Скачать
HTML для интерации на вашу страничку:

Ширина: () Высота:

Адрес страницы документа на сервисе DocMe:
Адрес полноэкранного варианта:
Короткий адрес:
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Определение . Квадратичной формой ) , ... , , ( 2 1 n x x x f от n неизвестных называется многочлен от n переменных второй степени, не содержащий членов первой степени и свободного члена , ... ... ... ) , ... , , ( 1 1 , 1 , 1 1 2 21 2 1 12 2 2 2 22 2 1 11 2 1 − − − − + + + + + + + + + + + + = n n n n n n n n i j ji j i ij n nn n x x a x x a x x a x x a x x a x x a x a x a x a x x x f причем ji ij a a = ∀ n j i , ... , 2 , 1 , = ( j i ≠ ). Замечание . С учетом условия ji ij a a = ∀ n j i , ... , 2 , 1 , = ( j i ≠ ) квадратичную форму обычно записывают в виде: n n n n j i ij n nn n x x a x x a x x a x a x a x a x x x f 1 , 1 2 1 12 2 2 2 22 2 1 11 2 1 2 ... 2 ... 2 ... ) , ... , , ( − − + + + + + + + + = . Из коэффициентов ij a можно составить квадратную матрицу n -го порядка = × nn n n n n n n a a a a a a a a a A 2 1 2 22 21 1 12 11 , которая называется матрицей квадратичной формы f , а ее ранг r называется рангом квадратичной формы f . Если n r = , т.е. матрица A невырождена ( 0 det ≠ A ), то и квадратичная форма f называется невырожденной . Из условия ji ij a a = ∀ n j i , ... , 2 , 1 , = ( j i ≠ ) следует, что T A A = , т.е. матрица A – симметрическая . Обратно , для любой симметрической матрицы A n -го порядка можно указать вполне определенную квадратичную форму f от n неизвестных, имеющую элементы матрицы A своими коэффициентами. Пример 1. Составить матрицу A квадратичной формы от трех неизвестных 3 2 2 1 2 3 2 1 3 2 1 4 3 7 ) , , ( x x x x x x x x x f − + − = . Решение . Матрица этой квадратичной формы имеет вид: − − − = × 3 5 , 0 0 5 , 0 0 2 0 2 7 3 3 A . Пример 2. Указать квадратичную форму f , соответствующую симметрической матрице − − − = 2 3 1 3 5 1 1 1 4 A . Является ли указанная квадратичная форма невырожденной? Решение . Порядок матрицы A равен трем, поэтому квадратичная форма f будет зависеть от трех неизвестных. Тогда 3 2 3 1 2 1 2 3 2 2 2 1 3 2 1 6 2 2 2 5 4 ) , , ( x x x x x x x x x x x x f + + − + − = . Вычислим определитель: 79 36 2 5 3 3 40 det − = − − + − − − = A . Поскольку 0 det ≠ A , то квадратичная форма f невырождена. Если = n x x x 2 1 x – матрица столбец из n неизвестных, то ) ( 2 1 n T x x x = x . Тогда для любой квадратичной формы f (с матрицей A ), очевидно, возможна следующая матричная запись : x x ⋅ ⋅ = A x x x f T n ) , ... , , ( 2 1 . Определение . Линейным преобразованием неизвестных называется такой переход от системы n неизвестных 1 x , 2 x , …, n x к системе n неизвестных 1 y , 2 y , …, n y , при котором старые неизвестные линейно выражаются через новые (с некоторыми числовыми коэффициентами): + + + = + + + = + + + = . ... , ... , ... 2 2 1 1 2 2 22 1 21 2 1 2 12 1 11 1 n nn n n n n n n n y q y q y q x y q y q y q x y q y q y q x Линейное преобразование неизвестных удобно записывать в матричном виде: y x ⋅ = Q , где = n x x x 2 1 x , = n y y y 2 1 y , = × nn n n n n n n q q q q q q q q q Q 2 1 2 22 21 1 12 11 . Очевидно, что любое линейное преобразование неизвестных однозначно определяется своей матрицей Q . Линейное преобразование неизвестных является невырожденным в том и только в том случае, когда его матрица Q – невырождена. Если же матрица Q является при этом ортогональной (т.е. T Q Q = − 1 ), то линейное преобразование неизвестных называется ортогональным . Вопрос . Что произойдет с квадратичной формой f , если 1 x , 2 x , …, n x будут подвергнуты линейному преобразованию y x ⋅ = Q ? Ответ . Квадратичная форма ) , ... , , ( 2 1 n x x x f с матрицей A после выполнения линейного преобразования неизвестных y x ⋅ = Q (с матрицей Q ) превращается в квадратичную форму от новых неизвестных 1 y , 2 y , …, n y , с матрицей AQ Q B T = . Действительно, пусть y x ⋅ = Q , тогда T T T Q ⋅ = y x . Отсюда ( ) ( ) ( ) y y y y y y x x ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = B AQ Q Q A Q A f T T T T T T . Покажем теперь, что матрица B – симметрическая, т.е. B B T = . Действительно, ( ) ( ) B AQ Q Q A Q AQ Q B T T T T T T T T = = = = , т.к. матрица A – симметрическая по условию ( A A T = ). Замечание . Очевидно, что ранг квадратичной формы не изменяется при выполнении невырожденного линейного преобразования неизвестных. Довольно часто на практике требуется выполнять не одно линейное преобразование неизвестных, а несколько, причем последовательно. Пусть переход от неизвестных 1 x , 2 x , …, n x к неизвестным 1 y , 2 y , …, n y задается матрицей 1 Q ( y x ⋅ = 1 Q ), а затем переход от 1 y , 2 y , …, n y к неизвестным 1 z , 2 z , …, n z задается матрицей 2 Q ( z y ⋅ = 2 Q ). Тогда ( ) ( ) z z z y x ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = Q Q Q Q Q Q 2 1 2 1 1 . Таким образом, последовательное выполнение двух линейных преобразований неизвестных вновь является линейным преобразованием от 1 x , 2 x , …, n x к 1 z , 2 z , …, n z с матрицей Q , причем 2 1 Q Q Q = . Определение . Квадратичная форма ) , ... , , ( 2 1 n x x x f имеет канонический вид , если все коэффициенты при произведениях различных неизвестных равны нулю, т.е. 0 = ij a ∀ n j i , ... , 2 , 1 , = ( j i ≠ ), и не все 0 = ii a . Замечание . В каноническом виде квадратичная форма записывается следующим образом: 2 2 2 22 2 1 11 2 1 ... ) , ... , , ( n nn n x a x a x a x x x f + + + = , где не все 0 = ii a . Теорема 1 . Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью некоторого невырожденного линейного преобразования неизвестных. При этом число ненулевых коэффициентов в этом каноническом виде (т.е. коэффициентов при квадратах неизвестных) не зависит от этого преобразования и непременно равно рангу этой квадратичной формы. ( Без доказательства .) Пример. Дана квадратичная форма 3 2 3 1 2 1 2 3 2 2 2 1 3 2 1 6 2 2 5 2 ) , , ( x x x x x x x x x x x x f + + − + − = . Привести эту форму к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных. Решение . Выделим вначале полный квадрат по переменной 1 x , получим: = + + − + − = 3 2 2 3 2 2 3 1 2 1 2 1 6 5 2 ) 2 2 ( x x x x x x x x x f = + + − + − − + − = 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 1 6 5 2 ) 2 ) (( x x x x x x x x x x x 3 2 2 3 2 2 2 3 2 1 8 4 3 ) ( x x x x x x x + + − + − = . Далее, выделим полные квадраты по переменным 2 x и 3 x : = + − ⋅ − + − = 2 3 3 2 2 2 2 3 2 1 4 3 8 3 ) ( x x x x x x x f = + − − ⋅ − + − = 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 1 4 9 16 3 4 3 ) ( x x x x x x x = + + − ⋅ − + − = 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 1 4 3 16 3 4 3 ) ( x x x x x x x 2 3 2 3 2 2 3 2 1 3 28 3 4 3 ) ( x x x x x x + − ⋅ − + − = . Положим = − = + − = . , 3 4 , 3 3 3 2 2 3 2 1 1 x y x x y x x x y Тогда квадратичная форма f примет канонический вид: 2 3 2 2 2 1 3 2 1 3 28 3 ) , , ( y y y y y y g + − = . Покажем, что линейное преобразование неизвестных, приводящее квадратичную форму f к каноническому виду, является невырожденным. Найдем матрицу Q этого преобразования. Действительно, в матричном виде замена переменных = − = + − = , , 3 4 , 3 3 3 2 2 3 2 1 1 x y x x y x x x y приводящая квадратичную форму f к каноническому виду 2 3 2 2 2 1 3 2 1 3 28 3 ) , , ( y y y y y y g + − = , выглядит следующим образом: ⋅ − − = 3 2 1 3 2 1 1 0 0 3 4 1 0 1 1 1 x x x y y y . Матрица − − = 1 0 0 3 4 1 0 1 1 1 T , очевидно, невырождена. Поэтому и матрица 1 − = T Q линейного преобразования неизвестных ( y x ⋅ = Q ) – также невырождена. Значит, и само линейное преобразование является невырожденным. Найдем явный вид этого линейного преобразования неизвестных. Поскольку = = − 1 0 0 3 4 1 0 3 1 1 1 1 T Q , то = + = + + = . , 3 4 , 3 3 3 3 2 2 3 2 1 1 y x y y x y y y x Отметим также, что ранг исходной квадратичной формы f равен 3, т.к. число ненулевых коэффициентов в каноническом виде равно 3. Замечание . Описанный в этом примере метод приведения квадратичной формы к каноническому виду (с помощью последовательного выделения полных квадратов) носит название метода Лагранжа . Следует отметить, что любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования , причем коэффициенты при квадратах неизвестных будут совпадать с собственными значениями матрицы A квадратичной формы, а столбцы матрицы Q преобразования неизвестных будут состоять из соответствующих взаимно-ортогональных ортов собственных векторов матрицы A квадратичной формы. Теорема 2 ( закон инерции ) . Если квадратичная форма приводится к каноническому виду двумя различными невырожденными преобразованиями, то число членов с положительными коэффициентами, так же как и число членов с отрицательными коэффициентами, в обоих случаях будет одно и то же. ( Без доказательства .) Пример. Привести квадратичную форму 2 1 2 2 2 1 2 1 4 5 2 ) , ( x x x x x x f + + = к каноническому виду двумя способами: с помощью ортогонального преобразования (записать явный вид этого преобразования) и методом Лагранжа. Проверить выполнение закона инерции. Решение . 1-й способ . Матрица квадратичной формы имеет вид: = 5 2 2 2 A . Собственные значения: 0 5 2 2 2 = λ − λ − ⇔ 0 6 7 2 = + λ − λ ⇔ = λ = λ . 6 , 1 Тогда орты собственных векторов: − = 5 1 5 2 1 e (для 1 = λ ); = 5 2 5 1 2 e (для 6 = λ ). Отметим, что 1 e и 2 e (в силу того, что матрица A – симметрическая, собственные числа различны) взаимно-ортогональны. Впрочем, условие ортогональности 1 e и 2 e можно проверить и непосредственно, т.к. скалярное произведение 0 ) , ( 2 1 = e e . Отсюда, матрица Q ортогонального преобразования имеет вид: − = 5 2 5 1 5 1 5 2 Q . Тогда явный вид этого ортогонального преобразования следующий: + = + − = . 5 2 5 1 , 5 1 5 2 2 1 2 2 1 1 y y x y y x С помощью этого преобразования квадратичная форма f примет вид: 2 2 2 1 2 1 6 ) , ( y y y y g + = . 2-й способ . Выделим полные квадраты по переменным 1 x и 2 x : 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 3 ) ( 2 5 ) ) (( 2 5 ) 2 ( 2 ) , ( x x x x x x x x x x x x x f + + = + − + = + + = . Положим 2 1 1 x x z + = , 2 2 x z = . Тогда квадратичная форма f примет вид: 2 2 2 1 2 1 3 2 ) , ( z z z z h + = . Закон инерции, очевидно, выполняется. Классификация квадратичных форм Определение . Квадратичная форма ) , ... , , ( 2 1 n x x x f называется положительно определенной , если 0 ) , ... , , ( 2 1 > n x x x f на любых наборах значений неизвестных 1 x , 2 x , …, n x , 0 ... 2 2 2 2 1 ≠ + + + n x x x (т.е. кроме набора неизвестных, когда 0 ... 2 1 = = = = n x x x ). Определение . Квадратичная форма ) , ... , , ( 2 1 n x x x f называется положительно полуопределенной , если 0 ) , ... , , ( 2 1 ≥ n x x x f на любых наборах значений неизвестных 1 x , 2 x , …, n x . Определение . Квадратичная форма ) , ... , , ( 2 1 n x x x f называется отрицательно определенной , если 0 ) , ... , , ( 2 1 < n x x x f на любых наборах значений неизвестных 1 x , 2 x , …, n x , 0 ... 2 2 2 2 1 ≠ + + + n x x x (т.е. кроме набора неизвестных, когда 0 ... 2 1 = = = = n x x x ). Определение . Квадратичная форма ) , ... , , ( 2 1 n x x x f называется отрицательно полуопределенной , если 0 ) , ... , , ( 2 1 ≤ n x x x f на любых наборах значений неизвестных 1 x , 2 x , …, n x . Определение . Квадратичная форма ) , ... , , ( 2 1 n x x x f называется неопределенной , если существуют наборы значений неизвестных 1 x , 2 x , …, n x , на которых 0 ) , ... , , ( 2 1 > n x x x f и 0 ) , ... , , ( 2 1 < n x x x f . Замечание . Ясно, что положительно определенная квадратичная форма после приведения к каноническому виду будет иметь только положительные коэффициенты при квадратах всех n неизвестных. Для положительно полуопределенной формы (после приведения к каноническому виду) – неотрицательные коэффициенты (некоторые могут быть равны нулю). Задание 1. Сформулируйте самостоятельно аналогичные утверждения для отрицательно определенных и полуопределенных квадратичных форм. Задание 2. Сформулируйте самостоятельно аналогичное утверждение для неопределенных квадратичных форм. Теорема 3 ( критерий Сильвестра ) . Квадратичная форма ) , ... , , ( 2 1 n x x x f является положительно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры матрицы = A nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2 22 21 1 12 11 квадратичной формы положительны . То есть 0 11 1 > = Δ a , 0 22 21 12 11 2 > = Δ a a a a , 0 33 32 31 23 22 21 13 12 11 3 > = Δ a a a a a a a a a , … , 0 | | > = Δ A n . ( Без доказательства .) Следствие . Квадратичная форма ) , ... , , ( 2 1 n x x x f является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки угловых миноров матрицы A квадратичной формы чередуются, начиная со знака «минус» , т.е. 0 11 1 < = Δ a , 0 22 21 12 11 2 > = Δ a a a a , … Действительно, 0 ) , ... , , ( 2 1 < n x x x f ∀ 1 x , 2 x , …, n x таких, что 0 ... 2 2 2 2 1 ≠ + + + n x x x ⇔ ⇔ 0 ) , ... , , ( 2 1 > − n x x x f ⇔ матрица = − ) ( A − − − − − − − − − nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2 22 21 1 12 11 имеет все положительные угловые миноры: 0 11 > − a , 0 22 21 12 11 > − − − − a a a a , 0 33 32 31 23 22 21 13 12 11 > − − − − − − − − − a a a a a a a a a , … , 0 | | > − A . Таким образом, 0 1 < Δ , 0 2 > Δ , 0 3 < Δ , … ■ Пример. Является ли положительно определенной квадратичная форма 3 2 3 1 2 1 2 3 2 2 2 1 3 2 1 2 2 4 4 5 ) , , ( x x x x x x x x x x x x f − − + + + = ? Решение . Матрица квадратичной формы имеет вид: − − − − = 4 1 1 1 1 2 1 2 5 A . Тогда 0 5 1 > = Δ , 0 1 1 2 2 5 2 > = = Δ , 0 2 5 16 1 2 2 20 ) det( 3 > = − − − + + = = Δ A . Значит, по критерию Сильвестра, квадратичная форма ) , , ( 3 2 1 x x x f является положительно определенной.
  • Дата публикации: 24 Декабрь 2010
  • Владелец: chudolos
  • Просмотров: 16834

Квадратичные формы

Обратить внимание администрации на недопустимое содержимое документа


Другие публикации владельца