close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

открытый урок

код для вставкиСкачать
Урок обобщения по алгебре
в 8 классе
Учитель математики Никитина Татьяна Ивановна, МКОУ Лебедвская СОШ
Через математические знания, полученные в школе, лежит широкая дорога к огромным, почти необозримым областям труда и открытий.
А. Маркушевич
Девиз
нашего
урока
Думаем
Мыслим
Помогаем друг другу
Цели урока:
•
обучающие:
•
-
повторение и систематизация знаний школьников по теме «Решение квадратных уравнений»;
•
-
закрепление у школьников
навыков решения квадратных уравнений и задач, сводящихся к их решению;
•
-
обучение способу решения уравнений методом введения замены переменной;
•
развивающие:
•
-
формирование у школьников таких приемов мышления и мыслительных операций как сравнение и
аналогия, обобщение и конкретизация, умение делать логические выводы и заключения;
•
-
развитие у школьников математического чутья, интуиции, смекалки в применении знаний для решения нестандартных задач;
•
-
развитие у школьников математической речи;
•
-
расширение общего кругозора учащихся
и их интереса к математике
.
•
воспитательные:
•
-
воспитание самостоятельности и ответственности, чувства коллективизма и умения работать в группе
.
•
План урока:
1.
Интеллектуальная разминка
2.
Актуализация знаний
3.
Это интересно знать
4.
Нахождение дискриминанта квадратного уравнения
5.
Решение квадратных уравнений через дискриминант
6.
Решение квадратных уравнений по теореме Виета
7.
Тестирование
8.
Подведение итогов
Стёпа Смекалкин, не решая уравнения вида
a x²
+ с = 0
Сразу говорит, имеет оно корни или нет. А вы сможете это сделать?
Решение:
Если числа а и с одного знака, то уравнение имеет корни, если разных знаков, то не имеет.
Приведите примеры уравнений вида ах
²+с=0
Не имеющих корней
Имеющих корнями дробные числа
Имеющих корнями иррациональные числа
Верно ли Витя Верхоглядкин выделил квадрат двучлена
х²+8х
-
10
=(х+4)²+6
х
²
-
7х+3=(х
-
3,5)²
-
3¾
Х
²
-
2х=(х
-
2)²+4
Решение:
Витя везде ошибся. Должно быть так:
х²+8х
-
10=(х+4)²
-
26
х
²
-
7х+3=(х
-
3,5)²
-
9¼
х
²
-
2х= (х
-
2)²
-
4
Корни какого из уравнений обладает свойством:
•
Сумма корней равна 6, произведение -
16
•
Один из корней равна 6
•
Корни равны
•
х² -
6х = 0 х²
-
2х
-
24=0 •
х²
-
10х+25=0 х²
-
6х
-
16=0
Известно, что х²+6х+9=0 Найдите значения выражений
х²+
4х + 3
2х
² -
х
-
15
2 этап: Актуализация знаний (запись на доске уравнений)
•
x2
+ 9x –
12 = 0;
•
4x2
+ 1 = 0;
•
x2
–
2x + 5 = 0;
•
2z2 –
5z + 2 = 0;
•
4y2 = 1;
•
–
2x2
–
x + 1 = 0;
•
x2
+ 8x = 0;
•
2x2=0;
•
–
x2
–
8x=1
•
2x + x2
–
1=0
Ответьте на вопросы, используя уравнения, записанные на доске
Вопросы учащимся
Примерные ответы
1.
Дайте определение квадратного уравнения
Уравнение вида ax2+bx+c=0, где a
0, называется квадратным
2. Назовите виды квадратных уравнений
-
полное; -
неполное; -
приведенное
3.
Запишите номера приведенных квадратных уравнений, записанных на доске
1,3, 7, 10
4.
Запишите номера неполных квадратных уравнений, записанных на доске
2, 3, 7, 8
5.
Запишите номера полных квадратных уравнений, записанных на доске
1, 3, 4, 6, 9, 10
6. По какому признаку мы можем отнести квадратное уравнение к тому или иному виду?
В зависимости от коэффициентов уравнения.
7. Как называются коэффициенты квадратного уравнения?
a –
первый коэффициент, b –
второй коэффициент, c –
свободный член
8. Запишите квадратное уравнение, у которого свободный член равен 6, первый коэффициент равен 1, а второй, равен –
12. Как оно называется?
x2
-
12x+6=0
9. От чего зависит количество корней квадратного уравнения?
От знака дискриминанта.
10.
Впишите вместо пропуска такой коэффициент, чтобы квадратное уравнение 2х2
–
8х+....=0 не имело корней
2х2
–
8х+9=0 (могут быть числа, больше, либо равные 9)
11. Изменятся ли корни уравнения 2x2
+5x +7=0, если у него изменить знак:
-
одного коэффициента -
трх коэффициентов да нет
Из истории •
а) Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
•
б) Квадратные уравнения в Индии.
•
в) Квадратные уравнения в Европе XIII
-
XVII вв.
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения
.
•
В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.
•
При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
•
Вот, к примеру, одна из его задач.
•
Задача 11.
«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение -
96»
Решение задачи Диофантом
•
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х
, другое же меньше, т.е. 10 -
х
. Разность между ними 2х
.
•
Отсюда уравнение:
•
(10 + х)(10 -
х) = 96
•
Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8.
Квадратные уравнения в Индии
•
Задачи на уравнения встречаются уже в астрономическом трактате«Ариабхаттаим», составленном в 449 г. индийским математиком и астрономом Арибхаттой. Но это уже раннее средневековье. В Алгебраическом трактате ал
-
Хорезми датся классификация линейных и квадратных уравнений. Индий учные знали решения неопределнных уравнений в целых числах (в том числе и в отрицательных, чего сам Диофант избегал). •
В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму. Индийские ученые любили решать задачи в стихах.
Задача о лотосе. Над озером тихим, с полмеры над водой, Был виден лотоса цвет. Он рос одиноко, и ветер волной Нагнул его в сторону –
и уж нет Цветка над водой. Нашл его глаз рыбака В двух мерах от места, где рос. Сколько озера здесь вода глубока? Тебе предложу я вопрос. Обезьянок резвых стая,
Всласть поевши, развлекаясь
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась
А 12 по лианам
Стали прыгать повисая.
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?
Квадратные уравнения
Ал
-
Хорезми
•
В алгебраическом трактате ал -
Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
•
1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах2 + с = b
х.
•
2) «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с.
•
3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.
•
4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = b
х.
•
5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bx
= с.
•
6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx
+ с = ах2.
Квадратные уравнения в Европе XIII
-
XVII
вв
•
Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал -
Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI
-
XVII
вв. и частично XVIII
.
•
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI
в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII
в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
Франсуа Виет
Теорема Виета.
Если приведенное квадратное уравнение x
2
+px+q=0
имеет действительные корни, то их сумма равна -
p
, а произведение равно q
, то есть
x
1
+ x
2
= -
p ,
x
1
x
2
= q (сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).
Определение квадратного уравнения. Квадратным уравнением называется уравнение вида ax
2
+bx+c=
0, где x
-
переменная, a, b, c -
некоторые числа, причем a
≠
0.
. Алгоритм решения квадратного уравнения: Найти число, называемое дискриминантом квадратного уравнения и равное D
=
b
2
-
4
ac
.
-
если D
<0
, то данное квадратное уравнение не имеет корней;
-
если D
=0
, то данное квадратное уравнение имеет единственный корень, который равен
2
)
.
если D
>0
, то данное квадратное уравнение имеет
два корня,которые равны
5 этап: Решение квадратных уравнений через дискриминант
•
а) –
х2+2х
-
2=0
•
б) 10х2
-
20х+30=0
•
в) 1/2х2
-
3х+1,5=0
6 этап: решение квадратных уравнений по теореме Виета
•
Реши предложенные уравнения и составь получившееся слово
9 и 2
О
2
А
6 и -
1
З
3 и 5
Р
7 этап: Вычислить значение дискриминанта квадратного уравнения
по формуле
D
= b
2
–
4ac
a
b
c
D
Кол
-
во корней
1
3
8
6
2
4
6
-
1
3
1
-
10
25
4
3
-
5
1
5
1
-
4
3
a
b
c
D
Кол
-
во корней
1
3
8
6
-
8
2
4
6
-
1
52
3
1
-
10
25
0
4
3
-
5
1
13
5
1
-
4
3
4
Используя кодированные ответы в круге, составить из букв фамилию математика
-
8
-
2
52
-
1
13
4
-
2
0
Л
В
К
О
А
Ь
Ф
Д
В О Л Ь Ф Полезно знать
Немецкий математик
Христиан фон Вольф
(1679 –
1754 г. г.) в 1710 ввл термин «квадратное уравнение».
Решение древней индийской задачи
•
Обезьянья стая.
Подумай
!
Неверно
!
Подумай
!
Молодец
!
1.
Какое из указанных уравнений не является квадратным?
Подумай
!
Неверно
!
Подумай
!
Молодец
!
2. Какое из чисел является корнем квадратного уравнения ?
Подумай
!
Неверно
!
Подумай
!
Молодец
!
3. Из уравнений
выбрать неполные квадратные уравнения?
Неверно
!
Подумай
!
Молодец
!
4. Решить квадратное уравнение
Неверно
!
Подумай
!
Молодец
!
5. Решить квадратное уравнение
Неверно
!
Подумай
!
Молодец
!
6. Определить количество корней
квадратного уравнения
1 корень
2 корня
Нет действительных
корней
Подумай
!
Неверно
!
Подумай
!
Молодец
!
7. Найти сумму корней квадратного уравнения ?
Подумай
!
Неверно
!
Подумай
!
Молодец
!
8. Найти произведение корней квадратного уравнения ?
Подумай
!
Неверно
!
Подумай
!
Молодец
!
9. Разложите квадратный трхчлен на множители
Неверно
!
Подумай
!
Молодец
!
10. Решить биквадратное уравнение
Подумай
!
Неверно
!
Подумай
!
Молодец
!
11. Сумма двух последовательных чтных чисел чисел равна 20, а их произведение 96. Составьте квадратное уравнение для решения задачи.
Подведение итогов урока
•
Выставление оценок
“
Образование –
это не количество прочитанных книг, а количество понятых
”
Автор
tatyana_nikit
Документ
Категория
Методические пособия
Просмотров
474
Размер файла
2 642 Кб
Теги
урок, открытый
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа