close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

N.D.Denisov-Vinskiy Математика 1 курс 1 семестр.

код для вставкиСкачать
Книга посвящена курсу Высшей математики, который автор читал в НОУ ВПО "МИЭЭ" более 2 лет. 1 курс 1 семестр.
Министерство образования и науки Российской Ф
е
дерации Негосударственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский институт энергобезопасности и энергосбер
е
жения
К
АФЕДРА Е
СТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ И ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН
I
курс
I семестр
МАТЕМАТИКА
Учебно
-
методический комплекс
для студентов заочного отделения
специальность 140211 «Электроснабжение»
Москва 2006
2
М
атематика. Учебно
-
методический комплекс для студентов зао
ч
ного отделения. –
М.: М
И
ЭЭ, 2006,
129
с.
Одо
брено кафедрой естественно
научных и общетехнических дисци
п-
лин МИЭЭ.
Автор
ы
: Денисов
-
Винский Н.
Д.
, Ерохин С.В.
© МИЭЭ, 2006
3
СОДЕРЖАНИЕ
I
. Руководство по изу
чению дисциплины
................................
..............
4
1.1 Цель изучения дисциплины и ее значение
................................
4
1.2 Организация занятий. Текущий и итоговый контроль
.............
4
1.3. Примерный план распределения времени по темам и видам занятий
................................
................................
................................
..
7
1.4. Список рекомендуемой литературы
................................
.........
8
II
. Содержание теоретической части дисциплины
................................
.
9
Р
АЗДЕЛ I.
Э
ЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГ
ЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКО
Й ГЕОМЕТРИИ
................................
................................
...................
9
Тема 1.1. Матрицы и определители
................................
................
9
Тема 1.2. Системы линейных алгебраических уравнений
............
21
Тема 1.3. Векторы
на плоскости и в пространстве
.......................
31
Тема 1.4. Аналитическая геометрия на плоскости
.......................
44
Тема 1.5. Аналитическая геометрия в простран
стве
....................
54
Р
АЗДЕЛ II.
В
ВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕ
СКИЙ АНАЛИЗ
.
Э
ЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБ
РЫ
................................
.................
69
Тема 2.1. Элементарные функции
................................
.................
69
Тема 2.2. Числовые последовательности
................................
......
87
Тема 2.3. Непрерывность функции
................................
...............
94
Те
ма 2.4. Комплексные числа
................................
.....................
101
В
АРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ Р
АБОТЫ №
1
С РЕШЕНИЯМИ
............
114
В
АРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ Р
АБОТЫ №
2
С РЕШЕНИЯМИ
............
121
Э
КЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРО
СЫ
................................
.................
127
4
I
. РУКОВОДСТВО ПО ИЗУ
ЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ
1.1 Цель изучения дисциплины и ее значение
Преподавание высшей математики в высших учебных заве
ден
и
ях имеет целью, во
-
первых, формирование личности студента, разв
и
тие его интеллекта и способностей к логическому и алгоритмическому мышл
е-
нию, и, во
-
вторых, обучение студента основным математическим мет
о-
дам, необходимым для анализа и моделирования технич
е
ских процессов.
Высшая математика является фундаментальной учебной дисципл
и-
ной. Ее преподавание имеет целью дать специалисту основу теоретич
е-
ской подготовки, необходимой для анализа и моделирования пр
о
цессов и явлений при поиске оптимальных р
е
шений и спос
обов их реализации, также обеспечить развитие его интеллекта и спосо
б
ностей к логическому и алгоритмическому мы
ш
лению. Изучение вопросов высшей математики должно обеспечивать подготовку студентов к о
в
ладению знаниями по дисциплинам, определяющим их професс
и
о
нальную подготовку.
В результате изучения дисциплины студенты должны
иметь представление:
о предмете и методе математики, как особого научного способа п
о
знания мира, общности ее понятий, представлений и моделей;
о перспективах развития прикладной матем
атики и ее использ
о-
вании в теории и практике;
знать:
основные определения, теоремы и методы высшей математ
и
ки, их практическое применение для решения математических и прикладных задач;
важнейшие методы математических иссл
е
дований;
уметь:
использовать основные математические теоремы, правила и м
е-
тоды исследования при изучении общепрофессиональных, специальных дисциплин, а также для решения математических задач прикладной н
а-
правленности.
1.2 Организация занятий. Текущий и итоговый контроль
Основной фор
мой обучения студента
-
заочника является самосто
я-
тельная работа над учебным материалом, которая состоит из сл
е
дующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопр
о-
верка, выполнение контрольных работ. В помощь студентам
-
заочникам институт
организует чтение лекций, практические зан
я
тия. Кроме того, студент может обращаться к преподавателю с вопрос
а
ми для получения 5
письменной или устной консультации. Одн
а
ко студент должен помнить, что помощь института будет достаточно эффективной только при сист
е-
матической и упорной самосто
я
тельной работе. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса высшей математики является сдача з
а-
четов и экзаменов в соответствии с уче
б
ным планом.
Чтение учебника. Изучая материал по учебнику, можно пер
е
ходить к след
ующему вопросу только после правильного понимания предыд
у
щего, выполняя на бумаге все вычисления и вычерч
и
вая имеющиеся в учебнике графики. Особое внимание следует обращать на определения основных п
о-
нятий. Студент должен подробно разбирать примеры, кот
о
рые
поясняют такие определения, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно. Необходимо помнить, что каждая теорема состоит из предположений и у
т-
верждений. Все предположения должны обязательно использоваться в док
а-
зательстве. Нужно добиваться точного п
редставл
е
ния о том, в каком месте доказательства использовано каждое предпол
о
жение теоремы.
При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в кот
о-
рый рекомендуется выписывать определения, формулировки теорем, формулы, определения и т. п.
Решение
задач. Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь. При реш
е-
нии задач нужно обосновывать каждый этап, исходя из теорет
и
ческих полож
е
ний курса. Полезно до начала вычислений составить краткий план
. Решения задач и примеров следует излагать подробно, вычисления располагать в строгом порядке, отделяя всп
о
могательные от основных. Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуемого усл
о-
вием задачи. Решение задач определенного типа нужно пр
о
до
лжать до приобретения твердых навыков в их решении.
Самопроверка. После изучения определенной темы по учебнику и р
е-
шения достаточного количества соответствующих задач студенту рек
о-
мендуется воспроизвести по памяти определения, выводы формул, фо
р-
мулировки и доказательства теорем. Иногда недостаточность усво
е
ния материала выясняется только при дальнейшем его изучении. В этом сл
у-
чае надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный раздел.
Важным критерием усвоения теории является умение решать задачи на пройд
енный материал. Однако здесь следует предостеречь студента от весьма распространенной ошибки, заключающейся в том, что благоп
о-
лучное решение задач воспринимается студентом как признак усвоения теории и правильное решение задачи получается в результате прим
енения механически заученных формул без поним
а
ния существа дела.
Консультации. Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении задач у студента возникают вопросы, разр
е-
шить которые самостоятельно не удается, то он может обрати
ться к преп
о-
6
давателю для получения от него письменной или устной консул
ь
тации. В своих запросах студент должен точно указать, в чем он испытывает затру
д-
нение. Если он не разобрался в теоретических объяснениях или в доказ
а-
тельстве теоремы, то необходимо ука
зать какой это учебник, где рассмо
т-
рен затрудняющий студента вопрос, и что именно его затру
д
няет.
Контрольные работы. В процессе изучения курса высшей матем
а
тики студент должен самостоятельно выполнить ряд контрольных работ, гла
в-
ная цель которых –
оказать помощь студенту в его работе над матери
а-
лом. При решении задач необходимо объяснять и мотивировать все де
й-
ствия и делать необходимые черт
е
жи.
На собеседовании по каждой контрольной работе проверяется сам
о-
стоятельность выполнения студентом контрольной работ
ы, а также выя
с-
няется его готовность к сдаче зачета или экзамена.
Методические указания. Курс разбит на темы, в которых даны ссылки на литературу, рекомендуемую для изучения. Номера в квадратных ско
б-
ках обозначают уче
б
ники из приведенного списка литературы
.
После указателя литературы по каждой теме приводится пер
е
чень контрольных вопросов, ответы на которые должен знать студент, из
у-
чивший соответс
т
вующую тему.
В конце некоторых тем, после перечня контрольных вопросов, пре
д-
ставлены примеры применения матема
тики в специальных ди
с
циплинах.
Этот материал не входит в программу курса, но может быть полезен для осо
з
нания глубокой связи математики и специальных дисциплин.
7
1.3. Примерный план распределения
времени по темам и видам занятий
Количество учебных часов
В том числе
Наимен
ование тем
Всего
С
а
мост.
работа
Ле
к-
ции
Практ.
занятия
I
семестр
Раздел I
Тема 1.1. Матрицы и определители
12
10
1
1
Тема 1.2. Системы линейных алге
б-
раических уравнений
14
10
2
2
Тема 1.3. Векторы на плоскости и в пространстве
14
10
2
2
Тема 1.4. Аналитическая геометрия на плоскости
12
10
1
1
Тема 1.5. Аналитическая геометрия в простра
н
стве
15
13
1
1
Раздел II
Тема 2.1.
Элементарные функции
19
15
2
2
Тема 2.2.
Числовые последовательн
о-
сти
19
15
2
2
Тема 2.3
. Непрерывность функций
19
15
2
2
Тема 2.4.
Комплексные числа
19
15
2
2
Итоговый контроль зачет
Итого
136
108
14
14
8
1.4. Список рекомендуемой литературы
Основной
1.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной а
л
гебры и аналитической геом
етрии. –
М. Дрофа, 2004.
2.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интеграл
ь-
ное исчисление. –
М. Дрофа, 2004.
3.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. –
М., Л
а-
борат
о
рия базовых знаний, 2003.
4.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей матема
тике. По
л-
ный курс. –
М. Айрис
-
пресс, 2005.
Дополнительный
5.
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическ
о-
му анализу. –
М. Астрель, 2005.
6.
Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Часть 1. –
М., Проспект, 2006.
9
II
. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕ
СКОЙ ЧАСТИ ДИСЦИПЛИНЫ
Р
АЗДЕЛ I.
Э
ЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГ
ЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМ
ЕТРИИ
Тема 1.1. Матрицы и определители
Матрицы. Сложение и умножение матриц. Определители квадра
т-
ных матриц и их свойства. Обрат
ная матрица. Ранг матрицы. Свойс
т-
ва опр
е
делителей.
Определения
Прямоугольной матрицей
размера mxn
называется таблица из mn
чисел
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
а
а
а
А
...
...
...
...
...
...
...
2
2
2
22
12
1
12
11
содержащая m
строк и n
столбцов. Числа a
ij
называются элеме
н-
тами матрицы
A
; i
,
j
-
индексы элемента,
определяющие его пол
о-
жение в матрице: i
-
но
мер строки, j
-
номер столбца, на пересечении кот
о
рых находится a
ij
.
Если m = n
, то матрица называется квадратной, а число n
назыв
а-
ют порядком
матрицы.
Элементы, находящиеся на диагонали, идущей от левого верхн
его у
г-
ла, образуют главную диагональ
.
Матрица, все элементы которой, кроме элементов главной ди
а-
го
нали, равны нулю, а на главной диагонали стоят единицы, называе
т-
ся единичной
и обозначается буквой Е
.
1
...
0
0
...
...
...
...
0
...
1
0
0
...
0
1
Е
10
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой
.
Действия над матрицами
Рассмотрим основные операции, определенные на множестве ма
т-
риц.
Сложение
. Суммой
двух матриц А
и В
одного размера mxn
назыв
а-
ется матрица С
того же размера (
С=А+В
), элементы которой с
ij
=
a
ij
+
b
ij
Пример
: 10
2
4
2
6
1
2
3
4
3
2
1
Очевидны следующие свойства операции сложения:
А+В = В+А А+(В+С) = (А+В)+С
Умножение на число. Произведением матрицы А на число
λ
наз
ы-
вается матрица С, элементы которой с
ij
=λ
a
ij
.
Пример
:
8
2
6
4
4
1
3
2
2
Операция умножени
я матрицы на число обладает следующими с-
войствами:
(α+β)
А = α
А+
β
А
α(
А+В)= α
А+
α
В
где α
и β
–
числа, А
и В
–
матрицы.
Транспонирование. Пусть А
–
матрица
размера mxn
.
Матрица размера nxm
, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номеро
м, называется матрицей, тран
с
понированной к данной и обозначается А
Т
.
Пример
:
6
5
4
3
2
1
А
6
3
5
2
4
1
Т
А
7
0
8
6
3
1
3
2
4
А
7
6
3
0
3
2
8
1
4
Т
А
11
Для квадратной матрицы операция транспонирования равносиль
-
на отражению элементов относительно главной диагонали.
Произведение. Умножить две матрицы можно лишь в том сл
у-
чае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Произведением
матрицы А
mxn
на матрицу В
nxp
называется матр
и
ца С
mxp
, элементы которой
nk
in
k
i
k
i
ik
b
a
b
a
b
a
с
...
2
2
1
1
,
т. е. элемент i
-
й строки и k
-
го столбца матрицы произведения С
р
а-
вен сумме произведений i
-
й строки матрицы А
на соответствующие эл
е-
менты k
-
го столбца матрицы В
.
Пример
:
12
2
1
5
1
0
2
)
2
(
)
2
(
4
0
0
3
)
2
(
1
4
1
3
2
1
)
2
(
2
0
3
3
1
1
2
1
0
2
3
2
1
0
2
4
3
1
2
При умножении матрицы на столбец пол
учается столбец:
7
17
37
9
)
2
(
5
5
4
0
9
4
5
)
3
(
4
)
1
(
9
2
5
3
4
1
9
5
4
2
5
0
4
3
1
2
3
1
При умножении квадратных матриц одного порядка получается квадратная матрица того же порядка:
11
2
7
4
)
1
(
1
3
4
2
1
0
4
)
1
(
)
2
(
3
3
2
)
2
(
0
3
1
2
3
0
1
4
2
3
В отли
чие от умножения чисел результат умножения матриц зав
и-
сит, вообще говоря, от порядка сомн
ожителей: ВА
АВ
12
Элементарные преобразования матриц и ступенчатая форма
Элементарными преобразованиями
матрицы называются преобр
а-
зования следующих типов:
·
замена местами двух параллельных рядов матрицы;
·
умножение всех элементов ряда матр
ицы на не равное н
у
лю число;
·
прибавление (поэлементно) к ряду матрицы другого пара
л
лельного ряда, умн
о
женного на число.
Матрица называется ступенчатой
, если
она обладает следующим свой
ством: если 0
ij
а
-
первый нен
у
левой элемент i
-
й стро
ки, то все эле
менты, стоящие в матрице ниже и левее a
ij
-
н
у
левые (a
kl
= 0 для всех k
>
i
, l
<
j
).
Такие элементы а
ij
назы
вают угловыми элементами
.
Пример
: матрица 0
0
0
0
2
0
0
0
4
2
5
0
2
0
3
1
ступенчатая с угловыми элементами а
11
=1, а
22
=5, а
34
=2.
Любую матрицу
можно привести к ступенчатой форме при п
о
мощи элементарных преобразований.
Пример
: привести к ступенчатой форме матр
и
цу
2
1
4
1
1
0
3
1
1
0
2
1
1
1
1
2
А
Поместим в левый верхний угол элемент, равный 1 или –
1 (удо
б
но для счета). Поменяем местами первую и вторую стр
оки:
1
2
1
4
1
1
0
3
1
1
1
1
2
1
0
2
1
В
А
®
В дальнейшем первую строку менять не будем. Теперь с пом
о
щью элемента (
-
1) в левом верхнем углу о
б
разуем нули в первом столбце под ним. Для этого ко второй строке прибавим первую, у
м
ноженную 13
на число = 2
, из третьей стро
ки вычтем первую, а к четвертой пр
и-
бавим первую стр
о
ку:
В дальнейшем первый столбец (как и первая строка) меняться не будет, их мысленно исключим из преобразований.
Алгоритм повторяется для оставшейся части матрицы ме
ньше
го порядка (отмечена квадратом). Меняем местами вторую и третью строки и с помощью нового «ведущего» элемента 1 получим нули во втором стол
б
це второй и третьей строк:
3
2
3
1
0
0
3
1
0
0
0
0
1
0
1
0
2
1
3
1
6
0
3
1
5
0
0
0
1
0
1
0
2
1
В
В
®
®
Здесь из третьей строки вычли вторую, умноженную на 5, а из чет
-
вертой –
вторую, умноженную на 6.
Далее из четвертой строки вычитаем третью и получаем ступенч
а-
тую матрицу
В
В
®
0
0
0
0
3
1
0
0
0
0
1
0
1
0
2
1
3
с тремя угловыми элементами: -
1, 1, 1.
Последовательность элементарных преобразований, приводящих матрицу А к ступенчатой
форме В, и самый ступенчатый вид В нео
-
днозначны. Однако число угловых элементов ступенчатой формы мат
-
рицы А не зависит от способа приведения ее к ступенчатому виду.
14
Определители и их свойства
Каждой квадратной матрице порядка n
можно поставить в соо
тве
т-
ствие число (обозначаемое det
A
или Δ), называемое определителем
.
При n
= 1
определитель матрицы равен ее единственному эл
е-
менту: det
A
= a
11
.
При n
= 2
22
21
12
11
а
а
а
а
А
, определитель матрицы вычисляется по правилу: det
A
= 21
12
22
11
22
21
12
11
а
а
а
а
а
а
а
а
.
Пример
: 14
12
2
)
3
(
4
1
2
1
4
3
2
При n
= 3
13
22
31
13
32
21
31
23
12
33
22
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
det
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
11
23
32
33
12
21
a
a
a
a
a
a
.
При вычислении определителя 3
-
го порядка удобно пользоваться прав
и
лом треугольников:
Пример
: det
A
= 3
0
5
2
1
3
1
2
4
= 4 ∙ 1 ∙ (
-
3) + 5 ∙ (
-
2) ∙ 2 + 3 ∙ 0 ∙ 1 –
5 ∙ 1 ∙ 1 –
3 ∙ (
-
2) ∙ (
-
3) –
4 ∙ 0 ∙ 2 = -
12 –
20 + 0 –
5 –
18 –
0 = -
55.
15
Сформулируем основные свойства определителей:
1.
Определитель, имеющий хотя бы один нулевой ряд, равен нулю.
2.
При перестановке двух параллельных ря
дов определ
и
тель меняет знак.
3.
При умножении ряда определителя на число, определитель сам у
м-
ножается на это число.
4.
Определитель не изменится, если к элементам одного ряда приб
а
вить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на л
ю-
бое число (трет
ье элементарное преобразов
а
ние).
Пример
: определитель 2
1
5
1
3
4
3
2
1
равен нулю, т. к. третья строка представляет собой сумму первой и вт
о-
рой (если вычесть из третьей строки сумму первой и второй, то она станет нулевой). Ранг матрицы
Рассмотри
м матрицу A
размера m
x
n
:
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
а
а
а
А
...
...
...
...
...
...
...
2
2
2
22
12
1
12
11
Выделим в ней k
строк и k
столбцов. Из элементов, стоящих на пересеч
е
нии выделенных строк и столбцов, составим определитель k
-
го порядка. Все такие определители называются минорами
матрицы.
Пример
: в матрице
возьмем 1
-
ю, 3
-
ю строки и 2
-
й, 5
-
й столбцы (выделены линиями). Пол
у-
чившийся минор 2
-
го порядка б
у
дет равен 20
1
3
6
2
16
Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом
матрицы
и обозначаетс
я rg
A
.
Пример
: найти ранг матрицы 0
8
0
3
0
6
0
2
0
4
0
1
Все миноры 3
-
го порядка равны нулю (содержат нулевой сто
л-
бец). Есть минор второго порядка (1, 2 строки, 1,3 столбцы), отличный от нуля. Следовательно, ранг матрицы равен 2.
Отметим два важных сво
йства ранга матрицы:
1.
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее угловых элементов (ступ
е-
нек).
2.
Ранг матрицы не изменяется при элементарных прео
б
разованиях матрицы.
Отсюда следует простой способ вычисления ранга матрицы: привести матрицу к ступенчатой форме, чи
сло ее угловых элементов и будет ра
н-
гом матрицы.
Например: найти ранг матрицы 2
1
4
1
1
0
3
1
1
0
2
1
1
1
1
2
А
Как было показано выше, матрица приводится к ступенчатой форме:
В
А
®
0
0
0
0
3
1
0
0
0
0
1
0
1
0
2
1
У матрицы В
3 угловых элемента, следовательно rg
A
= 3.
Миноры и
алгебраические дополнения. Обратная матрица
Минором
некоторого элемента а
ij
определителя п
-
ого порядка н
а-
зывается определитель п –
1
-
ого порядка, полученный из исходного п
у-
тем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находи
т
ся выбранный эле
мент. Обозначается m
ij
.
17
Пример
: в определителе
33
32
31
23
22
21
13
12
11
det
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
33
32
23
22
11
a
a
a
a
m
, 23
21
13
11
32
a
a
a
a
m
.
Алгебраическим дополнением
элемента a
ij
называется его минор, взятый со знаком «+», если сумма i
+ j
–
четная, и со знаком «
-
», если н
е-
четная. Обозначается А
ij
. Таким образом: ij
j
i
ij
m
A
)
1
(
, А
11 = +
m
11
, A
32
= -
m
32
.
Матрица А
-
1
называется обратной
для квадратной матрицы А
, е
с-
ли
Е
А
А
А
А
1
1
,
где Е
–
единичная матрица того же порядка, что и А
.
Очевидно, что обратн
ая матрица имеет тот же порядок, что и о
с-
новная матрица.
Существует алгоритм вычисления обратной матрицы для прои
з-
вольной квадратной матрицы А
:
1)
вычислить det
A
, если det
A
= 0
, то обратной матрицы не сущес
т-
вует;
2)
вычислить алгебраические дополнения А
ij
ко всем элементам матрицы А
;
3)
составить присоединенную матрицу А
~
, состоящую из алгебра
и-
ческих дополнений:
33
32
31
23
22
21
13
12
11
~
А
А
А
А
А
А
А
А
А
А
4)
транспонировать матрицу А
~
:
33
23
13
32
22
12
31
21
11
~
А
А
А
А
А
А
А
А
А
А
T
5)
разделить матрицу T
А
~
на определитель матрицы А
, получи
в-
шаяся матрица и будет обратной:
.
~
det
1
1
T
A
A
А
18
Пример
: вычислить обратную матрицу для матрицы
1
3
1
2
4
3
0
2
1
А
1) 8
6
6
0
0
4
4
1
3
1
2
4
3
0
2
1
det
A
;
2) вычисляем алгебраические дополне
ния:
;
2
1
3
2
4
11
А
;
5
1
1
2
3
12
А
;
13
3
1
4
3
13
А
;
2
1
3
0
2
21
А
;
1
1
1
0
1
22
А
;
1
3
1
2
1
23
А
;
4
2
4
0
2
31
А
;
2
2
3
0
1
32
А
;
10
4
3
2
1
33
А
3) составляем присоединенную матрицу:
10
2
4
1
1
2
13
5
2
~
А
4) транспонируем присоединенную матрицу:
10
1
13
2
1
5
4
2
2
~
Т
А
5)
делим все элементы T
А
~
на det
A
и получаем обратную матрицу
4
5
8
1
8
13
4
1
8
1
8
5
2
1
4
1
4
1
10
1
13
2
1
5
4
2
2
det
1
1
A
А
19
[1], §§ 1
–
3.
[3], задачи
№№
1
–
17, 43
–
63, 788
–
798, 608
–
611, 619
–
6
22, 836
–
843
.
[4], §§ 1
–
3.
Контрольные вопросы по теме 1.1
1.
Что такое матрица?
2.
Что такое матрица
-
строка, матрица
-
столбец, нулевая матрица, квадратная матрица, ед
и
ничная матрица, ступенчатая матрица?
3.
Каковы правила сложения матриц и умножения матриц на числ
о?
4.
Каковы правила умножения матриц друг на друга?
5.
Какие преобразования матрицы называются элементарными?
6.
Как привести матрицу к ступенчатой форме при помощи элеме
н-
тарных преобразований?
7.
Что такое определитель матрицы?
8.
Что такое минор, алгебраическое дополн
ение?
9.
Что такое ранг матрицы?
10.
Как найти ранг матрицы при помощи элементарных преобраз
о-
ваний?
11.
Что такое обратная матрица?
12.
Как найти обратную матрицу?
Пример применения теории матриц в Теоретических основах электротехники
Теория матриц появилась относител
ьно недавно, как наиболее эффективный метод расчёта сложных инженерно
-
математических задач. При помощи этой теории стало возможным решать сложнейшие задачи оптимизации и инженерные задачи. Теория матриц находит своё применение не только в инженерных, но и в экономических, статистич
е-
ских и прочих науках. Одна из наиболее авторитетных программ мат
е-
матических и инженерных расчётов MATLAB
представляет в своём коде любое число при помощи матрицы. Даже число «1» она представляет как матрицу с одной строкой и одни
м столбцом. Изучение «Теоретических основ электротехники» как базовой на
у-
ки для проектировщика сложных электрических цепей невозможно без применения математического аппарата, в том числе и без теории ма
т-
риц.
Необходимо отметить, что теория матриц даёт не только во
з-
можность простейшего решения сложных задач, но и также краткой и ясной формы записи конкретного выражения. 20
В качестве примера рассмотрим применение теории матриц в ра
с-
чёте баланса мощности в сложных цепях.
Баланс мощностей в приёмниках и источн
иках энергии электрич
е-
ской цепи доказывается теоремой Ланжевена. Эта теорема решает вопрос о равенстве сумме реактивных мощностей всех источников энергии, имеющихся в сколь угодно сложной электрической цепи, сумме реакти
в-
ных мощностей приёмников в этой цеп
и. Попутно решается вопрос о р
а-
венстве соответствующих активных мощностей, которое, вообще говоря, вытекает непосредственно из закона сохранении энергии. Таким образом, для любой цепи при записи уравнений по методу узловых напряжений имеем
1
1
,
1
1
1
,
1
0
,
1
20
10
1
,
1
2
,
1
1
,
1
1
,
1
12
11
...
...
...
...
...
...
...
...
q
j
j
q
q
j
j
q
q
q
q
q
q
J
J
U
U
U
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Таким образом, применяя теорию матриц, мы смогли в матричной форме записать уравнение по методу узловых напряжений. Напомним, что нам необходимо найти соотношение для комплексной мощности всей цепи.
Перемножая матрицу проводимости на матрицу
-
сто
лбец узловых напряжений, получим выражение, в котором каждый элемент матрицы
-
слолбца слева от знака равенства представляет собой сумму токов в ве
т-
вях (в приёмниках), сходящихся к узлу, номер которого соответствует первому индексу у тока. Каждый элемент мат
рице справа есть сумма т
о-
ков соответствующих источников тока:
1
1
,
1
1
1
,
1
1
1
,
1
1
1
,
1
q
j
j
q
q
j
j
q
j
j
q
q
j
j
J
J
I
I
Помножим эти матрицы на транспонированную матрицу сопр
я-
женных комплексных узловых напряжений. Имеем:
21
1
1
,
1
1
1
,
1
0
,
1
20
10
1
1
,
1
1
1
,
1
0
,
1
20
10
q
j
j
q
q
j
j
q
q
j
j
q
q
j
j
q
J
J
U
U
U
I
I
U
U
U
После выполнения операции перемножения, а также после преобраз
о-
вания получим соотношение для комплексной мощности всей цепи.
Тема 1.2. Системы линейных алгебраических уравнений
Системы линейных алгебраических уравнений. Матричная форма з
а-
писи систем.
Правило Крамера. Решение систем уравнений мат
ричным методом. Теорема Кр
о
некера
-
Капелли. Метод Гаусса.
Основные понятия
Системой линейных алгебраических уравнений
, содержащих m
уравнений и n
неизвестных, называется система вида m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
...
....
..........
..........
..........
..........
...
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
гд
е числа ij
a
, m
i
,
1
, n
j
,
1
называется коэффициентами си
с-
темы
, числа j
b
-
свободными членами
. Подлежат нахождению числа n
x
. Такую систему удобно записывать в ко
мпактной матричной форме
B
X
A
.
Здесь A
-
матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей
, X
-
вектор
-
столбец из неизвестных j
x
, B
-
вектор
-
столбец из свободных членов i
b
. 22
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
, n
x
x
x
X
...
2
1
, m
b
b
b
B
...
2
1
.
Произведение матриц X
A
определено, так как в матрице A
столбцов столько же
, сколько строк в матрице X
. Расширенной матрицей системы
называется матрица A
системы, дополненная столбцом свободных членов m
mn
m
m
n
n
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
1
2
22
21
1
12
11
.
Решением системы называется n
значени
й неизвестных, при по
д-
становке которых все уравнения системы обращаются в верные равенс
т-
ва. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы
-
столбца
n
с
с
с
С
...
2
1
.
Система уравнений называется совместимой
,
если она имеет хотя бы одно решение,
и несовместимой
,
если она не имеет ни одного реш
е-
ния. Решить систему
–
это значит выяснить, совместна она или нес
о-
вместна. Если система совместна, найти её общее решение. Система линейных уравнений называется однородной,
если все свободные члены равны н
улю:
0
...
....
..........
..........
..........
..........
0
...
2
2
1
1
1
2
12
1
11
n
mn
m
m
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
.
Однородная система всегда совместна, так как 0
...
2
1
n
x
x
x
является решением системы. Это решение назыв
а-
ется нулевым
или тривиальным
. 23
Решение систем линейных уравнений. Те
о
рема Кронекера
-
Капелли
Пусть дана произв
ольная система m
линейных уравнений с n
н
е-
известными
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
...
....
..........
..........
..........
..........
...
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
Ответ на вопрос о совместности этой системы даёт теорема Кр
о-
некера
-
Капелли
:
система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и
только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.
Правила практического разыскивания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекают из следующих утверждений:
Если ранг совместной системы равен числу неизвестны
х, то си
с-
тема имеет единственное решение.
Если ранг совместной системы меньше числа неизвес
т
ных, то система имеет бесчисленное множество решений.
Пример
: исследовать
на совместность систему
2
3
3
1
y
x
y
x
. 3
1
3
1
A
, 1
)
(
A
r
, 2
1
3
1
3
1
A
, 2
)
(
A
r
0
2
1
3
1
.
Таким образом, )
(
)
(
A
r
A
r
, следовательно, система несовмес
т-
на.
24
Решение невырожденных линейных систем. Матричный метод. Формулы Крам
е
ра
Пу
сть дана система n
линейных уравнений с n
неизвестными
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
...
....
..........
..........
..........
..........
...
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
или в матричной форме B
X
A
.
Основная матрица A
такой системы квадратная. Определитель этой м
атрицы
nn
n
n
a
a
a
a
...
...
...
...
...
1
1
11
называется определителем системы
. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной
.
Найдём решение данной системы уравнений в случае 0
. У
м-
ножая обе части уравнения B
X
A
на 1
A
получаем B
A
X
1
. Таким образом, если мы знаем обратную матрицу основной матр
и-
цы, то для решения системы достаточно умножить ее на столбец свобо
д-
ных членов. Такой метод решения системы называется матричным м
е-
тодом
.
Матричное равенство записываем в виде:
n
nn
n
n
n
n
n
b
b
b
A
A
A
A
A
A
A
A
A
x
x
x
...
...
...
...
...
...
...
...
1
...
2
1
2
1
2
22
12
1
21
11
2
1
.
Отсюда следует, что
n
nn
n
n
n
n
n
b
A
b
A
b
A
x
b
A
b
A
b
A
x
...
......
..........
..........
..........
..........
...
2
2
1
1
1
2
21
1
11
1
25
Но n
n
b
A
b
A
b
A
1
2
21
1
11
...
есть разложение определителя
nn
n
n
n
n
a
a
b
a
a
b
a
a
b
...
...
...
...
...
...
...
2
2
22
2
1
12
1
1
по элементам первого столбца. Определитель 1
получается из о
п-
ределителя путём замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
Итак, 1
1
x
. Аналогично 2
2
x
, где 2
получен из п
у-
тём замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных чл
е-
нов.
Формулы i
i
x
, n
i
,
1
называются формулами Крамера
. Итак, невырожденная система n
линейных уравнений с n
неи
з-
вестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом или по формулам Крамера. Пример: Решить систему
7
3
0
2
2
1
2
1
x
x
x
x
.
Реш
е
ние:
0
7
3
1
1
2
, 7
3
7
1
0
1
, 14
7
1
0
2
2
. По формулам Крамера:
1
7
7
1
x
, .
2
7
14
2
x
Решение систем линейных уравнений мет
о
дом Гаусса
Одним из наиболее универсальных и эффективных методов реш
е-
ний линейных алгебраических систем является метод Гаусса
, состоящи
й в последовательном исключении неизвестных.
26
Пусть дана система уравнений
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
...
....
..........
..........
..........
..........
...
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На пе
р-
вом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому
(в частн
о
сти, треугольному
) виду.
Пр
иведём систему, которая имеет ступенчатый вид
m
n
kn
k
kk
n
n
k
k
n
n
k
k
b
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
x
a
......
....
..........
..........
..........
..........
...
...
...
...
2
2
2
2
22
1
1
1
2
12
1
11
где n
k
, 0
ii
a
, k
i
,
1
. Коэффициенты ii
a
называются гла
в-
ными
элементами системы. На втором этапе (обратный ход)
идёт посл
е-
довательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы. Приведение системы к ступенчатому виду состоит в приведении расширенной матрицы системы к ступенчатому виду.
Если в процессе приведения системы к ступенчатому виду появятся нулевы
е строки, то их отбрасывают. Если появляются строки, в которых все элементы, кроме последнего (свободного члена) равны нулю, то это говорит о несовместности системы.
Второй этап заключается в решении ступенчатой системы. В п
о-
следнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное k
x
через остальные неизвестные. Затем подставляем значение k
x
в предпоследнее уравнение системы и выражаем 1
k
x
через )
,...,
(
1
n
k
x
x
; затем находим 1
2
,...,
x
x
k
. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы. Если ступенчатая система оказалась треугольной, т.е. n
k
, то исходная система имеет единственное решение.
27
Пример
:
решить систему методом Гаусса
8
10
9
5
7
3
5
2
2
3
2
5
1
5
3
2
4
3
2
1
4
3
2
1
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Будем преобразовывать расширенную матрицу системы
8
3
2
1
10
5
0
5
9
2
5
3
5
2
1
1
7
3
1
2
~
8
3
1
2
10
5
5
0
9
2
3
5
5
2
1
1
7
3
2
1
~
6
3
3
2
10
5
5
0
26
13
13
5
2
1
1
1
0
0
0
1
~
0
0
3
2
0
0
5
0
0
0
13
5
0
0
1
1
0
0
0
1
.
Исходная система свелась к ступенчатой
3
5
13
2
5
4
3
2
3
2
1
x
x
x
x
x
x
Поэтому общее решение системы 3
13
5
3
4
2
x
x
x
; 1
8
5
3
4
1
x
x
x
.
Пример:
решить систему методом Гаусса.
3
5
5
3
7
2
3
2
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Произведём элементарные преобразования над строчками расш
и-
ренной матрицы системы:
28
3
1
1
5
5
1
1
3
7
2
3
2
3
1
1
1
~
12
6
6
0
4
2
2
0
7
0
3
0
3
1
1
1
~
2
1
1
0
2
1
1
0
1
0
1
0
3
1
1
1
~
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
3
1
1
1
Полученная матрица соответствует системе
1
1
3
3
2
3
2
1
x
x
x
x
x
Получаем решение системы 1
3
x
, 1
2
x
,
1
1
x
.
[1], § 4.
[3], за
дачи №№ 554
–
563, 689
–
704.
[4], § 4.
Контрольные вопросы к теме 1.2
1.
Что называется системой линейных алгебраических уравнений?
2.
Какая система называется совместной?
3.
Какая система называется однородной?
4.
Что значит решить систему?
5.
Что такое матрица системы, расширенная матрица системы?
6.
Как формулируется теорема Кронекера
-
Капелли?
7.
Какая система называется невырожденной?
8.
В чем заключается матричный метод решения систем?
9.
В чем заключается метод Крамера решения систем?
10.
В чем заключается метод Гаусса решения систе
м?
Пример применения решения СЛАУ методом Крамера в расчёте ц
е-
пей постоянного тока
Теория матриц есть ни что иное, как удобная запись определённых математических действий. Другими словами, существует ряд проблем в 29
теории матанализа, которые заключаются в
неудобной записи данных и искомых величин. Теория матриц призвана решить эту проблему. Теория матричного исчисления имеет огромный спектр реализ
а-
ции в теории электрических цепей. К примеру, одним из способов для о
п-
ределения тока в ветвях схемы с постоянн
ым напряжением является решение этой электрической схемы методом контурных токов, испол
ь-
зующий второй закон Кирхгофа. В конечном счёте мы получаем систему уравнений, решать которую удобнее всего методом Крамера. Разберём сказанное на примере.
Необходимо решить задачу, связанную с определением тока, кот
о-
рых течёт через заданные сопротивления. При этом электрическая цепь считается нетривиальной. Пусть дана схема:
В изображенной схеме электрической цепи известны:
Дано:
72
1
E
В, 48
2
E
В, 3
1
R
Ом, 4
2
R
Ом, 12
3
R
Ом.
Необходимо определить токи в ветвях.
Решение:
Примем направление контурных токов такими, как ук
а-
зано на нижней схеме.
30
Используя второй закон Кирхгофа, получаем уравнение для двух контуров в общем виде:
11
22
12
11
11
E
I
R
I
R
22
22
22
11
21
E
I
R
I
R
При этом:
15
12
3
3
1
11
R
R
R
Ом
72
1
11
E
E
В
16
12
4
3
2
22
R
R
R
Ом
48
2
22
E
E
В
12
3
21
12
R
R
R
Ом
Подставляя знач
ения R
и E
в исходные уравнения, получаем:
72
12
15
22
11
I
I
48
16
12
22
11
I
I
Таким образом, мы получили систему линейных уравнений. Сущ
е-
ствует много способов его решения. Самый простой –
это метод
подст
а-
новки. Из первого выражения выражается 11
I
через 22
I
, подставляется во второе уравнение, откуда находиться значение 22
I
. После чего, по
д-
ставляя это значение в первое уравнение, мы получаем значение 11
I
. Это один из самый простых способов. Однако, применяя его в системе уже с тремя уравнениями, время, затраченное на решение этого уравнения, а также вероятность ошибки резко возрастает. В связи с чем, необходимо владеть обыч
ным алгоритмом решения системы линейных уравнений. Найдём определитель системы и его алгебраические дополнения:
96
12
12
16
15
16
12
12
15
31
576
12
48
16
72
16
48
12
72
1
144
72
12
48
15
48
12
72
15
2
Контурные токи в этом случае будут:
6
96
576
1
11
I
А
5
,
1
96
144
2
22
I
А
А искомые токи в ветвях соответственно:
6
11
1
I
I
А, 5
,
1
22
2
I
I
А, 5
,
4
5
,
1
6
22
11
3
I
I
I
А
Тема 1.3. Векторы на плоскости и в пространстве
Векторы на плоскости и в пространстве. Операции над векторами. Коллинеарные векторы. Проекции векторов. Координаты векторов. Ск
а-
лярное произведение, угол между векторами, критерий коллинеарности. Векторное и смеша
н
ное произведения векторов. Компланарные векторы, критерий компл
а
нарности. Основные понятия
Величины, к
оторые полностью определяются своими численными значениями, называются скалярными.
Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объём, температура, работа, масса. Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определ
я-
ются не только своим ч
исловым значением, но и направлением. Такие величины называются векторными
. Вектор
–
это направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определённую длину и определённое направление. Если A
-
начало вектора, а B
-
его конец, то вектор обозначается символом AB
или a
. Вектор BA
(у которого начало в точке B
, а конец в точке A
) 32
называется противополо
жным
вектору AB
. Вектор, противоположный ве
к
тору a
, обозначается a
. Длиной
или модулем
вектора AB
называется длина отрезка и об
о-
значается AB
. Вектор
, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором
и обозначается 0
. Нулевой вектор направления не имеет. Векторы a
и b
называются коллинеарными
, если они лежат на о
д-
ной прямой или на
параллельных прямых; записывают a
||
b
. Коллинеа
р-
ные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулей вектор считается коллинеарным любому вектору.
Векторы a
и b
называются равными
, если они одинаково напра
в-
лены и имеют одинаковые длины.
Из определения равенства векторов следует, что вектор можно п
е-
реносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку пространства.
Три вектора в прост
ранстве называются компланарными
, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях.
Линейные операции над векторами
Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.
Пусть a
и b
-
два произвольных вектора. Из любой начальной точки строим вектор a
. Из конца вектора a
строим ве
к
тор b
. Вектор с
, соединяющий начало вектора a
и конец вектора b
, называется суммой
векторов a
и b
. Таким образом получаем b
a
с
(рис. 1).
Рис. 1. Сложен
ие векторов по правилу треугольника
33
Это правило сложения векторов называется правилом треугольн
и-
ка
. Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллел
о-
грамма
(рис. 2). Рис. 2. Сложение векторов по правилу параллелограмма
Далее показа
но сложение четырёх ве
к
торов a
, b
, с
и d
. Рис. 3. Сложение четырех векторов
Под разностью
векторов a
и b
поним
ается ве
к
тор с
такой, что a
с
b
.
Рис. 4. Разность векторов
Отметим, что в параллелограмме, п
о
строенном на векторах a
и b
, одна направленная диагональ явл
я
ется сумм
ой векторов a
и b
, а другая –
разн
о
стью. 34
Можно вычитать векторы по правилу: )
(
b
a
b
a
, т.е. выч
и-
тание векторов заменить сложением вектора a
с вектором, противоп
о-
ложным вектору
b
. Произведением вектора a
на число
называется вектор a
, который имеет длину a
, коллинеарен вектору a
, имеет н
а
правление
вектора a
, если 0
и противоположное направление, если 0
. Рис. 5. Произведение вектора на число
Линейные операции над векторами обладают следующими свойс
т-
вами:
1. a
b
b
a
2. c
b
a
c
b
a
3. a
a
2
1
2
1
4. a
a
a
2
1
2
1
5. b
a
b
a
Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с векторами так, как это делается в обычной алгебре: слага
е-
мые менять места
ми, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие мн
о
жители.
Проекция вектора на ось
Пусть в пространстве задана некоторая ось l
, то есть прямая, на которой отмечена фиксированная точка O
и заданы направление и ед
и-
ница длины. Тогда каждой точки оси соответствует некоторое число. Пусть AB
-
произвольный вектор, не равный 0. 35
Рис. 6. Проекция вектора на ось
Проекцией вектора AB
на ось
l
,
называется ра
з
ность проекции конца вектора и его начала. Проекцию будем обозначать AB
пр
l
. Рассмотрим некоторые основные сво
й
ства проекций
.
Свойство 1. Проекция вектора a
на ось l
равна произведению м
о-
дуля вектора a
на косинус угла между вект
о
ром и осью, т.е. )
cos(
a
a
пр
l
.
Рис. 7. Первое свойство проекций
Следствие 1. Проекция вектора на ос
ь положительна (отрицател
ь-
на), если ве
к
тор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол –
пр
я
мой. Следствие 2.
Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой. Свойство 2. Проекция на ось суммы несколько ве
к
торов на од
ну и ту же ось ра
в
на сумме их проекций на эту ось. Пусть b
a
с
, тогда b
пр
a
пр
с
пр
l
l
l
.
36
Рис. 8. Второе свойство проекций
Свойство 3.
При умножении вектора a
на число его п
роекция на ось также умножается на это чи
с
ло, т.е. a
пр
a
пр
l
l
. Таким образом, линейные операции над векторами приводят к с
о-
ответствующим лине
й
ным операциям над проекциями этих векторов.
Рис. 9. Третье свойство проекций
Разложение век
тора по ортам координатных осей. Координаты ве
к
тора
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz
. Выделим на координатных осях Ox
, Oy
и Oz
единичные ве
к-
то
ры (орты), обозначаемые i
, j
и z
соответственно:
Рис. 10. Орты координатных осей
37
Выберем произвольный вектор a
пространства и совместим нач
а-
ло этого вектор
а с началом координат. Найдём проекции вектора a
на коо
р
динатные оси. Разложение вектора по ортам координатных осей
k
a
j
a
i
a
a
z
y
x
-
основная формула в векторном исчислении. Числа x
a
, y
a
, z
a
называются координатами вектора
a
, т.е. к
о-
ординаты вектора есть проекция на соответствующие координатные оси. Зная проекции вектора a
, можно легко найти выражение для м
о-
дуля вект
ора. Получаем -
2
2
2
z
y
x
a
a
a
a
, т.е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат
.
Запишем проекции векторов на оси координат )
cos(
a
a
x
, )
cos(
a
a
y
, )
cos(
a
a
z
, вы
ражаем из этих уравнений )
cos(
, )
cos(
, )
cos(
и подставляем в 2
2
2
z
y
x
a
a
a
a
. Тогда получаем 1
)
(
cos
)
(
cos
)
(
cos
2
2
2
,
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единиц
е
.
Легко заметить, что координатами единичного вектора e
являются числа )
cos(
, )
cos(
и )
cos(
. Итак, задав координаты вектора, вс
е-
гда можно определить его модуль и направление, т.е.
сам вектор. Равенство векторов.
Два вектора a
и b
равны тогда и только тогда, когда выполняются равенства x
x
b
a
, y
y
b
a
, z
z
b
a
. Арифметические операции над векторами.
1. При сложении (вычитании) векторов их одноименные координ
а-
ты складываются (вычитаются).
2. При умножении вектора на скаляр координаты вектора умнож
а-
ются на это скаляр.
38
Коллинеарность векторов.
Координаты коллинеарный векторов пропорционал
ьны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорциональные координ
а-
ты, коллин
е
арны. Координаты точки.
Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система к
о-
ординат Oxyz
. Для любой точки М
координа
ты вектора OM
(О –
начало координат) называются координатами точки М
. Вектор OM
назыв
а
ется радиус
-
вектором
точки М
, обозначается r
, т.е. r
OM
. Следовательно, к
о
ординаты точки –
это координаты её радиус
-
вектора z
y
x
r
;
;
или k
z
j
y
i
x
r
. Координаты точки М
записываются в виде z
y
x
М
;
;
. Координаты вектора.
Пусть даны коо
рдинаты двух точек 1
1
1
;
;
z
y
x
A
и 2
2
2
;
;
z
y
x
B
. Тогда координаты вектора AB
имеют вид k
z
z
j
y
y
i
x
x
AB
1
2
1
2
1
2
. Следовательно, коорд
и-
наты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала. Ска
лярное произведение векторов и его свойства
Скалярным произведением двух ненулевых векторов a
и b
наз
ы-
вается число
, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Может обозначаться как a
b
или b
a
. Согласно определению cos
b
a
b
a
,
где b
a
,
-
угол между векторами.
39
Свойства скалярного произведения
:
1. a
b
b
a
.
2. b
a
b
a
. 3.
c
a
b
a
c
b
a
4. 2
a
а
а
. Выражение скалярного произведения через координаты.
Пусть заданы два вектора через координаты:
)
;
;
(
z
y
x
a
a
a
a
и )
;
;
(
z
y
x
b
b
b
b
.
Тогда скалярное произведение вектор
ов равно сумме произвед
е
ний их одноименных координат
:
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
b
a
.
Такое определение позволяет находить угол между векторами, если известны их координаты,
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
b
a
cos
b
a
,
откуда
b
a
b
a
b
a
b
a
z
z
y
y
x
x
cos
.
Пример
: в
ычислить угол между векторами )
1
;
2
;
2
(
a
и ).
2
;
3
;
6
(
b
3
1
)
2
(
2
2
2
2
a
; 7
)
2
(
3
6
|
|
2
2
2
b
;
21
4
7
3
)
2
(
1
3
)
2
(
6
2
cos
;
.
21
4
arccos
Векторное произведение векторов и его сво
й
ства
Далее будем рассматривать вектора в трехмерном пространстве.
Три некомпланарных вектора а
, b
, и c
, взятые в указанном п
о-
рядке, образуют правую тройку
, если с конца вектора c
кратчайший п
о-
40
ворот о
т вектора а
к вектору b
совершается против часовой стрелки, и левую
, если по часовой.
Векторным произведением вектора a
на вектор b
называется вектор
с
, который:
1) перпендикулярен векторам a
и b
2) имеет длину, численно равную площади параллелограмма, п
о-
строенного на векторах a
и b
как на сторонах, т.е. )
sin(
b
a
с
, где b
a
,
3) векторы a
, b
и с
образуют правую тройку. Векторное произведение обозначается b
a
.
Свойства векторного произведения
.
1. a
b
b
a
.
2. b
a
b
a
b
a
3. c
b
c
a
c
b
a
.
Критерий коллинеарности
: два ненулевых вектора a
и b
колл
и-
неарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно н
у-
ле
вому вектору, т.е. a
||
b
0
b
a
Пусть заданы два вектора )
;
;
(
z
y
x
a
a
a
a
и )
;
;
(
z
y
x
b
b
b
b
, т
о-
гда координаты их векторного произведения вычисляются по фор
муле:
k
b
b
a
a
j
b
b
a
a
i
b
b
a
a
b
a
y
x
y
x
z
x
z
x
z
y
z
y
Полученную формулу можно записать короче:
z
y
x
z
y
x
b
b
b
a
a
a
k
j
i
b
a
. 41
Некоторые приложения векторного произведения
1. Установление коллинеарности векторов –
если a
||
b
, то 0
b
a
и наоборот, т.е. 0
z
y
x
z
y
x
b
b
b
a
a
a
k
j
i
b
a
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
a
||
b
. 2. Нахождение площади параллелограмма и треугольника. Согла
с-
но определению вект
орного произведения векторов a
и b
)
sin(
b
a
b
a
, т.е. b
a
S
пар
, и значит b
a
S
2
1
. 3. Определение момента силы относительно точки. Пусть в точке A
п
риложена сила AB
F
и пусть O
-
некоторая точка пространства. Из физики известно, что момент силы
F
относительно точки O
наз
ы-
вают вектор M
, который пр
оходит через точку O
и перпендикулярен плоскости, проходящей через точки O
, A
, B
; численно равен произв
е-
дению силы на плечо и образует правую тройку с векторами OA
и AB
. Стало быть F
OA
M
.
Смешанное произвед
е
ние векторов
Смешанным произведением трех векторов назыв
а
ется число c
b
a
. Здесь второй и третий вектор перемножаться векторно, а р
е-
зульт
ат умножается на первый скалярно. Такое пр
о
изведение называется ещё векторно
-
скалярным
. Оно представляет собой нек
о
торое число. Геометрический смысл смешанного произведения –
это объём п
а-
раллепипеда, образованного векторами a
, b
и с
, взят
о
го со знаком «плюс», если векторы образуют правую тройку и со знаком «минус», е
с-
ли они образуют левую тройку, т.е. c
b
a
V
.
42
Рис. 11. Геометрический смысл векторного произ
ведения
Свойства смешанного произведения. 1. b
a
c
a
c
b
c
b
a
2. c
b
a
c
b
a
.
3. b
c
a
c
b
a
, c
a
b
c
b
a
, a
b
c
c
b
a
.
Критерий компланарности
: смешанное произведение ненулевых векторов a
, b
и с
равно нулю тогда и только тогда, когда они компл
а-
нарны. Пусть заданы три вектора )
;
;
(
z
y
x
a
a
a
a
, )
;
;
(
z
y
x
b
b
b
b
и )
;
;
(
z
y
x
с
с
с
с
, тогда их векторное произведение в
ычисляется по фо
р-
муле
z
y
x
z
y
x
z
y
x
c
c
c
b
b
b
a
a
a
c
b
a
.
Смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов. Некоторые приложения смешанного произведения
1. Определение взаимной ориентации вектор
ов в пространстве. О
п-
ределение взаимной ориентации векторов a
, b
и с
основано на сл
е-
43
дующих соображениях. Если 0
c
b
a
, то a
, b
с
-
правая тройка; если 0
c
b
a
, то a
, b
, с
левая тройка. 2. Установление компланарности векторов. Ненулевые векторы a
, b
, с
компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произвед
е-
ние равно нулю, т.е.
0
c
b
a
0
z
y
x
z
y
x
z
y
x
c
c
c
b
b
b
a
a
a
c
b
a
3. Определение объёмов параллелепипеда и треугольной пирам
и-
д
ы. Объём параллелепипеда, построенного на векторах a
, b
с
вычисл
я-
ется как c
b
a
V
, а объём треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен c
b
a
V
6
1
.
[1], §§ 5, 6, 12
–
17.
[4], гл. II
.
Контрольные вопросы к теме 1.3.
1.
Что такое вектор?
2.
Что такое модуль вектора?
3.
Какие вектора называются равными?
4.
Какие вектора называются коллинеарными?
5.
Какие вектора называются компланарными?
6.
Каковы основные операции н
ад векторами и их свойства?
7.
Что такое проекция вектора на ось?
8.
Каковы основные свойства проекции?
9.
Что такое координаты вектора?
10.
Как выполняются основные операции над векторами, имеющими координаты?
11.
Что такое скалярное произведение?
12.
Как вычисляется скалярно
е произведение двух векторов, име
ю-
щих координаты?
13.
Как вычисляется угол между двумя векторами?
14.
Что такое векторное произведение?
15.
Как формулируется критерий коллинеарности?
44
16.
Как вычисляется векторное произведение в координатах?
17.
Каковы основные приложения вект
орного произведения?
18.
Что такое смешанное произведение?
19.
Как формулируется критерий компланарности?
20.
Как вычисляется смешанное произведение в координатах?
21.
Каковы основные приложения смешанного произведения?
Тема 1.4. Аналитическая геометрия на плоскости
Раз
личные виды уравнения прямой. Угол между прямыми. Геометр
и-
ческий метод решения системы неравенств. Линии второго порядка: окру
ж
ность, эллипс, гипербола, парабола. Полярная система координат.
Система координат на плоскости
Под системой координат
на плоско
сти понимают способ, позв
о-
ляющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат
. Прям
о-
угольная система координат задаётся двумя взаимно перпендикулярными прямыми –
осями, на каждой из которых выбрано положительное напра
в-
ление и задан единичный (масштабный) отрезок. Единицу масштаба обычно берут одинаковой для обеих осей. Эти оси называются осями к
о-
ординат
. Одну из осей называют осью абсцисс
(осью Ox
),
другую –
осью ординат
(осью Oy
)
. Н
а рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и н
а-
правленной слева направо, а ось ординат –
вертикально и направленной снизу вверх. Оси координат делят плоскость на четыре области –
че
т-
верти
(или квадранты
).
Единичные векторы осей обозначают i
и j
, причём ,
1
(
j
i
j
i
). Систему координат обозначают Oxy
, а плоскость, в которой расположена система координат, называют координатной плоскостью.
Координато
й точки M
в системе координат Oxy
называются координаты радиуса
-
вектора OM
. Если )
;
(
y
x
OM
, то координаты точки M
записываются так )
;
(
y
x
M
, ч
исло x
называется абсциссой
точки M
, y
-
ординатой
точки M
. Эти два числа x
и y
полностью определяют положение точки на пло
скости, а именно: каждой паре чисел x
и y
соответствует единственная точка M
плоскости, и наоборот. 45
Уравнение прямой на плоскости
Простейшей из линий является прямая. Разным способам зад
ания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды её уравнений. Будем рассматривать уравнение прямой с угловым коэ
ф-
фициентом.
Пусть на плоскости Oxy
задана произвольная прямая, не пара
л-
лельная оси Oy
. Уравнение прямой на плоскости
b
kx
y
.
где tg
k
называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение называется уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Это уравнение удовлетворяет координатам любой точки )
;
(
y
x
M
прямой. Если прямая проходит через начало координат, то 0
b
и, след
о-
вательно, уравнение этой прямой будет иметь вид kx
y
. Если прямая параллельна оси Ox
, то 0
, следовательно, 0
tg
k
и ура
в-
нение примет вид b
y
. Если прямая параллельна оси Oy
, то 2
, уравнение теряет смысл, т.к. для неё угловой коэффициент 2
tg
tg
k
не
существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид a
x
, где a
-
абсцисса точки пересечения прямой с осью Ox
. Отметим, что эти уравнения первой степени. Уравнение прямой, проходящей ч
ерез две точки.
Пусть прямая проходит через точки )
;
(
1
1
1
y
x
M
и )
;
(
2
2
2
y
x
M
. Уравнение прямой, проходящей через точку )
;
(
1
1
1
y
x
M
имеет вид 1
1
x
x
k
y
y
. Уравнение прямой, проходящей через точку )
;
(
2
2
2
y
x
M
имеет вид 2
2
x
x
k
y
y
. Выражая из этого уравн
е-
ния коэффициент k
и подставляем его в первое уравнение и получаем уравнение прямой, проходящей через две точки:
1
2
1
1
2
1
x
x
x
x
y
y
y
y
.
Предполагается, что в этом уравнении 2
1
x
x
и 2
1
y
y
.
46
Прямая линия на плоскости. Основные зад
а
чи
Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпенд
и-
кулярности двух прямых. Пусть прямые 1
L
и 2
L
заданы уравнениями с угловыми коэфф
и-
циентами 1
1
b
x
k
y
и 2
2
b
x
k
y
. 2
1
1
2
1
k
k
k
k
tg
,
где угол, на который надо повернуть в положительном напра
в-
лении прямую 2
L
, до совпадения
её с прямой 1
L
. Если необходимо вычислить острый угол между прямыми, то н
е-
обходимо взять модуль этого выражения, т.е. 2
1
1
2
1
k
k
k
k
tg
.
1. Если прямые 1
L
и 2
L
параллельны, то k
1
= k
2
,
0
и 0
tg
.
2. Если прямые 1
L
и 2
L
перпендикулярны, то 2
, причем у
с-
ловием перпендикулярности прямых является равенство 1
2
1
k
k
. Расстоя
ние от точки до прямой.
Пусть заданы прямая L
уравнением 0
C
By
Ax
и точка )
;
(
0
0
0
y
x
M
. H
асстояние от точки 0
M
до прямой L
вычисляется по формуле.
2
2
0
0
B
A
C
By
Ax
d
Линии второго порядка на плоскости
Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени о
т-
носительно текущих координат 0
2
2
2
2
2
F
Ey
Dx
Cy
Bxy
Ax
Коэффициенты уравнения –
действительные числа. Таки линии н
а-
зываются линиями (кривыми) второго поряд
ка
.
47
О
к
ружность.
Простейшей кривой второго порядка является окружность. Окру
ж-
ностью
называется геометрическое место точек плоскости, равноудале
н-
ных от фиксированной то
ч
ки 0
M
, называемой центром
окружности. Рис. 12. Окружност
ь
Из условия равноудалённости от центра о
к
ружности получаем уравнение R
y
y
x
x
2
0
2
0
из этого уравнения находим каноническое уравнение окружности
2
2
0
2
0
R
y
y
x
x
.
Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки y
x
M
;
данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности. В частности, полагая, что 0
0
x
и 0
0
y
, получим уравнение окружности радиуса R
с центром в начале координат 2
2
2
R
y
x
. Эллипс.
Эллипсом
называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же пло
с-
кости, называемых фокусами эллипса
, есть величина постоянная.
Пусть 1
F
и 2
F
-
фокусы э
л
липса. Нач
а
ло системы координат О
совместим на середине о
т
резка 2
1
F
F
-
ось Ox
н
а
правим вдоль этого о
т-
резка, а ось Oy
перпендик
у
лярно к этому отрезку. 48
Рис. 13. Фокусы эллипса
Пусть сумма расстояний от точки элли
п
са до фокусов равна
a
2
, а расстояние между фокусами
c
2
. Тогда в выбранной системе координат эллипс имеет ура
в
нение:
1
2
2
2
2
b
y
a
x
,
где 2
2
c
a
b
Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнен
и-
ем:
1. Каноническое уравнение содержит x
и y
только в чётных ст
е-
пенях. Отсюда следует, что эллипс симметричен относитель
но осей Ox
и Oy
, а также относительно центра координат. 2. Найдём точки пересечения эллипса с осями координат. При 0
y
получаем две точки 0
;
1
a
A
и 0
;
2
a
A
, в ко
торых ось Ox
пересекает эллипс. Положив в уравнении 0
x
находим точки перес
е-
чения эллипса с осью Oy
: b
B
;
0
1
и b
B
;
0
2
. Эти точки называются вершинами эллипса
. От
резки 2
1
A
A
и 2
1
B
B
, а также их длины a
2
и b
2
называются соответственно большой и малой осями
эллипса. Числа a
и b
называются соответс
твенно большой и малой полуосями
эллипса. 3. Из уравнения следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т.е. имеет место нер
а
венства 1
2
2
a
x
и 1
2
2
b
y
. 49
Следовательно все точки эллипса лежат внутри прям
оугольника, образ
о-
ванного прямыми a
x
и b
y
. 4. В каноническом уравнении сумма неотрицательных слагаемых 2
2
a
x
и 2
2
b
y
равна единице. Следовательно, при возрастании одного сл
а-
гаем
ого другое будет уменьшаться. Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображённую на рису
н
ке. Рис. 14. Эллипс
Форма эллипса зависит от отношения a
b
. При a
b
эллипс пр
е-
вращается в окружность и ур
авнения эллипса пр
и
нимает такой вид 2
2
2
R
y
x
. В качестве характеристики формы эллипса чаще польз
у-
ются отношением a
с
, кот
о
рое называется эксцентриситетом эллипса
и обозначается бу
к
вой , т.е. a
c
. Гипербола.
Гиперболой
называется множество всех точек плоскости, модуль разности рассто
я
ний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, наз
ы
вается фокусами
, есть величина постоянная, меньшая, чем ра
с
стояние между фокусами.
50
Рис. 15. Фокусы гиперболы
Пусть 1
F
и 2
F
-
фокусы эллипса. Начало системы координат О
совместим на середине отрезка 2
1
F
F
-
ось Ox
направим
вдоль этого о
т-
резка, а ось Oy
перпендикулярно к этому отрезку, c
2
-
расстояние ме
ж-
ду фокусами, a
2
-
модуль разности расстояний от каждой точки гипе
р-
болы до фокусов. Тогда каноническое уравнени
е гиперб
о
лы
1
2
2
2
2
b
y
a
x
где 2
2
a
с
b
.
Гипербола есть линия второго п
о
рядка.
1. Каноническое уравнение содержит x
и y
только в чётных ст
е-
пенях. Отсюда следует, что гипербола симметричн
а отн
о
сительно осей Ox
и Oy
, а также относ
и
тельно центра координат. 2. Найдём точки пересечения гиперболы с осями координат. Пол
о-
жим 0
y
получаем две то
ч
ки 0
;
1
a
A
и 0
;
2
a
A
, в которых ось Ox
пересекает гиперболу. Положив в уравнении 0
x
п
о
лучаем, что 2
2
b
y
, чего быть не может. Следов
а
тельно, гипербола не пересекает ось Oy
. Точки 0
;
1
a
A
и 0
;
2
a
A
называются вершинами
гиперболы, а отрезок a
A
A
2
2
1
-
действительной осью гиперболы. Число b
-
мн
и-
мая ось гиперболы.
51
3. Из канонического уравнения гиперболы 1
2
2
2
2
b
y
a
x
следует, что уменьшаемое 2
2
a
x
не меньше един
и
цы, т.е. 1
2
2
a
x
или a
x
. Это означает, что точки гиперболы распол
о
жены справа от прямой a
x
(
правая ветвь
гиперболы) и слева
от прямой a
x
(
левая ветвь
гипе
р-
болы). Рис. 16. Гипербола
Асимптоты гиперболы.
Прямая L
называется асимптотой неограниченной кривой K
, если ра
с
стояние от точки M
криво
й K
до этой прямой стремиться к нулю при неограниченном удалении точки M
вдоль кривой K
от нач
а-
ла координат.
Гипербола имеет две асимптоты
52
x
a
b
y
и x
a
b
y
.
Рис. 17. Асимптоты гиперболы
Парабола.
Параболой
называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинакова удалена от данной точки, называемой фокусом
, и данной прямой, называется директрисой.
Расстояние от фокуса F
до директрисы называется параметром
параболы и обозначается через p
, причёт 0
p
. Парабола описывается уравнением:
px
y
2
2
.
-
это есть каноническое уравнение параболы. Парабола есть ли
ния второго порядка. Исследование форм параболы по её уравнению.
1. В уравнении px
y
2
2
переменная y
вх
о
дит в чётной степени, значит, парабола симметрична относительно оси Ox
; ось Ox
является осью си
м
метрии
параболы.
2. Так как 0
p
, то получаем что 0
x
. Следовательно, параб
о-
ла расположена справа от оси Oy
. 53
3. При 0
x
имеем 0
y
. Следовательно, парабола проходит через начало координат. 4. При неограниченном возрастании x
модуль y
также неогран
и-
ченно во
з
растает. Парабола имеет форму изображенную на рису
н
ке. Рис. 18. Па
рабола
[1], §§ 8, 24.
[4], гл. III
.
Контрольные вопросы к теме 1.4
1.
Как записывается уравнение прямой на плоскости?
2.
Что такое угловой коэффициент прямой?
3.
Как вычисляется угол между прямыми?
4.
Каковы условия параллельности и перпендикулярности прямых?
5.
Как по
лучить уравнение прямой по двум точкам?
6.
Как вычисляется расстояние между точкой и прямой?
7.
Что такое эллипс?
8.
Как записывается каноническое уравнение эллипса?
9.
Каковы основные свойства и параметры эллипса?
10.
Что такое гипербола?
11.
Как записывается каноническое ур
авнение гиперболы?
12.
Каковы основные свойства и параметры гиперболы?
13.
Что такое парабола?
14.
Как записывается каноническое уравнение параболы?
15.
Каковы основные свойства и параметры параболы?
54
Тема 1.5. Аналитическая геометрия в пространстве
Уравнения поверхност
ей и линий в пространстве. Уравнение плоск
о-
сти. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, прох
о
дящей через три заданные точки. Канонические уравнения прямой в простра
н-
стве. Направляющий вектор прямой. Углы между прямыми, плоскост
я-
ми, прямой и плоск
остью. Поверхности второго порядка. Цилин
д
рические поверхности. Сфера, конусы, эллипсоид, гиперболоиды, параболоид. Цилиндрическая и сфер
и-
ческая сист
е
мы координат.
Уравнение поверхности в пространстве
Поверхность в пространстве, как правило, можно рассм
атривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому
-
либо усл
о-
вию. Например, сфера радиусом R
с центром в точке 1
O
есть геометр
и-
ческое место всех точек пространства, находящихся от точки 1
O
на ра
с-
стоянии R
. Прямоугольная система координат Oxyz
в пространстве позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками простра
н-
ства и тройками чисел x
, y
и z
-
их координатами. Свойство, общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, связыва
ю-
щего координаты всех точек поверхности.
Уравнение данной поверхности в прямоугольной системе коорд
и-
нат Oxyz
называется т
акое уравнение 0
)
,
,
(
z
y
x
F
с тремя переме
н-
ными x
, y
и z
, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не л
е-
жащих на этой поверхности. Переменные x
, y
и z
в уравнении п
о-
верхности называются текущими координатами
точек поверхности. Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических свойств п
о-
верхнос
ти заменить исследованием его уравнения.
Пример:
уравнение сферы.
Сферой
называется геометрическое место точек пространства, ра
в-
ноудаленных от фиксированной точки, называемой центром
. 55
Рис. 19. Сфера
Сфера радиусом R
с центром в точке )
;
;
(
0
0
0
0
z
y
x
М
имеет сл
е-
дующее уравнение:
2
2
0
2
0
2
0
)
(
)
(
)
(
R
z
z
y
y
x
x
Если центр сферы совпадает с началом координат, то получаем т
о-
гда такое уравнение:
2
2
2
2
R
z
y
x
На рисунке изображена сфера, которая описывается у
равнением 2
2
2
2
2
)
1
(
)
2
(
)
1
(
z
y
x
Уравнение линии в пространстве
Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересеч
е-
ния двух поверхностей или как геометрическое место точек, общих двум поверхностям. Если 0
)
,
,
(
1
z
y
x
F
и 0
)
,
,
(
2
z
y
x
F
-
уравнение двух повер
х-
ностей, определяющих линию L
, то координаты точек этой линии удо
в-
летворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными:
0
)
,
,
(
0
)
,
,
(
2
1
z
y
x
F
z
y
x
F
56
-
это уравнения линии в пространстве.
Например, 0
0
x
y
-
есть уравнение оси Ox
.
Уравнение линии в пространстве можно задать векторным уравн
е-
нием
)
(
t
r
r
или параметрическим уравнением
)
(
)
(
)
(
t
z
z
t
y
y
t
x
x
. Плоскость в пространстве
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендик
у-
лярно данному вектору.
Пусть в пространстве Oxyz
плоскость Q
задана точкой )
;
;
(
0
0
0
0
z
y
x
М
и вектором )
;
;
(
C
B
A
n
, перпендикулярным этой плоскости. Тогда мы можем записать ура
внение плоскости, проходящей через точку )
;
;
(
0
0
0
0
z
y
x
М
и перпендикулярной вектору )
;
;
(
C
B
A
n
. Она имеет вид:
0
)
(
)
(
)
(
0
0
0
z
z
C
y
y
B
x
x
A
Координаты любой точки плоскости Q
удовлетворяют этому уравнению, координаты точек, не лежащих на плоскости Q
, этому ура
в-
н
ению не удовлетворяют. Вектор n
называется вектором нормали (но
р-
мальным вектором) плоскости.
Общее уравнение плоскости
Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными x
, y
и z
0
D
Cz
By
Ax
Полагая, что, по крайней мере, один из коэффициентов A
, B
или C
не равен нулю, можем переписать это уравнение в виде
0
0
0
z
C
B
D
y
B
x
A
57
Эт
о уравнение плоскости с нормальным вектором )
;
;
(
C
B
A
n
, проходящим через точку )
0
;
;
0
(
0
B
D
М
. Это уравнение называется о
б-
щим уравнением плоскости
.
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
Три точки пространства, не ле
жащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Найдём плоскость Q
, проходящей через три заданные точки )
;
;
(
1
1
1
1
z
y
x
М
, )
;
;
(
2
2
2
2
z
y
x
М
и )
;
;
(
3
3
3
3
z
y
x
М
.
Возьмём произвольную точку )
;
;
(
z
y
x
M
и составим три вектора M
M
1
, 2
1
M
M
и 3
1
M
M
. Так как эти векторы лежат в одной плоскости Q
, то они компланарны и следовательно справедливо уравнение:
0
1
3
1
3
1
3
1
2
1
2
1
2
1
1
1
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей ч
е-
рез три данные точки.
Расстояние от точки до плоскости.
Пусть задана точка )
;
;
(
0
0
0
0
z
y
x
М
и плоскость Q
своим уравн
е-
нием 0
D
Cz
By
Ax
. Расстояние d
от точки )
;
;
(
0
0
0
0
z
y
x
М
до плоскости Q
находится по формуле 2
2
2
0
0
0
C
B
A
D
Cz
By
Ax
d
Прямая в пространстве
Векторное уравнение прямой.
Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать какую
-
либо точку )
;
;
(
0
0
0
0
z
y
x
М
на прямой и вектор S
, параллельный этой прямой. Вектор S
называется направляющим вектором прямой
. Векторное уравнение прямой
имеет вид
58
S
t
r
r
0
Параметрическое уравнение прямой.
Если мы распишем векторное уравнение прямой S
t
r
r
0
по осям координат, то получим параметрическое уравнение прямой в пр
о-
странстве, где проекция каждой точки прямой на оси координат будет зависеть от параметра t
pt
z
z
nt
y
y
mt
x
x
0
0
0
Каноническое уравнение прямо
й
.
Пусть )
;
;
(
p
n
m
S
-
направляющий вектор прямой L
и )
;
;
(
0
0
0
0
z
y
x
М
-
точка, лежащая на этой прямой. Вектор M
M
0
, соед
и-
няющий точку )
;
;
(
0
0
0
0
z
y
x
М
с произвольной точкой )
;
;
(
z
y
x
M
прямой L
, параллелен вектору )
;
;
(
p
n
m
S
. Поэтому координаты ве
к-
тора M
M
0
и )
;
;
(
p
n
m
S
пропорциональны:
p
z
z
n
y
y
m
x
x
0
0
0
Это уравнение называется каноническое уравнение прямой
в пр
о-
странстве. Замечание 1.
Это уравне
ние может быть получено из параметрич
е-
ских уравнений прямой pt
z
z
nt
y
y
mt
x
x
0
0
0
и иметь вид t
p
z
z
n
y
y
m
x
x
0
0
0
.
Замечание 2.
Обращение в нуль одного из знаменателей канонич
е-
ского уравнения, означает обращение в нуль соответствующего числит
е-
ля
. 59
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.
Пусть прямая L
проходит через точки )
;
;
(
1
1
1
1
z
y
x
М
и )
;
;
(
2
2
2
2
z
y
x
М
. В качестве направляющего вектора можно взять вектор 2
1
M
M
. Поскольку прямая проходит через точку )
;
;
(
1
1
1
1
z
y
x
М
, то, согласно уравнениям p
z
z
n
y
y
m
x
x
0
0
0
, уравнения прямой L
имеют вид:
1
2
1
1
2
1
1
2
1
z
z
z
z
y
y
y
y
x
x
x
x
Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярн
о-
сти прямых.
Пусть заданы две прямые уравнениями
:
1
L
1
1
1
1
1
1
p
z
z
n
y
y
m
x
x
:
2
L
2
2
2
2
2
2
p
z
z
n
y
y
m
x
x
Под углом между этими прямыми понимают угол между напра
в-
ляющими векторами )
;
;
(
1
1
1
1
p
n
m
S
и )
;
;
(
2
2
2
2
p
n
m
S
. Поэтому, по известной формуле для косинуса угла между вектор
ами, получаем
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
cos
p
n
m
p
n
m
p
p
n
n
m
m
Для нахождения острого угла между прямыми числитель правой части формулы следует взять по модулю.
Если две прямые перпендикулярны, то в этом и только в этом сл
у-
чае 0
cos
, следовательно числитель дроби
равен нулю. Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости.
Пусть две прямые заданы каноническим уравнением
:
1
L
1
1
1
1
1
1
p
z
z
n
y
y
m
x
x
:
2
L
2
2
2
2
2
2
p
z
z
n
y
y
m
x
x
60
Их направляющие векторы соответствен
но )
;
;
(
1
1
1
1
p
n
m
S
и )
;
;
(
2
2
2
2
p
n
m
S
.
Условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения:
0
2
2
2
1
1
1
1
2
1
2
1
2
p
n
m
p
n
m
z
z
y
y
x
x
При выполнении этого условия прямые лежат в одной плоскости, т.е. либо пересекаются, либо пар
аллельны друг другу.
Прямая и плоскость в пространстве
Угол между прямой и пло
с
костью.
Пусть плоскость Q
задана уравнением 0
D
Cz
By
Ax
, а прямая L
уравнениями p
z
z
n
y
y
m
x
x
0
0
0
. Углом между прямой и плоскостью на
зывается любой из двух смежных углов, образованных прямой и её проекцией на плоскость. О
п-
ределяется согласно следующему соотношению:
2
2
2
2
2
2
sin
p
n
m
C
B
A
Cp
Bn
Am
Условием перпендикулярности прямой и плоскости является усл
о-
вие:
p
C
n
B
m
A
Если пряма
я L
параллельна плоскости Q
, то выполняется условие
0
Cp
Bn
Am
Поверхности второго порядка
Эллипсоид. Эллипсоидом
называется поверхность, каноническое уравнение к
о-
торой имеет вид:
61
1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
где a
, b
и c
-
положительные числа. Исследуем форму эллипсоида. Из канонического уравн
е-
ния
эллипсоида видно, что координаты точек поверхности ограничены a
x
, b
y
и c
z
. Эллипсоид обладает тремя плоскостями симметрии, тремя осями симметрии и центром симметрии. Ими служат соответственно коорд
и-
натные плоск
о
сти, координатные оси и начало координат.
Для выяснения формы эллипсоида рассмотрим его сечения плоск
о-
стями. Найдем линию пересечения эллипсоида с пло
с
костью xOy
. Это уравнению удовлетворяет 0
z
. Рис. 20. Эллипсоид
Тогда р
а
венство 1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
преобразуется в 1
2
2
2
2
b
y
a
x
. Аналоги
ч
но для плоскостей yOz
1
2
2
2
2
c
z
b
y
и xOz
1
2
2
2
2
c
z
a
x
. Получаем «каркас» э
л
липсоида. Так же, как для эллипса, точки перес
ечения эллипсоида с коорд
и-
натными осями называются верш
и
нами эллипсоида, центр симметрии
-
центром эллипсоида.
62
Гиперболоид.
Однополостным гиперболоидом
называется поверхность, канон
и-
ческое уравн
е
ние которой имеет вид:
1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
где a
, b
и c
-
положительные числа.
Исследуем форму однополостного гиперболоида. Так же, как э
л-
липсоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, к
о-
ординатные оси и начало коорд
и
нат. Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью xOy
. На этой пло
с
кости 0
z
поэтому 1
2
2
2
2
b
y
a
x
.
Найдем
линию пересечения с плоск
о
стью yOz
. На этой плоскости 0
x
п
о
этому 1
2
2
2
2
c
z
b
y
. Рис. 21. Сечения однополостного гиперболоида
Сечение плоскостью xOz
также является гиперболой с уравнен
и-
ем 1
2
2
2
2
c
z
a
x
. На рисунках приведены изображения «скелета» г
и-
перболы и её объёмного изображ
е
ния.
63
Рис. 22. Однополостной гиперболоид
Если в уравнении
1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
b
a
, то сечения гиперб
о-
лоида пл
оскостями, параллельными плоскости xOy
являются окружн
о-
стями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперб
о-
лоидом вращения
. Двуполостным гиперболоидом
называется поверхность, канонич
е-
ское уравнение которой имеет вид 1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
где a
, b
и c
-
положительные числа.
Так же, как элли
п
соид и однополостный гиперболоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими явл
я-
ются соответственно координатные плоскости, координатные оси и нач
а-
ло к
о
ординат.
64
Рис. 24. Двухполостной гиперболоид
Конус.
Конусом второго порядка
называется поверхность, уравнение к
о-
торой в нек
о
торой декартовой системе координат имеет ви
д
0
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
где a
, b
и c
-
положительные чи
с
ла.
Для краткости в дальнейшем конус второго порядка будем наз
ы-
вать просто конус
. Исследуем форму конуса. Так же, как эллипсоид и г
и-
перболоиды, он имеет три плоскости симметрии, три оси симме
т
рии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоск
о-
сти, координатные оси и начало к
о
ординат. Для построения конуса найдем его сечения различными плоск
о-
стями. Найдем линию перес
ечения с плоскостью xOy
. На этой плоск
о-
сти 0
z
поэтому 0
2
2
2
2
b
y
a
x
. Найдем линию пересечения с плоск
о
стью yOz
. На этой плоскости 0
x
, п
о
этому 0
2
2
2
2
c
z
b
y
. Получаем эти пр
ямые. После чего находим уравнения пересечения плоскости, параллел
ь-
ной плоскости xOy
и телом конуса. Получаем в сечении эллипс. Изобр
а-
зим полученные с
е
чения.
Таким образом,
получаем объёмную ф
и
гуру конуса.
65
Рис. 25. К
онус
Параболоиды. Эллиптическим параболоидом
н
а
зывается поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе коорд
и
нат имеет вид
2
2
2
2
b
y
a
x
z
.
где a
и b
-
положительные числа.
Исследуем форму
эллиптического параболоида. Он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости xOz
, yOz
и координа
т
ная ось Oz
. Для построения эллиптического п
араболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пер
е
сечения с плоскостью xOy
. На этой плоскости 0
z
0
2
2
2
2
b
y
a
x
Найдем линию пересечения с плоскостью yOz
. На это
й плоск
о-
сти 0
x
2
2
b
y
z
Это уравнение параболы на плоскости yOz
. П
о
строим её. 66
Сечение плоскостью xOz
также является параболой. Найдем л
и-
нии пересечения поверхности с плоскостью h
z
. Уравнения этой л
и-
нии:
h
z
h
b
y
a
x
2
2
2
2
.
Очевидно, что только одна точка (начало коорд
и
нат) удовлетворяет этим уравнениям, если 0
h
. Эта точка называется вершиной
параб
о-
лоида. Найдем сечения параболоида пл
оскостями m
y
, параллельн
ы-
ми плоскости xOz
. Линии этих сечений удовлетв
о
ряют уравнениям m
y
b
m
a
x
z
2
2
2
2
.
Получаем объёмную картинку параболоида. Рис. 26. Параболоид
Цилиндры.
Цилиндрической
поверхностью
называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия назыв
а-
ется направляющей
, а параллельные прямые
--
образующими
.
67
Если уравнение поверхности не содержит в явном виде какой
-
либо переменной, то это уравнен
ие определяет в пространстве цилиндрич
е-
скую поверхность с образующими, параллельными оси отсутствующего переменного и направляющей, которая в плоскости двух других переме
н-
ных имеет то же самое уравнение. Поверхность, которая в некоторой декартовой системе
координат задается уравнением
1
2
2
2
2
b
y
a
x
называется эллиптическим цилиндром
, поверхность, которая зад
а-
ется уравнением
1
2
2
2
2
b
y
a
x
называется гиперболическим цилиндром
, а которая задается уравн
е-
нием
px
y
2
2
называет
ся параболическим цили
н
дром
.
Их изображения приведены на рисунке.
Рис. 27. Эллиптический, гиперболический и параболический цилиндр
Контрольные вопросы к теме 1.5
1.
Что такое поверхность в пространстве, как она задается?
2.
Что такое линия в пространс
тве, как она задается?
3.
Что такое вектор нормали плоскости?
68
4.
Как записывается уравнение плоскости по точке и вектору но
р-
мали?
5.
Что такое общее уравнение плоскости?
6.
Как записывается уравнение плоскости по трем точкам?
7.
Какие существуют виды уравнения прямой в п
ространстве?
8.
Как записывается каноническое уравнение прямой?
9.
Как вычисляется угол между прямыми?
10.
Каковы условия параллельность и перпендикулярности прямых?
11.
Как вычисляется угол между прямой и плоскостью?
12.
Каковы условия параллельности и перпендикулярности п
рямой и плоскости?
13.
Каково каноническое уравнение эллипсоида?
14.
Каково каноническое уравнение гиперболоида?
15.
Каково каноническое уравнение параболоида?
16.
Каковы канонические уравнения цилиндров?
[1], §§ 9, 10, 25.
[4], гл. IV
.
69
Р
АЗДЕЛ II.
В
ВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧ
ЕСКИЙ АНАЛИЗ
.
Э
ЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБ
РЫ
Тема 2.1. Элементарные функции
Множество вещественных чисел. Функция. Область её о
п
ределения. Способы задания. Основные элементарные функции, их гр
а
фики. Класс элементарных функций. Методы преобразования граф
и
ков функ
ций.
Основные определения и обозначения. Функции
Множеством
называют совокупность некоторых объектов, объ
е-
диненных по какому
-
либо признаку.
Объекты, из которых состоит множество, называются его эл
е-
ментами.
Если элемент х
принадлежит множеству Х
, то запис
ывают X
x
.
Множество А
называется подмножеством
множества В
, если все элементы А
содержатся в В
. Обозначается В
А
.
Введем несколько логических обозначений:
-
«следовательно», «следует»;
-
«любой», «для любого»;
-
«существует», «найдется».
Действительные числа. Числовые множества. Числовые пром
е
жутки
Особую роль играют множества, элементами которых являются числа –
числовые множества.
Например:
N
=
{1, 2, 3, …} –
множество натуральных
чисел;
Z
= {…, -
3, -
2, -
1, 0, 1, 2, 3, …} –
множество целых
чисел;
Q
= {
m
/
n
: N
n
Z
m
,
} –
множество рациональных
чисел (др
о
бей);
R
–
множество действительных
чисел.
Между этими множествами существует соот
ношение:
R
Q
Z
N
.
Действительные числа, не представимые в виде дробей (не рационал
ь-
ные), называются иррациональными. Например, число 2
-
ирраци
о-
нальное.
70
Каждому действительному числу соответствует точка на прямой (чис
ловой оси) и, наоборот, каждой точке оси соответствует определе
н-
ное действительное число.
Среди подмножеств множества действительных чисел отметим следующие:
[
a
; b
] = {
x
: b
х
а
}
–
отрезок (все точки между a
и b
, включая ко
н-
цы);
(а; b
) = {
x
: a
< x
< b
}
–
интервал (
а
и b
в интервал не включаются);
[
a
; b
) = {
x
: b
х
а
},
(
a
; b
] = {
x
: b
х
а
} –
полуинтервалы;
};
:
{
]
;
(
b
x
x
b
};
:
{
)
;
(
b
x
x
b
};
:
{
)
,
[
a
x
x
a
}
:
{
)
,
(
a
x
x
a
-
беск
онечные интервалы.
Окрестностью точки х
о называется любой интервал, содержащий точку х
о
. Например, интервал )
,
(
о
о
х
х
, где ε > 0
(как правило маленькое число) называется ε
-
окрестностью точки х
о
. Понятие функции. Числовые функции
Пусть X
, Y
–
некоторые множества. Функцией
или от
о
бражением f
множества X
в Y
называется всякое правило (з
а
кон), которое каждому элементу X
x
ставит в соответствие определенный Y
y
. При этом пишут Y
X
f
®
:
(читается: ф
ункция f
из X
в Y
или y
=
f
(
x
)
, где X
x
, Y
y
). Множество X
называют областью определения
или областью существования функции f
. Множество Y
x
f
)
(
-
областью значений
функции f
.
Произвольный элемент X
x
называется независимой пер
е-
менной или аргументом
функции f
(
x
)
, соответс
т
вующее ему по правилу f
,
элемент Y
x
f
y
)
(
называется зависимой переменной или знач
е-
нием функции f
. Если элементами множеств X
и Y
являются действительные чи
с-
ла (
R
Y
R
X
,
), то функция Y
X
f
®
:
называется числовой функцией. В дальнейшем будем рассматривать только числовые фун
к-
ции. 71
На плоскости фун
к
ция изображается в виде графика –
множество точек (
x
;
y
)
,
прямоугольные декартовые координаты кот
орых связаны соотношением y
=
f
(
x
)
, называется уравнением граф
и
ка функции y
=
f
(
x
)
.
Функции можно задавать различными способами:
1)
табличный –
функция задается таблицей ряда знач
е
ний аргумента и соответствующих значений функции;
2)
графический –
функция задается св
оим графиком (на бумаге или на экране);
3)
аналитический –
функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений. Это наиболее ча
с
то используемый способ Например: y
= x
2
;
0
,
0
,
1
2
2
х
х
х
х
у
Если область определения функции не указана
Функция
Y
X
f
®
:
называется ограниченной на мн
о
жестве X
,
если M
x
f
X
x
M
)
(
:
0
. Пример
: функция Дирихле
0
1
y
y
если
если
I
x
Q
x
Рассмотрим функции Y
X
f
®
:
и функцию Z
Y
g
®
:
. Функция
Z
X
h
®
:
, определяемая соотношением z
=
g
(
f
(
x
))
называют сложной функцией
или композицией функции f
и g
(
h
=
g
f
)
, тогда z
=
h
(
x
)
.
Пример
: X
=
Y
=
Z
=
R
. F
(
x
)=
sinx
; g
(
x
)=
x
2
,
2
2
2
sin
)
)(
(
sin
)
(sin
)
)(
(
x
x
g
f
x
x
x
f
g
f
g
g
f
(не коммутативна).
Сложную функцию иногда удобно записать в виде цепочки переме
н-
ных )
(
y
g
z
; )
(
x
f
y
.
Будем говорить, что функция f
(
x
)
не убывающая
(соответственно не возрастающая
) на множестве X
,
если
)
(
)
(
:
,
2
1
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
X
x
x
соответственно для не во
з-
растающих )
(
)
(
2
1
x
f
x
f
.
72
Если для X
x
x
2
1
,
)
(
)
(
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
то функция наз
ы-
вается убывающей
(
если
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
, то возрастающей
).
Две последние функции –
строго монотонные
, предыдущие –
мон
о-
тонные
.
Рассмотрим функцию Y
X
f
®
:
, удовлетворяющую двум услов
и-
ям:
1) каждый элемент из Y
я
в
ляется образом хотя бы одного элемента из X
(тогда говорят, что f
есть функция из X
на Y
и пишут f
(
X
)=
Y
) 2)
X
x
x
2
1
,
)
(
)
(
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
, т.е. разные элементы из X
имеют р
азные образы в Y
.
Из этих условий следует, что каждый элемент Y
y
является обр
а-
зом в точности одного элемента X
x
, именно того, для которого )
(
x
f
y
, тем самым на множестве Y
о
п
ределена функция: X
Y
f
®
:
1
, которая называется обра
т
ной
для функции f
.
Каждая из функций 1
,
f
f
устанавливает взаимно однозначное соответствие ме
ж-
ду элементами из Y
и X
.
Очевидно:
x
x
f
f
)
(
1
X
x
y
y
f
f
)
(
1
Y
y
Функции f
и 1
f
-
взаимообратные.
Пример
: R
Y
X
и 3
)
(
x
x
f
y
Функция R
R
f
®
:
удовлетворяет условиям существования обратной функции, т.к. всякое вещ
е
ственное есть куб некоторого вещественного числ
а и разные вещественные числа имеют разные кубы. Поэтому фун
к-
ция f
имеет 1
f
)
(
:
1
1
y
f
x
f
, т.е. 3
y
x
Очевидно, функция )
(
x
f
y
и обратная функция )
(
1
y
f
x
имеют один и тот
же график. Только для обратной функции ось О
y
явл
я-
ется осью аргумента, а ось Ox
–
осью функций. Если поменять местами x
и y
,
т.е. повернуть плоскость xOy
на 180
вокруг биссектрисы I
и III
к
о-
ординатных углов, то новое положение графика об
ратной фун
к
ции 73
)
(
1
y
f
x
будет графиком функции )
(
x
f
y
, которое так же наз
ы-
вается обратной.
С учетом этого можно сказать, что график основной и обратной фун
к-
ции си
м
метричны относительно биссектрисы I
и III
координатных углов. Если
функция )
(
x
f
определена и строго монотонна на некотором промежутке X
, то на соответствующем промежутке Y
обратная фун
к
ция )
(
1
y
f
x
существует и строго
-
монотонная (в том же смысле).
Функция Y
X
f
®
:
называется четной
(
нечетной
) на множес
т
ве X
, если:
1)
X
является множеством симметричным относительно начала коорд
и-
нат на числовой оси;
2)
)
(
)
(
x
f
x
f
(
)
(
)
(
x
f
x
f
) X
x
.
Ясно, что график функции симметричен относительно оси Oy
,
(отн
о-
сительно на
чала координат). Функция, которая не является ни че
т
ной, ни не четной называется функцией общего вида
. Функцией общего вида будет любая функция, область определения которой не симметрична относительно оси координат.
Функция Y
X
f
®
:
называется
периодической
на множестве X
,
е
с-
ли 0
T
:
1)
точка X
T
x
)
(
, X
x
;
2)
X
x
x
f
T
x
f
),
(
)
(
Число T
называется периодом
функции )
(
x
f
. Из этого определения вытекает, что всякое число кратное периоду, та
кже является периодом функции. Из этого определения вытекает, что всякое число кратное п
е-
риоду, также является периодом фун
к
ции.
)
(
)
(
]
)
[(
)
2
(
x
f
T
x
f
T
T
x
f
T
x
f
и т.д.
Итак, у бесконечной функции есть много периодов; если у нее есть самый малый положительный период, то –
это о
с
новный период.
Пример:
у функции у
=
)
(
x
tg
-
период T
= .
Однако не всякая периодичная функция обладает осно
в
ным периодом. Например, f
(
x
) = c
= const
–
периодическая, причем ее периодом являе
т-
ся любое вещественное число, т.к. не с
уществует наименьшего полож
и-
тельного вещественного числа, то эта функция не имеет основного п
е-
риода.
74
Элементарные функции
1. Линейная функция.
Это функция вида f
(
x
) = kx
+ b
; D
(
f
) = R
. Число k
называется угловым к
о
эффициентом
, а число b
–
свободным член
ом
. Графиком линейной функции служит прямая на координатной плоскости. Угловой коэффициент k
равен тангенсу угла α
наклона графика к г
о-
ризонтальному направлению
–
полож
и
тельному направлению оси Ox
. Рис. 28. График линейной функции
–
прямая
2. Степенная функция.
Это функция вида R
x
x
f
,
)
(
. Ра
с-
сматриваются такие случаи: а). Если N
, то D
(
f
) = R
. Тогда f
(0) = 0,
f
(1) = 1
; е
с
ли число
α –
чётное, то и функция
f
-
чётная (то есть f
(
-
x
) = f
(
x
)
при всех x
); если число α
–
нечётное, то и функция f
–
нечё
т
ная. Рис. 29. График степенной функции при α = 1, 2, 3, 4
75
б) Если ,
Z
0
, то }
0
{
)
(
x
f
D
. Ситуация с чётн
о
стью и нечётностью при этом такая же, как и для 0
: если α
-
чётное число, то и
f
(
x
)
–
чётная функция; если α
–
нечётное чи
с
ло, то и
f
(
x
)
–
нечётная функция. Рис. 30. График степенной функции при α = 0, -
1, -
2, -
3
Снова за
метим, что f
(1) = 1
при всех α
. Если α = 0, то f
(
x
) = x
0
= 1
при всех x
, кроме x
= 0
(выражение 0
0
не имеет смысла). в). Если α
–
не целое число, то, по определению, при α > 0: }
0
:
{
)
(
x
R
x
f
D
; тогда
f
(0) = 0, f
(1) = 1
. 76
Рис. 31. График степенной функции при α > 0
При α < 0, по определению, }
0
{
)
(
x
f
D
; тогда f
(1) = 1
. Рис.
32
. График степенной функции при α < 0
3. Показательная функция (экспонента).
Это функция вида x
a
x
f
)
(
(
a
> 0
, 1
a
). Для неё D
(
f
) = R
, f
(0) = 1, f
(1) = a
, и при a
> 1
график имеет такой вид: 77
Рис. 33. График показательной функции при a
> 1
При a
< 1
вид графика такой: Рис. 34. График показательной функции при a
< 1
Число a
называется основанием
показательной функции. 4. Логарифмическая функция.
Это функция вида f
(
x
) = log
a
x
(
a
> 0, 0
а
)
. Для неё }
0
{
)
(
x
f
D
, f
(1) = 0
, f
(
a
) = 1
, и при a
> 1
гр
а
фик имеет такой вид: Рис.
35
. График логарифмической фу
нкции при a
> 1
78
При a
< 1
график получается такой: Рис.
36
. График логарифмической функции при a
< 1
Число a
называется основанием
логарифма. 5. Функция синус:
f
(
x
) = sin
x
. Для неё D
(
f
) = R
; функция пери
о-
дична с периодом 2
π
и нечётна. Её график таков: Рис. 37. График функции sin
x
6
. Функция косинус:
f
(
x
) = cos
x
. Эта функция связана с синусом формулой приведения: )
2
sin(
cos
x
x
;
D
(
f
) = R
; п
е
риод функции равен 2
π
; функция чётна. Её график таков: Рис. 38. График функции cos
x
79
7. Функция тангенс:
f
(
x
) = tg
x
.
По определению, x
x
tgx
cos
sin
. Функция нечётна и периодична с пери
о
дом; D
(
f
)={
Z
k
k
x
,
2
}
то есть x
не может принимать значений, при кото
рых cos
x
(стоящий в знаменателе) обращается в ноль. Рис.
39
. График функции tg
x
Преобразование графиков функций
Расс
мотрим основные типы преобразований графиков на примере тригонометрических функций.
1) a
x
f
x
f
®
)
(
)
(
, где а
–
число, а > 0.
При таком преобразовании функции ее график смещается на а
вверх
80
Рис. 40. Сдвиг функции вдоль оси Oy
ес
ли а < 0
, то график смещается вниз
.
2) )
(
)
(
а
x
f
x
f
®
, если а > 0
, то
график сдвигается на а
влево
Рис. 41. Сдвиг функции вдоль оси Ох
если а < 0
, то график смещается вправо
.
3) )
(
)
(
x
f
а
x
f
®
, если а > 1
, то график растягивается
относ
и
тельно оси Ох в а
раз
81
Рис. 42. Увеличение амплитуды в 2 раза
если 0 < а < 1, то график сжимается
к оси Ох
Рис. 43. Уменьшение амплитуды в 2 раза
Если а < 0, то помимо растяжения
-
сжатия, график фун
кции еще и зе
р-
кально отражается
относительно оси Ох
82
Рис. 44. Зеркальное отражение и увеличение амплитуды
4) )
(
)
(
аx
f
x
f
®
, если а > 1
, то график сжимается
относ
и
тельно оси О
y
в а
раз
Рис. 45. Увеличение час
тоты в 2 раза
если 0 < а < 1, то график растягивается
от оси Оу
83
Рис. 46. Уменьшение частоты в 2 раза
[6], гл. 3, § 4.1; гл. 4, §§ 2, 3.
[4], §§ 13, 14.
Контрольные вопросы к теме 2.1
1.
Что такое множество?
2.
Каковы основные числовые множе
ства?
3.
Что такое функция?
4.
Какая функция называется числовой?
5.
Какая функция называется ограниченной?
6.
Какая функция называется сложной?
7.
Какая функция называется возрастающей (убывающей, моното
н-
ной)?
8.
Какая функция называется обратной?
9.
Какая функция называется четной (нечетной)?
10.
Какая функция называется периодической?
11.
Какая функция называется линейной и каковы ее основные сво
й-
ства?
12.
Какая функция называется степенной и каковы ее основные свойства?
13.
Какая функция называется показательной и каковы ее основные свойст
ва?
14.
Какая функция называется логарифмической и каковы ее осно
в-
ные свойства?
84
15.
Какая функция называется линейной и каковы ее основные сво
й-
ства?
16.
Каковы основные тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) и их свойства?
17.
Каковы основные типы преобразов
аний графиков функций?
Экспоненциальная функция в переходных пр
о
цессах
Переходные процессы в цепях с индуктивностью.
Переходный процесс в электрической цепи –
электромагнитный процесс, возникающий в электрической цепи при переходе от одного у
с-
тановившего
ся режима в другому. Установившейся режим –
это режим, при котором напряжения и токи в течении длительного времени остаются постоянными. Такой режим работы называется принуждённым режимом. Переходный процесс базируется на двух законах коммутации: 1. ток в индуктивности не может изменяться скачком;
2. напряжение на емкости не может изменяться скачком;
В цепях с индуктивностью или ёмкостью переходный процесс можно рассматривать как результат наложения двух процессов –
прину
ж-
дённого и свободного. Свободный
процесс обеспечивает переход цепи от прежнего пр
и-
нуждённого режима (например, отсутствия тока в цепи) к новому прин
у-
жденному режиму (например, установлению определенного тока).
Токи в цепи в течении переходного процесса можно представить в виде суммы прин
ужденного и свободного токов, т.е. св
пр
i
i
i
, а н
а-
пряжение св
пр
u
u
u
.
Рассмотрим свободный режим переходного процесса в цепи при подключению катушки индуктивности к источнику с постоянным
н
а-
пряжением U
.
85
За счёт ЭДС самоиндукции dt
di
L
e
L
ток в цепи нарастает п
о-
степенно от нуля до принужденного (установившегося) значения R
U
I
i
пр
Свободный ток изменяется в этой цепи по закону
t
св
Ie
i
где I
-
установившейся ток; t
-
время переходного процесса; e
-
основание натурального логарифма, знак минус перед током в выражении отражает правило Ленца; -
постоянная времени переходного процесса в цепи с индуктивностью.
Постоянная времени измеряется в секундах и для цепи с инду
к-
тивностью
R
L
Следовательно, ток переходного процесса в любой момент времени t
при подключении реальной катушки индуктивности к источнику модно определить:
)
(
t
св
пр
Ie
I
i
i
i
, т.е. t
e
I
i
1
86
Из этого выражения следует, что ток в цепи катушки индуктивн
о-
сти, подключенной к источнику с постоянным напряжением, увеличив
а-
ется. За врем
я t
ток достигнет величины I
63
,
0
. Т.е. I
I
I
e
I
i
t
63
,
0
)
37
,
0
1
(
)
718
,
2
1
1
(
1
Переходный процесс теоретически длиться бесконечно долго, о
д-
нако можно считать законченным, когда ток i
достигнет 99
% устан
о-
вившегося тока. Это произойдёт за время 6
,
4
t
. Как видно, постоянная времени характеризует длительность п
е-
реходного процесса, т.е. чем больше , тем медленней проходит этот пр
оцесс. Пример:
Катушка электромагнита с параметрами 11
R
Ом и 11
,
0
L
мГн подключена к сети постоянного тока с напряжением 110
c
U
В. Определить время t
, за которое ток в катушк
е i
увеличиться с от нулю до 8А. Определить какого значения достигнет ЭДС самоиндукции L
e
за это время t
. Решение:
Установившейся ток: A
R
U
I
10
11
110
.
Постоянная времени для катушк
и: 5
3
10
11
10
11
,
0
R
L
.
Подставляем значение величин в выражение t
e
I
i
1
, отк
у-
да 2
,
0
10
8
10
t
e
.
Отсюда определяем время 5
10
6
,
1
6
,
1
t
с.
87
ЭДС самоиндукции за время 5
10
6
,
1
6
,
1
t
с уменьшиться со значения 110 В
до значения 22
110
5
5
10
10
6
,
1
e
Ue
e
t
L
В. Если цепь с катушкой, в которой проходит установившийся ток, разомкнуть, то ток в такой цепи с большой скоростью уменьшиться до нуля, и в цепи возникает большая ЭДС самоиндукции. Наличие ЭДС в
ы-
зывает между контактам
и ключа К увеличение напряженности эклект
и-
ческого поля. Возникает дуговой разряд. Поэтому для разрыва индукти
в-
ных цепей с большими токами применяются специальные устройства, которые обеспечивают гашение дугового разряда. Тема 2.2. Числовые последовательн
ости
Числовые последовательности. Существование предела м
о
нотонной ограниченной последовательности. Предел функции в точке и в беск
о-
нечности. Пределы монотонных функций. Бесконечно малые вел
и
чины. Сравнение бесконечно малых. Первый и второй замечател
ь
ные пределы.
Числовые последовательности. Предел последовательности.
Последовательностью вещественных чисел называется любая функция R
N
f
:
ее значения n
a
a
a
;...;
;
2
1
(1); называются членами послед
о-
вательности, член )
(
n
f
a
n
на
зывается n
-
м или общим членом посл
е-
довательности.
Чаще всего последовательность задается формулой общего члена )
(
n
f
a
n
, такая формула позволяет вычислить любой член последов
а-
тельности по номеру п. Например: формулы 1
2
n
x
n
, n
y
n
n
)
1
(
, n
z
n
1
, n
n
u
n
1
определяют следующие последовательности:
x
n
= {2, 5, 10, 17, …}
;
y
n
= {
-
1, 2, -
3, 4, …};
z
n
= {1, ½, 1/3, ¼, …};
u
n = {0, ½, 2/3, 3/4, 4/5, …}.
Последовательность {
x
n
} называется огра
ниченной, если существует такое число М > 0, что для любого N
n
выполняется неравенство:
M
x
n
.
88
(По
-
другому это определение можно записать так -
0
M
N
n
M
x
n
)
Так, последовательности ограничены, а x
n
и –
неогран
и
чены.
Последовательность {
x
n
} называется возрастающей (неубыва
ю-
щей)
, если N
n
n
n
x
х
1
)
(
1
n
n
x
x
. Аналогично определ
я
ется убывающая (невозрастающая)
пос
ледовательность. Такие последов
а-
тельности называются монотонными
.
Так, последовательности x
n
, z
n
и u
n
–
монотонные, y
n
–
немоното
н-
ная.
Постоянное число a
называется пределом
последов
а
тельности {
a
n
}
, если для любого положительного числа найдется такое натурал
ь-
ное число N
, что при всех n
> N
выполняется неравенство а
а
п
. По
-
другому это определение можно записать так: )
2
(
:
)
(
0
a
a
N
n
N
n
при этом пишут a
a
n
n
®
lim
или a
a
n
®
при ®
n
. Говорят та
к-
же, что последовательность а
п сходится
к а
.
Подчеркнем, что 0
выбирается произвольно, а число N
должно быть указано после выбора .
Вообще говоря, если уменьшит то неравенство (2
) будет в
ы-
полняться, начиная со все больших и больших ном
е
ров, т.е. чем больше близости значений n
a
к числу a
мы тр
е
буем, тем более далекие значения в ряду (1) приходится рассматривать.
Из определения последовательности немедленно втекает
, что предел постоянной (последовательности) (
a
a
n
) равен самой этой постоя
н-
ной, т.к. неравенство (2) выполняется тривиальным образом для любого 0
при всех натурал
ь
ных N
.
В силу свойств абсолютных величин неравенство (2) равносильно н
е-
равенствам: a
a
a
n
(2’), это значит, что точка n
a
-
окрестности точки a
,
поэтому соотношение a
a
n
n
®
lim
равносильно сл
е-
дующему утверждению: каков бы ни был интервал a
a
;
можно указать та
кое число )
(
N
, что все точки n
a
, номера которых N
n
принадлежат указанному интервалу. Отсюда следует, что указанному 89
интерв
а
лу принадлежат бесконечно много точек n
a
, когда как вне этого интервала может быть конечное число точек с номером N
n
.
Например: последовательности x
n
и y
n
предела не имеют (не являются сходящимися, уходят в бесконечность); 0
lim
®
n
n
z
(члены последовательность все ближе подходят к 0);
1
lim
®
n
n
u
(члены последовательность все ближе подходят к 1).
Сходящаяся последовательность может иметь только один предел.
Теорема
. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Применим эту теорему для последовательности
п
п
п
х
1
1
. Эта последовательность возрастающая (монотонная). И ограничена сверху: 3
п
х
п
. Значит, она имеет предел, обозначаемый буквой е
: e
n
n
n
®
1
1
lim
Вообще число e
=2,718281828459045…
иррациональное
и играет и
с-
ключительно важную роль в математике. В математическом анализе и
с-
пользуют главным образом логарифм по основанию e
,
называют нат
у-
ральным и обозначают ln
,
так что e
log
ln
. Предел функции в точке и на бесконечности
Существуют два э
квивалентных определения предела функции в то
ч-
ке:
1. (по Гейне)
Постоянное число А
называется пределом
функции f
(
x
)
в точке 0
x
(или при 0
x
x
®
) если для любой последовательности n
x
такой, что 0
x
x
n
®
и 0
x
x
п
соответствующая посл
е
довательность значений функций n
x
f
сходится А.
Обозначается: A
x
f
x
x
®
0
lim
90
2.
(по Коши)
Постоянное число А
называется пределом
функции )
(
x
f
в точке 0
x
(или при 0
x
x
®
) если для произвольного числа 0
найдется число 0
такое, что из условия 0
x
x
0
x
x
(1) вытекает нер
а-
венство A
x
f
)
(
.
Это определение означ
ает, что значение функции )
(
x
f
будут как угодно мало отличаться от постоянного числа А
, если только соответс
т-
вующее значение аргумента близки к 0
x
.
Т. к. неравенство (1) равносильно: A
x
f
A
)
(
то какова бы ни бы
ла полоса, ограниченная прямыми A
y
и A
y
, найдется интервал 0
0
;
x
x
, такой что все точки графика )
(
x
f
y
с абсциссами из этого интервала (кроме быть может точки с абсциссами 0
x
)
окажутся внутри данной полосы.
A
)
(
x
f
A
A
0
x
0
x
0
x
Рис. 48. Предел функции в точке
Подчеркнем, что определение Коши не т
ребует, что бы функция )
(
x
f
была определена в точке 0
x
, поэтому в опр
е
делении речь идет о «проколотой» -
окрестности точки 0
x
(окрестность точки 0
x
радиуса без самой точки 0
x
).
В определении предела функции считается, что х
стремится к х
0
л
ю-
бым способом. Однако, бывают случаи, когда способ приближения арг
у-
мента существенно влияет на значение предела функции. Для таких сл
у-
чаев вводи
тся понятие односторонних пределов
.
Число А
1 называется пределом функции f
(
x
) слева
в точке х
0
, если для любого числа 0
найдется число 0
, такое что при 91
)
;
(
о
о
х
х
х
, выполняется неравенство 1
)
(
A
x
f
. Записыв
а-
ется 1
)
0
(
lim
0
A
x
f
x
f
x
x
®
. От обычного предела функции в то
ч
ке предел слева отличается лишь тем, что х
стремится к х
0
все время остав
а-
ясь меньше х
0
.
Аналогично определяется 2
)
0
(
lim
0
A
x
f
x
f
x
x
®
-
предел спр
а-
ва
.
Рис. 49. Краевые пределы
Очевидно, что если существует A
x
f
x
x
®
0
lim
, то существуют и оба краевых предела, причем А = А
1
= А
2
. Но если краевые пределы не равны д
руг другу, 2
1
А
А
, то x
f
x
x
0
lim
®
не существует.
Число А
называется пределом функции f
(
x
)
при ®
х
(аргумент стремится к бесконечности), если для любого 0
найдется такое М > 0
, что для всех
х > M
выполняется н
е
равенство А
x
f
)
(
.
Обозначается: A
x
f
x
®
lim
.
Аналогично определяется A
x
f
x
®
lim
.
Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Свойства пр
е-
делов. Первый и второй замечательный пределы
Функция f
(
x
)
называется
бесконечно большой
при
0
x
x
®
, если для любого числа М > 0
найдется число 0
, что для всех х, удовлетв
о-
92
ряющих неравенству o
x
x
0
, выполняется неравенство М
x
f
)
(
. Записывают
®
x
f
x
x
0
lim
или говорят, что функция f
(
x
)
стремится к бесконечности при 0
x
x
®
.
Например, функция х
у
1
бесконечно большая при 0
®
x
.
Если бесконечно большая функция при 0
x
x
®
принимает л
ишь п
о-
ложительные значения, то пишут ®
x
f
x
x
0
lim
; если только отриц
а-
тельные -
®
x
f
x
x
0
lim
.
Функция f
(
x
)
называется бесконечно большой при ®
x
, если для любого числа М > 0
найдется такое число N
> 0
, что при всех х, таких
что M
х
, выполняется неравенство M
x
f
)
(
.
Например, функция y
= x
2
бесконечно большая при ®
x
.
Функция f
(
x
)
называется
бесконечно малой
при
0
x
x
®
, если 0
lim
0
®
x
f
x
x
.
Например: y
= x
2
при 0
®
x
; y
= x
–
1
при 1
®
x
; y
= cos
x
при 2
®
x
.
Отметим некоторые свойства бесконечно малых функций (БМФ):
1.
Сумма конечного числа БМФ есть БМФ.
2.
Произведение ограниченной функции на БМФ есть БМФ. Наприм
ер: функция x
х
x
f
1
sin
)
(
при 0
®
x
является беск
о
нечно малой, т. к. функция y
= x
бесконечно малая, а x
y
1
sin
-
огран
и-
ченная
3.
Если )
(
х
-
БМФ, то )
(
1
х
-
бесконечно большая и нао
борот: если f
(
x
) –
бесконечно большая, то )
(
1
x
f
-
БМФ.
93
Например, функция y
= 2
x
–
бесконечно большая при ®
x
, х
у
2
1
-
БМФ при ®
x
.
4.
Если функция f
(
x
)
имеет предел равный А
, то ее можно пр
едст
а-
вить как сумму числа А
и БМФ, т. е. если A
x
f
x
x
®
0
lim
, то )
(
)
(
x
A
x
f
.
Рассмотрим еще несколько свойств, которые облегчают вычисление пределов функций. Будем считать, что пределы x
f
x
x
0
lim
®
и x
x
x
0
lim
®
существу
ют. Все утверждения справедливы и для случая ®
х
.
1.
Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов: )
(
lim
)
(
lim
))
(
(
lim
0
0
0
x
x
f
х
x
f
x
x
x
x
x
x
®
®
®
.
2.
Предел произведения двух функций равен произведению их пр
е-
делов: )
(
lim
)
(
lim
))
(
(
lim
0
0
0
x
x
f
х
x
f
x
x
x
x
x
x
®
®
®
. Отсю
да след
у-
ет, что постоянный множитель можно выносить за знак предела:
)
(
lim
lim
0
0
x
f
с
x
f
с
x
x
x
x
®
®
3.
Предел частного двух функций равен частному пределов, при у
с-
ловии, что предел знаменателя не равен нулю:
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
0
0
0
x
x
f
x
x
f
x
x
x
x
x
x
®
®
®
(
0
)
(
lim
0
®
x
x
x
)
П
ример: ®
®
®
®
3
lim
2
lim
4
lim
)
3
2
4
(
lim
1
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
5
3
1
2
1
4
3
)
(lim
2
)
lim
(
4
1
2
1
®
®
x
x
x
x
При вычислении пределов тригонометрических выражений часто и
с
пользуется предел
1
sin
lim
0
®
x
x
x
,
который называется первым замечательным пр
е
делом
.
94
П
р
и
мер:
1
1
1
1
cos
1
lim
sin
lim
cos
1
sin
lim
lim
0
0
0
0
®
®
®
®
x
x
x
x
x
x
x
tgx
x
x
x
x
Пр
е
дел
e
x
x
x
®
1
1
lim
называется вторым замечательным пределом
.
В технических науках часто используется показательная функция с о
с-
нованием е (
y
= e
x
)
, называемая экспоненциальной функцией или эксп
о-
нентой
.
Контрольные вопросы по теме 2.2
1.
Ч
то такое числовая последовательность?
2.
Какая последовательность называется ограниченной?
3.
Какая последовательность называется возрастающей (убыва
ю-
щей, монотонной)?
4.
Что называется пределом последовательности?
5.
Что называется пределом функции в точке (два опред
еления)?
6.
Как определяются односторонние пределы функции в точке?
7.
Что такое предел функции на бесконечности?
8.
Какая функция называется бесконечно большой (бесконечно м
а-
лой)?
9.
Что такое первый замечательный предел?
10.
Что такое второй замечательный предел?
[6], гл. 3, §§ 1, 2; гл. 4, § 4. [4], §§ 15
–
17. Пределы функций при расчете переходных процессов
Одними из основных процессов в электрических системах пр
о-
мышленного и бытового назначения играют роль переходные процессы. Это в первую очередь связано с тем, ч
то в этих системах нашли широкое применение индуктивные и ёмкостные элементы. Одна из основных задач сводится к тому, чтобы определить в пер
е-
ходных процессах –
к какому значению стремиться функция заданной величины. Как правило, процесс, происходящий в эл
ектрических цепях, 95
возможно описать уравнением –
как правило дифференциальным. В итоге мы можем получить зависимость изменения параметра электрической цепи в зависимости от времени или других параметров –
к примеру, н
а-
пряжения приложенного к цепи, либо соп
ротивления и пр. Таким обр
а-
зом, в любой момент времени мы можем получить интересующую нас хара
к
теристику цепи. Для того, чтобы получить функциональную зависимость, необх
о-
димо учесть ряд допущений и ограничений, которые определённым обр
а-
зом повлияют на кон
ечную функциональную зависимость. В итоге мы можем получить зависимость, которая может не существовать в опред
е-
лённом месте временного интервала. Как правило, функциональная зав
и-
симость, составленная по электрической цепи необходима нам для того, чтобы опр
еделить интересующие нас характеристики спустя какой
-
то промежуток времени, после введения этой цепи в эксплуатацию. Поэтому первым делом необходимо проанализировать полученную функционал
ь-
ную зависимость на предмет её поведения в необходимый интервал вр
е-
ме
ни. Говоря математическим языком –
её необходимо исследовать. Пе
р-
вым и главным образом –
необходимо определить область существования функции и её характер. Полученные результаты необходимо сопоставить с ограничениями, наложенными на выходные параметры этой
функции. При проектировании электрической цепи одной из важных задач является «предсказание» поведения выходного параметра функции в о
п-
ределённый момент времени. Однако наравне с определением выхо
д
ных параметров за определённый момент времени существует задача нахо
ж-
дения конечной величины выходного параметра, которому будет стр
е-
миться функция, описывающая этот параметр, при стремлении вхо
д
ного параметра функции –
обычно время –
к определённому большому знач
е-
нию. Другими словами –
необходимо определить в п
ереходном пр
о
цессе электрической цепи к чему стремиться значение функции. Как пр
а
вило, в переходных процессах процесс, сам переходный процесс длиться относ
и-
тельно непродолжительное время. Это в первую очередь зависит от х
а-
рактеристики цепи –
главным образо
м от ёмкостных и индуктивных эл
е-
ментов. Однако сразу после переходного процесса наступает установи
в-
шейся режим, который может длиться сколь угодно долго и при этом не меняется со временем. Поэтому при расчёте пределов функций, кот
о
рые описывают определённы
х параметр электрической цепи, можно в качес
т-
ве предела задать время, стремящееся к бесконечн
о
сти. Приведём примеры.
Переходные процессы в цепи с последовательно соединенными участками r
и С
.
96
Рассмотрим переход
ные процессы в цепи, состоящей из последов
а-
тельно включенного участка с сопротивлением и конденсатора. Обозн
а-
чив напряжение на зажимах цепи через u
, а напряжение на обкладках конденсатора и значение его заряда соответственно через C
u
и q
, имеем
u
u
ri
C
Так как
dt
du
C
dt
Cu
d
dt
dq
i
C
C
то
u
u
dt
du
rC
C
C
Решением этого дифференциального уравнения есть функционал
ь-
ная зависимость для переходного процесса
rC
t
C
C
Ae
u
u
При рассмотрении случая, когда цепь замыкается накоротко, пол
у-
чаем 0
C
u
. В нашем случае это означает, что
rC
t
C
Ae
u
97
Для тока в цепи получаем rC
t
e
r
U
i
0
.
Таким образом, мы получили из дифференциал
ьного уравнения контура функциональные зависимости интересующих нас величин. На уравнения rC
t
C
Ae
u
и rC
t
e
r
U
i
0
вводиться ряд ограничений св
я-
занных со значением входящих туда величин. Исследовав эти уравнения, мы можем определить
, каким образом будет вести себя функция интер
е-
сующей нас величины и тем самым предсказать её поведение. Так же мы можем определить величины к которым стремятся эти функции. Для этого необходимо составить предел ®
®
rC
t
t
C
t
Ae
u
lim
lim
®
®
rC
t
t
t
e
r
U
i
0
lim
lim
и найти соответствующие значения. 98
Тема 2.3. Непрерывность функции
Непрерывность функции в точке. Необходимое и достаточное усл
о-
вия непрерывности функции в точке. Непрерывность основных элеме
н-
тарных функций. Функции, непрерывные на отрезке. Свой
ства функций, непрерывных в точке и на отрезке. Непрерывность функции в точке
Функция )
(
x
f
называется непрерывной
в точке 0
x
если: )
(
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
®
Это определение предъявляет функции )
(
x
f
следующие требования:
1)
функция )
(
x
f
должна быть определена в точке 0
x
и н
е
которой ее окрестности.
2)
Функция )
(
x
f
должна иметь в точке 0
x
предел.
3)
Этот предел должен совпадать со значением функции в точк
е 0
x
.
Определение непрерывности функции аналитически выражает инту
и-
тивное представл
е
ние о непрерывности графика функции, т.е. кривой )
(
x
f
, например такую кривую можно провести, не отрывая карандаша от бумаги.
Все элементар
ные функции непрерывны на их области определения.
Функция )
(
x
f
называется непрерывной в точке 0
x
справа (слева)
если ее предел справа при 0
x
x
®
равен значению функции в точке 0
x
:
0
0
0
x
f
x
f
( предел слева
0
0
0
x
f
x
f
).
)
(
x
f
a
b
x
Рис. 50
.
f
(
x
)
непрерывна в точке а
справа и в точке b
слева
99
Очевидно, функция )
(
x
f
непрерывна в точке 0
x
тогда и только т
о-
гда, к
о
гда она непрерывна в этой точке, как справа, так и слева.
Непрерывность на интервале и на отрезке. Непрерывность обра
т
ной функции
Функция f
(
x
)
называется непрерывной на интервале
(а; b
)
, если она непрерывна в любой точке этого интервала.
Функция f
(
x
)
называется
непрерывной на отрезке
[
a
; b
]
, если она н
е-
прерывна на интервале (а; b
)
, непрерывна справа в точке а
и непр
е-
рывна слева в точке b
, то есть:
1) )
;
(
0
b
a
х
)
(
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
®
;
2) );
(
)
(
lim
a
f
x
f
a
x
®
3) ).
(
)
(
lim
b
f
x
f
b
x
®
Например, функция x
y
1
непрерывна на интервале (0; 1) но не я
в-
ляется непрерывной на отрезке [0; 1].
Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом свойств, которые, вообще говоря, не присущи функциям, непрерывным на других пром
е-
жутках.
1. Если функция f
(
x
)
непрерывна на отрезке [
a
,
b
]
, то она ограничена на этом отрезке.
2. Среди значений непрерывной на отрезке [
a
,
b
]
функции f
(
x
)
сущес
т-
вует наименьшее (
m
) и наибольшее (
М
) )
(
min
x
f
m
x
f
M
max
b
x
a
b
x
a
3. Пусть x
f
непрерывна на отрезке [
a
,
b
]
и b
f
B
A
a
f
, тогда для любого значения С
между A
и B
найдется хотя бы одна точка b
a
c
,
, для которой C
c
f
)
(
. Иными словами функция f
(
x
)
прин
и-
мает любое промежуточное значение между двумя данными. а) Если непрерывная на отрезке функция x
f
принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка с,
в которой функция обращается в
нуль: f
(с)=0
. 100
б) Непрерывная на отрезке
[
a
,
b
] функция принимает, по кра
й
ней мере, один раз любое промежуточное значение между m
и М
Точки разрыва функции и их классификация
Если хотя бы одно из трех требований, предъявляемым к функции )
(
x
f
в определении непрерывности не выполняется, то говорят, что функция )
(
x
f
разрывна
в точке 0
x
или имеет в точке 0
x
разрыв; при этом предполагается, что функция )
(
x
f
определена в некоторо
й окрес
т-
ности 0
x
кр
о
ме, может быть, самой точки
0
x
.
Тогда точка 0
x
-
называется точкой разрыва
функции )
(
x
f
.
Если у функции существуют односторонние пределы f
(х
0
-
0)
, f
(х
0
+0)
и они коне
ч
ны
, то точка х
0
называется точкой разрыва первого рода
.
Если эти конечные пределы равны между собой: f
(х
0
-
0)
= f
(х
0
+0)
, т.е. в т. х
0
функция имеет предел, то точка х
0
называется точкой устранимого разрыва
. В этом случае разрыв в точке х
0
может быть устранен,
если п
о-
ложить )
(
)
(
lim
x
f
х
f
о
х
x
о
®
, преобразованная таким образом функция является непреры
в
ной в точке х
о
.
Например, функция x
х
y
sin
не определена в точке x
=0
и имеет в ней устранимый разрыв, т.к. 1
lim
0
®
x
y
x
. Функцию можно сделать н
епрерывной, пол
о
жив y
(0) = 1
.
Точка разрыва
х
о
называется точкой разрыва второго рода
функции f
(
x
)
, если хотя бы один из односторонних пределов фун
к
ции f
(х
0
-
0)
, f
(х
0
+0) не существ
у
ет или равен бесконечности.
Например, рассмотрим функцию x
y
1
2
.
Функция имеет разрыв 2 рода в точке x
=0.
y(+0)=+
y(
-
0)=0
101
Рис. 51. Разрыв второго рода
Эту функцию можно сделать непрерывной в точке x
=0
сл
е
ва, положив y
(0) = 0.
Функция x
1
sin
имеет в точке x
=0
разрыва 2 рода т.к. она не имеет в этой точке
односторонних пределов.
[6], гл. 4, §§ 1, 5, 6.
[4], § 19.
Контрольные вопросы к теме 2.3
1.
Как определяется непрерывность функции в точке?
2.
Как определяется непрерывность функции в точке справа (сл
е-
ва)?
3.
Что такое непрерывная на интервале (отрезке) функци
я?
4.
Каковы основные свойства функций, непрерывных на отрезке?
5.
Какая точка называется точкой разрыва функции?
6.
Какая точка называется точкой устранимого разрыва функции?
7.
Какая точка называется точкой разрыва I
рода функции?
8.
Какая точка называется точкой разры
ва II
функции?
Тема 2.4. Комплексные числа
Комплексные числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Алге
б-
раическая и тригонометрическая формы комплексного чи
с
ла. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Извлеч
е
ние корней из комплексных чис
ел.
102
Основные определения
Комплексным числом z
называется выражение вида z
= x
+ iy
, где х
, у
–
действительные числа, i
–
«мнимая единица», i
2
= -
1
.
Число х
называется действительной частью
комплексного числа z
и обозначается x
= Re
z
, а у
–
мнимой част
ью
z
, y
= Im
z
.
Если действительная часть комплексного числа равна нулю, х = 0
, то такое число называется чисто мнимым
z
= iy
. Если мнимая часть равна н
у
лю, то число отождествляется с действительным z
= x
.
Два комплексных числа z
1
= x
1
+ iy
1
и z
2
= x
2
+ iy
2
называются равн
ы-
ми (
z
1
= z
2
), тогда и только тогда, когда равны их действительные и мн
и-
мые части (
х
1
= х
2
, у
1
= у
2
). Понятие сравнения (больше
-
меньше) для ко
м-
плексных чисел не вводится.
Два комплексных числа z
= x
+ iy
и iy
x
z
, отличающ
иеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными
.
Геометрическое изображение комплексных чисел. Комплексная пло
с
кость
Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему коо
р-
динат. Каждому комплексному числу z
= x
+ iy
можно сопо
с
тавить точку с координатами (х, у)
, и наоборот, каждой точке с координат
а
ми (х, у)
можно сопоставить комплексное число z
= x
+ iy
. Таким о
б
разом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устана
в-
ливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому компле
к
сн
ые числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на кот
о
рой изображают комплексные числа, называют комплексной пло
с
костью
. Например, изобразим на комплексной плоскости числа z
1
=
2 + i
, z
2
= 3
i
, z
3
= -
3 + 2
i
, z
4
= -
1 -
i
: 103
Рис. 52. Изображение комплексных чисел точками плоскости
Однако чаще комплексные числа изображают в виде вектора с нач
а-
лом в точке О, а именно, комплексное число z
= x
+ iy
изображается радиус
-
вектором точки с координатами (х, у)
. В этом случае изобр
а-
жение комплексных чисел из предыдущего примера будет т
а
ким: Рис. 53. Изображение комплексных чисел радиус
-
векторами
104
Пусть комплексное число z
= a
+ ib
изображается рад
и
ус
-
вектором. Длина этого вектора называется мод
у
лем
числа z
и обозначается z
. Из рисунка очевидно, что 2
2
b
а
z
.
Рис. 54. Модуль и аргумент комплексного числа
Угол, образованный радиус
-
вектором числа z
с осью Ox
, называется аргументом
числа z
и обо
значается arg
z
. Аргумент числа определяе
т
ся не однозначно, а с точностью до числа, кратного 2π
. Однако, обычно аргумент указывают в диапазоне ;
и называют это значение главным значением аргумента
. У числа z
= 0
аргумент не опред
е
лен.
На рис. 54 arg
z
равен углу . Из того же рисунка оч
е
видно, что a
b
tg
; ;
cos
z
а
.
sin
z
b
С помощью этого соотношения можно находить аргумент комплек
с-
ного числа: a
b
arctg
z
arg
или a
b
arctg
z
arg
причем первая формула действует, если изображение числа z
находи
т
ся в первой или четвертой четверти, а вторая, если во второй или третьей.
105
Пример:
найти модуль и аргумент числа z
= -
1 + i
:
2
1
)
1
(
2
2
z
; 4
3
4
1
1
arg
arctg
z
(число находится во II
четве
р-
ти).
Тригонометрическая форма комплексного числа
Запись числа в виде
z
= x
+ iy
называется алгебраической фо
р-
мой
комплексного числа. Используя выражения для модуля и аргуме
н
та:
;
cos
z
х
,
sin
z
у
можно записать
)
sin
(cos
i
z
z
.
Такая запись называется
тригонометрической формой
комплексн
о
го числа.
Например, записать в тригонометрической форме число z
= 2 + 2
i
:
2
2
2
2
2
2
z
-
модуль числа;
4
2
2
arg
arctg
-
арг
умент числа (главное значение);
)
4
sin
4
(cos
2
2
i
z
-
тригонометрическая форма комплексного числа.
Формула Эйлера и показательная форма комплексного чи
с
ла
Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой форм
улой:
sin
cos
i
е
i
,
которая называется формулой Эйлера
.
Пусть комплексное число z
в тригонометрической форме имеет вид )
sin
(cos
i
z
z
.
На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результа
те п
о
лучим i
e
z
z
.
106
Эта запись называется показательной формой
комплексного числа, z
модуль числа; φ
–
аргумент числа.
Пример
: записать число z
= -
1 + i
в показательной форме:
2
1
)
1
(
2
2
z
, 4
arg
z
,
4
2
i
e
z
-
показательная форма числа;
записать число z
= -
1
в показательной форме:
,
1
z
,
arg
z
i
e
z
-
показательная форма числа.
Сложение и вычитание комплексных чисел
Суммо
й двух комплексных чисел z
1
= x
1
+ iy
1
и z
2
= x
2
+ iy
2
называется число
z
1
+ z
2
= (x
1
+ x
2
) + i(y
1
+ y
2
).
Операция сложения обладает следующими очевидными свойствами:
z
1
+ z
2
= z
2
+ z
1
,
(z
1
+ z
2
) + z
3
= z
1
+( z
2
+ z
3
).
Аналогично определяется вычитани
е:
z
1
-
z
2
= (x
1
-
x
2
) + i(y
1
-
y
2
).
Сложение и вычитание комплексных чисел удобно выполнять, когда они записаны в алгебраической форме.
Умножение и деление комплексных чисел
Произведением двух комплексных чисел z
1
= x
1
+ iy
1
и z
2
= x
2
+ iy
2
наз
ы
вается число
z
1
z
2
= (
x
1
x
2 –
у
1
у
2
) + i
(х
1
y
2
+х
2
y
1
).
Это определение следует из правила раскрытия скобок, учит
ы-
вая, что i
2
= -
1
. Пример
: (2 -
3i)(
-
5 + 4i) = -
10 + 8i + 15i –
12i
2
= -
10 + 23i + 12 = 2 + 23i.
Операция умножения обладает следующими свойствами:
z
1
z
2
= z
2
z
1
,
(
z
1
z
2
)
z
3
= z
1
(
z
2
z
3
),
107
z
1
(
z
2
+ z
3
) = z
1
z
2
+ z
1
z
3
.
Умножение комплексных чисел удобнее производить, когда они записаны в тригонометрической или показательной форме. Так, если есть два числа )
sin
(cos
1
1
1
1
i
z
z
и
)
sin
(cos
2
2
2
2
i
z
z
, то
)).
sin(
)
(cos(
2
1
2
1
2
1
2
1
i
z
z
z
z
Аналогично )
(
2
1
2
1
2
1
i
e
z
z
z
z
Т. е. при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило действует и при возведении ко
м-
плексного числа в степень
).
sin
(cos
n
i
n
z
z
n
n
Эта формула называетс
я формулой Муавра
.
Пример
: вычислить 6
)
3
1
(
i
.
Для начала запишем число i
3
1
в тригонометрической фо
р-
ме, для этого вычислим его модуль и аргумент:
;
2
)
3
(
1
2
z
;
3
1
3
arg
arctg
z
).
3
sin
3
(cos
2
i
z
По формуле Муавра:
64
)
2
sin
2
(cos
64
)
3
6
sin
3
6
(cos
2
6
6
i
i
z
.
Частное от деления двух комплексных чисел z
1
= x
1
+ iy
1
и z
2
= x
2
+ iy
2 определяется по формуле
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
y
x
y
x
x
y
i
y
x
y
y
x
x
z
z
При делении комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, необходимо домножать ч
ислитель и знаменатель на сопряженное знаменателю, чтобы избавиться от мнимой части в знаменателе, напр
и-
мер:
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
2
1
2
5
2
5
1
1
3
2
3
2
)
1
)(
1
(
)
1
)(
3
2
(
1
3
2
108
Как и умножение, деление комплексных чисел удобнее прои
з-
водить, когда числа записаны в тригонометрической или показательной
форме
)),
sin(
)
(cos(
2
1
2
1
2
1
2
1
i
z
z
z
z
)
(
2
1
2
1
2
1
i
e
z
z
z
z
Извлечение корней из комплексных чисел
Корнем n
-
й степени из комплексного числа
z
называется ко
м-
плексное число w
, удовлетворяющее равенству w
n
= z
. Обозначается n
z
w
.
Корень из к
омплексного числа определяется неоднозначно, уравнение w
n
= z
имеет n
решений. Если число записано в тригономе
т-
рической форме )
sin
(cos
i
z
z
, то его корень вычисляется по формуле
),
2
sin
2
(cos
n
k
i
n
k
z
z
n
n
k
= 0, 1, …, n
–
1
Подставляя в формулу разли
чные k
, получим n
значений корня. Все ко
р-
ни имеют одинаковый модуль, отличаясь лишь аргументом.
Пример:
вычислить 3
3
1
i
.
Запишем число i
3
1
в тригонометрической форме:
).
3
sin
3
(cos
2
i
z
Согласно формуле извлечения
корней
),
3
2
3
sin
3
2
3
(cos
2
3
3
k
i
k
z
k = 0, 1, 2.
Подставим различные значения k
в формулу:
k = 0
,
9
sin
9
cos
2
)
3
3
sin
3
3
(cos
2
3
3
3
i
i
z
109
k = 1
,
9
7
sin
9
7
cos
2
)
3
2
3
sin
3
2
3
(cos
2
3
3
3
i
i
z
k = 2
.
9
13
sin
9
13
cos
2
)
3
4
3
sin
3
4
3
(cos
2
3
3
3
i
i
z
[4], гл. VI
.
Контрольные вопросы к теме 2.4.
1.
Что такое комплексное число?
2.
Что
такое действительная (мнимая) часть комплексного числа?
3.
Какие комплексные числа называются равными?
4.
Какие числа называются сопряженными?
5.
Что такое комплексная плоскость?
6.
Что такое радиус
-
вектор комплексного числа?
7.
Что такое модуль и аргумент комплексного числа?
8.
Как записывается число в алгебраической и тригонометрич
е-
ской форме?
9.
Как записывается формула Эйлера?
10.
Что такое показательная форма комплексного числа?
11.
Как вычисляется сумма и разность комплексных чисел?
12.
Как вычисляется произведение комплексных чисел
?
13.
Как вычисляется возведение в степень комплексного числа?
14.
Как вычисляется частное комплексных чисел?
15.
Как вычисляется корень из комплексного числа?
Применение комплексных чисел для символич
е
ского метода расчета электрических цепей пер
е
менного тока
Символ
ический метод, основанный на использовании комплексных чисел, нашёл широкое применение для расчета сложных цепей переме
н-
ного тока. Комплексное число A
состоит из вещественной A
и мнимой A
ча
стей A
j
A
A
. Комплексное число на комплексно
-
числовой плоскости можно представить вектором. Проекция вектора на веществе
н-
ную ось (ось абсцисс) соответствует вещественной части комплексного числа A
. Проекция вектора н
а мнимую ось j
(ось ординат) соответс
т-
110
вует коэффициенту мнимой единице A
, j
-
мнимая единица, предста
в-
ляет собой поворотный множитель, умножение на который означает п
о-
ворот вектора на 90
против часовой стрелки (в электротехнике мнимую единицу обозначают j
, чтобы не путать с обозначением тока). При работе с комплексными числами на плоскости, необходимо помнить, что элементы векторной алгебры и аналитической геометрии на п
лоскости, также находят широкое применение в теории комплексных чисел.
Как было указано выше, существует три формы записи комплек
с-
ного числа.
1. Алгебраическая запись A
i
A
A
2. Тригонометрическая запись sin
cos
A
j
A
A
3. Показател
ьная запись j
e
A
A
Для перевода из показательной формы записи комплексного числа в алгебраическую пользуются тригонометрической формой комплексного числа. Для перевода из алгебраической формы записи комплексного чи
с-
ла в показательную опред
еляют модуль и аргумент. Комплексы тока и напряжения.
Если ток и напряжение изменяются по синусоидальному закону i
m
t
I
i
sin
, u
m
t
U
u
sin
, то, как указывалось выше, их можно изобразить векторами и, записать комплексными числами:
i
j
Ie
I
u
j
Ue
U
где I
и U
-
комплексы тока и напряжения. Точка над комплекс
а-
ми указывает, что ток и напряжение изменяются по синусоидальному закону с опреде
ленной частотой ; I
и U
-
модули комплексов тока и напряжения, они же действующие значения тока и напряжения; i
и u
-
аргументы комплексов тока и напряжения, они же начальные фазы т
о-
ка
i
и напряжения u
.
111
Комплекс сопротивления.
Для неразветвлённой цепи с R
и L
мгновенные значения син
у-
соидального тока и напря
жения можно записать так: t
I
i
m
sin
, и t
U
u
m
sin
. Тогда комплексы тока и напряжения: 0
j
Ie
I
j
Ue
U
Комплекс полного сопротивления цепи Z
определяе
тся отнош
е-
нием комплекса напряжения к комплексу тока, т.е.
j
j
Ze
e
I
U
I
U
Z
)
0
(
Модулем комплекса полного сопротивления является кажущиеся сопротивление цепи I
U
Z
, а аргументом –
угол сдвига фаз между т
о-
ком и напряжением . Алгебраическая форма записи комплекса полного сопротивления sin
cos
Z
j
Z
Ze
Z
j
Вещественная часть комплекса полного сопротивления есть акти
в-
ное сопротивление R
, а коэффициент при мнимой единице j
-
реакти
в-
ное сопротивление X
. Знак перед поворотным множителем (мнимой единицей) указывает на характер цепи. Любую цепь переменного тока можно рассчитывать по законам постоянного тока, если все величины представить в комплекс
ной форме.
Комплекс мощности.
Для неразветвлённой цепи с R
и L
мгновенные значения тока и напряжения можно записать в виде:
t
I
i
m
sin
, и t
U
u
m
sin
Комплексы это
го напряжения и тока:
0
j
Ue
U
и j
Ie
I
112
Комплекс полной мощности цепи определяется произведением комплекса напряжения U
и сопряженного комплекса тока I
. У сопр
я-
женного комплекса зн
ак перед мнимой единицей j
меняется на обра
т-
ный.
j
j
j
j
Se
UIe
Ie
Ue
I
U
S
0
Таким образом, модулем комплекса полной мощности S
является кажущая мощность цепи UI
S
, а аргументом –
угол сдвига фаз м
ежду током и напряжением .
Пример:
Для цепи, изображённой на
рисунке:
Дано:
8
1
R
Ом; 6
1
C
X
Ом; 9
2
R
Ом; 12
2
L
X
Ом; 10
2
C
X
Ом; 127
U
В.
Найти:
1. Токи 1
I
, 2
I
и 3
I
.
2. Напряжения на участках ав
и вг
.
3. Мощности S
, P
и Q
.
4. Угол и характер цепи.
5. Построить векторную диаграмму цепи.
Решение:
1. Комплексы сопротивления участков (по ном
е
рам токов) и полного сопротивления цепи:
36
1
1
10
6
8
1
j
C
e
j
jX
R
Z
53
2
2
15
12
9
2
j
L
e
j
jX
R
Z
90
3
10
10
3
j
C
e
j
jX
Z
Комплексное сопротивление
участка
вг
цепи:
113
45
,
12
65
,
10
10
12
9
10
15
90
53
3
2
3
2
j
j
j
e
e
Z
Z
Z
Z
Z
j
j
вг
Тогда полное сопротивление цепи:
44
1
2
,
26
45
,
18
65
,
18
j
вг
e
j
Z
Z
Z
Вектор заданной величины (тока или напряжения) можно направлять в любом направлении. Однако удобней совмещать эти вектора с вещес
т-
венной и мнимой частью.
2.
В рассматриваемом примере заданное напряжение совместим с вещественной осью, т.е. комплекс общего напряжения:
127
127
jo
jo
e
Ue
U
Комплекс тока цепи I
, равен комплексу первого тока 1
I
44
44
0
1
85
,
4
2
,
26
127
j
j
j
e
e
e
Z
U
I
I
Комплексное напряжение на участке ав
:
7
36
44
1
1
5
,
48
10
85
,
4
j
j
j
ав
e
e
e
Z
I
U
Комплексное напряжение на участке вг
:
4
49
44
3
,
79
35
,
16
85
,
4
j
j
j
вг
вг
e
e
e
Z
I
U
Комплексы токов 2
I
и 3
I
57
53
4
2
2
27
,
5
15
2
,
79
j
j
j
вг
e
e
e
Z
U
I
85
90
4
3
3
92
,
7
10
2
,
79
j
j
j
вг
e
e
e
Z
U
I
3, 4. Комплекс по
лной мощности цепи:
433
437
616
85
,
4
127
44
44
0
j
e
e
e
I
U
S
j
j
j
5.
Векторная диаграмма изобр
ажена на рисунке
.
114
Таким образом, применяя комплексные числа и векторною алгебру на плоскости, можно рассчитывать необходимые электрические схемы переменного тока.
В
АРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТЫ №
1
С РЕШЕНИЯМИ
1.
Решить систему линейных уравнений:
а) по правилу Крамера;
б) средствами матричного исчисления.
5
2
4
2
0
z
y
x
y
x
z
y
x
Решение
Метод Крамера
Вычисляем определители:
1
4
1
2
2
2
1
1
0
1
2
1
1
1
1
8
5
4
2
1
5
0
1
4
1
1
0
х
2
4
10
8
2
5
1
0
4
2
1
0
1
у
115
3
10
4
4
5
5
1
1
4
1
2
0
1
1
z
По правилу Крамера находим решение системы:
;
1
х
х
;
2
у
у
.
3
z
z
Матричный метод
Матрица системы -
2
1
1
0
1
2
1
1
1
А
. Ее определитель .
1
Необходимо
найти обратную к ней матрицу А
-
1
. Для этого вычисляем алгебраические дополнения:
;
2
2
1
0
1
11
А
;
4
2
1
0
2
12
А
;
3
1
1
1
2
13
А
;
1
2
1
1
1
21
А
;
3
2
1
1
1
22
А
;
2
1
1
1
1
23
А
;
1
0
1
1
1
31
А
;
2
0
2
1
1
32
А
.
1
1
2
1
1
33
А
Составляем присоединенную матрицу А
~
:
1
2
1
2
3
1
3
4
2
~
А
.
Транспонируем ее:
1
2
3
2
3
4
1
1
2
~
Т
А
.
Делим Т
А
~
на и получаем обратную матрицу:
116
1
2
3
2
3
4
1
1
2
1
А
.
Умножаем А
-
1
на столбец свободных членов и получаем вектор неи
з-
вестных:
3
2
1
5
8
10
12
5
4
5
4
0
1
2
3
2
3
4
1
1
2
1
b
A
,
откуда получаем ответ: х = 1, у = 2, z
= -
3
, который совпадает с о
т-
ветом, полученным по методу Крамера.
2.
Решить систему линейных уравнений ме
тодом Гаусса.
2
7
4
9
4
2
2
5
3
6
3
7
2
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
Решение
Выпишем расширенную матрицу системы:
2
7
1
4
9
4
2
2
5
3
6
1
3
7
2
А
.
Приведем ее к ступенчатой форме последовательностью элементарных преобразований, сначала поместим в левый верхний угол –
1, вычитая из первой строки
вторую:
®
2
7
1
4
9
4
2
2
5
3
2
1
1
2
1
2
7
1
4
9
4
2
2
5
3
6
1
3
7
2
.
Затем обнуляем элементы под левым верхним (добавляем ко второй стр
о-
ке первую, умноженную на 3, а к третьей первую умноженную на 9):
117
®
20
2
10
22
0
10
1
5
11
0
2
1
1
2
1
2
7
1
4
9
4
2
2
5
3
2
1
1
2
1
.
Далее вычитаем из третьей строки вторую, домноженную на 2 (при эт
ом третья строка обнуляется):
®
0
0
0
0
0
10
1
5
11
0
2
1
1
2
1
20
2
10
22
0
10
1
5
11
0
2
1
1
2
1
.
Получена матрица в ступенчатой форме с двумя угловыми элементами, переходим обратно к системе уравнений:
10
5
11
2
2
4
3
2
4
3
2
1
х
х
х
х
х
х
х
.
Из последнего уравнения выражаем х
4
через х
2
и х
3
:
х
4
= 11х
2
+ 5х
3
–
10
.
Подставляем это выражение в первое уравнение:
-
х
1
+ 2х
2
+ х
3
–
11х
2
–
5х
3
+ 10 = 2.
Приводим подобные и выражаем х
1
через х
2
и х
3
:
х
1
= -
9х
2
–
4х
3
+ 8.
Эти выражения и будут решением уравнения:
10
5
11
8
4
9
3
2
4
3
2
1
х
х
х
х
х
х
.
Т. е. переменные х
2
и х
3
могут прин
имать любые значения, определяя все решения системы. Система имеет бесконечно много решений.
3.
Найти координаты точки пересечения двух взаимно перпендик
у-
лярных прямых, проход
я
щих через фокусы эллипса 1
9
25
2
2
у
х
, если известно, что точка А(
–
2, 6)
лежит на прямой, проходящей через его пр
а-
вый фокус.
118
Решение
Полуоси эллипса: 5
25
а
, 3
9
b
.
Расстояние от фокусов до центра эллипса 4
2
2
b
a
с
.
Отсюда координаты фокусов эллипса: F
1
(
-
4,0); F
2
(4,0)
.
Первая прямая проходит через точку А(
-
2,6)
и правый фокус F
2
(4,0). Находим уравнение первой прямой:
)
2
(
4
6
0
)
2
(
6
x
y
,
у = -
х + 4.
Ее угловой коэффициент k
1
= -
1
.
Вторая прямая перпендикулярна первой, следовательно их угловые к
о-
эф
фициенты связаны соотношением
k
1
k
2
= -
1
,
откуда k
2
= 1
.
Итак, вторая прямая имеет угловой коэффициент k
2
= 1 и проходит через левый фокус эллипса
F
1
(
-
4,0). В общем виде ее уравнение записывается
y
= х + b
.
Подставляя в это уравнение координаты точки F
1 п
олучаем
0 = -
4 + b
.
Откуда b
= 4
, значит уравнение второй прямой
119
y
= х + 4.
Для нахождения точки пересечения двух прямых решаем систему
4
4
х
у
х
y
и находим координаты точки пересечения х = 0
, у = 4
. 4. Даны координаты вершин пирамиды: А
1
(3,
1, 4), А
2
(
–
1, 6, 1), А
3
(
–
1, 1, 6), А
4
(0, 4, –
1). Сделать схематический чертеж и найти: 1) дл
и
ну ребра А
1
А
2
; 2) косинус угла между ребрами А
1
А
2
и А
1
А
4
; 3) уравнение грани А
1
А
2
А
3
; 4) уравнение высоты, опущенной из верш
и
ны А
4
на грань А
1
А
2
А
3
. Решение
1)
Найдем координаты вектора 2
1
А
А
, вычитая из координат коне
ч
ной точки координаты начал
ь
ной )
3
,
5
,
4
(
)
4
1
,
1
6
,
3
1
(
2
1
А
А
.
Вычисляем длину вектора
50
)
3
(
5
)
4
(
2
2
2
2
1
А
А
3)
Координаты вектора )
5
,
3
,
3
(
)
4
1
,
1
4
,
3
0
(
4
1
А
А
.
Его длина (модуль) 43
)
5
(
3
)
3
(
2
2
2
4
1
А
А
Скалярное произведение двух векторов:
cos
,
4
1
2
1
4
1
2
1
А
А
А
А
А
А
А
А
, где -
угол между векторами.
Вычисляем скалярное произведение покоординатным перемножением векторов
42
)
5
(
)
3
(
3
5
)
3
(
)
4
(
,
4
1
2
1
А
А
А
А
Откуда получаем
43
50
42
cos
5.
Даны две прямые в пространстве
2
6
3
2
5
z
у
х
0
1
9
3
1
z
y
x
120
Выяснить их взаимное расположение и найти расстояние между н
и
ми.
Решение
Первая прямая имеет направляющий вектор )
2
,
3
,
2
(
1
р
и содержит точку (
-
5, 0, -
6), вторая -
)
0
,
1
,
3
(
2
р
и (1, 9, 0) соответственно. По кр
и-
терию скрещиваемости
0
0
6
9
0
1
5
0
1
3
2
3
2
эти прямые скрещиваются, т. е. не лежат в одной плоскости.
Значит,
существует пара параллельных плоскостей, каждая из которых содержит одну из п
рямых. Расстояние между этими плоскостями буде
т
равно расстоянием между прямыми. Найдем уравнение плоскости, которая содержит первую прямую и пара
л-
лельна второй. Эта плоскость с
о
держит точку (
-
5, 0, -
6), т. к. эта точка лежит на первой прямой
. Вектор норм
али данной плоскости перпендик
у-
лярен направляющим векторам первой и второй прямой, т. к. сама пло
с-
кость параллельна этим векторам.
Необходимо вычислить вектор, перпендикулярный р
1
и р
2
. Этому сво
й-
ству удовлетворяет векторное произведение векторов
k
j
i
k
j
i
р
р
1
3
3
2
0
3
2
2
0
1
2
3
0
1
3
2
3
2
2
1
).
7
,
6
,
2
(
7
6
2
k
j
i
Этот вектор и будет вектором нормали плоскости, т. е. уравнение плоск
о-
сти имеет вид 2х + 6
y
+ 7
z
+ D
= 0
.
Подставляя в это уравнение точку (
-
5, 0, -
6), получаем
0
)
6
(
7
0
6
)
5
(
2
D
,
откуда D
= 52.
Для того, чтоб
ы вычислить расстояние между двумя параллельными плоскостями, достаточно вычислить расстояние между плоскостью и к
а-
кой
-
нибудь точкой на другой плоскости. Вторая плоскость содержит вт
о-
рую прямую, а значит и точку (1, 9, 0)
. Искомое расстояние равно
121
89
3
6
7
6
2
52
0
7
9
6
1
2
2
2
2
d
В
АРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ Р
АБОТЫ №
2
С РЕШЕНИЯМИ
1.
Построить график функции у
= 2cos (4
x
–
2) преобразованием гр
а-
фика функции у
= cos x
.
Решение
Запишем функцию в виде 2
1
4
cos
2
x
y
.
Строим график функции х
y
4
cos
, сжимая график у
= cos x к оси Оу в 4 раза (увеличивая частоту)
.
Строим график функции 2
1
4
cos
х
y
, сдвигая график х
y
4
cos
вправо на 2
1
.
122
Строим график 2
1
4
cos
2
x
y
,
растягивая график 2
1
4
cos
х
y
в 2 раза относительно оси Ох (увеличиваем амплит
у-
ду).
2.
Вычислить
пределы:
а) x
x
x
x
x
x
®
3
4
2
4
2
1
3
lim
б) 2
1
3
4
lim
5
®
x
x
x
в) x
x
x
x
x
sin
4
cos
cos
lim
3
0
®
123
Решение
а) Разделим числитель и знамен
атель дроби x
x
x
x
x
3
4
2
4
2
1
3
на х
4
:
3
4
2
4
4
3
4
4
4
4
2
4
4
3
4
2
4
1
1
2
1
3
1
2
1
3
2
1
3
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
x
x
x
x
x
2
1
0
0
2
0
0
1
)
1
1
2
(
lim
)
1
3
1
(
lim
2
1
3
lim
3
4
2
3
4
2
4
®
®
®
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
б) Сразу подставить значение х = 5
в выражение 2
1
3
4
x
x
нельзя, т. к. и числитель, и знаменатель при этом значении обращаются в нуль. Необходимо снач
ала преобразовать дробь: домножим числитель и знам
е-
натель на сопряженное к знаменателю
.
4
1
2
1
3
4
2
1
2
1
2
1
3
4
2
1
3
4
х
х
х
х
х
х
х
x
x
Затем аналогично домножим на сопряженное к числителю
3
4
5
2
1
3
4
3
4
5
2
1
3
4
х
х
х
х
х
х
х
х
3
4
2
1
3
4
5
2
1
9
4
х
х
х
х
х
х
.
В последнюю дробь можно уже подставлять пре
дельное значение
.
3
2
3
4
5
2
1
5
3
4
2
1
lim
2
1
3
4
lim
5
5
®
®
x
x
x
x
x
x
в) Преобразуем выражение, принимая во внимание основное тригон
о-
ме
т
рическое тождество .
1
cos
sin
2
2
x
x
.
4
sin
cos
sin
4
sin
cos
sin
4
)
cos
1
(
cos
sin
4
cos
cos
2
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
При вычислении предела используем первый замечательный предел
124
1
sin
lim
0
®
x
x
x
.
4
1
1
4
0
cos
sin
lim
4
cos
lim
4
sin
cos
lim
sin
4
cos
cos
lim
0
0
0
3
0
®
®
®
®
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.
Даны функция 1
1
)
(
x
e
x
f
и два значения аргумента х
1 = 0
и х
2
=
1
. Требуется установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; в случае ра
з-
рыва найти преде
лы в точке разрыва слева и справа и сделать схематич
е-
ский че
р
теж функции вблизи точки разрыва.
Решение
В точке х
1 = 0 функция определена и непрерывна как суперпозиция элементарных функций. В точке х
2
=
1 функция не определена, логично предположить, что она
претерпевает в этой точке разрыв. Вычислим зн
а-
чения функции вблизи данной точки, чтобы определить поведение фун
к-
ции.
Сначала вычислим значения функции в точках слева от 1 (0, ½, 2/3):
37
.
0
)
0
(
1
1
0
1
e
e
f
;
;
13
.
0
2
1
2
1
2
1
1
e
e
f
.
05
.
0
3
2
3
1
3
2
1
e
e
f
Судя по полученным значениям .
0
)
(
lim
0
1
®
x
f
x
Теперь вычислим значения функции в точках справа от 1 (2, 3/2, 4/3)
;
72
.
2
)
2
(
1
1
2
1
e
e
e
f
:
;
4
.
7
2
3
2
1
2
3
1
e
e
f
125
.
12
.
20
3
4
3
1
3
4
1
e
e
f
Судя по полученным значениям .
)
(
lim
0
1
®
x
f
x
Построи
м график функции вблизи точки разрыва
X
Y
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
0
Функция претерпевает в точке х = 1
разрыв II
рода, т. к. один из кра
е-
вых пределов (предел справа) равен бесконечности.
4.
Функция задана различными аналитическими выражениями в ра
з-
личных областях
x
x
x
x
x
x
x
f
2
при
,
2
3
2
0
при
,
0
при
,
1
)
(
2
Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.
Решение
Функция определена тремя различными элементарными функциями на трех числовых интервалах. Внутри этих интервалов функция непр
е-
рывна, т. е. разрывы могут быть только в точках с
тыковки интервалов –
х = 0
и х = 2
.
Для того, чтобы функция сохраняла непрерывность и в этих точках, необходимо и достаточно, чтобы совпадали значения функции на краях промежутков, т. е. )
(
lim
)
(
lim
0
0
0
0
x
f
x
f
x
x
®
®
и )
(
lim
)
(
lim
0
2
0
2
x
f
x
f
x
x
®
®
.
Вычислим эти краев
ые пределы:
126
;
1
1
0
)
(
lim
0
0
®
x
f
x
;
0
0
)
(
lim
2
0
0
®
x
f
x
;
4
2
)
(
lim
2
0
2
®
x
f
x
.
4
2
2
3
)
(
lim
0
2
®
x
f
x
)
(
lim
)
(
lim
0
0
0
0
x
f
x
f
x
x
®
®
, следовательно, функция претерпевает в точке х = 0
разрыв I
рода (краевые пределы существуют, но не равны м
е-
жду собой); )
(
lim
)
(
lim
0
2
0
2
x
f
x
f
x
x
®
®
, значит в точке х = 2
разрыва нет, функция непрерывна.
График функции f
(
x
)
5.
Представить комплексные числа i
a
3
, i
b
3
1
и i
c
1
в п
о
казательной форме и вычислить вы
ражения b
/
a
и 2
abc
. Ответ записать в алгебраич
е
ской форме.
Решение
Вычислим модуль и аргумент каждого из чисел:
;
2
а
6
7
3
1
arg
arctg
a
(число а
в III
четверти);
127
;
2
b
3
3
arg
arctg
b
(чи
сло b
в I
четверти);
;
2
с
4
5
1
arg
arctg
c
(число с
в III
четверти).
Зная модуль и аргумент, запишем числа в показательной форме:
6
7
2
i
e
a
;
3
2
i
e
b
;
4
5
2
i
e
c
.
По правилам умножения и д
еления комплексных чисел получаем:
.
2
2
6
5
6
7
3
i
i
e
e
a
b
Переходя обратно к алгебраической форме, получаем:
2
1
2
3
6
5
sin
.
6
5
cos
6
5
i
i
e
i
.
Аналогично:
.
8
8
8
2
2
2
4
2
5
3
6
7
4
5
2
2
3
6
7
2
i
i
i
i
i
e
e
e
e
e
abc
Если рассматривать 8 как комплексное число (с нулевой мнимой ч
а-
стью), то 8
8
(два ответа).
Э
КЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРО
СЫ
1.
Матрицы и действия над ними. Основные определения и свойс
т
ва.
2.
Определители квадратных матриц. Свойства определителей.
3.
Ранг матрицы.
4.
Обратная матрица. 5.
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Осно
вные о
п
ределения, матричная форма записи. Теорема Кронекера
-
Капелли.
6.
Решение систем с квадратной невырожденной матрицей. Правила Крамера.
128
7.
Решение систем с квадратной невырожденной матрицей. Матри
ч-
ный метод.
8.
Решение СЛАУ методом Гаусса.
9.
Векторы на плоскости
и в пространстве и действия над ними. Пр
о-
екция вектора. Базисные вектора.
10.
Скалярное произведение векторов и его свойства. Угол между ве
к-
торами.
11.
Векторное и смешанное произведения векторов. Условия колл
и-
неарности и компланарности векторов.
12.
Векторы в n
-
мерн
ом пространстве. Линейная зависимость. Бази
с-
ные вектора.
13.
Уравнение прямой на плоскости. Угол между прямыми.
14.
Линии второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, параб
о-
ла. Полярная система координат.
15.
Уравнение плоскости в пространстве. Нормальный вектор. Угол между плоскостями.
16.
Уравнение прямой в пространстве. Угол между прямой и плоск
о-
стью, угол между прямыми.
17.
Поверхности второго порядка в пространстве. Цилиндрическая и сферическая системы координат.
18.
Понятие функции, основные определения. Элементарные фун
к
ции и их графики.
19.
Преобразование графиков функций.
20.
Числовые последовательности, основные определения и свойс
т-
ва. Предел последовательности и его свойства.
21.
Предел функции. Бесконечно малые функции и их свойства. Пе
р-
вый и второй замечательные пределы.
22.
Непре
рывность функции в точке, необходимое и достаточное у
с-
ловия непрерывности.
23.
Непрерывные на отрезке функции и их свойства.
24.
Комплексные числа (КЧ). Модуль и аргумент КЧ. Алгебраич
е
ская и тригонометрическая формы КЧ.
25.
Сложение, умножение и деление КЧ.
26.
Формула Э
йлера. Показательная форма КЧ. Извлечение корней из КЧ.
129
Формат 60
×90 1/16. Тираж 10
0.
Производственно
-
торговая фирма Московского института энергобезопасн
о
сти и энергосбережения.
105043, Москва, ул. 4
-
я Парковая, д. 27, тел. 965
-
3790,
652
-
2412, факс
965
-
3846.
www.mieen.ru
, e
-
mail: ptf@mieen.ru
Автор
denisov.vinskiy
Документ
Категория
Методические пособия
Просмотров
7 056
Размер файла
20 846 Кб
Теги
Денисов-Винский, семестр, Denisov-Vinskiy, математика
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа