close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Met TV 2009

код для вставкиСкачать
МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ МИКОЛАЇВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Кафедра економічної кібернетики і математичного моделювання ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА Контрольні завдання та методичні рекомендації до самостійної роботи студентів заочної, денної та дистанційної форм навчання економічного факультету напряму підготовки 6.030509 – «Облік і аудит», 6.030601 – «Менеджмент» з урахуванням кредитно-модульної системи навчання та рейтингової системи оцінки знань Миколаїв – 2009 2
Теорія ймовірностей та математична статистика. Методичні рекомендації та контрольні завдання до самостійної роботи студентів заочної, денної та дистанційної форм навчання економічного факультету напряму підготовки 6.030509 – «Облік і аудит», 6.030601 – «Менеджмент» з урахуванням кредитно-модульної системи навчання та рейтингової системи оцінки знань Підготували: д.т.н., професор Шебанін В.С., д.е.н., доцент Шебаніна О.В., к.т.н., доцент Мірошніченко О.А., к.т.н., доцент Шебаніна Л.П., к.т.н., доцент Богза В.Г., к. т. н., доцент Атаманюк І.П., ст. викладач Цепуріт О.В., ст. викладач Хилько І.І., ст. викладач Богданов С.І., ст. викладач Домаскіна М.А., ас. Жорова А.М., ас. Шептилевський О.В. Рецензенти: Червен І.І., д.е.н., професор МДАУ; Тихонова Т.В., к.п.н., доцент МДУ. Друкується згідно з рішенням методичної комісії економічного факультету МДАУ, протокол № 6 від 12.02.2009 р. Надруковано у видавничому відділі МДАУ. Зам. _____ Наклад ___ прим. 54010, м. Миколаїв, вул. Паризької комуни, 9 3
ВСТУП Теорія ймовірностей та математична статистика є необхідною частиною вищої освіти сучасного працівника аграрного виробництва. Мета даних методичних рекомендацій – ознайомити студентів з цією галуззю науки, підготувати необхідну теоретичну базу для використання основних понять теорії ймовірностей та статистичних методів у роботі з дослідження об'єктів аграрного виробництва. Математична статистика розглядається у взаємозв'язку з теорією ймовірностей, оскільки ці науки є складовими частинами вищої математики. На основі їх методів вирішується ряд теоретичних та практичних завдань у галузі сільського господарства. Кількісні характеристики, одержані в результаті математико-статистичного аналізу, дозволяють мати більш глибоке уявлення про характер причинно-наслідкових зв'язків явищ, що досліджуються, а також одержати надійні параметри для здійснення планово-економічних розрахунків, зокрема, прогнозування розвитку деяких процесів. Методичні рекомендації складено у відповідності з робочою програмою та кредитно-модульною структурою курсу. У зв’язку з цим вони містять теоретичний матеріал та практичні завдання, що допоможуть студентам у вивченні основних розділів курсу. Дані методичні рекомендації спрямовані на допомогу студентам заочної форми навчання в самостійному вивченні матеріалу та містять порядок виконання і правила оформлення контрольної (розрахунково-графічної) роботи, питання до заліку, основні теоретичні відомості курсу, приклади виконання типових завдань, завдання для контрольної роботи (розрахунково-графічної), додатки і список рекомендованої літератури. 4
Студенти денної форми навчання можуть використовувати дані методичні рекомендації для підготовки до практичних занять та заліку. Завдання для контрольної роботи можуть бути використані як індивідуальна розрахунково-графічна робота, що є невід’ємною частиною самостійної роботи студентів. У методичних рекомендаціях подано матеріал, що є частиною програмного навчального та контролюючого комплексу, який охоплює всі основні розділи вищої математики, теорії ймовірностей та математичної статистики, що вивчаються за програмою аграрних вищих навчальних закладів. Матеріал викладено таким чином, щоб максимально допомогти студентам оволодіти теоретичними питаннями та набути необхідних практичних навичок. Для досягнення цієї мети розглянуто багато прикладів розв'язання вправ з основних питань курсу. Методичні рекомендації розроблено для активізації самостійної роботи студентів вищих аграрних закладів освіти ІІІ-ІV рівнів акредитації з урахуванням вимог кредитно-модульної система навчання. 5
1. ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ ТА ПРАВИЛА ОФОРМЛЕННЯ КОНТРОЛЬНОЇ (РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНОЇ) РОБОТИ Студент виконує той варіант контрольної (розрахунково-
графічної) роботи, що відповідає двом останнім цифрам номера його залікової книжки. Цей номер утворює число α, що використовується при розв’язанні деяких задач (№№ 7, 8, 9, 10, 11, 13). Залежно від передостанньої цифри номера залікової книжки студент обирає серію задач. Якщо передостання цифра непарна (1, 3,5,7,9), виконуються задачі серії А. Якщо передостання цифра парна (2, 4, 6, 8, 0) – виконуються задачі серії В. Остання цифра залікової книжки утворює число N, що також використовується при розв’язанні задач (№№ 2, 3, 4, 5, 6, 12). В задачі 10 використовується номер групи β (β=1, 2, 3…). Наприклад, дві останні цифри залікової книжки 09. Студент виконує задачі серії В (передостання цифра парна), дев’ятого варіанту (остання цифра 9). При цьому, α=09, N=9. Контрольна робота має бути виконана в окремому зошиті, написана акуратно, з нумерацією сторінок, таблиць, схем і рисунків, мати титульний аркуш, на якому подаються необхідні відомості: навчальний шифр, прізвище, номер групи, назви факультету та кафедри, курсу, що вивчається (додаток 1), бланк для рецензії (додаток 2). Розв’язання задач слід розміщувати в порядку номерів, зберігаючи вказану нумерацію. Перед виконанням завдання слід записати його умову. В разі, коли декілька задач мають спільне формулювання, необхідно переписати умову задачі, замінюючи 6
загальні дані конкретними для свого варіанта. Розв’язок задач повинен бути детальним з відповідними посиланнями на питання теорії та наведенням формул, теорем, висновків, що при цьому використовувалися. Усі обчислення (в тому числі допоміжні) необхідно подавати повністю. У кінці роботи слід подати список літератури, якою користувався студент, а також поставити дату та особистий підпис. Виконану роботу студент повинен здати на рецензування в установлений термін. Роботи, в яких відсутні пояснення, або ж виконані завдання не свого варіанту, а також оформлені без дотримання названих вимог, не перевіряються. Після рецензування студент повинен виправити всі вказані недоліки. Якщо роботу повернули на доопрацювання, то після виконання всіх вимог рецензента її слід подати на повторне рецензування, додавши при цьому попередньо виконану. Контрольну роботу слід виконувати самостійно. Якщо буде виявлено, що контрольна робота написана не самостійно, то її не буде зараховано, навіть якщо всі завдання виконані вірно. У період екзаменаційної сесії студент має подати прорецензовану та допущену до захисту контрольну роботу. На вимогу викладача студент повинен пояснити чи розв’язати повністю ту чи іншу задачу. 7
2. ПИТАННЯ ДО ЗАЛІКУ 1. Предмет теорії ймовірностей. Поняття події. Класифікація подій. 2. Відносна частота. Стійкість відносної частоти. Статистична ймовірність. 3. Деякі відомості із комбінаторики. Комбінації, розміщення, перестановки. 4. Класичне визначення ймовірності. Його обмеженість. Геометрична ймовірність. 5. Поняття про сумісні та несумісні події. Сума подій. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій. 6. Повна група подій. Ймовірність суми повної групи подій. 7. Протилежні події. Ймовірність появи протилежної події. Вірогідні та неможливі події, їх ймовірності. 8. Незалежні події. Теорема множення ймовірностей незалежних подій. Ймовірність появи хоча би однієї незалежної події. 9. Залежні події. Умовні ймовірності. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій. 10. Формула повної ймовірності. Ймовірність гіпотез. Формули Байєса. 11. Повторні незалежні випробування. Формула Бернуллі. 12. Дискретні та неперервні випадкові величини. Закон розподілу випадкової величини. Біномний закон розподілу. 13. Закон розподілу Пуассона. Ймовірність відхилення відносної частоти від сталої ймовірності в незалежних випробуваннях. 14. Знаходження найімовірнішого числа появи події в незалежних випробуваннях. 8
15. Локальна теорема Лапласа (без доведення). 16. Інтегральна теорема Лапласа (без доведення). 17. Числові характеристики дискретних випадкових величин (математичне сподівання, середнє квадратичне відхилення, дисперсія). 18. Числові характеристики неперервних випадкових величин (математичне сподівання, середнє квадратичне відхилення, дисперсія). 19. Властивості математичного сподівання. 20. Властивості дисперсії. Поняття про моменти розподілу. 21. Математичне сподівання випадкової величини, розподіленої за біномним законом. 22. Дисперсія та середнє квадратичне відхилення випадкової величини, розподіленої за біномним законом. 23. Математичне сподівання випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона. 24. Дисперсія і середнє квадратичне відхилення випадкової величини розподіленої за законом Пуассона. 25. Поняття інтегральної функції розподілу. Властивості інтегральної функції, її графік. 26. Поняття диференціальної функції розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини та її властивості. Ймовірність попадання неперервної випадкової величини в заданий інтервал. 27. Знаходження інтегральної функції розподілу за відомою диференціальною функцією. 9
28. Закон великих чисел. Нерівність і теорема Чебишева. Значення теореми Чебишева для практики. 29. Закон великих чисел. Теорема Бернуллі. 30. Нормальний закон розподілу випадкової величини. 31. Властивості функції щільності ймовірності нормального закону розподілу. 32. Ймовірність попадання в заданий інтервал нормально розподіленої випадкової величини. 33. Правило трьох сигм. 34. Математичне сподівання диференціальної функції нормального розподілу. 35. Дисперсія диференціальної функції нормального розподілу. 36. Поняття про теорему Ляпунова. Формулювання центральної граничної теореми. 37. Оцінка відхилення теоретичного розподілу від нормального. Асиметрія та ексцес. 38. Показниковий розподіл. Числові характеристики. 39. Предмет математичної статистики. Її місце в системі статистичних дисциплін. 40. Завдання математичної статистики. 41. Статистичні ряди розподілу: ранжирований ряд, варіаційний ряд (дискретний та інтервальний). Побудова рядів розподілу. 42. Графічне зображення рядів розподілу: полігон, гістограма, кумулята та огіва. Основні форми статистичних розподілів. 43. Емпірична та теоретична функція розподілу. 10
44. Центральна тенденція ряду розподілу. Середні величини як характеристики ряду. 45. Об’ємні середні величини: середня арифметична, середня геометрична, середня гармонійна, середня квадратична. Правило мажорантності середніх. 46. Структурні середні величини: мода та медіана. 47. Показники варіації ознак: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації. 48. Математичні властивості середньої арифметичної. Обчислення середньої арифметичної спрощеним методом. 49. Математичні властивості дисперсії. Обчислення дисперсії спрощеним методом. Формула для обчислення дисперсії. 50. Загальна, групова та внутрішньогрупова дисперсії. Правило додавання дисперсій. 51. Моменти статистичного розподілу: початкові, центральні, умовні та нормовані. 52. Оцінка відхилення емпіричного розподілу від нормального. Характеристика асиметрії та ексцесу розподілу. 53. Загальні поняття вибіркового спостереження. Генеральна та вибіркова сукупності. Їх характеристики. 54. Повторна та безповторна вибірки. Репрезентивна вибірка. Способи відбору. 55. Статистичні оцінки. Оцінка генеральної дисперсії за виправленою вибірковою. 11
56. Основні вимоги до статистичної оцінки: незміщеність, ефективність, спроможність і достатність. 57. Точкова та інтервальна оцінки параметрів генеральної сукупності. Надійна ймовірність. Надійний інтервал. Рівень значимості. 58. Надійний інтервал для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при відомому s. 59. Надійний інтервал для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при невідомому s. 60. Надійний інтервал для оцінки середнього квадратичного відхилення s нормального розподілу. 61. Закони розподілу. Нормальний розподіл. 62. Розподіл Стьюдента, розподіл c
2
, розподіл Фішера-Снедекора. 63. Статистичні гіпотези: нульова та альтернативна, проста та складна. 64. Статистичні критерії та критична область. 65. Перевірка статистичних гіпотез відносно середніх. 66. Перевірка статистичних гіпотез відносно розподілів. 67. Перевірка гіпотез про відповідність емпіричного розподілу теоретичному з використанням c
2
-критерію Пірсона як критерію узгодження. 68. Перевірка гіпотез про достовірність відмінностей між дисперсіями за допомогою F-критерію. 69. Суть та завдання дисперсійного методу аналізу. 70. Схема дисперсійного аналізу. 71. Алгоритм рішення однофакторної моделі. 12
72. Функціональна, статистична та кореляційна залежності. 73. Умовні середні. Дві основні задачі теорії кореляції. 74. Метод найменших квадратів при відшуканні параметрів вибіркового рівняння прямої лінії регресії за незгрупованими даними. 75. Відшукання параметрів вибіркового рівняння прямої лінії регресії за згрупованими даними. Кореляційна таблиця. 76. Вибірковий коефіцієнт кореляції. Коефіцієнт детермінації. 77. Визначення коефіцієнтів регресії (r
yx
, r
xy
) через коефіцієнт кореляції. 78. Вибіркове кореляційне відношення. Криволінійна регресія. 79. Перевірка адекватності кореляційної моделі фактичних даних. 80. Перевірка значимості коефіцієнта кореляції. 13
3. ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ПОНЯТТЯ КУРСУ 3.1. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ 3.1.1. Випадкова подія, її частота та ймовірність. Елементи комбінаторики Предметом теорії ймовірностей є вивчення імовірнісних закономірностей масових однорідних випадкових подій. Випадковою називається подія, яка за виконання певного комплексу умов може як відбутися, так і не відбутися. Достовірною називається подія, що обов’язково відбудеться за виконання певної сукупності умов. Неможливою називається подія, яка ніколи не відбудеться за виконання певної сукупності умов. Події А і В називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої в одному і тому ж випробуванні. Події А і В називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає можливості появи іншої в одному і тому ж випробуванні. Події називаються єдиноможливими, якщо поява в результаті випробування однієї і тільки однієї з них є достовірною подією. Події А
1
, А
2
,… А
n
, називаються рівноможливими, якщо за виконання певного комплексу умов у кожної з них є однакова можливість відбутися або не відбутися. 14
Класичне означення ймовірності. Ймовірністю Р(А) події А називають відношення числа m елементарних результатів випробування, сприятливих появі цієї події до числа n усіх єдиноможливих та рівноможливих елементарних результатів випробування: n
m
)A(P =. Властивості ймовірності: 1. Якщо подія А – достовірна, то Р(А)=1. 2. Якщо подія А – неможлива, то Р(А)=0. 3. Якщо подія А – випадкова, то її ймовірність задовольняє нерівність 1
)
A
(
P
0
£
£
. Відносна частота події – це відношення *
m
– числа випробувань, в яких відбулася подія А до *
n
– загального числа випробувань. Тобто *
*
n
m
)A(P =. Статистичне означення ймовірності. Число, навколо якого групуються відносні частоти події А, за великого числа експериментів називається ймовірністю події А і позначається Р(А). Перестановками із n
елементів називаються сукупності n елементів, що відрізняються порядком розташування. Кількість можливих перестановок із n елементів знаходиться за формулою !nP
n
=
15
Добуток перших n натуральних чисел називається факторіалом і позначається n
...
3
2
1
!
n
×
×
×
×
=
; 0! = 1. Розміщеннями з n елементів по m елементів називаються сукупності, складені з m елементів, вибраних із даних n елементів, які відрізняються порядком розташування та складом елементів. Кількість можливих розміщень знаходиться за формулою !
m
!n
A
m
n
=. Сполученнями із n елементів по m елементів називаються сукупності, складені з m елементів, вибраних із даних n елементів, що відрізняються тільки складом елементів, порядок їх розташування не має значення. Кількість можливих сполучень знаходиться за формулою )!mn(!m
!n
C
m
n
-
=. Принцип суми. Якщо множина А містить N(A)=n елементів, множина В – N(B)=m елементів, а А∩В=Ø, тоді множина А+В (
)
BA
È
містить N(A+B)=n+m елементів. Принцип добутку. Нехай потрібно виконати послідовно k дій. Якщо першу дію можна виконати n
1
способами, другу – n
2
способами, третю – n
3
способами і так до k-ї дії, яку можна виконати n
k
способами, то всі k дій послідовно можуть бути виконані k321
n...nnn
´
´
´
´
способами. 16
3.1.2. Теореми додавання та множення ймовірностей. Протилежні події Дві події називаються незалежними, якщо ймовірність появи однієї з них не залежить від того, настала чи не настала інша подія, в протилежному випадку події називаються залежними. Декілька подій називаються попарно незалежними, якщо незалежними є кожні дві з них. Умовною ймовірністю (
)
A/BP або (
)
BP
A
називається ймовірність події В за умови, що подія А відбулася. Сумою )
B
A
(
B
A
È
+
подій А та В називається подія, що полягає в появі події А або події В, або обох цих подій разом. Добутком )
B
A
(
B
A
Ç
×
подій А та В називається подія, яка полягає в появі обох цих подій разом. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій: )
B
(
P
)
A
(
P
)
B
A
(
P
+
=
+
. Для декількох несумісних подій виконується рівність )A(P...)A(P)A(P)A...AA(P
n21n21
+
+
+
=
+
+
+
. Теорема множення ймовірностей незалежних подій. Ймовірність одночасної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій: )
B
(
P
)
A
(
P
)
B
A
(
P
×
=
×
. Для декількох попарно незалежних подій виконується рівність )A(P...)A(P)A(P)A...AA(P
n21n21
×
×
×
=
×
×
×
. 17
Теорема множення ймовірностей залежних подій Ймовірність одночасної появи двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на ймовірність другої події, обчислену за умовою, що перша подія вже відбулася: )
A
/
B
(
P
)
A
(
P
)
B
A
(
P
×
=
×
. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій. Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи: )
B
A
(
P
)
B
(
P
)
A
(
P
)
B
A
(
P
×
-
+
=
+
. Якщо в результаті випробування може настати лише одна з несумісних подій n21
A,...,A,A і не може настати будь-яка інша елементарна подія, то події n21
A,...,A,A утворюють повну групу подій. Протилежними називаються дві єдиноможливі події, що утворюють повну групу. Подія, протилежна події A
, позначається A
. Теорема. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці, тобто 1)A(P)A(P =+, або 1
q
p
=
+
, де p
- ймовірність події, q
- ймовірність протилежної події. Якщо відомо, що подія А може настати одночасно з однією із подій n21
H,...,H,H, що утворюють повну групу несумісних подій, то подію А можна подати як суму подій n21
AH...AHAHA
+
+
+
=
. 18
Ймовірність настання події А в цьому разі обчислюється за формулою повної ймовірності =
+
+
+
=
)A(P)H(P...)A(P)H(P)A(P)H(P)A(P
n21
HnH2H1
( )
( )
å
=
=
n
1
i
Hi
APHP
i
. Умовна ймовірність події i
H за припущенням, що подія A
вже відбулася, обчислюється за формулою Байєса )A(P
)A(P)H(P
)H(P
i
Hi
iA
=, де Р(А) – повна ймовірність події А. 3.1.3. Повторні незалежні випробування (схема Бернуллі) Якщо виконується декілька випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події А не залежить від результатів інших випробувань, то такі випробування називаються незалежними відносно події А. Незалежні випробування, що повторюються багато разів, називаються випробуваннями Бернуллі (схемою Бернуллі), якщо в кожному з них є лише два можливі наслідки і ймовірності цих наслідків є сталими для всіх випробувань. Теорема Бернуллі. Якщо проводиться n
незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події А дорівнює p
(
)
1p0
<
<
, то ймовірність того, що подія А настане рівно m
разів у n
випробуваннях дорівнює mnmm
nn
qpC)m(P
-
=, 19
де p
1
q
-
=
. Найвірогідніше число «успіхів» у схемі Бернуллі Число k
0
, що називається найвірогіднішим числом «успіхів» у схемі Бернуллі, якщо задовольняє нерівності pnpkqnp
0
+
£
£
-
. Якщо (n+1)p – не ціле число, то (
)
[
]
p1nk
0
+
=
(ціла частина). Якщо (n+1)p - ціле, то чисел, що задовольняють нерівність, – два: pnpk
1
+
=
; qnpk
2
-
=
. Якщо число n
досить велике (n>10), то використання формули Бернуллі стає практично неможливим. У такому разі застосовується асимптотична формула, що відображає локальну теорему Муавра-
Лапласа. Локальна теорема Муавра-Лапласа Ймовірність того, що в n
незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює p
, подія А настане рівно m
разів, наближено дорівнює )x(
npq
1
)m(P
n
j»
, де npq
npm
x
-
=
, 2
x
2
e
npq
1
)x(
-
=j. )
x
(
j
– функція Гауса, для знаходження значень якої за різних значень аргументу складено спеціальні таблиці (додаток 3). Оскільки )
x
(
j
– парна функція, тобто )
x
(
)
x
(
j
=
-
j
, то для всіх від’ємних значень аргументу в таблиці беруться відповідні додатні значення. Якщо 5
x
>
, то 0
)
x
(
=
j
. 20
Застосування асимптотичної формули Муавра-Лапласа у тих випадках, коли ймовірність p
є близькою до нуля, призводить до значних відхилень від точного значення ймовірності )m(P
n
. Тому за досить малих значень p
використовується асимптотична формула Пуассона. Формула Пуассона для малоймовірних подій Якщо ймовірність появи події А в кожному з n
незалежних випробувань мала, а число випробувань n
досить велике, то ймовірність того, що подія А настане рівно m
разів, обчислюється наближено за формулою l-
×
l
» e
!
m
)m(P
m
n
, де p
n
×
=
l
. Цю формулу використовують у тих випадках, коли 10
p
n
£
×
=
l
. Формули Бернуллі, Пуассона, асимптотична формула, що відображає локальну теорему Муавра-Лапласа, дозволяють знайти ймовірність того, що подія А настане рівно m
разів в n
незалежних випробуваннях. На практиці часто потрібно буває визначити ймовірність того, що подія А настане не менш як 1
m і не більше ніж 2
m разів в n
незалежних випробуваннях, тобто число m
визначається подвійною нерівністю 2
1
mmm
£
£
. В таких випадках застосовується інтегральна теорема Лапласа. 21
Інтегральна теорема Муавра-Лапласа Ймовірність того, що в n
незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює p
, подія А настане не менш як 1
m і не більше ніж 2
m разів і наближено дорівнює )x()x()m;m(P
1221n
F
-
F
=
, де ò
p
=F
-
x
0
2
z
dze
2
1
)x(
2
, npq
npm
x
1
1
-
=, npq
npm
x
2
2
-
=. )
x
(
F
– функція Лапласа, значення якої для додатних значень аргументу x
)
5
x
0
(
£
£
наведено в спеціальній таблиці (додаток 4). Для від’ємних значень аргументу також користуються цією таблицею, враховуючи, що функція Лапласа є непарною, тобто )
x
(
)
x
(
F
-
=
-
F
. Якщо значення 5
x
>
, то 5
,
0
)
x
(
=
F
. 22
3.1.4. Види випадкових величин. Дискретні випадкові величини (ДВВ) та їх закони розподілу Одним із основних понять теорії ймовірностей є поняття випадкової величини, з яким пов’язане уявлення про стохастичний експеримент, що полягає у вимірюванні певної числової величини Х. Випадковою величиною називається величина, що в результаті випробування може набути лише одного можливого значення, заздалегідь невідомого та зумовленого випадковими причинами. Випадкові величини позначаються великими латинськими літерами ...,
Z
,
Y
,
X
а їх можливі значення маленькими латинськими літерами n,1i,z,y,x
iii
=K. Розрізняють два види випадкових величин: дискретні та неперервні. Дискретною називають випадкову величину (ДВВ), можливими значеннями якої є окремі ізольовані числа, які ця величина набуває з певними ймовірностями. Кількість можливих значень може бути скінченною або нескінченною. Неперервною називають випадкову величину (НВВ), що може набувати будь-якого значення з деякого скінченного або нескінченного інтервалу. Законом розподілу дискретної випадкової величини називається відповідність між її можливими значеннями та їх ймовірностями. Закон розподілу дискретної випадкової величини можна задати: таблично, графічно та аналітично. 23
Табличний спосіб. Таблиця розподілу ймовірностей має вигляд X
1
x
2
x
K
n
x
P
1
p
2
p
K
n
p
де n,1i),xX(Pp
ii
===. У першому рядку стоять усі можливі значення дискретної випадкової величини X
, а в другому – відповідні ймовірності цих значень. Враховуючи, що події 1
xX =, 2
xX =, …, n
xX = утворюють повну групу, то å
=
=
n
1
i
i
1p. За допомогою даної формули контролюють правильність виконання розрахунків ймовірностей у таблиці. Графічний спосіб. Закон розподілу дискретної випадкової величини X
можна зобразити графічно у вигляді многокутника розподілу. Для цього на осі абсцис прямокутної системи координат відкладаємо можливі значення дискретної випадкової величини, а на осі ординат – відповідні ймовірності цих значень. При цьому будуються точки з координатами )p;x(
1
1
, )p;x(
2
2
,…,)p;x(
nn
та з’єднуються відрізками прямих. У результаті дістанемо геометричну фігуру, що називається багатокутником розподілу. 24
Аналітичний спосіб. За аналітичного способу подання закону розподілу дискретної випадкової величини задається функція n,1i),x(f)xX(Pp
iii
====. Прикладами аналітичного способу задання закону розподілу є біномний розподіл, розподіл Пуассона. Біномним називають закон розподілу дискретної випадкової величини X
- числа появи події в n
незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює p
. Ймовірність того, що X
набуде значення m (
m
- число появ події) обчислюється за формулою Бернуллі mnmm
n
qpC)mX(P
-
==. Дискретна випадкова величина X
має розподіл Пуассона з параметром l
(
p
n
×
=
l
), якщо вона набуває значення 0x
1
=
, 1x
2
=
, …, nx
1n
=
+
з ймовірностями l-
×
l
»= e
!
m
)mX(P
m
. 25
3.1.5 Числові характеристики ДВВ До числових характеристик випадкових величин належать математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення. Математичним сподіванням дискретної випадкової величини X
називається число, що дорівнює сумі добутків усіх її можливих значень на відповідні ймовірності та позначається )
X
(
M
: å
=
=
n
1
i
ii
px)X(M. Властивості математичного сподівання: 1. Математичне сподівання сталої величини дорівнює цій сталій (
)
CCM
=
. 2. Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання (
)
(
)
XMCCXM
×
=
. 3. Математичне сподівання добутку двох незалежних дискретних величин дорівнює добутку їх математичних сподівань (
)
(
)
(
)
YMXMYXM
×
=
×
. 4. Математичне сподівання суми двох незалежних дискретних величин дорівнює сумі їх математичних сподівань (
)
(
)
(
)
YMXMYXM
+
=
+
. Дисперсією дискретної випадкової величини X
називається число, що дорівнює математичному сподіванню квадрата відхилення X
від її математичного сподівання і позначається )
X
(
D
: (
)
(
)
(
)
2
)X(MXMXD -=. 26
Теорема. Дисперсія дискретної випадкової величини Х дорівнює різниці між математичним сподіванням квадрата випадкової величини Х та квадратом її математичного сподівання: )X(M)X(M)X(D
22
-=. Властивості дисперсії: 1. Дисперсія дискретної випадкової величини Х невід’ємна, тобто (
)
0XD
³
. 2. Дисперсія сталої величини С дорівнює нулю, тобто (
)
0CD
=
. 3. Сталий множник можна виносити за знак дисперсії, піднісши його спочатку до квадрату: (
)
(
)
XDCCXD
2
×=. 4. Дисперсія алгебраїчної суми двох незалежних дискретних випадкових величин Х та У дорівнює сумі їх дисперсій, тобто (
)
(
)
(
)
YDXDYXD
+
=
±
. Середнім квадратичним відхиленням називають корінь квадратний з дисперсії: )X(D)X( =s. 27
3.1.6. Неперервні випадкові величини (НВВ). Функція та щільність розподілу ймовірностей Інтегральною функцією )
x
(
F
розподілу або функцією розподілу ймовірностей випадкової величини називається ймовірність того, що випадкова величина X
в результаті випробування набуде значення, меншого за значення x
, де x
– довільне дійсне число. )
x
X
(
P
)
x
(
F
<
=
. Властивості функції розподілу )
x
(
F
: 1. Значення функції )
x
(
F
є в межах від 0 до 1, тобто 1
)
x
(
F
0
£
£
. 2. Функція )
x
(
F
- неспадна, тобто )x(F)x(F
1
2
³
, якщо 1
2
xx
>
. 3. Якщо можливі значення неперервної випадкової величини належать інтервалу (
)
b,a, то 0
)
x
(
F
=
, якщо a
x
£
та 1
)
x
(
F
=
, якщо b
x
³
. 4. Функція розподілу неперервна зліва. Диференціальною функцією розподілу )
x
(
f
або щільністю розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини називається перша похідна від її інтегральної функції )
x
(
F
, тобто )
x
(
'
F
)
x
(
f
=
. 28
Теорема. Ймовірність того, що неперервна випадкова величина набуде значення з інтервалу )
b
,
a
(
дорівнює визначеному інтегралу від щільності розподілу в межах від a
до b
: ò
=<<
b
a
dx)x(f)bXa(P, або використовуючи функцію розподілу )
a
(
F
)
b
(
F
)
b
X
a
(
P
-
=
<
<
. Наслідок. Функція )
x
(
F
розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини виражається через щільність розподілу
)
x
(
f
за допомогою рівності ò
=
¥
-
x
dt)t(f)X(F. Властивості щільності розподілу )
x
(
f
: 1. Щільність розподілу ймовірностей випадкової величини є невід’ємною функцією, тобто 0
)
x
(
f
³
. 2. Невласний інтеграл від щільності розподілу ймовірностей випадкової величини у нескінченних межах дорівнює одиниці, тобто ò
=
¥
+
¥
-
1dx)x(f. 3. Якщо випадкова величин Х набуває значення з інтервалу (
)
b,a, то 0
)
x
(
f
=
, якщо a
x
<
та якщо b
x
>
. 4. Щільність розподілу )
x
(
f
є границею відношення ймовірності того, що випадкова величина набуде значення з інтервалу (
)
xx,x
D
+
, до довжини інтервалу x
D
, коли 0
x
®
D
. 29
3.1.7. Числові характеристики НВВ Для неперервних випадкових величин, як і для дискретних, використовуються визначені раніше числові характеристики, але обчислюються вони за іншими формулами. Теорема. Якщо неперервна випадкова величина, що набуває можливих значень з відрізка [
]
b,a, має щільність )
x
(
f
, то її математичне сподівання знаходять за формулою ò
=
b
a
dx)x(xf)X(M. Зауваження. Якщо можливі значення X
належать множині дійсних чисел, то ò
=
¥
¥
-
dx)x(xf)X(M. Теорема. Якщо неперервна випадкова величина набуває можливих значень з відрізку [
]
b,a, то ò
-=
b
a
2
dx)x(f))X(Mx()X(D. Зауваження. Якщо можливі значення X
належать множині дійсних чисел, то ò
-=
¥
¥
-
dx)x(f))X(Mx()X(D
2
. 30
Дисперсію неперервної випадкової величини можна також знайти за формулою ( )
XMdx)x(fx)X(D
2
b
a
2
-
ò
= або ( )
XMdx)x(fx)X(D
22
-
ò
=
¥
¥
-
. Середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини визначається та обчислюється за формулою: )X(D)X( =s. 3.1.8. Рівномірний, показниковий і нормальний закони розподілу Основними законами розподілу неперервних випадкових величин є рівномірний, показниковий і нормальний. Неперервна випадкова величина X
називається рівномірно розподіленою на відрізку [
]
b,a, якщо щільність розподілу її стала на цьому відрізку і має вигляд ï
î
ï
í
ì
>
£<
-
£
=
.bx якщо ,0
,bxaякщо ,
ab
1
,axякщо ,0
)x(f Функція розподілу має вигляд ï
î
ï
í
ì
>
£<
-
-
£
=
.bxякщо ,1
,bxa якщо ,
ab
ax
,axякщо ,0
)x(F 31
Теорема. Якщо неперервна випадкова величина X
рівномірно розподілена на відрізку [
]
b,a, то її числовими характеристиками є: 2
ba
)X(M
+
=; (
)
12
ab
)X(D
2
-
=; (
)
6
3ab
)X(
-
=s
. Неперервна випадкова величина X
називається розподіленою за показниковим законом з параметром 0
>
l
, якщо її щільність розподілу ймовірності має вигляд î
í
ì
³l
<
=
l-
.0xприe
,0xпри0
)x(f
x
Функція розподілу має вигляд î
í
ì
³-
<
=
l-
.0xприe1
,0xпри0
)x(F
x
Теорема. Якщо неперервна випадкова величина X
розподілена за показниковим законом, то її числовими характеристиками є: l
=
1
)X(M; 2
1
)X(D
l
=; l
=s
1
)X(. Неперервна випадкова величина X
називається розподіленою за нормальним законом розподілу з параметрами s
,
a
, якщо її щільність розподілу ймовірності має вигляд ( )
2
2
2
ax
e
2
1
)x(f
s
-
-
ps
= , (
)
+¥
¥
-
Î
;x, R
a
Î
, 0
>
s
, а її інтеграл ( )
dze
2
1
)x(F
2
2
2
az
x
s
-
-
¥
-
ò
ps
=. називається нормальною функцією розподілу. 32
Теорема. Якщо неперервна випадкова величина X
розподілена за нормальним законом розподілу, то її математичне сподівання a
)
X
(
M
=
, а середнє квадратичне відхилення дорівнює s
=
s
)
X
(
. Теорема. Ймовірність того, що випадкова величина X
, що розподілена за нормальним законом, набуде значення, яке належить інтервалу )
;
(
b
a
, дорівнює ÷
ø
ö
ç
è
æ
s
-
a
F-
÷
ø
ö
ç
è
æ
s
-
b
F=b<<a
aa
)X(P
, де dze
2
1
)x(
2
z
x
2
-
¥
-
ò
p
=F – функція Лапласа, значення якої наведено в таблиці (додаток 4). Ймовірність того, що абсолютна величина відхилення випадкової величини від її математичного сподівання менше додатного числа δ, дорівнює ( )
÷
ø
ö
ç
è
æ
s
d
F=d<- 2aXP. Правило 3σ. З ймовірністю, близькою до одиниці, значення нормально розподіленої величини лежать в інтервалі довжиною 6σ і центром а. Ймовірність того, що доля (частість) деякої величини відхилиться від середньої не більше наперед заданої величини: ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×eF=÷
ø
ö
ç
è
æ
e<-
pq
n
2p
n
m
P. 33
3.2. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ 3.2.1. Статистичні ряди розподілу та їх характеристики Математична статистика – це розділ математики, який вивчає закономірності, що мають місце в масових явищах і статистичних сукупностях. Зміст математичної статистики складають математичні методи систематизації, обробки та аналізу масових статистичних даних незалежно від їх якісного змісту. Основні завдання математичної статистики: - встановлення законів розподілу різних випадкових змінних, одержаних в результаті статистичного спостереження; - перевірка статистичних гіпотез; - оцінка невідомих параметрів різних розподілів. Статистичні ряди розподілу – це впорядковані статистичні сукупності, тобто сукупності (множини) однорідних об’єктів чи явищ, об’єднаних за певними ознаками кількісного чи якісного характеру в єдине ціле. Ранжирований ряд – це ряд чисел, які знаходяться в порядку зростання або спадання ознаки, що варіює. Розподіл одиниць сукупності за ознаками, що не мають кількісного виразу, називається атрибутивним рядом. 34
Ряди розподілу одиниць сукупності за ознаками, що мають кількісний вираз, називаються варіаційними рядами. У них розрізняють два елементи: х
і – варіанту і n
i
– частоту. Отже, варіаційний ряд розподілу – це впорядкована статистична сукупність, в якій значення варіант розміщені в порядку зростання (спадання) і вказані їх відповідні частоти (відносні частоти). Дискретні варіаційні ряди – це такі ряди розподілу, в яких варіанта як величина кількісної ознаки може набувати тільки певних (цілих) значень. Інтервальні варіаційні ряди – такі ряди розподілу, в яких значення варіанти дано у вигляді інтервалів, тобто значення ознак можуть відрізнятися одне від одного на будь-яку малу величину. Дискретний ряд розподілу Інтервальний ряд розподілу
Варіанта Частота Варіанта Частота х
1
х
2 ...
х
k
n
1
n
2
... n
k
х
1
___ х
2
х
2
___ х
3 … х
k
___ х
k+1
n
1
n
2
... n
k
ån
i
ån
i
å
n
i
= n – об’єм вибірки. Значення х
і
, що спостерігалися, називаються варіантами. Числа спостережень n
i
називаються частотами, а їх відношення до об'єму вибірки n
– відносними частотами (частостями): n
n
W
i
i
=. 35
Для графічного зображення дискретного ряду розподілу використовують полігон частот (відносних частот) – ламану, відрізки якої сполучають точки (x
1
; n
1
), (x
2
; n
2
),..., (x
k
; n
k
), ((x
1
; w
1
), (x
2
; w
2
),...,(x
k
; w
k
)) в прямокутній системі координат. Поділимо інтервал, у якому містяться всі значення ознаки X, що спостерігаються, на декілька частинних інтервалів довжиною h і знайдемо для кожного частинного інтервалу значення n
і
– суму частот, що містяться у і-му інтервалі. Гістограмою частот називають ступінчасту фігуру, що складається з прямокутників, основами яких є частинні інтервали довжиною h, висоти дорівнюють відношенню n
n
i
, яке називається щільністю частоти.
Гістограмою відносних частот називається ступінчаста фігура, що складається з прямокутників, основами яких є частинні інтервали довжиною h, а висоти дорівнюють відношенню h
W
i
, що називається щільністю відносної частоти. Для графічного зображення ранжированого ряду використовують огіву, відклавши на осі абсцис нагромаджені частоти, а на осі ординат - значення варіант. Емпіричною функцією розподілу називається функція F
*
(x), яка визначає для кожного значення ознаки Х відносну частоту подій x
X
<
: n
n
)x(F
x
=
*
, де n – об’єм вибірки; n
x – число варіант, для яких X < x. 36
3.2.2. Середні величини Найважливішою характеристикою варіаційного ряду розподілу є середня величина. Статистичні середні відображають об’єктивну наявність певних умов, які проявляються в кожній одиниці досліджуваної сукупності, вони дають узагальнюючу кількісну характеристику статистичним сукупностям однотипних явищ за варіаційною ознакою. Середня узагальнює або являє собою весь діапазон даних і є результатом абстрагування від відмінностей, що притаманні окремим одиницям сукупностей. Середні поділяються на об’ємні та структурні. Середню можна визначити як просту, коли значення варіант спостерігаються в сукупності лише один раз або однакову кількість разів, і як зважену, коли значення варіант повторюються різну кількість разів. Степеневі середні (проста і зважена) мають вигляд: k
k
i
n
x
x
å
=; k
i
i
k
i
n
nx
x
å
×
å
=, (проста) (зважена) де x
– степенева середня; k – показник степеня, що визначає вид середньої; i
x - варіанта; n
i
– частоти (
å
=
i
nn ). Відповідні формули степеневих середніх подано в таблиці 3.1. 37
Таблиця 3.1 Формули степеневих середніх Розмір
Вид степеневої Степенева
середня (к) середньої проста зважена -1 Гармонійна å
=
i
x
1
n
x å
å
=
i
i
i
x
n
n
x 0 Геометрична
n
k21
x...xxx ×××= å
×=
i k
21
n n
k
n
2
n
1
x...xxx
1 Арифметична
n
x
x
i
å
= å
å
×
=
i
ii
n
nx
x 2 Квадратична n
x
x
2
i
å
= å
å
×
=
i
i
2
i
n
nx
x Властивості середньої арифметичної 1. Якщо варіанти ряду помножити або поділити на одну і ту ж величину, то середня арифметична відповідно збільшиться або зменшиться в стільки ж разів: h
x
n
n
h
x
h
1
n
n
h
x
i
i
i
i
i
i
=
å
å
×
×=
å
å
×
. 2. Якщо до варіант ряду додати (відняти) одну і ту ж величину, то середня арифметична збільшиться (зменшиться) на цю саму величину. (
)
0
i
i
0
i
i0
i
ii
i
i0i
xx
n
n
xx
n
nx
n
nx
n
nxx
-=
å
å
×-=
å
å
×
-
å
å
×
=
å
å
×
-
. 38
3. Величина середньої арифметичної не зміниться, якщо частоти ряду розподілу замінити частостями: x
n
nx
n
1
n
1
n
n
n
n
x
i
ii
i
i
i
=
å
å
×
×=
å
å
×
4. Алгебраїчна сума відхилень окремих варіант від середньої арифметичної дорівнює нулю: (
)
0nxnxnxx
iiiii
=
å
×-
å
×=
å
×-. 5. Сума квадратів відхилень від середньої арифметичної завжди менша, ніж сума квадратів відхилень від будь-якої іншої величини. 6. Загальна середня дорівнює середній із часткових середніх, зважених за чисельностями відповідних груп сукупності å
å
×
=
+++
×++×+×
=
i
i
i
k21
k
k
2
2
1
1
n
nx
n...nn
nx...nxnx
x. Спрощений метод розрахунку середньої арифметичної заснований на використанні ряду її властивостей і називається методом відліку від умовного початку х
0
: 0
i
i
0i
0
xh
n
n
h
xx
xh'xx +×
å
å
×
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=+×=, де å
å
×
=
i
i
'
i
n
nx
'x – зменшена середня арифметична; h
xx
'x
0i
-
= – відхилення в інтервалах; 0
x – початок відхилу; h – величина інтервалу. 39
Правило мажорантності середніх: квадрарифмгеомгарм
ххxx
<
<
<
. Для характеристики статистичних рядів розподілу використовуються також структурні середні: мода та медіана. Мода – це варіанта, що має найбільшу частоту. Для інтервального ряду розподілу мода визначається за формулою: ( ) ( )
1MоMо1MоMо
1МоМо
min Mо
nnnn
nn
hxМо
+-
-
-+-
-
×+=, де min Mo
x – нижня границя модального інтервалу (інтервалу, який має найбільшу частоту); h
– величина інтервалу; Mо
n – частота модального інтервалу; 1Mо
n
-
– частота передмодального інтервалу; 1Mо
n
+
– частота післямодального інтервалу. Медіана – це значення варіанти в середині ранжированого ряду розподілу. Для інтервального ряду розподілу: Me
1Mei
min Me
n
Sn5,0
hxМe
å
-
×+=
-
, де min Me
x – нижня границя медіанного інтервалу (інтервалу, якому відповідає перша із нагромаджених частот, що перевищує половину всього об’єму сукупності); h
– величина інтервалу; å
i
n5,0 – половина суми всіх частот; 1Me
S
-
– нагромаджена частота передмодального інтервалу; Me
n – частота медіанного інтервалу. 40
3.2.3. Показники варіації Задачі вивчення варіації: 1) визначити міру варіації, тобто кількісно виміряти ступінь мінливості сукупності (визначити показники варіації); 2) вияснити причини варіації, тобто вивчити вплив як випадкових, так і систематично діючих факторів (за допомогою дисперсійного аналізу). Варіація – це коливання ознаки. Для характеристики міри варіації потрібно використовувати показники варіації, що подані в таблиці 3.2. Розмах варіації дає лише загальне уявлення про розміри варіації, тобто її наближену оцінку. Середнє лінійне відхилення характеризує повноту коливання ознаки. Чим більш його величина, тим менш однорідною вважається сукупність. Середнє квадратичне відхилення характеризує абсолютну міру варіації, показує на скільки одиниць у середньому всі значення ознаки відрізняються від середньої арифметичної. 41
Таблиця 3.2 Формули розрахунку показників варіації Статистична Форми показника
варіації характе-
ристика варіації проста зважена Розмах варіації minmax
XXR
-
=
minmax
XXR
-
=
Середнє лінійне відхилення n
xx
d
i
å
-
=
å
×
å
-
=
i
ii
n
nxx
d Дисперсія, середній квадрат відхилень (
)
n
xx
2
i
2
å
-
=s (
)
å
å
×-
=s
i
i
2
i
2
n
nxx
Середнє квадратичне відхилення ( )
n
xx
2
i
å
-
=s ( )
å
å
×-
=s
i
i
2
i
n
nxx
Коефіцієнт варіації за середнім квадратичним відхиленням %100
x
V ×
s
=
s
%100
x
V ×
s
=
s
Коефіцієнт варіації характеризує відносну міру варіації і дозволяє порівнювати ступінь варіації в рядах розподілу з різним рівнем середніх. Якщо V = 5 % – варіація слабка, 6-10 – помірна, 10-20 – значна, 21-50 – велика, V > 50 % – дуже велика. Властивості дисперсії: 1. Якщо з усіх можливих варіант відняти стале число А, то величина дисперсії не зміниться: ( )
22
Ax
i
s=s
-
. 42
2. Якщо значення варіант поділити на стале число А, то величина дисперсії зменшиться в А
2
, а середнє квадратичне відхилення – в А разів: A
2
2
A
x
i
s
=s
÷
ø
ö
ç
è
æ
. 3. Якщо обчислити середній квадрат відхилень будь-якої величини А, який відрізняється тією чи іншою мірою від середньої x
, то величина його завжди буде більше середнього квадрата відхилень, обчисленого відносно середньої: 22
A
s>s (властивість мінімальності). (
)
2
22
A
Ax -+s=s; (
)
2
22
A
Ax --s=s. 4. Дисперсія сталої величини дорівнює нулю 0
2
constA
=s
=
. Спрощений метод розрахунку дисперсії заснований на використанні її властивостей і називається методом відліку від умовного початку х
0. Обчислення дисперсії методом відліку від умовного початку x
0
: ( )
2
0
2
i
i
2
0i
2
xxh
n
n
h
xx
--×
å
å
×
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=s. Спрощена формула для обчислення дисперсії: [ ]
[ ]
2
i
i
2
i
2
22
x
n
nx
xx -
å
å
×
=-=s, де 2
x
– середнє квадратів варіант; [
]
2
x – квадрат середньої. 43
3.2.4. Статистична оцінка параметрів розподілу Вибірковим називається таке спостереження, за якого досліджуванню підлягає лише частина одиниць сукупності, відібраних на основі науково розроблених принципів, що забезпечують одержання достатніх даних для характеристики всієї сукупності в цілому. Генеральною сукупністю називається вихідна сукупність об'єктів, з яких робиться вибірка. Вибірковою сукупністю (вибіркою) називається сукупність випадково відібраних об’єктів. Об'ємом сукупності (вибіркової або генеральної) називається число об'єктів цієї сукупності. Нехай з генеральної сукупності значень дискретної випадкової величини X зроблено вибірку, причому значення х
1
спостерігалося n
1
разів, х
2
– n
2
разів, х
к
– n
к
разів, тоді nn
i
=
å
– об'єм вибірки. Статистична оцінка – це наближене значення шуканого параметра генеральної сукупності, що одержане за результатами вибірки та забезпечує можливість прийняття обґрунтованих рішень про невідомі параметри генеральної сукупності. Основні вимоги до статистичних оцінок: незміщеність, ефективність, спроможність і достатність. Незміщеною називається статистична оцінка *
Q
, математичне сподівання якої рівне оцінюваному параметру Q
за будь-якого об’єму вибірки, тобто (
)
Q=Q
*
М. 44
Ефективною називається така незміщена оцінка *
Q
, що має найменшу дисперсію серед усіх можливих незміщених оцінок параметра Q
, обчислених за вибірками однакового об’єму. Спроможною називається така статистична оцінка *
Q
, що при ¥
®
n
наближається за ймовірністю до оцінюваного параметра Q
, тобто це статистична оцінка, підпорядкована закону великих чисел: (
)
1Plim
n
=e<Q-Q
*
¥®
. Достатньою (або вичерпною) називається така статистична оцінка *
Q
, що забезпечує повноту всієї вибіркової інформації про невідомий параметр генеральної сукупності Q
. Вибірковою середньою B
x називається середнє арифметичне значення ознаки вибіркової сукупності. Якщо всі значення х
1
, х
2
, ..., х
k ознаки вибірки об'єму n різні, то n
x
n
x...xx
x
k
1i
i
k21
B
å
=
=
+++
=. Якщо значення ознаки х
1
, х
2
, ..., х
k
мають відповідні частоти n
1
, n
2 , … n
k причому n
1
+ n
2 + … + n
k = n , то це – зважена вибіркова середня: n
xn
n
xn...xnxn
x
k
1i
ii
kk2211
B
å
=
=
+++
=. Вибірковою дисперсією D
В
називається середнє арифметичне квадратів відхилення спостережуваних значень ознаки від їх 45
середнього значення B
x. Якщо всі значення х
1
, х
2
, ..., х
k
ознаки вибірки об’єму n різні, то (
)
n
xx
D
k
1i
2
Bi
B
å
=
-
=. Якщо значення ознаки х
1
, х
2
, ..., х
k
мають відповідні частоти n
1
, n
2 , … n
k , причому n
1
+ n
2 + … + n
k = n, то це – зважена вибіркова дисперсія: (
)
n
xxn
D
k
1i
2
Bii
B
å
=
-
=. Вибірковим середнім квадратичним відхиленням (стандартом) називається квадратний корінь з вибіркової дисперсії: BB
D=s. Теорема. Дисперсія дорівнює середньому з квадратів значень ознаки мінус квадрат загальної середньої: [
]
2
2
xxD -=. Генеральною дисперсією називається середнє арифметичне квадратів відхилень значень ознаки генеральної сукупності від їх середнього значення x
. Примітка. За оцінку генеральної дисперсії беруть виправлену вибіркову дисперсію, що позначається S
2
і знаходиться за формулою: (
)
1
n
xxn
D
1
n
n
S
k
1i
2
Bii
B
2
-
-
=×
-
=
å
=
. 46
Нехай задана за даними вибірки статистична характеристика *
q
є оцінкою невідомого параметра q
. *
q
тим точніше визначає q
, чим менше абсолютна величина різниці *
q-q. Отже, якщо 0
>
d
і d<q-q
*
, то чим менше δ, тим оцінка точніше. Додатне число δ характеризує точність оцінки. Надійністю (надійною ймовірністю) оцінки q
за *
q
називається ймовірністю γ, з якою виконується нерівність d<q-q
*
, тобто (
)
d<q-q=g
*
P або (
)
d+q<q<d-q=g
**
P . Надійним називається інтервал (
)
d+qd-q
*
*
,, що покриває невідомий параметр із заданою надійністю γ. Примітка 1. Якщо кількісна ознака X генеральної сукупності розподілена нормально, причому середнє квадратичне відхилення σ цього розподілу відоме, в цьому разі вибіркова середня X
також розподілена нормально, причому (
)
(
)
n
X ,aXM
s
=s=. 47
Тоді, з надійністю γ можна вважати, що надійний інтервал ÷
ø
ö
ç
è
æ
s
+
s
-
n
t
x,
n
t
x покриває невідомий параметр а, точність оцінки n
t
s
=d
, де t визначається з рівності ( )
2
tФ
g
= за таблицею функції Лапласа (додаток 4). Примітка 2. Якщо кількісна ознака X генеральної сукупності розподілена нормально, причому середнє квадратичне відхилення σ невідоме, тоді з надійністю γ можна вважати, що надійний інтервал ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+-
gg
n
st
x ,
n
st
x
покриває невідомий параметр а з надійністю γ. Значення g
t можна знайти у спеціальній таблиці значень (
)
n,tt
g
=
g
(додаток 5), x
- вибіркова середня і s - виправлене середнє квадратичне відхилення. Примітка 3. Надійний інтервал, що покриває середнє квадратичне відхилення д
із заданою надійністю, - це інтервал (
)
(
)
q1 s q1 s
+
<
s
<
-
, де s - виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення, знайдене за вибіркою, значення q знаходять за таблицею значень (
)
n,qq
g
=
(додаток 6). 48
3.2.5. Кореляційний аналіз Статистичною називають залежність, за якої зміна однієї величини викликає зміну розподілу другої. Якщо за зміни однієї з величин змінюється середнє значення другої, то така статистична залежність називається кореляційною. Умовним середнім x
y називається середнє арифметичне значення випадкової величини У, що відповідає значенню Х = х . Тоді кореляційною залежністю У від Х називають функціональну залежність умовної середньої x
y від х, тобто (
)
xfy
x
=
. Рівняння, що відображає зміну середньої величини однієї ознаки У залежно від другої ознаки Х називається рівняння регресії У на Х (кореляційного зв’язку), функція (
)
xf називається регресією У на Х, а її графік – лінією регресії У на Х . У випадку прямолінійної форми зв’язку рівняння регресії буде таким: 01
x
bxby +×=, або ( )
xxryy
x
y
yx
x
-
s
s
=-, де x
y – вирівняне значення результативної ознаки; x – значення факторної ознаки; b
0
– початок відліку (має тільки розрахункове значення); b
1
)(
yx
r
– коефіцієнт регресії, який показує середню зміну результативної ознаки за зміни факторної ознаки на одиницю. 49
Число x
y
yxyx
r
s
s
×=r називається вибірковим коефіцієнтом регресії. Якщо b
1
>0, то зв’язок прямий, якщо b
1
<0 , то зв’язок обернений, якщо b
1
=0 – зв’язок відсутній. Невідомі параметри b
0
i b
1
знаходять за методом найменших квадратів (МНК), який ставить умову, щоб сума квадратів відхилень фактичних значень показника у від теоретичних значень x
y, обчислених за рівнянням регресії, була найменшою. Тобто, щоб за зображення в прямокутній системі координат теоретична лінія регресії проходила б максимально близько до фактичних даних: (
)
å
=- minyy
2
x
i
. Рис. 3.1. Такій умові відповідає пряма, параметри якої є розв’язками системи нормальних рівнянь. ï
î
ï
í
ì
å
=
å
+
å
×
å
=
å
+×
.yxxbxb
;yxbnb
2
10
10
50
Параметри регресії b
0
та b
1 можна також обчислити за формулами: ( )
ï
î
ï
í
ì
-=
-
×-
=
å å
×-
å
å
×
å
-
å
=
.xbyb
;
xx
xyyx
xxxn
xyyxn
b
10
2
2
2
1
Показником тісноти (щільності) зв’язку є лінійний коефіцієнт кореляції yx
yx
yxxy
r
s×s
×-
=
, де n
xy
xy
å
=; n
x
x
å
=; n
y
y
å
=; [ ]
2
2
x
xx -=s; [ ]
2
2
y
yy -=s. Коефіцієнт кореляції yx
r
є в межах від 0 до ±
1. Якщо r = 0 – зв’язок відсутній, r > 0 - зв’язок прямий, r < 0 – зв’язок обернений. Якщо 31nr
yx
³-×, то зв’язок між величиною У і Х вважається достатньо сильним. Якщо r < 0,3 - зв’язку немає, якщо (
)
5,0 ;3,0r
Î
– зв’язок слабкий, якщо (
)
7,0 ;5,0r
Î
– зв’язок середній і якщо r > 0,7 - зв’язок тісний. Коефіцієнт детермінації 2
r
показує, яка частина загальної варіації результативної ознаки обумовлена варіацією факторної ознаки. Вибірковий коефіцієнт кореляції, здобутий за вибірковими даними, є точковою оцінкою і, в свою чергу, випадковою величиною. 51
Тому доцільно зробити перевірку значущості коефіцієнта кореляції. Для цього перевіряється нульова гіпотеза 0r:H
xy0
=
проти альтернативної гіпотези 0r:H
xy1
¹
. Для вибірки обчислюється статистика (t-критерій Стьюдента): 2
xy
xy
r1
2n
rt
-
-
=. Для заданої ймовірності Р і k=n-2 числа ступенів вільності, де n– число спостережень, знаходять табличне значення критерію t-
Стьюдента pk
t
(додаток 7). Якщо Pk
tt ³, то коефіцієнт кореляції є значимим, в протилежному випадку – ні. Для оцінки адекватності прийнятої моделі (лінії регресії) фактичним даним обчислюється розрахункове значення критерію Фішера: (
)
( )
2
n
yy
1
yy
F
n
1i
2
i
x
n
1i
2
x
р о зр
i
i
-
å
-
å
-
=
=
=
, де n – число дослідів. Якщо розрахункове значення Фішера більше ніж табличне, знайдене для даної надійної ймовірності Р і числа ступенів вільності k
1
=1, k
2
=n-2 (додаток 8), то розглянута математична модель адекватна експериментальним даним, у протилежному випадку парну регресію не можна вважати адекватною. 52
4. Приклади виконання типових завдань Завдання 1
У відділі 9 стрільців: 3 дуже хороших, 4 хороших та 2 посередніх. Ймовірності влучення в мішень для стрільців кожної категорії відповідно дорівнюють: р
1
= 0,95, р
2
= 0,8, р
3
= 0,6. 1. Викликають по одному стрільцю із кожної групи, кожен з яких робить однин постріл по мішені. Визначити ймовірність того, що: а) усі стрільці влучать в мішень; б) двоє із трьох вразять мішень; в) хоча б один стрілець влучить у мішень. 2. Викликають навмання одного стрільця, який повинен зробити постріл. Визначити ймовірність того, що він влучить. 3. Після пострілу мішень вражено. Визначити, до якої групи найімовірніше належить стрілець. Розв’язання
Введемо позначення подій: А
1
– стрілець першої групи влучив у мішень, А
2
– стрілець другої групи влучив у мішень, А
3
– стрілець третьої групи влучив у мішень. Відповідно протилежні події, тобто промахи: 1
A - стрілець першої групи промахнувся, 2
A - стрілець другої групи промахнувся, 3
A - стрілець третьої групи промахнувся. 53
Ймовірність протилежної події q = 1 – p, тому, ймовірність того, що стрілець першої групи не влучить q
1 = 1 – p
1
= 1 – 0,95 = 0,05, відповідно ймовірність промаху для стрільця другої групи q
2 = 1 – p
2
= = 1 – 0,8 = 0,2. Аналогічно, q
3 = 1 – p
3
= 1 – 0,6 = 0,4. 1. а) Нехай подія В – усі стрільці влучили у мішень. Подія В – це одночасна поява подій 1
A, 2
A, 3
A і згідно із поняттям добутку подій, можемо записати: 321
AAAB
×
×
=
. Оскільки ймовірність того, що стрілець однієї з груп влучить (або ні) у мішень не залежить від того, влучать чи ні стрільці інших груп, то дані події є незалежними. Тому можемо скористатися теоремою про множення ймовірностей незалежних подій: =
×
×
=
×
×
=
)A(P)A(P)A(P)AAA(P)B(P
321321
456,06,08,095,0ppp
321
=
×
×
=
×
×
=
. Відповідь: ймовірність того, що всі стрільці влучать у мішень 456
,
0
p
=
. б) Подія С – двоє із трьох стрільців влучать у мішень складається із таких подій: D – влучили перший та другий стрільці, третій – ні; E – влучили перший та третій стрільці, другий – ні; F – влучили другий та третій стрільці, перший – ні. Ці події несумісні між собою, тобто ніякі дві з них не можуть відбутися одночасно, тому, згідно з принципом суми подій: C = D + E + F. 54
Подія D складається із одночасної появи незалежних подій: перший влучив А
1
, другий влучив А
2
, третій промахнувся 3
A. Тому, згідно з поняттям добутку подій, можемо записати: 321
AAAD ××=. Аналогічно, 321
AAAE ××=, 321
AAAF ××=. Використовуючи теореми додавання ймовірностей несумісних і множення незалежних подій, маємо: (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
+
+
=
+
+
=
FPEPDPFEDPCP (
)
(
)
(
)
=××+××+××=
321321321
AAAPAAAPAAAP (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=××+××+××=
321321321
APAPAPAPAPAPAPAPAP
=
×
×
+
×
×
+
×
×
=
321321321
ppqpqpqpp 442
,
0
6
,
0
8
,
0
05
,
0
6
,
0
2
,
0
95
,
0
4
,
0
8
,
0
95
,
0
=
×
×
+
×
×
+
×
×
=
. Відповідь: ймовірність того, що двоє стрільців із трьох влучать у мішень 442
,
0
p
=
. в) Подія G – «влучить хоча б один стрілець», є протилежною до події «не влучить жоден». Нехай подія Н – жоден стрілець не влучив у мішень. Подія Н складається із одночасної появи подій 1
A, 2
A, 3
A і згідно із поняттям добутку подій, можемо записати: 321
AAAH ××=. Оскільки ймовірність того, що стрілець однієї з груп влучить (або ні) у мішень не залежить від того, влучать чи ні стрільці інших груп, то дані події є незалежними. Тому можемо скористатися теоремою множення ймовірностей незалежних подій: 55
=××=××= )A(p)A(p)A(p)AAA(p)H(p
321321
004,04,02,005,0qqq
321
=
×
×
=
×
×
=
Отже, р(G) = 1 – р(Н) = 1 – 0,004 = 0,996. Відповідь: ймовірність того, що в мішень влучить хоча б один стрілець із трьох 996
,
0
p
=
. 2. Нехай подія А – стрілець влучив у мішень. Розглянемо гіпотези: Н
1
– викликали стрільця із першої групи; Н
2
– викликали стрільця із другої групи; Н
3
– викликали стрільця із третьої групи. Згідно з теоремою про повну ймовірність )A(P)H(P)A(P)H(P)A(P)H(P)A(P
321
H3H2H1
×
+
×
+
×
=
, де Р(Н
1
), Р(Н
2
), Р(Н
3
) – ймовірності того, що буде викликано стрільця відповідно із першої, другої, або третьої груп. (
)
AP
i
H
- ймовірність того, що мішень вражено, за умови, що це зробив стрілець i –ї групи. Визначимо потрібні ймовірності. Згідно з класичним означенням ймовірності n
m
)A(P = – відношення числа результатів сприятливих появі даної події до загального числа можливих результатів. Оскільки у нас усього дев’ять стрільців, а до першої групи відносяться троє, то ймовірність того, що буде викликано стрільця першої групи ( )
3
1
9
3
HP
1
==. Аналогічно, ( )
9
4
HP
2
=; ( )
9
2
HP
3
=. 56
Перевіримо правильність знайдених ймовірностей гіпотез: å
==
+
+
=++=
=
3
1
i
i
1
9
9
9
243
9
2
9
4
3
1
)H(P. Згідно з умовою задачі, ймовірність того, що стрілець першої групи влучить у мішень, (
)
95,0AP
1
H
=
, відповідно, другої - (
)
8,0AP
2
H
=
і третьої (
)
6,0AP
3
H
=
. Підставляємо отримані значення у формулу повної ймовірності: ( )
8056,06,0
9
2
8,0
9
4
95,0
3
1
AP =×+×+×=. Відповідь: ймовірність того, що мішень буде вражено Р(А)=0,8056. 3. Оскільки подія вже відбулася, то розглянемо подію А – мішень вражено. Для переоцінки ймовірностей необхідно скористатися формулою Байєса: ( )
(
)
(
)
( )
Ap
ApHp
Hp
i
Hi
iA
×
=. Проведемо оцінювання для кожної з груп стрільців. Усі необхідні дані для цього вже є: ( )
( ) ( )
( )
3931,0
8056,0
95,0
3
1
AP
APHP
HP
1
H1
1A
=
×
=
×
=; ( )
( ) ( )
( )
4414,0
8056,0
8,0
9
4
AP
APHP
HP
2
H2
2A
=
×
=
×
=; 57
( )
( )
( )
( )
1655,0
8056,0
6,0
9
2
AP
APHP
HP
3
H3
3A
=
×
=
×
=. Оскільки å
=++=
=
3
1
i
iA
11655,04414,03931,0)H(P, то переоцінені гіпотези знайдено правильно. Порівняємо їх. Бачимо, що найбільша ймовірність (
)
4414,0HP
2
A
=
. Отже, стрілець, що вразив мішень, найімовірніше відноситься до другої групи. Відповідь: стрілець, що вразив мішень, найімовірніше відноситься до другої групи. Завдання 2
Випробовують 100 деталей. Ймовірність того, що деталь зіпсована, дорівнює 0,1. 1. Знайти найвірогідніше число зіпсованих деталей у перевіреній партії. 2. Знайти ймовірність найвірогіднішого числа зіпсованих деталей. Обчислення провести за формулами Бернуллі, Лапласа та Пуассона. Порівняти отримані результати. 3. Ймовірність того, що навмання взятий виріб у партії буде першого сорту, дорівнює 3
2
. Скільки одиниць цього виробу слід узяти, щоб найвірогідніше число виробів першого сорту дорівнювало б 270? 58
1. Знайти найвірогідніше число зіпсованих деталей у перевіреній партії. Розв’язання
Оскільки всі випробовування між собою незалежні, повторюються багато разів, мають лише два можливі наслідки, ймовірності цих наслідків є сталими для всіх випробувань, то вони утворюють схему Бернуллі. Згідно з теоремою про найвірогідніше число «успіхів» у схемі Бернуллі: pnpkqnp
0
+
£
£
-
. У нашому випадку: n = 100, p = 0,1, q = 1 – p = 1 – 0,1 = 0,9. Обчислюємо: 1
,
9
9
,
0
1
,
0
100
q
np
=
-
×
=
-
; 1
,
10
1
,
0
1
,
0
100
p
np
=
+
×
=
+
. Отже, 1,10k1,9
0
£
£
. У нашому випадку k – число деталей повинно бути цілим числом, тому [
]
[
]
101,10pnpk
0
=
=
+
=
. Відповідь: найвірогідніше, що буде зіпсовано 10 деталей. 2. Використовуючи умову попередньої задачі, знайти ймовірність найвірогіднішого числа зіпсованих деталей. Обчислення провести за формулами Бернуллі, Лапласа та Пуассона. Порівняти отримані результати. 59
Розв’язання
Згідно з умовою задачі: n = 100, k = 10, p = 0,1, q = 0,9 (див. п.1). За формулою Бернуллі, ймовірність того, що в п випробуваннях подія настане рівно k разів: (
)
knkk
nn
qpCkP
-
××=, де ( )
!kn!k
!n
C
k
n
-×
=. Підставивши дані, отримаємо: ( )
=
×
=
-
=
!90!10
!100
!10100!10
!100
C
10
100
13
1073,1
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
100999897969594939291
×=
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
=; (
)
1318,09,01,01073,110P
901013
100
=×××=. Згідно з формулою Лапласа: ( )
( )
x
npq
1
kP
n
j×=
, де npq
npk
x
-
=
. Підставивши вихідні дані, отримаємо: 39,01,0100npq =××=; 0
3
1,010010
x =
×
-
=; Згідно з таблицями для функції Гауса (
)
(
)
3989,00x
=
j
=
j
(додаток3). Підставивши дані, отримаємо: ( )
132967,03989,0
3
1
kP
n
=×=. За формулою Пуассона: ( )
l-
×
l
» e
!
k
kP
k
n
, де p
n
×
=
l
. 60
Підставимо: 10
1
,
0
100
=
×
=
l
, ( )
124322,0e
!
10
10
10P
10
10
100
»×»
-
. За цими формулами отримали різні результати, однак обчислення за формулою Лапласа в даному випадку найточніше. Відповідь: ймовірність найвірогіднішого числа зіпсованих деталей (
)
1318,010P
100
=
. 3. Ймовірність того, що навмання взятий виріб у партії буде першого сорту, дорівнює 3
2
. Скільки одиниць цього виробу слід узяти, щоб найвірогідніше число виробів першого сорту дорівнювало б 270? Розв’язання
За умовою, 3
1
q ,
3
2
p ,270k
0
===. Застосовуючи формулу для обчислення найвірогіднішого числа «успіхів», отримуємо 3
2
3
2
n270
3
1
3
2
n +×££-×. Звідси маємо систему: ï
ï
î
ï
ï
í
ì
³+×
£-×
;270
3
2
3
2
n
,270
3
1
3
2
n
або ï
ï
î
ï
ï
í
ì
³
£
.
3
1
269n
3
2
,
3
1
270n
3
2
Звідки 5
,
405
n
404
£
£
. Відповідь: для того, щоб найвірогідніше число виробів першого сорту дорівнювало 270, необхідно взяти 404 або 405 виробів. 61
Завдання 3
Закони розподілу двох незалежних величин мають вигляд: X
1 10 – 12 12 – 14 14 – 16 16 – 18 P 0,1 0,3 0,4 0,2 Y
1 20 – 22 22 – 24 24 – 26 p 0,3 0,5 0,2 Необхідно: 1. Скласти закон розподілу суми двох заданих величин. 2. Перевірити на цьому прикладі справедливість теорем про математичне сподівання та дисперсію суми двох незалежних величин, обчисливши її двома способами. 3. Побудувати багатокутник розподілу випадкової величини та показати на графіку знайдені значення М(Х) та σ(Х). 4. Обчислити, використовуючи властивості математичного сподівання та дисперсії, числові характеристики випадкової величини V = 3X – 2Y. Розв’язання
1. Визначимо середини інтервалів: X
1
10 – 12 12 – 14 14 – 16 16 – 18 X 11 13 15 17 p 0,1 0,3 0,4 0,2 Y
1 20 – 22 22 – 24 24 – 26 Y 21 23 25 p 0,3 0,5 0,2 62
Складемо закон розподілу випадкової величини Z = X + Y. Згідно з означенням суми двох незалежних випадкових величин величина Z набуває можливих значень: z
1 = 11 + 21 = 32; z
2 = 11 + 23 = 34; z
3 = 11 + 25 = 36; z
4 = 13 + 21 = 34; z
5 = 13 + 23 = 36; z
6 = 13 + 25 = 38; z
7 = 15 + 21 = 36; z
8 = 15 + 23 = 38; z
9 = 15 + 25 = 40; z
10 = 17 + 21 = 38; z
11 = 17 + 23 = 40; z
12 = 17 + 25 = 42. Знайдемо ймовірності можливих значень. Для того, щоб z = 32, достатньо, щоб величина X набула значення х
1
= 11 і величина У – значення у
1
= 21. Ймовірності цих можливих значень відповідно дорівнюють 0,1 і 0,3. Оскільки ці величини X
та У
– незалежні, то події х
1
= 11 та у
1
= 21 також незалежні, отже, ймовірність того, що вони настануть одночасно (тобто ймовірність події z = 32) за теоремою множення (
)
03,03,01,032zP
=
×
=
=
. Аналогічно знаходимо: (
)
05,05,01,0342311zP
=
×
=
=
+
=
; (
)
02,02,01,0362511zP
=
×
=
=
+
=
; (
)
09,03,03,0342113zP
=
×
=
=
+
=
; (
)
15,05,03,0362313zP
=
×
=
=
+
=
; (
)
06,02,03,0382513zP
=
×
=
=
+
=
; (
)
12,03,04,0362115zP
=
×
=
=
+
=
; (
)
2,05,04,0382315zP
=
×
=
=
+
=
; (
)
08,02,04,0402515zP
=
×
=
=
+
=
; (
)
06,03,02,0382117zP
=
×
=
=
+
=
; (
)
1,05,02,0402317zP
=
×
=
=
+
=
; 63
(
)
04,02,02,0422517zP
=
×
=
=
+
=
. Серед можливих значень величини Z є декілька однакових, наприклад, Z = 34. Це значення отримується внаслідок настання подій ( Х = 11, У = 23 ) або ( Х = 13, У = 21). Ці події несумісні. Тому згідно з теоремою додавання, ймовірність значення Z = 34 є сумою ймовірностей цих подій: (
)
14,009,005,034ZP
=
+
=
=
. Аналогічно визначаємо інші ймовірності. Запишемо шуканий закон: Z 32 34 36 38 40 42 p 0,03 0,14 0,29 0,32 0,18 0,04 Для контролю сума ймовірностей має дорівнювати одиниці: 0,03 + 0,14 + 0,29 + 0,32 + 0,18 + 0,04 = 1. 2. Згідно з теоремою про математичне сподівання суми двох незалежних величин: М ( Х + У ) = М ( Х ) + М ( У ). Знайдемо відповідні математичні сподівання за означенням: ( )
å
=
=
n
1
i
ii
pxXM. (
)
=
×
+
×
+
×
+
×
=
2,0174,0153,0131,011XM 4
,
14
4
,
3
6
9
,
3
1
,
1
=
+
+
+
=
; (
)
8,2255,113,62,0255,0233,021YM
=
+
+
=
×
+
×
+
×
=
. Для суми двох величин: (
)
(
)
+
×
+
×
+
×
=
+
=
=
+
29,03614,03403,032YXZMYXM 64
=
×
+
×
+
×
+
04
,
0
42
18
,
0
40
32
,
0
38
2
,
37
68
,
1
2
,
7
16
,
12
44
,
10
76
,
4
96
,
0
=
+
+
+
+
+
=
. Отже, 37,2 = 14,4 + 22, 8, або 37,2 = 37,2. Справедливість теореми на даному прикладі доведено. Згідно з означенням дисперсії знайдемо D ( Х ), D ( У ), D ( Z ). (
)
(
)
(
)
=-=
2
XMXMXD (
)
(
)
(
)
+×-+×-+×-= 4,04,14153,04,14131,04,1411
222
(
)
14,32,04,1417
2
=×-+; (
)
(
)
772,114,3XDX ===s; (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
+×-+×-=-= 5,08,22233,08,2221YMYMYD
222
(
)
96,12,08,2225
2
=×-+; (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
+×-+×-=-= 14,02,373403,02,3732ZMZMZD
222
(
)
(
)
(
)
+×-+×-+×-+ 18,02,374032,02,373829,02,3736
222
(
)
2,504,02,3742
2
=×-+ А за теоремою про дисперсію суми двох незалежних величин: D ( Х + У ) = D ( Х ) + D ( У ). Знайдемо відповідні дисперсії за спрощеною формулою: (
)
(
)
(
)
XMXMXD
22
-=. Знаходимо: (
)
=-×+×+×+×=
22222
4,142,0174,0153,0131,011XD 14
,
3
36
,
207
8
,
57
90
7
,
50
1
,
12
=
-
+
+
+
=
; (
)
=-×+×+×=
2222
8,222,0255,0233,021YD 96
,
1
84
,
519
125
5
,
264
3
,
132
=
-
+
+
=
. 65
Для суми: (
)
(
)
+×+×+×=+==+ 29,03614,03403,032YXZDYXD
222
ss
=-×+×+×+
2222
2,3704,04218,04032,038 2
,
5
84
,
1383
56
,
70
288
08
,
462
84
,
375
84
,
161
72
,
30
=
-
+
+
+
+
+
=
. Перевіряємо справедливість: 5,2 = 3,14 + 1,96, або 5,2 = 5,2. Справедливість теореми на даному прикладі доведено. 3. Побудувати багатокутник розподілу випадкової величини та показати на графіку знайдені значення М(Х) та σ(Х). Для побудови багатокутника розподілу на осі ОХ відкладемо значення варіант, а на осі ОУ – значення ймовірностей. Відповідно покажемо М(Х) та σ(Х) (див. рис. 4.1). Рис. 4.1 66
4. Використовуючи властивості математичного сподівання та дисперсії, обчислимо числові характеристики випадкової величини V = 3X – 2Y. Використаємо такі властивості математичного сподівання: а) математичне сподівання суми (або різниці) двох незалежних величини дорівнює сумі (або різниці) їх математичних сподівань; б) сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання. Отже, запишемо: (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
YM2XM3Y2MX3MY2X3MVM
-
=
-
=
-
=
. Підставляючи числові значення, отримані в попередньому пункті, одержимо: (
)
(
)
(
)
4,28,2224,143YM2XM3VM
-
=
×
-
×
=
-
=
. Знайдемо дисперсію. Використаємо властивості дисперсії: а) дисперсія суми (або різниці) двох незалежних величин дорівнює сумі дисперсій цих величин; б) сталий множник можна виносити за знак дисперсії, підносячи його до квадрату. Таким чином: (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
+
=
+
=
-
=
YD4XD9Y2DX3DY2X3DVD 1
,
36
96
,
1
4
14
,
3
9
=
×
+
×
=
. Середнє квадратичне відхилення є коренем із дисперсії 0083,61,36)V(D)V( »==s. Відповідь: (
)
4,2VM
-
=
; (
)
1,36VD
=
; 0083
,
6
)
V
(
»
s
. 67
Завдання 4
1. Випадкова величина Х задана функцією розподілу: ( )
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
p
>
p
£<
p
+
p
£
=
.
2
x якщо ,1
,
2
x
2
-якщо ,xsin1
2
1
,
2
-x якщо ,0
)x(F Знайти: а) диференціальну функцію розподілу f(x) цієї величини та побудувати графіки функцій f(x) і F(x); б) числові характеристики величини Х; в) ймовірність того, що випадкова величина Х в результаті трьох незалежних випробувань рівно два рази набуде значення, що належить інтервалу ÷
ø
ö
ç
è
æ
p
4
;0. Розв’язання
а) За означенням щільності розподілу (диференціальної функції розподілу) )
x
(
F
)
x
(
f
¢
=
. Знаходимо: ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
p
>
p
£<
p
p
£
=
.
2
x якщо ,0
,
2
x
2
-якщо ,xcos
2
1
,
2
-x якщо ,0
)x(f Побудуємо графіки функцій. Підставимо крайні значення у функцію F(x). 68
Якщо 2
x
p
-=: ( )
011
2
1
2
sin1
2
1
)x(F =-=÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-+=; якщо 2
x
p
=: ( )
111
2
1
2
sin1
2
1
)x(F =+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
+= (рис. 4.2). Рис. 4.2 Підставимо крайні значення у функцію f(x). Якщо 2
x
p
-=: 00
2
1
2
cos
2
1
)x(f =×=
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-=; якщо 2
x
p
=: 00
2
1
2
cos
2
1
)x(f =×=
p
=. Візьмемо проміжне значення 0
x
=
: 2
1
1
2
1
0cos
2
1
)x(f =×== (рис. 4.3). Рис. 4.3 69
Відповідь: диференціальна функція розподілу має вигляд: ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
p
>
p
£<
p
p
£
=
.
2
x якщо ,0
,
2
x
2
-якщо ,xcos
2
1
,
2
-x якщо ,0
)x(f б) Для обчислення математичного сподівання скористаємося формулою ( )
ò
=
b
a
dx)x(xfXM. Підставивши 2
a
p
-=, 2
b
p
=, xcos
2
1
)x(f =, дістанемо: ( )
ò
=
ò
××=
p
p
-
p
p
-
2
2
2
2
xdxcosx
2
1
xdxcos
2
1
xXM. Знайдемо інтеграл способом інтегрування за частинами: ò
-
ò
=
vduuvudv. =
ò
-=
ò
==
=
=
=
=
ò
xdxsinxsinx
xsinxdxcosv
dxdu
,xdxcosdv
,xu
xdxcosx
x
cos
x
sin
x
+
=
. Повернемося до обчислення: ( )
( )
=
-
+=
ò
=
p
p
p
p
-
2
2
2
2
xcosxsinx
2
1
xdxcosx
2
1
XM 70
=
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-+
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-
p
--
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
+
pp
=
2
cos
2
sin
22
cos
2
sin
22
1
( )
0
222
1
01
2
01
22
1
=
ú
û
ù
ê
ë
é
p
-
p
=
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+-×
p
--
÷
ø
ö
ç
è
æ
+×
p
=. Знайдемо дисперсію за формулою: ( )
[ ]
=-
ò
=
2
b
a
2
)X(Mdx)x(fxXD ò
=-
ò
×=
p
p
-
p
p
-
2
2
22
2
2
2
xdxcosx
2
1
0xdxcos
2
1
x. Інтеграл знайдемо способом інтегрування за частинами: =
ò
-=
=
=
=
=
=
ò
xdxsinx2xsinx
xsinv
dxx2du
,xdxcosdv
,xu
xdxcosx
2
2
2
Þ
ò
-= xdxsinx2xsinx
2
=
ò
+-=
-=
=
=
=
=
ò
xdxcosxcosx
xcosv
dxdu
,xdxsindv
,xu
xdxsinx x
sin
x
cos
x
+
-
=
. (
)
xsin2xcosx2xsinxxsinxcosx2xsinx
22
-+=+--Þ. Отже, ( )
=
-
-+=
ò
=
p
p
p
p
-
2
2
2
2
2
2
xsin2xcosx2xsinx
2
1
xdxcosx
2
1
)X(D -
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
p
-
p
×
p
×+
p
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
=
2
sin2
2
cos
2
2
2
sin
22
1
2
71
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
--
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-×
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-×+
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
--
2
sin2
2
cos
2
2
2
sin
22
1
2
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-×-×p--×
p
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×-×p+×
p
= )1(20)1(
42
1
1201
42
1
22
2
4
4
22
1
2
4
2
42
1
2222
-
p
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
p
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
p
+-
p
=. Знайдемо дисперсію за означенням: ( )
=
ò
-=
b
a
2
dx)x(f)X(Mx)X(D ( )
2
4
xdxcosx
2
1
xdxcos
2
1
0x
2
2
2
2
2
2
2
-
p
ò
==
ò
×-=
p
p
-
p
p
-
Даний інтеграл було обчислено вище, тому 2
4
)X(D
2
-
p
=
. Обчислимо середнє квадратичне відхилення: 2
8
4
8
2
4
)X(D)X(
222
-p
=
-p
=-
p
==s. Відповідь: 0
)
X
(
M
=
; 2
4
)X(D
2
-
p
=
; 2
8
)X(
2
-p
=s. в) Визначимо ймовірність того, що в результаті випробування Х набуде значення з інтервалу ÷
ø
ö
ç
è
æ
p
4
;0. 72
Скористаємося формулою: ( )
ò
=<<
b
a
dx)x(fbXaP. Підставляючи дані, отримаємо: 4
2
2
2
2
1
0sin
4
sin
2
1
0
xsin
2
1
xdxcos
2
1
4
X0P
4
4
0
=×=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
p
==
ò
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
<<
p
p
За формулою Бернуллі ймовірність того, що в п випробуваннях подія настане рівно k разів: (
)
knkk
nn
qpCkP
-
××=, де ( )
!kn!k
!n
C
k
n
-×
=. У нашому випадку п = 3, k = 2, 4
2
p =
. Підставляємо та обчислюємо: ( )
3
121
321
!1!2
!3
!23!2
!3
C
2
3
=
××
×
×
=
×
=
-×
=; 3536,0
4
2
p ==
; 6464,0
4
2
1p1q »-=-=
; (
)
2425,06464,03536,032P
12
3
=××=. Відповідь: ймовірність того, що випадкова величина Х у результаті трьох незалежних випробувань рівно два рази набуде значення, що належить інтервалу ÷
ø
ö
ç
è
æ
p
4
;0: (
)
2425,02P
3
=
. 73
2. Задано функцію розподілу f(x): ï
î
ï
í
ì
>
£<¥
=
.1x якщо ,
x
3A
,1x -якщо ,0
)x(f
4
Знайти: а) Значення сталої А, за якого f(x) буде диференціальною функцією розподілу деякої неперервної випадкової величини Х. б) Інтегральну функцію розподілу F(x) цієї випадкової величини та побудувати графіки функцій f(x) і F(x). в) Математичне сподівання М(Х), дисперсію D(Х) та середнє квадратичне відхилення )
X
(
s
. г) Ймовірність того, що в результаті шести незалежних випробувань випадкова величина Х рівно два рази набуде значення, що належить інтервалу (
)
4;2. Розв’язання
а) Згідно з властивістю щільності функції розподілу f(x), невластивий інтеграл від щільності розподілу ймовірностей випадкової величини у нескінчених межах дорівнює одиниці: 1dx)x(f =
ò
¥
¥
-
. У нашому випадку функція набуває ненульового значення на інтервалі (
)
+¥
;1. Тому 1dx
x
A3
1
4
=
ò
¥
. =
ò
=
ò
=
ò
=
ò
¥®
¥
¥
¥
b
1
4-
b
1
4-
1
4
1
4
dxx limA3dxx A3dx
x
1
A3dx
x
A3
74
AA0
1
A
b
A
lim
1
b
x
A
lim
1
b
3
x
limA3
3
b
3
b
3
b
=+=+-=-=
-
=
¥®¥®
-
¥®
. Враховуючи, що 1dx
x
A3
1
4
=
ò
¥
та Adx
x
A3
1
4
=
ò
¥
, отримаємо 1
A
=
. Таким чином, диференціальна функція розподілу має вигляд: ï
î
ï
í
ì
>
£<¥
=
.1x якщо ,
x
3
,1x -якщо ,0
)x(f
4
Відповідь: значення сталої А, за якого f(x) буде диференціальною функцією розподілу неперервної випадкової величини Х: А=1. б) Знайдемо інтегральну функцію розподілу F(x). Згідно з означенням, ò
=
¥
¥
-
dx)x(f)x(F. На проміжку 1
x
£
<
¥
-
маємо: 0dx0dx0dx)x(f)x(F
xxx
=
ò
×=
ò
=
ò
=
¥
-
¥
-
¥
-
. На проміжку 1
x
>
одержимо: =
ò
+=
ò
+
ò
=
ò
+
ò
=
-
¥
-
¥
-
x
1
4
x
1
4
1x
1
1
dxx30dx
x
3
dx0dx)x(fdx)x(f)x(F 75
333
3
x
1
11
x
1
1
x
x
1
1
x
3
x
3 -=+-=-=
-
×=
-
. Остаточно запишемо: ï
î
ï
í
ì
>-
£<¥
=
.1x якщо ,
x
1
1
,1x -якщо ,0
)x(F
3
Побудуємо графіки функцій f(x) та F(x) (рис. 4.4 та 4.5). Рис. 4.4 Рис. 4.5 Відповідь: інтегральна функція розподілу має вигляд: ï
î
ï
í
ì
>-
£<¥
=
.1x якщо ,
x
1
1
,1x -якщо ,0
)x(F
3
76
в) Знайдемо математичне сподівання згідно з формулою: =
ò
=
ò
=
ò
×=
ò
×=
¥®
¥
¥
¥
-
¥
¥
-
b
1
3
b
1
34
dx
x
3
limdx
x
3
dx
x
3
xdx)x(fx)X(M =-=
-
=
ò
=
ò
=
¥®
-
¥®
-
¥®¥®
1
b
x
1
lim
2
3
1
b
2
x
lim3dxxlim3dx
x
1
lim3
2
b
2
b
b
1
3
b
b
1
3
b
( )
2
3
1
2
3
1
1
b
1
lim
2
3
2
b
=-×-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
--=
¥®
. Дисперсія неперервної випадкової величини: ( )
ò
=-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
ò
×=-
ò
×=
¥¥
¥
-
¥
¥
-
1
2
2
4
222
4
9
dx
x
3
2
3
dx
x
3
xXMdx)x(fx)X(D
4
3
4
9
3
4
9
1
b
1
lim3
4
9
dx
x
1
lim3
4
9
dx
x
3
lim
b
b
1
2
b
b
1
2
b
=-=-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+-=-
ò
=-
ò
=
¥®¥®¥®
. Середнє квадратичне відхилення: ( ) ( )
866,0
2
3
4
3
XDX »===s. Відповідь: 2
3
)X(M =; 4
3
)X(D =; (
)
866,0X
»
s
. г) Визначимо ймовірність того, що в результаті шести незалежних випробувань випадкова величина Х рівно два рази набуде значення, що належить інтервалу (
)
4;2. Спочатку знайдемо ймовірність того, що в результаті випробування випадкова величина Х набуде значення з інтервалу (
)
4;2. 77
Скористаємося формулою: ( )
ò
=<<
b
a
dx)x(fbXaP. Підставляючи дані, отримаємо: ( )
=+-=-=
-
×=
ò
=<<
-
333
3
4
2
4
2
1
4
1
2
4
x
1
2
4
3
x
3dx
x
3
4X2P 1094,0
64
7
64
81
8
1
64
1
»=
+
-
=+-=. За формулою Бернуллі ймовірність того, що в п випробуваннях подія настане рівно k разів: (
)
knkk
nn
qpCkP
-
××=, де ( )
!kn!k
!n
C
k
n
-×
=. У нашому випадку п = 6, k = 2, p=0,1094. Ймовірність протилежної події q=1-p=1-0,1094=0,8906. Підставляємо та обчислюємо: ( )
15
21
65
!4!2
!6
!26!2
!6
C
2
6
=
×
×
=
×
=
-×
=; (
)
1129,08906,01094,0152P
42
6
=××=. Відповідь: ймовірність того, що в результаті шести незалежних випробувань випадкова величина Х рівно два рази прийме значення, що належить інтервалу (
)
4;2: (
)
1129,02P
6
=
. 78
Завдання 5
Зріст дорослих чоловіків у деякій місцевості є нормально розподіленою випадковою величиною з математичним сподіванням 170см і дисперсією 36. Для цієї випадкової величини необхідно: 1) знайти диференціальну та інтегральну функції розподілу; 2) знайти ймовірність того, що зріст навмання вибраного чоловіка буде в інтервалі від 165 до 175см; 3) визначити граничне відхилення зросту навмання вибраного дорослого чоловіка від середнього зросту, яке можна гарантувати з імовірністю 0,95. Визначити також інтервал, в якому з ймовірністю 0,95 цей зріст знаходиться; 4) знайти інтервал для значення зросту навмання вибраного дорослого чоловіка, який можна гарантувати згідно з «правилом трьох сигм». Розв’язання
1) Щільність розподілу (диференціальна функція розподілу) для випадкової величини, що розподілена нормально, має вигляд: 2
2
2
)ax(
e
2
1
)x(f
s
-
-
ps
=. Згідно з умовою задачі а=170, 36
2
=
s
. Підставивши вихідні дані, отримаємо: 72
)170x(
362
)170x(
22
e
26
1
e
26
1
)x(f
-
-
×
-
-
p
=
p
=. 79
Нормальна функція розподілу (інтегральна) має вигляд: dze
2
1
)x(F
x
2
)az(
2
2
ò
ps
=
¥
-
s
-
-
. Використовуючи початкові дані, отримаємо: dze
26
1
)x(F
x
72
)170z(
2
ò
p
=
¥
-
-
-
. Відповідь: диференціальна функція розподілу 72
)170x(
2
e
26
1
)x(f
-
-
p
=; інтегральна функція розподілу dze
26
1
)x(F
x
72
)170z(
2
ò
p
=
¥
-
-
-
. 2) Ймовірність того, що випадкова величина потрапить в інтервал від α до β: ( )
÷
ø
ö
ç
è
æ
s
-
a
F-
÷
ø
ö
ç
è
æ
s
-
b
F=b<<a
aa
XP. Підставляємо вихідні дані: 833,0
6
5
6
170175a
==
-
=
s
-
b
; 833,0
6
5
6
170165a
-=-=
-
=
s
-
a
. За таблицями функції Лапласа знаходимо: (
)
2967,0833,0
»
F
; (
)
2967,0833,0
-
»
-
F
(додаток 4). 80
Підставивши у формулу, отримаємо: (
)
(
)
(
)
(
)
=
-
-
=
-
F
-
F
=
<
<
2967,02967,0833,0833,0170X165P 5954
,
0
2967
,
0
2967
,
0
=
+
=
. Відповідь: ймовірність того, що зріст навмання вибраного чоловіка буде в інтервалі від 165 до 175см: (
)
5954,0170X165P
=
<
<
. 3) Довірчий інтервал, в який із ймовірністю 0,95 потрапляє середнє значення зросту, знайдемо, скориставшись формулою: ( )
÷
ø
ö
ç
è
æ
s
e
F=e<- 2aXP. Використовуючи початкові дані: ( )
95,0
6
2170XP =
÷
ø
ö
ç
è
æ
e
F=e<-. Отже, маємо: 95,0
6
2 =
÷
ø
ö
ç
è
æ
e
F, звідки 475,0
6
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
e
F. За таблицями функції Лапласа знаходимо 96,1
6
=
e
(додаток 4). Отже, 76
,
11
6
96
,
1
=
×
=
e
. Звідси, 76,11170X <-, або 76
,
11
170
X
76
,
11
<
-
<
-
; 170
76
,
11
X
170
76
,
11
+
<
<
+
-
; 81
76
,
181
X
24
,
158
<
<
. Таким чином, середній зріст дорослого чоловіка із ймовірністю 0,95 знаходиться в межах від 158,24 до 181,76 см. Відповідь: граничне відхилення зросту навмання вибраного дорослого чоловіка від середнього зросту, яке можна гарантувати з імовірністю 0,95: 76
,
11
=
e
. Інтервал, в якому з ймовірністю 0,95 знаходиться середній зріст дорослого чоловіка (
)
76,181;24,158. 4) Згідно «правила трьох сигм», s<- 3aX. Підставляємо початкові дані: 63170X ×<-. Отже, 18
170
X
18
<
-
<
-
, або 18
170
X
18
170
+
<
<
-
. Маємо: 188
X
152
<
<
. Відповідь: інтервал, у якому знаходиться зріст навмання вибраного чоловіка, можна гарантувати згідно з «правилом трьох сигм»: (152; 188). 82
Завдання 6
Ймовірність виготовлення деталі першого сорту дорівнює 0,9. Протягом доби завод випускає 1000 деталей. Визначити: 1) ймовірність того, що протягом доби завод випускає не менше 900 та не більше 1000 деталей першого сорту; 2) ймовірність того, що доля непершосортних деталей, що виготовляються протягом доби, відрізняється за абсолютним значенням від середнього значення таких деталей не більше, ніж на 0,01; 3) кількість деталей, які необхідно взяти, щоб з ймовірністю 0,7703 можна було б очікувати, що деталей першого сорту буде не менше 950 та не більше 1001. Розв’язання
1) За інтегральною теоремою Лапласа, ймовірність того, що подія наступить не менше k
1
та не більше k
2
разів: (
)
(
)
(
)
1221n
xxk;kP
F
-
F
»
, де npq
pnk
x
1
1
×
-
=, npq
pnk
x
2
2
×
-
=, p
1
q
-
=
. Враховуючи дані задачі, 1
,
0
9
,
0
1
p
1
q
=
-
=
-
=
- ймовірність випуску деталі не першого сорту; 1000k ;900k
2
1
=
=
; n=1000, отримаємо: 0
90
0
1,09,01000
9,01000900
x
1
==
××
×
-
=; 83
5,10
90
100
1,09,01000
9,010001000
x
2
»=
××
×
-
=. За таблицями функції Лапласа (додаток 4), враховуючи, що для x>5, значення функції Лапласа 0,5, знаходимо: (
)
(
)
5,05,10x
2
»
F
=
F
, (
)
(
)
00x
1
=
F
=
F
. Підставивши значення в формулу, отримаємо: (
)
5,005,01000;900P
1000
=
-
»
. Відповідь: ймовірність того, що протягом доби завод випускає не менше 900 та не більше 1000 деталей першого сорту, дорівнює 0,5. 2) Ймовірність того, що доля (частість) деякої величини відхилиться від середньої не більше наперед заданої величини: ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×eF=÷
ø
ö
ç
è
æ
e<-
pq
n
2p
n
m
P. Підставляємо вихідні дані задачі: ( )
0541,12
9,01,0
1000
01,0201,01,0
n
m
P F=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
×F=÷
ø
ö
ç
è
æ
<-. За таблицями знаходимо значення функції Лапласа (додаток 4) (
)
3521,00541,1
=
F
. Отже, ( )
7042,03521,020541,1201,01,0
n
m
P =×=F=÷
ø
ö
ç
è
æ
<-. 84
Відповідь: ймовірність того, що доля бракованих деталей, які виготовляються протягом доби, відрізняється за абсолютним значенням від середнього значення бракованих деталей не більше, ніж на 0,01, дорівнює 0,7042. 3) Ймовірність потрапляння деякої величини у інтервал обчислюється за інтегральною теоремою Лапласа: (
)
(
)
(
)
1221n
xxk;kP
F
-
F
»
. За даними задачі, (
)
7703,0n;950P
n
=
, або скориставшись формулами для знаходження х
1
та х
2
, визначаємо ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
××
×-
F-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
××
×-
F=
1,09,0n
n9,0950
1,09,0n
n9,0n
7703,0. Після певних перетворень, маємо: ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×-
F-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
F=
n3,0
n9,0950
3
n
7703,0. Очевидно, що n>950 (за умовою задачі), тому 3,10
3
950
3
n
»>
. За таблицями функції Лапласа (додаток 4) (
)
5,03,10
»
F
. Отже, можна вважати, що 5,0
3
n
»
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
F. Тоді можемо записати: ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×-
F-=
n3,0
n9,0950
5,07703,0; 85
7703,05,0
n3,0
n9,0950
-=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×-
F; 2703,0
n3,0
n9,0950
-=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×-
F. За таблицями функції Лапласа (додаток 4) знайдемо значення аргументу, для якого значення функції 0,2703: (
)
2703,074,0
=
F
. Враховуючи непарність функції Лапласа, маємо: 74,0
n3,0
n9,0950
-=
×
-
; n3,074,0n9,0950 ×-=×-; 0n222,0n9,0950 =+×-; 0950n222,0n9,0 =--. Розв’яжемо отримане квадратне рівняння. Введемо заміну nt =, маємо: 0950t222,0t9,0
2
=--. Для розв’язання даного рівняння знаходимо спочатку дискримінант: (
)
(
)
049284,34209509,04222,0ac4bD
2
2
=-××--=-=. Корені рівняння знаходимо за формулами: 6,32
9,02
049284,3420222,0
a2
Db
t
1
=
×
+
=
+-
=; 4,32
9,02
049284,3420222,0
a2
Db
t
2
-=
×
-
=
--
=. 86
Оскільки вводилася заміна nt =, то значення t не може бути від’ємним. Отже, що t=32,6, відповідно, 8,1062tn
2
==. Розв’яжемо задачу для 1001. (
)
7703,0n;1001P
n
=
; ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
××
×-
F-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
××
×-
F=
1,09,0n
n9,01001
1,09,0n
n9,0n
7703,0; ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×-
F-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
F=
n3,0
n9,01001
3
n
7703,0. Поклавши 5,0
3
n
»
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
F, отримаємо: 2703,0
n3,0
n9,01001
-=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×-
F; 74,0
n3,0
n9,01001
-=
×
-
01001n222,0n9,0 =--. Розв’язавши рівняння, знайдемо, що n=1122,25. Відповідь: для того, щоб з ймовірністю 0,7703 можна було б очікувати, що деталей першого сорту буде не менше 950 та не більше 1001, необхідно взяти від 1063 до 1122 деталей. 87
Завдання 7
1. Випадкова величина Х – кількості рослин пшениці, що уражені деякою хворобою, має нормальний розподіл з відомими середнім квадратичним відхиленням 8
=
s
. Знайти з надійністю 0,95 точність δ, з якою вибіркове середнє оцінює невідоме математичне сподівання, якщо об’єм вибірки n = 400. Розв'язання
Точність оцінки δ знаходимо за формулою n
t
s
=d, де t визначимо з рівності ( )
.475,0
2
95,0
2
tФ ==
g
= У таблиці значень функції Лапласа (додаток 4) знаходимо відповідне значення 0,475, функція набуває його за значення аргументу t=1,96. Підставимо вихідні дані y формулу для знаходження точності оцінки: 784,0
20
896,1
400
896,1
=
×
=
×
=d. Таким чином, точність, з якою вибіркове середнє оцінює невідоме математичне сподівання, 784
,
0
=
d
. Відповідь: точність оцінки, з якою вибіркове середнє оцінює невідоме математичне сподівання 784
,
0
=
d
. 88
2. Знайти мінімальний об'єм вибірки, за якого з надійністю 0,975 точність оцінки математичного сподівання генеральної сукупності з нормальним розподілом і вибірковим середнім дорівнює δ=0,2. Середнє квадратичне відхилення генеральної сукупності відоме і дорівнює σ = 2 . Розв'язання
З рівності n
t
s
=d виходить, що для того, щоб забезпечити задану точність оцінки необхідно, щоб число n - об'єм вибірки, задовольняло нерівність: 2
22
t
n
s
s
³. У таблиці значень функції Лапласа (додаток 4) знаходимо, що ( )
4875,0
2
975,0
241,2Ф ==, отже параметр t = 2,24. Підставляючи у формулу, маємо: 76,497
2,0
224,2t
2
22
2
22
=
×
=
d
s
. Отже, мінімальне число, яке задовольняє цю нерівність,– n=498. Відповідь: необхідний мінімальний об’єм вибірки – n = 498. 89
Завдання 8
1. Кількісна ознака Х генеральної сукупності має нормальний розподіл. 3а вибіркою об'єму n=16 знайдено вибіркове середнє 10
x
=
та виправлене середнє квадратичне відхилення 8
,
0
s
=
. Оцінити невідоме математичне сподівання за допомогою надійного інтервалу з надійністю 0,95. Розв'язання
Надійний інтервал має вигляд ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+-
gg
n
st
x ,
n
st
x
. За таблицею значень (
)
(
)
13,213;95,0tn;tt
=
=
g
=
g
(додаток 5). Підставляючи вихідні дані, матимемо інтервал:
÷
ø
ö
ç
è
æ
×+×-
4
8,0
13,210 ;
4
8,0
13,210 або (
)
426,10 ;574,9. Відповідь: надійний інтервал, що оцінює невідоме математичне сподівання, має вигляд (
)
426,10 ;574,9. 2. Кількісна ознака Х генеральної сукупності має нормальний розподіл. За вибіркою об'єму n = 40 знайдено виправлене середнє квадратичне відхилення s=2. Знайти надійний інтервал, що покриває генеральне середнє квадратичне відхилення σ з надійністю 0,95. Розв'язання
Надійний інтервал, що покриває середнє квадратичне відхилення з заданою надійністю, має вигляд: (
)
(
)
q1 s q1 s
+
<
s
<
-
. 90
Значення q знаходимо з таблиці значень функції (додаток 6): (
)
(
)
24,036;95,0qn;qq
=
Þ
g
=
. Підставляючи вихідні дані, одержимо: (
)
(
)
0,241 2 24,01 2
+
<
s
<
-
або 56
,
2
52
,
1
<
s
<
. Відповідь: надійний інтервал, що покриває генеральне середнє квадратичне відхилення σ з надійністю 0,95 має вигляд: (
)
56,2 ; 52,1. Завдання 9
Дві неперервні незалежні випадкові величини Х та Y задані графіками щільності ¦
(х) (рис. 4.6) та ¦
(у) (рис. 4.7). Знайти M(X+Y), M(X
×
Y), D(2X-3Y+4). Рис. 4.6 Рис. 4.7 91
Розв’язання
Спочатку визначимо аналітичний вираз для функцій ¦
(х) та ¦
(у). Згідно з рисунком 4.6, для х<0 та х>15, значення функції f(x)=0. Визначимо значення функції на проміжку 15
x
0
£
£
. Для цього необхідно знайти рівняння прямої ОА. Щоб визначити рівняння прямої, необхідно знати на цій прямій координати двох точок. Координати початку координат точки О (0;0). Знайдемо координати точки А. Згідно з визначенням щільності розподілу, площа фігури, що обмежена функцією розподілу, дорівнює 1. У нашому випадку фігура, що обмежена функцією – прямокутний трикутник. З одного боку за визначенням 1S
OCA
=
D
, з іншого, ACOC
2
1
S
OCA
××=
D
. Згідно з малюнком, ОС=15. Враховуючи все вищесказане, маємо 1AC15
2
1
S
OCA
=××=
D
. Отже, 1AC15
2
1
=××. Звідси, 15
2
AC =. Таким чином, координати точки ÷
ø
ö
ç
è
æ
15
2
;15A. Рівняння прямої лінії через дві точки: 12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
-
-
=
-
-
. Маємо дві точки: О(0;0) та ÷
ø
ö
ç
è
æ
15
2
;15A. 92
Підставимо їх координати в рівняння прямої: 0
15
2
0y
015
0x
-
-
=
-
-
; 15
2
y
15
x
=; y15x
15
2
=; x
15
2
y
2
=. Таким чином, можемо записати аналітичний вираз для функції ¦
(х): ï
ï
î
ï
ï
í
ì
>
££
<
=
15.x 0,
15;x0 ,x
15
2
0;x ,0
)x(f
2
Аналогічно визначаємо вираз для функції ¦
(у): ï
ï
î
ï
ï
í
ì
>
££
<
=
.30y 0,
;30y0 ,x
30
2
0;y ,0
)y(f
2
Використовуючи властивості математичного сподівання, можемо записати, що M(X+Y)=M(X)+M(Y). Знайдемо математичне сподівання кожної випадкової величини. =×=
ò
=
ò
×=
ò
×=
0
15
3
x
15
2
dxx
15
2
dxx
15
2
xdx)x(fx)X(M
3
2
15
0
2
2
15
0
2
b
a
93
1052
3
152
3
15
15
2
3
0
3
15
15
2
3
2
33
2
=×=
×
=×=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-×=; =×=
ò
=
ò
×=
ò
×=
0
30
3
y
30
2
dyy
30
2
dyy
30
2
ydy)y(fy)Y(M
3
2
30
0
2
2
30
0
2
b
a
20102
3
302
3
30
30
2
3
0
3
30
30
2
3
2
33
2
=×=
×
=×=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-×=. Підставляємо отримані значення: M(X+Y)=M(X)+M(Y)=10+20=30. Відповідно, використовуючи властивості математичного сподівання та знайдені раніше значення, маємо: M(X∙Y)=M(X) ∙M(Y)=10∙20=200. Знайдемо дисперсії випадкових величин Х ∙та У. =-
ò
×=-
ò
×=
2
15
0
2
22
b
a
2
10dxx
15
2
x)X(Mdx)x(fx)X(D =-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-×=-×=-
ò
= 100
4
0
4
15
15
2
100
0
15
4
x
15
2
100dxx
15
2
44
2
4
2
15
0
3
2
=-=-=-
×
=-×= 100
2
225
100
2
15
100
4
152
100
4
15
15
2
224
2
94
5,12
2
25
2
200225
==
-
=; =-
ò
×=-
ò
×=
2
30
0
2
22
b
a
2
20dyy
30
2
y)Y(Mdy)y(fy)Y(D =-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-×=-×=-
ò
= 400
4
0
4
30
30
2
400
0
30
4
y
30
2
400dyy
30
2
44
2
4
2
30
0
3
2
=-=-=-
×
=-×= 400
2
900
400
2
30
400
4
302
400
4
30
30
2
224
2
50
400
450
=
-
=
. Скориставшись властивостями дисперсії та знайденими значеннями, отримаємо: =++=++=+- 0)Y(D3)X(D2)4(D)Y3(D)X2(D)4Y3X2(D
22
500
450
50
50
9
5
,
12
4
)
Y
(
D
9
)
X
(
D
4
=
+
=
×
+
×
=
+
=
. Відповідь: (
)
30YXM
=
+
; (
)
200YXM
=
×
; 500
)
4
Y
3
X
2
(
D
=
+
-
. 95
Завдання 10
Неперервна випадкова величина Х задана законом розподілу Сімпсона: ï
î
ï
í
ì
Ï
Î
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
).22;(-22х якщо , 0 );22;(-22x якщо ,
22
x
1
22
1
)x(f
Знайти інтегральну функцію розподілу F(x) та числові характеристики М(Х), D(X), s
(X). Побудувати графіки інтегральної F(x) та диференціальної ¦
(х) функцій розподілу. Розв’язання
а) Розіб’ємо числову вісь на чотири проміжки: 22
x
-
<
; 0
x
22
<
£
-
; 22
x
0
£
£
; 22
x
>
. На першому і останньому проміжках функція f(x) дорівнює 0. На другому проміжку 0
x
22
<
£
-
змінна х набуває від’ємних значень, тому розкриваємо знак модуля і міняємо при цьому знак. Отже, функція на цьому проміжку набуде значення: ÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-=
22
x
1
22
1
22
x
1
22
1
22
x
1
22
1
)x(f
. На третьому проміжку 22
x
0
£
£
змінна х набуває додатних значень, тому знак модуля просто опускається. І функція на цьому проміжку матиме вигляд: ÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-=
22
x
1
22
1
22
x
1
22
1
)x(f
. 96
Отже, аналітичний вираз функції: ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
>
££
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
<£
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
<
=
22.x ,0 22;x0 ,
22
x
1
22
1
0;x22 -,
22
x
1
22
1
-22;x ,0 )x(f
За означенням інтегральна функція розподілу ò
=
¥
¥
-
dx)x(f)x(F Знайдемо значення F(x) на кожному проміжку. 1) 22
x
-
<
: 0dx0dx0)x(F
xx
=
ò
=
ò
=
¥
-
¥
-
. 2) 0
x
22
<
£
-
: =
ò
÷
ø
ö
ç
è
æ
++=
ò
÷
ø
ö
ç
è
æ
++
ò
=
-
-
-
¥
-
x
22
x
22
22
dx
22
x
1
22
1
0dx
22
x
1
22
1
dx0)x(F ( )
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
-
+--
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
+=
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
+=
222
22
22
22
1
222
x
x
22
1
22
x
222
x
x
22
1
2
22
2
1
44
x
x
22
1
2
1
1
222
x
x
22
1
22
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=-+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
+=. 3) 22
x
0
£
£
: =
ò
÷
ø
ö
ç
è
æ
-+
ò
÷
ø
ö
ç
è
æ
++
ò
=
-
-
¥
-
x
0
0
22
22
dx
22
x
1
22
1
dx
22
x
1
22
1
dx0)x(F 97
=
ò
÷
ø
ö
ç
è
æ
-+
ò
÷
ø
ö
ç
è
æ
++=
-
x
0
0
22
dx
22
x
1
22
1
dx
22
x
1
22
1
0 =
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
-+
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
+=
0
x
222
x
x
22
1
22
0
222
x
x
22
1
22
(
)
=-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
-+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
-
+--
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
+= 0
222
x
x
22
1
222
22
22
22
1
222
0
0
22
1
2
2
2
( )
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
-+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
×
÷
ø
ö
ç
è
æ
-+-×-=
222
x
x
22
1
222
22
22
1
22
22
1
22
2
1
44
x
x
22
1
222
x
x
22
1
2
1
1
22
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
-+-=. 4) 22
x
>
: =
òò
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-+
ò
÷
ø
ö
ç
è
æ
++
ò
=
-
-
¥
-
dx0dx
22
x
1
22
1
dx
22
x
1
22
1
dx0)x(F
x
22
22
0
0
22
22
=+
ò
÷
ø
ö
ç
è
æ
-+
ò
÷
ø
ö
ç
è
æ
++=
-
0dx
22
x
1
22
1
dx
22
x
1
22
1
0
x
0
0
22
98
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
-+
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
+=
0
22
222
x
x
22
1
22
0
222
x
x
22
1
22
(
)
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
-
+--
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
+=
222
22
22
22
1
222
0
0
22
1
2
2
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
+-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
++
222
0
0
22
1
222
22
22
22
1
22
( )
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
-+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
×
÷
ø
ö
ç
è
æ
-+-×-=
222
22
22
22
1
222
22
22
1
22
22
1
22
( )
=
×
×-×+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
×
÷
ø
ö
ç
è
æ
-+-×-=
222
22
22
1
22
22
1
222
22
22
1
22
22
1
22
1
2
1
1
2
1
1 =-+-=. Таким чином, отримали вираз функції F(x): ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
í
ì
>
££+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
<£+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
<
=
22.x , 1 22;x0 ,
2
1
44
x
x
22
1
0;x22 -,
2
1
44
x
x
22
1
-22;x ,0 )x(F
2
2
99
б) Побудуємо графіки функцій f(x) та F(x). Рис. 4.8 Рис. 4.9 в) Знайдемо числові характеристики випадкової величини. Математичне сподівання: =
ò
÷
ø
ö
ç
è
æ
-×+
ò
÷
ø
ö
ç
è
æ
+×=
ò
×=
-
dx
22
x
1
22
1
xdx
22
x
1
22
1
xdx)x(fx)X(M
22
0
0
22
b
a
=
ò
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-+
ò
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=
-
dx
22
x
x
22
1
dx
22
x
x
22
1
22
0
2
0
22
2
100
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
-+
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
+=
0
22
223
x
2
x
22
1
22
0
223
x
2
x
22
1
3232
(
)
(
)
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
-+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
-
+
-
-=
223
22
2
22
22
1
223
22
2
22
22
1
32
32
0
3
22
2
22
3
22
2
22
=-++-=. Дисперсію: =-
ò
×= )X(Mdx)x(fx)X(D
2
b
a
2
=-
ò
÷
ø
ö
ç
è
æ
-×+
ò
÷
ø
ö
ç
è
æ
+×=
-
0dx
22
x
1
22
1
xdx
22
x
1
22
1
x
22
0
2
0
22
2
=
ò
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-+
ò
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=
-
dx
22
x
x
22
1
dx
22
x
x
22
1
22
0
3
2
0
22
3
2
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
-+
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
+=
0
22
224
x
3
x
22
1
22
0
224
x
3
x
22
1
4343
(
)
(
)
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
-+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
-
+
-
-=
224
22
3
22
22
1
224
22
3
22
22
1
43
43
101
=
×
×-×+
×
×-×=
22
4
22
22
1
3
22
22
1
22
4
22
22
1
3
22
22
1
4343
=
×
-
×
=-+-=
4
222
3
222
4
22
3
22
4
22
3
22
222222
(
)
6
22
12
222
12
34222
12
32224222
22222
=
×
=
-××
=
××-××
=
. Середнє квадратичне відхилення: ( ) ( )
9815,8
6
22
6
22
XDX
2
»===s. Відповідь: 0
)
X
(
M
=
; 6
22
)X(D
2
=
; (
)
9815,8X
»
s
. Завдання 11
Обчислити різні види середніх величин (гармонічну, геометричну, арифметичну, квадратичну) та перевірити правило мажорантності середніх. X
i 4 6 7 9 11 15 n
i 1 2 3 4 3 2 Розв’язання
Внесемо розрахунки в таблицю 4.1. 1) Обчислимо середню гармонійну за формулою å
å
=
=
=
k
1i
i
i
k
1i
i
гарм
x
n
n
x. 05408,8
86241,1
15
15
2
11
3
9
4
7
3
6
2
4
1
234321
x
гарм
»=
+++++
+
+
+
+
+
=. 102
Таблиця 4.1 Дані для розрахунку різних видів середніх X
i n
i i
i
X
n
Ln X X
Ln
n
×
n
X
×
X
2
n
X
2
×
4 1 0,25 0,60206 0,60206 4 16 16 6 2 0,333333 0,778151 1,556303 12 36 72 7 3 0,428571 0,845098 2,535294 21 49 147 9 4 0,444444 0,954243 3,81697 36 81 324 11 3 0,272727 1,041393 3,124178 33 121 363 15 2 0,133333 1,176091 2,352183 30 225 450 Сума
15 1,86241 5,397036 13,98699 136 528 1372 1) Обчислимо середню гармонійну за формулою å
å
=
=
=
k
1i
i
i
k
1i
i
гарм
x
n
n
x. 05408,8
86241,1
15
15
2
11
3
9
4
7
3
6
2
4
1
234321
x
гарм
»=
+++++
+
+
+
+
+
=. 2) Обчислимо середню геометричну å
××××=
i k3
21
n n
k
n
3
n
2
n
1
геом
x...xxxx
. Підставимо вихідні дані: 15
234321
геом
15119764x ×××××= Корінь будь-якого степеня можна обчислити за допомогою логарифмування. Прологарифмуємо обидві частини рівняння: (
)
15
1
234321
геом
15119764lnxln ×××××=. За властивостями логарифмів: 103
(
)
=×××××=
234321
геом
15119764ln
15
1
xln (
)
=+++++=
234321
15ln11ln9ln7ln6ln4ln
15
1
( )
147082,215ln211ln39ln47ln36ln24ln1
15
1
=+++++=. Тоді, 55984,8ex
147082,2
геом
»=. 3) Обчислимо середню арифметичну å
å
×
=
=
=
k
1i
i
k
1i
ii
арuфм
n
nx
x
. 06667,9
15
136
15
21531149372614
x
арuфм
»=
×
+
×
+
×
+
×
+
×
+
×
=. 4) Обчислимо середню квадратичну å
å
×
=
=
=
n
1i
i
k
1i
i
2
i
квадр
n
nx
x. 56382,9
15
21531149372614
x
222222
квадр
»
×+×+×+×+×+×
=. 5) Одержані середні розміщуються в такому порядку: 56382
,
9
06667
,
9
55984
,
8
05408
,
8
<
<
<
, що відповідає вимогам властивості мажорантності середніх: квадрарифмгеомгарм
xxxx <<<. Відповідь: 05408,8x
гарм
»; 55984,8x
геом
»; 06667,9x
арuфм
»; 56382,9x
квадр
». Одержані середні розміщуються відповідно до правила мажорантності середніх: квадрарифмгеомгарм
xxxx <<<. 104
Завдання 12
Результати дослідження урожайності зернових у господарствах області представлено в таблиці: Таблиця 4.2 № п.п Межі інтервалів за урожайністю зернових культур, ц/га Число господарств (частота) 1 14,0 …18,0 5 2 18,1 …22,0 7 3 22,1 …26,0 9 4 26,1 …30,0 14 5 30,1 …34,0 7 6 34,1 …38,0 5 7 38,1 …42,0 3 За цими даними: 1. Побудувати гістограму та полігон розподілу частот. 2. Розрахувати середню врожайність двома методами (звичайним та спрощеним). 3. Розрахувати медіанне та модальне значення врожайності. 4. Розрахувати показники варіації: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації. Розв’язання
1. Відобразимо варіаційний ряд розподілу господарств за врожайністю зернових культур у вигляді гістограми. Для цього 105
відкладемо значення інтервалів (за урожайністю x
i
, ц/га) на осі абсцис, а кількість n
i
об’єктів (частоти) – на осі ординат (рис. 4.10) Рис. 4.10 Побудуємо на цьому ж малюнку полігон розподілу, з’єднуючи середини верхніх частин прямокутників гістограми. 2. Розрахуємо середню врожайність звичайним способом як середню арифметичну зважену. Середня арифметична зважена обчислюється за формулою: å
å
×
=
i
ii
n
nx
x. Складемо додаткову таблицю 4.3. Середину кожного інтервалу визначаємо так: додаємо початок інтервалу та його кінець і ділимо навпіл. Добуток x
i
n
i
шукаємо як добуток відповідних стовпчиків. 106
Таблиця 4.3 Дані для розрахунку середньої арифметичної зваженої в інтервальному ряді розподілу № п.п Врожайність, ц/га Середина інтервалу врожайності
x
i
, ц/га Число господарств
n
i
Добуток ii
nx
×
1 14,0 …18,0 16,0 5 80 2 18,1 …22,0 20,0 7 140 3 22,1 …26,0 24,0 9 216 4 26,1 …30,0 28,0 14 392 5 30,1 …34,0 32,0 7 224 6 34,1 …38,0 36,0 5 180 7 38,1 …42,0 40,0 3 120 Усього - 50 1352 Підставляємо дані: 04,27
50
1352
n
nx
x
i
ii
==
å
å
×
= ц/га. Розрахуємо середню врожайність зернових культур методом відліку від умовного початку. За умовний початок відліку візьмемо середнє значення інтервалу, що має найбільшу частоту. В нашому випадку х
0
= 28,0 ц\га. Довжина кожного інтервалу h=4,0 ц\га. Для спрощення розрахунків від кожного значення х
i
віднімаємо х
0
. Потім одержані відхилення розділимо на величину інтервалу, в результаті чого одержимо відхилення варіант від умовного початку, 107
визначене на кожному інтервалі (x’). Усі потрібні розрахунки зведемо в таблиці 4.4. Таблиця 4.4 Дані для розрахунку середньої арифметичної в інтервальному ряді розподілу методом відліку від умовного початку Відхилення від умовного початку № п.п
Урожайність, ц/га Середина інтервалу врожай-
ності x
i
, ц/га Число госпо-
дарств
n
i
0i
xx
-
ц/га h
xx
x
0i
'
i
-
=
в інтервалах Добуток
i
i
'
nx × 1 14,0 …18,0 16,0 5 -12 -3 -15 2 18,1 …22,0 20,0 7 -8 -2 -14 3 22,1 …26,0 24,0 9 -4 -1 -9 4 26,1 …30,0 28,0 14 0 0 0 5 30,1 …34,0 32,0 7 4 1 7 6 34,1 …38,0 36,0 5 8 2 10 7 38,1 …42,0 40,0 3 12 3 9 Всього - 50 -12 Середнє арифметичне методом відліку від умовного початку обчислюємо за формулою: 0
'
xhxx +×=. Розрахуємо умовну (зменшену) середню 24,0
50
12
n
n
h
xx
n
n'x
'x
i
i
0i
i
ii
-=
-
=
å
×
å
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
å
å
×
=. Підставляємо отримані значення в формулу: 108
04,270,280,424,0xhxx
0
'
=+×-=+×= ц/га. Відповідь: розрахунки середньої врожайності двома методами (звичайним і спрощеним) дали один і той самий результат 04,27x = ц/га. 3. Для розрахунку медіани складемо таблицю 4.5, за даними якої знайдемо медіанний інтервал, для чого попередньо побудуємо ряд накопичених частот. На кожному інтервалі накопичена частота утворюється додаванням частоти даного інтервалу до накопиченої частоти попереднього інтервалу. Наприклад, на другому інтервалі частота 7 плюс накопичена частота першого 5, отримаємо накопичену частоту на другому інтервалі 12. Таблиця 4.5. Дані для розрахунку моди і медіани в інтервальному ряді розподілу господарств за врожайністю зернових культур № п.п Урожайність, ц/га Число господарств
n
i
Накопичена частота S
i 1 14,0 …18,0 5 5 2 18,1 …22,0 7 12 3 22,1 …26,0 9 21 4 26,1 …30,0 14 35 5 30,1 …34,0 7 42 6 34,1 …38,0 5 47 7 38,1 …42,0 3 50 109
Медіанним є інтервал 26,1 …30,0, оскільки на цей інтервал приходиться перша накопичена частота, що перевищує половину всього об’єму сукупності (35 перевищує å
=
=
252:502:n
i
). Розрахуємо медіанне значення врожайності зернових культур: 24,27
14
2125
41,26
n
Sn5,0
hxMe
Me
1Mei
0
=
-
×+=
-
å
×+=
-
ц/га, де х
0
=26,1 – нижня межа медіанного інтервалу, h=4,0 – довжина інтервалу; 25n5,0
i
=
å
- половина суми накопичених частот; 21S
1Me
=
-
- сума накопичених частот інтервалу, що передує медіанному; 14n
Me
=
- частота медіанного інтервалу. Розрахуємо модальне значення врожайності. Оскільки інтервал 26,1 …30,0 має найбільшу частоту, в ньому міститься мода. ( ) ( )
=
-+-
-
×+=
+-
-
1MoMo1MoMo
1MoMo
0
nnnn
nn
hxMo ( ) ( )
77,27
714914
914
41,26 =
++-
-
×+= ц/га, де х
0
=26,1 – нижня межа модального інтервалу, h=4,0 – довжина інтервалу; 14n
Mo
=
, 9n
1Mo
=
-
, 7n
1Mo
=
+
- відповідно частоти модального, передмодального і післямодального інтервалів. Відповідь: медіана 24
,
27
Me
=
ц/га, мода 77
,
27
Mo
=
ц/га. 110
4. Розрахуємо показники варіації (розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації). Для розрахунку необхідних показників варіації складемо додаткову таблицю 4.6. Розмах варіації 0,280,140,42xxR
minmax
=
-
=
-
=
ц/га. Середнє лінійне відхилення 2736,5
50
68,263
n
nxx
d
i
ii
==
å
å
×-
= ц/га. Дисперсія (
)
5984,42
50
92,2129
n
nxx
i
i
2
i
2
==
å
å
×-
=s. Середнє квадратичне відхилення (
)
53,65984,42
50
92,2129
n
nxx
i
i
2
i
===
å
å
×-
=s ц/га. Коефіцієнт варіації %15,24%100
04,27
53,6
%100
x
V =×=×
s
=. Урожайність зернових культур у заданій сукупності коливається в межах ± 6,53 ц/га або на 24,15% по відношенню до середньої врожайності. Відповідь: середнє лінійне відхилення 2736,5d = ц/га; дисперсія 5984,42
2
=s; середнє квадратичне відхилення 53
,
6
=
s
ц/га; коефіцієнт варіації %
15
,
24
V
=
. Таблиця 4.6 Дані для розрахунку середнього лінійного і середнього квадратичного відхилення Середнє лінійне відхилення Середнє квадратичне відхилення №
п
.
п
Урожай-
ність, ц/га Середина інтервалу врожай-
ності x
i
, ц/га Число господ-
дарств n
i
xx
i
-
ii
nxx ×-
(
)
2
i
xx -
(
)
i
2
i
nxx ×-
1
14,0 …18,0 16,0 5 11,04 55,20 121,88
609,41 2
18,1 …22,0 20,0 7 7,04 49,28 49,56 346,93 3
22,1 …26,0 24,0 9 3,04 27,36 9,24 83,17 4
26,1 …30,0 28,0 14 0,96 13,44 0,92 12,91 5
30,1 …34,0 32,0 7 4,96 34,72 24,60 172,21 6
34,1 …38,0 36,0 5 8,96 44,80 80,28 401,41 7
38,1 …42,0 40,0 3 12,96 38,88 167,96
503,99 Усього - 50 - 263,68 - 2129,92 112
Завдання 13
Використовуючи дані господарств про урожайність зернових культур та дозу внесення мінеральних добрив ґрунту, провести кореляційно-регресійний аналіз та встановити вплив дози мінеральних добрив на урожайність зернових культур: Таблиця 4.7 № Урожайність зернових культур, ц/га Доза внесення мінеральних добрив 1 23,6 1,1 2 31,9 3,1 3 35,2 2,8 4 36,4 2,9 5 23,6 1,2 6 34,0 2,9 7 38,2 3,0 8 17,3 0,8 9 23,8 0,7 10 19,7 1,3 11 24,6 1,4 12 15,1 0,7 13 28,6 1,6 14 38,4 2,9 15 22,4 1,3 1. Побудувати графік кореляційної залежності між урожайністю та дозою внесення мінеральних добрив. 2. Знайти оцінки параметрів рівняння регресії методом найменших квадратів та побудувати її графік. 3. Перевірити адекватність побудованої моделі за F-критерієм Фішера. 4. Обчислити коефіцієнт кореляції та детермінації. Перевірити значимість коефіцієнта кореляції. 113
5. Виконати завдання, використовуючи пакет Excel. Розв’язання
1. Для визначення виду аналітичної залежності між урожайністю зернових культур та дозою внесення мінеральних добрив побудуємо графік – кореляційне поле (рис.4.11). На осі абсцис нанесемо значення факторної ознаки (незалежної змінної Х – дози внесення мінеральних добрив), а на осі ординат – результативної ознаки (залежної змінної У – урожайності зернових культур). Використовуючи фактичні значення Х та У, побудуємо задані 15 точок (
)
ii
y;x, що утворюють кореляційне поле. Рис. 4.11 Графік показує, що зв’язок близький до лінійного і тому залежність можна виразити у вигляді рівняння парної лінійної регресії 01
x
bxby +=. 114
2. Рівняння прямої лінії регресії 01
x
bxby +=. Таблиця 4.8 Розрахунок даних для визначення показників кореляційного зв’язку Розрахункові величини №
Урожай-
ність зернових культур, ц/га у Доза внесення мінераль-
них добрив х yx y
2 x
2
Очікуване (теоре-
тичне) значення урожай-
ності, ц/га
y 1 23,6 1,1 25,96 556,96 1,21 21,90142 2 31,9 3,1 98,89 1017,61 9,61 36,95119 3 35,2 2,8 98,56 1239,04 7,84 34,69373 4 36,4 2,9 105,56 1324,96 8,41 35,44621 5 23,6 1,2 23,32 556,96 1,44 22,65391 6 34,0 2,9 98,6 1156,0 8,41 35,44621 7 38,2 3,0 114,6 1459,24 9,0 36,1987 8 17,3 0,8 13,84 299,29 0,64 19,64395 9 23,8 0,7 16,66 566,44 0,49 18,89146 10 19,7 1,3 25,61 388,09 1,69 23,4064 11 24,6 1,4 34,44 605,16 1,96 24,15888 12 15,1 0,7 10,57 228,01 0,49 18,89146 13 28,6 1,6 45,76 817,96 2,56 25,66386 14 38,4 2,9 111,36 1474,56 8,41 35,4621 15 22,4 1,3 29,12 501,76 1,69 23,4064 Сума 412,8 27,7 857,85 12192,04
63,85 412,8 Сер.зн.
27,52 1,8467 57,19 812,8027
4,2567 27,52 Параметри рівняння лінії регресії b
1
та b
0
знайдемо за методом найменших квадратів, використовуючи систему: ï
î
ï
í
ì
å
+
å
=
å
å
+
=
å
.xbxbyx
,xbnby
2
10
10
115
Усі необхідні для розв’язання системи рівнянь дані внесемо до таблиці 4.8. Одержані дані підставляємо в систему: î
í
ì
+=
+
=
.b85,63b7,2785,857
,b7,27b158,412
10
10
Параметри рівняння регресії можна визначити за формулами: 5249,7
7,277,2785,6315
7,278,41285,85715
xxxn
xyyxn
b
2
1
»
×-×
×
-
×
=
å å
×-
å
å
å
å
×
-
=
; або (
)
( )
5249,7
8467,12567,4
8467,152,2719,57
xx
xyyx
b
22
2
1
»
-
×-
=
-
×-
=; 624,138467,15249,752,27xbyb
0
»×-=×-= або безпосередньо розв’язавши систему, наприклад, методом віднімання. Розділимо перше рівняння (кожен доданок) на коефіцієнт за b
1
, в нашому випадку на 15. Друге рівняння розділимо на 27,7. ï
î
ï
í
ì
=+
=+
;7,27:85,857b85,63b7,27
,15:8,412b7,27b15
10
10
î
í
ì
=+
=
+
.9693,30b3051,2b
,52,27b8467,1b
10
10
Віднімемо друге рівняння від першого, тобто віднімемо відповідні пари членів: (
)
9693,3052,27b3051,28467,1bb
100
-
=
-
+
-
або 116
4493,3b4584,0
1
-
=
-
. З останнього рівняння знаходимо b
1
: (
)
4584,0:4493,3b
1
-
-
=
; 5247,7b
1
=
. Знайдемо коефіцієнт b
0
, підставивши знайдене значення b
1
в будь-яке, наприклад, у перше рівняння системи. 6241,135247,78467,152,27b8467,152,27b
10
=
×
-
=
-
=
. Відхилення від розрахованих безпосередньо за формулами значень отримані за рахунок округлень. Отже, підставивши отримані дані в рівняння регресії, маємо: x5249,7624,13y
x
+= – рівняння регресії (кореляційне рівняння), що виражає зв’язок між урожайністю зернових культур та дозою мінеральних добрив. Розглянемо його економічну інтерпретацію. Коефіцієнт регресії b
1
=7,5249 показує, що за підвищення дози мінеральних добрив на одиницю, урожайність зернових культур в середньому за заданою сукупністю господарств збільшиться на 7,5249ц/га. Використовуючи рівняння регресії, можна розрахувати очікувані (розрахункові, теоретичні) значення урожайності (
x
y ) за різних значень внесення дози мінеральних добрив. Для цього замість х у рівняння регресії ставимо конкретне значення. Наприклад, 69373,348,25249,7624,13y
8,2x
=×+=
=
. Отримані розрахункові значення врожайності внесемо в таблицю 4.8. 117
Для побудови лінії регресії x5249,7624,13y
x
+= нанесемо на рисунок дві точки (
)
89146,18;7,0M
1
і (
)
95119,36;1,3M
2
та проведемо через них пряму лінію (рис. 4.12). Відповідь: рівняння лінії регресії x5249,7624,13y
x
+=. 3. Перевіримо адекватність побудованої моделі за F-критерієм Фішера. Складемо додаткову таблицю 4.9. Таблиця 4.9 Дані для розрахунку коефіцієнта Фішера №
y x i
x
y yy
i
x
- (
)
2
x
yy
i
-
i
x
yy
i
-
(
)
2
i
x
yy
i
-
1 23,6 1,1 21,9014 -5,6185 31,5684 -1,6985 2,8851 2 31,9 3,1 36,9511 9,4311 88,9473 5,0511 25,514 3 35,2 2,8 34,6937 7,1737 51,4623 -0,5062 0,2563 4 36,4 2,9 35,4462 7,9262 62,8248 -0,9537 0,9097 5 23,6 1,2 22,6539 -4,8660 23,6788 -0,9460 0,8950 6 34 2,9 35,4462 7,9262 62,8248 1,4462 2,0915 7 38,2 3 36,1987 8,6787 75,3198 -2,0013 4,0051 8 17,3 0,8 19,6439 -7,8760 62,0321 2,3439 5,4941 9 23,8 0,7 18,8914 -8,6285 74,4516 -4,9085 24,0937 10
19,7 1,3 23,4064 -4,1136 16,9217 3,7063 13,7373 11
24,6 1,4 24,1588 -3,3611 11,2971 -0,4411 0,1946 12
15,1 0,7 18,8914 -8,6285 74,4516 3,7914 14,375 13
28,6 1,6 25,6638 -1,8561 3,4452 -2,9361 8,6209 14
38,4 2,9 35,4462 7,9262 62,8248 -2,9537 8,7249 15
22,4 1,3 23,4064 -4,1136 16,9217 1,0064 1,0128 ∑ 412,8
27,7 412,8 718,9729 112,8111 Ср
27,52
1,8467 27,52 118
Обчислимо розрахункове значення критерію Фішера: (
)
( )
2
n
yy
1
yy
F
n
1i
2
i
x
n
1i
2
x
розр
i
i
-
å
-
å
-
=
=
=
, де n – число дослідів. Підставимо отримані дані в формулу: (
)
( )
( )
8522,82
8111,112
9729,718215
2
n
yy
1
yy
F
n
1i
2
i
i
n
1i
2
i
розр
»
×-
=
-
å
-
å
-
=
=
=
. Знайдемо табличне значення коефіцієнта Фішера за k
1
=1, k
2
=13 чисел ступенів вільності (додаток 7): 7,4F
табл
=
. Оскільки розрахункове значення Фішера більше ніж табличне (82,85>4,7), то розглянута математична модель адекватна експериментальним даним. Відповідь: побудована математична модель адекватна експериментальним даним. 4. Визначимо тісноту зв’язку між ознаками, що вивчаємо (урожайністю та дозою внесення мінеральних добрив). Для цього розрахуємо лінійний коефіцієнт кореляції: ( )
( )
2
2
2
2
yyxx
yxyx
r
-×-
×-×
=
. 119
Усі необхідні для розрахунку дані візьмемо із таблиці 4.9. ( )
( )
=
-×-
×-×
=
2
2
2
2
yyxx
yxyx
r
( )
( )
9297,0
52,278027,8128467,12567,4
52,278467,119,57
22
=
-×-
×
-
=
. Коефіцієнт кореляції показує, що між урожайністю та дозою внесення мінеральних добрив має місце тісний прямий зв’язок. Коефіцієнт детермінації (
)
8644,09297,0r
2
2
== показує, що 86,44% загальної варіації урожайності обумовлено дозою внесення мінеральних добрив, а інша частина (13,56%) – іншими випадковими факторами, які в даній задачі не враховані. Перевіримо значимість коефіцієнта кореляції. Для цього обчислимо t-статистику: 103,9
8644,01
215
9297,0
r1
2n
rt
2
xy
xy
»
-
-
=
-
-
=. За заданої ймовірності Р=0,95 і k=13 числа ступенів вільності, знайдемо табличне значення критерію pk
t
=2,16 (додаток 8). Оскільки Pk
tt ³ (9,103>2,16), то коефіцієнт кореляції є значимим. Відповідь: коефіцієнт кореляції 9297
,
0
r
=
; коефіцієнт детермінації 8644,0r
2
=. Обчислений коефіцієнт кореляції є значимим. 120
y = 7,5249x + 13,624
R
2
= 0,8644
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Рис. 4.12.Графік залежності урожайності зернових культур від дози внесення мінеральних добрив 121
5. Знайдемо параметри рівняння регресії та коефіцієнт кореляції за допомогою електронної таблиці Excel. Для цього використаємо функції ЛИНЕЙН та КОРРЕЛ. 1. Внесемо відомі значення х та у в таблицю. 2. Виділяємо дві комірки А21:В21 (рівняння регресії має два параметра). 3. Вносимо формулу. Для цього - ставимо знак «=»; - вводимо російськими буквами назву функції ЛИНЕЙН; - відкриваємо дужку; - вносимо адреси комірок А2:А16 (значення у); - ставимо крапку з комою «;»; - вносимо адреси комірок В2:В16 (значення х); - натискаємо одночасно такі клавіші Ctrl+Shift+Enter (оскільки за формулою буде обчислено два параметри). Для обчислення теоретичного (регресійного) значення у: - ставимо курсор у комірку С2; - вводимо формулу: =А21*В2+В21; - оскільки значення параметрів регресії не міняються для всіх значень х, то необхідно зробити абсолютні посилання, тобто формула набуде вигляду: =$А$21*В2+$В$21; - копіюємо отриману формулу в комірки С3 – С16. Для обчислення коефіцієнта кореляції вводимо в комірку А23 формулу: =КОРРЕЛ(A2:A16;B2:B16). 122
Таблиця 4.10 Формули для обчислення параметрів регресії в Excel Для побудови графіка фактичних даних: - виділяємо за допомогою мишки комірки А2:В16; - на панелі інструментів вибираємо піктограму «Майстер діаграм»; - вибираємо тип діаграми «Точкова» та виконуємо необхідні кроки для оформлення діаграми. Можна просто натискати «Далі» та на останньому кроці натиснути «Готово». A B C 1 y x Y^ 2 23,6 1,1 =$A$22*B2+$B$22 3 31,9 3,1 =$A$22*B3+$B$22 4 35,2 2,8 =$A$22*B4+$B$22 5 36,4 2,9 =$A$22*B5+$B$22 6 23,6 1,2 =$A$22*B6+$B$22 7 34 2,9 =$A$22*B7+$B$22 8 38,2 3 =$A$22*B8+$B$22 9 17,3 0,8 =$A$22*B9+$B$22 10
23,8 0,7 =$A$22*B10+$B$22
11
19,7 1,3 =$A$22*B11+$B$22
12
24,6 1,4 =$A$22*B12+$B$22
13
15,1 0,7 =$A$22*B13+$B$22
14
28,6 1,6 =$A$22*B14+$B$22
15
38,4 2,9 =$A$22*B15+$B$22
16
22,4 1,3 =$A$22*B16+$B$22
17
=СУММ(A2:A16) =СУММ(B2:B16)
=СУММ(C2:C16) 18
=A17/15 =B17/15 19
20
B1 B0 21
=ЛИНЕЙН(A2:A16;B2:B16)
22
23
=КОРРЕЛ(A2:A16;B2:B16) 123
Для побудови лінії тренда на готовій діаграмі: - вибираємо будь-яку точку фактичних даних на малюнку (лівою кнопкою миші); - не переміщуючи мишку, натискаємо праву кнопку; - у додатковому меню, що з’явилося, вибираємо «Добавити лінію тренда»; - обираємо тип лінії – «Лінійна» та параметри «Показувати рівняння лінії на малюнку». Результати розрахунків в Excel показано в таблиці 4.11. Таблиця 4.11 Результати розрахунків в Excel A B C 1
y x Y^ 2
23,6 1,1 21,90142
3
31,9 3,1 36,95119
4
35,2 2,8 34,69373
5
36,4 2,9 35,44621
6
23,6 1,2 22,65391
7
34 2,9 35,44621
8
38,2 3 36,19870
9
17,3 0,8 19,64395
10
23,8 0,7 18,89146
11
19,7 1,3 23,40640
12
24,6 1,4 24,15888
13
15,1 0,7 18,89146
14
28,6 1,6 25,66386
15
38,4 2,9 35,44621
16
22,4 1,3 23,40640
17
412,8 27,7 412,8
18
27,52 1,846666667 19
20
b1 b0 21
7,524887115
13,62404179
22
r 23
0,929717421
124
5. Завдання для контрольної (розрахунково-графічної) роботи 5.1. Серія А Завдання 1
Варіант 1-5 Хлібозавод випікає вироби, що мають такий розподіл: хліб «Південний» - 40%, батон «Козацький» - 20%, батон «Тернівський» - 25%, булочки – 15%. Для виробів різного виду ймовірність неякісного випікання відповідно дорівнює: № варіанта
Хліб «Південний»
Батон «Козацький»
Батон «Тернівський»
Булочки 1 0,05 0,1 0,15 0,06 2 0,06 0,1 0,05 0,08 3 0,04 0,08 0,1 0,05 4 0,05 0,15 0,05 0,1 5 0,04 0,12 0,08 0,1 1. Покупець придбав чотири різних хлібопекарських вироби. Визначити ймовірність того, що: а) всі придбані вироби будуть якісними; б) один із чотирьох виробів виявиться неякісним; в) хоча б один із чотирьох придбаних виробів виявиться неякісним. 2. Знайти ймовірність того, що навмання придбаний довільний виріб виявиться якісним. 3. Навмання придбаний виріб виявився якісним. Якого виду найімовірніше цей хлібопекарський виріб? 125
Варіант 6-10 У господарстві 20 транспортних засобів: 10 вантажних автомобілів, 3 комбайни, 5 тракторів, 2 водовозки. Ймовірність заправки пальним протягом дня для кожного виду транспорту відповідно дорівнює: № варіанта Вантажівка Комбайн Трактор Водовозка 6 0,5 0,8 0,6 0,75 7 0,4 0,7 0,5 0,9 8 0,45 0,6 0,8 0,7 9 0,4 0,8 0,7 0,6 10 0,35 0,8 0,6 0,7 1. У полі працюють по одному транспортному засобу кожного виду. Визначити ймовірність того, що протягом дня: а) усі транспортні засоби, що працюють у полі, будуть заправлені; б) три із чотирьох транспортних засобів, що працюють, будуть заправлені; в) хоча б один транспортний засіб, що працює в полі, буде заправлений. 2. Визначити ймовірність того, що довільний транспортний засіб господарства протягом дня буде заправлятися. 3. На АЗС для заправки заїхав транспортний засіб із господарства. До якого виду транспорту, найімовірніше, він відноситься? 126
Завдання 2
Товарознавець перевіряє 24+N вироби. Ймовірність того, що виріб буде признано придатним для продажу для кожного виробу становить 0,6. 1. Знайти найвірогідніше число непридатних для продажу виробів у перевіреній партії. 2. Знайти ймовірність найвірогіднішого числа непридатних виробів. Обчислення виконати за формулами Бернуллі, Лапласа та Пуассона. Порівняти результати. Завдання 3
Закони споживання електроенергії двома цехами молокозаводу протягом доби мають вигляд: 1-й цех Кількість енергії, що споживається, МВт (Х) 830+10N – 850+10N 850+10N – 870+10N 870+10N – 890+10N Ймовірність (р) 0,1 0,3 0,6 2-й цех Кількість енергії, що споживається, МВт (Y) 930+10N – 940+10N 940+10N – 950+10N 950+10N – 960+10N Ймовірність (р) 0,3 0,5 0,2 Необхідно: 1. Скласти закон розподілу кількості електроенергії, що споживається протягом доби двома заводами разом. 127
2. Перевірити на цьому прикладі справедливість теорем про математичне сподівання та про дисперсію суми двох незалежних величин. Дисперсію обчислити двома способами. 3. Побудувати багатокутник розподілу випадкової величини та показати на графіку знайдені значення М(Х) та σ(Х). 4. Обчислити, використовуючи властивості математичного сподівання та дисперсії, математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини V = NX + (N + 1)Y, де Х – кількість спожитої енергії першим цехом, У – кількість спожитої енергії другим цехом. Завдання 4
Задана інтегральна функція розподілу неперервної випадкової величини Х : ï
ï
î
ï
ï
í
ì
>
£<
£
<
¥
=
.Nx якщо ,1
,Nx0 якщо ,
N
x
0,x -якщо ,0
)x(F
2
2
Знайти: 1. Диференціальну функцію розподілу f(x) цієї випадкової величини та побудувати графіки функцій f(x) і F(x). 2. Математичне сподівання М(Х), дисперсію D(Х) (двома способами) та середнє квадратичне відхилення )
X
(
s
. 128
3. Ймовірність того, що в результаті п’яти незалежних випробувань випадкова величина Х рівно три рази прийме значення, що належить інтервалу ÷
ø
ö
ç
è
æ
-
2
N
;1. Завдання 5
Жирність молока корів у господарствах області є нормально розподілена випадкова величина Х. Середня жирність молока (у %) становить 3 + 0,1N, дисперсія жирності молока дорівнює 0,0225. Необхідно: 1. Знайти диференціальну та інтегральну функції розподілу випадкової величини Х. 2. Обчислити ймовірність того, що у навмання взятому господарстві жирність молока перевищить (2,5 + 0,1N)%. 3. Знайти ймовірність того, що жирність молока в господарствах області є в межах від (2,7 + 0,1N)% до (3,3 + 0,1N)%. 4. Визначити жирність молока, яку можна гарантувати відповідно до правила «трьох σ». Завдання 6
Схожість насіння ячменю, що зберігається на дослідній станції, дорівнює 80%. Для сівби відібрали довільні 1000 + 10N насінин. Необхідно визначити: 1. Ймовірність того, що серед відібраних для сівби насінин проростуть від 750 + 5N до 800 + 10N насінин. 129
2. Ймовірність того, що доля (частість) пророщених насінин буде відрізнятися від середньої схожості за абсолютною величиною не більше, ніж на 0,01. 3. Кількість насінин, яку необхідно взяти, щоб із ймовірністю 0,7699 можна було б очікувати, що зійдуть від 790 + 8N до 810 + 8N насінин. Завдання 7
Випадкова величина Х кількості рослин льону, що уражені фузарізом, має нормальний розподіл з відомими середнім квадратичним відхиленням a
+
=
s
02
,
0
8
. Знайти з надійністю 0,95 точність δ, з якою вибіркове середнє оцінює невідоме математичне сподівання, якщо об’єм вибірки n = 400. Завдання 8
Кількісна ознака Х генеральної сукупності має нормальний розподіл. За вибіркою об’єму n=16 знайдено вибіркове середнє a+= 2,020x та виправлене середнє квадратичне відхилення s=1,2. Оцінити невідоме математичне сподівання за допомогою надійного інтервалу з точністю 0,95. Завдання 9
Дві неперервні незалежні випадкові величини Х та Y задані графіками щільності ¦
(х) (рис. 5.1) та ¦
(у) (рис. 5.2). Знайти M(X-Y), M(X
×
Y), D(3X-2Y+5). 130
Рис. 5.1 Рис. 5.2 Завдання 10
Неперервна випадкова величина Х задана законом розподілу Сімпсона: ï
î
ï
í
ì
b+ab-aÏ
b+ab-aÎ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
b+a
-
b+a
=
).2;2(-х якщо , 0 );2;2(-x якщо ,
2
x
1
2
1
)x(f
α+2N x f(x)
2(α+2N)
y f(y)
131
Знайти інтегральну функцію розподілу F(x) та числові характеристики М(Х), D(X), s
(X). Побудувати графіки інтегральної F(x) та диференціальної ¦
(х) функцій розподілу. Завдання 11
Обчислити різні види середніх величин (гармонійну, геометричну, арифметичну, квадратичну) та перевірити правило мажорантності середніх. X
i 3+α 5+α 6+α 8+α 10+α 14+α n
i 1+α 2+α 3+α 4+α 3+α 2+α Завдання 12
Результати дослідження урожайності зернових у господарствах області подано в таблиці: № п.п Межі інтервалів за урожайністю зернових культур, ц/га Число господарств (частота) 1 14,0+0,1N …18,0+0,1N 9 2 18,1+0,1N …22,0+0,1N 15 3 22,1+0,1N …26,0+0,1N 16 4 26,1+0,1N …30,0+0,1N 24 5 30,1+0,1N …34,0+0,1N 18 6 34,1+0,1N …38,0+0,1N 12 7 38,1+0,1N …42,0+0,1N 6 132
За цими даними: 1. Побудувати гістограму та полігон розподілу частот. 2. Розрахувати середню врожайність двома методами (звичайним та спрощеним). 3. Розрахувати медіанне та модальне значення врожайності. 4. Розрахувати показники варіації: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсію, середнє квадратичне відхилення (звичайним та спрощеним способом), коефіцієнт варіації. Завдання 13
Використовуючи дані господарств про урожайність зернових культур та якість ґрунту, провести кореляційно-регресійний аналіз зв’язку між двома ознаками: урожайністю та якістю ґрунту: 1. Побудувати графік кореляційної залежності між урожайністю та якістю ґрунту. 2. Знайти оцінки параметрів рівняння регресії методом найменших квадратів та побудувати її графік. 3. Перевірити адекватність побудованої моделі за F-критерієм Фішера. 4. Обчислити коефіцієнт кореляції та детермінації. Перевірити значимість коефіцієнта кореляції. 5. Виконати завдання, використовуючи пакет Excel. 133
№ Урожайність зернових культур, ц/га Якість грунту, бали 1 32,2 + 0,1 α 84 + N 2 35,3 + 0,1 α 84 + N 3 27,5 + 0,1 α 82 + N 4 25,1 + 0,1 α 71 + N 5 26,7 + 0,1 α 77 + N 6 18,9 + 0,1 α 67 + N 7 26,1 + 0,1 α 75 + N 8 37,7 + 0,1 α 82 + N 9 24,6 + 0,1 α 70 + N 10 26,6 + 0,1 α 75 + N 11 29,6 + 0,1 α 83 + N 12 34,7 + 0,1 α 86 + N 13 26,4 + 0,1 α 73 + N 14 18,3 + 0,1 α 72 + N 15 28,6 + 0,1 α 70 + N 134
5.2. Серія Б Завдання 1
Варіант 1-5 У магазин привезли партію фасованих макаронів по 0,5кг чотирьох різних виробників: 30% усіх пакетів Тернівського хлібозаводу, 40% - Первомайського, 20% - Вознесенського та 10 % - Трипільського. Ймовірність того, що вага пакета макаронів становить 500 г для відповідного заводу дорівнює: №
варіанта
Терн
і
в
-
ський
Первомай
-
ський
Вознесен
-
ський
Трипіль
-
ський
1 0,85 0,9 0,8 0,9 2 0,9 0,8 0,75 0,85 3 0,95 0,75 0,8 0,7 4 0,8 0,9 0,75 0,8 5 0,8 0,9 0,75 0,85 1. Товарознавець узяв по одному пакету кожного заводу. Визначити ймовірність того, що: а) усі пакети матимуть вагу в 500г; б) один із чотирьох пакетів буде неякісним; в) хоча б один із чотирьох пакетів буде неякісним. 2. Знайти ймовірність того, що навмання взятий пакет матиме вагу в 500г. 3. Навмання взятий пакет є неякісним. Визначити, яким заводом найімовірніше розфасовано цей пакет. 135
Варіант 6-10 У групі 10 студентів: 3 відмінники, 4 вчаться на «добре», 2- на «задовільно», 1 – двієчник. Ймовірності того, що студент кожної категорії підготовлений до семінарського заняття та зможе дати відповідь на запитання, відповідно дорівнюють: № варіанта На «відмінно» На «добре»
На «задовільно»
На «незадовільно»
6 0,9 0,7 0,6 0,3 7 0,9 0,8 0,5 0,25 8 0,95 0,85 0,55 0,35 9 0,9 0,85 0,6 0,3 10 0,95 0,8 0,55 0,25 1. Викладач викликає по одному студенту кожної категорії, які дають відповіді на одне запитання. Визначити ймовірність того, що протягом дня: а) всі студенти дадуть правильні відповіді; б) троє із чотирьох дадуть правильні відповіді; в) хоча б один дасть правильну відповідь. 2. Викликається навмання один студент, якому ставиться запитання. Визначити ймовірність того, що даний студент відповість на запитання. 3. Викликаний студент відповів на запитання. Необхідно визначити, до якої категорії найімовірніше всього належить даний студент. 136
Завдання 2
Число довгих волокон у партії бавовни становить у середньому 0,7 загальної кількості волокон. 1. За якої загальної кількості волокон найвірогідніше число довгих волокон виявиться рівним 25+N? 2. Серед відібраних волокон знайти ймовірність найвірогіднішого числа коротких волокон. Обчислення виконати за формулами Бернуллі, Лапласа та Пуассона. Порівняти результати. Завдання 3
На двох станках фасується молочна продукція. Закони розподілу кількості бракованих пакетів, що виробляється протягом зміни на кожному із станків, мають вигляд: 1-й станок Кількість бракованих паків (Х)
0 N 3N Ймовірність (р) 0,3 0,6 0,1 2-й станок Кількість бракованих паків (У)
0 N 2N Ймовірність (р) 0,2 0,6 0,2 Необхідно: 1. Скласти закон розподілу кількості бракованих пакетів, що виробляється протягом зміни обома станками. 2. Перевірити на цьому прикладі справедливість теорем про математичне сподівання та про дисперсію суми двох незалежних величин. Дисперсію обчислити двома способами. 137
3. Побудувати багатокутник розподілу випадкової величини та показати на графіку знайдені значення М(Х) та σ(Х). 4. Обчислити, використовуючи властивості математичного сподівання та дисперсії, математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини V = NX + (N + 1)Y, де Х – кількість бракованих пакетів, виготовлених першим станком, У – кількість бракованих пакетів, виготовлених другим станком. Завдання 4
Задана функція розподілу f(x): ï
î
ï
í
ì
>
£<¥
=
.Nx якщо ,
x
3AN
,Nx -якщо ,0
)x(f
5
2
Знайти: 1. Значення сталої А, за якого f(x) буде диференціальною функцією розподілу деякої неперервної випадкової величини Х. 2. Інтегральну функцію розподілу F(x) цієї випадкової величини та побудувати графіки функцій f(x) і F(x). 3. Математичне сподівання М(Х), дисперсію D(Х) (двома способами) та середнє квадратичне відхилення )
X
(
s
. 4. Ймовірність того, що в результаті п’яти незалежних випробувань випадкова величина Х рівно три рази прийме значення, що належить інтервалу (
)
(
)
1N;1N
+
+
-
. 138
Завдання 5
Вага дзеркальних коропів, яких виловлюють у ставках господарства, є нормально розподіленою випадковою величиною Х, з математичним сподіванням а = 500 + 0,1N г і середнім квадратичним відхиленням σ = 75г. Необхідно: 1. Знайти диференціальну та інтегральну функції розподілу випадкової величини Х. 2. Обчислити ймовірність того, що вага навмання взятого коропа, буде у межах 425 + 0,1Nг до 550 + 0,1Nг. 3. Знайти довірчий інтервал, в якому з ймовірністю 0,9545 буде знаходитися вага виловлених коропів. 4. Визначити, в яких межах, відповідно до правила «трьох σ», можна практично гарантувати вагу виловленого коропа. Завдання 6
Ймовірність порушення герметичності банки за виробництва консервів дорівнює 0,03. Протягом доби випускається 600 + 10N банок консервів. Визначити: 1. Ймовірність того, що протягом доби буде випущено не менше як 590 + 10N та не більше як 600 + 10N якісних банок. 2. Ймовірність того, що доля бракованих консервів, що виготовляється протягом доби, відхиляється за абсолютним значенням від середнього значення бракованих банок не більше ніж на 0,01. 139
3. Кількість банок, які необхідно взяти, щоб із ймовірністю 0,9973 можна було б очікувати, що якісних консервів буде не менше 595 + 9,8N та не більше 601 + 9,8N. Завдання 7
Знайти мінімальний об’єм вибірки, за яким з надійністю 0,975 точність оцінки математичного сподівання генеральної сукупності з нормальним розподілом вибірковим середнім дорівнює δ=0,2. Середнє квадратичне відхилення генеральної сукупності відоме і дорівнює a
+
=
s
04
,
0
5
,
3
. Завдання 8
. Кількісна ознака Х генеральної сукупності має нормальний розподіл. За вибіркою об'єму n=40 знайдено виправлене середнє квадратичне відхилення a
+
=
02
,
0
2
,
1
s
. Знайти надійний інтервал, що покриває генеральне середнє квадратичне відхилення σ з надійністю 0,95. З таблиці значень (
)
(
)
24,040;95,0qn,qq
=
=
g
=
(додаток 4). Завдання 9
Дві неперервні незалежні випадкові величини Х та Y задані графіками щільності ¦
(х) (рис. 5.3) та ¦
(у) (рис. 5.4). Знайти M(X-Y), M(X
×
Y), D(3X-5Y+7). 140
Рис. 5.3 Рис. 5.4 Завдання 10
Неперервна випадкова величина Х задана законом розподілу Сімпсона: ï
î
ï
í
ì
b+ab-aÏ
b+ab-aÎ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
b+a
-
b+a
=
).;(-х якщо , 0 );;(-x якщо ,
x
1
1
)x(f
α+N x f(x)
2(α+N) y f(y)
141
Знайти інтегральну функцію розподілу F(x) та числові характеристики М(Х), D(X), s
(X). Побудувати графіки інтегральної F(x) та диференціальної ¦
(х) функцій розподілу. Завдання 11
Обчислити різні види середніх величин (гармонійну, геометричну, арифметичну, квадратичну) та перевірити правило мажорантності середніх. X
i 3+α 7+α 8+α 11+α 12+α 17+α n
i 1+α 2+α 3+α 4+α 3+α 2+α Завдання 12
Результати дослідження урожайності зернових у господарствах області подано в таблиці: № п.п Межі інтервалів за урожайністю зернових культур, ц/га Число господарств (частота) 1 15,0+0,1N …19,0+0,1N 8 2 19,1+0,1N …23,0+0,1N 14 3 23,1+0,1N …27,0+0,1N 17 4 27,1+0,1N …31,0+0,1N 25 5 31,1+0,1N …35,0+0,1N 17 6 35,1+0,1N …39,0+0,1N 12 7 39,1+0,1N …43,0+0,1N 7 142
За цими даними: 1. Побудувати гістограму та полігон розподілу частот. 2. Розрахувати середню врожайність двома методами (звичайним та спрощеним). 3. Розрахувати медіанне та модальне значення врожайності. 4. Розрахувати показники варіації: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсію, середнє квадратичне відхилення (звичайним та спрощеним способом), коефіцієнт варіації. Завдання 13
Використовуючи дані господарств про урожайність зернових культур та дозу внесення мінеральних добрив ґрунту провести кореляційно-регресійний аналіз та встановити вплив дози мінеральних добрив на урожайність зернових культур: 1. Побудувати графік кореляційної залежності між врожайністю та дозою внесення мінеральних добрив. 2. Знайти оцінки параметрів рівняння регресії методом найменших квадратів та побудувати її графік. 3. Перевірити адекватність побудованої моделі за F-критерієм Фішера. 4. Обчислити коефіцієнт кореляції та детермінації. Перевірити значимість коефіцієнта кореляції. 5. Виконати завдання, використовуючи пакет Excel. 143
№ Урожайність зернових культур, ц/га Доза внесення мінеральних добрив 1 23,6 + 0,1 α 1,1 + N 2 31,9 + 0,1 α 3,1 + N 3 35,2 + 0,1 α 2,8 + N 4 36,4 + 0,1 α 2,9 + N 5 23,6 + 0,1 α 1,2 + N 6 34,0 + 0,1 α 2,9 + N 7 38,2 + 0,1 α 3,0 + N 8 17,3 + 0,1 α 0,8 + N 9 23,8 + 0,1 α 0,7 + N 10 19,7 + 0,1 α 1,3 + N 11 24,6 + 0,1 α 1,4 + N 12 15,1 + 0,1 α 0,7 + N 13 28,6 + 0,1 α 1,6 + N 14 38,4 + 0,1 α 2,9 + N 15 22,4 + 0,1 α 1,3 + N 144
ДОДАТКИ Додаток 1 Міністерство аграрної політики України Миколаївський державний аграрний університет Кафедра економічної кібернетики і математичного моделювання Шифр 977456
Контрольна робота з теорії ймовірностей та математичної статистики студентки економічного факультету МДАУ спеціальності “Менеджмент організацій” групи ЗЕ 2/1 Іванової Юлії Олександрівни. Миколаїв, 2009 145
Додаток 2 Бланк рецензії контрольної роботи Міністерство аграрної політики України Миколаївський державний аграрний університет Кафедра економічної кібернетики і математичного моделювання РЕЦЕНЗІЯ НА КОНТРОЛЬНУ РОБОТУ Студентки ________Іванової Юлії Олександрівни
_______________ шифр ____977456____ , яка навчається на ____ІІ
______ курсі _____економічного
__________ факультету. Контрольна робота з теорії ймовірностей__________________
та математичної статистики___________ Реєстраційний № ____________ Дата отримання роботи «_____» _____ 200_ р. Оцінка _________________ Дата повернення роботи «_____» _____ 200_ р. Рецензент _________________________________ ЗМІСТ РЕЦЕНЗІЇ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ Підпис рецензента _____________________________ 146
Додаток 3 Значення функції Гауса ( )
2
x
2
e
2
1
x
-
p
=j x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973 0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918 0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825 0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3667 0,4 3683 3668 3653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538 0,5 3521 3521 3503 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352 0,6 3332 3312 3392 3271 3251 3230 3209 3287 3166 3144 0,7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920 0,8 2897 2874 2850 2827 2903 2780 2756 2832 2709 2685 0,9 2661 2637 2613 2689 2565 2541 2516 2592 2468 2444 1,0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1682 1561 1539 1518 1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 100969 0973 0957 1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 Закінчення на стор. 147 147
Продовження додатка 3 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0476 0468 0459 0449 2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363 2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290 2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229 2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0191 0189 0184 0180 2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139 2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107 2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0090 0088 0086 0084 0081 2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061 2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046 3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034 3,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025 3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018 3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013 3,4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009 3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006 3,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004 3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001 148
Додаток 4 Значення функції Лапласа ( )
ò
-
p
=F
x
0
2
z
dze
2
1
x
2
x Ф (х) x Ф (х) x Ф (х) x Ф (х) 0,00 0,0000 0,34 0,1331 0,68 0,2517 1,02 0,3461 0,01 0,0040 0,35 0,1368 0,69 0,2549 1,03 0,3485 0,02 0,0080 0,36 0,1406 0,70 0,2580 1,04 0,3508 0,03 0,0120 0,37 0,1443 0,71 0,2611 1,05 0,3551 0,04 0,0160 0,38 0,1480 0,72 0,2642 1,06 0,3554 0,05 0,0199 0,39 0,1517 0,73 0,2673 1,07 0,3577 0,06 0,0239 0,40 0,1554 0,74 0,2703 1,08 0,3599 0,07 0,0279 0,41 0,1591 0,75 0,2734 1,09 0,3621 0,08 0,0319 0,42 0,1628 0,76 0,2764 1,10 0,3643 0,09 0,0359 0,43 0,1664 0,77 0,2794 1,11 0,3665 0,10 0,0398 0,44 0,1700 0,78 0,2823 1,12 0,3686 0,11 0,0438 0,45 0,1736 0,79 0,2852 1,13 0,3708 0,12 0,0478 0,46 0,1772 0,80 0,2881 1,14 0,3729 0,13 0,0517 0,47 0,1808 0,81 0,2910 1,15 0,3749 0,14 0,0557 0,48 0,1844 0,82 0,2939 1,16 0,3770 0,15 0,0596 0,49 0,1879 0,83 0,2967 1,17 0,3790 0,16 0,0636 0,50 0,1915 0,84 0,2995 1,18 0,3810 0,17 0,0675 0,51 0,1950 0,85 0,3023 1,19 0,3830 0,18 0,0714 0,52 0,1985 0,86 0,3051 1,20 0,3849 0,19 0,0753 0,53 0,2019 0,87 0,3078 1,21 0,3869 0,20 0,0793 0,54 0,2054 0,88 0,3106 1,22 0,3883 0,21 0,0832 0,55 0,2088 0,89 0,3133 1,23 0,3907 0,22 0,0871 0,56 0,2123 0,90 0,3159 1,24 0,3925 0,23 0,0910 0,57 0,2157 0,91 0,3186 1,25 0,3944 0,24 0,0948 0,58 0,2190 0,92 0,3212 1,26 0,3962 0,25 0,0987 0,59 0,2224 0,93 0,3238 1,27 0,3980 0,26 0,1026 0,60 0,2257 0,94 0,3264 1,28 0,3997 0,27 0,1064 0,61 0,2291 0,95 0,3289 1,29 0,4015 0,28 0,1103 0,62 0,2324 0,96 0,3315 1,30 0,4032 0,29 0,1141 0,63 0,2357 0,97 0,3340 1,31 0,4049 0,30 0,1179 0,64 0,2389 0,98 0,3365 1,32 0,4066 0,31 0,1217 0,65 0,2422 0,99 0,3389 1,33 0,4082 0,32 0,1255 0,66 0,2454 1,00 0,3413 1,34 0,4099 0,33 0,1293 0,67 0,2486 1,01 0,3438 1,35 0,4115 Закінчення на стор. 149 149
Продовження додатка 4 x Ф (х) x Ф (х) x Ф (х) x Ф (х) 1,36 0,4131 1,67 0,4525 1,98 0,4761 2,58 0,4951 1,37 0,4147 1,68 0,4535 1,99 0,4767 2,60 0,4953 1,38 0,4162 1,69 0,4545 2,00 0,4772 2,62 0,4956 1,39 0,4177 1,70 0,4554 2,02 0,4783 2,64 0,4959 1,40 0,4192 1,71 0,4564 2,04 0,4793 2,66 0,4961 1,41 0,4207 1,72 0,4573 2,06 0,4803 2,68 0,4963 1,42 0,4222 1,73 0,4582 2,08 0,4812 2,70 0,4965 1,43 0,4236 1,74 0,4591 2,10 0,4821 2,72 0,4967 1,44 0,4251 1,75 0,4599 2,12 0,4830 2,74 0,4969 1,45 0,4265 1,76 0,4608 2,14 0,4838 2,76 0,4971 1,46 0,4219 1,77 0,4616 2,16 0,4846 0,78 0,4973 1,47 0,4292 1,78 0,4625 2,18 0,4854 2,80 0,4974 1,48 0,4306 1,79 0,4633 2,20 0,4861 2,82 0,4976 1,49 0,4319 1,80 0,4641 2,22 0,4868 2,84 0,4977 1,50 0,4332 1,81 0,4649 2,24 0,4875 2,86 0,4979 1,51 0,4345 1,82 0,4656 2,26 0,4881 2,88 0,4980 1,52 0,4357 1,83 0,4664 2,28 0,4887 2,90 0,4981 1,53 0,4370 1,84 0,4671, 2,30 0,4893 2,92 0,4982 1,54 04382 1,85 0,4678 2,32 0,4898 2,94 0,4984 1,55 0,4394 1,86 0,4686 2,34 0,4904 2,96 0,4985 1,56 0,4406 1,87 0,4693 2,36 0,4909 2,98 0,4986 1,57 0,4418 1,88 0,4699 2,38 0,4913 3,00 0,49865 1,58 0,4429 1,89 0,4706 2,40 0,4918 3,20 0,49931 1,59 0,4441 1,90 0,4713 2,42 0,4922 3,40 0,49966 1,60 0,4452 1,91 0,4719 2,44 0,4927 3,60 0,499841 1,61 0,4463 1,92 0,4726 2,46 0,4931 3,80 0,499928 1,62 0,4474 1,93 0,4732 2,48 0,4934 4,00 0,499968 1,63 0,4484 1,94 0,4738 2,50 0,4938 4,50 0,499997 1,64 0,4495 1,95 0,4744 2,52 0,4991 5,00 0,499997 1,65 0,4505 1,96 0,4750 2,54 0,4945 1,66 0,4515 1,97 0,4756 2,56 0,4948 150
Додаток 5 Значення (
)
n,tt
g
=
g
n γ n γ 0,95 0,99 0,999 0,95 0,99 0,999 5 2,78 4,60 8,61 20 2,093 2,861 3,883 6 2,57 4,03 6,86 25 2,064 2,797 3,745 7 2,45 3,71 5,96 30 2,045 2,756 3,656 8 2,37 3,50 5,41 35 2,032 2,720 3,600 9 2,31 3,36 5,04 40 2,023 2,708 3,558 10 2,26 3,25 4,78 45 2,016 2,692 3,527 11 2,23 3,17 4,59 50 2,009 2,679 3,502 12 2,20 3,11 4,44 60 2,001 2,662 3,464 13 2,18 3,06 4,32 70 1,996 2,649 3,439 14 2,16 3,01 4,22 80 1,001 2,640 3,418 15 2,15 2,98 4,14 90 1,987 2,633 3,403 16 2,13 2,95 4,07 100 1,984 2,627 3,392 17 2,12 2,92 4,02 120 1,980 2,617 3,374 18 2,11 2,90 3,97 1,960 2,576 3,291 19 2,10 2,88 3,92 151
Додаток 6 Значення (
)
n,qq
g
=
n γ n γ 0,95 0,99 0,999 0,95 0,99 0,999 5 1,37 2,67 5,64 20 0,37 0,58 0,88 6 1,09 2,01 3,88 25 0,32 0,49 0,73 7 0,92 1,62 2,98 30 0,28 0,43 0,63 8 0,80 1,38 2,42 35 0,26 0,38 0,56 9 0,71 1,20 2,06 40 0,24 0,35 0,50 10 0,65 1,08 1,80 45 0,22 0,32 0,46 11 0,59 0,98 1,60 50 0,21 0,30 0,43 12 0,55 0,90 1,50 60 0,188 0,269 0,38 13 0,52 0,83 1,33 70 0,174 0,245 0,34 14 0,48 0,78 1,23 80 0,161 0,226 0,31 15 0,46 0,73 1,15 90 0,151 0,211 0,29 16 0,44 0,70 1,07 100 0,143 0,198 0,27 17 0,42 0,66 1,01 150 0,115 0,160 0,211 18 0,40 0,63 0,96 200 0,099 0,136 0,185 19 0,39 0,60 0,92 250 0,089 0,120 0,162 152
Додаток 7 Критичні точки розподілу Фішера (F-розподілу) Рівень значущості 0,05 k
2 k
1
1 2 3 4 5 6 12 24 ∞ 1 164,4 199,5 215,7 224,6 230,2 234,0 244,9 249,0 254,3 2 18,5 9,2 19,2 19,3 19,3 19,3 19,4 19,5 19,5 3 10,1 9,6 9,3 9,1 9,0 8,9 8,7 8,6 8,5 4 7,7 6,9 6,6 6,4 6,3 6,2 5,9 5,8 5,6 5 6,6 5,8 5,4 5,2 5,1 5,0 4,7 4,5 4,4 6 6,0 5,1 4,8 4,5 4,4 4,3 4,0 3,8 3,7 7 5,6 4,7 4,4 4,1 4,0 3,9 3,6 3,4 3,2 8 5,3 4,5 4,1 3,8 3,7 3,6 3,3 3,1 2,9 9 5,1 4,3 3,9 3,6 3,5 3,4 3,1 2,9 2,7 10 5,0 4,1 3,7 3,5 3,3 3,2 2,9 2,7 2,5 11 4,8 4,0 3,6 3,4 3,2 3,1 2,8 2,6 2,4 12 4,8 3,9 3,5 3,3 3,1 3,0 2,7 2,5 2,3 13 4,7 3,8 3,4 3,2 3,0 2,9 2,6 2,4 2,2 14 4,6 3,7 3,3 3,1 3,0 2,9 2,5 2,3 2,1 15 4,5 3,7 3,3 3,1 2,9 2,8 2,5 2,3 2,1 16 4,5 3,6 3,2 3,0 2,9 2,7 2,4 2,2 2,0 17 4,5 3,6 3,2 3,0 2,8 2,7 2,4 2,2 2,0 18 4,4 3,6 3,2 2,9 2,8 2,7 2,3 2,1 1,9 19 4,4 3,5 3,1 2,9 2,7 2,6 2,3 2,1 1,8 20 4,4 3,5 3,1 2,9 2,7 2,6 2,3 2,1 1,8 22 4,3 3,4 3,1 2,8 2,7 2,6 2,2 2,0 1,8 24 4,3 3,4 3,0 2,8 2,6 2,5 2,2 2,0 1,7 26 4,2 3,4 3,0 2,7 2,6 2,4 2,1 1,9 1,7 28 4,2 3,3 2,9 2,7 2,6 2,4 2,1 1,9 1,6 30 4,2 3,3 2,9 2,7 2,5 2,4 2,1 1,9 1,6 40 4,1 3,2 2,9 2,6 2,5 2,3 2,0 1,8 1,5 60 4,0 3,2 2,8 2,5 2,4 2,3 1,9 1,7 1,4 120 3,9 3,1 2,7 2,5 2,3 2,2 1,8 1,6 1,3 ∞ 3,8 3,0 2,6 2,4 2,2 2,1 1,8 1,5 1,0 153
Продовження додатка 7 Рівень значущості 0,01 k
2 k
1
1 2 3 4 5 6 8 12 24 ∞ 1 4052 4999 5403 5625 5764 5859 5981 6106 6234 6366 2 98,5 99,0 99,2 99,3 99,3 99,4 99,3 99,4 99,5 99,5 3 34,1 30,8 29,5 28,7 28,2 27,9 27,5 27,1 26,6 26,1 4 21,2 18,0 16,7 16,0 15,5 15,2 14,8 14,4 13,9 13,5 5 16,3 13,3 12,1 11,4 11,0 10,7 10,3 9,9 9,5 9,0 6 13,7 10,9 9,8 9,2 8,8 8,5 8,1 7,7 7,3 6,9 7 12,3 9,6 8,5 7,9 7,5 7,2 6,8 6,5 6,1 5,7 8 11,3 8,7 7,6 7,0 6,6 6,4 6,0 5,7 5,3 4,9 9 10,6 8,0 7,0 6,4 6,1 5,8 5,5 5,1 4,7 4,3 10 10,0 7,6 6,6 6,0 5,6 5,4 5,1 4,7 4,3 3,9 11 9,7 7,2 6,2 5,7 5,3 5,1 4,7 4,4 4,0 3,6 12 9,3 6,9 6,0 5,4 5,1 4,8 4,5 4,2 3,8 3,4 13 9,1 6,7 5,7 5,2 4,9 4,6 4,3 4,0 3,6 3,2 14 8,9 6,5 5,6 5,0 4,7 4,5 4,1 3,8 3,4 3,0 15 8,7 6,4 5,4 4,9 4,6 4,3 4,0 3,7 3,3 2,9 16 8,5 6,2 5,3 4,8 4,4 4,2 3,9 3,6 3,2 2,8 17
8,4 6,1 5,2 4,7 4,3 4,1 3,8 3,5 3,1 2,7 18
8,3 6,0 5,1 4,6 4,3 4,0 3,7 3,4 3,0 2,6 19
8,2 5,9 5,0 4,5 4,2 3,9 3,6 3,3 2,9 2,4 20
8,1 5,9 4,9 4,4 4,1 3,9 3,6 3,2 2,9 2,4 22
7,9 5,7 4,8 4,3 4,0 3,8 3,5 3,1 2,8 2,3 24
7,8 5,6 4,7 4,2 3,9 3,7 3,3 3,0 2,7 2,2 26
7,7 5,5 4,6 4,1 3,8 3,6 3,3 3,0 2,6 2,1 28
7,6 5,5 4,6 4,1 3,8 3,5 3,2 2,9 2,5 2,1 30
7,6 5,4 4,5 4,0 3,7 3,5 3,2 2,8 2,5 2,0 40
7,3 5,2 4,3 3,8 3,5 3,3 3,0 2,7 2,3 1,8 60
7,1 5,0 4,1 3,7 3,3 3,1 2,8 2,5 2,1 1,6 120
6,9 4,8 4,0 3,5 3,2 3,0 2,7 2,3 2,0 1,4 ∞
6,6 4,6 3,8 3,3 3,0 2,8 2,5 2,2 1,8 1,0 154
Додаток 8 Критичні точки розподілу Стьюдента (t-розподілу) Рівень значущості, α
Число ступенів
свободи, k 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,002 0,001 1 3,08 6,31 12,7 31,82 63,66 127,32 636,62
2 1,89 2,92 4,30 6,97 9,93 14,09 31,60 3 1,64 2,35 3,18 4,54 5,84 7,45 12,94 4 1,53 2,13 2,78 3,75 4,60 5,60 8,61 5 1,48 2,02 2,57 3,37 4,03 4,77 6,86 6 1,44 1,94 2,45 3,14 3,71 4,32 5,96 7 1,42 1,90 2,36 3,00 3,50 4,03 5,41 8 1,40 1,86 2,31 2,90 3,36 3,83 5,04 9 1,38 1,83 2,26 2,82 3,25 3,69 4,78 10 1,37 1,81 2,23 2,76 3,17 3,58 4,59 11 1,36 1,80 2,20 2,72 3,11 3,50 4,44 12 1,36 1,78 2,18 2,68 3,05 3,43 4,32 13 1,35 1,77 2,16 2,65 3,01 3,37 4,22 14 1,34 1,76 2,14 2,62 2,98 3,33 4,14 15 1,34 1,75 2,13 2,60 2,95 3,29 4,07 16 1,34 1,75 2,12 2,58 2,92 3,25 4,02 17 1,33 1,74 2,11 2,57 2,90 3,22 3,97 18 1,33 1,73 2,10 2,55 2,88 3,20 3,92 19 1,33 1,73 2,09 2,54 2,86 3,17 3,88 20 1,33 1,73 2,09 2,53 2,85 3,15 3,85 21 1,32 1,72 2,08 2,52 2,83 3,14 3,82 22 1,32 1,72 2,07 2,51 2,82 3,12 3,79 23 1,32 1,71 2,07 2,50 2,81 3,10 3,77 24 1,32 1,71 2,06 2,49 2,80 3,09 3,75 25 1,32 1,71 2,06 2,48 2,79 3,08 3,73 26 1,32 1,71 2,06 2,48 2,78 3,07 3,71 27 1,31 1,70 2,05 2,47 2,77 3,06 3,69 28 1,31 1,70 2,05 2,47 2,76 3,05 3,67 29 1,31 1,70 2,04 2,46 2,76 3,04 3,66 30 1,31 1,70 2,04 2,46 2,75 3,03 3,65 40 1,30 1,68 2,02 2,42 2,70 2,97 3,55 60 1,30 1,67 2,00 2,39 2,66 2,91 3,46 120 1,29 1,66 1,98 2,36 2,62 2,86 3,37 ∞ 1,28 1,64 1,96 2,33 2,58 2,81 3,29 155
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика, 5-е изд., М., „Высшая школа”, 1977. 2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. 2-е изд., М., „Высшая школа”, 1975. 3. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч.ІІ, 4-е изд., М., „Высшая школа”, 1986. 4. Ивашев-Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая статистика, М., „Высшая школа”, 1979. 5. Коленаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.В. Теория вероятностей и математическая статистика, М., „Высшая школа”, 1991. 6. Мармоза А.Т. Практикум по математической статистике, Киев, „Вища школа”, 1990. 7. Мартиненко М.А., Клименко Р.К., Лебедєва І.В. Теорія ймовірностей. - Київ: УДУХТ, 1999, 242с. 8.Опря А.Т. Математична статистика, Київ, „Урожай”, 1994. 9. Жлуктенко В.І., Наконечний С.І. Теорія ймовірностей і математична статистика: Навч.-метод. посібник: У 2-х ч. – Ч. І. Теорія ймовірностей. – К.: КНЕУ, 2001. – 304 с. 10. Жлуктенко В.І., Наконечний С.І., Савіна С.С. Теорія ймовірностей і математична статистика: Навч.-метод. посібник: У 2-х ч. – Ч. ІІ. Математична статистика. – К.: КНЕУ, 2001. – 336 с. 11. Сеньо П.С. Теорія ймовірностей та математична статистика: Підручник. – 2-ге вид., перероб. і доп. – К.: Знання, 2007. – 556 с. 12. Бобик О.І., Берегова Г.І., Копитко Б.І. Теорія ймовірностей і математична статистика: Підручник. – К.: ВД «Професіонал», 2007. – 560 с.
156
ЗМІСТ стор. Вступ 3 1. Порядок виконання та правила оформлення контрольної роботи 5 2. Питання до заліку 7 3. Основні теоретичні відомості курсу 13 3.1. Елементи теорії ймовірностей 13 3.1.1. Випадкова подія, її частота та ймовірність. Елементи комбінаторики 13 3.1.2. Теореми додавання та множення ймовірностей. Протилежні події 16 3.1.3. Повторні незалежні випробування (схема Бернуллі) 18 3.1.4. Види випадкових величин. Дискретні випадкові величини (ДВВ) та їх закони розподілу 22 3.1.5 Числові характеристики ДВВ 25 3.1.6. Неперервні випадкові величини (НВВ). Функція та щільність розподілу ймовірностей 27 3.1.7. Числові характеристики НВВ 29 3.1.8. Рівномірний, показниковий і нормальний закони розподілу 30 3.2. Елементи математичної статистики 33 3.2.1. Статистичні ряди розподілу та їх характеристики 33 3.2.2. Середні величини 36 3.2.3. Показники варіації 40 3.2.4. Статистична оцінка параметрів розподілу 43 3.2.5. Кореляційний аналіз 48 4. Приклади виконання типових завдань 52 5. Завдання для контрольної (розрахунково-графічної) роботи 124 5.1. Серія А 124 5.2. Серія Б 134 Додатки 144 1. Титульний лист контрольної роботи 144 2. Бланк рецензії контрольної роботи 145 3. Значення функції Гауса 146 4. Значення функції Лапласа 148 5. Значення (
)
n,tt
g
=
g
150 6. Значення (
)
n,qq
g
=
151 7. Критичні точки розподілу Фішера 152 8. Критичні точки розподілу Стьюдента 154 Список рекомендованої літератури 155 Зміст 156 157
Автор
V1to4ka2008
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
839
Размер файла
931 Кб
Теги
met_tv_2009
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа