close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

termeh lek

код для вставкиСкачать
1
Надеюсь вы со мной согласитесь, что если выбрать подходящее время и подходящее место, то сколько бы мы о чем
-
нибудь ни рассуждали, нам все будет мало. Бокаччо
Г.А. Маковкин
Рекомендуемая литература
Диевский В.А. Теоретическая механика: Учебное пособие.
²
СПб.: «Лань», 2005.
Сборник коротких задач по теоретической механике: Учебное пособие / Под ред. О.Э. Кепе. ±
Спб.: Изд. «Лань», 2008.
2
Введение
ПРЕДМЕТ И РАЗДЕЛЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Теоретическая механика
это наука о наиболее общих законах механич
е-
ского движения и механического взаимодействия. Положения, сформулированные Т.М., служат основой для других важных разделов механики, таких, как
сопротивление материалов, строительная м
е-
ханика, механика жидкостей и газов
.
Механическим движением
называется изменение с течением времени вз
а-
имного положения
в пространстве материальных объектов.
Движение объектов рассматривается по отношению к некоторой системе о
т-
счета
, под которой понимается координатная система, связанная с опред
е-
ленным телом (обычно с Землей). О
бъек
тами в теоретической механики являются материальная точка, механ
и-
ческая система и абсолютно тверд
ое тело.
Материальная точка
²
это точка, обладающая массой. Материал
ь-
ной точкой можно считать любое материальное тело, если его разм
е-
рами в данной конкретной задаче можно пренебречь. Механической системой
называется любая совокуп
ность материал
ь-
ных точек.
Материальное тело
может рассматриваться как механическая система, образованная непрерывной совокупностью материальных точек.
Абсолютно твердым телом
называется такое матери
альное тело, ра
с-
стояние между любыми двумя точками которого всегда остается неи
з-
м
енным. В теоретической механике все тела рассматриваются как а
б-
солютно твердые.
Курс теоретической механики традиционно делится на три крупных раздела: статику, кинематику и динамику.
Статика
(от греч. statos
²
неподвижный) ²
это раздел механики, в котором изучаются условия равновесия механических систем под де
й-
ствием сил. Кинематика
(от греч. kinema
²
движение) ²
раздел механики, в к
о-
тором изучается движение матери
альных тел. Динамика
(от греч. dinamis
²
с
ила) ²
это раздел механики, в котором изучаются движения механических систем под действием сил. Дин
а-
мика является синтезом статики и кинематики.
3
СТАТИКА
1.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1.1.
Силы. Равнов
есие сил.
Статика
±
часть теоретической механики, изучающая условия, при которых тело находится в равновесии.
Равновесие
±
такое состояния, когда тело находится в покое или движется прямолинейно и равномерно.
Тело называют свободным
, если другие тела не препятствуют его пе
ремещ
е-
нию, в противном случае тело называют несвободным
или связанным. Ограничения, наложенные на перемещения тела, называются связями.
В природе тела различным образом взаимодействуют между собой или с о
к-
ружающей средой. Механическое взаимодействие тел, т.е. взаимодействие, влияющее на их состояние покоя или движения, характеризуется силой.
Сила есть мера механического взаимодействия тел.
Сила –
векторная величина
, т.е. характеризуется тремя величинами: числ
о-
вым значением (модуль силы), направлением и точкой приложения. Прямая линия, по которой направлен вектор силы, называется линией де
й-
ствия силы.
Международная система единиц (СИ) в качес
т-
ве единицы силы устанавлив
а
ет ньютон (Н). Ньютон это сила, сообщающая телу массой 1 кг ускорение 1 м/сек
2
в направлении действия силы. Графически силу изображают отрезком прямой со стрелкой; длина отрезка в определѐнном масштабе равна модулю вектора силы. На
изображена сила ,
приложенная в точке А
и действующая по л
и-
нии mn
. Точка А ±
начало вектора, точка ±
В конец вектора. Можно изобр
а-
жать вектор силы так, чтобы его конец упирался в точку приложения силы.
1.2.
Аксиомы теоретической механики
Условия, при
нимаемые без доказательств, называются аксиомами.
Справе
д-
ливость аксиом следует только из опыта деятельноти людей и их здравого смысла. Основные аксиомы статики сформулированы английским учѐным Ньютоном (1642
-
1727) и поэтому названы его именем.
4
Аксиома
I
(аксиома инерции, или первый закон Ньютона).
Тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока какие
-
нибудь силы не выведут тело из этого состояния.
Способность тела сохранять движение при отсутствии действующих сил н
а-
зывается инерцией или инертностью. Инертность есть одно из основных свойств материи.
Аксиома
II
(аксиома взаимодействия, или третий закон Ньютона).
Силы взаимодействия между собой двух тел всегда равны по модулю и направлены по одной пр
я-
мой в противоположные стороны.
Из третьего закона Ньютона вытекает, что все силы пр
и-
роды ±
силы парные.
Сов
о-
купность сил, приложенных к телу, называется системой сил. Если к свободному телу приложить сист
е-
му сил и при этом механическое состояние тела не изменится, то такая си
с-
тема сил называется уравновешенной
.
Аксиома
III
(условие равновесия двух сил).
Для равновесия свободного твѐрдого тела, находящегося под действием двух сил, необходимо и достаточно, чтобы эти силы были равны по модулю и де
й-
ствовали по одной прямой в противоположные стороны.
Аксиома IV
.
Равновесие твѐрдого тела не нару
шится, если к нему приложить или удалить систему уравновешенных сил.
Из аксиом III
и IV
вытекает следствие: механическое состояние тела не н
а-
рушится, если силу перенести вдоль линии еѐ действия.
На рис. ³
а
´
показана сил
а . Приложим
в точке В две уравновешенные силы и , причѐм . На основании аксиомы IV
отбросим силы
и
, как взаимно уравновешенные. Тогда оставшуюся силу можно рассма
т-
5
ривать как силу ,
перенесѐнную из точки А в точку В по линии действия. Механическое состояние тела при этом не измениться.
Две системы принято считать эквивалентными
, если одну из них можно з
а-
менить другой, не нарушая при этом механического состояния свободного твѐрдого тела.
Эквивалентность обозначается символом , т.е. Две силы равны, если они параллельны, одинаково направлены и равны по модулю, но при этом они могут быть неэквивалентны друг другу.
Из рассмотренного примера видно, что две силы эквивалентны, если они равны по модулю и действуют по одной прямой в одну сторону.
Равнодействующей
системы сил называется одна сила, эквивалентная да
н-
ной системе.
Сил
а, которая уравновешивает некоторую
систему сил, называется уравн
о-
вешивающей
силой этой системы.
Равнодействующая и уравновешивающая силы одной системы равны по м
о-
дулю и действуют по одной прямой в противоположные стороны.
Если имеется у
равновешенная система сил, то еѐ равнодействующая равна нулю, или говорят, уравновешенная система сил эквивалентна нулю.
Аксиома V
(векторное или геометрическое сложение).
Равнодействующая двух сил, приложенных к телу в одной точке, равна по модулю и совпадает по направлению с диагональю параллелограмма, построенного на данных силах, и приложена в той же точке.
На рисунке
показано векторное (геометрическое) сложение сил и : Равнодействующую двух сил можно найти, построив вместо параллелогра
м-
м
а сил треугольник сил
, при этом порядок сложения вект
о
ров на величину равнодействующей не влияет, т.е. 6
Модуль и направление равнодействующей двух сил, приложенных в одной точке, можно определить аналитически, используя формулы тригонометрии для треугольников.
По теореме косинусов определяется модуль равнодействующей:
По теореме синусов
определяется ее направление
: .
При решении задач часто необходимо в
ы-
полнять операцию разложения силы на две составляющие. Разложить силу на с
о-
ставляющие ±
это значит найти систему сил, эквивалентную данной силе. Фактически эт
а операция явля
ется обратной определению ра
в-
нодействующей двух сил. В общем случае задача разложения силы на две с
о-
ставляющие есть задача неопределѐнная, име
ю
щая бесчисл
енное множество решений. На рисунке
по
казаны два варианта разложения силы
на соста
в-
ляющие и .
7
1.3.
Классификация сил
Силы, действующие на тело, делятся на две группы. Одна группа сил назыв
а-
ется нагрузками
(активные силы), вторая группа сил называется реакциями связей
(пассивные силы).
Нагрузки, как правило, бывают заданы. Они имеют числовое значение, точку приложения к телу и направления их действия. Все нагрузки можно разд
е-
лить на сосредоточенные и распределѐнные.
Сосредоточенными называются
силы, приложенные к точке тела
.
Распределѐнные -
нагрузки, приложе
н-
ные по объѐму, поверхности, вдоль л
и-
нии. Распределѐнная нагрузка характ
е-
ризуется еѐ интенсивностью, обычно обозначаемой q
. Если нагрузка распр
е-
делена вдоль линии
, то еѐ интенсивность определяется как сила, приходящаяся на длину нагруженного участка и выраж
а-
ется в Н/м
.
Нагрузка, имеющая постоянную инте
н-
сивность, называется равномерно ра
с-
пределѐнной .
При решении задач распределѐнную нагрузку заменяют еѐ равнодейству
ю-
щей. Модуль равнодействующей равномерно распределѐнной нагрузки равен
Q
= q
L
и прикладывается в середине отрезка
L
. 1.4.
Связи, реакции связей
Связями называют ограничения, налагаемые на положение тела в простра
н-
стве. Сила, с которой тело действует на связь, называется силой давления. Сила, с которой связь действует на тело, называется реакцией. Согласно а
к-
сиоме II
эти силы равны по модулю и действуют по одной прямой в против
о-
положные стороны. Значение реакций связей зависит от значения акт
ивных сил, т.е. нагрузок, но не наоборот. В задачах статики реакции связей, как правило, -
искомые величины. Для к
а-
ждой связи необходимо знать еѐ направление и числовое значение (модуль). В настоящем параграфе рассмотрим лишь определение вида связей и опр
ед
е-
ление направления их реакций.
8
При решении большинства задач статики несвободное тело условно изо
-
бражают как свободное с помощью так называемого принципа освобожда
е-
мости, который формулируется так: всякое несвободное тело можно рассматривать как свобо
дное, если о
т-
бросить связи, заменив их реакциями. В результате применения этого принципа получаем тело, свободное от связей и находящееся под действием системы активных сил (нагрузок) и реакти
в-
ных сил.
Различают следующие виды связей и реакции в них. Счи
таем все связи ид
е-
альными, т.е. силы трения в них отсутствуют.
1. Св
ободное опирание тела на связь
.
При свободном опирании тела на связь реакция связи направлена от связи к телу перпендикулярно либо к поверхности тела, либо к поверхности связи, либо к общей касательной обеих поверхностей.
2.
Гибкие связи (нити, тросы, канаты, цепи) препятствуют движению тела только будучи натяну
тыми
.
Такие связи не могут быть сжаты
. Поэтому реа
к-
ция гибких связей всегда направлена вдоль их самих
в сторону от тела
.
9
3.
Иногда тело удерживается в равновесии при помощи опорных стер
ж
ней (
жѐстких стержней, шарнирно соединѐнных с телом и с опора
ми). В о
т
личие от гибких связей такие стержни могут испытывать не только раст
я-
ж
е
ние, но и сжатие. Поэтому реакции в таких связях действуют вдоль этих св
я
зей и могут быть направлены в любую сторону от тела. 4. Связь тела осуществляется с опорной п
о-
верхностью при помощи подвиж
ного шарн
и-
ра
. Реакция в подвижном шарнире всегда н
а-
правлена перпендику
лярно к опорной плоск
о-
сти, т.к. такой шарнир может передвигаться вдоль опорной плоскости. Таким образом, подвижный шарнир представляет собой ко
н-
структивный вариант свободного опирания.
5. С
вязь тела осуществляется с опорной п
о
вер
х-
ностью при помощи непо
д
вижного шарнира
. Т
а-
кой шарнир препятствует поступательному п
е-
ремещению в любом направлении, поэтому н
а-
правление реакции может быть любым в зав
и-
симости от направления действия других сил. Обычн
о сначала определяют две взаимно пе
р-
пендикулярные составляющие и реакции шарнира, а затем, если нужно, по правилу параллелограмма можно опред
е-
лить как модуль, так и направление полной реакции .
6. Движение тела может быть ограничено жѐс
т-
кой заде
лкой в какой
-
либо опоре
. Жѐсткая з
а-
делка препятствует любому поступательному перемещ
е
нию тела, поэтому направление еѐ р
е-
акции заранее определить нельзя и сн
а
чала о
п-
ределяют еѐ составляющие и . Кроме того, жѐсткая заделка пр
е
пятствует повороту телу, поэтому, кроме силы реакции, на тело действует ещѐ момент заделки , уравновешивающий стремление нагрузок повернуть тело (вывернуть тело из заделки). Таким образом, если опорой тела является жѐсткая заделка, то со стороны последней на тело действует реакция заделки, которую можно заменить дв
у-
мя взаимно перпендикулярными составляющими, и моментом заделки.
10
4.
ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
4.1.
Геометрический способ оп
ределения равнодействующей
Система сил, расположенных в одной плоскости, и линии действия которых пересекаются в одной точке, называется плоской системой сходящихся сил.
Теорема.
Плоская система сходящихся сил эквивалентна равнодействующей, которая равна в
екторной сумме этих сил, и линия ей действия проходит через точку пересечения линий действия составляющих сил.
Рассмотрим в качестве примера систему трѐх сил , и , линии действия кото
рых сходятся в точке А
. Сложив первые две силы , по правилу п
а-
раллелограмма, получим их равнодействующую Сложив теперь равнодействующую c
силой , получим равнодейству
ю-
щую данной системы трѐх сил: .
Аналогичные рассуждения можно провести для любого количества сход
я-
щихся сил, в результате чего получим
:
, где i
±
все целые числа от 1
до n
.
Выполненное построение
можно заменить более простым
, последовательно присоединяя начало каждого следующего вектора к концу предыдущего. . Полученный многоугольник АВС
D
называется силовым многоугольником. Сторона AD
, соединяющая начало первого с концом последнего вектора, н
а-
зывается замыкающей стороной и я
вляется равнодействующей системы сил. Длина замыкающей стороны определяет модуль равнодействующей. Стрелка равнодействующей должна быть направлена против обхода. Такой способ определения равнодействующей называется геометрическим. 11
Порядок сложения векторо
в при построении силового многоугольника на в
е-
личину равнодействующей не влияет, так как векторная сумма от перемены мест слагаемых не меняется. Для примера на рис. ³
б
´
показано два варианта построения силового многоугольника.
4.2.
Теорема о трех силах
Теорема
. Три непа
раллель
ные силы, л
е-
жащие в одной плоскости, могут нах
о-
дить
ся в рав
новесии только
если линии их действия пересекаются в одной точке.
На рис
.
показана
система трѐх уравнов
е-
шенных сил
и
,
причем
линии де
й-
ствия сил
и пересекаются в точке А. Воспользуемся аксиомами III
и IV
, т.е. п
е-
ренесѐм силы и
в точку А и найдѐм их равнодействующую
. Тогда
заданная система трѐх сил
, будет эквива
лентна системе двух сил
и . Эта система (по аксиоме III
) может находиться в рановесии только если силы и будут лежать на одной пр
я-
мой. Следовательно, линия действия силы тоже
должна проходить через точку А.
4.3.
Геометрическое условие равновесия плоской системы сход
я-
щихся сил
При построении силового многоугольника возможен случай, когда зам
ы-
кающей стороны не будет. Такой силовой многоугольник называется замкн
у-
тым, а равнодействующая
системы сходящихся сил равна нулю. Следовательно, эта система эквивалентна нулю, т.е. находится в равновесии (уравновешенная система сил). Отсюда вытекает условие, при котором пл
о-
ская система сходящихся сил будет находиться в равновесии. Это условие выражается равенством
.
и форм
улируется следующим образом:
для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и дост
а-
точно, чтобы силовой многоугольник был замкнут.
Замкнутость силового многоугольника для
плоской системы сходящихся сил представляет собой геометрическое условие
ра
вновесия.
12
4.4.
Проекции силы на координат
ные оси
При решении задач часто удобнее пользоваться не геометрическим, а анал
и-
тическим условием равновесия, которое основано на методе проекций.
Проекцией силы на ось
называется скалярная величина, равная произвед
е-
нию модуля силы на косинус угла между направлением силы и положител
ь-
ным направлением оси.
Пусть сила приложена в точке А и расположена в плоскости координа
т-
ных осей x
,
y
. Ее проекции равны: Геометриче
ски проекции силы на оси выражаются отрезками ab
и cd
. Обозначим эти пр
о-
екции соответственно и
.
Проекция силы на ось которая может быть положительной или отриц
а-
тельной
, что устанав
ливается по направлению вектора
.
Если вектор силы перпендикулярен оси, то его проекция на эту ось равна н
у-
лю (проекция ). Если вектор силы параллелен оси, то он проецируется на эту ось в натуральную величину (
проекция ).
Зная две проекции, из треугольника ABC
определяем модуль и направление вектора силы по следующим формулам:
модуль силы
:
направляющий косинус
угла между силой и осью x
:
.
Следует отметить, что силу можно рассматривать как равнодействующую двух составляющих сил , паралл
ельных осям координат
.
Составляющие и проекции
и
принципиально отличны друг от друга, так как составляющие есть векторные величины, а проекции ±
велич
и-
ны алгебраические, н
о модули составляющих векторов и модули
проекций численно равны.
13
4.5.
Аналитический способ определения равнодействующей
Пусть дана плоская
система
n
сходящихся сил
Равнодействующая этой системы
равняется Линия действия равнодействующей проходит через точку пересечения л
иний действия составляющих сил.
Для того, чтобы определить равнодействующую любой плоской системы сходящихся сил, спроецируем их на оси координат
x
и y
, алгебраически сл
о-
жим проекции всех сил и найдѐм, таким образом, проекции равнодейству
ю-
щей данной системы сил:
Правую част
ь этого равенства можно
записывать упрощено, а именно: Зная проекции, определим модуль и направление равнодействующей:
модуль равнодействующей равен косинусы
углов
между равнодействующей
и осями будут равны:
4.6.
Аналитические условия равновесия плоской системы сход
я-
щихся сил
Если данная плоская система сходящихся сил находится в равновесии, то равнодействующая такой системы
равна нулю ,
а значит, и проекции равнодействующей на оси координат должны быть равны нулю:
Учитывая, что
получаем равенства, выражающие аналитические условия равновесия пл
о-
ской системы сходящихся сил:
14
Формулируются эти условия следующим образом:
для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и дост
а-
точно, чтобы алгебраическая сумма прое
кций этих сил на каждую из координатных осей равнялась нулю.
Если при решении задач аналитическим способом искомая сила получится отрицательной, то это значит, что действительное еѐ направление против
о-
положно направлению, принятому при решении.
5.
ПЛОСКАЯ СИСТЕМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И ПАР СИЛ
5.1.
Сложение двух параллельных сил
Система сил, линии действия которых параллельны и лежат в одной плоск
о-
сти, называется плоской системой параллельных сил. Рассмотрим систему, состоящую только из двух параллельных сил.
Случай 1.
Силы направлены в одну сторону.
Две параллельные силы, направленные в одну сторону, эквивалентны равн
о-
действующей, которая равна сумме этих сил, параллельна им и направлена в ту же сторону. Линия действия равнодействующей делит отрезок, соед
и-
няющий точки приложения данных сил, на части, обратно пропорционал
ь-
ные этим силам.
На рисунке
показаны две параллельные силы ,
и их равнодействующая :
Записанная пропорция может быть представлена и в таком виде:
F
1
/ BC
= F
2 / AC
= (
F
1
+ F
2
) / (
AC
+ BC
),
т
.
е
. F
1
/ BC
= F
2 / AC
= R
/ AB
.
Разложение данной силы на две составляющие производится с помощью формул сложения двух параллельных сил. Следует отметить, что задача ра
з-
ложения есть задача неопределѐнная, имеющая бесчисленное множество р
е-
шений.
15
Случай 2.
Неравные силы, направленные в разные стороны.
Рассмотрим случай сложения двух не равных по модулю антипараллельных сил. Случай, когда такие силы равны по модулю, будет рассмотрен далее.
Две неравные антипараллельные си
лы эквивалентны равнодействующей, к
о-
торая равна разности данных сил. Линия действия равнодействующей делит отрезок, соединяющий точки приложения данных сил, внешним образом на части, обратно пропорциональные данным силам.
Рассмотрим две параллельные силы ,
, пр
и-
чѐм
F
1
> F
2
. Разложим силу на две параллел
ь-
ные составляющие и так, чтобы сила была приложена в точке В и
F
2
= F
/
2
. Тогда (см. случай 1)
можно записать следующие соотнош
е-
ния: F
1
=
R
+ F
/
2
, F
1
/ BC
= F
/
2 / AC
= F
/ AB
.
Из этих равенств находим модуль равнодействующей F
и расстояние АС
до точки еѐ приложения:
R
= F
1
-
F
2
, АС = AB
(
F
2
/ R
)
.
Итак, равнодействующая двух параллельных сил равна их алгебраической сумме.
Очевидно, что равнодействующая системы n
параллельных сил равна также их алгебраической сумме:
R
= F
1
+ F
2
+ F
3
+ ….. + F
n
= Σ
F
i
.
Вопрос о положении линии
действия равнодействующей
рассмотрим далее.
5.2.
Момент силы относительно точки
Вращательное действие силы характеризуется моментом силы. Понятие м
о-
мента силы относительно точки ввѐл в механику итальянский художник и учѐный эпохи Возрождения Леонардо да Винчи (1452 ±
1519).
Моментом силы относительно точки называется произведение модуля силы на еѐ плечо: .
Точка, относительно которой берѐтся момент, называется центром момента. Плечом силы относительно точки называется кратчайшее расстояние от це
н-
16
тра момента до линии действия силы, т.е. перпендикуляр, опущенный из то
ч-
ки на линию действия силы
.
Единица момента силы:
[
M
] = [
F
] ∙ [
h
]
= сила ×
длина = ньютон ×
метр = Н ∙ м.
Условимся считать момент силы положительным, если сила стремится вращать своѐ плечо вокруг центра момента против часов
ой стрелки, и наобо
рот
. Одна и та же сила относительно разных точек может давать и положительный и отр
и-
цательный момент.
Момент силы относительно точки, лежащей на линии действия этой силы, равен нулю, так как в этом случае плечо равно нулю. Момент силы относ
и-
тельно точки не
меняется при переносе силы вдоль линии еѐ действия, так как модуль силы и плечо
остаются неизменными
. 5.3.
Плоская система пар сил
Система двух параллельных сил, которые направлены в противоположные стороны и у которых модули равны, называется парой сил или просто парой.
Плоскость, в которой расположена пара, называется плоскостью действия пары. Расстояние между линиями действия сил есть плечо пары. Пара стр
е-
миться вращать тело, к которому она приложена. Еѐ вращательное действие определяется моментом пары.
Мо
ментом пары называется произведение модуля одной из сил, составля
ю-
щих пару, на плечо пары:
Усло
вимся считать момент пары полож
и-
тельным, если он стремится вращать тело против часовой стрелки, и наоборот.
Момент пары численно равен удвоенной площади треугольника, у которого основ
а-
нием является вектор одной и
з сил пары, а высотой ±
плечо пары (заштрихованные
треугольники). Момент пары не измениться при переносе сил вдоль линии их действия.
17
Основные свойства пары сил:
1) Пара сил не имеет равнодействующей. Равнодействующая
параллельных и противоположно направленных сил по модулю. равна
, но у пары силы еѐ составляющие равны по м
о-
дулю, т. е. , отсюда . Отсюда следует, что пара сил не может быть уравновешена одной силой, пара сил может быть уравновешена
только
другой парой.
2) Алгебраическая сумма моментов сил, составляющих пару, относ
и-
тельно любой точки плоскости действия пары есть величина постоя
н-
ная, равная моменту пары.
На р
исунке
показана пара сил с моментом Подсчитаем м
о
менты сил, составляющие пару, относительно произвольной точки А:
Сложим левые и правые части получен
ных р
а-
венств:
Это означает
, что при любом выборе центра
момен
т
па
ры
сил войдѐт в ура
в-
нение моментов с одним и тем же знаком и одной и той же величиной.
3) Алгебраическая сумма проекций сил пары на ось всегда
равна нулю.
Из рисунка
видно
, что проекции пары сил на ось х
равны, но имеют разные знаки: проекция F
1х
±
отрицательная, а проекция F
2х
±
положител
ь-
ная. Следовательно, алгебраическая сумма прое
к-
ций сил пары всегда равна нулю и по этой причине при составлении уравнений для проекций сил ее не учитывают.
4) Есл
и моменты двух пар
равны, то эти пары эквивалентны.
Из этого свойства вытекают следующие следствия:
не изменяя механического состояния тела, пару можно перемещать как угодно в плоскости еѐ действия;
можно менять силы и плечо пары, но так, чтобы еѐ м
о-
мент оставался не
изменным;
18
можно поворачивать
силы пары в плоскости
действия сил
пары;
Таким образом, действие пары не зависит от направления сил пары, ее плеча и модуля сил, а определяется только вели
чиной момента. Поэтому,
чтобы з
а-
дать пару, достаточно задать еѐ мо
мент. Вместо слова «пара»
иногда говорят «момент» и условно изображают его так, как по
казано на рис
унке
.
5) Всякая плоская система пар эквивалентна одной результирующей п
а-
ре, момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар.
Пусть даны три пары с моментами m
1
, m
2
, m
3
,
действующие в одной плоск
о
сти
. Преобразуем эти пары так, чтобы их плечи стали равными h
, и перен
е
сѐм к произвольно взятому отрезку АВ
дл
и-
ной
h
.
Тогда вместо заданной системы пар получим новую систему, эквивалентную данной, причѐм моменты данных и новых пар будут равны, т.е.
m
1
= -
F
1 h
,
m
2
= -
F
2 h
,
m
3
= F
3 h
.
Сложив по три силы на концах отрезка АВ
, получим равнодействующие
и (рис.
³
б
´
), модули которой равны R
= R
’
= F
1
+ F
2
–
F
3
.
Силы и представляют собой пару с плечом h
, эквивалентную данной системе пар. Момент этой результирующей пары
равен
m
= -
R
h
= -
(
F
1
+ F
2
–
F
3
) h
= -
F
1 h
-
F
2 h
+ F
3 h
= m
1
+ m
2
+ m
3
.
В общем виде можно записать
:
m
= Σ
m
i
.
6) Условия равновесия плоской системы пар в общем виде
:
m
= Σ
m
i
= 0,
и формулируется следующим образом: для равновесия плоской системы пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов данных пар равнялась нулю.
19
5.4.
Момент равнодействующей плоской системы параллельных сил
Пусть дана плоская система параллельных сил и равнодействующая этой системы .
Приложим к телу другую
систему сил, ра
в-
нодействующая которой по м
о
дулю равна си
ле и направлена по той же линии действия в противополо
ж
ную сторону. Тогда сила для заданной системы явл
я-
ется уравновешивающей силой и вместе с данными силами образует уравновешенную систему .
Силы и также образуют уравнов
е-
шенную систему .
Так как эти две системы эквивалентны нулю, то к ним можно применить л
ю-
бое уравне
ние равновесия. В частности, можно составить сумму моментов отн
осительно любой точки плоскости:
Запишем это условие для обеих систем
:
;
0.
Так как правые части этих равенств равны, то будут равны и левые части:
, и далее
Мы доказали следующую теорему
: момент равнодействующей плоской системы параллельных сил относ
и-
тельно точки или оси равен алгебраической сумме моментов сил сист
е-
мы относительно той же точки или оси.
20
5.5.
Центр параллельных сил
Центром параллельных сил называют точку, относительно которой момент равнодействующей равен нулю. Это возможно, если равнодействующая проходит через эту точку.
Используя теорему, доказанную в предыдущем параграфе, и определение центра параллельных сил можно получить формулу для нахождения полож
е-
ния этой точки.
Пусть дана плоская система п
ара
л-
лельных сил
, равнодействующая к
о-
торой равна
Выберем произвольную точку O
и подсчитаем мо
мент
равнодейс
т-
вующей и мо
мент
сил системы о
т-
носительно этой точки, при этом учитываем, что моменты должны быть равны, тогда будем иметь сл
е-
дующее равенство:
или
В результате получаем формулу для определения положения центра пара
л-
лельных сил (точка С
на рисунке
):
5.6.
Определение положения центра тяжести
Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой т
я-
жести. Каждое тело можно представить как совокупность частиц, сила тяж
е-
сти которых направлены к центру Земли. С достаточной степенью точности можно счи
тать, что каждое тело подвергнуто действию системы параллел
ь-
ных сил.
Центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести всех эл
е-
ментарных частей тела.
21
Координаты центра тяжести тела определяются по формуле для нахождения центра параллельных сил
, а именно:
где G
i
±
сила тяжести каждой элементарной части тела; x
i
, y
i
, z
i
±
координаты элементарных частей тела; Σ
G
i
±
сила тяжести всего тела.
Если материал тел однородный, то по таким же формулам можно определять координаты центра тяжести объѐмов и площадей.
Центр тяжести объѐма.
Если удельная сила тяжести (объѐмный вес) ±
γ
, а объѐм элементарной части тела ±
V
i
, то сила тяжести элементарной части тела -
G
i
= γ
∙ V
i
. Тогда коо
р-
динаты центра тяжести объѐма будут определяться формуламИ
где
V
=
Σ
V
i
±
объѐм всего тела.
Центр тяжести площади (плоской фигуры).
Если тело представляет собой однородную пластинку толщиной δ
, то сила тяжести ее i
-
й
части, выраженная через площадь А
i
, равна -
G
i
= γ
∙ А
i
∙ δ
. Тогда координаты центра тяжести площади будут определяться формулами
где
A
=
Σ
А
i
±
площадь однородной пластинки.
6.
ПЛОСКАЯ СИСТЕМА ПРОИ
ЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕНН
ЫХ СИЛ
6.1.
Параллельный перенос силы
(Лемма Пуансо)
Механическое состояние твѐрдого тела не нарушится, если данную силу перенести параллельно первоначальному положению в произвольную точку, добавив при этом пару, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.
22
Пусть на тело действует сила , приложенная в точке А
. Выберем произвольную точку В, кот
о-
рую назовѐм центром приведения, и пр
и-
ложим в этой точке две равные силы ,
параллельные данной силе F
, причѐм
.
Тогда система сил , эквив
а-
лентная заданной силе ,
может быть з
а-
менена силой , приложенной в центр
е приведения (точка В
), и парой, момент которой равен моменту заданной с
и-
лы относительно центра приведения:
6.2.
Приведение плоской системы сил к заданному центру
Приведением системы сил называется замена еѐ другой системой, эквив
а-
лентной первой, но более простой.
Теорема.
Плоская система произвольно расположенных сил в общем случае эквивалентна одной силе, приложенной в центре приведения, и одной паре.
Пусть дана плоская система произвольно расположенных сил Перенесѐм все силы в произвольно выбран
ный в плоскости центр привед
е-
ния О
, добавив при этом n
пар
. Моменты этих пар m
1
, m
2
, m
3
, …. , m
n
равны моментам данных сил относительно центра приведения.
Вместо заданной системы сил мы получили эквивалентную систему, состо
я-
щую из n
сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, и n
пр
и-
соединѐнных пар
:
23
m
1 = M
o
(
),
m
2
= M
o
(
), …. , m
n
= M
o
(
).
Плоская система сил, приложенных в одной точке, эквивалентна одной силе, которая равна векторной сумме этих сил и приложена в той же точке:
или
Эту силу назовѐм главным вектором
данной системы: главный вектор пл
о-
ской системы произвольных сил равен векторной сумме всех сил системы и приложен в центре приведения. Графически главный вектор выражается замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на данных силах. Аналитически модуль главного вектора можно вычислить по формуле Направляющие
косинус
ы главного вектора ±
по формулам:
Плоская система пар эквивалентна одной паре, момент которой равен
алге
б-
раической сумме моментов пар:
М
гл
= m
1
+ m
2
+ m
3
+…..+ m
n
= M
o
(
) + M
o
(
)+…..+ M
o
(
),
или
М
гл
= Σ
M
o
(
).
Эту пару с моментом М
гл
назовѐм главным моментом
заданной системы сил: главный момент плоской системы произвольных сил равен алгебраич
е-
ской сумме моментов всех сил системы относительно центра приведения.
Таким образом, любая плоская система сил в общем случае эквивалентна системе, состоящей из силы и пары сил 6.3.
Свойства главного вектора и главного момента. Теорема Вариньона
Свойства главного вектора и главного момента заключаются в следующем:
1) модуль и направление глав
ного вектора данной системы не зависят от в
ы-
бора центра приведения, так как при любом центре приведения силовой мн
о-
гоугольник, построенный на данных силах, будет один и тот же;
2) величина и знак главного момента зависит от выбора центра приведения, так ка
к при перемене центра приведения меняются плечи сил и могут м
е-
няться знаки моментов сил;
24
3) равнодействующая данной системы сил векторно равна главному вектору: ,
4) если центр приведения расположен на линии действия равнодействующей данной
системы сил, то главный момент относительно такого центра прив
е-
дения будет равен нулю, т.е. будем иметь две следующие эквивалентные си
с-
темы:
Пусть известны главный вектор и главный м
о-
мент какой
-
т
о плоской системы сил
. Переме
с-
тим главный вектор в новый центр приведения (точку С) таким образом, чтобы момент главного вектора относительно этой точ
ки был равен по в
е-
личине главному моменту, но имел противополо
ж-
ное н
а
правление. Тогда можно записать следующее равенство:
или М
гл
-
F
гл
· d
= 0.
Из полученного равенства вытекает формула для определения положения линии действия равнодействующей:
d
= М
гл
/ F
гл
.
Из рисунка
также следует, что R
·
d
= М
гл
. Поскольку , а за центр приведения можно взять любую точку плоскости действия данной си
с-
темы, то всегда имеем
Полученная формула является математическим выражением теоремы В
а-
риньона о моменте равнодействующей.
Теорема. Момент равнодействующей силы относительно какой
-
либо точки равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относ
и-
тельно той же точки.
Теорему впервые доказал французский
учѐный Вариньон (1654 ±
1722)
.
На основании свойств главного вектора и главного момента можно выделить некоторые важные случаи приведения плоской системы произвольных сил:
1. F
гл
≠
0, М
гл
≠
0. Главный вектор и главный момент не равны нулю. В этом случае с
истема сил эквивалентна равнодействующей, которая равна по мод
у-
25
лю главному вектору, параллельна ему, направлена в ту же сторону, но по другой линии действия.
2.
F
гл
≠
0, М
гл
=
0. В этом случае система сил эквивалентна равнодейству
ю-
щей, линия действия которой проходит через центр приведения и совпадает с главным вектором.
3. F
гл
=
0, М
гл
≠
0. В этом случае система эквивалентна паре. Поскольку гла
в-
ный вектор равен нулю, то величина и знак главного момента не зависит от положения центра приведения.
4. F
гл
=
0, М
гл
=
0. В этом случае система сил эквивалентна нулю, т.е. нах
о-
дится в равновесии.
6.4.
Аналитические условия равновесия плоской системы сил
Плоская система произвольно расположенных сил находится в равновесии, когда главный вектор и главный момент равны
нулю:
, .
Но
и равенство означает, что силовой многоугольник, построенный на силах данной системы, должен быть замкнут. Следовател
ь-
но, алгебраическая сумма проекций сил на каждую из двух осей координат х и у должна равняться нулю, т.е.
, Главный момент и равенство означают, что а
л-
гебраическая сумма моментов сил данной системы относительно любого центра приведения равняется нулю. Отсюда вытекает
.
Условия равновесия: для равновесия плоской системы произвольно расположенных сил нео
б-
ходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на оси координат х и у равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма м
о-
ментов этих сил относительно любой точки плоскости также равнялась нулю.
Упрощенно условия равновесия можно записать в виде следующих равенств:
, .
26
Отметим, что полученные ранее условия равновесия системы сходящихся сил, системы параллельных сил и системы пар являются частными случаями полученных условий равновесия.
При решении некоторых задач бывает целесообразно вместо одного или двух уравнений проекций составлять уравнения моментов. Здесь возможны два случая:
1) Σ
Х = 0,
Σ
М
А
= 0,
Σ
М
В
= 0
, при этом точки А
и В
не должны быть расположены на одном перпендикуляре к оси х.
2) Σ
М
А
= 0,
Σ
М
В
= 0,
Σ
М
С
= 0
, при этом точки А, В
, С
не должны быть расположены на одной прямой.
При решении задач статики аналитическим способом целесообразн
о соста
в-
лять уравнения равновесия так, чтобы в каждом из них была только одна н
е-
известная величина. Во многих случаях этого можно достигнуть, если раци
о-
нально выбрать оси координат и центры моментов.
27
КИНЕМАТИКА
5.
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
5.1.
Движение. Кинематические
характеристики
Кинематикой
называется раздел механики, в котором изучаются движения материальных тел без учета их масс и действующих на них сил, то есть с чисто геометрической точки зрения.
Движение
рассматривается
по отношению к некоторой координатной сист
е-
ме, которую называют системой отсчета
.
В
ремя в классической механике считается
абсолютным, то есть протека
ю-
щим одинаково во всех системах отсчета.
В
се другие переменные величины рассматривают как функции времени.
Отс
ч
ет времени ведут от некоторого начального момента .
Основной задачей механики является изучение способов задания движения тел. Движение тела считается заданным, если для любого момента времени можно математически указать положение любой точки тела по отношению к данной системе отсчета. К
инематика рассматри
вает кинематические характеристики
, такие как скорости или ускорения, и устанавливает связ
и между ними.
Основными разделами кинематики являются:
кинематика точки, кинематика твердого тела, 5.2.
Способы задания движения точки
В кинематике используют три способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный.
Векторный способ задания движения точки
Положение движущейся точки М
по отношению к системе отсчета О
xyz
можно задать радиус
-
вектором
этой точки
, который считается векторной функцией времени:
28
Это уравнение является
уравне
н
и-
ем движения точки в векторной форме.
Линия, которую описывает точка в своем движении, называе
т-
ся ее траекторией
.
Траектории бывают
прямолинейные и крив
о-
линейные.
Координатный способ задания движения точки
Положение точки можно определить, если задать
ее координаты в виде функций времени. В декартовых координат
ах
это будут функции
:
Чтобы получить уравнение траектории в явной форме надо из этих уравн
е-
ний
исключить время.
Связь между векторным и координатным способами задания движения точки дается формулой
.
Естественный способ задания движения точки
Этот способ применяется тогда, когда заранее известна траектория точки.
Чтобы задать движение некоторой точки М естественным способом, следует указать:
1.
траекторию точки (кривая АВ
);
2.
начальную точку на ней (точка О
);
3.
положительное и отрицательное направление отсчета по траектории;
4.
уравнение движения точки по траектории: в котором s есть дуговая координата
, то есть длина дуги по траектории между точками О
и М
, взятая со знаком «плюс» или «минус» в зависим
о-
сти от того в какой части траектории находится точка.
Дуговая координата определяет положение точки, а не пройденный ею путь.
29
5.3.
Скорость точки
Определение скорости при векторном способе задания движения Скоростью точки
называется кинематическая характеристика
движения, равная производной по времени от радиус
-
вектора этой точки:
В дальнейшем точкой сверху будем обозначать производную по времени.
Скорость точки ±
величина векторная, ее направление показывает куда в данный момент движется тело,
а ее модуль ±
быстроту изменения положения точки.
Размерность модуля скорости: .
Определение скорости при координатном способе задания движения
Возьмем производную от радиус
-
вектора по времени:
где
±
проекции вектора скорости на координатные оси, то очевидно, что они равны производным по времени от соответствующих координат:
Обычным образом находятся модуль вектора скорости:
и его направляющие косинусы:
.
Определение скорости при естественном способе задания движения
При естественном способе задания движения точки известна ее траектория и уравнение дв
и-
жения .
Каждому значению дуговой к
о-
ординаты с
о
ответствует свой радиус
-
вектор ,
который в этом случае можно рассматр
и
вать как сложную функцию:
.
Взяв производную по времени от радиус
-
вектора по времени, по
лучим скорость:
.
В
ектор есть единичный вектор, направленный по касательной к траект
о-
рии в положительную сторону дуговой координаты. Обозначим его и будем называть единичным вектором касательной.
30
Тогда вектор скорости можно представить как
,
где представляет собой проекцию вектора скорости на касательную, которую также называют алгебраическим значением скорости
.
Подведем итог:
1.
Скорость всегда направлена по касательной к траектории в ст
о-
рону движения;
2.
Скорость по модулю равна ;
3.
Знак п
роекции показывает направление скорости: при скорость направлена в положительном направлении дуговой координаты, а при − в отрицательном направлении.
5.4.
Ускорение точки
Определение ускорения при векторном способе задания движения точки
Ускорением точки
называется кинематическая характеристика движения, равная производной по времени от вектора скорости точки:
или
Ускорение характеризует изменение вектора скорости.
Размерность модуля ускорения .
Определение ускорения при координатном способе задания движения
При координатном способе задания движения вектор скорости задается фо
р-
мулой: Дифференцируя это выражение по времени, получим формулу для ускор
е-
ния:
,
откуда следует, что
то есть проекции вектора ускорения на координатные оси равны вторым производным по времени от соответствующих координат, или первым пр
о-
изв
одным по времени от соответствующих проекций вектора скорости.
Обычным образом находятся модуль вектора ускорения:
и его направляющие косинусы:
.
31
5.5.
Геометрия траекторий
Радиус кривизны
Ра
ссмотрим произвольную кр
и-
вую
. Пусть
материальная точка М перемещ
а
ется по ней и ее дуговая координата при этом меняется
.
Построим в точке
М
единичный
вектор касательной Из геометрии кривых известно, что через точку кривой М
можно провести окружность, которая будет наилучшим образом совпадать с данной кривой в окресностях рассматриваемой точки. Радиус этой окружности назовем
р
а-
диусом кривизны
траектории в данной точке
.
Радиус кривизны измеряется в метрах. Обратная величина называется кривизной
данной кривой в точке М:
=
k
.
ПРИМЕРЫ:
1.
Окружность является кривой постоянной кривизны. Во всех точках о
к-
ружности радиус ее кривизны равен радиусу окружности.
2.
Прямая линия является линией постоянной кривизны. Во всех ее точках радиус кривизны равен бесконечности, а кривизна равна нулю.
3.
У таких линий, как эллипс или парабола, радиус кривизны в разных точках имеет разное значение.
Естественн
ые оси
Рассмотрим точку М, которая двигается по произвольной траектории. Пров
е
дем через точку М касательную
к траектории. Перпе
н-
дикулярно к касател
ь
ной поведем ось, кот
о-
рую назовем нормалью
. Касательная и но
р-
маль вместе образуют естественные оси
. Е
с-
тественные оси являются подвижными, они перемещаются по траектории
. С естественными осями связаны единичные векторы (орты):
единичный вектор касательной
, единичный вектор нормали
, Единичный вектор касательной всегда наравлен в положительную сторону дуговой координаты, а единичный вектор нормали всегда направлен в стор
о-
ну вогнутости траектории.
32
5.6.
Определение ускорения при естественной форме задания дв
и-
жения
Можно показать, что ускорение равно векторной сумме: .
Касательное ускорение
направлено по касательной к траектории и о
п-
ределяется проекцией вектора ускорения на касательную, знак которой пок
а-
зывает в какую сторон
у дуговой координаты s оно направлено:
Проекцию называют алгебраическим значением касательного ускорения
Модуль касательного ускорения равен
произ
водной
от модуля скорости:
.
Нормальное ускорени
е
направлено по главной нормали и его проекция на нормаль
всегда положительна:
По этой причине оно
всегда направлено в сторону вогнутости траектории.
Модуль полного ускорения
равен
.
5.7.
Классификация форм движения точки
Прямолинейное движение и криволинейное движение
Траекторией точки при криволинейном движении
является кривая, и ее кривизна имеет конечное значение, а радиус кривизны не равен нулю.
Траекторией при прямолинейном движении
является прямая линия. Радиус кривизны прямой линии бесконечен . Н
ормальное ускорение в этом случае равно нулю . Следовательно, при прямолинейном движении полное ускорение совпадает с касательным: и .
В этом случае скорость всегда направлена по одной линии − траектории, о
т-
куда вытекает вывод о физическом смысле касательного ускорения: кас
а-
тельное ускорение характеризует изменение модуля скорости.
33
Равномерное движение и неравномерное движение
Равномерным
называется такое движение точки, при котором модуль скор
о-
сти все время остается постоянным: . Тогда и полное ускорение совпадает с нормальным: .
Модуль скорости при этом не меняется, откуда вытекает вывод о физи
ческом смысле нормального ускорения: нормальное ускорение характеризует и
з-
менение направления скорости
.
При равномерном движении . Интегрируя это равенс
т-
во, получим уравнение равномерного движения:
.
Это уравн
ение определяет величину дуговой координаты в любой момент времени. Пройденный точкой путь определяется путем интегрирования модуля скорости: . При равномерном движении .
Равномерное прямолинейное движение
В этом случае равны нулю и касательное, и нормальное, и полное ускорения: , а скорость точки как вектор будет постоянна: Ускоренное движение и замедленное движение
Ускоряется или замедляется движение точки можно определит
ь по взаимн
о-
му расположению векторов ско
рости и касательного ускорения. Если оба вектора направлены в одну сторону, то движение является ускоренным, а е
с-
ли в разные, − то замедленным.
При ускоренном движении произведение проекций этих векторов на кас
а-
тель
ную к траектории будет положительным (
), а при замедленном ±
отрицательным (
).
Равнопеременное движение
Равнопеременным
называется движение точки, при котором модуль кас
а-
тельного ускорения все время остается постоянным: Оно бывает равноускоренным
или равнозамедленным
.
34
Дважды интегрируя равенство получим выражения для скорости и дуговой координаты, то есть уравнения равнопеременного дв
и-
жения
:
;
,
где и − начальные значения величин и .
6.
ПРОСТЕЙШИЕ ФОРМЫ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА 6.1.
Поступательное движение твердого тела
Уравнения движения твердого тела должны позволять в любой момент вр
е-
мени определить положение и кинематические характеристики любой его точки.
Простейшими видами движения твердого тела являются поступательное и вращательное движения
.
Поступательным движением
называется движение, при котором любой отрезок принадлежащий телу перемещается, оставаясь параллельным своем
у первоначальному направлению.
ТЕОРЕМА
Все точки твердого т
е-
ла, движущегося п
о-
ступательно, описы
в
а-
ют
совп
а
дающие при наложении, траектории и в каждый момент времени имеют од
и
н
а-
ковые скорости и од
и-
наковые ускорения.
ВЫВОД:
Поступательное движение твердого
тела полностью определяется движением какой
-
либо его точки, например центра тяжести. В этом случае имеют смысл выражения «скорость тела» или «ускорение тела». При других формах дв
и-
жения каждая точка тела имеет свою скорость и свое ускорение.
6.2.
Вращательное
движение твердого тела
Движение тела, при котором все точки тела, лежащие на некоторой прямой, остаются неподвижными, называется вращательным движением
. При этом сама прямая называется осью вращения
.
35
Точки, не лежащие на оси
,
при движении описывают окружн
ости в плоск
о-
стях, которые перпендикулярны к оси вращения.
Проведем через ось вращения полуплоскость, которая в начальный момент времени занимает положение. В процессе вращения эта плоскость будет п
о-
ворачиваться на угол , который меняется в зависимости о
т времени:
Это у
равнение назывем уравнением вращательного движения твердого тела
.
Знак угла положителен при отсчете против часовой стрелки
. Угол измеряется в радианах, то есть Основные кинематические х
арактеристики такого движения -
угловая ск
о-
рость и
угловое ускорение
.
Угловой скоростью
называется величина, которая равна производной по времени от угла поворота:
.
Модуль угловой скорости равен , а его размерность .
При угол поворота увеличивается, а при уменьшается.
В технике угловую скорость часто измеряют в оборотах в минуту, обозначая ее буквой «
n
». Связь между n и ω дается формулой:
.
Угловым ускорением
называется величина, равная производной по времени от угловой скорости:
.
Модуль углового ускорения равен .
Его размерность .
Знаки углового ускорения и угловой скорости позволяют установить являе
т-
ся вращение замед
ленным или ускоренным
. При вращение является ускоренным (направления векторов со
в-
падают), а при ±
замедленным (направления противоположны).
Угловая скорость и угловое ускорение характеризуют вращение тела, как ц
е-
лого. Скорос
ти и ускорения отдельных точек тела при этом будут отличат
ь-
ся.
36
6.3.
Равномерное и равнопеременное вращение
Равномерным
называется такое вращение тела, при котором угловая ск
о-
рость все время остается постоянной: . Тогда . При равномерном вращении . Интегрируя это равенс
т-
во, получим уравнение равномерного вращения
:
.
Это уравнение определяет величину угла поворота в любой момент времени. Равнопеременным
называется вращение тела
, при котором величина углов
о-
го ускорения все время остается постоянной: Оно бывает равн
о-
ускоренным
или равнозамедленным
.
Дважды интегрируя равенство получим выражения для угловой скорости и угла поворота
, то есть уравнения равнопеременного вращения
:
;
,
где и − начальные значения угла поворота и угловой скорости.
6.4.
Скорость точки вращающегося тела
Рассмотрим твердое тело, совершающее вращение вокруг оси z
. Любая
точка М
, не лежащая на оси вращения, будет двигаться по окружн
о-
сти, которая лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения z
.
Рассмотрим, как найти скорость и ускорение точки М
, которая
удалена от оси вращения на расстояние
R
, если для вращающегося тела известна угловая скорость и угловое ускорение .
Найдем скорость точки М
.
Глядя нав
стречу оси вращения покажем
на рисунке тра
екторию точки М
. За начало отсчета дуговой координаты s примем точку О
, которая лежит в неподвижной полупло
с-
кости П
. Подвижную полуплоскость
П
1
проведем через точку М
.
Положительное направление о
т-
счет
а дуговой координаты s пусть будет направл
е-
но против часовой стрелки
.
Из геометрии известно соотношение между углом и длиной дуги:
.
Дифференцируя его по времени, найдем скорость точки: .
37
Для модулей соответствующих скоростей получим:
Ясно, что модули скоростей точек пропорциональны их расстояниям до оси вращения, а коэффициентом пропорциональности является модуль угловой скорости.
6.5.
Ускорение точки вращающегося тела
Определим ускорение точки М
Из кинематики точки известно, что полное ускорение является векто
р-
ной суммой касательного
и нормального ускорений
:
,
г
де
-
касательное ускорение, которое при рассмотрении твердого тела называют вращательным ускорением
,
-
нормальное ускорение, которое при рассмотрении твердого тела наз
ы-
вают центростремительным или осестремительным ускорением
.
В ряде книг вместо применяются обозначения и .
Найдем алгебраическое значение касательного ускорения:
R
.
П
ри этом модуль касател
ь-
ного ускорения:
Нормальное ускорение о
п-
ределяется по формуле
:
,
Откуд
а
R
.
6.6.
Преобразование простейших форм движения тела
В движущихся элементах машин виды движения часто преобразуются. Происходит:
преобразование одного вращательного движения в другое, а также преобразование вращательного движения в поступательное
(и наоборот).
38
Преобразования эти происходят с помощью зубчатых ил
и фрикционных передач (рис.
´
а
´
, рис. ³
в
´
)
ременн
ых или цепных передач (рис. ³
б
´
)
Связи между скоростями двух различных движений называются кинемат
и-
ческими связями
. Ясно, что при
отсутстви
и
проскальзывания между взаимодействующ
и-
ми телами
, скорости
двух тел в точке их соприкосновения.
Так для рис. ³
а
´
справедливым является соотношение
или
,
которое получено из условия, что в точке соприкосновения (ск
о-
рость точки первого тела равна скорости точки второго тела)
.
В соответствии с этим соотношением, угловые скорости обратно пропо
р-
циональны соответствующим радиусам.
В случае зубчатой передачи, в которой зацепляются зубчатые колеса с чи
с-
лом зубьев , такое же по смыслу равенство можно записать в виде:
.
Для пе
редачи, показанной на рисю ´
в
´
, имеем соотношение
.
7.
ПЛОСКО
-
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
7.1.
Задание плоского движения
Рассмотри
м движение плоской фигуры
. Для этого выберем неподвижную систему координат Оху
. Выберем на плоской фигуре точку С
, которую будем называть полюсом
и проведем через нее систему координат, которая будет двигаться вместе с телом. Положение точки С
в любой момент времени о
п-
ределяется к
оординатами полюса. Само тело при этом может поворачиваться 39
вокруг полюса. Величину этого поворота определяет угол (угол между осями х и х'
).
Координаты полюса и угол поворота при движении меняются, то есть зав
и-
сят от времени. Соответствующие формулы называются уравнениями пло
с
копараллельного движения
:
Из этих уравнений можно найти о
с-
новные кинематические характер
и-
стики тела при плоском движении
: скорость и ускорение полюса,
угловую скорость и угловое ускорение тела.
Важно заметить, что:
плоское движение можно представить как совокупность двух движений: поступательного и вращательного,
угол поворота (
) и кинематические характристики вращательной части движения (
и
) не зависят от выбора полюса,
координаты полюса (
, ) и кинематические характеристики поступ
а-
тельн
ой части движения (
и ) зависят от выбора полюса.
7.2.
Теорема о сложении скоростей
Скорость любой другой точки плоской фигуры равна векторной сумме скорости полюса и скорости, которую эта точка имеет в относительном вращении этой фигуры вокруг полюса:
.
Направление и модуль вектора определяется по правилам, прин
я-
тым для вращательного движения:
скорость перпендикулярна отрезку МС и направлена в сторону вращения, модуль скорости вычисляется по формуле Эйлера
:
40
7.3.
Мгновенный центр скоростей
Мгновенным центром скоростей
(МЦС) называется точка
Р
плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю: 1.
Такая точка всегда существует;
2.
Положение МЦС на движущейся фигуре не является неизменным, в процессе движения его положение постоянно меняется:
3.
МЦС может находиться вне тела;
4.
Если угловая скорость тела в данный момент равна нулю, то МЦС ра
с-
полагается в бесконечности. В этом случае скорости всех точек тела одинаковы. Движени
е тела в данный момент времени называют мгн
о-
венно поступательным, в отличие от поступательного движения, при котором в любой момент времени.
Выберем в качестве полюса МЦС. Тогда скорос
ть произвольной точки М
будет равна:
ВЫВОД: скорость произвольной точки М плоской ф
и-
гуры равняется скорости, которую она имеет в относительном вращении вокруг МЦС.
Следовательно:
1.
скорость направлена перпендикулярно отрезку РМ
в сторону вр
а-
щения;
2.
модуль ее в равен
.
Картина распределения скоростей точек движущейся
плоской фигуры имеет
вид
, пока
занный на рисунке
.
7.4.
Нахождение положения мгновенного центра скоростей
Рассмотрим несколько простых приемов, позволяющих в
процессе реш
е-
ния задач определить местоположение МЦС.
1.
Известна угловая скорость фигуры и скорость любой ее точки .
(рис. ³
а
´
).
Для определения МЦС надо:
Повернув вектор скорости , на 90
0
в сторону вращения тела, найти направление, на котором лежит МЦС;
41
На найденном направлении отложить отрезок A
Р
равный и получить положение точки Р
, которая является мгн
о-
венным центром скоростей.
2.
Известны направления скоростей
двух точек плоской фигуры и и эти скорости не параллельны друг другу (рис. ³
б
´
). Для определения МЦС надо из точек А
и В
восстановить перпендик
у-
ляры к направлению скоростей до точки их пересечения P
, которая и будет точкой МЦС.
При этом
.
3.
C
корости двух точек плоской фигуры и параллельны друг другу и перпендикулярны отрезку АВ
. МЦС находится из условия, что модули скоростей точек А и
В
пропо
р-
циональны расстояниям от этих точек до МЦС:
.
Возможны два варианта:
МЦС находится ме
ж
ду точками А
и В
, когда скорости направл
е-
ны в разные стороны (рис.
³
в
´
);
МЦС находится за пределами отрезка АВ
, когда скорости не ра
в-
ны и нап
равлены в одну сторону (рис. ³
г
´
).
4.
C
корости двух точек плоской фигуры и равны по модулю и параллельны друг другу. При этом они могут быть перпендикулярны или
неперпендикулярны отрезку
АВ
.
42
МЦС в этом случае располагается в бесконечности. Скорости всех т
о-
чек тела одинаковы. Движение тела является мгновенно поступател
ь
ным и .
5.
При качении тела по неподвижной поверхн
о-
сти
скорости соприкаса
ю
щихся точек равны в том случае, если отсутствует проскальзывание между телами. Тогда МЦС находится в точке соприкосновения тела с поверхностью.
7.5.
Теорема о сложении ускорений
Ускорение точки плоской фигуры равно векто
р-
ной сумме ускорения п
о
люса и ускорения, кот
о-
рое имеет эта точка в относительном вращении ф
и
гуры вокруг полюса:
.
Ускорение определяется по правилам вр
а-
щательного движения, то есть равно сумме вр
а-
щательного и центростре
мительного ускорений
:
.
Тогда полное ускорение точки М
будет равно:
.
43
ДИНАМИКА
8.
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
8.1.
Предмет и задачи динамики
Динамикой
называется раздел механики, в котором изучается движение м
е-
ханических систем под действием
сил.
Динамика является синтезом двух предыдущих разделов теоретической м
е-
ханики:
статики
, которая изучает преобразования систем сил и условия их равновесия
,
и
кинематики
, которая изучает способы математического описания движения тел.
Задачи
,
решаемые методами динамики
,
условно можно разделить на две группы:
Первая задача динамики (прямая)
предполагает, что зак
он движения механической системы известен, а силы которые вызывают это движ
е-
ние необходимо найти.
Вторая задача динамики (обратная)
предполагает, что известны с
и-
лы, действующие на механическую систему, а найти необходимо закон движения.
8.2.
Основной закон динамики
Фундаментальное значение имеет второй закон Ньютона
, который назыв
а-
ют
основным законом динамики
:
Сила, действующая на свободную материальную точку, сообщает ей у
с-
корение, которое в инерциальной системе отсчета пропорционально этой силе:
В уравнение входит величина
m
, которая называется массой материальной точки
.
Она является мерой инертности точки: чем больше масса, тем мен
ь-
шее ускорение сообщает точке приложенная сила
Масса измеряется в килограммах (
кг
), и,
следовательно, единица силы (нь
ю-
тон) будет равна .
Примечания:
Если на точку действует несколько сил, то под в уравнении следует понимать их равнодействующую:
.
44
Если точка не является свободной, то нужно воспользоваться принц
и-
пом освобождаемости от связей и к действующим на точку силам д
о-
бавить соответствующие реакции.
8.3.
Дифференциальные уравнения движения материальной точки
Пусть материальная точка движется в инерциальной системе отсчета. Е
с-
ли движение задано в векторной форме, то ,
и тогда основной закон динамики
примет вид, который называют
дифф
е-
ренциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме.
,
(8
.1)
в котором сила может зависеть от положения точки, от скорости точки и от времени, то есть:
.
Спроектировав векторное равенство (8
.1) на оси, получим диффере
н-
циальные уравнения движения материальной точки в координатной (аналитической) форме
:
.
(8
.2)
Дифференциальные уравнения движения материальной точки в естественных осях
могут быть получены с помощью формул кинематики, после чего они приобретают следующий вид:
.
(8
.3)
8.4.
Первая задача динамики
Если закон движения задан в векторной форме, выражение для вектора силы могут быть найдены путем дифференцирован
ия радиус
-
вектора по формулам (8
.1).
Если закон движения задан в аналитической форме, проекции силы на дека
р-
товые оси могут быть найдены путем дифференци
рования координат по формулам (8
.2).
45
Если закон движения задан в естественной форме, проекции силы на естес
т-
венные оси быть найдены
путем дифференцирования по (8
.3).
8.5.
В
тора
я задача динамики
Вторая задача динамики заключается в определении движения под действием заданных сил. Ее решение сводится к интегрирован
ию дифференциальных уравнений (8.1), (8.2) или (8
.3).
Пусть, движение точки описывается в декартовых осях. Тогд
а система ура
в-
нений (8
.2)
имеет общее решение в виде
.
При решении задач обычно принимают, что , а − п
о-
стоянные интегрирования, которые определяются из начальных условий, описывающих состояние материальной точки в начальный момент времени.
В качестве начальных условий задаются начальное положение точки и ее н
а-
чальная скорость:
Из этих
уравнений определяются че
тыре постоянные интегрирования.
8.6.
Интегрирование уравнения прямолинейного движения
Пусть материальная точка движется в положительном направлении оси . Тогда ,
.
Запишем дифференциальное уравнение движения
и рассмотрим способы его интегрирования с учетом начальных условий
для трех частных случаев:
когда сила зависит от времени ,
когда сила зависит от скорости ,
когда сила зависит от координаты .
46
Частный случай 1: сила зависит от времени:
.
Умножив обе части уравнения на , разделим переменные и :
При интегрировании уравнения можно пользоваться определенными или н
е-
определенными интегралами.
Интегрируем левую и правую части.
, откуда ,
где определяется из начального условия.
Частный случай 2: сила зависит от скорости:
.
Умножив обе части равенства на , получим
Интегрируем левую и правую части.
, откуда ,
где определяется из начального условия.
Частный случай 3: сила зависит от координаты:
.
Выполним замену
, получим уравнение
.
Умножим обе части уравнения на :
.
Интегрируем левую и правую части.
, откуда .
Постоянная определяется из начального условия.
Примечание
Если требуется получить не только выражение скорости , но и выраж
е-
ние для координаты точки , то процесс интегрирования надо повторить.
47
9.
ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС
9.1.
Классификация сил. Основные теоремы динамики
Рассмотрим механическую систему, состоящую из n
точек. Положение
k
-
й точки определяется радиус
-
вектором . Точка имеет массу и движется со скоростью и с ускорением .
Силы, действующие на материальную точку можно разбить на две группы.
Сделать это можно разными способами.
Первый способ
Разделим силы, действующие на k
-
ю точку, на внешние и внутренние. Пол
у-
чим следующую запись основного уравнения динамики:
где
равнодействующая внешних сил,
равнодействующая сил, действующих со стороны тел системы,
Второй способ
Разделим силы, действующие на
k
-
ю точку, на активные силы и реакции св
я-
зей. Получим следующую запись:
где
равнодействующая активных сил, приложенных к точке ,
равнодействующая реакций связей, действующих на точку При этом выполнится равенство
Первый способ записи основного уравнения используется при решении задач динамики с помощью ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ
, которые включают в себя
:
теорему о движении центра масс,
теорему об изменении количества движения,
теорему об изменении кинетического момента,
теоремы об изменении кинетической энергии.
9.2.
Центр масс механической системы
Массой механической системы называется сумма масс ее точек:
.
Центром масс механической системы называется геометрическая точка С, радиус
-
вектор которой определяется по формуле:
48
Проектируя последнее равенство на оси, получим формулы для координат центра масс, которые аналогичны форм
улам для определения координат це
н-
тра тяжести:
,
,
Центр масс иногда называют центром инерции.
Центр масс более общее понятие, чем центр тяжести, поскольку сохраняет смысл даже при отсутствии сил тяжест
и.
Дифференцированием получим выражение для скорости центра масс
,
и выражение для ускорения центра масс системы:
9.3.
Теорема о движении центра масс механической системы
Произведение массы системы на ускорение центра масс равно главному вектору внешних сил, действующих на точки системы:
или в проекциях на оси
То есть, центр масс механической системы движется как материальная точка, в
которой сосредоточена вся масса системы и к которой прил
о-
жены все внешние силы, действующие на систему.
Вывод: внутренние силы не могут изменить движение центра масс.
9.4.
Сохранение движения центра масс
Следствие 1
Если главный вектор внешних сил механической системы все время р
а-
вен нулю, то центр масс системы находится в покое или движется ра
в-
номерно и прямолинейно.
Действительно, если , то
получаем, что , откуда .
49
Следствие 2
Если сумма проекций всех внешних сил на какую
-
либо ось все время равна нулю, то проекция скорости центра масс на эту ось постоянна.
Действительно, если , то
получаем, что . Отсюда следует, что (
центр масс движется по оси равномерно или покоится: ).
10.
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
10.1.
Теорема об изменении количества движения в дифференциал
ь-
ной форме
Количеством движения материальной точки
называется векторная вел
и-
чина, равная произведению массы точки на ее скорость: .
Количеством движения материальной системы
называетс
я векторная
сумма количеств движения всех точек системы:
.
Поскольку , то
.
Количество движения характеризует только поступательную часть движения и никакого отношения не имеет к его вращательной составляющей.
ТЕОРЕМА
Производная по времени от количества движения механической сист
е-
мы равна главному вектору внешних сил, действующих на систему:
или в проекциях на оси:
При
мечани
е
Теорема об изменении количества движения системы может прим
е-
няться для систем, имеющих переменную массу, в то время как теор
е-
ма о движении центра масс системы справедлива только для систем с постоянной массой.
50
10.2.
Теорема об изменении количества движения в интегральной форме
Импульсом силы за некоторый промежуток времени называется вел
и-
чина равная интегралу от силы по времени
Если то естественно, что , где промежуток времени.
Размерность импульса силы совпадает с размерностью кол
и-
чества движения.
ТЕОРЕМА
изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов действующих на систему внешних сил за этот промежуток времени:
или в проекциях на координатные оси
.
Выводы:
Для одной материальной точки теорема приобретает вид:
, где -
импульс равнодействующей всех сил, приложенных к точке.
Отсюда видно, что
импульс является характеристикой силы,
показыва
ющей
н
а-
сколько эта сила изменяет количество движения материальной точки или механической системы.
Внутренние силы не могут изменить количество движения механич
е-
ской системы.
10.3.
Сохранение количества движения
Из теорем, рассмотренных в §10.1 и §10.2
можно сделать важные выводы.
Следствие 1
Если главный вектор внешних сил
механической системы все время р
а-
вен нулю, то вектор количества движения системы постоянен.
51
Действительно, если, то и, следовательно,
, или .
Следствие 2
Если сумма проекций всех внешних сил механической системы на к
а-
кую
-
либо ось все время равна нулю, то проекция количества движения на эту ось постоянна.
Действительно, если, то
и .
При выстреле, например, и (в проекциях) , откуда . Отсюда видно, что скорость отката ствола будет равна .
11.
МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
11.1.
Моменты инерции. Радиусы инерции
Установлено, что мерой инертности материального тела является его масса. Но это справедливо только для поступательного движения.
Для вращательного движения мерой инертности является величина, которая назы
вается моментом инерции. Будем считать, что ось z
− это ось вращения.
Моменты инерции точки
Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси (осевым моментом инерции) называется величина, равная произвед
е-
нию массы точки на квадрат ее расстояния до этой оси.
Момент инерции принято обозначать буквами I или J,
указывая при этом индекс соответствующей оси.
Пусть точка в системе Oxy
им
е-
ет координаты и массу m
. Тогда ее момент инерции относ
и-
тельно оси z
будет равен:
Так как , то 52
Видно, что момент инерции всегда положительная величина.
Ее размерность .
Механическая система из n
материальных точек
Рассмотрим теперь механическую систему, состоящую из
n
точек.
Пусть
k
-
я точка имеет мас
с
у и координаты Тогда моменты инерции механической системы можно вычислить путем суммирования моментов инерции входящих в нее точек:
.
Материальное тело
Рассмотрим плоское твердое тело, в котором масса распределена н
е-
преры
в
но. В этом случае тело следует под
е-
лить на бесконечно малые эл
е-
менты объема с массами и в
ы-
числять моменты инерции путем интегрирования по всему объему тела:
Радиус инерции
Момент инерции твердого тела относительно оси имеет размерность прои
з-
ведения массы на квадрат некоторой линейной величины.
Представим его в виде
, где -
масса тела, -
радиус инерции тела относительно оси .
Радиус инерции твердого тела относительно некоторой оси ±
это рассто
я-
ние от оси до точки, в которой надо сконцентрировать массу тела, чтобы м
о-
мент ине
рции этой точки относительно оси был равен моменту инерции тела. 11.2.
Моменты инерции некоторых однородных тел
Ось, проходящая через центр масс твердого тела, называется центральной.
Рассмотрим, каким образом вычисляются моменты инерции некоторых пр
о-
стейших материальных тел относительно центральных осей.
1. Момент инерции то
нкого однородного стержня
Вычисли
м момент инерции однородного тонкого стержня массой m
и длиной
l
относительно оси, проходящ
ей через его середину
.
53
Масса единицы длины стержня равна . Если выделить бесконечно малый элемент стержня длиной
dx
, лежащий на расстоянии
x
от оси Oz
, то его масса будет ровн
а М
омент инерции относительно оси z м
ожно определить интегрированием
:
2.Тонкая однородная круглая пластина
Моменты инерции других однородных тел различной формы выводятся ан
а-
логично с помощью интегрирования. Так момент инерции круглой однородного круглого диска массой m
и ради
у-
са относительно оси, проходящей через центр пластины перпенди
кулярно его плоскости (рис
.
³
а
´
) будет равен
3.
Круглый однородный цилиндр
М
омент ине
рции круглого кольца (цилиндра, трубы)
массой m
, которая ра
в-
номерно распределена вдоль окружности радиуса относительно оси, со
в-
падающей с осью цилиндра
(
рис.
³
б
´
), будет равен
54
11.3.
Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей
При решении задач приходится вычислять моменты инерции тел относ
и-
тельно осей вращения, которые не проходят через центр масс.
В этом случае применяют теорему Гюйгенса
-
Штайнера.
Момент инерции механической системы (тела) относительно некоторой оси равен сумме момента инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, и величины равной произведению массы системы на квадрат расстояния между осями:
Следствие из теоремы
Изо всех моментов инерции относительно параллельных осей наименьшим будет момент инерции, вычисленный относительно центральной оси.
12.
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
12.1.
Понятие о кинетическом моменте
Теоремы о движении центра масс и об изменении количества дв
и-
жения оп
и
сывают только пост
у-
пательную часть движения тве
р-
дого тела. Вращател
ь
ную часть движения описывает теорема об изменении кинетического м
о-
ме
н
та.
Введем понятия: момент кол
и-
чества движения и кинетич
е-
ский момент
.
В статике используется величина, которую называют
моментом силы
отн
о-
сительно точки О.
Момент количества движения относительно некоторой точки определяется аналогично, но вместо вектора силы берется вектор к
о-
личества движения. То есть: моментом количества движения материал
ь-
ной точки относительно некоторого центра
называется величина, кот
о-
р
ая равна произведению модуля количества движения на плечо взятому с соответствующим знаком:
где h ±
плечо вектора количества движения относительно точки О.
Часто используется понятие «момент количества движения относительно
оси», имея ввиду ось
z
, проходящуюю через центр О перпендикулярно к плоскости, в которой лежат силы:
55
Знак момента количества движения выбирается по тому же правилу, что и знак момента силы относительно точки: «плюс» соответствует направлению против часовой стрелки.
Размерность модуля момента количества движения: 12.2.
Кинетический момент механической системы и вращающегося тела
Кинетическим моментом механической системы относительно некот
о-
рого центра О
(или оси)
называется сумма моментов количеств движ
е-
ния всех точек дан
ной системы относительного данного
центра
(или оси)
:
Если механическая система представляет собой твердое тело, то кинетич
е-
ские моменты
должны определяться не суммированием, а путем интегрир
о-
вания по объему.
Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению осевого момента инерции на угловую скорость:
12.3.
Теорема об изменении кинетического момента
Производная по времени от кинетического момента механической си
с-
темы относительного некоторого центра (или оси) равна главному м
о-
менту внешних сил относительно этого же центра (или оси):
Вывод из теоремы:
в
нутренние силы не могут изменить кинетический момент механической системы.
12.4.
Дифференциальное уравнение вращательного движения
Предположим, что материальное тело вращается относительно оси . Е
го кинетический момент будет равен и тогда в соответствии с теоремой об изменении кинетического момента
56
Если тело в процессе вращения не изменяется, то и мы получаем дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела:
,
Если учесть, что , уравнение
можно записать в виде
Из сравнения формул
для поступате
льного движения и
для вращательного движения видно, что при поступательном движении мерой инертности тела является его масса, а при вращательном − его момент инерции.
12.5.
Случаи сохранения кинетического момента
Рассмотрим следствие из теоремы о сохранении кинетического момента:
Следствие
Если главный момент внешних сил относительно какой
-
либо оси все время равен нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси остается неизменным.
Действительно, если то и 1.
Если механическая система представляет собой одно неизменяемое тве
р-
дое тело, то и поэтому , то есть тело вращается равномерно.
2.
Если система изменяема, то из следует, что увеличение м
о-
мента инерции вызывает уменьшение угловой скорости (и наоборот).
3.
Если система состоит из двух (или нескольких) вращающихся тел с одной осью вращения, то из следует, что , и, следов
а-
тельно,
вращение одного тела будет вызывать вращение второго тела с угловой скоростью
.
57
13.
МОЩНОСТЬ И РАБОТА СИЛ
13.1.
Мощность силы. Работа силы
Мощностью силы
называется величина, равная скалярному произвед
е-
нию силы на скорость точки ее приложения:
Мощность может быть как положительной,
так и отрицательной
.
Размерность мощности Работой силы за некоторый промежуток времени называется вел
и-
чина, равная интегралу от мощности силы по времени:
, и следовательно Выраже
ние под знаком интеграла в
есть работа за бесконечно малый пром
е-
жуток времени, которую называют элементарной работой:
Если мощность постоянна, то .
Размерность работы
.
13.2.
Частные случаи вычисления мощ
но
сти и работы силы
Работа силы, действующей на вращающееся пластину
Показанную на рисунке с
илу, действующ
ую на вращающееся те
ло
, разложим на составляющие по естественным осям:
.
Мощность имеет только . Эта м
ощнос
ть равна , где .
Следовательно, , но .
Таким образом, мощность силы равна произвед
е-
нию момента силы относительно оси вращения на угловую скорость тела:
58
.
Знак '+' соответствует случаю разгоняющей силы, а '
-
' ─ тормозящей силы.
Если на тело действует не сила, а пара сил с вращающим моментом М, то его мощность определяется аналогично:
.
Если учесть, что , то элементарная работа будет равна , а полная работа момента получится путем интегрирования:
.
Откуда при получится, что .
Работа силы тяжести
Сила тяжести постоянна по величине и по направлению, поэтому для вычи
с
ления раб
о-
ты применим формулу
.
Тогда
Поскольку , то
.
Знак 'плюс
' соотв
етствует опускающемуся, а 'минус' -
его подъему.
Работа силы упругости
При растяжении (деформировании) в упругих элементах,
таких как тросы, стержни или пружины, возникает сила, препятствующая деформации.
При действии на тело силы в пружине
возникнет сила , которая в с
о-
стоянии равновесия системы сил будет равна .
Величина этой силы связана с деформацией законом Гука: где ─ деформация, отсчитываемая от нейтрального состояния, ─ проекция силы на ось деформируемого элемента,
─ коэффициент жесткости элемента, имеющий размерн
ость Н/м.
Тогда работа силы будет равна ,
откуда .
59
13.3.
Мощность и работа внутренних сил
Суммарная мощность внутренних сил может быть не равна нулю. Например, при выстреле из орудия , так как направления скоростей совпадают с направлением сил
. Но можно указать ряд случаев, когда внутре
н-
ние силы не работают, и и
с
пользовать это
при р
е-
шении задач.
1.
Суммы мощностей и работ внутренних сил в абсолютно твердом теле равны нулю.
2.
Можно показать, что не работают вну
тренние силы в нерастяжимой, абсолютно гибкой нити.
Механические системы, в которых суммарная мощность и работа вну
т-
ренних сил равна нулю называют неизменяемыми.
Признаки неизменяемых механических систем:
1.
Они должны состоять из абсо
лютно твердых тел и абсолютно ги
б-
ких нерастяжимых нитей.
2.
При взаимодействии тел системы должно отсутствовать взаимное проскальзывание.
В примере с орудием нарушены оба признака: газ расширяется, снаряд пр
о-
скальзывает по стволу.
14.
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
14.1.
Кин
етическая энергия
Кинетической энергией материальной точки называется величина, равная половине произведения массы точки на квадрат скорости:
Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий ее точек
Кинетическая энергия твердого тела вычисляется по аналогичной формуле с той разницей, что сумма заменяется интегралом:
где m
─ масса бесконечно малого объема тела, а v
─ его скорость.
60
Примечания:
Кинетическая энергия не может быть отрицательной;
Кинетическая энергия (так же как и скорость) зависит от выбора си
с-
темы отсчета.
Размерность кинетической энергии ─ джоуль:
Рассмотрим, как записывается кинетическая энергия при различных
формах движения тела.
Поступательное движение тела
При поступательном движении скорости всех точек тела одинаковы и совп
а-
дают со скоростью це
нтра масс. По этой причине формула упрощается:
Вращательное движени
е тела
При вращательном движении путем интегрирования получим, что Плоскопараллельное движение тела
При рассмотрении плоского движения тела применим теорему Кенига:
Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетич
е-
ской энергии поступательной части движения и кинетической энергии системы в ее относительном движении относительно центра масс.
,
где скорость центра массы тела, а момент инерции тела отн
о-
сительно оси, проходящей через центр массы тела перпендикулярно оси вращения.
14.2.
Теорема об изменении кинетической энергии в дифференциал
ь-
ной форме
Производная по времени от кинетической энергии механической сист
е-
мы равна сумме мощностей всех действующих в системе сил:
или, после разделения мощностей внешних и внутренних сил:
Дл
я неизменяемых систем, где внутренние силы не работают, получим:
61
Вывод
:
Величина мощности определяет
скорость изменения кинетич
е-
ской энергии.
14.3.
Теорема об изменении кинетической энергии в интегральной форме
Изменение кинетической энергии механической системы за некоторый пр
о-
межуток времени равно сумме работ всех действующих в системе сил:
Или, выделяя отдельно работы внешних и внутренних сил:
где T
─ начальное, а T
0
─ конечное значение кинетической энергии.
Для неизменяемых систем можно записать:
Автор
SeHt
SeHt11   документов Отправить письмо
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
420
Размер файла
3 664 Кб
Теги
termeh_lek
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа