close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

код для вставкиСкачать
Конспект урока по алгебре в 9-м классе по теме. Автор: Зейналова Наталья Сэмэдовна, учитель математики МБОУ "Ш-ИС(П)ОО п. Провидения"
Конспект урока по алгебре в 9-м классе по теме "Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии"
Цели урока: * образовательные - познакомить учащихся с выводом формул суммы n первых членов арифметической прогрессии; учить учащихся применять полученные формулы при решении задач.
* развивающие - развивать мыслительную деятельность учащихся, самостоятельность при решении заданий по теме; развивать умения сравнивать, сопоставлять, обобщать, выявлять закономерности.
* воспитательные - прививать учащимся интерес к предмету посредствам применения информационных технологий, решения практических задач; показ тесной связи математики с физикой, расширение кругозора обучающихся.
Оборудование: презентационные слайды, компьютер, проектор, экран.
Ход урока
I. Организационный момент II. Актуализация знаний учащихся
Фронтальный опрос:
1. Какая последовательность называется арифметической прогрессией?
2. Как найти разность арифметической прогрессии? Запишите формулу.
3. Запишите формулу n члена арифметической прогрессии.
Устный счёт: (слайды 1-8)
1) Найти 2-й и 5-й члены числовой последовательности заданной формулой Ответ: 20; 25.
2) Найти 4-й и 7-й члены числовой последовательности заданной формулой Ответ: ; 3) Чему равна разность арифметической прогрессии: 1; 4; 7; ... Ответ: 3 4) Чему равна разность арифметической прогрессии: 3; 0; -3; -6; ... Ответ: -3
5) Найдите пятый член арифметической прогрессии: 3; 7; 11; ... Ответ: 19 6) Найдите шестой член арифметической прогрессии; если Ответ: 20 7) Найти 10-й член арифметической прогрессии если Ответ: 46
8) Найти 5-й член арифметической прогрессии если Ответ: 21 III. Изучение нового материала
Задача. (слайд 9) Владелец земельного участка решил выстроить фигурную стену для защиты от ветра. Он поставил перед рабочими задачу: в нижний ряд уложить 19 блоков, на него - 17 блоков, затем - 15 и так далее. Всего сделать 8 рядов. Сколько блоков понадобится для строительства стены? Выпишем числа, соответствующие количеству блоков каждого ряда:
19, 17, 15, 13, 11, 9, 7, 5 . Получили последовательность чисел. Охарактеризуйте её.
Ответ: Эта последовательность является примером конечной убывающей арифметической прогрессии, первый член которой а1 = 19, а разность d = - 2. Требуется найти сумму 8 членов этой прогрессии.
Прораб Петров заметил, что стена напоминает геометрическую фигуру - трапецию. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. А у нас нижнее основание а1=19, верхнее а8=5, высота 8 рядов, то есть S = (19 + 5) : 2 · 8 = 96 блоков. Получили формулу Sn=.
Мы получили формулу для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии, используя геометричекую модель задачи. Теперь выведем эту формулу алгебраическим путем. Для лучшего понимания способа выведения формулы, обратимся к истории математики. (слайд 10)
Рассказывают, что, когда, великий немецкий математик Карл Гаусс учился в начальной школе, преподаватель предложил ученикам самостоятельно найти сумму ряда от 1 до 100. Он предполагал, что ученики будут складывать эти числа по порядку, на что потребуется не менее 10 минут. Какого же было его удивление, когда маленький Карл через 1-2 минуты заявил, что он задание выполнил и дал правильный ответ. Не могли бы вы ответить на вопрос столь же быстро? Обсудите решение задачи в парах (группах). Рассматриваются варианты решения (слайды 11, 12). Воспользуемся вторым способом для вывода формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии. Пусть сумма первых n членов арифметической прогрессии равна , тогда, складывая эти равенства почленно, получим:
Отсюда имеем формулу:
Теорема
Сумма n первых членов арифметической прогрессии равна полусумме крайних членов, умноженной на число членов. . Если учесть, что аn = а1 + d(n - 1), то получим Sn= .
Пример 1. Естественный прирост поголовья оленей в оленеводческих бригадах Провиденского района в 2005 году составил 214 голов, а в 2009 году - 890 голов. Каков естественный прирост поголовья оленей за эти пять лет, если поголовье росло в арифметической прогрессии? (слайд 14)
ГодПрирост поголовья оленей20052142006383200755220087212009890Решение: а1=214, а5=890, n = 5, то есть S = (214 + 890) : 2 · 5 = 2760 голов. Пример 2. Тело свободно падает с Останкинской телевизионной башни в Москве. За первую секунду оно пролетело 4,9 м. За каждую следующую - на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Тело коснулось земли через 10 секунд. С какой высоты упало тело?
Решение: Почему тело во время падения за каждую последующую секунду проходит путь больше, чем за предыдущую? Как называют такое движение? Почему за каждую секунду скорость тела увеличивается именно на 9, 8 м/с? а1 = 4,9; d = 9,8 ; Sn = . S10 = (2 · 4,9 + 9,8 · 9) : 2 · 10 = 490 м. Высота останкинской телебашни 539 метров: железобетонная часть 384 м и металлическая часть 155м. IV. Закрепление изученного материала.
1. Работа с учебником. Решить из учебника №№ 369(а), 370, 372. Задания а) решаются на доске, б) самостоятельно (один ученик с обратной стороны доски), затем проверяются. 2. Некоторым ученикам выдаются дидактические карточки с задачей:
1) Найдите сумму первых 35 членов арифметической прогрессии, если её шестой член равен 31, десятый 55.
Дано: Решение:(аn) - арифметическая прогрессия,
а6 = 31, а10 = 55,
S15 = ?Ответ: 3605 2) Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 5 и не превосходящих 300.
Решение: Дано: Решение:(аn ) - арифметическая прогрессия, а1 = 5,
аn = 300.
Sn = ? аn = а1 + d(n - 1), 300 = 5 + 5(n - 1),
5n = 300, n = 60.
Sn = (5 + 300) : 2 · 60 = 9150
Ответ: 9150 V. Итог урока 1. Повторить формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.
2. Выяснить, в заданиях какого вида лучше использовать каждую из них. 3. (слайды 16, 17) В заключение вспомним строки из романа А.С.Пушкина "Евгений Онегин", сказанные о его герое : "...не мог он ямба от хорея, как мы не бились, отличить". Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб - стихотворный размер с ударением на чётных слогах, т.е. ударными являются 2-й, 4-й, 6-й и так далее слоги. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и с разностью, равной двум: 2, 4, 6, 8, ... Хорей - стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов также образуют арифметическую прогрессию, но ее первый член равен 1, а разность по-прежнему двум: 1, 3, 5, 7, ...
Ямб
"Мой дя-дя са-мых чест-ных пра-вил..."
2; 4; 6; 8 ...
Хорей
"Бу-ря мгло-ю не-бо кро-ет"
1; 3; 5; 7; ...
VI. Домашнее задание:
п.17
№269(б), №371(а), №373. Дополнительное задание: Найти связь между формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии и формулой перемещения при равноускоренном движении.
Документ
Категория
Математика
Просмотров
6 125
Размер файла
72 Кб
Теги
математика
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа