close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

ответы на билеты по физике

код для вставкиСкачать
Ответы на билеты по механике и термодинамике
1. Кинематика
материальной
точки
. Система
отсчета
. Траектория
, перемещение
,
скорость
, ускорение
. Равномерное
и
равнопеременное
прямолинейное
движение
.
2. Криволинейное
движение
. Нормальное
и
тангенсальное
ускорения
.
3. Движение
точки
по
окружности
. Угловые
перемещение
, ускорение
, скорость
. Связь
между
линейными
и
угловыми
характеристиками
.
4. Динамика
материальной
точки
. Инерциальные
системы
отсчета
и
первый
закон
Ньютона
.
5. Фундаментальные
взаимодействия
. Силы
различной
природы
(
упругие
,
гравитационные
, трения
). Второй
закон
Ньютона
. Масса
. Третий
закон
Ньютона
.
6. Импульс
системы
материальных
точек
. Уравнение
движения
центра
масс
. Закон
сохранения
импульса
.
7. Уравнение
движения
тела
переменной
массы
( уравнение
Мещерского
).
8. Момент
импульса
и
момент
силы
. Уравнение
моментов
. Закон
сохранения
момента
импульса
. Гироскопические
явления
.
9. Вращение
твердого
тела
вокруг
неподвижной
оси
. Основной
закон
динамики
вращательного
движения
абсолютно
твердого
тела
. Момент
инерции
.
10. Расчет
момента
инерции
тел
простой
формы
. Теорема
Штейнера
.
11. Кинетическая
энергия
материальной
точки
и
абсолютно
твердого
тела
.
12. Работа
переменной
силы
, мощность
. Потенциальные
и
непотенциальные
поля
.
Консервативные
и
диссипативные
силы
. Потенциальная
энергия
.
13. Закон
всемирного
тяготения
. Поле
тяготения
, его
напряженность
и
потенциальная
энергия
гравитационного
взаимодействия
.
14. Работа
по
перемещения
тела
в
поле
тяготения
. Космические
скорости
.
15. Соударения
тел
. Упругое
и
неупругое
взаимодействия
.
16. Колебательное
движение
и
его
характеристики
: смещение
, амплитуда
, фаза
,
циклическая
частота
, период
, скорость
, ускорение
.
17. Векторные
диаграммы
для
представления
гармонических
колебаний
.
Дифференциальное
уравнение
гармонических
колебаний
. Энергия
колебательного
движения
.
18. Пружинный
и
физический
маятники
.
19. Сложение
параллельных
колебаний
одинаковой
и
разной
частоты
. Биения
.
Сложения
колебаний
одинаковой
частоты
Сложение
колебаний
разной
частоты
20. Сложение
взаимно
перпендикулярных
колебаний
. Фигуры
Лиссажу
.
21. Свободные
затухающие
колебания
. Характеристики
затухания
: коэффициент
затухания
, время
релаксации
, декремент
затухания
, добротность
колебательной
системы
.
22 Вынужденные
колебания
. Резонанс
.
24. Термодинамическая
система
параметры
состояния
термодинамической
системы
.
Основные
положения
молекулярно
-
кинетической
теории
газов
.
25. Закон
равномерного
распределения
энергии
по
степеням
свободы
молекул
.
Основное
уравнение
молекулярно
-
кинетической
теории
газов
.
26. Закон
Максвелла
распределения
молекул
по
скоростям
теплового
движения
.
Барометрическая
формула
. Распределение
Больцмана
.
27. Среднее
число
столкновений
и
средняя
длина
свободного
движения
молекул
.
28. Первый
закон
термодинамики
. Работа
, теплота
, теплоемкость
, ее
виды
.
29. Политропный
процесс
, его
частные
случаи
: изобарный
, изотермический
,
адиабатный
, изохорный
.
30. Второй
закон
термодинамики
. Энтропия
. Тепловые
двигатели
и
холодильные
машины
. Цикл
Карно
.
1. Кинематика
материальной точки. Система отсчета. Траектория, перемещение, скорость,
ускорение. Равномерное и равнопеременное прямолинейное движение.
Кинематика точки́
— раздел кинематики, изучающий ма
тематическое описание движения материальных
точек. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без
выяснения причин, вызывающих это движение.
Основная задача механики
– определить положение тела в любой момент времени.
Механическое движение
– это изменение положения тела в пространстве с течением времени относительно
других тел.
Материальная точка
– тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.
Система отсчета
– тело отсчета, система координат, связанная с ним, и прибор для измерения времени.
Перемещение
– направленный отрезок (вектор) между начальным и конечным положением тела.
Траектория (l)
– линия, вдоль которой движется тело.
Путь (S)
– длина траектории.
Скорость (V)
– величина, показывающая какой путь проходит тело за единицу времени.
●
Скорость движения ●
Средняя путевая скорость ●
Мгновенная скорость/ скорость движения За единицу скорости
принимают скорость такого равномерного прямолинейного движения, при котором тело за
одну секунду перемещается на один метр.
Ускорение
– это величина, показывающая, как изменяется скорость за одну секунду.
Равномерное прямолинейное движение
Равномерным прямолинейным движением называется такое прямолинейное движение, при котором материальная
точка (тело) движется по прямой и в любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.
Вектор скорости равномерного прямолинейного движения материальной точки направлен вдоль ее траектории в
сторону движения. Вектор скорости при равномерном прямолинейном движении равен вектору перемещения за
любой промежуток времени, поделенному на этот промежуток времени:
Примем линию, по которой движется материальная точка, за ось координат ОХ, причем за положительное
направление оси выберем направление движения точки. Тогда, спроецировав векторы r и v, на эту ось, для
проекций ∆rx = |∆r| и ∆vx = |∆v| этих векторов мы можем записать:
, отсюда получаем уравнение равномерного движения: Т.к. при равномерном прямолинейном движении S = |∆r|, можем записать: Sx = Vx · t. Тогда для координаты тела
в любой момент времени имеем:
где - координата тела в начальный момент t = 0.
Равнопеременное прямолинейное движение
Равнопеременным называется движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные
промежутки времени изменяется одинаково, т.е. на равные величины. Это движение может быть
равноускоренным и равнозамедленным.
Если направление ускорения а совпадает с направлением скорости V точки, движение называется
равноускоренным
. Если направление векторов а и V противоположны, движение называется
равнозамедленным.
При равнопеременном прямолинейном движении ускорение остается постоянным и по модулю и по направлению
(а = const). При этом среднее ускорение а
ср
равно мгновенному ускорению а вдоль траектории точки. Нормальное
ускорение при этом отсутствует (а
n
=0).
Изменение скорости ∆v = v - v
0
в течении промежутка времени ∆t = t - t
0
при равнопеременном прямолинейном
движении равно: ∆v = a·∆t, или v - v
0
= a·(t - t
0
). Если в момент начала отсчета времени (t
0
) скорость точки равна v
0
(начальная скорость) и ускорение а известно, то скорость v в произвольный момент времени t: v = v
0
+ a·t.
Проекция вектора скорости на ось ОХ связана с соответствующими проекциями векторов начальной скорости и
ускорения уравнением: v
х
= v
0х
± a
х
·t. Аналогично записываются уравнения для проекций вектора скорости на
другие координатные оси.
Вектор перемещения ∆r точки за промежуток времени ∆t = t - t
0
при равнопеременном прямолинейном движении
с начальной скоростью v
0
и ускорением а равен:
а его проекция на ось ОХ (или перемещение точки вдоль соответствующей оси координат) при t
0
= 0 равна:
Путь S
x
, пройденный точкой за промежуток времени ∆t = t - t
0
в равнопеременном прямолинейном движении с
начальной скоростью v
0
и ускорением а, при t
0
= 0 равен:
Так как координата тела равна х = х
0
+ S, то уравнение движения тела имеет вид:
Возможно так же при решении задач использовать формулу:
2. Криволинейное движение. Нормальное и тангенсальное ускорения.
Криволинейные движения
– движения, траектории которых представляют собой не прямые, а кривые линии. По
криволинейным траекториям движутся планеты, воды рек. Криволинейное движение – это всегда движение с ускорением, даже если по модулю скорость постоянна.
Криволинейное движение с постоянным ускорением всегда происходит в той плоскости, в которой находятся
векторы ускорения и начальные скорости точки. В случае криволинейного движения с постоянным ускорением в
плоскости XOY проекции vx и vy ее скорости на оси Ox и Oy и координаты x и y точки в любой момент времени
t определяется по формулам:
Частным случаем криволинейного движения – является движение по окружности. Движение по окружности, даже
равномерное, всегда есть движение ускоренное: модуль скорости все время направлен по касательной к
траектории, постоянно меняет направление, поэтому движение по окружности всегда происходит с
центростремительным ускорением.
где r – радиус окружности.
Вектор ускорения при движении по окружности направлен к центру окружности и перпендикулярно вектору
скорости. При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих:
- нормальное (центростремительное) ускорение, направлено к центру кривизны траектории и характеризует
изменение скорости по направлению:
v – мгновенное значение скорости, r – радиус кривизны траектории в данной точке.
- тангенциальное (касательное) ускорение, направлено по касательной к траектории и характеризует изменение
скорости по модулю.
Полное ускорение, с которым движется материальная точка, равно:
3. Движение точки по окружности. Угловые перемещение, ускорение, скорость. Связь между
линейными и угловыми характеристиками.
Частным случаем криволинейного движения – является движение по окружности. Движение по окружности, даже
равномерное, всегда есть движение ускоренное: модуль скорости все время направлен по касательной к
траектории, постоянно меняет направление, поэтому движение по окружности всегда происходит с
центростремительным ускорением.
где r – радиус окружности.
Вектор ускорения при движении по окружности направлен к центру окружности и перпендикулярно вектору
скорости. Кроме центростремительного ускорения, важнейшими характеристиками равномерного движения по окружности
являются период и частота обращения. Вращательное движение тела или точки характеризуется углом поворота, угловой скоростью и угловым
ускорением.
Угол поворота φ
- это угол между двумя последовательными положениями радиуса вектора r, соединяющего
тело или материальную точку с осью вращения. Угловое перемещение измеряется в радианах.
Угловая скорость (w)
– векторная физическая величина, показывающая, как изменяется угол поворота в
единицу времени и численно равная первой производной от угла поворота по времени, т.е
. Направление вектора угловой скорости совпадает с направлением вектора углового перемещения,
т.е.
вектора, численно равного углу φ и параллельного оси вращения; оно определяется по правилу буравчика: если
совместить ось буравчика с осью вращения и поворачивать его в сторону движения вращающейся точки, то
направление поступательного перемещения буравчика определит направление вектора угловой скорости. Точка
приложения вектора произвольна, это может быть любая точка плоскости, в которой лежит траектория движения.
Удобно совмещать этот вектор с осью вращения. При равномерном вращении численное значение угловой скорости не меняется, т.е. ω = const. Равномерное
вращение характеризуется:
- периодом вращения Т, т.е. временем, за которое тело делает один полный оборот, период обращения измеряется
в с;
- частотой, измеряемой в Гц и показывающей число оборотов в с;
- круговой (циклической,угловой) частотой (это та же самая угловая скорость).
Угловая скорость
может меняться как по величине, так и по направлению. Векторная величина,
характеризующая изменение угловой скорости в единицу времени и численно равная второй производной от
углового перемещения по времени, называется угловым ускорением:
Если положение и радиус окружности, по которой происходит вращение не изменяется со временем, то
направление векторов углового ускорения и угловой скорости совпадают, если вращение ускоренное, и
противоположны, если вращение замедленное. При равномерном движении по окружности тангенциальная составляющая ускорения равна нулю, т.е. модуль
линейной скорости постоянен и определяется соотношением Но т.к. направление скорости постоянно
изменяется, то существует нормальное ускорение Т.о., линейная скорость направлена по касательной к
окружности в каждой точке по движению; ускорение перпендикулярно скорости и направлено к центру
кривизны.
Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение
Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости v, которые непрерывно изменяют
свое направление и зависят от угловой скорости ω и расстояния r соответствующей точки до оси вращения.
Точка, находящаяся на расстоянии r от оси вращения проходит путь ΔS = rΔφ. Поделим обе части равенства на
Переходя к пределам при , получим или .
Таким образом, чем дальше отстоит точка от оси вращения, тем больше ее линейная скорость. По определению
ускорения, или что значения линейной скорости, тангенциального и нормального ускорений растут по мере удаления от оси
вращения. Формула устанавливает связь между модулями векторов v, r, ω, которые перпендикулярны
друг к другу.
4. Динамика материальной точки. Инерциальные системы отсчета и первый закон Ньютона.
Динамика изучает движение тела в связи с теми причинами (взаимодействиями между телами), которые
обуславливают тот или иной характер движения.
В основе классической (ньютоновской) механики лежат три закона динамики, сформулированные Ньютоном в
1687 г. Эти законы возникли как результат обобщения большого количества опытных фактов.
Инерциальные системы отсчета и первый закон Ньютона:
Формулировка первого закона Ньютона такова: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и
прямо
линейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Оба
названных состояния отличаются тем, что ускорение тела равно нулю. Поэтому формулировке первого закона
можно придать следующий вид: скорость любого тела остается постоянной, пока воздействие на это тело других
тел не вызовет ее изменения. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета. Рассмотрим две системы отсчета, движущиеся
друг относительно друга с некоторым ускорением. Если относительно одной из них тело покоится, то
относительно другой оно, очевидно, будет двигаться с ускорением. Следовательно, первый закон Ньютона не
может выполняться одновременно в обеих системах.
Система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона, называется инерциальной, поэтому первый
закон называют иногда законом инерции. Система отсчета, в которой первый закон Ньютона не выполняется,
называется неинерциальной системой отсчета. Инерциальных систем существует бесконечное множество. Любая
система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы прямолинейно и равномерно, будет
также инерциальной. Опытным путем установлено, что система отсчета, центр которой совмещен с Солнцем, а оси направлены на
соответствующим образом выбранные звезды, является инерциальной. Эта система называется
гелиоцентрической (гелиос - по-гречески солнце). Любая система отсчета, движущаяся равномерно и
прямолинейно относительно гелиоцентрической системы, будет инерциальной.
Земля движется относительно Солнца и звезд по криволинейной траектории, имеющей форму эллипса.
Криволинейное движение всегда происходит с некоторым ускорением. Кроме того, Земля совершает вращение
вокруг своей оси. По этим причинам система отсчета, связанная с земной поверхностью, движется с ускорением
относительно гелиоцентрической системы отсчета и не является инерциальной. Однако ускорение такой системы
настолько мало, что в большом числе случаев ее можно считать практически инерциальной. Но иногда
неинерциальность системы отсчета, связанной с Землей, оказывает существенное влияние на характер
рассматриваемых относительно нее механических явлений.
5. Фундаментальные взаимодействия. Силы различной природы(упругие, гравитационные,
трения). Второй закон Ньютона. Масса. Третий закон Ньютона.
Фундаментальные взаимодействия́ ́
— различные, не сводящиеся друг к другу типы взаимодействия
элементарных частиц и составленных из них тел. На сегодня достоверно известно существование четырех
фундаментальных взаимодействий: гравитационного, электромагнитного, сильного и слабого взаимодействий.
Гравитация (всемирное тяготение, тяготение) (от лат. gravitas — «тяжесть»)́ ́ ́ ́
— дальнодействующее
фундаментальное взаимодействие в природе, которому подвержены все материальные тела.
Электромагнитное взаимодействие
— одно из четырёх фундаментальных взаимодействий. Электромагнитное
взаимодействие существует между частицами, обладающими электрическим зарядом.
Сильное взаимодействие (цветовое взаимодействие, ядерное взаимодействие)́ ́ ́ ́ ́ ́
— одно из четырёх
фундаментальных взаимодействий в физике. Сильное взаимодействие действует в масштабах атомных ядер и
меньше, отвечая за притяжение между нуклонами в ядрах и между кварками в адронах.
Слабое взаимодействие, или слабое ядерное взаимодействие
— одно из четырех фундаментальных
взаимодействий в природе. Оно ответственно, в частности, за бета-распад ядра. Это взаимодействие называется
слабым, поскольку два других взаимодействия, значимые для ядерной физики (сильное и электромагнитное),
характеризуются значительно большей интенсивностью.
Второй закон Ньютона:
Второй закон Ньютона описывает движение частицы, вызванное влиянием окружающих тел, и устанавливает
связь между ускорением частицы, ее массой и силой, с которой на нее действуют эти тела: Если на частицу с массой т окружающие тела действуют с силой , то эта частица приобретает такое ускорение , что произведение ее массы на ускорение будет равно действующей силе. Математически второй закон Ньютона записывается в виде: На основе этого закона устанавливается единица силы — 1 Н (ньютон). 1 Н — это сила, с которой нужно
действовать на тело массой 1 кг, чтобы сообщить ему ускорение 1 м/с
2
. Если сила , с которой тела действуют на данную частицу, известна, то записанное для этой частицы уравнение
второго закона Ньютона называют ее уравнением движения. Второй закон Ньютона утверждает, что скорость изменения импульса тела равна действующей на тело силе: это уравнение называется уравнением движения тела.
Второй закон Ньютона часто называют основным законом динамики, так как именно в нем находит наиболее
полное математическое выражение принцип причинности и именно он, наконец, позволяет решить основную
задачу механики. Для этого нужно выяснить, какие из окружающих частицу тел оказывают на нее существенное
действие, и, выразив каждое из этих действий в виде соответствующей силы, следует составить уравнение
движения данной частицы. Из уравнения движения (при известной массе) находится ускорение частицы. Зная же
ускорение можно определить ее скорость, а после скорости — и положение данной частицы в любой момент
времени. Практика показывает, что решение основной задачи механики с помощью второго закона Ньютона всегда
приводит к правильным результатам. Это и является экспериментальным подтверждением справедливости
второго закона Ньютона.
Масса
в механике – это мера инертности тела; мера гравитационных свойств.
Третий закон Ньютона ( не вып-ся в электродинамике)
Третий закон Ньютона утверждает, что силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела,
равны по величине и противоположны по направлению, т.е.
Из третьего закона Ньютона вытекает, что силы возникают попарно: всякой силе, приложенной к какому-то телу,
можно сопоставить равную ей по величине и противоположно направленную силу, приложенную к другому телу,
взаимодействующему с данным.
6. Импульс системы материальных точек. Уравнение движения центра масс. Закон сохранения
импульса.
Импульсом
, или количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная
произведению массы материальной точки m на скорость ее движения v.
– для материальной точки;
– для системы материальных точек (через импульсы этих точек);
– для системы материальных точек (через движение центра масс).
Центром масс системы
называется точка С, радиус-вектор r
C
которой равен
,где Уравнение движения центра масс:
Смысл уравнения таков: произведение массы системы на ускорение центра масс равно геометрической сумме
внешних сил, действующих на тела системы. Как видим, закон движения центра масс напоминает второй закон
Ньютона. Если внешние силы на систему не действуют или сумма внешних сил равна нулю, то ускорение центра
масс равно нулю, а скорость его неизменна во времени по модулю и наплавлению, т.е. в этом случае центр масс
движется равномерно и прямолинейно.
В частности, это означает, что если система замкнута и центр масс ее неподвижен, то внутренние силы системы
не в состоянии привести центр масс в движение. На этом принципе основано движение ракет: чтобы ракету
привести в движение, необходимо выбросить выхлопные газы и пыль, образующиеся при сгорании топлива, в
обратном направлении.
Закон Сохранения Импульса Для вывода закона сохранения импульса рассмотрим некоторые понятия. Совокуп ность материальных точек
(тел), рассмат риваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодей ствия между
материальными точками ме ханической системы называются внутрен ними. Силы, с которыми на материальные
точки системы действуют внешние тела, называются внешними. Механическая система тел, на которую не
действуют
внешние силы, называется замкнутой (или изолированной). Если мы имеем механиче скую систему, состоящую
из многих тел, то, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и
противоположно направле ны, т. е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.
Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скорость которых соответственно равны т
1
, m
2
, .
.., т
n
и v
1
, v
2
, .. ., v
n
. Пусть F
'
1
, F
'
2
, ..., F
'
n
— равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих
тел, a f
1
, f
2
, ..., F
n
— равнодействующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел
механической системы:
d/dt(m
1
v
1
)=
F
'
1
+
F
1
,
d/dt(m
2
v
2
)=
F'
2
+
F
2
,
d/dt(m
n
v
n
)= F
'
n
+
F
n
.
Складывая почленно эти уравнения, получим
d/dt (m
1
v
1
+m
2
v
2
+... + m
n
v
n
) = F
'
1
+
F
'
2
+...+ F
'
n
+
F
1
+
F
2
+...+ F
n
.
Но так как геометрическая сумма внутрен них сил механической системы по третьему закону Ньютона равна
нулю, то
d/dt(m
1
v
1
+m
2
v
2
+ ... + m
n
v
n
)= F
1
+ F
2
+...+ F
n
, или
dp/dt=
F
1
+ F
2
+...+ F
n
, (9.1)
где импульс системы. Таким образом, производная по времени от им пульса механической системы равна гео
метрической сумме внешних сил, действующих на систему.
В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)
Это выражение и является законом сохранения импульса:
импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не
изменяется с течением времени.
Закон сохранения импульса справед лив не только в классической физике, хотя он и получен как следствие
законов Ньютона. Эксперименты доказывают, что он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц (они
подчиняются законам квантовой механики). Этот закон носит универсальный характер, т. е. закон со хранения
импульса — фундаментальный закон природы.
7. Уравнение движения тела переменной массы ( уравнение Мещерского).
Уравнения движения тел с переменной массой являются следствиями законов Ньютона. Тем не менее, они
представляют большой интерес, главным образом, в связи с ракетной техникой.
Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы),
воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной
силой, в свою очередь, действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. Если нет
внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы
не может меняться во времени. На этом положении и основана теория движения ракет.
Основное уравнение движения тела переменной массы при любом законе изменения массы и при любой
относительной скорости выбрасываемых частиц было получено В. И. Мещерским в его диссертации 1897 г. Это
уравнение имеет следующий вид:
где – вектор ускорения ракеты, –– вектор скорости истечения газов относительно ракеты, M- масса ракеты в
данный момент времени, –– ежесекундный расход массы, - внешняя сила.
По форме это уравнение напоминает второй закон Ньютона, однако, масса тела m здесь меняется во времени
из-за потери вещества. К внешней силе F добавляется дополнительный член, который называется реактивной
силой.
8. Момент импульса и момент силы. Уравнение моментов. Закон сохранения момента импульса.
Гироскопические явления.
Моментом импульса (
моментом количества движения
)
материальной точки относительно неподвижной
точки О называется вектор L, равный векторному произведению радиус-вектора r, проведенного из точки О в
место нахождения материальной точки, на вектор p ее импульса
Момент импульса системы относительно неподвижной точки
Если тело вращается вокруг одной из главных осей инерции, то направление вектора момента импульса тела
совпадает с направлением вектора его угловой скорости, а значение момента импульса может быть выражено
через момент инерции
Моментом силы F
относительно неподвижной точки О называется
векторная величина
М
, равная
векторному произведению радиус-вектора
r
, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на вектор
силы F
(
правило рычага
)
Модуль момента силы
где l
– длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы.
Главным моментом силы
(
результирующим моментом
) нескольких сил относительно неподвижной точки О
(полюса) называется вектор М
, равный геометрической сумме
моментов
относительно точки О всех
действующих сил
Моментом силы F
относительно неподвижной а
называется
величина
М
а
, равная проекции на эту ось
вектора М момента силы F относительно произвольной точки О на оси
а
Если линия действия силы пересекает ось или параллельна ей, то момент силы относительно этой оси равен
нулю.
Уравнение моментов:
Первая производная по времени t от момента импульса L механической системы относительно любой
неподвижной точки О равна
главному моменту М
внешн
относительно той же точки О всех внешних сил,
приложенных к системе (основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной
точки)
Момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной точки не изменяется с
течением времени (закон сохранения момента импульса)
и гироскопы — массивные од нородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью около своей оси сим
метрии, являющейся свободной осью.
Если момент внешних сил, приложенных к вращающемуся гироскопу относительно его центра масс, отличен от
нуля, то наблюдается явле ние, получившее название гироскопичес кого эффекта. Оно состоит в том, что под
действием пары сил F, приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось ги роскопа поворачивается вокруг
прямой О
3
О
3
, а не вокруг прямой О
2
О
2
, как это казалось бы естественным на первый взгляд (O
1
O
1
и О
2
О
2
лежат в
плоскости чертежа, а О
3
О
3
и силы F перпендикуляр ны ей).
9. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Основной закон динамики вращательного
движения абсолютно твердого тела. Момент инерции.
Движение твердого тела, при котором все точки прямой АВ, жестко связанной с телом, остаются неподвижными,
называется вращением тела вокруг неподвижной оси АВ
.
Такое твердое тело имеет одну степень свободы и его положение в пространстве полностью определяется
значением угла поворота вокруг оси вращения из некоторого, условно выбранного, начального положения этого
тела. Мерой перемещения тела за малый промежуток времени dt полагают вектор элементарного поворота
тела. По модулю он равен углу поворота тела за время dt, а его направление совпадает с направлением
поступательного движения правого буравчика, направление вращения рукоятки которого совпадает с
направлением вращения тела (рис. 1). Вектор угловой скорости I
zz – момент инерции относительно неподвижной оси.
Основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси OZ
или где – угловое ускорение тела.
Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси а
называется физическая
величина J
a
, равная сумме произведений масс m всех n материальных точек системы на квадраты их
расстояний r до оси
10. Расчет момента инерции тел простой формы. Теорема Штейнера.
Момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J
c
относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы
тела m на квадрат расстояния
d между осями
(
теорема Гюйгенса-Штейнера
)
Доказательство:
с – центр масс
I
c
, m, d I=?
Моменты инерции тел простой формы
Тело
Положение оси а
Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр
радиуса R и массы m
Ось цилиндра
Сплошной цилиндр (диск)
радиуса R и массы m
Ось цилиндра
Шар радиуса R и массы m
Ось проходит через центр шара
Тонкостенная сфера радиуса R
и массы m
Ось проходит через центр сферы
Прямой тонкий стержень
длины l и массы m
Ось перпендикулярна к стержню
и проходит через его середину
Тот же стержень
Ось перпендикулярна к стержню
и проходит через его конец
11. Кинетическая энергия материальной точки и абсолютно твердого тела.
Кинетическая энергия, энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. К. э. Е
кин
материальной точки
измеряется половиной произведения массы m этой точки на квадрат её скорости V, т. е. или Кинетическая энергия твердого тела, совершающая одновременно поступательное и вращательное
движение
Вращательное движение При вращении вокруг неподвижной оси 1) если точка О совпадает с центром масс
2) 3) Плоское движение
12. Работа переменной силы, мощность. Потенциальные и непотенциальные поля.
Консервативные и диссипативные силы. Потенциальная энергия.
1.
Элементарной работой силы F
на малом перемещении d
r
называется скалярная величина
где r
и соответственно радиус-вектор и скорость точки приложения силы, а dt
– малый промежуток времени, за
который сила F
совершает работу А.
Другой вид элементарной работы силы F
где ds
= |
d
r|
- элементарная длина пути точки приложения силы F
за рассматриваемый малый промежуток
времени dt
, - угол между векторами F
и d
r
, а F
= F
cos - проекция силы на направление перемещения d
r
.
Сила, нормальная к траектории перемещения точки, работы не совершает.
Если на систему действуют несколько сил
, то элементарная работа, совершаемая ими за малое время dt
, равна
алгебраической сумме работ, совершаемых за это же время dt
каждой из сил порознь,
Из второго закона Ньютона следует
а из закона движения центра масс
Работа А, совершаемая силой F на конечном участке траектории L точки ее приложения, равна алгебраической
сумме элементарных работ на всех малых частях этого участка
где s
– длина дуги, отсчитываемая вдоль траектории от начала рассматриваемого участка, F
- проекция силы на
направление перемещения d
r
точки ее приложения.
2.
Потенциальными (консервативными) силами
называются такие силы, работа которых зависит только от
начальных и конечных положений точек их приложения и не зависит ни от вида траекторий этих точек, ни от
законов их движения по траекториям.
Консервативные силы – гравитационные, электростатические.
Потенциальные силы создают стационарное поле
, в котором работа силы зависит только от начального и
конечного положений перемещаемой точки
Работа потенциальной силы при перемещении точки по замкнутой траектории L равна нулю
Если внешние тела, создающие рассматриваемое поле, могут двигаться относительно инерциальной системы, то
это поле не будет стационарным. Но нестационарное поле
потенциально, если работа, совершаемая силой F при
мгновенном переносе точки ее приложения вдоль любой траектории L, равна нулю
К непотенциальным
относятся диссипативные и гироскопические силы. Диссипативными силами называются
силы, суммарная работа которых при любых перемещениях замкнутой системы всегда отрицательна (например,
силы трения). Гироскопическими силами
называются силы, зависящие от скорости материальной точки, на
которую они действуют, и направленные перпендикулярно к этой скорости (например, сила Лоренца,
действующая со стороны магнитного поля на движущуюся в нем заряженную частицу). Работа гироскопических
сил всегда равна нулю.
3.
Мощностью (мгновенной мощностью)
называется скалярная величина N
, равная отношению элементарной
работы А
к малому промежутку времени dt
, в течение которого эта работа совершается.
Средней мощностью называется величина<N>, равная отношению работы А, совершаемой за промежуток
времени t
, к продолжительности этого промежутка
4.
Потенциальной энергией
называется часть энергии механической системы, зависящая только от ее
конфигурации. Убыль потенциальной энергии при перемещении системы из одного произвольного
положения в другое произвольное положение измеряется работой, которую совершают при этом все
стационарные потенциальные силы (внешние и внутренние), действующие на систему
где W
п
(1) и W
п
(2) – значения потенциальной энергии системы в начальном и конечном положениях.
При малом изменении конфигурации системы
Для нестационарных потенциальных сил
Потенциальная энергия материальной точки W
п
связана с силовой функцией соответствующего потенциального
поля соотношением
или
где С
– постоянная интегрирования.
13. Закон всемирного тяготения. Поле тяготения, его напряженность и потенциальная энергия
гравитационного взаимодействия.
Между всякими двумя материальными точками действуют силы взаимного притяжения, которые прямо
пропорциональны массам точек и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними
(закон всемирного
тяготения)
.
где F – сила взаимного притяжения материальных точек, m
1
и m
2
их массы, r – расстояние между точками, G –
гравитационная постоянная (G =6.67*10
-11
м
3
/(кг*с
2
))
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ (поле тяготения),
один из видов поля физического, посредством которого
осуществляется гравитационное взаимодействие (притяжение) тел, например Солнца и планет Солнечной
системы, планет и их спутников, Земли и находящихся на ней или вблизи нее тел.
Силовой характеристикой полей служит напряженность
– векторная величина
где F – сила тяготения, действующая на материальную точку массой m, помещенную в некоторую точку поля.
Напряженность гравитационного поля, создаваемого планетой, массу M которой можно считать распределенной
сферически-симметрично.
где r –расстояние от центра планеты до интересующей нас точки поля, находящейся вне планеты.
Потенциалом гравитационного
поля называется скалярная величина
где П – потенциальная энергия материальной точки массой m, помещенной в данную точку поля.
Потенциал гравитационного поля, создаваемого планетой, массу M которой можно считать распределенной
сферически-симметрично.
где r – расстояние от центра планеты до интересующей нас точки поля, находящейся вне планеты.
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами m
1
и m
2
(шаров с
массой, распределенной сферически-симмитрично), находящихся на расстоянии r друг от друга.
Потенциальную энергию бесконечно удаленных друг от друга материальных точек принято считать равной нулю.
14. Работа по перемещения тела в поле тяготения. Космические скорости.
Гравитационные поля (поля тяготения) являются потенциальными, то есть работа поля по перемещению тела из
точки 1 в точку 2 не зависит от формы траектории, а определяется лишь разностью потенциальных энергий тела в
точках 1 и 2 соответственно: A
12
= П
1
– П
2
. Из этого равенства ясно, что определенный физический смысл имеет лишь разность потенциальных энергий в
различных точках поля. Численное же значение потенциальной энергии в отдельной точке особого смысла не
имеет, оно всегда определяется с точностью до некоторой постоянной величины. Вот почему при решении
конкретных задач нулевой уровень потенциальной энергии можно выбирать произвольно, в наиболее удобной
точке.
Космические скорости.
Первая космическая скорость
— скорость
, которую необходимо придать баллистическому снаряду,
пренебрегая сопротивлением атмосферы
и вращением планеты
, чтобы поместить его на круговую орбиту
с
радиусом
равном радиусу планеты. Иными словами, первая космическая скорость — это скорость, с которой надо
бросить камень в горизонтальном направлении, чтобы он больше не упал на Землю. Для вычисления первой
космической скорости необходимо рассмотреть равенство центробежной
силы
и силы
тяготения
действующих на
снаряд на круговой орбите.
где m
— масса снаряда, M
— масса планеты, G
— гравитационная
постоянная
(6,67259·10−11
м³·кг−1·с−2), —
первая космическая скорость, R
— радиус планеты. Подставляя численные значения (для Земли, M
=
5,97·1024
кг,
R
=
6
378
000
м), найдем
7,9
км/с Первую космическую скорость можно определить через ускорение
свободного
падения
— так как g
=
GM/R², то
. Первой космической скорости недоста точно для того, чтобы тело могло выйти из сферы земного притяжения.
Необходимая для этого скорость называется второй кос мической. Второй космической (или пара болической)
скоростью v
2
называют ту наименьшую скорость, которую надо со общить телу, чтобы оно могло преодолеть
притяжение Земли и превратиться в спут ник Солнца, т. е. чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала
параболической. Для того чтобы тело (при отсутствии со противления среды) могло преодолеть земное
притяжение и уйти в космическое пространство, необходимо, чтобы его кине тическая энергия была равна
работе, совершаемой против сил тяготения:
Между первой
и второй космическими скоростями существует простое соотношение:
Для того чтобы покинуть пределы солнечной системы, тело должно преодолеть, кроме сил притяжения к земле,
также и силы притяжения к Солнцу. Необходимая для этого скорость запуска тела с поверхности Земли
называется третьей космической скоростью
V3. Скорость V3 зависит от направления запуска. При запуске в
направлении орбитального движения Земли эта скорость минимальна и составляет около 17 км/с. При запуске в
направлении, противоположном направлению движения Земли, V3 равняется примерно 73 км/с.
15. Соударения тел. Упругое и неупругое взаимодействия.
Абсолютно неупругим ударом
,
называется столкновение двух тел, в результате которого они соединяются
вместе и движутся дальше как одно тело. Сталкивающиеся тела деформируются, возникают упругие силы и т.д. Однако если удар неупругий то, в конце
концов все эти процессы прекращаются, и в дальнейшем оба тела, соединившись вместе, движутся как единое
твёрдое тело.
v
1
v
2
m
1
m
2
Рассмотрим абс. неупругий удар
на примере столкновения двух шаров. Пусть они движутся вдоль прямой,
соединяющей их центры, со скоростями v
1
и v
2
. В этом случае говорят что удар является центральным.
Обозначим за V
общую скорость шаров после соударения. Закон сохр. Импульса даёт:
m
1
v
1
+m
2
v
2
=(m
1
+m
2
)
V V
=(m
1
v
1
+m
2
v
2
)
/
(m
1
+m
2
)
Кин. энергии системы до удара и после: K
1
=1/2(m
1
v
1
2
+m
2
v
2
2
) K
2
=1/2(m
1
+m
2
)
V
Пользуясь этими выраж. получаем: K
1
-K
2
=1/2
v
1
v
2
v
1
-v
2
) где
=m
1
m
2
/(m
1
+m
2
) приведенная масса шаров. Таким образом, при столкновении двух абсолютно неупругих
шаров происходит потеря кин. энергии макроскопического движения, равная половине произведения приведённой
массы на квадрат относительной скорости.
Абсолютно упругим ударом
называется столкновение тел, в результате которого их внутренние энергии не
меняются. Пример: Столкновение бильярдных шаров из слоновой кости, при столкновениях атомных, ядерных
частиц. Рассмотрим центральный удар двух шаров, движущ-ся навстречу друг другу:
(m
1
v
1
2
)/2+(m
2
v
2
2
)/2=(m
1
u
1
2
)/2+(m
2
u
2
2
)/2 и:
m
1
v
1
+m
2
v
2
=m
1
u
1
+m
2
u
2
u1=[(m
1
-m
2
)v
1
+2m
2
v
2
]
/
(m
1
+m
2
)
u2=[(m
2
-m
1
)v
2
+2m
1
v
1
]
/
(m
1
+m
2
)
При столкновении двух одинаковых абсолютно упругих шаров они просто обмениваются скоростями.
16. Колебательное движение и его характеристики: смещение, амплитуда, фаза, циклическая
частота, период, скорость, ускорение.
Колебания ́
— повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы.
Например, при колебаниях маятника повторяются отклонения его в ту и другую сторону от вертикального
положения; при колебаниях в электрическом колебательном контуре повторяются величина и направление тока,
текущего через катушку.
Колебания почти всегда связаны с попеременным превращением энергии одной формы проявления в другую
форму.
Классификации колебаний
Выделение разных видов колебаний зависит от свойства, которое хотят подчеркнуть.
Для подчёркивания разной физической природы колеблющихся систем выделяют
, например, колебания:
●
механические (звук, вибрация);
●
электромагнитные (свет, радиоволны, тепловые);
●
комбинации вышеперечисленных;
По характеру взаимодействия с окружающей средой
:
●
вынужденные – колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия;
●
собственные или свободные – колебания при отсутствии внешних сил, когда система, после
первоначального воздействия внешней силы, предоставляется самой себе (в реальных условиях
свободные колебания всегда затухающие);
●
автоколебания – колебания, при которых система имеет запас потенциальной энергии и она расходуется
на совершение колебаний (пример такой системы - механические часы).
Характеристики колебательного движения:
Смещение х
- отклонение колеблющейся точки от положения равновесия в данный момент времени (м).
Амплитуда А
– максимальное отклонение тела от положения равновесия. Если колебания незатухающие, то
амплитуда постоянна (м).
Период Т
— время, за которое совершается одно полное колебание. Выражается в секундах (с).
Фаза колебания
- физическая величина, определяющая смещение x в данный момент времени. Измеряется в
радианах (рад). Фаза колебания в начальный момент времени (t=0) называется начальной фазой. Частота — число полных колебаний за единицу времени. В СИ измеряется в герцах (Гц)
Циклическая частота колебаний ω
– это число полных колебаний, происходящих за 2π секунд.
Единица
циклической частоты – радиан в секунду (рад/с).
Скорость и ускорение при гармонических колебаниях.
Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону косинуса или синуса
(гармоническому закону), наз. гармоническими колебаниями
.
Согласно определению скорости, скорость
– это производная от координаты по времени.
Согласно определению ускорения, ускорение
– это производная от скорости по времени:
17. Векторные диаграммы для представления гармонических колебаний. Дифференциальное
уравнение гармонических колебаний. Энергия колебательного движения.
Векторные диаграммы для представления гармонических колебаний.
Колебаниями
называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во
времени.
Гармонические колебания
- колебания, при которых колеблющаяся величина изменятся со временем по закону
синуса (косинуса).
Гармонические колебания описываются уравнением типа:
x
=
A
cos (
0 t +
) , где x – смещение колеблющейся точки от положения равновесия.
А
- максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания
,
0 - круговая (циклическая) частота
, -
начальная фаза колебания
в момент времени t=0,
(
0
t +
) - фаза колебания
в момент времени t.
Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды
, или
методом векторных диаграмм
. Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси x
под углом ,
равным
начальной фазе колебания,
откладывается вектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания.
Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью 0
, равной циклической частоте колебаний, то
проекция конца вектора будет перемещаться по оси x
и принимать значения от -
А
до +
А , а колеблющаяся
величина будет изменяться со временем по закону s =
A
cos (
0
t +
). Таким образом, гармоническое колебание
можно представить проекцией на некоторую произвольно
выбранную ось вектора амплитуды А, отложенного из
произвольной точки оси под углом , равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью 0
вокруг
этой точки.
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки.
, или , где m – масса точки, k – коэффициент квазиупругой силы (k=mw
2
).
Решение:
кинематическое уравнение гармонических колебаний
Энергия колебательного движения.
Динамика гармонических колебаний:
18. Пружинный и физический маятники.
Пружинный маятник
Колебательная система в этом случае представляет собой совокупность некоторого тела и прикрепленной к нему
пружины. Пружина может располагаться либо вертикально (вертикальный пружинный маятник), либо
горизонтально (горизонтальный пружинный маятник).
где а
х
– ускорение, m - масса, х - смещение пружины, k – жесткость пружины.
Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника. Оно правильно описывает
рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:
1)силы трения, действующие на тело, пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать;
2) деформации пружины в процессе колебаний тела невелики, так что можно их считать упругими и в
соответствии с этим пользоваться законом Гука.
Закон Гука, устанавливает линейную зависимость между упругой деформацией твердого тела и приложенным
механическим напряжением. Напр., если стержень длиной l и поперечным сечением S растянут продольной
силой F, то его удлинение = Fl/ ES, где E — модуль упругости (модуль Юнга).
Свободные колебания пружинного маятника имеют следующие причины.
1. Действие на тело силы упругости, пропорциональной смещению тела х от положения равновесия и
направленной всегда к этому положению.
2. Инертность колеблющегося тела, благодаря которой оно не останавливается в положении равновесия (когда
сила упругости обращается в нуль), а продолжает двигаться в прежнем направлении.
Выражение для циклической частоты имеет вид:
где w - циклическая частота, k - жесткость пружины, m - масса.
Эта формула показывает, что частота свободных колебаний не зависит от начальных условий и полностью
определяется собственными характеристиками самой колебательной системы — в данном случае жесткостью k и
массой m.
Это выражение определяет период свободных колебаний пружинного маятника.
Физический маятник
Физический маятник - твердое тело, совершающее колебания в гравитационном поле вокруг горизонтальной оси
подвеса, расположенной выше его центра тяжести.
Положение равновесия: Основной закон динамики вращательного движения:
I – момент инерции
19. Сложение параллельных колебаний одинаковой и разной частоты. Биения.
Сложения колебаний одинаковой частоты
векторная диаграмма сложения колебаний:
1)
2)
Сложение колебаний разной частоты
Биения́
— явление, возникающее при наложении двух гармонических колебаний близкой частоты и
выражающееся в периодическом уменьшении и увеличении амплитуды суммарного сигнала. Частота изменения
амплитуды суммарного сигнала равна разности частот двух исходных сигналов.
Биения возникают от того, что один из двух сигналов постоянно отстаёт от другого по фазе и в те моменты, когда
колебания происходят синфазно, суммарный сигнал оказывается усилен, а в те моменты, когда два сигнала
оказываются в противофазе, они взаимно гасят друг друга. Эти моменты периодически сменяют друг друга по
мере того как нарастает отставание.
20. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.
1) w
1
=w
2 1’) 2’) 3’)
При A
1
=A
2 окружность
Фигуры Лиссажу́ ́
— замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два
гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Впервые изучены французским
учёным Ж. Лиссажу (J. Lissajous; 1822—80). Вид фигур зависит от соотношения между периодами (частотами),
фазами и амплитудами обоих колебаний. В простейшем случае равенства обоих периодов фигуры представляют
собой эллипсы, которые при разности фаз 0 или π вырождаются в отрезки прямых, а при разности фаз π/2 и
равенстве амплитуд превращаются в окружность. Если периоды обоих колебаний неточно совпадают, то разность
фаз всё время меняется, вследствие чего эллипс всё время деформируется. При существенно различных периодах
фигуры Лиссажу не наблюдаются. Однако, если периоды относятся как целые числа, то через промежуток
времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в то же
положение — получаются фигуры Лиссажу более сложной формы. Фигуры Лиссажу вписываются в
прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и
расположены по обе стороны от них на расстояниях, равных амплитудам колебаний.
21. Свободные затухающие колебания. Характеристики затухания: коэффициент затухания,
время релаксации, декремент затухания, добротность колебательной системы.
Затуханием колебаний
называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное
потерей энергии колебательной системой. Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы.
Система называется линейной, если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе
физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса. Свободные затухающие колебания линейной
системы описываются уравнением:
где - коэффициент затухания
, - собственная частота системы, т.е. частота, с которой совершались бы
колебания в отсутствии затухания. Выражение коэффициента затухания через параметры системы зависит от
вида колебательной системы. Для решения уравнения
производится подстановка .Эта подстановка приводит к характеристическому уравнению:
которое имеет два корня:
При не слишком большом затухании (при ) подкоренное выражение будет отрицательным. Если его
представить в виде где - вещественная положительная величина, называемая циклической частотой
затухающих колебаний и равная то корни уравнения запишутся в виде:
Общим решением уравнения будет функция: которую можно представить в виде:
Здесь
и - произвольные постоянные.
движение системы можно условно рассматривать как гармоническое колебание частоты w с амплитудой,
изменяющейся по закону:
Период затухающих колебаний определяется формулой:
При незначительном затухании период колебаний практически равен
Такое отношение амплитуд называется декрементом затухания
, а его натуральный логарифм -
логарифмическим декрементом затухания:
Логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за
которое амплитуда уменьшается в «e» раз. Помимо рассмотренных величин для характеристики колебательной системы употребляется величина
называемая добротностью колебательной системы
. Добротность пропорциональна числу колебаний,
совершаемых системой за то время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в «e» раз.
время релаксации
— время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз.
22 . .Вынужденныеколебания Резонанс
, , Колебания происходящиеподдействиемвнешнейпериодическойсилы называются
вынужденнымиколебаниями
. , ,Внешняяпериодическаясила называемаявынуждающей
, сообщаетколебательнойсистемедополнительнуюэнергию котораяидетнавосполнение
, - . энергетическихпотерь происходящихиз затрения Есливынуждающаясилаизменяетсяво
временипозаконусинусаиликоси
, нуса товынужденныеколебаниябудутгармоническимии
.незатухающими
, (В отличиеотсвободныхколебаний когдасистемаполучаетэнергиюлишьодинраз при
выведениисистемыизсо
), стоянияравновесия в случаевынужден
ныхколебанийсистема
. поглощаетэтуэнергиюотисточникавнешнейпериодическойсилынепрерывно Этаэнергия
, восполняетпотери расходуемыенапре
, одолениетрения ипотомуполнаяэнергия
no- колебательнойсистемы прежнемуос
.таетсянеизменной
Частота вынужденныхколебанийравначастоте вынуждающейсилы
. , В случаекогда
частотавынуждающейсилы
υ
совпадаетс собственнойчастотойколебательнойсистемы
0υ
,
происходитрез
— коевозрастаниеамплитудывынужденныхколебаний
резонанс
.
Резонанс
- , возникаетиз затого чтопри
υ
= 0 υ
, внешняясила действуяв тактсосвободными
, колебаниями всевремясонаправленасоскоростьюколеблющегосятелаисовершаетпо
-
: ложительнуюработу энергияколеблющегосяте
, лаувеличивается иамплитудаегоколебаний
. становитсябольшой Графикзависимостиамплитудывынужденныхколебаний
Ат
отчастоты
вынужда
ющейсилы
υ
, :представленнарисункеэтотграфикназываетсярезонанснойкривой
Явлениерезонансаиграетбольшуюрольв ря
, деприродных научныхипроизводственных
. , ,процессов Например необходимоучитыватьявлениерезонансаприпроектированиимостов
, , зданийидругихсооружений испытывающихвибрациюподнагрузкой в противномслучаепри
.определенныхусловияхэтисооружениямогутбытьразрушены
24. Термодинамическая система параметры состояния термодинамической системы. Основные
положения молекулярно-кинетической теории газов.
Термодинамическая система
— это любая область пространства, ограниченная действительными или
воображаемыми границами, выбранными для анализа её внутренних термодинамических параметров.
Пространство, смежное с границей системы, называется внешней средой
. У всех термодинамических систем есть
среда, с которой может происходить обмен энергии и вещества.
Границы термодинамической системы могут быть неподвижными или подвижными.
Системы могут быть большими или маленькими, в зависимости от границ.
Система может существовать в вакууме или может содержать несколько фаз одного или более веществ.
Термодинамические системы могут содержать сухой воздух и водяной пар (два вещества) или воду и водяной пар
(две стадии одного и того же вещества). Однородная система состоит из одного вещества, одной его фазы или
однородной смеси нескольких компонентов.
Системы бывают изолированными (замкнутыми) или открытыми. В изолированной системе не происходит
никаких обменных процессов с внешней средой. В открытой системе и энергия и вещество могут переходить из
системы в среду и обратно.
Состояние термодинамической системы определяется физическими свойствами вещества
. Температура,
давление, объем, внутренняя энергия, энтальпия и энтропия — это термодинамические величины, определяющие
те или иные интегральные параметры системы. Данные параметры строго определяются лишь для систем,
находящихся в состоянии термодинамического равновесия.
Различают экстенсивные параметры состояния, пропорциональные массе термодинамической системы, и
интенсивные параметры состояния, не зависящие от массы системы. К экстенсивным параметрам состояния.
относятся: объём, Внутренняя энергия, Энтропия, Энтальпия, изохорно-изотермический потенциал Гиббсова
энергия), изобарно-изометрический потенциал (Гельмгольцева энергия); к интенсивным параметрам состояния—
давление, температура, концентрация, магнитная индукция и др. параметры состояния взаимосвязаны, так что
равновесное состояние системы можно однозначно определить, установив значения ограниченного числа
параметров состояния.
В молекулярно-кинетической теории поль зуются идеализированной моделью идеаль ного газа, согласно
которой:
1) собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда;
2) между молекулами газа отсутству ют силы взаимодействия;
3) столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие.
Модель идеального газа можно ис пользовать при изучении реальных газов, так как они в условиях, близких к
нормальным (например, кислород и гелий), а также при низких давлениях и высоких температурах близки по
своим свойствам к идеальному газу.
25. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул. Основное уравнение
молекулярно-кинетической теории газов.
Число степеней свободы – это число независимых величин с помощью которых может быть задано положение
системы. (1 атом =3 ст., 2 атома =5ст. 3 атома=6ст.) Закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул
: для статической
системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную
степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная КТ/2 , а на каждую колебательную – КТ
средняя энергия приходящаяся на одну степень свободы:
У одноатомной молекулы i = 3, тогда для одноатомных молекул:
для двухатомных молекул:
Таким образом, на среднюю кинетическую энергию молекулы, имеющей i-степеней свободы, приходится:
Молекулярно-кинетическая теория (сокращённо МКТ)
— теория, рассматривающая строение вещества с
точки зрения трёх основных приближенно верных положений:
1) все тела состоят из частиц, размером которых можно пренебречь: атомов, молекул и ионов;
2) частицы находятся в непрерывном хаотическом движении (тепловом);
3) частицы взаимодействуют друг с другом путём абсолютно упругих столкновений.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа:
Уравнение, связывающее макроскопическую величину – давление с микроскопическими величинами,
характеризующими молекулы.
p – давление газа, n - концентрация молекул, m
0
- масса молекулы.
26. Закон Максвелла распределения молекул по скоростям теплового движения. Барометрическая
формула. Распределение Больцмана.
Закон Максвелла распределения молекул по скоростям теплового движения
Закон Максвелла описывается некоторой функцией f(v), называемой функцией распределения молекул по
скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на
малые интервалы, равные dv, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул
dN(v), имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Функция f(v) определяет относительное число
молекул dN (v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv, т. е.
откуда f(v)=dN(v)/Ndv.
Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел функцию f(v) — закон для распределения молекул
идеального газа по скоростям:
Из (44.1) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра состояния
(от температуры Т).График функции (44.1) приведен на рис. Так как при возрастании v множитель уменьшается
быстрее, чем растет множитель v2, то функция f(v), начинаясь от нуля, достигает максимума при v
в
и затем
асимптотически стремится к нулю. Кривая несимметрична относительно v
в
.
Барометрическая формула. Распределение Больцмана
Выражение (45.2) называется барометри ческой формулой. Она позволяет найти атмосферное давление в
зависимости от высоты или, измерив давление, найти вы соту. Так как высоты обозначаются отно сительно
уровня моря, где давление счита ется нормальным, то выражение (45.2) может быть записано в виде
где р — давление на высоте h.
Прибор для определения высоты над земной поверхностью называется высото мером (или альтиметром). Его
работа ос нована на использовании формулы (45.3). Из этой формулы следует, что давление с высотой убывает
тем быстрее, чем тяже лее газ.
Барометрическую формулу (45.3) можно преобразовать, если воспользо ваться выражением (42.6) p=nkT:
где n — концентрация молекул на высо те h, n
0
— то же на высоте h=0. Так как M = m
0
N
A
(N
A
— постоянная
Авогадро, m
0
—
масса одной молекулы), а R=kN
A
, то
где m
0
gh=П — потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, т. е.
Выражение (45.5) называется распре делением Больцмана во внешнем потенци альном поле. Из него следует,
что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.
27. Среднее число столкновений и средняя длина свободного движения молекул.
Молекулы газа, находясь в состоянии хао тического движения, непрерывно сталки ваются друг с другом. Между
двумя по следовательными столкновениями молеку лы проходят некоторый путь l
, который называется длиной
свободного пробега. В общем случае длина пути между по следовательными столкновениями различ на, но так
как мы имеем дело с огромным числом молекул и они находятся в бес порядочном движении, то можно говорить
о средней длине свободного пробега моле кул <
l
>.
Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется
эффективным диаметром молекулы d (рис.68). Он за висит от скорости сталкивающихся моле кул, т. е. от
температуры газа (несколько уменьшается с ростом температуры).
Так как за 1 с молекула проходит в среднем путь, равный средней арифметической скорости <v>, и если (z) —
сред нее число столкновений, испытываемых одной молекулой газа за 1 с, то средняя длина свободного пробега
<
l
>=<v>/<z>.
Для определения <z> представим себе молекулу в виде шарика диаметром d, которая движется среди других
«застыв ших» молекул. Эта молекула столкнется только с теми молекулами, центры кото рых находятся на
расстояниях, рав ных или меньших d, т. е. лежат внутри «ломаного» цилиндра радиусом d
.
Среднее число столкновений за 1 с равно числу молекул в объеме «ломано го» цилиндра:
<z>=nV,
где n — концентрация молекул, V = = d
2
<v> (<v> —средняя скорость мо лекулы или путь, пройденный ею за 1с).
Таким образом, среднее число столкновений
<z>=n
d
2
<v>.
Расчеты показывают, что при учете дви жения других молекул
Тогда средняя длина свободного про бега
т.е. (
l
) обратно пропорциональна кон центрации n молекул. С другой стороны, из (42.6) следует, что при
постоянной температуре n пропорциональна давлению р.
Следовательно,
28. Первый закон термодинамики. Работа, теплота, теплоемкость, ее виды.
Допустим, что некоторая система (газ, заключенный в цилиндр под поршнем), обладая внутренней энергией U
1
,
получи ла некоторое количество теплоты Q и, перейдя в новое состояние, характеризую щееся внутренней
энергией U
2
, совершила работу А над внешней средой, т. е. против внешних сил. Количество теплоты считает ся
положительным, когда оно подводится к системе, а работа — положительной, когда система совершает ее против
внеш них сил. Опыт показывает, что в соответ ствии с законом сохранения энергии при любом способе перехода
системы из перво го состояния во второе изменение внутрен ней энергии U=U
2
-U
1
будет одинако вым и равным
разности между количест вом теплоты Q, полученным системой, и работой А, совершенной системой про тив
внешних сил:
U=Q-A,
или
Q=
U+A. (51.1)
Уравнение (51.1) выражает первое начало термодинамики:
теплота, сообщаемая системе, расходуется на
изменение ее внутренней энергии и на совершение ею работы против внешних сил.
Выражение (51.1) в дифференциаль ной форме будет иметь вид
dQ=dU+dA,
где dU — бесконечно малое изменение внутренней энергии системы.
Работа
Для рассмотрения конкретных процессов найдем в общем виде внешнюю работу, совершаемую газом при
изменении его объема. Рассмотрим, например, газ, на ходящийся под поршнем в цилиндриче ском сосуде (рис.
78). Если газ, расширя ясь, передвигает поршень на бесконечно малое расстояние d
l,
то производит над ним
работу
A=Fdl=pSdl=pdV,
где S — площадь поршня, S
dl=dV
— из менение объема системы. Таким образом,
A=pdV. (52.1)
Полную работу A, совершаемую газом при изменении его объема от V
1
до V
2
, найдем
интегрированием формулы (52.1):
Результат интегрирования определяется характером зависимости между давлением и объемом газа. Найденное
для работы выражение (52.2) справедливо при любых изменениях объема твердых, жидких и га зообразных тел.
Теплота
Теплота - один из двух, известных современному естествознанию, способов передачи энергии - мера передачи
неупорядоченного движения. Количество переданной энергии называют количеством теплоты.
а) изохорный процесс (V=const)
б) изобарный процесс (p=const)
в) изотермическом (T=const)
Теплоёмкость тела
(обозначается C) — физическая величина, определяющая отношение бесконечно малого
количества теплоты ΔQ, полученного телом, к соответствующему приращению его температуры ΔT:
Единица измерения теплоёмкости в системе СИ — Дж/К.
Удельная теплоемкость вещества
ве личина, равная количеству теплоты, не обходимому для нагревания 1 кг
вещест ва на 1 К:
Единица удельной теплоемкости — джоуль на килограмм-кельвин (Дж/(кг•К)).
Молярная теплоемкость— величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 моля
вещества на 1 К:
где v = m/M
— количество вещества, вы ражающее число молей.
Единица молярной теплоемкости — джоуль на моль-кельвин (Дж/(моль•К)).
Удельная теплоемкость с связана с мо лярной С
m
соотношением
С
т
= сМ, (53.2)
где М — молярная масса вещества.
Понятие теплоёмкости определено как для веществ в различных агрегатных состояниях (твёрдых тел, жидкостей,
газов), так и для ансамблей частиц и квазичастиц (в физике металлов, например, говорят о теплоёмкости
электронного газа). Если речь идёт не о каком-либо теле, а о некотором веществе как таковом, то различают
удельную теплоёмкость — теплоёмкость единицы массы этого вещества и молярную — теплоёмкость одного
моля его.
Для примера, в молекулярно-кинетической теории газов показывается, что молярная теплоёмкость идеального
газа с i степенями свободы при постоянном объеме равна:
А при постоянном давлении
29. Политропный процесс, его частные случаи: изобарный, изотермический, адиабатный,
изохорный.
Процесс, в ко тором теплоемкость остается постоянной, называется политропным.
Исходя из первого начала термодина мики при условии постоянства теплоемко сти (C = const) можно вывести
уравнение политропы:
pV
n
= const, (55.9) где n=
(C-
С
р
)/(С-C
v
) — показатель политропы. Очевидно, что при С = 0, n=
из (55.9)
получается уравнение адиабаты; при С=
, n
=1 —уравнение изотермы; при С=С
Р
, n = 0
— уравнение изобары, при
С = С
v
, n
=±
—уравнение изохоры. Среди равновесных процессов, происходя щих с термодинамическими системами, выделяются изопроцессы, при
которых один из основных параметров состояния сохраняется постоянным.
Изохорный процесс
(V = const). Диаг рамма этого процесса (изохора) в коорди натах р, V изображается прямой,
парал лельной оси ординат (рис. 81), где процесс 1
—
2 есть изохорное нагревание, а 1
—
3 — изохорное
охлаждение. При изохорном процессе газ не совершает работы над внешними телами, т. е.
A=pdV = 0
.
Как уже указывалось в § 53, из первого начала термодинамики (
Q=dU
+
A) для изохорного процесса следует, что
вся теп лота, сообщаемая газу, идет на увеличе ние его внутренней энергии:
Q =dU
Согласно формуле (53.4), dU
m
= C
v
dT.
Тогда для произвольной массы газа по лучим
Изобарный процесс
(р=
const). Диаграмма этого процесса (изобара) в координатах р, V изображается прямой,
парал лельной оси V
. При изобарном процессе работа газа при расширении объема от V
1
до V
2
равна
и определяется площадью прямоугольни ка, выполненного в цвете на рис. 82. Если использовать уравнение
Клапейро на — Менделеева для выбранных нами двух состояний, то
откуда
Тогда выражение (54.2) для работы изо барного расширения примет вид
Из этого выражения вытекает физический смысл молярной газовой постоянной R: если T
2
-T
1
=1К, то для 1 моля
газа R=А, т. е. R численно равна работе изо барного расширения 1 моля идеального газа при нагревании его на 1
К.
В изобарном процессе при сообщении газу массой от количества теплоты
его внутренняя энергия возрастает на ве личину (согласно формуле (53.4))
При этом газ совершит работу, определяе мую выражением (54.3).
Изотермический процесс
(
T
=const). Изотермиче ский процесс описывается законом Бой ля — Мариотта:
pV=
const.
Диаграмма этого процесса (изотерма) в координатах р, V представляет собой гиперболу, расположенную на
диаграмме тем выше, чем выше темпе ратура, при которой происходил процесс. Найдем работу изотермического
расшире ния газа:
Так как при T
=const внутренняя энергия идеального газа не изменяется:
то из первого начала термодинамики (
Q =
dU+
A) следует, что для изотермиче ского процесса
Q=
A,
т. е. все количество теплоты, сообщаемое газу, расходуется на совершение им рабо ты против внешних сил:
Следовательно, для того чтобы при рабо те расширения температура не уменьша лась, к газу в течение
изотермического процесса необходимо подводить количест во теплоты, эквивалентное внешней работе
расширения.
Адиабатический процесс. Политропный процесс
Адиабатическим называется процесс, при котором отсутствует теплообмен (
Q=0) между системой и
окружающей средой. К адиабатическим процессам можно отнести все быстропротекающие процессы. Например,
адиабатическим процессом можно считать процесс распространения звука в среде, так как скорость распро
странения звуковой волны настолько вели ка, что обмен энергией между волной и средой произойти не успевает.
Адиаба тические процессы применяются в двига телях внутреннего сгорания (расширение и сжатие горючей
смеси в цилиндрах), в холодильных установках и т. д.
Из первого начала термодинамики (
Q=dU+
A) для адиабатического про цесса следует, что
A=-dU, (55.1)
т. е. внешняя работа совершается за счет изменения внутренней энергии системы.
Для произвольной массы газа перепишем уравнение (55.1) в виде
Продифференцировав уравнение состоя ния для идеального газа pV=(m/M)RT, получим
Исключим из (55.2) и (55.3) температу ру Т:
Разделив переменные и учитывая, что С
р
/С
v
=
найдем
dp/p=-
dV/V.
Интегрируя это уравнение в пределах от р
1
до р
2
и соответственно от V
1
до V
2
, а затем потенцируя, придем к
выражению
p
2
/p
l
=(V
1
/V
2
)
. или
p
1
v
1
= p
2
v
2
.
Так как состояния 1 и 2 выбраны про извольно, то можно записать
рV
=
const. (55.4)
Полученное выражение есть уравнение адиабатического процесса, называемое также уравнением Пуассона.
30. Второй закон термодинамики. Энтропия. Тепловые двигатели и холодильные машины. Цикл
Карно.
Второе начало термодинамики
можно сформулиро вать как закон возрастания энтропии зам кнутой системы
при необратимых процес сах: любой необратимый процесс в замкну той системе происходит так, что энтропия
системы при этом возрастает.
Можно дать более краткую формули ровку второго начала термодинамики: в процессах, происходящих в
замкнутой системе, энтропия не убывает. Здесь су щественно, что речь идет о замкнутых системах, так как в
незамкнутых системах энтропия может вести себя любым обра зом (убывать, возрастать, оставаться по стоянной).
Кроме того, отметим еще раз, что энтропия остается постоянной в за мкнутой системе только при обратимых
процессах. При необратимых процессах в замкнутой системе энтропия всегда воз растает.
Формула Больцмана S = klnW, где k — постоянная Больцмана, позволяет объяснить постулируемое вторым
началом термодинамики возрастание энтропии в замкнутой системе при необратимых процессах: возрастание
энтропии означает переход системы из менее вероятных в бо лее вероятные состояния. Таким образом, формула
Больцмана позволяет дать стати стическое толкование второго начала термодинамики. Оно, являясь статистиче
ским законом, описывает закономерности хаотического движения большого числа частиц, составляющих
замкнутую систе му.
Понятие энтропии
введено в 1865г. Р. Клаузиусом. Для выяснения физическо го содержания этого понятия
рассматри вают отношение теплоты Q
, полученной телом в изотермическом процессе, к темпе ратуре Т
теплоотдающего тела, называе мое приведенным количеством теплоты.
Приведенное количество теплоты, со общаемое телу на бесконечно малом участке процесса, равно Q/T. Строгий
теоретический анализ показывает, что приведенное количество теплоты, сообща емое телу в любом обратимом
круговом процессе, равно нулю:
Из равенства нулю интеграла (57.1), взя того по замкнутому контуру, следует, что подынтегральное выражение
Q/T
есть полный дифференциал некоторой фун кции, которая определяется только состоя нием системы и не
зависит от пути, каким система пришла в это состояние. Таким образом,
Функция состояния, дифференциалом ко торой является Q/T, называется энтро пией и обозначается S.
Из формулы (57.1) следует, что для обратимых процессов изменение энтропии
S=0. (57.3)
В термодинамике доказывается, что эн тропия системы, совершающей необрати мый цикл, возрастает:
Автор
r1b1
Документ
Категория
Образование
Просмотров
55 408
Размер файла
1 147 Кб
Теги
Физика, механика, билеты, термодинамика
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа