close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

ПолныеМатематики17ноября

код для вставкиСкачать
Міністерство освіти і науки України
Заснований
у 1997 р.
Свідоцтво про державну реєстрацію
друкованого засобу масової інформації № 222,
серія 33,
20 червня 1997 р.
Вісник
Запорізького державного
університету
Адреса редакції :
Україна, 69063,
м. Запоріжжя, МСП-41,
Фізико-математичні науки
Біологічні науки
вул. Жуковського, 66
Телефони
для довідок:
(0612) 64-26-05,
(0612) 69-98-26
Факс: 641724
№1, 2001
Запорізький державний університет
Запоріжжя 2001
2
Вісник Запорізького державного університету: Збірник наукових статей. Фізикоматематичні науки. Біологічні науки / Головний редактор Толок В.О.-Запоріжжя:
Запорізький державний університет,2001.- 237с.
Затверджено як наукове фахове видання (Бюлетень ВАК України,1999, №6)
Затверджено Вченою Радою ЗДУ (протокол засідання № 2 від 30.10.2001 р.)
Редакційна рада
Головний редактор - Толок В.О., доктор технічних наук, професор
Відповідальний редактор – Сисоєв Ю.О., кандидат технічних наук, доцент
РЕДАКЦІЙНІ КОЛЕГІЇ:
ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНІ НАУКИ
Грищак В.З., д.т.н., проф. – заступник головного редактора,
Киричевський В.В., д.т.н., проф., Перепелиця В.О., д.ф-м.н., проф.,
Приварников А.К., д.ф-м.н., проф., Ройтман А.Б., д.т.н., проф.,
Тамуров М.Г., д.т.н., проф., Шишканова С.Ф., д.т.н., доц.,
Гудрамович В.С., д.т.н., проф., Павленко А.В., д.ф-м.н., проф.,
Пожуєв В.І., д.ф-м.н., проф., Цурпал І.А., д.т.н., проф.
Гіржон В.В., д.ф-м.н. – заступник головного редактора,
Маслов В.В., д.ф-м.н., проф., Ольшанецький В.Ю., д.ф-м.н., проф.,
Псарьов В.І., д.ф-м.н., проф., Скалозуб В.В., д.ф-м.н., проф.,
Терновий Ю.Ф., д.т.н.,проф., Яновський О.С., к.ф.-м. н., доц.
БІОЛОГІЧНІ НАУКИ
Бессонова В.П., д.б.н., проф. – заступник головного редактора,
Бовт В.Д., д.б.н., проф., Долгова Л.Г., д.б.н., проф.,
Єщенко В.А., д.мед.н., проф., Коцюбинська Н.П., д.б.н., проф.,
Куликов Г.В., д.б.н., проф., Матвєєв М.М., д.б.н., проф.,
Мицик Л.П., д.б.н., проф., Сергейчик С.О., д.б.н., с.н.с.,
Фролов О.К., д.мед.н., проф.
ISBN 966-599-083-7........................... © Запорізький державний університет,2001
Фізико-математичні науки
3
ЗМІСТ
23.02.2014 14:57:54
О СУЩЕСТВОВАНИИ ПРЕДЕЛЬНОГО РЕЖИМА РАБОТЫ КАСКАДА
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО СОЕДИНЕННЫХ СОРБЦИОННЫХ АППАРАТОВ С
ПЕРЕКЛЮЧЕНИЕМ ПО ВЫХОДНОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ ВЕЩЕСТВА............... 7
Бондаренко Л.Н., к. ф. - м. н., доцент, Жук П.Ф., д. ф. – м. н., доцент............................... 7
ЗБІЖНІСТЬ МЕТОДУ БАРИЦЕНТРИЧНОГО УСЕРЕДНЕННЯ ДЛЯ
РІВНЯННЯ ЛАПЛАСА В КРУЗІ .............................................................................. 10
Валько Н.В., викладач ........................................................................................................... 10
A HYBRID PERTURBATION-GALERKIN TECHNIQUE WITH APPLICATION TO
MIXED BOUNDARY VALUE PROBLEM ..................................................................... 14
Gerasimov T.S., postgraduate, Gristchak V.Z., D. Eng., professor......................................... 14
ВИЗУАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МЕХАНИКИ .................................................................................................................. 18
Гоменюк С.И., к.ф.-м.н, доцент, Морозов Д.Н., аспирант, Толок В.А., д.т.н, профессор
.................................................................................................................................................. 18
HYBRID ASYMPTOTIC METHOD FOR THE EFFECT OF THE LOCAL THICKNESS
DEFECTS ON THE BUCKLING OF CYLINDRICAL SHELLS UNDER COMBINED
LOADING....................................................................................................................... 22
V.Z. Gristchak, Dr. Sci., professor, O.A. Golovan, ass.professor ........................................... 22
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ WKB-ГАЛЬОРКІНА ПРИ АНАЛІЗІ СТОХАСТИЧНОЇ
ПОВЕДІНКИ НЕЛІНІЙНИХ МЕХАНІЧНИХ СИСТЕМ ЗІ ЗМІННИМ
КОЕФІЦІЄНТОМ ДЕМПФІРУВАННЯ ...................................................................... 27
Грищак В.З., д.т.н., професор, Лисенко В.В., аспірант ...................................................... 27
КООРДИНАЦИЯ ДЕЛЕГИРОВАНИЯ РАБОТ В КОАЛИЦИЯХ АГЕНТОВ,
ВЫПОЛНЯЮЩИХ ЗАДАНИЯ.................................................................................... 30
Ермолаев В. А., к.ф.-м.н., доцент, Плаксин С. Л., инженер............................................... 30
МЕТОД ЗБУРЕННЯ В ЗАДАЧАХ ПРО ПЕРЕДАЧУ НАВАНТАЖЕННЯ
БАГАТОШАРОВIЙ ПЛАСТИНI КIНЦЕВИХ РОЗМIРIВ.......................................... 36
Кагадiй Т.С., к.ф.-м.н., доцент .............................................................................................. 36
ВЫБОР ОПТИМАЛЬНЫХ МАРШРУТОВ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОМ
РАЗМЕЩЕНИИ ОБЪЕКТОВ....................................................................................... 40
Козина Г.Л., к.ф.-м.н., доцент, Семений Т.В., студент ...................................................... 40
АЛГОРИТМ ПЛАНАРНОСТИ ГРАФА....................................................................... 44
Курапов С.В., к.ф.-м.н., доцент, Кондратьева Н.А., к.ф.-м.н., доцент.............................. 44
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В СКРУЧЕННЫХ
ЦИЛИНДРАХ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ......................................................... 54
Максименко-Шейко К.В., инженер; Рвачев В.Л., академик; Шейко Т.И., д.т.н.,
профессор................................................................................................................................ 54
ПРОСТОРОВІ СХЕМИ ВИПАДКОВИХ БЛУКАНЬ У МУЛЬТИПЛЕКСАХ ......... 61
Манойленко О.С., аспірант, Колесникова Н.В., аспірант, Хомченко А.Н., д.ф.-м.н.,
професор ................................................................................................................................. 61
АВТОМАТИЗАЦИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГО
ПЛАСТИЧЕСКИХ ШЕСТИУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН................................................ 64
Назиров Ш.А., к.ф.-м.н., доцент, Каримова В.А., аспирант .............................................. 64
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
4
МОДЕЛЮВАННЯ ТА МЕТОД РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧІ РОЗМІЩЕННЯ
МНОГОГРАННИКІВ ....................................................................................................68
*Панкратов О.В., к.т.н., с.н.с., Новожилова М.В., д.ф.-м.н., професор ............................68
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ РОЗПОВСЮДЖЕННЯ ХВИЛІ В ПОЧАТКОВІ
МОМЕНТИ ЧАСУ У ДВОМІРНИХ СЕРЕДОВИЩАХ ПРИ НАЯВНОСТІ
ТРІЩИНИ......................................................................................................................71
Пожуєв В.І., д.ф.-м.н., професор, Сорока Д.М., аспірант...................................................71
МОДЕЛЮВАННЯ КОЛИВАНЬ У НЕОДНОРІДНИХ ДВОВИМІРНИХ
БАГАТОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЯХ ЗА ДОПОМОГОЮ ОБ'ЄКТНОЇ МОДЕЛІ
МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ ......................................................................77
Пожуєв В.І., д.ф.-м.н., професор, Тарасов С.А., аспірант ..................................................77
ДЕЙСТВИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ НОРМАЛЬНОЙ НАГРУЗКИ НА УПРУГОЕ
ПОЛУПРОСТРАНСТВО ..............................................................................................81
Приварников А.К., д. ф.-м. н., профессор ............................................................................81
ОПТИМІЗАЦІЯ МАСИ ЗАМКНЕНОЇ ОБОЛОНКИ ОБЕРТАННЯ ПРИ ЗАДАНІЙ
ВЛАСНІЙ ЧАСТОТІ КОЛИВАНЬ ..............................................................................85
Сисоєв Ю.О., к.т.н., доцент, Левицька Т. І., к.т.н., старший викладач .............................85
НЕКЛАСИЧНИЙ КАНОНІЧНИЙ РЕПЕР ЛІНІЙЧАТИХ ПОВЕРХОНЬ................89
Стєганцева П.Г., к.ф-м.н., доц., Терещенко С.О., студент .................................................89
ДИНАМИКА УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И
РАЗРУШЕНИЯ РАБОЧЕЙ ЛОПАТКИ КОМПРЕССОРА ГАЗОТУРБИННОГО
ДВИГАТЕЛЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРОДОЛЬНОЙ МАЛОЦИКЛОВОЙ НАГРУЗКИ
.........................................................................................................................................92
*Темис Ю.М., д.т.н., профессор, Ройтман А.Б., д.т.н., профессор, Александрова Н.Б.,
ассист. ......................................................................................................................................92
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОРГАНИЗАЦИИ ДИНАМИЧЕСКОГО
ФОРМИРОВАНИЯ МАССИВА ДАННЫХ В ПРОЦЕССЕ РАБОТЫ АЛГОРИТМА
ИТЕРАЦИОННОГО УТОЧНЕНИЯ ТРЁХМЕРНОЙ ОБЛАСТИ............................101
Толок Н.Б., к.т.н., доцент, Толок А.В., к.т.н., доцент .......................................................101
R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ БЛЕНДИНГА И ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ДИЗАЙНА .104
Уваров Р.А., аспирант, Шейко Т.И., д.т.н., профессор .....................................................104
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ УРБАНИЗАЦИИ В
ГЕОИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ.................................................................113
Щепилов В.Н., зав. лабораторией геоинформационных систем .....................................113
АВТОМАТИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ГРАФАХ ............................................121
Борю С.Ю., к.т.н., доцент, Каштанова И.А., студент, Курапов С.В., к. ф.-м. н, доцент121
Фізико-математичні науки
5
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
6
Фізико-математичні науки
7
ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНІ НАУКИ
УДК 519.6:517.958
О СУЩЕСТВОВАНИИ ПРЕДЕЛЬНОГО РЕЖИМА РАБОТЫ
КАСКАДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО СОЕДИНЕННЫХ
СОРБЦИОННЫХ АППАРАТОВ С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЕМ
ПО ВЫХОДНОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ ВЕЩЕСТВА
Бондаренко Л.Н., к. ф. - м. н., доцент, Жук П.Ф., д. ф. – м. н., доцент
Херсонский факультет Запорожского юридического института
ВВЕДЕНИЕ
Каскады последовательно соединенных сорбционных аппаратов находят широкое практическое
применение, например, при очистке сточных вод. Между тем их математические модели изучены
значительно хуже, чем математические модели одиночных аппаратов. Математическому моделированию
каскадов сорбционных аппаратов посвящено относительно небольшое число работ [1 - 7].
Каскад представляет собой последовательность аппаратов одинаковой длины. Его работа циклична и
после окончания любого цикла аппарат на входе выводится на регенерацию, а в конец каскада
подключается аппарат со свежим сорбентом. Переключение аппаратов осуществляется обычно либо при
достижении выходной концентрации вещества предельно допустимого значения, либо периодически.
В статьях [6,7] доказано, что при периодическом переключении каскад в рамках используемой
математической модели выходит на предельный режим работы. Этот режим является важнейшей
характеристикой каскада и используется для оптимизации его параметров. Значительный практический
интерес представляет доказательство существования предельного режима работы каскада с
переключением по выходной концентрации вещества, поскольку такое переключение наиболее
распространено на практике. Отметим, что анализ работы каскада с переключением по выходной
концентрации вещества существенно сложнее и требует иных подходов, чем аналогичный анализ работы
каскада с периодическим переключением.
В данной статье исследуется линейная математическая модель каскада сорбционных аппаратов с
переключением по выходной концентрации вещества. Основным результатом является доказательство
существования предельного режима работы этого каскада в рамках выбранной математической модели
при некоторых ограничениях на длину каскада.
1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КАСКАДА
Работа каскада, состоящего из
k -ом цикле n
n
последовательно соединенных аппаратов длины
задачами Гурса в прямоугольнике
k [0, l ] [0, Tk ]
l , описывается на
aik
cik aik ,
t
сik
aik cik ,
x
(1.1)
aik x,0 ik ( x),
cik 0, t ik (t ),
k -ого цикла ( k 1, 2,), i - номер аппарата, отсчитываемый от
входа в каскад ( i 1, 2, , n ), t - локальное время k -ого цикла, x - локальное расстояние i -ого
где
Tk
- продолжительность цикла
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
8
аппарата,
a ik ( x, t ) , cik ( x, t ) - концентрации вещества соответственно в сорбенте и потоке в точке
x i -ого аппарата в момент времени t k -ого цикла. Начальные и граничные условия определяются
состояниями ( i 1) -ого аппарата на k -ом цикле и (i 1) -ого аппарата на ( k 1) -ом цикле:
k 1,
k 1, i n,
0,
ik ( x) a i 1, k 1 ( x, Tk 1 ),
0,
1,
ci 1,k (l , t ),
ik (t ) Условие
i1 (x) 0
означает,
(1.2)
i n,
i 1,
(1.3)
i 2,3,..., n.
что
в
начале
каскад
свободен
от
вещества.
Условия
ik ( x) ai 1,k 1 ( x, Tk 1 ) и nk ( x) 0 отражают способ переключения аппаратов: (i 1) -й аппарат
на ( k 1) -ом цикле становится i -м на k -ом цикле; в конец каскада подключается аппарат, свободный
от вещества. Условие (1.3) выражает тот факт, что на вход каскада подается поток с постоянной (равной
1) концентрацией вещества и что вещество непрерывно распределено в потоке (концентрация вещества
на выходе ( i 1) -ого аппарата совпадает с концентрацией вещества на входе i -ого аппарата).
Длительность
k -ого цикла Tk
определяется из условия достижения выходной концентрации вещества в
потоке предельно допустимого значения :
cnk (l , Tk ) .
(1.4)
Отметим, что интерес представляет лишь случай
дальнейшем.
e nl 1, что и будет предполагаться в
Существование предельного режима работы каскада в рамках используемой математической модели
означает
существование
в
пространстве
непрерывных
функций
C [0, l ] пределов
i ( x ) lim ik ( x) , i 1,..., n , задающих этот режим.
k
2. ПРЕДЕЛЬНЫЙ РЕЖИМ РАБОТЫ КАСКАДА
Выразим решение математической модели (1.1) - (1.4) в операторном виде. Для этого используем
вспомогательных задач Гурса
n
ai
ci ai ,
t
сi
ai ci ,
x
(2.1)
ai x,0 i ( x ),
ci 0, t i (t ),
где
i 1,
1,
ci 1 (l , t ), i 2,3,..., n.
i (t ) Пусть
составленные из решения системы (2.1),
условия в (2.1),
[0, l ] .
C [0, l ]
n
Обозначим через
Фізико-математичні науки
a ( a1 ,..., an ) , c (c1 ,..., cn )
(1 ,..., n )
- вектор-функции,
- вектор-функция, задающая начальные
- пространство вектор-функций, определенных и непрерывных на отрезке
F (t ), t 0 ,
- однопараметрическое семейство линейных ограниченных
9
операторов, действующих из
(x)
f
-
C [0, l ]n
в
C [0, l ]n
ставится в соответствие решение задачи (2.1)
непрерывный
функционал,
по формуле
a ( x, t )
определенный
n 1 l
f (u ) e nl (1 e jl u j 1 ( )d )
на
(отметим, что если
j 0 0
Из условий (1.2), (1.4) следует, что вектор-функции
(вектор-функции
с фиксированным значением
пространстве
C [0, l ]n
t ), а через
формулой
ak ( x, t ) - вектор-функция концентрации
k -ом цикле, то f (ak ( x, t )) cnk (l , t )
потоке в момент времени t k -го цикла).
вещества в сорбенте на
F (t ) a (, t )
- выходная концентрация вещества в
k (1k ,..., nk ) , задающие начальные условия в
математической модели (1.1), удовлетворяют следующим соотношениям
k 1 S k , f ( k ) ,
где k F (Tk ) k , S - оператор сдвига: S
(2.2)
S (1 , 2 ..., n ) = ( 2 , 3 ..., n ,0) .
Кроме k , нам потребуются вектор-функции ( k ) (T ) , задающие начальные условия в каскаде с
периодическим переключением (с периодом T ). По определению ( k 1) (T ) S ( k ) (T ) , где
( k ) (T ) F (T ) ( k ) (T ) . В [6] доказано, что последовательность ( k ) (T ) сходится в пространстве
C [0, l ]n и ее предел ( ) (T ) удовлетворяет соотношению ( ) (T ) S ( ) (T ) , где
( ) (T ) F (T ) ( ) (T ) - предел последовательности ( k ) (T ) . Кроме того, из свойств
монотонности, установленных в [6, теорема 1], следует, что вектор-функции ( ) (T ) , ( ) (T )
()
()
монотонны по T : если T1 T2 , то ( ) (T1 ) ( ) (T2 ) , (T1 ) (T2 ) (здесь и далее под
неравенством u v понимаем ui ( x ) vi ( x) , i 1,..., n , x [0, l ] ).
=
Основным результатом данной работы является:
Теорема. Если
e nl 1, nl 2 ,
то последовательность вектор-функций
начальные условия задач Гурса (1.1), сходится в пространстве
Доказательство. Так как
k ,
задающих
C [0, l ]n .
k 1 S k , то достаточно установить сходимость последовательности k .
- произвольная ее предельная точка. Покажем, что
(2.3)
( ) (Tmin ) ,
где Tmin min{ T | ( ) (T ) }. Действительно, в противном случае ( ) (Tmin ) , причем для
Пусть
некоторого номера
i
и точки x* [0, l ]
(2.4)
i ( x* ) i( ) ( x* , Tmin ) ,
но f ( ( ) (Tmin )) f () . Обозначим S , ( ) (Tmin ) S ( ) (Tmin ) , T* - решение
*
уравнения f ( F (T* ) ) , * F (T* ) , T - решение уравнения f ( F (T * ) ( ) (Tmin )) *
* ( )
e l ( ) , F (T ) (Tmin ) . При nl 2 имеет место t 0 неравенство
f ( F (t ) ( ) (Tmin )) f ( F (t ) ) e l ( ) , следовательно, T* T * Tmin и * * () (Tmin ) . Заметим, что * - также предельная точка последовательности k , поэтому существует
вектор-функция
k ( ) (Tmin ) .
Последовательно
применяя
предыдущие
рассуждения
0
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
к
10
k , k 1 , ...,
находим, что k j * , j 1,2,... . Но полученное неравенство противоречит
0
0
0
соотношению (2.4), следовательно, утверждение (2.3) верно.
Далее,
вектор-функция
f ( ( ) (Tmin )) ,
( ) (Tmin )
однозначно
определяется
значением
из
равенства
поэтому последовательность имеет не более одной предельной точки.
k
Остается заметить, что, аналогично [7, лемма 2], последовательность компактна в пространk
n
стве C [0, l ] . Теорема доказана.
(1 ,..., n ) последовательности k задает начальные условия
задачи Гурса (1.1), описывающей (при k ) предельный режим работы каскада в прямоугольнике
[0, l ] [0, T ] , где T lim Tk .
Предельная вектор-функция
k ЛИТЕРАТУРА
1.
Chen J.W., Cunningham R.L., Buege J.A. Computer simulation of plantscale multicolumn adsorption
processes under periodic counter-current operation // Ind. Eng. Chem. Proc. Design Develop. – 1972. –
V.11, № 3. – P. 430 - 436.
2.
Svedberg G. Numerical solution of multicomponent adsorption process under periodic countercurrent
operation // Chem. Eng. Sci. – 1976. – V.31, № 5. – P. 345 - 354.
3.
Sung E., Han C.D., Rhee H. Optimal design of multistage adsorption-bed systems // AIChE Journal. –
1979. – V.25, № 1. – P. 87 - 100.
4.
Рода И.Г., Жук П.Ф. Модель работы каскада аппаратов с неподвижным слоем адсорбента в случае
выпуклых изотерм сорбции // Химия и технология воды. – 1986. – Т.8, № 2. – С.7 – 10.
5.
Рода И.Г., Жук П.Ф., Марутовский Р.М. Теоретические аспекты сорбционного разделения смеси
органических веществ из водных растворов в каскаде аппаратов с плотным слоем // Химия и
технология воды. – 1990. – Т. 12, № 7. – С.579 – 582.
6.
Бондаренко Л.Н. Математическая модель каскада сорбционных аппаратов // Математическое
моделирование. – 1997. - Т.9, №11. - С. 23-32.
7.
Бондаренко Л.Н. Каскад последовательно соединенных сорбционных аппаратов (нелинейный
случай) // Математическое моделирование. – 1998. – Т.10, № 4. – С.41–50.
УДК 517.949.8
ЗБІЖНІСТЬ МЕТОДУ БАРИЦЕНТРИЧНОГО УСЕРЕДНЕННЯ
ДЛЯ РІВНЯННЯ ЛАПЛАСА В КРУЗІ
Валько Н.В., викладач
Херсонський державний педагогічний університет
У роботі [1] були отримані достатні умови збіжності методу барицентричного усереднення при
відшуканні наближеного розв’язку узагальненої задачі Діріхле для рівняння Лапласа в центрі круга.
Однак при цих умовах збіжність методу в інших точках круга може порушуватись.
Для отримання умов, достатніх для збіжності методу барицентричного усереднення в довільній точці
відкритого круга, використаємо метод конформного відображення.
M 0 (r cos ; r sin ) - довільна фіксована точка круга D ( 0 r R ). Функція
z z0
, де z 0 re i , z e i ( 0 R ), конформно відображає круг D на самого
w( z ) R 2 e i
R2 z0z
себе так, що точка M 0 переходить у точку О(0; 0), а промінь - у дійсну додатну піввісь.
Нехай
точка
Фізико-математичні науки
11
Рівняння Лапласа
2u
2u
0
x 2
y 2
,
як відомо [2, с. 376-378], є інваріантним відносно конформного відображення, і тому функція u(z),
гармонічна в крузі D, перейде в гармонічну в цьому ж крузі функцію площини w. Граничні значення
u ( ) функції u(z) перейдуть у граничні значення її образу на колі С, яке обмежує круг D.
Нехай на межі С: w R e it . При цьому будемо мати:
R eit R 2 e i
2
i
i
R ei r ei ; it
i R e rR e
e
e
R 2 r e i R e i
R 2 rR ei ( )
2
R i ( ) R
R i ( )
e
e
1
r
r
r
.
2
R i ( )
R i ( )
R
e
e
r
r
r
З цієї рівності знаходимо:
R i ( )
R
e
1
( 1)(ei ( ) 1)
,
eit 1 r
1 r
R i ( )
R i ( )
e
e
r
r
R i ( )
R
1
e
( 1)(ei ( ) 1)
.
eit 1 r
1 r
R i ( )
R i ( )
e
e
r
r
Розділивши першу рівність на другу почленно, будемо мати:
R
1
e i ( ) 1 r
,
e it 1 e i ( ) 1 R 1
r
e it 1
e i ( ) 1 e it 1 R r
e i ( ) 1 e it 1 R r
(1)
Далі матимемо:
e it 1
it
e 1
cos t i sin t 1 (cos t 1) i sin t ((cos t 1) i sin t )(cos t 1) i sin t )
cos t i sin t 1 (cos t 1) i sin t
(cos t 1) 2 sin 2 t
cos 2 t 1 sin 2 t i (sin t cos t sin t sin t cos t sin t )
2
2
cos t 2 cos t sin t 1
i
2 sin t
2(1 cos t )
t
t
cos
2
2 i tg t .
t
2
2 cos 2
2
2 sin
i
i ( )
1
.
Аналогічно, e
i tg
i ( )
2
1
e
Підставивши знайдені значення в рівність (1), отримаємо співвідношення між і t:
tg
2
Rr
t
tg .
Rr
2
Звідси знаходимо:
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
12
t
Rr
tg .
2
Rr
2 arctg
Таким чином, граничні значення u ( R e i ) перейдуть при такому конформному відображенні в граничні
значення
R r t i ( 2 arctg
tg )
Rr 2 .
U (t ) u R e
(2)
За умовою узагальненої задачі Діріхле, функція u ( R ei ) може мати точки розриву лише першого роду;
функція
t
Rr
arctg
tg 2
Rr
має в точці
точку розриву першого роду. Отже функція
t Rr t i ( 2 arctg
tg )
R r 2 має точки розриву лише першого роду.
u R e
За теоремою Гаусса, інтеграл
1
2
Rr t i ( 2 arctg tg )
R r 2 dt
u
R
e
0 2
дорівнює значенню в центрі круга D гармонічної в цілому крузі функції U ( z ) , граничні значення якої
збігаються з підінтегральною функцією. При цьому
1
2
u ( z0 ) U (0) 2
0
Rr t tg )
i ( 2 arctg
R r 2 dt .
u R e
Таким чином, задача відшукання наближеного значення розв’язку в точці
z0
рівняння Лапласа з
граничною функцією u ( R e i ) звелась до відшукання його наближеного розв’язку в центрі круга D з
граничною функцією (2).
вершини
трикутника
точки
N1 ( R cos 1 ; R sin 1 ) ,
N 2 ( R cos 2 ; R sin 2 ) ,
N 3 ( R cos 3 ; R sin 3 ) і зробивши повороти трикутника на кути t nk : 0 tn 0 tn1 tn 2 ... tnn 2 ,
отримаємо n трикутників з вершинами:
Взявши
за
Nlk ( R cos( l tnk ); R sin( l tnk )) , ( l 1, 2, 3; 0 k n 1 ).
Позначимо через U lk значення функції U (t ) , відповідно, в точках N lk ,
t nk
tn,k
1
t nk
( k 0 , 1 , 2 , .., n 1 )
,
n max { t nk } .
0 k n 1
За формулами (3) і (4) роботи [1] отримаємо вираз:
u n ( z 0 ) U n (0) (sin( 3 2 )
1
2 (sin( 3 2 ) sin( 1 3 ) sin( 2 1 ))
n 1
n 1
n 1
k 0
k 0
k 0
U1k tnk sin(1 3 ) U 2k tnk sin( 2 1) U 3k tnk ) 1
2 (sin( 3 2 ) sin( 1 3 ) sin( 2 1 ))
Фізико-математичні науки
13
R r 1 t nk i ( 2 arctg
tg
)
2 Rr
(sin( 3 2 ) u R e
tnk k 0 n 1
R r 2 t nk i ( 2 arctg
tg
)
2 Rr
sin(1 3 ) u R e
tnk k 0 n 1
sin( 2 1 )
R r 3 t nk i ( 2 arctg
tg
)
2 Rr
u R e
tnk )
k 0 n 1
(3)
Цей вираз будемо називати n-м наближенням схеми барицентричного усереднення, складеної для
граничної функції u R e i рівняння Лапласа в крузі.
Означення. Схема барицентричного усереднення, складена для граничної функції u R e i рівняння
Лапласа в крузі, називається збіжною в точці z=z0, якщо виконується рівняння:
lim u n ( z0 ) u ( z0 ).
n За теоремою 1 роботи [1] справедлива рівність
lim U n (0) U (0) u ( z0 ).
n Отже, доведено таку теорему.
Теорема. Нехай функція u ( R e i ) неперервна в кожній точці 0;2 крім, можливо, скінченного
числа точок, у яких вона має розрив першого роду.
Якщо виконується рівність lim n 0 , то схема барицентричного усереднення, складена для
n
граничної функції
i
u(R e )
рівняння Лапласа в крузі D радіуса R, збігається в точці
i
z 0 r e , (r R) , тобто:
lim u n ( z 0 ) n
1
2 (sin( 3 2 ) sin( 1 3 ) sin( 2 1 ))
lim (sin( 3 2 )
n 0
R r 1 t nk tg
i ( 2 arctg
)
2 Rr
u R e
tnk k 0 n 1
R r 2 t nk )
i ( 2 arctg
tg
2
t
Rr
sin( 1 3 ) u R e
nk k 0 n 1
R r 3 t nk i ( 2 arctg
tg
)
2 Rr
sin( 2 1 ) u R e
tnk ) u ( z0 )
k 0 n 1
Якщо обертання трикутника зробити рівномірним, тобто покласти t nk 2k (k 0, 1, 2, ..., n 1) , то буде
n
справедливий
Наслідок. Якщо функція u ( R e i ) неперервна в кожній точці 0;2 крім, можливо, скінченного
числа точок, у яких вона має розрив першого роду, то середні арифметичні n-их наближень схеми
рівномірного барицентричного усереднення, складеної для граничної функції u ( R e i ) рівняння
Лапласа в крузі D радіуса R, збігаються в точці z 0 re i , (r R) , тобто:
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
14
lim u n ( z0 ) n 1
sin( 3 2 ) sin(1 3 ) sin( 2 1 )
Rr
1
n 1
i ( 2 arctg (
tg ( 1 1
Rr 2
(sin( 3 2 ) u ( R e
n n
k 0
lim
n 1
sin( 1 3 ) u ( R e
2k
)))
n
)
i ( 2 arctg (
Rr 1
2k
tg ( 2 )))
Rr 2
n
)
i ( 2 arctg (
2k
Rr 1
tg ( 3 )))
n
Rr 2
))
k 0
n 1
sin( 2 1 ) u ( R e
u ( z0 ).
k 0
Якщо z 0 0 , то r 0 і 0 . При цьому, середні (3) збігаються із середніми теореми 1, доведеної в
роботі [1]. Отже теорема 1 і наслідок 1 роботи [1] є, відповідно, частинними випадками теореми і
наслідку, отриманих у цій роботі.
ЛІТЕРАТУРА
1.
Валько Н.В., Хомченко А.Н. Збіжність методу барицентричного усереднення для рівняння Лапласа
в центрі круга // Вісник Запорізького державного університету – 2000. - № 2. – С. 24-26.
2.
Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. – М.: Физматгиз, 1962. –
708 с.
УДК 539.3:517.926.4
A HYBRID PERTURBATION-GALERKIN TECHNIQUE WITH
APPLICATION TO MIXED BOUNDARY VALUE PROBLEM
Gerasimov T.S., postgraduate, Gristchak V.Z., D. Eng., professor
Zaporozhye state university
1. INTRODUCTION
The problem of forced vibrations of thin-walled structures (plates and shells) could be reduced to the problem of
searching of natural frequencies, i.e. eigenvalue problem. And further, knowing the eigenvalues makes it
possible to obtain the forced solution in terms of these eigenvalues – the spectral representation or modal
expansion approach [1]. Meanwhile, compared to large number of possible structure configurations (for
instance, inhomogeneity of form or boundary conditions), very few exact solutions of plate and shell eigenvalue
problem are possible, so that is why they are usually solved numerically using BEM, FEM etc. However, in
many cases the asymptotic [2,3] and hybrid [4,5] approaches, provided they are accurate enough, enable to
obtain the approximate analytical solutions with a rather high level of precision. That will be of great practical
usefulness and especially effective in the case when machine computations are faced with difficulties.
Present paper deals with a two-step hybrid perturbation-Galerkin technique for the computation of the
eigenfunctions and eigenfrequencies of natural oscillations of a round plate with inhomogeneous (mixed)
boundary conditions. The basic idea of the method presented may be described as follows. In the first step,
parameter is introduced into the boundary conditions in such a way that 0 corresponds to the simple
boundary problem and case 1 corresponds to the problem under consideration. Then the -expansion of the
solution is obtained. As a rule, just at point 1 the -expansion of the solution is divergent. To remove this
divergence, in step two we use a subset of the perturbation co-ordinate functions, determined in step one, in
Galerkin type approximation. It is shown that the eigenfunctions and eigenfrequencies obtained by the hybrid
technique using only a few terms from the perturbation solutions compare well with numerical results.
2. BASIC EQUATIONS
The differential equation that governs the natural non-axisymmetric vibrations of the circular plate with radius a
subjected to mixed boundary conditions of the “simple support – clamping” kind along the edge of the plate may
be written as follows
Фізико-математичні науки
15
2 2u ( x, ) u ( x, ) 0 ,
(1)
where h 2 a 4 D 1 ; is the natural frequency; D Eh 3 12(1 2 ) ; x r a ; u ( x, ) W (r , ) a ;
2 2 x 2 x 1 x x 2 2 2 is the Laplace operator in polar co-ordinates; r – initial radial co-
ordinate; , – circumferential co-ordinate; W (r , ) – initial mode shape.
Let us separate variables by writing u ( x, ) u ( x) cos(n) where n 0,1,2,... .
In the first stage, the mixed boundary conditions of the type “simple support – clamping” with the help of socalled “combined” Heaviside function may be formalized as [2]
u 0,
1 H (, ) M x H (, ) u 0,
when x 1 ,
(2), (3)
p
where M x u u is a bending moment; H (, ) H ( i ) H ( i 1 ) with H ( i ) and
i 1
2
2
i and i (i 1 ) with i 1,... p ;
H ( i 1 ) as simple Heaviside functions; i p
p
p – the number of the plate’s boundary regions on which the mixed boundary conditions of the “simple support
– clamping” kind take place; [0,1] – the distribution coefficient of two types boundary conditions at the i -th
region.
Thus, according to (3), when 0 we have the plate clamped along the boundary; when 1 the plate is
simply supported. The intermediate values of are related to mixed boundary conditions under consideration.
Eliminating the non-uniformity of function H (, ) (we use for this purpose a routing asymptotic procedure) we
obtain for this one the expression
p
s 2
l
l
H (, ) f (, ) 1 (1) l sin (1 ) cos l (2i 1 ) ,
p
p
l
l 1 i 1
and further we’ll use it instead of H (, ) .
In the second step, we introduce the parameter into the boundary conditions (3)
u u f (, )u ( 1)u ,
when
x 1.
(4)
The case 0 brings us the plate simply supported along the boundary; the case 1 corresponds to the
problem under consideration (1) – (3). The intermediate values of are related to mixed boundary conditions
too, but of the “simple support – elastic clamping” kind with elastic support coefficient c (1 ) at those
regions of the plate’s boundary, where earlier we assumed the clear clamping. It is easy to see if to rewrite (4) as
u u f (, )
u , when
1 f (, )
x 1.
(5)
So we consider that the parameter relates to the distribution of the aforesaid mixed boundary conditions, and
the parameter relates to theirs “quality”.
3. A HYBRID PERTURBATION-GALERKIN TECHNIQUE
In step one of the method, eigenvalue and eigenfunction u (x) are presented by -based expansion
j j
j 0
and u ( x) u j j ,
(6)
j 0
which are formally valid about “small” values of the parameter , meanwhile generally can be “large”.
Substituting series (6) into the governing boundary problem (1), (2), (4) and splitting it with respect to powers of
, yields the recurrent sequence of boundary problems.
For 0 :
12 12 u 0 0 u 0 0 ,
Вісник Запорізького державного університету
(7)
№1,2001
16
u0 0
u 0 u 0 0 , when x 1 .
and
(8)
j
For j : 12 12 u j 0 u j v u j v ,
(9)
v 1
u j u j f (, )
u j 0 and
j 1
uv ,
when x 1 ,
(10)
v 0
j 1,2,3,... ,
where
12 2 x 2 x 1 x n 2 x 2 2 2 .
The solution of the uniform differential equation (7) may be written as
u 0 ( x) A0 J n (k nm x) B0 I n (k nm x) ,
(11)
where J n , I n – Bessel functions of the first kind of order n , k nm 4 0 (further defined as k ) – roots of the
characteristic equation
2kJ n (k ) I n (k ) ( 1)J n (k ) I n1 (k ) J n1 (k ) I n (k ) 0 .
Some first roots k (the Poisson ratio is chosen to be 1 3 ) are tabulated in Table 1, where n is the number of
nodal diametral lines, m is the number of nodal concentric circles.
Table 1. Eigenvalues k
k
(n, m)
k
(n, m)
2.23245
3.73359
5.06484
5.45511
6.32419
0,0
1,0
2,0
0,1
3,0
6.96534
7.54181
8.37577
8.61349
8.73154
1,1
4,0
2,1
0,2
5,0
Constants A0 , B0 in (11) may be taken in the form
A0 I n (k ) J n2 (k ) I n2 (k ) and
B0 J n (k ) J n2 (k ) I n2 (k ) .
When we set j 1 in (9), we can obtain the solution of the corresponding non-uniform differential equation as
u1 ( x ) 1
2k
3
x
Yn (k)
J n (k)
K n (k)
I n (k) J n (kx) 1n () Yn (kx) 1n () I n (kx) 2n () K n (kx) 2n () u 0 ()d 0
A1 J n (kx) C1 I n (kx) ,
where
(12)
1n ( x) J n 1 (kx)Yn (kx) J n (kx)Yn 1 (kx), 2 n ( x ) I n 1 (kx) K n (kx) I n (kx) K n1 (kx) ,
Yn , K n – Bessel functions of the first and second kind of order n and A1 , C1 – certain constants.
We notice that eigenfunction u1 ( x) contains three unknowns 1 and A1 , C1 , meanwhile there are only two
available boundary conditions (10) occur. Later we will eliminate such a discrepancy.
And now eigenfunction u (x) in form of a truncated perturbation expansion (6) (two terms of expansion) can be
obtained as
u ( x) u 0 ( x) u1 ( x) .
(13)
In step two of the hybrid method, we seek new approximate solution, using the coordinate functions u j ( x)
determined in step one of the method, as
u~ ( x, ) u 0 ( x, ) N 1
a j u j ( x, ) u 0 ( x) a j u j ( x) cos(n) ,
j 1
j 1
N 1
where a j represents new unknown “amplitudes” of u j ( x) .
Фізико-математичні науки
(14)
17
Requiring that the residual is orthogonal to each u j ( x, ) , 0 j N 1 , according to the Galerkin technique,
~
we may determine the amplitudes a j , as well as , from the condition
2
~
2 u~ ( x, ) u~ ( x, ) u j ( x, ) xd 0 , where [0,1] [ , ] .
(15)
~
Thus if we set N 2 in (14) we may find new approximate solution for in the form
u 0 cos
2
~
0 2
(n) xd 1u 0 u1 cos 2 (n) xd 1u 02 cos 2 (n) xd u 0 u1 cos 2 (n) xd
2
2
2
2
u u cos 2 (n) xd u
cos
(
n
)
xd
u
cos
(
n
)
xd
0
1
0
1
,
2
(16)
J (k )
1 S (1)
S ( x) I n (kx) A1 J n (kx) n
I n (kx) could be obtained from the expression
3 I n (k )
I n (k )
2k (12) after its subjecting to the first boundary condition (10),
where u1 ( x) x
Y (k)
J (k)
K (k)
I (k) and where S ( x) J n (kx) n
K n (kx) n
Yn (kx) n
I n (kx) n
u 0 ()d ,
1n ()
1n ()
2 n ( )
2 n () 0
~
( 0) clamping
A1 – unknown coefficient, which could be determined from the conditions ~
,
( 1) 0
1 2k 3 f (, ) ,
u0 (1) J n (k )
,
S (1)J n (k ) J n (k ) J n (k )S (1) S (1)
[0,1] – the distribution coefficient of the “simple support – clamping” boundary conditions at the i -th
region.
The results of calculations are displayed in figure 1. Data obtained for n m 0 , k 2.23245 and p 2 by
formula (16) are shown as continuous lines, and circles represent the numerical results obtained by the method of
finite differences[6].
Figure 1.
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
18
REFERENCES
1.
Soedel W. Vibrations of shells and plates. – Marcel Dekker Inc., New York, USA, 1993.
2.
Andrianov T.V., Gristchak V.Z., Ivankov A.O. New asymptotic method for the natural, free and forced
oscillations of rectangular plates with mixed boundary conditions // Technishe Mechanik. – 1994. – 14,
№ 11. – P. 185 – 192.
3.
Gristchak V.Z., Gerasimov T.S. Approximate analytical method for differential equation of fourth order
with variable coefficients containing a large parameter concerning of a round plate eigenvalue problem //
Bulletin of Zaporozhye State University. – 2000. – № 2. – P. 52 – 60.
4.
Geer J.F., Andersen C.M. A hybrid perturbation Galerkin technique for differential equations containing a
parameter // Appl. Mech. Rev. – 1991. – vol. 44, № 11. – P. 76 – 83.
5.
Gristchak V.Z., Dmitrijeva Ye.M. A hybrid WKB-Galerkin method and its application // Technishe
Mechanik. – 1995. – 15, № 3. – P. 281 – 294.
6.
Hughes T.J.R., Hinton E. Finite Element Methods for Plate and Shell Structures, Volume II: Element
technology. – Swansea, Pineridge Press International, UK, 1986.
УДК 519.95
ВИЗУАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ЧИСЛЕННОГО
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
Гоменюк С.И., к.ф.-м.н, доцент, Морозов Д.Н., аспирант, Толок В.А., д.т.н, профессор
Запорожский государственный университет
ВВЕДЕНИЕ
Развитие вычислительной техники обусловило разработку новых численных методов и подходов к
решению сложных практически важных инженерных и научных задач.
Дальнейшее развитие
вычислительной математики невозможно без развития методов и методик анализа больших массивов
численной информации, получаемых в результате компьютерного моделирования различных процессов.
Одним из наиболее эффективных численных методов анализа задач механики деформируемого твердого
тела в настоящее время является метод конечных элементов. Развитие мощных ЭВМ позволило решать
задачи механики в трехмерной постановке, что существенно повысило качество моделирования, но
значительно усложнило процесс изучения результатов расчета. Опыт показывает, что их анализ по
временным затратам и трудоемкости может превосходить этапы начальной подготовки данных и,
собственно, численного расчета.
Большинство существующих в настоящее время программных систем автоматизации численных
расчетов задач механики, таких, например, как ANSYS [1], LS-Dyna [2] и др. позволяет представить
результаты расчета в виде полутоновой или цветной картины распределения исследуемой функции по
области расчета. При этом каждому оттенку или цвету соответствует некоторый диапазон числовых
значений. На рис. 1 приведен пример черно-белой полутоновой картины, соответствующей
распределению вертикальной составляющей вектора перемещений v( x, y ) , полученной при
использовании системы FORTU [3,4] для решения плоской контактной задачи теории упругости.
Однако такой способ графического представления не всегда бывает достаточно наглядным, так как
полутоновая картина может иметь весьма сложный вид (особенно при анализе деформаций или
напряжений). Кроме того, числовые значения исследуемой функции могут сильно различаться по
абсолютной величине, что затрудняет их прорисовку в заданной цветовой шкале. На рис. 2 приведен
пример распределения напряжения zz по компрессионному кольцу (элемент конструкции
трансформатора). Хорошо видны только зоны с максимальными по модулю отрицательными
значениями. В то же время зоны с положительными значениями напряжений детализируются не
достаточно четко.
Фізико-математичні науки
19
Рис. 1 - Распределение перемещений v(x,y) по контактирующим телам
Рис. 2 - Распределение
zz
по компрессионному кольцу
В данной статье предлагается способ визуального анализа результатов численного решения задач
механики, базирующийся на создании и отображении трехмерной поверхности, представляющей из себя
определенным образом построенное пространство значений исследуемой функции f ( x, y, z ) .
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
20
ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА РЕЗУЛЬТАТОВ
Для более детальной и наглядной прорисовки пространства значений исследуемой функции f ( x, y, z )
предлагается алгоритм, суть которого заключается в построении некоторой поверхности, натянутой на
заданное количество опорных точек ( xi , y i , z i , f i ),
i 1, n , где f i - значение исследуемой функции
в узле ( xi , y i , z i ) , n - общее количество узлов.
В силу того, что величины ( xi , y i , z i ) и f i могут иметь несопоставимый порядок, узловые значения
анализируемой функции необходимо предварительно нормировать. Соотношение f i fi D
, где D max f i
некоторый масштабный коэффициент (например, 1/10 средней длины стороны конечного элемента),
позволяет привести порядок значений f i к некоторому наперед заданному интервалу.
В двухмерном случае такой подход позволяет получить трехмерную поверхность с координатами
опорных точек вида ( xi , y i , f i ),
i 1, n .
На рис. 3a изображено полутоновое распределение напряжений
yy ,
полученное при решении
некоторой плоской задачи, а на рис. 3b – соответствующая поверхность.
Рис. 3а – Распределение напряжений
yy
Рис. 3b - Поверхность, соответствующая
напряжениям yy
Вид построенной поверхности может сильно зависеть от положения источников освещения, их
количества и т.п. Поэтому для наиболее качественного восприятия такого графического представления
результатов расчета необходимо предусмотреть возможность задания параметров освещения объекта.
В случае анализа трехмерной задачи такой подход приводит к получению четырехмерной поверхности.
Одним из возможных способов ее изображения, например, является переход к трехмерной поверхности с
опорными точками ( xi , y i , z i f i ),
i 1, n .
На рис. 4 изображена поверхность напряжений zz , соответствующая изображению на рис. 2. Здесь
хорошо просматриваются все области монотонности функции напряжений, а также пики.
Если построить нормали к каждой грани, образующей такую поверхность, то анализ угла наклона и
направления векторов может дать исследователю дополнительную информацию о поведении
интересующей его функции.
Фізико-математичні науки
21
Рис. 4 – Поверхность напряжений
zz , соответствующая рис. 2
ВЫВОДЫ
Синтез дополнительной информации на основе уже имеющейся – одна из важных задач, которые обычно
решаются различными подсистемами анализа численных результатов (постпроцессорами). В данной
статье предлагается один из возможных подходов, позволяющий повысить эффективность анализа
больших массивов численной информации, получаемых при применении численных методов.
Использование современных технологий программирования трехмерной компьютерной графики
(OpenGL, DirectX и т.п.) позволяет повысить эффективность анализа за счет применения таких эффектов
как освещение, квазипрозрачность и т.п.
ЛИТЕРАТУРА
1.
ANSYS, Inc.: Dominating Engineering Simulation. www.ansys.com
2.
Livermore software Technology Corp. www.lstc.com
3.
Бувайло Д.П., Гоменюк С.И., Толок В.А. FORTU – язык описания схем решения задач
математической физики. //Вісник ЗДУ.– 2000. - №1 .- С. 19-25
4.
S.I. Gomenyuk A.V. Tolok, V.A. Tolok, The Instrumental system of mechanics problems analysis of the
deformed solid body, IKM, Weimar, 1997.
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
22
УДК 539.3
HYBRID ASYMPTOTIC METHOD FOR THE EFFECT OF THE
LOCAL THICKNESS DEFECTS ON THE BUCKLING OF
CYLINDRICAL SHELLS UNDER COMBINED LOADING
V.Z. Gristchak, Dr. Sci., professor, O.A. Golovan, ass.professor
Zaporozhye State University
1. INTRODUCTION
It is well known that the initial imperfections of the shells may have a remarkable effect on the buckling load.
Many authors have discussed the effect of imperfections on the buckling of cylindrical shells under axial
compression as well as under external pressure. We refer to the works by Koiter [1,2], Kan [3], Volmir [4],
Gristchak [5], Abdelmoula et al. [6], Koiter et al. [7].
In many cases it is impossible to obtain an exact analytical solution of the problem. For this reason the applied
mechanics problems are often solved by approximate analytical methods such as perturbation and variation ones.
In Gristchak [5] an approximate calculation of the effect of more or less localised initial imperfections has been
carried out. Here the components of the displacements are presented as asymptotic expansions on the small
parameter
2
of the imperfection location. In Koiter et al. [7] the buckling of the circular cylindrical shell with
m2
small periodical thickness defects is considered. Here stress function is expressed in terms of the thickness
variation parameter . In both works asymptotic formulas in terms of
2
m2
and have been derived by
perturbation methods.
In this paper in the spirit of papers [5,7] the hybrid perturbation method is proposed for the effect of the local
thickness defects and an external pressure on the buckling of an axially compressed cylindrical shell.
In spite of the proposed asymptotic method has been used in this paper only for the stability problem of the
compressed cylindrical shell, it also can be applied for investigation of the behaviour of the thinwalled structures
under combined loading.
2. DESCRIPTION OF THE HYBRID PERTURBATION METHOD
We consider a circular cylindrical shell of radius R , length L that is made of an isotropic, elastic material with
Young’s modulus E and Poisson’s ratio . It is subjected to an axial compressive load P0 and to an external
pressure P1 . The coordinate system is taken as shown in Figure 1.
x
P1
P0
h
P1
L
z
y
P0
2
Figure 1. Cylindrical shell under axial compression and external pressure
Фізико-математичні науки
23
The governing equations of the pressurised non-uniform cylindrical shell are as follows [7]
2W 2 W
Eh 3 x 4W
4W
4W 3E
2 x h 2 x h x h
x
h
2
2
x 2
x 2 y 2 y 4 12 1 2
y 2
12 1 2 x 4
3W
3W
1 2F
6E
h 2 x h x 3 2
2
x
R x
xy 2
12 1 P0
2W
x
2
P1 R
2W
y 2
3E
2W
1 2h x h 2 x h 2 x h x 2
12 1 y 2
0,
(1)
4F
4 F 1 h x hx 2 h 2 x 2 F 2 F 1 2W
1 4 F
2 2
x 2
Ehx x 4
x 2 y 2 y 4 E y R x 2
h 3 x 3F
2 h x 3 F
E h 2 x x 3 xy 2
1 E
h x hx 2 h 2 x 2 F
0,
y2
h 3 x (2)
where W x , y is the radial displacement (positive outward), F x , y is the stress function, hx is the shell
thickness.
By introducing the following non-dimensional parameters
Eh0 3
x
y
hx W x , y *
F x , y ,
, , H , W * , , F , , D
h0
h0
D
L
L
12 1 2
where h0 is the nominal thickness of the shell, D is the bending stiffness,
the governing equations (1)-(2) can be rewritten into their non-dimensional form
4W *
4W *
4W *
H3 2
4
2 2
4
3W *
3W *
6 H 2 H 3
2
W
3 2 HH 2 H 2 H 2
*
2
2W * L2 2 F *
2 Rh0 2
2 *
31 2 HH 2 H 2 H W 2
P0 L2 2W * P1 R L2 2W *
0,
D 2
D
2
4F*
4F*
4F*
H2
2
4
2 2
4
3F*
3F*
2 HH 3 2
(3)
2 *
2 *
2 H 2 F F
2
2
2 *
2 *
HH F F
2
2
12 1 2 L2 3 2W *
H
0.
Rh0
2
(4)
We seek the solution of the initial equations in the following form
nL F * , f cos R nL W * , w cos R ,
(5)
where n is the wave number in the circumferential direction.
We assume that an axial compressive load P0 exceeds an external load P1 R in such a manner that the shape
formation corresponds to an axial compression. Thus an external load P1 R can be expressed as
P1 R P0 ,
where P1 R
is the ratio ( 0 0 ,5 ).
P0
Substituting (5) into equations (3)-(4) and denoting
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
24
N
nL
,z
R
L
Rh0
Eh0 2
P0
, Pcr ,
Pcr
R 3 1 2
, c 3 1 2 , (6)
where is the buckling load parameter, Pcr is the classical buckling load of the shell with constant thickness,
we obtain the following ordinary differential equations
H 3 w ( 4 ) 6 H 2 H w 2 N 2 H 3 6 H H 2 3H 2 H 4 c z 2 w 6 N 2 H 2 H w N 4 H 3 6 N 2 HH 2 3 N 2 H 2 H 4 N 2 c z 2 w z 2 f 0 ,
(7)
H 2 f ( 4 ) 2 HH f 2 N 2 H 2 2 H 2 HH f 2 N 2 HH f N 4 H 2 2 N 2 H 2 N 2 HH f 4c 2 z 2 H 3 w .
(8)
We consider the local thickness defects in the form
2 2 H 1 exp ,
2
(9)
where 1 and 2 are parameters indicating the amplitude magnitude of the thickness defects and the
character of the defect location respectively.
The buckling mode of a circular cylindrical shell can be written in the form
2 2 w A cos m B cos 3m exp ,
2
where m (10)
pL
, p is the number of half-waves along the shell length.
R
The first term in the brackets is the buckling pattern that satisfies the boundary conditions of the simple support.
2 2 are introduced in (10) as the local thickness defects
The second term and modulating factor exp 2
may initiate the local buckling mode.
In order to obtain an approximate analytical solution of the compatibility equation (8) we shall use the double
asymptotic expansion method described above.
An unknown function f we seek as a two-terms expansion on the small defect parameter 2 2 f ~0 exp ~1 exp 2 2 ... .
2
(11)
2
The function ~0 can be represented as an asymptotic expansion on the small parameter 2 2 such as
m
~
~
~0 f 0 2 f 1 ... .
(12)
Substituting expansions (11)-(12) into (8) and accounting (9)-(10) after collecting the coefficients with equal
~
~
orders of parameters and 2 we obtain a system with unknown functions f 0 , f1 , ~1 :
2 1
~
~
~
: f 0 ( 4 ) 2 N 2 f 0 N 4 f 0 4c 2 z 2 A m 2 cos m 9 Bm 2 cos 3m ,
~ (4)
~
~
f 1 2 N 2 f 1 N 4 f 1 4c 2 z 2 A m 2 cos m B m 2 cos 3m 2 A m 3 sin m 2 0
~
~
~
~
6 B m 3 sin 3m 4m 2 f 0 6m 2 f 0 4 N 2 m 2 f 0 2 N 2 m 2 f 0 ,
~
(14)
~
~
1 : ~1( 4 ) 2 N 2~1 N 4~1 12 c2z 2 Am2 cos m 9 Bm2 cos 3m 2 f0( 4 ) 4 N 2 f0 2 N 4 f0 .
We neglect the terms of higher order than and 2 . Omitting the details of calculations we obtain
Фізико-математичні науки
(13)
(15)
25
~
f 0 a cos m b cos 3m ,
a
where
4 c2 z 2m2
m
2
m N2
8c 2 z 2 m 4 5 N 2
~
f 1 4
m2 N 2
m 5 N
A, b
2
2
(16)
36c 2 z 2 m 2
9m
2
N2
2
B,
(17)
8c 2 z 2 m 3 N 2 m 2
4c 2 z 2 m 2 A cos m 2
3
m 2 N 2 m2 N 2
A sin m 2
72 c 2 z 2 4
24 c 2 z 2 m 3 N 2 9m 2 9m 2
4c 2 z 2 m 2 B cos 3m B sin 3m ,
3
4
2
9m 2 N 2
9m 2 N 2 9m 2 N 2
1
~1 12 c 2 z 2 m 2 A 2 m 4 a 4 N 2 m 2 a 2 N 4 a cos m 2
2 2
m N
9 m
1
2
N
(18)
108c z m B 162 m b 36 N m b 2 N b cos 3m .
2 2
2 2
2
4
2
2
4
(19)
It should be noted that there are many coincident modes and the corresponding wave numbers n and p are
located on the Koiter’s circle. We consider that case when the buckling mode has the same wave numbers in
both the axial and circumferential directions. Thus for this case we have relations
p0
R
, p 02 2 c
, cz 2 2m 2 .
2
h0
pn
(20)
We apply the Boobnov-Galerkin procedure to the equilibrium equation (7). In this connection it should be
pointed out that in order to obtain analytical forms of all integrals in the solution we replace finite limits of
integrals by infinite ones. It is possible if the process of deformation has the local character.
All integrals from (7) are the follows
exp 2 ~2
d~ exp 2 ~2
cos k~ d~ ,
~
~
~
~
2 2
exp sin k d k2 ,
exp 2 4 k2
exp
4 2
2 3
k (21)
.
The Boobnov-Galerkin procedure yields the eigenvalue problem
a11 A a12 B 0 ,
a21 A a22 B 0
where
(22)
a11 4 2 3 2 K 2 1 2 1 K 2 4 2 4 2 2 4 2 2 3 K 2 8 1 K ,
2 K 27 ,6544 2 a12 4 2 3 2 K 2 15 2 K 8 K 2 K 8 27 ,6544 2 2 65,248
2
186 ,976 2 K 8 156 ,48 K 4 K ,
(23)
7 K 5 K K K 4 2 20 2 K 4 2 28 2 K 8 K K ,
4 2 27 K 9 1 K 56 ,48 2 27 ,6544 2 27 ,6544 2 308,704 2 K 156,48 1 K ,
2
a 21 4 2
8
2
a 22
2
2
2
8
2
8
2
2
4
18
2
2
Вісник Запорізького державного університету
2
18
2
18
9
№1,2001
26
1 K exp 2 .
Using the requirement of nontrivial solution of the system (22) after simplification we obtain an asymptotic
formula for the critical buckling load parameter 2 1 K .
2
1 1 (24)
As formula (24) shows the external pressure and the local thickness defects in the form (9) cause the reduction of
critical compressive load.
3. ANALYSIS OF THE CRITICAL BUCKLING LOAD PARAMETER VALUES
Values of the critical buckling load parameter for different values of the external pressure and the thickness
parameter are given in Figure 2.
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Figure 2. Reduction of the critical load parameter in the presence of the local thickness defects and the external
pressure
The above results show that in situation when the defects of the shell thickness are absent ( 0 ) the external
pressure causes the reduction by 26% ( P1 35% P0 ). In its turn, the local defects of thickness in the absence
of an external pressure even if the amplitude of the thickness defects is 0,15 reduce the buckling load by 19%
compared to the shell with constant thickness. So, the presence in the shell both the local thickness defects and
the external pressure has more influence on the classical buckling load, reducing it by 53%
( 0 ,3 , P1 35% P0 ).
4. LITERATURE
1.
Koiter, W.T.: The Stability of Elastic Equilibrium (in Dutch). Ph. D. thesis, Delft, Netherlands, (1945).
2.
Koiter, W.T.: The Effect of Axisymmetric Imperfections on the Buckling of Cylindrical Shells under Axial
Compression. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap. Proc. 66, (1963), 265-279.
3.
Kan, S.N.: Building Mechanics of Shells. Moscow, “Mashinostroyeniye”, (1966), 508.
4.
Volmir, A.S.: Stability of the Deformed Systems. Moscow, “Nauka”, (1967), 984.
5.
Gristchak, V.Z.: Asymptotic Formula for the Buckling Stress of Axially Compressed Circular Cylindrical
Shells with More or Less Localized Short-wave Imperfections, Rep. WTHD 88, Delft, (1976), 1-17.
6.
Abdelmoula, R.; Damil, N.; Potier-Ferry, M.: Influence of Distributed and Localized Imperfections on the
Buckling of Cylindrical Shells under External Pressure. Int. J. Solids Structures 29, No.1, (1992), 1-25.
7.
Koiter, W.T.; Elishakoff, I.; Starnes, J.H.: Buckling of an axially compressed cylindrical shell of variable
thickness. Int. J. Solids Structures 31, No.6, (1994), 797-805.
Фізико-математичні науки
27
УДК 539.3:517.926.4
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ WKB-ГАЛЬОРКІНА ПРИ АНАЛІЗІ
СТОХАСТИЧНОЇ ПОВЕДІНКИ НЕЛІНІЙНИХ МЕХАНІЧНИХ
СИСТЕМ ЗІ ЗМІННИМ КОЕФІЦІЄНТОМ ДЕМПФІРУВАННЯ *
Грищак В.З., д.т.н., професор, Лисенко В.В., аспірант
Запорізький державний університет
У цій роботі розглядається метод подвійного асимптотичного розвинення [1, 2, 3] для отримання
кореляційної функції вихідного процесу механічної системи, що описується стохастичним нелінійним
диференціальним рівнянням другого порядку у вигляді (1.1) зі змінним коефіцієнтом при першій
похідній та випадковою правою частиною [1]. Замість методу WKB (внутрішня асимптотика)
пропонується застосовувати гібридний підхід на основі умови ортогональності Гальоркіна [4, 5], а саме
метод WKB-Гальоркіна [5]. Наведено чисельні результати.
1. ЗОВНІШНЯ АСИМПТОТИКА
Досліджуються вимушені коливання механічних систем, коефіцієнт демпфірування яких залежить від
часу, що описуються нелінійним неоднорідним диференціальним рівнянням другого порядку вигляду:
mf (t ) c(t ) f (t ) kf (t ) f 3 (t ) q(t ) ,
(1.1)
f (t ) 2 E (t ) f (t ) 02 f (t ) f 3 (t ) (t ) ,
(1.2)
або
де m – маса; c (t ) – змінний коефіцієнт, який характеризує демпфірування; k – коефіцієнт, який
характеризує силу, яку необхідно прикласти к механічній системі, щоб отримати одиничне переміщення;
коефіцієнт, який характеризує нелінійність системи; q (t ) – змушуюча випадкова сила з відомими
характеристиками; 2 E (t ) c (t ) / m ; 0 k / m частота коливань механічної системи, причому
2
0 >>1; / m
– малий параметр ( 0 1 ); (t ) q (t ) / m . Як і в [1] початкові умови для цього
рівняння приймемо нульовими.
Для отримання розв’язку рівняння (1.2) застосуємо метод подвійного асимптотичного розкладу [1, 2, 3],
згідно з яким на першому етапі у випадку, якщо параметр – малий, розв’язок рівняння (1.2) можна
записати у вигляді (зовнішня асимптотика):
f (t ) f 0 (t ) f1 (t ) 2 f 2 (t ) ... ,
де
t
t
0
0
f 0 (t ) h(t , ) ()d , f1 (t ) h(t , ) f 03 ()d , ...
(1.3)
(1.4)
h(t , ) – функція Гріна для лінійної частки оператора рівняння (1.2).
Кореляційна функція вихідного процесу визначаються осередненням ряду (1.3) за множиною реалізацій
[1]:
t2
K f (t1 , t 2 ) K f0 (t1 , t 2 ) 3 h(t 2 , 2 ) K f0 (t1 , 2 ) K f0 ( 2 , 2 )d 2 0
t1
(1.5)
3 h(t1 , 1 ) K f0 (t 2 , 1 ) K f0 (1 , 1 )d1 ...,
0
де
K f0 (t1 , t 2 ) – кореляційна функція нульового наближення f 0 (t ) , тобто
t1 t 2
K f0 (t1 , t 2 ) h(t1 , 1 )h(t 2 , 2 ) K (1 , 2 )d 2 d1 ,
(1.6)
0 0
*
Робота виконувалась згідно з держбюджетною темою №3/2000 Міністерства освіти і науки України в Запорізькому
державному університеті
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
28
K (1 , 2 ) – кореляційна функція зовнішнього навантаження (t ) q(t ) / m .
2. ФУНКЦІЯ ГРІНА. ВНУТРІШНЯ АСИМПТОТИКА
Для обчислення кореляційної функції вихідного процесу по заданій кореляційній функції вхідного
процесу необхідно побудувати функцію Гріна h(t , ) , що задовольняє рівнянню [6]:
2h
h
2 E (t ) 02 h ( x)
2
t
t
(2.1)
при нульових початкових умовах, де (x) – дельта-функція, x t . Для розв’язання цього рівняння
застосуємо метод WKB-Гальоркіна (внутрішня асимптотика) [5]. Розв’язком цього рівняння за
допомогою методу WKB у першому наближенні є [1, 7]
t
E ( x ) dx
1
h(t , ) e sin 0 0 ( x)dx ,
0 0 ( )
t
де
0 (t ) (t )
2
2
, (t ) 0 E (t ) E (t ) .
0
(2.2)
(2.3)
Згідно з методом WKB-Гальоркіна [5] уточнений розв’язок рівняння (2.1) представимо у вигляді
t
E ( x ) dx
1
hH (t , ) e sin 0 0 0 ( x)dx ,
0 0 ()
t
(2.4)
де 0 – деяка невідома константа. Для її визначення використаємо умову ортогональності Гальоркіна
та використаємо критерій ортогональності Гальоркіна у формі
T
R
0
( x)dx 0 ,
(2.5)
2 hH
h
де R 2 E (t ) H 02 hH (t , ) – нев’язка. Після розв’язання рівняння (2.5) отримаємо
2
t
t
невідоме 0 .
3. РЕЗУЛЬТАТИ ОБЧИСЛЕННЯ КОРЕЛЯЦІЙНОЇ ФУНКЦІЇ
Період коливань механічної системи, яка описується рівнянням (1.1) залежить від часу, тому розглянемо
розв’язок задачі на інтервалі від нуля до трьох періодів коливань механічної системи, яка описується
рівнянням (1.1) при c(t ) 0 , 0 та q (t ) 0 , тобто лінійної системи без демпфірування та
зовнішнього навантаження. Період коливань такої системи дорівнює 2 / 0 .
При дії на механічну систему, яка описується рівнянням (1.1), випадкового навантаження, яке являє
собою стаціонарний випадковий процес, вихідний процес також буде стаціонарним випадковим
процесом, тобто його кореляційна функція K f () буде залежати тільки від однієї змінної t 2 t1 , де
t1 , t 2 – параметри кореляційної функції у формулі (1.5) [1].
Нижче наведено порівняльний аналіз кореляційної функції вихідного процесу механічної системи, яка
описується рівнянням (1.1), при використанні методів WKB та WKB-Гальоркіна. На систему діє
випадкове навантаження типу білий шум з одиничною інтенсивністю. Для всіх випадків
/ m 0,1 , [0; T 3 2 / 0 ] (рис. 3.1-3.5).. Як видно з рисунків, розв’язки за допомогою
методів WKB та WKB-Гальоркіна практично співпадають якщо коефіцієнт демпфірування постійний,
або параметр 0 параметр 0 k / m – “великий” (рис. 3.1-3.3). Якщо коефіцієнт демпфірування не постійний а
k / m – не “великий”, то ми бачимо, що WKB розв’язок відхиляється від уточненого
розв’язку (рис. 3.4, 3.5).
Фізико-математичні науки
29
Рис. 3.1. Графіки кореляційної функції вихідного
процесу, 0 k / m 10 , 2 E c / m 1 .
Рис. 3.3. Графіки кореляційної функції вихідного
процесу,
0 k / m 10 , 2 E c t
t
.
0 m T
3 2
Рис. 3.2. Графіки кореляційної функції вихідного
процесу, 0 k / m 1 , 2E c / m 1 .
Рис. 3.4. Графіки кореляційної функції вихідного
процесу,
0 k / m 1 , 2 E Рис. 3.5. Графіки кореляційної функції вихідного процесу, 0 2E c t
t
.
0 m T
3 2
k / m 1,
c
t
t
.
0 m 2T
6 2
ЛІТЕРАТУРА
1.
Грищак В.З., Лисенко В.В. Метод подвійного асимптотичного розкладу при аналізі стохастичної
поведінки нелінійних механічних систем з коефіцієнтом демпфірування, залежним від часу // Вісник
Запорізького державного університету. – 2000. – №2. – С. 60-65.
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
30
2.
Gristchak V.Z., Kabak V.N. Doudle Asymptotic Method for Nonlinear Forced Oscillations Problem of
Mechanical Systems with Time Dependent Parameters // Technishe Mechanik. – 1996. – № 4. – Р. 285-296.
3.
Грищак В.З., Кабак В.М. Про один асимптотичний підхід до дослідження вимушених коливань
механічних систем з демпфіруванням, параметри яких залежать від часу // Вісник Запорізького
державного університету. – 1998. – № 1. – С. 28-30.
4.
Geer J.F., Andersen C.M. A hybrid peturbation-Galerkin technique for differential equations containing a
parameter // Applied Mechanics Reviews. – 1989. – №42(11). – P. S69-S77.
5.
Gristchak, V.Z., Dmitrijeva, Ye.M. A hybrid WKB-Galerkin method and its application // Technishe
Mechanik – 1995. – №3. – Р. 281-294.
6.
Владимиров В. С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1988. – 512 с.
7.
Найфе А.Х. Методы возмущений: Пер. с англ. – М: Мир, 1976. – 456 с.
УДК 004.8:004.65
КООРДИНАЦИЯ ДЕЛЕГИРОВАНИЯ РАБОТ
В КОАЛИЦИЯХ АГЕНТОВ, ВЫПОЛНЯЮЩИХ ЗАДАНИЯ
Ермолаев В. А., к.ф.-м.н., доцент, Плаксин С. Л., инженер
Запорожский государственный университет
1.ВВЕДЕНИЕ
Одним из перспективных направлений в области автоматизации выполнения бизнес-процессов является
использование технологии интеллектуальных программных агентов. В [1, 2, 3, 4] предложен
формальный подход к моделированию бизнес-процессов как процессов информационного обмена между
различными типами пользователей и различными активными функциональными системами
(компонентами), представленными как мультиагентские системы (агенты). Использование данного
подхода позволяет моделировать динамические бизнес-процессы, сценарии которых изменяются во
времени.
В такой системе агенты ориентированы на выполнение потоков работ, образующих бизнес-процесс.
Каждый из этих агентов является автономным [5] и рациональным [5]. Эти агенты отличаются друг от
друга их способностями выполнять некоторые действия. Для выполнения общих задач агенты
объединяются в динамические коалиции. Агент присоединяется к коалиции при поручении ему работы.
Таким образом, одной из ключевых проблем является организация кооперативного выполнения заданий
коллективом автономных исполнителей, каждый из которых имеет свой собственный интерес.
В рамках подхода [1, 2, 3, 4] считается, что задания, которые выполняют агенты, являются наборами
атомарных работ. Каждый агент способен выполнить некоторую атомарную работу из множества
атомарных работ мультиагентской системы. Особенностью рассматриваемой модели агентской системы
является то, что агенты не только выполняют атомарные работы, но и самостоятельно распределяют их
между собой. Распределение работ между агентами состоит в том, что один агент ищет другого агента,
который выполнит некоторую атомарную работу. Первого будем называть агентом-инициатором, а
второго – агентом-исполнителем.
От того, насколько оптимально агенты распределят атомарные работы, зависит эффективность
выполнения всего задания. Действительно, одну и туже атомарную работу могут выполнить несколько
агентов-исполнителей. Агенты-исполнители обладают различной способностью выполнить эту
атомарную работу. Способность агента выполнить атомарную работу зависит от его текущего
внутреннего состояния, от его загруженности выполнением других работ и т. п. Кроме того, ни один из
агентов не обладает полной информацией о возможных действиях других агентов, об их внутреннем
состоянии и об их способности выполнить некоторую работу. Для поиска наиболее оптимального
исполнителя, который выполнит работу на наиболее выгодных для агента-инициатора условиях, агенты
должны взаимодействовать. В качестве таких условий выбраны время выполнения работы и
вознаграждение, которое получит агент-исполнитель за выполнение работы.
Для поиска оптимального исполнителя некоторой атомарной работы агент-инициатор вступает в
переговоры с различными агентами-исполнителями. Переговоры при распределении работ являются,
Фізико-математичні науки
31
следовательно, механизмом координации динамической коалиции агентов. Действительно, переговоры
обеспечивают правильную и непротиворечивую последовательность выполнения атомарных работ.
Кроме того, переговоры позволяют оптимальным образом распределить работы между агентами.
В статье рассматривается формальная модель координации динамической коалиции рациональных
(стремящихся повысить своё вознаграждение) и кооперативных (стремящихся оптимально распределить
работы между собой) агентов.
Статья организована следующим образом. В разделе 2 перечислены базовые компоненты,
использующиеся при организации координации распределения работ посредством переговоров. В
разделе 3 рассмотрен объект переговоров, в разделе 4 приведен протокол переговоров, в разделе 5
представлена формальная модель поведения агента-инициатора выполнения работы при поиске
исполнителя. В разделе 6 сделаны выводы и намечены дальнейшие направления развития механизма
координации распределения работ в коалиции рациональных агентов, совместно выполняющих задания.
Желательность результатов
работы для инициатора
tdf (t )
tdf (t )
Оптимальная точка
(договоренность)
Готовность исполнителей
выполнить работу
tdf1
t1
dw
Рис. 1. График функции tdf (t ) .
t
t
Рис. 2. Процесс соглашения о вознаграждении.
2. КООРДИНАЦИЯ ПРИ РАСПРЕДЕЛЕНИИ РАБОТ ПОСРЕДСТВОМ
ПЕРЕГОВОРОВ
В динамическом сообществе агенты самостоятельно распределяют атомарные работы между собой.
Часто одну и ту же работу в сообществе могут выполнить несколько агентов. Все эти агенты, на момент
распределения работ, могут находиться в разных состояниях (например, в различной степени загружены
выполнением работ). Следовательно, эффективность распределения работ влияет на результат
выполнения общего задания.
Для того, чтобы наиболее эффективно распределить работы между агентами, они должны
взаимодействовать друг с другом – вести переговоры. В процессе переговоров необходимо выявить
оптимального исполнителя для каждой работы. Процесс переговоров при распределении работ – один из
видов координации динамического сообщества агентов. Как отмечает Дженнингс Н. Р. в [6], любой
процесс переговоров состоит из таких компонентов:
протокола переговоров – набора правил, по которым происходит взаимодействие агентов. Сюда
входит количество участников, типы участников, состояния переговоров, правила, по которым
изменяются состояния переговоров, возможные действия участников в каждом состоянии
переговоров;
объекта переговоров – диапазон проблем, по которым должно быть достигнуто соглашение. В
общем случае участникам можно динамически изменять объект переговоров;
модели принятия решения агентом – аппарат принятия решения, который используют участники,
чтобы действовать в соответствии с протоколом переговоров.
Далее рассмотрим более подробно объект переговоров, протокол переговоров и модель принятия
решения агентом-инициатором процесса переговоров при распределении работ в динамическом
сообществе агентов.
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
32
3. ОБЪЕКТ ПЕРЕГОВОРОВ
Переговоры происходят на стадии распределения работ между агентами сообщества. В процессе
переговоров агент-инициатор переговоров ищет потенциального агента исполнителя для выполнения
некоторой работы. Учитывая рациональность агентов, разумным было бы предположить, что объектом
переговоров агентов на стадии распределения работ будет размер вознаграждения, которое получит
агент-исполнитель за выполнение работы.
В [7] предложена функция tdf (t ) , описывающая зависимость размера вознаграждения от времени.
Функция tdf (t ) задаётся в табличном виде парами чисел (t , tdf ) , где t - время выполнения работы, tdf вознаграждение, которое получит агент-исполнитель, выполнив работу w за время t . Чаще всего
функция tdf (t ) будет убывающей. Действительно, чем дольше агент-исполнитель выполняет работу w ,
тем меньшее вознаграждение он должен получить.
Каждая работа w характеризуется максимальной продолжительностью выполнения d w , после истечения
которой выполнение работы w становится не
актуальным. То есть если агент-исполнитель будет
Инициатор
Исполнитель
выполнять работу w дольше чем d w , то его
вознаграждение будет равным нулю. График функции
tdf (t ) изображен на рисунке 1. Функция tdf (t ) не
Предложение выполнить
всегда может быть монотонно убывающей, как это
работу и tdf(t)
изображено на рисунке 1. Иногда функция tdf (t )
Согласиться выполнить
может быть, например, периодической. Это говорит о
том, что актуальность результата выполнения такой
и предложить tdf(t)
работы тоже изменяется периодически.
На рисунке 2 изображен процесс соглашения о
вознаграждении за выполнение работы. Сплошной
жирной линией обозначена функция
tdf (t ) ,
описывающая желательность результатов выполнения
работы w n для агента-инициатора переговоров,
который ищет исполнителя для её выполнения.
Штрих-пунктирными
и
пунктирной
линиями
обозначены функции tdf (t ) агентов-исполнителей,
описывающие их готовность выполнить работу w n .
Точки пересечения функций tdf (t ) агентов являются
точками соглашения. Эти точки описывают условия
выполнения работы w n , на которые согласны и
инициатор переговоров и исполнитель.
… фаза выполнения работы
4. ПРОТОКОЛ ПЕРЕГОВОРОВ
Целью процесса переговоров является поиск
Рис. 3. Протокол переговоров.
исполнителя для выполнения работы. В процессе
переговоров участвуют агент-инициатор (далее будем
называть его агент I), желающий поручить выполнение работы w , и агенты-исполнители (каждого из
них будем обозначать агент P) – потенциальные исполнители работы w .
Итак, агент I желает найти исполнителя для работы w . Допустим, работу w могут выполнять несколько
агентов – потенциальных агентов-исполнителей. Тогда с каждым из потенциальных агентовисполнителей P агент I должен начать процесс переговоров, протокол которого изображен на рисунке 3.
Процесс переговоров начинается с того, что агент I предлагает выполнить работу w каждому из агентов
P (эта фаза переговоров обозначена сплошной жирной линией на рисунке 3). Предложение выполнить
работу должно состоять из названия работы, параметров её выполнения, и функции tdf (t ) ,
описывающей вознаграждение, которое агент I готов заплатить за выполнение работы.
Агент P, получив предложение выполнить работу, должен на основании своей текущей загруженности,
предыдущего опыта выполнения подобных задач, функции tdf (t ) , предлагаемой агентом I, либо
отказаться от выполнения работы, либо согласиться и сформировать свою функцию tdf (t ) ,
описывающую вознаграждение, которое агент P желает получить за выполнение работы. Эта фаза
переговоров обозначена штрих-пунктирной линией на рисунке 3.
Фізико-математичні науки
33
Далее агент I должен проанализировать ответы согласившихся выполнить работу агентов P, определить
среди них агента P*, который выполнит работу w с оптимальным сочетанием времени выполнения и
размера вознаграждения, и поручить ему выполнение этой работы. Эта фаза переговоров обозначена
пунктирной линией на рисунке 3.
Агенту P* отсылается сообщение с поручением выполнить работу w . Остальные агенты получают
информационное сообщение о том, что агент-исполнитель для работы w уже найден.
На этом процесс переговоров закончен и наступает фаза выполнения работы.
Если ни один из агентов P не согласился выполнить работу, то агент I должен либо пересмотреть свою
функцию tdf (t ) и начать процесс переговоров с начала, либо отложить выполнение работы w на
некоторое время.
Описанный протокол переговоров аналогичен протоколу FIPA CNP, предложенному в [8].
90
tdf P (t )
tdf (t ) 80
1
tdf P 2 (t )
tdf P 3 (t )
70
60
60
tdf (t ) 50
40
30
20
10
0
-10
-20
tdf P 4 (t )
tdf I (t )
50
40
1
30
20
2
3
4
5
Рис. 4. Пример функции
6
2
10
t
0
7
-10
2
3
4
3
5
6
7
t
-20
tdf I (t )
Рис. 5. Графики функций
tdf (t )
агентов P и агента I.
5. МОДЕЛЬ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ АГЕНТОМ-ИНИЦИАТОРОМ ПРОЦЕССА
ПЕРЕГОВОРОВ
Агент-инициатор I хочет найти исполнителя для некоторой работы w1 . Для этого агент I должен
сгенерировать функцию tdf I (t ) , описывающую зависимость максимального размера вознаграждения,
которое агент I согласен заплатить за выполнение работы w1 , от времени выполнения работы. Далее, в
соответствии с протоколом переговоров, агент I должен отправить предложение выполнить работу w1
потенциальным агентам-исполнителям P.
Пример функции tdf I (t ) изображен на рисунке 4.
Это означает, что если исполнитель (агент P) выполнит работу w1 за время 2 , то агент I готов
заплатить ему не более, чем 50 единиц вознаграждения, если же работа w1 будет выполнена за время 3
- то не более, чем 45 единиц вознаграждения, и так далее, если работа w1 будет выполнена за время 7 ,
то агент P должен заплатить штраф в размере 10 единиц (это обозначено отрицательным значением
функции). Каждый из агентов P, получив предложение выполнить работу, должен либо сгенерировать
ответную функцию tdf P (t ) , либо отказаться от выполнения работы.
На рисунке 5 приведен пример функций tdf P (t ) для четырёх агентов.
Получив от каждого из агентов P функцию tdf (t ) , агент I должен определить, какому из агентов P, и на
каких условиях (время выполнения и вознаграждение) поручить выполнение работы w1 . Другими
словами необходимо найти оптимальную точку (t , tdf (t )) из таблицы функций tdf Pi (t ) . Очевидно, что ни
одна из точек, которые находятся над графиком функции tdf I (t ) (сплошная жирная линия на рисунках 4,
5) не является допустимой, так как агент I не согласен платить вознаграждение, большее, чем он указал в
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
34
таблице функции tdf I (t ) . На рисунке 5 такими точками являются все точки функции tdf P (t ) и некоторые
1
точки функций tdf P2 (t ) , tdf P3 (t ) , tdf P4 (t ) .
Множество X точек (t , tdf (t )) из таблицы функций tdf Pi (t ) , которые удовлетворяют условию
(t , tdf ) X если ((tdf min(tdf P1 (t ), tdf P2 (t ),..., tdf Pn (t ))) (tdf tdf I (t ))) (t ) ,
(1)
будем называть множеством допустимых точек.
Таким образом, все допустимые точки лежат не выше графика функции tdf I (t ) . Допустимые точки
обозначены на рисунке 5 цифрами 1, 2, 3 и выделены жирным маркером. Действительно, в точках 1, 2, 3
на рисунке 5 агенты P готовы выполнить работу w1 за вознаграждение, не превышающее то
вознаграждение, которое агент I указал в своей таблице функции tdf I (t ) .
Множество X допустимых точек удобно записывать в виде следующей таблицы:
Номер точки
Точка (t , tdf )
Агент, которому
принадлежит эта
точка
1
( 3 , 37)
P4
2
( 4 , 17.2)
P3
3
( 5 , 12.5)
P3
Если же множество допустимых точек окажется пустым, то агент I должен либо пересмотреть свою
функцию tdf I (t ) и предложить новые условия выполнения работы, либо отложить выполнение этой
работы на более поздний срок, когда агенты P будут менее загружены.
Из множества X точек (t , tdf (t )) необходимо найти оптимальную, решая двухкритериальную задачу:
F (t * (t , wi ), tdf * (t , wi , tdf (t ))) max ,
(2)
где t * (t , wi ) - функция, описывающая критерий оценки времени выполнения работы wi , то есть чем
ближе время t выполнения работы wi к оптимальному, тем больше значение функции t * (t , wi ) . Причём,
при t t опт функция должна достигать максимума.
tdf * (t , wi , tdf (t )) - функция, описывающая критерий оценки размера премии агента, выполнившего
работу wi за время t .
Эту задачу будем решать при помощи метода линейной свертки. Предположим, что для агента I
равнозначимы критерии времени и вознаграждения, поэтому задачу будем решать с параметрами 1 , 1 .
Таким образом, мы получим следующую целевую функцию двух переменных t и tdf :
F (t , tdf ) (t * (t ) tdf * (tdf )) max .
(3)
Итак, нужно найти максимум этой функции на некотором множестве X точек (t , tdf ) . Формально
решение этой задачи можно записать так:
max(t * (t ) tdf * (tdf )) .
(4)
X
Учитывая, что мощность множества допустимых точек X не велика, полученную задачу будем решать
методом полного перебора.
6. ВЫВОДЫ
В статье предложена формальная модель поиска исполнителя для выполнения работы в динамической
коалиции агентов. Эти агенты являются функциональными компонентами, способными выполнять
некоторые задачи в пределах коалиции. Коалиции динамически формируются в процессе выполнения
задачи. Агент присоединяется к коалиции при поручении ему работы.
При поиске исполнителя для новой работы в коалиции агенты должны взаимодействовать – вести
переговоры. Процесс переговоров рассматривается как специальный тип координации, позволяющий
найти оптимального исполнителя для работы. В качестве объекта переговоров в статье используется
Фізико-математичні науки
35
размер вознаграждения, которое получит агент-исполнитель за выполнение работы. Размер
вознаграждения описывается таблично заданной функцией tdf (t ) , зависящей от времени выполнения
работы.
Протокол переговоров при поиске исполнителя (распределении работ) аналогичен протоколу FIPA CNP.
В процессе переговоров участвуют два агента – агент-инициатор и агент-исполнитель. Агент-инициатор
ведёт переговоры с несколькими агентами-исполнителями. Переговоры начинаются с того, что агентинициатор предлагает агентам-исполнителям выполнить работу w за вознаграждение, описываемое
функцией tdf (t ) агента-инициатора. Далее агенты-исполнители должны оценить свою возможность
выполнить работу w и возвратить агенту-инициатору свою функцию tdf (t ) , после чего агент-инициатор
должен, на основании полученных функций tdf (t ) определить оптимального агента-исполнителя.
Под оптимальным исполнителем понимается исполнитель, который выполнит работу на наиболее
выгодных для агента-инициатора условиях – времени выполнения и размере вознаграждения. Поиск
оптимального исполнителя состоит в решении двухкритериальной задачи (2) с критериями времени
выполнения и размера вознаграждения. В качестве метода решения этой задачи предложен метод
линейной свёртки.
Предложенная модель поиска исполнителя для выполнения работы позволяет эффективно распределять
работы между агентами в динамической коалиции. Это обеспечивается параметрической обратной
связью.
Модели и подход, представленные в этой статье, требуют дальнейшего развития. Следующие аспекты
позволяют расширить и дополнить предложенную модель. Коэффициенты в методе линейной свертки
влияют на решение двухкритериальной задачи (на выбор оптимального исполнителя). Для некоторых
работ критерии времени и вознаграждения могут быть неравнозначными. Поэтому необходим механизм
выбора значений для этих параметров. Кроме того, требует своей разработки модель принятия решения
агентом-исполнителем, на основании которой агент-исполнитель будет составлять свою функцию tdf (t ) ,
описывающую его возможности выполнить работу.
ЛИТЕРАТУРА
1.
S. U. Borue, V. A. Ermolayev, V. A. Tolok: Application of Diakoptical MAS Framework to Planning
Process Modelling. // "Проблемы программирования" научный журнал №1-2, 2000, ISBN 966-021244-5, спец. выпуск: Труды 2-й международной научно-практической конференции по
программированию (УкрПРОГ'2000), Киев, 23-26.052000 г., стр. 488-500
2.
Борю С. Ю., Ермолаев В. А.,Толок В. А. О диакоптическом подходе к моделированию процессов во
многофункциональных информационных системах. // "Искусственный интеллект" научнотеоретический журнал №2, 1999, ISSN 1561-5359, спец. выпуск: Труды Международной
конференции Знания - Диалог - Решение (KDS'99). Кацивели, 13-18.09.1999, стр. 211-219
3.
V. A. Ermolayev, S. U. Borue, V. A. Tolok, N. G. Keberle: "Use of Diakoptics and Finite Automata for
Modelling Virtual Information Space Agent Societies", "Вісник Запорізького державного університету"
№1, 2000, стр. 34-44.
4.
Толок В.О., Борю С.Ю., Єрмолаєв В.А., Кеберле Н.Г., Плаксін С.Л., Міхайліченко В.В. Формальні
принципи і методи взаємодії моделей функціональних об'єктів єдиного інформаційного простору
ВУЗу. Проміжний звіт з д/б проекту № 10/99 Міністерства освіти і науки України, ЗДУ, Запоріжжя,
2000 р. 51 с.
5.
Nwana, H. S. Software Agents: an Overview // Knowledge Engineering Review, Vol. 11, No 3, Oct./Nov.
1996., pp. 205-244.
6.
N. R. Jennings: Coordination Techniques for Distributed Artificial Intelligence, in Foundations of
Distributed Artificial Intelligence (eds. G. M. P. O'Hare and N. R. Jennings), Wiley, 1996, pp. 187-210.
7.
V. A. Ermolayev, S. U. Borue, V. A. Tolok, Co-operative Tasks Execution by the Coalitions of Rational
Software Agents // Submitted to the 5-th Intl. Workshop on Cooperative Information Agents (CIA’01), Sep
5-8, Modena, Italy
8.
FOUNDATION FOR INTELLIGENT PHYSICAL AGENTS. FIPA Contract Net Interaction Protocol
Specification. Version E. Ref. No XC00029E. 2001. http://www.fipa.org/specs/fipa00029/ Last accessed
on 10 Apr. 2001.
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
36
УДК 539.3
МЕТОД ЗБУРЕННЯ В ЗАДАЧАХ ПРО ПЕРЕДАЧУ
НАВАНТАЖЕННЯ БАГАТОШАРОВIЙ ПЛАСТИНI КIНЦЕВИХ
РОЗМIРIВ
Кагадiй Т.С., к.ф.-м.н., доцент
Нацiональна гiрнича академiя України (м.Днiпропетровськ)
За допомогою метода збурень [1,2] одержаний розв’язок нової контактної задачi про передачу
навантаження пружним стрингером пружнiй пластинi, яка складається з двох з’єднаних мiж собою
ортотропних прямокутникiв з рiзних матерiалiв. Пластина закрiплена по двох сторонах. Стрижень
вмiщено посереденi вiльних кромок, перпендикулярно до них. Пiдкрiплюючий елемент неперервно
скрiплений з пластиною симетрично до ії серединної площини. Приймається схема контакту по лiнiї.
Нехай пружна пластина, яка складається з двох прямокутникiв 0xh1, h1 xh 2, y b, закрiплена по
гранях у = b та вздовж осi Ох посилена стрингером, який у граничнiй точцi х=0 навантажений
подовжньою силою P0. Матерiали прямокутникiв ортотропнi та рiзнi, головнi напрямки анiзотропiї
збігаються з декартовими осями координат х,у. Необхiдно визначити закон змiнення зусилля в стрижнi, а
також розподiл контактних зусиль взаємодiї мiж стрингером та пластиною.
Задача зведена до iнтегрування рiвнянь рiвноваги для кожного з прямокутникiв
B
G u
B*u xx Gu yy * B* G v xy 0,
B*v yy Gv xx
*
*
0
xy
при таких граничних умовах:
11 B* u x *v y 0, 12 G u y v x 0( x 0, x h1 h2 );
u uc ,v 0( y 0);u v 0( y b),
при x=h1 перемiщення прямокутникiв рiвнi, а змiщення стрингера задовольняють вiдношенням
EFucxx 2q( x),
N EFucx P0 ( x 0);N 0( x h1 h2 ).
Тут u,v компоненти вектора перемiщень вiдповiдних прямокутникiв; B*, B* жорсткостi
прямокутникiв на розтяг-стискання вздовж головних напрямкiв; G жорсткiсть на зсув; EF жорсткiсть
на розтяг-стискання стрингера; 11, 12 нормальне та дотичне зусилля в пластинi; *, * коефiцiєнти
Пуассона матеріалів; q(x), N(x) контактне зусилля взаємодiї мiж стрингером i пластиною та зусилля в
стрингерi; iндекси x, y позначають диференцiювання по вiдповiдних координатах. Оскільки при y= 0 v =
0 (vx = 0), то контактне зусилля взаємодiї мiж стрингером i пластиною визначається за формулою
q( x) 12
y 0
Gu y
y 0
.
При визначеннi зусилля в стрингерi та зусилля контактної взаємодiї вiдповiдно до розщеплення
напружено-деформованого стану пластини [1, 2] сформульована вище крайова задача для кожного з
прямокутникiв зводиться до такого:
Bi uixx Gi uiyy 0,
uix 0( x 0, x h1 h2 ),uix f ( y )( x h1 ),
ui uc ( y 0),ui 0( y b),
EFucxx 2Gi uiy ( y 0),
ucx P0 / EF ( x 0),ucx 0( x h1 h2 ),
ucx f (0)( x h1 )(i 1,2),
(1)
(2)
(3)
(4)
де f(y) невiдома функцiя; Bi вiдповiднi значення B* для кожного прямокутника; iндекси i = 1, 2
вiдносяться до вiдповiдних прямокутникiв.
Фізико-математичні науки
37
Пiсля застосування до рiвнянь (1), (3) косинус-перетворення Фур’є з кiнцевими межами по координатi x
з урахуванням граничних умов (2), (4) одержимо
*
uiyy
i2 i2 (n)ui* (n, y ) i i2 (1) n f ( y ),
EF i2 (n)ui* (n,0) i Pi EFf (0)(1) n 2Gi uiy*
(5)
y 0
(6)
,
i2 Bi / Gi , i (n) n / hi , 1 1, 2 (1) n ,
hi
u i* (n, y ) ui ( x, y ) cos i (n) xi dxi
P1 P0 , P2 0,
0
(0 x1 h1 ,0 x 2 h2 ;x1 x, x 2 x h1 ).
Розв’язок рiвнянь (5) одержано за допомогою синус-перетворення Фур’є з кiнцевими межами по
координатi y (0 y b). Повертаючись до оригіналу, знаходимо
ui* (n, y ) i
2b i2
(1) n
2
m1
,
sh
n
b
y
(
)(
)
i i
ui* (n,0)
sh i i (n)b
F ( m) sin( (m) y )
m 2 i*2 (n)
(7)
b
F ( m) nb
f ( y) sin( (m) y)dy, i (n) i hi , (m) *
0
Пiсля визначення uiy*
y 0
m
.
b
з (7) з урахуванням, що
b
mF (m)
m
f ( y ) sin( (m) y )dy 2
*2
2
*2
m1 m i ( n)
m1 m i ( n) 0
2
b
Ai (n), Ai (n) 0
(8)
sh i i (n)(b y )
f ( y)
dy,
sh i i (n)b
i пiдставляючи його значення в (6), одержимо
hi2 Pi i
1
f (0) g i Ai (n) (1) n ,
2 hi
n
n
g
cth
( i i (n)b)
EF i
g i 2Gi i hi /(EF )
ui* (n,0) i
(9)
Функцiї ui*(n, y) визначаються з (7) з урахуванням (9), а перемiщення ui(x, y) виражаються за допомогою
ряду
u i ( x, y ) 2
hi
ui* (n, y) cos i (n) xi .
(10)
n 1
Для оцiнки iнтегралiв Аi(n) з (8) застосуємо другу теорему про середнє значення в iнтегральному
численнi, яка формулюється так [3]: нехай (x) монотонна i неперервно диференцiйована в iнтервалi
a x b функцiя, f(x) неперервна функцiя в цьому iнтервалi, тодi знайдеться таке число , a b, що
b
b
f ( x) ( x )dx (a) f ( x)dx (b) f ( x)dx.
a
a
Припускаючи, що Ai(n) є вiдношення гiперболiчних синусiв ( y ) Ai (n) sh i i (n)(b y )
, одержимо
sh i i (n)b
i
f ( y)dy Ai const.
0
Тодi з (10) при y = 0 знаходимо
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
38
ui ( x,0) P
2hi
i EFi f (0) 2
n 1
cos i (n) xi
g i Ai (1) n hi
nn g i cth( i i (n)b)
i
(11)
При ( i i (n)b) 1cth( i i (n)b) 1,n g i cth( i i (n)b)1 (n g i ) 1
У цьому випадку, знаходячи uix(x,0) з урахуванням [4], що
sh(1 xi / hi ) sin i (n) xi
d
,
g i
2
sh
n
g
g
2
(
)
i
n1
i
0
sh(1 xi / hi ) (1) n sin i (n) xi
d
g i
sh
n gi
( g i ) 2 2
n 1
0
g i
2
0
sh(1 2 xi / hi ) d
,
sh
( g i / 2) 2 2
щоб задовольнити граничним умовам (4), припустимо, що в (11) Аi = 0. Тодi
ui ( x,0) 2 hi
2hi
P
cos (n) x
i EFi (1) n f (0) nn gi cthi( i ii (n)b) ,
2
(12)
n 1
(i 1,2).
Невiдоме значення f(0) визначається з умови, що при x = h1, u1 = u2 Якщо дорівняти перемiщення (12) при
x = h1, будемо мати
f (0) P0 cos 1 (n) x1
EF n 1 nn g1cth(11 (n)b)
x h1 h
(1) n cos 1 (n) x1
2
n
n
g
cth
n
b
h1
(
(
)
)
n 1
1
1 1
x h1
1
cos 2 (n) x2
.
n
n
g
cth
n
b
(
(
)
)
2
2 2
n 1
x2 0 (13)
Рiвнiсть перемiщень (10) при x= h1 дозволяє знайти невiдому функцiю f(y) i при довiльних значеннях
координати y.
Зусилля в стрингері N(x) i контактне зусилля взаємодiї мiж стрингером i пластиною q(x) визначається з
формул
N ( x ) EFu x ( x,0), q( x) Gu y
де функцiї uix ( x,0), uiy
uiy
y 0
(14)
,
мають вигляд
y 0
uix ( x,0) y 0
2
2 i
sin (n) x
P
P
cth( (n)b) cos (n) x
i EFi f (0)(1) n n g i cth(i i i i(n)b)
,
(15)
n 1
i EFi f (0)(1) n n i gii cth( i i (ni)b) i ,
n 1
(16)
(i 1,2).
Розглянемо деякi окремi випадки. При b i кiнцевих значеннях h1 i h2 cth ( i i(n)b ) . У цьому
разi одержимо розв’язок задачi для двох, з’єднаних мiж собою ортотропних смуг, пiдкрiплених вздовж
осi Ох стрингером, який у точцi х = 0 навантажений силою P0, причому f(0) визначається з формули (13),
якщо вважати cth ( i i(n)b ) = .
При h2 з (13) одержимо
Фізико-математичні науки
39
f (0) P0 cos 1 (n) x1
EF n 1 n n g1cth(11 (n)b)
x h1 (1) n cos 1 (n) x1
cos x2 s
ds
*
n 1 nn g1cth(11 (n)b) x h1 h1 0 s s g 2 cth( 2bs)
x 20 (17)
1
де g 2* 2G2 2 /( EF ).
Якщо в останньому випадку b , тодi cth(b) 1. При цьому розв’язок (17) переходить у розв’язок
задачi про передачу навантаження двошаровiй пластинi, одним з шарiв якої є напiвплощина.
При h1 ( b const ) f(0) 0, одержимо розв’язок задачi про передачу навантаження вiд стрингера до
ортотропної напiвсмуги, закрiпленої по боках. Тодi
u1 ( x,0) u1x ( x,0) u1 y
y 0
2 P0
EF
2 P0
EF
0
2 P01
EF
cos xs
ss g1*cth(1bs) ds,
sin xs
s g1*cth(1bs) ds,
0
s
0
cos xs
th(1bs ) g1*
(18)
ds,
g1* 2G11 /( EF ).
Вiдношення (18) при b переходять у розв’язок задачi про передачу навантаження вiд пружного
стрингера до пружної ортотропної напiвплощини [1].
Малим значенням параметра s вiдповiдають великi значення координати x, i в цьому випадку з (18)
одержимо
u1 ( x,0) ( P0 / 1 EF )e 1x ,u1x ( x,0) ( P0 / EF )e 1x ,
u1 y
y 0
(19)
( P0 / b 1 EF )e 1x , 12 2G1 / bEF .
Значення (19) вiдповiдають розв’язку задачi про передачу навантаження пружним стрингером пластинi,
яка працює тiльки на зсув.
Якщо у вихiднiй задачi для двох прямокутникiв припустити, що пластина працює тiльки на зсув, тодi
розв’язки для перемiщень ui(x,0) мають вигляд
u1 ( x,0) u 2 ( x,0) P0 ch 1 (h1 x) f (0)ch 1 x
,
EF
1sh 1h1
f (0)e 2 x 1 e 2 2 ( h2 x )
2 e 2h1 1 e
, 22
2 2 ( h2 h1 )
(20)
2G2 / bEF .
За умови, що при x h1u1 ( x,0) u 2 ( x,0)
1
f ( 0) P0
2 e 2 2 h1 e 2 2 h2 2 cth 1h1 .
1
EF 1sh 1h1 e 2 2 h1 e 2 2 h2
(21)
З рiвностi (21) випливає, що при h1 f(0) 0; при h1 0 f(0) P0 /EF; при h2 0 (2 0)
f(0) 0; при h2 f (0) ( P0 / EF )ch 1h1 1 / 2 sh 1h1 1.
(22)
Великим значенням s у вiдношеннях (18) вiдповiдають малi значення координати х. У цьому випадку з
(18), наприклад, одержимо
u1 y
y 0
(2 P01 / EF )(cix* cos x* six* sin x* ),x* g1* x.
Вісник Запорізького державного університету
(23)
№1,2001
40
Рiвняння (23) вiдповiдає розв’язку задачi про передачу навантаження вiд пружного стрингеру до
ортотропної напiвплощини [1], i в цьому випадку дiйсне лише в деякому околi точки х = 0.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Маневич Л. И., Павленко А. В. Ассиметрический метод в микромеханике композиционных
материалов. -К. : Вища школа, 1991.- 131 с.
2.
Маневич Л.И., Павленко А.В., Коблик С.Г. Асимптотические методы в теории упругости
ортотропного тела.-К.-Донецк:Вища школа,1982.153с.
3.
Курант Р.Курс дифференциального и интегрального исчисления.-М.: Наука, 1967.-Т.1. -704 с.
4.
Заездный Ф.М.Гармонический синтез в радиотехнке и электросвязи.- Л.: Энергия, 1972. -527 с.
УДК 519.68(001.4)
ВЫБОР ОПТИМАЛЬНЫХ МАРШРУТОВ ПРИ
НЕОПРЕДЕЛЕННОМ РАЗМЕЩЕНИИ ОБЪЕКТОВ
Козина Г.Л., к.ф.-м.н., доцент, Семений Т.В., студент
Запорожский государственный университет
Одной из ключевых проблем, возникающих при решении различных задач, является поиск и выбор
оптимальных в некотором смысле решений. Многообразие, а часто и противоречивость различных
требований к проектируемой системе или оптимизируемому объекту, неполнота информации,
неточность используемых моделей неизбежно приводят к тому, что реальные задачи оптимизации
приходится решать в условиях неопределенности [1,3].
Рассмотрим проблему выбора оптимальных маршрутов при неопределенном размещении объектов.
Такая проблема может возникнуть при проектировании, планировании строительства нескольких
объектов (например, нескольких заводских зданий), между которыми существуют некоторые связи
(например, газопроводные трубы). Причем территория, на которой может быть построен каждый из
объектов, во много раз превосходит размер самого объекта. Следовательно, расстояния между объектами
могут колебаться в некоторых пределах. Необходимо найти такой маршрут трубопровода между
планируемыми объектами, который, не образовывая циклов, имел бы минимальную длину.
При описании математической постановки задачи рассмотрим граф, вершинами которого будут объекты
строительства, а ребрами – расстояния между этими объектами. Ребрам графа припишем вес, имеющий
вид интервала (т.к. расстояния между объектами точно не определены). Все возможные варианты
маршрутов будут являться остовными деревьями данного графа. Оптимальным решением такой задачи
будет остовное дерево (или несколько деревьев), имеющие наименьший вес.
При фиксированном расположении объектов имеет место вещественная постановка задачи об остовном
дереве минимального веса. Для решения этой задачи существуют два алгоритма нахождения ее
оптимального решения – алгоритмы Прима и Краскала.
При интервальной постановке задачи о минимальном остовном дереве существуют два подхода к
определению наилучшего решения. Первый подход был предложен Перепелицей В.А. и Козиной Г.Л.
[2,4] и заключается в определении паретовского множества на множестве всех допустимых решений
задачи. Второй подход, предложенный турецкими учеными Hande Yaman, Oya Ekin Karasan, Mustafa G.
Pinar в [5], вводит в рассмотрение постоянные и слабые решения.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть задан обыкновенный неориентированный граф G со множеством вершин V и множеством ребер Е
(G=(V,E)). Пусть каждому ребру e графа G приписан интервальный вес c(e), т.е. вес ребра колеблется в
пределах некоторого интервала: ce [ce ,ce ] .
Допустимым решением рассматриваемой задачи является остовное дерево: T V , ET , где V –
множество вершин исходного графа, ЕТ – множество ребер, относящихся к данному решению Т.
Множество допустимых решений обозначим через Г.
Фізико-математичні науки
41
Вес допустимого решения Т определяем следующим образом:
сТ c(e) c(e), c(e) сТ , сТ .
eEТ
eEТ
eEТ
Далее будем рассматривать задачи, оптимальным решением которых является допустимое решение,
имеющее наименьший вес. Поскольку вес допустимого решения является интервалом, то для сравнения
решений необходимо ввести порядок на множестве Г.
ПОДХОДЫ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Рассмотрим два паретовских множества Р1 и Р2, порождаемых порядками, введенными на множестве
допустимых решений Г.
Допустимое решение
Т “лучше” допустимого решения Т, если концы интервала сТ не превосходят
строго меньше
сТ с Т с Т , сТ с Т соответствующего конца интервала сТ .
соответствующих концов интервала
и хотя бы один конец интервала сТ Допустимое решение
~
Т называется
паретовским оптимумом, если для него не существует “лучшего” допустимого решения. Множество,
состоящее из таких паретовских оптимумов, называют паретовским множеством, которое обозначим
через Р1.
Этот порядок на множестве допустимых решений был рассмотрен Перепелицей В.А. и Козиной Г.Л. [2].
Рассмотрим также порядок, введенный на множестве допустимых решений, предложенный в [3].
Допустимое решение
Т
“строго лучше” допустимого решения Т, если правый конец интервала
сТ ~
строго меньше левого конца интервала сТ , т.е.: сТ сТ . Допустимое решение Т называется
паретовским оптимумом, если для него не существует “строго лучшего” допустимого решения.
Множество, состоящее из таких паретовских оптимумов, называют паретовским множеством решений
Р2.
В качестве решения задачи можно принять как множество Р1, так и множество Р2
В роли решения интервальной задачи может выступать как паретовское множество, так и другие
множества альтернатив, которые являются его подмножествами. Наиболее распространенными являются
полное множество альтернатив и лексикографическое множество, рассмотренные в [ 4 ].
После выбора полного множества альтернатив, в нем можно выделить лексикографическое множество
альтернатив. В полном множестве альтернатив всегда существует решение Т* с минимальным значением
левого предела интервала веса и решение Т** с минимальным весом правого предела интервала веса.
Подмножество полного множества альтернатив, которое объединяет решения Т* и Т**, называется
лексикографическим множеством альтернатив. Обозначим лексикографическое множество
ˆ lex . Отметим, что лексикографическое множество альтернатив может состоять либо
альтернатив через из одного, либо из двух элементов. В [4] предложен алгоритм, позволяющий найти всех представителей
лексикографического множества альтернатив.
Другим способом нахождения решения интервальной задачи о минимальном остовном дереве является
введение в рассмотрение слабых и постоянных деревьев.
Остовное дерево является постоянным, если оно является минимальным остовным деревом при всех
реализациях весов ребер.
Остовное дерево является слабым деревом, если оно является минимальным остовным деревом для
некоторой реализации весов ребер графа.
Приведем ниже теоремы, характеризующие постоянные деревья.
Теорема 1 [5]. Остовное дерево является постоянным деревом тогда и только тогда, когда оно является
минимальным остовным деревом, если веса всех ребер, принадлежащих этому дереву, находятся на их
верхних пределах (границах), а веса всех остальных ребер находятся на их нижних пределах.
Теорема 2 [5]. Остовное дерево является слабым в том и только в том случае, если оно является
минимальным остовным деревом, когда веса всех ребер этого дерева находятся на их нижних пределах, а
веса остальных ребер – на их верхних пределах.
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
42
При данном подходе решением задачи может быть либо постоянное дерево, если оно существует, либо
множество слабых решений, если постоянное дерево не существует.
СВЯЗЬ МНОЖЕСТВ ПАРЕТО СО МНОЖЕСТВОМ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
Установим связь паретовских множеств решений Р1, Р2 со множеством слабых решений W с помощью
следующих теорем.
Теорема 3. Паретовское множество решений Р1 является подмножеством множества слабых решений W.
Доказательство. Пусть Т – паретовский оптимум, т.е. ТP1. Докажем, что ТW.
Возьмем следующую реализацию весов S: ребрам, принадлежащим дереву Т, припишем веса,
соответствующие их нижним границам, а всем остальным ребрами графа – веса, соответствующие их
верхним границам. Тогда
c TS c T . Покажем, что при этой реализации весов ребер графа выбранное
паретовское решение ТP1 является минимальным и, следовательно, принадлежит множеству слабых
решений W.
Предположим противное. Пусть существует решение
реализации:
T , имеющее меньший вес при выбранной
c TS c TS .
(1)
Для остовного дерева T имеем:
сTS c
S
c
(e) eT S
(e) eT T c
S
(e) eT \T
c (e ) c (e )
eT T eT \T
В силу (1) имеем
сTS c ( e ) c ( e ) с ( е ) с ( е) c
eT T eT \T
еТ Т еТ \Т T
(2)
Так как при любой реализации S
c T c TS c T ,
то, согласно (2),
cT cT
(3)
Из (2) также следует
c ( e ) с ( е) c ( e )
eT \T
еТ \Т eT \T или
c (e) c (e)
eT \T
(4)
eT \T Добавив к обеим частям (4) слагаемое
ce , получим
еТ Т cT cT .
(5)
Из (3) и (5) следует, что остовное дерево T “лучше” паретовского оптимума Т, что противоречит
определению паретовского оптимума. Найденное противоречие доказывает теорему.
Теорема 4. Множество слабых решений W является подмножеством множества паретовских решений Р2.
Доказательство. Пусть Т – слабое решение, т.е. ТW, и предположим, что ТР2. Следовательно, для
него существует “строго лучшее” решение Т , для которого выполняется неравенство сТ сТ . Так как
решение ТW, то для него существует такая реализация S весов ребер с S(е), eE, при которой это
решение является минимальным и, значит,
Фізико-математичні науки
c TS c TS . Цепочка неравенств сТ . c TS c TS сТ сТ .
43
приводит к противоречию: сТ . c TS сТ .
Теорема доказана.
В теории принятия решений в качестве одного из критериев выбора наилучшего решения используют
критерий “идеальной точки”.
Каждому допустимому решению T сопоставим его образ с(Т)=( c T
, c T ) в двумерном пространстве R 2 .
Если на оси Ох отложить значение нижних границ с Т весов всех допустимых решений ТР1, а на оси Оу
– значения их верхних границ c Т , то тогда идеальной точкой U назовем точку с координатами (u,v), где
u min c T , v min cT .
T P1
T P1
Введем в понятие расстояния от образа c(T)=(a,b) в
c(T ),U R 2 допустимого решения T до идеальной точки U:
a u 2 b v 2 .
Сформулируем и докажем теорему о связи паретовского решения, слабого непаретовского решения и
идеальной точки.
Теорема 5. Если Т0 – слабое непаретовское решение, то для него существует паретовское решение
Т*Р1, “лучшее” его, и образ его находится ближе к идеальной точке U, т.е.
c(Т *),U c(T0 ),U .
Доказательство. Сопоставим решениям Т0 и Т* их образы в пространстве R 2 , имеющие координаты
(a,b) и (c,d) соответственно. Пусть U - идеальная точка, имеющая координаты (u,v). Из условия теоремы
следует, что c a и d b, причем одно из этих неравенств - строгое. Следовательно,
c u 2 (d v) 2 a u 2 (b v) 2 ,
что и требовалось доказать.
Теорема 6. Если существует постоянное дерево, то оно принадлежит паретовскому множеству Р1.
Доказательство. Пусть Т – постоянное дерево. Докажем, что ТР1.
Предположим, что ТР1, т.е. существует допустимое решение
неравенства
сТ сТ ,
Т , “лучшее” Т. Тогда выполняются
сТ сТ ,
и, по крайней мере, одно из них - строгое. Пусть для определенности
сТ сТ
(6)
Так как Т является постоянным деревом, то для него верно следующее неравенство, которое выполняется
для любых реализаций S:
c TS c TS .
Рассмотрим реализацию S , при которой веса всех ребер графа находятся на их нижних пределах. Для
этой реализации справедливо неравенство
сТ сТ .
Отсюда, учитывая (6), приходим к противоречию: сТ сТ сТ .
Теорема доказана.
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОСУЩЕСТВЛЕНИЮ ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНОГО
МАРШРУТА ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОМ РАЗМЕЩЕНИИ ОБЪЕКТОВ
Сформулировав и доказав теоремы, определяющие связь паретовских множеств со множеством слабых
деревьев, мы получили следующие включения:
1) Р1 W P2 ,
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
44
2) если Т – постоянное дерево, то ТР1.
Для поставленной нами задачи о выборе оптимального маршрута при неопределенном размещении
объектов наилучшим решением является постоянное дерево. Но если постоянного дерева не существует,
то тогда в качестве решения задачи мы берем паретовское множество решений Р1.
Если множество Парето Р1 состоит из большого числа элементов (более двух), то в качестве решения
задачи можно взять лексикографическое множество решений, которое является подмножеством
ˆ lex P1 . В этом случае оптимальными будут либо одно, либо два
паретовского множества Р1 : решения, что значительно облегчает выбор для лица, принимающего решения.
Множество слабых решений W является более широким, чем паретовское множество Р1. Паретовское
множество P2 может содержать решения, которые не будут оптимальны ни при каких реализациях весов
ребер. Поэтому ни W, ни, следовательно, P2 нецелесообразно рассматривать в качестве решения
исходной задачи.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления: Пер. с англ. Г.Е. Минца, А.Г.
Яковлева / Под ред. Ю.В. Матиясевича. – М.: Мир, 1987. – 356 с.
2.
Kozina G.L., Perepelitsa V.A. Spanning Trees Problem: Solvability and Computational Complexite//
Interval Computations, 1.- 1994. - P.42 – 50.
3.
Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. – Изд-во МЭИ (СССР);
«Техника» (НРБ), 1989. – 224 с.
4.
Козіна Г.Л. Доcлідження екстремальних задач на графах з інтервальними параметрами // Вісник
Запорізького державного університету, 1999. - №1. – С. 63-68.
5.
Yaman H. Karasan O.E. Mustafa O.P. Minimum Spanning The Problem with. Interval Data, Bilkent
University, Department of Industrial Engineering, Techical Report 9909, July, 1999.
УДК 681.142.2
АЛГОРИТМ ПЛАНАРНОСТИ ГРАФА
Курапов С.В., к.ф.-м.н., доцент, Кондратьева Н.А., к.ф.-м.н., доцент
Запорожский государственный университет
Имеется несколько критериев планарности графа, данные Л.С.Понтрягиным, К.Куратовским,
К.Вайнером, С.Маклейном. Критерии планарности таковы, что если даже удалось установить
планарность графа, то нет информации о том, как строить его укладку на плоскости. В тоже время при
решении практических задач, недостаточно знать, что граф планарен, а необходимо, построить его
плоское изображение. Все это вызвало появление алгоритмов, которые не только проверяют граф на
планарность, но и одновременно строят его плоскую укладку.
Один из таких алгоритмов разработан в 1970 г. Хопкрофтом и Тарьяном [1-3]. Они нашли алгоритм,
требующий О (Nlog N) единиц времени, который они в конечном счете улучшили до О (N).
Данный алгоритм проверяет граф на планарность и, если он планарен, производит его плоскую укладку.
Однако данный алгоритм не может быть применен для решения задачи построения и выделения
максимально плоского суграфа из непланарного графа, а также для решения задачи построения рисунка
графа с минимальным числом пересечений для непланарного графа. Данная работа направлена на
преодоление указанных недостатков и описывает алгоритм планарности, который возможно применить
для решения вышеперечисленных задач.
Будем рассматривать связные несепарабельные неориентированные графы без петель и кратных ребер.
Пусть G(X,U;P) - граф с множеством вершин X={x1,x2,...,xn} и ребер U={u1,u2,...,um}, где n-количество
вершин графа и m-количество ребер графа G.
Пусть L - множество всех суграфов этого графа [4]. Относительно операции сложения
def
( X , U 1; P ) (X,U2;P) (X,(U1 U2)\(U1 U2);P)
Фізико-математичні науки
(1)
45
это множество, как известно, образует абелеву 2-группу, которую можно рассматривать как векторное
пространство над полем из двух элементов GF(2). Размерность этого пространства, называемого
пространством суграфов графа G, конечно и равно m (dim LG=m). В качестве базиса этого пространства
выберем множество однореберных суграфов (u1,u2,...,um). Тогда в этом базисе каждому элементу Y
пространства LG однозначно сопоставляется последовательность координат (a1,a2,...,am), где ai {0,1}.
При этом оказывается, что ребро ui входит в суграф Y, если ai = 1, и не входит в данный суграф - в
противном случае. В дальнейшем для удобства будем отождествлять пространство суграфов LG и его
координатное пространство.
Напомним, что суграф называется квазициклом, если все его вершины имеют четную валентность (в
данном случае валентность совпадает с локальной степенью вершины). Множество графа G образует, как
С
легко можно видеть, подпространство квазициклов L G пространства LG [4,5]. Известно, что размерность
С
подпространства L G совпадает с цикломатическим числом (G) = m – n + 1 графа G, а порядок группы
С
L G равен 2(G).
Теперь мы можем сформулировать критерий планарности Мак-Лейна [6].
Теорема 1 [Мак-Лейн]. Граф G планарен тогда и только тогда, когда существует такой базис
подпространства квазициклов, где каждое ребро принадлежит не более, чем двум циклам.
Выберем некоторый базис (с1,c2,...,ck), где k = (G) - размерность подпространства квазициклов.
Рассмотрим матрицу С, строки которой соответствуют элементам указанного базиса
C
a 11
a 12
a 21
a 22
a k1
a k2
a 1m
a 2m
a km
элементы aij этой матрицы принадлежат полю GF(2)={0,1}. Очевидно, что указанный базис
удовлетворяет условию Мак-Лейна тогда и только тогда, когда в каждом столбце матрицы С содержится
'
'
'
не более двух единиц. Рассмотрим другой базис этого подпространства (c 1 ,c 2 ,...,c k ), которому
соответствует матрица С’. Тогда эти матрицы связаны отношением
С’ = ТС,
(2)
где Т - невырожденная матрица (матрица перехода от базиса С к базису С’). Поскольку каждая
невырожденная матрица разлагается в произведение элементарных матриц P1,P2,...,Ps, а умножение
слева на элементарную матрицу равносильно выполнению одной элементарной операции над строками,
то из (2) следует, что
С’ = Ps Ps-1...P1C.
(3)
Таким образом, каждый базис в этом пространстве получается из данного базиса при помощи цепочки
элементарных преобразований. А на матричном языке проблема распознавания планарности сводится к
нахождению такой матрицы в классе эквивалентных матриц (т.е. матриц, которые получаются друг из
друга при помощи элементарных преобразований над строками), у которой в каждом столбце
содержится не более двух единиц [6].
Указанный критерий позволяет разработать методику определения планарности графа, сводя проблему
планарности к отысканию минимума некоторого функционала на множестве базисов подпространства
квазициклов. Определим следующий функционал на матрице С, соответствующий базису
подпространства квазициклов (и будем его впредь называть функционалом Мак-Лейна)
m
m
i =1
i =1
2
F(С) = (Si 1)(Si 2) = S i
m
+
S
i=1
i
(4)
+2m,
где Si - сумма элементов в i-ом столбце матрицы. Очевидно, что матрица С соответствует базису МакЛейна (т.е. базису, удовлетворяющему условию Мак-Лейна) тогда и только тогда, когда F(С) = 0.
Функционал F(С) принимает целое неотрицательное значение и проблема отыскания базиса Мак-Лейна,
таким образом, является частным случаем следующей задачи дискретной оптимизации: найти минимум
F(С) на множестве матриц С размера k m и ранга k =(G).
Очевидно, что не для любого графа G минимум F(С) будет равен нулю, согласно критерию Мак-Лейна.
Отметим, что нулевое значение данный функционал принимает только в случае планарного графа. В
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
46
общем случае решение указанной задачи минимизации позволяет построить алгоритм выделения
максимально плоского суграфа. Поэтому вначале рассмотрим свойства функционала F(С), где С
пробегает множество указанных матриц.
Введем понятие модуля пересечения на множестве квазициклов. Для двух квазициклов Сi и Cj модуль
пересечения, будем обозначать его (Ci, Cj), представляет собой скалярное произведение двух векторов и
определяется из следующей формулы
(Ci, Cj) = Ci Cj .
(5)
Как видно, (Ci, Cj) - длина квазицикла в ребрах, а Ci Cj квазициклов Ci и Cj.
- мощность множества пересечения
Введем для произвольно заданного базиса Q(G), Q(G) = {ci ; i = [1,k]}, следующую оценку:
EC k k
(C i , C j ) c1 , c1 c1 , c 2 c k , c k (6)
i =1 j=1
i
где С = m - мерный вектор:
C i a i1 , a i2 , , a im , a ip 0,1.
Учитывая также, что
m
i, j
(C C ) =
a
p=1
ip
ajp
(7)
Это вытекает из свойства скалярного произведения векторов. Записываем Е(С) в следующем виде:
k
Е(С) =
k
m
( a
i 1 j=1
p=1
m
i pa j p ) =
k
k
( a
p=1
i=1 j=1
ip
ajp)
(8)
Легко видеть, что
k
k
a
i=1 j=1
ip
a j p = S 2p ,
(9)
где Sp - количество циклов, содержащих p-ое ребро. Подставляя выражение (8) в (9), получим:
m
Е(С) =
S
p=1
2
p
.
(10)
Между функционалом Мак-Лейна (4) и (7) имеется следующая связь:
k
F(C) = E(C) - 3
l
i=1
i
+ 2m,
(11)
и, таким образом, функционал Мак-Лейна можно записать через модуль пересечения квазициклов
(li - длина i-го квазицикла)
k
F(C) =
k
k
(C , C ) 3 (C ,C ) 2 m .
i=1 j=1
i
j
i=1
i
j
(12)
Следующее выражение, справедливое для плоских графов, связывает количество ребер плоского графа и
суммарную длину квазициклов, принадлежащих выбранному базису. Для базиса Мак-Лейна (система
циклов [ 6 ] ):
k
l
i =1
i
l 0 2m = 0 ,
где l0 - длина обода графа.
Фізико-математичні науки
(13)
47
Введенное выражение (13) позволяет построить целый спектр функционалов, эквивалентных
функционалу Мак-Лейна и характеризующих любой базис с учетом обода графа. Например,
F1(C) =
m
k
j =1
i =1
S 2j 2 l i l 0 ;
m
F2(C) =
j =1
S 2j (14)
k
l i 2l 0 2 m ;
(15)
i =1
m
F3(C) =
S2j +3l -4m
(16)
0
j =1
В качестве иллюстрации рассмотрим граф G, представленный на рис.1. Для данного графа G существует
базис Мак-Лейна, функционал которого равен нулю. Матрица циклов имеет вид
1
1
0
0
C 0
0
0
0
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3
0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 3
0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 3
0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 3
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 3
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 4
1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1
-
количество
циклов,
проходящих
по
данному ребру.
Базис Мак-Лейна, представленный в виде циклов, проходящих по соответствующим ребрам, имеет вид:
С1 = {1,4,5}; C2 = {2,3,4}; C3 = {3,8,9}; C4 = {7,8,10};
C5 = {6,7,11}; C6 = {5,6,12}; C7 = {10,11,12,13};
C0 = {1,2,9,12}.
Обод плоского графа можно представить как аддитивную сумму элементов базиса.
Вращение графа, индуцируемое данным базисом циклов и ободом графа, представлено диаграммой,
полученной по правилу формирования вращения вершин
1: 2 3 6 4
2: 3 7 1
3: 2 4 7
4: 5 7 3 1
5: 6 7 4
6: 7 5 1
7: 1 2 3 4 5 6
Таким образом, задача проверки графа на планарность может быть сведена к задаче поиска базиса
подпространства квазициклов, у которого функционал Мак-Лейна равен нулю. Рисунок такого графа на
плоскости определяется вращением (G,), индуцированным таким базисом и ободом графа.
В задаче построения плоского графа особую роль играют простые циклы. Простые циклы - это
квазициклы, у которых локальная степень вершин равна двум. Особая роль простых циклов объясняется
тем, что границей грани в плоском графе, как правило, является простой цикл. Мощность подмножества
простых циклов в графе меньше мощности множества квазициклов. Подмножество простых циклов
обозначим Сc.
card Cc card CGc
Вісник Запорізького державного університету
(17)
№1,2001
48
Однако, существует подмножество с мощностью еще меньшей, чем подмножество простых циклов,
обладающее определенными характерными свойствами. С этой целью введем определение -цикла
графа.
Определение 1. -циклом графа называется простой цикл, между двумя любыми несмежными
вершинами которого в соответствующем графе не существует маршрутов меньшей длины, чем
маршруты, принадлежащие данному циклу.
Подмножество, состоящее из -циклов, будем называть подмножеством циклов и обозначать С .
Следует также различать -циклы и циклы из полной системы циклов, согласно определению МакЛейна. Однако, как в большинстве случаев, для трехсвязных графов и графов с более высокой степенью
связности полная система циклов обязательно состоит из циклов.
Сказанное поясним на примерах. Рассмотрим суграф, состоящий из ребер 1,3,13,15 графа Ga,
представленного на рис.2. Как видно, это простой цикл. Но в то же время, это не цикл, так как между
вершинами 7 и 8 в графе существует маршрут меньшей длины, проходящий по ребру 14.
Рассмотрим граф Gb, представленный на рис.2. Пусть граф состоит из ребер 1,2,3,5,8,9,11,12. Данный
суграф есть простой цикл. Однако этот суграф не может быть циклом, так как в соответствующем
графе между вершинами 2 и 8 имеется маршрут меньшей длины (а именно, маршрут, проходящий по
ребрам 4 и 10), чем маршруты, принадлежащие этому суграфу (например, маршрут, проходящий по
ребрам 1,3,8,9 или 2,5,11,12).
Как следует из определения, любой цикл представляет собой подграф. Обратное не верно.
Понятие цикла графа G тесно связано с минимальными (s-t) маршрутами графа. Поэтому введем
необходимые понятия и определения.
Определение 2. Связностью (G) графа G называется наименьшее число вершин, удаление которых
приводит к несвязному графу.
Очевидно, что связность несвязного графа равна 0, а связность графа, имеющего точку сочленения, равна
1. Полный граф Кn нельзя сделать несвязным, сколько бы вершин из него не удалять, а тривиальный
называют еще
граф получается из Kn после удаления (n-1) вершин; поэтому (Kn) = n-1. Иногда вершинной связностью.
Пусть х1 и х2 - две различные вершины связного графа G.
Определение 3. Две простые цепи, соединяющие х1 и х2, называются непересекающимися (или
вершинно-непересекающимися), если у них нет общих вершин, отличных от х1 и х2 (и, следовательно,
нет общих ребер).
В дальнейшем нам понадобится теорема Менгера.
Теорема 2 (Теорема Менгера [15]). Наименьшее число вершин, разделяющих две несмежные вершины s
и t, равно наибольшему числу непересекающихся простых (s-t)-цепей (т.е. цепей между вершинами s и t,
см. рис.3).
На рис.3 представлен граф, у которого две несмежные вершины s и t можно разделить, удалив три
вершины (но не меньше). Из теоремы Менгера вытекает, что наибольшее число непересекающихся (s-t)цепей для данного графа равно 3.
Связь между (s-t)-маршрутами графа, связностью графа и циклами можно продемонстрировать на
следующем примере. Рассмотрим граф G, представленный на рис.4. Для перечисления всех циклов,
проходящих по 1-му ребру, следует удалить 1-ое ребро и найти все маршруты минимальной длины,
соединяющие вершины s и t (принадлежащие 1-му ребру).
Все множество маршрутов минимальной длины между вершинами s и t можно разбить на три
непересекающихся подмножества, где маршруты, принадлежащие к одному подмножеству, проходят
только по одной разделяющей вершине и имеют одинаковую длину.
По первой разделяющей вершине проходит единственный (s-t)-маршрут {23,25}.
По второй разделяющей вершине проходят следующие (s-t)-маршруты: {7,9,12}; {7,13,14}; {7,15,20};
{7,18,21}.
По третьей разделяющей вершине проходят следующие (s-t)-маршруты: {2,3,12}; {5,6,12}; {8,12,17}.
Исходя из этого, можно записать все множество -циклов, проходящих по 1-му ребру:
Фізико-математичні науки
49
С 1 = {{1,23,25}; {1,2,3,12}; {1,5,6,12}; {1,7,9,12};
{1,7,13,14}; {1,7,15,20}; {1,7,18,21}; {1,8,12,17}}.
Для изучения свойств -циклов нам понадобится следующая теорема.
Теорема 3. Для любого трехсвязного графа без петель и кратных ребер линейное подпространство
квазициклов имеет базис из циклов.
Доказательство. Для графа без петель и кратных ребер набор всех его квазициклов может
рассматриваться как линейное пространство над полем GF(2). Если мы докажем, что набор всех -циклов
графа является системой образующих этого пространства, то из них, очевидно, можно выделить и базис.
Известно, что любой квазицикл можно представить в виде суммы простых циклов. Значит, нам
достаточно доказать, что любой простой цикл есть сумма некоторых циклов.
Пусть вершины А1,А2,...,Аp образуют простой цикл. Если это -цикл, то наше утверждение справедливо.
Если нет, то существуют вершины графа В1,В2,...,Вr, отличные от всех А1,А2,...,Аp, и вершины Ai и Aj
(i<j) такие, что путь Ai,B1,B2,...,Br,Aj содержит меньше ребер, чем пути от Ai к Aj по нашему циклу. В
этом случае цикл A1,...,Ap есть сумма цикла A1,A2,...Ai,B1,...,Br,Aj,Aj+1,...,Ap и цикла
Ai,Ai+1,...,Aj,Br,...,B1. Отметим, что каждый из двух новых циклов имеет не более p-1 вершин.
На следующем шаге, если хотя бы один из двух наших новых циклов не является циклом, то
аналогично разбиваем его на сумму двух простых циклов (если оба не являются циклами - оба
разбиваем). И так далее. После каждого шага цикл A1,A2,...,Ap будет суммой всех образованных нами
циклов. Любой такой цикл, для которого справедливо вышесказанное, является циклом. Значит, не
позже чем после (p-3) шагов, мы получим представление цикла A1,A2,...,Ap в виде линейной комбинации
циклов. Если в качестве исходного базиса выбрать фундаментальную систему циклов и применить
доказанное выше, получим базис, состоящий из циклов. Теорема доказана.
Следствие 3.1. В любом связном графе без петель и кратных ребер существует базис, состоящий из
циклов с минимальным значением функционала Мак-Лейна.
Доказательство. Количество базисов, состоящих из циклов, в конечном графе всегда конечно.
Следовательно, среди них обязательно имеются базисы (может быть только один), имеющие
минимальное значение функционала Мак-Лейна. Следствие доказано.
Следует заметить, что не всегда удается построить рисунок плоского графа, где границами граней
являются циклы. Для этого достаточно рассмотреть следующий плоский граф G (см. рис.5).
Здесь циклы {12,18,19,15,20,21,22}, {1,4,6,8,20,21,24,29,30,31} не являются циклами, но могут являться
границами граней. Данный граф нельзя преобразовать так, чтобы границами граней были циклы. Здесь
существует только единственный базис, состоящий из циклов, причем, функционал Мак-Лейна для
данного базиса не равен нулю.
В общем случае процесс планаризации непланарного графа с помощью циклов может привести к
построению рисунка максимально плоского несвязного суграфа, причем, в качестве компонентов
связности может выступать как изолированная вершина, так и часть графа, составленная из циклов.
Построение алгоритма начинается с выделения всех ребер в графе G. Выберем любое ребро графа. Одну
из вершин такого выбранного ребра пометим индексом 1, другую - индексом 2. Вершины графа,
смежные с вершиной, имеющей индекс 2, и ещё не помеченные, пометим индексом 3. Вершины графа,
смежные с вершиной, имеющей индекс 3, и ещё не помеченные, пометим индексом 4 и т. д. Число,
выражающее индекс последней помеченной вершины (вершин) графа, будем называть глубиной
проникновения разметки относительно выбранного ребра. Данный процесс представляет собой разметку
вершин графа относительно выбранного ребра волновым алгоритмом.
Построим простые циклы, проходящие по выбранному ребру, относительно первоначальной ориентации.
С этой целью выберем все вершины графа G, смежные с вершиной, помеченной индексом 1. Будем идти
от любой выбранной вершины, имеющей глубину проникновения d, к вершинам, имеющим глубину
проникновения (d-1), проходя при этом по ребрам графа, затем от вершины (d-1) к вершинам (d-2) и т.д.
Остановим этот процесс тогда, когда подойдем к вершине, имеющей индекс 2. Пройдя по всем таким
образом построенным маршрутам, построим систему циклов, проходящих по выбранному ребру j.
1
Обозначим такое множество циклов через S j . Переориентируем направление ребра, т.е. вершина,
имеющая индекс 1, будет иметь индекс 2, а вершина, имеющая индекс 2, будет иметь индекс 1. И вновь
2
построим разметку вершин. Описанным выше методом выделим систему циклов и обозначим её S j .
- циклы, проходящие по выбранному ребру, будут образованы как
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
50
1
2
S j = S j S j .
(18)
Множество циклов графа G будет образовано как объединение всех циклов, проходящих по всем
ребрам графа
С m
US
i=1
(i = 1,2,...,m).
i
(19)
В качестве примера рассмотрим граф G (рис.1). Если в качестве выбранного ребра взять ребро 13, то
процесс разметки вершин имеет вид, представленный на рис.6. Система циклов, проходящих по ребру
13, для разметки показана на рис.6.а:
1
S 13 = { { 5 , 8 , 1 3 } , { 1 , 4 , 8 , 1 3 } , { 1 , 2 , 9 , 1 3 } , { 6 , 8 , 1 2 , 1 3 } , { 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 } } .
Система циклов, проходящих по ребру 13, для разметки, представлена на рис.6,б:
2
S 13 = { { 5 , 8 , 1 3 } , { 3 , 5 , 9 , 1 3 } , { 1 , 2 , 9 , 1 3 } , { 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 } , { 1 , 2 , 9 , 1 3 } } .
1
2
Пересечение множеств S 13 и S 13 :
1
2
S 13 = S 13 S 13 = { { 5 , 8 , 1 3 } , { 1 , 2 , 9 , 1 3 } , { 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 } } .
Каждому ребру принадлежат следующие циклы:
S1 = {{1,4,5},{1,2,9,13}};
S2 = {{2,3,4},{1,2,9,13}};
S3 = {{2,3,4},{3,8,9}};
S4 = {{1,4,5},{2,3,4}};
S5 = {{1,4,5},{5,6,12},{5,8,13}};
S6 = {{5,6,12},{6,7,11}};
S7 = {{6,7,11},{7,8,10}};
S8 = {{5,8,13},{7,8,10},{3,8,9}};
S9 = {{3,8,9},{1,2,9,13}};
S10 = {{7,8,10},{10,11,12,13}};
S11 = {{6,7,11},{10,11,12,13}};
S12 = {{5,6,12},{10,11,12,13}};
S13 = {{5,8,13},{1,2,9,13},{10,11,12,13}}.
Множество циклов получим как объединение:
С =S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S 11S 12S 13=
{{1,4,5},{2,3,4},{3,8,9},{5,6,12},{5,8,13},{6,7,11},{7,8,10},
{1,2,9,13},{10,11,12,13}}.
Таким образом, множество циклов состоит из 9-ти элементов. Цикломатическое число графа G равно
7. Следовательно, для построения базиса нужно удалить два цикла. Очевидно, что для любого
трехсвязного и более графа G множество циклов имеет мощность меньшую, чем мощность множества
простых циклов, но большую, чем цикломатическое число графа
( G ) c a r d С
Фізико-математичні науки
c
card C card C
С
G.
(20)
51
1
12
1
2
5
6
6
4
2
11
7
13
3
7
8
3
5
10
9
4
Рис.1 Граф G
1
1
7
14
13
2
3
8
2
6
5
6
7
8
9
19
5
18
11
9
2
2
3
4
a) Граф Ga
4
1
1
17
10
3
5
6
7
10
8
9
Рис.2 Графы Ga и Gb
Вісник Запорізького державного університету
3
5
4
8
7
15
4
10
12
6
11
12
9
б) Граф Gb
№1,2001
52
3-я разделяющая вершина
t
2-я разделяющая вершина
s
1-я разделяющая вершина
Рис.3 Граф для иллюстрации теоремы Менгера
3
7
3
6
4
12
2
8
8
11
10
9
4
14
7
2
s
13
15
20
5
17
19
18
16
21
6
9
22
25
24
23
1
1
Рис.4 Граф G
Фізико-математичні науки
t
53
1
3
4
2
11
23
18
13
10
25
22
7
9
8
27
19
16
30
26
17
5
6
24
12
31
28
14
29
15
21
Рис. 5 Граф G
1
4
2
4
3
3
3
3
3
3
2
4
a)
4
b)
1
Рис.6 Процесс разметки вершин
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
54
ЛИТЕРАТУРА
1.
Хопкрофт Дж.Е., Тарьян Р.Е. Изоморфизм планарных графов//В кн.: Кибернетический сборник.
Новая серия. - 1975.-вып. 12.- С.39-61.
2.
Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Дер Н. Комбинаторные алгоритмы, теория и практика. Пер. с англ.
М.: Мир, 1980. - 480с.
3.
Лекции по теории графов / Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. - М.:
Наука. ГРФМЛ.-1990. - 384с.
4.
Зыков А.А. Теория конечных графов. - Новосибирск: ГРФМЛ, 1963.- 542с.
5.
Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы: Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 455с.
6.
Мак-Лейн С. Комбинаторное условие для плоских графов//В кн.: Кибернетический сборник. Новая
серия. - 1970.-вып. 7.- С.68-77.
УДК 517.95+518.517
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В
СКРУЧЕННЫХ ЦИЛИНДРАХ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
Максименко-Шейко К.В., инженер, Рвачев В.Л., д.ф.-м.н., академик, Шейко Т.И., д.т.н., профессор
Институт проблем машиностроения им. А.Н.Подгорного НАН Украины (г. Харьков)
К настоящему времени известен ряд ситуаций, в которых трехмерное физическое поле (скалярное,
векторное) может быть описано как двумерное. К числу таких полей относятся: осесимметричные
трехмерные поля, которые полностью определяются двумерным полем в осевом сечении; поля в
цилиндрических телах большой протяженности при неизменных вдоль оси граничных условиях и
возбудителях поля; поля на тонких поверхностях, в которых изменением поля по толщине можно
пренебречь. В работе рассматривается новый класс трехмерных задач, которые могут быть сведены к
двумерным.
Рассмотрим бесконечный цилиндр с образующими, параллельными оси Oz, и направляющей ,
нормализованное уравнение [1] которой в плоскости xOy имеет вид x, y 0 ,
—
внутренняя,
перпендикулярная
оси
Oz,
нормаль
к
.
1 , где n
n После
подстановки
x x cos z y sin z
в
уравнение
x, y 0 ,
получим
уравнение
y x sin z y cos z
x cos z y sin z , x sin z y cos z 0 бесконечной винтовой поверхности b (Рис.1) с
2
шагом
H
и
направляющей
[1,2].
Легко
убедиться,
что
уравнение
1
xˆ , yˆ 1 x, y, z 0 , является нормализованным в 3D, т.е.
1 , где
2
b
n
1
xˆ
1 2 yˆ
yˆ xˆ
xˆ x cos z y sin z
n1 — внутренняя нормаль к b , а .
yˆ x sin z y cos z
Фізико-математичні науки
55
Рис. 1. Фрагмент скрученного цилиндра сложного поперечного сечения, построенный в системе РАНОК.
Рассмотрим уравнение Пуассона
2u 2u 2u u 2 2 2 f
y
z x
(1)
в области b 1 x, y, z 0 с граничным условием одного из трех видов:
u
b
1 ;
(2)
u
2 ;
n1 b
(3)
u
u
3 ,
b
n1
(4)
f f x cos z y sin z , x sin z y cos z ,
где
1 1 x cos z y sin z , x sin z y cos z ,
2 2 x cos z y sin z , x sin z y cos z ,
3 3 x cos z y sin z, x sin z y cos z ,
x cos z y sin z , x sin z y cos z 0
Нетрудно убедиться, что при такой зависимости известных функций f , 1, 2, 3, от x,y,z картина
поля при изменении z лишь поворачивается на угол z вокруг оси Oz. Это позволяет искать решение
в виде:
u ( x, y, z ) U ( xˆ , yˆ ) . (5)
Подставим (5) в уравнение (1) и граничные условия (3)-(5), попутно производя необходимые
вычисления:
U
u U
U
u U
cos z ( sin z );
sin z cos z;
yˆ
x xˆ
yˆ
y xˆ
U
U
U
u U
( x sin z y cos z ) ( x cos z y sin z ) yˆ xˆ
;
z
xˆ
yˆ
xˆ
yˆ
2
2
2
2
2
U U
u u u U 2 2 U 2 2 xˆyˆ
.
(u ) (1 2 yˆ 2 )
(1 xˆ )
xˆ yˆ
x y z xˆ yˆ 2
U 2U
2U
2
2 U
2 2 U
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(6)
u divu 1 2 yˆ 2
y
x
x
y
x
1
2
yˆ xˆyˆ
yˆ 2
xˆ 2
xˆ
2
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
56
u
u 1 u 1 u 1
u 1 n1
x x y y z z
U
U
cos z sin z 1 cos z 1 sin z yˆ
yˆ
xˆ
xˆ
U
U
U
U 1
sin z cos z 1 sin z 1 cos z 2 yˆ
xˆ
xˆ 1 yˆ
yˆ
yˆ
yˆ xˆ
yˆ xˆ
xˆ
xˆ
1 2 yˆ 2
Uxˆ xˆ 1 xˆ Uyˆ yˆ
2 2
1
1
U 1 U 1 2 xˆyˆ yˆ xˆ xˆ yˆ
Оператор (6) можно представить в форме:
U
A jk
x k
j U U U U 2 xˆyˆ
1 2 xˆ 2
2 xˆyˆ
1 2 yˆ 2
,
xˆ xˆ xˆ yˆ yˆ yˆ yˆ j , k 1
xˆ U
2 2
2
2 2
где A11 1 yˆ ; A12 A21 xˆyˆ ; A22 1 xˆ а
с учетом нормализованности
n1
функции 1 xˆ , yˆ соответственно:
2
x
2
j , k 1
A jk
U
cos(n, x k )
x j
1 2 xˆ 2 2
Uxˆ xˆ 1 xˆ Uyˆ yˆ
2
1
2
1
1
U 1 U 1 2 xˆ1 xˆ 2 yˆ xˆ xˆ yˆ
В итоге мы пришли к эллиптическому уравнению второго порядка с двумя независимыми переменными
x1 xˆ , x 2 yˆ [3,4]:
j ,k 1 x j
2
U
A jk
x k
f x1 , x 2 ; A jk Akj ,
(7)
где A jk — непрерывно дифференцируемая функция в конечной замкнутой области, с граничными
условиями:
1 x1 , x 2 ;
U
(8)
2
A
j , k 1
jk
2
A
j , k 1
jk
U
cos( , x k )
x j
2 x1 , x 2 ;
(9)
U
cos( , x k ) U
x j
3 x1 , x 2 ;
(10)
Таким образом, от трехмерных краевых задач (1)-(4) приходим к двумерным задачам (7)-(10).
квадратичная форма
A
t t
jk j k
положительно определена в и
P 0 ,
где
Если
0
—
j ,k
положительная постоянная, то оператор задачи (7) с граничными условиями (8)-(10) является
положительно определенным [4], что при применении метода Ритца обеспечивает сходимость по
энергии.
Постановка задачи инициирована исследованиями, выполняемыми в отделе высокотемпературной
термогазодинамики Института технической теплофизики НАН Украины по руководством членакорреспондента НАН Украины Халатова А.А. [5]. В качестве примеров рассмотрим две задачи
электростатики [1,6].
Фізико-математичні науки
57
Два проводника АDB 1 1 x, y 0 и ACB 2 2 x, y 0 (Рис.2а) ограничивают
= x, y 0 , которые
1b 1b x, y, z 0 , 2b 2b x, y, z 0 ,
b b x, y, z 0 .
цилиндрическую
область
a)
после
закручивания
становятся:
b)
Рис. 2. Форма поперечного сечения проводника: а) ADB и ACB — электроды; b) AKB и CLD —
электроды, BEC и AFD – изоляторы.
На проводнике АDB задан потенциал, равный минус единице, а на ACB — единице. Требуется
определить потенциальную функцию u x, y , z , удовлетворяющую уравнению Лапласа в b .
2u 2u 2u
2 2 2 0
y
z
x
u
1; u
1
1b
2b
(11)
2. Два проводника АKB 1 1 x, y 0 и СLD 2 2 x, y 0 и два изолятора BEC и
AFD 3 3 x, y 0 (Рис.2b) ограничивают цилиндрическую область = x, y 0 ,
которые после закручивания
3b 3b x, y, z 0 ,
становятся: 1b 1b x, y , z 0 , 2b 2b x, y , z 0 ,
b b x, y, z 0 , где функция b x, y, z нормализована.
Требуется определить потенциальную функцию u x, y , z , удовлетворяющую уравнению Лапласа в
b .
2u 2u 2u
2 2 2 0
y
z
x
u
u
1; u
1;
0
1b
2b
n1 3b
Представим решения этих задач в виде
соответственно:
(12)
(5), в результате чего получим для задач (11) и (12)
2
2
U
2U
U 2
2 2 U
2 2 U
0
1 xˆ
2 xˆyˆ
2 xˆ
yˆ
1 yˆ
2
2
xˆyˆ
yˆ xˆ
yˆ
xˆ
U
1; U
1;
2
1
(13)
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
58
2
2
2U
U 2 2 U
2 2 U
2
2 U
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0
y
x
x
y
x
y
1
1
2
xˆ
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
x
y
y
ˆ
ˆ
x
y
(14)
1;
1; U
U
2
1
b
U b U b U b
1 2 yˆ 2 U
1 2 xˆ 2
2 xˆyˆ 0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
x
y
y
x
xˆ xˆ
yˆ yˆ
3
(В дальнейшем для простоты обозначений положим xˆ x; yˆ y .)
Для решения (13) с помощью RFM (R-functions method) была использована GSS (General Structure of
Solution) [1,7,8]:
U U 0 U 1; U 0 1 2
; U 1 ,
1 2
(15)
где x, y — неопределенная компонента,
((( f1 f 5 ) f10 ) (( f 3 f 7 ) f 9 )) (( f 4 f 8 ) ( f 2 f 6 )) —
локуса-границы области, 1 функция
2 0 x ; 2 2 0 x — функции, описывающие участки
границы,2
R1 x 2 ( y a) 2
R22 ( x a ) 2 ( y a ) 2
R12 ( x a ) 2 y 2
f1 ; f2 ; f3 ;
2 R1
2 R2
2 R1
R22 ( x a) 2 ( y a) 2
R12 x 2 ( y a) 2
R22 ( x a ) 2 ( y a ) 2
f4 ; f5 ; f6 ;
2 R2
2 R1
2 R2
f7 R12 ( x a ) 2 y 2
R 2 ( x a) 2 ( y a) 2
; f8 2
;
2 R1
2 R2
2
a2 x2 2
; f10 a y — опорные функции.
f9 2a 2a Для реализации метода Ритца путем замены (15) осуществляется переход к краевой задаче с
однородными граничными условиями:
2
2
U 1
2U 1
U 1 2 2 U1
2 2 U1
2
2 x
y
1
1
2
y
x
xy
2
2
x
y
x
y
x
y
2
2
U 0
2U 0
U 0 2 2 U0
2 2 U0
2
1
2
2 x
y
x
xy
1 y
2
2
xy
y x
y
x
U 1
0; U 1
0;
1
2
(16)
и на линеале функций, им удовлетворяющих, строится функционал [3], эквивалентный данной краевой
задаче (16).
2
2
U 1 U 1
2 2 U 1 2 2 U 1 2
dxdy I (1 y )
x
xy
(
1
)
2
y x
x
y
(17)
U 0 U 1 U 0 U 1 U 1 U 0
U 1 U 0
dxdy.
2 xy
2 (1 2 y 2 )
(1 2 x 2 )
x
x
y
y
x
y
y
x
Учитывая, что условие
Фізико-математичні науки
59
1 y Ux x 1 x Uy y
2
2
2 2
b
b
U b U b 2 xy
0
y x 3
x y
является
естественным, при решении задачи (14) можно использовать прежнюю GSS (15) с новыми значениями
функций , i , где
1 o 0 x a ; 2 o 0 x a ; 1 0 2 ;
2
2
o ((( f1 f 5 ) f10 ) (( f 3 f 7 ) f 9 )) (( f 4 f 8 ) ( f 2 f 6 ))
Аппроксимация осуществлялась кубическими сплайнами ( m n 30 30 ), и ниже представлены
полученные в условиях эксплуатации системы ПОЛЕ картины линий уровня. На Рис.3a) приведена
картина линий уровня решения задачи (13), а на Рис.3b) — задачи (14) при 0 .
a)
b)
Рис. 3. Картины линий уровня решений задач для нескрученного проводника:
а) задача (13); b) задача (14).
На Рис.4 приведены картины линий уровня решения задачи (13) для различных углов закрутки.
a) 4
b) 2
c) Рис. 4. Картины линий уровня решения задачи (13) для различных углов закрутки.
На Рис.5 приведены картины линий уровня решения задачи (14) для различных углов закрутки.
a) 4
b) 2
c) Рис. 5. Картины линий уровня решения задачи (14) для различных углов закрутки.
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
60
Полученные результаты свидетельствуют о том, что малые углы закрутки, как и следовало ожидать,
слабо влияют на картину поля. С ростом угла закрутки линии уровня в центральной зоне раздвигаются,
что свидетельствует об образовании зон «плато» и больших градиентов. Особенно хорошо это видно на
приведенных ниже графиках решений задачи (14) в сечении у=0 (Рис.6), где I – график решения при
0 , II – при .
Рис. 6. Графики решений задачи (14) при различных углах закрутки
в сечении у=0: I — 0 ; II — .
Таким образом, некоторые классы трехмерных краевых задач для
равномерно скрученных
цилиндрических тел сложного профиля могут быть сведены к двумерным и эффективно решены с
помощью RFM.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые её приложения. К., Наук. думка, 1982. – 552 с.
2.
Рвачев В.Л., Толок А.В., Уваров Р.А., Шейко Т.И. Новые подходы к построению уравнений
трехмерных локусов с помощью R-функций. // Вiсник Запорiзького унiверситету, 2000, №2, с.119130
3.
Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М., Наука, 1970. – 512 с.
4.
Михлин С.Г. Прямые методы в метематической физике. – М.-Л., ГИТТЛ, 1950. – 428с.
5.
Халатов А.А., Авраменко А.А., Шевчук И.В. Теплообмен и гидродинамика в полях центробежных
массовых сил. В 4-х т. – Киев, Ин-т техн.теплофизики НАН Украины, 2000. -Т.3: Закрученные
потоки. – 474 с.
6.
Миролюбов Н.Н., Костенко М.В., Левинштейн М.Л., Тиходеев
электростатических полей.— М.: Высшая школа, 1963. — 324с.
7.
Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М., Л., Гостехиздат, 1950. –
695 с.
8.
Рвачев В.Л., Шейко Т.И., Шапиро В. Обобщенные интерполяционные формулы Лагранжа-Эрмита на
произвольных локусах (интерлокационные операторы теории R-функций) // Проблемы
машиностроения, 1998, №3-4, т.1, с. 150-165.
Фізико-математичні науки
Н.Н.
Методы
расчета
61
УДК 512.2
ПРОСТОРОВІ СХЕМИ ВИПАДКОВИХ БЛУКАНЬ
У МУЛЬТИПЛЕКСАХ
Манойленко О.С., аспірант, Колесникова Н.В., аспірант, Хомченко А.Н., д.ф.-м.н., професор
Херсонський державний технічний університет
У роботі розглядаються питання, пов’язані з випадковими блуканнями. Удосконалення правил
випадкових блукань дозволяє виконати конкретний перехід від блукань по вузлах цілочислової решітки
до блукань по області скінченного елемента. Нові правила складаються з того, що частинка починає
блукати з будь-якої точки елемента і переходить у вузол з імовірністю, яка залежить від положення
старту частинки. У ролі перехідних імовірностей виступають базисні функції, а скінченно-елементна
апроксимація набуває форм середнього винагородження за вихід блукаючої частинки у вузол. Таке
трактування випадкових блукань дає цілий ряд переваг у порівнянні із традиційними підходами[1-5].
Наприклад, з’являється можливість прямої побудови базису скінченного елемента на основі
геометричної імовірності. При знаходженні середнього винагородження отримаємо точні значення
імовірностей переходу, виключивши необхідність моделювання довгих серій статистичних досліджень.
Це значно зменшує обсяг обчислювальної роботи. У статті показані обчислювальні формули методу
барицентричного усереднення для тривимірних задач. У ролі обчислювального шаблону
використовується куб, який має 8 вузлів на границі.
СФОРМУЛЮЄМО ВИЗНАЧЕННЯ:
1.
Вузол будемо називати поглинаючим, якщо частинка, яка потрапила в цей вузол, залишається в
цьому вузлі з імовірністю одиниця.
2.
Вузол будемо називати ідеально відбиваючим, якщо частинка, яка потрапила в цей вузол,
залишається в цьому вузлі з імовірністю нуль та з імовірністю одиниця повертається в точку старту.
3.
Вузол будемо називати неідеально поглинаючим (або неідеально відбиваючим), якщо частинка, яка
потрапила в цей вузол, залишається в цьому вузлі з імовірністю N i , або повертається у точку
старту з імовірністю 1 N i , де i = 1, 2, 3, 4,...,8.
Розглянемо модель тривимірного мультиплекса (рис. 1) з поглинаючими вузлами. Обчислювальна
формула запишеться у вигляді
U ( M ) U1N1 U 2 N 2 U 3 N3 ... U 8 N8 .
8
7
5
6
М
3
4
1
2
Рис. 1 Модель тривимірного мультиплекса з поглинаючими вузлами
Модель тривимірного мультиплекса з поглинаючими вузлами (1,2,3,...,7) та ідеально відбиваючим вузлом
(8).
Сформулюємо правила випадкових блукань для тривимірного мультиплекса з поглинаючими вузлами
1,2,3,...,7 і відбиваючим вузлом 8.
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
62
Блукаюча частка стартує з довільної точки М тривимірного мультиплекса і з імовірністю
Ni (i 1,2,3,...,8) переходить у вузол i . При потраплянні частинки у вузол 1 (або 2,3,..,7) вона
залишається в цьому вузлі з імовірністю одиниця, а при потраплянні у вузол 8 частинка з імовірністю
одиниця повертається у точку М. Для виведення обчислювальної формули методу барицентричних
координат використовуються теореми додавання та множення імовірностей випадкових подій. Середня
винагорода за вихід блукаючої частинки у вузол дорівнює
U ( M ) p1U1 p2U 2 p3U 3 ... p7U 7 ,
(1)
де p1 , p 2 , p3 ,..., p 7 перехідні імовірності, U1,U 2 ,U 3 ,...,U 7 граничні значення функції.
Імовірність переходу з точки M у вузол 1 можна визначити за формулою:
p1 p ( M 1) N1 N1N8 N1N82 ... N1 N8.
0
Імовірність переходу з точки М у вузол 2
p2 p( M 2) N 2 N 2 N8 N 2 N82 ... N 2 N8f .
f 0
Імовірність переходу з точки M у вузол 3
p3 p ( M 3) N3 N3 N8 N3 N82 ... N3 N8q .
q 0
Імовірність переходу з точки M у вузол 7
p7 p ( M 7) N 7 N 7 N8 N 7 N82 ... N 7 N8r .
r 0
Аналогічно визначається імовірність переходу з точки М у вузли 4, 5, 6.
Через ( f , q, r ) позначено число відображень у вузлі 8 для частинок, які поглинаються першим (другим,
третім, сьомим) вузлами тривимірного мультиплекса. Тут ми маємо справу з неперервно спадною
геометричною прогресією (0 N8 1). Повертаючись до формули (1), запишемо
0
f 0
q 0
r 0
U ( M ) U1N1 N8 U 2 N 2 N8f U 3 N3 N8q ... U 7 N 7 N8r,
або, використовуючи формулу суми членів неперервно спадної геометричної прогресії, маємо
U (M ) U1N1 U 2 N 2 U 3 N 3 ... U 7 N 7
.
N1 N 2 N 3 ... N 7
Модель тривимірного мультиплекса з поглинаючими вузлами (1,2,3,...,7) та неідеально відбиваючим
вузлом (8).
Розглянемо тривимірний мультиплекс (1,2,3,…,8), де вузли 1,2,3,…7 - поглинаючі, а вузол 8 - неідеально
відбиваючий. Правила випадкових блукань сформулюємо таким чином: частинка стартує з довільної
точки М тривимірного мультиплекса і з імовірністю Ni (i 1,2,3,...,8) переходить у вузол i . При
потраплянні частинки у вузол 1 (або 2,3,..,7) вона залишається в цьому вузлі з імовірністю одиниця, а при
потраплянні у вузол 8 частинка з імовірністю N 8 залишається в цьому вузлі, або з імовірністю 1 N 8
повертається у точку М. Для виведення обчислювальної формули методу барицентричних координат
використовуються теореми додавання та множення імовірностей випадкових подій. Середня винагорода
за вихід блукаючої частинки у вузол дорівнює
U ( M ) p1U1 p2U 2 p3U 3 ... p8U 8
(2)
Імовірності переходу з точки M у вузли 1, 2, 3, 8 визначаються відповідно за формулами (3), (4), (5), (6)
p1 p ( M 1) N1 N1N8 (1 N8 ) N1N82 (1 N8 ) 2 ... N1 ( N8 N82 ) s .
s 0
p2 p ( M 2) N 2 N 2 N8 (1 N8 ) N 2 N82 (1 N8 ) 2 ... N 2 ( N8 N82 )l .
l 0
Фізико-математичні науки
(3)
(4)
63
p3 p ( M 3) N 3 N 3 N8 (1 N8 ) N 3 N82 (1 N8 ) 2 ... N 3 ( N8 N82 )t .
(5)
t 0
p4 p( M 8) N82 N82 N8 (1 N8 ) N82 N82 (1 N8 ) 2 ... N82 ( N8 N82 ) g .
g 0
(6)
Аналогічно визначаються імовірності переходу з точки М у вузли 4,5,6,7.
Ми отримали неперервно спадну геометричну прогресію (0 N8 N82 1). Таким чином,
використовуючи формулу суми членів неперервно спадна геометричної прогресії, та повертаючись до
формули (2), маємо
U (M ) U1N1 U 2 N 2 U 3 N 3 ... U 7 N 7 U 8 N82
.
N1 N 2 N 3 ... N 7 N82
Модель тривимірного мультиплекса з поглинаючими вузлами (1,2,3,...,6), ідеально відбиваючим вузлом
(7) та неідеально поглинаючим (або неідеально відбиваючим) вузлом (8).
Сформулюємо правила випадкових блукань для тривимірного мультиплекса з поглинаючими вузлами
1,2,3,...,6, ідеально відбиваючим вузлом 7 та неідеально поглинаючим вузлом 8.
Блукаюча частинка стартує з довільної точки М тривимірного мультиплекса і з імовірністю
N i (i 1,2,3,...,8) переходить у вузол i . При потраплянні частинки у вузол 1 (або 2,3,..,6) вона
залишається в цьому вузлі з імовірністю одиниця, при потраплянні частинки у вузол 7 вона з імовірністю
1 повертається в точку старту, а при потраплянні у вузол 8 частинка з імовірністю N 8 залишається в
цьому вузлі, або з імовірністю 1 N 8 повертається у точку М. Для виведення обчислювальної формули
методу барицентричних координат використовуються теореми додавання та множення імовірностей
випадкових подій. Середня винагорода за вихід блукаючої частинки у вузол дорівнює
U ( M ) p1U1 p2U 2 p3U 3 ... p6U 6 p8U 8
(7)
Визначимо імовірність переходу з точки М у вузол 1 за формулою:
p1 p ( M 1) N1 N1N 7 N1N8 (1 N8 ) N1N 72 N1N82 (1 N8 ) 2 2 N1N 7 N8 (1 N8 ) N1N 73 3N1N 72 N8 (1 N8 ) 3N1N 7 N82 (1 N8 ) 2 N1N83 (1 N8 )3 ... N1 ( N 7 N8 N82 ) n .
n 0
Імовірність переходу з точки М у вузол 2
p2 p ( M 2) N 2 N 2 N 7 N 2 N8 (1 N8 ) N 2 N 72 N 2 N82 (1 N8 ) 2 2 N 2 N 7 N8 (1 N8 ) N 2 N 73 3 N 2 N 72 N8 (1 N8 ) 3 N 2 N 7 N82 (1 N8 ) 2 N 2 N83 (1 N8 )3 ... N 2 ( N 7 N8 N82 ) m .
m 0
Імовірність переходу з точки М у вузол 8
p8 p ( M 8) N82 N82 N 7 N82 N8 (1 N8 ) N82 N 72 N82 N82 (1 N8 ) 2 2 N82 N 7 N8 (1 N8 ) N82 N 73 3N82 N 72 N8 (1 N8 ) 3 N82 N 7 N82 (1 N8 ) 2 N82 N83 (1 N8 )3 ... N82 ( N 7 N8 N82 ) h .
h 0
Аналогічно визначаються імовірності переходу з точки М у вузли 3,4,...,6.
Використовуючи формулу суми членів неперервно спадної прогресії, та підставляючи отримані значення
у формулу (7), маємо
U N U 2 N 2 ... U 6 N 6 U 8 N82
.
U (M ) 1 1
N1 N 2 ... N 6 N82
З цієї роботи можна зробити такі висновки:
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
64
1.
Метод барицентричного усереднення звільняє від необхідності складати та розв’язувати великі
системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
2.
Нанесення сітки на область, яка досліджується, невиправдано (збільшується розмір задачі,
збільшується об’єм зайвої інформації) тому, щоб уникнути цих недоліків, достатньо обчислити
характеристики поля в декількох або в одній точці, у цих випадках метод барицентричного
усереднення стає більш ефективним.
3.
Запропоновані нові обчислювальні формули, у яких вперше використані неідеально поглинаючи
вузли (або неідеально відбиваючі вузли), де обчислювальним шаблоном виступає тривимірний
мультиплекс, який має 8 вузлів на границі.
ЛІТЕРАТУРА
1.
Лурье И.А., Ляхович Т. П. Применение способа вращения симплекса в стационарных задачах //
Тезисы VI Междунар. науч. конф. им. акад. М. Кравчука.-К.:КПИ, 1997.-С.215.
2.
Зуб П. М., Лурье И.А., Хомченко А. Н. Симплекс с отражающими узлами для задач эллиптического
типа // Автоматика. Автоматизация. Электротехнические комплексы и системы.-1999.-№1(4).С.131-135.
3.
Хомченко А.Н. Прискорений алгоритм методу Монте – Карло розв’язання задачі Діріхле для
рівняння Лапласа // Вісник КДУ. Сер. фіз- мат. наук.- 1994.-С.221-223.
4.
Хомченко А.Н. Вероятностные схемы в дискретном анализе температурных полей // Инж.- физ.
журн. – 1988.- 55, №2.- С. 323-324.
5.
Хомченко А.Н. О вероятностном построении базисных функций МКЭ // Ивано-Франк. ин-т нефти и
газа, 1982.- 7 с. – Деп в ВИНИТИ 21.10.82 г., №5264.
УДК 539.3
АВТОМАТИЗАЦИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧИ
УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГО ПЛАСТИЧЕСКИХ
ШЕСТИУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН
Назиров Ш.А., к.ф.-м.н., доцент, Каримова В.А., аспирант
Институт кибернетики (г. Ташкент)
Автоматизация решения задачи устойчивости выполняется по схеме модель-алгоритм-программа. В
качестве математической модели выбирается следующее нелинейное дифференциальное уравнение
[1-2]:
3 1 R 2xy
2xy 4 W
3 1 R 2x 4 W
1 2 1
2 2 2 2 2
2 4
4
1
4
1
x
i i x y
i
3 1 R 2y 4 W 2 1 R xy x 4 W y 4 W 1 4 1 2 y 4 3 1 i i x 3 y i xy 3 i (1)
2W
2W
2 W h
x
2
0
xy
y
1 D x 2
xy
y 2 при соответствующих краевых условиях, зависящих от способов закрепления краев пластины.
Здесь D Eh 3
- цилиндрическая жесткость пластинки;
12(1 2 )
E- модуль упругости материала;
в упругопластическом - = 0.5;
Фізико-математичні науки
- коэффициент Пуассона, причем в упругом случае =0.3,
65
R - обобщенный модуль Кармана, равный
R
где E k 4E k
E Ek
2
,
(2)
d i
- касательный модуль;
de i
i 2x x y 2y 3 2xy - интенсивность напряжений;
ei 2
1
e 2x e x e y e 2y e 2xy - интенсивность деформаций;
4
3
2
1
1
3
R
1 R 1 R ;
R
4
2
2
1 1 2 1
Ec Ec
1 i
1
E
E ei
i
- секущий модуль.
ei
Алгоритм расчета построен при совместном применении методов Бубнова-Галеркина и R-функций
Рвачева В.Л. [2].
Непосредственное применение метода Бубнова-Галеркина к решению уравнения (1) приводит к
вычислительным сложностям. Поэтому используя способ, примененный в [3,4], получим:
здесь
~ u B
~ u 0
A
~ a a y a пл
A
ij
ij
(4)
(5)
ij
~ b b
B
ij
ij
u ij u i - наименьшее критическое значение, подлежащее определению;
a ijy 1
1
Pij dG , a ijпл Pij* dG , b ij R ij dG ,
G G
G G
G
(6)
(7)
~ ~ ~ ~ ~
~
Pij 4,i ~
6, j 21 ~
5 ,i 4 ,i
6 ,i
4, j
6 ,i
5, j
1~ ~ ~ ~
~ ~
~ ~
~ ~
~ ~
Pij* r1 4 ,i 5 , j 4 ,i 4 , j r2 6 ,i 6 , j r1 r2 6 ,i 4 , j 4 ,i 6 , j r1 r3 2 5 ,i 4 , j 1
r2 r3 2~
5, j ~
6, j ~
6,i 5, j r3 ~
2 ,i ~
1, j ~
1,i ~
2, j r1=1, r2=r3=0, если пластинка сжата усилиями x;
r2=1, r1=r3=0, если пластинка сжата усилиями y;
r1=r2=1, r3=0, если пластинка сжата усилиями x и y и т.д.
2
i ~
i ~
2 i ~
2 i
a
2 i
~
~
, 2 ,i , 4 ,i , 5 ,i , 6 ,i , .
1,i 2
2
x
y
xy
b
x
y
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
(8)
66
Для вычисления двухкратных интегралов была использована n-точечная формула Гаусса [5].
Минимальное критическое значение найдено при помощи QL-метода [6].
Формирование элементов матрицы и решения разрешающих уравнений осуществляется при помощи
комплекса программ, приведенных в [7].
То есть структура ПК для исследования устойчивости пластин сложных конфигураций состоит из
следующих блоков:
1. Блок типов и констант.
2. Вычисления значений базисных полиномов (степенные, тригонометрические, полином Чебышева и
т.д.) и их производных n-го порядка.
3. Вычисления значений R-функций и их производных нужного порядка.
4. Генерация точек и соответствующих им узлов и весов для численного интегрирования.
5. Вычисления значений систем координатных функций и их производных n-го порядка.
6. Алгебра матриц (умножение матриц, вычисление определителей, нахождений обратной матрицы и
т.д.).
7. Нахождение собственных значений и векторов.
8. Оформление результатов расчета.
Каждый блок КП состоит из нескольких модулей, оформленных в виде процедур и функций. Из этих
модулей созданы библиотеки подпрограмм. КП реализован на языке TURBO PASCAL 7.0 в среде MS
DOS для персональных компьютеров.
При формировании элементов матрицы при упругопластическом расчете применяются следующие
процедуры и функции:
Процедура VARPL предназначена для формирования матриц A и B. Обращение к процедуре имеет вид:
VARPL(G) ; здесь G=0, если решается упругопластическая задача, G=1, если решается упругая задача. В
процедуре VARPL используются следующие процедуры-функции для вычисления правой и левой
частей, определяющих уравнение рассматриваемой задачи - FB и FA и FPL;
Обращение к функциям имеет вид:
FA(vi,vj,mu): real,
FB(vi,vj,T1,T2,T3): real,
FPL(vi,vj,T1,T2,T3): real,
где vi,vj - значения координатных функций;
T1,T2 и T3 - значения, равные 1 или 0 в зависимости от усилий, действующих на пластину:
для усилий x - T1=1, T2=T3=0; для усилий y - T2=1, T1=T3=0; для усилий x и y - T1=T2=1, T3=0 и
т.д.
Для решения задачи об устойчивости упругопластических пластин используется процедура ТELOPRG.
Обращение к процедуре имеет вид TELOPRG(np,nk,ntoch,pc2,pol,ob,nn), где np - порядок
дифференцирования; nk - максимальный порядок полинома; ntoch- количество узлов Гаусса; pc2[1..4] задает информацию вида:
pc2[1]-xmin; pc2[2]-xmax; pc2[3]-ymin; pc2[4]-ymax; pol - выбор
полинома; ob - выбор области; nn - выбор краевого условия.
Фізико-математичні науки
67
Тестовый пример: Рассмотрим задачу об устойчивости равномерно сжатых жестко защемленных
шестиугольных пластин (рис.1).
Рис.1
В качестве координатной последовательности, удовлетворяющей краевым условиям, примем:
W 2 Ф ,
(10)
где вычисляется по формуле:
F1 0 F3 0 F4 0 F5 0 F2 ,
где
F1
F4 3 y2 3 3x y
4
; F ; F2 3
2
3
3 3x y
; F5 2
3 3x y
;
2
3 3x y
.
2
b/h
В качестве материала пластинки взят дюралюминий. При построении координатных функций
используется полином Чебышева.
nk=6
nk=10
nk=15
35
60
34
00
32
00
29
00
Nкр.
26
40
22
00
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Рис. 2
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
68
На рис.2 изображена зависимость между критическим усилием Nкр и отношением b/h для шестиугольной
пластинки, подвергающейся равномерному сжатию по направлению x и y и жестко защемленной по всем
краям. Здесь показаны кривые при различных значениях координатных функций NK=6, NK=10 и NK=15
при n=20.
Исходя из этих зависимостей определяются величины b/h для критических усилий, лежащих выше
предела пропорциональности пр (для данного материала пр = 2000 кг/см2).
ЛИТЕРАТУРА
1.
Ильюшин А.А. Пластичность. Гостехиздат, 1948.
2.
Bольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем.- М.: Наука, 1967.-984 с.
3.
Рвачев В.Л., Курпа Л.В. R-функции в задачах теории пластин. К.: Наукова думка, 1987.
4.
Буриев Т. Расчет тонких плит на ЭВМ. ФАН, 1976.
5.
Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. - М.: Наука, 1967.
6.
Уилкинсон Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. - М.:
Машиностроение, 1976.
7.
Назиров Ш.А., Пискорский Л.Ф. Комплекс программ для расчета и оптимизации пластинчатых
конструкций сложных конфигураций //Алгоритмы. -Ташкент, 1995. -Вып.80. - С.41-54.
УДК 519.85
МОДЕЛЮВАННЯ ТА МЕТОД РОЗВ’ЯЗАННЯ
ЗАДАЧІ РОЗМІЩЕННЯ МНОГОГРАННИКІВ
*Панкратов О.В., к.т.н., с.н.с., Новожилова М.В., д.ф.-м.н., професор
*Інститут проблем машинобудування ім.А.М.Підгорного НАН України
Харківський державний технічний університет будівництва й архітектури
У даній статті розглянуто модель многогранника, так званий Р-об’єкт, застосування якої дозволяє
побудувати швидкий евристичний метод розв’язання оптимізаційної 3D-задачі розміщення
многогранників, яка, незважаючи на своє важливе практичне значення, поки що є малодослідженою.
1. ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ І ВЛАСТИВОСТІ Р-ОБ’ЄКТІВ
Визначення 1. Назвемо P -об’єктом об'єднання скінченної кількості I прямокутних паралелепіпедів
Ei , i 1,2 ,..., I , що мають таку властивість
int Ei int E j , i , j 1,2 ,..., I , i j .
вершини яких лежать у вузлах просторової сітки із кроками dx , dy і dz відповідно осям координат, а
габаритні розміри дорівнюють ( k i dx ) dy dz , де k i 1 - ціле число.
Визначення 2. Назвемо прямокутні паралелепіпеди Ei , i 1,2 ,..., I , що входять до складу
його елементами.
P -об’єкта,
E
с
діагональними
вершинами
( k1 dx , j dy ,i dz )
і
( k 2 dx ,( j 1 ) dy ,( i 1 ) dz ) може бути однозначно заданий цілочисельним вектором
e ( c1 , c 2 , c3 , c4 ) ( k1 , k 2 , j ,i ) . Таким чином, всі операції над елементами P -об’єктів можуть
Кожний
елемент
бути виконані за допомогою операцій над цілими числами.
P -внутрішньою частиною об’єкта S - Pint ( S ) - максимальний за об'ємом
P -об’єкт, що належить S .
Визначення 3. Назвемо
Фізико-математичні науки
69
P -контейнером об’єкта S - Pcon ( S ) - мінімальний за об'ємом P -об’єкт, що
Визначення 4. Назвемо
містить S .
Визначення 5. Назвемо P - апроксимацією об’єкта S - Papp ( S ) - будь-який P -об’єкт, що включає в
себе Pint ( S ) і належить Pcon ( S ) .
Для довільних
об’єктами.
P -об’єктів S 1 і S 2 об'єкти S 1 S 2 , cl( S 1 / S 2 ) і cl(int S 1 int S 2 ) також є P -
Один P -об’єкт належить другому, якщо кожний з елементів першого P -об’єкта належить деякому
елементу другого P -об’єкта. Перевірка належності одного елемента другому зводиться до операцій
порівняння цілих чисел, тому перевірка належності одного P -об’єкта іншому P -об’єкту зводиться до
набору операцій порівняння цілих чисел, причому достатньо перевіряти тільки елементи, для яких
збігаються значення c3 , c4 векторів, що їх задають. Два P -об’єкти не перетинаються, якщо попарно не
перетинаються їхні елементи. Перевірка умов неперетину P -об’єктів може бути, як і в попередньому
випадку, зведена до набору операцій порівняння цілих чисел для елементів, у яких збігаються значення
c3 , c4 векторів, котрі їх задають.
2. ПОБУДОВА PINT(S), PCON(S) і PAPP(S)
Обмежимося розглядом побудови Pint ( S ) , Pcon ( S ) і Papp ( S ) для опуклих многогранників. Нехай
є заданим деякий опуклий многогранник S . Найпростіший спосіб побудови Papp ( S ) складається з
побудови множини відрізків
{ Oij } , які є перетинанням об'єкта S
і набору прямих Lij ,
перпендикулярних площині YOZ і заданих перетинаннями площин вигляду { z i dz ; y j dy },
де i , j – цілі числа.
Кожному відрізку Oij із вершинами ( aij , j dy ,i dz ) і ( bij , j dy ,i dz ) , aij bij , може бути
поставлений у взаємооднозначну відповідність елемент Eij об'єкта Papp ( S ) , заданий вектором
([ aij / dx 0.5 ], [ bij / dx 0.5 ], i,j), де a - ціла частина числа a .
Побудова кожного з елементів Pcon ( S ) об'єкта вимагає рішення двох задач лінійного програмування:
Задача 1.
min (x),
р=( x, y z) S ij
Задача 2.
max (x),
р=( x, y z) S ij ,
де множина S ij має вигляд
р=(x, y,z) S
y j*dy
z i*dz
y (j+1)*dy
z (i+1)*dz.
Нехай результат розв’язання першої задачі дорівнює aij , другий - bij .
Відповідний елемент Eij об'єкта Pcon ( S ) визначається вектором ( aij / dx , bij / dx , i,j) де
округлення числа b до цілого, причому
b b. При побудові елемента
Eij об'єкта Pcon ( S ) може
виявитися, що aij / dx = bij / dx , тоді Eij = .
Вісник Запорізького державного університету
b -
№1,2001
70
Кількість вершин многогранника S ij не є великою, тому розв'язувати ці задачі доцільно звичайним
перебором його вершин. Вершини многогранника S ij можуть бути трьох типів:
збігатися з вершинами s k ( x k , y k , z k ) багатогранника S при
j dy y k ( j 1 ) dy ,
i dz z k ( i 1 ) dz ;
лежати на перетинанні ребер многогранника S і однієї з площин
z = i*dz; y = j*dy; z = (i+1)*dz; y = (j+1)*dy.
належати перетину граней S і однієї з прямих, які задаються перетином площин
z = k*dz, k=i,i+1; y = m*dy, m=j,j+1.
Елемент Eij об'єкта Pint ( S ) задається вектором ( aij / dx , bij / dx , i,j), де aij , bij можна
визначити як відповідно максимальне серед мінімальних і мінімальне серед максимальних значень x координат кінців відрізків, утворених перетинанням із S прямих, які є перпендикулярними площині УOZ
і проведені через вершини многогранної множини S ij .
3. РЕАЛІЗАЦІЯ МЕТОДУ ПОСЛІДОВНО-ПООДИНОКОГО РОЗМІЩЕННЯ
ДЛЯ Р-ОБ’ЄКТІВ
Як відомо, метод послідовно-поодинокого розміщення зводиться до розміщення об'єктів в області
розміщення по одному. Для Р-об’єктів доцільно використовувати підхід, при якому інформація про
область розміщення модифікується після розміщення чергового об'єкта. Нехай на i-му кроці провадиться
розміщення P -об’єкта Pi у P -об’єкті - області розміщення Ti (на першому кроці T1 збігається з
i
i
вихідною областю розміщення). Нехай Pi містить К компонент Ak , а об'єкт T1 - М компонент Bm .
Процес розміщення об’єкта Pi складається з трьох етапів.
Перший етап складається з побудови множини
k
M
i
Gi = Gkm
(1)
k 1 m 1
припустимих положень центра власної системи координат (полюса) об'єкта Pi в області розміщення Ti ,
i
i
i
де Gkm - множина припустимих положень полюса об'єкта Ak при його розміщенні в об'єкті Bm .
Зауваження. Gi - це система відрізків, кожен з яких є перпендикулярним площині YOZ і належить
множині Di усіх припустимих положень полюса об'єкта Pi в області розміщення Ti . При розміщенні
Р-об’єктів доцільно обмежитися розглядом множини Gi , бо остання містить у собі усі вершини
множини Di , а об'єкт Pi , очевидно, завжди транслюється так, щоб його полюс збігся з вершиною Di .
2. Вибір вектора t i Gi трансляції об'єкта Pi , який задає оптимальне положення об'єкта Pi ( t i ) за
певним критерієм;
3. Побудова області Ti 1 cl( Ti \ Pi ( t i )) .
Особливістю розміщення Р-об’єктів є те, що немає необхідності будувати всю множину Gi , а досить
побудувати ту її частину, у якій може знаходитися оптимальне положення полюса Ti . Для задач
оптимізації довжини висоти зайнятої частини області розміщення це - елементи з мінімальним значенням
четвертої компоненти вектора e ( c1 , c 2 , c3 , c4 ) .
На другому етапі з отриманої множини Gi необхідно вибрати одну точку, що задає вектор трансляції ti.
Взагалі може бути обрана будь-яка вершина будь-якого відрізка з множини Gi .
Фізико-математичні науки
71
На третьому етапі робиться досить проста процедура перебудови області розміщення шляхом
модифікації її елементів, що включили в себе елементи тільки що розміщеного об'єкта.
Особливостями методу послідовно- поодинокого розміщення для Р-об’єктів є такі:
Метод дозволяє гнучко варіювати співвідношення "якість рішення - витрати обчислювальних
ресурсів" шляхом зміни кроків сітки dy і dz (крок dz може бути обраний довільно). Метод дає
наближені розв’язки і є достатньо ефективним у комплексі з методами локальної оптимізації [1].
Метод відрізняється високою швидкодією, тому що більшість виконуваних у ході обчислення
операцій - операції порівняння цілих чисел.
Метод легко реалізується, бо не включає трудомістких процедур типу побудови перетинання
многогранних областей, перевірки належності точки певній многогранній області тощо.
Тільки при використанні Pcon об'єктів, які розміщуються, і Pint області розміщення метод
дозволяє гарантувати влучення в область припустимих рішень вихідної задачі.
Застосування інших P -зображень об'єктів, які розміщуються, і області розміщення дозволяє
одержати рішення, у середньому кращі за значенням висоти зайнятої частини області розміщення,
але отриманий розв'язок може лежати за межами області припустимих розв'язків вихідної задачі. В
останньому випадку необхідно використовувати процедуру корекції, що дозволяє побудувати
припустимий розв'язок з неприпустимого.
ЛІТЕРАТУРА
1.
Элементы теории геометрического проектирования / Гиль Н.И., Яковлев С.В., Новожилова М.В.,
Панкратов О.В. и др.: Под ред. акад. НАН Украины Рвачева В.Л.-К.:Наук.думка, 1995. - 248с.
УДК 517
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ РОЗПОВСЮДЖЕННЯ ХВИЛІ В
ПОЧАТКОВІ МОМЕНТИ ЧАСУ У ДВОМІРНИХ СЕРЕДОВИЩАХ
ПРИ НАЯВНОСТІ ТРІЩИНИ
Пожуєв В.І., д.ф.-м.н., професор, Сорока Д.М., аспірант
Запорізька державна інженерна академія
Математична модель. Задача описується таким диференціальним рівнянням:
2 u ( x, t ) 1 2 u ( x, t )
,
c 2 t 2
x,
(1)
із граничними умовами такого вигляду:
u ( x, t ) u ( x , t ) ,
x 1 ,
u ( x, t )
q ( x, t ) ,
n
x 2 ,
(2)
і початковими умовами типу:
u ( x, t ) u ( x, t 0 ) ,
x,
(3)
u ( x, t ) u ( x, t 0 )
, x
t
t
Застосуємо до рівняння метод зважених нев'язань і одержимо таке співвідношення:
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
72
tF
2
1 2 u ( x, t ) u
(
x
,
t
)
( , x, t F , t )d( x)dt c 2 t 2 t0 tF
u ( x, t )
n( x)
t 0 2
q ( x, t ) ( , x, t F , t )d( x)dt tF
u ( x, t ) u ( x, t )
t 0 1
(4)
( , x, t F , t )
d( x)dt
n( x)
Далі, зінтегрувавши за частинами,спростивши та привівши подібні, одержимо крайове рівняння:
tF
2
1 2 1
t c 2 t 2 uddt c 2
0
tF
tF
u u t t d t0
t
t
t
F
F
F
u
u
ddt u
ddt ddt q ddt
n
n
n
t 0 2
t 0 1
t 0 1
t 0 2
(5)
Розглянемо фундаментальний розв’язок, що задовольняє таким умовам:
2 ( , x, t F , t ) 1 2 ( , x, t F , t )
( , x)(t F , t ) 0
c2
t 2
( , x, t F , t ) 0 ,
c(t F t ) x (6)
(7)
Підставивши цей фундаментальний розв’язок в (5) і зробивши граничний перехід при t , що прагне до
t F , одержимо:
1
2
c
u ( , t ) ( , x, t F , t 0 ) u ( x, t 0 )
( , x, t F , t 0 ) d( x) u ( x, t 0 )
t
t
tF
t
F
( , x, t F , t )
u ( x, t )
u ( x, t )
d( x)dt ( , x, t F , t )d( x)dt
n
n
t0 t0 Далі будемо розглядати розв’язок з нульовими початковими умовами u ( x, t 0 ) 0 і
(8)
u ( x, t 0 )
0.
t
Тому і граничні умови в початковий момент часу теж повинні бути нульовими. Запишемо крайове
формулювання за таких умов і для випадку інтерполяції за часом і простором постійними функціями.
Нехай інтервал часу ділиться на F кроків, а межа розбивається на N елементів:
tf
N F
u
ci u u dtd n
n 1 f 1 n f
n 1 f 1
1 t f 1
i
F
N
F
n
n
f
tf
dtd
(9)
1 t f 1
чи в матричній формі:
F
F
f 1
f 1
H fF U f G fF Q f
(10)
Для двомірного випадку фундаментальний розв’язок має вигляд [1]:
( , x, t F , t ) Фізико-математичні науки
c
2 c (t F t ) r 2
2
0.5
H c(t F t ) r (11)
73
( , x, t F , t ) c
2
2 c (t t ) r 2
n
F
c
2r c 2 (t F t ) r 2
0.5
1.5
H c(t F t ) r (12)
r
c(t F t ) r r
n
r x (xx x ) 2 (x y y )2 ,
r
r
( x x x )n x ( x y y )n y
n
(13)
Відповідні коефіцієнти матриць розраховуються за таким формулами:
tf
m
dt
2 k 0 t f 1
g fF ij
(14)
t f 1
0
tf
dt iG (t f ) iG (t f 1 )
t f 1
1
ln(r ) iG (t f 1 ) t f 1 t f
2
tf
iG (t ) h fF ij
1
ln c(t F t ) c 2 (t F t ) 2 r 2
2
(15)
i j
0.5
m t f dt i j
2 k 0 t f 1 n
(16)
0
t f 1
n dt iH (t f ) iH (t f 1 ) t f
t f 1
iH (t )
t f 1 t f
f 1
tf
iH (t ) де c(t F t )
1
r
r
2
2
2
2
2 r c (t F t ) r
n
c(t F t )
r
, r x ( j , k ) xi , r
x ( j , k ) x xi x n j x x( j , k ) xi y n j y
r
n
dx 2j dy 2j – довжина елемента, x( j , k ) cx j k dx j 2 , cy j k dy j 2 ,
центр елемента, а dx j , dy j – проекції елемента на координатні осі, n j dy j
до елемента,
k
, dx j
(17)
cx , cy – нормаль
j
j
– координата k -ой точки в схемі чисельного інтегрування по Гаусу.
Особливо варто звернути увагу на розмір кроку за часом і розмір елемента, оскільки вони взаємно
обмежують один одного. Умова (7) вимагає, щоб за термін одного кроку за часом хвиля проходила
відстань, що дорівнює лінійному розміру крайового елемента (як мінімум), інакше фундаментальний
розв’язок дорівнюватиме нулю і матриця для СЛАУ буде виродженою. Таким чином, знизу крок за
часом обмежений співвідношенням швидкості хвилі і розміром елемента. Зверху крок за часом обмежує
частота коливання, але, оскільки ця величина невідома, то його можна визначити тільки
експериментально.
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
74
Рис. 1. Тіла, що моделюються.
Програмна модель. У статтях [2], [3] була детально розглянута модель об'єктно-орієнтованого опису
задач для методу крайових елементів. Однак, при використанні бібліотеки, що реалізує цю модель, треба
писати код на якій-небудь мові програмування, причому в основному цей код використовується для
опису задачі, а не для її розв’язку. Використання універсальної мови програмування для такої мети
представляється досить громіздким і незручним. Тому і виникає задача у використанні чи створенні
іншої, більш зручної мови для опису задачі. Як така була обрана стекова мова Forth (Форт) [4]. У цій
мові існує набір слів, з кожним з яких зв'язана визначена функція, що змінює стек. Цей стек
використовується для передачі параметрів між словами. Слова ж зберігаються в спеціальній структурі –
словнику. У стандарт мови входять слова, що дозволяють додавати нові словники до вже існуючих і, тим
самим, розширювати мову і додавати в неї нові можливості.
З іншої сторони сучасний підхід до розробки і написання програмного забезпечення має на увазі
використання тієї чи іншої компонентної моделі, коли існує відносно проста, як правило, интерпретована
/скрипт/мова для зв'язку і керування компонентами і стандарт на інтерфейс, за допомогою якого
компоненти надають свої послуги. Прикладами таких розробок можуть слугувати VisualBasic/COM, Perl
з динамічними модулями, Java/CORBA. У Форту аналогічними компонентними властивостями
володіють словники. Тому була розширена семантика слів, що завантажують нові словники так, щоб
вони здійснювали пошук словників у спеціально складених бібліотеках, що завантажуються динамічно.
У такий спосіб, тепер бібліотека являє собою набір компонент - один базовий компонент, що надає
сервісні функції (робота з пам'яттю, увід/вивід, базові математичні функції тощо) і компоненти, що
містять реалізацію об'єктно-орієнтованої моделі для визначеного класу задач. Такий підхід дає масу
переваг, оскільки відокремлює опис задачі від реалізації методу розв’язку. Наприклад, для одержання
переваг від використання паралельних обчислень, досить замінити компоненту розв’язку в шляхах
пошуку Форту, на компонент із реалізацією відповідних алгоритмів. Після чого, без зміни опису задачі
на Форту, при обчисленні автоматично буде використовуватися саме цей компонент. Крім того, для
написання компонентів може використовуватися інша мова, наприклад,універсальна мова типу C/C++.
Результати розрахунків. Разглянемо, як впливає тріщина на коливання на границі області. Для цього,
розрахуємо дві задачі: із тріщиною та еталонну і порівняємо отримані розв’язки, подібно до того, як це
робилося в [3].
Розрахунок будемо робити для одиничного квадрата (рис. 1.1). Швидкість хвилі c 1 , кількість
крайових елементів – по 15 для кожної сторони, крок за часом – 0.1, кількість кроків – 300. Для точок з координатами (1,0.12) і - (1,0.83) побудуємо графіки залежностей u (t ) . На рисунках 2-4 наведені
графіки для таких граничних умов:
коливання межі a (як на рис. 1.2) без закріплених меж
u a (t ) 1 1
t cos ,
2 2
2
коливання межі a (як на рис. 1.3) з однією закріпленою межою d
1 1
t u a (t ) y cos ,
2 2 2
u
u
u
0
n b n c n d
ud 0 ,
u
u
0
n b n c
коливання межі a (як на рис. 1.3) з двома закріпленими межами d , c
1 1
t u a (t ) y cos ,
2 2 2
Фізико-математичні науки
ud uc 0 ,
u
0
n b
75
Як видно з графіків, наведена схема розв’язку методом крайових елементів може бути застосовна тільки
на початкових етапах часу, після чого розв’язок починає розгойдуватися. Причому, чим більше
закріплених границь, тим пізніше це відбувається. Наявність тріщини погіршує розв’язок, оскільки
приносить у задачу додаткові незакріплені межі. Крім того, вона змінює і частоту, і амплітуду коливань.
Рис. 2. Коливання точок
Рис. 3. Коливання точок
Вісник Запорізького державного університету
,
,
без закріплених меж.
з однією закріпленою межею.
№1,2001
76
Рис. 4. Коливання точок
,
з двома закріпленими межами.
Висновки. Запропонована компонентна схема реалізації об'єктно-орієнтованої моделі бібліотеки для
розв’язку задач методом крайових елементів на основі мови Форт має ряд переваг: незалежність коду
опису задачі від коду реалізації, можливість швидкої заміни компонент-розв’язувачів на інші без зміни
коду опису задачі, реалізація компонент-розв’язувачів на іншій (не Форт) мові програмування.
Тріщина впливає на форму коливань – відбуваються зміни як частоти, так і амплітуди, причому
положення точки істотно не впливає на величину цих змін. Незакріплені межі погано впливають на
якість розв’язок – чим їх більше, тим раніш починає його розгойдувати.
ЛІТЕРАТУРА
1.
Бреббия К., Вроубел Л., Теллес Ж. Методы граничных элементов. — М.:Мир, 1986 . — 547 с.
2.
Пожуєв В.І., Сорока Д.М. Об'єктно-орієнтоване програмування при моделюванні теплового процесу
в пластині з тріщиною.//Вісник ЗДУ: Збірник наукових статей. Фізико-математичні науки.
Біологічні науки, 2000. — № 1. — С. 94-99.
3.
Пожуєв В.І., Сорока Д.М. Математичне моделювання процесу дiагностики трiщин у тiлах за
допомогою аналiзу крайового розподiлу температури.//Вісник ЗДУ: Збірник наукових статей.
Фізико-математичні науки. Біологічні науки, 2000. — № 2. — С. 105-109.
4.
ANSI/IEEE X3.215-1994 American National Standard for Information Systems – Programming Languages
– Forth.
5.
Баранов С.Н., Ноздрунов Н.Р. Язык Форт и его реализации.– Л.: Машиностроение, 1988. – 231 c.
Фізико-математичні науки
77
УДК 517
МОДЕЛЮВАННЯ КОЛИВАНЬ У НЕОДНОРІДНИХ
ДВОВИМІРНИХ БАГАТОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЯХ ЗА ДОПОМОГОЮ
ОБ'ЄКТНОЇ МОДЕЛІ МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ
Пожуєв В.І., д.ф.-м.н., професор, Тарасов С.А., аспірант
Запорізька державна інженерна академія
ВСТУП
Ця стаття є ілюстрацією до застосування об'єктно-орієнтованого підходу при розв’язуванні гіперболічної
задачі для двовимірної області методом скінченних елементів (МСЕ) у рамках розподіленого об'єктного
обчислювального середовища, описаного в [1].
У статті продемонстроване використання механізму спадкування і поліморфного поводження об'єктів [2]
при реалізації МСЕ для гіперболічної задачі [3] на основі реалізації методу для задачі теплопровідності
[3,4] на прикладі розв’язування задачі, описуваної хвильовим рівнянням для кусочно-однорідної
двовимірної багатозв'язної області.
Опис компонентної об'єктної моделі системи, у рамках якої, як наповнення, реалізований МСЕ, і модель
даних, на основі якої здійснена інтеграція компонентів системи, наведені в [1].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Розглянемо квадратну координатно-орієнтовану пластину з двома еліптичними отворами, границя
одного з яких підкріплена матеріалом із властивостями, відмінними від властивостей матеріалу пластини
(рис. 1). Від краю першого отвору до центра пластини розташований розріз у вигляді замкнутої ламаної,
покликаний моделювати тріщину (рис. 1). Слід зазначити, що в даному прикладі мова йде тільки про
ілюстрацію коливань пластини при наявності змін геометрії області унаслідок виникнення тріщини.
Запишемо математичне формулювання задачі
з використанням безрозмірних змінних [3,5]:
uˆ uˆ 2 uˆ
0 у , (1)
k k x x y y t 2
uˆ 0 на Гu, k
uˆ
0 на Гq,
n
(2)
uˆ x, y, t 0 arctg cos x 2 (рис.3),
Рис.1. Геометрія області та сітка скінченних елементів
де = 21 - область задачі, u 1
q 1 y 1 2 3
–
границя,
x 1
на
sin y u
x, y, t 0 3 sin(x )e 2 t
(рис.4),(3)
– границя, на якій задані істотні граничні умови,
якій
задані
природні
граничні
1, x , y 2
– параметр, зумовлений щільністю матеріалу (рис.2).
k c 2 x , y 0.1, x , y 1
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
умови,
78
0.8
1
0.6
10
0.8
0.4
U
5
dU/dt
C2
0.6
0.2
0.4
0
-5
0
0.2
-10
1
1
0
-1
0.5
1
0.5
-1
-0.5
0.5
0
-0.5
0
1
0
0.5
0.5
-0.5
Y
1
X
Y
Рис.2. Карта властивостей
матеріалу
-1
-0.5
-1
0
-0.5
0
0.5
1
0
Y
X
Рис 3. Початкові умови
(U0 = U(x, y, t0))
-0.5
-1
-1
X
Рис 4. Початкові умови
(Ut0 = dU/dt(x, y, t0))
РЕАЛІЗАЦІЯ МСЕ
Розв’язок задачі (1)-(3) будемо шукати за допомогою методу скінченних елементів [3,4], рівняння якого
отримані за методом зважених нев'язань з наступним переходом до ослабленого формулювання за
допомогою формули Гріна [3,4,5].
Таким чином, нехай u – наближений розв’язок задачі (1)-(3), тобто u u . Наближений розв’язок будемо
шукати у вигляді:
M
u a m t N m x, y ,
(4)
m 1
де M – кількість точок сітки, am(t) – коефіцієнти апроксимації, Nm(x,y) – базисні функції, що залежать від
координат.
Підставляючи (4) у (1), мінімізуючи помилку, що виникає в результаті такої підстановки, за методом
зважених нев'язань і переходячи до ослабленого формулювання [3,4,5], одержимо систему звичайних
диференціальних рівнянь (ЗДР) щодо коефіцієнтів апроксимації:
N N m N l N m
a m l k
k
x
x
y
y
m 1
M
M
2a m
d 2 N m N l d qN l dГ ,
m 1 t Гq
(5)
де l = 1..M, Nl – вагарні функції за методом Гальоркіна [3,4], q q x , y, t - природні граничні умови (у
розглянутій задачі – нульові), істотні граничні умови задовольняються точно при формуванні матриці
системи (5) [3,5].
Виконуючи дискретизацію керуючих рівнянь МКЭ (5) [3,4], приходимо до наступної системи ЗДР,
записаної в матричній формі (припускаючи постійний крок за часом):
d 2a
K x , y a Cx, y 2 f x, y, t ,
dt
(6)
де коефіцієнти визначаються формулами:
N N m N l N m d , C lm N m N l d , f l qN l dГ , (7)
K lm l k
k
x
y
y e Гe
e e x
e e
q
у яких підсумовування ведеться по скінченних елементах (границі й області), а інтегрування виконується
по області елемента. Звичайно для заповнення матриці системи використовується процедура
ансамблювання [3,4], що виключає обчислення сум по всіх елементах для кожного коефіцієнта.
Для розв’язування системи необхідно виконати дискретизацію системи за часом із кроком t методом
скінченних елементів чи за допомогою скінченних різниць [3], наприклад:
Aa n 1 2Ba n Ba n 1 F ,
де a n at 0 nt , F f x , y, t , A Cx , y 2
Cx, y 1
K x, y , B K x , y .
2
t 2
3
3
t
Для запуску процесу обчислень необхідно виконати:
Фізико-математичні науки
(8)
(9)
79
a 0 u x m , y m , t 0 , a 1 a 0 u x m , y m , t 0 t , де точка з координатами (xm, ym) є вузлом сітки
t
скінченних елементів.
Порівнюючи отриманий розв’язок з розв’язком за допомогою МСЕ параболічного рівняння [4] об'єктну
модель універсального скінчено-елементного "розв’язувача" можна представити у вигляді такої ієрархії
класів [2], описаної на псевдомові:
абстрактний клас "Двовимірний МСЕ":
методи:
"Ансамблювати"("Опис геометрії") - віртуальний, абстрактний;
"Обчислити"("Кількість кроків") - віртуальний, абстрактний;
"Обчислити Розв’язок" - віртуальний, абстрактний;
кінець опису "Двовимірний МСЕ".
клас "Еліптична Задача" - нащадок "Двовимірний МСЕ":
властивості:
A - матриця системи; F - вектор правої частини;
методи:
конструктор();
K(l, m); F(l) - віртуальний;
"Ансамблювати"("Опис геометрії") - замість базового:
ансамблювання матриці A і вектора F на підставі "Опису геометрії", використовуючи
K(l,m), F(l);
кінець "Ансамблювати";
"Обчислити"("Кількість кроків"=1) - замість базового:
обчислити і запротоколювати " Обчислити Розв’язок";
кінець "Обчислити";
"Обчислити Розв’язок" - замість базового:
Результат = A-1F;
кінець " Обчислити Розв’язок".
кінець опису "Еліптична Задача".
клас "Параболічна Задача" - нащадок "Еліптична Задача":
властивості:
"Розв’язок" - розв’язок на попередньому кроці; B - матриця системи; t - крок за часом;
методи:
конструктор(t =t, "Розв’язок"=U0);
K(l, m); F(l) - наслідуваний;
C(l, m); - віртуальний;
"Ансамблювати"("Опис геометрії") - замість базового:
обчислити базовий "Ансамблювати"("Опис геометрії");
доповнення елементів матриці A, використовуючи З(l,m);
ансамблювання матриці B на підставі "Опису геометрії", використовуючи K(l,m),
C(l,m);
кінець "Ансамблювати";
"Обчислити"("Кількість кроків") - замість базового:
итераційно обчислити базовий "Обчислити"(1);
кінець "Обчислити";
" Обчислити Розв’язок" - замість базового:
Результат = A-1(BРозв’язок)+F;
кінець " Обчислити Розв’язок".
кінець опису "Параболічна Задача".
клас "Гіперболічна Задача" - нащадок "Параболічна Задача":
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
80
властивості:
"Попередній Розв’язок" - розв’язок на кроці n-1;
методи:
конструктор(t =t, "Попередній Розв’язок"= U0; "Розв’язок"= U0+tUt0);
C(l, m);K(l, m); F(l) - наслідуваний;
"Ансамблювати"("Опис геометрії") - наслідуваний;
"Обчислити"("Кількість кроків") - наслідуваний;
" Обчислити Розв’язок" - замість базового:
Результат = = A-1(2B"Розв’язок"-B"Попередній Розв’язок"+F);
"Попередній Розв’язок" = "Розв’язок";
кінець " Обчислити Розв’язок".
кінець опису "Гіперболічна Задача".
ПРИКЛАД РОЗРАХУНКУ
На підставі приведеної моделі зроблений розрахунок на інтервалі часу від 0 до 5 з постійним кроком
t = 0.01, результати якого приводяться нижче.
Для реалізації крокового за часом процесу була використана абсолютно стійка щодо величини кроку
схема (8). Чисельний експеримент, однак, показав, що для гіперболічних рівнянь ця схема придатна для
обчислень на невеликому інтервалі часу від початку процесу з відносно малим кроком, тому що навіть
невелике збільшення кроку за часом різко знижує точність обчислень, а на великих відстанях від
початкового моменту часу коливання загасають, що не передбачається постановкою задачі.
t = 1.25
t =5
t = 3.75
10
4
10
2
5
-5
0
-1
-10
1
0
-2
U
U
U
5
0
-4
1
-1
-1
-0.5
0.5
0
-1
0
Y
1
-0.5
0
0
0.5
0.5
-0.5
0.5
-0.5
-5
1
0
0
-0.5
0.5
0.5
-0.5
X
-1
Y
1
-1
X
Y
1
X
Рис.5. Загальний вигляд
розв’язку при t = 1.25
Рис.7 Загальний вигляд розв’язку
при t = 5
Рис.6. Загальний вигляд
розв’язку при t = 3.75
y = -0.1
x = -0.45
2.5
4
2
2
1.5
0
1
-2
0
u
u
0.5
-4
-0.5
-1
-6
-1.5
-8
-2
-2.5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
x
0.2
0.4
0.6
0.8
-10
-1
1
Рис.8. Розв’язок при y = -0.1 для моментів
часу t = 0;1.25;2.5;3.75;5
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
y
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Рис.9. Розв’язок при x = -0.45 для моментів
часу t = 0;1.25;2.5;3.75;5
ЛІТЕРАТУРА
1.
Пожуєв В.І., Тарасов С.А. Об’єктна модель структури та форрисьної мови системи – оболонки для
Розв’язок задач математичної фізики чисельними методами.//Вісник Запорізького державного
Фізико-математичні науки
81
університету: Збірник наукових статей. – Запоріжжя: Запорізький державний університет, 2000. –
№2, – С: 109-114.
2.
Booch, G. Object oriented design with applications. Menlo Park, CA: Benjamin/Cummings, 1991.
3.
О. Зенкевич, К. Морган Конечные элементы и аппроксимация. – М.: Мир, 1984 – 318с.
4.
Пожуєв В.І., Тарасов С.А. Аналіз розподілу температури в багатозвязних неоднорідних двомірних
середовищах за допомогою методу скінченних елементів.//Вісник Запорізького державного
університету: Збірник наукових статей. – Запоріжжя: Запорізький державний університет, 2000, С:
99-106.
5.
Бенерджи П., Прадип К., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. – М.:
Мир, 1984 – 494 с.
УДК 539.3
ДЕЙСТВИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ НОРМАЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
НА УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО
Приварников А.К., д. ф.-м. н., профессор
Запорожский государственный университет
Пусть на границу упругого однородного изотропного полупространства z 0 действует периодическая с
периодом 2l система сосредоточенных сил. Для определенности будем считать, что силы направлены в
отрицательную сторону оси z и приложены к точкам оси x с абсциссами x 0, 2l , 4l , ... . Требуется
определить напряжения и перемещения в полупространстве. Будем стремиться получить решение
рассматриваемой задачи в тригонометрических рядах, удобных для получения численных результатов
при помощи ЭВМ.
Исходим из решения в интегралах Фурье вспомогательной задачи о действии одной нормальной
сосредоточенной силы Q на упругое полупространство. Это решение несложно получить, подвергнув
уравнения теории упругости в перемещениях (уравнения Ламе), граничные условия задачи (при z 0
xz 0 , zz Qx y , x – функция Дирака; при z xz 0 , zz 0 ) и соотношения закона
Гука двумерному преобразованию Фурье по переменным x и y [1]
f , f x, y e
i x y dxdy .
Здесь f , – трансформанта функции f x, y . Для трансформант Фурье искомых величин при Q 1
получим такие выражения
xx , , z e pz 2 2
p
1 2 pz ,
2
zz , , z e pz pz 1 , xy yz
yy , , z e pz 1 2 pz xx ,
ize pz , xz ize pz ,
i pz
pz
e
pz 2 1 ,
e pz 2 1 , 2Gu x 2
p
p2
2Gu y i
1
e pz pz 2 1 , 2Gu z e pz pz 21 ,
p
p
2
где – коэффициент Пуассона материала полупространства, E – модуль Юнга, p 2 2 ,
G
E
.
21 Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
82
После использования обратного преобразования Фурье
f x, y 1
4
2
f , e
i x y dd
и формулы Эйлера e i cos i sin искомое решение вспомогательной задачи можно привести к виду
2
2
1 2 pz cosx d ,
xx x, y, z cosy d e pz 2 2
Q
p
0
0
2
2
yy x, y, z cosy d e pz 1 2 pz cosx d xx x, y, z ,
Q
Q
0
0
2
zz x, y, z cosy d e pz 1 pz cosx d ,
Q
0
0
2
yz x, y, z z sin y d e pz cosx d ,
Q
0
0
2
xz x, y, z z cosy d e pz sin x d ,
Q
0
0
pz
2
xy x, y, z sin y d e
1 2 pz sin x d ,
2
Q
0
0 p
u
pz
2
2G x cosy d e
1 2 pz cosx d ,
2
Q
x
0
0 p
u y
pz
2
1 2 pz sin x d ,
2G
sin y d e
2
Q
x
0
0 p
u
2
2G z cosy d 21 pz sin x d .
Q
p
x
0
0
(1)
Чтобы перейти к случаю нагружения полупространства периодической системой нормальных
сосредоточенных сил, необходимо воспользоваться следствиями из формулы суммирования Пуассона
[1]:
e im d 2 2m .
m m Исходя из этой формулы несложно получить более общую
e
i x 2 ml mx
m l
d .
e
l m l Интерес для дальнейшего представляют частные случаи последней формулы:
1) если – четная функция, то
m 0
mx m cos
;
l l m 1
cos x 2ml d l 0 2 (2)
2) если – нечетная функция, то
sin x 2ml d m 0
Фізико-математичні науки
2 m mx
.
sin
l m 1 l l
(3)
83
Основываясь на решении (1) вспомогательной задачи, несложно построить в рядах решение
рассматриваемой периодической задачи при помощи принципа независимости действия сил. Приведем
только формулу для напряжения zz x, y, z , так как формулы для остальных искомых величин подобны
ей
2
zz x, y, z cosy d e pz 1 pz cos x 2ml d .
Q
m 0
0
В этой формуле (и ей подобных) можно поменять местами операции интегрирования по и
суммирования по m и получить
2
zz x, y, z cosy e pz 1 pz cos x 2ml d d .
Q
m 0
0
Полученное выражение для напряжения zz можно упростить, воспользовавшись следствием (2) из
формулы суммирования Пуассона
2
mx pm z
1 p m z cosy d ,
zz x, y, z e z 1 z cosy d 2 cos
e
Q
l 0
l 0
m 2
где
m 2
pm .
l (4)
Заметим, что последняя формула для zz может быть использована для вычисления на ЭВМ
напряжения zz в полупространстве для не очень малых значений координаты z. При малых значениях z
погрешность вычисления несобственного интеграла при помощи стандартных программ, основанных на
квадратурных формулах Симпсона, Ньютона-Котеса или Гаусса, будет очень велика.
Подобно тому, как была выведена формула для напряжения zz в полупространстве, можно получить
формулы для напряжений и производных по переменной x от перемещений, которые возникают в
упругом полупространстве при действии на него периодической системы сил, величиною Q каждая.
Силы приложены к точкам границы полупространства, лежащих на оси x и имеющих абсциссы
x 0, 2l , 4l , ... . Приведем эти формулы без вывода.
l
Q
xx x, y, z 2 1 e
0
z
m
mx cosy d 2 cos
2 1 l 0
lpm
m 1
2
pm z 2 1 1e pm z cosy d
,
m x p m z
l
pm z 21 1cosy d ,
yy x, y, z e z z 2 1 1cosy d 2 cos
e
Q
l 0
m 1
0
m x p m z
l
pm z 1cosy d ,
zz x, y, z e z z 1cosy d 2 cos
e
Q
l 0
m 1
0
mx pm z
l
yz x, y, z z e z sin y d 2 cos
e
sin y d ,
Q
l 0
m 1
0
m x p m z m
l
e
xz x, y, z 2 z sin
cosy d ,
Q
l 0
l
m 1
m x
m
l
xy x, y , z 2 sin
2 e pm z pm z 2 1 1cosy d ,
Q
l
lpm
m 1
0
l
Q
2G
u x
mx m
2 cos
x
l 0 lpm
m 1
Вісник Запорізького державного університету
2
pm z
e
pm z 21 1cosy d ,
№1,2001
84
u y
mx
m
l
2G
2 sin
2 e pm z pm z 2 1 1sin y d ,
Q
l 0 lpm
x
m 1
m x m p m z
u
l
pm z 2 1 2 cosy d .
2G z 2 sin
e
Q
l 0 lpm
x
m 1
(5)
Как уже говорилось, несобственные интегралы в этих формулах при малых z невозможно вычислить с
высокой точностью на ЭВМ, пользуясь стандартными программами вычисления интегралов. Это связано
с малой скоростью убывания при подынтегральных функций при малых z. Поэтому для
достижения высокой точности вычисления напряжений и перемещений вблизи поверхности
полупространства нужно найти точные значения интегралов
0
0
k
k
S k e p m z p m
sin y d , C k e pm z p m
cosy d , k 2, 1, 0, 1 , m 0, 1, 2, ... ,
где величина p m определена формулой (4), или предложить способ вычисления их на ЭВМ,
обеспечивающий требуемую точность вычислений при любых z 0 .
Четыре интеграла являются табличными [2, с.455]
S 1 zy m 2
my
my
K1 K2
z 2 y 2 , S0 z2 y2 ,
l
l
2
2
2
2
2
l z y
l z y
my
mz
my
m 2
C 1 K 0 K1 z 2 y 2 , C0 z y 2 , m 1, 2, 3, ... .
l
l
2
2
l z y
Здесь K 0 x , K 1 x , K 2 x – функции Макдональда. Вычисление значений этих функций в области
0 x несложно осуществить при помощи приближенных формул [3, с.200], абсолютная
погрешность которых порядка 10 7 . Вычисление интегралов S1 , C1 , S 2 , C 2 можно выполнить на
ЭВМ с высокой точностью, если принять во внимание, что
S1 dS 0
dC
, C1 0 , S 2 S 1 dz , C 2 C 1 dz
dz
dz
z
z
и воспользоваться при этом приближенными формулами для функций K 0 x и K 1 x . Необходимо при
этом учесть, что [2]
K 2 x d
d
2
1
K1 x K 0 x ,
K 0 x K 1 x ,
K 1 x K 0 x K 1 x .
x
dx
dx
x
Интегралы S1 , C 0 , C1 при m 0 , фигурирующие в формулах (5) являются табличными [2].
Итак, все коэффициенты тригонометрических рядов в точном решении (5) рассматриваемой задачи о
действии периодической системы сосредоточенных сил на упругое полупространство можно вычислить
при помощи ЭВМ для любых значений координаты z с высокой точностью. Из свойств функций
Макдональда при x вытекает, что при m все коэффициенты рядов с экспоненциальной
скоростью стремятся к нулю. поэтому для приближенного вычисления искомых величин в
полупространстве достаточно ограничиться вычислением частичных сумм рядов с небольшим числом
слагаемых.
Полученное точное решение задачи о действии периодической системы нормальных сосредоточенных
сил на упругое полупространство можно использовать для построения решений других задач о действии
периодических нормальных нагрузок на упругое полупространство. Для этого необходимо
воспользоваться принципом независимости действия сил.
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1976. – 512 с.
Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. – М.:
Наука, 1981. – 800 с.
Справочник по специальным функциям / Под ред. Абрамовиц Н., Стиган И. – М.: Наука, 1979. –
832с.
Фізико-математичні науки
85
УДК 519.673:539.3
ОПТИМІЗАЦІЯ МАСИ ЗАМКНЕНОЇ ОБОЛОНКИ ОБЕРТАННЯ
ПРИ ЗАДАНІЙ ВЛАСНІЙ ЧАСТОТІ КОЛИВАНЬ
Сисоєв Ю.О., к.т.н., доцент, Левицька Т. І., к.т.н., старший викладач
Запорізький державний університет,
Запорізький державний технічний університет
Задачі оптимізації маси оболонки є важливими практичними задачами. Однак внаслідок досить великих
утруднень, які виникають при їх теоретичному розгляданні[ 1 ], практично застосовувати методи,
пов’язані з методом скінченних елементів та методом проекції градієнта.
У статті розглядається задача оптимізації маси оболонки обертання при заданій власній частоті. При
цьому спочатку розглядається оболонка обертання сталої товщини, а потім проективним методом, при
заданих обмеженнях товщин, шукається мінімум маси оболонки для сталої власної частоти.
Власні частоти знайдуться із розв’язання частотного рівняння
K 2M 0 ,
де K / T T K eT
e
(1)
M / T T M eT . Глобальні матриці жорсткості M та K знаходяться
e
методом ансамблювання [2] ( знак штрих після знака суми ) використанням локальних матриць
K e,M e .
При невісесиметричних формах коливання оболонок матриці K e , M e будуть мати вигляд :
1
K ( e ) L B T D B ( y i L sin ) d
0
,
1
M e L N T N ( y i L sin ) d
0
де L довжина конічного елемента оболонки,
,
(2)
2 , при k 0
, при k 0
- кут нахилу твірної до осі обертання, y i - початкова
ордината елемента. .
Матриці N ,T , D, B мають вигляд :
0
0
0 0
0
0
1 2
3
2
3
2
3
2
3
N 0 1 3 2 L ( 2 ) 0 0 3 2 L ( ) 0 0
0
0
1 0
0
0
0 0 0
cos sin 0 0 0
0
0
0
0
D N D n
sin cos 0 0 0
D D
0 0 0
0
0
0
0
n N
0
0
1
0
0
0
0
0
1
DN 0
0
0
0 01 0
0 0 0 , D 0 0
T 00
2
0
0
0
cos
sin
0
0
0 0
D M D M
0
0
0 0 0 sin cos 0 0 0
0 0
D M D M
0
0
0 00 0
0 1 0
0
0
0
0
0
0
(
1
)D M
0 00 0
0 0 1
0
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
86
1
0
L
cos
sin (1 )
(1 3 2 2 3 )
r
r
k
0
(1 )
r
1
2 ( 6 12 )
0
L
B
k2
(1 3 2 2 3 ) 2
r
0
1 sin ( 6 6 2 )
L
r
k sin (1 3 2 2 3 ) 2
r
0
k
( 6 6 2 )
rL
1
L
sin r
k
r
0
0
0
cos
L ( 2 2 3 )
r
k
(1 )
r
1 sin (1 )
L
r
0
k2
1
( 4 6 )
L
0
cos ( 3 2 2 3 )
r
cos L ( 2 3 )
r
0
0
2
1
L
( 6 12 )
2
2
2
3
L ( ) r2
sin ( 2 3 2 )
r
k sin L ( 2 3 ) 2
r
k
( 2 3 2 )
r
( 3 2 ) r2
1 sin ( 6 6 2 )
L r
k sin ( 3 2 2 3 ) 2
r
k
( 6 6 2 )
rL
k cos
(1 )
r2
sin cos
(1 ) r2
cos
( 1)
rL
k
r
1 sin L
r
0
k cos r2
sin cos r2
cos rL
0
1
( 2 6 )
L
k2
3
0
L( 2 2 3 ) r2
sin (1 4 3 2 )
r
k sin L( 2 2 3 ) r2
k
(1 4 3 2 )
r
0
0
k
0
(3)
Надалі при розробці схеми обчислень скористаємося загального вигляду алгоритмом [ 3 ], який
застосовується для розв’язання задач оптимізації.
T
Введемо в розглядання вектор товщин для набору елементів h ( h1 , h2 ,..., hk )
Функція цілі (маса оболонки)
0 ( h)
та система обмежень такого набору h мають вигляд :
n
0 ( h ) m i hi
(4)
( h) ( h) 0 0
(5)
H i H i hi H i H i , i 1,, n
(6)
i 1
m i 2 L i y i* i
де H ( H 1 , H 2 ,..., H n ) - початковий розподіл товщин, H i , i 1, , n - задані відхилення, L i *
довжина елемента, y i - ордината середини елемента,
0 ( H ) - задана стала частота.
Фізико-математичні науки
i -
густина,
( h)
- частота для заданого h ,
87
Для реалізації методу проекції градієнта [ 2 ] систему обмежень ( 9 ) запишемо у вигляді:
i hi H i H i 0 , ( i 1, ... , n )
- нижні обмеження
i H i hi H i 0 , ( i n 1, ... , 2 n )
(7)
- верхні обмеження
(8)
Таким чином, задача оптимізації приведена до вигляду, коли треба мінімізувати функцію
0 ( h)
при
обмеженнях
( h) 0
(9)
i ( h ) 0 , ( i 1, ... , 2 n )
(10)
Для організації алгоритму треба обчислити матриці
l , ~l ,U ,V де l 0 h
0
0
де
T
( h ) для j (h ) [ j ( h )]
~ ( h ) Для розглядуваної задачі l
0
~ T
~l U ~l T l 0 , V ~l T ~l ,
h ( так звані
(11)
- активні обмеження).
( m1 ,, m n )T -сталий вектор,
~
( h )
( c1 ,, c n ) - вектор, який
h
входить у набір для l , знаходиться для деякого набору h - чисельним способом. На певному кроці
нехай знайдено - активних обмежень p верхніх та q нижніх. Кожне з цих обмежень відповідає певному
значенню товщини hi елемента оболонки. Для спрощення обчислень перенумеруємо товщини та номери
функцій обмежень так, щоб першими йшли p верхніх, а далі -q нижніх. При цьому так звані глобальні
номери товщин запам’ятовуються.
Таким чином у новій нумерації змінних (товщин) потрібні матриці будуть мати вигляд:
c1
c
2
cp
~l c p 1
c
pq
cn
1 0 ... 0 0 ... 0 0 1 ... 0 0 ... 0 ... ... 0 0 ... 1 0 ... 0 0 0 ... 0 1 ... 0 ,
... ... 0 0 ... 0 0 ... 1
... ... 0 0 ... 0 0 ... 0 V ~l T
n 2
ci
i 1
c
1
~
l c
p
c p 1
c pq
c1 c p c p 1 c p q 1 0
0 0 0 1
0 0
0 0
1 0 0 0
0 1 (12)
n
U ~l T l 0 ( m i ci , m1 ,, m p , m p 1 ,, m p q )T
(13)
i 1
Для організації обчислень потрібна матриця, обернена до V , яка має вигляд
c1 c p
1
2
c1 c1 c1c p
1
2
1
V c p c p c1 c p c p 1 c p 1c1 c p 1c p
c p q c p q c1 c p q c p
Вісник Запорізького державного університету
c1c p1 c1c p q c p cP 1 c p c p q ,
c 2p 1 c p 1c p q 2
c p q c p 1 c p q c p1
c p q
(14)
№1,2001
88
n
ci2
де
i p q 1
1, 2 за формулами 1 V 1 U
Визначивши
h l ~l 1 ,
1
p q ( h
0
1
~ , одержимо
T
l 0 h1
,
2 0
h ~l 2 ,
2
( ( h 0 ), 1( h 0 ),..., де
h
1
h1 h 2 ,
2
)) .
пропонується знаходити тільки на першій ітерації, 0 - зменшення на 5-25 % величини
0 . Якщо деякі компоненти 1 2 2 , які відповідають - активним обмеженням, від’ємні, то
Величину
0
2 V
,
відповідне
i вилучається із списку
- активних і алгоритм виконується спочатку.
1
0
Поліпшене наближення до оптимального розв’язку запишеться у вигляді h h h . Якщо
1
2
n
1 2
величина hi достатньо мала, то робота алгоритму закінчується.
i 1
Для запропонованої обчислювальної схеми була розроблена програма на мові Фортран. Була розглянута
циліндрична оболонка довжиною l =0,3м, радіуса R =0,075м, яка жорстко защемлена на торцях і має
такі фізичні та механічні параметри : модуль Юнга Е=19,61010 н/м2, коефіцієнт Пуассона =0,3,
густина =7,7103 кг/м3, початкові товщини H i =0,2510-3 м., задана частота коливань для початкових
товщин
0 рад/сек
для заданої кількості хвиль в окружному напряму k наведена в таблиці 1, величина
спочатку задавалась рівною
=0,210-5 м, величини H i =0,110-3 м, кількість елементів – 10.
Внаслідок симетрії в таблиці 1 наведені результати обчислення товщин оболонки для різних значень k
для половини елементів (починаючи з лівого торця). У таблиці також наведені коефіцієнти зменшення
маси k M , які знаходяться як відношення маси оболонки, яка одержана після оптимізації до первинної
маси,
0*
означає частоту для остаточного розв’язку.
Таблиця 1.
Початкові
товщини
H110 3
(м)
H210 3
(м)
H310 3
(м)
H410 3
(м)
H510 3
(м)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0
(рад/сек)
0*
(рад/сек)
kM
коеф.
зменш.
маси
k=0
0,150
0,150
0,150
0,150
0,150
32901
32897
0,600
k=1
0,150
0,150
0,150
0,150
0,150
21712
21710
0,600
k=2
0,150
0,150
0,150
0,150
0,150
12302
12301
0,600
k=3
0,152
0,150
0,150
0,150
0,152
7544,2
7543,6
0,604
k=4
0,160
0,151
0,150
0,150
0,151
5102,6
5102,0
0,610
k=5
0,195
0,165
0,150
0,151
0,150
3920,7
3920,1
0,649
k=6
0,211
0,150
0,152
0,150
0,320
3593,4
3594,0
0,787
k=7
0,152
0,150
0,152
0,150
0,315
3896,2
3898,1
0,735
k=8
0,152
0,150
0,150
0,150
0,150
4625,0
4626,3
0,773
Як видно з результатів обчислень для даного типу закріплення та вибраних значень параметрів нижча
частота спостерігається для k=6 і всередині оболонки відбувається значне збільшення товщин елементів.
Фізико-математичні науки
89
Для цього випадку також значення коефіцієнта зменшення маси приймає найбільше значення в
порівнянні з іншими випадками, тобто найтяжче оптимізувати масу оболонки для нижчої частоти.
ЛІТЕРАТУРА
1.
Арман Ж.-Л.П. Приложения теории оптимального управления системами. – М.: Мир, 1977. – 142 с.
2.
Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир, 1975. – 544 с.
3.
Хог Э., Арора Я. Прикладное оптимальное проектирование. – М.: Мир, 1983. – 480 с.
УДК 514.75
НЕКЛАСИЧНИЙ КАНОНІЧНИЙ РЕПЕР ЛІНІЙЧАТИХ
ПОВЕРХОНЬ
Стєганцева П.Г., к.ф-м.н., доц., Терещенко С.О., студент
Запорожский государственный университет
У роботі [1] за допомогою методу зовнішніх форм Картана був побудований канонічний репер лінійчатої
поверхні тривимірного евклідова простору E 3 , яка розглядалась як однопараметрична родина прямих
цього простору. Отримана система метричних інваріантів лінійчатої поверхні складається з трьох
функцій одного аргументу і визначає її однозначно з точністю до рухів простору E 3 . Основні класи
лінійчатих поверхонь характеризуються найпростішими співвідношеннями між інваріантами. Мета даної
роботи – побудувати канонічний репер лінійчатої поверхні, виходячи з геометричних міркувань, і
проаналізувати зв'язки між системами інваріантів і основними класами лінійчатих поверхонь.
Дериваційні формули канонічного репера r , e1, e2 , e3 лінійчатої поверхні, отримані в роботі [1], мають
вигляд
de3
de
de2
dr
pe2 ae3 , 1 be2 e3 ,
be1 ,
e1 ,
ds
ds
ds
ds
(1)
де інваріанти p(s ) , a(s ) , b(s ) називаються відповідно параметром розподілу, нахилом, косиною, а
параметр s є довжиною дуги сферичної індикатриси. Так називається сферична крива, точки якої є
кінцями одиничних направляючих векторів відповідної твірної лінійчатої поверхні, відкладених від
центру одиничної сфери.
Поряд із довільними однопараметричними родинами прямих простору E3 будемо розглядати
однопараметричні родини прямих, які називаються прямими гелікоїдами. У многовиді всіх прямих
простору E 3 вони відіграють роль геодезичних ліній. Як відомо, для визначення геодезичних ліній на
деякому многовиді, необхідно наділити його аффінною зв’язністю. Про можливість введення аффінної
зв’язності в многовид лінійчатих елементів говориться, наприклад, у роботах [2], [3]. Прямим гелікоїдом
називається поверхня, утворена прямою, що обертається навколо вісі й одночасно рухається поступально
в напрямку цієї вісі, за умови, що ця пряма перетинає вісь обертання і перпендикулярна до неї. Через
будь-які дві мимобіжні прямі можна провести єдиний гелікоїд. Загальний перпендикуляр твірних
гелікоїда назвемо віссю гелікоїда, площина, якій паралельні всі твірні – направляючою площиною. Точку
перетину вісі гелікоїда з фіксованою твірною гелікоїда будемо називати горловою точкою цієї твірної,
одиничний направляючий вектор твірної – її горловим вектором, а одиничний вектор, перпендикулярний
горловому вектору і паралельний направляючій площині – когорловим вектором твірної. Нехай k –
кутова швидкість обертального руху твірної прямого гелікоїда, а l – швидкість поступального руху
l
твірної. Число q будемо називати параметром розподілу гелікоїда.
k
При вивченні однопараметричних родин прямих простору E3 корисно користуватися їхнім зображенням
у виді кривих на сфері одиничного радіуса цього простору. Тоді прямі гелікоїди зобразяться на сфері
великими колами.
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
90
Сферична крива L , що зображує лінійчату поверхню S простору E3 , має в кожній своїй точці
дотичний вектор, напрямок якого визначає єдину геодезичну сфери, дотичну до кривої L . Цій
геодезичній в просторі E3 відповідає прямий гелікоїд, який будемо називати дотичним гелікоїдом до
поверхні S . Справедливою є
Теорема. Нехай задана лінійчата поверхня S і з кожною її твірною R () зв'язаний дотичний гелікоїд,
для котрого l () і k () – лінійна і кутова швидкості твірної відповідно. Тоді з кожною твірної поверхні
S можна зв'язати канонічний репер x , e1, e2 , e3 простору E3 , який визначається диференціальним
околом першого порядку твірної, а дериваційні формули цього репера мають вигляд
de3
de
de2
dx
C e3 ,
k e1 C e2 ,
F e1 l e2 , 1 k e3 ,
d
d
d
d
(2)
де всі коефіцієнти є функціями параметра , x – радіус-вектор початку репера.
Доведення. Якщо початок репера помістити в горлову точку твірної, вектори e1 і e3 направити
відповідно по горловому і когорловому векторах, а вектор e2 – по осі дотичного гелікоїда, то отриманий
рухомий репер буде інваріантно зв'язаним із досліджуваною лінійчатою поверхнею. Нехай – параметр
лінійчатої поверхні S . Векторні рівняння лінійчатої поверхні S і її сферичного зображення мають
вигляд R () x () e1 () і R1 () e1 () відповідно. Аналогічно, векторні рівняння гелікоїда і його
сферичного зображення мають вигляд q (t ) x (t ) lt e2 (cos kt e1 sin kt e3 ) і q1 (t ) cos kt e1 sin kt e3
при фіксованому . Для того, щоб цей гелікоїд був дотичним гелікоїдом поверхні S для кожного
значення , потрібно виконання таких умов:
dR1
dq
dR dR dq dq 1
і ,
,
.
d
dt t 0 d d 0 dt d t 0
0
Одержимо 12 0 , 13 k d , 3 0 , 2 l d . Враховуючи, що усі форми залежать від d , позначимо
1 F d , 32 C d . Теорема доведена.
Помітимо, що в дериваційних формулах (2) беруть участь чотири коефіцієнти, але тому що q() і k ()
зв'язані одним співвідношенням, то незалежними залишаються три функції, що і складають повну
систему інваріантів лінійчатої поверхні.
Для розгляду основних класів лінійчатих поверхонь виникає необхідність поряд з основним випадком
розглядати і вироджені випадки, коли або k , або l рівні нулю. При k 0 гелікоїд є пучком
рівнобіжних прямих, а при l 0 – пучком прямих, що перетинаються в одній точці.
З класичної диференціальної геометрії відомий критерій: лінійчата поверхня є розгортною (торсом),
тоді і тільки тоді, коли вектори dx , e1 , de1 компланарні. Оскільки мішаний добуток (dx , e1, de1 )
дорівнює нулю при kl 0 , то класи торсів визначаються співвідношеннями k 0 або l 0 . При k 0
de
маємо 1 0 , звідки e1 const , тобто торс k 0 є циліндром. Зауважимо, що при вивченні лінійчатих
d
поверхонь методом зовнішніх форм, цей випадок виключався з розгляду.
При l 0 одержимо конуси (якщо також і F 0 ) і поверхні, утворені дотичними прямими до деякої
просторової кривої (при F 0 ). В останньому випадку дериваційні формули поверхні мають вигляд
de3
de
de2
dx
F e1 , 1 k e3 ,
C e3 ,
k e1 C e2 .
d
d
d
d
Переходячи до іншого параметру за формулою F d du й позначаючи m1 e1 , m2 e3 , m3 e2 ,
k
C
k1 , k 2 , одержимо формули Френе просторової кривої у вигляді
F
F
dm3
dm1
dm2
dx
m1 ,
k1 m2 ,
k1 m1 k 2 m3 ,
k 2 m2 .
du
du
du
d
Таким чином, критерій лінійчатої поверхні, що розгортається, рівносильний вимозі для дотичного
гелікоїда бути пучком прямих (власним або невласним).
Фізико-математичні науки
91
Лінійчаті поверхні, для яких kl 0 , не є розгортними. Зробимо заміну параметра лінійчатої поверхні за
формулою ds k d , тоді дериваційні формули канонічного репера набудуть вигляду
dx
f e1 q e2 ,
ds
f де
de
de1
de
e3 , 2 c e3 , 3 e1 c e 2 ,
ds
ds
ds
(3)
l
F
C
, q , c ,
k
k
k
(4)
тобто вони є однаковими з точністю до позначення векторів репера з формулами (1).
Оскільки сферична крива задається векторним рівнянням R ( s ) e1 ( s ) і для диференціала ds* довжини її
дуги маємо ds* d e1 ( s ) e3 ( s) ds ds , то параметр s лінійчатої поверхні є довжина дуги відповідної
сферичної кривої. Як і в [1] інваріанти f , q , c є відповідно косиною, параметром розподілу і нахилом
лінійчатої поверхні. Формули (4) дають їхню геометричну характеристику через параметри дотичного
гелікоїда, зокрема параметр розподілу p лінійчатої поверхні з формул (1) дорівнює параметру розподілу
q дотичного гелікоїда. Позначимо символом кут між осями дотичних гелікоїдов, побудованих для
двох нескінченно близьких твірних лінійчатої поверхні, а символом – кут між самими твірними. Тоді
формула c lim
розкриває геометричний зміст параметра c . Площина, що визначається векторами
0 e1 і e3 канонічного репера, названа в роботі [1] асимптотичною, тепер може бути охарактеризована як
напрямна площина дотичного гелікоїда.
До нульових класів лінійчатих поверхонь відносяться також поверхні, утворені бінормалями деякої
просторової кривої (при b 0 ). Їх називають бінормальними лінійчатими поверхнями.
Знайдемо залежність між інваріантами лінійчатої поверхні, утвореної головними нормалями просторової
кривої, використовуючи формули (1). Нехай рівняння цієї лінійчатої поверхні має виглядд
R (t ) (t ) m2 (t ), R , де (t ) – довільна крива, t – її натуральний параметр.
Рівняння горлової лінії цієї лінійчатої поверхні будемо шукати у вигляді r (t ) (t ) (t ) m2 (t ) .
Вимагаючи, щоб e3 m2 , одержимо
de3
dt
km1 m3 e1 , e1 dt km1 m3 , e2 e3 , e1 .
ds
ds
ds
Отже,
e1 dt
dt
dt
dt
km1 m3 , e2 m1 km3 , e3 m2 .
ds
ds
ds
ds
(5)
Виразимо вектори mi через вектори e j , i, j 1,3 :
m1 ds
k
ds
ds
ds
k
e1 e2 , m2 e3 , m3 e1 e2 .
dt k 2 2
dt k 2 2
dt k 2 2
dt k 2 2
(6)
dt d
dr
m2 (t ) m3 (t ) p e2 a e3 , звідки після застосування формул (6)
m1(t )(1 k ) ds
dt
ds одержимо
Тоді,
k
dt d
a , , p
.
2
2
2
ds dt
k 2
k (7)
Аналогічно, із
2
2
2
2
de1 d 2t
d 2t
dt dk
dt 2
dt d
dt 2
km1 m1 m3 m3 k m2 m2 2
2
ds
ds
dt
ds
ds
dt
ds ds
ds
b e2 e3
одержимо
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
92
dt 1
k 2 2
ds , b 2
1
k k .
2
k t
t
2
2
2
2
2
k 1 k 3
(8)
Виключивши із рівностей (7) і (8) змінні , k , , одержимо шукану залежність у вигляді
aps aps ap
. Крім того, із залежності (7) отримаємо рівняння горлової лінії у вигляді as .
b
a 2s 2 p 2
ЛІТЕРАТУРА
1.
Щербаков Р.Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии. – Томск,
1973. – 233с.
2.
Норден А.П. Обобщенная геометрия двумерного линейчатого многообразия // Математический
сборник. – 1946. – Т.18(60). – С. 139-152.
3.
Розенфельд Б.А. Дифференциальная геометрия семейств многомерных плоскостей // Изв. АНСССР.
Сер. общ.-мат. наук. – 1947. – Т.11. - №3. – С. 283-308.
УДК 539.4
ДИНАМИКА УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И
РАЗРУШЕНИЯ РАБОЧЕЙ ЛОПАТКИ КОМПРЕССОРА
ГАЗОТУРБИННОГО ДВИГАТЕЛЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ПРОДОЛЬНОЙ МАЛОЦИКЛОВОЙ НАГРУЗКИ
*Темис Ю.М., д.т.н., профессор, Ройтман А.Б., д.т.н., профессор, Александрова Н.Б., ассист.
Запорожский государственный университет,
*Московский государственный технический университет им. Баумана
1. Введение. Процессом накопления повреждений при циклических изменениях нагрузок и температур в
большой степени определяется долговечность ответственных конструктивных элементов
энергетического машиностроения и авиационной техники. Основными факторами, вызывающими такие
разрушения, являются циклические напряжения и деформации материала детали в зонах концентрации
напряжений [1-3].
Проблемы вибрационной диагностики таких разрушений рассматривались в работах [4-6].
В настоящей работе рассматривается один из возможных подходов к решению данной проблемы,
основанный на применении модели циклического поведения лопатки компрессора, изготовленной из
конструкционного материала.
При решении задач методом конечных элементов удобно представить параметры напряжений и
деформаций как функции повреждаемости [7]. Если в конечном элементе при некотором значении
повреждаемости, близком единице, снизить величину модуля упругости, то вклад такого «отмирающего»
элемента в общую жесткость системы резко снизится и произойдет перераспределение напряжений и
деформаций в его окрестности. Часть элементов разгрузится, а часть – наоборот начнет работать при
более высоких уровнях напряжений в деформационном цикле. Такой алгоритм использован в комплексе
программ «Cycle2D», с помощью которого удобно моделировать кинетику напряженнодеформированного состояния (НДС) и повреждаемости деталей при циклическом деформировании. При
этом появляется возможность оценить число циклов до начала образования трещины из условия
достижения повреждаемости критического значения и проследить процесс развития трещины,
траекторию движения которой моделируют «отмирающие» конечные элементы.
2. Уравнения метода конечных элементов.
При рассмотрении напряженно-деформированного состояния стержня нагруженного вдоль оси
проходящей через его центр тяжести, получено вариационное соотношение [8]:
Фізико-математичні науки
Z,
93
T D
F
d 13 2 d 23 z dF z d 13 d 23 02 d 33, 2 z dF F
0 m
p x T 0
0
z z dF dF u dГ u i Pi w N z i 1
Г
F
F
p y m
p x1 T T 1 z z1 dF u dГ u i Pi1 w N z1 ,
i 1
F
Г
p y1 где
(1)
T x , y , xy , T x , y , xy – компоненты деформаций и напряжений, действующие
в плоскости X 0Y ;
D – матрица упругости для упругого ортотропного материала;
D – матрица для обобщенного плоского деформированного состояния;
Ex
1 xy yz ; d 12 d 21 E x xy yz zx ;
m
m
Ey
1 xy zx ; d 23 d 32 E x yz xy zx ;
m
m
E
E
z 1 xy xy ; d 13 d 31 x zx xy yz ;
m
m
Ex
G xy ;
21 xy d 11 d 22
d 33
d 44
m 1 2 xy yz zx xy xy yz yz zx zx ;
z , z
– деформация и напряжение вдоль оси Z ,
z d 31 x x0 d 32 y y0 d 33 z z0
Pp – часть контура на котором задано давление P( x, y ) ;
;
F – площадь сечения стержня;
N z z dF – внешняя сила действующая на торец стержня;
F
d 13 d 23 0 D 1 0
0 2
0
D
2
0
1
d 13 d 23 z1 z01 ;
0 2
z d 31 d 32 02 d 33 z z0 ,
0
0
0
0
z d 31 d 32 02 d 33 z d 31 d 32 02 1 d 1
33
z1
0
.
Индексы 1, 2 – относятся к состояниям в моменты времени t1 и t 2 , а индекс 0 – обозначает неупругие
деформации.
Вариационные соотношения (1) позволяют получить систему уравнений метода конечных элементов
(МКЭ) [9]. Разобьем поперечное сечение стержня сеткой N e конечных элементов. В дальнейшем будем
использовать трех- и шестиузловые треугольные и четырех- и восьмиузловые четырехугольные
конечные элементы. Используем традиционные зависимости МКЭ, принятые при формулировке метода
перемещений. Для каждого конечного элемента справедливы соотношения
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
94
u N ue ,
B u e ,
(2)
где u – вектор перемещений в точке элемента;
N – матрица функций форм элемента;
ue – вектор узловых перемещений элемента; B – матрица связи вектора деформаций и вектора
узловых перемещений.
С учетом того, что на единичной длине по оси стержня w z , уравнение (1) преобразуем к виду
Ne
u B T
T
i 1 F
d 13 Ne
e
T
D B u dF u B d 23 z dF z d 33, 2 dF z dF i 1 Fe
F
0 Ne
Ne
z d 13 d 23 0B dF ue z z0 dF uT B T 0 dF i 1
F
i 1 Fe
(3)
Ne
m
p x T e
u dГ u i Pi z N z u B 1 dF i 1
i 1 Fe
Г
p y m
m
p x1 e
z z1 dF u N dГ u i Pi1 z N z1
i 1 Г
i 1
F
p y1 Из выражения (3) после преобразований получим систему уравнений МКЭ
z N z ,
U P K (4)
где матрица K может быть представлена блочной структурой в виде
K11 K12 .
K 21 K 22 K (5)
Диагональный элемент K 11 вычисляется как
Ne
K 11 d 33, 2 dF .
(6)
i 1 Fe
T
Строка матрицы жесткости K12 K 21 компоненты, которой определяются для каждого конечного
элемента по формуле
b1 K1 j d13 d12 02 b2 dF ,
Fe
b3 (7)
где bi – компоненты матрицы связи B .
представляет собой матрицу жесткости конечных элементов в плоскости
Подматрица K 22
поперечного сечения стержня. Компоненты этой матрицы определяются зависимостью [5]
K e BT DB dF .
Fe
Фізико-математичні науки
(8)
95
Компоненты вектора правой части определяются следующим образом:
Ne
N z z0 dF N z N z1 z1dF ;
(9)
i 1 F
F
0
e
P B dF N pdS P B 1 dF N p1 dS P1 . (10)
Fe
Se
Fe
Se
3. Общая схема моделирования малоцикловой усталости. Оценка циклической долговечности
конструкций предполагает проведение исследования кинетики напряженно-деформированного
состояния (НДС) деталей, основанного на математической модели упругопластического поведения
конструкционного материала при циклическом деформировании [10-12]. Наиболее значительные
изменения напряженно-деформированного состояния при циклическом, в общем случае программном
нагружении происходят в зонах концентрации напряжений.
Рассмотрим циклическое деформирование, при котором вектор нагрузок {F } прикладывается к детали
по следующей программе
0 Fmax Fmin Fmax ...
(11)
Если векторы деформаций и напряжений в точках тела { }k и { } k соответствуют концу k-го
полуцикла нагружения, а { } k 1 и { }k 1 – концу k 1 полуцикла, то для каждого полуцикла
выполняется вариационное соотношение
d F u d F u dS
T
q
T
q
S
q
0,
(12)
S
q k , k 1 – номер полуцикла. Обозначения здесь и далее соответствуют принятым в работе [2].
Вычитая из соотношения (12) при q k 1 аналогичное соотношение при q k получим, что задача
где
моделирования напряженно-деформированного состояния НДС при переходе от полуцикла нагрузки к
полуциклу разгрузки сведется к решению следующей задачи:
d F ud F udS 0 .
T
k 1
Если задать вид зависимости
T
k 1
(13)
S k 1
SF
( ) , то (13) будет сведено к конечно-элементной проблеме
K k 1 U k 1 Fk 1 ,
(14)
k 1 - матрица жесткости k 1 полуцикла, определяемая последовательными приближениями;
U k 1 и Fk 1 - векторы приращений перемещений и нагрузок на полуцикле соответственно.
где K
Тогда для вектора смещения в конце k 1 полуцикла справедливо
U k 1 U k U k 1,
(15)
а деформации и напряжения в расчетной точке связаны аналогичными зависимостями
k 1 k k 1 ,
k 1 k k 1 (16)
Воспользуемся обобщением понятия единой кривой деформирования. На k 1 полуцикле точка,
отображающая процесс деформирования, должна находиться на ветви кривой циклического
деформирования рис 1.
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
96
Ветви кривой циклического деформирования в каждом полуцикле представляются в виде [2,11]:
Здесь
где
s
s
и
E *
* s*
* *
E s b f s b
a s / d , d E / E ;
s
* s*
.
*
*
s
(17)
- напряжения и деформации, соответствующие началу пластического деформирования при
монотонном нагружении;
a , b и d - параметры материала, описывающие характер его пластического деформирования при
циклическом нагружении;
E - модуль упругой разгрузки, зависящий от величины накопленной пластической деформации ( E E ( 0)) .
Параметр a может быть представлен как a s / s (рис.1). Параметр b характеризует масштаб
преобразования нелинейного участка первоначальной кривой деформирования.
Варьируя параметрами кривой циклического деформирования (17), можно описать процессы упрочнения
и разупрочнения конструкционного материала при циклическом деформировании. Повреждаемость
материала при циклическом упруго-пластическом деформировании определяется как П / max .
Соответствующий алгоритм использован в комплексе программ «Cycle2D», позволяющем моделировать
кинетику НДС и повреждаемости деталей при циклическом деформировании.
4. Структура программного комплекса. На основе приведенных соотношений в Центральном
институте авиационного моторостроения создан программный комплекс «Cycle2D», позволяющий
проводить исследования кинетики НДС и повреждаемости деталей ГТД при циклическом
деформировании. Блок-схема комплекса и алгоритм расчета приведены на рис.2. Комплекс программ
«Cycle2D» позволяет исследовать характер циклического упруго-пластического деформирования,
предшествующего началу развития трещин малоцикловой усталости (МЦУ) в зонах концентрации
напряжений.
5. Пример моделирования МЦУ. Для примера была рассмотрена рабочая лопатка газотурбинного
двигателя (ГТД), к свободному концу которой приложена продольная нагрузка. Нагрузка изменяется
согласно закону, представленному соотношением (11), где Fmin 0, Fmax F . Материал лопатки –
титановый сплав – ВТ-3, толщина – 3 мм.
Критическое напряжение p , приводящее к росту трещины, расчитывалось с учетом пластической
деформации в вершине трещины из условия Гриффитса-Ирвина [7]:
p2 2 E p l 1 2 )
,
где E – модуль упругости;
поверхностной энергии;
p
– коэффициент Пуассона; l – глубина трещины;
– плотность
– работа пластической деформации при образовании единицы поверхности.
На рис. 3 показано разбиение лопатки сеткой конечных элементов. Лопатка повреждена трещиной
глубиной 5 мм на расстоянии 30 мм от защемления.
Фізико-математичні науки
97
k 1( 0 )
k
( )
s
s
k 1( )
(0)
s
s
k 1
б)
а)
Рис.1. Формирование кривой деформирования для k 1 этапа:
а) ветви кривой деформирования в зависимости от направления нагружения;
б) возможные зависимости между интенсивностями напряжений и деформаций для k 1 этапа
Чертеж детали
Циклические условия
нагружения
Граничные условия
КЭ модель
Модель циклического
поведения материала
Расчетная
схема
Модуль оценки
повреждаемости
Параметры перестройки
диаграммы материала
Решатель
Вектор состояния
на k-ом этапе
Рис.2. Блок-схема комплекса «Cycle2D» и алгоритм расчета
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
98
Рис. 3. Конечно-элементная (КЭ) модель трещины в рабочей лопатке компрессора
ГТД.
Рис. 4 иллюстрирует процесс развития трещины. Темные участки на светлом фоне характеризуют
уровень повреждаемости и траекторию развития трещины. Рис. 4 а-г сделаны через каждые 50 циклов
нагружения лопатки, кажды из которых соответствует полётному циклу ГТД. Рис. 4 д можно
интерпретировать как полное разрушение.
Фізико-математичні науки
99
На рис. 5 представлена динамика глубины трещины l в зависимости от количества циклов нагружения
Nц .
Авторы выражают благодарность сотруднику ЦИАМ Х.Х. Азметову за компьютерную визуализацию
программы «Cycle2D».
5 мм
7,5 мм
F
а)
б)
14 мм
9,2 мм
г)
в)
д)
Рис. 4. Процесс развития трещины.
а) указано защемление лопатки и силовое нагружение F .
д) Полное разрушение.
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
100
l , мм
40
30
20
10
0
0
50
100
150
Nц
Рис. 5. Динамика развития трещины.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Биргер И.А., Демьянушко И.В., Темис Ю.М. Долговечность теплонапряженных элементов машин. –
Проблемы прочности, 1975, №12, с. 9-16.
2.
Темис Ю.М. Пластичность и ползучесть деталей ГТД при циклическом нагружении.//В сб.:
Проблемы прочности и динамики авиадвигателей. Вып.2. – Тр. ЦИАМ №1237. – 1989. – с. 32-50.
3.
Темис Ю.М. Оценка пластичности и ползучести в инженерных расчетах.//В кн.: Аналитические и
численные методы решения краевых задач пластичности и вязкоупругости. – Свердловск: УНЦ АН
СССР, 1986. – с. 100-106.
4.
Ройтман А. Б., Александрова Н.Б., Христенко Т.А. Вибрационная диагностика «дышащих» трещин
в изделиях. // Техническая диагностика и неразрушающий контроль. – 2000. - № 1. – С. 58-66.
5.
Ройтман А. Б., Пылов А. А., Александрова Н. Б. Продольные колебания консольного стержня с
поперечной трещиной. Сообщение 1. Малые колебания // Проблемы прочности. – 1999. – № 2. – С.
23-34.
6.
Ройтман А. Б., Пылов А. А., Александрова Н. Б. Продольные колебания консольного стержня с
поперечной трещиной. Сообщение 2. Кусочно-линейная модель // Проблемы прочности. – 1999. –
№ 5. – С. 78-85.
7.
Качанов Л.М. Основы механики разрушения. М.: Наука –1974. – 311 с.
8.
Ватулин А.В., Каширин Б.А., Темис Ю.М. Математическое моделирование напряженнодеформированного состояния твэла на основе полупространственной теории стержней. // препринт
ВНИИНМ 2000-3 – М.:ВНИИНМ, 2000 – 24 с.
9.
Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике М.: Мир – 1975. –541 с.
10. Темис Ю.М., Пучков И.В. Аналитическое описание кривых циклического деформирования
конструкционных материалов. – Проблемы прочности, 1988, №9.
11. Темис Ю.М., Пучков И.В. Характеристики упруго-пластического деформирования и
повреждаемости конструкционных материалов при циклическом нагружении.// Межвуз. сборник
«Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения». – Изд-во Нижегородского
университета, 1992. – с.82-89.
12. Putchkov I.V., Temis Y.M., Dowson A.L., Damry D., Development of finite element based strain
accumulation model for the prediction of fatigue lives in highly stressed Ti components. – Int. J. Fatigue
Vol. 17, No. 6, 1995, pp. 385-398.
Фізико-математичні науки
101
УДК 681.3:771.537.442
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОРГАНИЗАЦИИ
ДИНАМИЧЕСКОГО ФОРМИРОВАНИЯ МАССИВА ДАННЫХ
В ПРОЦЕССЕ РАБОТЫ АЛГОРИТМА ИТЕРАЦИОННОГО
УТОЧНЕНИЯ ТРЁХМЕРНОЙ ОБЛАСТИ
Толок Н.Б., к.т.н., доцент, Толок А.В., к.т.н., доцент
Запорожский государственный университет
ВВЕДЕНИЕ
Проблема организации динамических массивов для хранения и обработки информации, итерационно
изменяющейся в процессе своего формирования, являлась и является одной из интереснейших задач
моделирования данных [1,2]. Примером подобной проблемы служит задача построения динамически
формируемого массива данных при рекурсивном уточнении рассматриваемой области. Итерационные
подходы уже используются в визуальном анализе когнитивной компьютерной графики при
моделировании сложных объектов, представленных аналитическим или кусочно-аналитическим методом
(R-функции) [3,4]. Основным недостатком подобных построений является низкая производительность
алгоритмов по причине многократной повторяемости действий над каждой точкой исследуемой области
объекта. Достоинством служит пространственная организация уточняемых данных для каждой итерации,
что позволяет получить в результате не только изображение объекта при заданных характеристиках, но и
массив данных, содержащий матричное представление «поведения» исследуемой «сцены объекта». В
отличие от традиционных способов отображения сцен, которые при любых изменениях отношения
наблюдателя к объекту требуют перепостроения изображения [5], полученный в результате
итерационного подхода массив позволяет разработать алгоритмы динамического отображения
исследуемого объекта в различных ракурсах и сечениях. При этом достаточно базироваться лишь на
алгоритме пересортировки массива и пересчёта матрицы поворота в пространстве сцены.
Интерес представляет разработка удобной внутренней и логической организации такого массива,
позволяющей просто управлять итерационными данными, особенно на этапах рекурсивного перехода.
1.
ВНУТРЕННЯЯ ОРГАНИЗАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЁТА
АЛГОРИТМА ИТЕРАЦИОННОГО УТОЧНЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ
ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ
n
Количество подобластей для половинного деления области равно 2 , где n - размерность области
разбиения. Таким образом, отрезок подразделяется на 2
1
2
элемента, квадрат на 2 , куб уже можно
3
представить 2 , т.е. восьми элементным разбиением и т.д.. Рассмотрим случай обработки разбиением
3
трёхмерной сцены E , принципы которого легко переносимы на более низкие, а также на более
высокие размерности исследуемых объектов.
Количество элементов трёхмерного массива l , содержащего результаты расчёта алгоритма
итерационного уточнения посредством половинного деления, зависит от количества итераций m и
рассчитывается как l 2 . Определим индексную организацию формируемого массива в трёх
направлениях ( i , j , k ) . Длина индексного направления, выбранного вдоль одной из осей координат
nm
исследуемой сцены, составляет
3
2 nm единиц. Таким образом, размер массива определяется как
i j k , где i j k [ 0 ,..., 3 2 nm 1 ] . Увеличение размера массива обратно пропорционально
размеру конечного элемента области исследования. В ходе организации таких данных особый интерес
представляет промежуточный этап – переход к следующей итерации уточнения, который должен
содержать в себе как данные предшествующего этапа исследования области, так и данные исследуемой
области на новом этапе уточняющего разбиения. При этом возможно применение известных методов
организации динамических структур иерархического дерева, позволяющих хранить информацию
каждого этапа на своём уровне иерархии [1,2]. Недостатком таких структур является сложность
восприятия целостности рассматриваемого объекта, а также избыточность информации, необходимая
лишь для общей увязки структуры «сверху вниз». В действительности, в таких случаях нас интересует
только текущая информация для перехода от одной итерации к другой, при этом все предшествующие
этапы разбиения исключаются из рассмотрения.
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
102
В работе предлагается описание динамического массива данных размерностью 3 3 , позволяющего
поддерживать целостность восприятия исследуемой трехмерной сцены с компактным заполнением
данных, учитывая возможность хранения сразу обоих уровней разбиения в процессе перехода от одного
уровня итерации к другому.
2. ДИНАМИЧЕСКИЙ МАССИВ ДЛЯ ХРАНЕНИЯ РЕКУРСИВНО
УТОЧНЯЕМЫХ ТРЁХМЕРНЫХ СЦЕН
По своей сути предложенное представление обыкновенного трёхмерного массива отличается своей
физической и логической организацией из-за специфичности поставленной задачи. Заполнение массива
осуществляется в обратном порядке, по сравнению с
традиционным, и начинается с элемента, содержащего индексы
i j k 3 2 nm . Причины, по которым был выбран именно
такой порядок, мы обсудим позднее. Предварительно рассмотрим
начальные этапы формирования динамического массива.
На первом этапе трехмерный элемент (на рисунке - куб)
подразделяется на восемь равных элементов (рис. 1). Таким
образом, для организации индекса нам потребуется 3 бита (от 000
до 111). Проиндексируем массив так, чтобы последовательность
нулей и единиц отражала трехмерное положение элементов
объекта в соответствии с направлениями осей i, j, k. На рисунке
видно, что нулевое значение соответствующего бита в значениях
индексов [ijk ] определяет расположение куба непосредственно на
координатной оси. Логический номер поэлементного заполнения
m для рассмотренного случая можно определить как
i j
100
k
000
001
o10 ( i , j , k ) - функция перехода к десятичному значению
комбинации двоичного кода, образуемого группировкой значений
элементов [ ijk ] .
010
111
011
Рис.1.
Пример
первого
уровня индексного разбиения динамического массива
12
m 2 n o10 ( i , j , k ) ,
где
101
110
10
2
8
7
16
6 1
14
5
9
13
На втором этапе уточнения трёхмерной сцены осуществляется
15
разбиение областей, которым в массиве соответствуют элементы
000...111 , на восемь равных элементов методом половинного
деления. Рис. 2 отображает динамическое развитие матрицы при
Рис.2. Организация логической
переходе ко второму этапу уточнения трёхмерной области. При
последовательности заполнения
этом происходит увеличение размерности динамического массива
динамического
массива
«от
в два раза вдоль каждой оси. Для наглядности на рис. 2 логическая
последнего элемента к первому».
очередь заполнения массива отражена последовательным рядом
значений, где с 9 по 16 - укрупнённые делимые элементы на
последующей итерации рассматриваемой области определения. Элемент 9 является «итерационным
потомком» элемента 1 , поскольку отражает ту же самую область, только уже в уточненном виде за счёт
деления «итерационного предка» на восемь частей. Процесс итерационного уточнения трёхмерной
области предусматривает последовательную обработку «итерационных предков» 1-8 с
последовательным отражением результатов деления в «итерационных потомках» 9-16.
Такая организация заполнения позволяет сохранять данные, полученные на предыдущей итерации в
первых ячейках матрицы до тех пор, пока не заполнятся все свободные ячейки значениями следующей
итерации. Далее, элементы текущей итерации (16) «вытесняют» значения предыдущей итерации (1-8) в
первых ячейках куба, и происходит переход к новой итерации с соответствующим увеличением массива.
Это позволяет сохранять связь с предыдущей итерацией до требуемого предела.
Здесь возникает проблема структурной организации индексных данных динамического массива,
позволяющей производить увязку между индексным распределением элементов массива и их
логическим порядком. Для этого снова обратимся к бинарному коду.
3. БИНАРНАЯ СТРУКТУРА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО
МАССИВА ДАННЫХ
В предыдущем разделе мы совершенно удачно заметили, что индексная организация восьмиэлементной
ячейки может быть очень удобно представлена комбинациями двоичного трёхбитового кода. Идея
Фізико-математичні науки
103
пространственной компоновки данных в рекурсивно возрастающем массиве 3х3, отображенная на рис. 2,
позволяет предложить описание развития итерационной структуры в том же бинарном виде.
Структурность бинарного представления чисел позволяет создать промежуточное представление данных
логического заполения в виде двоичного кода.
Значения от 0 до 7 посредством трёхбитовой комбинации описывают разбиение элемента на
подэлементы. Значения от 8 до 127 организуют шестизначный код, где первая тройка значений
организует элементы глобального куба, а вторая тройка значений – элементы локальных кубиков,
полученных в результате деления элемента
глобального куба (рис.3). Таким образом,
структура битового представления динамического
000
001
...
...
111
массива
может
быть
описана
в
виде
000
000
...
...
000
последовательности трёхбитовых комбинаций, где
001
001
...
...
001
количество таких комбинаций определяет уровень
010
010
.
.
.
.
.
.
010
вложенности рекурсии в ходе динамического
011
011
.
.
.
.
.
.
011
заполнения итерационно возрастающего массива.
100
100
...
...
100
Например, битовая комбинация 001 011 001
101
101
...
...
101
означает второй куб на третьем уровне уточнения,
110
110
...
...
110
четвёртый куб на втором уровне уточнения и
111
111
.
.
.
.
.
.
111
второй куб на первом уровне уточнения. На рис. 4
результирующий элемент отмечен самым тёмным
Рис.3. Пример битового описания структуры
тоном.
динамического массива для трёх итераций
разбиения.
Очевидно, что элементы трёхмерного массива во
внутреннем
представлении
компьютера
традиционно представляются индексной адресацией ( i , j , k ) .
Например, значение, заносимое в элемент массива на рис. 4,
определяется индексами массива ( 0 ,2 ,7 ) .
i
j
Рассмотрим переход от предлагаемого бинарного представления к
индексному представлению и наоборот. Индексное представление
элемента массива определяется как:
i
1
( 2I
n L / 3
j
)n1 ,
1
( 2J
n L / 3
k
3n
3 n1
1
( 2K
n L / 3
3 n 2
k
01 2
1
2
3
4
5
6
7
Рис.4. Пример положения
элемента
при
битовом
сочетании 001 011 001
)n1 ,
)n1 ,
где I 3 n , J 3 n 1 , K 3 n 2 - значения элементов для n -ой трёхбитовой комбинации,
n L / 3 - количество итераций алгоритма уточнения области,
представления элемента динамического массива.
L - размерность вектора бинарного
Например, для вектора элемента 001 011 001 индексное представление можно получить в виде:
i ( 2 0 ) 2 ( 2 0 ) 1 ( 2 0 )0 0 0 0 0 ,
j ( 2 0 ) 2 ( 2 1 ) 1 ( 2 0 )0 0 2 0 2 ,
k ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 )0 4 2 1 7 .
Для решения обратной задачи достаточно последовательно перевести десятичное представление
индексов i , j , k в двоичный код и произвести группировку по столбцам в последовательные тройки по
каждому элементу, как показано ниже:
0
=
0
0
0
2
=
0
1
0
7
=
1
1
1
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
104
В результате мы получим искомые трёхбитовые комбинации, отображающие положение элемента на
всех итерационных уровнях.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Предлагаемая организация данных относительно проста в управлении, характеризуется целостностью
представления и компактна при итерационных переходах к удвоеной детализации. Данная модель
позволяет собирать и хранить данные, формируемые в ходе итерационного уточнения исследуемой
области и предлагается в использовании алгоритмов, связанных с рекурсивной динамикой.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Мейер Б., Бодуэн К. Методы программирования: В 2 т.: Пер. с фр. – М.: Мир, 1982. - Т.1. -356 с.
2.
Кнут, Дональд, Эрвин. Искусство программирования: В 3 т.: Пер. с англ.- Т. 3: Сортировка и поиск.
– М.: Издательский дом “Вильямс”, 2000. – 832 с.
3.
Толок А.В., Мухин В.В. Алгоритм итерационного уточнения области исследования поверхности //
Вісник Запорізького державного університету: Фізико-математичні науки. Біологічні науки. –1998. 2. - С.90-97.
4.
Гладкий Б.М., Толок А.В. Применение алгоритма частичной сортировки по глубине к визуализации
функции трёх переменных // Вісник Запорізького державного університету: Фізико математичні
науки. Біологічні науки. –1999.- N2.- 28-35С.
5.
Роджерс Д. Алгоритмические основы машинной графики: Пер. с англ. – М.: Мир, 1989. – 512 с.
УДК 517.95 + 517.518
R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ БЛЕНДИНГА И ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО
ДИЗАЙНА
Уваров Р.А., аспирант, Шейко Т.И., д.т.н., профессор
Институт проблем машиностроения им. А.Н.Подгорного НАН Украины (г. Харьков)
В настоящее время в литературе широко освещены вопросы, связанные с блендингом, геометрическим
дизайном и их приложениями к построению сложных плоских и пространственных локусов с заданными
свойствами геометрического и эстетического характера. Следует особо отметить работы [1]–[4] и др., где
наряду с разрабатываемыми авторами подходами уделено внимание и применению для этих целей Rфункций. Вопрос о построении гладких сопряжений, скруглении углов и ребер с заданными радиусами
плоских и пространственных локусов, построении нормализованных уравнений с гладким сопряжением
градиентов стоял в RFM давно [5], решался с помощью конструктивных средств этой теории и в отличие
от вышеупомянутых работ был в основном сориентирован на исследование полей различной физической
природы (тепловых, деформационных, электромагнитных и др.). Например, если некоторый гладкий
участок локуса 0 сформировался
в результате сопряжения локусов-примитивов
i i 0 , i 1,2 разной кривизны, то применение обычных R-операций с постоянным не
гарантирует сопряжение градиентов соответствующих им функций, в результате чего важное для
построения структур решения [5] свойство нормализованности может быть нарушено в точках
сопряжения.
Рассмотрим случай, когда требуется написать нормализованное во всех регулярных точках границы
уравнение локуса, изображенного на рис.1.
В качестве локусов-примитивов выбираем:
1 x 2 y 12
1 x 2
1 y 2
1 0 , 2 0 , 3 0.
2
2
2
Фізико-математичні науки
105
Рис.1. Общий вид исходной области.
Все приведенные неравенства нормализованы. Логическую формулу для области строим в виде:
1 2 3 . Если при построении уравнения границы области заменить символы , на
, 1, const , то получим функцию , для которой условие нормализованности в
точках 1, 1 , 1, 1 может быть нарушено, хотя в этих точках граница построенной области является
гладкой. Это явление достаточно ярко отражено в картинах линий уровня функции (рис.2а) и
2
2
1
, то получим
(Рис.2б). Если же выбрать в виде функции 2
x 1 i 2j
y результат, представленный на рис.2в), г), который иллюстрирует поведение функции после
устранения дефекта, связанного с нарушением ее нормализованности в вышеуказанных точках.
(Отметим, что для достижения этого же эффекта можно было бы выбрать 1 , но в этом случае может
нарушиться дифференцируемость результирующей функции во внутренних точках области.)
а)
б)
в)
г)
Рис.2 Результат применения R0 (а, б) и R (в, г).
Простейший блендинг можно реализовать, построив нормализованное уравнение границы области
0 и рассматривая различные кривые (или поверхности) вида i 0 . Пример таких
блендингов представлен на рис.3.
а)
б)
в)
Рис. 3. Примеры исходной а) и блендинговых б) – 0.5 , в) – 0.8 областей.
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
106
В работах [2],[3] скругление острых углов осуществляется по формуле
f1 f 2 b0
f1 2 f 2 2 1
f1
2
b12
f22
,
(1)
b22
где b0 – радиус скругляющего эллипса; b1 , b2 – коэффициенты скругления.
1 x2
4 y2
, то результат скругления углов по формуле (1)
Если, например, f1 ; f2 2
4
представлен на рис.4 для различных значений параметров bi .
а)
б)
в)
Рис.4 Картины линий уровня скругленных объединений для различных значений параметров bi :
а) bi 0.1 ; б) bi 0.5 ; в) bi 1
Метод неявного блендинга впервые был предложен Риччи [6], в работе которого тела были определены
неравенствами вида f ( x) 1 , а бленд при пересечении двух тел f1 и f 2 неравенством
n f1 ( x ) n f 2 ( x ) n 1 .
(2)
Вообще, бленды между объединениями и пересечениями определены подобным образом и могут быть
расширены до сумм произвольного числа функций f i . Такие бленды являются гладкими для конечных
значений n 1 .
Для наглядности рассмотрим f i fˆi
1 fˆi2
Результат представлен на рис.5. Если же f i , подставив в (2) fˆ1 fˆi fˆi
2
4 ( x 1.5) 2 y 2 ˆ
, f2 y .
4
, то результат проиллюстрирован на рис.6.
а)
б)
в)
Рис.5 Картины линий уровня блендинга окружности и прямой по формуле Риччи:
а) n 2 ; б) n 4 ; в) n 8 .
Фізико-математичні науки
107
Когда продумывается форма блендинга, полезно начинать с рассмотрения бленда в простейшем случае,
2
то есть между двумя прямыми линиями в R . Затем бленд расширяется до тел примитивов P1 и P2 в
R n составлением бленда B из P1 : R n R и P2 : R n R , то есть поверхность блендинга
n
является правильно ограниченной частью нулевой поверхности B12 B( P1 , P2 ) : R R . Такое
составление двух функций полезно для отделения эффектов композиции функций от внутренних
характеристик бленда.
а)
б)
в)
Рис.6 Картины линий уровня блендинга окружности и прямой по формуле Риччи.
а) n 2 ; б) n 4 ; в) n 8 .
В работе [1] предложен супер-эллиптический бленд, названный так, поскольку график для t 2 –
эллиптический, как показано на рис.7.
Рис.7 Супер-эллиптический бленд для r1 3 , r2 4 и трех значений t
2
Бленд между осями в R определяется как ядро (т.е. нулевое множество B 0 )
B ( x, y ) 1 1 x / r1 t 1 y / r2 t ,
(3)
где [*] max(0,*) , ограничивая B положительным квадрантом.
На рис.7 r1 – это расстояние по оси x до точки, где супер-эллиптическая дуга касается оси, а r2 –
соответствующее расстояние по оси y . Два этих параметра называются интервалами. Величина t
может менять форму бленда, причём, увеличиваясь, прижимать бленд ближе к примитивам.
Супер-эллиптический бленд (3), применительно к функциям примитивов P1 и P2 , имеет вид:
B ( x, y ) 1 1 P1 / r1 t 1 P2 / r2 t
Вісник Запорізького державного університету
(4)
№1,2001
108
Рассмотрим окружность радиуса 5 с центром в начале координат, описанную уравнением (5) и полосу
шириной 4, параллельную оси y , описанную уравнением (6); применяя супер-эллиптический бленд (4) с
r1 r2 1 и t 3 , получим бленд, заданный уравнением (7). Результирующий бленд показан на рис.8.
Рис. 8 Супер-эллиптический бленд окружности и полосы
P1 ( x, y ) ( x 2 y 2 )1/ 2 5 ,
(5)
P2 ( x, y ) ( x 2 )1/ 2 2 ,
(6)
B12 ( x, y ) 1 [3 ( x 2 )1/ 2 ]3 [6 ( x 2 y 2 )1/ 2 ]3 .
(7)
В работе [5] для скругления углов предложена операция R :
f12 f 22 f1 f 2 f 1 f 2 1
8
2
2 f12 f 22 2 f12 f 22 2 f12 f 22 (8)
Проведем исследование формулы (8) для использования при скруглении двух пересекающихся прямых
в зависимости от угла между ними. Пусть f1 x 0 и f 2 y 0 , т.е. угол раствора – прямой. Тогда
имеем:
x y x y x 2 y 2 1
8
2
2 x 2 y 2 2 x 2 y 2 2 x 2 y 2 (9)
2
2
2
После преобразований в окрестности бленда (9), где x y , получим нормализованную
функцию, которой соответствует дуга сопрягающей рассматриваемые прямые окружности радиуса с
центром в точке
(, ) . Действительно,
x y x2 y2 2
2 x 2 y 2 4 2
1
x y
1 4 2 x 2 4 2 y 2 4 x 4 y 4 2 2 x 2 2 2 y 2 2 x 2 y 2 2 x y
1
2
Фізико-математичні науки
2 x 2 y 2 2 x y 21 2 x 2 y 2 109
1
1 2
x 2 y 2 .
2x 2y 2 x 2 y 2 2
2
Покажем, что при угле между рассматриваемыми прямыми 90 , скругление по даёт дугу
эллипса, симметричную относительно биссектрисы угла раствора, а не дугу окружности, как можно
y kx
2
2
2
,
было бы предположить. Если f1 f 2 , и f1 2
1 k
f1 f 2 f1 f 2 f12 f 22 f1 y kx
1 k 2
, то получим
2
1 2
2 f12 f 22 f 1 2 f 2 2 2
2
4
1
1 2
1
f12 2 2 f1 f 22 2 2 f 2 f12 f 22 2 2 f1 2 f 2 2
2
2y
1 k
2
2
2
2 y 2 2k 2 x 2
1 k 2
2
2 k
1
2
2 1
2
y R 2 k 2 x 2 R 2 k 2 1 R 2 k 2
k 2 1 где R 1 k
2
4y 1 k 2 2 1 k 2 2 y 2 2k 2 x 2 1 2
2
y R x 1 ,
2 2
R2
R k
2
2
.
Результаты применения формулы (8) при 0,5 в области (-2, 0, 2, 2) представлены на рис.9, где
a) f1 x y
x y
0 ; f 2 y 0 ; б) f1 x 0 ; f 2 y 0 ; в) f1 0 ; f2 y 0 .
2
2
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Рис.9 Картины линий уровня функций (а, б, в – f1 f 2 ; г, д, е –
Вісник Запорізького державного університету
2
x 2
2
y 2
).
№1,2001
110
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Рис.10 – Картины линий уровня функции u r v .
а), б), в) – при 0 ; г), д), е) – при 1
1 i2 2j
.
Рассмотрим новый подход к блендингу двух прямых линий, имеющий значение в тех случаях, когда из
технологических соображений скругление надо выполнить точно по дуге окружности заданного радиуса.
Пусть прямые линии заданы неравенствами u 0 и v 0 . Функция блендинга этих прямых будет
иметь вид
u r v u v r ,
(10)
где – функция границы окружности, пересекающей прямые в точках, которые будет соединять
бленд,
2
2
vu
vu
1 2 ,
3
2
где 1 (v u ) 2
, 2 (v u ) 2
r – функция границы окружности, являющейся блендом,
Фізико-математичні науки
2
2
vu
vu
.
, 3 3 1 2 2
111
2
2
vu vu
r r 2 q 2 r 2 1 2
,
r 4
2
где
2
2
vu
vu
4 3r r 2 q 2 r 2 .
1 2
2
Здесь r q . Действительно, поскольку tg
cos u v , запишем r
1 u v
1 u v
.
r q , где q 1 u v
1 u v
Результаты применения формулы (10) при
а) v r
1 cos , то r ctg r
. Подставляя
2 2
1 cos r 0,5 в области (-3, - 1, 4, 4) представлены на рис. 10:
x y
x y
0 ; u y 0 ; б) v x 0 ; u y 0 ; в) v 0; u y 0.
2
2
Если блендинг должен быть осуществлен для криволинейных локусов, то при малом радиусе скругления
приведенные выше результаты для прямых могут быть использованы как блендинг касательных к этим
криволинейным локусам.
Отметим еще один подход к построению блендинговых кривых для заданного каркаса, используемых в
задачах геометрического дизайна, с помощью конструктивных средств теории R-функций. Используя
нормальные уравнения [7] отрезков AB , CD и дуг окружности DK , KD для заданного каркаса
(Рис.11) по формуле равнозначности [1] с весовыми коэффициентами mi
blend 1
n
m
i
i 1 i
1
(11)
m AB mCD m DK m KD
AB CD DK KD
можно построить различные блендинговые кривые. Рассмотрим следующие значения координат точек
каркаса: A(-2,7) ; B(2,7) ; C(0,7) ; D(0,1) ; K(0,-1) .
Рис.11 Общий вид исходного каркаса.
На рис.12 приведены картины линий уровня блендинга (11) при различных значениях параметров mi , в
том числе и функциональных.
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
112
Рис.12 Картины блендинга для каркаса при различных значениях параметров mi .
В заключение следует отметить, что применение R-функций в задачах геометрического дизайна
позволяет строить блендинг-уравнения, обладающие заданными дифференциальными свойствами,
например, свойством нормализованности, что позволяет впоследствии использовать эти уравнения не
только для задания информации станкам с программным управлением при создании сложных
поверхностей или форм для литья, например [8], но и для решения краевых задач.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Rockwood Alyn, Blending, in J. Bloomenthal (ed.), Introduction to Implicit Surfaces, San Francisco,
California, Morgan Kaufmann Publishers.- 1997.- Р. 196-221.
2.
Sourin A., Pasko A. Function Representation for Sweeping by a Moving Solid, ACM Solid Modeling.1995.- Р. 383-391.
3.
Pasko A.A., Savchenko V.V. Algebraic Sums for Deformation of Constructive Solids, ACM Solid
Modeling.- 1995.- Р. 403-408.
4.
Josef Hoschek and Dieter Lasser, Fundamentals of computer aided geometric design, Welleseley,
Massachusetts, A K Peters.- 1993.- 727 p.
5.
Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые её приложения. – Киев: Наук. думка, 1982. – 552 с.
6.
Ricci A.. A Constructive Geometry for Computer Graphics // The Computer Journal.- 1973.- Vol. 16,
№. 2.- Р. 157-160.
7.
Рвачев В.Л. Геометрические приложения алгебры логики. – Киев: Техника, 1967. – 212 с.
8.
Rvachev V.L., Sheiko T.I., Shapiro V., Uicker J.J. Implicit Modeling of Solidification in Metal Castings //
ASME Journal of Mechanical Design.- 1997.- Vol. 119, №. 4, December.- Р. 466–473.
Фізико-математичні науки
113
УДК: 519.866:330.101.8:314:911.375.227
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ УРБАНИЗАЦИИ
В ГЕОИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ
Щепилов В.Н., зав. лабораторией геоинформационных систем
Запорожский государственный университет
Урбанизация – глобальный исторический процесс, который охватил весь мир. Главное социальное
содержание урбанизации заключено в особых «городских отношениях», охвативших социальнопрофессиональную структуру населения, его образ жизни, культуру, размещение производительных сил,
расселение [2].
Эффективное использование огромного материально-технического и интеллектуального потенциала
городов – одна из предпосылок успешного социально-экономического развития любой страны.
География городов (геоурбанизация) как раз и призвана изучать исторические, географические,
социальные, экономико-географические, градостроительные и другие аспекты развития городов и их
систем; раскрыть сложные, получившие глобальный характер процессы урбанизации; показать значение
и содержание географических подходов к разработке стратегии развития городов и систем расселения;
охарактеризовать основы проектирования городов [3].
В современных условиях становится все более очевидным, что гармоничное развитие города неразрывно
связано с созданием единой геоинформационной системы (ГИС). В эволюции крупных, быстро
развивающихся зарубежных городов четко прослеживается влияние современных геоинформационных
технологий. В нашей стране в последнее время также поднимается вопрос о создании муниципальных
геоинформационных систем (МГИС). Это связано с тем, что решение любой конкретной задачи
городского хозяйства затрагивает интересы большинства муниципальных служб и предприятий города.
Современная наука рассматривает город как систему в большой системе городов. Это единственно
возможный, методологически верный путь, который позволяет перевести анализ современных городов и
прогнозирование их развития из сферы интуитивных представлений в область научного исследования и
прогнозирования. Существует множество примеров [7,8] определения города как сложной,
динамической системы, в которых отражается двойственное отношение к объекту. С одной стороны,
имеется трудность в определении города и региона как сложной системы из-за отсутствия ярко
выраженной цели, с другой стороны, нельзя не заметить их очевидную целостность. Кроме того, нет
единого мнения относительно различия понятий «большая система» и «сложная система», как нет
единого определения каждого из них [1]. По этим причинам отнесение того или иного объекта
реальности к разряду сложных или больших систем является условным. Это связано, в основном, с тем,
насколько существенно бывает при исследовании или проектировании градостроительных систем
учитывать общесистемные вопросы [9].
При изложении дальнейшего материала будем придерживаться следующих определений:
1.
Система – некоторое объединение ее взаимосвязанных составных элементов, которое следует
рассматривать как определенное единое целое [9].
2.
Систему будем считать сложной (или большой), если она состоит из большого числа
взаимосвязанных и взаимодействующих между собой элементов [9].
Большими и основными градостроительными системами являются:
- население (социально-демографическая система);
- средства производства (производственная система);
- культурно-бытовое обслуживание (КБО) (система культурно-бытового обслуживания населения);
- улично-дорожная сеть (транспортная система);
3.
- система управления.
Под населенным пунктом, городом, групповой системой населенных пунктов, регионом, будем
понимать соответствующие объединения градостроительных систем, способствующих их
функционированию и развитию.
При применении методов системного подхода город и все остальные формы расселения должны
рассматриваться и проектироваться как социотехническое объединение градостроительных систем. При
этом, однако, следует подчеркнуть, что не всякое объединение таких систем может привести к созданию
большой системы.
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
114
Процесс разбиения сложной системы на элементы является условным и неоднозначным. Разбиение
сложной системы на элементы – первый шаг на пути к построению модели, описывающей систему. В
формальных схемах, описывающих реальные системы, элементы являются, как правило, членами
множества, не подлежащими дальнейшему разбиению на части [1].
Выделение подсистем – важный этап при построении формальной модели сложной системы. Он может
значительно упростить процесс анализа и проектирования. Ряд задач, связанных со свойствами
отдельных подсистем, может быть решен при частном изучении соответствующих подсистем, что может
существенно упростить расчеты и анализ.
Как правило, при разбиении сложной системы [1] на подсистемы уменьшается количество связей между
элементами самой системы. Процесс разбиения сложной системы продолжается до тех пор, пока с
практической точки зрения в этом есть необходимость. В результате выполнения процедуры разбиения
мы получаем возможность анализировать более простые структурные составляющие градостроительной
системы.
К наиболее важным и сложным требованиям при проектировании градостроительных систем [3] и
дальнейшем их управлении следует отнести следующие:
умение видеть урбанизированную систему в целом;
вскрыть связи и взаимодействия между отдельными элементами системы в их динамике и
локальных территориальных сочетаниях;
расчленить основную проблему на соответствующие соподчиненные иерархические уровни;
выделить стратегические цели развития и преобразования планировочной структуры и тактические
пути их достижения.
Особое своеобразие и сложность применения системной концепции при проектировании расселения и
городов и их управлении заключается в необходимости учета географических различий от места к месту,
придающих конкретный географический характер анализу урбанизированной системы, определению
путей ее развития. Проектируемая, исследуемая или управляемая урбанизированная система всегда
географически конкретна, т.е. она имеет привязку как в 3-х мерном пространстве, так и во временных
горизонтах.
Для обработки пространственно-временных данных, основой интеграции которых служит
географическая информация, выделился отдельный класс автоматизированных информационных систем
(АИС) – географические информационные системы (ГИС) и, как отдельное направление, муниципальные ГИС (МГИС), которые предназначены для обеспечения принятия решений по
оптимальному управлению землями и ресурсами, городским хозяйством, по управлению транспортом,
розничной торговлей, медицинским обслуживанием, ведению различных кадастровых систем,
использованию лесов и рек или других пространственных объектов. При этом для принятия решений в
числе других всегда используют картографические данные.
ГИС служит мощным средством преобразования и синтеза разнообразных данных для задач управления,
т.е. ГИС можно отнести и к классу систем управления, и к классу автоматизированных информационных
систем.
Для разработки математических методов решения задач городского хозяйства и построения
муниципальной ГИС необходимо иметь адекватное математическое описание элементов этой системы. В
качестве метода описания многоуровневой системы расселения и города интересным представляется
подход, предложенный специалистами Института проблем управления АН СССР еще в 1976г. [5].
Центральное понятие метода описания – стандартные элементы описания системы расселения в целом и
отдельных элементов территории [6]:
средства производства;
средства обслуживания;
элементы производительных сил;
ресурсы (природные, энергетические, информационные, финансовые и др.).
Элемент "производство" характеризуется такими параметрами, как тип производства, количество
работающих (возраст, пол, квалификация), занимаемая территория, потребляемые ресурсы, влияние на
окружающую среду и т.д.
Элемент "обслуживание" характеризуется видом обслуживания, объемом и производительностью,
количеством и структурой занятых трудовых ресурсов, занимаемой территорией, потребляемыми
ресурсами и влиянием на окружающую среду.
Элемент "производительные силы" характеризуется возрастным составом, полом, территорией
проживания, квалификацией, средним уровнем потребления материальных благ, рождаемостью и т.д.
Фізико-математичні науки
115
Элемент "ресурсы" характеризуется составом ресурсов, территориальным размещением ресурсов,
влиянием климатических условий и т.д.
Кроме того, выделяются еще и производные от перечисленных стандартных элементов системы
расселения:
отрасль;
город (населенный пункт);
групповая система населенных мест;
административно-экономический район (регион).
Производными от стандартных элементов системы расселения являются "город" и "регион". Однако
"город" не является простым объединением этих элементов, т.к. такое механическое объединение не
могло бы породить те черты, которые присущи только городу.
Основными характеристиками "города" являются его размер, расположение, число жителей, типы и
характеристики систем производства и обслуживания, демографические характеристики населения и
структура занятости, характеристики обеспеченности благами и услугами жителей города, потребляемые
ресурсы и влияние на окружающую среду.
Основными характеристиками "региона" являются его расположение и размер, количество и параметры
городов, характеристика территории, природных ресурсов и условий региона, число жителей,
демографические характеристики и структура занятости, основное назначение региона, типы систем
производства и обслуживания, обеспеченности благами и услугами, потребляемые ресурсы, влияние на
окружающую среду и т.д.
Каждый из элементов системы характеризуется наименованием и уровнем иерархии системы.
Рассмотрим формальное описание многоуровневой системы расселения согласно методике [5].
Определим множество элементов описываемой территории как
S S m , ( m 1 , M ) ,
где S m - m-ый элемент территории.
В зависимости от рассматриваемых практических задач элементы территории могут определяться
номером либо географическими координатами условного центра (центроидом); их площади измеряются
в принятых единицах измерения (га, км2 и т.д.).
Каждый элемент рассматриваемой территории характеризуется:
средствами производства P,
обслуживания D, природными ресурсами R и субъективными элементами производительных сил F, т.е.
основными элементами общественного производства.
При этом
m (S
m
P
m
,D
m
,R
m
,F
m
,
m 1 , M ),
где
P m P l m , ( l 1 , L ), ( m 1 , M ) - множество типов средств производства,
расположенных на m-ой территории, а L - все имеющиеся типы средств производства, существующие в
производственной сфере народного хозяйства.
Каждый элемент множества P m определяется вектором характеристик данного типа средств
производства, расположенных на данной территории, т.е.
l , m ( P l m P l m ),
где P l m P
m
l1
, P lm
,..., P l m
2
n
- вектор характеристик средств производства l-го типа.
Составляющими вектора P l m являются такие параметры, как типы и количества выходных продуктов,
способы производства, потребляемые ресурсы и их запасы, фондоемкость и другие, принятые для
данного типа средств производства, экономические и технические показатели.
L Ln Lc
Множество L включает в себя промышленные L n и сельскохозяйственные L c типы средств
производства. Подмножество L n подразделяется на два подмножества: L nz - средства производства,
размещение которых существенно зависит от наличия соответствующих природных ресурсов и местных
условий, L nh - средства производства, на размещение которых нет ограничений с точки зрения
природных ресурсов. Подмножество L nz составляют предприятия горнорудной, добывающей и
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
116
обрабатывающей промышленности. Подмножество L nh составляют, например, предприятия легкой
промышленности, частично пищевой промышленности и т.п. Необходимо отметить, что размещение
элементов подмножества L c существенно зависит от имеющихся природных ресурсов.
Аналогично изложенному,
m
D
D , ( z
m
z
1 , Z ), ( m 1 , M ) - множество типов средств
обслуживания, расположенных на m-ой территории, Z - все имеющиеся типы средств обслуживания.
В качестве средств обслуживания рассматриваются различные органы и предприятия
непроизводственной сферы (органы управления, социального обеспечения, здравоохранения и культуры,
научные учреждения, предприятия бытового обслуживания, транспорт, связь и др.)
Соответственно, z , m ( D
где
D
m
z
D
m
z1
m
z2
,D
m
z
,..., D
m
z
D
m
zr
),
- вектор характеристик z-го типа средств обслуживания,
расположенного на m-ой территории.
Составляющими
m
z
вектора D
являются
такие
характеристики,
как
способы
управления
и
обслуживания, их качество, стоимость, производительность, потребляемые ресурсы, влияние на
окружающую среду и т.д.
Множество типов природных ресурсов, расположенных на m-ой территории –
m
R
R , ( k
m
k
1 , K ), ( m 1 , M ) .
Вектор характеристик ресурсов k-го типа, расположенного на m-ой территории.
m
k
k,m (R
где R
m
k
R
m
k1
,R
m
k2
m
k
R
,..., R
),
.
m
k
Множество типов производительных сил, расположенных на m-ой территории
m
F
F , ( m
1,
), ( m 1 , M )
здесь - все имеющиеся типы производительных сил.
Соответственно , m ( F m F m ),
где F m F
m
1
- вектор характеристик производительных сил, расположенных на
, F m2 ,..., F m
m-ой территории.
Составляющими вектора Fm являются такие характеристики, как возраст, пол, специальность,
квалификация, средний уровень потребления материальных благ и т.д.
Производными от элементов множества P m , D m , R m , F m
m (S
P
m
m
,D
m
,R
m
,
m
,F
m 1, M )
являются город (населенный пункт), групповая система населенных мест, административноэкономический район (регион), отрасль.
Город (населенный пункт)
Под городом (населенным пунктом) будем понимать систему
U
i
S
m M i
m
,
mM
P
m
,
mM
i
m
R
,
mM
i
F
i
m
,
(i 1, I )
где i - множество населенных пунктов, M i - множество территорий, принадлежащих i-му населенному
пункту.
Подмножество S
i
S
mM
свойством:
S i , i 1, I ;
mM
i (U
i
U
i
P
является замкнутым связанным множеством, обладающим следующим
i
m
Pi ;
i
), где U
Фізико-математичні науки
m
i
U
mM
1
i
,U
2
i
m
R
i
,..., U
i
R
.
i
;
mM
F
i
m
F
i
;
117
В настоящее время основными показателями классификации населенных пунктов являются общая
численность населения и характер его основной деятельности, при этом общая численность населения
Fij должна удовлетворять ограничению:
F1i mM
i
F m F 1 ,
i где Fm - численность населения i -й специальности, проживающего на m-й территории, а F1 - нижняя
граница общей численности населения. В населенных пунктах городского типа средства производства на
его территории относятся к множеству промышленных типов средств производства L i L n . Доля
лиц (вместе с членами их семей) в общей численности населения, занятых сельскохозяйственным
трудом, должна удовлетворять следующему соотношению:
F 1ni
.
F1i
Для отнесения населенных пунктов к классу городов они должны иметь общую численность населения
F1i 12000 , а доля числа рабочих и служащих (вместе с членами их семей) в общей численности
населения - 0,85 .
Существующие города в зависимости от характеристики F1i разделяют на:
- большие ( F1i 100000) ;
- средние (50000 F1i 100000) ;
- полусредние ( 20000 F1i 50000) ;
- малые (10000 F1i 20000) .
Административный статус населенных пунктов и их место в системе расселения Украины [4]
Типы городов
по административному статусу
и народнохозяйственным функциям
Города
областного
подчинения,
которые
выполняют
преимущественно
курортнооздоровительные функции.
Преимущественно – центры административных
районов.
Города областного подчинения – промышленные,
промышленно-транспортные,
оздоровительнокультурные центры.
Преимущественно – центры административных
районов.
Численность
населения
(тыс.чел)
Центры районных, а в отдельных
20 – 50
случаях – межрайонных, низовых
систем расселения
Место в системе расселения
Центры районных, в отдельных
случаях – межрайонных систем
расселения
50 – 100
Центры областных, в отдельных
случаях – межрайонных и районных
систем расселения
100 - 250
Город
Севастополь
и
города
областного
подчинения – многоотраслевой промышленности, а
также административные и культурные центры
областей.
Многофункциональные
города
областного
подчинения, крупные административные, научные,
экономические, организационные и культурные
центры, центры областей.
Центры областных, в отдельных
случаях – межрайонных систем
расселения
250 - 500
Центры областей – многофункциональные города
областного
подчинения
–
наибольшие
административные,
научные,
экономические,
организационные и культурные центры.
Центры
межобластных
расселения
Города областного подчинения – многоотраслевой
промышленности или большие курортные центры,
преимущественно – центры областей.
Центры
расселения
областных
систем
500 – 1000
систем
Свыше
1000
Групповая система населенных мест
Под групповой системой населенных мест понимается система
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
118
G
U
i I i
,
i
mM
D
I m
,
где I - множество поселений, входящих в -ую групповую систему населенных мест; M I множество территорий, связанных с населенными местами множества I .
где G
(G
,..., G
G
1
,G
2
G
),
- вектор характеристик -й групповой системы населенных мест.
Административно-экономический район (регион)
Под регионом будем понимать систему:
W j S m , U i ,
Rm ,
Pm ,
D m ,
mM j
i I j
mM j \ M i mM j \ M i mM j \ M i i I j
i I j
i I j
где 1 , - ранг региона (район, область, край, автономная область или республика) I j множество населенных пунктов, расположенных в j-ом регионе; j 1 , j - множество регионов; M j
- множество площадей, принадлежащих j-ому региону.
Подмножество S
j
S
mM
j (W
где W
j
W
j1
j
,W
j2
является замкнутым связанным множеством. Обычно I
m
W
j
,..., W
j
),
.
.
Отдельные характеристики W j являются аддитивными функциями векторов U
j
j
i
(i I
j
) и векторов
Plm , Dzm , Rkm , Fmn m M j .
Отрасль
В качестве -ой отрасли j-го региона будем рассматривать систему
L mM
j
l l
P lm ; l L , 1 , ,
где l - подмножество индексов средств производства, принадлежащих -ой отрасли.
Для обслуживающих отраслей j -го региона справедливо аналогичное соотношение:
Lr D zm ; z r Z , z 1 , Z ,
mM
j
z Z
r
где Z r - подмножество индексов средств обслуживания, принадлежащих r-ой отрасли обслуживания.
( L L ),
где L L
1
l
, L 2 ,..., L q
- вектор характеристик -ой отрасли промышленности.
При рассмотрении промышленных, сельскохозяйственных и обслуживающих отраслей народного
хозяйства операцию объединения множеств Plm и Dzm необходимо проводить на полном интервале
возможных значений переменной m ( m 1, M ) .
Введенная система определений основных элементов и их векторных характеристик позволяет решать
различные задачи анализа и синтеза системы управления развитием городов и регионов.
Задачи анализа состоят в идентификации элементов и характеристик системы, сопоставления их между
собой и проверке на оптимальность по различным социально-экономическим критериям. Такими
элементами могут быть регион, город, отдельные элементы города и региона или их совокупность,
Фізико-математичні науки
119
объединенная по отраслевому, территориальному или какому-либо другому признаку. Основными
показателями, характеризующими степень экономического и социального развития элементов
региональной (городской) системы, являются показатели интенсивности освоения территории,
принадлежащей рассматриваемому элементу. Анализ неосвоенных элементов территории состоит в
оценке природных и климатических условий, ресурсов и возможных путей их освоения.
Детальный анализ состояния региона возможен только при наличии информации о каждом элементе S m
региона по всем компонентам векторов: Plm , Dzm , Rkm , Fm m M j .
Используя такое детальное описание элементов территории, анализ можно проводить для страны в
целом, для отдельных ее регионов, а также для отдельных городских и сельскохозяйственных
территорий.
Информация о результатах анализа представляется в виде специальных (тематических) карт. Так,
например, результаты анализа системы:
Sm , U i m M j
i I j
представляется в виде карт расселения. Исходной информацией являются данные переписи населения.
Для выявления и оценки различных социально-экономических факторов используют имеющиеся
статистические материалы ранее проведенных исследований. Для выявления и оценки различных
поведенческих факторов требуется, как правило, проведение дополнительных социологических
исследований.
Анализ задач, решаемых при планировании развития территорий, позволяет выделить следующие
основные их типы [6].
На уровне регионов типовыми задачами являются:
- оптимальное размещение промышленных, научных, сельскохозяйственных и других
предприятий и учреждений в регионе и его городах;
- оптимизация систем внутрирайонного и межгородского транспорта и систем инженерного
оборудования (энерго-, водо- и газоснабжения, отвода сточных вод и т.д.);
- оптимальное размещение рекреационных территорий и сооружений (парков, зон отдыха,
курортов, спортивных и туристических центров);
- оптимизация планирования и застройки групповых систем населенных мест;
- определение рационального размера городов и поселков региона;
- определение оптимальных систем общественного обслуживания внутри региона.
На уровне города типовыми задачами являются:
- оптимальная планировка и застройка города;
- оптимальное размещение и реконструкция зон производства, жилья и отдыха;
- определение оптимального числа и расположения общественных центров;
- оптимизация системы транспорта и систем инженерного оборудования;
- оптимальная организация системы общественного обслуживания;
- оптимизация планов распределения и перераспределения жилой площади для
удовлетворения требований населения;
- оптимизация методов управления функционированием городских систем.
Проблемам развития крупных городов в последнее время во всем мире уделяется большое внимание.
Ими занимаются не только мэры городов и работники сферы управления, но также и политические и
хозяйственные руководители, философы и социологи, экономисты и математики, ученые самых
разнообразных специальностей, писатели и художники. Город - это не только очень "модный" объект
научных исследований и просто размышлений, это - одна из проблем века, проблем всего человечества.
Основной целью, стоящей перед администрациями крупных городов и регионов, является эффективное
управление социально-градостроительным и экономическим развитием города.
Очевидно, что для успешного решения всего комплекса задач в условиях правовой и хозяйственной
реформ городская администрация должна располагать всей информацией, касающейся всех сторон
деятельности и основных ресурсных фондов на территории города.
Основные особенности системы управления городами состоят в том, что:
объектом управления является город, как совокупность естественных и искусственных подсистем,
объединяющих в единое целое материальное производство, подсистемы обслуживания, ресурсы,
население и окружающую среду;
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
120
-
в состав объектов управления входят коллективы людей и отдельные личности, причем не только в
сфере производственной деятельности, а и в быту, на отдыхе и т.д.
Разработка математических моделей не всегда возможна в силу сложности и неопределенности
поведения объектов системы. Поэтому в состав подсистем необходимо включать блоки моделирования,
позволяющие имитировать ситуации с целью определения рациональных решений.
К особенностям управления городом относятся также: многоканальность в реализации обратных связей;
большая инерционность объектов управления на высшем уровне; большая разница во времени,
необходимом для отклика высшего и низшего уровней; трудности сбора достоверной информации о
состоянии объектов управления, задержка поступления ее (информации) в управляющий орган;
разнообразие и стохастический характер связей в системе; большое разнообразие реально
существующих структур управления на всех уровнях.
Как уже было сказано, городская территория - это система, в которой взаимодействуют средства
производства, средства обслуживания, элементы производительных сил, ресурсы (природные,
энергетические, информационные, финансовые и др.). При благоприятных условиях взаимодействие
указанных компонентов на вновь осваиваемой территории стимулирует ее развитие.
Но по мере эволюции территории и застройки ее земельных площадей внутри нее происходят процессы
старения, что приводит градостроительную систему к стагнации. Пока территория проходит через
стадию роста к стадии равновесия, состав ее населения и экономическая активность внутри нее
претерпевают изменения. При отсутствии постоянного обновления полное освоение земель приводит
городскую территорию, некогда процветавшую, к упадку, характеризующемуся высоким процентом
ветшающего жилья и испытывающего застой материального производства.
Следует также отметить, что при планировании развития города необходимо исходить из приоритета
интересов людей, но при этом, в стремлении удовлетворить ближайшие нужды, нельзя забывать
долгосрочные интересы общества. В результате стремления удовлетворить только краткосрочные
потребности долгосрочный эффект от принятых мер может еще больше усугубить трудности, которые
предполагалось устранить. Это объясняется также тем, что стратегии управления городом часто
ориентируются лишь на симптомы проблем, не затрагивая вызывающих их причин, либо полагаются на
интуицию, что в конечном итоге может привести к результатам, которые совсем не ожидались.
Все это предполагает появление совершенно новых точек зрения на городские проблемы и пути их
решения, на комплексное информационное обеспечение процессов управления градостроительными
системами с применением современных ГИС-технологий.
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Зубков Г.Н. Применение моделей и методов структурного анализа систем в градостроительстве. –
М.: Стройиздат, 1984. – 152с.
Советский энциклопедический словарь /Гл.ред. А.М.Прохоров. – 4-изд. – М.: Сов.энциклопедия,
1989. – 1632с.
Перцик Е.Н. География городов (геоурбанистика): Учебное пособие для геогр. спец. вузов. – М.:
Высшая школа, 1991. – 319с.
«Порядок денежной оценки земель сельскохозяйственного назначения и населенных пунктов"
(утверждено общим приказом Госкомзема Украины, Госкомградостроительства Украины,
Минсельхозпрода Украины и Украинской академии аграрных наук №76/230/325/150 от 27 ноября
1995 г., с учетом изменений и дополнений к разделу 3 "Порядка денежной оценки..." от 15 апреля
1997 г. № 46/131/63/34 и зарегистрировано в министерстве юстиции Украины 29 октября
1997 г. № 511/2315).
Мамиконов А.Г., Кульба В.В., Косяченко С.А., Островский Б.А. Формализованное описание и
представление результатов информационного обследования объектов расселения: Сб.трудов.
Вып.13: Формализованные методы синтеза сложных систем. – М., 1976.
Ковалевский С.С., Кульба В.В. Модели, методы и средства создания распределенных
интегрированных систем для управления городским хозяйством // КомпьюЛог. – 1997. – №4. –
С. 14-23.
Макол Р.Е. Введение. Справочник по системотехнике. – М.: Мир, 1970. – 210с.
Абен Х.К. О некоторых аспектах математического моделирования в градостроительстве. – В кн.:
В помощь проектировщику-градостроителю. – Вып. 8. – К., – 1972. – С. 141-148.
Бусленко Н.П., Калашников В. В., Коваленко И.Н. Лекции по теории сложных систем. – М.: Высшая
школа, 1973. – 160с.
Фізико-математичні науки
121
КОРОТКІ
ПОВІДОМЛЕННЯ
УДК 519.176 : 519.688
АВТОМАТИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ГРАФАХ
Борю С.Ю., к.т.н., доцент, Каштанова И.А., студент, Курапов С.В., к. ф.-м. н, доцент
Запорожский государственный университет
В последние годы теория графов получила статус весьма актуальной отрасли науки. С ее помощью
представляется возможным решение большого количества задач из области экономики, техники и
множества других сфер человеческой деятельности [1-2]. Достоверно и то, что теория графов служит
математической моделью для всякой системы, содержащей бинарное отношение. В данное время уже
существуют системы, позволяющие осуществлять сложные математические расчеты (например, серия
пакетов прикладных программ MathCAD), однако для моделирования и расчета графов подобных
широко известных систем не существует, в то время как все чаще встает вопрос о необходимости
создания такой системы. Попытки создания инструментального средства такого типа предпринимались и
предпринимаются в данное время многими разработчиками [3,4], но завершенного программного
продукта на сегодняшний день не существует. Кроме того, по большей части эти разработки
выполняются в виде приложений для операционной системы MS-DOS, которая на данный момент
постепенно теряет широкое распространение.
Таким образом, представляется целесообразной разработка универсального программного комплекса для
работы с графами. Исходя из анализа потребностей пользователя, можно сформулировать основные
требования:
1.Данный комплекс должен позволять как решать определенное множество задач встроенными
средствами, не прибегая к помощи программирования, так и расширять круг возможностей путем
подсоединения пользовательских процедур.
2.Встроенные методы должны предоставлять возможность выполнения следующих функций:
разнообразные способы задания исследуемого графа; хранение информации о графе в оптимальном
формате; решение основных задач теории графов [5-7]; визуализация результатов работы в виде,
наиболее удобном и понятном для пользователя.
3.Программный комплекс должен обладать дружественным пользовательским интерфейсом.
В связи с тем, что наиболее распространенной на современных персональных компьютерах
операционной системой является Windows, целесообразным представляется реализация данной системы
в виде Windows- приложения.
В соответствии с вышеописанными требованиями разработана программная среда для анализа графов система GraphModel. Ее структура представлена двумя основными подсистемами - подсистемой задания
графов и подсистемой их анализа. В свою очередь, в состав каждой из структурных частей входят
инструменты, позволяющие реализовать следующие задачи:
1)задание графов: в виде рисунка; в виде матрицы смежностей; задание случайного графа с заданным
числом вершин; задание случайного графа с заданным числом вершин и ребер;
2)анализ графов: проверка графа на связность; нахождение множества клик; нахождение множества
фундаментальных циклов и разрезов графа.
Для решения задач анализа графов были применены способы, основанные на известных алгоритмах [8.
Реализация же процедур, решающих задачи задания графов (отмеченные выше в п. 1) потребовала
разработки дополнительных алгоритмов. Ниже приведен алгоритм задания графа в виде рисунка.
Пусть С- матрица смежностей, N- количество вершин графа, тогда:
Шаг 0.[Начальная установка]
Установить N=0.
Шаг 1.[Проверка состояния]
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
122
Если «добавление», то шаг 2.
Если «удаление», то шаг 3.
Если «выход с сохранением», то шаг 8.
Иначе - конец работы.
Шаг 2.[Добавление объекта]
Если “вершина”, то шаг 5.
Иначе шаг 4.
Шаг 3.[Удаление объекта]
Если “ребро” то шаг 4.
Иначе шаг 6
Шаг 4. [Обработка ребра]
4.1. Пометить вершины i,j.
4.2. Если состояние = «добавление», то
Сi,j = Сj,i = 1, нарисовать ребро, шаг 1.
Если состояние = «удаление», то
Сi,j = Сj,i = 0, зарисовать ребро, шаг 1.
Шаг 5.[Добавление вершины]
5.1. Увеличить N на единицу.
5.2. Добавить в конец матрицы С N-ю строку и N-й столбец.
5.3. Обнулить N-ю строку и N-й столбец матрицы С.
5.4. Присвоить номеру вершины значение N.
5.5. Прорисовать вершину, шаг 1.
Шаг 6.[Подготовка к удалению вершины]
6.1. Выделить вершину. i- номер вершины.
6.2. Если есть ненулевой элемент в i - й строке матрицы С, то шаг 1.
Иначе шаг 7.
Шаг 7. [Удаление вершины]
7.1. Удалить i- ю строку и i-й столбец матрицы С.
7.2. Уменьшить на единицу номера строк и столбцов, большие, чем i.
7.3. Уменьшить на единицу номера вершин, большие, чем i.
7.4. Уменьшить N на единицу, шаг 1.
Шаг 8.[Сохранение]
Записать матрицу С в файл, конец работы.
Для хранения данных матрицы С в файле был разработан специальный формат, позволяющий
дальнейшую удобную с ним работу. Все процедуры системы реализованы таким образом, что
используют именно этот формат данных.
Программная реализация алгоритмов произведена в среде разработки Delphi для Windows. Выбор данной
среды разработки позволил выполнить каждую из процедур в виде отдельного программного модуля, что
дает возможность удовлетворить требование модифицируемости системы.
В результате работы были сформулированы требования, предъявляемые к программному комплексу
моделирования графов. Произведена программная реализация известных алгоритмов. Разработаны и
программно реализованы специальные алгоритмы обработки графов. Реализована программная система
GraphModel, которая может применяться для решения задач теории графов и связанных с ними, а также
может служить демонстрационно - обучающим средством.
Фізико-математичні науки
123
ЛИТЕРАТУРА
1.
Мелихов А.Н., Берштейн Л.С., Курейчик В.М. Применение графов для проектирования дискретных
устройств. – М.: Наука, 1974. – 304 с.
2.
Химические приложения топологии и теории графов: Пер.с англ./ Под ред. Р.Кинга. – М.: Мир,
1987.- 569 с., ил.
3.
http://www.src.nsu.ru/couf/nit/96/sect2/node12.htm
4.
http://www.diamond.stup.ac.ru/KOI/SOFT/DESCRIPT/0007.ru.html
5.
Харари Ф. Теория графов: Пер. с англ. Козырева В.П. / Под ред. Гаврилова В.Г. – М.: Мир, 1973. –
300 с.
6.
Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход: Пер. с англ. - М.: Мир, 1978. – 432 с.
7.
Зыков А.А. Основы теории графов – М.: Наука, 1987. – 384 с.
8.
Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Дер Н. Комбинаторные алгоритмы, теория и практика: Пер. с англ. М.: Мир, 1980. – 480 с.
Вісник Запорізького державного університету
№1,2001
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
321
Размер файла
2 415 Кб
Теги
полныематематики17ноября
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа