Забыли?

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UMF RevSazZyv

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``` R
m
R
m
sin¡ cos 0 6 x 6`
x 2 [0;`] X(x) X(x) ¸ X(0) = 0;X(`) = 0:
X
00
+¸X = 0;x 2 (0;`);
X(0) = 0;
X(`) = 0:
¸ ¸ 2 C X(x) 6´ 0 ¡X
00
= ¸X:
X
¤
(x) x 0 ` ¡
`
Z
0
X
00
(x)X
¤
(x)dx = ¸
`
Z
0
X(x)X
¤
(x)dx:
¡
`
Z
0
X
00
(x)X
¤
(x)dx = ¸
`
Z
0
jX(x)j
2
dx:
¡
`
Z
0
X
00
(x)X
¤
(x)dx = ¡X
¤
(x)X
0
(x)
¯
¯
¯
¯
¯
`
0
+
`
Z
0
jX
0
(x)j
2
dx:
`
Z
0
jX
0
(x)j
2
dx = ¸
`
Z
0
jX(x)j
2
dx:
X(x) 6´ 0 ¸
¸ =
`
R
0
jX
0
(x)j
2
dx
`
R
0
jX(x)j
2
dx
:
¸ ¸ = 0 ¸ = 0 `
Z
0
jX
0
(x)j
2
dx = 0
jX
0
(x)j
2
= 0 [0;`] X
0
(x)
X
0
(x) ´ 0:
X(x) = const ¸ ¹
2
+¸ = 0;¹
1;2
= §i
p
¸:
¸ X(x) = Acos(
p
¸x) +Bsin(
p
¸x):
X(0) = A = 0:
x =` X(`) = Bsin(
p
¸`) = 0:
B sin(
p
¸`) = 0:
¸ p
¸`= ¼k;k 2 N:
¸
k
=
µ
¼k
`
¶
2
;k 2 N:
X
k
(x) = B
k
sin
¼k
`
x;k 2 N:
B
k
B
k
= 1
¸
k
=
µ
¼k
`
¶
2
;k 2 N;
X
k
(x) = sin
¼k
`
x;k 2 N:
!
k
=
¼k
`
;k 2 N:
!
1
=
¼
`
x 2 [a;b]
X
00
+¸X = 0;x 2 (a;b);
X(a) = 0;
X(b) = 0:
¸
k
=
µ
¼k
b ¡a
¶
2
;X
k
= sin
¼k
b ¡a
(x ¡a) k 2 N:
k ¸ X
00
+kX
0
+¸X = 0;x 2 (0;`);
X(0) = 0;
X(`) = 0:
¸
k
=
k
2
4
+
µ
¼k
`
¶
2
;X
k
= e
¡
kx
2
sin
¼k
`
x k 2 N:
X(x) x 2 [0;`] X(x) X
0
(0) = 0;X
0
(`) = 0:
x
X
00
+¸X = 0;x 2 (0;`);
X(0) = 0;
X(`) = 0:
¸ ¸ = 0 X = const
¸ =
`
R
0
jX
0
(x)j
2
dx
`
R
0
jX(x)j
2
dx
:
¸ ¸ = 0 ¸ = 0 `
Z
0
jX
0
(x)j
2
dx = 0
jX
0
(x)j
2
= 0 [0;`] X
0
(x)
X
0
(x) ´ 0:
X(x) = const ¸ ¸ = 0 X
0
= 1
¸ > 0 X(x) = Acos(
p
¸x) +Bsin(
p
¸x);
X
0
(x) = ¡
p
¸Asin(
p
¸x) +
p
¸Bcos(
p
¸x):
X
0
(0) =
p
¸B = 0:
¸ > 0 B = 0
x =` X
0
(`) = ¡
p
¸Asin(
p
¸`) = 0:
A 6= 0 ¸ > 0 sin(
p
¸`) = 0:
¸
k
=
µ
¼k
`
¶
2
;k 2 N:
¸
k
X
k
(x) = A
k
cos
¼k
`
x;k 2 N:
A
k
= 1
¸
0
= 0;¸
k
=
µ
¼k
`
¶
2
;k 2 N;
X
0
= 1;X
k
(x) = cos
¼k
`
x;k 2 N:
x 2 [0;`] X
00
+¸X = 0;x 2 (0;`);
X(0) = 0;
X
0
(`) = 0:
¸
k
=
µ
¼(2k ¡1)
2`
¶
2
;X
k
= sin
¼(2k ¡1)
2`
x k 2 N:
x 2 [0;`] X
00
+¸X = 0;x 2 (0;`);
X
0
(0) = 0;
X(`) = 0:
¸
k
=
µ
¼(2k ¡1)
2`
¶
2
;X
k
= cos
¼(2k ¡1)
2`
x k 2 N:
X
00
+¸X = 0
2` x 2 (¡`;`) x = ¡` x =` x = ¡`
x =` X(x) X(¡`) = X(`);X
0
(¡`) = X
0
(`):
X
00
+¸X = 0;x 2 (¡`;`);
X(¡`) = X(`);
X
0
(¡`) = X
0
(`):
X
00
+¸X = 0;x 2 R;
X(x +2`) = X(x);
¸ = 0 X = const
X
¤
(x) ¡``
¸
¸ =
`
R
¡`
jX
0
(x)j
2
dx
`
R
¡`
jX(x)j
2
dx
:
¸ = 0 X = const ¸ = 0 X
0
= 1
¸ > 0 X(x) = Acos(
p
¸x) +Bsin(
p
¸x);
X
0
(x) = ¡
p
¸Asin(
p
¸x) +
p
¸Bcos(
p
¸x):
2Bsin(
p
¸`) = 0;
2A
p
¸sin
p
¸`= 0:
B = 0 sin(
p
¸`) = 0:
¸
k
=
µ
¼k
`
¶
2
;X
k
= cos
¼k
`
x k 2 N:
A = 0 ¸
k
=
µ
¼k
`
¶
2
;X
k
= sin
¼k
`
x k 2 N:
¸
k
=
µ
¼k
`
¶
2
cos
¼k
`
x sin
¼k
`
x
¸
0
= 0;¸
k
=
µ
¼k
`
¶
2
;k 2 N;
X
0
= 1;X
k
(x) =
½
cos
¼k
`
x;sin
¼k
`
x
¾
;k 2 N:
F (;):F£F 7¡!R 1:(f;f) > 0; (f;f) = 0,f = 0;
2:(®f +¯g;h) = ®(f;h) +¯(g;h);
3:(f;g) = (g;f);
8f;g;h 2 F 8®;¯ 2 R
kfk =
p
(f;f):
L
2
(0;`) `
Z
0
jf(x)j
2
dx < 1;
(f;g) =
`
Z
0
f(x)g(x)dx:
f g L
2
(0;`) (f;g) = 0 ()
`
Z
0
f(x)g(x)dx = 0;
kfk
2
=
`
Z
0
jf(x)j
2
dx:
L
2
X
k
X
j
¸
k
¸
j
¸
k
6= ¸
j
¸
k
X
k
= ¡X
00
k
¸
j
X
j
= ¡X
00
j
X
j
X
k
x 0 ` X
j
X
k
L
2
(0;`) ¸
k
`
Z
0
X
k
(x)X
j
(x)dx = ¡
`
Z
0
X
00
k
(x)X
j
(x)dx
¸
j
`
Z
0
X
j
(x)X
k
(x)dx = ¡
`
Z
0
X
00
j
(x)X
k
(x)dx
(¸
k
¡¸
j
)
`
Z
0
X
k
(x)X
j
(x)dx =
`
Z
0
X
00
j
(x)X
k
(x)dx ¡
`
Z
0
X
00
k
(x)X
j
(x)dx
`
Z
0
X
00
j
(x)X
k
(x)dx = X
0
j
(x)X
k
(x)
¯
¯
¯
¯
¯
`
0
¡
`
Z
0
X
0
k
(x)X
0
j
(x)dx = ¡
`
Z
0
X
0
k
(x)X
0
j
(x)dx:
X
k
(0) = 0 X
k
(`) = 0 X
j
(x) `
Z
0
X
00
k
(x)X
j
(x)dx = ¡
`
Z
0
X
0
k
(x)X
0
j
(x)dx:
(¸
k
¡¸
j
)
`
Z
0
X
k
(x)X
j
(x)dx = 0:
¸
k
6= ¸
j
X
k
X
j
(X
k
;X
j
) =
`
Z
0
X
k
(x)X
j
(x)dx = 0:
k = j (X
k
;X
k
) = kX
k
k
2
:
L
2
(0;`) X
k
kX
k
k
2
=
`
Z
0
jX
k
(x)j
2
dx:
[0;`] X
k
= sin
¼k
`
x;k 2 N:
kX
k
k
2
=
`
Z
0
sin
2
¼k
`
xdx =
1
2
`
Z
0
µ
1 +cos
2¼k
`
x
¶
=
1
2
µ
`+
`
¼k
sin
2¼k
`
x
¯
¯
¯
`
0
¶
X
k
= sin
¼k
`
x k 2 N kX
k
k
2
=
`
2
:
L
2
(0;`) X
0
= 1 X
k
= cos
¼k
`
x k 2 N kX
0
k
2
=`;kX
k
k
2
=
`
2
:
L
2
(¡`;`) 2`
X
0
= 1 X
k
=
½
cos
¼k
`
x;sin
¼k
`
x
¾
k 2 N
kX
0
k
2
= 2`;kX
k
k
2
=`:
X
00
+¸X = 0;x 2 (0;`);
X
0
(0) ¡¾X(0) = 0;
X
0
(`) +¾X(`) = 0:
¾ > 0
¸ 2 C X(x) 6´ 0 ¡X
00
= ¸X:
X
¤
(x) x 0 ` ¡
`
Z
0
X
00
(x)X
¤
(x)dx = ¸
`
Z
0
jX(x)j
2
dx:
¡
`
Z
0
X
00
(x)X
¤
(x)dx = X
¤
(0)X
0
(0) ¡X
¤
(`)X
0
(`) +
`
Z
0
jX
0
(x)j
2
dx:
¡
`
Z
0
X
00
(x)X
¤
(x)dx = ¾jX(`)j
2
+¾jX(0)j
2
+
`
Z
0
jX
0
(x)j
2
dx:
¸ =
`
R
0
jX
0
(x)j
2
dx +¾jX(`)j
2
+¾jX(0)j
2
`
R
0
jX(x)j
2
dx
:
¸ ¸ = 0 X(x) = const X(0) =
0 X(`) = 0 X(x) ´ 0 ¸ = 0 L
2
(0;`)
X
k
X
j
¸
k
¸
j
¸
k
6= ¸
j
(¸
k
¡¸
j
)
`
Z
0
X
k
(x)X
j
(x)dx =
`
Z
0
X
00
j
(x)X
k
(x)dx ¡
`
Z
0
X
00
k
(x)X
j
(x)dx:
`
Z
0
X
00
j
(x)X
k
(x)dx = X
0
j
(x)X
k
(x)
¯
¯
¯
¯
¯
`
0
¡
`
Z
0
X
0
k
(x)X
0
j
(x)dx:
X
0
j
(x)X
k
(x)
¯
¯
¯
¯
¯
`
0
= X
0
j
(`)X
k
(`) ¡X
0
j
(0)X
k
(0) = ¡¾X
j
(`)X
k
(`) ¡¾X
j
(0)X
k
(0):
`
Z
0
X
00
j
(x)X
k
(x)dx = ¡¾X
j
(`)X
k
(`) ¡¾X
j
(0)X
k
(0) ¡
`
Z
0
X
0
k
(x)X
0
j
(x)dx:
j k (¸
k
¡¸
j
)
`
Z
0
X
k
(x)X
j
(x)dx =
`
Z
0
X
00
j
(x)X
k
(x)dx ¡
`
Z
0
X
00
k
(x)X
j
(x)dx = 0:
¸
k
6= ¸
j
X
k
X
j
¸ > 0 X(x) = Acos(
p
¸x) +Bsin(
p
¸x);
X
0
(x) = ¡
p
¸Asin(
p
¸x) +
p
¸Bcos(
p
¸x):
p
¸B ¡¾A = 0:
A B
A =
p
¸B
¾
:
x =`
B(2
p
¸¾ cos
p
¸`+(¾
2
¡¸) sin
p
¸`) = 0:
B ¸ tg
p
¸`=
2¾
p
¸
¸ ¡¾
2
:
p
¸ = ¹ ¹ tg¹`=
2¾¹
¹
2
¡¾
2
:
¹
k
;k 2 N:
y = tg¹` ¹ 2
³
¡
¼
2`
+
¼n
`
;
¼
2`
+
¼n
`
´
n 2 Z
y =
2¾¹
¹
2
¡¾
2
¹ > ¾
+1 ¸
k
= ¹
2
k
k 2 N X
k
(x) = B
k
µ
p
¸
k
¾
cos
p
¸
k
x +sin
p
¸
k
x
¶
:
B
k
= ¾ X
k
(x) =
p
¸
k
cos
p
¸
k
x +¾ sin
p
¸
k
x:
¸
k
= ¹
2
k
;k 2 N;
¹
k
X
k
(x) =
p
¸
k
cos
p
¸
k
x +¾ sin
p
¸
k
x:
L
2
(0;`) kX
k
k
2
=
`
Z
0
jX
k
(x)j
2
dx:
X
2
k
(x) = ¹
2
k
cos
2
(¹
k
x) +¾
2
sin
2
(¹
k
x) +¹
k
¾ sin(2¹
k
x):
`
Z
0
cos
2
(¹
k
x)dx =
1
2
`
Z
0
(1 +cos(2¹
k
x))dx =
1
2
µ
`+
1
2¹
k
sin(2¹
k
`)
¶
:
sin(2®) =
2tg(®)
1 +tg
2
(®)
:
`
Z
0
cos
2
(¹
k
x)dx =
1
2
µ
`+
1
¹
k
tg(¹
k
`)
1 +tg
2
(¹
k
`)
¶
=
1
2
µ
`+
2¾(¹
2
k
¡¾
2
)
(¹
2
k
+¾
2
)
2
¶
:
`
Z
0
sin
2
(¹
k
x)dx =
1
2
µ
`¡
2¾(¹
2
k
¡¾
2
)
(¹
2
k
+¾
2
)
2
¶
:
`
Z
0
sin(2¹
k
x)dx =
1
2¹
k
(1 ¡cos(2¹
k
`)):
cos(2®) =
1 ¡tg
2
(®)
1 +tg
2
(®)
`
Z
0
sin(2¹
k
x)dx =
1
2¹
k
µ
1 +
4¹
2
k
¾
2
¡(¹
2
k
¡¾
2
)
2
(¹
2
k
+¾
2
)
2
¶
=
4¹
k
¾
2
(¹
2
k
+¾
2
)
2
:
kX
k
k
2
=
`
2
(¹
2
+¾
2
) +¾:
x 2 [0;`] X
00
+¸X = 0;x 2 (0;`);
X(0) = 0;
X
0
(`) +¾X(`) = 0:
¸
k
=
³
¹
k
`
´
2
;X
k
= sin
¹
k
`
x k 2 N;
¹
k
tg¹ = ¡
¾¹
`
:
kX
k
k
2
=
`
2
`
2
+¾
2
¹
2
k
+¾`
`
2
+¾
2
¹
2
k
:
x 2 [0;`] X
00
+¸X = 0;x 2 (0;`);
X
0
(0) = 0;
X
0
(`) +¾X(`) = 0:
¸
k
=
³
¹
k
`
´
2
;X
k
= cos
¹
k
`
x k 2 N;
¹
k
ctg¹ =
¹
¾`
:
kX
k
k
2
=
`
2
¹
2
k
+¾
2
`
2
+¾`
¾
2
`
2
+¹
2
k
:
¸
X
00
= ¸X
0
x 2 (0;1);
X(0) = 0;
X
0
(1) = 0:
Y = X
0
Y
0
= ¸Y;
Y (1) = 0:
Y ´ 0 X(x) X
0
= 0;
X(0) = 0:
X ´ 0 ¸
X
IV
= ¸X
II
x 2 (0;1);
X(0) = X
I
(0) = 0;
X
II
(1) = X
III
(1) = 0:
x = e
t
:
x
2
X
II
+xX
I
+¸X = 0 x 2 (1;`);`> 1
X(1) = 0
X(`) = 0:
0 < ¸ < +1
x
2
X
II
+xX
I
+¸X = 0
X(x) x!+0
X(`) = 0:
A(x;y) u
xx
+2 B(x;y) u
x;y
+C(x;y) u
yy
= F(x;y;u;u
x
;u
y
) A(x;y) B(x;y) C(x;y) F(x;y;u;u
x
;u
y
) D u = u(x;y) u(x;y) ½ C
2
(D) D 2 2
u
x
=
@u(x;y)
@x
;u
y
=
@u(x;y)
@y
;u
xx
=
@
2
u(x;y)
@x
2
;u
yy
=
@
2
u(x;y)
@y
2
:
¢= B
2
(x;y) ¡A(x;y) C(x;y) ¢ D ²
¢ > 0 D ²
¢ = 0 D ²
D < 0 D » ='
1
(x;y);´ ='
2
(x;y);
» ´ ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
@'
1
@x
@'
1
@y
@'
2
@x
@'
2
@y
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
6= 0:
'
1
(x;y) '
2
2
¡2 Bdxdy +Cdx
2
= 0;
¢= B
2
¡AC ¢ > 0 Ady ¡(B +
p
D) dx = 0;Ady +(B +
p
D) dx = 0;
'
1
(x;y)'
2
(x;y)
D < 0 '
1
(x;y) '
2
(x;y) D = 0 Ady ¡ Bdx = 0 '
1
(x;y) '
2
(x;y) x y » ´ @
2
u
@»@´
= F(»;´;u;u
»
;u
´
);
@
2
u
@´
2
= F(»;´;u;u
»
;u
´
);
@
2
u
@»
2
+
@
2
u
@´
2
= F(»;´;u;u
»
;u
´
):
u(x;y) x;y » ´ @u
@x
=
@u
@»
@»
@x
+
@u
@´
@´
@x
@u
@y
=
@u
@»
@»
@y
+
@u
@´
@´
@y
@
2
u
@x
2
=
@
2
u
@»
2
µ
@»
@x
¶
2
+2
@
2
u
@»@´
@»
@x
@´
@x
+
@
2
u
@´
2
µ
@´
@x
¶
2
+
@u
@»
@
2
»
@x
2
+
@u
@´
@
2
´
@x
2
@
2
u
@y
2
=
@
2
u
@»
2
µ
@»
@y
¶
2
+2
@
2
u
@»@´
@»
@y
@´
@y
+
@
2
u
@´
2
µ
@´
@y
¶
2
+
@u
@»
@
2
»
@y
2
+
@u
@´
@
2
´
@y
2
@
2
u
@x@y
=
@
2
u
@»
2
@»
@x
@»
@y
+
@
2
u
@»@´
µ
@»
@x
@´
@y
+
@»
@y
@´
@x
¶
+
@
2
u
@´
2
@´
@x
@´
@y
+
+
@u
@»
@
2
»
@x@y
+
@u
@´
@
2
´
@x@y
A(x;y) 6= 0 C(x;y) 6= 0 Cdy ¡(B +
p
D) dx = 0;Cdy +(B +
p
D) dx = 0;
x
2
u
xx
¡y
2
u
yy
+2 xu
x
¡2 y u
y
= 0 x 6= 0 y 6= 0
A(x;y) = x
2
;B(x;y) ´ 0;C(x;y) = ¡y
2
:
¢ ¢= x
2
y
2
> 0 8x 6= 0;y 6= 0:
x
2
dy
2
¡y
2
dx
2
= 0:
xdy ¡y dx = 0;
xdy +y dx = 0:
xy = C
1
y
x
= C
2
C
1
C
2
'
1
(x;y)'
2
(x;y)
'
1
(x;y) = xy;'
2
(x;y) =
y
x
:
» = xy;´ =
y
x
:
@u
@x
= y
@u
@»
¡
y
x
2
@u
@´
@u
@y
= x
@u
@»
+
1
x
@u
@´
@
2
u
@x
2
= y
2
@
2
u
@»
2
¡2
y
2
x
2
@
2
u
@»@´
+
y
2
x
4
@
2
u
@´
2
+2
y
x
3
@u
@´
@
2
u
@y
2
= x
2
@
2
u
@»
2
+2
@
2
u
@»@´
+
1
x
2
@
2
u
@´
2
:
@
2
u
@»@´
+
1
2»
@u
@´
= 0 y
2
u
xx
+2 xy u
xy
+2 x
2
u
yy
+y u
y
= 0 x 6= 0 y 6= 0
A(x;y) = y
2
;B(x;y) = 2 xy;C(x;y) = 2 x
2
:
¢ ¢= ¡x
2
y
2
< 0 8x 6= 0;y 6= 0:
y
2
dy
2
¡2 xy dxdy +2 x
2
dx
2
= 0:
y dy ¡(1 +i)xdx = 0;
y dy ¡(1 ¡i)xdx = 0:
(1 +i) x
2
¡y
2
= C;
C '
1
(x;y) '
2
(x;y)
'
1
(x;y) = x
2
¡y
2
;'
2
(x;y) = x
2
:
» = x
2
¡y
2
;´ = x
2
:
@u
@x
= 2 x
@u
@»
+2 x
@u
@´
@u
@y
= ¡2 y
@u
@»
@
2
u
@x
2
= 4 x
2
@
2
u
@»
2
+8 x
2
@
2
u
@»@´
+4 x
2
@
2
u
@´
2
+2
@u
@´
+2
@u
@»
@
2
u
@y
2
= 4 y
2
@
2
u
@»
2
¡2
@u
@»
@
2
u
@x@y
= ¡4 xy
@
2
u
@»
2
¡4 xy
@
2
u
@»@´
:
@
2
u
@»
2
+
@
2
u
@´
2
+
1
» ¡´
@u
@»
+
1
2´
@u
@´
= 0;
y
2
= ´ ¡»
u
xt
+u
tt
= 0
u
xx
¡2 u
xy
+u
yy
= 0
(1 +x
2
) u
xx
+(1 +y
2
) u
yy
+xu
x
+y u
y
= 0
u
xx
¡2 cos xu
xy
¡sin
2
xu
yy
= 0
y u
xx
+u
yy
= 0:
@u(x;t)
@t
= a
2
@
2
u(x;t)
@x
2
u(x;t) x t @
2
u(x;t)
@t
2
=
@
2
u(x;t)
@x
2
u(x;t) x t @
2
u(x;y)
@x
2
+
@
2
u(x;y)
@y
2
= 0 x R
1
x 2 R
1
u(x;t) x t
x
1
6 x 6 x
2
Q = Q(x
1
;x
2
;t
1
;t
2
) t
1
t
2
x = x
1
x = x
2
Q
1
= Q
1
(x
1
;t
1
;t
2
) Q
2
= Q
2
(x
2
;t
1
;t
2
);
Q
0
= Q
0
(x
1
;x
2
;t
1
;t
2
):
Q = Q
1
+Q
2
+Q
0
:
u(x;t) c(x) ½(x) S(x) t
1
t
2
Q =
x
2
Z
x
1
c(x)½(x)S(x)
£
u(x;t
2
) ¡u(x;t
1
)
¤
dx:
q = q(x;t) x Q
1
=
t
2
Z
t
1
S(x
1
)q(x
1
;t)dt;Q
2
=
t
2
Z
t
1
S(x
2
)q(x
2
;t)dt:
q = ¡·
@u
@x
;
· > 0 x = x
1
x = x
2
Q
1
= ¡
t
2
Z
t
1
S(x
1
)·(x
1
)
@u
@x
(x
1
;t)dt;
Q
2
=
t
2
Z
t
1
S(x
2
)·(x
2
)
@u
@x
(x
2
;t)dt:
@u
@x
(x
1
;t) > 0 t 2 [t
1
;t
2
] Q
1
< 0 @u
@x
(x
2
;t) > 0 Q
2
> 0
Q
0
=
t
2
Z
t
1
x
2
Z
x
1
S(x)F(x;t)dxdt;
F(x;t) x
2
Z
x
1
c(x)½(x)S(x)
£
u(x;t
2
) ¡u(x;t
1
)
¤
dx =
=
t
2
Z
t
1
·
S(x
2
)·(x
2
)
@u
@x
(x
2
;t) ¡S(x
1
)·(x
1
)
@u
@x
(x
1
;t)
¸
dt +
t
2
Z
t
1
x
2
Z
x
1
S(x)F(x;t)dxdt:
S S = const u(x;t) t
x
t
2
Z
t
1
x
2
Z
x
1
c(x)½(x)
@u
@t
dxdt =
t
2
Z
t
1
x
2
Z
x
1
·
@
@x
µ
·(x)
@u
@x
¶
+F(x;t)
¸
dxdt:
c(x)½(x)
@u
@t
=
@
@x
µ
·(x)
@u
@x
¶
+F(x;t):
·;c;½ = const @u
@t
= a
2
@
2
u
@x
2
+f(x;t):
a
2
=
·
c½
f(x;t) =
F(x;t)
c½
f(x;t) 6= 0 f(x;t) = 0 u
t
= a
2
u
xx
+f(x;t):
x
x S = S(x) > 0 u
t
= a
2
u
xx
+
d
dx
¡
lnS(x)
¢
u
x
+f(x;t):
x v(t) u
t
= a
2
u
xx
¡v(t)u
x
+f(x;t):
q = ®(u ¡u
0
);
q ® u u
0
Q = Q
1
+Q
2
+Q
0
+Q
3
:
Q Q
1
Q
2
Q
0
Q
3
Q
3
= ¡
t
2
Z
t
1
x
2
Z
x
1
P®
£
u(x;t) ¡u
0
(x;t)
¤
dxdt:
P t 2 [t
1
;t
2
] u(x;t) ¡u
0
(t) > 0:
Q
3
< 0
u
t
= a
2
u
xx
¡h(u ¡u
0
(t)) +f(x;t):
h =
®P
c½S
f(x;t) = 0;u
0
(t) = 0;
u
t
= a
2
u
xx
¡hu:
u
t
= a
2
u
xx
+`u
x
+mu +f(x;t)
u(x;t) = e
®x+¯t
v(x;t);
® = ¡
`
2a
2
;¯ = m¡
`
2
4a
2
;
v
t
= a
2
v
xx
+e
¡®x¡¯t
f(x;t):
u(x;t) x t
x
1
6 x 6 x
2
Q = Q(x
1
;x
2
;t
1
;t
2
) t
1
t
2
Q =
x
2
Z
x
1
c(x)S(x)
£
u(x;t
2
) ¡u(x;t
1
)
¤
dx;
S(x) c(x) S(x)dx c(x) = 1
Q x = x
1
x = x
2
Q
1
=
t
2
Z
t
1
S(x
1
)q(x
1
;t)dt Q
2
=
t
2
Z
t
1
S(x
2
)q(x
2
;t)dt:
Q
0
=
t
2
Z
t
1
x
2
Z
x
1
S(x)F(x;t)dxdt:
q(x;t) x
q = ¡D
@u
@x
;
D x
1
6 x 6 x
2
t
1
6 t 6 t
2
x
2
Z
x
1
c(x)S(x)
£
u(x;t
2
) ¡u(x;t
1
)
¤
dx =
=
t
2
Z
t
1
·
S(x
2
)D(x
2
)
@u
@x
(x
2
;t) ¡S(x
1
)D(x
1
)
@u
@x
(x
1
;t)
¸
dt +
t
2
Z
t
1
x
2
Z
x
1
S(x)F(x;t)dxdt:
c
@u
@t
=
@
@x
µ
D
@u
@x
¶
+F(x;t):
u
t
= a
2
u
xx
+f(x;t);
a
2
=
D
c
f(x;t) =
F
c
q = ¡¸(u ¡u
0
(t)):
x v(t) u
t
= Du
xx
¡¯
1
u;
u
t
= Du
xx
+¯
2
u:
D ¯
1
> 0 ¯
2
> 0 u(x;t) x (0;`) t t = 0 x = 0 x =`
u
t
= a
2
u
xx
+f(x;t);x 2 (0;`);t > 0;
uj
t=0
='(x);
u(0;t) = ¹
1
(t);
u(`;t) = ¹
2
(t):
u(x;t) f(x;t)'(x) ¹
1
(t) ¹
2
(t) u(x;t) x 2 [0;`] f(x;t) '(x) ¹
1
(t) ¹
2
(t)
¡·u
x
(0;t) = q
1
(t);
·u
x
(`;t) = q
2
(t):
· q
1
(t) q
2
(t)
u(x;t) x u
t
= a
2
u
xx
+f(x;t);x 2 (0;`);t > 0;
uj
t=0
='(x);
u
x
(0;t) = º
1
(t);
u
x
(`;t) = º
2
(t):
u
x
(0;t) = 0;
u
x
(`;t) = 0:
u
t
= a
2
u
xx
+f(x;t);x 2 (0;`);t > 0;
uj
t=0
='(x);
u
x
(0;t) = ¸(u(0;t) ¡#
1
(t));
u
x
(`;t) = ¡¸(u(`;t) ¡#
2
(t));
#
1
(t) #
1
(t) ¸ =
®
·
® · u
x
(0;t) = ¸u(0;t);
u
x
(`;t) = ¡¸u(`;t):
f(x;t) '(x) x 2 [¡`;`] x = ¡` x =`
u
t
= a
2
u
xx
+f(x;t);x 2 (¡`;`);t > 0;
uj
t=0
='(x);
u(¡`;t) = u(`;t);
u
x
(¡`;t) = u
x
(`;t):
x 2 R 2`
u
t
= a
2
u
xx
+f(x;t);x 2 R;t > 0;
uj
t=0
='(x);
u(x +2`;t) = u(x;t):
f(x;t) '(x) 2` x
t x
f(x;t) jf(x;t)j 6 M:
u
t
= a
2
u
xx
+f(x;t);x 2 (0;`);t 2 R;
ju(x;t)j 6 M;
u(0;t) = 0;u(`;t) = 0:
t f(x;t)
f(x;t +T) = f(x;t):
u
t
= a
2
u
xx
+f(x;t);x 2 (0;`);t 2 R;
u(x;t +T) = u(x;t);
u(0;t) = 0;u(`;t) = 0:
f = f(x)
u = u(x) a
2
u
00
(x) +f(x) = 0;x 2 (0;`);
u(0) = 0;u(`) = 0:
¡u
00
(x) = g(x):
u
t
= a
2
u
xx
+f(x;t);x 2 (0;`);t > 0;
uj
t=0
='(x);
u(0;t) = ¹
1
(t);
u(`;t) = ¹
2
(t):
T > 0 u(x;t) x t (0;`) £(0;T)
u 2 C
2;1
x;t
¡
(0;`) £(0;T)
¢
u 2 C([0;`] £[0;T]) (x;t) 2 (0;`) £ (0;T) t = 0 x 2 [0;`] t 2 [0;T]
x u 2 C
1;0
x;t
([0;`] £[0;T]):
u
1
(x;t) u
2
(x;t) v(x;t) = u
1
(x;t) ¡u
2
(x;t)
v
t
= a
2
v
xx
;x 2 (0;`);t > 0;
vj
t=0
= 0;
v(0;t) = 0;v(`;t) = 0:
v(x;t) ´ 0 v(x;t) x 0
`
`
Z
0
v
t
(x;t)v(x;t)dx = a
2
`
Z
0
v
xx
(x;t)v(x;t)dx:
1
2
d
dt
`
Z
0
v
2
(x;t)dx = a
2
`
Z
0
v(x;t)dv
x
(x;t):
`
Z
0
v(x;t)dv
x
(x;t) = v(x;t)v
x
(x;t)
¯
¯
¯
¯
¯
`
0
¡
`
Z
0
v
2
x
(x;t)dx:
1
2
d
dt
`
Z
0
v
2
(x;t)dx = ¡a
2
`
Z
0
v
2
x
(x;t)dx:
z(t) =
`
Z
0
v
2
(x;t)dx = kv(¢;t)k
2
L
2
(0;`)
:
a
2
`
Z
0
v
2
x
(x;t)dx > 0;
z(t) z
0
(t) 6 0:
z(t) z(t) 6 z(0) 8t > 0:
z(0) =
`
Z
0
v
2
(x;0)dx = 0:
z(t) 0 6 z(t) 6 0;
z(t) ´ 0 `
Z
0
v
2
(x;t)dx ´ 0:
v(x;t) = 0 x 2 [0;`] v(x;t)
v(x;t) ´ 0:
uj
t=0
= T = const:
u(x;t) ´ T:
u = u(t) u = u(x):
u
t
= a
2
u
xx
+Acos t;x 2 (0;`);t > 0;
uj
t=0
= 0;
u(0;t) = Asint;
u(`;t) = Asint:
u
t
= a
2
u
xx
+f;x 2 (0;`);t > 0;
uj
t=0
=';
u
x
(0;t) = 0;
u
x
(`;t) = 0
f ' u
t
= a
2
u
xx
+3;x 2 (0;`);t > 0;
uj
t=0
= 0;
u
x
(0;t) = ¸(u(0;t) ¡3t);
u
x
(`;t) = ¡¸(u(`;t) ¡3t);
u
t
= a
2
u
xx
+Be
¡t
;x 2 R;t > 0;
uj
t=0
= 0;
u(x +2¼;t) = u(x;t):
u
t
= a
2
u
xx
;x 2 (0;1);t > 0;
uj
t=0
= 3x +1;
u(0;t) = 1;
u(1;t) = 4
u
t
= a
2
u
xx
;x 2 (0;1);t > 0;
uj
t=0
= x +2;
u
x
(0;t) = 1;
u(1;t) = 3
u
t
= a
2
u
xx
;x 2 (0;1);t > 0;
uj
t=0
= x +2;
u(0;t) = 2;
u
x
(1;t) = 1
u
t
= u
xx
¡6;x 2 (0;2);t > 0;
uj
t=0
= 3x
2
+1;
u(0;t) = 1;
u
x
(2;t) = 12
u
t
= u
xx
¡6;x 2 (0;1);t > 0;
uj
t=0
= 3x
2
+1;
u
x
(0;t) = 0;
u(1;t) = 4
R
m
R
m
A:R
m
!R
m
A (Au;v) = (u;Av) 8u;v 2 R
m
:
X
k
A ¸
k
AX
k
= ¸
k
X
k
:
R
M
R
m
A (Av;v) > 0 8v 2 R
m
;
R
m
v
0
(t) = ¡Av(t);v 2 R
m
;
v(0) =':
A
v(t) =
m
X
j=1
C
j
(t)X
j
;
C
j
(t) '=
m
X
j=1
'
j
X
j
:
'
j
X
j
X
i
(';X
i
) =
m
X
j=1
'
j
(X
j
;X
i
) ='
i
(X
i
;X
i
) ='
i
kX
i
k
2
:
'
j
=
(';X
j
)
kX
j
k
2
:
C
j
(t) v(t) m
X
j=1
C
0
j
(t)X
j
= ¡
m
X
j=1
C
j
(t)AX
j
= ¡
m
X
j=1
C
j
(t)¸
j
X
j
m
X
j=1
'
j
X
j
=
m
X
j=1
C
j
(0)X
j
:
C
j
(t) C
0
j
(t) = ¡¸
j
C
j
(t);
C
j
(0) ='
j
:
C
j
(t)
C
j
(t) ='
j
e
¡¸
j
t
:
v(t) =
m
X
j=1
'
j
e
¡¸
j
t
X
j
;
'
j
e
¡¸
j
t
X
j
ª
m
j=1
E
m
p(x) =
c
0
2
+
N
X
k=1
c
k
cos(kx) +d
k
sin(kx) c
k
;d
k
2 R
E
m
(p;q) =
¼
Z
¡¼
p(x)q(x)dx:
E
m
X
0
= 1;X
k
= fcos(kx);sin(kx)g;1 6 k 6 N:
E
m
m= 2N +1:
R
m
E
m
A:E
m
!E
m
Ap(x) = ¡
d
2
p
dx
2
:
A (Ap;q) = ¡
¼
Z
¡¼
d
2
p
dx
2
q(x)dx = ¡
dp
dx
q(x)
¯
¯
¯
¯
¯
¼
¡¼
+
¼
Z
¡¼
dp
dx
dq
dx
dx:
p(x) q(x) 2¼ (Ap;q) =
¼
Z
¡¼
dp
dx
dq
dx
dx:
(Ap;q) = (Aq;p):
A (Ap;p) =
¼
Z
¡¼
µ
dp
dx
¶
2
dx > 0:
¸
k
X
k
A
AX
k
= ¸
k
X
k
;X
k
6= 0;X
k
2 E
m
:
A E
m
X
00
k
+¸
k
X
k
= 0;
X
k
(x +2¼) = X
k
(x);X
k
2 E
m
:
¸
0
= 0;X
0
= 1;¸
k
= k
2
;X
k
= fcos(kx);sin(kx)g;1 6 k 6 N:
u
t
= u
xx
;x 2 R;t > 0;
uj
t=0
='(x);
u(x +2¼;t) = u(x;t);
' E
m
'(x) =
c
0
2
+
N
X
k=1
c
k
cos(kx) +d
k
sin(kx):
u(x;t) t E
m
E
m
u(x;t) t E
m
u(x;t) = v(t);v(t) 2 E
m
:
u(x;t) t v(t) t
u
t
(x;t) =
dv
dt
:
A
Av(t) = ¡
@
2
u(x;t)
@x
2
:
E
m
v
0
(t) = ¡Av(t);v 2 E
m
;
v(0) =';
'2 E
m
v(t) =
m
X
j=1
'
j
e
¡¸
j
t
X
j
;
u(x;t) =
m
X
j=1
'
j
e
¡¸
j
t
X
j
(x):
fX
j
g
m
j=1
'
j
u
t
= a
2
u
xx
;x 2 R;t > 0;
uj
t=0
=
c
0
2
+
N
X
k=1
c
k
cos(kx) +d
k
sin(kx);
u(x +2¼;t) = u(x;t):
c
k
d
k
'
j
c
0
c
k
d
k
1 6 k 6 N u(x;t) =
c
0
2
+
N
X
k=1
(c
k
cos(kx) +d
k
sin(kx))e
¡k
2
t
x t
u
t
= a
2
u
xx
;x 2 R;t > 0;
uj
t=0
= 2cos(x) +3sin(4x) +5;
u(x +2¼;t) = u(x;t):
u(x;t) = 2cos(x)e
¡t
+3sin(4x)e
¡16t
+5:
u
t
= a
2
u
xx
x 2 (0;`);t > 0;
uj
t=0
=
N
X
k=1
d
k
sin
µ
¼k
`
x
¶
;
u(0;t) = 0;u(`;t) = 0:
u(x;t) =
N
X
k=1
d
k
sin
µ
¼k
`
x
¶
e
¡
0
@
¼k
`
1
A
2
t
:
u
t
= a
2
u
xx
x 2 (0;`);t > 0;
uj
t=0
=
c
0
2
+
N
X
k=1
c
k
cos
µ
¼k
`
x
¶
;
u
x
(0;t) = 0;u
x
(`;t) = 0:
u(x;t) =
c
0
2
+
N
X
k=1
c
k
cos
µ
¼k
`
x
¶
e
¡
0
@
¼k
`
1
A
2
t
:
u
t
= a
2
u
xx
;x 2 R;t > 0;
uj
t=0
= 4 +5cos(2x) +6sin(3x);
u(x +2¼;t) = u(x;t):
u
t
= a
2
u
xx
;x 2 R;t > 0;
uj
t=0
= 7 +9cos
µ
5¼
`
x
¶
+sin
µ
2¼
`
x
¶
;
u(x +2`;t) = u(x;t):
u
t
= a
2
u
xx
x 2 (0;1);t > 0;
uj
t=0
= 3sin(2¼x);
u(0;t) = 0;u(1;t) = 0:
u
t
= a
2
u
xx
x 2 (0;3);t > 0;
uj
t=0
= 1 +5cos
µ
4¼
3
x
¶
;
u
x
(0;t) = 0;u
x
(3;t) = 0:
u
t
= a
2
u
xx
x 2 (0;2);t > 0;
uj
t=0
= 6cos
³
¼
4
x
´
+10cos
µ
3¼
4
x
¶
;
u
x
(0;t) = 0;u(2;t) = 0:
u
t
= a
2
u
xx
x 2 (0;1);t > 0;
uj
t=0
= 3sin(5¼x) +4sin(7¼x);
u(0;t) = 0;u
x
(1;t) = 0:
x 2 [0;1] uj
t=0
= 4sin(2¼x) cos(¼x):
R
M
x 2 [0;1] uj
t=0
= 2cos(3¼x) cos(¼x):
x 2 [0;2] uj
t=0
= 2cos(
¼x
2
) cos(
¼x
4
):
x 2 [0;1=2]
uj
t=0
= 4sin(3¼x) cos(2¼x):
R
m
R
m
A:R
m
!R
m
A R
m
v
0
(t) = ¡Av(t) +f(t);v 2 R
m
;
v(0) = 0:
v(t) =
m
X
j=1
C
j
(t)e
¡¸
j
t
X
j
;
R
M
C
j
(t) ¸
j
A X
j
f(t) f(t) =
m
X
j=1
f
j
(t)e
¡¸
j
t
X
j
;
f
j
(t) =
(f(t);X
j
)
kX
j
k
2
:
e
¡¸
j
t
X
j
ª
m
j=1
m
X
j=1
C
0
j
(t)e
¡¸
j
t
X
j
=
m
X
j=1
f
j
(t)X
j
:
m
X
j=1
C
j
(0)X
j
= 0:
C
j
(t) C
0
j
(t) = e
¸
j
t
f
j
(t);
C
j
(0) = 0:
C
j
(t)
C
j
(t) =
t
Z
0
e
¸
j
¿
f
j
(¿)d¿:
v(t) =
m
X
j=1
C
j
(t)e
¡¸
j
t
X
j
;
C
j
(t) E
m
A:E
m
!E
m
u
t
= u
xx
+F(x;t);x 2 R;t > 0;
uj
t=0
= 0;
u(x +2¼;t) = u(x;t);
F(x;t) E
m
F(x;t) =
h
0
(t)
2
+
N
X
k=1
h
k
(t) cos(kx) +g
k
(t) sin(kx):
u(x;t) F(x;t) t E
m
u(x;t) = v(t);v(t) 2 E
m
;F(x;t) = f(t);f(t) 2 E
m
:
E
m
v
0
(t) = ¡Av(t) +f(t);v 2 R
m
;
v(0) = 0:
u(x;t) =
m
X
j=1
C
j
(t)e
¡¸
j
t
X
j
(x):
C
j
u
t
= a
2
u
xx
+
h
0
(t)
2
+
N
X
k=1
h
k
(t) cos(kx) +g
k
(t) sin(kx);x 2 R;t > 0;
uj
t=0
= 0;
u(x +2¼;t) = u(x;t):
u(x;t) u(x;t) =
A
0
(t)
2
+
N
X
k=1
(A
k
(t) cos(kx) +B
k
(t) sin(kx))e
¡k
2
t
A
k
(t) B
k
(t)
u(x;t) k = 0
A
0
0
(t) = f
0
(t);A
0
(0) = 0;
1 6 k 6 N
A
0
k
(t) = e
k
2
t
f
k
(t);A
k
(0) = 0;
B
0
k
(t) = e
k
2
t
g
k
(t);B
k
(0) = 0;
u(x;t) =
A
0
(t)
2
+
N
X
k=1
(A
k
(t) cos(kx) +B
k
(t) sin(kx))e
¡k
2
t
;
A
0
(t) =
t
Z
0
f
0
(¿)d¿;
A
k
(t) =
t
Z
0
e
k
2
¿
f
k
(¿)d¿;B
k
(t) =
t
Z
0
e
k
2
¿
g
k
(¿)d¿ 1 6 k 6 N:
u
t
= a
2
u
xx
+e
¡t
cos(2x) +3sin(5x) +4t;x 2 R;t > 0;
uj
t=0
= 7cos(x) +5sin(2x) +6;
u(x +2¼;t) = u(x;t):
u(x;t) u(x;t) = u
(1)
(x;t) +u
(2)
(x;t);
u
(1)
t
= u
(1)
xx
;x 2 R;t > 0;
u
(1)
j
t=0
= 7cos(x) +5sin(2x) +6;
u
(1)
(x +2¼;t) = u
(1)
(x;t);
u
(2)
t
= u
(2)
xx
+e
¡t
cos(2x) +3sin(5x) +4t;x 2 R;t > 0;
u
(2)
j
t=0
= 0;
u
(2)
(x +2¼;t) = u
(2)
(x;t):
u
(1)
(x;t) u
(1)
(x;t) = 7cos(x)e
¡t
+5sin(2x)e
¡4t
+6:
u
(2)
(x;t) u
(2)
(x;t) = A
2
(t) cos(2x)e
¡4t
+B
5
(t) sin(5x)e
¡25t
+
A
0
(t)
2
:
A
0
0
(t) = 8t;A
0
(0) = 0;
A
0
2
(t) = e
4t
e
¡t
= e
3t
;A
2
(0) = 0;
B
0
5
(t) = 3e
25t
;B
5
(0) = 0;
A
0
(t) = 4t
2
;A
2
(t) =
1
3
¡
e
3t
¡1
¢
;
B
5
(t) =
3
25
¡
e
25t
¡1
¢
:
u
(2)
(x;t) =
1
3
¡
e
3t
¡1
¢
cos(2x)e
¡4t
+
3
25
¡
e
25t
¡1
¢
sin(5x)e
¡25t
+2t
2
:
u(x;t) = 7cos(x)e
¡t
+5sin(2x)e
¡4t
+6 +
+
1
3
¡
e
¡t
¡e
¡4t
¢
cos(2x) +
3
25
¡
1 ¡e
¡25t
¢
sin(5x) +2t
2
:
u
t
= u
xx
+
N
X
k=1
g
k
(t) sin
µ
¼k
`
x
¶
;x 2 (0;`);t > 0;
uj
t=0
= 0;
u(0;t) = 0;u(`;t) = 0:
u(x;t) =
N
X
k=1
B
k
(t) sin
µ
¼k
`
x
¶
e
¡
0
@
¼k
`
1
A
2
t
;
B
k
(t) =
t
Z
0
e
k
2
¿
g
k
(¿)d¿ 1 6 k 6 N:
u
t
= u
xx
+
f
0
(t)
2
+
N
X
k=1
f
k
(t) cos
µ
¼k
`
x
¶
;x 2 (0;`);t > 0;
uj
t=0
= 0
u
x
(0;t) = 0;u
x
(`;t) = 0:
u(x;t) =
A
0
(t)
2
+
N
X
k=1
A
k
cos
µ
¼k
`
x
¶
e
¡
0
@
¼k
`
1
A
2
t
:
A
0
(t) =
t
Z
0
f
0
(¿)d¿;
A
k
(t) =
t
Z
0
e
k
2
¿
f
k
(¿)d¿;1 6 k 6 N:
u
t
= u
xx
+t +e
¡2t
cos(3x);x 2 R;t > 0;
uj
t=0
= 3 +4cos(x) +5sin(2x);
u(x +2¼;t) = u(x;t):
u
t
= u
xx
+t +e
¡t
sin(2x);x 2 R;t > 0;
uj
t=0
= 1 +2cos(3x) +3sin(x);
u(x +2¼;t) = u(x;t):
u
t
= u
xx
+e
¡t
sin(x) x 2 (0;¼);t > 0;
uj
t=0
= 2sin(3x);
u(0;t) = 0;u(¼;t) = 0:
u
t
= u
xx
+e
¡4t
cos(2x) x 2 (0;¼);t > 0;
uj
t=0
= 2 +3cos (4x);
u
x
(0;t) = 0;u
x
(¼;t) = 0:
u
t
= u
xx
+5t cos(3x) x 2 (0;
¼
2
);t > 0;
uj
t=0
= 4cos (7x);
u
x
(0;t) = 0;u
³
¼
2
;t
´
= 0:
u
t
= u
xx
+4t sin(3x) x 2 (0;
¼
2
);t > 0;
uj
t=0
= 3sin(x);
u(0;t) = 0;u
x
³
¼
2
;t
´
= 0:
x 2 [0;1] t sin(2¼x) uj
t=0
= 2sin(3¼x) cos(¼x):
x 2 [0;1] t cos(2¼x) uj
t=0
= 4cos(2¼x) cos(¼x):
x 2 [0;1] 4e
¡2t
cos
µ
3¼x
2
¶
cos(¼x);
uj
t=0
= 6cos(7¼x):
x 2 [0;1=2]
2e
¡4t
sin(2¼x) cos(¼x);
uj
t=0
= 8sin(5¼x):
u(x;t) x t
0 6 x 6` u
t
= a
2
u
xx
;0 < x <`
u(x;t) x t a
2
u
t
= a
2
u
xx
¡h(u ¡u
0
);
u
0
= const h u(x;t) = u
0
+v(x;t) e
¡ht
v
t
= a
2
v
xx
:
(
X
00
+¸X = 0;x 2 [0;`]
X(0) = 0;X(`) = 0
¸
k
=
¼
2
k
2
`
2
;X
k
(x) = sin
µ
¼ k
`
x
¶
;k 2 (
X
00
+¸X = 0;x 2 [0;`]
X
0
(0) = 0;X
0
(`) = 0
¸
0
= 0;¸
k
=
¼
2
k
2
`
2
;k 2 X
0
(x) ´ 1;X
k
(x) = cos
µ
¼ k
`
x
¶
;k 2 (
X
00
+¸X = 0;x 2 [0;`]
X(0) = 0;X
0
(`) = 0
¸
k
=
¼
2
(2 k ¡1)
2
4`
2
;X
k
(x) = sin
µ
¼ (2 k ¡1)
2`
x
¶
;k 2 (
X
00
+¸X = 0;x 2 [0;`]
X
0
(0) = 0;X(`) = 0
¸
k
=
¼
2
(2 k ¡1)
2
4`
2
;X
k
(x) = cos
µ
¼ (2 k ¡1)
2`
x
¶
;k 2 (
X
00
+¸X = 0;x 2 [¡`;`]
X(¡`) = X(`);X
0
(¡`) = X
0
(`)
¸
0
= 0;¸
k
=
¼
2
k
2
`
2
;
X
0
(x) ´ 1;X
k
(x) =
½
sin
µ
¼ k
`
x
¶
;cos
µ
¼ k
`
x
¶¾
;k 2 `
¼
'(x)
2`
u
t
= a
2
u
xx
;¡`6 x 6`
u(x;0) ='(x) u(¡`;t) = u(`;t) u
x
(¡`;t) = u
x
(`;t) ~u(x;t) = X(x) T(t):
~u(x;t) X(x) T
0
(t) = a
2
X
00
(x) T(t):
T
0
(t)
a
2
T(t)
=
X
00
(x)
X(x)
:
T
0
(t)
a
2
T(t)
t X
00
(x)
X(x)
x ¡¸
T
0
(t)
a
2
T(t)
=
X
00
(x)
X(x)
= ¡¸:
T(t) X(x) T
0
(t) +¸a
2
T(t) = 0;
X
00
(x) +¸X(x) = 0:
X(¡`) T(t) = X(`) T(t);X
0
(¡`) T(t) = X
0
(`) T(t):
T(t) X(¡`) = X(`);X
0
(¡`) = X
0
(`):
X(x) (
X
00
(x) +¸X(x) = 0;x 2 (¡`;`)
X(¡`) = X(`);X
0
(¡`) = X
0
(`);
¸
0
= 0;¸
k
=
µ
¼ k
`
¶
2
;k 2 X
0
(x) ´ 1;X
k
(x) =
½
sin
¼ k
`
x;cos
¼ k
`
x
¾
;k 2 :
¸
0
= 0 X
0
´ 1
T(t) T(t) = e
¡a
2
¸t
;
¸ = ¸
k
~u
0
(x;t) = 1
~u
k
(x;t) =
½
sin
¼ k
`
xe
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
;cos
¼ k
`
xe
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
¾
;k 2 :
u(x;t) =
A
0
2
+
1
X
k=1
µ
B
k
sin
¼ k
`
x +A
k
cos
¼ k
`
x
¶
e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
:
A
0
A
k
B
k
t = 0 u(x;0) =
A
0
2
+
1
X
k=1
µ
B
k
sin
¼ k
`
x +A
k
cos
¼ k
`
x
¶
:
'(x) =
A
0
2
+
1
X
k=1
µ
B
k
sin
¼ k
`
x +A
k
cos
¼ k
`
x
¶
:
B
k
A
k
A
0
'(x) [¡`;`]
[¡`;`]:
`
Z
¡`
sin
µ
¼ k
`
x
¶
sin
³
¼ n
`
x
´
dx =
(
0;k 6= n
`;k = n:
`
Z
¡`
cos
µ
¼ k
`
x
¶
cos
³
¼ n
`
x
´
dx =
(
0;k 6= n
`;k = n:
k = n `
Z
¡`
sin
2
µ
¼ k
`
x
¶
dx =
`
Z
¡`
1 ¡cos
¡
2 ¼ k
`
¢
2
dx =
`
Z
¡`
1
2
dx =`
`
Z
¡`
cos
2
µ
¼ k
`
x
¶
dx =
`
Z
¡`
1 +cos
¡
2¼ k
`
¢
2
dx =
`
Z
¡`
1
2
dx =`
A
0
¡``
`
Z
¡`
'(x) dx =
A
0
2
(2`)
A
0
A
0
=
1
`
`
Z
¡`
'(x) dx A
k
k = 1;2;:::
cos
¡
¼ nx
`
¢
¡``
`
Z
¡`
'(x) cos
³
¼ nx
`
´
dx =
1
X
k=1
A
k
`
Z
¡`
cos
³
¼ nx
`
´
cos
µ
¼ k x
`
¶
dx:
k = n A
k
A
k
=
`
R
¡`
'(x) cos
¡
¼ k x
`
¢
dx
`
R
¡`
cos
2
¡
¼ k
`
x
¢
dx
A
k
=
1
`
`
Z
¡`
'(x) cos
µ
¼ k x
`
¶
dx:
B
k
sin
¡
¼ nx
`
¢
¡`` `
Z
¡`
'(x) sin
³
¼ nx
`
´
dx =
1
X
k=1
B
k
`
Z
¡`
sin
³
¼ nx
`
´
sin
µ
¼ k x
`
¶
dx:
k = n B
k
=
`
R
¡`
'(x) sin
¡
¼ k x
`
¢
dx
`
R
¡`
sin
2
¡
¼ k
`
x
¢
dx
B
k
=
1
`
`
Z
¡`
'(x) sin
µ
¼ k x
`
¶
dx:
u(x;t) =
A
0
2
+
1
X
k=1
µ
B
k
sin
¼ k
`
x +A
k
cos
¼ k
`
x
¶
e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
A
0
=
1
`
`
Z
¡`
'(x) dx A
k
=
1
`
`
Z
¡`
'(x) cos
µ
¼ k x
`
¶
dx:
B
k
=
1
`
`
Z
¡`
'(x) sin
µ
¼ k x
`
¶
dx:
'(x) = u
0
+u
1
x;
u
0
;u
1
u
t
= a
2
u
xx
;¡¼ 6 x 6 ¼ u(x;0) = u
0
+u
1
x u(¡¼;t) = u(¼;t) u
x
(¡¼;t) = u
x
(¼;t) ~u(x;t) = X(x) T(t):
T(t)
T
0
(t) +¸a
2
T(t) = 0;
X(x)
(
X
00
(x) +¸X(x) = 0;x 2 (¡¼;¼)
X(¡¼) = X(¼);X
0
(¡¼) = X
0
(¼):
¸
0
= 0;¸
k
= k
2
;k 2 X
0
(x) = 1;X
k
(x) = fsin( k x);cos( k x)g;k 2 :
~u
0
(x;t) = 1
~u
k
(x;t) =
n
sin(k x) e
¡a
2
k
2
t
;cos(k x) e
¡a
2
k
2
t
o
;k 2 :
u(x;t) =
A
0
2
+
1
X
k=1
(B
k
sin(k x) +A
k
cos(k x)) e
¡a
2
k
2
t
:
t = 0 u
0
+u
1
x =
A
0
2
+
1
X
k=1
(B
k
sin(k x) +A
k
cos(k x)):
A
0
A
k
B
k
A
0
=
1
¼
¼
Z
¡¼
(u
0
+u
1
x) dx = 2 u
0
A
k
=
1
¼
¼
Z
¡¼
(u
0
+u
1
x) cos(k x) dx B
k
=
1
¼
¼
Z
¡¼
(u
0
+u
1
x) sin(k x) dx:
A
k
¼
Z
¡¼
(u
0
+u
1
x) cos(k x) dx =
=
1
k
(u
0
+u
1
x) sin(k x)
¯
¯
¯
¼
¡¼
¡
u
1
k
¼
Z
¡¼
sin(k x) dx = 0:
A
k
= 0 k 2 B
k
¼
Z
¡¼
(u
0
+u
1
x) sin(k x) dx = ¡
1
k
(u
0
+u
1
x) cos(k x)
¯
¯
¯
¼
¡¼
+
u
1
k
¼
Z
¡¼
cos(k x) dx =
= ¡
u
1
k
2¼ cos(k¼) =
2¼ u
1
k
(¡1)
k+1
:
B
k
B
k
=
2 u
1
k
(¡1)
k+1
;k 2 :
u(x;t) = u
0
+2 u
1
1
X
k=1
(¡1)
k+1
k
sin(k x) e
¡a
2
k
2
t
:
0 6 x 6` '(x) x = 0 x =` u
t
= a
2
u
xx
;0 6 x 6`
u(x;0) ='(x) u(0;t) = 0;u(`;t) = 0 ~u(x;t) = X(x) T(t):
~u(x;t) X(x) T
0
(t) = a
2
X
00
(x) T(t):
T
0
(t)
a
2
T(t)
=
X
00
(x)
X(x)
:
t x
¡¸
T
0
(t)
a
2
T(t)
=
X
00
(x)
X(x)
= ¡¸:
T(t) X(x) T
0
(t) +¸a
2
T(t) = 0;
X
00
(x) +¸X(x) = 0:
X(0) T(t) = 0;X(`) T(t) = 0:
T(t) X(0) = 0;X(`) = 0:
X(x) (
X
00
(x) = ¡¸X(x);x 2 (0;`)
X(0) = 0;X(`) = 0:
¸
k
=
µ
¼ k
`
¶
2
;k 2 ;
X
k
(x) = sin
µ
¼ k
`
x
¶
;k 2 :
T(t) T(t) = e
¡a
2
¸t
;
¸ = ¸
k
~u
k
(x;t) = sin
µ
¼ k
`
x
¶
e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
;k 2 ;
u(x;t) =
1
X
k=1
B
k
sin
µ
¼ k
`
x
¶
e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
;
B
k
t = 0 u(x;0) =
1
X
k=1
B
k
sin
µ
¼ k
`
x
¶
:
'(x) =
1
X
k=1
B
k
sin
µ
¼ k
`
x
¶
:
B
k
'(x) [0;`]
sin
¡
¼ nx
`
¢
0 ` `
Z
0
'(x) sin
³
¼ nx
`
´
dx =
=
1
X
k=1
B
k
`
Z
0
sin
³
¼ nx
`
´
sin
µ
¼ k x
`
¶
dx:
'(x) [0;`]
`
Z
0
sin
µ
¼ k
`
x
¶
sin
³
¼ n
`
x
´
dx =
8
<
:
0;k 6= n
`
2
;k = n:
k = n B
k
B
k
=
`
R
0
'(x) sin
¡
¼ k x
`
¢
dx
`
R
0
sin
2
¡
¼ k x
`
¢
dx
=
2
`
`
Z
0
'(x) sin
µ
¼ k x
`
¶
dx:
B
k
u(x;t) =
1
X
k=1
B
k
sin
µ
¼ k
`
x
¶
e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
;
B
k
=
2
`
`
Z
0
'(x) sin
µ
¼ k x
`
¶
dx:
0 6 x 6 ¼ '(x) = u
0
+u
1
x;
u
0
;u
1
x = 0 x =`
u
t
= a
2
u
xx
;0 6 x 6 ¼ u(x;0) = u
0
+u
1
x u(0;t) = 0;u(¼;t) = 0 ~u(x;t) = X(x) T(t):
T(t)
T
0
(t) +¸a
2
T(t) = 0;
X(x)
(
X
00
(x) +¸X(x) = 0;x 2 (0;`)
X(0) = 0;X(¼) = 0:
¸
k
= k
2
;k 2 X
k
(x) = sin( k x);k 2 :
T(t) ~u
k
(x;t) = sin(k x) e
¡a
2
k
2
t
;k 2 :
u(x;t) =
1
X
k=1
B
k
sin(k x) e
¡a
2
k
2
t
:
t = 0 u
0
+u
1
x =
1
X
k=1
B
k
sin(k x):
B
k
B
k
=
2
¼
¼
Z
0
(u
0
+u
1
x) sin(k x) dx:
B
k
¼
Z
0
(u
0
+u
1
x) sin(k x) dx = ¡
1
k
(u
0
+u
1
x) cos(k x)
¯
¯
¯
¼
0
+
u
1
k
¼
Z
0
cos(k x) dx =
= ¡
1
k
cos(k¼) (u
0
+u
1
¼) +
1
k
u
0
=
1
k
(u
0
¡u
0
(¡1)
k
¡u
1
¼ (¡1)
k
):
B
k
B
k
=
2
¼ k
(u
0
¡u
0
(¡1)
k
¡u
1
¼ (¡1)
k
);k 2 :
B
k
u(x;t) =
2
¼
1
X
k=1
u
0
¡u
0
(¡1)
k
¡u
1
¼ (¡1)
k
k
sin(k x) e
¡a
2
k
2
t
:
k = 2 n B
2n
B
2n
= ¡
u
1
n
;
k = 2 n +1 B
2n+1
B
2n+1
=
2
¼ (n +1)
(2 u
0
+u
1
¼):
0 6 x 6` '(x) x = 0 x =`
u
t
= a
2
u
xx
;0 6 x 6`
u(x;0) ='(x) u
x
(0;t) = 0;u
x
(`;t) = 0 ~u(x;t) = X(x) T(t) ~u(x;t) X(x) T
0
(t) = a
2
X
00
(x) T(t):
T
0
(t)
a
2
T(t)
=
X
00
(x)
X(x)
:
t T
0
(t)
a
2
T(t)
x X
00
(x)
X(x)
T
0
(t)
a
2
T(t)
=
X
00
(x)
X(x)
= ¡¸:
T(t) X(x)
T
0
(t) +¸a
2
T(t) = 0;
X
00
(x) +¸X(x) = 0:
X
0
(0) T(t) = 0;X
0
(`) T(t) = 0:
T(t) X
0
(0) = 0;X
0
(`) = 0:
X(x) (
X
00
(x) = ¡¸X(x);x 2 (0;`)
X
0
(0) = 0;X
0
(`) = 0:
¸
0
= 0;¸
k
=
µ
¼ k
`
¶
2
;k 2 ;
X
0
(x) ´ 1;X
k
(x) = cos
µ
¼ k
`
x
¶
;k 2 :
T(t) T(t) = e
¡a
2
¸t
;
¸ = ¸
k
T(t) X
k
(x) ~u
0
(x;t) = 1;~u
k
(x;t) = cos
µ
¼ k
`
x
¶
e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
;k 2 :
u(x;t) =
A
0
2
+
1
X
k=1
A
k
cos
µ
¼ k
`
x
¶
e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
;
A
0
A
k
t = 0 u(x;0) =
A
0
2
+
1
X
k=1
A
k
cos
µ
¼ k
`
x
¶
:
'(x) =
A
0
2
+
1
X
k=1
A
k
cos
µ
¼ k
`
x
¶
:
'(x) [0;`]
`
Z
0
cos
µ
¼ k
`
x
¶
cos
³
¼ n
`
x
´
dx =
8
<
:
0;k 6= n
`
2
;k = n:
A
0
0 `
`
Z
0
'(x) dx =
A
0
2
`
A
0
A
0
=
2
`
`
Z
0
'(x) dx:
A
k
k = 1;2;::: cos
¡
¼ n
`
x
¢
0 ` k = n A
k
A
k
=
`
R
0
'(x) cos
¡
¼ k x
`
¢
dx
`
R
0
cos
2
¡
¼ k x
`
¢
dx
=
2
`
`
Z
0
'(x) cos
µ
¼ k x
`
¶
dx;k 2 :
A
k
u(x;t) =
A
0
2
+
1
X
k=1
A
k
cos
µ
¼ k
`
x
¶
e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
;
A
0
=
2
`
`
Z
0
'(x) dx;
A
k
=
2
`
`
Z
0
'(x) cos
µ
¼ k x
`
¶
dx;k 2 :
0 6 x 6 ¼ u
0
+u
1
x u
0
;u
1
x = 0 x =`
u
t
= a
2
u
xx
;0 6 x 6 ¼ u(x;0) = u
0
+u
1
x u
x
(0;t) = 0;u
x
(¼;t) = 0 ~u(x;t) = X(x) T(t):
T(t) X(x)
T
0
(t) +¸a
2
T(t) = 0;
(
X
00
(x) +¸X(x) = 0;x 2 0;`
X
0
(0) = X
0
(¼):
¸
0
= 0;¸
k
= k
2
;k 2 X
0
(x) = 1;X
k
(x) = cos( k x);k 2 :
T(t) ~u
0
(x;t) = 1;~u
k
(x;t) = cos(k x) e
¡a
2
k
2
t
;k 2 :
u(x;t) =
A
0
2
+
1
X
k=1
A
k
cos(k x) e
¡a
2
k
2
t
:
t = 0 u
0
+u
1
x =
A
0
2
+
1
X
k=1
A
k
cos(k x):
A
0
A
k
k = 1;2;::: A
0
=
2
¼
¼
Z
0
(u
0
+u
1
x) dx = 2 u
0
+u
1
¼;
A
k
=
2
¼
¼
Z
0
(u
0
+u
1
x) cos(k x) dx;k 2 :
¼
Z
0
(u
0
+u
1
x) cos(k x) dx =
1
k
(u
0
+u
1
x) sin(k x)
¯
¯
¯
¼
0
¡
u
1
k
¼
Z
0
sin(k x) dx =
=
u
1
k
2
(cos(k¼) ¡1) =
u
1
k
2
((¡1)
k
¡1) A
k
A
k
=
2 u
1
¼ k
2
((¡1)
k
¡1):
u(x;t) = u
0
+u
1
¼
2
+
2 u
1
¼
1
X
k=1
(¡1)
k
¡1
k
2
cos(k x) e
¡a
2
k
2
t
:
A
k
k = 2n +1 u(x;t) = u
0
+u
1
¼
2
¡
¡
4 u
1
¼
1
X
n=0
1
(2n +1)
2
cos((2n +1) x) e
¡a
2
(2n+1)
2
t
:
0 6 x 6` '(x) u
t
= a
2
u
xx
;0 6 x 6`
u(x;0) ='(x) u(0;t) = 0;u
x
(`;t) = 0 0 6 x 6 ¼ u
0
+u
1
x;
u
0
;u
1
u
t
= a
2
u
xx
;0 6 x 6 ¼ u(x;0) = u
0
+u
1
x u(0;t) = 0;u
x
(¼;t) = 0 ~u(x;t) = X(x) T(t):
T(t)
T
0
(t) +¸a
2
T(t) = 0;
X(x)
(
X
00
(x) +¸X(x) = 0;x 2 (0;`)
X(0) = 0;X
0
(¼) = 0:
¸
k
=
µ
2k ¡1
2
¶
2
;k 2 X
k
(x) = sin(
2k ¡1
2
x);k 2 :
T(t) ~u
k
(x;t) = sin(
2k ¡1
2
x) e
¡a
2
(
2k¡1
2
)
2
t
;k 2 :
u(x;t) =
1
X
k=1
B
k
sin(
2k ¡1
2
x) e
¡a
2
(
2k¡1
2
)
2
t
:
t = 0 u
0
+u
1
x =
1
X
k=1
B
k
sin(
2k ¡1
2
x):
B
k
B
k
=
2
¼
¼
Z
0
(u
0
+u
1
x) sin(
2k ¡1
2
x) dx:
B
k
¼
Z
0
(u
0
+u
1
x) sin(
2k ¡1
2
x) dx =
= ¡
2
2 k ¡1
(u
0
+u
1
x) cos(
2k ¡1
2
x)
¯
¯
¯
¼
0
+
2 u
1
2 k ¡1
¼
Z
0
cos(
2k ¡1
2
x) dx =
=
2 u
0
2 k ¡1
+
4 u
1
(2 k ¡1)
2
sin(
2k ¡1
2
x)
¯
¯
¯
¼
0
=
=
2 u
0
2 k ¡1
+
4 u
1
(2 k ¡1)
2
(¡1)
k+1
:
B
k
B
k
=
2
¼
µ
2 u
0
2 k ¡1
+
4 u
1
(2 k ¡1)
2
(¡1)
k+1
¶
:
B
k
u(x;t) =
4
¼
1
X
k=1
µ
u
0
2 k ¡1
+
2 u
1
(2 k ¡1)
2
(¡1)
k+1
¶
sin(
2k ¡1
2
x) e
¡a
2
(
2k¡1
2
)
2
t
;
0 6 x 6` '(x) u
t
= a
2
u
xx
;0 6 x 6`
u(x;0) ='(x) u
x
(0;t) = 0;u(`;t) = 0 0 6 x 6 ¼ u
0
+u
1
x u
0
;u
1
u
t
= a
2
u
xx
;0 6 x 6 ¼ u(x;0) = u
0
+u
1
x u
x
(0;t) = 0;u(¼;t) = 0 ~u(x;t) = X(x) T(t):
T(t)
T
0
(t) +¸a
2
T(t) = 0;
X(x)
(
X
00
(x) +¸X(x) = 0;x 2 (0;`)
X
0
(0) = 0;X(¼) = 0:
¸
k
=
µ
2k ¡1
2
¶
2
;k 2 X
k
(x) = cos(
2k ¡1
2
x);k 2 :
~u
k
(x;t) = cos(
2k ¡1
2
x) e
¡a
2
(
2k¡1
2
)
2
t
;k 2 :
u(x;t) =
1
X
k=1
A
k
cos(
2k ¡1
2
x) e
¡a
2
(
2k¡1
2
)
2
t
:
t = 0 u
0
+u
1
x =
1
X
k=1
A
k
cos(
2k ¡1
2
x):
A
k
A
k
=
2
¼
¼
Z
0
(u
0
+u
1
x) cos(
2k ¡1
2
x) dx:
A
k
¼
Z
0
(u
0
+u
1
x) cos(
2k ¡1
2
x) dx =
=
2
2 k ¡1
(u
0
+u
1
x) sin(
2k ¡1
2
x)
¯
¯
¯
¼
0
¡
2 u
1
2 k ¡1
¼
Z
0
sin(
2k ¡1
2
x) dx =
=
2
2 k ¡1
(u
0
+u
1
¼) (¡1)
k+1
+
4 u
1
(2 k ¡1)
2
:
A
k
A
k
=
2
¼
µ
2
2 k ¡1
(u
0
+u
1
¼) (¡1)
k+1
+
4 u
1
(2 k ¡1)
2
¶
:
A
k
u(x;t) =
4
¼
1
X
k=1
µ
1
2 k ¡1
(u
0
+u
1
¼) (¡1)
k+1
+
2 u
1
(2 k ¡1)
2
¶
£
£cos(
2k ¡1
2
x) e
¡a
2
(
2k¡1
2
)
2
t
;
u
t
= a
2
u
xx
;¡`6 x 6`
u(x;0) ='(x)
u(¡`;t) = u(`;t)
u
x
(¡`;t) = u
x
(`;t)
u(x;t) =
A
0
2
+
1
P
k=1
µ
B
k
sin
¼ k
`
x +A
k
cos
¼ k
`
x
¶
e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
A
0
=
1
`
`
R
¡`
'(x) dx
A
k
=
1
`
`
R
¡`
'(x) cos
¡
¼ k x
`
¢
dx
B
k
=
1
`
`
R
¡`
'(x) sin
¡
¼ k x
`
¢
dx:
u
t
= a
2
u
xx
;0 6 x 6`
u(x;0) ='(x)
u(0;t) = 0
u(`;t) = 0
u(x;t) =
1
P
k=1
B
k
sin
¼ k
`
xe
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
B
k
=
2
`
`
R
0
'(x) sin
¡
¼ k x
`
¢
dx:
u
t
= a
2
u
xx
;0 6 x 6`
u(x;0) ='(x)
u
x
(0;t) = 0
u
x
(`;t) = 0
u(x;t) =
A
0
2
+
1
P
k=1
A
k
cos
¼ k
`
xe
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
A
0
=
2
`
`
R
0
'(x) dx
A
k
=
2
`
`
R
0
'(x) cos
¡
¼ k x
`
¢
dx
u
t
= a
2
u
xx
;0 6 x 6`
u(x;0) ='(x)
u(0;t) = 0
u
x
(`;t) = 0
u(x;t) =
1
P
k=1
B
k
sin
¼ (2k ¡1)
2`
xe
¡a
2
³
¼ (2k¡1)
2`
´
2
t
B
k
=
2
`
`
R
0
'(x) sin
³
¼ (2k¡1) x
2`
´
dx:
u
t
= a
2
u
xx
;0 6 x 6`
u(x;0) ='(x)
u
x
(0;t) = 0
u(`;t) = 0
u(x;t) =
1
P
k=1
A
k
cos
¼ (2k ¡1)
2`
xe
¡a
2
³
¼ (2k¡1)
2`
´
2
t
A
k
=
2
`
`
R
0
'(x) cos
³
¼ (2k¡1) x
2`
´
dx:
(2¼ ¡x)
u
0
'
0
0 6 x 6` '
0
0 6 x 6` (x ¡`) x
0 6 x 6` '(x) =
8
>
<
>
:
2
`
x;0 6 x 6
`
2
2
`
(`¡x);
`
2
6 x 6`
u
t
= a
2
u
xx
;0 6 x 6 ¼
u(x;0) =
8
>
<
>
:
2
¼
x;0 6 x 6
¼
2
2
¼
(¼ ¡x);
¼
2
6 x 6 ¼
u(0;t) = 0;u(¼;t) = 0
0 6 x 6` 0 '(x)
u
t
= a
2
u
xx
¡hu;0 6 x 6 ¼
u(x;0) ='
0
;'
0
= const
u(0;t) = 0;u(¼;t) = 0
0 6 x 6 1 (1 ¡2 x)
0 6 x 6` '(x)
0 6 x 6` µ
0
(u
0
+u
1
x)
u
t
= a
2
u
xx
;0 6 x 6 ¼
u(x;0) =
8
>
<
>
:
2
¼
x;0 6 x 6
¼
2
2
¼
(¼ ¡x);
¼
2
6 x 6 ¼
u
x
(0;t) = 0;u
x
(¼;t) = 0
u
t
= a
2
u
xx
¡hu;0 6 x 6 1
u(x;0) =
8
>
<
>
:
2 x;0 6 x 6
1
2
2(1 ¡x);
1
2
6 x 6 1
u
x
(0;t) = 0;u
x
(1;t) = 0
0 6 x 6 1 x
2
¡2 x
0 6 x 6 1 x
2
¡1
» = x ¡t;´ = x;u
»´
= 0
» = x +y;´ = y;u
´´
= 0
» = ln(x +
p
1 +x
2
);´ = ln(y +
p
1 +y
2
);u
»»
+u
´´
= 0
» = x +y +sin(x);´ = x ¡y ¡sin(x)
u
»´
+
1
4
sin
» +´
2
(u
´
¡u
»
) = 0
y > 0 » = x;´ =
2
3
y
3=2
u
»»
+u
´´
+
1
3´
u
´
= 0
y < 0 » = x ¡
2
3
(¡y)
3=2
;´ = x +
2
3
(¡y)
3=2
u
»´
¡
1
6(´ ¡»)
(u
»
¡u
´
) = 0
u(x;t) = 2¼ +4
1
P
k=1
(¡1)
k
k
sin
µ
k
2
x
¶
e
¡
a
2
k
2
4
t
u(x;t) = ('
0
¡u
0
) e
¡ht
+u
0
u(x;t) =
2'
0
¼
1
P
k=1
(¡1)
k+1
+1
k
sin
µ
¼ k
`
x
¶
e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
:
u(x;t) =
4`
2
¼
3
1
P
k=1
(¡1)
k
¡1
k
3
sin
µ
¼ k
`
x
¶
e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
:
u(x;t) =
8
¼
2
1
P
k=1
sin(
¼ k
2
)
k
2
sin
µ
¼ k
`
x
¶
e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
:
u(x;t) =
8
¼
2
1
P
k=1
sin(
¼ k
2
)
k
2
sin(k x) e
¡a
2
k
2
t
:
u(x;t) = e
¡ht
1
P
k=1
B
k
sin
µ
¼ k
`
x
¶
e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
B
k
=
2
`
`
R
0
'(x) sin
¡
¼ k
`
x
¢
dx:
u(x;t) = e
¡ht
1
P
k=1
B
k
sin(kx) e
¡a
2
k
2
t
B
k
=
2'
0
¼ k
(1 ¡(¡1)
k
):
u(x;t) =
1
P
k=1
A
k
cos(¼kx) e
¡a
2
¼
2
k
2
t
A
k
=
4
¼
2
k
2
(1 ¡(¡1)
k
):
u(x;t) =
A
0
2
e
¡ht
+e
¡ht
1
P
k=1
A
k
cos
¼ k
`
xe
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
A
0
=
2
`
`
R
0
'(x) dx
A
k
=
2
`
`
R
0
'(x) cos
¡
¼ k x
`
¢
dx
u(x;t) = µ
0
+
2(u
0
¡µ
0
) +u
1
`
2
e
¡ht
+e
¡ht
1
P
k=1
A
k
cos
µ
¼kx
`
¶
e
¡a
2
¼
2
k
2
`
2
t
A
k
=
2u
1
`
¼
2
k
2
((¡1)
k
¡1):
u(x;t) =
1
2
+
1
P
k=1
A
k
cos(kx) e
¡a
2
k
2
t
A
k
=
4
¼
2
k
2
(2 cos(
¼ k
2
) ¡1 ¡(¡1)
k
):
u(x;t) =
1
2
e
¡ht
+e
¡ht
1
P
k=1
A
k
cos(¼kx) e
¡a
2
¼
2
k
2
t
A
k
=
4
¼
2
k
2
(2 cos(
¼ k
2
) ¡1 ¡(¡1)
k
):
u(x;t) =
1
P
k=1
B
k
sin
µ
¼ (2k ¡1)
2
x
¶
e
¡a
2
³
¼ (2 k¡1)
2
´
2
t
B
k
= ¡
32
¼
3
(2k ¡1)
3
:
u(x;t) =
1
P
k=1
A
k
cos
µ
¼ (2k ¡1)
2
x
¶
e
¡a
2
³
¼ (2 k¡1)
2
´
2
t
A
k
=
32 (¡1)
k
¼
3
(2k ¡1)
3
:
F(x;t) u
t
= a
2
u
xx
+F(x;t);0 6 x 6`
0 6 x 6` F(x;t)
u
t
= a
2
u
xx
+F(x;t);0 6 x 6`
u(x;0) = 0 u(0;t) = 0;u(`;t) = 0 B
k
(t):
u(x;t) =
1
X
k=1
B
k
(t) sin
µ
¼ k
`
x
¶
e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
:
F(x;t) F(x;t) =
1
X
k=1
F
k
(t) sin
µ
¼ k
`
x
¶
;
F
k
(t) =
2
`
`
Z
0
F(s;t) sin
µ
¼ k
`
s
¶
ds:
u
t
¡a
2
u
xx
= F(x;t):
F(x;t) 1
X
k=1
µ
_
B
k
(t) ¡
¼
2
k
2
`
2
¶
B
k
(t) sin
µ
¼ k
`
x
¶
e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
+
+
1
X
k=1
¼
2
k
2
`
2
sin
µ
¼ k
`
x
¶
e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
=
1
X
k=1
F
k
(t) sin
µ
¼ k
`
x
¶
:
_
B
k
(t) e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
= F
k
(t):
B
k
(t) _
B
k
(t) = F
k
(t) e
a
2
(
¼ k
`
)
2
t
:
t = 0
u(x;0) =
1
X
k=1
B
k
(0) sin
µ
¼ k
`
x
¶
:
u(x;0) = 0 B
k
(0) = 0:
B
k
(t)
(
_
B
k
(t) = F
k
(t) e
a
2
(
¼ k
`
)
2
t
B
k
(0) = 0
B
k
(t) =
t
Z
0
F
k
(¿) e
a
2
(
¼ k
`
)
2
¿
d¿ +B
k
(0):
B
k
(t) =
t
Z
0
F
k
(¿) e
a
2
(
¼ k
`
)
2
¿
d¿:
B
k
(t) F
k
(¿)
B
k
(t) =
2
`
t
Z
0
e
a
2
(
¼ k
`
)
2
¿
`
Z
0
F(s;¿) sin
µ
¼ k
`
s
¶
ds d¿:
B
k
(t) u(x;t) =
1
X
k=1
B
k
sin
µ
¼ k
`
x
¶
e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
;
B
k
(t) =
2
`
t
Z
0
e
a
2
(
¼ k
`
)
2
¿
`
Z
0
F(s;¿) sin
µ
¼ k
`
x
¶
ds d¿:
'(x)
0 6 x 6` '(x)
F(x;t)
u
t
= a
2
u
xx
+F(x;t);0 6 x 6`
u(x;0) ='(x) u(0;t) = 0;u(`;t) = 0 B
k
(t):
u(x;t) =
1
X
k=1
B
k
(t) sin
µ
¼ k
`
x
¶
e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
:
F(x;t) F(x;t) =
1
X
k=1
F
k
(t) sin
µ
¼ k
`
x
¶
;
F
k
(t) =
2
`
`
Z
0
F(s;t) sin
µ
¼ k
`
s
¶
ds:
'(x) '(x) =
1
X
k=1
'
k
sin
µ
¼ k
`
x
¶
;
'
k
=
2
`
`
Z
0
'(s) sin
µ
¼ k
`
s
¶
ds:
u
t
¡a
2
u
xx
= F(x;t):
F(x;t) 1
X
k=1
µ
_
B
k
(t) ¡
¼
2
k
2
`
2
¶
B
k
(t) sin
µ
¼ k
`
x
¶
e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
+
+
1
X
k=1
¼
2
k
2
`
2
sin
µ
¼ k
`
x
¶
e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
=
1
X
k=1
F
k
(t) sin
µ
¼ k
`
x
¶
:
_
B
k
(t) e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
= F
k
(t):
B
k
(t) _
B
k
(t) = F
k
(t) e
a
2
(
¼ k
`
)
2
t
:
t = 0
u(x;0) =
1
X
k=1
B
k
(0) sin
µ
¼ k
`
x
¶
:
1
X
k=1
'
k
sin
µ
¼ k
`
x
¶
=
1
X
k=1
B
k
(0) sin
µ
¼ k
`
x
¶
:
B
k
(t)
B
k
(0) ='
k
:
B
k
(t)
(
_
B
k
(t) = F
k
(t) e
a
2
(
¼ k
`
)
2
t
B
k
(0) ='
k
:
B
k
(t) =
t
Z
0
F
k
(¿) e
a
2
(
¼ k
`
)
2
¿
d¿ +B
k
(0):
B
k
(t) =
t
Z
0
F
k
(¿) e
a
2
(
¼ k
`
)
2
¿
d¿ +'
k
:
B
k
(t) F
k
(¿) '
k
B
k
(t) =
2
`
t
Z
0
e
a
2
(
¼ k
`
)
2
¿
`
Z
0
F(s;¿) sin
µ
¼ k
`
s
¶
ds d¿ +
+
2
`
`
Z
0
'(s) sin
µ
¼ k
`
s
¶
ds:
B
k
(t) u(x;t) =
1
X
k=1
B
k
(t) sin
µ
¼ k
`
x
¶
e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
;
B
k
(t) =
2
`
t
Z
0
e
a
2
(
¼ k
`
)
2
¿
`
Z
0
F(s;¿) sin
µ
¼ k
`
s
¶
ds d¿ +
+
2
`
`
Z
0
'(s) sin
µ
¼ k
`
s
¶
ds:
0 6 x 6 ¼ '(x) = u
0
+u
1
x;
u
0
;u
1
F(x;t) = Asin(3 x) A u
t
= a
2
u
xx
+A sin(3 x);0 6 x 6 ¼ u(x;0) = u
0
+u
1
x u(0;t) = 0;u(¼;t) = 0 0 6 x 6 ¼ B
k
(t):
u(x;t) =
1
X
k=1
B
k
(t) sin(k x) e
¡a
2
k
2
t
:
F(x;t) A sin(3 x) =
1
X
k=1
F
k
(t) sin(k x);
F
3
(t) = A;F
k
(t) ´ 0;k 6= 3:
'(x) = u
0
+u
1
x u
0
+u
1
x =
1
X
k=1
'
k
sin(k x);
'
k
=
2
¼
¼
Z
0
(u
0
+u
1
s) sin(k s) ds:
'
k
=
2
¼ k
(u
0
¡u
0
(¡1)
k
¡u
1
¼ (¡1)
k
);k 2 :
F(x;t) B
k
(t)
_
B
k
(t) = e
a
2
k
2
t
F
k
(t):
F
k
(t) B
k
(t) k = 3 k 6= 3
_
B
3
(t) = A e
9a
2
t
_
B
k
(t) = 0 t = 0
u(x;0) =
1
X
k=1
B
k
(0) sin(k x):
1
X
k=1
'
k
sin(k x) =
1
X
k=1
B
k
(0) sin(k x):
B
k
(t)
B
k
(0) ='
k
:
'
k
B
3
(0)
B
3
(0) ='
3
=
2
3¼
(2 u
0
+u
1
¼):
B
3
(t) B
k
(t) k 6= 3
8
<
:
_
B
3
(t) = A e
9 a
2
t
B
3
(0) =
2
3¼
(2 u
0
+u
1
¼):
(
_
B
k
(t) = 0
B
k
(0) ='
k
:
B
3
(t)
B
3
(t) = A
t
Z
0
e
9 a
2
¿
d¿ +
2
3¼
(2 u
0
+u
1
¼) =
=
A
9 a
2
e
9 a
2
t
+
2
3¼
(2 u
0
+u
1
¼):
B
k
(t) k 6= 3 B
k
(t) ='
k
=
2
¼ k
(u
0
¡u
0
(¡1)
k
¡u
1
¼ (¡1)
k
);k 2 ;k 6= 3:
u(x;t) =
1
X
k=1
B
k
(t) sin(k x) e
¡a
2
k
2
t
;
B
3
(t) =
A
9 a
2
e
9 a
2
t
+
2
3¼
(2 u
0
+u
1
¼);
B
k
(t) =
2
¼ k
(u
0
¡u
0
(¡1)
k
¡u
1
¼ (¡1)
k
);k 2 ;k 6= 3:
0 6 x 6` '(x) F(x;t)
u
t
= a
2
u
xx
+F(x;t);0 6 x 6`
u(x;0) ='(x) u
x
(0;t) = 0;u
x
(`;t) = 0 u(x;t) =
1
2
A
0
(t) +
1
X
k=1
A
k
(t) cos
µ
¼ k
`
x
¶
e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
:
F(x;t) F(x;t) =
1
2
F
0
(t) +
1
X
k=1
F
k
(t) cos
µ
¼ k
`
x
¶
;
F
0
(t) =
2
`
`
Z
0
F(s;t) ds;
F
k
(t) =
2
`
`
Z
0
F(s;t) cos
µ
¼ k
`
s
¶
ds;k 2 :
'(x) '(x) =
1
2
'
0
+
1
X
k=1
'
k
cos
µ
¼ k
`
x
¶
;
'
0
=
2
`
`
Z
0
'(s) ds;
'
k
=
2
`
`
Z
0
'(s) cos
µ
¼ k
`
s
¶
ds;k 2 :
F(x;t) A
0
(t) A
k
(t)
_
A
0
(t) = F
0
(t);
_
A
k
(t) = F
k
(t) e
a
2
(
¼ k
`
)
2
t
;k 2 :
t = 0 '(x) A
0
(0) ='
0
;A
k
(0) ='
k
;k 2 :
A
0
(t) A
k
(t)
(
_
A
0
(t) = F
0
(t)
A
0
(0) ='
0
:
(
_
A
k
(t) = F
k
(t) e
a
2
(
¼ k
`
)
2
t
A
k
(0) ='
k
:
A
0
(t) A
k
(t)
A
0
(t) =
t
Z
0
F
0
(¿) d¿ +'
0
;
A
k
(t) =
t
Z
0
F
k
(¿) e
a
2
(
¼ k
`
)
2
¿
d¿ +'
k
;k 2 :
A
0
(t) A
k
(t) F
0
(¿) F
k
(¿) '
0
'
k
u(x;t) =
1
2
A
0
(t) +
1
X
k=1
A
k
(t) cos
µ
¼ k
`
x
¶
e
¡a
2
(
¼ k
`
)
2
t
;
A
0
(t) =
2
`
t
Z
0
`
Z
0
F(s;¿) ds d¿ +
2
`
`
Z
0
'(s) ds;
A
k
(t) =
2
`
t
Z
0
e
a
2
(
¼ k
`
)
2
¿
`
Z
0
F(s;¿) cos
µ
¼ k
`
s
¶
ds d¿ +
+
2
`
`
Z
0
'(s) cos
µ
¼ k
`
s
¶
ds:
0 6 x 6 ¼ '(x) = u
0
+u
1
x u
0
u
1
t
= a
2
u
xx
+©(t) cos(2 x);0 6 x 6 ¼ u(x;0) = u
0
+u
1
x u
x
(0;t) = 0;u
x
(¼;t) = 0 u(x;t) =
1
2
A
0
(t) +
1
X
k=1
A
k
(t) cos(k x) e
¡a
2
k
2
t
:
1
2
F
0
(t) +
1
X
k=1
F
k
(t) cos(k x);
F
2
0
(t) = 0;F
k
(t) = 0;k 2 ;k 6= 2:
'(x) = u
0
+u
1
x u
0
+u
1
x =
1
2
'
0
+
1
X
k=1
'
k
cos(k x);
'
0
=
2
¼
¼
Z
0
(u
0
+u
1
s) ds = 2 u
0
+u
1
¼;
'
k
=
2
¼
¼
Z
0
(u
0
+u
1
s) cos(k s) ds;k 2 :
'
k
'
k
=
2 u
1
¼ k
2
((¡1)
k
¡1):
F(x;t) A
0
(t) A
k
(t)
_
A
0
(t) = F
0
(t);
_
A
k
(t) = F
k
(t) e
a
2
(
¼ k
`
)
2
t
;k 2 :
t = 0 '(x) = u
0
+ u
1
x A
0
A
k
t = 0
A
0
(0) ='
0
;A
k
(0) ='
k
;k 2 :
A
0
(t) A
k
(t)
(
_
A
0
(t) = F
0
(t)
A
0
(0) ='
0
:
(
_
A
k
(t) = F
k
(t) e
a
2
(
¼ k
`
)
2
t
A
k
(0) ='
k
:
F
0
(t) F
2
(t) F
k
(t) A
0
(t) A
2
(t) A
k
(t)
(
_
A
0
(t) = 0
A
0
(0) ='
0
:
(
_
A
2
4 a
2
t
A
2
(0) ='
2
:
(
_
A
k
(t) = 0;k 6= 2
A
k
(0) ='
k
:
A
0
(t) A
k
(t)
A
0
(t) ='
0
;
A
2
(t) =
t
Z
0
4 a
2
¿
d¿ +'
2
;
A
k
(t) ='
k
;k 2 ;k 6= 2
'
0
'
k
'
2
u(x;t) =
1
2
A
0
(t) +
1
X
k=1
A
k
(t) cos(k x) e
¡a
2
k
2
t
;
A
0
(t) = 2 u
0
+u
1
¼;
A
2
(t) =
t
Z
0
4 a
2
¿
d¿;
A
k
(t) =
2 u
1
¼ k
2
((¡1)
k
¡1);k 2 ;k 6= 2
'
k
6= 0 k 2 k = 2m+1 '
2m+1
'
2m+1
=
¡4 u
1
¼ (2m+1)
2
;
u(x;t) = (u
0
+
¼
2
u
1
) +A
2
(t) cos(2 x) e
¡4a
2
t
¡
¡
4 u
1
¼
1
X
m=1
1
(2m+1)
2
cos((2m+1) x) e
¡a
2
(2m+1)
2
t
;
A
2
(t) =
t
Z
0
4 a
2
¿
d¿:
0 6 x 6` '(x)
F(x;t)
0 6 x 6` '(x) F(x;t)
0 6 x 6 1 '(x) ='
0
'
0
F(x;t) = e
2t
sin(3 ¼ x)
0 6 x 6 1 '(x) ='
0
'
0
F(x;t) = e
¡t
cos(5 ¼ x)
0 6 x 6 1 '(x) ='
0
'
0
F(x;t) = e
t
sin(
3 ¼
2
x)
0 6 x 6 1 '(x) ='
0
'
0
F(x;t) = e
2 t
cos(
5 ¼
2
x)
u
t
= a
2
u
xx
+1;0 < x < 4;t > 0;
u
¯
¯
¯
t=0
= x
2
;
u
¯
¯
¯
x=0
= 0;u
¯
¯
¯
x=4
= 0:
u
t
= a
2
u
xx
+2;0 < x < ¼;t > 0;
u
¯
¯
¯
t=0
= x;
u
x
¯
¯
¯
x=0
= 0;u
x
¯
¯
¯
x=¼
= 0:
u
t
= a
2
u
xx
+3;0 < x <
¼
2
;t > 0;
u
¯
¯
¯
t=0
= sin3x;
u
¯
¯
¯
x=0
= 0;u
x
¯
¯
¯
x=
¼
2
= 0:
u
t
= a
2
u
xx
+4;0 < x < 1;t > 0;
u
¯
¯
¯
t=0
= cos(9¼x=2);
u
x
¯
¯
¯
x=0
= 0;u
¯
¯
¯
x=1
= 0:
u(x;t) =
1
P
k=1
B
k
(t) sin
³
¼ (2k¡1)
2`
x
´
e
¡a
2
³
¼ (2 k¡1)
2`
´
2
t
;
B
k
(t) =
2
`
t
R
0
e
a
2
³
¼ (2 k¡1)
2`
´
2
¿
`
R
0
F(s;¿) sin
³
¼ (2 k¡1)
2`
s
´
ds d¿+
+
2
`
`
R
0
'(s) sin
³
¼ (2 k¡1)
2`
s
´
ds:
u(x;t) =
1
P
k=1
A
k
(t) cos
³
¼ (2k¡1)
2`
x
´
e
¡a
2
³
¼ (2 k¡1)
2`
´
2
t
;
B
k
(t) =
2
`
t
R
0
e
a
2
³
¼ (2 k¡1)
2`
´
2
¿
`
R
0
F(s;¿) cos
³
¼ (2 k¡1)
2`
s
´
ds d¿+
+
2
`
`
R
0
'(s) cos
³
¼ (2 k¡1)
2`
s
´
ds:
u(x;t) =
4'
0
¼
sin(¼ x) e
¡a
2
¼
2
t
+(
4'
0
3¼
¡1) sin(3¼ x) e
¡9a
2
¼
2
t
+
1
2+9a
2
¼
2
sin(3¼ x) e
2 t
+
+
2'
0
¼
1
P
k=5
1 ¡(¡1)
k
k
sin(¼ k x) e
¡a
2
¼
2
k
2
t
:
u(x;t) ='
0
+
1
25¼
2
a
2
³
e
¡t
¡e
¡25pi
2
a
2
t
´
cos(5¼ x)
u(x;t) =
Ã
4'
0
3 ¼
e
¡a
2
9
4
¼
2
t
+
1
1 +
9
4
a
2
¼
2
³
e
t
¡e
¡a
2
9
4
¼
2
t
´
!
sin(
3¼
2
x)+
+
4'
0
¼
1
P
k=1;k6=2
1
2k ¡1
sin(
¼ (2k¡1)
2
x) e
¡a
2
¼
2
(2k¡1)
2
4
t
:
u(x;t) =
Ã
4'
0
5 ¼
e
¡a
2
25
4
¼
2
t
+
1
1 +
25
4
a
2
¼
2
³
e
2t
¡e
¡a
2
25
4
¼
2
t
´
!
cos(
5¼
2
x)+
+
4'
0
¼
1
P
k=1;k6=3
(¡1)
k+1
2k ¡1
cos(
¼ (2k¡1)
2
x) e
¡a
2
¼
2
(2k¡1)
2
4
t
:
f(t) R F(x) F(x) =
1
p
2¼
+1
Z
¡1
f(t)e
¡itx
dt:
F(x) =
b
f(x) = (Ff)(x):
L
1
(R) f(t) b
f(x) R b
f(x)!0 jxj!1:
f(t) 2 L
1
(R) t
0
±
Z
¡±
jf(t
0
+h) ¡f(t
0
)j
jhj
dh < 1:
f(t
0
) f(t
0
) = lim
R!1
1
p
2¼
R
Z
¡R
b
f(x)e
it
0
x
dx:
f(t
0
) =
1
p
2¼
1
Z
¡1
b
f(x)e
it
0
x
dx;
f(t) L
1
(R): (Ff
0
)(x) = ix(Ff)(x):
f(t) L
1
(R):
(Ff
(k)
)(x) = (ix)
k
(Ff)(x);k = 1;:::n:
f(t) (Ff)(x) = o(1=x
n
) jxj!1:
S(R) f(t) S(R) p
n;m
(f) = sup
t
jt
m
f
(n)
(t)j < 1
n;m:
S(R) ff
k
g S(R) f p
n;m
(f
k
¡f)!0
k!1 n;m:
F S(R) (F
¡1
g)(t) =
1
p
2¼
+1
Z
¡1
g(t)e
itx
dt:
F F
¡1
f
n
!f S(R) F
§1
f
n
!
F
§1
f:
S(R)
t
n
e
¡t
2
;Â
[0;+1)
(t)e
¡t
2
;e
¡jtj
;(1 +t
2
)
¡1
;tht;
d
dt
tht:
S(R) 1:Â
[a;b]
(t);2:e
¡®jtj
;
3:Â
(¡1;0]
(t) e
t
;4:Â
[a;b]
(t) sint:
f(t) = 1=(t
2
+1):
f(z) = 1=(z
2
+1) z = §i: F(x) =
1
p
2¼
+1
Z
¡1
e
¡itx
t
2
+1
dt
J
§
R
(x) =
1
p
2¼
Z
L
§
R
e
¡izx
z
2
+1
dz;
L
§
R
[¡R;R]
C
§
R
R C
+
R
C
¡
R
L
+
R
L
¡
R
g(z) D L z
1
;z
2
;:::z
n
: Z
L
g(z) dz = 2¼i
n
X
k=1
res
z=z
k
g(z);
res
z=z
k
g(z) g(z) z
k
res
z=z
k
g(z) = lim
z!z
k
1
(n ¡1)!
d
n¡1
dz
n¡1
(g(z)(z ¡z
k
)
n
);
n z
k
J
§
R
(x) =
p
¼=2e
§x
:
b
f(x)
b
f(x) + lim
R!1
1
p
2¼
Z
C
§
R
e
¡izx
z
2
+1
dz =
p
¼=2e
§x
:
b
f(x) C
§
R
R!1:
max
z2C
¡
R
jg(z)j!0 (max
z2C
+
R
jg(z)j!0)
R!1 x > 0 (x < 0):
lim
R!1
Z
C
¡
R
g(z)e
¡izx
dz = 0
0
B
@
lim
R!1
Z
C
+
R
g(z)e
¡izx
dz = 0
1
C
A
:
b
f(x) =
p
¼=2e
x
x < 0
b
f(x) =
p
¼=2e
¡x
x > 0;
b
f(x) =
p
¼=2e
¡jxj
:
f(t) = 1=cht:
1=chz z
k
= i(k +
1=2)¼ k = 0;§1;::: 2¼ires
z=z
k
f
e
¡izx
chz
g = 2¼i
e
¡iz
k
x
shz
k
=
= 2¼
e
(k+1=2)¼x
sin(k +1=2)x
= 2¼(¡1)
k
e
(k+1=2)¼x
:
¡
§
n
x < 0: L
+
R;n
¡R;R;R+in¼;¡R+
in¼ J
+
R;n
=
1
p
2¼
Z
L
+
R;n
e
¡izx
chz
dz:
¡
+
R;n
= L
+
R;n
n [¡R;R]: Z
¡
+
R;n
e
¡izx
chz
dz!0 R;n!1:
x < 0
b
f(x) =
1
X
n=0
p
2¼(¡1)
n
e
(n+1=2)¼x
:
x < 0
b
f(x) =
p
2¼
e
¼x=2
1 +e
¼x
=
p
¼=2
1
ch¼x=2
:
x > 0
t=sht;sint=t:
f(t) = e
¡®t
2
e
¡®z
2
Z
C
R
e
¡®z
2
e
¡izx
dz = 0;
C
R
¡R;R;R +
iy;¡R+iy §R+iy
Z
§R
e
¡®z
2
e
¡izx
dz
R!+1:
b
f(x) =
1
p
2¼
+1+iy
Z
¡1+iy
e
¡®z
2
e
¡izx
dz
y
z = t + iy y b
f(x) =
1
p
2¼
+1
Z
¡1
e
¡®(t+iy)
2
e
¡i(t+iy)x
dt:
y = ¡x=(2®) b
f(x) =
1
p
2¼
+1
Z
¡1
e
¡
x
2
4®
e
¡®t
2
dt:
¿ = ®t
2
¡ b
f(x) =
1
p
2®
e
¡
x
2
4®
:
J(x) =
1
p
2¼
+1
Z
¡1
e
¡®t
2
e
¡itx
dt
J
0
(x) = ¡
x
2®
J(x):
J(x) = Ce
¡
x
2
4®
;
c = J(0) =
1
p
2¼
+1
Z
¡1
e
¡®t
2
dt:
¡ c =
1
p
2®
:
S
0
(R)
S
0
(R) f S(R)
f(') < f;'>:
f 2 S
0
(R)
< Ff;'>=< f;F'>;
' b
f: F
¡1
f
< F
¡1
f;'>=< f;F
¡1
'>:
S
0
(R)
F:S
0
(R)!S
0
(R)
S
0
(R) S
0
(R) F
¡1
:
f 2 S
0
(R) < F
¡1
Ff;'>=< Ff;F
¡1
'>=< f;FF
¡1
'>=< f;'>:
F
¡1
F = id:
FF
¡1
= id:
± ± < ±;'>='(0):
< F±;'>=< ±;F'>=
1
p
2¼
+1
Z
¡1
'(t) dt =<
1
p
2¼
;'>:
F± =
1
p
2¼
:
±
±
0
(x) < ±
0
;'>= ¡'
0
(0);
< F±
0
;'>=< ±
0
;F'>= ¡
1
p
2¼
+1
Z
¡1
(¡it)'(t) dt =<
it
p
2¼
;'>:
F±
0
=
it
p
2¼
:
F±
(n)
=
i
n
t
n
p
2¼
:
± ± < ±
h
;'>='(h):
f = 1
F± =
1
p
2¼
: F
¡1
± =
1
p
2¼
: F1 =
p
2¼±:
< F1;'>=< 1;F'>=
1
p
2¼
+1
Z
¡1
dt
+1
Z
¡1
'(x)e
¡itx
dx =
= lim
R!1
1
p
2¼
+R
Z
¡R
dt
+1
Z
¡1
'(x)e
¡itx
dx = lim
R!+1
r
2
¼
+1
Z
¡1
'(x)
sinRx
x
dx:
+1
Z
¡1
sinRx
x
dx = ¼:
< F1;'>=
p
2¼'(0) + lim
R!+1
r
2
¼
+1
Z
¡1
('(x) ¡'(0))
sinRx
x
dx:
J(R) J(R) = J
1
(R) +J
2
(R) +J
3
(R);
J
1
(R) =
Z
jxj<±
('(x) ¡'(0))
sinRx
x
dx;
J
2
(R) =
Z
jxj>±
'(x)
sinRx
x
dx;
J
3
(R) = ¡
Z
jxj>±
'(0)
sinRx
x
dx:
SIN¡ COS J
1
(R);J
2
(R) R!1 J
3
(R) Rx = s J
3
(R) = ¡
Z
jxj>R±
'(0))
sins
s
ds:
J
3
(R)!0 R!1 +1
R
¡1
sins
s
ds:
f(t) = t
n
:
f S
0
(R) Ff
(n)
= (ix)
n
Ff;
F(t
n
f) = i
n
(Ff)
(n)
:
sin¡ cos b
f(x) f(t) b
f(x) f(t) b
f(x) b
f(x) =
b
f(¡x) f(t) f(t) b
f(¡x) =
1
p
2¼
+1
Z
¡1
e
ixt
f(t) dt:
SIN¡ COS t!¡t b
f(¡x) =
1
p
2¼
+1
Z
¡1
e
¡ixt
f(t) dt =
b
f(x):
sin¡ cos f(t) b
f(x) =
r
2
¼
1
Z
0
cos xt f(t) dt;
f(t) =
r
2
¼
1
Z
0
cos xt
b
f(t) dt:
b
f(x) =
r
2
¼
1
Z
0
sinxt f(t) dt;
f(t) =
r
2
¼
1
Z
0
sinxt
b
f(t) dt:
f(t)
SIN¡ COS f(t) [0;+1] f
0
(t) f
00
(t) F(x) f(t) f
00
(t)
c
f
00
(x) =
r
2
¼
1
Z
0
cos xt f
00
(t) dt:
(F
c
f)(x) = ¡
r
2
¼
f
0
(0) ¡x
2
(F
c
f)(x):
F
s
F
c
f(t)
(F
s
f)(x) =
r
2
¼
xf(0) ¡x
2
(F
s
f)(x):
1):e
¡®x
2
;2):e
¡®x
2
cos ¯x (® > 0):
F
c
(e
¡®x
2
)(y) =
r
2
¼
1
Z
0
e
¡®x
2
cos xy dx =
= Re
0
@
r
1
2¼
1
Z
¡1
e
¡®x
2
e
ixy
dx
1
A
=
e
¡
y
2
4®
p
2®
:
SIN¡ COS cos ¯xcos xy = 1=2(cos(y +¯)x +cos(y ¡¯)x);
1
2
p
2®
(e
¡
(y+¯)
2
4®
+e
¡
(y¡¯)
2
4®
):
1):xe
¡®x
2
;2):xe
¡®x
2
cos ¯x (® > 0):
y
e
¡
y
2
4®
2®
p
2®
;2):
1
4®
p
2®
((y +¯)e
¡
(y+¯)
2
4®
+(y ¡¯)e
¡
(y¡¯)
2
4®
):
U(¸) = (Gu)(¸) =
r
2
¼
1
Z
0
(¸cos ¸x +¯ sin¸x)u(x) dx:
u(x) ¸cos ¸x =
d
dx
(sin¸x) U(¸) =
r
2
¼
1
Z
0
sin¸x(¯u(x) ¡u
0
(x)) dx:
sin u
0
(x) ¡¯u(x) = ¡
r
2
¼
1
Z
0
sin¸xU(¸) d¸:
u(x) d
dx
(expf¡¯xgu(x)) = ¡
r
2
¼
1
Z
0
expf¡¯xg sin¸xU(¸) d¸:
¯ > 0 x 1: 1
Z
x
expf¡¯xgsin¸xdx = Im
0
@
1
Z
x
expf¡¯xge
i¸x
dx
1
A
=
= Im
e
¡¯x+i¸x
¯ ¡i¸
=
e
¡¯x
¯
2
+¸
2
(¯ sin¸x +¸cos ¸x);
u(x) =
r
2
¼
1
Z
0
¸cos ¸x +¯ sin¸x
¯
2
+¸
2
U(¸) d¸:
¯ > 0:
¯ < 0
(Gu
00
)(¸) G (Gu
00
)(¸) =
q
2
¼
¸(¡u
0
(0) +¯u(0)) ¡¸
2
(Gu)(¸):
R
n
(Ff)(y) =
1
(2¼)
n=2
Z
R
n
f(x)e
¡i(x;y)
dx;
x;y 2 R
n
;(x;y) =
n
P
j=0
x
j
y
j
: S(R
n
)
f(x) R
n
sup
x
jx
®
@
¯
f(x)j < 1
® = (®
1
;®
2
;::®
n
);¯ = (¯
1
;:::¯
n
) x
®
=
x
®
1
1
;:::x
®
n
n
:
f(x) S(R
n
) (F@
®
f)(y) = (iy)
®
(Ff)(y);(@
®
(Ff)(y) = (F(¡ix)
®
f)(y):
F
x
j
!y
j
S(R
n
) (F
¡1
g)(y
1
;:::x
j
;:::y
j
) =
1
p
2¼
+1
Z
¡1
g(y)e
ix
j
y
j
dy
j
:
F
x!y
= F
x
1
!y
1
F
x
2
!y
2
:::F
x
n
!y
n
S(R
n
) (F
¡1
f)(y) =
1
(2¼)
n=2
Z
R
n
f(x)e
i(x;y)
dx;
F
s;x
1
!y
1
F
s;x
2
!y
2
;F
c;x
1
!y
1
F
s;x
2
!y
2
;F
c;x
1
!y
1
F
c;x
2
!y
2
:
4f
(
u
t
= a
2
u
xx
x 2 R;t > 0
uj
t=0
='(x):
'2 S(R) u(x;t) u;u
t
;u
x
;u
xx
2
S(R) t ¸ 0: bu
t
= (bu)
t
;cu
xx
= F
x!y
u
xx
= ¡y
2
bu
bu(y;t)
(
d
dt
bu = ¡a
2
y
2
bu
buj
t=0
= b'(y):
d
dt
(bue
a
2
y
2
t
) = 0:
bu bu(y;t) = b'(y)e
¡a
2
y
2
t
:
bu(y;t) 2 S(R) t ¸ 0: u(x;t) =
1
p
2¼
+1
Z
¡1
b'(y)e
¡a
2
y
2
t
e
iyx
dy:
b'(y) u(x;t) =
1
2¼
+1
Z
¡1
'(s)
+1
Z
¡1
e
¡a
2
y
2
t
e
iy(x¡s)
dy ds:
u(x;t) =
+1
Z
¡1
e
¡
(x¡s)
2
4a
2
t
2a
p
¼t
'(s) ds:
G
0
(x;t) =
e
¡
x
2
4a
2
t
2a
p
¼t
:
u(x;t) =
+1
Z
¡1
G
0
(x ¡s;t)'(s) ds:
G
0
(x ¡s;t) t!+1:
'(x) t · T
t!+1:
'(x) b'(y) S(R) I
±
(t;x) =
1
p
2¼
Z
jyj>±
b'(y)e
¡a
2
y
2
t
e
iyx
dy
I
±
(t;x) = O(e
¡a
2
±
2
t
):
u(t;x) t!+1 J
±
(t;x) =
1
p
2¼
Z
jyj<±
b'(y)e
¡a
2
y
2
t
e
iyx
dy:
± b'(x) b'(0) =
1
p
2¼
+1
Z
¡1
'(x) dx:
1
p
2¼
Z
jyj<±
e
¡a
2
y
2
t
e
iyx
dy
1
p
2¼
+1
Z
¡1
e
¡a
2
y
2
t
e
iyx
dy;
O(e
¡a
2
±
2
t
) G
0
(x;t) =
e
¡
x
2
4a
2
t
2a
p
¼t
:
u(x;t) » b'(0)
e
¡
x
2
4a
2
t
2a
p
¼t
:
1
p
2¼
+1
Z
¡1
y
n
e
¡a
2
y
2
t
e
iyx
dy = (¡i)
n
d
n
dx
n
(
e
¡
x
2
4a
2
t
2a
p
¼t
)
:
b'(y) b'(y) »
1
X
n=0
b'
(n)
(0)
y
n
n!
;
u(x;t) u(x;t) »
1
X
n=0
b'
(n)
(0)
(¡i)
n
n!
d
n
dx
n
(
e
¡
x
2
4a
2
t
2a
p
¼t
)
:
u
t
= u
xx
;
uj
t=0
='(x) '(x)
a):e
¡
(x¡x
0
)
2
4¿
¿ > 0;b):x
n
;c):sin®x;d):e
¯x
cos ®x:
@u
@t
= a
2
@
2
u
@
2
x
+f(x;t)
uj
t=0
= 0:
(
@bu
@t
= ¡a
2
y
2
bu +
b
f(y;t)
buj
t=0
= 0:
bu(y;t) =
t
Z
0
e
¡a
2
y
2
(t¡¿)
b
f(y;t) dy:
F
¡1
y!x
(e
¡a
2
y
2
(t¡¿)
b
f(y;t)) =
+1
Z
¡1
e
¡
(x¡s)
2
4a
2
(t¡¿)
2a
p
¼(t ¡¿)
f(s;¿) ds:
u(x;t) =
t
Z
0
+1
Z
¡1
e
¡
(x¡s)
2
4a
2
(t¡¿)
2a
p
¼(t ¡¿)
f(s;¿) ds d¿:
G(x;tjs;¿) =
e
¡
(x¡s)
2
4a
2
(t¡¿)
2a
p
¼(t ¡¿)
s;¿ t > ¿ @G
@t
= a
2
@
2
G
@
2
x
:
G(x;tjs;¿) ¿ · t G(x;tjs;¿) @G
@t
= a
2
@
2
G
@
2
x
+±(x ¡s)±(t ¡¿);
t < ¿:
s = 0: x b
G
@
b
G
@t
= ¡a
2
y
2
b
G+
1
p
2¼
±(t ¡¿):
e
a
2
y
2
t
@
b
Ge
a
2
y
2
t
@t
=
e
a
2
y
2
¿
p
2¼
±(t ¡¿):
±(t ¡¿) =
d
dt
´(t ¡¿) ´(t) =
(
1; t > 0;
0; t < 0;
b
G =
e
a
2
y
2
(¿¡t)
p
2¼
´(t ¡¿):
±(x¡s)±(t¡¿) x = s t = ¿ G(x;tjs;¿) f(x;t) =
+1
Z
¡1
+1
Z
¡1
±(x ¡s)±(t ¡¿)f(s;¿) ds d¿
u(x;t) =
+1
Z
¡1
+1
Z
¡1
G(x;tjs;¿)f(s;¿) ds d¿:
t < 0 ¿ > t u(x;t) =
+1
Z
¡1
t
Z
0
G(x;tjs;¿)f(s;¿) ds d¿:
G
0
(x ¡s;t) t > 0 u
t
= a
2
u
xx
uj
t=0
= ±(x ¡s):
G
0
(x ¡s;0) = ±(x ¡s);
lim
t!+0
G
0
(x ¡s;t) = ±(x ¡s):
f(x)
lim
t!+0
+1
Z
¡1
G
0
(x ¡s;t)f(s) ds = f(x):
+1
Z
¡1
G
0
(x ¡s;t)f(s) ds
f(x):
@u
@t
= a
2
@
2
u
@
2
x
+b
@u
@x
+cu +f(x;t):
(
@u
@t
= a
2
@
2
u
@
2
x
+cu +f(x;t);0 < x < +1;
@u
@x
j
x=0
= ®(t);uj
t=0
='(x):
(
@u
@t
= a
2
@
2
u
@
2
x
+cu;0 < x < +1;
@u
@x
j
x=0
= 0;uj
t=0
='(x);
(
@u
@t
= a
2
@
2
u
@
2
x
+cu +f(x;t);0 < x < +1;
@u
@x
j
x=0
= 0;uj
t=0
= 0;
(
@u
@t
= a
2
@
2
u
@
2
x
+cu;0 < x < +1;
@u
@x
j
x=0
= ®(t);uj
t=0
= 0:
(
@bu
@t
= ¡a
2
y
2
bu +cbu;0 < y < +1;
buj
t=0
= b'(y):
(
@bu
@t
= ¡a
2
y
2
bu +cbu +
b
f(y;t);0 < y < +1;
buj
t=0
= 0:
8
<
:
@bu
@t
= ¡a
2
y
2
bu +c
b
u ¡
q
2
¼
®(t);0 < y < +1;
buj
t=0
= 0:
bu
1
;bu
2
;bu
3
bu
1
(y;t) = b'(y) expf¡a
2
y
2
t +ctg;
bu
2
(y;t) =
t
Z
0
expf(¡a
2
y
2
+c)(t ¡¿)g
b
f(y;¿) d¿;
bu
3
(y;t) = ¡
r
2
¼
t
Z
0
expf(¡a
2
y
2
+c)(t ¡¿)g®(¿) d¿:
u
1
(x;t) u
2
(x;t);u
3
(x;t) u
1
(x;t) =
r
2
¼
1
Z
0
b'(y) expf¡a
2
y
2
t +ctg cos yxdy;
u
2
(x;t) =
r
2
¼
1
Z
0
t
Z
0
expf(¡a
2
y
2
+c)(t ¡¿)g
b
f(y;¿) d¿ cos yxdy;
u
3
(x;t) = ¡
2
¼
1
Z
0
t
Z
0
expf(¡a
2
y
2
+c)(t ¡¿)g®(¿) d¿ cos yxdy;
u
j
u(x;t) = u
1
(x;t) +u
2
(x;t) +u
3
(x;t):
I(x;t) =
+1
Z
0
e
¡a
2
y
2
t
cos yxdy =
p
¼
2a
p
t
e
¡
x
2
4a
2
t
:
u
3
(x;t) u
3
(
x;t
) =
¡
1
a
p
¼
t
Z
0
e
¡
x
2
4a
2
(t¡¿)
p
t ¡¿
e
c(t¡¿)
®
(
¿
)
d¿:
u
1
(x;t) b'(y) J(x;s;t) =
+1
Z
0
e
¡a
2
y
2
t
cos yxcos ys dy
I(x;t) J(x;s;t) =
1
2
(I(x +s;t) +I(x ¡s;t)):
J(x;s;t) =
p
¼
4a
p
t
(e
¡
(x+s)
2
4a
2
t
+e
¡
(x¡s)
2
4a
2
t
):
u
1
(x;t) =
e
ct
2a
p
¼t
1
Z
0
µ
e
¡
(x+s)
2
4a
2
t
+e
¡
(x¡s)
2
4a
2
t
¶
'(s) ds:
u
2
(x;t) =
t
Z
0
e
c(t¡¿)
2a
p
¼(t ¡¿)
1
Z
0
µ
e
¡
(x+s)
2
4a
2
(t¡¿)
+e
¡
(x¡s)
2
4a
2
(t¡¿)
¶
f(s;¿)(s) ds d¿:
(
@u
@t
= a
2
@
2
u
@
2
x
+cu +f(x;t);0 < x < +1;
uj
x=0
= ®(t);uj
t=0
='(x):
(
@u
@t
=
@
2
u
@
2
x
;0 < x < +1;
(
@u
@x
¡®u)j
x=0
= 0;uj
t=0
='(x):
G ¯ = ® @(Gu)
@t
= ¡¸
2
(Gu);(Gu)j
t=0
= (G')(y):
(Gu)(y) = (G')(y)e
¡¸
2
t
:
u(x;t) =
r
2
¼
1
Z
0
e
¡¸
2
t
(G')(¸)
¸cos ¸x +®sin¸x
¸
2
+®
2
d¸:
u
t
= u
xx
+f(x;t)
uj
x=0
= 0
u
t
= u
xx
+±(x ¡s)±(t ¡¿);uj
x=0
= 0
u = 0 t < ¿: uj
x=0
= 0 (±(x¡s)¡±(x+s))±(t¡¿)
s ¡s G(x;tjs;¿)¡G(x;tj¡s;¿): x > 0;s > 0: G
1
(x;tjs;¿) = G(x;tjs;¿) ¡G(x;tj ¡s;¿) =
= ´(t ¡¿)
1
2
p
¼(t ¡¿)
(e
¡
(x¡s)
2
4(t¡¿)
¡e
¡
(x+s)
2
4(t¡¿)
):
x > 0
u
t
= u
xx
+f(x;t);uj
t=0
='(x);uj
x=0
= 0:
u(x;t) =
1
Z
0
'(s)
2
p
¼t
(e
¡
(x¡s)
2
4t
¡e
¡
(x+s)
2
4t
) ds+
+
t
Z
0
1
Z
0
f(s;¿)
2
p
¼(t ¡¿)
(e
¡
(x¡s)
2
4(t¡¿)
¡e
¡
(x+s)
2
4(t¡¿)
) ds dt:
w x > 0
u
t
= u
xx
;uj
t=0
= 0;uj
x=0
= f(t):
w(x;t) wj
x=0
= f(t):
u = v +w v v
t
= v
xx
+(w
xx
¡w
t
);vj
x=0
= 0;vj
t=0
= ¡wj
t=0
:
v v(x;t) = ¡
1
Z
0
w(s;0)G
1
(x;tjs;0) ds+
t
Z
0
1
Z
0
G
1
(x;tjs;¿)(w
ss
(s;¿)¡w
¿
(s;¿)) ds d¿:
J
"
(x;t) =
t¡"
Z
0
1
Z
0
G
1
(x;tjs;¿)(w
ss
(s;¿) ¡w
¿
(s;¿)) ds d¿:
J
"
(x;t) =
t¡"
Z
0
@
@s
G
1
(x;tjs;¿)j
s=0
f(¿) d¿ ¡
1
Z
0
(G
1
(x;tjs;¿)w(s;¿))j
t¡"
¿=0
ds:
"!+0 lim
"!+0
J
"
(x;t) =
t
Z
0
@
@s
G
1
(x;tjs;¿)j
s=0
f(¿) d¿¡w(x;t)+
1
Z
0
G
1
(x;tjs;0)w(s;0) ds:
u u(x;t) =
t
Z
0
@
@s
G
1
(x;tjs;¿)j
s=0
f(¿) d¿:
x > 0
u
t
= u
xx
+f(x;t);u
x
j
x=0
= ®(t);uj
t=0
= ¯(x):
x > 0
u
t
= u
xx
¡b
2
e
¡kx
;uj
x=0
= U
0
= const;uj
t=0
= 0:
x > 0
u
t
= u
xx
;u
x
j
x=0
= q;uj
t=0
= 0:
u
t
= u
xx
;v
0
t < x < +1;u(x;0) ='(x);u(v
0
t;t) = 0:
» = x¡v
0
t;0 <
» < 1 v u(x;t) = e
®»+¯t
v(»;t):
u
t
= e
®»+¯t
[(¯ ¡®v
0
)v +v
t
¡v
0
v
»
];
u
x
= e
®»+¯t
(®v +v
»
);
u
xx
= e
®»+¯t
(®
2
v +2®vj» +v
»»
)
v(»;t) v
t
= v
»»
+(2® +v
0
)v
»
+(®
2
¡¯ +®v
0
)v:
® = ¡v
0
=2;¯ = ¡v
2
0
=4 v
t
= v
»»
;
v vj
t=0
='(»)e
(v
0
»=2)
;vj
»=0
= 0:
v(»;t) =
1
Z
0
e
(v
0
s=2)
'(s)
2
p
¼t
(e
¡
(»¡s)
2
4t
¡e
¡
(»+s)
2
4t
) ds:
u(x;t) = e
(v
2
0
t¡2v
0
x)=4
1
Z
0
e
(v
0
s=2)
'(s)
2
p
¼t
µ
e
¡
(x¡v
0
t¡s)
2
4t
¡e
¡
(x¡v
0
t+s)
2
4t
¶
ds:
(0;l) x = l x = 0: 4l¡ P
12
(x;s;t) u
t
= u
xx
uj
t=0
= ±(x ¡s);
uj
t=0
=
+1
X
k=¡1
(±(x¡s+4kl)¡±(x+s+4kl)+±(x+s¡2l+4kl)¡±(x¡s+2l+4kl)):
P
12
(x;s;t) P
12
(x;s;t) =
1
2
p
¼t
+1
X
k=¡1
(e
¡
(x¡s+4kl)
2
4t
¡e
¡
(x+s+4kl)
2
4t
+e
¡
(x+s¡2l+4kl)
2
4t
¡e
¡
(x¡s+2l+4kl)
2
4t
):
t (0:l) u
t
= u
xx
;v
0
t < x < 1;t > 0
uj
t=0
= 0;u(v
0
t;t) = ¹(t):
R
3
uj
t=0
=
f(x;y;z) z:
f 2
S(R
n
): F
(x;y;z)!(®;¯;°)
u
t
= 4u;uj
t=0
= f(x;y;z)
buj
t
= ¡(®
2
+¯
2
+°
2
)bu;buj
t=0
=
b
f(®;¯;°):
bu =
b
f(®;¯;°)e
¡(®
2
+¯
2
+°
2
)t
:
bu 2 S(R
n
) t ¸ 0:
u(x;y;z;t) =
1
(2¼)
3=2
+1
Z
¡1
+1
Z
¡1
+1
Z
¡1
b
f(®;¯;°)e
¡(®
2
+¯
2
+°
2
)t
e
i(x®+y¯+z°)
d®d¯ d°:
b
f u(x;y;z;t) =
1
(2¼)
3
+1
Z
¡1
+1
Z
¡1
+1
Z
¡1
f(»;´;³)£
0
@
+1
Z
¡1
+1
Z
¡1
+1
Z
¡1
e
¡(®
2
+¯
2
+°
2
)t
e
i((x¡»)®+(y¡´)¯+(z¡³)°)
d®d¯ d°
1
A
d» d´ d³:
1
(2¼)
3
+1
Z
¡1
+1
Z
¡1
+1
Z
¡1
e
¡(®
2
+¯
2
+°
2
)t
e
i((x¡»)®+(y¡´)¯+(z¡³)°)
d®d¯ d° =
e
¡
(x¡»)
2
+(y¡´)
2
+(z¡³)
2
4t
(2
p
¼t)
3
:
u(x;y;z;t) =
+1
Z
¡1
+1
Z
¡1
+1
Z
¡1
f(»;´;³)
e
¡
(x¡»)
2
+(y¡´)
2
+(z¡³)
2
4t
(2
p
¼t)
3
d» d´ d³:
z z u(x;y;t) =
+1
Z
¡1
+1
Z
¡1
f(»;´)
e
¡
(x¡»)
2
+(y¡´)
2
4t
4¼t
d» d´:
R
3
g(x;y;z;t) bu
t
= ¡(®
2
+¯
2
+°
2
)bu +bg(®;¯;°;t);buj
t=0
= 0:
bu(®;¯;°;t) =
t
Z
0
e
¡(®
2
+¯
2
+°
2
)(t¡¿)
bg(®;¯;°;¿) d¿:
u(x;y;z;t) =
t
Z
0
+1
Z
¡1
+1
Z
¡1
+1
Z
¡1
g(»;´;³;¿)
e
¡
(x¡»)
2
+(y¡´)
2
+(z¡³)
2
4(t¡¿)
(2
p
¼(t ¡¿))
3
d» d´ d³ d¿:
u
t
= 4u +(a
1
@
1
+a
2
@
2
+a
3
@
3
)u +bu;u
t=0
= f(x
1
;x
2
;x
3
):
z > 0
u
t
= 4u;uj
z=0
= f(x;y;t);uj
t=0
= 0:
F
x!®
F
y!¯
F
s;z!°
z bu
t
= ¡(®
2
+¯
2
+°
2
)bu +
s
2
=¼
°
b
f(®;¯;t):
bu(®;¯;°;t) =
t
Z
0
e
¡(®
2
+¯
2
+°
2
)(t¡¿)
s
2
=¼
°
b
f(®;¯;¿) d¿:
b
f u(x;y;z;t) =
1
2¼
3
+1
Z
¡1
+1
Z
¡1
t
Z
0
f(»;´;¿)£
0
@
+1
Z
¡1
+1
Z
¡1
+1
Z
0
e
¡(®
2
+¯
2
+°
2
)(t¡¿)
° sin°z e
i®(x¡»)+i¯(y¡´)
d®d¯ d°
1
A
d¿ d» d´
u(x;y;z;t) =
z
(2
p
¼)
3
Z
t
0
d¿
(t ¡¿)
5=2
+1
Z
¡1
+1
Z
¡1
e
¡
(x¡»)
2
+(y¡´)
2
+z
2
4(t¡¿)
f(»;´;¿) d» d´ d¿:
z > 0
u
t
= 4u;uj
t=0
= f(x;y;z);uj
z=0
= 0:
z > 0
u
t
= 4u +g(x;y;z;t);uj
t=0
= f(x;y;z);uj
z=0
= 0:
z > 0
u
t
= 4u;uj
t=0
= f(x;y;z);u
z
j
z=0
= 0:
z > 0
u
t
= 4u +g(x;y;z;t);uj
t=0
= f(x;y;z);u
z
j
z=0
= h(x;y;t):
D D = f(x;y;z);0 < x < a;0 < y < b;0 < z < 1g = (0;a) £(0;b) £(0;1):
D u
t
= 4u;uj
t=0
= f(x;y;z);uj
@D
= 0:
z bu(x;y;³;t) = (F
s
u)(x;y;³;t)
bu
t
=
µ
@
2
@x
2
+
@
2
@y
2
¶
bu¡³
2
bu;(x;y) 2 G = (0;a)£(0;b);buj
@G
= 0;buj
t=0
=
b
f(x;y;³):
bu = ve
¡³
2
t
v
v
t
=
µ
@
2
@x
2
+
@
2
@y
2
¶
v;(x;y) 2 G = (0;a) £(0;b);vj
@G
= 0;v
t=0
=
b
f(x;y;³):
P(x;y;»;´;t) =
4
ab
1
X
k;l=1
sin
k¼x
a
sin
k¼»
a
sin
l¼y
b
sin
l¼y
b
e
¡(
(k¼)
2
a
2
+
(l¼)
2
b
2
)t
:
v v(x;y;³;t) =
Z
G
Z
P(x;y;»;´;t)
b
f(»;´;³) d» d´:
e
¡³
2
t
v ³ 2
¼
1
Z
0
e
¡³
2
t
sinz³ sins³ d³ =
1
2
p
¼t
(e
¡
(z¡s)
2
4t
¡e
¡
(z+s)
2
4t
);
u u(x;y;z;t) =
Z
1
0
Z
G
Z
P(x;y;»;´;t)f(»;´;s)
1
2
p
¼t
(e
¡
(z¡s)
2
4t
¡e
¡
(z+s)
2
4t
) d» d´ ds:
D = f(x;y);x 2 (0;a);y 2 (0;1g:
u
t
= 4u
D u
y
j
y=0
= 0;uj
x=0
= 0;u
x
j
x=a
= 0:
uj
t=0
= f(x)g(y);
u(x;y;t) v(x;t) w(y;t) (0;1)
v
t
= v
xx
;v
x=0
= 0;v
x
j
x=a
= 0;vj
t=0
= f(x)
(0;1)
w
t
= w
yy
;w
y
j
y=0
= 0:
P(x;y;»;´;t) P
12
(x;»;t) [0;a] P
2
(y;´;t) (0;1): P
12
(x;»;t) =
2
a
1
X
n=1
sin
(2n ¡1)¼x
2a
sin
(2n ¡1)¼»
2a
e
¡
((2n¡1)¼)
2
4a
2
t
;
P
2
(y;´;t) =
1
2
p
¼t
µ
e
¡
(y¡´)
2
4t
+e
¡
(y+´)
2
4t
¶
:
D = R
2
£(0;a) uj
z=0
= 0;u
z
j
z=a
= 0
f(x;y;z) g(x;y;z;t)
R
2
G
2
(x;y;»;´;t;¿) =
8
<
:
e
¡
(x¡»)
2
+(y¡´)
2
4(t¡¿)
4¼(t¡¿)
;t > ¿
0;t < ¿
G
12
(z;³;t;¿) =
(
P
12
(z;³;t ¡¿);t > ¿
0;t < ¿
;
P
12
(z;³;t) =
2
a
1
X
n=1
sin
(2n ¡1)¼z
2a
sin
(2n ¡1)¼´
2a
e
¡
(2n¡1)
2
¼
2
4a
2
t
u(x;y;z;t) =
+1
Z
¡1
+1
Z
¡1
a
Z
0
G
2
(x;y;»;´;t;0)G
12
(z;³;t;0)f(»;´;³) d» d´ d³+
+
t
Z
0
+1
Z
¡1
+1
Z
¡1
a
Z
0
G
2
(x;y;»;´;t;¿)G
12
(z;³;t;¿)g(»;´;³;¿) d» d´ d³ d¿:
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