close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

мат анализ 1 курс

код для вставкиСкачать
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 1
Производная. Определение, непрерывность функции, имеющей производную.
Определение:
Производной от функции f
в точке x
называется предел, к которому стремится отношение ее приращения
y
Δ
в этой точке к соответствующему приращению х
Δ
аргумента, когда последнее стремится к нулю:
0 0
( ) ( )
'( ) lim lim
x x
y f x x f x
f x
x x
ΔΔ
Δ+Δ−
==
ΔΔ
Т.е., если )
(
x
f
определена в )
(
0
x
U
, то 0
0
при
)
(
х
х
х
x
U
x
−
=
Δ
∈
∀
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
'
lim
)
(
)
(
и
0
x
x
x
f
x
f
x
x
f
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x
f
f
x
x
x
x
−
−
=
Δ
−
Δ
+
=
=
Δ
Δ
∃
−
Δ
+
=
Δ
→
→
Δ
→
Δ
Теорема:
(необходимое условие существования производной)
Если функция f
имеет конечную '
f
в точке 0
x
, то f
непрерывна в точке 0
x
.
Доказательство:
x
o
x
f
x
f
o
x
f
x
f
x
f
x
f
x
Δ
⋅
+
⋅
Δ
=
Δ
+
=
Δ
Δ
=
Δ
Δ
∃
→
Δ
)
1
(
)
(
'
)
1
(
)
(
'
)
(
'
lim
0
0
0
0
При 0
,
0
→
Δ
→
Δ
f
x
,
Следовательно f
- непрерывна в точке 0
x
.
Теорема доказана.
Замечание
:
обратное утверждение неверно, если функция f
непрерывна в точке x
, то отсюда не следует, что она имеет
производную в этой точке.
Контрпример:
x
y
=
Утверждение
:
если функция имеет в точке правую и левую производную, то она непрерывна и справа и слева.
Контрпример:
1
sin , 0
( )
0 , 0
x x
f x
x
x
=
=
0
1
lim sin 0 (0)
1
sin 0
'(0) - не существует
x
x f
x
x
x
f
x
+
==
Δ−
Δ
=
Δ
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
1
A
B
C
( )
f x
x
Δ
1 4 42 4 43
0
x
0
( )
f x
x
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 2
Геометрический смысл производной.
Теорема 1:
График функции имеет невертикальную касательную тогда и только тогда, когда существует конечное значение
производной этой функции в данной точке.
Доказательство:
Пусть существует значение f
’(
0
x
)-конечное, тогда
x
AC
Δ
=
f
BC
Δ
=
x
f
tg
сек
Δ
Δ
=
α
при 0
>
−
Δ
x
сек кас
tg tg
αα
Секущая стремится к касательной.
0
''( )
f x tg tg
сек кас
αα
=> 0
'( )
кас
f x tg
α
=
ч.т.д.
Пусть существует невертикальная касательная => существует кас
tg
α
- конечный.
Секущая стремится к касательной.
αα
сек кас
tg tg
=> 0
0
lim'( )
Δ
∃=
Δ
x x
f
f x
x
Теорема доказана.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
2
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 3 Арифметические свойства производной.
Пусть f
= f
(
x
) и g
= g
(
x
) – функции, имеющие конечные производные в точке x
0
, тогда справедливы равенства:
1.
(
)
g
f
g
f
′
±
′
=
′
±
2.
(
)
f
g
g
f
g
f
′
+
′
=
′
∗
2.1.
(
)
f
k
kf
′
=
′
где k
– константа
3.
2
g
f
g
g
f
g
f
′
−
′
=
′
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. g
f
x
x
g
x
f
x
x
g
x
x
f
x
x
g
f
x
′
±
′
=
Δ
−
−
Δ
+
+
Δ
+
→
Δ
=
Δ
+
Δ
→
Δ
)
(
)
(
)
(
)
(
0
lim
)
(
0
lim
2.
f
g
g
f
x
x
f
Δx)
f(x
x
x
g
x
g(x)
x
x
g
x
x
f
x
x
f
Δx)
f(x
x
g
x
x
g(x)
x
x
g
x
x
f
x
x
x
f
Δx)
f(x
x
g
g(x)
x
x
g
x
x
f
x
x
x
g
x
f
x
x
g
x
x
f
x
x
x
g
x
f
x
x
g
x
x
f
x
x
g
f
x
g
f
′
+
′
=
Δ
−
+
→
Δ
+
Δ
−
Δ
+
→
Δ
=
Δ
−
+
→
Δ
+
+
Δ
−
Δ
+
Δ
+
→
Δ
=
Δ
−
+
+
−
Δ
+
Δ
+
→
Δ
=
=
Δ
∗
−
∗
+
+
∗
+
−
Δ
+
∗
Δ
+
→
Δ
=
=
Δ
∗
−
Δ
+
∗
Δ
+
→
Δ
=
Δ
∗
Δ
→
Δ
=
′
∗
))
(
(
0
lim
)
(
)
(
0
lim
)
(
))
(
)(
(
0
lim
)
)
(
)(
(
0
lim
))
(
)(
(
)
)
(
)(
(
0
lim
)
(
)
(
)
(
)
(
0
lim
)
(
)
(
)
(
)
(
0
lim
)
(
0
lim
)
(
g(x)
Δx)
f(x
g(x)
Δx)
f(x
Заметим, что функция f
, как имеющая производную, непрерывна, и потому при 0
→
Δ
x
)
(
)
(
x
f
x
x
f
→
Δ
+
3. [
]
(
)
(
)
2
)
(
0
lim
)
(
)
(
0
lim
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
lim
)
(
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
0
lim
)
(
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
0
lim
)
(
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
lim
)
(
)
(
)
(
)
(
0
lim
g
f
g
g
f
x
x
g
Δx)
g(x
x
x
f
x
f(x)
x
x
f
x
x
g
x
g
x
x
g
x
x
g
x
f
x
f
x
x
f
x
g
x
x
g
x
x
x
g
x
f
x
g
x
x
f
x
x
g
x
x
x
g
x
f
x
g
x
x
f
x
x
g
x
g
x
x
g
x
g
x
x
g
x
x
x
g
x
f
x
g
x
x
f
x
x
x
g
x
f
x
x
g
x
x
f
x
g
f
′
−
′
=
Δ
−
+
→
Δ
−
Δ
−
Δ
+
→
Δ
=
=
Δ
−
Δ
+
−
−
Δ
+
→
Δ
=
=
Δ
Δ
+
∗
−
∗
+
∗
−
∗
Δ
+
→
Δ
=
Δ
Δ
+
∗
−
∗
Δ
+
→
Δ
=
=
→
Δ
+
=
∗
Δ
+
∗
Δ
Δ
+
∗
−
∗
Δ
+
→
Δ
=
Δ
−
Δ
+
Δ
+
→
Δ
=
′
g(x)
f(x)
g(x)
f(x)
Билет 4
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
3
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Производная обратной функции.
Определение:
Пусть на интервале (
a
,
b
) задана непрерывная строго монотонная, т.е. строго возрастающая или строго
убывающая, функция )
(
x
f
y
=
. Пусть образ (
a
,
b
) есть интервал (
A
,
B
). тогда обратная к f
функция )
(
y
x
ϕ
=
есть
однозначная непрерывная и строго монотонная на (
A
,
B
) функция.
Зафиксируем )
,
(
b
a
x
∈
и дадим ему приращение )).
,
(
(
b
a
x
x
∈
Δ
+
Тогда f
получит соответствующее приращение
).
(
что
такое,
))
,
(
,
(
x
x
f
y
y
B
A
y
y
y
y
Δ
+
=
Δ
+
∈
Δ
+
Δ
Наоборот, .
)
(
x
x
y
y
Δ
+
=
Δ
+
ϕ
Вследствие непрерывности прямой и обратной функций для указанных y
x
Δ
Δ
и
имеет место утверждение: из 0
→
Δ
x
следует
0
→
Δ
y
, и обратно.
Пусть теперь функция ϕ
в точке у имеет неравную нулю производную )
(
'
y
ϕ
. Покажем, что в таком случае функция f
также имеет в соответствующей точке х производную. В самом деле, .
1
y
x
x
y
Δ
Δ
=
Δ
Δ
Так как из того, что 0
→
Δ
x
следует, что
0
→
Δ
y
, то
2 2
0
0
1 1 1
lim, и мы получили '( ), (1)
'( )'( )
lim
1
или . (1')
x
y
y
f x
x
x y y
y
dy
dx
dx
dy
ϕϕ
Δ
Δ
Δ
===
Δ
Δ
Δ
=
Этим доказано, что если )
(
x
f
y
=
есть строго монотонная непрерывная функция и )
(
y
x
ϕ
=
обратная к ней функция,
имеющая в точке у производную 0
)
(
'
≠
y
ϕ
, то функция f
имеет в соответствующей точке х производную,
определяемую формулой (1).
Может случится, что в точке .
lim
0
∞
=
Δ
Δ
→
Δ
y
x
y
y
В этом случае, очевидно, функция f
имеет в соответствующей точке х
производную 0
)
(
'
=
x
f
.
Если же 0
lim
0
=
Δ
Δ
→
Δ
y
x
y
, то для строго возрастающей функции при этом 0
>
Δ
Δ
y
x
, а для строго убывающей 0
<
Δ
Δ
y
x
. В
первом случае +∞
=
)
(
'
x
f
, а во втором −∞
=
)
(
'
x
f
.
Пример 1
.
0
,
log
ln
1
ln
1
)'
(
1
)'
(log
log
>
=
=
=
=
=
a
x
e
x
x
x
a
a
x
x
y
a
y
y
a
a
Если логарифм натуральный, то x
x
1
)'
(ln
=
.
Функция ln
x
как действительная функция определена только для положительных значений х.
Пример 2
.
0
,
1
1
)'
(ln
ln
≠
=
=
=
x
x
x
sign
x
x
x
y
где <
−
>
=
0
х
для
1
0
х
для
1
x
sign
Пример 3
.
.
)'
(
)'
(
1
ln
ln
−
⋅
=
=
=
n
x
n
x
n
n
x
n
e
x
n
e
x
Пример 4
.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
4
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Функция x
y
arcsin
=
строго возрастает на отрезке [-1,1] и отображает этот отрезок на ].
2
,
2
[
π
π
−
Обратная к ней
функция y
x
sin
=
имеет производную ,
cos
)'
(sin
y
y
=
положительную на интервале )
2
,
2
(
π
π
−
. Поэтому
.
1
1
,
1
1
sin
1
1
cos
1
)'
(sin
1
)'
(arcsin
2
2
<
<
−
−
=
−
=
=
=
x
x
y
y
y
x
Пример 5.
.
1
1
,
1
1
)'
arcsin
2
(
)'
(arccos
2
<
<
−
−
−
=
−
=
x
x
x
x
π
Пример 6.
.
,
1
1
1
1
sec
1
)'
(
1
)'
(
2
2
2
+∞
<
<
∞
−
+
=
+
=
=
=
x
x
y
tg
y
y
tg
x
arctg
Билет 5 Производная сложной функции.
Теорема:
Пусть функция
( )
f x
такая, что )
(
0
x
f
′
∃
, и функция ( )
g y
такая, что )
(
0
y
g
′
∃
, )
(
0
0
x
f
y
=
. Тогда функция
( ) ( ( ))
H x g f x
=
и )
(
)
(
)
(
0
0
0
x
f
y
g
x
H
′
×
′
=
′
∃
.
Доказательство
:
( )
f x
дифференцируема в точке 0
x
, тогда:
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
y
O
y
y
g
g
x
O
x
x
f
f
Δ
+
Δ
×
′
=
Δ
Δ
+
Δ
×
′
=
Δ
Рассмотрим ∆
H:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
(
))
(
(
))
(
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
x
O
x
O
y
g
x
x
f
y
g
y
g
x
O
x
x
f
x
f
g
x
f
g
x
x
f
g
H
y
y
y
Δ
+
Δ
×
′
+
Δ
×
′
×
′
=
=
−
Δ
+
Δ
×
′
+
=
−
Δ
+
=
Δ
→
Δ
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
(
))
(
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
)
(
0
0
0
0
0
0
0
x
O
x
x
f
y
g
H
x
O
x
O
x
y
x
O
x
x
f
O
x
O
x
x
f
y
g
y
O
y
y
g
y
g
y
y
g
x
H
x
O
Δ
+
Δ
×
′
×
′
=
Δ
Δ
=
Δ
×
′
Δ
×
Δ
×
′
+
Δ
+
Δ
×
′
×
′
=
Δ
+
Δ
×
′
=
−
Δ
+
′
Δ
Билет 6
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
5
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Производные элементарных функций.
1. C
y
=
;
0
=
Δ
y
0
'
0
0
=
≠
Δ
=
Δ
Δ
y
x
x
y
2. R
∈
=
α
α
,
x
y
α
α
α
α
α
x
x
x
x
x
x
x
y
−
Δ
+
=
−
Δ
+
=
Δ
)
1
(
)
(
1
0
0
0
lim
1
)
1
(
lim
lim
−
→
Δ
→
Δ
→
Δ
⋅
=
Δ
Δ
⋅
⋅
=
Δ
−
Δ
+
⋅
=
Δ
Δ
α
α
α
α
α
α
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
3. x
e
y
=
x
e
e
x
e
e
y
x
x
x
x
x
x
x
Δ
−
=
Δ
−
=
Δ
→
Δ
Δ
+
→
Δ
)
1
(
lim
lim
'
0
0
x
e
x
Δ
→
−
Δ
)
1
(
4. x
y
sin
=
0 0 0 0
2 sin cos( ) 2 cos( )
sin( ) sin
2 2 2 2
lim lim lim lim cos
x x x x
x x x x
x x
y x x x
x
x x x x
ΔΔΔΔ
ΔΔΔΔ
++
Δ+Δ−
====
ΔΔΔΔ
(т.к. функция непрерывна)
Замечание
:
если функция имеет конечную производную в точке, то она непрерывна в этой точке (было доказано в Билете
1
), но она может быть разрывной в любой другой точке, кроме этой.
Пример
:
2
, ( )
0 , x x
f x
x
=
Q
Q
0 0
( ) 0
'(0) lim lim 0
x x
f f x
f
x x
ΔΔ
ΔΔ−
===
ΔΔ
, т.к.
2
( )
( ) , если 0 , если x
f x x x
x
x
x
Δ
Δ=ΔΔ
=
Δ
Δ
Δ
Q
Q
0
0
≠
x
)
(
,
0
0
2
1
x
U
x
x
δ
δ
∈
∃
>
∀
Q
Q
∉
∈
2
1
x
x
2
1
1
)
(
x
x
f
=
0
)
(
2
=
x
f
2
:
2
0
2
1
x
x
>
∃
δ
ε
=
>
−
2
)
(
)
(
2
0
2
1
x
x
f
x
f
)
(
,
0
0
2
1
x
U
x
x
δ
δ
ε
∈
∃
>
∀
∃
ε
>
−
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
- не выполняется критерий Коши и в каждой точке 0
0
≠
x
функция разрывна.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
6
0
( 1)
lim
x x
x
x
e e
e
x
Δ
Δ
−
=
Δ
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 7
Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл.
Если функция f
имеет производную f΄(x
o
)
в точке x
o
, то существует предел (
)
x
f
x
f
x
′
=
Δ
Δ
→
Δ
lim
0
, где Δ
f=f(x
o
+
Δ
x)-f(x
o
)
,
⇒
)
1
(
)
(
0
o
x
f
x
f
+
′
=
Δ
Δ
,
⇒
)
(
)
(
0
x
o
x
x
f
f
Δ
+
Δ
′
=
Δ
или )
(
x
o
x
A
f
Δ
+
Δ
=
Δ
, где A=f΄(x
o
)
.
Определение:
Функция f
дифференциируема в точке x
o
, если ее приращение представимо в виде:
)
(
x
o
x
A
f
Δ
+
Δ
=
Δ
, где A
Δ
x=df
.
(*)
Дифференциал — это главная линейная часть приращения функции.
Если существует конечная производная f΄(x
o
)
в точке x
o
, то функция f(x)
дифференцируема в этой точке.
Верно и обратное: если функция f
дифференцируема в точке x
o
, т.е. ее приращение представимо в виде (*), то она имеет
производную в точке x
o
, равную A
:
(
)
(
)
0
0
( );
;
,.
lim
x
f A x o x
o x
f
A
x x
f
A f x A
x
Δ
Δ=Δ+Δ
Δ
Δ
=+
ΔΔ
Δ
==
Δ
Геометрический смысл дифференциала:
A
и B
– точки графика f(x)
, соответствующие значениям x
o
и (x
o
+
Δ
x)
независимой переменной. Ординаты точек A
и B
соответственно равны f(x
o
)
и
f(x
o
+
Δ
x)
. Приращение функции Δ
f=f(x
o
+
Δ
x)-f(x
o
)
в точке x
o
равно длине отрезка
BD
и представимо в виде суммы Δ
f=BD=DC+CB
, где DC=tgα
Δ
x=f΄(x
o
)
Δ
x
и α
есть угол между касательной в точке A
к графику и положительным
направлением оси x
. Отсюда видно, что DC
есть дифференциал функции f в
точке x
o
: DC=df=f΄(x
o
)
Δ
x
.
При этом на долю второго члена CB
приращения Δ
f
приходится величина )
(
x
o
Δ
. Эта величина, при больших Δ
x
, может
быть даже больше, чем главный член, но она есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Δ
x
, когда Δ
x→0
.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
7
α
D
C
B
A
x
y
0
Δ
x
x
o
x
o
+
Δ
x
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 8
Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
Пусть функция f
имеет производную в точке x
(конечную): '
0
lim ( )
x
y
f x
x
Δ
Δ
=
Δ
.
Тогда y
x
Δ
Δ
для достаточно малых x
Δ
можно записать в виде суммы )
(
x
f
′
и некоторой функции, которую мы обозначим
через )
1
(
)
(
o
x
=
Δ
ε
, которая стремится к нулю вместе с x
Δ
: ( ) ( )
y
f x x
x
ε
Δ
=+Δ
Δ
0
)
(
(
→
Δ
x
ε
, )
0
→
Δ
x
и приращение в точке может быть записано в виде: ( ) ( )
y f x x x x
ε
Δ=Δ+ΔΔ
или 0
( ) ( )
x
y f x x o x
Δ
Δ=Δ+Δ
(1)
,
ведь выражение 0
)
(
→
Δ
Δ
x
x
o
понимается как функция от x
Δ
такая, что ее отношение к x
Δ
стремится к нулю вместе с x
Δ
.
Пояснение:
0 0
( )
lim ( ) 0 lim 0 ( ) ( )
x x
x
x
x x O
x x
x
ε
εε
Δ
Δ
Δ==Δ=
ΔΔ
Δ
V V
Определение
. Функция f
называется дифференцируемой в точке x
, если ее приращение можно представить в виде:
)
(
0
→
Δ
Δ
+
Δ
=
Δ
x
x
o
x
A
y
(2),
где А не зависит от x
Δ
, но вообще зависит от x
.
Теорема 1:
Для того, чтобы функция f
была дифференцируемой в точке x
, необходимо и достаточно , чтобы она имела конечную
производную в этой точке.
Доказательство:
Достаточность условия
доказана выше: из существования конечной производной )
(
x
f
′
следовала возможность
представления y
Δ
в виде (1), где можно положить A
x
f
=
′
)
(
.
Необходимость условия
. Пусть функция f
дифференцируема в точке x
. Тогда из (2), предполагая 0
≠
Δ
x
, получаем
0
0
)
1
(
)
(
→
Δ
→
Δ
+
=
Δ
Δ
+
=
Δ
Δ
x
x
o
A
x
x
o
A
x
y
.
Предел правой части при 0
→
Δ
x
существует и равен А: A
x
y
x
=
Δ
Δ
→
Δ
0
lim
.
Это означает, что существует производная A
x
f
=
′
)
(
. Теорема доказана.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
8
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 9 Производные высших порядков. Формула Лейбница.
Пусть функция y
=
f
(
x
) дифференцируема в точке Xo
, то есть существует ее производная в этой точке f
’ (
Xo
). Пусть
f
- дифференцируема в некоторой окрестности U
(
Xo
). f
’(
x
) определена на U
(
Xo
) и если дифференцируема в точке Xo
, то
(
f
’(
Xo
))’=
f
’’(
Xo
). Вообще
))'
(
(
)
(
)
(
)
1
(
x
f
x
f
n
n
=
+
Теорема: (Формула Лейбница)
Пусть функции U
и V
n
раз дифференцируемы, т.е. существуют )
(
n
U
и )
(
n
V
. Значит (
U
*
V
) – тоже n
раз
дифференцируема, при этом
∑
=
−
=
n
k
k
n
V
k
U
k
n
C
n
V
U
0
)
(
*
)
(
*
)
(
)
*
(
Доказательство:
Метод математической индукции:
Пусть при n
=
m
– верно, т.е.
∑
=
−
=
m
k
k
m
V
k
U
k
m
C
m
V
U
0
)
(
*
)
(
*
)
(
)
*
(
(*)
Надо доказать, что
∑
+
=
−
+
+
=
+
1
0
)
1
(
*
)
(
*
1
)
1
(
)
*
(
m
k
k
m
V
k
U
k
m
C
m
V
U
Доказательство:
1
( 1) ( ) ( 1 )
( * ) * *
1
0
( 1) ( ) ( ) ( 1 )
( * * )
0
( 1) ( ) ( ) ( 1 )
* * * * *
0 0
| 1;1 |
1
( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )
1
* * * *
1 0
1
(
m
m k m k
k
U V C U V
m
k
m
k m k k m k
k
C U V U V
m
k
m m
k m k k m k
k k
C U V C U V
m m
k k
l k m k m l
m m
l m l l m l
l l
C U V C U V
m m
l l
l
C
m
+
++−
==
+
=
+−+−
+=
=
+−+−
=+=
==
==+−=+−=
+
+−+−
−
=+=
==
−
( ) ( 1 ) ( 1) (0) (0) ( 1)
0
)* * * * * *
1
( ) ( 1 ) ( 1) (0) (0) ( 1)
1 0
* * * * * *
1 1 1
1
1
( ) ( 1 )
* *
1
0
m
l m l m m
l m
C U V C U V C U V
m m m
l
m
l m l m m
l m
C U V C U V C U V
m m m
l
m
l m l
l
C U V
m
l
+−++
+++=
=
+−++
+
=++=
+++
=
+
+−
=
+
=
Теорема доказана.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
9
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 10
Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы первого дифференциала. Неинвариантность
формы дифференциалов второго и высших порядков.
f
(
x
)
дифференцируема, xdx
x
d
dx
dx
dx
dx
x
d
dx
d
f
d
df
d
2
)
(
,
)
(
,
0
)
(
,
0
)
(
,
)
(
2
2
2
2
2
=
=
×
=
=
=
=
тогда )
(
1
f
d
d
f
d
n
n
=
+
. Далее, пусть f
– n
раз дифференцируема, dx
f
df
′
=
2
)
(
)
(
)
(
dx
f
dx
dx
f
dx
d
f
dx
f
d
dx
f
d
df
d
′
′
=
×
′
′
=
′
+
×
′
=
′
=
__________________________
n
n
dx
dx
=
)
(
. Докажем, что n
n
dx
f
)
(
1) 1
=
n
, dx
f
df
′
=
2) Пусть при n
= m
m
m
m
dx
f
f
d
)
(
=
3) 1
)
1
(
1
+
+
+
=
m
m
m
dx
f
f
d
1
)
1
(
)
1
(
0
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
+
+
+
+
=
×
=
+
=
=
=
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
dx
f
dx
dx
f
dx
d
f
dx
df
dx
f
d
f
d
d
f
d
Инвариантность/Неинвариантность.
1) y
(
x
), x
– независимая переменная
, dx
y
dy
x
′
=
, пусть x
= x
(
t
)
))
(
(
t
x
y
y
=
dx
y
dt
x
y
dt
t
x
y
dy
x
dx
t
x
t
′
=
′
×
′
=
′
=
)
))
(
(
(
2) y
(
x
), x
– независимая переменная, 2
2
dx
y
y
d
xx
′
′
=
, )
(
t
x
x
=
, dx
y
dy
x
′
=
x
d
y
dx
y
dx
d
y
dx
y
d
dx
y
d
dy
x
xx
x
x
x
2
2
2
)
(
)
(
′
+
′
′
=
′
+
′
=
′
=
, здесь
0
2
≠
x
d
, b
at
x
x
d
+
=
⇔
=
0
2
.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
10
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 11 Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма.
Определение 1:.
f
(
x
) – возрастает (не убывает) в точке 0
x
, если 0 0 0
( )::( )
U x x x x U x
∃∀+
V V
0 0
f f
x x
>
V V
V V
.
Определение 1’
. f
(
x
) – возрастает (не убывает) в точке 0
x
, если 0 0 0
0 0 0
( ) ( ) ( ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) ( )
x x f x f x f x f x
x x f x f x f x f x
>>
<<
Определение 1’’
. f
(
x
) – возрастает (не убывает) в точке 0
x
, если 0::0
f
x x
x
δδ
∃>∀<>
V
V V
V
Определение 2
. f
(
x
) – убывает (не возрастает) в точке 0
x
, если 0 0 0
( )::( )
U x x x x U x
∃∀+
V V
0 0
f f
x x
<
V V
V V
.
Определение 2’
. f
(
x
) – убывает (не возрастает) в точке 0
x
, если 0 0 0
0 0 0
( ) ( ) ( ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) ( )
x x f x f x f x f x
x x f x f x f x f x
><
<>
Определение 2’’
. f
(
x
) – убывает (не возрастает) в точке 0
x
, если 0::0
f
x x
x
δδ
∃>∀<<
V
V V
V
Теорема 1:
(Необходимое условие возрастания (неубывания) функции в точке 0
x
)
Если f
возрастает (не убывает) в точке 0
x
и дифференцируема в точке 0
x
, то 0
'( ) 0
f x
.
Доказательство:
Т.к. функция возрастает (не убывает), то, по определению 1’’ ,
0:0
f
x
x
δδ
∃><>
V
V
V
, а значит и 0
lim 0
x
f
x
V
V
V
. Теорема доказана.
Теорема 1’
(Необходимое условие убывания (невозрастания) функции в точке 0
x
)
Если f
убывает (не возрастает) в точке 0
x
и дифференцируема в точке, то 0
'( ) 0
f x
.
Доказательство:
Т.к. функция убывает (не возрастает), то, по определению 2’’ ,
0:0
f
x
x
δδ
∃><<
V
V
V
, а значит и 0
lim 0
x
f
x
V
V
V
, теорема доказана.
Теорема 2:
(Достаточное условие возрастания)
Если f
(
x
) дифференцируема в точке 0
x
, причем 0
'( ) 0
f x
>
, то f
(
x
) возрастает в точке 0
x
.
Доказательство:
По теореме о сохранении знака:
0
0
'( ) 0 lim 0
x
f
f x A
x
>=>
V
V
V
, значит
0::0
2
f A
x x
x
δδ
∃>∀<>>
V
V V
V
f
возрастает.
Теорема доказана.
Замечание:
если 0
'( ) 0
f x
, то про возрастание сказать ничего нельзя.
Теорема 2’:
(Достаточное условие убывания)
Если f
(
x
) дифференцируема в точке 0
x
, причем 0
'( ) 0
f x
<
, то f
(
x
) убывает в точке 0
x
.
Доказательство:
По теореме о сохранении знака:
0
0
'( ) 0 lim 0
x
f
f x A
x
<=<
V
V
V
, значит
0::0
2
f A
x x
x
δδ
∃>∀<<<
V
V V
V
f
(
x
) убывает.
Теорема доказана.
Замечание:
если 0
'( ) 0
f x
, то про убывание сказать ничего нельзя.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
11
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Теорема Ферма:
(Необходимое условие существования экстремума)
Если f
(
x
) дифференцируема в точке
0
x
и 0
x
– точка локального экстремума, то 0
'( ) 0
f x
=
.
Доказательство:
Пусть 0
'( ) 0
f x
>
f
(
x
) возрастает в точке 0
x
, т.е.
0 0 0
0 0
f
при x f
x
x f
>>>
<<
V
V V
V
V V
, т.е. 0
x
– не точка экстремума.
Аналогично невозможен случай 0
'( ) 0
f x
<
, следовательно 0
'( ) 0
f x
=
. Теорема доказана.
Билет 12
Теорема Ролля.
Теорема:
Если функция )
(
x
f
y
=
непрерывна на [
]
b
a
,
, дифференцируема на (
)
b
a
,
и )
(
)
(
b
f
a
f
=
, то существует точка )
,
(
b
a
∈
ξ
,
такая, что 0
)
(
=
′
ξ
f
.
Доказательство: Так как функция f
непрерывна на [
a
,
b
], то существует точка x
1
, в которой f
достигает максимума и точка x
2
, в которой f
достигает минимума. Рассмотрим 2 случая:
1.
Обе точки x
1
и x
2
совпадают с a
или b
, тогда const
f
x
f
x
f
b
f
a
f
=
⇒
=
=
=
)
(
min
)
(
max
)
(
)
(
И тогда )
,
(
b
a
∈
∀
ξ
производная 0
)
(
=
′
ξ
f
2.
Одна из точек не является концевой отрезка [
a
,
b
]. Пусть ξ
- та из них, которая )
,
(
b
a
∈
, тогда в точке ξ
достигается локальный экстремум, кроме того, )
(
ξ
f
′
∃
, так как по условию )
(
x
f
′
существует )
,
(
b
a
x
∈
∀
. Поэтому
по теореме Ферма 0
)
(
=
′
ξ
f
, что и требовалось доказать.
Контрпример 1
Уберем непрерывность в точке b
: теорема потеряет силу.
Контрпример 2
Уберем дифференцируемость в одной из точек: теорема потеряет силу.
Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл:
если выполнены все условия теоремы, то на графике функции !
)
(
x
f
y
=
существует точка )),
(
,
(
ξ
ξ
f
касательная в которой параллельна оси x
.
Физический смысл: при прямолинейном движении если перемещение тела = 0, то существует момент времени, в
который скорость тела = 0.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
b
a
b
a
a
ξ
ξ
b
12
y
x
c
a
b
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 13
Теорема Коши. Физический смысл.
Теорема:
(Коши о среднем)
Пусть функции f(x)
и g(x)
непрерывны на отрезке [
a,b
] и имеют производные на интервале (
a,b
), одновременно не
обращающиеся в ноль. При этом g(b)-g(a)
≠
0 (
что следует из условия g΄(x)
≠
0)
. Тогда на интервале (
a,b
) найдется точка ζ,
для которой выполняется неравенство:
(
)
(
)
ζ
′
ζ
′
=
−
−
g
f
a
g
b
g
a
f
b
f
)
(
)
(
)
(
)
(
, a<ζ<b
.
Доказательство
:
Вводим функцию H(x)=(f(b)-f(a))·g(x)-(g(b)-g(a))·f(x)
. Очевидно, что она непрерывна на [
a,b
] и имеет
производную на (a,b)
, т.к. f(b)-f(a)
и g(b)-g(a)
постоянны. Кроме того, H(a)=H(b)
, поэтому по теореме Ролля найдется такая
точка ζ из (a,b)
, что H΄(ζ)=0.
H΄(ζ)=(f(b)-f(a))·g΄(ζ)-(g(b)-g(a))·f΄(ζ)
⇒
(
f(b)-f(a))·g΄(ζ)=(g(b)-g(a))·f΄(ζ)
(
)
(
)
ζ
′
ζ
′
=
−
−
⇒
g
f
a
g
b
g
a
f
b
f
)
(
)
(
)
(
)
(
, т.к. по условию g(b)-
g(a)
≠
0
и g΄(x)
≠
0
на (a,b)
.
Теорема доказана.
Физический смысл:
Если f΄(x)
и g΄(x)
– скорости, то отношение перемещений равно отношению скоростей в какой-то
момент времени.
Билет 14 Теорема о среднем Лагранжа.
Теорема:
Пусть функция )
(
x
f
непрерывна на отрезке ]
,
[
b
a
и имеет производную на интервале )
,
(
b
a
. Тогда существует на
интервале )
,
(
b
a
точка c
, для которой выполняется равенство )
(
)
(
)
(
)
(
c
f
a
b
a
f
b
f
′
−
=
−
(1),
причем )
(
b
c
a
<
<
.
Доказательство:
В теореме Коши, возьмем x
x
g
=
)
(
. Тогда 1
)
(
=
′
x
g
,
a
a
g
=
)
(
, b
b
g
=
)
(
.
Из теоремы Коши: )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
c
g
c
f
a
g
b
g
a
f
b
f
′
′
=
−
−
⇒
)
(
)
(
)
(
c
f
a
b
a
f
b
f
′
=
−
−
теорема доказана.
Физический смысл:
Найдется момент времени когда мгновен
cp
V
V
=
(средняя скорость равна мгновенной)
Геометрический смысл
:
Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая есть график непрерывной на ]
,
[
b
a
функции,
имеющей производную на )
,
(
b
a
, то на этой кривой существует точка, соответствующая
некоторой абсциссе )
(
b
c
a
c
<
<
такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна
хорде, стягивающей концы кривой ))
(
,
(
a
f
a
и ))
(
,
(
b
f
b
.
Равенство (1) называется формулой (Лагранжа) конечных приращений
. Промежуточное
значение c
удобно записывать в виде )
(
a
b
a
c
−
+
=
θ
, где θ
есть некоторое число,
удовлетворяющее неравенствам 1
0
<
<
θ
. Тогда формула Лагранжа примет вид
))
(
(
)
(
)
(
)
(
a
b
a
f
a
b
a
f
b
f
−
+
′
−
=
−
θ
)
1
0
(
<
<
θ
Она верна, очевидно, не только для b
a
<
, но и для b
a
≥
.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
13
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 15
Достаточное условие невозрастания (неубывания) функции на отрезке. Условие постоянства функции на отрезке.
Определение:
Функция f
называется строго возрастающей на отрезке [
a
,
b
], если для любых точек 1
х
, 2
х
из [
a
,
b
],
удовлетворяющих неравенству 2
1
x
x
<
, имеет место неравенство
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
<
.
Определение:
Функция f
называется неубывающей на [
a
,
b
], если из того, что ]
,
[
,
2
1
b
a
x
x
∈
и 2
1
x
x
<
следует, что
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
≤
.
Определение:
Функция f
называется строго убывающей на отрезке [
a
,
b
], если из того, что ]
,
[
,
2
1
b
a
x
x
∈
и 2
1
x
x
<
следует, что )
(
)
(
2
1
x
f
x
f
>
. Определение:
Функция f
называется невозрастающей на [
a
,
b
], если из того, что ]
,
[
,
2
1
b
a
x
x
∈
и 2
1
x
x
<
следует, что
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
≥
.
Пример:
x
x
f
1
)
(
=
Если )
(
x
f
убывает на )
;
0
(
∞
+
и на )
0
;
(
−∞
, то нельзя говорить, что )
(
x
f
убывает на ( ; 0) (0 ; )
−+
.
Теорема 1:
(необходимое условие возрастания (неубывания) функции в точке 0
x
)
Если функция )
(
x
f
возрастает (неубывает) в точке 0
x
и дифференцируема в 0
x
, то 0
)
(
'
0
≥
x
f
. Доказательство:
0
lim
)
0
(
0
:
0
0
≥
Δ
Δ
≥
>
Δ
Δ
⇒
<
Δ
Δ
∀
>
∃
→
Δ
x
f
x
f
x
x
x
δ
δ
Теорема доказана.
Пример:
3
)
(
x
x
f
=
возрастает в 0 и 0
)
0
(
'
=
f
Теорема 1’:
(необходимое условие убывания (невозрастания) функции в точке 0
x
)
Если функция )
(
x
f
убывает (невозрастает) в точке 0
x
и дифференцируема в 0
x
, то 0
)
(
'
0
≤
x
f
. Доказательство – аналогично теореме 1.
Теорема 2:
(достаточное условие возрастания)
Если функция )
(
x
f
дифференцируема в 0
x
и 0
)
(
'
0
>
x
f
, то )
(
x
f
возрастает в точке 0
x
.
Доказательство:
0
)
(
'
>
x
f
0
lim
0
>
=
Δ
Δ
→
Δ
A
x
f
x
f
A
x
f
x
x
⇒
>
>
Δ
Δ
⇒
<
Δ
Δ
∀
>
∃
0
2
:
0
δ
δ
возрастает.
Теорема доказана.
Замечание:
Если в точке 0
x
0
)
(
'
0
≥
x
f
, то ни про возрастание, ни про убывание ничего сказать нельзя. © Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
14
0
0
0
0
( )'( )
( )'( )
x U x f x
x U x f x
∀<
∀>
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 16 Достаточные условия экстремума.
Теорема 1:
(первое достаточное условие существования экстремума)
Если f
(
x
) дифференцируема в )
(
0
Xo
U
, f
’ имеет разные знаки слева и справа от Xo
=> Xo
– точка экстремума.
Доказательство:
Т.к f
(
x
) с одной стороны возрастает, с другой убывает, т.е.
0 0
0
0
( ) ( )
x U x f x
∀Δ>
- max
0
0 0
0
( ) ( )
x U x f x
∀Δ<
- min
Теорема доказана.
Теорема 2:
(второе достаточное условие существования экстремума)
Если в 0
x
f
(
0
x
)=0, f
’’(
0
x
)>0 – min
; f
’’(
0
x
)<0 – max
Доказательство:
f
’(
0
x
)=0, существует f
’’(
0
x
)=> f
’ определена в U
(
0
x
)
f
’(
x
) в точке 0
x
возрастает(
f
’’(
0
x
)>0)
f
’(
x
) в точке 0
x
убывает(
f
’’(
0
x
)<0)
1) f
’’(
0
x
)>0 f
’(
x
) возрастает, f
’(
0
x
)=0 =>
при x
<
0
x
при x
<
0
x
=>
0
x
– точка минимума
2) Аналогично для f’’(
0
x
)<0…
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
15
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 17
Формула Тейлора для многочленов.
Рассмотрим произвольный многочлен степени n
:
(1)
∑
=
=
+
+
+
−
−
+
=
n
k
k
x
k
a
a
x
a
n
x
n
a
n
x
n
a
x
n
P
0
0
1
...
1
1
)
(
Пусть a
– любое фиксированное число, тогда, полагая a
a
x
x
+
−
=
)
(
, получим
(2)
∑
=
−
=
+
−
+
+
−
−
−
+
−
=
n
k
k
a
x
k
b
b
a
x
b
n
a
x
n
b
n
a
x
n
b
x
n
P
0
)
(
0
)
(
1
...
1
)
(
1
)
(
)
(
Это выражение называют разложение многочлена )
(
x
n
P
по степеням )
(
a
x
−
. Здесь n
b
b
b
,...,
1
,
0
– числа, зависящие от i
a
и a
,
– коэффициенты разложения )
(
x
n
P
по степеням )
(
a
x
−
. Подставим в выражение (2) a
x
=
, получим
(3)
0
)
(
b
a
n
P
=
Найдем последовательные производные )
(
x
n
P
и подставим в ним a
x
=
1
...
1
)
(
)
(
b
n
a
x
n
b
n
x
n
P
+
+
−
−
⋅
=
′
1
)
(
b
a
n
P
=
′
2
2
...
2
)
(
)
1
(
)
(
b
n
a
x
n
b
n
n
x
n
P
+
+
−
−
⋅
−
⋅
=
′
′
2
)
(
2
2
2
)
(
a
n
P
b
b
a
n
P
′
′
=
⇒
=
′
′
k
b
k
k
n
a
x
n
b
k
n
n
n
x
k
n
P
⋅
+
+
−
−
⋅
+
−
⋅
⋅
−
⋅
=
!
...
)
(
)
1
(
...
)
1
(
)
(
)
(
!
)
(
)
(
!
)
(
)
(
k
a
k
n
P
k
b
k
b
k
a
k
n
P
=
⇒
⋅
=
Таким образом, многочлен )
(
x
n
P
может быть представлен в виде
)
(
...
)
(
!
)
(
...
)
(
!
)
(
)
(
a
P
k
a
x
k
a
k
P
n
a
x
n
a
n
P
x
n
P
+
+
−
+
+
−
=
или
∑
=
−
=
n
k
k
a
x
k
a
k
P
x
n
P
0
)
(
!
)
(
)
(
Последняя формула называется формулой Тейлора для многочлена )
(
x
n
P
по степеням )
(
a
x
−
. Отметим, что правая часть
этого выражения фактически не зависит от a
. © Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
16
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 18
Формула Тейлора для дифференцируемых функций.
Если функция f
(
x
) n
раз дифференцируема в точке а, то для нее существует многочлен ( )
( )
( ) ( )
!
0
k
n
f a
k
Q x x a
k
k
=−
=
-
это многочлен Тейлора n
-го порядка функции f
(
x
) в точке a
. Обозначим за 1
( ) ( ) ( )
n
R x f x Q x
+
=−
- на сколько многочлен
отличается от самой функции. 1
( )
n
R x
+
называют остаточным членом. Нужно доказать, что для «хороших» функций 1
( )
n
R x
+
будет достаточно мало. Докажем теорему, которую сформулируем в конце. =))
Рассмотрим функцию f
; зафиксируем точку a
, в которой будем раскладывать функцию, и произвольную точку x
, такую
что f
(
x
) n
-1 раз дифференцируема на [
a
,
x
] и n
раз дифференцируема на (
a
,
x
). В точке а функция дифференцируема n
-1 раз,
значит для нее можно составить многочлен Тейлора n
-1 порядка.
( )
1
0
( )
( ) ( ) ( )
!
k
n
k
n
k
f a
f x x a R x
k
−
=
=−+
Представим ( )
n
R x
в виде:
( ) ( ),
p
n
R x x a H x a
=−
, где р – произвольное число, H
– некоторая функция, зависящая от x
.
Рассмотрим функцию :
( )
1
0
( )
( ) ( ) ( )
!
k
n
k p
k
f u
F u x u x u H
k
−
=
=−+−
( ) ( )
( ) ( )
F x f x
F a f x
=
=
Рассмотрим F
(
u
) на [
a
,
x
]: F
(
u
) непрерывная на [
a
,
x
], дифференцируема на (
a
,
x
), F
(
x
)=
F
(
a
) по теореме Ролля
(
)
* *
,:( ) 0
U a x F U
∃=
( 1)
2 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )...( ) ( )
1!2!( 1)!
n
n p
f u f u f u
F u f u x u x u x u x u H
n
−
−
=+−+−++−+−
−
; продифференцируем:
( )
2 1 1
( ) ( ) 2 ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )...( ) ( )
1!2!2!( 1)!
n
n p
f u f u f u
F u f u x u f u x u x u f u x u p x u H
n
−−
=+−−+−−−++−−−
−
- и почти все
взаимно уничтожается.
*
( ) 0
F U
=
( ) *
* 1 * 1
( ) * *
( )
( ) ( )
( 1)!
( ) ( )
( 1)!
n
n p
n n p
f U
x U p x U H
n
f U x U
H
p n
−−
−
−=−
−
−
=
−
* *
(,) ( );0 1
U a x U a x a
θθ
=+−<<
, тогда (
)
*
( ) ( )(1 )
n p
n p
x U x a
θ
−
−
−=−−
(
)
( ) *
( ) ( )(1 )
( 1)!
n p
n
f U x a
H
p n
θ
−
−−
=
−
; ( ) *
( )( ) (1 )
( )
( 1)!
n n n p
n
f U x a
R x
p n
θ
−
−−
=
−
Подставим теперь p
:=
n
;
( ) *
*
( )( )
( ),(,)
!
n n
n
f U x a
R x U a x
n
−
=
- это остаточный член в форме Лагранжа. Подставим теперь p
:=1
( ) 1
*
( ( ))( ) (1 )
( ),(,)
( 1)!
n n n
n
f a x a x a
R x U a x
n
θθ
−
+−−−
=
−
- это остаточный член в форме Коши.
Рассмотрим форму Лагранжа:
Пусть теперь f
имеет непрерывную n
-ю производную в точке а. Это означает, что на [
a
,
x
) функция n
раз
дифференцируема. Значит f
(
x
) можно представить в виде:
( )
1
0
( )
( ) ( ) ( )
!
k
n
k
n
k
f a
f x x a R x
k
−
=
=−+
; ( ) *
*
( )( )
( ),(,)
!
n n
n
f U x a
R x U a x
n
−
=
* ( )
( ) ( ) ( );( ) 0 0
n n
f U f a x x
при x
εε
=+
, т.к. производная непрерывна. Тогда ( )
n
R x
можно представить в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
!!
n
n n
n
f a x
R x x a x a
n n
ε
=−+−
; (
)
( )( ) ( )
n n
x x a O x a
ε
−=−
(
)
( )
0
( )
( ) ( ) ( )
!
k
n
k n
k
f a
f x x a O x a
k
=
=−+−
- это формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Таким образом, мы доказали следующую теорему:
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
17
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Теорема
Если функция n
-1 раз дифференцируема на [
a
,
x
], n
раз на (
a
,
x
), то она раскладывается по формуле Тейлора с
остаточными членами в форме Лагранжа и Коши. Если функция f
(
x
) имеет непрерывную n
-ю производную в точке а, то в
окрестности точки а она раскладывается по формуле Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа, Коши и Пеано. Теорема
(о единственности разложения функции по формуле Тейлора в форме Пеано)
Если (
)
(
)
2 2
0 1 0 2 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0
( ) ( )...( ) ( ) ( ) ( )...( ) ( )
n n n n
n n
a a x x a x x a x x O x x a a x x a x x a x x O x x
+−+−++−+−=+−+−++−+−
,
то i i
i a a
∀=
, i
a
- коэффициенты из формулы Тейлора. Т.е. если есть какие-то другие коэффициенты i
a
, то они тоже есть
коэффициенты из формулы Тейлора: ( )
0
( )
!
i
i i
f x
a a
i
==
Доказательство.
Устремим 0
x x
, получим, что 0 0
a a
=
, т.к. (
)
0
( ) 0
n
O x x
−
; тогда
(
)
(
)
1 0 0 0 1 0 0 0
( )...( ) ( ) ( )...( ) ( )
n n n n
n n
a x x a x x O x x a x x a x x O x x
−++−+−=−++−+−
сократив на 0
( )
x x
−
, получим:
(
)
(
)
1 1 1 1
1 0 0 1 0 0
...( ) ( )...( ) ( )
n n n n
n n
a a x x O x x a a x x O x x
−−−−
++−+−=++−+−
и опять же (
)
1
0
( ) 0,
n
O x x
−
−
если 1 1
n
−>
. И так мы можем проделать до n
-го коэффициента. Теорема доказана.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
18
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 19 Формула Тейлора для важнейших элементарных функций.
Общий вид формулы Тейлора для функций:
( )
2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )...( ) ( )
1!2!!
n
n
n
f a f a f a
f x f a x a x a x a R x
n
=+−+−++−+
, где
( )
n
R x
- остаточный член.
При 0
a
=
получаем так называемую формулу Маклорена.
Формула Тейлора для важнейших элементарных функций:
1)
( )
x
f x e
=
, 0
0
x
=
, ( )
( )
n x
f x e
=
, ( )
(0) 1
n
f
=
. Отсюда получаем, что
1
0
1
( )
!
n
x k
n
k
e x R x
k
−
=
=+
. ( )
(0 ( 0))
( )
!
n
n
n
f x
R x x
n
θ
+−
=
,
( )
!
x n
n
e x
R x
n
θ
=
, где 0 1
θ
<<
. И в итоге имеем: ( )
!
x n
n
e x
R x
n
, n
, ( ) 0
n
R x
.
Пример
:
Пусть 0
1
x
=
, тогда получим:
1
1
1 1 1 1
(1) 1 1 (1)
!2!3!( 1)!
n
n n
k
e R R
k n
−
=
=+=+++++
−
, 1
(1)
!
n
R
n
.
2)
( ) sin
f x x
=
,
Поскольку ( )
( ) sin( )
2
n
n
f x x
π
=+
, ( )
1
2
0
при четном n
(0)
( 1)
при нечетном n
n
n
f
−
−
=
−−
, формула имеет вид:
1
3 5 7
2
2
sin...( 1) ( )
3!5!7!!
n
n
n
x x x x
x x R x
n
−
+
=−+−++−+
, где n
– нечётное число, а остаточный член в форме Лагранжа
равен 2
2
( ) sin( )
( 2)!2
n
n
x n
R x x
n
π
θπ
+
+
=++
+
, 0 1
θ
<<
.
Очевидно, что для остаточного члена справедлива следующая оценка: 2
2
( )
( 2)!
n
n
x
R x
n
+
+
+
.
3)
( ) cos
f x x
=
,
Поскольку ( )
( ) cos
2
n
n
f x x
π
=+
, то
2 4
2
2
( 1)
cos 1...( )
2 4!(2 )!
k
k
k
x x
x x R x
k
−
=−++++
, 2 1
2
cos (2 1)
2
( )
(2 1)!
k
k
x k
R x x
k
π
θ
+
++
=
+
,
0 1
θ
<<
, x
∀
2
( ) 0
k
R x
, 1
x
<
.
4)
( ) ln(1 )
f x x
=+
,
1
( )
1
f x
x
=
+
, 2
1
( )
(1 )
f x
x
=−
+
, ( ) 1
( 1)!
( ) ( 1)
(1 )
n n
n
n
f x
x
−
−
=−
+
, ( ) 1
(0) ( 1) ( 1)!
n n
f n
−
=−−
,
1 2 3 4 2 1
1
0
( 1) ( 1)!( 1)
ln(1 ) ( ) 1...( )
!2 3 4 1
k n n
n
k
n n
k
k x x x x
x x R x x R x
k n
−−−
−
=
−−−
+=+=+−+−+++
−
,
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
19
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
1
( 1) ( 1)!
( )
!(1 )
n
n
n
n
R x x
n x
θ
−
−−
=
+
, 1
( ) 0
1
n n
n
n
x x
R x
n n
x
θ
=
+
при n
,
Рассмотрим остаточный член в форме Коши:
1
1
( 1) ( 1)!
( ) (1 )
( 1)!(1 )
n
n n
n
n
n
R x x
n x
θ
θ
−
−
−−
=−
−+
, 1
1
1
( )
(1 ) 1
n
n
n
x
R x
x x
θ
θθ
−
−
=
−−
, 1
1
1
x
θ
θ
−
<
−
,
( )
1
n
n
x
R x
x
θ
<
−
, где n
, ( ) 0
n
R x
и 1 0
x
−<<
.
5) ( ) (1 )
f x x
α
=+
,
1
( ) (1 )
f x x
α
α
−
=+
, ( )
( ) ( 1)...( 1)(1 )
n n
f x n x
α
ααα
−
=−−++
, ( )
(0) ( 1)...( 1)
n
f n
ααα
=−−+
,
2
( 1) ( 1)...( 1)
(1 ) 1...( )
2!!
n n
n
x x x x O x
n
α
ααααα
α
−−−−
+=+++++
,
Остаточный член в форме Пеано.
Билет 20
Выпуклость функции в точке. Достаточное условие.
Определение:
Функция f(x)
называется выпуклой вверх (вниз) в точке x
o
, если найдется такая окрестность U(x
o
)
, что для
всех точек из этой окрестности U(x
o
)
график функции f(x)
лежит не выше (не ниже) касательной, проведенной в точке x
o
.
Замечание
:
Говорить о выпуклости в точке можно только если функция дифференцируема в этой точке.
Контрольный пример:
x
x
x
f
1
sin
)
(
2
=
. 0
- ни точка выпуклости вверх, ни точка
выпуклости вниз, ни точка перегиба, потому что в любой окрестности U(0)
есть
точки в которых функция выпукла вверх и вниз.
Теорема:
(Достаточное условие выпуклости вверх (вниз)). Если функция f
в точке x
o
имеет непрерывную вторую производную
(
)
0
f x
, и при
этом (
)
0
f x
<
0
(
>0
), то f
выпукла в вверх (вниз) в точке x
o
. Доказательство: Т.к. функция f имеет непрерывную вторую производную (
)
0
f x
, то эта производная
определена в некоторой окрестности 0
( )
U x
. Разложим функцию f по формуле Тéйлора с остаточным членом в форме
Пеано:
2
)
))(
(
)
(
(
)
)(
(
)
(
)
(
2
0
0
0
0
0
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
−
ε
+
′
′
+
−
′
+
=
.
Причем функция 0 0 0
( ) ( ) ( )( )
кас
y x f x f x x x
=+−
является графиком касательной к функции f в точке 0
x
. Поэтому если
(
)
0
f x
>0, то f(x)<
кас
y
(x) в окрестности 0
( )
U x
(т.к. ε(x)→0, при x→0), а если (
)
0
f x
>0, то f(x)> кас
y
(x) в 0
( )
U x
.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
20
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 21 Точка перегиба. Достаточные условия. Общая теорема о точках перегиба и экстремума.
Определение
.
Точка 0
x
называется точкой перегиба, если в этой точке график переходит через сторону касательной ( разные
выпуклости слева и справа).
Замечание.
Точка перегиба существует только если D
f
C
f
∈
∈
,
. Пример x
x
x
f
1
sin
)
(
2
=
Теорема 1
(Достаточное условие существования точки перегиба).
Если функция f
имеет )
(
x
f
′
′
′
непрерывной в точке 0
x
, )
(
0
x
f
′
′
=0 и 0
)
(
0
≠
′
′
′
x
f
, то 0
x
точка перегиба.
Доказательство:
В этом случае: )
(
)
)(
(
)
(
)
(
2
0
0
0
x
r
x
x
x
f
x
f
x
f
+
−
′
+
=
, )
(
(
!
3
)
(
)
(
0
3
0
2
x
x
x
f
x
x
x
r
−
+
′
′
′
−
=
θ
(формула Тейлора) , или
)
(
)
(
2
x
r
y
x
f
кас
+
=
.
В силу непрерывности f
′
′
′
в 0
x
и того факта, что 0
)
(
0
≠
′
′
′
x
f
⇒
))
(
(
0
0
x
x
x
f
−
+
′
′
′
θ
сохраняет знак в некоторой
окрестности точки 0
x
. С другой стороны, множитель 3
0
)
(
x
x
−
меняет знак при переходе x
через 0
x
, а вместе с ним и
величина )
(
2
x
r
(равная превышению точки кривой над касательной в 0
x
) меняет знак при переходе x
через 0
x
.
Теорема доказана.
Теорема 2
(
Общая теорема о точках перегиба и экстремума.)
Пусть функция f
обладает следующими свойствами: ,
0
)
(
...
)
(
0
)
(
0
=
=
=
′
′
x
f
x
f
n
)
(
)
1
(
x
f
n
+
непрерывна в 0
x
и 0
)
(
0
)
1
(
≠
+
x
f
n
. Тогда, если n
- нечетное число, то кривая )
(
x
f
y
=
обращена
выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли 0
)
(
0
)
1
(
<
+
x
f
n
или
0
)
(
0
)
1
(
>
+
x
f
n
, а если n
четное, то
0
x
есть точка перегиба кривой.
Доказательство:
Разложим по формуле Тейлора:
))
(
(
)!
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
)
1
(
1
0
0
0
0
x
x
x
f
n
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
n
n
−
+
+
−
+
′
−
+
=
+
+
θ
))
(
(
0
0
)
1
(
x
x
x
f
n
−
+
+
θ
того же знака, что )
(
0
)
1
(
x
f
n
+
, 0
|
|
1
0
>
−
+
n
x
x
, 0
x
x
≠
, если n
- четное то
)
(
)
(
x
y
x
f
кас
>
или )
(
)
(
x
y
x
f
кас
<
⇒
всегда, 0
x
- не точка перегиба.
Если n
- нечетная ))
(
(
)!
1
(
)
(
0
0
)
1
(
1
0
x
x
x
f
n
x
x
n
n
−
+
+
−
+
+
θ
С одной стороны )
(
)
(
x
y
x
f
кас
>
, с другой стороны )
(
)
(
x
y
x
f
кас
<
⇒
0
x
- точка перегиба. n
- четное.
)
(
)
(
0
x
f
x
f
>
, 0
)
(
0
)
1
(
>
+
x
f
n
- min
)
(
)
(
0
x
f
x
f
<
, 0
)
(
0
)
1
(
<
+
x
f
n
- max
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
21
2
x
a
b
1
x
2
x
a
b
1
x
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 22
Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие.
Определение: По определению кривая )
(
x
f
называется выпуклой вниз (вверх) на отрезке [
a
,
b
], если любая дуга этой
кривой с концами в точках
2
1
,
x
x
(
b
x
x
a
≤
<
≤
2
1
)
расположена не ниже (не выше) стягивающей ее хорды. Определение:
Множество называется выпуклым, если для любых двух точек этого множества, отрезок, соединяющий их
лежит также в этом множестве. Выпуклость вверх
Выпуклое множество
Выпуклость вниз
Невыпуклое множество
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие выпуклости на отрезке)
Пусть функция )
(
x
f
непрерывна на [
a
,
b
] и имеет вторую производную на (
a
,
b
). Для того чтобы кривая )
(
x
f
y
=
была
выпуклой кверху (книзу) на [а,
b
], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство 0
)
(
'
'
≤
x
f
(
0
)
(
'
'
≥
x
f
) для
всех )
,
(
b
a
x
∈
.
Доказательство:
Пусть наша кривая выпукла кверху на [
a
,
b
]. Тогда для любых х и h
>0 таких, что х, х+2
h
∈
[
a
,
b
], имеет место неравенство
2
/
))
2
(
)
(
(
)
(
h
x
f
x
f
h
x
f
+
+
≥
+
, откуда )
(
)
2
(
)
(
)
(
h
x
f
h
x
f
x
f
h
x
f
+
−
+
≥
−
+
.
Если теперь 1
x
и 2
x
- произвольные точки интервала (
a
,
b
), то, положив h
= (
2
x
- 1
x
)/
n
, будем иметь
)
(
)
(
...
)
(
)
2
(
)
(
)
(
2
2
1
1
1
1
h
x
f
x
f
h
x
f
h
x
f
x
f
h
x
f
−
−
≥
≥
+
−
+
≥
−
+
.
Таким образом, (
)
/(
))
(
)
(
(
/
))
(
)
(
2
2
1
1
h
x
f
h
x
f
h
x
f
h
x
f
−
−
−
≥
−
+
, и, переходя к пределу при 0
→
h
, получим
неравенство )
(
'
)
(
'
2
1
x
f
x
f
≥
, показывающее, что производная '
f
на интервале (
a
,
b
) не возрастает. Но тогда 0
)
(
'
'
≤
x
f
на (
a
,
b
).
Обратно, пусть 0
)
(
'
'
≤
x
f
и b
x
x
a
<
<
<
2
1
. Нам нужно доказать, что функция )
(
)
(
)
(
)
(
1
1
x
x
m
x
f
x
f
x
F
−
−
−
=
,
где )
/(
))
(
)
(
(
1
2
1
2
x
x
x
f
x
f
m
−
−
=
, удовлетворяет неравенству ]
,
[
на
0
)
(
2
1
x
x
x
F
≥
. Допустим, что это не так. Тогда
2
0
1
0
и
0
)
(
)
(
min
2
1
x
x
x
x
F
x
F
x
x
x
<
<
<
=
≤
≤
. Поэтому 0
)
(
'
0
=
x
F
.
Применяя формулу Тейлора, получим
0=
))
(
(
'
'
!
2
)
(
)
(
))
(
(
'
'
!
2
)
(
)
(
)
(
0
2
0
2
0
2
0
0
2
0
2
0
2
0
2
x
x
x
f
x
x
x
F
x
x
x
F
x
x
x
F
x
F
−
+
−
+
=
−
+
−
+
=
θ
θ
. Но в правой
части этой цепочки равенств первый член по предположению отрицательный, а второй неположительный, поэтому правая
часть меньше нуля, и мы пришли к противоречию.
Доказательство в случае 0
)
(
'
'
≥
x
f
аналогично.
Теорема доказана.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
22
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 23 Правило Лопиталя. Случай 0/0.
Теорема 1:
(Неопределенность вида 0/0)
Пусть f
(
x
) и g
(
x
) дифференцируемы в некоторой окрестности точки а, 0
)
(
lim
)
(
lim
=
=
→
→
x
g
x
f
a
x
a
x
0
)
(
≠
x
g
в этой окрестности и 0
)
(
'
≠
x
g
в той же окрестности, тогда, если A
x
g
x
f
a
x
=
∃
→
)
(
'
)
(
'
lim
, то A
x
g
x
f
a
x
=
∃
→
)
(
)
(
lim
Доказательство:
1) a
– конечное.
Доопределим функции: f
(
a
)=0 и g
(а) = 0; f
(
x
) и g
(
x
) непрерывны на [
a
;
x
]
)
(
0
a
U
x
∈
+
ε
)
(
'
)
(
'
)
(
)
(
)
(
)
(
:
)
;
(
ξ
ξ
ξ
g
f
a
g
x
g
a
f
x
f
x
a
=
−
−
∈
∃
при a
a
x
→
→
ξ
,
f(a)=g(a)=0 =>
)
(
'
)
(
'
lim
)
(
'
)
(
'
lim
)
(
)
(
lim
a
g
a
f
g
f
x
g
x
f
a
x
a
a
x
→
→
→
=
=
ξ
ξ
ξ
2) ∞
=
a
Пусть t
x
=
1
0
;
→
∞
→
е
x
Введем функции 1
( )
F t f
t
=
и 1
( )
G t g
t
=
)
(
'
)
(
'
lim
)
1
(
*
)
1
(
'
)
1
(
*
)
1
(
'
lim
))'
1
(
(
))'
1
(
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
2
2
0
0
0
x
g
x
f
t
t
g
t
t
f
t
g
t
f
t
G
t
F
x
g
x
f
x
t
t
t
x
∞
→
→
→
→
∞
→
=
−
−
=
=
=
Теорема доказана.
Замечание:
обратное неверно. Пример:
x
x
x
x
1
sin
lim
2
0
→
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
23
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 24 Правило Лопиталя. Случай ∞
∞
/
.
Теорема: Пусть функции f
и g
определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a
и
0
)
(
≠
x
g
и 0
)
(
≠
′
x
g
в некоторой
выколотой окрестности точки a
, тогда, если )
(
)
(
lim
x
g
x
f
a
x
′
′
→
∃
, то )
(
)
(
lim
x
g
x
f
a
x
→
∃
и
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
a
x
x
g
x
f
a
x
′
′
→
=
→
Доказательство:
Возьмем произвольную последовательность {
}
n
x
, a
x
n
→
, a
x
n
≠
, тогда по определению предела по Гейне
∞
→
)
(
n
x
f
и ∞
→
)
(
n
x
g
Тогда 1 1
:( ) ( )
k
k k k n k
k n n n f x k f x
∀ ∃∀> >
- для f
(
x
) определение предела вида |
f
(
x
)|>
C
, где C
=
( )
k
k f x
2 2
:( ) ( )
k
k k k n k
k n n n g x k g x
∀ ∃∀> >
- аналогично для g
(
x
)
Тогда можно найти такой номер, для которого будут выполняться оба неравенства:
1 2
max{,}
k k k
n n n
>
( ) ( )
k
n k
f x k f x
>
,
( ) ( )
k
n k
g x k g x
>
Используя термины O
можно записать:
( ) ( ( ))
k
k n
f x O f x
=
, ( ) ( ( ))
k
k n
g x O g x
=
Пояснение: | ( ) |
1
| ( ) |
k
k
n
f x
f x k
<
, а т.к. ,
k
| ( ) |
lim 0
| ( ) |
k
k
k
n
f x
f x
=
Найдем теперь предел отношения ( )
k
n
f x
к ( )
k
n
g x
:
( )
lim
( )
k
k
n
k
n
f x
g x
=
[ можно добавить или отнять O
, предел от этого не изменится ]
( ) ( )
lim
( ) ( )
k
k
n k
k
n k
f x f x
g x g x
−
==
−
[ воспользуемся теоремой Коши: (,)
k
k n
x x
ξ
∃
или (,)
k
n k
x x
- смотря, что больше]
( )
( )
lim lim
( ) ( )
k
k
k
k x a
n
k
k
k
x a
f
f x
x a
g g x
a
ξ
ξ
ξ



===




- по определению предела по Гейне.
Мы получили еще не совсем теорему о сходимости последовательности через подпоследовательности, ( ее
формулировка: если { }
n
x
такова, что из любой её подпоследовательности { }
k
n
x
можно извлечь в свою очередь
подпоследовательность { }
k
l
n
x
, сходящуюся к конечному или бесконечному А, то предел { }
n
x
=А) мы пока что только из
самой последовательности выделили сходящуюся подпоследовательность, а это еще не значит, что сама
последовательность сходится. Теперь возьмем произвольную последовательность { }
n
x
и её произвольную подпоследовательность { }
k
n
x
, тогда
по только что доказанному из подпоследовательности { }
k
n
x
мы можем выделить подпоследовательность { }
k
l
n
x
,
сходящуюся к ( )
lim
( )
x a
f x
g x
, т. е. ( )
( )
( )
lim lim lim
( ) ( ) ( )
k
l
k
l
n
n
l x a n
n n
f x
f x
f x
g x g x g x
==
Теперь мы взяли произвольную последовательность, поэтому ( ) ( )
lim lim
( ) ( )
x a x a
f x f x
g x g x
=
Причем важно, чтобы предел отношения производных существовал. Теорема доказана.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
24
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 25 Раскрытие неопределенностей вида 0
, 0
0
,
0
,
−
, 1
.
Кроме рассмотренных неопределенностей и 0
0
, встречаются неопределенности вида 0
,
0
0
,
0
,
−
, 1
,
определение которых очевидно. Эти неопределенности сводятся к неопределенностям или 0
0
алгебраическими
преобразованиями.
1)
Неопределенность 0
(
( ) ( ),( ) 0,( )
f x g x f x g x
при
x a
).
Ясно, что
1 0
( ) ( )
1/0
f x g x
g
=
или 1/
g
f g
f
=
.
2)
Неопределенности вида 1
, 0
, 0
для выражения g
f
сводятся к неопределенности 0
.
Согласно определению этой функции ln
( 0)
g g f
f e f
=>
. lim ln
x a
g f k
=
, то lim
g k
x a
f e
=
.
3)
Неопределенность −
(
( ) ( )
f x g x
−
, f
+
, g
+
при x a
)
Легко видеть, что 1 1
1 1 0
1 1 1 1
0
.
g f
f g
f g f g
−
−=−=
.
Билет 26
Асимптота. Уравнение наклонной асимптоты.
Определение:
Прямая b
kx
y
+
=
называется наклонной асимптотой функции f
(
x
) при )
(
−∞
+∞
→
x
, если f
определена в
окрестности точки )
(
−∞
∞
+
и расстояние между графиком и прямой стремится к нулю.
0
)
,
(
lim
)
(
=
±∞
→
ас
x
f
x
Г
Г
r
Уравнение наклонной асимптоты:
Пусть
b
kx
y
+
=
- асимптота при +∞
→
x
))
(
;
(
x
f
x
A
, b
kx
y
+
=
, 0
=
−
+
y
b
kx
, ( )
2
(,) 0
1
f x
ас
kx b y
r
Г Г
k
+−
=
+
0
)
(
lim
=
−
+
+∞
→
y
b
kx
x
, 0
)
)
(
(
lim
=
−
−
+∞
→
b
kx
x
f
x
, 0
)
(
lim
=
−
−
+∞
→
x
b
k
x
x
f
x
, значит k
x
x
f
x
=
+∞
→
)
(
lim
,
)
)
(
(
lim
kx
x
f
b
x
−
=
+∞
→
Замечание:
возможен случай, когда k
существует, а b
– нет, в этом случае асимптот нет!
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
25
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 27
Первообрáзная. Неопределенный интеграл. Свойства.
Определение 1:
Функция F называется первообразной функции f на интервале (a,b), если функция f непрерывна на
интервале (a,b), и для всех x из этого интервала выполняется равенство: F΄(x)=f(x). Замечание:
Вместо (a,b) можно рассматривать [a,b], (a,b] и [a,b), но нужно будет говорить про односторонние
производные: ( )
F a
+
=f(a), и ( )
F b
+
=f(b).
Пример
x
x
f
1
)
(
=
.
x
x
F
x
x
x
ln
)
(
.
0
1
)
(ln
=
⇒
≠
∀
=
′
на промежутке (-∞,0) и на (0,+∞).
Теорема:
(О множестве всех первообразных). Пусть F(x) является первообразной функции f(x) на на промежутке I, тогда функции вида F(x)+C и только они являются
первообразными функции f(x), где C – произвольная константа.
Доказательство:
Пусть функция F(x) – первообразная функции f(x), тогда F΄(x)=f(x) и (F(x)+C)΄=f(x). Пусть функции F и G – первообразные
функции f(x) на промежутке I (нужно доказать, что они отличаются на константу). Тогда (F-G)΄=0
⇒
F-G=C (по теореме о
функции, имеющей нулевую производную).
Теорема доказана.
Определение 2:
Множество всех первообразных функции f(x) на промежутке I называется неопределенным интегралом и
обозначается
( )
f x dx
. При этом если функция F(x) – первообразная функции f(x), то
( ) ( )
f x dx F x C
=+
.
Пример:
C
x
x
dx
+
=
−
∫
arcsin
1
2
.
Свойства первообразных и неопределенного интеграла. 1. Пусть функция f(x) имеет первообразную F(x) на промежутке I и функция g(x) имеет первообразную G(x) на промежутке
I, тогда функция f(x)±g(x) будет иметь первообразную F(x)±G(x) на промежутке I. Для интегралов:
( ( ) ( )) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
=
.
Замечание:
Обратное неверно! Из существования интеграла ( ( ) ( ))
f x g x dx
не следует существование интегралов
( )
f x dx
и
( )
g x dx
.
Первообразной функции k·f(x) является функция k·F(x). Для интегралов:
( ) ( )
kf x dx kF x C
=+
.
2. Первообразной производной функции f΄(x) является сама функция f(x). Для интегралов: C
x
f
dx
x
f
+
=
′
∫
)
(
)
(
.
3. ( ( ) ) ( )
d
f x dx f x
dx
=
(по определению).
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
26
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 28 Замена переменной в неопределенном интеграле.
Основную роль в интегральном исчислении играет формула замены переменных (или подстановки)
( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )
f x dx f t t dt C f t d t C
ϕϕϕϕ
=+=+
(1).
В этой формуле предполагается, что ( )
x t
ϕ
=
есть непрерывно дифференцируемая функция на некотором интервале
изменения t
, а ( )
f x
- непрерывная функция на соответствующем интервале или отрезке оси x
. Докажем это
утверждение. Слева в (1) стоит функция, которая является первообразной от ( )
f x
. Ее производная по t
равна:
(
)
( ) ( ) ( ( )) ( )
d d dx
f x dx f x dx f t t
dt dx dt
ϕϕ
==
Следовательно, если ввести в этой функции подстановку ( )
x t
ϕ
=
, то получится первообразная от функции ( ( )) ( )
f t t
ϕϕ
.
Интеграл же справа есть, по определению, некоторая первообразная от ( ( )) ( )
f t t
ϕϕ
. Но две первообразные для одной и
той же функции отличаются на некоторую постоянную C
. Это и записано в виде первого равенства (1). Что касается
второго, то оно носит формальный характер - мы просто уславливаемся писать: ( ) ( ) ( ) ( )
F t t dt F t d t
ϕϕ
=
Пример: 2
2 2 2
1 sin
cos cos
2 2
x
x x dx x dx C
==+
.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
27
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 29
Интегрирование по частям неопределенного интеграла.
Пусть даны U
и V
, тогда по правилу интегрирования по частям
U dV U V V dU
=−
''
'( )''
( )'''
U V dx U V V U dx
U V U V V U
U V U V V U
=−
=−
=+
Пример 1:
cos cos sin sin sin cos
sin
U x dV x dx
x x dx x x x dx x x x C
dU dx V x
==

==−=++

==

Пример 2:
2 2 2
2
2 2 2 2
2 2
1 ( 1) ( 1)
1 1
2
2 2 2
x x
x
x x
x x
U x dV e dx x U dV e dx
e
x e dx x x e dx
dU x dx V e dx dU V e
 
=+===
 
+==+−==
 
====
 
 
2 2 2 2
2 2
( 1) 1 3
( ) ( )
2 2 2 2 2
x x x
x
x e e e
x e dx x x C
+
=−−=−++
Пример 3:
ln ln ln ln
U x dV dx
x dx x x dx x x x C
dx
dU V x
x
==


==−=−+

==


Пример 4
:
2 2
2
2
2
2 2
2
arctg arctg 1 1 1
arctg 2 2
1
2
1
arctg 1 1
( ) arctg arctg
2 2 2 2 2
1
U x dV x dx
x x x
x x dx dx
dx x
x
dU V
x
x x dx x x
dx x x C
x
==

+−

==−=

+
==

+

=−−=−++
+
Правило:
При интегрировании выражений вида dx
x
f
x
P
)
(
)
(
∫
⋅
, где P
(
x
)-многочлен, Если ( ):cos,sin,
x
f x x x e
α
αα
за U принимаем
( )
( ) U P x
dV f x dx
=
=
Если ( ):arccos,arcsin,arctg,ln
f x x x x x
ααα
за U принимаем
( )
( ) U f x
dV P x dx
=
=
Пример5
.
cos sin
cos sin 1
sin
sin sin
1
cos
ax
ax
ax ax
ax
ax
ax
ax
U e dV bx dx
e bx a
e bx dx e bx dx
b b
dU a e dx V bx
b
U e dV bx dx
e bx a
b b
dU a e dx V bx
b

==

==−=

==



==

==−

==−


1
( cos cos )
ax ax
a
e bx e bx dx
b b
−+=
2
2 2
( sin cos )
cos ax
ax
e b bx a bx a
e bx dx
b b
+
=−
2
2 2
( sin cos )
(1 ) cos '
ax
ax
a e b bx a bx
e bx dx C
b b
+
+=+
2 2
( sin cos )
cos ( )
ax
ax
e b bx a bx
e bx dx C
a b
+
=+
+
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
28
2 2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2 4
1
5.1 0
4 2
5.2 0
4 4
2
5.3 0
4
2
x x
x px q
p p
x q
p p y
q x y C
y
y
p p x
q q a
p
x a
p x
q a
p
x a
=
++
++−
−=+==−+
−<−=−
+−
−>=
++
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 30 Интегрирование простейших рациональных дробей
1.
1
1
( ),1
( ) (1 )( )
n
n n
x
x a x c n
x a n x a
−
−
=−=+
−−−
2.
ln
x
x a C
x a
=−+
−
2 2
2 2
3.(1)
( )( )
1
( )( )
( ) ( ) 1
1 1
::
2 2
1 1 1
(1) ( ) ln ln
2 2 2
x x
x a x a
x a
A B
x a x a x a x a
A x a B x a
x a B x a A
a a
x x x a x x a
C C
a x a x a a x a a x a
a x
=
−+
−
=+
−+−+
++−=
=−=−==
−+
=−=+=+
−++−
−
4. 2 2 2 2 2
1 1
1 1
x x
arctg
x x
a a
C
a a
x a a
x x
a a
===+
+
++
5.
рассмотрено в пункте 3
рассмотрено в пункте 4.
6.
2
2
2 2 2 2
(2 )
( )
2 2
ln.5
2 2 2
( )
M Mp
x p N
Mx N M x px q Mp x M
x x N x px q
сл
x px q x px q x px q x px q
+−+
+++
==+−=+++
++++++++
7.
2 2 2 2 1 2
2 2
2
2 2
2 2 1 2
2 1
1 1
1 1
( ) ( 1)
1 1
2
( 1)
1 1 *2
1
2
( 1) ( 1) ( 1)
(1 )( 1)
...arc
n n n n n n
n
n n n
n
n n
x
x x x
a
x a a x
x x
a a
x
u x v
x
x x x x x
x x
x x x
u x V
n x
I I I
a
−
−
−
−
====
++
++
==
+
+−
=−==
+++
==
−+
=






tg
x
8.
2
2
2
2
0
4
( )
2 4
n n
x p x
q
x px q
p p
x q
=−>=
++
++−



-случай 7
9.
(
)
2 2
2
2 2
2
2 2
( ) ( )
( )
2 2
( ) ( )
n n
n n
M Mp
x p N
Mx N
x x
x px q x px q
M x px q Mp x
N
x px q x px q
++−
+
=
++++
++
=+−
++++
Случай 8.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
29
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 31 Интегрирование рациональных дробей.
Пусть нужно найти неопределенный интеграл ( )
( )
P x
dx
Q x
от рациональной действительной дроби. Если степень многочлена P
k
не
меньше степени многочлена Q
n
(
k n
), то прежде всего разделим P
на Q
: 1
P
P
R
Q Q
=+
Многочлен R
интегрируется без труда, а /
1
P Q
– правильная действительная дробь. Все трудности сводятся к интегрированию
правильной дроби, которую мы снова обозначим через /
P Q
и представим в виде:
1
1 1 0
1
1 1 0
( )...
( )
( )
...
k k
k k k
n n
n
n n
P x a x a x a x a
R x
Q x
b x b x b x b
−
−
−
−
++++
==
++++
Тогда пусть k n
<
, 1
n
b
=
1 случай. Знаменатель содержит простые действительные корни, тогда его можно разложить на простейшие множители: (см.Теор.1)
1
1 1 0 1 2
...( )( )...( )
n n
n n
x b x b x b x x x x x x
−
−
++++=−−−
. Тогда
1 2 1 1
1 2
1 2 1
( ) ( )...( )...( )...( )
...[
приведем к общему знаменателю]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )...( )
k n n n n
n n n
P x A A x x x x A x x x x
A A
Q x x x x x x x x x x x
−
−−++−−
=+++==
−−−−−
Приравнивая тождественно равные числители, получим:
1
1 1 0 1 2 1 1
...( )...( )...( )...( )
k k
k k n n n
a x a x a x a A x x x x A x x x x
−
−−
++++=−−++−−
Существуют 2 метода нахождения i
A
:
1)
сравниваем коэффициенты при x
с одинаковыми степенями; однако этот метод очень трудоемкий.
2)
Т.к. равенства тождественны, можем взять 1
:
x x
=
, тогда 1 1 1 2 1
( ) ( )...( )
k n
P x A x x x x
=−−
. Так, подставляя поочередно 1
...
n
x x
найдем все i
A
Т.о., мы получили сумму элементарных дробей, которые можем легко проинтегрировать.
Пример
2 5
( 1)( 1)( 2)
x
dx
x x x
+
−+−
2 случай. Знаменатель содержит кратные корни, тогда его можно представить в виде: 1 2
1 2
( ) ( )...( )
n
s
s s
n
J x x x x x x
=−−−
. Пусть существуют n
различных корней с кратностями 1
,...,
n
s s
, тогда
1
1
1 2 1
2
1 1
1
( )
.........
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
n
n
s
s
k
s s
n n
n
N
A
P x
A A N
Q x x x x x x x
x x
x x
=+++++++
−−−
−
−
- и делаем все так же, как и в предыдущем примере. Пример
2
2 5
( 1) ( 2)
x
dx
x x
+
−−
3 случай. Знаменатель содержит кратные корни и многочлены, имеющие комплексные корни; 1 2
2 2
1 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( )( )
s s
J x x x x x p x q x p x q
=−−++++
, где многочлены 2
1 1
( )
x p x q
++
, 2
2 2
( )
x p x q
++
имеют комплексные корни.
Тогда R
(
x
) представим в виде: 1 2
1 2
1 2 1
2 2 2
1 2
1 1 1 2 2
1 2
( )
.........
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
s s
k
s s
n
A B
P x
A A B
Dx E Fx S
Q x x x x x
x x x p x q x p x q
x x x x
++
=+++++++++
−−
−++++
−−
Снова приводим к общему знаменателю и приравниваем числители. Пример
2
3 2
( 1)( 2 2)
x
dx
x x x
+
−++
4 случай
Знаменатель содержит кратные действительные и кратные комплексные корни;
3
1 2 4
2 2
1 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
s
s s s
J x x x x x p x q x p x q
=−−++++
Тогда R
(
x
) представим в виде: 3 3
1 2 4 4
1 2 3 4
1 1 1 1 1 1
2 2
2
2
1 2 1 1 2 2
1 2 2 2
1 1
...............
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
S S
s s S S
s s S S
C x D
A B E x F
A B
С x D E x F
x x x x x p x q x p x q
x x x x x p x q
x p x q
+
+
++
++++++++++++
−−++++
−−++
++
А дальше все делаем по старой схеме: методом неопределенных коэффициентов находим A
, B
... Пример
2 2
2 3
( 1)( 4)
x
dx
x x
−
−+
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
30
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Теорема 1
Любой многочлен над полем С раскладывается на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами: 1 2
1 2
1
( ) ( ) ( )...( );
;
степеньмногочлена;
k
k
i
i
i
P x x z x z x z
z C
n
α
αα
α
=
=−−− =−
Доказательство
Если i
z
, то все в порядке: ( )
i
i
x z
α
−
- линейный множитель с вещественными коэффициентами Пусть тогда существует невещественный корень 0
,0
z i
αββ
=+
. Ему соответствует скобка 0
( )
k
x z
−
.
Тогда если 0
z
– корень, то сопряженный к нему 0
z i
αβ
=−
тоже будет корнем. Тогда наряду с множителем 0
( )
k
x z
−
будет
присутствовать множитель 0
( )
k
x z
−
. Перемножим эти 2 скобки:
2 2
0 0
( )( ) ( ( ))( ( )) ( )( ) ( )
x z x z x i x i x i x i x
αβαβαβαβαβ
−−=−+−−=−−−+=−+
- квадратный трехчлен с вещественными
коэффициентами, что и требовалось доказать.
Теперь нам нужно доказать, что любые правильные дроби раскладываются на простейшие.
Лемма 1
Пусть многочлен ( )
Q x
представим в виде: ( ) ( )
k
x a N x
−
, где ( ) 0
N a
- выделили максимальное кол-во скобок (
x
-
a
) и p q
s s
<
- степень числителя меньше степени знаменателя, тогда 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
k k
P x A M x
Q x x a x a N x
−
=+
−−
, причем дробь 1
( )
( ) ( )
k
M x
x a N x
−
−
- правильная; если Q
s n
=
, то 1
( ) ( )
1
k
x a N x
s n
−
−
=−
; M
(
x
) –
многочлен с действительными коэффициентами.
Доказательство
Действуем так же, как в примерах: приводим к общему знаменателю и приравниваем числители:
( ) ( ) ( ) ( )
P x A N x x a M x
=+−
; подставим x a
=
, тогда ( )
( )
P a
A
N a
=
, по условию ( ) 0
N a
( ) ( )
( )
( )
P x A N x
M x
x a
−
=
−
- нам нужно доказать, что это – многочлен, а не дробь. Подставим x
=
a
, числитель при такой подстановке = 0, а
это значит, что многочлен ( ( ) ( ))
P x A N x
−
делится на ( )
x a
−
, т.е. M
(
x
) – многочлен с действительными коэффициентами.
Теперь докажем, что дробь 1
( )
( ) ( )
k
M x
x a N x
−
−
- правильная, т.е. что 1
( )
( ) ( )
k
M x
x a N x
s s
−
−
<
.
Степень знаменателя дроби = n
-1, для числителя ( M
(
x
)): по условию P Q
s s n
<=
и N Q
s s n
<=
( ) ( )
P x A N x
s n
−
<
, да еще делим на (
x
-
a
)
(
( ) ( )
( )
( )
P x A N x
M x
x a
−
=
−
), значит ( )
1
M x
s n
<−
- меньше степени знаменателя, что и требовалось доказать.
Лемма 2
Если многочлен Q
(
x
) имеет комплексный корень кратности k
, т е представим в виде 2
( ) ( ) ( )
k
Q x x px q N x
=++
, при этом многочлен
2
( )
x px q
++
имеет только комплексные корни, которые не являются корнями N
(
x
). p q
s s n
<=
, тогда дробь можно представить в виде:
2 2 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
k k
P x Ax B M x
Q x x px q x px q N x
−
+
=+
++++
, причем вторая дробь будет правильной. M
(
x
) – многочлен с действительными
коэффициентами. Доказательство
Снова приведем дробь к общему знаменателю и приравняем числители. Получим 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P x Ax B N x x px q M x
=++++
Пусть z i
αβ
=+
, 0
β
- корень многочлена 2
x px q
++
, 0
β
, значит сопряженное к нему z i
αβ
=−
тоже корень. Подставим z
и z
:
( ) ( ) ( )
P z Ax B N z
=+
( )
( )
P z
Az B
N z
+==Λ
;
( ) ( ) ( )
P z Az B N z
=+
( )
( )
P z
Az B
N z
+==Λ
Найдем определитель системы,
чтобы выяснить, имеет она решения, или нет: 1
2;0
1
z
z z i
z
ββ
Δ==−=
, значит, система разрешима и существуют A
и B
– решения системы, нужно доказать, что ,
A B
Az B
Az B
+=Λ
+=Λ
, заменим A
и B
на A
и B
: Az B
Az B
+=Λ
+=Λ
, решим сопряженную систему: Az B
Az B
+=Λ
+=Λ
- получили исходную систему;
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
31
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
так как столбец A
B
- решение, столбец A
B
является решением. А т.к. решение должно быть единственным (определитель
0
),
,
A A
A B
B B

=
�
=
; M
(
x
) находится аналогично Лемме 1
; теорема доказана.
Обобщая все вышесказанное, получаем: («Теорему о разложении на простейшие дроби»)
Пусть многочлен ( )
Q x
представим в виде: 1 2 1
2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( )...( )...( )...( )
l t
k m
k k m
l t t
Q x x a x a x a x p x q x p x q
=−−−++++
и положим
2 1
2 2
1 1 1 1
( ) ( )...( )...( )...( )
l t
k m
k m
l t t
N x x a x a x p x q x p x q
=−−++++
, тогда
1 1 1 1 1
1 1 1 2 2
1 1 1 1 1
1 1 2
1 1 1 1 1 1 1
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k k k k k
A M x A A M x
P x
Q x
x a x a N x x a x a x a N x
−−−
=+=++=
−−−−−
2
1
1 1
,2
1
1 1
1 2
1 1
........................................
..................................
( ) ( )
t
t t
t
k
слагаемых
k
слагаемых соответствующих й скобке
m m
k
t t
k k
t t
m
слагае
C x D
A A
x p x q
x a x a
−
−
+
=++++++++
++
−−
6 4 4 4 447 4 4 4 4 48 647 48
мых
1 4 442 4 443
Заметим, что в самой последней дроби степень числителя (первая) меньше степени знаменателя (вторая) , т.е. последняя дробь –
правильная. И каждую из дробей-слагаемых мы можем проинтегрировать в элементарных функциях.
Общий вывод:
Любая рациональная дробь интегрируется в элементарных функциях.
Билет 32
Интегрирование выражений вида
,,...,
p q
ax b ax b
R x
cx d cx d
++
++
.
Докажем, что любой такой интеграл – берущийся в элементарных функциях. Пусть
1 2
1 2 1
1 2
,,,,,
n
n n
n
p
p p
Q
q q q
αααα
α
===
K K
, т.к.
,
i i
p q Z
. Пусть m=НОК
1 2
(,,...,)
n
q q q
,
m Z
. Сделаем замену:
m
ax b
t
cx d
+
=
+
, тогда
i
i
i
i i
p
mp
q
q
ax b
t t
cx d
β
+
==
+
, причем последнее выражение - рациональное, т.к. m делится на любое i
q
.
Тогда получим, что x=φ(t), dx=φ΄(t)dt, где φ(t) и φ΄(t)dt – рациональные выражения, поэтому: 1
( )
R t dt
- тоже рациональное
выражение
Билет 33
Первая подстановка Эйлера (Леонарда)
dx
c
bx
ax
x
R
)
,
(
2
+
+
∫
Пусть многочлен 2
ax bx c
++
имеет вещественные корни.
Пусть β
α
β
α
≠
,
,
- корни, тогда )
)(
(
2
β
α
−
−
=
+
+
x
x
a
c
bx
ax
.
Рассмотрим подстановку .
)
)(
(
α
β
α
−
−
−
=
x
x
x
a
t
.
)
(
))
(
),
(
(
)
(
)
(
,
)
(
),
(
,
)
(
,
)
,
(
,
2
2
dt
t
t
t
R
y
t
x
t
y
dt
t
dx
t
x
x
x
a
t
dx
y
x
R
c
bx
ax
y
ϕ
ψ
ϕ
ψ
α
ϕ
ϕ
α
β
′
=
⇒
=
−
=
′
=
=
−
−
=
+
+
=
∫
∫
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
32
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 34
Вторая подстановка Эйлера
для интегралов вида
(,)
R x y dx
, где 2
y ax bx c
=++
.
Корни трехчлена ax2+bx+c комплéксные. Тогда надо считать, что a>0, иначе трехчлен был бы отрицателен для всех x.
Делаем подстановку
t y x a
=
.Возводя это равенство в квадрат и заменяя 2
y
его выражением, получим:
2
2 2 2
2
t x a ax bx c( y);
t 2xt a ax ax bx c;
t c
x (t),dx (t)dt,y
ψ(t).
b 2t a
ϕϕ
=++=
+=++
−
====
m
m
Где x, y и dx – некоторые рациональные функции от t. В конечном счете получаем:
1
(,) ( ( ),( )) ( ) ( )
R x y dx R t t t dt R t dt
ϕψϕ
==
.
Билет 35 Интегрирование тригонометрических выражений.
Пусть (,)
(,)
(,)
P u v
R u v
Q u v
=
( cos,sin )
u x v x
==
, где P
и Q
- многочлены от u
и v
.
1) Если один из многочленов P
,
Q
четный по v
, а другой – нечетный по v
, то подстановка cos
t x
=
рационализирует
интеграл.
2) Если один из многочленов P
,
Q
четный по u
, а другой – нечетный по u
, то подстановка sin
t x
=
рационализирует
интеграл.
3) Если оба многочлена четные по u
и v
, то подстановка t tgx
=
рационализирует интеграл.
3’) Выражения вида cos sin
m n
x xdx
, где m
и n
- четные. Они сходны с 3 случаем, где 0 0
(,) 1
Q u v
=
4) Универсальная подстановка.
Рационализация (cos,sin )
R x x dx
также достигается с помощью подстановки ;( )
2
x
t tg x
ππ
=−<<
, которая
называется универсальной. В самом деле, 2
2
2 2
2
1 2 1
cos 2cos 1 2 1 1
2 1 1
1
2
x t
x
x
t t
tg
−
=−=−=−=
++
+
; 2
2
2 2
2 1
2
2 2
sin cos
1
1 1
2 2
x x
tg tg
t
x tgx x
x x
t
tg tg
−
===
+
−+
;
2
2
2
1 2
(1 )
2 2 1
cos
2
dx dx
dt dt t
x
t
==+=
+
1
(cos,sin ) ( )
R x x dx R t dt
=
.
5) Выражения вида cos sin
x x dx
αβ
; cos cos
x x dx
αβ
; sin sin
x x dx
αβ
. Они рационализируются с помощью
перевода в тригонометрические суммы.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
33
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 36
Тригонометрические подстановки.
Следующие интегралы превращаются в тригонометрические выражения при помощи тригонометрических подстановок:
1.
dx
x
a
x
R
)
,
(
2
2
∫
−
Q
P
R
=
π
≤
≤
⋅
−
=
⋅
=
t
dt
t
a
dx
t
a
x
0
sin
cos
t
a
x
a
sin
2
2
⋅
=
−
2.
dx
x
a
x
R
)
,
(
2
2
∫
+
dt
t
a
dx
t
tg
a
x
2
cos
=
⋅
=
t
a
t
tg
a
a
cos
2
2
2
=
⋅
+
3.
dx
a
x
x
R
)
,
(
2
2
∫
−
dt
t
t
a
dx
t
a
x
sin
cos
cos
2
−
=
=
t
tg
a
t
a
a
x
1
cos
1
2
2
2
⋅
=
−
⋅
=
−
Пример:
2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2
2
cos
sin 2
sin ( )
sin 2 2
cos
sin 1 arccos
2
2
sin 2 1
x a t
a t
a x dx a t dt t C
dx a t dt
x a t
x a x
t x a x C
a a
x
t
a a
=

−==−=−−+=

=−



=


==−=−+−+




=−


© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
34
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 37 Определенный интеграл Римана. Эквивалентные определения. Условие Коши.
Пусть задана функция f
(
x
) на отрезке [
]
;
a b
. Составим разбиение R
: 0 1 2
...
=<<<<=
n
a x x x x b
.
[
]
1
1
max{ }
0,1,...,1
;
λ
ξ
+
+
=−
=
∀=−
V
V
i i i
R i
i
i i i
x x x
x
i n
x x
1
0
( ),
ξξ
−
=
=
V
n
i i i
i
f x R
Это интегральная сумма, соответствующая разбиению R
и выбору точек i
ξ
.
Если существует предел при 0
R
λ
интегральных сумм
0
lim
R
R
S
λ
, и он не зависит от R
и i
ξ
, то он называется определенным
интегралом Римана.
Определение по Коши:
0 0::
R i
R
εδλδξ
∀>∃>∀<∀
( )
b
R
a
S f x x
ε
−<
По Гейне:
0
:0 lim ( )
k
R
b
k k
R i
R
a
R S f x x
λ
λξ
∀∀=
, где k
R
- последовательность разбиений.
Критерий Коши:
'''
0 0:','':',''
R R i i
R R
εδλλδξξ
∀>∃>∀−<∀
'''
R R
S S
ε
−<
Билет 38
Ограниченность интегрируемой функции.
Теорема:
Если функция f
(
x
) интегрируема на [
a
,
b
] и существует ( )
b
a
f x dx
, то функция ограничена на этом отрезке.
Доказательство:
От противного: пусть f
(
x
) неограниченна на [
a
,
b
]. Введем произвольное разбиение R
: 0 1
...
n
a x x x b
=<<<=
. Т.к. функция
неограниченна на [
a
,
b
], то она неограниченна хотя бы на одном из отрезков [
]
1
,
i i
x x
+
. Пусть 0
i
- номер того отрезка, на
котором функция неограниченна. Тогда рассмотрим интегральную сумму:
0
0
( ) ( )
R i i i i
i i
S f x f x
ξξ
=Δ+Δ
- т.е. выделили суммы одно слагаемое. Обозначим 0
( )
i i
i i
A f x
ξ
=Δ
, тогда получим:
( )
R i i
S f x A
ξ
Δ−
(следует из неравенства о модулях). Тогда возьмем произвольное N
и сделаем разность
( )
i i
f x A N
ξ
Δ−>
. Для этого у нас должно быть 0
0
( )
i
i
N A
f
x
ξ
+
>
Δ
. У нас функция неограниченна на отрезке [
]
1
,
i i
x x
+
,
значит [
]
0 0
0
1
,:( )
i i i i
i
N A
N x x f
x
ξξ
+
+
∀∃>
Δ
. Тогда интегральная сумма будет N N
>∀
, т.е. будет являться величиной
неограниченной, т.е. не будет существовать ее предела, а значит и ( )
b
a
f x dx
, что противоречит условию.
Теорема доказана.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
35
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 39 Суммы Дарбу. Их Свойства.
Определение
:
Пусть f
ограничена на отрезке [;]
a b
. Введём разбиение R
этого отрезка.
R
: [;]
1
inf ( )
i
x x
i i
m
f x
+
=
, [;]
1
sup ( )
x x
i i
M
f x
i
+
=
.
Тогда можем составить выражения:
1
0
n
R
i i
i
m x S
−
=
Δ=
- нижняя сумма Дарбу, 1
0
n
R
i i
i
M x S
−
=
Δ=
- верхняя сумма Дарбу.
1
[;]
i i i
x x
ξ
+
∀
, ( )
i i i
m f M
ξ
.
Пусть f
ограничена на отрезке [;]
a b
. Введём разбиение R
этого отрезка.
R
: [;]
1
inf ( )
i
x x
i i
m
f x
+
=
, [;]
1
sup ( )
x x
i i
M
f x
i
+
=
.
Тогда можем составить выражения:
1
0
n
R
i i
i
m x S
−
=
Δ=
- нижняя сумма Дарбу, 1
0
n
R
i i
i
M x S
−
=
Δ=
- верхняя сумма Дарбу.
1
[;]
i i i
x x
ξ
+
∀
, ( )
i i i
m f M
ξ
.
Свойства сумм Дарбу:
1) R
R
R
S S S
, для одного и того же разбиения.
2) Рассмотрим два разбиения в случае, когда одно разбиение является продолжением другого. Т.е. 2
R
- продолжение 1
R
,
если все точки 1
R
являются точками 2
R
.
2 1
1 2
R R
R R
S S S S
Добавление точек не увеличивает S
и не уменьшает S
. Пусть 2
R
получается из 1
R
добавлением одной точки.
1 0 1
:...
n
R a x x x b
=<<<=
, 1
* [;]
i i
x x x
+
, 1
R
k k i i
k i
S m x m x
=Δ+Δ
, 2
R
k k i i i i
k i
S m x m x m x
=Δ+Δ+Δ
,
Заметим, что если A B
, то inf inf
A B
и sup sup
A B
. Отсюда заключаем:
i i
m m
, i i
m m
, ( )
i i i i i i i
m x m x m x x
Δ+ΔΔ+Δ
, 2 1
R R
S S
.
3) ,
R R
∀
R
R
S S
, R R R
+
, R R R
+
,
=> R R R
R R R
S S S S
+
+
, т.е. ,
R R
∀
2
1
R
R
S S
.
R
∀
{
}
.
sup
R R
огр сверху
S S I
∃=
E55F
- нижний интеграл (нижняя точная сумма Дарбу). R
∀
R
I S
.
R
∀
{
}
.
inf
R R
огр снизу
S S I
∃=
E55F
- верхний интеграл (верхняя точная сумма Дарбу). R
∀
R
S I
.
I I
.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
36
i
x
1
i
x
+
*
x
i
m
i
m
i
m
i
x
Δ
i
x
Δ
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 40 Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману.
Теорема
:
Функция ( )
f x
интегрируема на отрезке [;]
a b
тогда и только тогда, когда (
)
0
lim 0
R
R
R
S S
λ
−
.
Доказательство
:
Докажем необходимость
условия:
Функция ( )
f x
интегрируема на отрезке [;]
a b
.
Пусть ( )
b
a
f x dx I
=
, тогда 0
ε
∀>
0:
R
δ
∃>∀
R R
S I
λδε
<−<
, т.е. R
I S I
εε
−<<+
.
( ),
( ),
sup ( ),
inf ( ),
R i i
i i i
i i
i i
S f x x
m f x M
I f x x I
I f x x I
εε
εε
=Δ
−Δ+
−Δ+
т.е. R
I S I
εε
−+
и R
I S I
εε
−+
. Далее имеем: 2
R
R
S S
ε
−
, т.е. (
)
0
lim 0
R
R
R
S S
λ
−=
. Необходимость доказана.
Докажем достаточность
условия:
(
)
0
lim 0
R
R
R
S S
λ
−=
.
0
ε
∀>
0:
R
δ
∃>∀
0
R
R
R
S S
λδε
<−<
.
(
)
inf inf sup
R R
R R
S S S S I I I I I
ε
−=−=−==
.
Докажем, что ( )
b
a
I f x dx
=
.
R
∀
?
R
S I
ε
−<
,
,
,
inf,
R
R
R
R
R
I S I
S S S
I I S
εε
−<<+
==
0
ε
∀>
1
1
:
R
R S I
ε
∃<+
,
I I
=
, тогда 0
ε
∀>
2
2
:
R
R I S
ε
∃−<
, т.е. 1
2
R
R
R
I S S S I
εε
−<<+
,
R
S I
ε
−<
.
Достаточность доказана.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
37
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 41
Основная теорема о существовании определенного интеграла Римана.
Теорема
(Основная
)
Ограниченная функция f
интегрируема на отрезке [a,b]
тогда и только тогда, когда ε
<
−
∃
>
ε
∀
*
*
:
0
*
R
R
S
S
R
.
Доказательство:
По теореме об интегрируемости (f интегрируема 0
)
(
lim
0
=
−
→
λ
R
R
S
S
R
) функция интегрируема тогда и только тогда,
когда ε
<
−
⇒
δ
<
λ
∀
>
δ
∃
>
ε
∀
∃
⇓
R
R
R
R
S
S
R
*
)
(
:
0
0
(1). Надо доказать, что если
ε
<
−
∀
>
δ
∃
>
ε
∀
⇒
ε
<
−
∃
>
ε
∀
R
R
R
R
S
S
R
S
S
R
:
0
0
:
0
*
*
*
. Т.е. если найдется одно R
*
, удовлетворяющее
неравенству (1), то оно (неравенство) будет выполняться для всех R
. Возьмем произвольное ε
. Нужно найти δ
, такое чтобы
выполнялось неравенство δ
<
λ
∀
ε
<
−
R
R
R
R
S
S
:
,
. По условию теоремы 2
:
0
*
*
*
ε
<
−
∃
>
ε
∀
R
R
S
S
R
. Рассмотрим
наше разбиение R
*
и произвольное R
, как показано на
рисунке. Составим разность верхней и нижней сумм
Дарбý для нового разбиения R
:
j
l
j
j
j
R
R
x
m
M
S
S
Δ
−
=
−
∑
−
=
1
0
)
(
. Нужно сделать его
меньше ε
. Из условия имеем
2
)
(
*
1
0
*
*
*
*
ε
<
Δ
−
=
−
∑
−
=
i
n
i
i
i
R
R
x
m
M
S
S
. Обозначим через
Σ первую сумму и разобъем ее: Σ=Σ
1
+Σ
2
. Σ
1 – такие
слагаемые, что элемент нового разбиения R
содержит в себе хотя бы одну точку границы старого раазбиения R
*
. Все
остальное войдет в Σ
2
. Рассмотрим отдельно Σ
1
и Σ
2
:
Σ
1
: k
x
f
≤
)
(
т.к. функция f
– ограничена (
k
- константа). Тогда k
m
M
2
≤
−
(
M
и m
– максимум и минимум на
[
a
,
b
]
). Получим Σ
1
2
/
2
2
ε
<
⋅
δ
⋅
≤
n
k
, где λ
R
<
δ
, а количество красных отрезков не превосходит 2
n
. Для того чтобы это
неравенство выполнялось, достаточно взять δ
<
ε
/8
kn
. Т.е. при δ
<
ε
/8
kn
Σ
1
<
ε
/2
.
Σ
2
: разобъем Σ
2
на повторные суммы, т.е. Σ
2
=Σ(Σ
i
). Σ
i
≤
∑
Δ
−
j
j
j
j
x
m
M
)
(
≤
∑
Δ
−
i
i
i
x
m
M
)
(
*
*
(
M
i
*
-
m
i
*
)
ΣΔ
x
i
*
, где M
j
и m
j
– максимум и минимум на j
-том участке. Σ
i
– группировка тех новых j
-тых участков, которые попали в один и тот же
старый. Получим Σ
2
2
)
(
*
*
*
1
1
*
*
ε
<
−
=
Δ
∑
−
≤
−
=
R
R
i
n
i
i
i
S
S
x
m
M
⇒
Σ
1
+Σ
2
<
ε
, т.е. Σ
<
ε
. В итоге:
ε
<
−
ε
<
λ
∀
>
ε
∀
R
R
R
S
S
kn
R
8
:
,
0
. Теорема доказана.
Следствие 1:
Функция f
– интегрируема на [
a
,
b
]
, если k
R
∃
с 0
→
λ
k
R
: ε
<
−
I
S
k
R
(если существует такая
последовательность разбиений с мелкостью, стремящейся к нулю, что модуль разности последовательности интегральных
сумм и интеграла стремится к нулю).
Следствие 2:
Функция f
– интегрируема на [
a
,
b
]
, если I
I
=
(если верхний интеграл равен нижнему).
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
38
x
3
x
7
a=x
*
0
x
*
1
x
*
2
x
*
3
b=x
*
n
a=x
o
x
1
x
2
x
4
x
5
x
8
x
9
x
10
b=x
l
R
*
R
i
-тая группа
i
-тый отрезок
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 42
Равномерная непрерывность функции. Модуль непрерывности.
Определение 1:
f
ограниченная [;]
a b
функция, ,[,]
x x a b
и x x
δ
−<
при выполнении условия
0;( ) sup ( ) ( )
w f x f x
δδ
∀>=−
, ( ) 0,0
w
δδ
называется равномерно непрерывной.
Определение 2(Критерий Коши): f
- равномерно непрерывная функция на отрезке [;]
a b
если выполняется условие
0,0:( ) ( )
x x f x f x
εδδε
∀>∃>−<−<
при ,[,]
x x a b
.
Теорема 1
(Эквивалентность определений 1 и 2)
Доказательство:
Так как x x
δ
−<
и ( ) 0,0
w
δδ
выполняется Критерий Коши
.
Теорема 2
Функция непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем (
[;] [;]
равн
f C a b f C a b
).
Доказательство:
Допустим что теорема неверна. Построим отрицание к определению 2.
0,0:( ) ( )
x x f x f x
δδε
∃>∀>−<−
.
Зададим стремящуюся к нулю последовательность положительных
чисел 1
n
n
δ
=
, тогда 1
0,,[;]:( ) ( )
n n n n
n x x a b x x f x f x
n
δε
∀>∃−<=−
. Так как точки
последовательности { }
n
x
принадлежат к отрезку [;]
a b
, то эта последовательность ограничена, и из нее можно выделить,
по теореме Больцано-Вейерштрасса, подпоследовательность { }
n
x
κ
, сходящуюся к некоторой точке 0
[;]
x a b
. Значит, из
нее можно выделить также подпоследовательность 0
k
l
n
x x
. Аналогично выделим подпоследовательность
0
1
k k k
l l l
l
n n n
k
x x x x
n
−<
и 0 0
x x
=
( ) ( ) 0
k k
l l
n n
f x f x
ε
−=
. Получили противоречие – теорема
доказана.
Необходимость условия:
Если (;)
f C a b
, то теорема 2 не выполняется.
Пример 1
( ) sin;(0,1]
f x
x
=
Пусть 1 1
;( ) ( ) 2 ( )
2 2
2 2
x x f x f x w
n n
δ
ππ
ππ
==−=
+−+
0
при 0
δ
.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
39
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 43
Интегрируемость по Риману непрерывной функции.
Теорема 1:
Если функция f
непрерывна на ]
,
[
b
a
, то она интегрируема на ]
,
[
b
a
.
Доказательство:
Пусть
f
непрерывна на ]
,
[
b
a
; тогда для разбиения R
, у которого частичные отрезки δ
<
Δ
i
x
, имеет место (
]
,
[
,
1
+
∈
j
j
j
j
x
x
η
ξ
).
),
)(
(
)
(
))
(
)
(
(
1
0
1
0
a
b
x
x
f
f
j
n
j
n
j
j
j
j
−
=
Δ
≤
Δ
−
∑
∑
−
=
−
=
δ
ω
δ
ω
η
ξ
где )
'
'
(
)
'
(
sup
)
(
'
'
'
'
'
'
]
,
[
,
x
f
x
f
x
x
b
a
x
x
−
=
<
−
∈
δ
δ
ω
есть модуль непрерывности
f
на ]
,
[
b
a
.
Поэтому
)
)(
(
))
(
)
(
(
sup
1
0
,
_
a
b
x
f
f
S
S
n
j
j
j
j
R
R
j
j
−
≤
Δ
−
=
−
∑
−
=
−
δ
ω
η
ξ
η
ξ
.
Но, как мы знаем, для непрерывной на замкнутом конечном отрезке ]
,
[
b
a
функции 0)
(
0
)
(
→
→
δ
δ
ω
, поэтому для
любого 0
>
ε
можно указать такое 0
>
δ
, что ε
<
−
−
R
R
S
S
_
.
В силу основной теоремы интеграл
f
на ]
,
[
b
a
существует.
Теорема доказана.
Билет 44 Интегрируемость по Риману монотонной функции.
Теорема 1:
Если функция монотонна на отрезке [
]
;
a b
, то она интегрируема на этом отрезке.
Доказательство:
Возьмем произвольное разбиение
R
R
λδ
∀<
Рассмотрим разность между верхней и нижней суммой Дарбу, пусть для определенности f
не убывает на [
]
;
a b
, тогда мы
получим, что 1
( ) ( )
i i i i
i f x m M f x
+
∀
Получим, что разность между верхней и нижней суммой Дарбу 1
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))
( ( ) ( )) 0 0
i i i i i
M m x f x f x f b f a
f b f a
при
δδ
δδ
+
−−−
−
V
Теорема доказана.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
40
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 45
Аддитивное и однородные свойства определенного интеграла Римана.
Теорема 1:
(Аддитивное свойство интегралов)
Функция f
интегрируема на отрезке [,]
a b
тогда и только тогда, когда [,]
с a b
∀
функция интегрируема на отрезках [,]
a c
и [,]
c b
и при этом выполняется равенство: ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
=+
Доказательство:
Пусть f
интегрируема на [,]
a b
, тогда по основной теореме 0:
R R
R S S
εε
∀>∃−<
Можно считать, что точка c
является точкой разбиения, потому что, если она таковой не является, мы добавим эту точку и
рассмотрим новое разбиение { }
R R
с
=
, тогда ,
R R R R R R R R
S S S S S S S S
ε
−−<
, поэтому можно считать, что
разбиение R
изначально содержит точку с. Тогда это разбиение порождает разбиения 1
R
- разбиение [,]
a c
и 2
R
- разбиение
[,]
c b
. Тогда 1 2
R R R
=
и разность сумм Дарбу можно представить как:
(
)
(
)
1 2 1 2 1 1 2 2
0 0
R R R R R R R R R R
S S S S S S S S S S
ε
>−=+−−=−+−
142 43 142 43
. Так как каждое из этих двух слагаемых неотрицательно и в сумме
они меньше ε
, значит каждое из них меньше ε
по основной теореме f
интегрируема на [,]
a c
и [,]
c b
. Доказано.
Пусть f
интегрируема на отрезках [,]
a c
и [,]
c b
, тогда точно так же найдем 1
R
- разбиение [,]
a c
и 2
R
- разбиение [,]
c b
, такие что 1 1
2
R R
S S
ε
−<
и 2 2
2
R R
S S
ε
−<
, тогда для разбиения 1 2
R R R
=
R R
S S
ε
−<
, где R
–разбиение отрезка [,]
a b
, значит f
интегрируема на отрезке [,]
a b
. Доказано.
Доказали интегрируемость, теперь докажем равенство ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
=+
:
Замечание:
Мы предполагаем, что точка с участвует во всех этих разбиениях; если она в них не участвует, то по следствию
из основной теоремы нам это неважно, поскольку если хотя бы для одной последовательности разбиений предел стремится
к числу, то и для всех остальных - тоже. И мы берем такую последовательность разбиений, что точка с в них участвует.
|
1
1
0 0 0
[,] [,]
[,] [,]
( ) lim ( ) lim lim ( ) ( )
R R R
i i
i i
b c b
i i
x x a c
x x c b
a a c
f x dx f x f x dx f x dx
λλλ
ξ
+
+
=Δ=Σ+Σ=+
EF
и
ΣΣ
- сумма берется по тем отрезкам, которые содержатся в [,]
a c
и [,]
c b
соответственно. Нужно учесть, что
1 2
0 0 0
R R R
и
λλλ
. Теорема доказана.
Замечание:
Мы определили понятие определенного интеграла только для случая a b
<
; доопределим понятие
определенного интеграла от a
до b
в случае, когда b a
<
:
Если b a
<
, то положим ( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
=−
, тогда равенство ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
=+
становится верным не только
для [,]
c a b
, но и для любых c
, при условии что все вышеперечисленные интегралы существуют.
Пример:
2 3 2
1 1 3
xdx xdx xdx
=+
Теорема2:
(Однородные свойства интегралов)
Пусть функции f
и g
интегрируемы на [,]
a b
, тогда 1)
f
+ g
– интегрируема на [,]
a b
и ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f g dx f x dx g x dx
+=+
, если интегралы в правой части существуют, т.е. в
общем случае обратное не верно.
(
Пример
: Если взять f
– неинтегрируема на [,]
a b
и –
f
– тоже неинтегрируема, то их сумма =0 – интегрируема).
2)
k f
- интегрируема на [,]
a b
и ( ) ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx
=
, обратное тоже верно, в случае если 0
k
3)
f g
- интегрируема.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
41
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
4)
f
- интегрируем
5)
Если f
отделена от 0 на отрезке [,]
a b
, т.е. 0
f d
>
на [,]
a b
где d const
=
, то 1
f
- интегрируема.
Доказательство:
1) 0 0 0
( ) lim ( )( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( )
R R R
b b b
i i i i i i
a a a
f g dx f g x f x g x f x dx g x dx
λλλ
ξξξ
+=+Δ=Δ+Δ=+
2) аналогично
;
Замечание:
обозначим 1
[,]
sup
i i
f
x x
M f
+
=
; 1
[,]
inf
i i
f
x x
m f
+
=
; ( ),[,]
f
K f x x a b
- по свойству ограниченности; соответственно
введем ,,
g g g
M m K
3) (
)
(
)
[,],[,]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b a b
f g f g f g f g f g f g g f f f g g
ηξ
ηηξξηηξηξηξξηηξξηξ
∀
−=−+−=−+−
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
g f
K f f K g g
ηξηξ
−+−
Перейдем к супремумам: на произвольном промежутке 1
[,]
i i
x x
+
( ) ( )
fg fg f g g g f f
S S K S S K S S
−−+−
По основной теореме найдутся такие разбиения 1
R
, что ( )
2
g g
f
S S
K
ε
−<
и 2
R
, что ( )
2
f f
g
S S
K
ε
−<
. Теперь если мы
возьмем сумму разбиений 1
R
и 2
R
, то будут выполняться оба неравенства, и тогда fg fg
S S f g
ε
−<−
интегрируема. 4) ( ) ( ) ( ) ( )
f f f f
ξηξη
−−
; переходя к супремумам и умножая на i
x
Δ
, получим:
f f
f f
S S S S
ε
−−<
Замечание:
переход к супремуму на промежутке 1
[,]
i i
x x
+
: f f
f f
M m M m
−−
Замечание:
обратное неверно:
Контрпример: 1;
1;
x
f
x
=
−
- сама по себе не интегрируема (доказано ранее), а по модулю – интегрируема.
5) 2
( ) ( )
1 1 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
f f
f f
f f f f
d
ξη
ξη
ξηξη
−
−
−=
; переходя к супремумам супремум в этом неравенстве, получим:
(
)
1 1
2
1
f f
f f
M m M m
d
−−
; теперь домножая на i
x
Δ
и суммируя, получим
(
)
1 1
2
1
f f
f f
S S S S
d
ε
−−<
Теорема доказана.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
42
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 46
Неравенства для определенного интеграла Римана и теорема о среднем.
Теорема 1:
Если функции ,
f g
интегрируемы на [,]
a b
и [,]
x a b
∀
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
f x g x f x dx g x dx
Доказательство:
i
ξ
∀
выполняется неравенство ( ) ( )
i i
f g
ξξ
, тогда ( ) ( )
i i i i
f x g x
ξξ
ΔΔ
. Так как интегралы по условию существуют, по
теореме о предельном переходе под знаком неравенства, ( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx
. Теорема доказана.
Следствие:
Если f
- интегрируема на [,]
a b
, то, по доказанному выше, f
- интегрируем на данном отрезке; тогда ( ) ( )
b b
a a
f x dx f x dx
Доказательство:
Известно неравенство: ( ) ( ) ( )
f x f x f x
−
; по данной теореме
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f x dx f x dx
−
; из самого правого интеграла минус можно вынести; получим:
( ) ( )
b b
a a
f x dx f x dx
. Следствие доказано.
Теорема 2: (о среднем)
Пусть ( )
и ( )
f x x
ϕ
интегрируемы на [,]
a b
, причем ( ) 0
x
ϕ
на данном промежутке, тогда ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
m x dx f x x dx M x dx
ϕϕϕ
, где [,]
inf ( )
a b
m f x
=
, [,]
sup ( )
a b
M f x
=
и :( ) ( ) ( )
b b
a a
С m C M f x x dx C x dx
ϕϕ
∃=
Замечание:
sup
и inf
существуют, т.к. функция на данном промежутке интегрируема, а значит ограничена. Доказательство:
Запишем неравенство: ( )
m f x M
и домножим его на ( ) 0
x
ϕ
:
( ) ( ) ( ) ( )
m x f x x M x
ϕϕϕ
; тогда по теореме о неравенствах это неравенство сохранится и в интегралах:
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
m x dx f x x dx M x dx
ϕϕϕ
(
∗
)
Если ( ) 0
b
a
x dx
ϕ
=
, то и интеграл ( ) ( ) 0
b
a
f x x dx
ϕ
=
и неравенство (
∗
) выполняется.
Если ( ) 0
b
a
x dx
ϕ
, тогда по теореме о неравенствах ( ) 0
b
a
x dx
ϕ
>
, значит можно неравенство (
∗
) на него разделить:
( ) ( )
( )
b
a
b
a
f x x dx
m M
x dx
ϕ
ϕ
и принимаем за ( ) ( )
( )
b
a
b
a
f x x dx
C
x dx
ϕ
ϕ
=
. Теорема доказана.
Следствие:
Если f
−
непрерывна на [,]
a b
и выполняется условие теоремы, то [,]:( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
a b f x x dx f x dx
ξϕξϕ
∃=
Доказательство:
Т.к. f
−
непрерывна на [,]
a b
, то она достигает своего max
и min
значения, а в силу непрерывности sup
=
max
, inf
=
min
;
значит 1 2 1 2
:( ),( );[,]:( )
x
и x f x m f x M C m M f C
ξξ
∃==∀∃=
- по теореме о промежуточных значениях непрерывной
функции. Следствие доказано.
Следствие к следствию:
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
43
f(x)
x
ξ
b
a
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Если f
−
непрерывна на [,]
a b
, то ( ) ( )( )
b
a
f x dx f b a
ξ
=−
Доказательство:
Возьмем :1
g
=
, тогда ( ) 1
b
a
f x dx
=
(по следствию) ( ) 1 ( )( )
b
a
f dx f b a
ξξ
==−
. Следствие доказано.
Геометрический смысл этого следствия:
Если считать площадь криволинейной трапеции, то найдется
такая точка ξ
, что площадь этой криволинейной трапеции будет
равна площади прямоугольника с высотой ( )
f
ξ
.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
44
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Билет 47
Интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность и дифференцируемость. Теорема Ньютона-Лейбница.
Рассмотрим функцию ( )
f x
, интегрируемую на отрезке [;]
a b
. По аддитивному свойству интеграла:
[;]
x a b
∀
, можно найти отрезок [;]
a x
на котором представляется возможным рассмотреть функцию ( ) ( )
x
a
F x f t dt
=
.
Теорема
:
Если функция ( )
f x
интегрируема на отрезке [;]
a b
, то ( )
F x
непрерывна на отрезке [;]
a b
.
Доказательство
:
Рассмотрим функцию ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x h x x h
a a x
F x h F x f t dt f t dt f t dt
С h
++
+−=−==
,
m C M
, где [;]
sup ( )
x x h
M f t
+
=
, [;]
inf ( )
x x h
m f t
+
=
, C k
, где 0
( ) ( ) 0
h
F x h F x k h
+−
Теорема доказана.
Теорема
:
Пусть функция ( )
f x
интегрируема на отрезке [;]
a b
, непрерывна в точке [;]
x a b
, тогда функция ( )
F x
дифференцируема в точке x
и ( ) ( )
F x f x
=
.
Доказательство
:
0
0
( ) ( ) ( ),
( ) ( ) 1
( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 0
x h x h x h
x x x
t
h
f t f x t
F x h F x
F x f t dt f x dt t dt f x
t
h h
ε
εε
ε
+++
=+

+−
====+=+



,
( ) 0
t
ε
, ε
∀
:( )
h t
εε
∃<
[;]
t x x h
∀+
, т.е.
0
( ) ( )
lim ( )
h
F x h F x
f x
h
+−
=
.
Теорема доказана.
Следствие
:
Если функция ( )
f x
непрерывна на отрезке [;]
a b
, то ( )
f x dx
∃
, т.е. ( )
x
∃Φ
- первообразная ( )
f x
.
( ) ( ) 1
( ) ( ) ( ) ( *)
( *) 0
*
x h
x
F x h F x
f x t dt f x x
h h
x
x x
εε
ε
+
+−
=+=+
,
Функция ( )
f x
непрерывна в точке [;]
x a b
, ( ) ( )
x
a
F x f t dt
=
; ( ) ( )
F x f x
=
, где ( )
f x
непрерывна на отрезке [;]
a b
.
Заключаем, что ( ):( ) ( )
F x F x f x
=
.
Т.е. любая непрерывная функция имеет первообразную.
Теорема доказана.
Формула Ньютона-Лейбница
:
Функция ( )
f x
непрерывна на отрезке [;]
a b
, тогда она имеет первообразную. Пусть ( )
x
Φ
- её произвольная
первообразная. Тогда ( ) ( ) ( )
b
a
f x dx b a
=Φ−Φ
.
Доказательство
:
Функция ( )
f x
непрерывна на отрезке [;]
a b
, ( ) ( )
x
a
F x f t dt
=
- первообразная функции ( )
f x
,
( ) ( )
x F x C
Φ=+
, ( ) ( ) ( ) ( )
b a F b F a
Φ−Φ=−
, © Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
45
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
b
b
a
a
a
a
f x dx F b
f x dx F b F a b a
f x dx F a
=

=
=−=Φ−Φ
�
=
.
Теорема доказана.
Билет 48
Определение площади. Площадь криволинейной трапеции. Площадь в полярных координатах.
Определение:
Пусть множество 2
R
⊂
A
и A
– ограничено. Рассмотрим множество i
M
П
′
=
′
(объединение прямоугольников), такое что A
M
⊂
′
, и множество i
M
П
′
′
=
′
′
, такое что A
M
⊃
′
′
, и
назовем M
′
и M
′
′
фигурами. Площади этих фигур )
(
M
S
′
и )
(
M
S
′
′
можно посчитать. Т.к. множество
)
(
M
S
′
оганичено сверху (
S
(
A
)
)
−
⊂
′
=
′
∃
⇒
S
M
S
A
M
)
(
sup
. Аналогично )
(
M
S
′
′
ограничено снизу (нулем)
+
⊃
′
′
=
′
′
∃
⇒
S
M
S
A
M
)
(
inf
. Если )
(
A
S
S
S
=
=
−
+
, то это площадь A
, а множество называется квадрируемым
.
Пример1
:
Пусть τ – отрезок и τ
⊂
′
M
. =
′
M
Ø. При этом S
(
M΄
)=0
и 0
=
−
S
. Пусть
длина отрезка равна d
, тогда τ
⊃
′
′
ε
=
∃
>
ε
∀
M
d
h
:
0
, а M
′
′
длины d
и высоты h
. Тогда
0
)
(
=
⇒
ε
=
′
′
+
S
M
S
. Получили S
(
τ
)=0
.
Пример2:
∈
≤
≤
≤
≤
=
Q
y
x
y
x
y
x
A
,
1
0
,
1
0
)
,
(
. A
M
⊂
′
, =
′
M
Ø и 0
=
−
S
, т.к. никакой прямоугольник
полностью не лежит в этом множестве. A
M
⊃
′
′
, т.е. ]
1
,
0
[
]
1
,
0
[
×
⊃
′
′
M
, поэтому 1
1
)
(
=
⇒
≥
′
′
+
S
M
S
.
Получаем, что −
+
≠
S
S
, поэтому множество A
- не квадрируемое.
Пусть f
(
x
)≥0
на [
a
,
b
]
. Криволинейная трапеция T
- множество (
x
,
y
)
, такое
что a
≤
x
≤
b
и 0≤
y
≤
f
(
x
)
.
Теорема:
(О площади криволинейной трапеции).
Пусть функция f
(
x
)≥0
на [
a
,
b
]
. Криволинейная трапеция T
квадрируема тогда и только тогда(), когда функция f
(
x
)
интегрируема на
[
a
,
b
]
. При этом площадь T
равна: ∫
=
b
a
dx
x
f
T
S
)
(
)
(
.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
46
τ
d
a
b
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Доказательство:
: По основной теореме ε
<
−
∃
>
ε
∀
R
R
S
S
R
:
0
. Найдутся такие M
′
и M
′
′
, что
R
S
M
S
=
′
′
)
(
и R
S
M
S
=
′
)
(
. Тогда
∫
=
=
=
=
+
−
b
a
R
R
dx
x
F
S
S
S
S
)
(
inf
sup
.
⇒
: )
(
T
S
S
S
=
=
+
−
, так как криволинейная трапеция T
квадрируема. Тогда
.
)
(
,
)
(
:
,
0
ε
<
′
−
ε
<
−
′
′
′
′
′
∃
>
ε
∀
M
S
S
S
M
S
M
M
ε
<
+
′
−
≤
+
−
<
⇒
′
≥
ε
<
−
′
′
≤
−
<
⇒
′
′
≤
S
M
S
S
S
M
S
S
S
M
S
S
S
M
S
S
R
R
R
R
)
(
0
)
(
)
(
0
)
(
Обе
интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу (
S
). S
I
S
R
=
=
inf
, S
I
S
R
=
=
sup
.
Следовательно I
I
I
=
=
, поэтому функция f
(
x
)
интегрируема (из следствия основной теоремы).
Пример.
x
2
+
y
2
=
R
2
. a
≤
x
≤
b
(
a
=-
R
, b
=
R
)
, и 0≤
y
≤
2
2
x
R
−
. При этом
.
2
2
2
sin
2
)
1
2
(cos
2
sin
)
sin
(
sin
0
sin
0
,
cos
2
2
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
2
R
S
R
t
t
R
dt
t
R
tdt
R
tdt
R
t
R
t
R
x
t
R
x
tdt
R
dx
t
t
R
x
dx
x
R
S
R
R
π
=
⇒
π
=
−
=
=
−
=
−
=
−
=
=
=
π
=
−
=
−
=
π
≤
≤
=
=
−
=
π
π
π
π
−
∫
∫
∫
∫
Замечание к определению площади:
Множества M
M
S
S
S
′
′
′
−
+
,
,
,
,
можно заменить на любые
другие квадрируемые множества. Если M
M
′
′
′
,
- фигуры, B
B
′
′
′
,
- квадрируемые множества, т.е.
существуют площади )
(
),
(
B
S
B
S
′
′
′
и при этом B
A
B
′
′
⊂
⊂
′
, то при B
M
B
M
′
′
=
′
′
′
=
′
inf
inf
,
sup
sup
получим все то же самое.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
47
R
S
R
S
M
′
M
′
′
R
S
R
S
S
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Пусть множество задано в полярных координатах
: x
=
r
·
cost
, y
=
r
·
sint
. Рассмотрим множество A
,
такое, что α
≤
t
≤
β
и 0≤
r
≤
r
(
t
)
. Введем разбиение угла [
α
,
β
]: α
=
t
0
<
t
1
<
t
2
<…<
t
n
=
β
. При этом Δ
t
i
=[
t
i
,
t
i
+1
]
.
Рассмотрим сектора окружностей r
i
=
m
i
– это будут сектора i
C
′
и r
i
=
M
i
– это будут сектора i
C
′
′
.
A
M
C
i
⊂
′
=
′
и
A
M
C
i
⊃
′
′
=
′
′
. Окружности (с углом 2π) соответствует площадь πR
2
, а сектору с углом α – площадь
αR
2
/2
. Поэтому i
i
i
i
S
t
m
C
S
′
=
Δ
=
′
2
2
1
)
(
и i
i
i
i
S
t
M
C
S
′
′
=
Δ
=
′
′
2
2
1
)
(
. f
R
i
i
i
S
t
m
S
,
2
2
1
=
Δ
=
′
∑
∑
β
α
β
α
и
f
R
i
i
i
S
t
M
S
,
2
2
1
=
Δ
=
′
′
∑
∑
β
α
β
α
- нижняя и верхняя суммы Дарбý для функции f
=
r
2
/2
. Получим R
S
M
S
=
′
)
(
и R
S
M
S
=
′
′
)
(
. То есть площадь S
(
A
)
существует и равна S
(т.е. A
квадрируема) тогда и только тогда,
когда существует интеграл S
dt
r
=
∫
β
α
2
2
1
.
Билет 49 © Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
48
α
β
r(t)
i
S
′
i
S
′
′
y
x
z
A
y
z
x
i
x
1
i
x
+
i
M
i
m
C
C
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Определение объёма. Объем тела вращения.
3
A R
.Тогда пусть M
, M
фигуры, которые удовлетворяют условию: i
M A
=Π
; i
M A
=Π
.
Тогда внешний объем равен: inf ( )
V M V
+
=
, а внутренний: sup ( )
V M V
−
=
.
Если ( )
V V V A
+−
==
, то множество A
- кубируемое. Лемма:
(объем цилиндра)
3
G R
- множество точек плоскости, удовлетворяющих условию (,,)
x y z
2
(,)
x y A R
и a z b
, то G
-
цилиндр. Его объем равен: ( ) ( ) ( ) ( )
V G S A b a S A h
=−=
. Так как A
- квадрируемое множество, то:
inf ( ) sup ( )
A A
S S M S S M
+−
===
. Значит ( ) ( )
B A
V M S M h
=
;
inf ( ) inf ( )
B A
V M S M h S h
==
, соответственно sup ( ) sup ( )
B A
V M S M h S h
==
. Значит объем цилиндра
равен V V V S h
+−
===
.
Теперь непосредственно рассмотрим вращение произвольное тело
вращения.
Пусть ( )
y y x
=
- есть произвольная непрерывная функция, причем
( ) 0
y x
на отрезке [;]
a b
. Будем вращать данную кривую на отрезке
[;]
a b
вокруг оси OX
. Получим тело вращения G
.
Разобьем отрезок [;]
a b
: 0 1
...
n
a x x x b
=<<<=
. Пусть
1
sup[ ( );( )]
i i i
M y x y x
+
=
,
1
inf[ ( );( )]
i i i
m y x y x
+
=
. Рассмотрим два
цилиндра C
и C
(см. рис. ) 1
( ) ( )
i i i
V C m x x
+
=−
,
1
( ) ( )
i i i
V C M x x
+
=−
. Теперь пусть
2
( )
i i
i
V M m x
π
=Δ
и 2
( )
i i
i
V M M x
π
=Δ
. Нетрудно видеть , что ( )
R
V M S
=
и ( )
R
V M S
=
. Это означает, что если функция ( )
y x
интегрируема на отрезке [;]
a b
, то ( )
R R
S S V G
==
и
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
49
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
2
( )
b
a
V y x dx
=
. При вращении вокруг оси OY
формула примет вид
2
( )
b
a
V x y dy
=
.
Пример:
Рассмотрим вычисление объема тела вращения на примере
шара:
2 2 2 2 2
x y R y R x
+==−
. Значит объем шара равен:
(
)
3
2 2 2 3
4
3 3
R
R
R
R
x
V R x dx R x R
πππ
−
−
=−=−=
.
Билет 50
Длина дуги кривой. Определение и вычисление.
Пусть Г есть гладкая кривая определенная функциями (t)
z
(t)
y
)
(
χ
ψ
ϕ
=
=
=
t
x
, b
t
a
≤
≤
, имеющими на [
a
,
b
]
непрерывные производные. Введем разбиение b
t
t
t
a
n
=
<
<
<
=
...
1
0
и составим сумму ∑
−
=
Δ
+
Δ
+
Δ
=
1
0
2
2
2
n
k
k
k
k
n
z
y
x
S
,
,
,
max
),
(
)
(
),
(
)
(
),
(
)
(
1
1
1
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
t
t
t
t
t
t
z
t
t
y
t
t
x
−
=
Δ
Δ
=
−
=
Δ
−
=
Δ
−
=
Δ
+
+
+
+
δ
χ
χ
ψ
ψ
ϕ
ϕ
представляющую собой длину ломаной, вписанной в Г с вершинами в точках, соответствующих значениям k
t
.
Имеем тогда (
0
при
)
,
,
1
→
<
<
+
δ
λ
υ
µ
k
k
k
k
k
t
t
.
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
'
2
2
2
1
0
1
0
2
2
2
1
0
2
2
2
dt
t
t
t
t
t
t
t
t
t
S
b
a
k
n
k
k
k
n
k
k
k
k
k
n
k
k
k
k
n
∫
∑
∑
∑
+
+
→
→
Δ
+
Δ
+
+
=
Δ
+
+
=
−
=
−
=
−
=
χ
ψ
ϕ
ε
χ
ψ
ϕ
λ
χ
υ
ψ
µ
ϕ
В первом равенстве цепи мы воспользовались теоремой о среднем. Чтобы обосновать, что 0
при
0
1
0
→
→
Δ
∑
−
=
δ
ε
k
n
k
k
t
, введем вспомогательную функцию ,
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
,
,
(
2
2
2
w
v
u
w
v
u
χ
ψ
ϕ
α
+
+
=
очевидно непрерывную на кубе }.
,
,
{
b
w
v
u
a
≤
≤
=
Δ
Модуль ее
непрерывности на Δ
обозначим через )
(
δ
ω
. Так как расстояние между точками (
)
,
,
(
и
)
,
,
k
k
k
k
k
k
t
t
t
λ
υ
µ
не превышает
3
δ
, то ),
3
(
)
,
,
(
)
,
,
(
δ
ω
λ
υ
µ
α
α
ε
≤
−
=
k
k
k
k
k
k
k
t
t
t
и потому
0
,
0
)
3
(
)
(
)
3
(
1
0
1
0
→
→
−
=
Δ
≤
Δ
∑
∑
−
=
−
=
δ
δ
ω
δ
ω
ε
a
b
t
t
n
k
k
n
k
k
k
.
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
50
Пособие для подготовки к 1 сессии по матанализу
Составлено на основе: лекции Соколовой Т.В. МИЭТ, 2003г.
«Дифференциальное и интегральное исчисление», Бугров, Никольский
Мы доказали, что длина гладкой кривой существует и выражается формулой .
)
(
'
)
(
'
)
(
'
2
2
2
dt
t
t
t
S
b
a
∫
+
+
=
χ
ψ
ϕ
(1)
При замене переменной при помощи непрерывно дифференцируемой функции )
,
0
)
(
'
(
)
(
d
r
c
r
r
t
≤
≤
>
=
λ
λ
получим,
очевидно,
,
)
(
'
)
(
'
)
(
'
2
2
2
dr
r
r
r
S
d
c
∫
+
+
=
χ
ψ
ϕ
где )),...,
(
(
)
(
1
r
r
λ
ϕ
ϕ
=
что показывает инвариантность определения длина
дуги.
Если кривая (плоская) задана уравнением ,
),
(
b
x
a
x
f
y
≤
≤
=
где f
имеет непрерывную производную на [
a
,
b
], то,
очевидно, ее длина дуги выражается формулой
.
)
(
'
1
2
dx
x
f
S
b
a
∫
+
=
(надо положить в формуле (1) t
=
x
, y
=
f
(
x
), z
=0).
Пример 1:
t
R
y
t
R
x
y
x
t
R
y
y
t
R
x
x
cos
'
sin
'
2
t
0
окружности
центр
-
)
,
(
sin
cos
0
0
0
0
=
−
=
<
≤
+
=
+
=
π
∫
=
+
=
π
π
2
0
2
2
2
2
.
2
sin
cos
R
dt
t
R
t
R
S
© Гринченко С., Подкопаев И., Пошивайло И., Торопцев Н., Федоров М., Эстис В.
51
Автор
zimin
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
21 289
Размер файла
3 218 Кб
Теги
анализа, мат, курс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа