close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

lectures 1-5

код для вставкиСкачать
ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Глава 1. Общие сведения об электрических цепях постоянного тока
1.1. Условные обозначения
Электрической цепью называется совокупность устройств, предназначенных для
прохождения электрического тока. Для изображения электрической цепи применяется
электрическая схема.
Различают два вида электрических цепей: постоянного и переменного тока.
Рассмотрим вначале электрические цепи постоянного тока.
Постоянный ток – это ток, неизменный во времени.
Условные обозначения элементов электрической цепи (рис. 1.1):
Резистивный элемент:
Источник напряжения:
Источник тока: Источник ЭДС:
Рис. 1.1. Условные обозначения элементов электрической схемы.
Приёмник энергии и провода называются «внешней цепью».
Зависимость тока, протекающего через резистивный элемент от напряжения на нём,
называется вольтамперной характеристикой этого элемента.
Различают два вида вольтамперных характеристик (рис. 1.2).
линейная
нелинейная
а) б)
Рис. 1.2. Вольтамперные характеристики линейных (а) и нелинейных (б) элементов
электрической цепи.
Электрические цепи с линейными резистивными элементами принято называть
линейными электрическими цепями, а с нелинейными резистивными элементами -
нелинейными электрическими цепями. Если хотя бы один элемент электрической цепи
имеет нелинейную характеристику, то вся электрическая цепь должна рассматриваться
как нелинейная. Различают два вида источников энергии:
R
U
I
I
U
I
U
E
1. Источник напряжения. Идеальным источником напряжения является источник ЭДС,
т. е. источник напряжения, на выводах которого разность потенциалов не зависит от
величины отдаваемого в нагрузку тока, что, очевидно, возможно лишь при равенстве
внутреннего сопротивления источника нулю.
Комбинация источника ЭДС и R
в
(внутреннее сопротивление источника напряжения)
образуют источник напряжения (рис. 1.3).
Направление стрелки внутри условного обозначения источников ЭДС и напряжения
совпадает с направлением увеличения потенциала внутри источника энергии.
.
в
E
I
R R
=
+
Рис. 1.3. Источник напряжения.
2. Источник тока (рис. 1.4). Параллельно с ним включён резистивный элемент,
сопротивление которого равно внутреннему сопротивлению источника энергии.
Включение R
в
ограничивает мощность источника тока. Без R
в
имеем идеальный
источник тока, бесконечной мощности.
1
.
1 1
в в
K K
в в в в
в
R R
E E
R
I I I
R R R R R R R
R R
====
+++
+
. Рис. 1.4. Источник тока.
Источником тока называется такой источник, величина тока которого не зависит от
сопротивления нагрузки и равна 2
E/R.
1.2. Вольтамперная характеристика источников напряжения, ЭДС и тока
На рис. 1.5 показаны вольтамперные характеристики идеальных и реальных
источников напряжения (а) и тока (б).
а)
б)
Рис. 1.5. Вольтамперные характеристики источников ЭДС, напряжения (а) и
источников тока (б).
R
в
R
E
I
I
U
I
U
E
R
в
R
U
k
I
в
R
в
U
R
Если сопротивление нагрузки на несколько порядков выше внутреннего
сопротивления источника питания, то этот источник питания можно считать
источником ЭДС. Если же сопротивление нагрузки на несколько порядков меньше
внутреннего сопротивления источника, то последний можно считать источником тока.
Источник электрической энергии (рис. 1.6а) можно изобразить двояко:
1) в виде источника напряжения – последовательной схемы, содержащей внутреннее
(или входное) сопротивление источника г
r
и источника ЭДС г
Е
, численно равной
напряжению источника в режиме холостого хода (рис. 1.6б);
a
)
б)
в)
Рис. 1.6. Представление источника электрической энергии (а) в виде источника
напряжения (а) и источника тока (б).
2) в виде источника тока – параллельной схемы, содержащей сопротивление
источника г
r
и источника тока г
I
, численно равного току короткого замыкания
источника (рис. 1.6в).
Переход от схемы источника напряжения к схеме источника тока и обратно
осуществляется по формулам
;.
г
г г г г
г
E
I E I r
r
==
.
(1.1)
-
+
ab
U
a
b
I
г
Е
a
b
I
г
r
a
b
I
г
I
г
r
U
ab
U
ab
U
Глава 2. Методы расчета цепей постоянного тока
2.1. Закон Ома для участка электрической цепи
Рассмотрим простую электрическую цепь (рис. 2.1).
Рис. 2.1. К закону Ома для участка электрической цепи.
Для этой цепи можно записать:
;;
ab a b bc b c
U U E
ϕϕϕϕ
=−=−=−
E
U
b
a
c
b
b
a
c
a
ac
−
−
=
−
+
−
=
−
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
.
Положительное направление напряжения: от буквы a
к букве c
.
Ток в электрической цепи определяется законом Ома
:
ab a b ac
U U E
I
R R R
ϕϕ
−
===
.
(2.1)
Положительный или отрицательный знак берется в зависимости от того, совпадает
или не совпадает направление тока с направлением ЭДС.
2.2. Законы Кирхгофа
Согласно первому закону Кирхгофа
алгебраическая сумма токов, втекающих в
любой узел схемы или вытекающих из него, равна 0
0.
Ι=
(2.2)
Рис. 2.2. К первому закону Кирхгофа. Втекающие в узел токи можно считать положительными, вытекающие –
отрицательными.
Тогда
(
рис
. 2.2) I
1
−
I
2
−
I
3
−
I
4 =0
или
I
1 =
I
2
+
I
3
+
I
4
.
a
b
c
+
U
ac
i
E
I
2
I
1
I
3
I
4
Второй закон Кирхгофа
: Алгебраическая сумма падений напряжений в любом замкнутом контуре равна
алгебраической сумме ЭДС вдоль этого контура.
E IR
=
.
(2.3)
Рис. 2.3. Ко второму закону Кирхгофа.
Сначала выбираются положительные направления токов в ветвях схемы. Примем
за положительное направление обхода направление вращения часовой стрелки.
Тогда на основании первого закона Кирхгофа (рис. 2.3):
I
1
+
I
2
−
I
3 =0
.
На основании второго закона Кирхгофа для левого контура:
I
1
R
1
-
I
2
R
2 =
E
1
+
E
2
.
Для правого контура:
I
2
R
2
+
I
3 (
R
3
+
R
4
) =−
E
2
.
Подставив значения R
1
,
R
2
,
R
3
и R
4
во второе и третье уравнения, решаем
полученную систему уравнений.
Если в результате какой-либо из токов окажется отрицательным, то необходимо
поменять направление этого тока на схеме.
Число уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа равно числу узлов
рассчитываемой схемы, уменьшенное на единицу (так как один из узлов схемы
является узлом зависимым). Число уравнений, составленных по второму закону
Кирхгофа, равно числу неизвестных токов за вычетом числа уравнений,
составленных по первому уравнению Кирхгофа.
(Составить, в качестве примера, уравнения по закону Кирхгофа для обратного
направления тока I
2
.)
2.3. Потенциальная диаграмма
Одну какую-либо точку электрической схемы можно заземлить без изменения
токораспределения в элементах этой схемы.
Если заземлить более одной точки электрической схемы, то появляются
дополнительные ветви электрической схемы и токораспределение в элементах
схемы меняется.
I
1
I
3
I
2
R
3
R
4
E
2
R
1
E
1
R
2
Под потенциальной диаграммой понимается график распределения потенциала
вдоль какого-либо участка или замкнутого контура схемы.
По оси абсцисс на этом графике откладываются сопротивления элементов вдоль
контура или участка схемы, начиная с какой-либо определённой точки.
По оси ординат – потенциалы. Выбранную точку заземляют, т.е. потенциал её
считают равным нулю. Построим для примера потенциальную диаграмму контура
abcea
электрической схемы рис. 2.4:
Произвольно выберем какую-либо точку схемы, например, точку a
и заземлим её.
Выбираем масштаб по оси абсцисс и ординат. Заземлённую точку a
поместим в
начало координат.
Несложные расчеты позволяют определить токи, потенциалы отдельных точек: 1 3 2
1 1 2 2 1 2
2 2 3 3 4 2
;
;
( ).
I I I
R I R I E E
R I I R R E
+=
+=+
++=
I
2
=15
A
;
I
3
=1
A
;
R
2
=4
Ом
;
R
3
=3
Ом
;
R
4
=1Ом;
E
2
=64В;
R
1
1
4;
R
Ом
=
E
1
=52В.
Рис. 2.4. К построению потенциальной диаграммы.
2 1 3
1 2
2 3
;
4 4 116;
4 4 64;
I I I
I I
I I
−=
+=
+=
2 1 3
1 2
2 3
;
29;
16;
I I I
I I
I I
−=
+=
+=
2 1 3
1 2
;
29;
I I I
I I
−=
+=
29
2
3
2
+
=
I
I
;
45
3
;
45
29
16
2
2
2
2
2
=
−
=
+
−
=
I
I
I
I
I
2
=15
А
;
1
15
16
16
2
3
=
−
=
−
=
I
I
A
; I
3
=1
А
;
14
1
15
3
2
1
=
−
=
−
=
I
I
I
A
;
I
1
=14
А
.
φ
b
E
2
E
1
I
2
a
b
e
R
4
I
3
I
2
R
2
c
I
1
3
R
Рис
. 2.5. Потенциальная диаграмма схемы рис.2.4.
2 2
0 15 4 60
b a
I R
В
ϕϕ
=−=−=−
;
64 60 64 4
c b
В
ϕϕ
=+=−+=+
;
3 3
0 1 3 3.
e a
I R
В
ϕϕ
=+=+=+
и построить потенциальную диаграмму рассматриваемой цепи (рис.2.5).
2.4. Метод контурных токов
При расчёте схемы методом контурных токов принимается, что в каждом
независимом контуре схемы течёт свой контурный ток. Уравнения составляются
относительно контурных токов. После расчёта схемы определяются токи в ветвях
схемы на основании первого закона Кирхгофа, используя полученные значения для
контурных токов.
Используем этот метод для расчёта схемы рис. 2.6:
Рис. 2.6. К расчету схемы методом контурных токов.
0
2
4
6
8
О
м
1
5
3
0
-
3
0
-
6
0
В
ϕ
R
a
b
c
e
a
3
I
1
I
I
11
R
3
R
4
E
5
R
1
E
1
R
5
E
4
R
2
I
22
2
I
В первом контуре будет протекать контурный ток I
11
, а во втором – контурный ток
I
22
. За положительное направление этих токов выберем направление, совпадающее с
направлением вращения часовой стрелки.
Для каждого из контуров составим уравнения на основании второго закона
Кирхгофа. Причём, будем считать, что в средней ветви ток (
I
11
- I
22
) течёт сверху
вниз. Если в результате разность (
I
11
- I
22
) окажется отрицательной, то значит, в
действительности, ток в средней ветви течёт снизу вверх.
Для первого контура:
5
1
5
22
11
2
1
11
)
(
)
(
E
E
R
I
I
R
R
I
+
=
−
+
+
или
5
1
22
5
5
2
1
11
)
(
)
(
E
E
I
R
R
R
R
I
+
=
−
+
+
+
.
Для второго контура:
5
4
4
3
22
5
22
11
)
(
)
(
E
E
R
R
I
R
I
I
−
−
=
+
+
−
−
или
5
4
5
4
3
22
11
5
)
(
)
(
E
E
R
R
R
I
I
R
−
−
=
+
+
+
−
. Перепишем полученные уравнения в следующем виде:
11 11 22 12 11
11 21 22 22 22
;
.
I R I R E
I R I R E
+=
+=
Здесь
5
21
12
5
4
3
22
5
2
1
11
;
;
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
−
=
=
+
+
=
+
+
=
;
5
4
22
5
1
11
;
E
E
E
E
E
E
−
−
=
+
=
;
11
R
- полное сопротивление первого контура; 22
R
- полное сопротивление второго контура;
21
12
R
R
=
- сопротивление смежной ветви, взятое с обратным знаком;
11
E
- алгебраическая сумма ЭДС контура 1; в неё со знаком «+» входят ЭДС,
направления, которых совпадают с направлениями обхода контура и со знаком «-»
в другом случае;
22
E
- алгебраическая сумма ЭДС второго контура.
Если число независимых контуров равно n
, то система уравнений примет вид:
11 11 22 12 1 1 11
11 21 22 22 2 2 22
......;
......;
........................................
...............................
........................................
...........
k k k nn n
k k k nn n
I R I R I R I R E
I R I R I R I R E
++++=
++++=
11 1 22 2
.
....................
........................................
...............................
.......
n n k k nk nn nn nn
I R I R I R I R E
+++=
(2.4)
Согласно правилу Крамера решение этой системы может быть найдено с помощью
определителей:
11 12 1
22 22 2
11
2
...
...
1
......
...
n
n
nn n nn
E R R
E R R
I
E R R



=

Δ



; 11 11 1
21 22 2
22
1
...
...
1
......
...
n
n
n nn nn
R E R
R E R
I
R E R



=

Δ



и т. д. (2.5) Согласно правилу разложения определителя по элементам столбца определитель
равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения. Поэтому для контурных токов kk
I
получим следующее выражение:
1 2
11 22
......,(2.6) k k nk
k k
k k k k nn
I E E E E
ΔΔ
ΔΔ
=++++
ΔΔΔΔ
где
(
)
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
......
......
..........................
;2.7
..........................
..........................
......
k n
k n
n n nk nn
R R R R
R R R R
R R R R
Δ=
mk
Δ
-алгебраическое дополнение, получаемое при вычеркивании в определителе m
-й
строки и k
-ого столбца и умножением полученного определителя на (-1)
m
+
n
.
Согласно первому закону Кирхгофа ток в любой ветви рассчитываемой схемы равен
алгебраической сумме контурных токов. Причем положительным считается такой
контурный ток, который в данном резисторе совпадает по направлению с
результирующим током.
Согласно схеме рис. 2.6 токи для рассматриваемой двухконтурной схемы
определятся выражениями: I
1
=
I
11
; I
2
= I
11
- I
22
; I
3
=
I
33
.
Воспользовавшись правилами матричной алгебры можно записать:
[ ][ ] [ ],
[ ]
матрица контурных токов;
[ ] матрица сопротивлений n n; (2.8)
[ ] матрица ЭДС;
I R E
I
R
E
=
−
−
−
Умножив правую и левую часть этого выражения на обратную матрицу [
R
]
-1
,получим
1 1
[ ][ ][ ] [ ][ ]
I R R E R
−−
=
.
Как известно для получения обратной матрицы необходимо заменить в исходной
матрице каждый элемент его алгебраическим дополнением, затем заменить строки
соответствующими столбцами и полученную (транспонированную) матрицу разделить
на определитель исходный матрицы. Алгебраическим дополнением элемента
квадратной матрицы ik
Δ
называется умноженный на (-1)
i
+
k
определитель, полученный
из элементов матрицы после исключения i
-ой строки и k
-ого столбца.
11 21 1
12 22 2
1
1 2
...
...
1
[ ]
..................
...
n
n
n n nn
R
−
ΔΔΔ


ΔΔΔ

=

Δ

ΔΔΔ


. (2.9)
Произведение исходной матрицы на обратную матрицу равно единичной матрице, то
есть квадратной матрице, у которой все элементы главной диагонали (идущей от
левого верхнего угла к правому нижнему углу) равны единицы, а остальные элементы
равны нулю.
Следовательно, 1
[ ][ ] [1]
R R
−
=
и
1
[ ][1] [ ][ ]
I E R
−
=
.
Произведение матрицы [ ]
I
на единичную матрицу [1] равно матрице [ ]
I
, поэтому
1
[ ] [ ][ ]
I E R
−
=
или в развернутом виде
11 21 1
11 11
22 12 22 2 22
1 2
...
...
1
........
..................
...
n
n
nn nn
n n nn
I E
I E
I E
ΔΔΔ

 

 
ΔΔΔ

 
=

 
Δ

 
ΔΔΔ
 

 

. В результате умножения матриц получаем выражение:
1
1
n
k k i i i k
i
I E
=
=
Δ
V
. (2.10)
2.5. Метод узловых потенциалов
В тех случаях, когда электрическая схема содержит параллельные ветви и число
узлов, уменьшенное на 1, меньше числа независимых контуров, для расчёта цепи
целесообразно использовать метод узловых потенциалов.
Для выяснения сущности метода рассмотрим схему (рис. 2.7).
Рис. 2.7. К расчету методом узловых потенциалов.
I
1
E
1
I
6
I
5
I
2
I
3
E
3
E
2
E
5
r
3
r
2
r
5
r
4
I
4
r
1
r
6
3
2
1
Примем потенциал одного из узлов, например, узла 3, равным 0, что не изменит
токораспределение в элементах схемы, но на единицу уменьшит число неизвестных
узлов.
На основании первого закона Кирхгофа можно написать для узлов 1 и 2:
=
−
−
+
−
=
+
+
−
−
.
0
;
0
6
5
3
2
6
5
4
1
I
I
I
I
I
I
I
I
Токи в ветвях схемы на основании закона Ома определяются выражениями:
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 2 3
4 1 4 5 5 1 2 5 6 1 2 6
( );( );( );
;( );( ),
I E g I E g I E g
I g I E g I g
ϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
=−=−=+
=−=+−=−
где
φ
1
и φ
2
– потенциалы узлов 1 и 2.
Подставив выражения для этих токов в первую систему, получим
;
)
(
)
(
5
5
1
1
6
5
2
6
5
4
1
1
g
E
g
E
g
g
g
g
g
g
−
=
+
−
+
+
+
ϕ
ϕ
5
5
3
3
2
2
3
2
6
5
2
6
5
1
)
(
)
(
g
E
g
E
g
E
g
g
g
g
g
g
+
−
=
+
+
+
+
+
−
ϕ
ϕ
или
=
+
=
+
∑
∑
2
22
2
21
1
1
12
2
11
1
,
;
Eg
g
g
Eg
g
g
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
где
6
5
4
1
11
g
g
g
g
g
+
+
+
=
;
)
(
6
5
21
12
g
g
g
g
+
−
=
=
;
6
5
3
2
22
g
g
g
g
g
+
+
+
=
.
Правые части полученных выражений есть алгебраические суммы произведений ЭДС
на проводимость своей ветви, взятые со знаком плюс, если ЭДС направлена к
соответствующему узлу и минус в другом случае.
Изменим направление токов, выбрав направление токов от узлов схемы. Тогда
=
−
−
+
=
+
+
+
;
0
;
0
6
5
3
2
6
5
4
1
I
I
I
I
I
I
I
I
1
1
1
1
)
(
g
E
I
−
=
ϕ
;
2
2
2
2
)
(
g
E
I
−
=
ϕ
;
3
3
2
3
)
(
g
E
I
+
=
ϕ
;
4
1
4
g
I
ϕ
=
;
5
5
2
1
5
)
(
g
E
I
+
−
=
ϕ
ϕ
;
6
2
1
6
)
(
g
I
ϕ
ϕ
−
=
.
Подставив выражения для токов в систему уравнений, получим
;
)
(
)
(
5
5
1
1
6
5
2
6
5
4
1
1
g
E
g
E
g
g
g
g
g
g
−
=
+
−
+
+
+
ϕ
ϕ
5
5
3
3
2
2
6
5
3
2
2
6
5
1
)
(
)
(
g
E
g
E
g
E
g
g
g
g
g
g
+
−
=
+
+
+
+
+
−
ϕ
ϕ
или
=
+
=
+
∑
∑
2
22
2
21
1
1
12
2
11
1
.
;
Eg
g
g
Eg
g
g
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Таким образом, при составлении системы уравнений для определения потенциалов
узлов схемы, можно не задаваться направлениями токов в ветвях схемы.
В общем случае, если схема имеет (n+
1
)
узел, то имеем систему n
уравнений:
1 11 2 12 1
1
1 21 2 22 2
2
1 1 2 2
...;
...;
....
n n
n n
n n n nn
n
g g g Eg
g g g Eg
g g g Eg
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
+++=
+++=
+++=
(2.11) Заменим источники напряжения источниками тока. (Два разнородных источника
энергии: источник напряжения и источник тока считаются эквивалентными, если при
замене одного вида источника другим токи и напряжения во внешней электрической
цепи, с которой эти источники соединяются, остаются неизменными). Источники тока
в совокупности образуют один эквивалентный источник тока 1
I
, причём
∑
=
+
+
+
=
+
+
+
=
1
2
2
1
1
)
(
)
2
(
)
1
(
1
...
...
Eg
R
E
R
E
R
E
I
I
I
I
n
n
n
(2.12) и ∑
=
1
1
g
R
.
(2.13)
Теперь систему уравнений, составленных по методу узловых потенциалов можно
представить в следующем виде:
1 1 11 2 12 1
2 1 21 2 22 2
1 1 2 2
...;
...;
....
n n
n n
n n n n nn
I g g g
I g g g
I g g g
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
=+++

=+++
�
=+++
KKK
(2.14)
Согласно правилу Крамера решение этой системы уравнений может быть найдено с
помощью определителей:
1 12 1
2 22 2
1
2
...
...
1
...
n
n
n n nn
I g g
I g g
I g g
ϕ
=
Δ
M M
;
12 1 1
22 2 2
2
2
...
...
1
...
n
n
n n nn
g I g
g I g
g I g
ϕ
=
Δ
M M
и т.д., (2.15)
где определитель системы
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
n n nn
g g g
g g g
g g g
Δ=
M M M
.
(2.16)
Согласно правилу разложения определителя по элементам столбца определитель
равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения.
Поэтому решение системы запишется в виде:
1
11 21
1 1 2
2
12 22
2 1 2
1 2
1 2
...;
...;
....
n
n
n
n
nn
n n
n n
I I I
I I I
I I I
ϕ
ϕ
ϕ
Δ
ΔΔ

=+++
ΔΔΔ
Δ
ΔΔ
=+++
ΔΔΔ
�
Δ
ΔΔ
=+++
ΔΔΔ
M
,
(2.17)
где i k
Δ
- алгебраическое дополнение элемента i k
g
определителя системы, т.е.
умноженный на (
)
k
i
+
−
1
минор элемента
i k
g
(минор образуется из определителя
системы исключением из него i
-й строки и k
-го столбца).
Сокращённо полученную систему уравнений можно записать в виде:
1
1
n
k i i k
i
I
ϕ
=
=Δ
Δ
.
(2.18)
Первый индекс алгебраического дополнения i
,
обозначающий номер строки,
вычёркиваемой в определителе системы, соответствует номеру узла, заданный ток
источника тока которого, умножается на данное алгебраическое дополнение. Второй
индекс k
, обозначающий номер столбца, вычеркиваемого в определителе системы,
соответствует номеру узла, для которого вычисляется узловое напряжение. Запишем систему уравнений, составленных по методу узловых потенциалов,
воспользовавшись при этом правилами матричной алгебры.
[
]
[
]
[
]
ϕ
×
=
g
I
,
(2.19)
где [
]
I
и
[
]
ϕ
- столбцевые матрицы токов, заданных в узлах и искомых узловых
потенциалов;
[
]
g
-квадратная матрица собственных и общих проводимостей узлов.
Обе стороны матричного уравнения умножим на обратную матрицу [
]
1
−
g
:
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
1
1
−
−
×
×
=
×
g
g
g
I
ϕ
, Откуда [
]
[
]
[
]
1
−
×
=
g
I
ϕ
.
В результате умножения матрицы [
]
I
на матрицу [
]
1
−
g
получаются выражения для
узловых потенциалов вида
1
1
n
k i i k
i
I
ϕ
=
=Δ
Δ
.
(2.20)
2.6. Метод двух узлов
В некоторых случаях цепь содержит только два узла или легко может быть приведена
к такому виду. В этом случае наиболее простым является метод двух узлов.
Рассмотрим схему рис. 2.8:
.
Рис. 2.8. К расчету электрической цепи методом узловых потенциалов.
Для определения тока в k
ой ветви воспользуемся зависимостями:
k
k
k
b
a
R
I
E
−
±
+
=
)
(
ϕ
ϕ
;
k
k
k
b
a
ab
R
I
E
U
−
±
=
−
=
)
(
ϕ
ϕ
;
[
]
k
ab
k
k
ab
k
k
g
U
E
R
U
E
I
−
±
=
−
±
=
)
(
)
(
.
Согласно первому закону Кирхгофа
[
]
0
)
(
=
−
±
=
∑
∑
k
ab
k
k
g
U
E
I
.
Направление токов принимается одинаковым во всех элементах схемы. Если после
расчёта какой-либо из токов окажется отрицательным, то направление его изменяется
на противоположное
∑
∑
=
−
±
0
)
(
k
ab
k
k
g
U
g
E
или
∑
∑
±
=
k
k
k
ab
g
g
E
U
)
(
. (2.21)
Рассчитаем, в качестве примера, цепь схемы рис. 2.8 при
E
1
=2 B
; E
3
=1 B
; R
1
=
R
2
=
R
3
=
R
4
=1
Ом
.
Воспользовавшись выражением (2.22), получаем E
3
E
1
R
k
R
3
R
2
R
1
a
b
I
1
I
2
I
3
I
k
( )
2 1 1 1
0,25
1 1 1 1
k k
ab
k
E g
U
g
−
===
+++
В;
1 1
1
1 1
2 0,25
1,75
1
ba ab
U E E U
I
R R
+−
−
====
A
;
2
1
0,25
0,25
1
ab
U
I
R
−
−
===−
A
;
3
3
3
0,25 1
1,25
1
ab
U E
I
R
−−
−−
===−
A
.
2.7. Преобразование треугольник- звезда и обратное
В трёхфазных цепях элементы наиболее часто соединяют по схеме треугольника (Δ)
(рис. 2.9а) и трёхлучевой звезды (
) (рис. 2.9б).
Рис. 2.9. Схемы треугольника (а) и трехлучевой звезды (б).
Иногда при расчёте электрических схем появляется необходимость преобразовать
схему треугольника в звезду или обратно. При этом, условием эквивалентности двух
схем является равенство токов I
1
, I
2
и I
3
и напряжений U
12
, U
23
и U
31
.
1
3
2
I
3
I
13
r
21
U
12
I
21
I
32
U
31
U
23
I
0
r
32
r
13
I
1
I
2
U
12
U
31
r
3
r
2
r
1
I
3
I
2
3
2
1
I
1
U
23
б)
а)
Треугольник
Звезда
Выведем выражения для преобразования треугольника в звезду.
На основании второго закона Кирхгофа для четырех контуров треугольника можно
написать:
(
)
(
)
(
)
(
)
=
−
−
−
+
+
=
+
−
=
+
−
=
+
−
.
0
;
0
;
0
;
0
21
21
32
32
13
13
0
32
21
13
31
0
13
13
23
0
32
32
12
0
21
21
I
r
I
r
I
r
I
r
r
r
U
I
I
r
U
I
I
r
U
I
I
r
Из последнего уравнения системы определим I
0
.
32
32
13
13
21
21
0
I
r
r
I
r
r
I
r
r
I
∑
∑
∑
+
+
=
и подставим его в первые три уравнения системы:
0
12
32
32
13
13
21
21
21
21
=
+
−
−
−
∑
∑
∑
U
I
r
r
I
r
r
I
r
r
I
r
или
0
12
32
32
13
13
21
32
13
21
=
+
−
−
+
∑
∑
∑
U
I
r
r
I
r
r
I
r
r
r
r
или
(
)
(
)
0
12
32
21
32
21
13
21
21
13
=
+
−
+
−
∑
∑
U
r
I
I
r
r
r
I
I
r
r
или
0
12
1
21
13
2
32
21
=
+
−
∑
∑
U
I
r
r
r
I
r
r
r
;
0
23
32
32
13
13
21
21
32
32
=
+
−
−
−
∑
∑
∑
U
I
r
r
I
r
r
I
r
r
I
r
или
0
23
13
13
21
21
13
21
32
32
=
+
−
−
+
∑
∑
∑
U
I
r
r
I
r
r
r
r
r
I
r
или
0
23
3
13
32
2
21
32
=
+
+
−
∑
∑
U
I
r
r
r
I
r
r
r
;
0
31
32
32
13
13
21
21
13
13
=
+
−
−
−
∑
∑
∑
U
I
r
r
I
r
r
I
r
r
I
r
или
0
31
32
32
21
21
13
32
21
13
=
+
−
−
+
∑
∑
∑
U
I
r
r
I
r
r
I
r
r
r
r
или
0
31
3
13
32
1
21
13
=
+
−
∑
∑
U
I
r
r
r
I
r
r
r
,
где 21
32
13
r
r
r
r
+
+
=
∑
;
21
13
1
I
I
I
−
=
;
32
21
2
I
I
I
−
=
;
13
32
3
I
I
I
−
=
.
Таким образом, мы получили систему трёх уравнений:
=
+
−
=
+
−
=
+
−
∑
∑
∑
∑
∑
∑
.
0
;
0
;
0
31
3
32
13
1
21
13
23
2
32
21
3
13
32
12
1
13
21
2
32
21
U
I
r
r
r
I
r
r
r
U
I
r
r
r
I
r
r
r
U
I
r
r
r
I
r
r
r
Для схемы трёхлучевой звезды на основании 2-го закона Кирхгофа можно написать:
=
+
−
=
+
−
=
+
−
.
0
;
0
;
0
31
3
3
1
1
23
2
2
3
3
12
1
1
2
2
U
I
r
I
r
U
I
r
I
r
U
I
r
I
r
Согласно условию эквивалентности токи I
1
, I
2
и I
3
и напряжения U
12
, U
23
и U
31
должны
иметь одни и те же значения как для схемы по треугольнику, так и для схемы
включения по трехлучевой звезде. Поэтому из сравнения двух последних систем
уравнений можно написать:
+
+
=
+
+
=
+
+
=
.
;
;
21
32
13
13
32
3
21
32
13
32
21
2
21
32
13
21
13
1
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
(2.22) Разделив последнее выражение системы сначала на первое, а затем на второе,
получим:
21
32
1
3
r
r
r
r
=
и 21
13
2
3
r
r
r
r
=
. Отсюда 1
3
21
32
r
r
r
r
=
и 2
3
21
13
r
r
r
r
=
.
Подставив полученные выражения в первое уравнение последней системы, имеем:
2
3
2
21
21
1
3
21
2
3
21
1
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
=
+
+
или
2
3
21
1
3
2
3
1
1
r
r
r
r
r
r
r
r
=
+
+
.
Отсюда: 3
2
1
2
1
21
r
r
r
r
r
r
+
+
=
. (2.23)
Заменой индексов получаем
2
3
1
3
1
13
r
r
r
r
r
r
+
+
=
; (2.24)
1
3
2
3
2
32
r
r
r
r
r
r
+
+
=
. (2.25)
В качестве примера использования преобразования треугольник – звезда рассчитаем
электрическую цепь схемы рис. 2.10, если U
=114В.
Заменим треугольники сопротивления abc
и dfg
эквивалентными звёздами (рис.2.11).
Используя формулы преобразования треугольника в звезду, получим:
1 2
10
1 2 3
6;
r r
r
Ом
r r r
==
++
1 3
20
1 2 3
6;
r r
r
Ом
r r r
==
++
2 3
30
1 2 3
2;
r r
r
Ом
r r r
==
++
6 7
40
6 7 8
4;
r r
r
Ом
r r r
==
++
6 8
50
6 7 8
5;
r r
r
Ом
r r r
==
++
7 8
60
6 7 8
20.
r r
r
Ом
r r r
==
++
Рис. 2.10. К использованию при расчете электрической цепи преобразования треугольник – звезда.
Эквивалентное сопротивление всей схемы:
10 60
38;
I II
э
I II
r r
r r r
Ом
r r
=++=
+
где
20 4 40 30 5 50
36;18.
I II
r r r r
Ом r r r r Ом
=++==++=
.
g
f
d
c
b
a
I
+
r
6
r
3
I
8
I
7
I
5
r
7
r
4
r
1
r
2
r
8
r
5
I
4
I
2
I
1
I
3
I
6
u
r
1
=30 Ом
;
r
2
=r
3
=10 Ом
;
r
4
=26 Ом
;
r
5
=11 Ом
;
r
6
=10 Ом
;
r
7
=40 Ом
;
r
8
=50
Ом
.
Рис. 2.11. Схема электрической цепи рис. 2.10 после использования преобразования
треугольник – звезда.
Ток в неразветвлённой части цепи:
114
3.
38
э
U
I A
r
===
Токи в параллельных ветвях I
'
(
r
20
r
4
r
40
)
и I
''
(
r
30
r
5
r
50
):
18
'3 1;
36 18
II
I II
r
I I A
r r
===
++
36
''3 2.
36 18
I
I II
r
I I A
r r
===
++
Найдём токи в сопротивлениях заданной цепи. Для этого предварительно из схемы найдём
напряжения между точками a
и b
, b
и c
, d
и g
, f
и g
, d
и f
:
10 20
'3 6 1 6 24;
ab
U Ir I r B
=+=+=
10 30
"3 6 2 2 22;
ac
U Ir I r B
=+=+=
( ) ( ) 24 22 2;
ab ac a b a c c b cb
U U U B
ϕϕϕϕϕϕ
−=−−−=−==−=
40 60
'1 4 3 20 64;
d g
U I r Ir B
=+=+=
50 60
''2 5 3 20 70;
f g
U I r Ir B
=+=+=
( ) ( ) 70 64 6.
f g d g f g d g f d f d
U U U B
ϕϕϕϕϕϕ
−=−−−=−==−=
Искомые
токи
:
1
1
24
0,8;
30
ab
U
I A
r
===
2
2
22
2,2;
10
ac
U
I A
r
===
3
3
2
0,2;
10
cb
U
I A
r
===
4
'1;
I I A
==
5
''2;
I I A
==
6
6
6
0,6;
10
f d
U
I A
r
===
7
7
64
1,6;
40
d g
U
I A
r
===
8
8
70
1,4.
50
f g
U
I A
r
===
r
1
0
g
f
d
c
b
r
20
r
30
r
5
r
50
r
40
a
r
4
I
+
u
r
60
В качестве другого примера рассмотрим расчет электрической цепи рис. 2.12а.
а)
б)
Рис. 2.12. К использованию при расчете электрической цепи преобразования треугольник–
звезда.
Известны сопротивления: R
21
=2 Ом; R
13
=3 Ом; R
32
=5 Ом.
Необходимо определить сопротивления: R
1
;
R
2 и R
3
.
Воспользовавшись, полученными выше выражениями преобразования треугольник –
звезда (2.23), получаем (рис. 2.12б):
13 21
1
3 2
0,6
Ом;
10
r r
R
r
===
32 21
2
5 2
1
Ом;
10
r r
R
r
===
13 32
3
3 5
1,5
Ом.
10
r r
R
r
===
.
2.8. Активные и пассивные двухполюсники
При исследовании процессов в сложных электрических цепях иногда необходимо знать
величину тока и напряжения на элементах только в одной ветви электрической схемы. В
этом случае целесообразно выделить для рассмотрения интересующую нас ветвь,
присоединённую к сложной электрической цепи в двух точках, и расчет выполнять,
используя метод эквивалентного генератора.
Электрические цепи произвольной конфигурации, рассматриваемые относительно двух
зажимов или, как говорят, двух полюсов, называются двухполюсниками.
Если рассматривать правую часть этой цепи относительно зажимов cd
ветви с резистором
1
R
, и ЭДС E
1 (рис. 2.13а), то получим двухполюсник с ветвями без ЭДС.
Двухполюсники, напряжение на выводах которых в режиме холостого хода (когда
отсутствует нагрузка двухполюсника) равно нулю, принято называть пассивными. В
противном случае мы имеем дело с активными двухполюсниками.
Если же рассматривать ту же схему, но относительно выводов ab
ветви с резистором 2
R
,
то (слева) получим активный двухполюсник (рис. 2.13б).
Рассмотрим, для примера, электрическую цепь (рис. 2.13):
Условные обозначения двухполюсников: активного (рис. 2.14а) и пассивного (рис.2.14б):
1
3
2
R
2
R
3
R
1
R
21
R
13
R
32
Рис. 2.13. К понятию двухполюсника. а) – выделение пассивного двухполюсника; б) –
выделение активного двухполюсника.
а)
б)
Рис. 2.14. Условные обозначения: активного (а) и пассивного (б) двухполюсников.
2.9. Метод эквивалентного генератора
Метод эквивалентного генератора целесообразно применять, когда необходимо рассчитать
ток только в одной ветви.
Подобного рода задачи часто встречаются при расчётах устройств электрических
измерений неэлектрических величин, автоматического регулирования и управления и т.п.
Пусть задана некоторая, сколь угодно сложная схема, и требуется найти ток в одной из её
ветвей. Мысленно заключим всю схему, содержащую ЭДС и сопротивления, в
прямоугольник, выделив из неё одну ветвь ab
, ток I
в которой требуется найти (рис. 2.15а).
Буква A
в прямоугольнике свидетельствует о том, что мы имеем дело с активным
двухполюсником.
Активный двухполюсник может быть заменён эквивалентным источником ЭДС,
обладающим определенным внутренним сопротивлением. (Если в активном двухполюснике
имеется источник тока, то он (используя формулы преобразования) представляется в виде
эквивалентного источника ЭДС). При замене используются все методы расчета известные в
теории цепей.
Рис. 2.15. К методу эквивалентного генератора.
а)
b
a
c
d
R
2
E
1
R
1
I
1
б)
a
I
2
R
1
R
2
b
E
1
I
1
г)
в)
б)
a
)
E
1
E
1
R
I
A
a
b
R
I
A
a
b
R
I
’
a
b
A
R
I””
П
a
b
E
2
E
2
A
a
b
П
c
d
Введём последовательно резистору R
две ЭДС E
1
и E
2 (рис.2.15б), которые равны по
величине, но имеют противоположные направления.
Ток I
может быть представлен суммой двух токов I
' и I
''
'
'
'
I
I
I
+
=
.
Ток I
' вызывается действием всех ЭДС и источников тока активного двухполюсника A
и
ЭДС E
1
(рис. 2.15 в
), а ток I
'' вызывается действием только одной ЭДС E
2
(рис. 2.15 г
).
Буква П в схеме рис. 2.151 г
означает, что двухполюсник пассивный.
Из рис. 2.15
в
по закону Ома имеем:
R
E
U
I
ab
1
'
−
=
.
Выберем E
1
, такой величины, чтобы I
'=0. Отсутствие тока I
' означает, что на выводах ab
имеется напряжение холостого хода, т.е. напряжение, которое соответствует размыканию
ветви ab
. Обозначим это напряжение через U
хх
.
Так как E
2
=
E
1
=
U
xx
, то из рис. 2.15
г
будем иметь
"
xx
вх
U
I
R R
=
+
, где R
вх
– входное сопротивление активного двухполюсника.
Этому выражению соответствует схема замещения (рис. 2.16):
Рис. 2.16. Сема замещения эквивалентного генератора.
Последовательность расчета методом эквивалентного генератора:
1.Находим напряжение U
xx
при разомкнутой ветви ab
;
2.Определяется внутренне сопротивление R
вх
всей схемы по отношению к зажимам ab
при
закороченных ЭДС и удаленных источниках тока активного двухполюсника и при
отсутствии сопротивления нагрузки R
.
3.Рассчитывается ток по формуле:
вх
xx
R
R
U
I
+
=
.
(2.26)
Если сопротивление R
сделать равным 0, то будем иметь режим короткого замыкания.
Ток короткого замыкания кз
I
будет равен:
xx
кз
вх
U
I
R
=
; или xx
вх
кз
U
R
I
=
.
b
R
вх
U
xx
a
R
I
=
I’’
Отсюда видно как опытным путем определить вх
R
и xx
U
. Для этого необходимо
измерить напряжение на выводах ab
при разомкнутой ветви ab
и приравнять xx
U
(режим
холостого хода). Затем в режиме короткого замыкания определить ток короткого
замыкания. Частное от деления напряжения холостого хода на ток короткого замыкания
даст нам внутреннее сопротивление эквивалентного генератора. Приведенный алгоритм
поясняет. почему опытный метод определения параметров эквивалентного генератора
называют еще методом двух опытов?
В качестве примера рассчитаем методом эквивалентного генератора ток в сопротивлении
R
5 электрической цепи (рис. 2.17) при Е=10В; R
1
= R
4
; R
2
=4Ом; R
3
=
R
5
=2Ом.
(а) (б) (в) Рис. 2.17. К определению методом эквивалентного генератора тока в сопротивлении R
5 (а);
электрическая цепь схемы при отключенном сопротивлении R
5 (б) и при закороченном
источнике ЭДС (в).
Отключаем резистор R
5 (рис. 2.17б). Тогда
1
1 2
E
I
R R
=
+
; 2
2 4
E
I
R R
=
+
;
2 1 2 1
2 4 1 3 2 4 1 3
a b b
R R R R
E E E
R R R R R R R R
ϕϕϕ
=+−=+−
++++
или
4 1
10 4,7.
4 1 1 2
xx ab a b
U U
В
ϕϕ
==−=−=
++
Внутреннее сопротивление активного двухполюсника можно найти из схемы рис. 2.18.
Рис. 2.18. К определению внутреннего сопротивления активного двухполюсника
1 3
2 4
1 3 2 4
1 2 4 1
1,5
1 2 4 1
вх
R R
R R
R
Ом
R R R R
=+=+=
++++
.
Определяем искомый ток:
3
R
2
R
1
R
R
5
b
b
I
2
I
1
E
E
R
2
R
1
R
3
R
4
a
b
R
2
R
1
R
3
R
4
a
a
4
R
R
4
R
2
R
3
R
1
b
a
5
4,7
1,3
2 1,5
xx
вх
U
I A
R R
===
++
.
2.10. Передача энергии от активного двухполюсника нагрузке
Если нагрузка R
подключена к активному двухполюснику рис. 2.19а, то согласно методу
эквивалентного генератора ток в ней определяется выражением (рис. 2.19 б) : .
abxx
вх
U
I
R R
=
+
Рис. 2.19. Подключение цепи нагрузки к активному двухполюснику (а) и к эквивалентному
генератору (б).
Мощность, выделяемую в нагрузке, найдем по формуле:
2
2
2
.
( )
abxx
вх
U
P I R R
R R
==
+
Определим, каково соотношение R
и R
вх
, при котором мощность, выделяемая в нагрузке
имеет максимальное значение. Для этого, очевидно, необходимо приравнять первую
производную dP
dR
, нулю: 2
4
( ) (2 2 )
0
( )
вх вх
вх
R R R R R
dP
dR R R
+−+
==
+
. Отсюда 2 2
( ) 2 2 0
вх вх
R R R R R
+−−=
или 2 2 2
2 0
вх
R R R
+−=
или R R
вх
=
.
(2.27) Если возьмем вторую производную, то найдем, что она отрицательна (
2
2
d P
dR
<0). Поэтому
полученное соотношение между R
и R
вх
соответствует максимуму, а не минимуму
функции ( )
P f x
=
.
Подставив R
=
R
вх
в выражение для мощности P
, получим:
2 2 2
max
2 2
( ) ( ) 4
abxx abxx abxx
вх
вх вх вх вх
U U U
P R R
R R R R R
===
++
. б)
I
I
a
)
R
a
b
b
R
вх
U
abxx
a
R
A
Выполнение условия R
=
R
вх
при котором в нагрузке выделяется максимальная мощность
называется согласованием сопротивления нагрузки с внутренним сопротивлением
активного двухполюсника.
Полная мощность, выделяемая эквивалентным генератором равна:
2
.
abxx abxx
полн abxx авхх
вх вх
U U
P U I U
R R R R
===
++
(2.28) Коэффициент полезного действия η
определится выражением:
.
полн вх
P R
P R R
η
==
+
(2.29).
На рис. 2.20 показаны, рассчитанные по полученным выражениям, зависимости мощности,
выделяемой в нагрузке, напряжения на нагрузке, мощности, отдаваемой источником
электроэнергии и КПД от тока нагрузки. При согласовании сопротивления нагрузки с внутренним сопротивлением эквивалентного
генератора.
0,5.
вх
вх вх вх
R
R
R R R R
η
===
++
Такое низкое значение КПД совершенно неприемлемо для случая передачи большой
мощности по проводам, что имеет место в электроэнергетических системах, где КПД не
меньше, чем 90%.
Но в устройствах электросвязи, автоматики и т.п. передаваемая мощность по абсолютной
величине мала. Она измеряется часто в милливаттах. В этих случаях очень важно, чтобы
как можно большая доля мощности выделилась в нагрузке или, в случае использования
систем автоматики, - в исполнительном механизме. При передачи на линии большой мощности, чтобы получить возможно большее значение
КПД, необходимо выполнить условие: R
вн
<< R
.
В качестве примера, найдем при каком значении сопротивления R
5, в нем будет
выделяться максимальное значение мощности.
Так как максимальное значение мощности, выделяемое в нагрузке, соответствует случаю,
когда сопротивление нагрузки (как было показано выше) равно внутреннему
сопротивлению источника питания, то, очевидно, что это будет происходить при условии
равенства R
вх = R
5 = 1,5 Ом
.
Рис. 2.20. Зависимости мощности, выделяемой в нагрузке, напряжения на нагрузке,
мощности, отдаваемой источником электроэнергии и КПД от тока нагрузки.
I
P;U
50%
U
H
P
H
η
P=EI
2.11. Применение топологического (
структурного) графа для расчета электрических
цепей
Электрическая цепь имеет определенную геометрическую (топологическую) структуру.
При изучении топологических свойств электрической цепи параметры ветвей не имеют
значения, поэтому ветви изображают отрезками линий между узлами. Совокупность узлов
и ветвей (линий) между ними называют топологическим (или структурным) графом
электрической цепи.
Ветвям графа могут быть приписаны определенные направления, обычно совпадающие с
направлениями токов в ветвях и обозначаемые стрелками. Такой граф называют
направленным.
Топологическую структуру можно описать с помощью специальных таблиц (матриц),
которые определяют взаимные связи ветвей с узлами и контурами графа.
Узловая матрица А
представляет собой таблицу, строки которой соответствуют узлам
графа, а столбцы его ветвям. Значение элементов узловой матрицы определяют
следующим образом. Элементы строки показывают какие ветви входят в узлы, какие
выходят из них, а какие не связаны с рассматриваемыми узлами. Если ветвь направлена к
узлу, то элемент матрицы равен “-1”, если от узла, то “+1”. Если же ветвь не связана с
узлом, то соответствующий элемент равен 0. Один из узлов графа считают базисным или
опорным и он не входит в узловую матрицу, которая в этом случае называется
определенной. По известной узловой матрице можно построить граф электрической цепи.
C
оставим узловую матрицу А для рис. 2.21:
Рис. 2.21. К составлению топологического графа: (а) - электрическая цепь; (б) –
преобразованная электрическая цепь; в) – граф электрической цепи.
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
0;0;0;4,3;0;
500;11000;100;300;1;30000.
E E E E E
В E
R
Ом R Ом R Ом R Ом R Ом R Ом
======
======
1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 0 0 0
2 1 1 0 0 1 0.
3 0 0 1 1 0 1
Ветви
Узлы
А
−


=−−


−−

б)
III
В
R
Д
R
F
R
1
R
H
R
R
E
C
A
B
D
E
1
R
2
R
6
R
4
R
5
R
5
E
2
1
4
4
E
A
R
3
R
3
1
3
3
2
5
2
4
1
4
6
I
II
а
)
в)
Контурная матрица B
представляет собой таблицу, строки которой соответствуют
контурам графа, а столбцы - его ветвям. Если направление обхода совпадает с
направлением ветви, то элемент имеет значение “+1”, если нет, то “-1”. Если же ветвь не
входит в рассматриваемый контур, то соответствующий элемент равен 0.
1 2 3 4 5 6
1 1 1 0 0 0 0
2 0 1 1 1 1 0
3 0 0 0 1 0 1
Ветви
Контуры
B


=−−



Если один из контуров принимается за базисный или опорный, то контурную матрицу B
называют определенной. По известной контурной матрице можно построить граф
электрической цепи.
Уравнения Кирхгофа в матричной форме.
Так как уравнения Кирхгофа зависят лишь от способа соединения элементов схемы друг с
другом, т.е. от топологии схемы, то их принято называть топологическими. Элементы
строки узловой матрицы A
содержат сведения о ветвях, связанных с узлами цепи и
отражают направление токов в этих узлах. Сумма произведений токов ветвей на
соответствующие значения элементов представляет собой первый закон Кирхгофа.
Следовательно,
[
]
[
]
0
A I
=
(2.30)
Аналогично можно представить второе уравнение Кирхгофа:
[
]
[
]
0
в
B U
=
(2.31)
В правой части у второго уравнения Кирхгофа в матричной форме вместо ЭДС имеем 0, а
в левой вместо R
U
- напряжение ветви. Согласно рис. 2.22 имеем
:
1 1 1
;
.
.
в а в
в
в
U
U E RI
I R U E
ϕϕ
=−

=−
�
+=
Рис. 2.22. К определению выражения для напряжения ветви.
Выразив напряжение ветвей в
U
через токи, резисторы и ЭДС, окончательно получим:
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
0;
(2.32)
.
А I
B R I B E

=
�
=
Подставив заданные значения для рассматриваемого примера, находим:
в
а
1
I
2
E
2
R
1
R
1
E
2
I
1
2
3
4
5
6
1 1 1 0 0 0 0
1 1 0 0 1 0 0
0 0 1 1 0 1 0
I
I
I
I
I
I



−
 

 
−−=

 

 
−−
 




;
1
2
3
4
5
6
500 0 0 0 0 0 0
0 11000 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
0 0 100 0 0 0 0
0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 300 0 0 4.3
0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0 4.3
0 0 0 0 0 30000 0
I
I
I
I
I
I

 

 

 
 

 
 
−−=−−

 
 

 
 
 

 

 

 

.
Перемножив во втором матричном выражении матрицу [
]
B
на матрицу [
]
R
, получим:
1
2
3
4
5
6
1 1 1 0 0 0 0
1 1 0 0 1 0 0
0 0 1 1 0 1 0
I
I
I
I
I
I



−
 

 
−−=

 

 
−−
 




;
1
2
3
4
5
6
500 11000 0 0 0 0 0
0 11000 100 300 1 0 0
0 0 0 300 0 30000 4.3
I
I
I
I
I
I



 

 
−−=

 

 
 




.
Полученные произведения двух матриц [
]
[
]
3 6 6 1
можно объединить. В результате
имеем
1
2
3
4
5
6
1 1 1 0 0 0 0
1 1 0 0 1 0 0
0 0 1 1 0 1 0
500 11000 0 0 0 0 0
0 11000 100 300 1 0 0
0 0 0 300 0 30000 4.3
I
I
I
I
I
I
−

 

 
−−

 

 
−−
=

 

 

 
−−

 

 

.
Решение полученного матричного уравнения имеет вид:
6
1
6
2
6
3 5
6
4
6
6
47,85 10;
2,175 10;
50,05 10;
96,59 10;
147,4 10.
I A
I A
I I A
I A
I A
−
−
−
−
−
=
=−
==
=
=
2.12. Нелинейные электрические цепи постоянного тока
Если хотя бы один элемент электрической цепи имеет нелинейные характеристики, то эта
цепь нелинейная, а при ее расчете необходимо использовать один из графических или
графоаналитических методов.
Рассмотрим графические методы расчета нелинейных цепей с последовательным и
параллельным соединением нелинейных элементов.
2.12.1. Последовательное соединение нелинейных элементов Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из двух последовательно соединенных
элементов (рис. 2.23а).
Задаваясь произвольными значениями тока, просуммируем соответствующие значения
абсцисс характеристик первого и второго нелинейных элементов (рис. 2.23б).
В результате получим нелинейную (в общем случае) характеристику, по которой легко
можно определить значение тока по величине заданного напряжения. При заданном напряжении ток может быть легко найден без построения результирующей
характеристики. Для этого (рис. 2.24а) по оси абсцисс переносят одну из заданных
характеристик вправо (или влево в зависимости от знака приложенного напряжения) на
величину питающего данную цепь напряжения и поворачивают ее относительно вертикали
так, чтобы получилось зеркальное изображение. В результате точка пересечения
полученной перенесенной повернутой характеристики с другой заданной характеристикой
определяет величину тока в цепи с последовательно соединенными нелинейными
элементами.
а) б)
Рис. 2.23. Последовательное соединение элементов (а) и графический метод определения
тока в цепи с двумя последовательно соединенными элементами (б).
Если один из элементов линейный, то построение упрощается (рис. 2.24б). По оси абсцисс
откладывается вправо величина питающего напряжения, а по оси ординат величина тока,
равная отношению напряжения к величине линейного сопротивления. Точка пересечения
прямой, соединяющей полученные две точки с характеристикой нелинейного элемента
определит величину искомого тока.
Если электрическая цепь представляет собой последовательное соединение источника
постоянной ЭДС и нелинейного элемента, то результирующая вольтамперная
характеристика получится, если характеристику нелинейного элемента сместим влево (рис.
2.25а) ил вправо (рис. 2.25б) в зависимости от полярности источника ЭДС.
U
I
Н
.
Э
.
1
Н
.
Э
.
2
U
2
U
1
U
U=U
1
+U
2
U
2
U
1
I(U)
I(U
2
)
I(U
1
)
I
I
Рис. 2.24. Графический метод определения тока в цепи с двумя нелинейными элементами
(а) и с последовательным соединением линейного и нелинейного элементов (б) с помощью
использования зеркального изображения одной из характеристик U
R
R=tg
α
U=U
1
+U
2
U=U
1
+U
2
U
U
2
U
1
I
I
α
U
1
I
I
Рис. 2.25. Вольтамперные характеристики цепей с последовательно соединенным
нелинейным элементом и ЭДС при совпадении направления ЭДС и тока (а) и при их
несовпадении (б).
В том случае, когда нелинейный элемент подключен к какой-либо линейной
электрической цепи (пассивной или активной), для расчета электрической цепи
используется метод эквивалентного генератора. Активный двухполюсник заменяется
эквивалентным генератором с внутренним сопротивлением (величина которого может быть
рассчитана или определена опытным путем). Пассивный двухполюсник заменяется
эквивалентным сопротивлением. В результате схема приводится к рассмотренной
электрической цепи с нелинейным сопротивлением и линейным сопротивлением,
соединенными последовательно и подключенными к источнику ЭДС. 2.12.2. Параллельное и смешанное соединение нелинейных элементов
При параллельном соединении нелинейных элементов (рис.2.26а) для разных значений
питающего напряжения суммируют соответствующие ординаты (рис. 2.26б).
Для нахождения суммарного тока графического построения не требуется, так как
достаточно определить сначала токи в двух нелинейных элементах, а результат
просуммировать.
При смешанном соединении нелинейных элементов после замены параллельного
соединения элементов эквивалентным нелинейным элементом схема приводится к
I
0
-E
I(U)
I(U
1
)
E
U
I
Н
.
Э
.
1
U
1
U
E
U
I
Н
.
Э
.
1
U
1
I
0
I(U)
I(U
1
)
U
а)
б)
последовательному соединению нелинейных (или линейных и нелинейных) элементов;
графический метод расчета для этого случая уже рассмотрен.
а) б)
Рис. 2.26. Параллельное соединение нелинейных элементов (а) и графический метод
определения суммарного тока при параллельном способе соединения этих элементов (б).
2.12.3. Расчет нелинейной цепи с двумя узлами.
Рассмотрим случай параллельного соединения трех ветвей, в каждой, из которых
нелинейный элемент соединен последовательно с ЭДС (рис. 2.27а).
В этом случае, используя уже рассмотренный расчет цепи с последовательным
соединением нелинейного элемента и ЭДС, каждую ветвь представим в виде
эквивалентного нелинейного сопротивления, характеристика которого смещена влево или
вправо в зависимости от полярности включенных последовательно с элементом ЭДС. В
I(U)
I(U
1
)
U
I(U
2
)
I
Н
.
Э
.
2
1
I
2
I
1
U
I
Н
.
Э
.
1
-E
Н
.
Э
1
I
1
E
1
U
1
Н
.
Э
2
I
21
E
2
U
2
1
Н
.
Э
3
I
31
E
3
U
3
1
I
0
I
U
а) б)
Рис. 2.27. Нелинейная цепь с двумя узлами (а) и ее вольтамперная характеристика (б).
результате получим уже рассмотренный случай параллельного соединения нелинейных
элементов.
Результирующая характеристика нелинейной цепи смещена влево на величину E
, которую
можно рассматривать как ЭДС эквивалентной цепи (рис. 2.27б). Так как сумма токов в узле
равна нулю, то в эквивалентной цепи ток отсутствует (рис. 2.28).
Рис. 2.28. Эквивалентная схема результирующей вольтамперной характеристики
нелинейной цепи с двумя узлами.
Следовательно, величина E
определяет потенциал верхнего узла относительно нижнего
узла исходной схемы. Теперь находят падения напряжения на нелинейных элементах от
прохождения токов I
1
, I
2 и I
3
: U
1
=
E
1
-
E
; U
2
=
E
2
-
E
; U
3
=
E
3
-
E
. (2.33)
Ток в каждом из нелинейных элементов определится по соответствующей вольтамперной
характеристике. Графический метод расчета требует большой точности выполнения
построений. В противном случае результат может быть неудовлетворительным. Численный
метод позволяет получить приемлемую точность при минимуме графических построений.
Расчет удобно вести в табличной форме (таблица №1)
.
Таблица №1
Задаваясь величиной E
, равной разности потенциалов между верхней и нижней точками
электрической схемы находят токи I
1
, I
2 и I
3
, а затем I
. Строят характеристику ( )
I f E
=
, причем значение E
выбирают таким , чтобы характеристика проходила через нуль.
Искомое значение E
соответствует 0
I
=
.
2.12.4. Статические и дифференциальные сопротивления
Статическое сопротивление нелинейного элемента есть отношение постоянного
напряжения на нелинейном элементе к току в нем:
ст
U
R
I
=
. (2.34)
Дифференциальным сопротивлением называют отношение приращения напряжения на
нелинейном элементе к приращению тока, протекающего через него: Н
.
Э
E
I
U
Н
.
Э
.
1
U
3
=
E
3
-
E U
2
=
E
2
-
E U
1
=
E
1
-
E E
I
I
диф
dU
R
dI
=
(2.35) Дифференциальное сопротивление определяет крутизну характеристики нелинейного
элемента в каждой точке.
Величины дифференциального и статического сопротивлений совпадают для линейных
сопротивлений.
Предположим, что область работы нелинейного элемента не выходит за пределы участка
вольтамперной характеристики, который с достаточной степенью точности можно
представить в виде прямой линии (рис. 2.29).
Рис. 2.29. Замена нелинейных элементов динамическими сопротивлениями и ЭДС.
Если продолжить линейные участки характеристик нелинейных элементов, то они
пересекут ось абсцисс в точках E
1
и E
2
.
Полученные две ломаные линии могут быть, в соответствии с ранее рассмотренным
методом расчета нелинейной электрической цепи, представлены последовательным
соединением источника ЭДС E
и динамического сопротивления d
R
(рис. 2.30).
Рис. 2.30. Представление двух типов нелинейности (1 и 2, рис. 2.29) в виде двух линейных
цепей (а и б).
1
1
d
U E
R
I
+
=
; 1 1
d
U E IR
=−+
; 2
2
d
U E
R
I
−
=
; 2 2
d
U E IR
=+
. (2.36)
После замены нелинейного элемента линейным сопротивлением и ЭДС электрическая
цепь рассчитывается как линейная. При этом обязательно должно соблюдаться условие:
рабочая точка должна находиться на линейном участке характеристики нелинейного
элемента.
2.12.5. Стабилизация напряжения при помощи нелинейного элемента
2
1
I
U
E
2
E
1
U
I
_
+
Rd
1
E
1
I
1
_
+
Rd
2
E
2
I
2
а)
б)
С помощью нелинейного элемента можно получить относительное изменение
напряжения на выходе вых
вых
U
U
Δ
значительно меньше относительного изменения
напряжения на входе вх
вх
U
U
Δ
.
Отношение вх
вх вх вых
u
вых
вых вх
вых
U
U U U
K
U
U U
U
Δ
Δ
==
Δ
Δ
. (2.37)
называется коэффициентом стабилизации по напряжению.
Рассмотрим две простейшие схемы стабилизатора напряжения с нелинейным элементом,
включенным последовательно (рис. 2.31а) и параллельно (рис. 2.32а) с сопротивлением
нагрузки.
Рис. 2.31. Стабилизатор напряжения с нелинейным элементом, включенным
последовательно с нагрузкой (а) и графический метод определения его параметров (б).
Ри
с. 2.32. Стабилизатор напряжения с нелинейным элементом, включенным параллельно с
нагрузкой (а) и графический метод определения его параметров (б).
а)
U
вых
∆
U
вх
U
вх
∆
U
вых
I
U
0
H
r
н.э.
H
r
U
вых
н.э.
U
вх
I
б)
б)
U
вх
U
вх
∆
U
вх
r
0
н.э.
U
вых
r
н
I
3
I
2
н.э.
∆
U
вых
I
U
0
H
r
U
вых
r
0
I
1
а)
Определив из графиков ,,
вх вых вых
U U U
ΔΔ
, можем рассчитать величину
коэффициента стабилизации для двух приведенных схем.
Коэффициент K
u
можно определить и аналитически, для этого заменим нелинейный
элемент последовательным соединением резистивного элемента и ЭДС.
После замены первая и вторая схема примут вид рис.2.33 а и б:
а) б)
Рис. 2.33. Расчетные схемы стабилизатора напряжения с нелинейным элементом,
включенным последовательно (а) и параллельно нагрузке (б).
Из первой схемы находим:
(
)
вх н
вых
d
н
U E r
U
r r
+
=
+
.
Продифференцировав это выражение, найдем
(
)
н
вых вх
d
н
r
dU dU
r r
=
+
, откуда
(
)
d
н
вх
вых н
r r
dU
dU r
+
=
.
Из первого уравнения:
1
н
вх
вых
вх н d
E
r
U
U
U r r
+
=
+
.
Выражение для коэффициента стабилизации по напряжению будет иметь вид:
1.
1.(2.38)
вх вых
u
вых вх вх
u
вх
U U
E
K
U U U
E
K
U
Δ
==+
Δ
=+
Для второй схемы уравнения, записанные согласно законам Кирхгофа, имеют вид:
U
вых
I
2 I
3
I
1
r
0
r
н
E
d
r
U
вых
r
н
d
r
U
вх
I
E
0 1 2
1 2 3 3
;;
;;
вх вых вых d
вых
н
U r I U U E r I
U
I I I I
r
=+=+
=+=
0 2 0 2
;;
вых вых
вх вых
н d
U U
Е
U r I r U I
r r
−
=++=
0 0 0
;
вх вых вых вых
d
н d
r r r
U U U E U
r r r
=+−+
0 0 0
1.
вх вых
d
н d
r r r
U U E
r r r
=++−
Продифференцировав это выражение, находим
0 0
1.
вх
вых d н
dU r r
dU r r
=++
Учитывая, что
0 0 0
1.
вх
вых d н d вых
U r r r
E
U r r r U
=++−
получаем выражение для, U
K
соответствующее второй схеме:
0 0
0 0 0
0
0
1
1
;
1
1
1
1
.(2.39)
1
1
вх вых d н
u
вых вх
d
н d вых
d d
вых
н
u
d d
вых
н
r r
U U r r
K
r r r E
E
U U
r r r U
r r
U
r r
K
E
r r
U
r r
++
Δ
===
Δ
−
++−
++
=
−
++
Анализ полученных для двух схем выражений для K
u
показывает, что коэффициент
стабилизации может быть больше 1 лишь в том случае, если вид I
(
U
) нелинейного
элемента для первой схемы имеет насыщение по I
, а вид I
(
U
) нелинейного элемента для
второй схемы имеет насыщение по U
. ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Переменный ток – это ток, который меняется как по величине, так и по направлению.
Переменный ток может быть периодическим и непериодическим, синусоидальным и
несинусоидальным. В дальнейшем мы будем говорить о синусоидальном токе, ЭДС и
напряжении. Если к электрической цепи приложено синусоидальное напряжение, то ток и
напряжение на всех элементах цепи будут также синусоидальными, при условии, что
элементы цепи имеют линейные характеристики. Частота переменных токов
располагается в диапазоне от долей герц до нескольких миллиардов герц. Промышленная
частота в нашей стране и Западной Европе равна 50 Гц, а в США – 60Гц.
Глава 3. Цепи переменного тока
3.1. Общие сведения о цепях переменного тока
Наиболее распространенным способом получения синусоидального напряжения является
применение генераторов переменного тока. Рассмотрим устройство генератора
переменного тока (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Устройство генератора переменного тока.
Рис.3.2. Взаимное расположение магнитов и проводников обмотки генератора.
N
1
N
2
S
2
S
1
б
в
г
а
2
1
в
г
а
S
1
S
2
2
1
N
2
N
1
б
Генератор состоит из неподвижного статора и вращающегося ротора. Ротор приводится
во вращение внешним двигателем любого типа с постоянной скоростью. Статор
изготовлен из магнитнопроводящего материала; в его пазах находятся, соединенные
последовательно, проводники обмотки а, б, в, г. На роторе располагается несколько пар
явнополюсных магнитов. Наконечники магнитов изготовлены таким образом, что
магнитная индукция B
в зазоре под каждым проводником обмотки при вращении ротора
изменяется синусоидально.
По закону Фарадея ЭДС, наведенная в проводнике обмотки, определяется выражением:
max
.
e BlV B lVsin
α
==
(3.1)
Будем считать, что в момент времени t
= 0 имеет место, указанное на рис. 3.2 взаимное
расположение магнитов и проводников обмотки а, б, в, г. В этом случае индукция в
воздушном зазоре под каждым проводником равна нулю. Следовательно, и e
=0. При
повороте ротора на 1/8 оборота индукция B
максимальна и, следовательно, ЭДС,
наведенная в каждом проводнике, также максимальна. Когда ротор повернется еще на 1/8
оборота, индукция будет равна 0 и ЭДС будет равна 0. При следующем повороте ротора на
1/8 оборота индукция в зазоре под проводниками опять станет максимальной, но поменяет
знак. Поэтому в этот момент времени ЭДС будет иметь максимальное значение, но с
обратным знаком.
Таким образом, при вращении ротора генератора с постоянной скоростью на выводах
будет наблюдаться ЭДС практически синусоидальной формы:
max
.
e E sin
α
=
(3.2)
Подставив t
αω
=
, получаем
max
( )
e E sin t
ω
=
(3.3) или
max
2
( )
e E sin t
T
π
=
(3.4) или
max
(2 )
e E sin ft
π
=
, (3.5)
где
2
2
f
T
π
ωπ
==
. Если начало отсчета времени не соответствует показанному на рисунке, то в момент t
= 0
величина e
не равна 0. Поэтому в выражение для ЭДС необходимо ввести начальную фазу
ϕ
:
max
( )
e E sin t
ωϕ
=+
(3.6)
или
max
2
( )
e E sin t
T
π
ϕ
=+
(3.7)
или
max
(2 )
e E sin ft
πϕ
=+
. (3.8)
Начальная фаза ϕ
отсчитывается от момента перехода синусоидальной функции от
отрицательного к положительному значению и до момента начала отсчета времени (рис.
3.3).
При 0
ϕ
>
синусоида сдвинута влево, а при 0
ϕ
<
– вправо относительно начала
координат.
Если начальные фазы двух синусоидальных функций не равны, то говорят, что между
ними существует сдвиг по фазе: 1 2
.
ϕϕϕ
Δ=−
(3.9)
Рис. 3.3. Графическая форма изображения синусоидальной функции.
Рис. 3.4. Определение сдвига фаз.
Рассмотрим весьма важные в электротехнике понятия среднего и действующего значения
синусоидальной функции. Среднее значение определяется за половину периода ее
изменения по формуле:
(
)
2 2
max
0 0
max max
1 1
;
2 2
2
0,637.(3.10)
T T
ср
ср
I idt I sin t dt
T T
I I I
ω
π
==
==
E
max
0
ϕ
T
e
t
ω
<0
i
U
>0
max
i
max
U
0
U
t
ω
Аналогично, max max
max max
2
0,637;(3.11)
2
0,637.(3.12)
cp
cp
E E E
U U U
π
π
==
==
3.2. Формы изображения синусоидальной функции
При расчете сложных электрических цепей переменного тока применяется метод
комплексных амплитуд (комплексный метод). Этот метод основан на изображении
синусоидальной функции вектором на комплексной плоскости.
Вспомним, как изображается комплексное число на комплексной плоскости.
Как известно, комплексное число имеет действительную и мнимую части. По оси абсцисс
будем откладывать действительную часть комплексного числа, по оси ординат – мнимую
часть. Ось действительных значений обозначим через «+1», а ось мнимых значений –
через «+
j
» (
1
j
=−
).
Формула Эйлера связывает показательную и тригонометрическую форму записи
комплексного числа:
j
e cos jsin
α
αα
=+
(3.
13
) Рис. 3.5. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Комплексное число j
e
α
изображается на комплексной плоскости вектором, длина
которого равна модулю комплексного числа (рис.3.5):
2 2
1
j
e cos sin
α
αα
=+=
.
Вектор j
e
α
составляет угол α
с осью «+1». Угол отсчитывается против вращения
часовой стрелки от оси «+1». Из рисунка видно, что проекция вектора j
e
α
на ось «+
j
»
равна sin
α
, а на ось «+1» - cos
α
.
Изобразим теперь на комплексной плоскости комплексное число
.
j
m m m
I e I cos jI sin
α
αα
=+
0
α
j
e
α
cos
α
sin
α
+
j
+1
Вектор j
m
I e
α
отличается от вектора j
e
α
только величиной. Его модуль в m
I
раз
больше.
Полагая, что t
αωψ
=+
, получим
( )
( ) ( ).
j t
m m m
I e I cos t jI sin t
ωψ
ωψωψ
+
=+++
Отсюда видно, что ток ( )
m
i I sin t
ωψ
=+
есть мнимая часть комплексного числа
( )
j t
m
I e
ωψ
+
:
( )
( ) [ ]
j t
m
i t Jm I e
ωφ
+
=
. (3.14)
Таким образом, можно утверждать, что ток ( )
m
i I sin t
ωψ
=+
может быть
представлен мнимой частью комплексного числа ( )
j t
m
I e
ωψ
+
или, что, то же самое,
проекцией вращающегося вектора ( )
j t
m
I e
ωψ
+
на ось «+
j
» (рис. 3.6).
Рис. 3.6. Третья форма изображения комплексного числа.
Вектор ( )
j t
m
I e
ωψ
+
для момента времени t
=0
будет равен j
m m
I e I
ψ
=
g
(3.15)
m
I
g
называют комплексной амплитудой тока. Комплексная амплитуда тока изображает
ток i
на комплексной плоскости в момент времени 0
t
ω
=
. Модуль комплексной
амплитуды тока m
I
g
равен m
I
, а его угол с осью «+1» равен начальной фазе ψ
(рис. 3.7).
Комплексная амплитуда тока обычно записывается в показательной форме
j
m m m
I I e I
ψ
ψ
==
g
. (3.16)
ω
( )
m
i I sin t
ωψ
=+
0
t
αωψ
=+
( )
j t
m
I e
ωψ
+
( )
m
i I cos t
ωψ
=+
+
j
+1
Рис. 3.7. Изображение комплексной амплитуды тока на комплексной плоскости.
Между током и его изображением – комплексной амплитудой тока имеется однозначная
связь:
( ) Im
j t
m
i t I e
ω

=

&
. (3.17)
Для того, чтобы найти выражение для тока комплексная амплитуда тока m
I
g
умножается
на j t
e
ω
(которое принято называть оператором вращения) и от полученного результата
берется мнимая часть.
Векторное представление двух синусоидальных функций облегчает сложение и
вычитание этих функций, если они имеют одинаковую угловую частоту вращения ω
.
Пусть требуется найти сумму
1 2 1 1 2 2
1 2
( ) ( )
Im Im.
m m
j t j t
m m
i i i I sin t I sin t
I e I e
ωω
ωψωψ
=+=+++=
 
=+
 
 
g g
Геометрически это соответствует сумме проекций на ось «+
j
» вращающихся векторов
1
j t
m
I e
ω
&
и 2
j t
m
I e
ω
&
,
где 1
1 1
j
m m
I I e
ψ
=
&
, 2
2 2
j
m m
I I e
ψ
=
&
.
Из курса математики известно, что сумма мнимых частей комплексных функций равна
мнимой части суммы этих функций. Поэтому,
(
)
1 2 1 2
1 2
Im Im Im
Im Im,
j t j t j t j t
m m m m
j t j t
m m m m
i I e I e I e I e
I I e I e I sin t
ωωωω
ωω
ωψ
  
=+=+=
  
  


=+==+




g g g g
g g g
где
1 2
j
m m m m m
I I I I e I
ψ
ψ
=+==
g g g
.
0
ψ
m
I
g
+
j
+1
Из последнего выражения видно, что m
I
и ψ
можно найти путем геометрического
сложения векторов 1
m
I
g
и 2
m
I
g
(рис. 3.8).
Рис. 3.8. К определению модуля и фазы двух токов.
2
m
I
I
=
g
g
, (3.18)
I
g
- комплекс действующего значения тока или комплекс тока, он в 2
меньше
комплекса амплитуды тока
Примеры 3.2.1 1.
Записать выражение комплексной амплитуды тока 8 ( 20 )
i sin t A
ω
=+
o
Решение:
20
8.
j
m
I e A
=
o
g
2. Комплексная амплитуда тока 30
25
j
m
I e A
=
o
g
. Записать выражение для мгновенного
значения тока.
Решение:
Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значению надо умножить m
I
g
на j t
e
ω
и взять мнимую часть полученного выражения:
(
)
30
30
( ) Im 25 Im 25 25 ( 30 )
j t
j j t
i t e e e sin t A
ω
ω
ω
−
−


===−



o
o
o
.
3. Записать комплекс тока для примера 1.
Решение:
20 20
8
5.67
2 2
j j
m
I
I e e A
===
o o
.
Вывод формулы Эйлера
На основании выражения для ряда Маклорена:
1
ψ
2
ψ
ϕ
+
j
m
I
1
m
I
g
2
m
I
g
+1
2
(1) (2) ( )
2 3
( ) (0) (0) (0)...(0)...
1!2!!
1......
1!2!3!!
n
n
n
z
x x x
f x f f f f
n
z z z z
e
n
=+++++
=++++++
Подставив z j
ϕ
=
, получим
2 3 4 5
2 4
3 5
1...;
1!2!3!4!5!
1...,
2!4!
..
,
1!3!5!
.
j
j
e j j j
сos
a
тк
sin
то
e cos jsin
ϕ
ϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕ
ϕϕ
=+−−++−
=−+−
=−+
=+
3.3. Анализ электрических цепей синусоидального тока с одним идеальным
элементом
При анализе цепей постоянного тока вы уже рассматривали такие элементы
электрической цепи как источники ЭДС, тока и резистивные элементы. В цепях
переменного тока используются помимо перечисленных элементов, также индуктивность
и емкость. 3.3.1. Индуктивный элемент
Рассмотрим идеальный индуктивный элемент, т. е. индуктивность, активное
сопротивление которой равно нулю (рис. 3.9). Рис. 3.9. Идеальный индуктивный элемент.
Если рукоятку буравчика вращать по направлению тока в катушке, то движение
буравчика покажет направление магнитного потока Ф
, создаваемого одним витком. Если
число витков катушки равно w
, то
1 2 3
1
......,
w
к w к
k
Ф Ф Ф Ф Ф Ф
=
Ψ=++++++=
где
ψ
- потокосцепление магнитного потока создаваемого всеми витками.
Если с каждым из витков сцеплен одинаковый поток, то w
Ф
Ψ=
. (3.19)
Величина
L
L
i
Ψ
=
(3.20)
называется индуктивностью катушки.
Единицы измерения в системе СИ:
( );( );( );
Вб i A L Гн
Ψ−−−
/2
Ψ
i
i
/2
Ψ
i
i
/2
Ψ
i
i
1 1
Вб
Гн
А
=
.
На основании закона Фарадея – Максвелла изменение потокосцепления вызывает
возникновение электродвижущей силы самоиндукции ℮
L
.
.
L
d
e
dt
Ψ
=−
По закону Ленца эта ЭДС противодействует изменению потокосцепления, что и
учитывается знаком « - ».
Зависимость ψ
от величины i
бывает линейной и нелинейной (рис. 3.10).
Рис. 3.10 Зависимость потокосцепления от тока для нелинейной и линейной
индуктивностей.
Если зависимость (
)
i
Ψ
линейная, то
.
L
di
e L
dt
=−
Величина .
L L
di
u e L
dt
=−=
называется падением напряжения на индуктивности.
Если за время t
1
ток в индуктивном элементе изменился от 0 до 1
I
, то в магнитном поле
элемента будет запасена энергия
1
t
0
м L L
W i u dt
=
= L
i d
ψ
1
ψ
0
.
(3.21)
У нелинейного элемента W
м
пропорциональна площади, заштрихованной на рис. 3.10.
Если элемент имеет линейную характеристику, то
L
L
i
0
ψ
1
ψ
1
I
1 1
2 2
0 0
.
2 2
I
м
LI
W id Lidi
L
ψ
Ψ
=Ψ===
(3.22)
При увеличении тока м
W
увеличивается. Поэтому индуктивный элемент можно
рассматривать как аккумулятор энергии.
Рис. 3.11. Графическое обозначение индуктивного элемента.
3.3.2. Емкостной элемент
Под идеальным емкостным элементом понимают емкость, ток утечки которой равен нулю
(или сопротивление постоянному току равно бесконечности) (рис. 3.12).
Рис. 3.12. Идеальный емкостный элемент (а) и его условное обозначение (б).
Если не учитывать краевой эффект, т.е. считать поле между обкладками конденсатора
однородным, то можно написать:
0
c
S
q
С
U d
ε
==
, (3.23)
где Графическое обозначение индуктивного элемента (рис. 3.11 )
линейный
нелинейный
с сердечником
L
L
L
c
i
C
U
ab
U
ab
d
b
- + q a
b
а)
a
б)
0
ε
- диэлектрическая проницаемость пустоты,
S
- площадь пластин.
Для увеличения емкости пространство между обкладками заполняется каким-либо
диэлектриком. В этом случае:
0
r a
S S
C
d d
εεε
==
,
где
r
ε
- относительная диэлектрическая проницаемость,
a
ε
- абсолютная диэлектрическая проницаемость.
В системе СИ единицей емкости является фарада Ф.:
1 1 1
Кл Ас
Ф
В В
==
.
Изобразим кулон-вольтные характеристики линейных и нелинейных емкостных
элементов (рис. 3.13):
Рис. 3.13. Кулон - вольтные характеристики идеального емкостного элемента.
При изменении напряжения, приложенного к обкладкам конденсатора, изменится
электрический заряд: к пластине, потенциал которой возрастает, поступит положительный
дополнительный заряд, а к пластине, потенциал которой снизится, поступит такой же по
величине отрицательный заряд.
Ток
C
с
du
dq
i C
dt dt
==
. (3.24)
Если за время t
1
напряжение на емкостном элементе изменится от 0 до U
C
1
, то в
электрическом поле элемента будет накоплена энергия
1 1
0 0
t q
э c c c
W i u dt u dq
==
(3.25)
или (в случае, если индуктивность линейна)
u
C
0
q
Q
1
U
C
1
C
C
1
2
2
0
.
2 2
c
u
c
э c c
U
Q
W Cu du C
C
===
(3.26)
Таким образом, емкостной элемент, так же как и индуктивный элемент, можно
рассматривать в качестве аккумулятора энергии.
Графические обозначения емкостного элемента (рис. 3.14).
Рис. 3.14. Графические обозначения емкостного идеального элемента.
3.3.3. Синусоидальный ток в резистивном элементе
Найдем выражение для закона Ома в комплексной форме для идеального резистивного
элемента. Выберем положительные направления тока и напряжения в этом элементе
(рис.
3.15).
Рис. 3.15. Идеальный резистивный элемент.
Если синусоидальное напряжение
( )
r rm u
u U sin t
ωψ
=+
подвести к резистивному элементу r
, то через него пройдет синусоидальный ток
( ) ( ) 2 ( )
rm
r u rm r
U
i sin t I sin t I sin t
r
ιι
ωψωψωψ
=+=+=+
.
Мгновенные, амплитудные и действующие значения напряжения и тока связаны
зависимостями:
;
;
,
r r
rm rm
r r
u i r
U I r
U I r
=
=
=
а их начальные фазы одинаковы: u i
ψψ
=
(рис. 3.16а):
Фазовый сдвиг между напряжением и током (рис. 3.16б)
0
u
ι
ψψψ
Δ=−=
. (3.27) Как было показано ранее
( ) Im
j t
m
i t I e
ω

=


g
, C
C
C
C
r
i
U
r
Где
j t
e
ω
- оператор вращения вектора m
I
g
;
j
m
m
I I e
ψ
=
g
.
а) б)
Рис.3.16. Кривые напряжения и тока в идеальном резистивном элементе (а) и
векторная диаграмма токов и напряжений в нем (б).
Как было показано ранее
( ) Im
j t
m
i t I e
ω

=


g
, где
j t
e
ω
- оператор вращения вектора m
I
g
;
j
m
m
I I e
ψ
=
g
.
Аналогично,
;;
2 2
;;
2 2
.
u u
i i i
u u
j j
j
rm rm
rm r
rm r
j j j
rm rm
r
rm rm r
j j
r
r r r
U U
U U e U e U e
I I
I I e I e I e
U U e I re I r
ψψ
ψ
ψψψ
ψψ
====
====
===
g g
g
g g
g g
&
Отсюда получаем искомое выражение для закона Ома в комплексной форме для
идеального резистивного элемента:
.(3.28)
r
r
U
I
r
=
&
&
Мгновенная мощность, передаваемая в рассматриваемый элемент цепи,
[
]
( ) ( ) 1 (2( ))
r r rm rm r r
p i u U sin t I sin t U I cos t
ωψωψωψ
==++=−+
0
0
u
ι
ψϕ
=
r
r
i
u
ω
t
U
rm
r
i
rm
I
−
2
π
π
+1
u
ι
ψψ
=
r
r
U
I
+j
0
r
I
g
изменяется с частотой 2
ω
и колеблется в пределах от 0 до 2
r r
I U
(рис.3.17).
Рис. 3.17. Мгновенная мощность в идеальном активном элементе.
Среднее значение мощности за период называется активной мощностью. Для данного
случая она равна
2
0 0
1 1
[1 cos 2( )].
T T
r r r
P pdt U I t dt rI
T T
ωψ
==−+=
2
.
r
P rI
=
(3.29) 3.3.4. Синусоидальный ток в индуктивном элементе
Предположим, что ток в индуктивном элементе меняется по закону синуса:
( ).
L Lm i
i I sin t
ωψ
=+
В индуктивном элементе возникает ЭДС:
( ) ( ).
2
L
L Lm i Lm i
di
e L LI cos t LI sin t
dt
π
ωωψωωψ
=−=−+=−++
Положительное направление ЭДС L
e
обозначим стрелкой, совпадающей с
положительным направлением тока (рис.3.18). Рис. 3.18. Идеальный индуктивный элемент.
Найдем разность потенциалов между точками а
и в
. Направление ЭДС совпадает с
направлением возрастания потенциала внутри источника. Поэтому при принятых
обозначениях потенциал точки в
будет на величину L
e
превышать потенциал точки а:
,
b a L
e
ϕϕ
=+
отсюда
;
.(3.30)
ab a b L
L ab L
u e
u u e
ϕϕ
=−=−
==−
Следовательно,
t
ω
T/2
p
P
T
3T/2
L
u
в
а
L
i
L
e
( ) ( )
2
sin( ),
L Lm i Lm i
Lm u
u LI cos t U sin t
U t
π
ωωψωψ
ωψ
=+=++=
=+
где
;;(3.31)
2
;.(3.32)
2 2
Lm Lm u i
Lm Lm
L L L L
U LI
U I
L U LI x I
π
ωψψ
ωω
==+
===
На рис. 3.19а показаны кривые изменения тока и напряжения, а на рис. 3.19б - их
векторные диаграммы.
2
;
.
u u i i
i
j
j j j j
L L L L L
j
L L
U U e LI e LI e e j LI e
I I e
π
ψψψψ
ψ
ωωω
====
=
g
g
Рис. 3.19. Кривые токов, напряжения и активной мощности (а) и векторная диаграмма
токов и напряжений (б) для идеального реактивного элемента (б).
t
ω
i
ϕ
2
π
0
p
L
i
L
u
L
L
i
u
p
2
π
0
i
ψ
L
I
g
L
U
g
+1
j
+
L
E
&
а)
б)
Подставив значение i
j
L
I e
ψ
в выражение для L
U
g
, получим
.
L L L L
U j LI jx I
ω
==
g g g
Отсюда получаем закон Ома для индуктивного элемента в комплексной форме:
.
L L
L
L
U U
I
jx j L
ω
==
& &
&
(3.33)
Здесь L
jx j L
ω
=
- комплексное сопротивление индуктивного элемента;
L
x
−
индуктивное сопротивление переменному току
1
L
j
jb
j L L
ωω
=−=−
- комплексная проводимость индуктивного элемента;
L
b
- проводимость индуктивности переменному току.
Мгновенная мощность
0
( ) ( )
(2( )).
2
1
0.(3.34)
L L Lm i Lm i
Lm Lm
i
T
L L
p u i U cos t I sin t
U I
sin t
P u i dt
T
ωψωψ
ωψ
==++=
=+
==
Когда мощность 0
p
>
происходит накопление энергии магнитного поля в элементе
индуктивности. При 0
p
<
накопленная энергия отдается обратно в источник питания.
Среднее же значение мгновенной мощности т. е. активная мощность, выделяемая в
идеальной индуктивности, равна нулю. 3.3.5. Синусоидальный ток в идеальном емкостном элементе
Если напряжение на емкостном элементе изменяется по закону
( ) ( )
c cm u
u t U sin t
ωψ
=+
, то ( ) ( )
2
( ),
c
c cm u cm u
cm i
du
i C CU cos t I sin t
dt
I sin t
π
ωωψωψ
ωψ
==+=++=
=+
где ;;; (3.35)
2
2 2
cm cm
cm cm i u
I U
I CU C
π
ωψψω
==+=
;
c c c c
I CU bU
ω
==
c
b C
ω
=−
емкостная проводимость
;
(3.36)
1
c
x
C
ω
=−
емкостное сопротивление. (3.37)
На рис. 3.20а показаны кривые токов и напряжений на идеальном емкостном элементе, а
на рис. 3.20б – векторная диаграмма токов и напряжений идеального емкостного элемента.
б)
Рис.3.20. Кривые токов и напряжений (а) и векторная диаграмма токов и напряжений
(б) на идеальном емкостном элементе.
Выражения для комплексов напряжения и тока емкостного элемента имеют вид:
;
u
j
c c
U U e
ψ
=
g
2
;
i u u
u
j
j j j
c c c c
j
c c c c
I I e I e e jI e
j CU e j CU jb U
π
ψψψ
ψ
ωω
====
===
g
g g
1 1
.
c c c c c
U I j I jx I
j C C
ωω
==−=−
g g g g
t
ω
u
ψ
2
π
0
p
c
u
c
i
c
c
i
u
p
2
π
0
u
ψ
c
U
g
c
I
g
+1
j
+
a)
Следовательно, выражение для закона Ома в комплексной форме для идеальной емкости
будет иметь вид:
.(3.38)
1/
c c
c
c
U U
I
jx j C
ω
==
−
& &
&
Здесь 1/
c
x C
ω
=
- сопротивление переменному току емкостного элемента;
c
jb j C
ω
=
- комплексная проводимость емкостного элемента;
c
j
jx
C
ω
−=−
- комплексное сопротивление емкостного элемента.
Мгновенная мощность определится выражением: ( ) ( ) ( ) (2( ));
2
( ) (2( )) (2( )).
2
cm cm
c c cm u cm u u
cm cm
u c c u
U I
p t u i U sin t I cos t sin t
U I
p t sin t U I sin t
ωψωψωψ
ωψωψ
==++=+
=+=+
Среднее же значение активной мощности, выделяемой в идеальном реактивном элементе,
равно нулю:
0
1
0.
T
P pdt
T
==
Так же как в случае индуктивности, происходит колебание энергии между источником и
емкостью, причем активная мощность равна нулю.
3.4. Комплексный метод расчета цепей синусоидального тока
Сущность комплексного метода состоит в том, что для режима синусоидального тока
можно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений и, являющихся
дифференциальными уравнениями, к алгебраическим уравнениям, составленным
относительно комплексов тока и ЭДС.
В уравнениях, составленных по законам Кирхгофа, производят следующие замены:
•
Мгновенное значение тока i
заменяется комплексом тока m
I
&
.
•
Мгновенное значение ЭДС e
заменяется комплексом ЭДС
m
E
g
.
•
Мгновенное значение напряжения на резистивном элементе r
, равное ri
,
заменяют комплексом m
r I
g
.
•
Мгновенное значение напряжения на индуктивном элементе L
, равное di
L
dt
, заменяют комплексом m
j LI
ω
&
.
•
Мгновенное значение напряжения на емкостном элементе C
, равное 1
idt
C
,
заменяют комплексом 1
m
j I
C
ω
−
&
.
Рассмотрим применение этого метода на примере расчета цепи, состоящей из
последовательного соединения активного, индуктивного, емкостного элементов и
источника переменного напряжения e
(
t
). (Любая, сколь угодно сложная электрическая
цепь, состоит из комбинаций ветвей, содержит либо все четыре указанных элемента, либо
некоторые из них.) (рис. 3
.2
1
):
Рис.3.21. Последовательное соединение активного (
R
), индуктивного (
L
), емкостного
(С) элементов и источника переменной ЭДС (
e
).
Пусть заданы параметры ,,
r L C
и ( )
m
e E sin t
ωψ
=+
. Необходимо определить
закон изменения тока i
(
t
).
По второму закону Кирхгофа для мгновенных значений имеем:
r l c
e u u u
=++
,
Где ;
r
u ir
=
L
di
u L
dt
=
, а c
u
найдем из выражения c
du
i C
dt
=
: 1
c
du idt
C
=
, отсюда 1
.
c
u idt
C
=
Подставив ,,
r L C
u u u
в выражение для e
, получаем 1
.
di
e ri L idt
dt C
=++
Из этого выражения видно, что определить ток в цепи можно, решив дифференциальное
уравнение второго порядка. Воспользуемся комплексным методом расчета цепи. Согласно
приведенному правилу необходимо произвести следующие замены:
•
Мгновенный ток i
заменяется комплексом m
I
g
.
•
Мгновенное значение ЭДС e
заменяется комплексом m
E
g
.
•
Мгновенное значение напряжения на резистивном элементе ri
заменяется
комплексом m
r I
g
.
•
Мгновенное значение напряжения на индуктивном элементе di
L
dt
заменяется
комплексом m
j LI
ω
g
.
•
Мгновенное значение напряжения на емкостном элементе 1
idt
C
заменяется
комплексом 1
m
j I
C
ω
−
g
.
e
r
L
C
i
В результате имеем
(
)
1
( )
( ).
m m m m m
L C m p m
j
E r I j LI j I r j L I
C C
r j x x I r jx I
ωω
ωω
=+−=+−=
=+−=+


g g g g
g g
&
Отсюда получаем выражение закона Ома в комплексной форме для участка
электрической цепи: m
m
p
E
I
r jx
=
+
g
g
.
(3.39)
Выражение r jx
+
представляет собой комплекс. Он называется комплексным
сопротивлением и имеет размерность [
]
Ом
.
( ),
j
L C p
Z r j x x r jx Z e Z
ϕ
ϕ
=+−=+==
(3.40)
где
2 2
( );
p
L C
L C
x
x x
Z r x x arctg arctg
r r
ϕ
−
=+−==
. (3.41) Геометрической интерпретацией комплексного сопротивления является треугольник
сопротивлений (рис. 3.22).
Таким образом, получаем m m
E Z I
=
g g
.
Поделив обе части на 2
, получаем E
I
Z
=
g
g
- (3.42)
-закон Ома в комплексной форме для цепи синусоидального тока.
Рис. 3.22. Треугольник сопротивлений.
[
]
( ) ( )
( ) ( )
( );
( ) Im Im Im
Im ( ) ( ) ( );(3.43)
( ) ( ).
j
j j
m m m
m m m
j
j t j j t j t
m m m
m m
m
E E e E
I e I e I
Z Z e Z
i t I e I e e I e
I cos t jsin t I sin t
i t I sin t
ψ
ψϕψϕ
ϕ
ωψϕωωψϕ
ψϕ
ωψϕωψϕωψϕ
ωψϕ
−−
−+−
=====−

 
====
 


=+−++−=+−
=+−
g
g
g
Изобразим ток и напряжение на элементах r
, L
и C
графически и на комплексной
плоскости (рис. 3.23).
ϕ
z
r
x
j
+
Рис. 3.23. Кривые тока и ЭДС и векторная диаграмма R
, L
, C
цепи.
3.5. Законы Кирхгофа для цепи переменного тока
Первый закон Кирхгофа для мгновенных значений токов: 0
i
=
. В комплексной
форме этот закон имеет вид
0
I
=
g
. (3.43)
Пусть мы имеем n
ветвей и в каждой ветви имеется ,,,
k k k k
e r L C
, по которым
протекает ток k
i
. Тогда по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений
напряжений и ЭДС: 1 1
1
( )
n n
k
k k k k k
k k
k
di
r i L i dt e
dt C
==
++=
.
Каждое слагаемое левой части выражения, согласно приведенному выше правилу,
заменяется на k k
I Z
g
, а каждое слагаемое в правой части на k
E
g
. Тогда 1 1
n n
k k k
k k
I Z E
==
=
g g
.
(3.44)
- второй закон Кирхгофа в комплексной форме записи.
3.6. Мощность в цепи переменного тока
Различают три вида мощности: активная, полная и реактивная. Под активной мощностью
понимают среднее значение мгновенной мощности за период Т:
0 0
1 1
T T
P pdt uidt
T T
==
. (3.45)
Если ( ) ( )
m
u t U sin t
ω
=
, то ( ) ( );
m
i t I sin t
ωϕ
=−
+1
ϕ
ψ
i
e
e
i
E
&
IR
&
0
ψϕ
−
ϕ
ψ
I
g
E
g
2
π
+
C
jx I
−
g
L
jx I
g
0
2 2
1
( ) ( );(3.46)
( ).
T
m
P U sin t sin t dt UIcos
T
P UIcos I IZ cos I Zcos I r
ωωϕϕ
ϕϕϕ
=−=
====
Активная мощность представляет собой энергию, которая выделяется в единицу времени
на участке цепи в сопротивлении r
в виде тепла. Активная мощность измеряется в ваттах.
Чем ближе cos
ϕ
к единице, тем большая активная мощность передается приемнику,
поэтому повышение cos
ϕ
представляет собой важную технико-экономическую задачу. Полная мощность есть произведение действующих значений напряжения и тока:
.(3.47)
S UI
=
Она равна максимально возможной активной мощности. Полная мощность измеряется в
BA
. При расчетах электрических цепей и на практике пользуются понятием “реактивная
мощность”: .
Q UIsin
ϕ
=
(3.48) Угол ϕ
отсчитывается от напряжения к току. При 0
ϕ
>
(индуктивный характер
нагрузки) 0
Q
>
. При 0
ϕ
<
(емкостной характер нагрузки) 0
Q
<
. Реактивная мощность
характеризует собой энергию, которой обмениваются между собой генератор и приемник.
Реактивная мощность измеряется в BAP
(вольт-амперы реактивные).
2 2 2
S Q P
=+
. (3.49)
Полученные выражения позволяют построить треугольник мощностей: (рис. 3.24).
Рис. 3.24. Треугольник мощностей.
Пример 3.6.1
.
Рис. 3.25. К примеру 3.6.1.
2 2
;;
x
jarctg
r
E
I z r x e
z
==+
g
g
ϕ
P
Q
S
;.(3.50)
Q Q
arctg sin
P S
ϕϕ
==
I
g
L
r
E
g
:4;0.01;
141 ( );50
Дано r Ом L Гн
e sin t f
Гц
ω
==
==
:( )
Определить i t
2 2 0,75 35
35
35
35 35
35 55
2 2 50 0,01 3;
4 3 5;
141
100;
2
100
20;
5
20 4 80;
3 20 60.
j arctg j
j
j
j j
r
j j
L
x L fL
Ом
Z e e
Ом
E B
E
I e A
Z
e
U Ir e e B
U j LI j e e B
ωππ
ω
−
−−
−
====
=+=
==
===
===
===
o
o
o
o o
o o
g
g
g
g
g
&
&
По полученным данным на рис.3.26 построена векторная диаграмма тока и напряжений.
Рис. 3.26. Векторная диаграмма к примеру 3.6.1.
Пример 3.6.2
.
Рассчитаем заданную цепь, воспользовавшись методом контурных токов.
Выберем направления контурных токов и запишем уравнения для контурных токов.
1
+
j
+
I
g
r
U
g
E
g
35
o
0
1
90
2
:100;
100;
1
2;
5;
5.
j
c
L
Дано E B
E e B
x
Ом
C
x L
Ом
r
Ом
ω
ω
=
=
==
==
=
o
g
g
22
I
g
r
11
I
g
1
E
g
2
E
g
L
C
Рис. 3.27. К примеру 3.6.2.
11 11 22 12 11
11 21 22 22 22
;
.
I z I z E
I z I z E
−=
−+=
g g g
g g g
Здесь:
11
1
5 2;
z j r j
C
ω
=−+=−
22
5 5;
z r j L j
ω
=+=+
12 21
5;
z z r
Ом
===
11 1
100;
E E B
==
g g
22 2
100;
E E jB
=−=−
g g
1 2
11 22
;.
I I
ΔΔ
==
ΔΔ
& &
Ток в сопротивлении r
равен
11 22
;
I I
−
& &
(
)
(
)
'
56 20 2
5 2 5
10 15 18;
5 5 5
j
j
j e
Ом
j
−−
Δ==+=
−+
o
(
)
2
1
100 5
500;
100 5 5
Ом
j j
−
Δ==
−+
(
)
'
'
'
59 2
2
56 20
11
115 20
22
11 43
11 22
5 2 100
300 500 582;
5 100
27.8;
32.3;
30.
j
j
j
j
j
j e
Ом
j
I e A
I e A
I I e A
−
−
−
−
Δ==−=
−−
=
=
−=
o
o
o
o
g
g
g g
3.7. Резонансные явления в электрических цепях переменного тока
Под резонансным режимом работы двухполюсника, содержащего одну или несколько
индуктивностей и одну или несколько емкостей, понимают такой режим, при котором
входное сопротивление двухполюсника является чисто активным. Различают два вида
резонансного режима: резонанс напряжений и резонанс токов.
3.7.1. Резонанс напряжений
Рассмотрим электрическую цепь рис. 3.28.
Рис. 3.28. К резонансу напряжений.
Закон Ома в комплексной форме:
.
E
I
Z
=
g
g
Резонанс напряжений в этой цепи возникает в том случае, если входное
сопротивление двухполюсника (относительно зажимов а и в) Z
будет чисто активным.
При этом ЭДС E
g
будет совпадать по фазе с током.
1
( )
Z r jx r j L
C
ω
ω
=+=+−
.
Условие резонанса в схеме:
0
0
1
.
L
C
ω
ω
=
Отсюда
0
1
.
LC
ω
=
(3.51)
При этом
0
0
;
L C
L
E
I U U LI E
r r
ω
ω
====
g
g
. (3.52) Отношение 0
L
L
C
Q
r r
ω
==
(3.53)
называют добротностью резонансного контура. Добротность показывает во сколько раз
напряжение на индуктивности (или на емкости) превышает напряжение на входе схемы.
Величина Q
может равняться 200 и выше. При высоких значениях Q
может произойти
пробой изоляции.
Изобразим графически ,,
L C
i u u
(рис. 3.29а) и построим векторную диаграмму
(рис.3.29б).
а
в
С
I
g
L
r
E
g
а) б)
Рис. 3.29. Кривые изменения тока, напряжений на индуктивности и емкости (а) и
векторная диаграмма тока и напряжений (б) при резонансе напряжений.
3.7.2. Резонанс токов
Резонанс токов возникает в схеме, образованной двумя параллельными ветвями (рис. 3.30):
Рис. 3.30. К резонансу токов.
Закон Ома в комплексной форме
U
I
или I YU
Z
==
g
g g g
, (
3
.5
4
) где
1
Y
Z
=
(3.
5
5) называется комплексом проводимости
2 2 2 2 2 2
1 1
;
j
r jx r x
Y j g jb ye
Z r jx r x r x r x
ϕ
−
−
====−=−=
++++
,
j
Y g jb ye
ϕ
−
=−=
(3.56)
где
2 2
2 2 2 2
;;;.(3.57)
r x b
g b y g b arctg
r x r x g
ϕ
===+=
++
I
g
E
g
I r
g
L
U
g
C
U
g
+1
j
+
L
u
C
u
i
e
t
ω
L
C
i
u
u
0
C
L
2
I
g
2
r
1
r
1
I
g
I
g
в
a
Геометрическая интерпретация треугольников проводимостей (рис. 3.31)
Рис. 3.31. Треугольник проводимостей.
Таким образом, при использовании комплексной проводимости закон Ома в комплексной
форме будет иметь вид:
( ),
a r
I UY U g jb U g jUb I I
==−=−=+
g g g g g g g
где
a
I
g
- активная составляющая тока;
r
I
&
- реактивная составляющая тока.
Ток в ветвях схемы:
1 1 1 1
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
( );
( );
;
( ) ( ).
ab
I UY U g jb
I UY U g jb
U U
I I I U g g jU b b
==−
==+
=
=+=+−−
g g g
g g g
g g
g g g g g
Ток I
&
будет совпадать по фазе с напряжением U
&
, если
1 2
0,
b b
−=
(3.58)
где
1 2
2 2 2
2
1
2
2 2
1
;.
1
L
C
b b
r L
r
C
ω
ω
ω
ω
==
+
+
Следовательно, условие резонанса токов запишется в виде:
2 2 2
2
1
2
2 2
1
;
1
L
C
r L
r
C
ω
ω
ω
ω
=
+
+
(3.59)
;
;
.
g ycos
b ysin
b
arctg
g
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
=
b
g
y
ϕ
1
0
1 1 1 1
( )
j
j
ab ab ab
I U Y U g jb yU e e
ϕ
−
==−=
o
g g g g
, где
1 1 1
1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
;;.
r r b
x L
g b arctg
r x r L r x r L g
ω
ϕ
ωω
=====
++++
2
0
2 2 2 2
( )
j
j
ab ab ab
I U Y U g jb yU e e
ϕ
+
==+=
o
g
& & &
, где
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2
1
;;.
1 1
r r b
x
C
g b arctg
r x r x g
r r
C C
ω
ϕ
ωω
====−=
++
++
1 2
.
I I I
=+
g g g
Когда 1
r L
ω
<<
и 2
0
r
=
резонанс наступит при 2
1
LC
ω
.
Ток I
g
по величине может быть значительно меньше токов 1
I
g
и 2
I
g
. При 2
0
r
=
и
1
0
r
ток I
может оказаться ничтожно малым по сравнению с токами 1
I
g
и 2
I
g
. В
идеализированном случае 1 2
0
r r
==
ток 0
I
=
и входное сопротивление равно
бесконечности, а проводимость равна 0.
Векторная диаграмма для резонанса токов изображена на рис. 3.32.
Рис. 3.32. Векторная диаграмма резонанса токов.
Глава 4. Магнитно связанные цепи
4.1. Индуктивно связанные электрические цепи
Рассмотрим магнитные поля двух катушек, намотанных на кольца большого диаметра.
Пусть плоскости каркасов катушек установлены параллельно друг другу.
Если по первой катушке протекает ток 1
i
,
то часть, потока Ф
11, создаваемого этим током,
равная Ф
21
будет пронизывать витки второй катушки, создавая потокосцепление w
2
Ф
21
(рис. 4.1).
1
I
g
1
+
2
I
g
I
g
ab
U
g
+
j
Рис. 4.1. К понятию взаимной индуктивности.
Отношение потокосцепления 2
w
Ф
21
к вызвавшему его току 1
i
, называется взаимной
индукцией.
2 21
21
1
.
w
Ф
M
i
=
(4.1)
Аналогично, если по второй катушке протекает ток i
2
(первая катушка обесточена), имеем
1 12
12
2
.
w
Ф
M
i
=
(4.2)
Выразим магнитные потоки через МДС и магнитные сопротивления:
1 12 1 2 2 1 2
12
2 2
;
w
Ф wi w ww
M
i i R R
µµ
===
(4.3)
2 21 1 1 2 1 2
21
1 1
;
w
Ф wi w ww
M
i i R R
µµ
===
(4.4)
.
l
R
S
µ
µ
=
Следовательно, для линейных электрических цепей всегда выполняется равенство:
12 21
M M M
==
(4.5)
Взаимная индукция пропорциональна произведению чисел витков катушек, магнитной
проницаемости среды и зависит от взаимного расположения катушек.
Рассмотрим две индуктивно связанные катушки (рис 4.2):
а) б)
Рис. 4.2. Согласное направление токов в индуктивно связанных катушках ((а) и (б)). Ф
21
Ф
11
Ф
Ф
I
2
2
1
I
1
I
2
I
1
Положительно направленные токи в двух катушках считаются согласными, если
создаваемые ими потоки самоиндукции и взаимоиндукции складываются (рис.4.2а и б).
Зажимы двух индуктивно связанных катушек считаются одноименными, если магнитные
потоки самоиндукции и взаимной индукции, возникшие от входящих (выходящих) в эти
зажимы токов складываются.
Аналогично явлению самоиндукции, при взаимной индукции:
2 1
1 2
;
M M
di di
e M e M
dt dt
=−=−
. (4.6)
Предположим что 1
0
di
dt
>
, тогда
1
2
0
M
di
e M
dt
=−<
(4.7)
Следовательно, в этом случае потенциал вывода второй обмотки одноименный с выводом
первой обмотки, в которую втекает ток, будет выше, чем потенциал ее второго вывода.
На этом основано опытное определение одноименных зажимов двух индуктивно
связанных катушек (рис. 4.3).
Одна из катушек подключается к источнику постоянного напряжения через ключ. Вторая
подключается к вольтметру постоянного тока. Если стрелка вольтметра при замыкании Рис. 4.3. Опытное определение одноименных зажимов индуктивно связанных катушек.
ключа отклонилась в положительном направлении, то зажим второй катушки, подключенный к ”+ ” вольтметра будет одноименный по отношению к зажиму первой
катушки, подключенному к “+” источника питания.
Существуют два вида включения индуктивно связанных катушек: согласное и встречное.
Согласное включение (рис. 4.4):
Рис. 4.4. Согласное включение индуктивно связанных катушек.
2 1
1 2
;
di di
e M e M
dt dt
=−=−
.
Встречное включение (рис. 4.5):
Рис. 4.5. Встречное включение индуктивно связанных катушек.
+
+
V
R
2
R
1
L
2
L
1
M
I
2
R
2
R
1
L
2
L
1
M
2 1
1 2
;.
di di
e M e M
dt dt
==
(4.8)
Наличие взаимной индукции при согласном включении катушек увеличивает
индуктивность цепи:
1 2 2 1
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
( ) ( 2 ).
сог
di di di di
di
U Ri L M R i L M R R i L L M
dt dt dt dt dt
=+++++=++++
(4.9)
При встречном включении индуктивно связанных катушек наличие индуктивной связи
уменьшает индуктивность цепи.
1 2 2 1
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
( ) ( 2 ).
вст
di di di di
di
U Ri L M R i L M R R L L M
dt dt dt dt dt
=+−++−=+++−
(4.10)
Комплексные выражения для напряжения питания при согласном и встречном включении
индуктивно связанных катушек:
1 2 1 2
[( ) ( 2 )];
сог
U R R j L L M I
ω
=++++
& &
(4.11)
1 2 1 2
[( ) ( 2 )].
вст
U R R j L L M I
ω
=+++−
& &
(4.12)
Полагая
1 2 1 2
[( ) ( 2 )];
сог
Z R R j L L M
ω
=++++
(4.13) 1 2 1 2
[( ) ( 2 )],
вст
Z R R j L L M
ω
=+++−
(4.14)
найдем
.
4
сог вст
Z Z
M
j
ω
−
=
(4.15)
4.2. Трансформатор без ферромагнитного сердечника
Трансформатор представляет собой аппарат, передающий электрическую энергию из
одной цепи в другую посредством электромагнитной индукции. Он имеет, по меньшей
мере, две индуктивно связанные обмотки (рис. 4.6).
Рис. 4.6. Трансформатор без ферромагнитного сердечника.
Обозначим
1 1 2 22 2 22
;;.
H H
L x R R R L x x
ωω
=+=+=
На основании второго закона Кирхгофа имеем:
1 1 1 1 2 1
22 2 22 2 1
;
0.
R I jx I j MI U
R I jx I j MI
ω
ω
++=
++=
& & & &
& & &
2
L
2
L
1
Z
H
R
2
R
1
M
1
По полученной системе уравнений на рис. 4.7 построена векторная диаграмма для
трансформатора без ферромагнитного сердечника.
Рис. 4.7. Векторная диаграмма трансформатора без ферромагнитного сердечника.
После несложных преобразований находим выражение для тока 1
:
I
2 22 22 1
( );
I R jx j MI
ω
+=−
& &
2 2
2 1
22 22
;
M
j MI I
R jx
ω
ω
=
+
& &
2 2
1 1 1 1
22 22
( );
M
I R jx U
R jx
ω
++=
+
& &
1
1
2 2
1 22 1 22 1 22
22 22
U
I
R R jx R x x M
R jx
ω
==
+−+
+
&
&
1
2 2 2 2 2 2 2 2
1 22 22 1 1 22 22 1 22 22 22 1 22 22 22 1 22 1 22 1 22 22
2 2
22 22
U
R R jR x jR R x x x R M R jR R x R x x R x jx x j M x
R x
ωω
==
++−+−+++−
+
&
1
2 2 2 2
1 22 1 22
2 2 2 2
22 22 22 22
.
( ) ( )
U
M M
R R j x x
R x R x
ωω
=
++−
++
&
(4.16)
Со стороны первичной обмотки вся схема может рассматриваться как двухполюсник с
сопротивлениями R
1
+
R
вн
и x
1
+
x
вн
, где 2 2 2 2
22 22
2 2 2 2
22 22 22 22
; и x.
вн вн
M M
R R x
R x R x
ωω
==−
++
1
j MI
ω
&
2
j MI
ω
&
2
н
jx I
&
1 1
jx I
&
вн
R
и
вн
x
называются вносимыми активным и реактивным сопротивлениями.
Когда вторичная цепь разомкнута: R
22
=
;
R
вн
=0
;
0
вн
x
=
и 1
1
1 1
.
U
I
R jx
=
+
&
&
Выделяемая в нем энергия соответствует той энергии, которая передается из первичной
цепи во вторичную цепь.
Глава 5. Трехфазные цепи 5.1. Трехфазные электрические цепи синусоидального тока
Совокупность трех синусоидальных ЭДС одинаковой частоты, амплитуды и сдвинутых по
фазе на 120 градусов представляют собой трехфазную систему ЭДС (рис. 5.1).
Рис. 5.1. Трехфазная система ЭДС (а), ее векторная диаграмма (б) и получение
кругового вращающегося магнитного поля при помощи трех, пространственно сдвинутых
катушек (в).
Преимущества трехфазных систем:
1)
передача энергии трехфазным током на большие расстояния в
экономическом отношении наиболее выгодна;
2)
элементы трехфазной системы – трехфазный асинхронный двигатель и
трехфазный трансформатор просты в изготовлении и надежны в работе;
ω
120
o
120
o
120
o
A
E
g
B
E
g
C
E
g
t
ω
c
e
b
e
a
e
c
e
b
e
a
e
e
0
B
а)
б)
в)
3)
при симметричной нагрузке величина мгновенной мощности
постоянна и не изменяется во времени. Поэтому создаются благоприятные
условия для генератора.
Совокупность трехфазной системы ЭДС, трехфазной нагрузки и соединительных проводов
называют трехфазной цепью. Участок трехфазной цепи, по которой протекает одинаковый
ток называется фазой. Для экономии проводов обмотки трехфазного генератора и
трехфазную нагрузку соединяют звездой или треугольником. Различают пять схем
соединений:
1) звезда – звезда (рис. 5.2а);
2) звезда – звезда с нейтралью (рис. 5.2б);
3) звезда – треугольник (рис. 5.2в);
4)треугольник – звезда (рис. 5.2г);
5) треугольник – треугольник (рис. 5.2д).
Рис. 5.2. Схемы соединений трехфазной цепи: звезда – звезда (а), звезда – звезда с
нейтралью (б), звезда – треугольник (в), треугольник – звезда (г), треугольник –
треугольник (д).
Каждую из обмоток генератора называют фазой генератора, а каждая из трех нагрузок
называют фазой нагрузки. Напряжение между линейными проводами называют линейным
напряжением.
Условные обозначения звездой и треугольником показаны на рис. 5.3а и в, а на рис.5.3б и
рис.5.3г – векторные диаграммы этих соединений.
B
I
g
C
I
g
A
I
g
B
z
c
z
C
B
A
'
O
O
а)
N
I
g
B
I
g
C
I
g
A
I
g
A
z
B
z
c
z
C
B
A
'
O
O
б)
C
I
&
CA
I
g
AB
I
g
BC
I
g
B
I
g
A
I
g
AB
z
BC
z
CA
z
C
B
A
в)
B
I
g
C
I
g
A
I
g
A
z
B
z
c
z
C
B
A
г
)
CA
I
g
AB
I
g
BC
I
g
B
I
g
C
I
g
A
I
g
AB
z
BC
z
CA
z
C
B
A
д
)
Геометрическая сумма ЭДС в замкнутом треугольнике равна 0. Поэтому, если к зажимам
А, В и С не подключена нагрузка, то по обмоткам генератора ток протекать не будет:
( ) ( 120 ) ( 120 )
( ( ) ( ) 120 ( ) 120
( ) 120 ( ) 120 )
( )(1 2 120 ) 0.
Asin t Asin t Asin t
A sin t sin t cos cos t sin
sin t cos cos t sin
Asin t cos
ωωω
ωωω
ωω
ω
+++−=
=+++
+−=
=+=
o o
o o
o o
o
Рис. 5.3. Условное обозначение соединения обмоток трехфазного генератора звездой
(а), векторная диаграмма ЭДС при соединении звездой (б), условное обозначение
соединения обмоток трехфазного генератора треугольником (в), векторная диаграмма ЭДС
при соединении треугольником (г).
При соединении обмоток генератора в звезду линейное напряжение по модулю в 3
раз
больше фазного (рис. 5.4).
Рис. 5.4. К определению соотношений фазного и линейного напряжений.
При соединении генератора в треугольник линейное напряжение равно фазному
напряжению генератора: л ф
U U
=
При соединении нагрузки в звезду: л ф
I I
=
При соединении нагрузки в треугольник:
C
E
g
C
A
E
g
B
E
g
C
E
g
B
E
g
C
E
g
C
E
g
B
E
g
A
E
g
B
A
C
B
E
g
A
E
g
A
а)
б)
в)
г)
3
L
ф
U U
=
ф
U
ф
U
30
o
30
o
3 (5.1)
(5.2)
л ф
л ф
U U
I I
=
=
(5.3)
A AB CA
B BC AB
C CA BC
I I I
I I I
I I I

=−
=−
�
=−
g g g
g g g
g g g
В трехфазной цепи возможны два режима: симметричный и несимметричный. При
симметричном режиме модули и фазы комплексных сопротивлений нагрузки равны, в
противном случае имеет место несимметричный режим.
5.2. Расчет трехфазной цепи с заданными фазными напряжениями
Рассмотрим цепь звезда-звезда с нулевым проводом (рис.5.5). Сопротивление
нулевого провода близко к нулю, поэтому потенциал точки O
равен потенциалу точки '
O
.
При этом образуются три обособленных контура. Токи в них:
;;.
C
A B
A B C
A B C
E
E E
I I I
Z Z Z
===
g
g g
g g g
(5.4)
По первому закону Кирхгофа ток в нулевом проводе:
N A B C
I I I I
=++
g g g g
Если A B C
Z Z Z
==
, то 0
N
I
=
g
и нулевой провод не нужен.
При несимметричном режиме работы трехфазная цепь рассматривается как разветвленная
цепь с тремя источниками питания (рис. 5.5):
Рис. 5.5. К расчету трехфазной цепи.
По закону Ома:
N
I
g
C
U
g
B
U
g
A
U
g
'
O
A
'
AO
U
g
A
I
g
A
Z
B
'
BO
U
g
B
I
g
C
'
CO
U
g
C
I
g
C
Z
O
N
Z
N
U
g
'
'
'
'
'
'
;;;
0;
0;
0
;
;
.
A A B B C C
A N
AO
B N
BO
C N
CO
A N
AO
B N
BO
C N
CO
U E U E U E
U U U
U U U
U U U
или
U U U
U U U
U U U
===
−++=
−++=
−++=
=−
=−
=−
g g g g g g
g g g
g g g
g g g
g g g
g g g
g g g
'
'
'
( );
( );
(5.5)
( );
.
AO
A A N A
A
BO
B B N B
B
CO
C C N C
C
N
N N N
N
U
I U U Y
Z
U
I U U Y
Z
U
I U U Y
Z
U
I U Y
z

==−
==−
�
==−
==
g
g g g
g
g g g
g
g g g
g
g g
По первому закону Кирхгофа для узла '
O
:
0
( ) ( ) ( )
A B C N
N A B C
N N A N A B N B C N C
I I I I
I I I I
U Y U U Y U U Y U U Y
++−=
=++
=−+−+−
g g g g
g g g g
g g g g g g g g
отсюда
A A B B C C
N
A B C N
U Y U Y U Y
U
Y Y Y Y
++
=
+++
g g g
g
. (5.6)
Если нейтрального провода нет, то 0
N
Y
=
. При 0
N
Z
=
или N
Y
=
имеем
0
N
U
=
g
и напряжения на фазах нагрузки равны фазным ЭДС.
Пример 5.2.1 Рассмотрим случай (рис. 5.6), когда 1
r L
C
ω
ω
==
При несимметричном режиме и отсутствии нейтрального провода напряжения на фазах
нагрузки не равны. Поэтому осветительную нагрузку необходимо включать либо по схеме
звезды с нейтральным проводом, либо по схеме треугольника. В последнем случае токи в
фазах определятся выражениями:
;;;
(5.7)
;;.
BC BC CA
AB BC CA
AB BC CA
A AB CA B BC AB C CA BC
U U U
I I I
Z Z Z
I I I I I I I I I

/===
�
=−=−=−
g g g
& & &
& & &
& & & & & &
Рис. 5.6. Несимметричный (по фазе) режим работы трехфазной цепи: схема (а) и
векторная диаграмма (б).
5.3. Мощность в трехфазной цепи
Активная мощность трехфазной системы:
A B C N
P P P P P
=+++
. (5.8)
Реактивная мощность:
A B C N
Q Q Q Q Q
=+++
. (5.9) Полная мощность:
2 2
S P Q
=+
. (5.10)
Если нагрузка симметрична, то 0
N N
P Q
==
и
;
;
3 3;(5.11)
3 3;
3 3.
A B C
ф ф
A B C
ф ф
ф ф л л
ф ф л л
ф ф л л
P P P U I cos
Q Q Q U I sin
P U I cos U I cos
Q U I sin U I sin
S U I U I
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ

===
===
==
�
==
==
Активной мощность, выделяемую в трехфазной цепи, можно измерить, воспользовавшись
3 ваттметрами (рис. 5.7а) либо 2 ваттметрами (рис. 5.7б).
Обосновать второй способ измерения активной мощности можно, если воспользоваться
следующими выражениями:
( ) ( )
AC BC
A B
AO CO BO CO
A B
P U I U I
U U I U U I
=+=
=−+−=
N
I
g
C
I
g
B
I
g
A
I
g
C
L
N
I
g
B
I
g
C
I
g
A
I
g
r
C
B
A
'
O
O
A
E
g
B
E
g
C
E
g
а)
б)
( )
;
AO BO CO
A B A B
AO BO CO
A B C
U I U I U I I
U I U I U I
=+−+=
=++
.(5.12)
AO BO CO
A B C
P U I U I U I
=++
Рис. 5.7. Измерение активной мощности, выделяемой в трехфазной цепи, с помощью
3 ваттметров (а) и 2 ваттметров (б).
*
*
*
*
*
*
N
I
g
B
I
g
C
I
g
A
I
g
A
z
B
z
c
z
C
B
A
'
O
O
а)
*
*
*
*
B
I
g
C
I
g
A
I
g
A
z
B
z
c
z
C
B
A
'
O
O
б)
5.4. Расчет несимметричной трехфазной цепи с заданными линейными
напряжениями
Обычно при отсутствии нейтрального провода задаются не фазные, а линейные
напряжения. Рассмотрим расчет токов в этом случае (рис. 5.8).
Рис. 5.8. К расчету трехфазной цепи при заданных линейных напряжениях.
Очевидно, что
;;
A A A B B B C C C
I Y U I Y U I Y U
===
g g g g
& &
,
где
,,
A B C
Y Y Y
−
проводимости фаз A
,
B
и С нагрузки.
Согласно первому закону Кирхгофа:
0
A A B B C C
Y U Y U Y U
++=
g g
&
.
На основании второго закона Кирхгофа:
;
B A AB C A CA
U U U U U U
=−=+
g g g g g g
.
Подставив B
U
g
и C
U
g
в предшествующее выражение, получим:
0
A A B A B AB C A C CA
Y U Y U Y U Y U Y U
+−++=
g g g g
&
, отсюда
B AB C CA
A
A B C
Y U Y U
U
Y Y Y
−
=
++
g
& &
. (5.13)
Круговой заменой индексов (с порядком следования АВСА) получаем:
;.
C BC A AB A CA B BC
B C
A B C A B C
Y U Y U Y U Y U
U U
Y Y Y Y Y Y
−−
==
++++
g g
& & & &
(5.14)
CA
U
&
BC
U
&
AB
U
&
A
A
U
&
A
I
g
A
Z
B
B
U
&
B
I
g
B
Z
C
C
U
&
C
I
g
C
Z
Определив фазные напряжения, находим фазные токи. В случае симметричной нагрузки
A B C
Y Y Y
==
вектор фазного напряжения равен одной трети диагонали параллелограмма,
построенного на соответствующих линейных напряжениях (рис. 5.9).
Рис.5.9. К определению вектора фазного напряжения A
U
. Построение сделано для фазы A
по формуле: 1 1
( ) ( )
3 3
A AB CA BA CA
U U U U U
=−=−+
g
& & & &
. (5.15)
В качестве примера рассмотрим схему фазоуказателя (рис. 5.10), используемую для
определения чередования фаз во времени, состоящую из конденсатора и двух одинаковых
электрических ламп, соединенных звездой:
Рис. 5.10. Схема фазоуказателя.
Сопротивления в фазах нагрузки:
;
A C B C
л
Z jx Z Z R
=−==
, причем л C
R x
=
. (5.16)
Неравенство напряжений на лампах проявится в том, что накал ламп будет разным.
Отношение напряжений согласно приведенным выше формулам равно при симметрии
линейных напряжений:
120
120
120 120
1
;;;
1
;
1
C BC A AB
B
C B A
A CA B BC C
C
j
j
BC BC
B
j
BC BC
C
Y U Y U
U
Y Y Y Y jY
Y U Y U jx
U
YU jYU e
U
je
jYe U YU je
U
−−
−
====−=
−
−
−
==
−−
o
o
o o
g
g
g
g
& &
& &
& &
& &
210
30
1 1 210 sin210 1 0.866 0.5 1.93
3.73
30 30 1 0.866 1 0.5 0.518
1
j
B
j
C
U
e cos j j
U cos jsin j
e
−
−−−++
=====
−−−−
−
o
o
o o
o o
CA
U
g
BA
U
g
A
U
g
C
U
g
B
U
g
C
x
Тускло
Ярко
C
A
B
5.5. Расчет несимметричной трехфазной цепи с нагрузкой, соединенной
треугольником и заданными линейными напряжениями
Если на зажимах несимметричной трехфазной нагрузки, соединенной треугольником,
заданы фазные напряжения A
U
g
, B
U
g
и C
U
g
источника, соединенного в звезду, то линейные
напряжения на зажимах нагрузки находятся как разности соответствующих фазных
напряжений, в результате чего задача сводится к рассмотренному выше случаю (
рис. 5.11
)
.
Рис. 5.11. Несимметричная трехфазная нагрузка, соединенная треугольником.
A
I
g
B
I
g
C
I
g
BC
Z
AB
Z
AB
I
g
BC
I
g
CA
I
g
A
C
B
BC
U
g
AB
U
g
CA
U
g
CA
Z
;;;
;
;
.
BC CA
AB
AB BC CA
AB BC CA
A AB CA
B BC AB
C CA BC
U U
U
I I I
Z Z Z
I I I
I I I
I I I
===
=−
=−
=−
g g
g
g g g
g g g
g g g
g g g
A
z
Автор
admin
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
390
Размер файла
3 410 Кб
Теги
lectures_1
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа