close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Теория операторных полугрупп

код для вставкиСкачать
1 Теория операторных полугрупп
Определение.Пусть – банахово пространство,{() ∈ () | ∈ [0;+∞)} – семейство
операторов,такое,что:
( +) = ()()
(0) = ∀ ∈ : ↦→() ∈ – непрерывно
Тогда () – (C
0
)-полугруппа.
Если при этом ∀ ≥ 0:‖( +) −()‖ −−−→
Δ→0
0,то () – полугруппа,непрерывная
по норме.
Определение.Пусть () – (
0
)-полугруппа.
′
(0)
df
= lim
→0+0
1
︁
() −
︁
– генератор полугруппы.
Теорема.() – (
0
)-полугруппа в =⇒ ∃ > 0, ∈ R,∀ ∈ [0;+∞):‖()‖ ≤ .
Теорема.() – (
0
)-полугруппа в =⇒ = ′
(0) – плотно определён и замкнут.
Теорема.(),() – (
0
)-полугруппы в ,
′
(0) = ′
(0) =⇒ ∀ ≥ 0:() ≡ ().
Определение.
df
= ++
1
2
2
+· · · +
1
!
+...
Теорема.
1) ∈ () =⇒ () = – непрерывна по норме и ′
(0) = .
2) () – непрерывна по норме =⇒ = ′
(0) ∈ (),∀ ≥ 0:() ≡ .
Теорема (Хилле,Иосида). – банахов, – линейный в .=⇒
︃
– генератор (
0
)-полугруппы сжатия
︀
‖()‖ ≤ 1
︀
︃
⇐⇒
– замкнут.
= ∀ > 0:
∈ ()
( −)
−1
≤
1
Пример (полугруппа сдвигов). = [0;+∞] – пространство равномерно непрерывных и
ограниченных функций на R
+
.
(())()
df
= ( +)
Теорема. =
– генератор полугруппы сдвигов.
Пример (гауссовская полугруппа). = [−∞;+∞] – пространство равномерно непрерыв-
ных и ограниченных функций на R.
(())()
df
=
1
√
2
+∞
︁
−∞
−(−)
2
2
() Теорема. =
1
2
2
2
– генератор гауссовской полугруппы.
1
Теорема (Обобщенная:Хилле,Иосида,Миодера,Феллер,Филлипс).
– банахов, – оператор в .=⇒
︁
– генератор (
0
)-полугруппы
︁
⇐⇒
– замкнут.
= (Re > ) =⇒
∈ ()
∀∈ N:
( −)
−
≤
( −)
Теорема.() – (
0
)-полугруппа в банаховом пространстве , = ′
(0).=⇒
() = () – единственное решение задачи Коши
() = () ( > 0)
(0) = ( ∈ )
Для неоднородной задачи Коши
() = () +()
(0) = единственным решением яв-
ляется () = () +
︀
0
( −)() .
Определение. – гильбертово пространство, – линейный оператор в нем.
Если ∀ ∈ :Re(,) ≤ 0,то – диссипативный.
Лемма (1).
∀, ∈ :(∀ > 0:‖‖ ≤ ‖ −‖) ⇐⇒ (Re(,) ≤ 0)
Лемма (2).
– диссипативный ⇐⇒
︃
∀ > 0:
Ker( −) = {0}
‖( −)
−1
‖ ≤ 1
︃
Лемма (3). – замкнут,
= , ∈ ()
( ∈ ()) ⇐⇒
︃
∃
︀
−( −)( −)
−1
︀
−1
∈ ()
() = ( −)
−1
= ( −)
−1
︀
−( −)( −)
−1
︀
−1
︃
Теорема (Хилле,Иосида в форме Люмера-Филлипса). – гильбертово,: →.
︃
– генератор (
0
)-полугруппы сжатия
︀
‖()‖ ≤ 1
︀
︃
⇐⇒
– диссипативный.
= () ∩(0;+∞) ̸= ∅
Теорема. – банахов, – генератор (
0
)-полугруппы, ∈ () =⇒ + – генератор
(
0
)-полугруппы.
2
Автор
Skiminok
Документ
Категория
Техническая литература
Просмотров
500
Размер файла
163 Кб
Теги
semigroups
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа