close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Квадратичные формы

код для вставкиСкачать PDF 0,09 Mb Скачать doc 0,31 Mb
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
Определение
.
 
Квадратичной формой
 
)
,
...
,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
 от 
n
 неизвестных называется многочлен от 
n
 
переменных второй степени, не содержащий членов первой степени и свободного члена
,
...
...
...
)
,
...
,
,
(
1
1
,
1
,
1
1
2
21
2
1
12
2
2
2
22
2
1
11
2
1
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
n
n
n
n
n
n
n
n
i
j
ji
j
i
ij
n
nn
n
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
a
x
a
x
a
x
x
x
f
причем 
ji
ij
a
a
=
 
∀
 
n
j
i
,
...
,
2
,
1
,
=
 (
j
i
≠
).
Замечание
.
 С учетом условия 
ji
ij
a
a
=
 
∀
 
n
j
i
,
...
,
2
,
1
,
=
 (
j
i
≠
) квадратичную форму обычно
 
записывают в виде:
n
n
n
n
j
i
ij
n
nn
n
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
a
x
a
x
a
x
x
x
f
1
,
1
2
1
12
2
2
2
22
2
1
11
2
1
2
...
2
...
2
...
)
,
...
,
,
(
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
=
.
Из коэффициентов 
ij
a
 можно составить квадратную матрицу 
n
-го порядка














=
×
nn
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A







2
1
2
22
21
1
12
11
,
которая называется 
матрицей квадратичной формы 
f
, а ее ранг 
r
 называется 
рангом квадратичной
 
формы 
f
.
Если 
n
r
=
, т.е. матрица 
A
 невырождена (
0
det
≠
A
), то и квадратичная форма 
f
 называется
 
невырожденной
.
Из условия 
ji
ij
a
a
=
 
∀
 
n
j
i
,
...
,
2
,
1
,
=
 (
j
i
≠
) следует, что 
T
A
A
=
, т.е. матрица 
A
 –
 
симметрическая
.
Обратно
, для любой симметрической матрицы 
A
 
n
-го порядка можно указать вполне
 
определенную квадратичную форму 
f
 от 
n
 неизвестных, имеющую элементы матрицы 
A
 своими
 
коэффициентами.
Пример
 
1.
 Составить матрицу 
A
 квадратичной формы от трех неизвестных
3
2
2
1
2
3
2
1
3
2
1
4
3
7
)
,
,
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
−
+
−
=
.
Решение
.
 Матрица этой квадратичной формы имеет вид:










−
−
−
=
×
3
5
,
0
0
5
,
0
0
2
0
2
7
3
3
A
.
Пример
 
2.
 Указать квадратичную форму 
f
, соответствующую симметрической матрице










−
−
−
=
2
3
1
3
5
1
1
1
4
A
.
Является ли указанная квадратичная форма невырожденной?
Решение
.
 Порядок матрицы 
A
 равен трем, поэтому квадратичная форма 
f
 будет зависеть от трех
 
неизвестных. Тогда
3
2
3
1
2
1
2
3
2
2
2
1
3
2
1
6
2
2
2
5
4
)
,
,
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
+
+
−
+
−
=
.
Вычислим определитель: 
79
36
2
5
3
3
40
det
−
=
−
−
+
−
−
−
=
A
. Поскольку 
0
det
≠
A
, то
 
квадратичная форма 
f
 невырождена.
Если 














=
n
x
x
x

2
1
x
 – матрица столбец из 
n
 неизвестных, то 
)
(
2
1
n
T
x
x
x

=
x
. Тогда для
 
любой квадратичной формы 
f
 (с матрицей 
A
), очевидно, возможна следующая 
матричная запись
:
x
x
⋅
⋅
=
A
x
x
x
f
T
n
)
,
...
,
,
(
2
1
.
Определение
.
 
Линейным преобразованием неизвестных
 называется такой переход от системы 
n
 
неизвестных 
1
x
, 
2
x
, …, 
n
x
 к системе 
n
 неизвестных 
1
y
, 
2
y
, …, 
n
y
, при котором старые неизвестные
 
линейно выражаются через новые (с некоторыми числовыми коэффициентами):







+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
.
...
,
...
,
...
2
2
1
1
2
2
22
1
21
2
1
2
12
1
11
1
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
y
q
y
q
y
q
x
y
q
y
q
y
q
x
y
q
y
q
y
q
x












Линейное преобразование неизвестных удобно записывать в матричном виде:
y
x
⋅
=
Q
,
где 














=
n
x
x
x

2
1
x
, 














=
n
y
y
y

2
1
y
, 














=
×
nn
n
n
n
n
n
n
q
q
q
q
q
q
q
q
q
Q







2
1
2
22
21
1
12
11
.
Очевидно, что любое линейное преобразование неизвестных однозначно определяется своей
 
матрицей 
Q
.
Линейное преобразование неизвестных является 
невырожденным
 в том и только в том случае,
 
когда его матрица 
Q
 – невырождена. Если же матрица 
Q
 является при этом ортогональной (т.е.
 
T
Q
Q
=
−
1
), то линейное преобразование неизвестных называется 
ортогональным
.
Вопрос
.
 Что произойдет с квадратичной формой 
f
, если 
1
x
, 
2
x
, …, 
n
x
 будут подвергнуты линейному
 
преобразованию 
y
x
⋅
=
Q
?
Ответ
.
 Квадратичная форма 
)
,
...
,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
 с матрицей 
A
 после выполнения линейного
 
преобразования неизвестных 
y
x
⋅
=
Q
 (с матрицей 
Q
) превращается в квадратичную форму от новых
 
неизвестных 
1
y
, 
2
y
, …, 
n
y
, с матрицей 
AQ
Q
B
T
=
. Действительно, пусть 
y
x
⋅
=
Q
, тогда
 
T
T
T
Q
⋅
=
y
x
. Отсюда
(
)
(
)
(
)
y
y
y
y
y
y
x
x
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
B
AQ
Q
Q
A
Q
A
f
T
T
T
T
T
T
.
Покажем теперь, что матрица 
B
 – симметрическая, т.е. 
B
B
T
=
. Действительно,
(
)
(
)
B
AQ
Q
Q
A
Q
AQ
Q
B
T
T
T
T
T
T
T
T
=
=
=
=
,
т.к. матрица 
A
 – симметрическая по условию (
A
A
T
=
).
Замечание
.
 Очевидно, что ранг квадратичной формы не изменяется при выполнении невырожденного
 
линейного преобразования неизвестных.
Довольно часто на практике требуется выполнять не одно линейное преобразование
 
неизвестных, а несколько, причем последовательно.
Пусть переход от неизвестных 
1
x
, 
2
x
, …, 
n
x
 к неизвестным 
1
y
, 
2
y
, …, 
n
y
 задается матрицей
 
1
Q
 (
y
x
⋅
=
1
Q
), а затем переход от 
1
y
, 
2
y
, …, 
n
y
 к неизвестным 
1
z
, 
2
z
, …, 
n
z
 задается матрицей 
2
Q
 
(
z
y
⋅
=
2
Q
). Тогда
(
)
(
)
z
z
z
y
x
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
Q
Q
Q
Q
Q
Q
2
1
2
1
1
.
Таким образом, последовательное выполнение двух линейных преобразований неизвестных
 
вновь является линейным преобразованием от 
1
x
, 
2
x
, …, 
n
x
 к 
1
z
, 
2
z
, …, 
n
z
 с матрицей 
Q
, причем
2
1
Q
Q
Q
=
.
Определение
.
 Квадратичная форма 
)
,
...
,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
 имеет 
канонический вид
, если 
все
 коэффициенты
 
при произведениях различных неизвестных равны нулю, т.е. 
0
=
ij
a
 
∀
 
n
j
i
,
...
,
2
,
1
,
=
 (
j
i
≠
), и
 
не
  
 
  
все
  
 
0
=
ii
a
.
Замечание
.
 В каноническом виде квадратичная форма записывается следующим образом:
 
2
2
2
22
2
1
11
2
1
...
)
,
...
,
,
(
n
nn
n
x
a
x
a
x
a
x
x
x
f
+
+
+
=
, где не все 
0
=
ii
a
.
Теорема
  
 
  
1
  
.
 Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью
 
некоторого невырожденного линейного преобразования неизвестных. При этом число ненулевых
 
коэффициентов в этом каноническом виде (т.е. коэффициентов при квадратах неизвестных) не зависит
 
от этого преобразования и непременно равно рангу этой квадратичной формы. (
Без доказательства
.)
Пример.
 Дана квадратичная форма 
3
2
3
1
2
1
2
3
2
2
2
1
3
2
1
6
2
2
5
2
)
,
,
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
+
+
−
+
−
=
. Привести
 
эту форму к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования
 
неизвестных.
Решение
.
 Выделим вначале полный квадрат по переменной 
1
x
, получим:
=
+
+
−
+
−
=
3
2
2
3
2
2
3
1
2
1
2
1
6
5
2
)
2
2
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
=
+
+
−
+
−
−
+
−
=
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
2
3
2
1
6
5
2
)
2
)
((
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
2
2
3
2
2
2
3
2
1
8
4
3
)
(
x
x
x
x
x
x
x
+
+
−
+
−
=
.
Далее, выделим полные квадраты по переменным 
2
x
 и 
3
x
:
=
+






−
⋅
−
+
−
=
2
3
3
2
2
2
2
3
2
1
4
3
8
3
)
(
x
x
x
x
x
x
x
f
=
+








−






−
⋅
−
+
−
=
2
3
2
3
2
3
2
2
3
2
1
4
9
16
3
4
3
)
(
x
x
x
x
x
x
x
=
+
+






−
⋅
−
+
−
=
2
3
2
3
2
3
2
2
3
2
1
4
3
16
3
4
3
)
(
x
x
x
x
x
x
x
2
3
2
3
2
2
3
2
1
3
28
3
4
3
)
(
x
x
x
x
x
x
+






−
⋅
−
+
−
=
.
Положим







=
−
=
+
−
=
.
,
3
4
,
3
3
3
2
2
3
2
1
1
x
y
x
x
y
x
x
x
y
Тогда квадратичная форма 
f
 примет канонический вид:
2
3
2
2
2
1
3
2
1
3
28
3
)
,
,
(
y
y
y
y
y
y
g
+
−
=
.
Покажем, что линейное преобразование неизвестных, приводящее квадратичную форму 
f
 к
 
каноническому виду, является невырожденным. Найдем матрицу 
Q
 этого преобразования.
 
Действительно, в матричном виде замена переменных







=
−
=
+
−
=
,
,
3
4
,
3
3
3
2
2
3
2
1
1
x
y
x
x
y
x
x
x
y
приводящая квадратичную форму 
f
 к каноническому виду 
2
3
2
2
2
1
3
2
1
3
28
3
)
,
,
(
y
y
y
y
y
y
g
+
−
=
, выглядит
 
следующим образом:










⋅










−
−
=










3
2
1
3
2
1
1
0
0
3
4
1
0
1
1
1
x
x
x
y
y
y
.
Матрица 










−
−
=
1
0
0
3
4
1
0
1
1
1
T
, очевидно, невырождена. Поэтому и матрица 
1
−
=
T
Q
 линейного
 
преобразования неизвестных (
y
x
⋅
=
Q
) – также невырождена. Значит, и само линейное
 
преобразование является невырожденным. Найдем явный вид этого линейного преобразования
 
неизвестных. Поскольку 










=
=
−
1
0
0
3
4
1
0
3
1
1
1
1
T
Q
, то 





=
+
=
+
+
=
.
,
3
4
,
3
3
3
3
2
2
3
2
1
1
y
x
y
y
x
y
y
y
x
Отметим также, что ранг исходной квадратичной формы 
f
 равен 3, т.к. число ненулевых
 
коэффициентов в каноническом виде равно 3.
Замечание
.
 Описанный в этом примере метод приведения квадратичной формы к каноническому виду
 
(с помощью последовательного выделения полных квадратов) носит название 
метода Лагранжа
.
Следует отметить, что любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду
 
с помощью 
ортогонального преобразования
, причем коэффициенты при квадратах неизвестных будут
 
совпадать с собственными значениями матрицы 
A
 квадратичной формы, а столбцы матрицы 
Q
 
преобразования неизвестных будут состоять из соответствующих взаимно-ортогональных ортов
 
собственных векторов матрицы 
A
 квадратичной формы.
Теорема
  
 
  
2
  
 
  
(
  
закон
  
 
  
инерции
  
)
  
. Если квадратичная форма приводится к каноническому виду двумя
 
различными невырожденными преобразованиями, то число членов с положительными
 
коэффициентами, так же как и число членов с отрицательными коэффициентами, в обоих случаях
 
будет одно и то же. (
Без доказательства
.)
Пример.
 Привести квадратичную форму 
2
1
2
2
2
1
2
1
4
5
2
)
,
(
x
x
x
x
x
x
f
+
+
=
 к каноническому виду двумя
 
способами: с помощью ортогонального преобразования (записать явный вид этого преобразования) и
 
методом Лагранжа. Проверить выполнение закона инерции.
Решение
.
 
1-й способ
. Матрица квадратичной формы имеет вид: 








=
5
2
2
2
A
. Собственные значения:
0
5
2
2
2
=
λ
−
λ
−
 
⇔
 
0
6
7
2
=
+
λ
−
λ
 
⇔
 



=
λ
=
λ
.
6
,
1
Тогда орты собственных векторов:








−
=
5
1
5
2
1
e
 (для 
1
=
λ
); 








=
5
2
5
1
2
e
 (для 
6
=
λ
).
Отметим, что 
1
e
 и 
2
e
 (в силу того, что матрица 
A
 – симметрическая, собственные числа различны)
 
взаимно-ортогональны. Впрочем, условие ортогональности 
1
e
 и 
2
e
 можно проверить и
 
непосредственно, т.к. скалярное произведение 
0
)
,
(
2
1
=
e
e
. Отсюда, матрица 
Q
 ортогонального
 
преобразования имеет вид:








−
=
5
2
5
1
5
1
5
2
Q
.
Тогда явный вид этого ортогонального преобразования следующий:







+
=
+
−
=
.
5
2
5
1
,
5
1
5
2
2
1
2
2
1
1
y
y
x
y
y
x
С помощью этого преобразования квадратичная форма 
f
 примет вид:
2
2
2
1
2
1
6
)
,
(
y
y
y
y
g
+
=
.
2-й способ
. Выделим полные квадраты по переменным 
1
x
 и 
2
x
:
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
3
)
(
2
5
)
)
((
2
5
)
2
(
2
)
,
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
+
+
=
+
−
+
=
+
+
=
.
Положим 
2
1
1
x
x
z
+
=
, 
2
2
x
z
=
. Тогда квадратичная форма 
f
 примет вид: 
2
2
2
1
2
1
3
2
)
,
(
z
z
z
z
h
+
=
.
Закон инерции, очевидно, выполняется.
Классификация квадратичных форм
Определение
.
 Квадратичная форма 
)
,
...
,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
 называется 
положительно определенной
, если
 
0
)
,
...
,
,
(
2
1
>
n
x
x
x
f
 на любых наборах значений неизвестных 
1
x
, 
2
x
, …, 
n
x
, 
0
...
2
2
2
2
1
≠
+
+
+
n
x
x
x
 
(т.е. кроме набора неизвестных, когда 
0
...
2
1
=
=
=
=
n
x
x
x
).
Определение
.
 Квадратичная форма 
)
,
...
,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
 называется 
положительно полуопределенной
,
 
если 
0
)
,
...
,
,
(
2
1
≥
n
x
x
x
f
 на любых наборах значений неизвестных 
1
x
, 
2
x
, …, 
n
x
.
Определение
.
 Квадратичная форма 
)
,
...
,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
 называется 
отрицательно определенной
, если
 
0
)
,
...
,
,
(
2
1
<
n
x
x
x
f
 на любых наборах значений неизвестных 
1
x
, 
2
x
, …, 
n
x
, 
0
...
2
2
2
2
1
≠
+
+
+
n
x
x
x
 
(т.е. кроме набора неизвестных, когда 
0
...
2
1
=
=
=
=
n
x
x
x
).
Определение
.
 Квадратичная форма 
)
,
...
,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
 называется 
отрицательно полуопределенной
,
 
если 
0
)
,
...
,
,
(
2
1
≤
n
x
x
x
f
 на любых наборах значений неизвестных 
1
x
, 
2
x
, …, 
n
x
.
Определение
.
 Квадратичная форма 
)
,
...
,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
 называется 
неопределенной
, если существуют
 
наборы значений неизвестных 
1
x
, 
2
x
, …, 
n
x
, на которых 
0
)
,
...
,
,
(
2
1
>
n
x
x
x
f
 и 
0
)
,
...
,
,
(
2
1
<
n
x
x
x
f
.
Замечание
.
 Ясно, что положительно определенная квадратичная форма после приведения к
 
каноническому виду будет иметь только положительные коэффициенты при квадратах всех 
n
 
неизвестных. Для положительно полуопределенной формы (после приведения к каноническому виду)
 
– неотрицательные коэффициенты (некоторые могут быть равны нулю).
Задание
 
1.
 Сформулируйте самостоятельно аналогичные утверждения для отрицательно
 
определенных и полуопределенных квадратичных форм.
Задание
 
2.
 Сформулируйте самостоятельно аналогичное утверждение для неопределенных
 
квадратичных форм.
Теорема
  
 
  
3
  
 (
  
критерий Сильвестра
  
)
  
. Квадратичная форма 
)
,
...
,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
 является 
положительно
 
определенной
 тогда и только тогда, когда 
все угловые миноры
 матрицы 
=
A














nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a







2
1
2
22
21
1
12
11
 
квадратичной формы 
положительны
. То есть 
0
11
1
>
=
Δ
a
, 
0
22
21
12
11
2
>
=
Δ
a
a
a
a
,
 
0
33
32
31
23
22
21
13
12
11
3
>
=
Δ
a
a
a
a
a
a
a
a
a
, … , 
0
|
|
>
=
Δ
A
n
. (
Без доказательства
.)
Следствие
.
 Квадратичная форма 
)
,
...
,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
 является 
отрицательно определенной
 тогда и
 
только тогда, когда 
знаки угловых миноров
 матрицы 
A
 квадратичной формы 
чередуются, начиная
 
со знака «минус»
, т.е. 
0
11
1
<
=
Δ
a
, 
0
22
21
12
11
2
>
=
Δ
a
a
a
a
, …
Действительно, 
0
)
,
...
,
,
(
2
1
<
n
x
x
x
f
 
∀
1
x
,
 
2
x
,
 
…,
 
n
x
 таких, что 
0
...
2
2
2
2
1
≠
+
+
+
n
x
x
x
 
⇔
 
⇔
 
0
)
,
...
,
,
(
2
1
>
−
n
x
x
x
f
 
⇔
 матрица 
=
−
)
(
A














−
−
−
−
−
−
−
−
−
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a







2
1
2
22
21
1
12
11
 имеет все положительные
 
угловые миноры: 
0
11
>
−
a
, 
0
22
21
12
11
>
−
−
−
−
a
a
a
a
, 
0
33
32
31
23
22
21
13
12
11
>
−
−
−
−
−
−
−
−
−
a
a
a
a
a
a
a
a
a
, … , 
0
|
|
>
−
A
.
Таким образом, 
0
1
<
Δ
, 
0
2
>
Δ
, 
0
3
<
Δ
, … 
■
Пример.
 Является ли положительно определенной квадратичная форма
3
2
3
1
2
1
2
3
2
2
2
1
3
2
1
2
2
4
4
5
)
,
,
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
−
−
+
+
+
=
?
Решение
.
 Матрица квадратичной формы имеет вид: 










−
−
−
−
=
4
1
1
1
1
2
1
2
5
A
. Тогда 
0
5
1
>
=
Δ
,
 
0
1
1
2
2
5
2
>
=
=
Δ
, 
0
2
5
16
1
2
2
20
)
det(
3
>
=
−
−
−
+
+
=
=
Δ
A
. Значит, по критерию Сильвестра,
 
квадратичная форма 
)
,
,
(
3
2
1
x
x
x
f
 является положительно определенной.
Автор
chudolos
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
18 180
Размер файла
314 Кб
Теги
квадратичної, формы
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа