close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Met MST 2 2007

код для вставкиСкачать
МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ МИКОЛАЇВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ ТА МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ до самостійної роботи з математичної статистики з використанням кредитно-модульної системи навчання та рейтингової системи оцінки знань для студентів денної форми навчання спеціальностей 7.050106 – облік та аудит, 7.050202 – менеджмент організацій, 7.050206 – менеджмент зовнішньоекономічної діяльності, 7.091902 – механізація сільського господарства, 6.010100 – професійне навчання, 6.091900 – енергетика сільського господарства Тема: Кореляційно-регресійний метод аналізу Миколаїв - 2007 2
Контрольні завдання та методичні рекомендації до самостійної роботи з математичної статистики з використанням кредитно-
модульної системи навчання та рейтингової системи оцінки знань для студентів денної форми навчання спеціальностей: 7.050106 – облік та аудит, 7.050202 – менеджмент організацій, 7.050206 – менеджмент зовнішньоекономічної діяльності, 7.091902 – механізація сільського господарства, 6.010100 – професійне навчання, 6.091900 – енергетика сільськогосподарського виробництва. Підготували: д.т.н., професор Шебанін В.С., к.т.н., доцент Веремієнко М.О., к.т.н., доцент Шебаніна Л.П., к.т.н., доцент Мірошніченко О.А., к.т.н., доцент Богза В.Г., к. ф-м.н., доцент Шебаніна О.В., ст. викладач Цепуріт О.В., ст. викладач Хилько І.І., ст. викладач Богданов С.І., ст. викладач Домаскіна М.А., ас. Шептилевський О.В., ас. Широков В.С., Рецензенти: Будак В.Д., д.т.н., професор МДУ; Табацков В.П., к.т.н. доцент МДАУ. Друкується згідно з рішенням Методичної ради Миколаївського державного аграрного університету, протокол № ___ від _______р. Надруковано у видавничому відділі МДАУ. Зам. _____ Наклад ___ прим. 54010, м. Миколаїв, вул. Паризької комуни, 9 3
ВСТУП Математична статистика є необхідною частиною вищої освіти сучасного працівника сільського господарства. Мета даних методичних рекомендацій – ознайомити студентів з цією галуззю науки, підготувати необхідну теоретичну базу для використання статистичних методів у роботі з дослідження об'єктів сільського господарства. Математичка статистика розглядається у взаємозв'язку з теорією ймовірностей, оскільки вона є складовою частиною вищої математики. На основі її методів вирішується ряд теоретичних та практичних задач у галузі сільського господарства. Кількісні характеристики, одержані в результаті математико-статистичного аналізу, дозволяють мати більш глибоке уявлення про характер причинно-наслідкових зв'язків явищ, що досліджуються, а також отримати надійні параметри для здійснення планово-економічних розрахунків і особливо прогнозування розвитку деяких процесів. У методичних рекомендаціях подано матеріал для п'яти лабораторних робіт, які є частиною програмного навчального та контролюючого комплексу, який охоплює всі основні розділи вищої математики, теорії ймовірностей та математичної статистики, що вивчаються за програмою аграрних вищих навчальних закладів. Теми робіт стосуються кореляційно-регресійного аналізу. Матеріал викладено таким чином, щоб максимально допомогти студентам оволодіти теоретичними питаннями та набути необхідних практичних навичок. Для досягнення цієї мети розглянуто багато 4
прикладів виконання вправ з основних питань курсу. Дано також задачі для самостійного розв'язання, що допомагає досконало засвоїти матеріал та використати ПЕОМ для контролю знань студентів. Методичні рекомендації розроблено для активізації самостійної роботи студентів вищих аграрних закладів освіти ІІІ-ІV рівнів акредитації з урахуванням вимог кредитно-модульної схеми навчання. Кожна лабораторна робота містить такі розділи: 1. Основні поняття та теореми. 2. Завдання на допуск студента до проведення лабораторної роботи. 3. Приклад виконання завдання на допуск студента до проведення лабораторної роботи. 4. Задачі та вправи до самостійної роботи студента на лабораторному занятті. 5. Приклад розв'язання задач та вправ до самостійної роботи студента на лабораторному занятті. 5
М15.ЛР.15.39-40. ВИЗНАЧЕННЯ ПАРАМЕТРІВ У ЛІНІЙНІЙ РЕГРЕСІЇ МЕТОДОМ НАЙБІЛЬШИХ КВАДРАТІВ 1. Основні поняття та теореми Нехай кожному значенню деякої кількісної ознаки, яку позначимо X, відповідає розподіл значень кількісної ознаки У (тобто декілька значень у з різними ймовірностями кожного з них). Така ж відповідність є між кожним значенням величини у і зв'язаними з ним значеннями х. На основі результатів спостережень за значеннями змінних х і у складається таблиця, що називається кореляційною: У Х y
1
y
2
… y
m
n
x
x
1
n
11
n
12
… n
1m
n
x1
x
2
n
21
n
22
… n
2m
n
x2
… … … … … … x
k
n
k1
n
k2
… n
km
n
xk
n
y
n
y1
n
y2
… n
ym
N де k1,i ,nn
j
xiij
==
å
m1,j ,nn
i
yjij
==
å
Nnn
1j
yj
1i
xi
=
=
å
å
==
6
Сукупність чисел у кожному рядку це ряд розподілу значень у відповідно даному значенню x. Сукупність чисел у стовпці - ряд розподілу значень х відповідних даному значенню у. Обробка даних кореляційної залежності дає можливість установити форму кореляційного зв'язку між змінними х і у. Кожному значенню х поставимо у відповідність середнє значення у, яке позначимо х
у і обчислимо за правилом визначення середньої зваженої. Графічне зображення точок, що відповідають парам (
)
х
у;x з послідовним сполученням усіх точок відрізками прямих дає ламану, що називається емпіричною лінією регресії у на х і аналітично визначається параметрами лінійної функції: baxy
x
+= (1) Аналогічно кореляційна залежність між у і у
х визначається рівнянням: dcxx
y
+= (2) Щоб знайти способом найменших квадратів коефіцієнти а і b, використовується система нормальних рівнянь ï
î
ï
í
ì
=+
=+
å åå
åå å
.ynnbxna
,yxnxnbxna
x
xxx
x
xx
2
x
(3) 7
Після перетворень цієї системи і підстановки в рівняння (1) можна дістати рівняння: (
)
xxayy
x
-=- (4) Коефіцієнт а у рівнянні прямої регресії називають коефіцієнтом прямої регресії у на x і позначають символом ух
r
, отже (
)
xxyy
yx
x
-r=-
(5) Коефіцієнт yx
r
можна знайти за формулою: (
)
2
2
yx
хx
ухxy
-
×-
=r
(6) Аналогічно: (
)
yyхx
xy
y
-r=-
, (7) де ( )
2
2
xy
yy
ухxy
-
×-
=r
. (8) За міру лінійного кореляційного зв'язку береться коефіцієнт кореляції b
r, який можна обчислити за формулою: ( )
( )
2
2
2
2
b
yyхx
yxxy
r
-×-
×-
=
. (9) 2. Задачі та вправи для допуску до лабораторної роботи За проведення вегетаційних дослідів з впливу кількості фосфорного добрива Х (г/судину) на урожай ячменю У (г/судину) для 8
відшукання лінійної кореляційної залежності між ознаками Х та У проведено три незалежні випробування. У результаті одержано такі три пари чисел (Х;У): (
)
(
)
(
)
100;60 ,50;40 ,30;20
a
+
. За допомогою методу найменших квадратів знайти вибіркове рівняння прямої лінії регресії У на Х у формі bхy
уx
x
+×r=
та регресії Х на У у формі dуx
ху
y
+×r=
. У відповіді вказати: 1. Числове значення вибіркового коефіцієнта ух
r
регресії У на Х. 2. Числове значення вибіркового коефіцієнта ху
r
регресії X на У. 3. Числове значення вибіркового коефіцієнта b
r лінійної кореляції. 4. Значення параметра b. 5. Значення параметра d. 3. Приклади розв'язання задач та вправ для допуску до лабораторної роботи. За проведення вегетаційних дослідів з впливу кількості фосфорного добрива Х (г/судину) на урожай ячменю У (г/судину) для знаходження лінійної кореляційної залежності між ознаками Х та У проведено три незалежні випробування. У результаті одержано такі пари чисел (Х;У): (20;30), (50;70), (80; 110). 9
За допомогою методу найменших квадратів знайти вибіркове рівняння прямої лінії регресії У на Х у формі bхy
уx
x
+×r=
та регресії Х на У у формі dуx
ху
y
+×r=
. У відповіді вказати: 1. Числове значення вибіркового коефіцієнта ух
r
регресії У на Х. 2. Числове значення вибіркового коефіцієнта ху
r
регресії X на У. 3. Числове значення вибіркового коефіцієнта b
r лінійної кореляції. 4. Значення параметра b. 5. Значення параметра d. Розв’язання 1. Для надходження коефіцієнта ух
r
використовуємо формулу: (
)
2
2
yx
хx
yxxy
-
×-
=r
. Знаходимо відповідні середні значення: 50
3
805020
x =
+
+
=; 70
3
1107030
y =
+
+
=; 4300
3
1108070503020
xy =
×
+
×
+
×
=; 3100
3
9300
3
805020
x
222
2
==
++
=
; (
)
250050x
2
2
==. 10
Отже, 33,1
600
800
2500
3100
70504300
yx
==
-
×
-
=r. 2. Для знаходження коефіцієнта ху
r
використовуємо формулу ( )
2
2
xy
уy
yxxy
-
×-
=r
. Маємо: 3
17900
3
1107030
y
222
2
=
++
=
, (
)
490070y
2
2
==, 75,0
3200
2400
3
3200
800
4900
3
17900
70504300
ху
===
-
×
-
=r. 3. Значення вибіркового коефіцієнта b
r лінійної кореляції знайдемо за формулою: ( )
( )
2
2
2
2
b
уyхx
yxxy
r
-×-
×-
=
Підставляючи вихідні, отримаємо: 1
640000
800
3
3200
600
800
4900
3
17900
25003100
70504300
r
b
==
×
=
-×-
×
-
=. 4. Запишемо рівняння прямої регресії У на Х (
)
;50x333,170y
х
-=- 11
;65,66x333,170y
х
-=- 35,3x333,1y
х
+=. Отже, 35
,
3
b
=
. 5. Запишемо рівняння прямої регресії Х на У: (
)
70y75,050x
y
-=-; 5,52y75,050x
y
-=-; 5,2y75,0x
y
-=. Отже, 5
,
2
d
-
=
. 4. Задачі та вправи до лабораторної роботи За проведення вегетаційних дослідів з впливу кількості фосфорного добрива Х (г/судину) на урожай ячменю У (г/судину) для знаходження лінійної кореляційної залежності між ознаками Х та У зроблено п'ять незалежних випробувань. У результаті отримано такі п'ять пар чисел (Х;У): )
90
;
60
(
);
60
;
40
(
);
50
;
30
(
);
30
;
20
(
);
20
;
10
(
a
-
За допомогою методу найменших квадратів знайти вибіркове рівняння прямої лінії регресії У на Х у формі bхy
yx
x
+×r=
та регресії Х на У у формі dуx
xy
y
+×r=
. У відповіді вказати: 1. Числове значення вибіркового коефіцієнта ух
r
регресії У на Х. 2. Числове значення вибіркового коефіцієнта ху
r
регресії X на У. 12
3. Числове значення вибіркового коефіцієнта b
r лінійної кореляції. 4. Значення параметра b. 5. Значення параметра d. 5. Приклад розв'язання задач та вправ до лабораторної роботи За проведення вегетаційних дослідів з впливу кількості фосфорного добрива Х (г/судину) на урожай ячменю У (г/судину) для знаходження лінійної кореляційної залежності між ознаками Х та У зроблено п'ять незалежних випробувань. У результаті отримано такі п'ять пар чисел (Х;У): (10;20), (30;40), (50;60), (70;80), (80; 100). За допомогою методу найменших квадратів знайти вибіркове рівняння прямої лінії регресії У на Х у формі bхy
уx
x
+×r=
та регресії Х на У у формі dуx
ху
y
+×r=
. У відповіді вказати: 1. Числове значення вибіркового коефіцієнта ух
r
регресії У на Х. 2. Числове значення вибіркового коефіцієнта ху
r
регресії X на У. 3. Числове значення вибіркового коефіцієнта b
r лінійної кореляції. 4. Значення параметра b. 5. Значення параметра d. 13
Розв’язання 1. Для знаходження коефіцієнта ух
r
використовуємо формулу: (
)
2
2
yx
хx
yxxy
-
×-
=r
. Знаходимо відповідні середні значення: 48
5
8070503010
x =
+
+
+
+
=; 60
5
10080604020
y =
+
+
+
+
=; 3600
5
100808070605040302010
xy =
×
+
×
+
×
+
×
+
×
=; 2960
5
14800
5
8070503010
x
22222
2
==
++++
=
; (
)
230448x
2
2
==. Отже, 098,1
656
720
656
28803600
2304
2960
60483600
yx
==
-
=
-
×
-
=r. 2. Для знаходження коефіцієнта ху
r
використовуємо формулу ( )
2
2
xy
уy
yxxy
-
×-
=r
. Маємо: 4400
5
22000
5
10080604020
y
22222
2
==
++++
=
, (
)
360060y
2
2
==, 14
9,0
800
720
800
28803600
3600
4400
60483600
ху
==
-
=
-
×
-
=r. 3. Значення вибіркового коефіцієнта b
r лінійної кореляції знайдемо за формулою: ( )
( )
2
2
2
2
b
уyхx
yxxy
r
-×-
×-
=
. Підставляючи вихідні, отримаємо: 994,0
8280
720
800656
720
3600440023042960
60483600
r
b
»=
×
=
-×-
×
-
=. 4. Запишемо рівняння прямої регресії У на Х (
)
;48x098,160y
х
-=- ;704,52x098,160y
х
-=- 296,7x098,1y
х
+= – рівняння регресії У на Х. Отже, 296
,
7
b
=
. 5. Запишемо рівняння прямої регресії Х на У: (
)
60y9,048x
y
-=-; 54y9,048x
y
-=-; 6y9,0x
y
-= – рівняння регресії Х на У. Отже, 6
d
-
=
. 15
М.15.ЛР.41-42. ВИЗНАЧЕННЯ ПАРАМЕТРІВ ЛІНІЙНОЇ РЕГРЕСІЇ МЕТОДОМ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ. 1. Основні поняття та теореми. За великої кількості спостережень одне і теж значення ознаки Х може зустрічатися n
x
разів, одне і теж значення ознаки У – n
y
разів, одна і таж пара чисел (х; у) може спостерігатися n
xy
разів. Тому дані спостережень групують, тобто підраховують частоти n
xy
. Усі згруповані дані записують у вигляді таблиці, що називається кореляційною (табл.1). Таблиця 1 У Х 1
y 2
y … n
y å
x
n 1
х 11
n 12
n … n1
n å
1x
n
2
х 21
n 22
n … n2
n å
2x
n
… … … … … … m
х 1m
n 2m
n … mn
n å
хn
n
å
x
n å
1y
n
å
2y
n
… å
yn
n
å
xy
n
Тут числа n
ij
- частоти, що показують, скільки разів повторюються парні значення x
і
та у
і
. Наприклад, 23
n показує, скільки разів відбулася подія, за якою .уу,хх
32
=
=
З таблиці 1 видно, що кожному значенню ознаки X відповідає розподіл ознаки У і навпаки, одному значенню У відповідає розподіл ознаки Х. Середнє арифметичне значення величини У, обчислене за умовиі, що Х приймає фіксоване значення, називається умовним 16
середнім і позначається х
y. Аналогічно визначається умовне середнє y
x. За існування між двома кількісними ознаками лінійної кореляційної залежності, рівняння регресії має вигляд: .baxy
x
+= (1) Параметри а і b можна отримати, скориставшись методом найменших квадратів та відповідною системою рівнянь: ï
î
ï
í
ì
=+
=+
ybxa
,xyxbxa
2
(2) де n
xn
x
m
1i
i
xi
å
=
=, (3) n
xn
x
m
1i
2
ixi
2
å
=
= (4) n
yn
y
m
1j
j
yj
å
=
=
(5), n
yxn
xy
mi
1j
nj
1i
jiij
å
=
=
=
=
=. (6) Розв'язавши систему рівнянь, знаходять: 22
)x(x
yxxy
a
-
-
=
, та xayb -= (7) Тоді рівняння регресії матиме вигляд: (
)
xxayy
x
-=- (8) Кутовий коефіцієнт прямої (1) називається вибірковим коефіцієнтом регресії у на х : 17
( )
x
y
b
2
2
yx
r
xx
yxxy
s
s
=
-
-
=r (9) У результаті рівняння регресії У на Х набуде вигляду: (
)
xxyy
yx
x
-r=-
(10) Враховуючи, що x
y
byx
r
s
s
=r рівняння (8) можна записати у вигляді: )xx(ryy
x
y
b
x
-
s
s
=- (11), де yx
b
yxxy
r
ss
×-
=
(12) - вибірковий коефіцієнт кореляції. yx
,
s
s
- відповідно середні квадратичні відхилення х та у. (
)
å
=
-=s
m
1
i
2
2
11x
2
x
xnn
n
1
(13) (
)
å
=
-=s
n
1j
2
2
j
j
y
2
y
уnn
n
1
(14) Аналогічно знаходять вибіркове рівняння лінії регресії Х на У виду: (
)
yyyx
xy
y
-r=-
(15) 18
(
)
yyyx
xy
y
-r=-
(16) y
x
bxy
r
s
s
=r
(17) 2. Задачі та вправи для допуску до лабораторної роботи Надана кореляційна таблиця про загальну вагу (X) та вагу насіння рослин зернової культури (У): Таблиця 2 У Х 30+α
50 100 20 1 - - 40 2 6 - 60 - - 1 За допомогою методу найменших квадратів знайти вибіркове рівняння прямої лінії регресії У на Х у формі: ( )
xxryy
x
y
b
x
-
s
s
=-. У відповіді вказати: 1. Середнє значення ознаки у (
у). 2. Середнє квадратичне ознаки у (
у
s
). 3. Значення xy. 4. Вибірковий коефіцієнт лінійної кореляції (
b
r
). 5. Вибірковий коефіцієнт ух
r
регресії У на Х . 19
3. Приклади розв’язання задач та вправ для допуску студента до лабораторної роботи Надана кореляційна таблиця про загальну вагу (Х) та вагу насіння рослин зернової культури (У). Таблиця 3 У Х 45 50 100 20 1 - - 40 2 6 - 60 - - 1 За даними кореляційної таблиці 3: 1. Знайти значення середнього ознаки у (
у). Розв'язання Значення середнього ознаки у (
у) знайдемо за формулою (5): n
yn
y
n
1j
jyj
å
=
×
=. 5,53
10
1100650345
y =
×
+
×
+
×
=. 2. Знайти значення середнього квадратичного ознаки у (
у
s
). Розв'язання Значення середнього ознаки y
y
s
-
знайдемо за допомогою формули (14): ( )
2
2
n
1j
jyj
2
y
yyn
n
1
-×=s
å
=
. 20
Тоді, 2
yy
s=s; (
)
( )
25,2455,531001506453
10
1
2
222
2
y
=-×+×+×=s 6605,1525,245
y
»=s
. 3. Знайти значення xy. Розв'язання Значення xy знайдемо за формулою (6): n
yxn
xy
mi
1j
nj
1i
jiij
å
=
=
=
=
=. 2250
10
100601504064540245201
xy =
×
×
+
×
×
+
×
×
+
×
×
=. 4. Знайти значення вибіркового коефіцієнта лінійної кореляції b
r
. Розв'язання Значення вибіркового коефіцієнта лінійної кореляції знайдемо за формулою (12) yx
b
yxxy
r
ss
×-
=
. 21
Для визначення вибіркового коефіцієнта лінійної кореляції скористаємося знайденими раніше значеннями: 2250xy ;6605,15 ;5,53y
y
==s=
. Додатково знайдемо за формулою (3) середнє ознаки х (
x
) n
xn
x
m
1i
i
xi
å
=
=: 40
10
601408201
x =
×
+
×
+
×
=. За формулою (13) знайдемо середнє квадратичне ознаки х (
)
å
=
-×=s
n
1j
2
2
ixi
2
x
xxn
n
1
: 8040)601408201(
10
1
2222
x
=-×+×+×=s; 94,880
x
»=s. Отже, 79,0
6605,1594,8
5,53402250
r
b
»
×
×
-
=. 5. Знайти значення вибіркового коефіцієнта кореляції. Розв'язання Значення вибіркового коефіцієнта кореляції yx
r
знайдемо за формулою x
y
byx
r
s
s
=r: 384,1
94,8
6605,15
79,0
yx
»×=r. 22
Рівняння лінії регресії У на Х матиме вигляд: )40x(384,15,53y
x
-=-; 36,55x384,15,53y
x
-=-; 86,1x384,1y
x
-=. 4. Задачі та вправи до лабораторної роботи Надана кореляційна таблиця про загальну вагу (X) та вагу насіння рослин зернової культури (У). Таблиця 4 Х У 40 60 100 150 30+α 1 2 3 - 50 - 2 5 - 70 - - 4 2 90 - - - 1 За допомогою методу найменших квадратів знайти вибіркове рівняння прямої лінії регресії Х на У у формі (
)
yyrxx
y
x
b
y
-
s
s
=-. У відповіді вказати: 1. Середнє значення ознаки х (
x
). 2. Середнє квадратичне ознаки х (
x
s
). 3. Значення xy. 4. Вибірковий коефіцієнт лінійної кореляції (
b
r
). 5. Вибірковий коефіцієнт xу
r
регресії Х на У. 23
5. Приклад розв’язання задач та вправ до лабораторної роботи За даними кореляційної таблиці 5 Таблиця 5 X У 40 60 100 150 30 1 2 3 - 50 - 2 5 - 70 - - 4 2 90 - - - 1 Знайти: 1. Середнє значення ознаки х (
x
). Розв'язання Середнє значення ознаки х (
x
) знайдемо за формулою n
xn
x
m
1i
i
xi
å
=
=: 52
20
190670750630
x =
×
+
×
+
×
+
×
=
. 2. Середнє квадратичне ознаки х (
x
s
). Розв'язання
Значення середнього квадратичного ознаки х (
x
s
) знайдемо за допомогою формули (
)
å
=
-×=s
n
1j
2
2
ixi
2
x
xxn
n
1
: ( )
31652
20
901706507306
2
2222
2
x
=-
×+×+×+×
=s
. Тоді, 7764,17316
2
xx
»=s=s. 24
3. Значення xy. Розв'язання Значення xy знайдемо за формулою n
yxn
xy
nj
mi
1j
1i
jiij
å
=
=
=
=
=
: +
×
×
+
×
×
+
×
×
+
×
×
+
×
×
=
20
100505605021003036030240301
xy 5365
20
150901150702100704
=
×
×
+
×
×
+
×
×
+. 4. Вибірковий коефіцієнт лінійної кореляції (
b
r
). Розв'язання Значення вибіркового коефіцієнта лінійної кореляції знайдемо за формулою yx
b
yxxy
r
ss
×-
=
. Для визначення вибіркового коефіцієнта лінійної кореляції скористаємося знайденими раніше значеннями: 5365xy ;7764,17 ;52x
x
==s=. Додатково знайдемо за формулою середнє ознаки у (
у) n
yn
y
n
1j
jyj
å
=
×
=: 25
5,96
20
150310012604401
y =
×
+
×
+
×
+
×
=. За формулою (14) знайдемо квадрат середнього квадратичного ознаки У ( )
2
n
1j
2
jyj
2
y
yyn
n
1
-×=s
å
=
: ( )
5,8625,96
20
150310012604401
2
2222
2
y
=-
×+×+×+×
=s
. Тоді 37,295,862
2
yy
==s=s. Отже, 6646,0
37,297764,17
5,96525365
r
b
=
×
×
-
=
. 5. Вибірковий коефіцієнт xу
r
регресії Х на У. Розв'язання
Значення вибіркового коефіцієнта xу
r
регресії Х на У знайдемо за формулою y
x
bxy
r
s
s
=r. 4023,0
37,29
7764,17
6646,0
xy
»×=r
. Рівняння прямої лінії регресії Х на У матиме вигляд: (
)
5,96y4023,052x -×=-; 822,38y4023,052x -=-; 178,13y4023,0x +=. 26
М15.ЛР.43. КОРЕЛЯЦІЙНА ЗАЛЕЖНІСТЬ. КОЕФІЦІЄНТ КОРЕЛЯЦІЇ. КОРЕЛЯЦІЙНЕ ВІДНОШЕННЯ. 1. Основні поняття та теореми Кореляційною залежністю називають залежність, коли при зміні однієї з величин змінюється середнє значення іншої. Умовним середнім x
y називають середнє арифметичне значення У, що відповідає значенню x
X
=
. Якщо кожному значенню х відповідає одне значення умовної середньої, то умовна середня є функцією від х. У цьому разі вважають, що випадкова величина У залежить від Х кореляційно. Справедливо і навпаки. Умовним середнім y
x називають середнє арифметичне значення X, що відповідає У=У. Кореляційною залежністю Х від У називають функціональну залежність умовної середньої y
x від у. Для оцінки тісноти нелінійного кореляційного зв'язку вводять нові характеристики: yx
h
- вибіркове кореляційне відношення У до Х; xy
h
- вибіркове кореляційне відношення Х до У. Вибірковим кореляційним відношенням У до Х називають відношення міжгрупового середнього квадратичного відхилення до загального середнього квадратичного відхилення ознаки У. заг
між
yx
s
s
=h, або y
y
yx
x
s
s
=h, 27
де n
)yy(n
2
x
x
y
x
å
-
=s, n
)yy(n
2
y
y
å
-
=s. n – об'єм вибірки (сума всіх частот); n
x
– частота значення х ознаки X; n
У
– частота значення у ознаки У; y – загальна середня ознаки У; x
y – умовна середня ознаки У. Аналогічно визначається вибіркове кореляційне відношення Х до У: x
x
xy
y
s
s
=h 2. Задачі та вправи для допуску до лабораторної роботи У таблиці подано групування цукрових заводів за розміром основних виробничих засобів (X) та за середньомісячною переробкою буряку в тис. ц (У) (табл.1). Таблиця 1 У Х
10 20 30 n
y 15 4 α 6 10+α 25 6 - 6 12 n
x 10 α 12 22+α у
x 21 15 20 Знайти: 1. Умовне середнє ознаки Х (
)
y
x, коли у = 15. 2. Загальне середнє ознаки У (
)
y. 3. Загальне середнє квадратичне ознаки У (
)
y
s
. 28
4. Міжгрупове середнє квадратичне ознаки У (
)
y
s
. 5. Кореляційне відношення У до Х (
)
yx
h
. 3. Приклади розв’язання задач та вправ для допуску студента до лабораторної роботи У таблиці подано групування цукрових заводів за розміром основних виробничих засобів (X) та за середньомісячною переробкою буряку в тис. ц (У) (табл.2). Таблиця 2 У Х
9 21 32 n
у 17 5 30 7 42 29 4 - 8 12 n
x 9 30 15 n=54 у
x 22,33 17 23,4 За даними кореляційної таблиці знайти: 1. Умовне середнє ознаки Х (
)
y
x, коли у = 17. 2. Загальне середнє ознаки У (
)
y. 3. Загальне середнє квадратичне ознаки У (
)
y
s
. 4. Міжгрупове середнє квадратичне ознаки У (
)
y
s
. 5. Кореляційне відношення У до Х (
)
yx
h
. Розв'язання 1. Умовне середнє y
x знаходять за формулою: y
xy
y
n
n
x
x
å
×
=
. Підставивши відповідні дані з кореляційної таблиці, отримаємо: 29
4047,21
42
732302159
x
17
=
×
+
×
+
×
=. 2. Загальне середнє ознаки У (
)
y знаходять за формулою n
ny
y
y
å
×
=
. Підставимо з кореляційної таблиці значення n
у
і У та отримаємо: 6667,19
54
29121742
y »
×
+
×
=. 3. Визначимо загальне середнє квадратичне y
s
ознаки У: (
)
=
-
=s
å
n
yyn
2
y
y
( ) ( )
9889,4
54
6666,1929126666,191742
22
»
-+-
=. 4. Визначимо міжгрупове середнє квадратичне ознаки У: (
)
=
-
=s
å
n
yyn
2
x
x
y
x
( ) ( ) ( )
»
-+-+-
=
54
6666,194,23156666,1917306666,1933,229
22
0007
,
3
»
. 5. Кореляційне відношення У до Х , тобто yx
h
визначається: 6015,0
9888,4
0007,3
y
y
xy
x
==
s
s
=h. 30
4.Задачі та вправи до лабораторної роботи У таблиці подано групування цукрових заводів за розміром основних виробничих засобів (X) та за середньомісячною переробкою буряку в тис. ц (У) (табл.3). Таблиця 3 У Х
10 20 30 40 50 60 n
у 0,4 1+α 2 3 - 2 1 9+α 0,6 - 5 4 2 - - 11 0,8 - 5 6 3 4 - 18 1,0 - - 5 7 4 - 16 1,2 - - - 6 5 2 13 n
x 1+α 12 18 18 15 3 67+α у
x 0,4 0,65 0,74 0,98 0,93 0,93 Знайти: 1. Умовне середнє ознаки Х (
)
y
x, коли у = 0,4. 2. Загальне середнє ознаки У (
)
y. 3. Загальне середнє квадратичне ознаки У (
)
y
s
. 4. Міжгрупове середнє квадратичне ознаки У (
)
y
s
. 5. Кореляційне відношення У до Х (
)
yx
h
. 5. Приклад розв’язання задач та вправ до лабораторної роботи У таблиці подано групування цукрових заводів за розміром основних виробничих засобів (X) та за середньомісячною переробкою буряку в тис. ц (У) (табл. 4). 31
Таблиця 4 У Х
10 20 30 40 50 60 n
у 0,4 5 2 3 - 1 - 11 0,6 - 3 3 1 1 - 8 0,8 - - 5 2 2 - 9 1,0 - - 4 8 4 - 16 1,2 - - - 5 6 3 14 n
x 5 5 15 16 14 3 58 у
x 0,4 0,52 0,73 1,01 0,98 1,2 За даними кореляційної таблиці знайти: 1. Умовне середнє ознаки Х (
)
y
x, коли у = 0,4. 2. Загальне середнє ознаки У (
)
y. 3. Загальне середнє квадратичне ознаки У (
)
y
s
. 4. Міжгрупове середнє квадратичне ознаки У (
)
y
s
. 5. Кореляційне відношення У до Х (
)
yx
h
. Розв’язання 1. Умовне середнє y
x знаходять за формулою: y
xy
y
n
n
x
x
å
×
=
. Підставимо відповідні дані з кореляційної таблиці: 9090,20
11
501303202105
x
4,0
=
×
+
×
+
×
+
×
=. 2. Загальне середнє ознаки У (
)
y знаходять за формулою n
ny
y
y
å
×
=
. Підставимо з кореляційної таблиці значення n
у
та у, отримаємо: 32
8483,0
58
2,11416,18,096,084,011
y =
×
+
×
+
×
+
×
+
×
=. 3. Визначимо загальне середнє квадратичне y
s
ознаки У: (
)
=
-
=s
å
n
yyn
2
y
y
(
)
( ) ( )
+
-+-
=
-
å
58
8482,06,088482,04,011
n
yyn
22
2
y
(
)
(
)
083186,0
58
)8482,02,1(148482,01168482,08,09
2
22
=
-+-+-
+, 2884,0083186,0
y
==s
. 4. Визначимо міжгрупове середнє квадратичне ознаки У: (
)
=
-
=s
å
n
yyn
2
x
x
y
x
(
)
( ) ( )
+
-+-
=
-
å
58
8482,052,058482,04,05
n
yyn
22
2
x
x
(
)
(
)
+
-+-
+
58
8482,001,1168482,073,015
22
(
)
(
)
04803,0
58
8482,02,138482,098,014
22
=
-+-
+
2191,004803,0
x
y
==s. 5. Кореляційне відношення У до Х , тобто yx
h
визначається: 7597,0
2884,0
2191,0
y
y
xy
x
==
s
s
=h
33
ДОДАТКИ Додаток 1 Значення функції ( )
2
x
2
e
2
1
x
-
p
=j x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973 0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918 0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825 0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3667 0,4 3683 3668 3653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538 0,5 3521 3521 3503 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352 0,6 3332 3312 3392 3271 3251 3230 3209 3287 3166 3144 0,7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920 0,8 2897 2874 2850 2827 2903 2780 2756 2832 2709 2685 0,9 2661 2637 2613 2689 2565 2541 2516 2592 2468 2444 1,0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1682 1561 1539 1518 1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 100969 0973 0957 1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 Закінчення на стор. 34 34
Закінчення. Початок на стор. 33 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0476 0468 0459 0449 2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363 2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290 2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229 2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0191 0189 0184 0180 2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139 2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107 2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0090 0088 0086 0084 0081 2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061 2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046 3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034 3,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025 3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018 3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013 3,4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009 3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006 3,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004 3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001 35
Додаток 2 Значення функції ( )
ò
-
p
=F
x
0
2
z
dze
2
1
x
2
x Ф (х) x Ф (х) x Ф (х) x Ф (х) 0,00 0,0000 0,34 0,1331 0,68 0,2517 1,02 0,3461 0,01 0,0040 0,35 0,1368 0,69 0,2549 1,03 0,3485 0,02 0,0080 0,36 0,1406 0,70 0,2580 1,04 0,3508 0,03 0,0120 0,37 0,1443 0,71 0,2611 1,05 0,3551 0,04 0,0160 0,38 0,1480 0,72 0,2642 1,06 0,3554 0,05 0,0199 0,39 0,1517 0,73 0,2673 1,07 0,3577 0,06 0,0239 0,40 0,1554 0,74 0,2703 1,08 0,3599 0,07 0,0279 0,41 0,1591 0,75 0,2734 1,09 0,3621 0,08 0,0319 0,42 0,1628 0,76 0,2764 1,10 0,3643 0,09 0,0359 0,43 0,1664 0,77 0,2794 1,11 0,3665 0,10 0,0398 0,44 0,1700 0,78 0,2823 1,12 0,3686 0,11 0,0438 0,45 0,1736 0,79 0,2852 1,13 0,3708 0,12 0,0478 0,46 0,1772 0,80 0,2881 1,14 0,3729 0,13 0,0517 0,47 0,1808 0,81 0,2910 1,15 0,3749 0,14 0,0557 0,48 0,1844 0,82 0,2939 1,16 0,3770 0,15 0,0596 0,49 0,1879 0,83 0,2967 1,17 0,3790 0,16 0,0636 0,50 0,1915 0,84 0,2995 1,18 0,3810 0,17 0,0675 0,51 0,1950 0,85 0,3023 1,19 0,3830 0,18 0,0714 0,52 0,1985 0,86 0,3051 1,20 0,3849 0,19 0,0753 0,53 0,2019 0,87 0,3078 1,21 0,3869 0,20 0,0793 0,54 0,2054 0,88 0,3106 1,22 0,3883 0,21 0,0832 0,55 0,2088 0,89 0,3133 1,23 0,3907 0,22 0,0871 0,56 0,2123 0,90 0,3159 1,24 0,3925 0,23 0,0910 0,57 0,2157 0,91 0,3186 1,25 0,3944 0,24 0,0948 0,58 0,2190 0,92 0,3212 1,26 0,3962 0,25 0,0987 0,59 0,2224 0,93 0,3238 1,27 0,3980 0,26 0,1026 0,60 0,2257 0,94 0,3264 1,28 0,3997 0,27 0,1064 0,61 0,2291 0,95 0,3289 1,29 0,4015 0,28 0,1103 0,62 0,2324 0,96 0,3315 1,30 0,4032 0,29 0,1141 0,63 0,2357 0,97 0,3340 1,31 0,4049 0,30 0,1179 0,64 0,2389 0,98 0,3365 1,32 0,4066 0,31 0,1217 0,65 0,2422 0,99 0,3389 1,33 0,4082 0,32 0,1255 0,66 0,2454 1,00 0,3413 1,34 0,4099 0,33 0,1293 0,67 0,2486 1,01 0,3438 1,35 0,4115 Закінчення на стор. 36
36
Закінчення. Початок на стор. 38 x Ф (х) x Ф (х) x Ф (х) x Ф (х) 1,36 0,4131 1,67 0,4525 1,98 0,4761 2,58 0,4951 1,37 0,4147 1,68 0,4535 1,99 0,4767 2,60 0,4953 1,38 0,4162 1,69 0,4545 2,00 0,4772 2,62 0,4956 1,39 0,4177 1,70 0,4554 2,02 0,4783 2,64 0,4959 1,40 0,4192 1,71 0,4564 2,04 0,4793 2,66 0,4961 1,41 0,4207 1,72 0,4573 2,06 0,4803 2,68 0,4963 1,42 0,4222 1,73 0,4582 2,08 0,4812 2,70 0,4965 1,43 0,4236 1,74 0,4591 2,10 0,4821 2,72 0,4967 1,44 0,4251 1,75 0,4599 2,12 0,4830 2,74 0,4969 1,45 0,4265 1,76 0,4608 2,14 0,4838 2,76 0,4971 1,46 0,4219 1,77 0,4616 2,16 0,4846 0,78 0,4973 1,47 0,4292 1,78 0,4625 2,18 0,4854 2,80 0,4974 1,48 0,4306 1,79 0,4633 2,20 0,4861 2,82 0,4976 1,49 0,4319 1,80 0,4641 2,22 0,4868 2,84 0,4977 1,50 0,4332 1,81 0,4649 2,24 0,4875 2,86 0,4979 1,51 0,4345 1,82 0,4656 2,26 0,4881 2,88 0,4980 1,52 0,4357 1,83 0,4664 2,28 0,4887 2,90 0,4981 1,53 0,4370 1,84 0,4671, 2,30 0,4893 2,92 0,4982 1,54 04382 1,85 0,4678 2,32 0,4898 2,94 0,4984 1,55 0,4394 1,86 0,4686 2,34 0,4904 2,96 0,4985 1,56 0,4406 1,87 0,4693 2,36 0,4909 2,98 0,4986 1,57 0,4418 1,88 0,4699 2,38 0,4913 3,00 0,49865 1,58 0,4429 1,89 0,4706 2,40 0,4918 3,20 0,49931 1,59 0,4441 1,90 0,4713 2,42 0,4922 3,40 0,49966 1,60 0,4452 1,91 0,4719 2,44 0,4927 3,60 0,499841 1,61 0,4463 1,92 0,4726 2,46 0,4931 3,80 0,499928 1,62 0,4474 1,93 0,4732 2,48 0,4934 4,00 0,499968 1,63 0,4484 1,94 0,4738 2,50 0,4938 4,50 0,499997 1,64 0,4495 1,95 0,4744 2,52 0,4991 5,00 0,499997 1,65 0,4505 1,96 0,4750 2,54 0,4945 1,66 0,4515 1,97 0,4756 2,56 0,4948 37
Додаток 3 Значенння (
)
n,tt
g
=
g
n γ n γ 0,95 0,99 0,999 0,95 0,99 0,999 5 2,78 4,60 8,61 20 2,093 2,861 3,883 6 2,57 4,03 6,86 25 2,064 2,797 3,745 7 2,45 3,71 5,96 30 2,045 2,756 3,656 8 2,37 3,50 5,41 35 2,032 2,720 3,600 9 2,31 3,36 5,04 40 2,023 2,708 3,558 10 2,26 3,25 4,78 45 2,016 2,692 3,527 11 2,23 3,17 4,59 50 2,009 2,679 3,502 12 2,20 3,11 4,44 60 2,001 2,662 3,464 13 2,18 3,06 4,32 70 1,996 2,649 3,439 14 2,16 3,01 4,22 80 1,001 2,640 3,418 15 2,15 2,98 4,14 90 1,987 2,633 3,403 16 2,13 2,95 4,07 100 1,984 2,627 3,392 17 2,12 2,92 4,02 120 1,980 2,617 3,374 18 2,11 2,90 3,97 1,960 2,576 3,291 19 2,10 2,88 3,92 38
Додаток 4 Значення (
)
n,qq
g
=
n γ n γ 0,95 0,99 0,999 0,95 0,99 0,999 5 1,37 2,67 5,64 20 0,37 0,58 0,88 6 1,09 2,01 3,88 25 0,32 0,49 0,73 7 0,92 1,62 2,98 30 0,28 0,43 0,63 8 0,80 1,38 2,42 35 0,26 0,38 0,56 9 0,71 1,20 2,06 40 0,24 0,35 0,50 10 0,65 1,08 1,80 45 0,22 0,32 0,46 11 0,59 0,98 1,60 50 0,21 0,30 0,43 12 0,55 0,90 1,50 60 0,188 0,269 0,38 13 0,52 0,83 1,33 70 0,174 0,245 0,34 14 0,48 0,78 1,23 80 0,161 0,226 0,31 15 0,46 0,73 1,15 90 0,151 0,211 0,29 16 0,44 0,70 1,07 100 0,143 0,198 0,27 17 0,42 0,66 1,01 150 0,115 0,160 0,211 18 0,40 0,63 0,96 200 0,099 0,136 0,185 19 0,39 0,60 0,92 250 0,089 0,120 0,162 39
ЗМІСТ Вступ 3 М.15.Лр.39-40. Визначення параметрів у лінійній регресії методом найбільших квадратів. 5 М.15.Лр.41-42. Визначення параметрів лінійної регресії методом найбільших квадратів. 15 М.15.Лр.43. Кореляційна залежність. Коефіцієнт кореляції. Кореляційне відношення. 26 Додатки 33 Зміст 39 
Автор
V1to4ka2008
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
182
Размер файла
305 Кб
Теги
met_mst_2_2007
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа