0,4441
1,85
0,4678
2,22
0,4868
2,74
0,4969 1,34
0,4099
1,60
0,4452
1,86
0,4686
2,24
0,4875
2,76
0,4971 1,35
0,4115
1,61
0,4463
1,87
0,4693
2,26
0,4881
2,78
0,4973 1,36
0,4131
1,62
0,4474
1,88
0,4699
2,28
0,4887
2,80
0,4974 1,37
0,4141
1,63
0,4484
1,89
0,4706
2,30
0,4893
2,82
0,4976 1,38
0,4162
1,64
0,4495
1,90
0,4713
2,32
0,4898
2,84
0,4977 1,39
0,4177
1,65
0,4505
1,91
0,4719
2,34
0,4904
2,86
0,4979 1,40
0,4192
1,66
0,4515
1,92
0,4726
2,36
0,4909
2,88
0,4980 1,41
0,4207
1,67
0,4525
1,93
0,4732
2,38
0,4913
2,90
0,4981 1,42
0,4222
1,68
0,4535
1,94
0,4738
2,40
0,4918
2,92
0,4982 1,43
0,4236
1,69
0,4545
1,95
0,4744
2,42
0,4922
2,94
0,4984 1,44
0,4251
1,70
0,4554
1,96
0,4750
2,44
0,4927
2,96
0,4985 1,45
0,4265
1,71
0,4564
1,97
0,4756
2,46
0,4931
2,98
0,4986 1,46
0,4279
1,72
0,4573
1,98
0,4761
2,48
0,4934
3,00
0,49865 1,47
0,4292
1,73
0,4582
1,99
0,4767
2,50
0,4938
3,20
0,49931 1,48
0,4306
1,74
0,4591
2,00
0,4772
2,52
0,4941
3,40
0,49966 1,49
0,4319
1,75
0,4599
2,02
0,4783
2,54
0,4945
3,60
0,499841
1,50
0,4332
1,76
0,4608
2,04
0,4793
2,56
0,4948
3,80
0,499928
1,51
0,4345
1,77
0,4616
2,06
0,4803
2,58
0,4951
4,00
0,499968
1,52
0,4357
1,78
0,4625
2,08
0,4812
2,60
0,4953
4,50
0,499997
1,53
0,4370
1,79
0,4633
2,10
0,4821
2,62
0,4956
5,00
0,499997
1,54
0,4382
1,80
0,4641
2,12
0,4830
2,64
0,4959
1,55
0,4394
1,81
0,4649
2,14
0,4838
2,66
0,4961
Автор
V1to4ka2008
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1 214
Размер файла
445 Кб
Теги
met_tv_z_1_2006
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа