close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Окончательный вариант

код для вставкиСкачать
Линал. 3 сем
1.1. ядро и образ линейного оператора. Теорема о ранге и дефекте.
Невырожденный оператор.
1.2. Инвариантные подпространства. Индуцированный опретор.
Определение 1.1
Линейное подпространство ⊂L V
линейного пространства называется
инвариантным
относительно оператора , если ∀ ∈ → ∈x L Ax L
.
Теорема 1.1
Пусть ∈ A LV
и L
- нетривиальное инвариантное подпространство
относительно линейного оператора A
. Тогда существует базис ЛП, в котором линейный
оператор A
имеет квазитреугольную форму:
=Ae A1BΘC
.
(1.1)
∎
Пусть , ,…e1 e2 ek
- базис в L
, дополним его до базиса в V
: =, ,…, +,…e e1 e2 ek ek 1
;en L
– инвариантно относительно , ,… ∈ A Ae1 Ae2 Aek L = + +…+Ae1 a11e1 a21e2 ak1ek
⋮ = + +…+Aek a1ke1 a2ke2 akkek
+ = ,+ +, + +…+,+ + +, + + +…Aek 1 a1 k 1e1 a2 k 1e2 ak k 1ek ak 1 k 1ek 1
+,+an k 1en
⋮
= ,+,+…+,+ +,+ +…+,Aen a1 ne1 a2 ne2 ak nek ak 1 nek 1 an nen
= Ae a11
…
,+ …,⋮a1ka1 k 1 a1 n
⋱⋮⋮⋱⋮
ak1
…
,+akkak k 1
…
,ak n
…0 0
+, +ak 1 k 1
…
+,ak 1 n
⋮⋱⋮⋮
⋱⋮0
…0
,+ …,an k 1 an n
, т.е. имеет квазитреугольную форму.
∎
Замечание 1.
Верно и обратное утверждение: если в базисе =, ,…, +,…e e1 e2 ek ek 1 en
Ae
имеет вид (1.1), то =, ,…L Le1 e2 ek
- инвариантное подпространство относительно
оператора .
Теорема 1.2
Если V
является прямой суммой нетривиальных подпространств , ,…L1 L2
Lk
, инвариантных относительно линейного оператора ∈ A LV
, то в ЛП V
существует
базис, в котором матрица л.о. имеет квазидиагональную форму:
= ⊕ ⊕…⊕V L1 L2 Lk
∃ : =e Ae A1Θ
…
ΘΘ
⋮A2ΘΘ
⋱
⋱
…ΘΘ
Θ
Ak
.
(1.2)
∎
Аналогично доказательству теоремы 1.1: базис e
= сумме базисов слагаемых
подпространств , ,…L1 L2 Lk
. ∎
1.3. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Линейная независимость собственных векторов, отвечающих
различным собственным значениям.
V
- ЛП над P
.
Определение 2.1
Ненулевой вектор ∈x V
называется собственным вектором
л.о. ∈ A L
V
,
если ∃ ∈: =λ P Ax λx
.
Число λ
называется собственным значением
оператора ,A
соответствующим собственному
вектору .x
Множество всех собственных значений λ
называется спектром оператора
A
. Примеры.
1) D
- оператор дифференцирования: PnPn
. Любой многочлен нулевой
степени =f a0
- собственный вектор с собственным значением =λ 0
.
2) P
- оператор проектирования: = ⊕ ; ∀ ∈ → = =;V L1 L2 L1 x1 L1 Px1 x1 λ1 1
∀ ∈ → = =.x2 L2 Px2 θ λ2 0
Свойство 1.
Если x
- собственный вектор, отвечающий собственному значению ∀λ ≠ α 0 αx
- собственный вектор, отвечающий собственному значению λ
. Следовательно,
любой собственный вектор порождает целое одномерное подпространство собственных
векторов, из которых исключен нулевой вектор θ
.
Свойство 2. Теорема 2.1
Собственные векторы , ,…x1 x2 xk
оператора, отвечающие
различным собственным значениям , ,…λ1 λ2 λk
линейно независимы.
∎
По индукции. =k 1
– очевидно, так как любой собственный вектор отличен от нулевого.
Пусть верно для -k 1
. Докажем для k
. Рассмотрим линейную комбинацию:
+ +…+ - - + =α1x1 α2x2 αk 1xk 1 αkxk θ
(2.1)
( + +…+ - - + )= A α1x1 α2x2 αk 1xk 1 αkxk Aθ + +…+ - - - + =α1λ1x1 α2λ2x2 αk 1λk 1xk 1 αkλkxk θ
.
(2.2)
Умножим (2.1) на λk
и вычтем из (2.2):
( - ) + ( - ) +…+ - ( - - ) - =α1 λ1 λk x1 α2 λ2 λk x2 αk 1 λk 1 λk xk 1 θ
,
(2.3)
- ≠,λi λk 0
∀=, ( - )i 1 k 1
, т.к. , ,… -λ1 λ2 λk 1
- различны. Т.к. , ,… -x1 x2 xk 1
– линейно независимы,
то равенство (2.3) возможно только при = =…= - =α1 α2 αk 1 0
. Тогда из (2.1) следует, что
=αkxk θ
.Отсюда или =αk 0
, или =xk θ
. Но ≠xk θ
, т.к. xk
– собственный =αk 0
.
Итак
, выполнение (2.1) возможно только в случае: = =…= - = =α1 α2 αk 1 αk 0
,
следовательно, , ,…x1 x2 xk
- линейно независимы.
∎
Следствие.
Линейный оператор, действующий в n
- мерном ЛП, не может иметь более чем
n
различных собственных значений.
1.4. Характеристический многочлен, его инвариантность по отношению
к выбору базиса ЛП. Характеристический многочлен индуцированного
оператора.
Определение 3.1
Характеристическим
многочленом матрицы
∈ × A Pn n
называется
функция = -, ∈ fλ detA λE λ P
. (3.1)
Теорема 3.1
Характеристический многочлен (3.1) матрицы ∈ ×A Pn n
является
многочленом n
-ой степени от переменной ∈ λ P
.
= ∈ ×, ∎ A aij Pn n
= -fλ a11 λa12
…
-a1na21a22 λ
…
a2n
⋮
⋮
⋱
⋮an1an2
…
-ann λ
.
Любой элемент матрицы -A λE
есть многочлен степени λ
не выше 1 любой член -detA
λE
есть многочлен от λ
степени не выше n
. Следовательно, fλ
- многочлен от λ
степени
не выше n
: - = =, ,… -, ,… …. detA λE α α1 α2 αn 1σα1 α2 αnb1α1b2α2 bnαn
Все члены, отличные от - - … -a11 λa22 λ ann λ
, имеют степень, не превосходящую -n 2
.
Следовательно, в fλ
слагаемые, содержащие -λn 1
и λn
, определяются только членом
- - … - =- + + +…+ - - + -,a11 λa22 λ ann λ 1nλn a11 a22 ann λn 1 gn 2λ
где -gn 2
λ
- многочлен степени -n 2
(согласно формулам Виета). Следовательно, fλ
-
многочлен степени n
от λ
: =- + - - - +…+ - +fλ 1nλn An 1 λn 1 A1 λ A0
, где - = ,An 1 tr A
= =A0 f0
detA
.
∎
Теорема 3.2
Все матрицы одного и того же линейного оператора имеют одинаковые
характеристические многочлены.
∎
Ae
и Ae
- матрицы линейного оператора ∈ A LV
в различных базисах e
и e
Ae
и
Ae
эквивалентны существует невырожденная матрица Q
(см. формулу преобразования
матрицы л.о. в разных базисах): = -Ae Q 1AeQ
. Следовательно, -Ae
= - - = -λE Q 1AeQ λE Q
- - = - ( - ) = - - = -1AeQ Q 1λEQ Q 1 Ae λE Q Q 1Ae λEQ Ae λE
.
∎
Итак, характеристический многочлен матрицы линейного оператора не зависит от
базиса, а определяется самим оператором.
Определение 3.2
Характеристическим многочленом оператора
∈ A L
V
называется
функция = -, ∈ fλ detA λJ λ P
.
Замечание.
Напомним: определителем линейного оператора называется
определитель матрицы этого оператора в произвольном базисе: =detA detAe
Таким образом, характеристический многочлен оператора ∈ A L
V
совпадает с
характеристическим многочленом матрицы этого оператора в произвольном базисе. След
матрицы Ae
линейного оператора A
не зависит от базиса. Следовательно, можно ввести
понятие следа оператора
: = tr A tr Ae
.
Теорема 3.3
Характеристический многочлен индуцированного оператора является
делителем характеристического многочлена порождающего оператора.
Теорема 3.4
Если = ⊕ ⊕…⊕V L1 L2 Lk
- прямая сумма подпространств, инвариантных
относительно оператора ∈ A L
V
, то характеристический многочлен fλ
оператора A
равен
произведению характеристических многочленов ,,…f1λ f2λ fkλ
индуцированных
операторов , ,…AL1 AL2 A|Lk
: = …fλ f1λf2λ fkλ
.
Теорема 3.5
V
ЛП над P
. Число ∈ λ P
является собственным значением оператора ∈ A L
V
λ
- корень его характеристического многочлена.
∎
λ
- собственное значение, отвечающее собственному вектору x
л.о. A
=Ax
≠ ∈ - = ≠ ∈ ∈ - ≠ λxx θλ P A λJx θx θλ Px kerA λJx θ
при некотором ∈ λ P
при некотором ∈ → - λ P A λJ
является вырожденным оператором не существует
обратного оператора -A
λJ
- =detA λJ 0
при некотором λ
λ
- корень
характеристического многочлена ∎
Определение 3.3
Уравнение - =detA λJ 0
называется характеристическим
уравнением
для
оператора A
. Корни характеристического уравнения называются характеристическими
числами
оператора.
Собственными значениями оператора являются характеристические числа из
основного поля, и только они.
Итак, вопрос о существовании собственных векторов сводится к вопросу о
существовании корней характеристического многочлена, принадлежащих основному
полю. Известно, что не во всяком поле многочлены имеют корни. В поле комплексных
чисел C
любой многочлен n
-ой степени имеет ровно n
корней, если любой корень
считать столько раз, какова его кратность.
Теорема 3.6
Произвольный оператор, действующий в комплексном
пространстве V
( = )dimV n
имеет:
1) n
собственных значений, если любое собственное значение считать столько раз, какова
его кратность как кратность характеристического многочлена;
2) хотя бы один собственный вектор;
3) на любом своем инвариантном подпространстве хотя бы один собственный вектор.
1.5. Нахождение собственных значенийи собственных векторов
линейного оператора.
Способ нахождения собственных векторов
:
1) Строится характеристический многочлен оператора A
, и находятся его корни. Те корни,
которые принадлежат полю P
, будут собственными значениями оператора.
2) Для любого найденного λ0
находятся ненулевые векторы ядра оператора -A λ0
J
. Они
будут собственными векторами, отвечающими λ0
. Если
=, ,…e e1 e2 en
- базис в V
, то
для нахождения собственных векторов в базисе имеем ОСЛАУ: - ↓= ↓Ae λ0Exe θ
.
1.6. Собственное подпространство.Алгебраическая и геометрическая
кратность собственного значения.
λ0
- собственное значение оператора ∈ A L
V
.
Определение 4.1
Множество = ∈ =Wλ0 x V| Ax λ0x
называется собственным
подпространством оператора A
, отвечающим собственному значению λ0
.
Замечание.
= -Wλ0 kerA λ0
⊂J Wλ0 V
(ЛПП ЛП V
) – инвариантно относительно A
.
Определение 4.2
Размерность Wλ0
называется геометрической кратностью
собственного значения λ0
, а кратность λ0
как корня характеристического многочлена –
его алгебраической кратностью
.
Теорема 4.1
Геометрическая кратность собственного значения не превосходит его
алгебраической кратности.
∎
∈ A L
V
, λ0
- собственное значение л.о. A
; m
- алгебраическая кратность, s
-
геометрическая кратность =s dimWλ0
. Wλ0
– собственное подпространство,
инвариантное относительно A
. Рассмотрим индуцированный оператор A|Wλ0
. Найдем
его характеристический многочлен f1λ
. Пусть , ,…e1 e2 es
- базис в Wλ0
. Тогда матрица
оператора A|Wλ0
в базисе , ,…e1 e2 es
имеет вид: … ⋮⋱⋮ … ∈ ×λ0 0 0 λ0 Ps s
.
Следовательно, = -.f1λ λ0 λs
Согласно Т3.3 характеристический многочлен f1λ
индуцированного оператора является делителем характеристического многочлена fλ
оператора A
. Но -λ0 λ
входит в fλ
в степени : -m λ0 λm
, следовательно, ≥m s
.
∎
Теорема 4.2
Сумма собственных подпространств оператора, отвечающих различным
собственным значениям, является прямой суммой.
∎
Пусть сумма +Wλ1
+…+ Wλ2 Wλk
- не прямая. Тогда существует два разложения
элемента b
: = + +…+, ∈ = + +…+, ∈b b1 b2 bk bi Wλib b1'b2'bk'bi'Wλi
.
Следовательно, =θ
b1
-
+b1'b2
-
+…+b2'bk
-
,bk'
где bi
-
∈bi'Wλi
- собственный вектор,
отвечающий собственному значению λi
собственные векторы, отвечающие различным
собственным значениям линейно зависимы противоречие существует единственное представление элемента b
сумма прямая. ∎
1.7. Диагонализуемость линейного оператора. Критерий
диагонализуемости. Матричная формулировка операторных свойств.
Определение 5.1
Линейный оператор ∈ A L
V
называется оператором простой
структуры
, если в ЛП V
существует базис из собственных векторов оператора A
.
Теорема 5.1
Линейный оператор ∈ A L
V
имеет простую структуру существует базис, в
котором он имеет диагональную матрицу.
∎
=. dimV n
Линейный оператор простой структуры существует базис из
собственных векторов , ,…, e1 e2 en = … ⋮⋱⋮ …Ae λ1 0 0 λn
, где =Aei λiei
.
∎
Следствие.
В n
-мерном пространстве линейный оператор, имеющий n
различных
собственных значений, является оператором простой структуры.
Оператор простой структуры называют также диагонализуемым
оператором.
Теорема 5.2
Линейный оператор ∈ A L
V
- диагонализуемый все его собственные
подпространства в прямой сумме дают все ЛП V
, т.е. ⊕ ⊕…⊕ =Wλ1 Wλ2 Wλp V
.
∎
«
» Пусть ∈ A L
V
- диагонализуемый существует базис из собственных векторов
, ,…, e1 e2 en
. Рассмотрим подпространство + +…+ ⊆Wλ1 Wλ2 Wλp V
. С другой
стороны, любой из , ,…, e1 e2 en
принадлежит некоторому из Wλi
V
⊆
+Wλ1
+…+Wλ2 Wλp
= = V i 1pWλi
(прямая).
«
» Из критерия прямой суммы и линейной независимости собственных векторов,
отвечающих различным собственным значениям: , ,…,e1i e2i ekii
- базис в Wλi
-
совокупность базисов – базис в V
. ∎
Замечание.
Условие ⊕ ⊕…⊕ =Wλ1 Wλ2 Wλp V
может быть заменено условием =dimV
=i 1pdimWλi
.
Теорема 5.3
Линейный оператор, действующий в комплексном
пространстве, имеет
простую структуру когда для любого собственного значения геометрическая кратность
совпадает с алгебраической кратностью.
∎
Пусть , ,…, ( ≠ ≠ )λ1 λ2 λp λi λji j
- различные собственные значения ∈ A L
V
. →,λk mk
=, sk k 1 p
– алгебраическая и геометрическая кратность.
«
» Если алгебраическая кратность совпадает с геометрической ( = )mk sk
, то
= = + +…+ = = i 1pdimWλi m1 m2 mp n dimV
(В n
- мерном комплексном пространстве
существует n
собственных значений, если любой корень считать столько раз, какова его
кратность).
«
»
< = ≤, =,0 dimWλi si mi i 1 p
. Но равенство = =dimV i 1pdimWλi
возможно только
при условии =, =,si mi i 1 p
.
∎
Замечание.
(матричная формулировка операторных свойств) Пусть ∈ ×.A Pn n
1) Ненулевой вектор-столбец ↓x
называется собственным вектором
матрицы A
( ↓≠ ↓)x θ
, если существует ∈:↓λ P Ax
= ↓λx
, λ
- собственное значение
матрицы.
2) A
называется матрицей простой структуры
(диагонализуемой), если она имеет n
линейно независимых собственных векторов.
3) Критерий 5.4
(матричная формулировка критерия 5.1) Квадратная матрица является
матрицей простой структуры она эквивалентна диагональной.
В комплексном пространстве не каждый линейный оператор обладает необходимым
для базиса числом линейно независимых собственных векторов. Пример.
Матрица =Tkλ0 λ01
…0
00λ0
…⋮⋮ ⋱⋱⋮⋮1 0
⋮
⋱
…λ010
…0
λ0
называется
жордановой клеткой
k
-того порядка.
1) = -fλ λ0 λk
- характеристический многочлен.
2) λ0
- алгебраической кратности k
.
3) собственные векторы, являются нетривиальными решениями ОСЛАУ = -B Tkλ0
=λ0E 01
…0
000
…⋮⋮ ⋱⋱⋮⋮1 0
⋮
⋱
…010
…0
0
= - rang B k 1 Tkλ0
имеет один
собственный вектор Tkλ0
не является матрицей простой структуры.
1.8.
Треугольная
форма матрицы линейного оператора, действующего в
комплексном пространстве.
Теорема 6.1
В n
–мерном комплексном
линейном пространстве V
для любого линейного
оператора ∈ A L
V
существует система n
вложенных друг в друга инвариантных
подпространств всех размерностей от 1 до n
, таких , что ⊂ ⊂…⊂ =L1 L2 Ln V
, где
=, =,dimLk k k 1 n
.
∎
(по индукции)
=n 1
- очевидно.
Пусть утверждение верно для ЛП размерности -n 1
. Докажем для ЛП :V
=dimV n
.
Лемма.
Линейный оператор, действующий в -n
мерном комплексном
пространстве,
обладает инвариантным подпространством размерности -n 1
.
Доказательство леммы.
Линейный оператор, действующий в ЛП :V
=dimV n
, имеет
собственное значение .λ
Пусть x
- собственный вектор, отвечающий собственному
значению ,λ
∈ - x kerA λJ так как существует хотя бы один
- ≤ - собственный вектор dimim A λJ n 1 существует ЛПП := -L dimL n 1
,
которое содержит - ⊆im A λJ
L
. Покажем, что L
инвариантно относительно л.о. -:A λJ
∀
∈ → - ∈ - ⊆. x L A λJx im A λJ L
Лемма доказана.
Итак, л.о. ∈ A L
V
, действующий в ( = )V dimV n
имеет инвариантное подпространство
-Ln 1
размерности -n 1
.
Индуцированный оператор A|
-Ln 1
действует в пространстве размерностью -,n 1
и,
следовательно согласно предположению индукции существует система вложенных
подпространств ⊂ ⊂…⊂ -L1 L2 Ln 1
.
Так как действия операторов A
и A|
Ln
-
1
на Ln
-
1
совпадают, то ,,…,L1 L2 Ln
-
1
инвариантны относительно A
. Следовательно, ⊂ ⊂…⊂L1 L2 Ln
-
⊂ =1 Ln
V
.∎
Теорема 6.2
Для любого л.о. ∈ A L
V
, действующего в комплексном
ЛП, существует базис,
в котором матрица линейного оператора имеет треугольную форму.
∎
Из Т6.1 для л.о. A
существует система ⊂ ⊂…⊂L1 L2 Ln
-
⊂ =1 Ln
V
. Строим искомый
базис: e1
- базис в L1
; e2
- дополнение L1
до базиса L2
; … ek
дополнение -Lk 1
до
Lk
…. В силу инвариантности =, Lk k 1 n Ae
имеет верхнюю треугольную форму. ∎
Замечание.
На главной диагонали Ae
стоят собственные значения оператора A
.
Теорема 6.3
Любая квадратная комплексная матрица эквивалентна матрице, имеющей
треугольную форму.
1.9.
Нильпотентный оператор. Его свойства. Разложение вырожденного и
не нильпотентного оператора в прямую сумму нильпотентного и
обратимого оператора(схема доказательства).
Определение 7.1
Л.о. ∈ A L
V
называется нильпотентным
, если существует такое ∈ q N
, что =Aq O
.
Наименьшее число q
, обладающее этим свойством, называется индексом
нильпотентности
(
высотой
оператора A
).
≥q 2
.
Аналогично определяется нильпотентная матрица ∈ ×A Pn n
и ее индекс.
Примеры.
1) ≤, =Pn n D ddx
- нильпотентный оператор индекса ( + )n 1
.
2) =Tk0 01
…0
000
…⋮⋮ ⋱⋱⋮⋮1 0
⋮
⋱
…010
…0
0
- нильпотентная матрица индекса k
.
Теорема 7.1
Если ∈ A L
V
- нильпотентный оператор индекса q
и ∈x0 V
- вектор, для
которого - ≠Aq 1x0 θ
, то векторы , , , … -x0 Ax0 A2x0 Aq 1x0
- линейно независимы.
∎
Рассмотрим + + + …+ - - =α0x0 α1 Ax0 α2A2x0 αq 1Aq 1x0 θ
.
Применим последовательно операторы -, -,…, Aq 1 Aq 2
, A2 A
:
- = =; - = = ;… - - = - =α0Aq 1x0 θ α0 0 α1Aq 1x0 θα1 0 αq 2Aq 1x0 θαq 2 0
- - =αq 1Aq 1x0 θ
- =αq 1 0
. ∎
Следствие 1.
Индекс нильпотентности не превосходит размерности пространства.
Теорема 7.2
В комплексном пространстве линейный оператор нильпотентен когда все
его собственные значения равны нулю.
∎
«
» A
– нильпотентный индекса q
, λ
- собственное значение, отвечающее
собственному вектору x
: = = … = = = Ax λx A2x λ2x Aqx λqx θ λ 0
, т.к.
≠x θ
(собственный вектор).
«
» Рассмотрим базис e
пространства V
, в котором оператор имеет верхнюю
треугольную матрицу (См. замечание к Т6.2), главная диагональ которой состоит из нулей:
=Ae 0a12a13
…
a1n0
0
a23
…
a2n
⋮⋮⋱⋱⋮⋮
⋮
⋮0
-,an 1 n00
……
= 0 Aen Θ =An O
.
∎
Замечание.
Необходимость утверждения имеет место и в вещественном пространстве.
Определение 7.2
Если = ⊕ ⊕…⊕V L1 L2 Lp
- прямая сумма подпространств , ,L1 L2
…,Lp
, инвариантных относительно ∈ A L
V
, то оператор A
называется прямой суммой
индуцированных операторов
, ,…,A|L1 A|L2 A|Lp
.
Теорема 7.3
Вырожденный и не нильпотентный л.о. ∈ A L
V
является прямой суммой
нильпотентного и обратимого оператора, причем это разложение единственно.
∎
Надо доказать, что существует единственная пара L1
и L2
(
= ⊕ )V L1 L2
: A|L1
-
нильпотентный оператор, A|L2
- обратимый оператор.
Доказательство существования.
∈ k N
. Обозначим =, = Nk kerAk Tk im Ak
.
1. Покажем, что Nk
строго вложены друг в друга до некоторого момента q
, начиная с
которого все Nk
совпадают: ⊂ ⊂…⊂ = + =…N1 N2 Nq Nq 1
а) ⊆ +, Nk Nk 1
т.к. ∀ ∈ = + = ∈ +x Nk Akx θ Ak 1x θ x Nk 1
.
б) Пусть = +Nk Nk 1
, тогда: а) + ⊆ +; ∀ ∈ +Nk 1 Nk 2 x Nk 2
+ = = + ∈ + = =Ak 2x θ Ak 1AxAx Nk 1 NkAkAx θ
, т.е. + = ∈ +Ak 1x θ x Nk 1
+ = + Nk 1 Nk 2
.
Из а) и б) следует, что либо Nk
и +Nk 1
строго вложены друг в друга, либо совпадают со
всеми последующими ядрами. Т.к. в конечномерном пространстве размерность Nk
не
может возрастать бесконечно наступит момент q
, когда они начнут совпадать.
2. Зафиксируем этот момент q
, покажем, что = ⊕ V Nq Tq
.
Пусть ∈ ∩ : ∈ =; ∈ ∃:y Nq Tq y NqAqy θ y Tq x
= = ∈ = Aqx yA2qx θx N2q Nq
= = = ∩ = +Aqx θy Aqxy θNq Tq θ
(теорема о ранге и дефекте) = + = ⊕ dimV dimNq dimTq V Nq Tq
.
3. Подпространства , Nq Tq
- инвариантны относительно A
:
а) ∀ ∈ = + ∈ + + = = ∈ x Nq Nq 1x Nq 1 Aq 1x θ AqAxAx Nq
.
б) ∈ ∃: =, = + = =y Tq x Aqx y Ay Aq 1x AqAx Aqx1
, где = ∈x1 Ax Ay Tq
.
4. Оператор A|
Nq
- нильпотентный оператор индекса q
, т.к.
а) ∀ ∈ = =x Nq kerAqAqx θ
;
б) ∃ ∈ : - ≠x0 Nq Aq 1x0 θ
, т.к. - ≠Nq 1 Nq
.
5. A|
Tq
– обратим (ядро состоит из нулевого вектора)
Пусть ∈y kerA|
Tq
A|
=;Tqy θ
∈ = y Tq im A
= =qy Aqx Ay θ
(т.к. ∈y kerA|
Tq
).
= =θ Ay AA
= + ∈ + = = =qx Aq 1x x Nq 1 NqAqx θ y θ
.
Следовательно, = ⊕ V Nq Tq
(
= ⊕ V L1 L2
).
Единственность.
Пусть существует другое разложение: = ⊕ V N T
.
1. A|N
– нильпотентный =, ∀ ∈ Akx θ x N
при некотором ∈k N
. Следовательно,
⊆ ⊆ ≤N Nk NqdimN dimNq
.
2. A|T
– обратим im A|N
=
T
∀ ∈: =, ∈ = = =… y T y Ay1 y1 T y Ay1 A2y2
= ⊆ ≤Aqyq T Tq dimT dimTq
.
Но + = = dimN dimT dimV
+ =, =dimNq dimTqN Nq T Tq
. ∎
Следствие 2.
Оператор A
на подпространстве Nq
имеет только нулевые собственные
значения, а на Tq
не имеет нулевых собственных значений.
Следствие 3.
Для оператора A
, действующего в комплексном пространстве с
характеристическим многочленом f
= - =- - … -λ detA λJ λm1λ2 λm2 λp λmp
а) характеристические многочлены
f1
=-λ λm1
– оператора A|
Nq
;
f2
= - … -λ λ2 λm2 λp λmp
– оператора A|
Tq
.
б) = ,= +…+dimNq m1 dimTq m2 mp
(размерность пространства совпадает со
степенью характеристического многочлена).
1.10. Корневые векторы и их простейшие свойства. Корневые
подпространства. Структура корневого подпространства. Теорема о
расщеплении линейного оператора. Следования из теоремы.
Определение 8.1
Пусть λj
- собственное значение оператора . Вектор ∈x V
называется
корневым вектором
оператора A
, отвечающим собственному значению λj
, если A
-
λj
=Jkx θ
при некотором ∈ , ≥k Z k 0
. Высотой корневого вектора
называется наименьшее
k
, обладающее указанным свойством. Высота θ
и только θ
равна 0.
Простейшие свойства корневых векторов.
1.
Корневые векторы высоты 1 являются собственными векторами: A
-
λj
=Jx θ
.
2.
Если x
- корневой вектор высоты >k 0
, то вектор A
-
λj
Jx
- корневой высоты k
-
1
.
3.
Корневые векторы различных высот линейно независимы. (Доказательство аналогично
доказательству Т7.1).
4.
Если x
- корневой вектор высоты >k 0
, то: 1) , -x A λj
, -,… - -Jx A λjJ2x A λjJk 1x
- линейно
независимы; 2) высота корневого вектора не превосходит размерности пространства.
Определение 8.2
Корневые векторы высоты >k 1
называются присоединенными
векторами
( - )k 1
-го порядка.
Итак, если x
– присоединенный вектор - -k 1
го порядка, то -A λj
=, - -Jkx θ A λjJk
≠1x θ
или вектор -A λj
-Jk 1x
- собственный вектор оператора A
, отвечающий
собственному значению λj
.
Таким образом, корневой вектор – это либо нулевой вектор, либо собственный,
либо присоединенный.
Определение 8.3
Множество всех корневых векторов оператора A
, отвечающих
собственному значению λj
, называется корневым подпространством
оператора A
,
отвечающим собственному значению λj
:
= ∈ ∃ ∈, ≥: -Kλj x V| k Z k 0 A λj
=Jkx θ
.
Опишем структуру корневого подпространства
Kλj
.
1) Сдвиг оператора A
.
Рассмотрим = -B A λj
J
(выполним сдвиг оператора на λj
J
).
Лемма 1.
Собственные значения операторов A
и B
связаны соотношением: = -λB λA λj
.
Лемма 2.
Если f
= - - … - … -λ λ1 λm1λ2 λm2 λj λmj λp λmp
- характеристический многочлен
A
, то f
= - - …- … -λ λ1 λm1λ2 λm2 λmj λp λmp
- характеристический многочлен B
.
Лемма 3.
Если подпространство L
инвариантно относительно оператора B
, то оно
инвариантно и относительно оператора A
.
∎
Если ∈ ∈x L Bx L
, т.е. = = -y Bx A λj
∈ = + ∈J x L Ax Bx λjx L
. ∎
2) Разложение оператора B
в прямую сумму нильпотентного и обратимого операторов
.
Из f
λ
следует, что B
- вырожденный оператор (имеет нулевое собственное
значение), но не нильпотентный (т.к. имеет ненулевое собственное значение). Применим
Т7.3. Пусть =, = Nk kerBk Tk im Bk
, то ⊂ ⊂…⊂ = + =…N1 N2 Nq Nq 1
, = ⊕ ;, V Nq Tq Nq Tq
-
инвариантны относительно B
и оператор B|Nq
- нильпотентный, B|Tq
- обратимый.
3) Структура корневого подпространства
. Рассмотрим ⊂ ⊂…⊂ = +N1 N2 Nq Nq 1
.
а) N1
– состоит из корневых векторов высоты ≤1
, т.е. совпадает с собственным
подпространством: = = N1 WλjdimN1 sj
– геометрическая кратность λj
.
б) N2
– состоит из корневых векторов высоты ≤2
, … Nq
– состоит из корневых векторов
высоты ≤q
, (всех высот) q
- максимальная высота корневого вектора, отвечающего
собственному значению λj
, и =Nq Kλj
, следовательно, цепочка имеет вид ⊂ ⊂…Wλj N2
⊂ = + =Nq Nq 1 Kλj
.
а) Kλj
- инвариантно относительно A
(т.к. инвариантно относительно B
(лемма 3);
б) если f
= - - … - … -λ λ1 λm1λ2 λm2 λj λmj λp λmp
, то характеристический многочлен A|
Kλj
имеет вид fj
= -λ λj λmj
; в) = dimKλj
mj
(следствие 3 Т7.3).
Замечание.
Из цепочки ⊂ ⊂…⊂ = + =Wλj N2 Nq Nq 1 Kλj
следует, что максимальная
высота q
корневых подпространств, отвечающих собственному значению λj
, совпадает с
индексом нильпотентности оператора -A λj
.J
Теорема 8.1
(о расщеплении линейного оператора)
Если A
- линейный оператор,
действующий в комплексном пространстве V
и f
= - - … - … -λ λ1 λm1λ2 λm2 λj λmj λp λmp
- его характеристический многочлен ≠, ≠ λi λk i k
, то пространство V
разлагается в
прямую сумму его корневых подпространств: = V K
⊕ ⊕…⊕λ1 Kλ2 Kλp
. По индукции по ∎
p
. = = p 1 V Kλ1
.
Пусть теорема верна для оператора, имеющего -p 1
различных собственных значений.
Докажем для p
. Выделим корневое подпространство K
:= ⊕ ( = - )λp V Kλp Tq Tq im A λpJq
. Обозначим
=V1 Tq
; Tq
- инвариантно относительно -A λp
J
(лемма 3) Tq
- инвариантно
относительно A
.
=A1 A|V1
f2
= - - … - … - - - λ λ1 λm1λ2 λm2 λj λmj λp 1 λmp 1 A1
имеет -p 1
различных собственных значений, следовательно, по индукции для него =V1 K
⊕λ1
⊕…⊕ - = ⊕ ⊕…⊕ - ⊕Kλ2 Kλp 1 V Kλ1 Kλ2 Kλp 1 Kλp
. ∎
Следствие 1.
Ненулевые корневые векторы оператора, отвечающие различным
собственным значениям, линейно независимы
Следствие 2.
Для ∀ ∈ A L
V
в комплексном пространстве, существует базис, в котом его
матрица имеет квазидиагонаьную форму, у которой число диагональных клеток совпадает
с числом различных собственных значений, а их размеры – с алгебраической кратностью
собственных значений, или, в матричной формулировке, любая квадратная комплексная
матрица ×Cn n
эквивалентная квазидиагональной матрице, обладает указанными выше
свойствами.
1.11.Канонический базис корневого подпространства.
Построение
жардановой цепочки. Матрица индуцированного операторав
каноническом базисе.
K
λj
- корневое подпространство A
, отвечающее собственному значению λj
.
= -B A
λjJ
(сдвиг оператора)
=, =, = = Nk kerBk nk dimNk rk rang Bk dimim Bk
.
Построим корневое подпространство K
λj
.
Надо найти то q
, начиная с которого =Nq Kλj
, при этом: = < <…< =,n1 sj n2 nq mj
= =n1 sj dimW
; λj mj
= алгебраическая кратность = ( ⊂ ⊂…⊂ = )λj dimKλj Wλj N2 Nq Kλj
Строим базис K
λj
, последовательно просматривая подпространства , -,…, Nq Nq 1 N1
(в
обратном порядке).
До
Nq
: , ,…, ∈f1 f2 ftq Nq
- векторы, дополняющие базис -Nq 1
до Nq
:
1) , ,…, f1 f2 ftq
– корневые, высоты q
, т.к. -A
=λjJqftk θ
;
2) количество = - -tq nq nq 1
;
3) = - - = - - - + - =- + + - -tq nq nq 1 nq nq 1 nq 1 nq nq 1 2nq nq 1
, т.к.
+ =nq 1 nq
;
4) никакая линейная комбинация , ,…, f1 f2 ftq
не принадлежит -Nq 1
. Такие
векторы называются линейно независимыми над -Nq 1
.
До
-Nq 1
: Построим B
, ,…, f1 Bf2 Bftq
- корневые, высоты -q 1
, - линейно независимы над
-Nq 2
. Дополним эти векторы векторами , ,…, - ∈ -g1 g2 gtq 1 Nq 1
так, чтобы вектора B
,f1
,…, , , ,…, -Bf2 Bftq g1 g2 gtq 1
дополняли произвольный базис -Nq 2
до базиса -.Nq 1
1) они корневые высоты -q 1
;
2) их количество - - -nq 1 nq 2
;
3) - = - - - - - - =- + - - -tq 1 nq 1 nq 2 nq nq 1 nq 2nq 1 nq 2
;
4) они линейно независимы над -Nq 2
.
До
-Nq 2
: Аналогично: B2
, ,…, , , ,…, -f1 B2f2 B2ftq Bg1 Bg2 Bgtq 1
- корневые,
высоты -q 2
.
Выполняя далее такие же построения в -,…Nq 3
доходим до N1
.
До
N1
: -Bq 1
, -,…, -, -, -,…, - -,…, , ,…,f1 Bq 1f2 Bq 1ftq Bq 2g1 Bq 2g2 Bq 2gtq 1 Bv1 Bv2
, , ,…, Bvt2 u1 u2 ut1
- дополяют до базиса N1
:
1) корневые высоты 1 – собственные;
2) их количество = - =n1 n1 n0 n0
=defB0 0
;
3) = - - - =- + -t1 n1 n0 n2 n1 n2 2n1 n0
;
4) они линейно независимы.
Полученную за q
шагов систему векторов удобно объединить в таблицу, которую будем
называть жордановой лестницей:
=- + + - -tq nq 1 2nq nq 1
Nq
, ,…, f1 f2 ftq
- -nq nq 1
- =- + - - -tq 1 nq 2nq 1 nq 2
-Nq
1
B
, ,…, f1 Bf2 Bftq
, ,…, -g1 g2 gtq 1
- - -nq 1 nq 2
⋮
…
⋱
=- + -t1 n2 2n1 n0
N1
-Bq 1
, -,…,f1 Bq 1f2
-Bq 1ftq
-Bq 2
, -,…, -g1 Bq 2g2 Bq
-2gtq 1
, ,…, u1 u2 ut1
= -n1 n1 n0
Теорема 9.1
Построенная система векторов образует базис корневого подпространства
K
λj
.
∎
а) количество векторов в системе:
n
+ - +…+ - - - + - - = =;1 n2 n1 nq 1 nq 2 nq nq 1 nq dimKλj
б) система векторов линейно независима. От противного. Рассмотрим линейную
комбинацию векторов и применим последовательно -, -, … Bq 1 Bq 2 - + - +…+ - =α1Bq 1f1 α2Bq 1f2 αtqBq 1ftq θ
, где , ,…, f1 f2 ftq
- корневые высоты q
, остальные слагаемые равны нулю, т.к. они корневые
векторы высоты <q
, следовательно, -Bq 1
+ +…+ = +α1f1 α2f2 αtqftq θ α1f1
+…+ = = =…= =α2f2 αtqftq θ α1 α2 αtq 0
, в силу линейной независимости , ,f1 f2
…, ftq
. ∎
Нумерация базиса
: по столбцам жордановой клетки снизу вверх, сами столбцы в
произвольном порядке.
Полученный таким образом базис называется каноническим (или жордановым) базисом
корневого подпространства K
λj
.
1) Пусть , ,…, e1 e2 eq
- векторы первого столбца жордановой лестницы.
= -e1 Bq 1
= - ⋮ =f1e2 Bq 2f1 eq f1
= = ⋮ = - Be1 θBe2 e1 Beq eq 1
-A
= -λjJ e1 θA
= ⋮ - = -λjJ e2 e1 A λjJ eq eq 1
=Ae1
= + ⋮ = + -λje1Ae2 λje2 e1 Aeq λjeq eq 1
.
Этой группе канонического базиса соответствуют первые q
столбцов матрицы A|K
λj
в
каноническом базисе, которые имеют вид:
λj1
…0
00λj
…1 000
λj
⋱⋮⋮
⋮
⋮⋱
⋮ ⋯0
…0
⋯ ⋮⋱⋮ ⋯=λj Θ Θ TqλjΘ
.
Tqλj
– жорданова клетка.
Аналогично для второго столбца жордановой лестницы: диагональная клетка имеет тот же
вид Tqλj
, остальные элементы равны нулю.
Число таких клеток tq
. 2) Следующая группа из -tq 1
столбцов жордановой лестницы определяет клетки -Tq 1λj
на главной диагонали матрицы A|K
λj
; число таких клеток -q 1
–го порядка -tq 1
.
3) Рассмотрим все столбцы жордановой лестницы, тогда матрица A|K
λj
в каноническом
базисе имеет вид:
= = ⋯ ⋮⋱⋮ ⋯Aj A|Kλj Tq1λj Θ Θ Tqsjλj
.
Число клеток = числу столбцов в жордановой лестнице = =n1 sj
- геометрической
кратности корня.
+ +…+ = = q1 q2 qsj dimKλj mj
- алгебраическая кратность корня.
Число клеток k
-того порядка:
=- - + - + ( = )tk nk 1 2nk nk 1 nk dimkerBk
.
Процесс построения канонического базиса однозначно определяет форму матрицы Aj
с
точностью до порядка клеток, т.к. количество клеток = sj
, а число клеток k
–го порядка =- - + - + = - - + +tk nk 1 2nk nk 1 rk 1 2rk rk 1
= + = + dimV dimkerBk dimimBk nk rk
Практический способ построения жорданова базиса.
Пусть λ
- собственное значение алгебраической кратности =m
dimKλ
1) Найдем q
- максимальную высоту корневого вектора: ( - )= -dim imA λJq n m
. q
–
максимальный размер жордановой клетки, отвечающий данному λ
.
2) Найдем начало цепочки: ∈ ,=e1 Wλ dimWλ s
.
∈e1
- ∩ - -kerA λJ im A λJq 1
, восстанавливаем всю цепочку: -A
= -λjJ ek ek 1
(лучше
начинать с eq
, т.к. - - =A λJq 1eq e1
, а потом находить остальные: - = -ek 1 A
λjJ ek
).
3) Переходим к другому вектору, принадлежащему - ∩ - -kerA λJ im A λJq 1
. Если число в
этих цепочках меньше m
, то переходим к
- ∩ - -kerA λJ im A λJq 2
. 1.12. Жорданов базис и жорданова нормальная форма оператора.
Определение 10.1
Жордановой матрицей
(или матрицей, имеющей жорданову
нормальную форму) называется квазидиагональная матрица с клетками Жордана на
главной диагонали. Жордановым базисом
для ∈ A L
V
называется базис пространства V
, в
котором матрица оператора A
имеет жорданову нормальную форму.
Канонический базис корневого подпространства K
λj
является жордановым для
оператора A|K
λj
, а Aj
– его жордановой матрицей.
Пример.
Если A
- нильпотентный оператор (
все =λ 0
) существует одно корневое
подпространство можно найти жорданов базис.
Решим задачу в общем виде.
Теорема 10.1
Пусть ∈ A L
V
в комплексном пространстве V
, его характеристический
многочлен имеет вид: f
= - - … - … -, ≠, ≠ λ λ1 λm1λ2 λm2 λj λmj λp λmp λi λk i k
. Тогда в
ЛП V
существует базис e
, в котором матрица оператора A
имеет жорданову нормальную
форму: = ⋯T A1Θ ΘΘA2
…⋮
⋮⋮⋱⋮ …⋯Θ Ap
, где , =,Aj j 1 p
имеют вид =Aj A|K
λje
- матрицы
оператора A|K
λj
в каноническом базисе.
∎
Согласно Т8.1 (о расщеплении линейного оператора): = V K
⊕ ⊕…⊕ -λ1 Kλ2 Kλp 1
⊕Kλp
.
В качестве исходного базиса e
возьмем совокупность канонических базисов корневых
подпространств. Согласно Т1.2 матрица имеет вид T
, где Aj
- матрица оператора A|K
λje
.
∎
Замечание 1.
Жорданова форма матрицы линейного оператора определена однозначно с
точностью до порядка клеток Жордана.
Замечание 2.
Для операторов простой структуры, и только для них, жорданова форма
совпадает с диагональной: W
=, =,λj Kλj j 1 p
.
Приведение матрицы к жордановой форме.
Т.10.1 любая квадратичная комплексная матрица эквивалентна матрице, имеющей
жорданову форму.
Определение 10.2
Жорданова матрица, эквивалентная матрице A
, называется жордановой
нормальной формой матрицы A
.
Теорема 10.2
Две матрицы , ∈ ×A B Cn n
эквивалентны их жордановы формы
совпадают.
Привести к жордановой нормальной форме значит найти невырожденную матрицу S
и
жорданову форму T
такие, что - =S 1AS T
, где S
- матрица перехода от исходного базиса к
жорданову.
1.13. Многочлен от линейного оператора. Теорема Гамильтона – Кэли.
Пусть V
- ЛП над , ∈ C A L
V
.
Рассмотрим = + +…+, ∈, ∀Pz c0 c1z ckzk ci C i
.
Определение 11.1
Линейный оператор = + +…+PA c0J c1A ckAk
называется многочленом
от оператора A
или операторным многочленом
. Теорема 11.1
Пусть , PA P1A
- операторные многочлены, тогда:
1)
= PA∙ P1A P1A∙PA
(в частности: = PA∙ A A∙PA
)
2)
,im PA kerPA
- подпространства, инвариантные относительно A
.
3)
) ∈ ∎ 1 A L
= =, ∀VAcjAj cjAAj cjAjA j
.
4)
2) ∈ ∃ ∈:= = =; ∈ ∈ ;x im PA y V x PAy Ax APAy PA∙Ay Ay V Ax im PA
5)
∈ =,= = = ∈ x ker PAPAx θ PAAx APAx Aθ θAx ker PA
. ∎
6)
Теорема 11.2
Pz
- некоторый многочлен степени k
, λ0
- собственное значение ∈A
L
V
, e0
- собственный вектор, отвечающий собственному значению
λ0
. Тогда e0
-
собственный вектор оператора PA
, отвечающий собственному значению Pλ0
,
причем ∈e0 kerPA
, если =Pλ0 0
; ∈e0 imPA
, если ≠Pλ0 0
.
7)
∎
= + +…+PA c0J c1A ckAk
;
8)
PA
= + +…+e0 c0 c1λ0 ckλ0ke0
.
9)
Если = Pλ0 0 PA
= ∈e0 θ e0 kerPA
. 10)
Если ≠ Pλ0 0 = = ∈e0 PAe0Pλ0 PAe0Pλ0 e0 imPA
. ∎
11)
Замечание
(матричная формулировка операторных свойств).
12)
Определение 11.1
'
= + +…+PA c0E c1A ckAk
- многочлен от матрицы A
13)
Теорема 11.1
'
= PA∙ P1A P1A∙PA
.
14)
Теорема 11.3
(теорема Гамильтона – Кэли) Линейный оператор ∈ A L
V
,
действующий в комплексном или вещественном пространстве, является корнем
своего характеристического многочлена.
15)
∎
Дано: f
= - - … - … -λ λ1 λm1λ2 λm2 λj λmj λp λmp
- характеристический многочлен
∈ A L
V
;
16)
=fA
- - … - … -λ1J Am1λ2J Am2 λjJ Amj λpJ Amp
- оператор;
17)
fA
= - - … - … -x λ1J Am1λ2J Am2 λjJ Amj λpJ Ampx
.
18)
Надо доказать, что =fA O
- нулевой оператор.
19)
1) Докажем для комплексного пространства , ∈ V A L
: = ⊕ ⊕…V V Kλ1 Kλ2
⊕ - ⊕ Kλp 1 Kλp
,
20)
∀
∈:= + +…+ , x V x x1 x2 xp
где ∈, =,xj Kλj j 1 p
, 21)
fA
= + +…+ x fAx1 fAx2 fAxp
.
22)
Произведения в операторе =fA
- - … - … -λ1J Am1λ2J Am2 λjJ Amj λpJ Amp
перестановочны (Т11.1), а - =λjJ AmjxJ θ
=, ∀ ∈ =fAx θ x V fA O
.
23)
2) V
- вещественное пространство, e
- любой базис (какой-нибудь) пространства V
.
Ae
- матрица оператора. V1
- любое комплексное пространство: =, dimV1 dimV f
- базис V1
. Тогда Ae
- матрица некоторого оператора ∈ : =B LV1 Ae Bf
их
многочлены совпадают и =fAe Θ
. ∎
24)
Определение 11.2
Многочлен ( )g t
называется аннулирующим
многочленом для A
,
если =gA O
. Аналогично для матрицы.
25)
Из теоремы Гамильтона- Кэли следует, что существует аннулирующий
многочлен степени n
.
26)
Определение 11.3
Многочлен ( )m t
наименьшей степени со старшим
коэффициентом единица, аннулирующий A
, называется минимальным
многочленом для A
.
27)
Минимальный многочлен определен однозначно: - ( )m1t m2 t
-
аннулирующий A
и имеет строго меньшую степень - =m1t m2t 0
.
28)
Теорема 11.4
Минимальный многочлен является делителем аннулирующего
многочлена.
29)
∎
От противного: = + ( )gt mtqt r t
, где ( )≡r t 0
или ( )< ( ) = -degr t degm t rt gt
= - = - ( )mtqt rA gA mAqA O O r t
– минимальный противоречие ( )≡r t 0
. ∎
30)
Замечание.
С помощью жордановой формы легко вычислить минимальный
многочлен. Для → -Tkλj t λjk
для → -, λj t λjqj qj
– максимальный размер
жордановой клетки, отвечающий данному - ⋯ -.λj t λ1q1 t λpqp
31)
32)
1.14. Функции от матриц. Интерполяционный многочлен
Лагранжа-Сильвестра.
33)
34)
Одно из важных приложений жордановой формы – вычисление функции от
матриц (от линейных операторов). В п.11 определили ( )P A
- многочлен от матрицы. Если
A
привести к T
- жордановой форме, то = -, = -A STS 1 Am STmS 1
, где Tm
- вычисляется
просто, а S
- не зависит от (зависит от A
).
35)
Как определить функцию от матрицы?
36)
Пусть , ,…, λ1 λ2 λp
- собственные значения A
(спектр матрицы , ,…,λ1 λ2
λp
– все вещественны
). qj
– максимальный размер жордановой клетки , =,λj j 1 p
.
37)
Определение 12.1
Пусть ( )f t
- числовая функция. Говорят, что ( )f t
определена на
спектре матрицы A
, если существуют значения: , ,…, -, =,fλj f'λj fqj 1λj j 1 p
,
которые называются значениями на спектре матрицы.
38)
Замечание 1.
Любой многочлен определен на спектре матрицы.
39)
Определение 12.2
Пусть ( )f t
- функция, определенная на спектре матрицы A
. Пусть
( )P t
- многочлен, значения которого на спектре матрицы A
совпадают с
соответствующими значениями ( )f t
. Положим по определению
:( )≡ ( )f A P A
.
40)
( =, =,…, - = - )Pλj fλj P'λj f'λj Pqj 1λj fqj 1λj
.
41)
Существует много многочленов, совпадающих с данной функцией на
спектре матрицы. Среди них выделим так называемый интерполяционный многочлен
Лагранжа – Сильвестра.
42)
Определение 12.3
Пусть ( )f t
определена на спектре матрицы A
. Многочлен ( )r t
степени меньшей, чем степень минимального многочлена матрицы A
, и
совпадающий на спектре матрицы A
с функцией ( )f t
, называется
интерполяционным многочленом Лагранжа – Сильвестра.
43)
Обозначение:
rft
.
44)
Замечание 2.
Можно показать, что для любой ,ft
определенной на спектре матрицы
A
, интерполяционный многочлен rft
существует и единственен.
45)
Рассмотрим применение жордановой формы матрицы и жорданова базиса к
вычислению функции от матрицы. 46)
Пример 1.
= =Tn0 H 01
…
⋮0
⋮⋮01
⋮
⋱
⋱ …0
…
, 0
47)
= mt tn
- минимальный (аннулирующий) многочлен =Hn Θ
;
48)
=λ 0
- собственное значение, n
- размер жордановой клетки.
49)
Пусть ( )f t
определена на спектре матрицы A
, т.е. существуют значения , ,…,f0 f'0
- ( )fn 1 0
. Интерполяционный многочлен Лагранжа – Сильвестра имеет вид:
50)
= + !+ !+…+ - ( ) -!-rft f0 f'01 t f''02 t2 fn 1 0 n 1 tn 1
.
51)
(Степень многочлена меньше степени минимального многочлена и совпадает на
спектре матрицы.) Из определения 12.2 следует, что
52)
=fH f0
+ !+ !+…+ - ( ) -!- = !E f'01 H f''02 H2 fn 1 0 n 1 Hn 1 f0f'01
…
- ( ) -!fn 1 0 n 1
0f0
⋱
⋮⋮
⋱⋱
!f'01
0
…
…
f0
.
53)
54)
Пример 2.
=Tnλ0 λ01
…
⋮0 λ0
⋮⋮1
⋮
⋱
⋱ …0
…
= +, λ0 λ0E H
55)
= - mt t λ0n
- минимальный (аннулирующий) многочлен =Hn Θ
, где
56)
= -H Tnλ0 λ0E
;
57)
Пусть ( )f t
определена на спектре матрицы A
, тогда
58)
= + !- + !- +…+ - ( ) -!- -rft fλ0 f'λ01 t λ0 f''λ02 t λ02 fn 1 λ0 n 1 t λ0n 1
;
59)
=fTnλ0 fλ0
+ !+ !+…+ - ( ) -!- = !E f'λ01 H f''λ02 H2 fn 1 λ0 n 1 Hn 1 fλ0f'λ01
…
-fn
( ) -!1 λ0 n 1 0fλ0
⋱
⋮⋮
⋱⋱
!f'λ01
0
…
…
fλ0
.
60)
Отсюда вытекает способ вычисления функций от матриц.
61)
Пусть ( )f t
определена на спектре матрицы A
, = ⋯T T1Θ ΘΘT2
…⋮
⋮⋮⋱⋮ …⋯Θ Tp
-
жорданова форма этой матрицы: = -A S∙T∙S 1
.
62)
Тогда = -fA S∙fT∙S 1
, где = ⋯fT fT1Θ ΘΘ
f
T2
…⋮
⋮⋮⋱⋮ …⋯Θ fTp
.
63)
64)
65)
66)
67)
68)
69)
70)
71)
72)
73)
1.15. Вещественный аналог жордановой формы.
74)
75)
Теорема 13.1
У всякого линейного оператора в комплексном пространстве
существует одномерное инвариантное подпространство.
76)
∎
У ∈ A L
, -V V
над C
, существует хотя бы один собственный вектор e
, ( )L e
-
одномерное подпространство, инвариантное относительно A
.
∎
77)
Теорема 13.2
У всякого л.о. ∈ A L
, V V
над R
(в вещественном пространстве)
существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство.
78)
∎
V
- вещественное пространство; =, ,…,g g1 g2 gn
- базис в V
.
79)
∈ A L
→ = ∈ × ( ∈ )V Ag A Rn n aij R
.
80)
= - fλ detA λ E
– многочлен с вещественными коэффициентами. Пусть λ0
- корень
fλ
.
1)
∈ λ0 R
, λ0
- собственное значение → e
- собственный вектор, отвечающий с.з. λ0
,
( )L e
- одномерное подпространство, инвариантное относительно A
.
2)
∈ = + , ≠, ∃ = - λ0 C λ0 α i β β 0 λ0 α i β
- тоже корень
характеристического уравнения. Рассмотрим A
как комплексную матрицу. Если
↓∈e Cn
- собственный вектор -столбец, отвечающий с.з. :↓= ↓λ0 Ae λ0e
, то
↓= ↓: ↓= ↓f e Af λ0f
3)
Векторы ↓e
и ↓f
- линейно независимы, как собственные векторы,
отвечающие различным собственным значениям. 4)
Пусть ↓= e
+ ⋮ + = ⋮ + ⋮ = ↓+ ↓x1 iy1 xn iyn x1 xn i y1 yn x iy
, 5)
↓= ↓+ ↓= + ↓+ ↓ ↓= ↓- ↓ ↓= ↓+ ↓,Ae Ax iy α i βx iy Ax αx βy Ay βx αy
↓= ↓+ ↓ ↓= ↓- ↓x e f 2y e f 2i
6)
↓x
и ↓y
- линейно независимы. 7)
В векторной форме будем иметь. Пусть = ↓, = ↓u gx v gy
. Системе
уравнений для ↓, ↓x y
соответствует система векторных уравнений:
8)
= - = +, Au αu βvAv βu αv
где , u v
- одновременно не обращаются в θ
(линейно независимы). Следовательно, (, )L u v
- инвариантное подпространство, и
(, )=dimL u v 2
. ∎
9)
10)
Вещественный аналог жордановой формы.
11)
∈ A L
V
в вещественном пространстве ( = )dimV n
, = - fλ detA λ E
– многочлен с
вещественными коэффициентами. Если ∃ = + , ∃ = - λ0 α i β λ0 α i β
, то A
∈ R
×n n
можно рассмотреть как комплексную матрицу существуют
жордановы клетки с λ0
и λ0
по главной диагонали. Рассмотрим ↓, ↓,…,e1 e2
↓∈ek Cn
, порождающие клетку Tk
:↓= ↓ ↓=λ0 Ae1 λ0e1 Ae2
↓+ ↓⋮ ↓= ↓+ - ↓λ0e2 e1 Aek λ0ek ek 1
.
12)
Обозначим ↓=fi e
↓i
для Tk
λ0
: ↓= ↓ ↓= ↓+ - ↓, =,Af1 λ0f1 Afj λ0fj fj 1 j 2 k
.
13)
Если ↓= ↓+ej xj
↓iyj 14)
↓+ ↓= ↓+ ↓ ↓+ ↓= ↓+ ↓+ - ↓+ - ↓, =,Ax1 iy1 λ0x1 iy1 Axj iyj λ0xj iyj xj 1 iyj 1 j 2 k
15)
↓= ↓- ↓ ↓= ↓+ ↓ ↓= ↓- ↓+ -Ax1 αx1 βy1 Ay1 βx1 αy1 Axj αxj βyj xj
↓ ↓= ↓+ ↓+ - ↓, =,1 Ayj βxj αyj yj 1 j 2 k
; 16)
векторы - столбцы ↓, ↓…, ↓,↓x1 yj xk yk
- линейно независимы.
17)
Таким образом, любой комплексный корень (не вещественный) порождает матрицу
порядка 2k
:
18)
α
……… -β10 0 β
α
……010
00
0
α
… -β10 000 β
α
…01
⋮⋱⋱⋱⋮⋮⋱⋱⋮0 00
α
β
…0
……… -0 β
α
(13.1)
19)
в базисе подпространства, соответствующем координатным столбцам ↓, ↓…,x1 yj
↓,↓xk yk
.
20)
Теорема 13.3
Для любого ∈ A L
V
над R
существует базис, в котором матрица
оператора имеет квазидиагональную форму с вещественными клетками Жордана и
вещественными клетками вида (13.1) на главной диагонали.
21)
22)
2. Билинейные и квадратичные формы.
23)
24)
V
- ЛП над P
.
25)
Определение 1.1
Линейный оператор
: → f V P
называется линейной формой
или
линейным функционалом
.
26)
: → f V R
- вещественная линейная форма,
27)
: → f V C
- комплексная линейная форма.
28)
Примеры:
1) : → , =f Rn R fx x1
.
29)
2) : → , = ( )f Pn R fp p 0
.
30)
, LV P
- линейное пространство линейных форм.
31)
Определение 1.2
Пространство *=, V LV P
- называется сопряженным
к
пространству V
. 32)
Пусть =, =, ,…,dimV n e e1 e2 en
- базис в V
. Линейная форма однозначно
определена числами: =, =,…,=α1 fe1 α2 fe2 αn fen
- которые называются
коэффициентами формы
в базисе V
. (Матрица линейного оператора ×: ,,1 n α1 α2
…, αn
)
33)
Тогда ∀ = = = = = ,,…, x i 1nxiei fx i 1nαixi α1 α2 αn
↓x
.
34)
Определение 1.3
Представление = =fx i 1nαixi
называется общим видом
линейной формы
в базисе , ,…,e1 e2 en
.
35)
Теорема 1.1
Изменение коэффициентов линейной формы при изменении базиса.
=, ,…,, =, ,…,, = →e e1 e2 en e e1 e2 en S Se e
, тогда ,,…, =,,…,α1 α2 αn α1 α2
⋮ = ⋮αnS α1 αn STα1 αn
.
36)
∎
=,,…, fx α1 α2 αn
↓=,,…, ↓, = →, = ↓= ↓ x α1 α2 αnx e eSe e x ex ex ↓= ↓ x Sx 37)
=,,…, fx α1 α2 αn
↓=,,…, ↓ ,,…, =,,…, x α1 α2 αnSx α1 α2 αn α1 α2 αnS
. ∎
38)
Замечание.
Коэффициенты линейной формы преобразуются как элементы базиса.
39)
Теорема 1.2
*=dimV dimV
.
40)
∎
*=dimV
, = =dimLV P dimVdimP n
. ∎
41)
Следствие.
Всякое конечномерное ЛП изоморфно своему сопряженному.
42)
43)
44)
2.1. Билинейные (полуторалинейные) формы в линейном
пространстве. Симметричные и кососимметричные билинейные
формы.
45)
46)
Пусть V
- ЛП над ( )R C
.
47)
Определение 2.1
Оператор :× → AV V R
называется билинейной формой
, если: ∀,x
, ∈, ∀ , ∈ :y z V α β R
48)
1) +, =,+,Aαx βy z αAx z βAy z
,
49)
2) , + =,+,Ax αy βz αAx y βAx z
.
50)
Определение 2.1
'
Оператор :× → AV V C
называется полуторалинейной формой
,
если ∀, , ∈, ∀ , ∈ :x y z V α β C
51)
1) +, =,+,Aαx βy z αAx z βAy z
,
52)
2) , + =,+,Ax αy βz αAx y βAx z
.
53)
Примеры:
1) ∈ *=, , ,= fi V LV R Ax y f1xf2y
.
54)
2) = , =,…, , ,=,=V Rn x x1 xn Ax y i j 1nαijxiyj
.
55)
3) , ∈,×[,], , ∈ [,], ,= , Ks t Ca b a b f g C a b Af g aabbKs tfsgtds dt
.
56)
Определение 2.2
= ∀, ∈: ,=,A1 A2 x y V A1x y A2x y
.
57)
= ∀, ∈: ,=,A1 A2 x y V A1x y A2x y
.
58)
Определение 2.3
Пусть =, ,…, e e1 e2 en
- базис в V
(над R
) 59)
,= =,= = ,=,Ax y Ai 1nxiei j 1nyjej i j 1nAei ejxiyj
- называется общим видом
билинейной формы
в базисе e
.
60)
Матрица = =,…,⋮⋱⋮,…, Ae aij Ae1 e1 Ae1 en Aen e1 Aen en
- называется
матрицей билинейной формы
в базисе e
.
61)
,=Ax y
↓= ,…, ⋮xAey x1 xnAey1 yn
.
62)
Определение 2.3
'
Пусть =, ,…, e e1 e2 en
- базис в V
(над C
) 63)
,= ,=,Ax y i j 1nAei ejxiyj
- называется общим видом полуторалинейной формы
в
базисе e
.
64)
Матрица =,…,⋮⋱⋮,…, Ae Ae1 e1 Ae1 en Aen e1 Aen en
- называется матрицей
полуторалинейной формы
в базисе e
.
65)
Теорема 2.1
Преобразование матрицы билинейной (полуторалинейной) формы при
замене базиса.
66)
Пусть V
- ЛП над ( )R C
. =, ,…,, =, ,…,, = →e e1 e2 en e e1 e2 en S Se e
. Тогда
=Ae STAe
S
=Ae STAe
S
.
67)
∎
68)
,=Ax y
↓= ↓, ↓= ↓, = ,= ↓= = ↓xAey xAey y Sy x xST Ax y xAey x xSTAeSy =Ae STAeS
.
69)
,=Ax y
↓= ↓= ↓ =xAey xAey xSTAeSy Ae STAeS
. ∎
70)
Следствие.
= = rang Ae rang Ae rang Ae rang Ae
.
71)
Определение 2.4
Рангом билинейной (полуторалинейной) формы называется ранг
ее матрицы в произвольном базисе.
72)
Обозначение: ,rangAx y
.
73)
Билинейная (полуторалинейная) форма называется вырожденной
, если
,<rangAx y
, dimV
и невырожденной
, если ,=rangAx y
dimV
.
74)
Теорема 2.2
Пусть V
ЛП над R
, =, ,…,e e1 e2 en
- базис в V
. Для любого набора
чисел ∈ , ,=,aij R i j 1 n
существует и притом единственная билинейная форма ,Ax y
в V
, для которой ,=, ,=,Aei ej aij i j 1 n
.
75)
∎
Пусть =, ,…,e e1 e2 en
- базис в , ∈ , ,=,V aij R i j 1 n
- заданные числа. Зададим
отображение: ∀, ∈:= ↓, = ↓ → ,= ,=x y V x ex y ey Ax y i j 1naijxiyj
- оно является
билинейной формой в силу линейности координат, причем =,aij Aei ej
.
76)
Покажем, что любая билинейная форма (,)B x y
, для которой =,aij Bei ej
совпадает с
,Ax y
.
77)
∀, ∈: ,= =,= = ,=,=,= =,x y V Bx y Bi 1nxiei j 1nyjej i j 1nBei ejxiyj i j 1naijxiyj Ax y
.
∎
78)
Теорема 2.3
Существует взаимооднозначное соответствие между множеством всех
билинейных форм в n
- мерном вещественном ЛП V
и множеством вещественных
матриц ×.Rn n
79)
∎
Пусть =, ,…,e e1 e2 en
- базис в V
. Любой билинейной форме поставим в
соответствие Ae
- матрицу билинейной формы в базисе =, ,…,e e1 e2 en
. Это
отображение сюръективно (Т2.2) и инъективно (различные билинейные формы
имеют различные матрицы). ∎
80)
81)
2.2. Матрица билинейной (полуторалинейной) формы и ее
преобразование при переходе к другому базису.
82)
83)
Определение 3.1
Билинейная форма называется симметричной, если ∀, ∈:x y V
,=,Ax y Ay x
и кососимметричной, если ,=- ,Ax y Ay x
.
84)
Теорема 3.1
Любую билинейную форму можно единственным образом представить
в виде суммы симметричной и кососимметричной билинейной формы.
85)
∎
,=,+,+,-,Ax y 12Ax y Ay x 12Ax y Ay x
.
86)
,=,+, ,=,A1x y 12Ax y Ay x A1x y A1y x
;
87)
,=,-, ,=-,A2x y 12Ax y Ay x A2x y A2y x
.
88)
Пусть существует другое представление: ,=,+,Ax y A1'x y A2'x y
89)
,+,=,+,A1'x y A2'x y A1x y A2x y
,- ,=,-,A1'x y A1x y A2x y A2'x y
симметричная форма = кососимметричная форма.
90)
Билинейная форма, которая одновременно является симметричной и
кососимметричной – это нулевая билинейная форма. единственность.
∎
91)
Теорема 3.2
Билинейная форма симметрична (кососимметрична) ее матрица в
произвольном базисе симметрична (кососимметрична).
92)
∎
«
» непосредственная проверка:
93)
=,=,=aij Aei ej Aej ei aji
симметрична;
94)
=,=-,=-aij Aei ej Aej ei aji
кососимметрична.
95)
«
» ∀ =, ,…,e e1 e2 en
- базис в , V
96)
Ae
- симметричная матрица: =Ae AeT
,=Ax y
↓= ↓ = ↓= ↓=,xAey xAey T xAeTy yAex Ay x
;
97)
Ae
- кососимметричная матрица: =-Ae AeT
,=Ax y
↓= ↓ = ↓=- ↓=-,xAey xAey T xAeTy yAex Ay x
. ∎
98)
99)
2.3. Квадратичные формы в линейном пространстве. Матрица
квадратичной формы. Ранг квадратичной формы. Полярная
билинейная форма.
100)
101)
Определение 4.1
-V
ЛП над , ,R Ax y
- симметричная билинейная форма в V
над R
. Квадратичной формой
называется отображение :A
× ,V V R
такое, что
∀
∈ → ,.x V Ax x
102)
Обозначение: ,=Ax x Ax
. 103)
Билинейная форма ,Ax y
называется полярной
к квадратичной форме ,Ax x
.
104)
Теорема 4.1
Полярная билинейная форма для любой квадратичной формы
определена однозначно.
105)
∎
+,+ =,+,+,+,, ,=, Ax y x y Ax x Ax y Ay x Ay y Ax y Ay x 106)
,= +,+ -,-,Ax y 12Ax y x y Ax x Ay y
. ∎
107)
Полярная билинейная форма однозначно восстанавливается по квадратичной
форме. Единственность полярной формы позволяет переносить ее характеристики
на квадратичную форму.
108)
Определение 4.2
Матрицей
квадратичной формы в базисе =, ,…,e e1 e2 en
называется матрица полярной к ней билинейной формы ,Ax y
в этом базисе.
109)
Из свойств билинейной формы вытекают свойства квадратичной формы.
110)
1) Матрица квадратичной формы симметрична: =Ae AeT
.
111)
2) Любая симметричная матрица является матрицей единственной
квадратичной формы в заданном базисе.
112)
3) =Ae STAe
S
.
113)
4) В базисе =, ,…, ,e e1 e2 en Ax x
может быть записана в виде:
,=,= =Ax x i j 1naijxixj
↓ =xAex Ae AeT
- называется общим видом квадратичной
формы
в базисе e
. 114)
Выражение ,…, =,=, =fx1 xn i j 1naijxixj aij aji
называется квадратичной
формой от переменных ,…, x1 xn
.
115)
5) Рангом
квадратичной формы называется ранг ее матрицы в произвольном
базисе: ,=,=rangAx x rangAx y rangAe
.
116)
Квадратичная форма называется вырожденной
, если ,<rangAx x dimV
, и
невырожденной
, если ,=rangAx x dimV
.
117)
Выбирая подходящим образом базис V
, можно менять вид матрицы ее
квадратичной формы, и, следовательно, ее общий вид.
118)
Определение 4.3
Базис =, ,…,e e1 e2 en
называется каноническим базисом
квадратичной формы ,Ax x
, если матрица квадратичной формы в этом базисе
диагональна: = ⋯ ⋮⋱⋮ ⋯Ae λ1 0 0 λn
.
119)
В каноническом
базисе квадратичная форма имеет вид ,= +…Ax x λ1x12
+λnxn2
, которая называется каноническим (диагональным) видом квадратичной
формы (суммой квадратов). ,…λ1 λn
называют каноническими
коэффициентами:
= ,λk Aek ek
. Число ненулевых коэффициентов λi
совпадает с рангом ,Ax x
. Если
,=rangAx x r
, следовательно, в каноническом базисе ,= =Ax x i 1rλixi2
.
120)
121)
122)
123)
124)
2.4. Канонический вид квадратичной формы. Приведение
квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.
125)
126)
Определение 4.3
Базис =, ,…,e e1 e2 en
называется каноническим базисом
квадратичной формы ,Ax x
, если матрица квадратичной формы в этом базисе
диагональна: = ⋯ ⋮⋱⋮ ⋯Ae λ1 0 0 λn
.
127)
В каноническом
базисе квадратичная форма имеет вид ,= +…Ax x λ1x12
+λnxn2
, которая называется каноническим (диагональным) видом квадратичной
формы (суммой квадратов). ,…λ1 λn
называют каноническими
коэффициентами:
= ,λk Aek ek
. Число ненулевых коэффициентов λi
совпадает с рангом ,Ax x
. Если
,=rangAx x r
, следовательно, в каноническом базисе ,= =Ax x i 1rλixi2
.
128)
Теорема 5.1
(Лагранжа) Всякая квадратичная форма ,Ax x
в вещественном
ЛП при помощи невырожденного линейного преобразования координат может быть
приведена к диагональному (каноническому) виду:
129)
,= + +…+Ax x λ1η12 λ2η22 λnηn2
,
130)
где , ,…,λ1 λ2 λn
- вещественные числа, , ,…, η1 η2 ηn
координаты вектора
x
в некотором новом базисе.
131)
∎
Метод математической индукции.
132)
=n 1
. Очевидно: ,= =Ax x a11x12 λ1η12
.
133)
Пусть при ≥n 2
утверждение верно для квадратичных форм от -n 1
переменных. Пусть ,Ax x
- квадратичная форма от n
переменных в базисе e
имеет
вид: ,=,=Ax x i j 1naijxixj
. Естественно предположить, что ,≠Ax x 0
, т.к. в
противном случае = =…= =λ1 λ2 λn 0
, Ax x
приведена к каноническому виду.
134)
1 шаг.
Покажем, что с помощью невырожденного преобразования
квадратичную форму можно привести к виду, когда коэффициент при первой
координате вектора x
отличен от нуля.
135)
1) Если ≠a11 0
, то искомое преобразование тождественное (
невырожденное)
136)
2) Если =a11 0
, но при некотором ≥ ≠i 2 aii 0
. Следовательно, можно
поменять нумерацию:
137)
=, =, =,≠, ≠x1 yi xi y1 xk yk k 1 k i
невырожденное преобразование.
138)
3) Рассмотрим случай, когда = =…=a11 a22 ann
.Т.к. ,≠Ax x 0
, ,
существует хотя бы один отличный от нуля элемент. Пусть ≠, ≠aij 0 i j
. Сделаем
преобразование: =, ≠, ≠ = - = + =xk yk k i k jxi yi yjxj yi yj detS 2
преобразование невырожденное.
139)
,=Ax x 2
- + + ≠, ≠ ≠, ≠ = - + ≠,aijyi yjyi yj k i k js i s jaksykys 2aijyi2 2aijyj2 k i
≠ ≠, ≠k js i s jaksykys
.
140)
Дальше можно поменять нумерацию переменных и считать, что
коэффициент ≠a11 0
.
141)
2 шаг.
Выделим группу слагаемых, содержащих x1
:
142)
,= + + +…+ +,=Ax x a11x12 2 a12x1x2 2a13x1x3 2a1nx1xn i j 2naijxixj
.
143)
Дальнейшие преобразования:
144)
,= + + +…Ax x a11x12 2x1 a12a11x2 a13a11x3
+ +,= = + + +…+ -a1na11xn i j 2naijxixj a11x1 a12a11x2 a13a11x3 a1na11xn2
+ +…+ +,=a11a12a11x2 a13a11x3 a1na11xn2 i j 2naijxixj
.
145)
Обозначим
146)
,=,= - + +…+Bx x i j 2naijxixj a11a12a11x2 a13a11x3 a1na11xn2
–
является квадратичной формой от -n 1
переменной.
147)
Сделаем преобразование:
148)
= + + +…+ =, =,ξ1 x1 a12a11x2 a13a11x3 a1na11xnξk xk k 2 n
149)
150)
= - - -…- =, =,x1 ξ1 a12a11ξ2 a13a11ξ3 a1na11ξnxk ξk k 2 n
.
(5.1)
151)
Следовательно,
152)
,=Ax x
+ , ,…,a11ξ12 Bξ2 ξ3 ξn
.
153)
По предположению индукции существует невырожденное преобразование:
154)
= +…+ ⋮ = +…+ξ2 α22η2 α2nηn ξn αn2η2 αnnηn
, приводящее
квадратичную форму B
к диагональному виду:
155)
= +…+B λ2η22 λnηn2
.
156)
Для исходной квадратичной формы , Ax x
за преобразованием (5.1)
выполним преобразование 157)
= = +…+ξ1 η1ξ2 α22η2 α2nηn
⋮
= +…+ξn αn2η2 αnnηn
.
(5.2)
158)
det1
0
…00α22
… ⋮⋮α2n
⋱⋮ … = … ⋮⋱⋮ …0αn2 αnn detα22 α2n αn2
≠αnn 0
.
159)
Следовательно, преобразование (5.2) невырожденное, следовательно,
,= + +…+Ax x λ1η12 λ2η22 λnηn2
после конечного числа невырожденных
преобразований, которое можно заменить одним преобразованием – их
произведением, первоначальную квадратичную форму можно привести к
каноническому виду. ∎
160)
Замечание
1) ↓= ↓, x Sη S
- матрица перехода от старого базиса e
к
новому e
, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Базис, в котором
квадратичная форма имеет канонический вид, называется каноническим.
161)
2) Канонический базис определен неоднозначно и в общем случае не
является ортонормированным.
162)
3) Другая формулировка теоремы Лагранжа: для каждой квадратичной
формы, определенной в вещественном пространстве V
, существует канонический
базис.
163)
4) Метод, описанный в теореме Лагранжа, называется методом Лагранжа
приведения к каноническому виду.
164)
165)
166)
167)
168)
169)
170)
171)
172)
173)
174)
175)
176)
177)
2.5. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
методом Якоби.
178)
Пусть в V
задана квадратичная форма ,Ax x
, = ⋯ ⋮⋱⋮ ⋯Ae a11 a1n a1n ann
- матрица квадратичной формы в базисе e
.
179)
Главные миноры матрицы Ae
:
180)
=, =, = ,…,d0 1 d1 a11 d2 a11a12a12a22
= ⋯ ⋮⋱⋮ ⋯dn a11 a1n a1n ann
.
181)
Теорема 6.1 (Якоби)
Пусть в базисе =, ,…,: ,=,=e e1 e2 en Ax x i j 1naijxixj
и все главные миноры ,,…,d1 d2 dn
матрицы Ae
отличны от нуля. Тогда
существует базис =, ,…,e e1 e2 en
, в котором квадратичная форма ,Ax x
приводится к каноническому виду:
182)
,= + +…+ -Ax x 1d1ξ12 d1d2ξ22 dn 1dnξn2
где , ,…, ξ1 ξ2 ξn
- координаты
вектора x
в базисе e
.
183)
■ Будем искать , ,…,e1 e2 en
в виде:
184)
=e1 α11e1
,
185)
= +e2 α12e1 α22e2
,
186)
= + +e3 α13e1 α23e2 α33e3
,
(6.1)
…
187)
= +…+en α1ne1 αnnen
.
188)
Или 189)
= e e
= … …S eα11α12 α1n0α22 α2n
⋮
⋱⋱
⋮
…0 0αnn
.
(6.2)
190)
Коэффициенты αij
ищем из условия:
191)
,=, <, ∀ =,, =Aej ek 0 j k k 1 n1 j k
.
(6.3)
192)
Покажем, что в базисе e
имеет ,Ax x
диагональный вид. Рассмотрим Ae
;
193)
= ,= + +…+,=,+,+…+ajk Aej ek Aα1je1 α2je2 αjjej ek α1jAe1 ek α2jAe2 ek
+,=, <, =αjjAej ek 0 j kαjj j k
.
194)
В силу симметрии матрицы квадратичной формы =, >ajk 0 j k
.
Следовательно, матрица Ae
имеет диагональный вид. При этом: =akk αkk
.
Докажем, что αjk
определяются однозначно и = -αkk dk 1dk
.
195)
Составим систему уравнений, подставив = + +…+ek α1ke1 α2ke2 αkkek
в
,Aej ek
(
6.3):
196)
,=,+ +…+ ==,+,+…Aej ek Aej α1ke1 α2ke2 αkkek α1kAej e1 α2kAej e2
+,= + +…+ =αkkAej ek α1kaj1 α2kaj2 αkkajk
197)
=, <, , =, =,0 j k 1 j k k 1 n
.
(6.4)
198)
Распишем (6.4) ∀, k
=, ,…j 1 2 k
:
199)
+ +…+ =a11α1k a12α2k a1kαkk 0
,
(6.5)
200)
+ +…+ =a21α1k a22α2k a2kαkk 0
,
201)
…
202)
a
+ +…+ =k1α1k ak2α2k akkαkk 1
,
203)
Систему (6.5) перепишем в матричной форме:
204)
a11a12
⋯
a1ka21a22
…
a2k
⋮
⋮
⋱
⋮ak1ak2
…
akkα1kα2k
⋮
= ⋮αkk 00
1
, (6.6)
Определитель системы (6.5) ((6.6)):
= ⋯ ⋮⋱⋮ ⋯ ≠dk a11 a1k ak1 akk 0
, следовательно, по правилу Крамера существует
единственное решение , ,…,α1k α2k αkk
неоднородной СЛАУ. Так, для = -αkk dk
=1dk
akk
.
205)
Покажем, что e
образует базис. Действительно, определитель матрицы
перехода имеет вид:
206)
… …α11α12 α1n0α22 α2n
⋮
⋱⋱
⋮
… = …0 0αnn α11∙α22∙
= … - = ≠∙αnn 1d1d1d2 dn 1dn 1dn 0
.
207)
Следовательно, преобразование невырожденное, следовательно, =,e e1
,…,e2 en
образуют базис. ■
208)
209)
2.6. Закон инерции квадратичных форм.
210)
Пусть в вещественном ЛП V
дана квадратичная форма ,Ax x
ранга r
. 211)
Из теоремы Лагранжа следует, что квадратичную форму можно привести к
виду:
212)
,= + +…+, ≠, ≠, … ≠Ax x λ1η12 λ2η22 λrηr2 λ1 0 λ2 0 λr 0
. 213)
Рассмотрим невырожденное преобразование:
214)
=, =, …,=ξ1 λ1η1 ξ2 λ2η2 ξr λ
, + = +,…,=rηr ξr 1 ηr 1 ξn ηn
.
215)
Следовательно, квадратичная форма примет вид 216)
,= + +…+Ax x ζ1ξ12 ζ2ξ22 ζnξn2
, (7.1)
217)
где ζk
принимают значения -, , 1 0 1
.
218)
Определение 7.1
Выражение (7.1) называется нормальным
видом
квадратичной формы.
219)
Теорема 7.1
(закон инерции вещественных квадратичных форм).
220)
Число положительных коэффициентов в представлении (7.1), называемых
положительным индексом инерции, число отрицательных коэффициентов,
называемых отрицательным индексом инерции, и число нулевых коэффициентов,
называемых дефектом квадратичной формы, являются инвариантами квадратичной
формы, т.е. не зависят от базиса, в котором данная квадратичная форма принимает
нормальный вид.
221)
■ Пусть существует два базиса, в которых имеет нормальный вид:
222)
=, ,…,:,= +…+ -( + +…+ + )e e1 e2 en Ax x ξ12 ξp2 ξp 12 ξp q2
,
223)
=, ,…,:,= +…+ -( + +…+ + )e e1 e2 en Ax x ξ12 ξp2 ξp 12 ξp q2
.
224)
Надо доказать, что =, =p p q q
.
225)
Пусть ≠p p
и >p p
. Рассмотрим , ,…,L1e1 e2 ep
- линейную оболочку ,e1
,…,e2 ep
, +, +,…,L2ep 1 ep 2 en
- линейную оболочку +, +,…,ep 1 ep 2 en
.
=,= -dimL1 p dimL2 n p
.
226)
≥ + = + - ∩ = + - - ∩ n dimL1 L2 dimL1 dimL2 dimL1 L2 p n p dimL1 L2 227)
∩ ≥ - > dimL1 L2 p p 0
.
228)
Следовательно, существует ненулевой
вектор ∈ ∩x0 L1 L2
, следовательно,
x0
можно разложить по векторам , ,…,e1 e2 ep
и +, +,…,ep 1 ep 2 en
:
229)
= + +…+x0 ξ1e1 ξ2 e2 ξpep
,
230)
= + + + + + +…+x0 ξp 1ep 1 ξp 2 ep 2 ξnen
,
231)
Т.к. ≠x0 θ
, ,= +…+ >; ,=- + +…+ + Ax0 x0 ξ12 ξp2 0 Ax0 x0 ξp 12 ξp q2
<0
, 232)
противоречие, предположение >p p
- неверно. Аналогично доказываются
случаи <, >, <p p q q q q
. ■
233)
234)
235)
2.7. Классификация квадратичных форм в вещественном
пространстве. Критерий Сильвестра.
236)
Определение 8.1
Вещественная квадратичная форма ,Ax x
, определенная в
вещественном ЛП V
, называется:
237)
1) положительно определенной
, если ∀ ≠ → ,>x θ Ax x 0
;
238)
2) отрицательно определенной
, если ∀ ≠ → ,<x θ Ax x 0
;
239)
3) знакопеременной
, если ∃ ≠: ,>, ∃ ≠: ,<x'θ Ax'x'0 x''θ Ax''x''0
;
240)
4) квазиположительно определенной, если ∀ ≠ → ,≥x θ Ax x 0
;
241)
5) квазиотрицательно определенной, если ∀ ≠ → ,≤x θ Ax x 0
.
242)
Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы
называются знакоопределенными (знакопостоянными); квазиположительно
(квазиотрицательно) определенные – называются квазиопределенными.
243)
p
- положительный индекс инерции; q
- отрицательный индекс инерции.
244)
Теорема 8.1
Вещественная квадратичная форма является:
245)
1) положительно определенной =, =p n q 0
;
246)
2) отрицательно определенной =, =p 0 q n
;
247)
3) знакопеременной ≠, ≠p 0 q 0
;
248)
4) квазиположительно определенной <, =p n q 0
;
249)
5) квазиотрицательно определенной =, <p 0 q n
.
250)
■ Докажем случай 1).
251)
«
» Пусть ,Ax x
- положительно определена и <p n
, следовательно,
нормальный вид квадратичной формы:
252)
,= +…+ -( + +…+ + )Ax x ξ12 ξp2 ξp 12 ξp q2
,
253)
Рассмотрим ∈x V
с координатами: = =…= =, + ≠,ξ1 ξ2 ξp 0 ξp 1 0
…,+ ≠ξp q 0
254)
,=, = <, ≠ Ax x 0 q 0 0 q 0 противоречие.
255)
«
» Пусть =p n
нормальный вид: ,= +…+ >, ∀ ≠,Ax x ξ12 ξn2 0 x θ
,Ax x
положительно определена.
256)
Аналогично 2) – 5). ■
257)
Теорема 8.2
(Критерий Сильвестра)
258)
Пусть ,=,=Ax x i j 1naijxixj
задана в вещественном ЛП V
, , ,…, d1 d2 dn
-
главные миноры матрицы Ae
. Тогда:
259)
1) ,Ax x
- положительно определена ∀ =, → >k 1 n dk 0
;
260)
2) ,Ax x
- отрицательно определена <, >,…d1 0 d2 0
, т.е. - >,1kdk 0
∀ =,k 1 n
.
261)
■ Докажем первый случай. 1)
262)
«
»
,Ax x
- положительно определена. Докажем, что ≠, ∀ =,dk 0 k 1 n
. От
противного. Пусть ∃,≤ ≤: =m1 m n dm 0
. Рассмотрим однородную СЛАУ:
263)
+…+ = ⋮ +…+ =a11x1 a1mxm 0 am1x1 ammxm 0
, =aij aji
264)
⋯ ⋮⋱⋮ ⋯ = =deta11 a1m am1 amm dm 0
,
265)
следовательно, существует нетривиальное решение , ,…, x10 x20 xm0
: 266)
= =i 1makixi0 0
для ∀ =,k 1 m
.
(8.1)
267)
Умножим (8.1) на xk0
и просуммируем:
268)
= =xk0i 1makixi0 0
,
269)
= = = ,= = =,k 1mxk0i 1makixi0 i k 1makixi0xk0 0 Ax0 x0
, где =,x0 x10
…,,,… ≠xm0 0 0 θ
, 270)
следовательно, противоречит тому, что ,Ax x
- положительно определенная
квадратичная форма, , ≠, ∀ =,dk 0 k 1 n
, , приведем
,Ax x
к каноническому
виду методом Якоби:
271)
,= + +…+ -Ax x 1d1ξ12 d1d2ξ22 dn 1dnξn2
.
(8.2)
272)
В (8.2) возьмем в качестве =,…,,,…, ∀ =, ,,>,xk0 0 ξk 0 0 k 1 n Axk0 xk0 0
,
273)
>, >,…,- >, , >, ∀ =, 1d10 d1d20 dn1dn0 dk0 k 1n
.
274)
«
»
275)
Т.к. >, dk 0
, - > dk 1dk 0
,
то
из разложения Якоби следует, что ,>Ax x 0
.
276)
2) Пусть ,Ax x
- отрицательно определена ,=(- ),Bx x 1 Ax x
- положительно
определена 277)
=- =- ⋯- ⋮⋱⋮- ⋯-Be Ae a11 a1n an1 ann
, 278)
dk
- главные миноры матрицы Be
, тогда =-dk 1kdk
. Из условия
положительной определенности квадратичной формы ,Bx x
следует, что =-dk
>, ∀ =,1kdk 0 k 1 n
.■
279)
280)
2.8. Квадратичные формы в комплексном пространстве
(эрмитовы квадратичные формы).
281)
282)
,Ax y
- полуторалинейная форма.
283)
:× → AV V C
; =, ,…,e e1 e2 en
- базис в V
.
284)
=Ae aij
– матрица полуторалинейной формы:
,=, ,= ↓,Aei ej aij Ax y xAey
=, = = →Ae STAeS S Se e
.
285)
Определение 9.1
Полуторалинейную форму называют эрмитовой
, если:
,=,, ∀,∈Ay x Ax y x y V
. 286)
Теорема 9.1
Полуторалинейная форма эрмитова ,∈ , ∀ ∈Ax x R x V
.
287)
■ «
»
,=,, ∀ ∈ ,∈ Ax x Ax x x V Ax x R
.
288)
«
» Можно представить (упражнение):
289)
,= +,+ - -,- + +,+ - -,-Ax y 14Ax y x y Ax y x y iAx iy x iy iAx iy x iy
,
290)
,= +,+ - -,- + +,+ - -,-Ay x 14Ay x y x Ay x y x iAy ix y ix iAy ix y ix
= 291)
= +,+ - -,- + -,- - +,+14Ax y x y Ax y x y iAx iy x iy iAx iy x iy
. ■
292)
Теорема 9.2
Полуторалинейная форма эрмитова Ae
в произвольном
базисе эрмитова, т.е. = ( = )Ae AeT aij aji
.
293)
■ « »
,=, ∀,: =,=,= Ay x Ax y i j aij Aei ej Aej ei aji
.
294)
« »
Ae
- эрмитова: =aij aji
=;Ae AeT
295)
∀
,∈: ,= ,= = ,= =,=x y V Ax y i j 1naijxiyj i j 1najixiyj i j 1naji
=,= = ,yjxi i j 1najiyjxi Ay x
. ■
296)
Определение 9.2
,Ax y
- эрмитова полуторалинейная форма в комплексном
ЛП V
. Эрмитовой квадратичной формой
(эрмитовой формой) называется
отображение ,: Ax x
× →, ∀ ∈.V V C x V
297)
,Ax y
называется полярной
полуторалинейной формой к эрмитовой форме
,Ax x
.
298)
Эрмитова квадратичная форма обладает всеми свойствами
обычных
квадратичных форм.
299)
1) Полуторалинейная форма, полярная к эрмитовой форме, определена
однозначно.
300)
+,+ =,+,+,+,=,+,+,+,Ax y x y Ax x Ay y Ax y Ay x Ax x Ay y Ax y Ax y
301)
= ,+,+,Ax x Ay y 2ReAx y
,
302)
+,+ =,+,-,+,Ax iy x iy Ax x Ay y iAx y iAy x
=
303)
= ,+,-,-,= ,+,-,Ax x Ay y iAx y Ax y Ax x Ay y i2iImAx y
=
,++,+,Ax x Ay y 2ImAx y
.
304)
Следовательно,
305)
,= +,+ -,-,ReAx y 12Ax y x y Ax x Ay y
,
306)
,= +,+ -,-,ImAx y 12Ax iy x iy Ax x Ay y
.
307)
2) Матрица эрмитовой формы в любом базисе эрмитова: = =Ae AeT aij aji
=Ae AeT
308)
a) ∈detAe R
,
309)
b) ∀ =, ∈ k 1 n dk R
,
310)
c
) = , ∈ , ∀λk Aek ek R
=,k 1 n
- в каноническом базисе.
311)
3) Общий вид эрмитовой квадратичной формы: ,= Ax x
↓xAex
.
312)
4) =, = →Ae STAeS S Se e
313)
5) Канонический вид эрмитовой квадратичной формы: 314)
,= =, ∈ , =Ax x k 1rλkxk2 λk R r
,rang Ax x
.
315)
6) Метод Лагранжа применим и для эрмитовой квадратичной формы.
Изменение алгоритма состоит в том, что на любом шаге выделяется полный
квадрат модуля:
316)
,= + = +, ,…,Ax x a11x1 k 2na1ka11xk2 gx2 x3 xn
.
317)
7) Формулы Якоби остаются в силе.
318)
8) ,Ax x
принимает вещественные значения. Следовательно, выполняются
закон инерции, критерий Сильвестра.
319)
320)
321)
322)
323)
324)
325)
326)
327)
328)
329)
330)
331)
332)
333)
334)
335)
336)
337)
338)
3. Евклидовы и унитарные пространства.
339)
340)
3.1. Определение и примеры евклидовых унитарных
пространств. Неравенство Коши-Буниковского. Линейные
нормированные пространства. Неравенство треугольника.
Неравенства Коши-Буниковского и треугольника в различных
пространствах.
341)
Определение 1.1
Пусть V
- вещественное или комплексное ЛП.
Отображение , × → V V P
(
R
или
C
) называется скалярным произведением
, если
∀ , , ∈, ∀ ∈:x y z V α P
342)
1) ,=,,x y y x
343)
2) α
,=,,x y αx y
344)
3) +,=,+,,x y z x z y z
345)
4) ,≥, ,= =.x x 0 x x 0x θ
346)
Число ,x y
называется скалярным произведением
; 1) – 4) – аксиомами
скалярного произведения.
347)
Вещественное ЛП со скалярным произведением называется евклидовым
пространством
: E
; комплексное ЛП со скалярным произведением называется
унитарным пространством
: U
.
348)
Примеры:
349)
1) =: , ≝.E V3 a b abcosα
350)
2) =: , ≝ = = ↓; =: , ≝ ↓E Rn x y i 1nxiyi xy U Cn x y xy
351)
3) = [,]: ,≝.E C a b f g abftgtdt
352)
Простейшие свойства скалярного произведения:
353)
1) ∀ , , ∈ : , + =,+,x y z E U x y z x y x z
;
354)
2) ∀ , ∈ , ∀ ∈: x y E U α P
,=,x αy αx y
;
355)
3) ∀ ∈ : x E U
, =, =x θ θ x 0
;
356)
4) ,=, ∀ ∈ =x y 0 y E U x θ
.
357)
■ 3) =,∀ ∈ , =, = ,=,=θ 0∙y y E U x θ x 0∙y 0∙y x 0∙x y 0
.
358)
4) «
» )3
359)
« »
,=, ∀ = ∈ ,= =x y 0 y x E Ux x 0 x θ
. ■ 360)
Теорема 1.1
(неравенство Коши – Буняковского)
Для ∀ , ∈ :x y E U
(,) ≤,(,)x y 2 x x y y
или (,)(,)(,)(,)≥x x x y y x y y 0
.
361)
■ Пусть ≠, ∀ ∈x θ α P
:
362)
≤0 α
-,- =,-,-,+,=,-,-,+,x y αx y αx αx αx y y αx y y α2x x αx y αy x y y
.
363)
Т.к. ≠ ,≠ x θ x x 0
, пусть = α
,,y xx x
.
364)
Тогда ≤0
,,,-,,,-,,,+,=,,-,,-y x2x x2x x y xx xx y y xx xy x y y 1x xy x2 x yx y
,+,(,)=,,,-, (,) ≤,(,)y x2 y y x x 1x xy yx x x y2 x y 2 x x y y
. ■
365)
Определение 1.2
Линейное комплексное пространство называется
линейным нормированным пространством, если для ∀
∈x V
ставится в соответствие
вещественное число x
, называемое нормой
указанного элемента, при этом норма
удовлетворяет следующим аксиомам: ∀ , ∈, ∀ ∈:x y V α C
366)
1) ≥, = =x 0 x 0x θ
;
367)
2) = αx αx
- однородность нормы;
368)
3) + ≤ + x y x y
– неравенство треугольника.
369)
Примеры:
370)
1) =: = E V3 a a
- длина a
.
371)
2) = [,]: = [.]E C a b f max a b f
372)
Теорема 1.2
Всякое унитарное пространство является нормированным, если
в нем определить норму: = ,x x x
.
373)
■1) ≥x 0
(аксиома 4),
374)
2) =,= ,= ,=αx αx αx ααx x αx x αx
, 375)
3) + = +,+ = ,+,+,+,= ,+ ,+,≤x y x y x y x x x y x y y y x x 2 Rex y y y
376)
,+ ,+,≤xx2xyyy
(неравенство Коши Буняковского) ≤ ,+x x 2
,,+,= ,+,= +x x12y y12 y y x x12 y y122 x y
. ■
377)
Замечание
1) ,≤x y x∙y
(неравенство Коши – Буняковского).
378)
2) Введем функцию ,= -ρx y x y
– расстояние между x
и y
:
379)
1) ,≥, ,= =ρx y 0 ρx y 0 x y
,
380)
2) ,= ,ρx y ρy x
,
381)
3) ,≤ ,+ ,ρx y ρx z ρz y
.
382)
Теорема 1.3
Неравенство: - ≤ - ≤ +x y x y x y
.
383)
■ - = - + - ≤ - + - = +x y x θ θ y x θ θ y x y
;
384)
= - + ≤ - + - ≤ - x x y y x y y x y x y
,
385)
≤ - + - - ≤ -y x y x x y x y
. ■
386)
Замечание
3) В евклидовом пространстве углом
между ненулевыми
векторами x
и y
называется угол ≤ ≤0 φ π
, для которого = ,cosφ x yxy
.
387)
Примеры
(неравенства Коши – Буняковского и треугольника)
388)
1) R
: ,= = = ≤ = =;n x y i 1nxiyi i 1nxiyi2 i 1nxi2i 1nyi2
389)
= + ≤ = + =i 1nxi yi212 i 1nxi212 i 1nyi212
.
390)
2) ,: ≤;Ca b abftgtdt2 abf2tdtabg2tdt
391)
+ ( ) ≤ ( ) + ( )abft g t 2dt12 abf2 t dt12 abg2 t dt12
.
392)
393)
394)
395)
396)
397)
398)
399)
400)
401)
402)
403)
404)
405)
406)
407)
408)
409)
410)
3.2. Общий вид скалярного произведения в унитарном
пространстве. Матрица Грама.
411)
Пусть =,…,e e1 en
– базис в ,=Un dimUn n
.
412)
∀, ∈: = =, = = x y Un x i 1nxiei y i 1nyiei
,
413)
,= =,= =,=,x y i 1nxiei j 1nyjej i j 1nxiyjei ej
.
414)
Обозначим: ,=ei ej
,gij
,=,=, =x y i j 1ngijxiyj gij gji
. 415)
Рассмотрим матрицу =Γ gij
.
416)
Определение 2.1
Матрица =,=Γ giji j 1n
называется матрицей Грама
системы векторов ,…,e1 en
:
417)
=Γ Γ
,…,=,⋯,⋮⋱⋮,⋯,e1 en e1 e1 e1 en en e1 en en
.
418)
Запись ,=,= = ↓x y i j 1ngijxiyj xΓy
называется общим видом
скалярного
произведения в унитарном пространстве.
419)
Замечание
1) Т.к. = gij gji Γ
– эрмитова матрица.
420)
2) En
- евклидово пространство: = gij gji Γ
- симметричная матрица и
,= ↓x y xΓy
- общий вид скалярного произведения в евклидовом пространстве.
421)
Теорема 2.1
Пусть =,…,e e1 en
и =,…,e e1 en
базисы в , = →Un S Se e
.
Тогда =Γe STΓeS
.
422)
■
=,= =,= = = =,= = = = =gkj ek ej l 1nslkel i 1nsijei l 1ni 1nslksijel ei l 1ni 1nslkglisij l
= =1ni 1nsklTglisij Γe STΓeS
. ■
423)
424)
3.3. Ортогональные векторы. Ортонормированный базис.
Существование ОНБ. Процесс ортогонолизации Шмидта.
425)
Определение 3.1
Элементы , ∈ x y U
называются ортогональными ⊥x y
,
если их скалярное произведение равно нулю: , ∈ : ⊥ ,=x y U x y x y 0
.
426)
Замечание
1.
Нулевой элемент θ
, и только нулевой, ортогонален любому
вектору пространства.
427)
Определение 3.2
Система векторов унитарного пространства называется
ортонормированной (ОНС), если ,= =, =, ≠ej ek δjk 1 j k0 j k
(символ Кронекера).
428)
Теорема 3.1
Ортогональная система ненулевых векторов ,…,a1 am
-
линейно независима.
429)
∎
Пусть ,…,a1 am
ортогональная система. Достаточно доказать, что
равенство +…+ =α1a1 αmam θ
достигается только при = =…= =α1 α2 αm 0
.
Умножим скалярно на : ai
,= =αiai ai 0 αi 0
, т.к. ≠ai θ
.
∎
430)
Следствие 1.
Ортонормированная система векторов линейно независима.
431)
Следствие 2.
В n
- мерном пространстве любая ОНС из n
векторов образует
базис.
432)
Теорема 3.2
В евклидовом (унитарном) пространстве координаты ,…,x1 xn
вектора x
в базисе =,…,e e1 en
вычисляются по правилу =,, =,xi x ei i 1 n
тогда и
только тогда, когда =,…,e e1 en
- ортонормированный базис.
433)
∎
«
» Пусть =,, =,xk x ek k 1 n
. Тогда = +…+ +…+ei 0∙e1 1∙ei 0∙en
- тоже
вычисляются по этому же правилу. Следовательно, =, =, ≠xk 1 i k0 i k
.
434)
«
» Пусть =,…,e e1 en
- ОНБ, следовательно, из линейности скалярного
произведения =,xk x ek
.
∎
435)
Теорема 3.3
В унитарном пространстве скалярное произведение векторов
= =x i 1nxiei
и = =y i 1nyiei
вычисляется по правилу ,= =x y i 1nxiyi
тогда и только
тогда, когда =,…,e e1 en
- ОНБ.
436)
∎
«
» ,= =, =, ≠ej ek δjk 1 j k0 j k
.
437)
«
» В силу линейности скалярного произведения. ∎
438)
Замечание 2.
В евклидовом пространстве ,= =x y i 1nxiyi
.
439)
440)
Теорема 4.1
(Шмидта об ортогонализации)
Пусть в унитарном
пространстве ( = )Un dimUn n
задан произвольный базис =,…,f f1 fn
. Тогда в Un
существует ОНБ =,…,e e1 en
, который можно построить следующим образом:
=, =,ei gigi i 1 n
, где = -,- - -…-,gi fi fi ei 1ei 1 fi e1e1
.
441)
∎
Построение ОНБ методом математической индукции.
442)
=, =, ≠n 1 e1 f1f1 f1 0
, т.к. система линейно независима.
443)
Пусть в унитарном пространстве Uk
, размерности k
, существует ОНБ ,e1
…,ek
и =, =,ei gigi i 1 k
, = -,- - -…-,gi fi fi ei 1ei 1 fi e1e1
.
444)
Докажем, что в унитарном пространстве размерности +k 1
существует ОНБ.
Пусть ,…,, +f1 fk fk 1
- произвольный базис +Uk 1
. ,…,Lf1 fk
– линейная оболочка
,…,f1 fk
- есть унитарное k
–мерное пространство. Следовательно, по
предположению индукции в нем существует ОНБ ,…,e1 ek
, удовлетворяющий
условиям теоремы. Рассмотрим вектор + = + + +…gk 1 fk 1 α1e1 αkek
- линейная
комбинация ,…,, +f1 fk fk 1
. Т.к. ,…,, +f1 fk fk 1
линейно независимы, , + ≠gk 1 θ
.
Числа ,…,α1 αk
подберем так, чтобы + ⊥, =,gk 1 ei i 1 k
. Умножим
+gk 1
на ,ei
=,i 1 k
:
445)
= +,= +,+ =- +, + = + - +,-0 gk 1 ei fk 1 ei αi αi fk 1 ei gk 1 fk 1 fk 1 ekek
…- +,fk 1 e1e1
446)
Положим + = + +ek 1 gk 1gk 1
. Следовательно, ,…,, +e1 ek ek 1
образуют
базис в +Uk 1
.∎
447)
Следствие.
Во всяком n
–мерном пространстве существует ОНБ.
448)
449)
3.4. Ортогональное дополнение. Теорема о представлении
унитарного пространства в виде прямой суммы линейных
подпространств.
450)
451)
Определение 5.1
Пусть L
– линейное подпространство унитарного
(евклидова) пространства: ⊂ L U E
. Вектор x
называется ортогональным к
подпространству L
, если он ортогонален ∀ ∈y L
:
452)
⊥ ∀ ∈: ⊥x L y L x y
.
453)
⊥,,…,∀=,: ⊥x La1 a2 am i 1 m x ai
.
454)
Определение 5.2
Подпространства L1
и L2
называются ортогональными
⊥: ∀ ∈, ∀ ∈ ⊥ ,=L1 L2 x L1 y L2x y x y 0
.
455)
Определение 5.3
Совокупность всех векторов ∈x U
, ортогональных
подпространству L
, называется ортогональным дополнением к L
до пространства U
и обозначается ⊥L
:
456)
⊥= ∈: , =, ∀ ∈ ∈L x U x y 0 y x U
.
457)
Теорема 5.1
Ортогональное дополнение ⊥L
является линейным
подпространством.
458)
∎
∀
,,∈ ⊥; , ∈ : +, =,+,= x1 x2 L α β P αx1 βx2 y αx1 y βx2 y 0 + ∈ ⊥αx1 βx2 L
. ∎
459)
Теорема 5.2
∩ ⊥=L L θ
.
460)
∎
Пусть ∃ ∈a
∩ ⊥ ⊥, ⊥ ⊥ , = =L L a L a L a a 0 a θ
. ∎
461)
Теорема 5.3
Унитарное пространство U
есть прямая сумма любого своего
подпространства L
и его ортогонального дополнения ⊥L
,т.е. = ⊕ ⊥, ∀ ⊂ U L L L U
.
462)
∎
Пусть ∀ ⊂ ,=.L U dimL k
Если =k 0
L
- тривиальное подпространство.
, ,…, e1 e2 ek
– ОНБ в L
. Дополним его до базиса U
(по теореме о неполном
базисе): , ,…, , +,…,e1 e2 ek fk 1 fn
. Ортонормируем систем (теорема Шмидта)
получим ОНБ в : , …, , +,…, U e1 ek ek 1 en
. Покажем, что +,…,=Lek 1 en
= ⊥L
.
463)
∀ ∈ +,…, = + + +…+;∀=,: , =g Lek 1 en g gk 1ek 1 gnen i 1 k g ei 0
, т.к. ,e1
…, , +,…, ek ek 1 en
– ОНБ в U
∈ ⊥g L
.
464)
Обратно: ∀ ∈ ⊥ ∈ = +…+ + + + +…h L h U h h1e1 hkek hk 1ek 1
+hnen
, где =, =,∀=, ∈ +,…,hi h ei hi 0 i 1 k h Lek 1 en
.
465)
Т.к. +,…,= ⊥= - = + ⊥= =dimLek 1 en dimL n k dimU dimL dimL n U L
⊕ ⊥L
. ∎
466)
467)
3.5. Линейная форма в линейном пространстве. Сопряженное
пространство и его размерность. Представление линейной формы в
евклидовом (унитарном) пространстве. 468)
469)
Теорема 6.1
U
- унитарное пространство. Для любой линейной формы : f U
C
в унитарном пространстве U
существует, и притом единственный, вектор ∈h
U
такой, что =,, ∀ ∈fx x h x U
.
470)
∎
Пусть = ,…,e e1 en
- ОНБ в U
, ,…,α1 αn
- коэффициенты линейной
формы в базисе e
, т.е. =, ∀=,fei αi i 1 n
.
471)
= = = = ( )= =fx fi 1nxiei i 1nxif ei i 1nαixi
.
472)
Рассмотрим = =h j 1nαjej
, тогда
473)
, = =,= =,=, = =x h i 1nxiei j 1nαjej i j 1nxiαjei ej i 1nαixi
.
474)
Следовательно, h
- удовлетворяет условию , = ( )x h f x
.
475)
Докажем единственность. 476)
Пусть ∃:=, =, , - =, ∀ ∈, - ∈ - =h1 fx x h1 x hx h h1 0 x U h h1 Uh h1 θ
. ∎
477)
*= , U LU C
- пространство, сопряженное к U
.
478)
В U
определим функционалы gkx
. Их достаточно определить на базисных
векторах: =,k 1 n
479)
=, =, ≠gkei 1 i k0 i k
.
480)
Покажем, что , =,gkx k 1 n
образуют базис в *U
.
481)
∎
1) =,k 1 n
их = *n dimU
.
482)
2) Докажем линейную независимость.
483)
+…+ =β1g1 βngn O
- нулевой функционал: ∀ ∈ x U +…β1g1
+ = βngnx θ
.
484)
Положим = x ei = =, =,βigiei θ βi 0 i 1 n
линейно независимы
образуют базис.
∎
485)
Определение 6.1
,…,g1 gn
называется биортогональным базисом к базису
,…,e1 en
.
486)
487)
488)
489)
490)
491)
492)
493)
494)
495)
496)
497)
498)
499)
500)
3.6. Представление полуторалинейной (билинейной) формы в
унитарном (евклидовом) пространстве с помощью линейного
оператора.
501)
502)
U
- унитарное пространство. , LU U
- пространство линейных операторов из
U
в U
.
503)
Теорема 7.1
Для любой ,Ax y
полуторалинейной (билинейной) формы
,,Ax yAx y
в унитарном U E
(евклидовом) пространстве существует единственный
линейный оператор ∈, , H LU U LE E
такой, что ,=, , ∀, ∈ Ax y x Hy x y UE
,
причем матрица Ae Ae
полуторалинейной формы ,Ax y
(билинейной формы ,Ax y
)
и матрица He
оператора в произвольном ОНБ e
связаны соотношением: =Ae He
= =.aij hijAe He
504)
∎
Доказательство проведем для полуторалинейной формы.
505)
1) Возьмем и зафиксируем ∀ ∈y U
. Тогда ,Ax y
- линейная форма аргумента
x
. Следовательно, ∃!∈: h U
,=(,)Ax y x h
. Таким образом построили отображение:
∀ ∈ ∃!∈y U h U
. Следовательно, задали оператор =Hy h
.
506)
Покажем, что построенный оператор H
линеен. ∀, ∈, ∀ , ∈.y1 y2 U α β C
=, =Hy1 h1 Hy2 h2
.
507)
,+ =x Hαy1 βy2
,+ =,+,=,+,=,Ax αy1 βy2 αAx y1 βAx y2 αx h1 βx h2 x
+ = , +, ∀ ∈ + = +αh1 βh2 x αHy1 βHy2 x U Hαy1 βy2 αHy1 βHy2
.
508)
2) Докажем единственность. Пусть ∃, : H1 H2
,=, =, Ax y x H1y x H2y
, - =, ∀ ∈ - = =, ∀ ∈ =x H1y H2y 0 x U H1y H2y θ H1y H2y y UH1 H2
. 509)
3) ,=Ax y
↓= , = = ↓= ↓= ↓, ∀,∈xAey x Hy в ОНБ xHy xHey xHey x y U
= Ae He
. ∎
510)
511)
512)
3.7. Сопряженный оператор и его свойства. Матрица
сопряженного оператора.
513)
Определение 1.1
Оператор *A
, действующий в унитарном пространстве U
,
называется сопряженным
к линейному оператору ∈, A LU U
, если A
, =,*,x y x A y
∀, ∈x y U
.
514)
Пример.
, =,, ∈V3 Ax x a a V3
- фиксирован.
515)
A
, =,,=,,=,-,=,-, ∀,∈, *=-x y x a y x a y x y a x Ay x y V3 A A
.
516)
Теорема 1.1
Для любого линейного оператора ∈, A LU U
существует и
притом единственный сопряженный оператор, при этом он так же линеен, т.е.
*∈, A LU U
.
517)
∎
Обозначим ,= Bx y A
, x y
- полуторалинейная форма в U
, следовательно,
существует единственный линейный оператор, который обозначим *: A A
,x
=,=,*y Bx y x A y
. ∎
518)
Лемма 1.2
Если ∈, , ∈, A LU U B LU U
и ,=,, ∀, ∈Ax y Bx y x y U
, то =A B
.
519)
,=,∎Ax y Bx y
-,=, ∀, ∈ - = - = A Bx y 0 x y U A Bx θ Ax Bx θ 520)
=, ∀ ∈ = Ax Bx x U A B
. ■
521)
Теорема 1.3
Свойства сопряженных операторов:
522)
1) *=J J
;
523)
2) + *= *+ *A B A B
;
524)
3) *= *λA λA
;
525)
4) *= * *AB B A
;
526)
5) - *= *-A 1 A 1
;
527)
6) **=A A
528)
выполнены для любых операторов, для которых определены указанные
операции.
529)
∎
∀, ∈x y U
.
530)
1) ,=,=,* = * = *x y Jx y x J yy J yJ J y
.
531)
2) +,=, + *A Bx y x A B y
532)
+,=,+,=,* +,* =,*+ *A Bx y Ax y Bx y x A y x B y x A B y
.
533)
3)
,=,*λAx y x λA y
534)
,= ,=,* =,*λAx y λAx y λx A y x λA y
.
535)
4) ,=,*ABx y x AB y
536)
,= ,=,* =,* * ABx y ABx y Bx A y x B A y
.
537)
5) ∈, , ∃A LU U
- - =; - *= *=; - * *= - *= *-A 1A∙A 1 J A∙A 1 J J A 1 A JA 1 A 1
.
538)
6) ,=,* = *,=,** = **,Ax y x A y A y x y A x A x y
. ∎
539)
Теорема 1.4
(Матрица сопряженного оператора в ОНБ)
540)
Пусть
=,…,e e1 en
- ОНБ в , = =, * = *U Ae aij Ae A e aij
. Тогда * =A e AeT
,
т.е. *=aij aji
.
541)
∎
= =, * = = *; ∀,: ,=,*Aej k 1nakjek A ei m 1nami em i j Aej ei ej A ei
.
542)
,= =,= =,= = =Aej ei k 1nakjek ei k 1nakjek ei k 1nakjδki aij
,
543)
,* =,= * = = *,= = * = *ej A ei ej m 1nami em m 1nami ej em m 1nami δjm aji
, = * *= * =aij aji aij ajiA e AeT
. ∎
544)
Определение 1.2
Матрица *A
, удовлетворяющая условию *=A AT
,
называется сопряженной
по отношению к A
.
545)
Замечание.
В
произвольном базисе =,…,, =: *= -f f1 fn Γ Γf A Γ 1ATΓ
.
546)
,= = = ↓=,* = = * = *↓Aej ei k 1nakjgki ajTgi ej A ei m 1nami gjm gj ai
547)
*= *= -Γ A ATΓ A Γ 1ATΓ
.
548)
Следствия.
1) *= rang A rang A
; *= detA detA
.
549)
2) - = = - …;detA λE Pλ λ λ1s1
550)
*- * = - * = - * = - * = *= *- …detA λ E detAT λ E detA λ ET detA λ E Pλ λ λ1s1
551)
Если ,…, λ1 λk
- собственные значения A
алгебраической кратности ,s1
…,sk
, то ,…, λ1 λk
- собственные значения оператора *A
алгебраической
кратности ,…,s1 sk
.
552)
Теорема 1.5
Пусть =,…,e e1 en
- ОНБ в ; =, * * = *U A Ae aij A A e aij
.
Тогда *A
- оператор, сопряженный к A
тогда и только тогда, когда * = *A e Ae
.
553)
∎
«
» *A
- оператор, сопряженный к A
, следовательно, в ОНБ *=aij aji
* = = *= *. A e AeT Ae Ae
554)
«
»
*Ae
- матрица, сопряженная к Ae
: *=aij aji
. 555)
Поставим матрицам в соответствие операторы: *; Ae B AeA
.
556)
∀
,: ,=,ij eiBej ei
= * = = *,= =,= = = == =k 1nakjek k 1nakjeiek k 1najkeiek k 1najkδik aji l 1naliδlj k
=,= =,=, ,=,1naliel ej k 1naliel ej AeiejeiBej Aeiej
.
557)
∀, ∈:= =, = =; x y U x i 1nxiei y j 1nyjej
,= =,=x By i 1nxiei Bj 1nyjej
=,=,=,=,= =,=i j 1nxiyjei Bej i j 1nxiyjAei ej i 1nxiAei j 1nyjej
=,= * *= *Ax yB A Ae A e
.
∎
558)
Теорема 1.6
(Ядра и образы операторов A
и *A
)
559)
Для ∀ ∈, :A LU U
= ⊥ *, *= ⊥kerA im A kerA im A
.
560)
∎
∀ ∈x
=; ∀ ∈ * ∃: * =;kerAAx θ y imA y1 A y1 y
561)
,=,* =,=,= ⊥ x y x A y1 Ax y1 θ y1 0 x y ⊆ ⊥ * .kerA im A
562)
С другой стороны: = - = *= = -dimkerA dimU dimimA rang A rang A dimU
*=( = ⊥)= *⊥dimimA U L度L dimimA
. 563)
Второе аналогично. ∎
564)
Теорема 1.7
Если подпространство L
инвариантно относительно A
, то его
ортогональное дополнение ⊥L
- относительно *A
: ∀ ∈ ∈ x L Ax L ∀ ∈ ⊥ * ∈ ⊥.y L A y L
565)
∀ ∈ , ∈, ∀ ∈ ⊥ =,=,* * ∈ ⊥. ∎ x L Ax L y L 0 Ax y x A yA y L ∎
566)
567)
3.8. Нормальный оператор и его свойства. Нормальный
оператор и его матрица в ОНБ.
568)
Определение 2.1
Оператор ∈, ∈, A LU UA LE E
называется нормальным
, если
*= *AA A A
. Матрица ∈ × ( ∈ × )A Cn n A Rn n
называется нормальной
, если
*= * *=AA A A A AT
.
569)
Теорема 2.1
(Свойства нормальных операторов)
Пусть ∈, ∈, A LU UA LE E
– нормальный оператор, тогда
570)
1) ∀, ∈: , = *,*x y U Ax Ay A x A y
;
571)
2) ∀ ∈: = *x U Ax A x
;
572)
3) Если e0
- собственный вектор линейного оператора A
, отвечающий
собственному значению λ0
, то e0
- собственный вектор *A
, отвечающий
собственному значению λ0
.
573)
4) Собственные векторы нормального оператора, отвечающие различным
собственным значениям, попарно ортогональны.
574)
5) =, dimU n e
- собственный вектор A
, то = ⊕ ⊥U Le L
, где Le
- линейная
оболочка e
, ⊥L
- ортогональное дополнение к Le
. Кроме того Le
и ⊥L
–
инвариантные подпространства относительно ,*A A
.
575)
∎
1) , =,* = * ,= *,= *,* = *,*Ax Ay x A Ay A Ay x AA y x A y A x A x A y
.
576)
2) 1).
577)
3) =; *= *Ae0 λ0e0 λ0A λ0A
.
578)
a
) Покажем, что, если A
- нормальный, то -A λ0J
- нормальный, т.к. 579)
- - *= - *- = *- *- + = *- *-A λ0JA λ0J A λ0JA λ0J AA λ0JA λ0AJ λ0λ0J AA λ0A
+ = * - *- + = *- - *- = *- -- = -λ0A λ0λ0J A A λ0A λ0A λ0λ0J A λ0JA λ0A λ0J A λ0JA λ0J A
* -λ0J A λ0J
.
580)
b
) e0
- собственный вектор линейного оператора A - = A λ0Je0 θ т.к.
-A λ0J
- нормальный оператор (свойство 2):
581)
= - = - * = *- 0 A λ0Je0 A λ0J e0 A λ0Je0
*- =A λ0Je0 θ
582)
* =A e0 λ0e0
e0
- собственный вектор *A
, отвечающий собственному
значению λ0
.
583)
Следствие 1.
Если A
- нормальный оператор, то = *kerA kerA
, т.к.
нетривиальные векторы являются собственными векторами, отвечающие
собственному значению =λ 0
.
584)
Следствие 2.
Если A
- нормальный оператор, то = ⊥, *=kerA im A kerA im
*⊥A
.
585)
4) Пусть =, =, ≠Ae1 λ1e1 Ae2 λ2e2 λ1 λ2
.
586)
, =,* ;, =,=,, ,*Ae1 e2 e1 A e2 Ae1 e2 λ1e1 e2 λ1e1 e2 e1 A e2
=,=,e1 λ2e2 λ2e1 e2
587)
-,=, ≠ ,=λ1 λ2e1 e2 0 λ1 λ2 e1 e2 0
.
588)
5) =Ae λ
e
, e
- собственный вектор A
, отвечающий собственному значению
λ
. Le
- линейное подпространство. По теореме о разложении унитарного
пространства в прямую сумму: 589)
= ⊕ ⊥(U Le L
)e
.
590)
Докажем инвариантность относительно A
и *A
.
591)
∀
∈ = = = ∈; * = * = ∈x Lex αe Ax αAe αλe Le A x αA e αλe Le
.
592)
= ⊥L1 L
;∈ ⊥,=e y L ey e 0
.
593)
,=, * =,=,= ∈ ⊥Ay e y A e y λe λy e 0 Ay L e
;
594)
*,=, =,=,= * ∈ ⊥A y e y Ae y λe λy e 0 A y L e
. ∎
595)
Теорема 2.2
Оператор ∈, A LU U
нормален в ОНБ =,…,: e e1 en Ae
-
нормальная матрица.
596)
∎
=, =,…,dimU n e e1 en
– ОНБ в U
. =, *Ae Ae A e
597)
Ae
- нормальная матрица *= *AeAe Ae Ae
(по теореме 1.5)
* = *AeA e A eAe
*= *AA A A
A
– нормальный оператор. ∎
598)
3.9. Унитарный (ортогональный) оператор. Критерии
унитарности.
599)
Определение 3.1
Линейный оператор ∈, U LU U
, действующий в унитарном
пространстве U
(евклидовом пространстве E
), называется унитарным
(
ортогональным
), если *= * =UU U U J
. Квадратная матрица ∈ × (∈ × )U Cn n Rn n
называется унитарной
(
ортогональной
), если *= * =UU U U E
.
600)
Из определения вытекает:
601)
1) Если U
– унитарный нормальный выполняются все свойства
нормального оператора.
602)
2) U
– унитарный в любом ОНБ =,…,: e e1 en
Ue
- унитарна.
603)
∎
В ОНБ =,…,: e e1 en
, * *UUe U U e
.
604)
Ue
- унитарна *= * =UeUe Ue Ue E
по теореме 1.5 в ОНБ =,e e1
…,: en
* = * =UeU e U eUe E
*= * =. UU U U J ∎
605)
Теорема 3.1
(Критерий унитарности) 606)
В конечномерном унитарном (евклидовом) пространстве ( )U E
следующие
утверждения равносильны:
607)
1) U
- унитаный (ортогональный);
608)
2) * =U U J
;
609)
3) *=UU J
;
610)
4) ∀, ∈:, =, x y UE Ux Uy x y
- сохраняет скалярное произведение;
611)
5) U
- сохраняет длину, т.е. =, ∀ ∈Ux x x UE
;
612)
6) U
переводит ОНБ в ОНБ.
613)
∎
1) 2), 1) 3) – очевидно.
614)
2) 1)
615)
* =U U J
U
- невырожденный ∃ - * - = - = * - U 1 U UU 1 U 1 U UU
= * *= - ).1 U U U 1 1
616)
) ) .3 1 аналогично
617)
) )1 4
618)
, =, * =,Ux Uy x U Uy x y
.
619)
4) 1)
620)
,=, =, *, ∀ x y Ux Uy x UUy
∈ = *, ∀ ∈ * =x U y U Uy y U U U J
.
621)
4) 5)
622)
=,=Ux Ux Ux
,=x x x
.
623)
5) 4) (п.9, раздел 2):
624)
,= + - - + + - - = + - - + + - -x y 14x y2 x y2 ix iy2 ix iy2 14Ux y2 Ux y2 iUx iy2 iUx
= + - - + + - - =,iy2 14Ux Uy2 Ux Uy2 iUx iUy2 iUx iUy2 Ux Uy
.
625)
4) 6)
626)
Пусть =,…,e e1 en
- ОНБ U
,
627)
U
,=,= ei Uej ei ej δij
,…,Ue1 Uen
– ОНБ
U
.
628)
6) 4)
629)
Пусть ОНБ U
=,…, =,…,e e1 en e Ue1 Uen
в ОНБ U
, ∀ = =,x i 1nxiei
∀ = =y j 1nyjej
:
630)
, = =,Ux Uy i 1nxiUei
= =,=,=,= =,=,= =,=j 1nyjUej i j 1nxiyjUei Uej i j 1nxiyjδij i j 1nxiyjei ej i 1nxiei j 1ny
=,jej x y
. ∎
631)
Следствие 1.
U
– унитарен -U 1
- унитарен.
632)
Следствие 2.
, U1 U2
- унитарные операторы U1∙ U2
- унитарный.
633)
)∎ 1
,= -, - = -,-x y UU 1x UU 1y U 1x U 1y
-U 1
- унитарный.
634)
,= -, - =,x y U 1Ux U 1Uy Ux Uy
U
- унитарный.
635)
2) U1U2
,= - =,= -x U1U2y U1 унитарный U2x U2y U2 унитарный
=,x y
U1∙ U2
- унитарный.
636)
637)
638)
3.10. унитарные (ортогональные) матрицы и их свойства.
Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
639)
640)
Теорема 3.2
(Свойства унитарных (ортогональных) матриц)
641)
Пусть U
- унитарная (ортогональная) матрица, т.е. *= * = ( *= )UU U U E U UT
,
тогда
642)
1) ∃ -: - = *=U 1 U 1 U UT
;
643)
2) =detU 1
;
644)
3) столбцы (строки) матрицы U
образуют ОНБ пространства CnRn
.
645)
∎
1) из определения обратной и унитарной матриц.
646)
2) *= * = UU U U E *= = =detU∙detU detU∙detU 1 detU2 1
.
647)
3) = ↓,…,↓= ⋮, ↓= ⋮, = …U u1 un u1 un uk u1k unk uj uj1 ujn
,
648)
*= * =UU U U E
= *↓= = *= = =, δjk ujuk i 1nujiuik i 1nujiuki uj uk
,
649)
= * ↓= = * = = = ↓,↓ δjk uj uk i 1nuji uik i 1nuijuik uk uj строки (столбы)
образуют ОНБ в арифметическом пространстве Cn
. ∎
650)
Лемма 3.3
Условие 3) является не только необходимым, но и достаточным
условием, т.е. U
- унитарная матрица строки (столбы) образуют ОНБ в
арифметическом пространстве Cn
.
651)
∎
«
»
, = = = uj uk δjk i 1nujiuki
. Положим = *uki uik
: =i 1nujiuki
= = * *=i 1nujiuik UU E
, 652)
↓,↓ = = = uk ui δjk i 1nuikuij
. Положим = *uij uji
: =i 1nuikuij
= = * * =i 1nuji uik U U E
. 653)
U
- унитарна. ∎
654)
Следствие.
Матрица перехода от одного ОНБ к другому ОНБ в унитарном
(евклидовом) пространстве унитарна (ортогональна).
655)
∎
= →, =,…,, =,…,S Se e e e1 en e e1 en
– ОНБ,
656)
=,= =,δjk ej ek i 1nsijei
= =,=,=,= = = = = *= =l 1nslkel i l 1nsijslkei el i l 1nsijslkδil i 1nsijsik i 1nsijski i 1nsk
* * =i sij S S E
, т.к. обратная матрица единственна, то *=SS E
. Следовательно, S
-
унитарная матрица. ∎
657)
658)
3.11. Основная спектральная теорема для нормальных
операторов и нормальных матриц.
659)
Теорема 4.1
1) Линейный оператор ∈, A LU U
, действующий в унитарном
пространстве =UdimU n
есть нормальный оператор для него существует базис
из собственных векторов.
660)
2) Матрица = ∈ ×A aij Cn n
- нормальная матрица существует унитарная
матрица = ↓,…,↓S e1 en
, столбцами которой являются собственные векторы
матрицы :↓= ↓, =,A Aek λkek k 1 n
, приводящая матрицу в диагональному виду:
= ⋯ ⋮⋱⋮ ⋯ = *Λ λ1 0 0 λn S AS
.
661)
∎
1) «
»
Пусть A
- нормальный оператор. 662)
= -fλ detA λJ
- характеристический многочлен оператора (совпадает с
характеристическим многочленом матрицы этого оператора в произвольном
базисе). Характеристический многочлен fλ
имеет хотя бы один корень λ1
,
следовательно, существует хотя бы один собственный вектор e1
. Пусть =e1 1
и
=Ae1 λ1e1
. Тогда по Т 2.1(п.5) = ⊕U Le1
, = ⊥,= -, L1 L1 L e1 dimL1 n 1 L1
-
инвариантно относительно A
.
663)
Рассмотрим ; ∃ , : =, =, A|L1 λ2 e2 Ae2 λ2e2 e2 1
= ⊕,L1 Le2 L2
= ⊥,= -, - . L2 L e2 dimL2 n 2 L2 инвариантно относительно A
664)
Продолжим процесс:
665)
= ⊕ ⊕…⊕U Le1 Le2 Len
, где ,…,e1 en
- ортонормированная система
векторов, они образуют ОНБ в U
.
666)
«
»
Оператор A
имеет ОНБ из собственных векторов. Тогда матрица
оператора Ae
в этом базисе имеет диагональный вид. Тогда *A e
тоже имеет
диагональный вид и * =A e
*=Ae AeT
. Диагональные матрицы перестановочны *A e
= *Ae AeA e
перестановочны операторы * = *A A AA
A
- нормальный
оператор.
667)
2) «
»
Пусть A
- нормальная матрица: *= * ( *= )AA A A A AT
;
668)
=,…,e e1 en
- произвольный ОНБ U
;
669)
A A
- нормальный оператор: =Ae A
.
670)
Из 1) ∃
ОНБ из собственных векторов =,…,e e1 en
оператора :A
=, =,Aek λkek k 1 n
и Ae
имеет в e
диагональный вид: = = ⋯ ⋮⋱⋮ ⋯Ae Λ λ1 0 0 λn
.
671)
= →S Se e
- матрица перехода от одного ОНБ к другому ОНБ S
-
унитарная матрица: *= -S S 1
= = *Ae Λ S AS
.
672)
«
» Пусть * =S AS Λ
, где S
- унитарная матрица. ↓= ↓, =,Aek λkek k 1 n
.
673)
Докажем, что A
- нормальная матрица. 674)
* *= * = *, *= **= ** *= * *SS ASS SΛS A SΛS A SΛS S SΛ SΛ S
,
675)
*= * * *= * *AA SΛS SΛ S SΛΛ S
,
676)
* = * * *= * *A A SΛ S SΛS SΛ ΛS
.
677)
Λ
- диагональная матрица: *= * ΛΛ Λ Λ *= * AA A A A
- нормальная
матрица. ∎
678)
Нормальная оператор и его матрица в евклидовом пространстве.
679)
A
- нормальный оператор в E
(над R
)
680)
= -fλ detA λJ
.
681)
Если все корни характеристического уравнения вещественны, то к fλ
применим Т 4.1. Следовательно, существует ОНБ из собственных векторов. Ae
–
имеет диагональный вид. 682)
Пусть = +λ0 α iβ
- комплексный корень характеристического многочлена fλ
.
Т.к. fλ
– многочлен с вещественными коэффициентами ∃ = -λ0 α iβ
.
683)
Рассмотрим матрицу A
оператора A
как комплексную матрицу. Тогда
= +, = -λ0 α iβ λ0 α iβ
684)
- собственные значения матрицы A
одинаковой кратности. 685)
Теорема 4.2
Линейный оператор A
, действующий в евклидовом
пространстве нормален существует ОНБ, в котором он имеет
квазидиагональную матрицу с вещественными клетками 1-го порядка и
вещественными клетками 2-го порядка вида -, ≠αβ βα β 0
на главной диагонали. 686)
∎
«
» Непосредственно.
687)
*= - - = + +AA αβ βαα ββα α2 β200α2 β2
,
688)
* = - - = + +A A α ββααβ βα α2 β200α2 β2
.
689)
«
»
A
- нормальный оператор. В некотором ОНБ
=,…,e e1 en
пространства U
матрица оператора A
=e A
- нормальная матрица.
690)
Рассмотрим A
как комплексную матрицу существует ОНБ из
собственных векторов матрицы A
. Пусть ↓,↓h f
из ОНБ такие, что ↓= ↓,Ah λ0h
A
↓= ↓f λ0f
.
691)
Если ↓=h
↓+ ↓x iy
, то ↓= ↓- ↓ ↓= ↓ ↓= ↓f x iy Ah λ0h Ah λ0h
. 692)
A
↓+ ↓= + ↓+ ↓ ↓- ↓= - ↓- ↓ ↓+ ↓= ↓-x iy α iβx iy Ax iy α iβx iy Ax iAy αx
↓+ ↓+ ↓ ↓- ↓= ↓- ↓- ↓+ ↓ ↓= ↓-βy iβx αy Ax iAy αx βy iβx αy Ax αx
↓ ↓= ↓+ ↓βy Ay βx αy
.
693)
↓,↓h f
- ортогональны, т.к. соответствуют различным , λ0 λ0
.
Следовательно,
694)
= ↓,0 h
↓= ↓+ ↓,↓- ↓= ↓,↓- ↓,↓+ ↓,↓f x iy x iy x x y y 2ix y ↓,↓= ↓= ↓x y 0x y
695)
векторы ↓= ↓ ↓, ↓= ↓ ↓u x x v y y
ортонормированны и удовлетворяют
уравнениям:
696)
A
↓= ↓- ↓ ↓= ↓+ ↓u αu βv Av βu αv
.
697)
Поступая так с каждой парой , λ λ
, получим ОНБ арифметического
пространства столбцов высоты :n
Rn
, в котором матрица оператора будет иметь
квазидиагональный вид с клетками вида -αβ βα
на главной диагонали. ∎
698)
699)
3.12.
3.13.
Самосопряженный оператор в унитарном
(евклидовом) пространстве. Эрмитовые (симметрические) матрицы. Связь
между нормальным, самосопряженным и унитарным операторами.
700)
Определение 5.1
Линейный оператор A
, действующий в унитарном
(евклидовом) пространстве называется самосопряженным
, если = *A A
.
Самосопряженный оператор в унитарном пространстве называют эрмитовым
, в
евклидовом – симметрическим
. Квадратная матрица A
называется
самосопряженной
, если = *A A
, т.е. =A AT
. Комплексную самосопряженную
матрицу называют эрмитовой
, вещественную – симметрической
. 701)
Теорема 5.1
(свойства самосопряженных операторов) 702)
1) Самосопряженный оператор – нормальный (
удовлетворяет свойствам
нормальных операторов Т2.1).
703)
2) Все собственные значения самосопряженного оператора вещественны.
704)
3) A
- самосопряженный оператор в любом ОНБ =Ae Ae
- эрмитова
матрица.
705)
4) ∈ detAe R
.
706)
∎
1) *= = *AA AA A A
A
- нормальный оператор.
707)
2) = ,=,=,=,* =, =,=, ∈Ae λe λe e λe e Ae e e A e e Ae e λe λe e λ R
.
708)
3) Ae
- эрмитова матрица, т.е. = *Ae Ae
в любом ОНБ
= * = *Ae A eA A
.
709)
4) = =detA2 detA∙detA
*= = = ∈ detA∙detA detA∙detAT detA∙detAdetA detA detA R
. ∎
710)
Теорема 5.2 711)
1) A
– самосопряженный A
- нормальный оператор и все собственные
значения этого оператора вещественны.
712)
2) - унитарный оператор – нормальный оператор и все собственные
значения по модулю равны единицы, т.е. =, ∀ .λk 1 k
713)
∎
1) «
» Т 5.1
714)
«
» A
- нормальный оператор; ∀
: =, ∈k Aek λkek λk R
. 715)
Из основной спектральной теоремы существует ОНБ из собственных
векторов: ,…,e1 en
.
716)
∀ = =, = =x i 1nxiei y j 1nyjej
,
717)
,= =,= =Ax y Ai 1nxiei j 1nyjej
,=,=,= = = = ∈ =,= =,=i j 1nxiyjAei ej i j 1nxiyjλiδij i 1nxiyiλi λi R i j 1nxiyjλjδij i j 1nxi
,= =,= = =,= =, = *yjλjei ej i 1nxiei j 1nλjyjej i 1nxiei j 1nyjAej x Ay A A
.
718)
2) «
» U
- унитарный U
– нормальный. =, = =Ue λe e 1
= =Ue λe λ
=e λ
.
719)
«
» – нормальный оператор и =, ∀ λk 1 k существует ОНБ из
собственных векторов: ,…,e1 en
.
720)
∀ = =:x i 1nxiei
= = = = = =,=Ux2 i 1nxiUei2 i 1nλixiei2 i 1nλixiei j 1nλjxjej
= = = = = = =i 1nλiλixixi i 1nλi2xi2 i 1nxi2 x2
U
– унитарный. ∎
721)
722)
3.14. 3.15. Спектральные теоремы для самосопряженных операторов и
эрмитовых (симметрических) матриц. Спектральные теоремы для унитарных
операторов и унитарных матриц.
723)
Теорема 6.1
Линейный оператор, действующий в унитарном пространстве
=dimU n
самосопряжен существует ОНБ из собственных векторов и все
собственные значения – вещественны.
724)
∎
«
» A
- самосопряженный по Т5.2 A
- нормальный и ∀
: ∈k λk R
по
Т4.1 (основная спектральная теорема) существует ОНБ из собственных
векторов.
725)
« » Существует ОНБ из собственных векторов по Т4.1 A
-
нормальный и ∀
: ∈k λk R
– самосопряженный. ∎
726)
Теорема 6.2
Матрица =A aij
- эрмитова все собственные
значения
матрицы A
вещественны и существует унитарная матрица = ↓,… ↓S e1 en
,
столбцы которой – собственные векторы матрицы A
, отвечающие собственным
значениям :↓= ↓, ∈, * = =λk Aek λkek λk R S AS Λ λ1
⋯
0
⋮⋱⋮
0
⋯
λn
.
727)
∎A
- эрмитова матрица для любого ОНБ =,…,:= f f1 fn A Af A
-
самосопряжен A
- нормален и ∀:k
λ
∈ k R
Af
- нормальная матрица и
∀:k
λ
∈k R
∃
S
– унитарная матрица
: S
*
=AS Λ
. ∎
728)
Замечание.
Теоремы 6.1, 6.2 верны и для евклидова пространства.
729)
Теорема 6.3
∈U
L
U
- унитарный существует ОНБ из собственных
векторов и ∀:k
λ
=k 1
.
730)
« »∎ ∈U
L
U
– унитарный U
- нормальный и ∀:k
λ
=k 1
существует
ОНБ из собственных векторов.
731)
« » Существует ОНБ из собственных векторов U
- нормальный и
∀:k
λ
=k 1
U
– унитарный. ∎
732)
Теорема 6.4
Матрица ∈ ×U Cn n
- унитарна существует унитарная
матрица = ↓,… ↓: * =,↓=S e1 en S US Λ Uek
λ
↓, kek
λ
=k 1
. 733)
∎
U
- унитарна в любом ОНБ =,…,: =f f1 fn U UfU
- унитарный
оператор U
- нормальный и ∀:k
λ
=k 1
существует унитарная матрица :S
* =S US Λ
.∎
734)
Каноническая форма матрицы унитарного оператора.
735)
U
- унитарный оператор существует ОНБ из собственных векторов: 736)
=Ue
λ
⋯ ⋮⋱⋮ ⋯1 0 0
λ
, n
λ
=, =,k 1 k 1 n
.
737)
Каноническая форма матрицы ортогонального оператора.
738)
Если P
- ортогональный оператор =±, detP 1
λ
=±1
.
739)
В ОНБ =Pe Pe
- ортогональная матрица, т.е. - =Pe 1 PeT
.
740)
Одномерный случай.
=±e1 Pe 1
.
741)
Двумерный случай.
По Т4.2 существует ОНБ, в котором оператор имеет
либо вещественную диагональную матрицу, либо вещественную матрицу, вида -αβ
, ≠βα β 0
.
742)
В первом случае на диагонали расположены собственные значения
оператора , P
λ
=±1
. Во втором случае + = =α2 β2 1
detPe
.
743)
Положим =, =- = - , ≠α cosφ β sinφ Pe cosφ sinφsinφcosφ φ πk
.
744)
Pe
- недиагональная матрица, т.к. -cosφ
λ
+ =2 sin2φ
λ
-2 2
λ
+,cosφsinφ 1
= -D4 cos2φsin2φ 1
не имеет вещественных корней. 745)
Таким образом, для любого ортогонального оператора в двумерном
евклидовом пространстве существует ОНБ, в котором оператор имеет одну из
следующих матриц:
746)
, -, - -, - 1001 100 1 100 1 cosφ sinφsinφcosφ
.
747)
Общий случай.
Для любого ортогонального оператора в евклидовом
пространстве существует ОНБ =,…,e e1 en
, в котором его матрица имеет
квазидиагональную форму:
748)
=Pe
λ
⋱1
λ
k
- cosφ1 sinφ1sinφ1cosφ1
⋱
.
749)
750)
3.16. Положительно определенные (неотрицательно
определенные) операторы и матрицы. Представление
невырожденного линейного оператора в виде произведения
самосопряженного и унитарного (ортогонального) оператора.
751)
752)
Определение 8.1
Самосопряженный оператор A
называется положительно
определенным, если для ∀ ∈ ,>x U Ax x 0
и неотрицательно определенным,
если ∀ ∈ ,≥x U Ax x 0
.
753)
Пусть в U
задан ОНБ: = =x i 1nxiei
, тогда ,Ax x
- эрмитова квадратичная
форма от переменных ,…,x1 xn
, причем, если A
- положительно определен, то
,Ax x
положительно определена (аналогично для неотрицательно определенного
оператора A
).
754)
Теорема 8.1
A
- самосопряженный оператор является положительно
определенным (неотрицательно определенным) все его собственные значения
положительны (неотрицательны): λ
>k 0
λ
≥k 0
.
755)
∎
A
- самосопряженный оператор существует ОНБ из собственных
векторов и ∀ k λ
∈: = ∀ = =k R Aek λkek x k 1nxkek
,= =Ax x k 1n
λ
, = = =kxkek i 1nxiei k 1n
λ
> ∀ ≠ ∈ >kxk2 0 x θ U λk 0
. ∎
756)
Пусть A
– положительно определенный оператор (неотрицательно
определенный), существует ОНБ из собственных векторов =,…,e e1 en
и λ
>:k 0
= Aek λkek
. Положим =μk λk
и определим линейный оператор : = B Bek μkek
B
- самосопряженный оператор, =A B2
, и B
положительно определенный
(неотрицательно определенный).
757)
Определение 8.2
Положительно определенный оператор B
, связанный с A
равенством =B2 A
, называется арифметическим корнем из оператора A
и
обозначается =B A
.
758)
Теорема 8.2
Для любого ∈ *A LU AA
есть неотрицательно
определенный оператор и, если A
- невырожденный, то и *AA
- невырожденный
оператор. 759)
∎
1)
*,= *,* = ,*AA x y A x A y x AA y
*AA
- самосопряженный оператор;
*,= *,* ≥, ∀AA x x A x A x 0 x
неотрицательно определенный оператор.
760)
2) Пусть A
- невырожденный A
- обратим матрица оператора A
в
любом базисе невырожденная в любом ОНБ ≠,e detAe 0
* = *,*= ≠A e Ae detAe detAe 0
* A e
- невырожденная оператор *A
невырожденный
оператор *AA
невырожденный. ∎
761)
Теорема 8.3
Всякий невырожденный линейный оператор H
может быть
представлен в виде =H A∙U
(или U1∙A1
), где A
A1
- положительно определенный
оператор, U
U1
- унитарный оператор. 762)
∎
Пусть H
- невырожденный оператор * HH
невырожденный
положительно определенный оператор. Положим = *A HH
A
невырожденный
положительно определенный оператор. Положим = -U A 1H
. Покажем, что U
–
унитарный: *= - - *= - * - *= - - = UU A 1HA 1H A 1HH A 1 A 1A2A 1 J
(
A
положительно
определенный самосопряженный). ∎
763)
Определение 8.3
Эрмитову матрицу =A aij
назовем положительно
определенной (неотрицательно определенной), если эрмитова квадратичная форма
с матрицей A
в некотором базисе положительно определена (неотрицательно
определена). 764)
Из спектральной теоремы для эрмитовых матриц следует, что существует S
-
унитарная матрица: = *, =Λ S AS Λ λ1
⋯
0
⋮⋱⋮
0
⋯
, ≥, ∀λn λk 0 k
.
765)
Определение 8.4
Матрицу = B Sλ1
⋯
0
⋮⋱⋮
0
⋯
λn
*S
называют корнем
квадратным из положительно (неотрицательно) определенной матрицы :=A B A
.
766)
Замечание.
B
– положительно определенная матрица (
эрмитова).
767)
768)
3.17.
Приведение эрмитовой квадратичной формы к
каноническому виду.
769)
Пусть в унитарном (евклидовом) пространстве ( )U E
задана эрмитова
квадратичная форма (,)A x x
.
770)
Теорема 7.1
Любая эрмитова квадратичная форма (,)A x x
с матрицей A
при
помощи некоторого унитарного преобразования переменных ↓= ↓x Sz
, где S
-
унитарная матрица, может быть приведена к каноническому виду: ,=Ax x
λ
+1z12
…+
λ
nzn2
, где ∀:k
λ
∈k R
и с точностью до порядка определены матрицей A
однозначно (они совпадают с собственными значениями матрицы A
). Столбцы
унитарной матрицы = ↓,… ↓S e1 en
- нормированные собственные векторы
матрицы A
, отвечающие собственным значениям λ
: ↓=k Aek
λ
↓, =,kek k 1 n
.
771)
∎
Рассмотрим полярную полуторалинейную форму ,Ax y
к эрмитовой форме
,Ax x
. ,Ax y
определена однозначно (п.9, раздел 2). Для любой ,Ax y
существует
единственный линейный оператор ∈: ,=, , ∀, ∈H LU Ax y x Hy x y U
и в любом ОНБ
: =e0 Ae0
He0
(п.7, раздел 3). ,Ax y
- эрмитова полуторалинейная форма ,=,Ax y Ay x
772)
, =,=,=,=, x Hy Ax y Ay x y Hx Hx y
, т.е. , =, x Hy Hx y
H
-
самосопряженный оператор: = *H H
.
773)
Рассмотрим H
. Согласно спектральной теореме для самосопряженных
операторов (Т6.1) существует ОНБ из собственных векторов оператора :H
=Hek
λ
, kek
λ
∈ , ∀ =,k R k 1 n
.
774)
∀ = =, = = = =x k 1nzkek Hx k 1nzkHek k 1nzk
λ
kek
.
775)
,=, = =,=Ax x x Hx l 1nzlel k 1nzk
λ
= =kek k 1n
λ
,= =kzk zk k 1n
λ
kzk2
.
776)
Матрица = →S Se0 e
унитарна, как матрица перехода от одного ОНБ к
другому ОНБ. Рассмотрим матрицу He0
: = *Λ S He0S
. = = * =Ae Λ S He0S
* = S ∙He0∙S STAe0S
. ∎
777)
Замечание.
В евклидовом пространстве: =Ae STAe0S
.
778)
779)
3.18. Одновременное приведение пары квадратичных форм к
каноническому виду.
780)
Дано:
,Ax x
и ,Bx x
эрмитовы квадратичные формы dim
=V n
.
781)
Задача:
найти невырожденное преобразование координат, одновременно
приводящее эрмитовы квадратичные формы к каноническому виду.
782)
Замечание.
В общей постановке эта задача не всегда имеет решение.
783)
Теорема 9.1
(достаточное условие разрешимости поставленной задачи)
Пусть ,Ax x
и ,Bx x
эрмитовы квадратичные формы в комплексном пространстве,
причем ,>, ∀ ≠Bx x 0 x θ
. Тогда существует базис =,…,e e1 en
, в котором ,Ax x
и
,Bx x
имеют канонический вид: ,= =Ax x k 1n
λ
, ,= =, kzk2 Bx x k 1nzk2
где
= =x k 1nzkek
.
784)
∎
Рассмотрим полуторалинейную форму ,Bx y
, полярную к эрмитовой
квадратичной форме ,Bx x
. В V
введем скалярное произведение с помощью ,Bx
:y
,=,x yB Bx y
. Рассмотрим V
с введенным скалярным произведением – это
унитарное пространство. Тогда существует унитарное преобразование (п.7),
приводящее эрмитову квадратичную форму к каноническому виду:
,= =Ax x k 1n
λ
kzk2
. Т.к. S
– унитарная матрица (
матрица перехода от одного
ОНБ к другому ОНБ) =,…,e e1 en
- ОНБ и ,=,= =Bx x x x k 1nzk2
, где
= =x k 1nzkek
.
∎
785)
Определение 9.1
Пучком квадратичных форм
, определенным парой ,Ax x
и
,Bx x
, называется совокупность форм ,-,Ax x λBx x
, где λ
- параметр. Если ,>,Bx x 0
∀ ≠x θ
, то пучок называется регулярным
.
786)
Определение 9.2
Пусть A
и B
- матрицы ,Ax x
и ,Bx x
в некотором базисе.
Уравнение - =detA λB 0
называется характеристическим уравнением
пучка ,-Ax x
,λBx x
.
787)
Если λ0
- какой-нибудь корень характеристического уравнения, то ∃ ↓≠ ↓:z θ
↓= ↓Az λ0Bz
.
788)
Определение 9.3
Число λ0
, удовлетворяющее характеристическому
уравнению пучка, называется собственным значением пучка
, ↓≠ ↓z θ
называется
главным вектором пучка
.
789)
Теорема 9.2
Пусть ,Ax x
и ,Bx x
- эрмитовы квадратичные формы, ,>,Bx x 0
∀ ≠x θ
. Тогда существует невырожденное преобразование: ↓= ↓x Qz
с матрицей
= ↓,…,↓Q e1 en
, где ↓,…,↓e1 en
- главные векторы – столбцы пучка ,-,Ax x λBx x
,
ормированные в смысле скалярного произведения ,=,x yB Bx
y
(
,Bx
y
- полярная
полуторалинейная форма к эрмитовой форме ,Bx
x
), т.е. ↓,↓ = ↓,↓=ei ej B Bei ej δij
,
приводящее эрмитовы квадратичные формы к каноническому виду:
,= =Ax x k 1n
λ
kzk2
, ,=,= =, Bx x x x k 1nzk2
λ
,…,1
λ
n
- собственные значения
пучка ,-,Ax x λBx x
, соответствующие столбцам матрицы = ↓,…,↓Q e1 en
.
790)
Замечание.
Теорема 9.2 сформулирована для эрмитовых квадратичных
форм. Доказательство проведем для квадратичных форм в евклидовом
пространстве.
791)
∎
1) Покажем, что все λ
,…,1
λ
n
пучка ,-,Ax x λBx x
вещественны и им
соответствует n
линейно независимых главных векторов ↓,…,↓e1 en
:
↓= ↓Aek λkBek
, которые могут быть выбраны так, что ↓,↓ = ↓,↓=ei ej B Bei ej δij
. 792)
Рассмотрим ↓= ↓ - ↓= ↓Aek λkBek B 1Aek λkek
. Обозначим = -C B 1A
Т.к. ,Bx x
– положительно определенная квадратичная форма матрица B
–
положительно определена. Рассмотрим матрицу =D B
:
= - = - =B D∙D B 1 D∙D 1
- -D 1D 1
.
793)
Перепишем 794)
= - - - = -,C D 1D 1AD 1D D 1SD
795)
= - -,S D 1AD 1
796)
*= - - *= - * * - *= *- * *-S D 1AD 1 D 1 A D 1 D 1A D 1
, 797)
но , D A
- симметрические матрицы *=, *= *= - -D D A AS D 1AD
=1 SS
- симметрическая существует ортогональная матрица, столбцами
которой являются собственные векторы-столбцы матрицы :↓= ↓S Ssk λksk
и
∀ ∈k λk R
. 798)
Докажем, что ↓= - ↓ek D 1sk
- собственный вектор матрицы C
. 799)
Подействуем ↓= - - ↓= - ↓= ↓Cek D 1SDD 1sk D 1Ssk λkek
, т.е. ↓ek
–
собственный вектор матрицы C
и ∀ ∈k λk R
. Векторы ,ei ej
могут быть
выбраны так, что: 800)
↓,↓ = ↓,↓=ei ej B Bei ej eiBe
↓= ↓= - ↓ - ↓= -j eiDDej D 1si TDDD 1sj siD
↓= - ↓=1TDsj siDD 1Tsj
↓=sisj δij
.
801)
2) Рассмотрим = ↓,…,↓.Q e1 en
802)
=δij eiBe
↓ =j QTBQ E
. 803)
Покажем, что =QTAQ λ1
⋯
0
⋮⋱⋮
0
⋯
λn
:
804)
↓= ↓ ↓= ↓= ↓ = =.Aek λkBek eiAek λkeiBek λkek Ae QTAQ Λ ∎
805)
806)
Автор
michaelpak
Документ
Категория
Техническая документация
Просмотров
3 650
Размер файла
494 Кб
Теги
вариант, окончательный
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа