close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Квадратичные формы

код для вставкиСкачать
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
Определение
.
Квадратичной формой
)
,
...
,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
от n
неизвестных называется многочлен от n
переменных второй степени, не содержащий членов первой степени и свободного члена
,
...
...
...
)
,
...
,
,
(
1
1
,
1
,
1
1
2
21
2
1
12
2
2
2
22
2
1
11
2
1
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
n
n
n
n
n
n
n
n
i
j
ji
j
i
ij
n
nn
n
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
a
x
a
x
a
x
x
x
f
причем ji
ij
a
a
=
∀
n
j
i
,
...
,
2
,
1
,
=
(
j
i
≠
).
Замечание
.
С учетом условия ji
ij
a
a
=
∀
n
j
i
,
...
,
2
,
1
,
=
(
j
i
≠
) квадратичную форму обычно
записывают в виде:
n
n
n
n
j
i
ij
n
nn
n
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
a
x
a
x
a
x
x
x
f
1
,
1
2
1
12
2
2
2
22
2
1
11
2
1
2
...
2
...
2
...
)
,
...
,
,
(
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
=
.
Из коэффициентов ij
a
можно составить квадратную матрицу n
-го порядка
=
×
nn
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
2
1
2
22
21
1
12
11
,
которая называется матрицей квадратичной формы f
, а ее ранг r
называется рангом квадратичной
формы f
.
Если n
r
=
, т.е. матрица A
невырождена (
0
det
≠
A
), то и квадратичная форма f
называется
невырожденной
.
Из условия ji
ij
a
a
=
∀
n
j
i
,
...
,
2
,
1
,
=
(
j
i
≠
) следует, что T
A
A
=
, т.е. матрица A
–
симметрическая
.
Обратно
, для любой симметрической матрицы A
n
-го порядка можно указать вполне
определенную квадратичную форму f
от n
неизвестных, имеющую элементы матрицы A
своими
коэффициентами.
Пример
1.
Составить матрицу A
квадратичной формы от трех неизвестных
3
2
2
1
2
3
2
1
3
2
1
4
3
7
)
,
,
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
−
+
−
=
.
Решение
.
Матрица этой квадратичной формы имеет вид:
−
−
−
=
×
3
5
,
0
0
5
,
0
0
2
0
2
7
3
3
A
.
Пример
2.
Указать квадратичную форму f
, соответствующую симметрической матрице
−
−
−
=
2
3
1
3
5
1
1
1
4
A
.
Является ли указанная квадратичная форма невырожденной?
Решение
.
Порядок матрицы A
равен трем, поэтому квадратичная форма f
будет зависеть от трех
неизвестных. Тогда
3
2
3
1
2
1
2
3
2
2
2
1
3
2
1
6
2
2
2
5
4
)
,
,
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
+
+
−
+
−
=
.
Вычислим определитель: 79
36
2
5
3
3
40
det
−
=
−
−
+
−
−
−
=
A
. Поскольку 0
det
≠
A
, то
квадратичная форма f
невырождена.
Если =
n
x
x
x
2
1
x
– матрица столбец из n
неизвестных, то )
(
2
1
n
T
x
x
x
=
x
. Тогда для
любой квадратичной формы f
(с матрицей A
), очевидно, возможна следующая матричная запись
:
x
x
⋅
⋅
=
A
x
x
x
f
T
n
)
,
...
,
,
(
2
1
.
Определение
.
Линейным преобразованием неизвестных
называется такой переход от системы n
неизвестных 1
x
, 2
x
, …, n
x
к системе n
неизвестных 1
y
, 2
y
, …, n
y
, при котором старые неизвестные
линейно выражаются через новые (с некоторыми числовыми коэффициентами):
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
.
...
,
...
,
...
2
2
1
1
2
2
22
1
21
2
1
2
12
1
11
1
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
y
q
y
q
y
q
x
y
q
y
q
y
q
x
y
q
y
q
y
q
x
Линейное преобразование неизвестных удобно записывать в матричном виде:
y
x
⋅
=
Q
,
где =
n
x
x
x
2
1
x
, =
n
y
y
y
2
1
y
, =
×
nn
n
n
n
n
n
n
q
q
q
q
q
q
q
q
q
Q
2
1
2
22
21
1
12
11
.
Очевидно, что любое линейное преобразование неизвестных однозначно определяется своей
матрицей Q
.
Линейное преобразование неизвестных является невырожденным
в том и только в том случае,
когда его матрица Q
– невырождена. Если же матрица Q
является при этом ортогональной (т.е.
T
Q
Q
=
−
1
), то линейное преобразование неизвестных называется ортогональным
.
Вопрос
.
Что произойдет с квадратичной формой f
, если 1
x
, 2
x
, …, n
x
будут подвергнуты линейному
преобразованию y
x
⋅
=
Q
?
Ответ
.
Квадратичная форма )
,
...
,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
с матрицей A
после выполнения линейного
преобразования неизвестных y
x
⋅
=
Q
(с матрицей Q
) превращается в квадратичную форму от новых
неизвестных 1
y
, 2
y
, …, n
y
, с матрицей AQ
Q
B
T
=
. Действительно, пусть y
x
⋅
=
Q
, тогда
T
T
T
Q
⋅
=
y
x
. Отсюда
(
)
(
)
(
)
y
y
y
y
y
y
x
x
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
B
AQ
Q
Q
A
Q
A
f
T
T
T
T
T
T
.
Покажем теперь, что матрица B
– симметрическая, т.е. B
B
T
=
. Действительно,
(
)
(
)
B
AQ
Q
Q
A
Q
AQ
Q
B
T
T
T
T
T
T
T
T
=
=
=
=
,
т.к. матрица A
– симметрическая по условию (
A
A
T
=
).
Замечание
.
Очевидно, что ранг квадратичной формы не изменяется при выполнении невырожденного
линейного преобразования неизвестных.
Довольно часто на практике требуется выполнять не одно линейное преобразование
неизвестных, а несколько, причем последовательно.
Пусть переход от неизвестных 1
x
, 2
x
, …, n
x
к неизвестным 1
y
, 2
y
, …, n
y
задается матрицей
1
Q
(
y
x
⋅
=
1
Q
), а затем переход от 1
y
, 2
y
, …, n
y
к неизвестным 1
z
, 2
z
, …, n
z
задается матрицей 2
Q
(
z
y
⋅
=
2
Q
). Тогда
(
)
(
)
z
z
z
y
x
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
Q
Q
Q
Q
Q
Q
2
1
2
1
1
.
Таким образом, последовательное выполнение двух линейных преобразований неизвестных
вновь является линейным преобразованием от 1
x
, 2
x
, …, n
x
к 1
z
, 2
z
, …, n
z
с матрицей Q
, причем
2
1
Q
Q
Q
=
.
Определение
.
Квадратичная форма )
,
...
,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
имеет канонический вид
, если все
коэффициенты
при произведениях различных неизвестных равны нулю, т.е. 0
=
ij
a
∀
n
j
i
,
...
,
2
,
1
,
=
(
j
i
≠
), и
не
все
0
=
ii
a
.
Замечание
.
В каноническом виде квадратичная форма записывается следующим образом:
2
2
2
22
2
1
11
2
1
...
)
,
...
,
,
(
n
nn
n
x
a
x
a
x
a
x
x
x
f
+
+
+
=
, где не все 0
=
ii
a
.
Теорема
1
.
Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью
некоторого невырожденного линейного преобразования неизвестных. При этом число ненулевых
коэффициентов в этом каноническом виде (т.е. коэффициентов при квадратах неизвестных) не зависит
от этого преобразования и непременно равно рангу этой квадратичной формы. (
Без доказательства
.)
Пример.
Дана квадратичная форма 3
2
3
1
2
1
2
3
2
2
2
1
3
2
1
6
2
2
5
2
)
,
,
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
+
+
−
+
−
=
. Привести
эту форму к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования
неизвестных.
Решение
.
Выделим вначале полный квадрат по переменной 1
x
, получим:
=
+
+
−
+
−
=
3
2
2
3
2
2
3
1
2
1
2
1
6
5
2
)
2
2
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
=
+
+
−
+
−
−
+
−
=
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
2
3
2
1
6
5
2
)
2
)
((
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
2
2
3
2
2
2
3
2
1
8
4
3
)
(
x
x
x
x
x
x
x
+
+
−
+
−
=
.
Далее, выделим полные квадраты по переменным 2
x
и 3
x
:
=
+
−
⋅
−
+
−
=
2
3
3
2
2
2
2
3
2
1
4
3
8
3
)
(
x
x
x
x
x
x
x
f
=
+
−
−
⋅
−
+
−
=
2
3
2
3
2
3
2
2
3
2
1
4
9
16
3
4
3
)
(
x
x
x
x
x
x
x
=
+
+
−
⋅
−
+
−
=
2
3
2
3
2
3
2
2
3
2
1
4
3
16
3
4
3
)
(
x
x
x
x
x
x
x
2
3
2
3
2
2
3
2
1
3
28
3
4
3
)
(
x
x
x
x
x
x
+
−
⋅
−
+
−
=
.
Положим
=
−
=
+
−
=
.
,
3
4
,
3
3
3
2
2
3
2
1
1
x
y
x
x
y
x
x
x
y
Тогда квадратичная форма f
примет канонический вид:
2
3
2
2
2
1
3
2
1
3
28
3
)
,
,
(
y
y
y
y
y
y
g
+
−
=
.
Покажем, что линейное преобразование неизвестных, приводящее квадратичную форму f
к
каноническому виду, является невырожденным. Найдем матрицу Q
этого преобразования.
Действительно, в матричном виде замена переменных
=
−
=
+
−
=
,
,
3
4
,
3
3
3
2
2
3
2
1
1
x
y
x
x
y
x
x
x
y
приводящая квадратичную форму f
к каноническому виду 2
3
2
2
2
1
3
2
1
3
28
3
)
,
,
(
y
y
y
y
y
y
g
+
−
=
, выглядит
следующим образом:
⋅
−
−
=
3
2
1
3
2
1
1
0
0
3
4
1
0
1
1
1
x
x
x
y
y
y
.
Матрица −
−
=
1
0
0
3
4
1
0
1
1
1
T
, очевидно, невырождена. Поэтому и матрица 1
−
=
T
Q
линейного
преобразования неизвестных (
y
x
⋅
=
Q
) – также невырождена. Значит, и само линейное
преобразование является невырожденным. Найдем явный вид этого линейного преобразования
неизвестных. Поскольку =
=
−
1
0
0
3
4
1
0
3
1
1
1
1
T
Q
, то =
+
=
+
+
=
.
,
3
4
,
3
3
3
3
2
2
3
2
1
1
y
x
y
y
x
y
y
y
x
Отметим также, что ранг исходной квадратичной формы f
равен 3, т.к. число ненулевых
коэффициентов в каноническом виде равно 3.
Замечание
.
Описанный в этом примере метод приведения квадратичной формы к каноническому виду
(с помощью последовательного выделения полных квадратов) носит название метода Лагранжа
.
Следует отметить, что любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду
с помощью ортогонального преобразования
, причем коэффициенты при квадратах неизвестных будут
совпадать с собственными значениями матрицы A
квадратичной формы, а столбцы матрицы Q
преобразования неизвестных будут состоять из соответствующих взаимно-ортогональных ортов
собственных векторов матрицы A
квадратичной формы.
Теорема
2
(
закон
инерции
)
. Если квадратичная форма приводится к каноническому виду двумя
различными невырожденными преобразованиями, то число членов с положительными
коэффициентами, так же как и число членов с отрицательными коэффициентами, в обоих случаях
будет одно и то же. (
Без доказательства
.)
Пример.
Привести квадратичную форму 2
1
2
2
2
1
2
1
4
5
2
)
,
(
x
x
x
x
x
x
f
+
+
=
к каноническому виду двумя
способами: с помощью ортогонального преобразования (записать явный вид этого преобразования) и
методом Лагранжа. Проверить выполнение закона инерции.
Решение
.
1-й способ
. Матрица квадратичной формы имеет вид: =
5
2
2
2
A
. Собственные значения:
0
5
2
2
2
=
λ
−
λ
−
⇔
0
6
7
2
=
+
λ
−
λ
⇔
=
λ
=
λ
.
6
,
1
Тогда орты собственных векторов:
−
=
5
1
5
2
1
e
(для 1
=
λ
); =
5
2
5
1
2
e
(для 6
=
λ
).
Отметим, что 1
e
и 2
e
(в силу того, что матрица A
– симметрическая, собственные числа различны)
взаимно-ортогональны. Впрочем, условие ортогональности 1
e
и 2
e
можно проверить и
непосредственно, т.к. скалярное произведение 0
)
,
(
2
1
=
e
e
. Отсюда, матрица Q
ортогонального
преобразования имеет вид:
−
=
5
2
5
1
5
1
5
2
Q
.
Тогда явный вид этого ортогонального преобразования следующий:
+
=
+
−
=
.
5
2
5
1
,
5
1
5
2
2
1
2
2
1
1
y
y
x
y
y
x
С помощью этого преобразования квадратичная форма f
примет вид:
2
2
2
1
2
1
6
)
,
(
y
y
y
y
g
+
=
.
2-й способ
. Выделим полные квадраты по переменным 1
x
и 2
x
:
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
3
)
(
2
5
)
)
((
2
5
)
2
(
2
)
,
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
+
+
=
+
−
+
=
+
+
=
.
Положим 2
1
1
x
x
z
+
=
, 2
2
x
z
=
. Тогда квадратичная форма f
примет вид: 2
2
2
1
2
1
3
2
)
,
(
z
z
z
z
h
+
=
.
Закон инерции, очевидно, выполняется.
Классификация квадратичных форм
Определение
.
Квадратичная форма )
,
...
,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
называется положительно определенной
, если
0
)
,
...
,
,
(
2
1
>
n
x
x
x
f
на любых наборах значений неизвестных 1
x
, 2
x
, …, n
x
, 0
...
2
2
2
2
1
≠
+
+
+
n
x
x
x
(т.е. кроме набора неизвестных, когда 0
...
2
1
=
=
=
=
n
x
x
x
).
Определение
.
Квадратичная форма )
,
...
,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
называется положительно полуопределенной
,
если 0
)
,
...
,
,
(
2
1
≥
n
x
x
x
f
на любых наборах значений неизвестных 1
x
, 2
x
, …, n
x
.
Определение
.
Квадратичная форма )
,
...
,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
называется отрицательно определенной
, если
0
)
,
...
,
,
(
2
1
<
n
x
x
x
f
на любых наборах значений неизвестных 1
x
, 2
x
, …, n
x
, 0
...
2
2
2
2
1
≠
+
+
+
n
x
x
x
(т.е. кроме набора неизвестных, когда 0
...
2
1
=
=
=
=
n
x
x
x
).
Определение
.
Квадратичная форма )
,
...
,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
называется отрицательно полуопределенной
,
если 0
)
,
...
,
,
(
2
1
≤
n
x
x
x
f
на любых наборах значений неизвестных 1
x
, 2
x
, …, n
x
.
Определение
.
Квадратичная форма )
,
...
,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
называется неопределенной
, если существуют
наборы значений неизвестных 1
x
, 2
x
, …, n
x
, на которых 0
)
,
...
,
,
(
2
1
>
n
x
x
x
f
и 0
)
,
...
,
,
(
2
1
<
n
x
x
x
f
.
Замечание
.
Ясно, что положительно определенная квадратичная форма после приведения к
каноническому виду будет иметь только положительные коэффициенты при квадратах всех n
неизвестных. Для положительно полуопределенной формы (после приведения к каноническому виду)
– неотрицательные коэффициенты (некоторые могут быть равны нулю).
Задание
1.
Сформулируйте самостоятельно аналогичные утверждения для отрицательно
определенных и полуопределенных квадратичных форм.
Задание
2.
Сформулируйте самостоятельно аналогичное утверждение для неопределенных
квадратичных форм.
Теорема
3
(
критерий Сильвестра
)
. Квадратичная форма )
,
...
,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
является положительно
определенной
тогда и только тогда, когда все угловые миноры
матрицы =
A
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
1
2
22
21
1
12
11
квадратичной формы положительны
. То есть 0
11
1
>
=
Δ
a
, 0
22
21
12
11
2
>
=
Δ
a
a
a
a
,
0
33
32
31
23
22
21
13
12
11
3
>
=
Δ
a
a
a
a
a
a
a
a
a
, … , 0
|
|
>
=
Δ
A
n
. (
Без доказательства
.)
Следствие
.
Квадратичная форма )
,
...
,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
является отрицательно определенной
тогда и
только тогда, когда знаки угловых миноров
матрицы A
квадратичной формы чередуются, начиная
со знака «минус»
, т.е. 0
11
1
<
=
Δ
a
, 0
22
21
12
11
2
>
=
Δ
a
a
a
a
, …
Действительно, 0
)
,
...
,
,
(
2
1
<
n
x
x
x
f
∀
1
x
,
2
x
,
…,
n
x
таких, что 0
...
2
2
2
2
1
≠
+
+
+
n
x
x
x
⇔
⇔
0
)
,
...
,
,
(
2
1
>
−
n
x
x
x
f
⇔
матрица =
−
)
(
A
−
−
−
−
−
−
−
−
−
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
1
2
22
21
1
12
11
имеет все положительные
угловые миноры: 0
11
>
−
a
, 0
22
21
12
11
>
−
−
−
−
a
a
a
a
, 0
33
32
31
23
22
21
13
12
11
>
−
−
−
−
−
−
−
−
−
a
a
a
a
a
a
a
a
a
, … , 0
|
|
>
−
A
.
Таким образом, 0
1
<
Δ
, 0
2
>
Δ
, 0
3
<
Δ
, … ■
Пример.
Является ли положительно определенной квадратичная форма
3
2
3
1
2
1
2
3
2
2
2
1
3
2
1
2
2
4
4
5
)
,
,
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
−
−
+
+
+
=
?
Решение
.
Матрица квадратичной формы имеет вид: −
−
−
−
=
4
1
1
1
1
2
1
2
5
A
. Тогда 0
5
1
>
=
Δ
,
0
1
1
2
2
5
2
>
=
=
Δ
, 0
2
5
16
1
2
2
20
)
det(
3
>
=
−
−
−
+
+
=
=
Δ
A
. Значит, по критерию Сильвестра,
квадратичная форма )
,
,
(
3
2
1
x
x
x
f
является положительно определенной.
Автор
chudolos
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
20 608
Размер файла
314 Кб
Теги
квадратичної, формы
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа