close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

N.D.Denisov-Vinskiy Математика 1 курс 2 семестр.

код для вставкиСкачать
Книга посвящена курсу Высшей математики, который автор читал в НОУ ВПО "МИЭЭ" более 2 лет. 1 курс 2 семестр.
Негосударственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский институт энергобезопасности и энергосбер
е
жения
К
АФЕДРА Е
СТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ И ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИХ ДИСЦ
ИПЛИН
I курс
II семестр
МАТЕМАТИКА
Учебно
-
методический
комплекс
для студентов заочного отделения
специальность 140211 «Электроснабжение»
Москва 2007
2
Высшая математика. Учебно
-
методический комплекс для студентов заочного отделения. –
М.: М
И
ЭЭ, 200
7
, 58 с.
Одобрено кафедрой е
стественнонаучных
и общетехнических дисци
п-
лин МИЭЭ 14.11.2005 г.
Автор
ы
: Н.
Д.
Денисов
-
Винский
,
С.
В
.
Ерохин
© МИЭЭ, 2007
3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
................................
................................
................................
.
4
Список рекомендуемой литературы
................................
.......................
6
Примерный план распределения времени по темам и видам занятий
...
7
Р
АЗД
ЕЛ III.
Д
ИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИ
СЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНО
Й И МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
................................
................................
...................
8
Тема 3.1. Дифференцируемость функций
................................
.......
8
Тема 3.2. Основ
ные теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора
................................
................................
................
20
Тема 3.3. Общая схема исследования функции и построения ее графика
................................
................................
................................
25
Тема 3.4. Функции двух переменных
................................
...........
36
В
АРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ Р
АБОТЫ №
3
С РЕШЕНИЯМИ
........................
48
В
АРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ Р
АБОТЫ №
4
С РЕШЕНИЯМИ
........................
51
Э
КЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРО
СЫ
................................
.........................
57
4
В
ВЕДЕНИЕ
Преподавание высшей математики в высших учебных заведен
и
ях имеет целью, во
-
первых, формирование личности студента, разв
и
тие его интеллекта и способностей к логическому и алгоритмическому мышл
е-
нию, и, во
-
вторых, обучение студента основным математическим мет
о-
дам, необходимым для анализа и моделирования технич
е
ских процессов.
Основной формой обучения студента
-
заочника являетс
я самосто
я-
тельная работа над учебным материалом, которая состоит из сл
е
дующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопр
о-
верка, выполнение контрольных работ. В помощь студентам
-
заочникам институт организует чтение лекций, практически
е зан
я
тия. Кроме того, студент может обращаться к преподавателю с вопрос
а
ми для получения письменной или устной консультации. Одн
а
ко студент должен помнить, что помощь института будет достаточно эффективной только при сист
е-
матической и упорной самосто
я
тель
ной
работе. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса высшей математики является сдача з
а-
четов и экзаменов в соответствии с уче
б
ным планом.
Чтение учебника. Изучая материал по учебнику, можно пер
е
ходить к следующему вопросу только после правильног
о понимания предыд
у
щего, выполняя на бумаге все вычисления и вычерч
и
вая имеющиеся в учебнике графики. Особое внимание следует обращать на определения основных п
о-
нятий. Студент должен подробно разбирать примеры, кот
о
рые поясняют такие определения, и уметь с
троить аналогичные примеры самостоятельно. Необходимо помнить, что каждая теорема состоит из предположений и у
т-
верждений. Все предположения должны обязательно использоваться в док
а-
зательстве. Нужно добиваться точного представл
е
ния о том, в каком месте дока
зательства использовано каждое предпол
о
жение теоремы.
При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в кот
о-
рый рекомендуется выписывать определения, формулировки теорем, формулы, определения и т. п.
Решение задач. Чтение учебника должно сопрово
ждаться решен
и
ем задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь. При реш
е-
нии задач нужно обосновывать каждый этап, исходя из теорет
и
ческих полож
е
ний курса. Полезно до начала вычислений составить краткий план. Решения задач и примеров следует изл
агать подробно, вычисления располагать в строгом порядке, отделяя всп
о
могательные от основных. Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуемого усл
о-
вием задачи. Решение задач определенного типа нужно пр
о
должать до приобретения твердых навыков в их решении.
Самопроверка. После изучения определенной темы по учебнику и р
е-
шения достаточного количества соответствующих задач студенту
рек
о-
мендуется воспроизвести по памяти определения, выводы формул, фо
р-
5
мулировки и доказательства теорем. Иногда недост
аточность усво
е
ния материала выясняется только при дальнейшем его изучении. В этом сл
у-
чае надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный раздел.
Важным критерием усвоения теории является умение решать зад
а
чи на пройденный материал. Однако здесь следует п
редостеречь студента от весьма распространенной ошибки, заключающейся в том, что благоп
о-
лучное решение задач воспринимается студентом как признак усвоения теории и правильное решение задачи получается в результате применения механически заученных формул бе
з поним
а
ния существа дела.
Консультации. Если в процессе работы над изучением теоретич
е
ского материала или при решении задач у студента возникают вопросы, разр
е-
шить которые самостоятельно не удается, то он может обратиться к преп
о-
давателю для получения от него письменной или устной консул
ь
тации. В своих запросах студент должен точно указать, в чем он испытывает затру
д-
нение. Если он не разобрался в теоретических объяснениях или в доказ
а-
тельстве теоремы, то необходимо указать какой это учебник, где рассмо
т-
рен
затрудняющий студента вопрос, и что именно его затру
д
няет.
Контрольные
работы. В процессе изучения курса высшей матем
а
тики студент должен самостоятельно выполнить ряд контрольных работ, гла
в-
ная цель которых –
оказать помощь студенту в его работе над матер
и
а-
лом. При решении задач необходимо объяснять и мотивировать все де
й-
ствия и делать необходимые черт
е
жи.
На собеседовании по каждой контрольной работе проверяется сам
о-
стоятельность выполнения студентом контрольной работы, а также выя
с-
няется его готовность к
сдаче зачета или экзамена.
Методические указания. Курс разбит на темы, в которых даны ссылки на литературу, рекомендуемую для изучения, и задачи для самостоятел
ь-
ного решения. Номера в квадратных скобках обозначают уче
б
ники из приведенного списка литератур
ы.
После указателя литературы по каждой теме приводится пер
е
чень знаний и умений, которыми должен обладать студент, изучивший соо
т-
ветствующую тему.
6
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
Основной
1.
Бугров Я.С
., Никольский С.
М. Элементы линейной а
л
гебры и аналитиче
ской геометрии. –
М. Дрофа, 2004.
2.
Бугров Я.С
., Никольский С.
М. Дифференциальное и интеграл
ь-
ное исчисление. –
М. Дрофа, 2004.
3.
Проскуряков И.
В. Сборник задач по линейной алгебре. –
М., Л
а-
борат
о
рия базовых знаний, 2003.
4.
Ильин В.А., Садовничий В.
А., Сендов Бл.
Х.
Математический ан
а
лиз. Часть 1. –
М.,
Проспект, 2006.
Дополнительный
5.
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическ
о-
му анализу. –
М. Астрель, 2005.
6.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. По
л-
ный курс. –
М. Айрис
-
пресс, 2005.
7.
Пискунов Н.
С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1,
2. –
М. Интеграл
-
пресс, 2001.
7
ПРИМЕРНЫЙ ПЛАН РАСПР
ЕДЕЛЕНИЯ
ВРЕМЕНИ ПО ТЕМАМ И В
ИДАМ ЗАНЯТИЙ
Количество учебных часов
В том числе
Наименование тем
Всего
С
а
мост.
работа
Ле
к-
ции
Практ.
заня
тия
II
семестр
Раздел III
Тема 3.1. Дифференцируемость фун
к-
ций
30
24
3
3
Тема 3.2
. Основные теоремы о ди
ф-
ференцируемых функциях. Формула Тейл
о
ра.
30
24
3
3
Тема 3.3. О
бщая схема исслед
о
вания функции и построения ее графика
38
30
4
4
Тема 3.4.
Функци
и нескольких пер
е-
менных
38
30
4
4
Итоговый контроль экзамен
Итого
136
108
14
14
8
РАЗДЕЛ III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧ
ИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И МНОГИХ ПЕРЕМ
ЕННЫХ
Тема
3.1. Дифференцируемость функций
Функция, дифференциру
е
мая в точке. Диффере
нциал и производная функции. Физический и геометрический смысл производной
. Произво
д
ная суммы, разности, произведения и частного двух функций. Произво
д
ная слож
ной фун
к
ции
.
Производные элементарных функций.
Определение производной
Пусть функция )
(
x
f
y
определена на некотором интервале b
a
;
. Проделаем следующие операции:
·
аргументу b
a
x
;
дадим приращение ;
;
:
b
a
x
x
x
·
найдём соответствующее приращение функции: );
(
)
(
x
f
x
x
f
y
·
составим о
тношение приращения функции к приращению арг
у-
мента: x
y
;
·
найдём предел этого отношения при :
0
®
x
x
y
x
lim
.
Если этот предел существует, то его называют производной
фун
к-
ции )
(
x
f
и обоз
начают одним из символов );
(
'
x
f
dx
dy
.
9
Рис. 1. Приращение аргумента и приращение функции
Тогда, согласно определению получаем:
x
x
f
x
x
f
y
x
®
)
(
)
(
lim
0
0
или 0
0
0
)
(
)
(
lim
)
(
0
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x
®
Производная функции )
(
x
f
y
есть некоторая функция );
(
'
x
f
, произведённая из данной функции.
Функция )
(
x
f
y
, имеющая производную в каждой точке инте
р-
вала b
a
;
, называется дифференцируемой
в этом интервале; операция нахожд
ения производной функции называется дифференцированием
.
Значение производной функции )
(
x
f
y
в точке 0
x
x
обозн
а-
чается
);
(
0
'
x
f
10
Пример:
Найти производную функции 2
x
y
.
·
аргументу x
даём приращение x
;
·
находим приращение функции :
y
;
2
)
(
)
(
2
2
2
x
x
x
x
x
x
y
·
составляем отношение :
x
y
x
x
x
x
x
x
x
y
2
2
2
;
·
находим предел этого отношения: x
x
x
x
y
x
x
2
)
2
(
lim
lim
0
0
®
®
.
Таким образом, x
x
2
2
.
Производная константы равна нулю, т. к. равно нулю приращение функции: .
0
с
Геометрический смысл производной
Рис. 2. Геометрический смысл производной
11
Пусть y
=
f
(
x
)
–
уравнение некоторой кри
вой на плоскости. Тогда кас
а-
тел
ь
ной к кривой точке М
называется предельное положение секущей
MN
, когда точка N
, двигаясь по кривой, неограниченно приближается к точке
M
.
Положение касательной можно характеризовать углом ее н
а
клона к оси абсцисс Х
. Обычно
же рассматривают ни сам угол, а так н
а
зываемый
угловой коэффициент
касательной k tg
к кривой y
=
f
(
x
)
в точке M
(
x
,
y
)
, лежащей на кривой.
Обозначим угловой коэффициент секущей MN
через k
1
, тогда 1
y
k tg
x
.
Точк
а N
будет стремиться к точке М
при 0
x
®
. При этом ®
; 1
;
tg tg k tg k tg
® ® ;
0 0
( )
lim lim
x x
f x x f x
y
k
x x
® ®
.
Из последнего выражения и определения произво
д
ной следует, что k y
, то е
сть геометрически производная есть угловой коэффиц
и
ент касательной к кривой в рассматриваемой точке
.
Физический смысл производной
Пусть материальная точка (некоторое тело) M
движется неравн
о-
мерно по некоторой прямой. Каждому значени
ю времени t
соответствует определённое расстояние S
OM
до некоторой фиксированной точки O
. Это расстояние зависит от истекшего времени t
, т.е. )
(
t
S
S
. Эт
о равенство называют законом движения точки
. Задача состоит в том, чт
о-
бы найти скорость изменения движения точки и попросту найти скорость её движения. Если в некоторый момент времени t
точка занимает положение M
, то в момент времени t
t
(
t
-
это приращение времени) точка займёт положение 1
M
, где S
S
OM
1
(
S
-
приращение рассто
я-
ния). Таким образом, перемещение точк
и M
за время t
будет )
(
t
S
t
t
S
S
. Отношение t
S
выражает среднюю скорость движения точки за время t
:
12
t
S
V
ср
Предел средней скорости движения
при стремлении к нулю пр
о-
межутка времени t
называется скоростью движения точки в данный момент времени
(или мгновенной скоростью). Обозначим эту скорость через V
, получим:
t
S
V
t
®
0
lim
, или t
t
S
t
t
S
V
t
®
)
(
)
(
lim
0
.
Обобщая, можно сказать, что если функция )
(
x
f
y
описывает какой
-
либо физический процесс, производная )
(
x
f
есть скорость пр
о-
текания этого процесса. В этом состоит физический смысл произво
д
ной. Дифф
еренциал функции
Пусть дана функция
f
(
x
)
, и x
o
--
внутренняя точка её области определ
е-
ния. Придадим аргументу приращение и рассмотрим прираще
ние
фун
к
ции )
(
)
(
)
(
o
o
o
x
f
x
x
f
x
f
Если это приращение можно представить в в
и
де х
x
х
А
x
f
о
o
)
(
)
(
где величина A
(
x
o
)
не зависит от приращения , а
--
беск
о
нечно малая при
, то произведение х
х
А
о
)
(
называется диффере
н-
циалом функции f
(
x
)
в точке
x
o
и обознач
ается )
(
o
x
df
или пр
о
сто
df
.
Функция f
(
x
)
имеет дифференциал )
(
o
x
df
в точке
x
o
тогда и только т
о-
гда, когда она имеет производную )
(
o
x
f
в этой точке; при этом x
x
f
x
df
o
o
)
(
)
(
Геометрический смысл диф
ференциала )
(
o
x
df
выясним, исходя из на
й-
денного ранее геометрического смысла производной. Поскольку прои
з-
водная
)
(
o
x
f
--
это угловой коэффициент касательной к граф
и
ку функции при, о
х
х
то дифференциал x
k
x
x
f
df
o
)
(
--
это приращение ординаты точки кас
а
тельной 13
к графику функции
)
(
x
f
y
, когда абсцисса точки касательной пол
у-
чает приращение : Рис.
3. Дифференциал равен приращению ординаты касательной
Заметим, что для функции x
x
f
)
(
производная ра
в
на 1, так что диффере
н
циал
x
x
dx
x
df
1
)
(
, то есть . Поэтому можно всюду вместо приращения независимой п
е
ременной писать её дифференциал . При этом получается, что для произвольной дифф
е-
ренцируемой функции dx
x
f
x
df
)
(
)
(
. Д
еля на , получаем что придаёт смысл обозначению производной в виде отношения дифф
е-
ренциалов.
14
Производная суммы
, разности, произведения и частного функций
Пусть даны функции )
(
x
u
u
и )
(
x
. Эти функции дифф
е-
ренцируемы в некотором интервале b
a
;
, тогда справедливы следу
ю-
щие соотношения (приведём их без доказател
ьства):
1) u
u
;
2) u
u
u
;
3) 2
u
u
u
, при этом 0
;
4) Константу можно выносить: с
–
const
u
c
u
с
.
Производная сложной функции:
Пусть )
(
u
f
y
и ),
(
x
u
тогда ))
(
(
x
f
y
-
сложная функция с промежуточным аргументом u
и независимым аргументом x
.
Если функция ),
(
x
u
имеет производную x
u
в точке
x
, а функция )
(
u
f
y
имеет производную u
y
в соответствующей точке ),
(
x
u
то сложная функция ))
(
(
x
f
y
имеет производную x
y
в точке x
, которая находиться по формуле x
u
x
u
y
y
.
Производные основных элементарных функций
Степенная функция
: n
x
y
.
1
n
n
x
n
x
П
ример:
2
3
3
x
x
;
1
2
2
x
x
;
1
x
;
15
2
2
1
1
)
1
(
1
х
х
х
х
;
х
х
х
х
2
1
2
1
2
1
2
1
.
Показательная функция
: x
a
y
, 0
a
, 1
a
a
a
a
x
x
ln
Пример
: .
2
ln
2
2
х
х
Показательная функция по основанию
e
(экспонента)
:
x
x
e
e
Логарифмическая функция
: x
y
a
log
, 0
a
, 1
a
ln
x
–
натуральный логарифм (по основанию е
: log
e
x
)
a
x
x
a
ln
1
log
Пример
:
2
ln
1
log
2
x
x
;
x
x
1
ln
.
Тригонометрические функции
:
x
х
cos
sin
x
x
sin
cos
x
tgx
2
cos
1
x
ctgx
2
sin
1
16
2
1
1
arcsin
x
x
2
1
1
arccos
x
x
2
1
1
x
arctgx
Примеры вычисления про
изводных Пример
: Найти производную функции x
x
x
y
sin
1
2
3
3
Решение
: Согласно приведённым ранее формулам для нахождения прои
з-
водной, получаем:
x
x
x
x
x
x
x
x
y
cos
2
9
)
(sin
1
2
3
sin
1
2
3
2
3
3
Пример: .
sin
ln
cos
)
(ln
sin
ln
)
(sin
ln
sin
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Пример
: 2
2
2
2
2
2
2
cos
1
2
tgx
x
x
tgx
x
tgx
tgx
x
tgx
x
tgx
x
Рассмотрим неск
олько примеров нахождения производной от сложных функций
:
x
x
x
x
x
2
)
cos(
)
(
)
cos(
)
sin(
2
2
2
2
;
2
2
1
1
arcsin
2
arcsin
arcsin
2
arcsin
x
x
x
x
x
;
)
(cos
cos
1
cos
ln
2
1
cos
ln
cos
ln
2
1
)
cos
ln
(
x
x
x
x
x
x
)
sin
(
cos
1
cos
ln
2
1
x
x
x
;
17
)
2
(
)
2
sin
(
)
2
(cos
2
cos
2
cos
2
cos
x
x
e
x
e
е
x
x
x
x
e
x
2
sin
2
2
cos
.
Чтобы найти производную показательно
-
степенной фун
кции
)
(
)
(
x
g
x
f
y
, необходимо привести ее к показательной: )
(
ln
)
(
)
(
)
(
x
f
x
g
x
g
e
x
f
y
. )
1
(ln
ln
ln
ln
x
x
x
x
e
e
x
x
x
x
x
x
x
.
Производные высших порядков
Е
сли функция )
(
x
f
дифференцируема при всех b
a
x
;
, то мы можем рассмот
реть функцию R
b
a
f
®
;
:
, сопоставляющую к
а
ждой точке x
значение производной )
(
x
f
. Эта функция f
называется пр
о-
изво
д
ной функции f
, или первой
производной от f
. Функция )
(
x
f
, в свою очередь может иметь произво
д
ную во всех (или некоторых) точках x
интервала b
a
;
, кот
о
рую мы обозначим )
(
x
f
и назовём второй
производ
ной функции )
(
x
f
.
Если предположить, что вторая производная )
(
x
f
с
у
ществует во всех точках b
a
x
;
, то она может иметь также произво
д
ную )
(
x
f
, называемой третьей
производной функции )
(
x
f
и т.д. Вообще n
-
ой производной функции )
(
x
f
называется прои
з
водная от предыдущей, (
n
-
1)
-
й производной :
)
(
)
1
(
x
f
n
)
)
(
(
)
(
)
1
(
)
(
x
f
x
f
n
n
,
если эта производная существует. n
–
я производная назыв
а
етс
я также производной n
–
го порядка, а её номер называется порядком пр
о-
изводной.
Пример:
Найдём вторую производную функции x
x
f
3
sin
)
(
.
Первая производная
:
x
x
x
x
f
cos
sin
3
sin
)
(
2
3
Вторая производная:
x
x
x
x
x
x
x
f
3
2
2
3
sin
cos
sin
2
3
cos
sin
3
sin
)
(
18
x
x
x
2
2
sin
cos
2
sin
3
.
Пример:
Найти вторую производную функции 1
)
(
2
x
x
x
f
2
2
2
2
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
2
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
f
,
4
2
2
)
1
(
)
1
(
2
)
2
(
)
1
)(
2
2
(
)
(
x
x
x
x
x
x
x
f
3
2
4
3
)
1
(
)
2
(
)
1
(
2
)
1
(
)
1
)(
2
(
)
1
(
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
Физический и геометрический смысл производной второго порядка
Физический смысл производной второго порядка проясняе
т
ся из того, что если первая производная )
(
x
f
задаёт мгновенную скорость изменения значений )
(
x
f
в момент времени x
, то вт
о
рая производная, то есть производная от )
(
x
f
, задаёт мгновенную скорость изменения значений мгновенной скорости, то есть уск
о
рение значений )
(
x
f
. Таким образом, ускорение есть производная от скорости и вторая производная от пути:
)
(
)
(
)
(
t
S
t
v
t
a
.
Геометрический смысл второй
производной связан с пон
я
тиями выпуклости и кривизны графика функции
(будут рассмотрены в теме 3.4)
. Задачи, п
риводящие к понятию производной
Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при ре
шении целого ряда задач математики, физик, других наук, в особенности при изучении ск
о-
рости различных процессов. Достаточно широкое применение методы математического анализа, в частности Производная функции, нашли в исследовании процессов, происходящих в электрических цепях. Любые процессы происходящие в 19
электрических цепях описываются стандартным набором уравнений и зависимостей. Однако наравне с количественном описанием процессов в электрических цепях необходимо знать скорость изменения этих проце
с-
сов, а
порой именно скорость изменения этих процессов играет главную роль в исследовании электрических систем. [2], гл. 4, 8
, 9
-
11
.
[4], гл. 5, §§ 1
–
7
.
[6], §§ 20, 21
, 23, 24
.
Контрольные вопросы к теме 3.1
1.
Что такое производная функции?
2.
Каков геометрический смысл производной?
3.
Каков физический смысл производной?
4.
Что такое дифференциал функции?
5.
Каковы формулы вычисления производной суммы, разности, произведения и частного двух функций?
6.
Ка
к
находится производная
сложной функции?
7.
Как вычисляется производная степе
нной функции?
8.
Как вычисляется производная показательной функции?
9.
Как вычисляется производная логарифмической функции?
10.
Как вычисляются производные тригонометрических функций?
11. Что такое вторая производная функции?
12. Как определяются производные высших порядков?
13. В чем заключается физический смысл второй производной?
20
Тема 3.
2
. Основные теоремы о дифференц
и-
руемых функциях. Формула
Тейлора
Теоремы Ролля и Лагранжа. Правило Лопиталя. Формула Тейл
о-
ра. Ра
з
ложение элементврных функций по формуле Маклорен
а.
Основные теоремы о дифференцируемых функциях
В этом разделе мы рассмотрим некоторые утверждения, к
а
сающиеся функций, которые во всех точках данного множества имеют произво
д-
ную. Такие функции называются дифференцируемыми
на данном множ
е-
стве. Теорема Р
о
л
ля
.
Пусть функция f
(
x
)
дифференцируема на интерв
а
ле (
a
;
b
),
непрерывна в точках и и принимает в этих точках знач
е
ние 0:
f
(
a
) = f
(
b
) = 0
. Тогда найдётся хотя бы одна точка
)
;
(
b
a
x
o
, в кот
о-
рой
0
)
(
o
x
f
. Условие 0
)
(
o
x
f
означает, что касательная, прове
дённая к граф
и
ку y
= f
(
x
)
при
x
= x
o
, расп
о
ложена горизонтально. Заметим также, что теорема Ролля не утверждает, что корень
x
o
-
еди
н-
ст
венный нуль
производной на интервале
(
a
;
b
)
на этом интервале может находиться несколько нулей
производной. Рис
.
4. Теорема Ролля: м
ежду двумя нулями
дифференцируемой фун
к-
ции лежит хотя бы один нуль
её производной Теорема Лагранжа
.
Пусть функция
f
(
x
)
диф
ференцируема на инте
р-
вале (
a
;
b
)
и непрерывна в точках и . Тогда найдётся такая то
ч
ка
)
;
(
b
a
x
o
, что 21
Эту ф
ормулу можно записать в виде Если считать, что аргументу придано приращение
a
b
х
, то ф
ункция получает приращение )
(
)
(
a
f
b
f
f
. При этих обознач
е-
ниях формулу
мож
но
записать в виде в котором участвуют конечные приращения арг
умента и функции. П
о-
этому формулу называют формулой конечных приращений
. Дадим геометрическую иллюстрацию теоремы. Соединим коне
ч-
ные точки графика y
= f
(
x
) на отрезке
[
a
;
b
]
хо
р
дой. Конечные приращения a
b
х
и
)
(
)
(
a
f
b
f
f
-
это величины к
а
тетов треугольника, гипотенузой которого служит проведё
н
ная хорда. Рис.
5
.
Теорема Лагранжа: существует точка, в ко
торой касательная п
а-
раллельна хорде
Пример:
f
(
x
) = x
2
на отрезке [1;3].
Согласно теореме Лагранжа, на заданном отрезке должна
существовать точка х
о
: )
1
3
)(
(
)
1
(
)
3
(
o
x
f
f
f
, т. е. 4
2
)
(
o
o
x
x
f
, откуда 3
;
1
2
о
х
.
22
Правило Лопитал
я
Правило Лопиталя
.
Пусть функции f
(
x
)
и g
(
x
)
непрерывны в некот
о-
рой окрестности точки x
o
и f
(
x
o
) = g
(
x
o
) = 0
.
Предположим, что в этой окрестности функции
имеют производные )
(
x
f
и
)
(
x
g
, причём сущ
е-
ствует предел отнош
е
ния этих производных: Тогда предел отношения самих функций тоже сущ
е
ствует и равен тому же числу : Пример
ы
:
В
ычислить x
e
x
x
sin
1
lim
2
0
®
Поскольку и числитель, и знаменатель обращают
ся в нуль при х = 0
, то можно применить правило Лопиталя
:
2
cos
2
lim
)
(sin
)
1
(
lim
sin
1
lim
2
0
2
0
2
0
®
®
®
x
e
x
e
x
e
x
x
x
x
x
x
Аналогично:
e
x
e
x
x
e
x
x
e
x
e
x
e
x
1
1
1
lim
)
(
)
1
(ln
lim
1
ln
lim
®
®
®
Иногда приходится применять правило Лопиталя несколько раз по
д-
ряд:
6
1
6
sin
lim
)
3
(
)
1
(cos
lim
0
2
0
®
®
x
x
x
x
x
x
Правило Лопиталя можно применять и для разрешения неопределенн
о-
сти типа :
23
0
2
lim
2
lim
lim
2
®
®
®
x
x
x
x
x
x
e
e
x
e
x
Формула Тейлора
Пусть дана функция )
(
x
f
. Эта функция имеет в некоторой окрес
т-
ности конечной точки a
производные до порядка )
1
(
n
включ
и
тельно, x
–
любое значение аргумента из указанной окрес
т
ности )
(
a
x
,
тогда справедлива формула Тейлора
:
n
n
n
n
a
x
n
f
a
x
n
a
f
a
x
a
f
a
x
a
f
a
f
x
f
)
(
!
)
(
)
(
!
)
(
...
)
(
!
2
)
(
'
'
)
(
!
1
)
(
'
)
(
)
(
)
1
(
)
(
2
где n
n
a
x
n
a
f
a
x
a
f
a
x
a
f
a
f
)
(
!
)
(
...
)
(
!
2
)
(
'
'
)
(
!
1
)
(
'
)
(
)
(
2
мног
о
член порядка n
(
многочлен Тейлора
)
.
1
)
1
(
)
(
!
1
)
(
)
(
n
n
n
a
x
n
f
x
R
-
остаточный член
в форме Л
а
гранжа )
;
(
х
а
.
Формула Тейлора служит для приближения функции f
(
x
)
многочл
е-
ном Тейлора. Как правило, достаточно взять 4
-
5 с
лагаемых (
n
= 3,4
)
, чтобы ошибка приближения (остаточный член) стала незначительной в небольшой окрестности точки а
. Формула Маклорена и разложение элементарных функций
Формула Тейлора при a
=0
называется формулой Маклор
е
на
:
)
(
!
)
0
(
...
!
2
)
0
(
'
'
!
1
)
0
(
'
)
0
(
)
(
)
(
2
x
R
x
n
f
x
f
x
f
f
x
f
n
n
n
,
г
д
е остаточный член в форме Лагранжа ;
)!
1
(
)
(
1
)
1
(
n
n
n
x
n
x
f
x
R
)
1
0
(
Для элементарных функций формула Маклорена имеет вид:
24
1. )
(
!
...
!
2
!
1
1
2
x
R
n
x
x
x
e
n
n
x
2. )
(
)!
1
2
(
)
1
(
...
!
7
!
5
!
3
sin
3
2
1
2
7
5
3
x
R
n
x
x
x
x
x
x
n
n
n
3. )
(
)!
2
(
)
1
(
...
!
6
!
4
!
2
1
cos
2
2
2
6
4
2
x
R
n
x
x
x
x
x
n
n
n
4. )
(
)
1
(
...
4
3
2
)
1
ln(
1
4
3
2
x
R
n
x
x
x
x
x
x
n
n
n
Эти формул
ы используются в прикладных программах и кальк
у
ляторах для вычисления значений элементарных функций с большой то
ч
ностью.
[2], гл.
4, §§ 12
–
16. [4], гл. 6, §§ 1
–
3,
6
–
8.
[6], §§ 25.1, 25.2, 26.
Контрольные вопросы к теме 3.2
1.
Как формулируется теорема Рол
ля?
2.
В чем заключается геометрический смысл теоремы Ролля?
3.
Как формулируется теорема Лагранжа?
4.
В чем заключается геометрический смысл теоремы Лагранжа?
5.
В чем заключается правило Лопиталя?
6.
Как записывается формула Тейлора?
7.
Как записывается остаточный член в форме Лагранжа?
8.
Как записывается формула Маклорена для произвольной фун
к-
ции?
9.
Как записывается формула Маклорена для элементарных фун
к-
ций?
25
Тема 3.
3
. О
бщая схема исследования функции
и построения ее гр
а
фи
ка
Монотонность функции. Экстремумы функции. Выпу
клость и точки перегиба. Асимптоты. Общая схема исследования функции и п
о-
строения ее графика
.
Монотонность функции
Одним из приложений производной функции является её примен
е-
ние к исследованию функции и построению графика функции. Важне
й-
шей задачей
являе
тся
определения участков монотонности (возрастания и убывания).
Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.
Н
еобходимое у
словие
.
Если дифференцируемая на интервале b
a
;
фун
к
ция )
(
x
f
возр
астает (убывает), то 0
)
(
x
f
0
)
(
x
f
для b
a
x
;
.
Рис. 6. Необходимое условие возрастания функции
Это определение означает, что касательные к графику возраста
ю-
щей дифференцируемой функции обра
зуют острые углы с положител
ь-
ным направлением оси Ox
или в некоторых точках пара
л
лельны оси Ox
. Д
остаточное условие
Если функция )
(
x
f
дифференцируема на интервале b
a
;
и 0
)
(
x
f
0
)
(
x
f
для b
a
x
;
, то эта фун
к-
ция возрастает (убывает) на интервале b
a
;
.
26
Рассмотренные определения позволяют довольно просто исслед
о-
вать функцию на монотонность. Напомним, что функция
во
з
растающая или убывающая называется монотонной.
Пример
:
определить участки монотонности фун
к
ции
4
3
)
(
3
x
x
x
f
.
Функция определена на
всей числовой прямой
. Её производная ра
в-
на:
1
1
3
3
3
)
(
2
x
x
x
x
f
;
0
)
(
x
f
при ;
1
1
;
x
;
0
)
(
x
f
при 1
;
1
x
Таким образом –
данная функция возрастает на интервалах 1
;
и ;
1
; убывает на интервале 1
;
1
.
Экстремумы функции
Точка 0
x
называется точкой максимума
функции )
(
x
f
y
, если существует такая -
окрестность точки 0
x
, что для всех 0
x
x
из этой окрестности выполняется неравенство )
(
)
(
0
x
f
x
f
. Аналогично 0
x
-
точка минимума
функции, если в той же окрес
т-
ности
)
(
)
(
0
x
f
x
f
. Значение функции в точке максимума (минимума) называется ма
к-
симумом (минимум)
функции. Максимум (минимум) фун
к
ции называется
экстремумом
функции. Понятие экстремума всегда связано с определе
н-
ной окрес
т
ностью точки из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум лишь во внутренних точках области опр
е
деления. Рассмотрим условия существования экстремума функц
ии. Необходимое условие экстремума
.
Если дифференцируемая функция )
(
x
f
y
имеет экстремум в точке 0
x
, то её произво
д
ная в этой точке равна нулю: 0
)
(
о
x
f
.
Геометрически
равенство 0
)
(
x
f
означает, что в точке экстр
е-
мума дифференцируемой функции )
(
x
f
y
касательная к её граф
и
ку параллельна оси Ox
. Отметим, что обратное определ
е
ние не верно, т.е. если 0
)
(
x
f
, то это не значит, что 0
x
-
точка экстремума. Напр
и
мер, 27
для функции 3
x
y
её производная 2
3
x
y
равна нулю при 0
x
, но 0
x
не точка экстремума.
Существуют функции, которые в точках экстрему
ма не имеют пр
о-
изводной. Например, непрерывная функция x
y
в точке 0
x
прои
з-
водной не имеет, но точка 0
x
-
точка м
и
нимума. Таким образом, непрерывная функция может иметь экстр
е
мум лишь в точках,
где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.
Точки, в которых производная с
у
ществует и равна нулю, называются стационарными
.
Достаточное условие экстремума.
Если непрерывная фун
к
ция )
(
x
f
y
ди
фференцируема в некоторой окрестности критической то
ч-
ки 0
x
и при переходе через неё (слева направо) производная )
(
x
f
м
е-
няет знак с плюса на минус, то 0
x
есть точка максимума; с м
и
нуса на плюс, то
0
x
-
есть точка мин
и
мума. Рис.
7
. Достаточное условие экстремума
Исследовать функцию на экстремумы означает найти все её эк
с-
тремумы. Таким образом,
получаем правило исследования функции на экстремум:
1. Н
айти внутренние критические точки функции )
(
x
f
y
.
2
. И
сследовать знак производной )
(
x
f
слева и справа от каждой
из выбранных критиче
ских точек.
28
3
. В
соответствие с достаточным
условие
м
экстрему
ма
выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения фун
к
ции в них.
Пример:
Найти экстремум функции 2
4
2
)
(
x
x
x
f
Область определения функции –
вся числовая прямая. Найде
м ее крит
и
ческие точки:
0
)
1
)(
1
(
4
)
1
(
4
4
4
)
(
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
f
Ст
а
ционарные точки функции: х
1
= -
1, х
2
= 0, х
3
= 1
.
Выясним знак производной на каждом интервале монотонн
о
сти:
Следовательно, функция возрастает
при )
1
;
0
(
)
1
;
(
x
, убывает при )
;
1
(
)
0
;
1
(
x
, имеет минимумы в точках х = -
1
и х = 1
, ма
к
симум в точке х = 0
. Выпуклость графика функции и точки перегиба
График дифференцируемой
функции )
(
x
f
y
называется выпу
к-
лым вниз
на интервале b
a
;
, если он расположен
выше любой её кас
а-
тельной на этом интервале. График функции )
(
x
f
y
называется в
ы-
пуклым вверх
на интервале b
a
;
, если он расположен ниже любой её кас
а
тельной на этом интервале. Точка графика непрерывной функции )
(
x
f
y
, отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба
. 29
Рис.
8
. График функции выпуклый вверх на интервале (а;с)
и выпуклый вниз на интервале (с;
b
).
Точка х = с
–
точка перегиба.
Интервалы выпуклости и точки перегиба находятся из следующих условий
: 1.
Если функция )
(
x
f
y
во всех точках интервала b
a
;
имеет о
т
рицательную вторую производную, т.е. 0
)
(
x
f
, то график фун
к
ции в этом интервале выпуклый вверх.
Если же 0
)
(
x
f
b
a
x
;
-
график выпуклый вниз.
2.
Если вторая производная )
(
x
f
при переходе через точку 0
x
, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с а
б
с
циссой 0
x
есть точка перегиба.
Пример:
Исследовать на выпуклость и точки перегиба гр
а
фик функции 5
2
)
(
2
3
x
x
x
f
y
.
Вычисляем производные:
х
x
y
2
6
2
и 2
12
x
y
. Вт
о-
рая производная существ
у
ет на в
сей числовой оси; 0
y
при 6
1
x
.
Отмечаем, что 0
y
при 6
1
x
и 0
y
при 6
1
x
. 30
Следовательно, график функции 5
2
)
(
2
3
x
x
x
f
y
в и
н-
тер
вале 6
1
;
-
выпуклый вверх, в интервале ;
6
1
-
в
ы
пуклый вниз. Точка 6
1
x
есть точка пер
е
гиба.
Асимптоты графика функции
Асимптотой
графика функции
называется прямая, расстояние до которой от точки,
лежащей на графике
, стремиться к нулю при неогран
и-
ченном уд
а
лении от начала координат этой точки по графику
.
Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизо
н-
тальными.
Говорят, что прямая a
x
является вертикальной аси
м
птотой
гр
афика функции )
(
x
f
y
, если ®
)
(
lim
x
f
a
x
.
Рис. 9
. Вертикальная асимптота
Действительно, в этом случае рассто
я
ние точки y
x
M
;
кривой от прямой a
x
равно a
x
d
. Е
сли a
x
®
, то 0
®
d
. Согласно определению асимптоты, прямая a
x
является асимптотой кривой )
(
x
f
y
. Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те зн
а-
чения x
,
вблизи которых функция )
(
x
f
y
неограниченно возраст
а-
ние по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.
31
Пример
:
График функции 1
2
)
(
x
x
f
y
имеет вертикальную асимпт
о-
ту 1
x
, так как ®
1
2
lim
0
1
x
x
и ®
1
2
lim
0
1
x
x
. Уравнение наклонной асимпт
о
ты
будем искать в виде b
kx
y
.
Необходимо найти численное значение коэффициентов ура
в
нения прямой b
kx
y
-
k
и b
.
Дан
ные коэффициенты находим согласно выражениям:
x
x
f
k
x
)
(
lim
®
kx
x
f
b
x
®
)
(
lim
Таким образом, если для функции )
(
x
f
y
существует асимпт
о-
та, то коэффициенты k
и b
для уравнения прям
ой b
kx
y
находя
т-
ся согласно этим формулам.
Если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконе
ч-
ности, то кривая )
(
x
f
y
наклонной асимптоты не имеет.
В частности, если 0
k
, то )
(
lim
x
f
b
x
®
. Поэтому b
y
-
уравнение горизонтальной асимптоты
. Пример
ы
:
1)
Найти асимптоты функции 1
2
)
(
2
x
x
x
f
В точке х = 1
функция имеет разрыв II
рода, значит прямая х =
1
явл
я
ется вертикальной асимптотой -
®
1
2
lim
2
0
1
x
x
x
, ®
1
2
lim
2
0
1
x
x
x
.
Для нахождения наклонной асимптоты вычислим предел
ы:
32
k
x
x
x
x
x
f
x
®
2
2
)
(
lim
2
2
-
угловой коэффициент наклонной асимптоты.
®
®
®
1
)
1
(
2
2
lim
2
1
2
lim
)
)
(
(
lim
2
2
x
x
x
x
x
x
x
kx
x
f
x
x
x
b
x
x
x
®
2
1
2
lim
Следовательно, уравнение наклонной асимптоты –
y
= 2
x
+ 2.
2) Найти асимптоты графика функции x
xe
y
.
Так как ®
®
x
x
x
x
e
x
xe
lim
lim
, то график функции при ®
x
наклонной асимптоты не имеет.
При ®
x
справедливы соотношения
0
lim
lim
®
®
x
x
x
x
e
x
xe
k
0
1
lim
lim
lim
0
lim
®
®
®
®
x
x
x
x
x
x
x
x
e
e
x
xe
x
xe
b
Следовательно, при ®
x
график имеет горизонтальную аси
м-
птоту 0
y
.
Общая схема исследования функции и п
о
строения графика
Общая схема исследования
функции )
(
x
f
y
включает в себя следующие пункты:
1. Найти область определения функции.
2. Найти точки пересечения гр
а
фика с осями координат.
3. Найти интервалы зна
копостояннства функции (промежу
т
ки на которых 0
)
(
x
f
или 0
)
(
x
f
). 4. Выяснить, является ли функция четной, нечётной или о
б
щего вида.
5. Найти асимптоты графика функции.
6. Найти интервалы монотонности функции
(участки возрастания и убывания)
.
33
7. Найти экстремумы функции.
8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика фун
к-
ции.
9. П
остроить график фун
к
ции
.
Если график функции не совсем понятен и после выполнения пр
и-
ведённых операций, то можно дополнительно иссл
едовать функцию на периодичность, построить дополнительно несколько точек графика, в
ы-
явить др
у
гие особенности функции. Пример:
Исследовать функцию 2
1
x
x
y
и построить её график.
1. Функция не определена при 1
x
и 1
x
-
так как при этих значениях независимой переменной x
знаменатель функции обр
а
щается в ноль. Область определения функции сост
о
ит из трёх интервалов ,
1
;
1
;
1
, ;
1
, а график из трёх ветвей.
2. Если 0
x
, то 0
y
. График пересекает ось Oy
в то
ч
ке 0
;
0
O
. Тоже самое получаем при 0
y
получаем, что 0
x
. Т
а
ким образом график функции пересекает ось Ox
в точке 0
;
0
O
-
нач
а
ле координат.
3. Функция положительна 0
y
в интервале 1
;
и 1
;
0
; и отрицательна –
в 0
;
1
и ;
1
.
4. Функция 2
1
x
x
y
является нечётной –
)
(
1
1
)
(
2
2
x
y
x
x
x
x
x
y
Следовательно, график её симметричен относительно начала коо
р-
д
и
нат. 5. Прямые 1
x
и 1
x
являются её вертикальными асимпт
о-
тами
(в этих точках функция претерпевает разрыв II
рода)
. ;
1
lim
2
0
1
®
x
x
x
;
1
lim
2
0
1
®
x
x
x
34
;
1
lim
2
0
1
®
x
x
x
;
1
lim
2
0
1
®
x
x
x
Выясним наличие наклонной аси
м
птоты:
0
1
1
lim
1
lim
2
2
®
®
x
x
x
x
k
x
x
(
0
k
при ®
x
и при ®
x
),
0
1
lim
0
1
lim
2
2
®
®
x
x
x
x
x
b
x
x
Следовательно это горизонтальная асимптота, её уравнение 0
y
. Прямая 0
y
является асимптотой и при ®
x
и при ®
x
. 0
1
lim
2
®
x
x
x
6. Находим интервалы возрастания и убывания фун
к
ции. Так как
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
y
то 0
y
в области определения, и функция является возраста
ю-
щей на всей
области о
пределения.
7. Исследуем функцию на экстремум. Так как 2
2
2
1
1
x
x
y
, то критическими точками являются точки 1
1
x
и 1
2
x
(
y
не сущес
т-
вует), но они не принадлежат области определе
ния фун
кции, значит
ф
ун
к
ция экстремумов не имеет.
8. Исследуем функцию на выпуклость. Находим y
:
3
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
)
1
(
)
3
(
2
)
1
(
)
2
)(
1
(
2
)
1
(
)
1
(
2
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
35
Вторая производная равна нулю или не существует в точках 0
1
x
, 1
2
x
, 1
3
x
. Точка 0
;
0
O
-
точка перегиба графика функции. График выпуклый вверх на интервалах 0
;
1
и ;
1
; в
ы-
пуклый вниз на интервалах 1
;
и 1
;
0
.
10.
Исходя из
проведенных исследований строим график функции:
Рис. 10
. График функции
[2], гл. 4, §§ 17
–
22. [4], гл. 7
.
[6], § 25.3
–
8.
Контрольные вопро
сы к теме 3.3
1. Какая функция называется монотонной?
2. Каковы необходимые и достаточные условия монотонности
?
3. Что называется экстремумом функции?
4. Каковы необходимые и достаточные условия экстремума?
5. Что такое выпуклость графика функции?
6. Что такое точка перегиба графика функции?
36
7. Как найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика фун
к-
ции?
8. Чт
о такое асимптота графика функции?
9. Как найти вертикальные асимптоты графика функции?
10. Как найти наклонные (горизонтальные) асимптоты графика фун
к-
ции?
11. Каков общий алгоритм исследования функции и построения ее граф
и
ка?
Тема 3.
4
. Функции двух пер
еменных
Область определения. Непрерывность.
Частные производные. Ди
ф-
ференцируемость. Экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьш
е-
го значения функции в замкнутой области.
Область определения функции двух переменных
Часто для описания различных процессо
в недостаточно функций одной переменной. Возникают
ситуации, когда интересующее нас знач
е-
ние зависи
т сразу от нескольких факторов. В таких случаях необходимо ра
с
сматривать функцию нескольких Для простоты б
удем рассматривать функции двух переменных как час
тный случай функ
ции нескольких переменных
. Итак, с
оответствие f
, к
о
торое каждой паре чисел D
y
x
;
сопоставляет одно и только одно число R
z
, называется функцией двух переменных, определённой на мно
жестве D
со значениями в R
, и записывае
т
ся в виде y
x
f
z
;
. При этом x
и y
называется независимыми переменными (аргументами), а z
-
зависимой переменной (фун
к
цией).
Множество )
(
f
D
D
называется областью определения фун
к-
ции. Примером функции двух переменных может служить площадь S
прямоугольника со сторонами, длины которых равны x
и :
y
xy
S
. Областью определения этой функции является множество 0
;
0
y
x
.
Значение функции y
x
f
z
;
в точке 0
0
0
,
y
x
M
обозначается 0
0
0
;
y
x
f
z
или )
(
0
0
M
f
z
.
37
Непрерывность функции двух переменных
Функция y
x
f
z
;
называется непрерывной в точке 0
0
0
,
y
x
M
, если она:
-
определена в этой точке и некоторой её окрестности,
-
имеет предел y
x
f
M
M
;
lim
0
®
,
-
этот предел равен значению функции z
в точке 0
0
0
,
y
x
M
, т.е. )
(
lim
0
0
M
f
M
f
M
M
®
или 0
0
;
;
lim
0
0
y
x
f
y
x
f
y
y
x
x
®
®
.
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, назыв
а-
ется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нар
у-
шается (не выполняется хотя бы одно из некоторых условий непрерывн
о-
сти функции в точке), называется точками разрыва этой функции. Точки разрыва y
x
f
z
;
могут образ
о
вывать целые линии разрыва.
Так, к примеру, функция x
y
z
2
имеет линию разрыва x
y
, где знаменатель функции обращается в нуль
. Как и в случае функции одной переменной,
арифметические опер
а-
ции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приво
дит к н
е
прерывным функциям. Если функция )
(
N
f
z
непрерывна в ограниченной замкн
у
той области, то она в этой области:
-
ограничена, т.е. существует такое число 0
R
, что для всех т
о-
чек N
в этой област
и выполняется неравенство R
N
f
)
(
;
-
имеет точки, в которых принимает наименьшее знач
е
ние m
и наибольшее M
значения;
-
принимает хотя бы в одной точке области численное значение, з
а-
ключенное между
m
и M
.
Частные производные первого порядка
Пусть задана функция y
x
f
z
;
. Так как x
и y
-
незав
и
симые переменные, то одна из них может менят
ь
ся, а др
угая сохранять своё зн
а-
чение. Дадим независимой переменной x
прир
а
щение x
, сохраняя значение y
неизменным
. 38
Тогда z
получит приращение, которое называется частным пр
и-
ра
щением z
по x
и обозначается z
x
. Получаем –
)
;
(
)
;
(
y
x
f
y
x
x
f
z
x
.
Аналогично получается частое приращение z
по y
:
)
;
(
)
;
(
y
x
f
y
y
x
f
z
y
.
Пол
ное приращение z
функции z
определяется равенс
т
вом:
y
x
f
y
y
x
x
f
z
;
;
.
Если существует предел:
x
y
x
f
y
x
x
f
x
z
x
x
x
®
®
;
;
lim
lim
0
0
,
то он называется частной производной
функции y
x
f
z
;
в точке y
x
M
;
по переменной x
и обозначается одним из си
м
волов:
x
z
, x
z
, x
f
, x
f
.
Аналогично определяется и обозначается производная от y
x
f
z
;
по переменной y
:
y
y
x
f
y
y
x
f
y
z
z
y
y
y
y
®
®
;
;
lim
lim
0
0
.
Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трёх и дольше) переменных определяется как производная функции о
д-
ной их этих переменных при условии постоянства зн
а
чений остальных независимых переменных. Поэтому частные пр
о
изводные функции y
x
f
;
находят по формулам и правилам в
ы
числения производных функции одной переменной (при этом с
о
ответственно x
и y
считаетс
я постоянной величиной). Пример
:
Найти частные производные функции 1
2
2
y
x
e
y
z
.
При вычислении x
z
рассматриваем переменную y
как константу.
y
x
y
x
y
x
y
x
e
x
e
x
x
e
x
y
x
e
y
x
x
z
2
2
2
2
2
0
0
1
2
1
2
Аналогично вычис
ляется y
z
39
1
2
2
y
x
e
y
z
Дифференцируемость и полный дифференциал функции
Пусть функция y
x
f
z
;
определена в некоторой окрес
т
ности точки y
x
M
,
. Составим полное приращение функции в точке y
x
M
,
:
y
x
f
y
y
x
x
f
z
;
;
Функция y
x
f
z
;
называется дифференцируемой в точке y
x
M
,
, если полное приращение в этой точке можно представить в виде
y
x
y
B
x
A
z
,
где 0
,
®
y
x
и 0
,
®
y
x
при ,
0
®
x
0
®
y
.
Сумма первый двух слагаемых в равенстве y
x
y
B
x
A
z
представляют собой главную часть приращения функции.
Главная часть приращении функции y
x
f
z
;
, линейная отн
о-
сительно x
и
y
, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом :
dz
y
B
x
A
dz
.
Для независимых переменных x
и y
полагают, что dx
x
и dy
y
, поэтому равенство можно переписать в виде
dy
B
dx
A
dz
Н
еобходимое условие дифференцируемости
–
Если фун
к
ция y
x
f
z
;
, дифференцируема в точке y
x
M
,
, то она непр
е
рывна в этой точке
, имеет в ней частные производные x
z
и y
z
, причём A
x
z
, B
y
z
.
40
Равенство y
x
y
B
x
A
z
можно зап
и
сать в следующем виде y
y
z
x
x
z
z
,
где y
x
при ,
0
®
x
0
®
y
.
Отметим, что обратное утверждение не верно, т.е. из непрерывн
о-
сти функции или существования частных производных не следует ди
ф-
ференцируемость функции. Так непрерывная функция 2
2
y
x
z
не дифференциру
е
ма в точке 0
;
0
.
Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного дифференциала. Формула dy
B
dx
A
dz
, принимает вид:
dy
y
z
dx
x
z
dz
.
Д
остаточное условие дифференцируемости -
Если фун
к
ция y
x
f
z
;
имеет непрерывные частные пр
о
изводные в точке y
x
M
,
, то она дифференцируема в этой точке и её полный дифференциал выр
а-
жается формулой dy
y
z
dx
x
z
dz
.
Частные производные высших порядков
Частные п
роизводные x
y
x
f
;
и y
y
x
f
;
называются час
т
ными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функцию от D
y
x
;
. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производн
ыми вт
о
рого порядка.
Они определяются следующим образом:
y
x
f
z
x
z
x
z
x
хх
хх
;
2
2
y
x
f
z
x
y
z
y
z
x
ху
ху
;
2
41
y
x
f
z
y
x
z
x
z
y
ух
ух
;
2
y
x
f
z
y
z
y
z
y
уу
уу
;
2
2
Аналогично определяются частные производные 3
-
го, 4
-
го и т.п. порядков. Так,
2
2
x
z
x
z
XXY
2
4
3
)
4
(
2
x
y
x
z
x
y
x
z
x
z
z
XYX
X
XYX
Частная производная второго или более высокого порядка, связа
н-
ная различными переменными, называется смешанной пр
о
изводной
.
Пример
:
Найти частные производные второго порядка функции 1
2
5
3
2
4
y
y
x
x
z
.
Так как 3
3
4
4
xy
x
z
x
и 4
2
2
5
6
y
y
x
z
y
, то 3
2
3
3
4
12
4
4
у
х
xy
x
z
х
xх
;
3
2
4
2
2
20
12
5
6
y
y
x
y
y
x
z
y
yy
;
2
3
3
12
4
4
xy
xy
x
z
y
xy
;
2
4
2
2
12
5
6
xy
y
y
x
z
x
yx
.
Таким образом получаем, что yx
xy
z
z
.
Этот результат не случаен. Имеет место теорема
:
Если частные произ
водные высшего порядка непрерывны, то см
е-
шанные производные одного порядка, отличающиеся лишь поря
д
ком дифференцирования, равны между собой. В частности, для y
x
f
z
;
: x
y
z
y
x
z
2
2
.
42
Градиент и производная по направлению
Г
радие
нтом
функции )
(
x
f
,
вычисленным в точке
(х
о
, y
o
)
назыв
а-
ется в
ектор, компонентами которого являются
значения частных прои
з-
водных
в этой точке
)
,
(
);
,
(
)
,
))(
,
(
(
о
о
о
о
o
о
у
х
у
f
у
х
x
f
y
х
у
x
f
grad
Если частные производные существуют во всех точках о
б
ласти, то градиент
функции
, вычисленный в произвольной переменной точке
(х, y
)
, представляет собой вектор
-
функцию ))
,
(
(
y
x
f
grad
.
В некоторых точках (х
о
, y
o
)
градиент может оказаться нул
е
вым вектором,
т.
е. значения частных производных в точке (х
о
, y
o
)
будут ра
в-
ны
0:
0
,
о
о
у
x
x
f
;
0
,
о
о
у
x
у
f
.
Такие точки называются стационарными
точками фун
к
ции )
(
x
f
.
Пример
:
Рассмотрим функцию y
x
y
xy
x
y
x
f
3
4
2
3
)
;
(
2
2
з
а-
данную на всей числовой плоскости. Найдём частные произво
д
ные:
4
3
2
)
;
(
y
x
x
y
x
f
3
4
3
)
;
(
y
x
y
y
x
f
получаем, что 3
4
3
;
4
3
2
))
;
(
(
y
x
y
x
y
x
f
grad
Стационарные точки находятся из системы
уравнений
0
3
4
3
)
;
(
0
4
3
2
)
;
(
y
x
y
y
x
f
y
x
x
y
x
f
Решая эту систему
, находим единс
т
венное решение:
43
25
18
y
x
Таким
образом,
25
;
18
-
единственная стационарная то
ч
ка этой функции.
Пусть на плоскости задан некоторый вектор l
(
l
x
, l
y
)
, 2
2
y
x
l
l
l
. Нормируем его, т. е. разделим координаты вектора на его модуль: 2
2
2
2
,
y
x
y
y
x
x
н
l
l
l
l
l
l
l
. Модуль нормированного вектора равен 1. Производной функции f
(
x
,
y
)
по направлению
l
в точке (х
о
, y
o
)
наз
ы-
вается предел отношения приращения функции к приращению ее арг
у-
ментов
, при условии, что приращение аргументов происходит по напра
в-
лению вектора l
.
Величина этой
производной характеризует скорость и
з-
менения функции в заданном направлении. Производная по направлению равна скалярному произведению градиента функции )
,
))(
,
(
(
o
о
y
х
у
x
f
grad
и нормированного вектора направления 2
2
2
2
;
y
x
y
y
x
x
н
l
l
l
l
l
l
l
н
l
gradf
l
f
,
.
Приме
р:
Найти производную функции
f
(
x
,
y
) = 3
x
2
+ 2
xy
–
y
2 по направл
е-
нию
l
(
-
3; 4) в точке
А(2; 1).
Находим градиент
функции в точке:
y
x
f
x
2
6
;
y
x
f
y
2
2
;
14
)
1
,
2
(
x
f
;
;
2
)
1
,
2
(
y
f
).
2
;
14
(
)
1
,
2
(
gradf
Норми
руем вектор направления:
5
4
)
3
(
2
2
l
;
44
5
4
;
5
3
н
l
Находим производную по направлению:
8
.
7
5
34
5
4
2
5
3
14
,
н
l
gradf
l
f
Значит, в данной точке в данном направлении функция убывает со скоростью 7.8.
Экстремум функции двух переменных
Понятие
максимума, минимума, экстремума функции двух пер
е-
менных аналогичны соответствующим понятиям функции одной незав
и-
симой переменной. Пусть функция )
;
(
y
x
f
z
определена в некоторой области D
, точка D
y
x
N
0
0
;
.
Точка 0
0
;
y
x
называется точкой макс
и
мума функции )
;
(
y
x
f
z
, если существует такая окрестность точки 0
0
;
y
x
, что для каждой точки y
x
;
, отличной от 0
0
;
y
x
, из этой окрестности выполняется неравенство )
;
(
)
;
(
0
0
y
x
f
y
x
f
. Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек y
x
;
, отличных от 0
0
;
y
x
выпо
л
няется неравенство: )
;
(
)
;
(
0
0
y
x
f
y
x
f
.
На ри
сунке 1
N
точка максимума, а 2
N
точка минимума фун
к-
ции )
;
(
y
x
f
z
.
Максимум и минимум функции называют её экстрем
у
мом. Рис. 11.
Экстремум функции двух переменных
45
Отметим, что, в силу опред
еления, точка экстремума функции л
е-
жит внутри области определения функции; максимум и минимум им
е
ют локальный (местный) характер: значение функции в точке 0
0
;
y
x
сра
в-
нительно с её значениями в точках, достаточно бли
з
ких к 0
0
;
y
x
. В области D
функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни о
д
ного. Н
еобходимое условие экстремума
.
Если в точке 0
0
;
y
x
N
ди
ф-
ференцируемая функция )
;
(
y
x
f
z
имеет экстремум, то её частн
ые пр
о
изводные в этой точке равны нулю: 0
,
0
0
y
x
f
х
, 0
,
0
0
y
x
f
у
. Точка, в которой частные производные первого порядка функции )
;
(
y
x
f
z
равны нулю 0
х
f
, 0
у
f
, называется стацион
арной
точкой функции )
;
(
y
x
f
z
. С
тационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная пр
о-
изводная не существует, называется критическими
точками. В критич
е-
ских точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Для нахождения эк
стремумов функции в данной области необх
о-
димо каждую критическую точку функции подвергнуть д
о
полнительному исследованию.
Д
остаточное условие
экстремума
.
Пусть в стационарной то
ч
ке 0
0
;
y
x
и некоторой её окрестности функция )
;
(
y
x
f
z
имеет непр
е-
рывные частные производные до второго порядка включительно. Вычи
с-
лим в точке 0
0
;
y
x
значения )
;
(
0
0
y
x
f
A
хх
, )
;
(
0
0
y
x
f
B
ху
, )
;
(
0
0
y
x
f
C
уу
. Обозначим 2
B
AC
C
B
B
A
Тогда:
-
если 0
, то функция )
;
(
y
x
f
z
в точке 0
0
;
y
x
имеет экстремум: максимум, если 0
A
; минимум, если 0
A
;
-
если 0
, то функция )
;
(
y
x
f
z
в то
чке 0
0
;
y
x
эк
с-
тремума не имеет;
46
-
в случае 0
экстремум в точке 0
0
;
y
x
может быть, м
о-
жет и не быть; здесь необходимы дополнительные исследов
а
ния;
Пример
:
Найти экстремум функции 4
3
2
3
y
x
y
x
z
.
Найдем частные производные:
2
3
6
x
xy
x
z
, 3
2
4
3
y
x
y
z
.
Найдём стационарные точки , приравнивая частные производные к нулю. Получим систему уравнений
:
0
4
3
0
3
6
3
2
2
y
x
x
xy
Отсюда получаем точки 3
;
6
1
M
и 0
;
0
2
M
.
Находим частные производные второго порядка данной функции:
x
y
z
xx
6
6
, x
z
xy
6
, 2
12
y
z
yy
.
В точке 3
;
6
1
M
имеем: 18
A
, 36
B
, 108
C
, отсюда находим определитель:
648
36
108
18
2
2
B
AC
,
т.е.
0
.
Так как 0
A
, то в точке 1
M
функция имеет локальный макс
и-
мум:
27
81
216
324
3
6
3
36
3
3
;
6
4
3
max
z
z
.
В точке 0
;
0
2
M
: 0
A
, 0
B
, 0
C
а
значит 0
. Пр
о-
ведём дополнительное исследование. Значение функции )
;
(
y
x
f
z
в точке 0
;
0
2
M
равно нулю: 0
0
;
0
z
. Так как 0
4
y
z
при 0
x
и 0
y
, а также 0
3
x
z
при 0
x
, 0
y
. Значит, в окр
е-
стности точки 0
;
0
2
M
функция )
;
(
y
x
f
z
принимает как отриц
а-
тельные, так и положительные значения. Следов
а
тельно, в точке 0
;
0
2
M
функция экстремума не имеет. 47
Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
Пусть функция )
;
(
y
x
f
z
определена
и непрерывна в огран
и-
ченной замкнутой области D
. Согласно теоремам о непрерывной фун
к-
ции, она достигает в некоторой точке этой области своего наибольшего и наименьшего значения.
Если функция дифференцируема в области D
, то алгоритм нахо
ж-
дения ее наибольш
его и наименьшего значения в этой области заключ
а-
ется в следующем:
1. Найти все критические точки
функции, принадлежащие D
, и в
ы-
числить значения функции в них.
2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на границе области D
(
это сводится к задаче н
ахождения максимума и минимума функции одной переменной на отрезке
)
.
3. Среди найденных значений выбрать наи
большее и наименьшее.
Пример
нахождения наибольшего и наименьшего значения фун
к-
ции двух переменных в замкнутой области пр
иведен
в решении задачи 5 к
о
н
трольной работы № 4.
[2], гл.
8, §§ 11
–
17,
19.
[4], гл. 12, §§ 1,
3
–
6.
[6], гл. IX
.
Контрольные вопросы к теме 3.4
1.
Что такое область определения функции двух переменных?
2.
Какая функция называется непрерывной в точке и замкнутой о
б-
ласти?
3.
Каковы основны
е свойства функций, непрерывных в замкнутой области?
4.
Какая функция называется дифференцируемой в точке?
5.
Как определяются частные производные функции двух переме
н-
ных?
6.
Каковы необходимые и достаточные условия дифференцируем
о-
сти? 7.
Как определяются частные пр
оизводные высших порядков?
8.
Что такое градиент функции?
9.
Как вычисляется производная по направлению?
10.
Что такое экстремум функции двух переменных?
11.
Каковы необходимые и достаточные условия экстремума?
12.
Каковы правила нахождения наибольшего и наименьшего знач
е-
ни
я дифференцируемой в замкнутой области функции? 48
В
АРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ Р
АБОТЫ №
3
С РЕШЕНИЯМИ
1.
Найти производные функций:
а) 5
2
х
y
б) 2
sin
)
1
2
(
x
y
в) x
e
y
1
1
sin
г) x
x
y
5
д) x
y
2
arcsin
2
1
Решение
а) 5
5
2
2
5
5
2
1
5
2
2
2
2
2
х
х
х
х
х
х
х
б)
)
(sin
2
ln
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
sin
sin
sin
sin
2
sin
x
x
x
x
x
x
x
x
x
cos
2
)
1
2
(
2
ln
2
sin
sin
в) x
x
x
x
x
x
e
e
e
e
e
e
1
1
1
1
2
1
1
1
cos
1
1
1
1
cos
1
1
sin
x
x
x
x
e
e
e
e
1
1
1
2
1
1
1
cos
2
х
x
x
x
е
e
e
e
2
1
1
2
1
1
1
cos
г)
Приводим показательно
-
степенную функцию к показательной:
x
х
х
е
х
ln
5
5
Затем
вычисл
яем производную:
49
1
ln
5
ln
ln
5
)
ln
5
(
5
5
ln
5
ln
5
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
e
x
x
x
x
x
x
д)
2
2
2
2
4
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
)
2
arcsin
2
1
(
х
х
х
х
x
2.
Найти вторые производные функций:
2
1
2
1
x
x
y
Решение
Вычислим первую производную:
3
4
2
4
2
2
)
1
2
(
2
2
)
1
2
(
2
2
)
)(
1
2
(
)
1
2
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
3
1
2
x
x
Вычисляем вторую производную:
6
2
3
6
3
3
3
)
1
(
2
)
)(
1
(
)
1
(
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
4
4
3
2
2
)
1
(
3
2
x
x
x
x
x
3.
Вычислить по правилу Лопиталя
2
0
2
6
cos
1
lim
x
x
x
®
Решение
Т. к. 0
)
6
cos
1
(
lim
0
®
x
x
и 0
2
lim
2
0
®
x
x
, то мы имеем дело с неопред
е-
ленностью вида 0
0
и можно применить
правило Лопиталя:
2
0
2
6
cos
1
lim
x
x
x
®
=
4
6
cos
6
lim
2
3
4
6
sin
6
lim
)
2
(
)
6
cos
1
(
lim
0
0
2
0
x
x
x
x
x
x
x
x
®
®
®
=
4
9
2
3
2
3
50
4.
Найти интервалы монотоннсти и экстремумы функции
x
x
y
2
2
Решение
Необходимо вычислить производную и определить, ее интервалы знак
о-
постоянства.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
2
)
2
ln
2
(
2
)
2
ln
2
(
2
)
2
(
2
ln
2
2
2
2
2
2
Зн
аменатель дроби всегда больше нуля. Числитель обращается в нуль в двух точках х
1
= 0
и х
2
= 2/
ln
2
. Решаем неравенство х(2 –
х
ln2
)
> 0
м
е-
тодом интервалов:
Зна
чит, функция убывает при x
)
0
;
(
)
;
2
ln
/
2
(
, возрастает при )
2
ln
/
2
;
0
(
х
, имеет минимум в точке х
1
= 0
, максимум в точке
х
2
= 2/
ln
2
.
5.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции y
= 3
x
4
+ 4
x
3
+ 1 на отрезке [
-
2,1] .
Решение
Непрерывная на отрезке функция дости
гает своего наибоьшего и наименьшего значения либо в точках экстремума, либо на границах. На
й-
дем точки экстремума функции:
0
12
12
2
3
х
х
у
Значит, производная обращается в нуль в точках х = 0
и х = -
1
. Обе они принадлежат отрезку.
Найдем значения функции в этих точках и на гр
а
ницах:
у(
-
2) = 17 (левая гарница);
у(
-
1) = 0 (точка экстремума);
у(0) = 1 (точка экстремума);
у(1) = 8 (правая граница).
51
Следовательно, максимальное значение функции на отрезке дост
и-
гается на его левой границе и равно 17, мин
имальное –
в точке х = -
1
и рано 0.
В
АРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ Р
АБОТЫ №
4
С РЕШЕНИЯМИ
1.
Определить участки выпуклости
-
вогнутости и точки перегиба функции
x
e
y
1
1
Решение
Для нахождения интервалов выпуклости
-
вогнутости вычислим вторую производную:
2
1
1
2
1
1
1
1
)
1
(
)
1
1
(
х
е
х
е
х
e
y
х
х
x
4
1
1
4
1
1
2
2
1
1
4
1
1
2
1
1
)
2
1
(
2
2
х
х
е
х
х
е
х
х
е
х
х
е
х
е
y
х
х
х
х
х
Функция выпуклая вверх, когда 1 + 2х > 0
, т. е. при х > -
0,5
и выпуклая вниз при х < -
0,5
. В точке х = -
0,5
функция имеет перегиб.
2.
Исследовать функцию и построить график:
2
1
2
1
)
(
x
x
x
f
Решение
1)
Обл
асть определения функции
Функция определена во всех точках, кроме х = 0
.
2)
Точки пересечения графика функции с осями координат
Ось Оу график не пересекает. Найдем точки пересечения с Ох:
0
1
2
1
2
x
x
х
2
+ 2х –
1 = 0
52
2
1
2
,
1
х
График
функции пересекает ось Оу в точках
х
1
и
х
2
.
3)
Интервалы знакопостоянства функции
Решим неравенство:
0
1
2
1
2
x
x
х
2
+ 2х –
1
>
0
Ветви параболы направлены вверх, значит, f(x)
> 0
при
)
;
2
1
(
)
2
1
;
(
х
;
f(x)
< 0
при )
2
1
;
2
1
(
х
.
4)
Четность
-
нечетность функции
Очевидно, данная функция является функцией общего вида.
5)
Асимптоты графика функции
В точке х = 0
функция претерпевает разрыв II
рода,
®
®
)
(
lim
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
, значит, прямая х = 0
является верт
и-
кальной асимптотой графика ф
ункции. Прямая у = 1 является горизонтальной асимптотой графика фун
к
ции, т. к. ®
)
(
lim
x
f
x
1
)
(
lim
®
x
f
x
.
6)
Интервалы монотонности функции
Вычислим производную:
3
4
2
1
2
2
)
1
2
(
2
)
(
x
x
x
x
x
x
x
f
Решим неравенство 0
1
3
х
х
методом и
нтервалов:
53
Следовательно
, функция убывает
при )
;
1
(
)
0
;
(
х
и возрастает
при )
1
;
0
(
х
.
7)
Экстремумы функции
В точке х = 1
функция имеет максимум, в точке х = 0
у функции разрыв, экстремума нет.
8)
Интервалы выпуклости и точки пер
егиба графика функции
Найдем вторую производную:
4
6
2
3
3
2
2
3
)
1
(
2
)
(
x
x
x
x
x
x
x
f
Следовательно, при х < 3/2
0
)
(
x
f
функция выпуклая вверх, при х > 3/2 функция выпуклая вниз. При х = 3/2
функция имеет перегиб.
График функции представлен на рисунк
е:
X
Y
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
54
3.
Найти частные производные 1
-
го и 2
-
го порядков (
x
z
,
y
z
, xx
z
, уу
z
, xу
z
)
функции z
= 3
x
2
y
–
x
3
–
y
4
.
Решение
2
3
6
х
ху
z
x
3
2
4
3
у
х
z
y
х
у
z
xx
6
6
2
8
у
z
уу
х
z
xу
6
4.
Даны функция z
= x
2
+ xy
+ y
2
, точка A
(1, 2
) и вектор р
= {2, –
1}. Найти: 1) grad
z
в точке А; 2) производную в точке А по напра
в
лению р.
Решение
1)
Найдем градиент функции:
у
х
z
x
2
у
х
z
y
2
grad
z
= (
2
x
+ y
, x
+ 2
y
)
.
Вычислим градиент в точке А(1,
2
):
grad
z
= (
4
, 5
)
2)
Нормируем вектор направления
5
1
,
5
2
н
р
Затем вычисляем производную по направлению
5
3
5
1
5
5
2
4
н
p
p
gradz
z
5.
Определить тип
особых точек, а также н
айти наибольшее и наименьшее значения фун
к
ции z
=
x
2
y
+
x
y
+ x
в замкнутой области D
, ограниченной кривыми
: у = 2
, х = 1, х =
-
2, у = -
2
.
Сделать чертеж
области
.
Решение
Построим область D
:
55
Область представляет собой прямоугол
ьник ABCD
.
Найдем стационарные точки функции:
0
0
1
2
2
x
x
z
y
xy
z
y
x
Из последнего уравнения получаем два значения х = 0
и х = -
1
. Подставляя их в первое уравнение получаем два значения у: y
= -
1
и y
= 1
.
Значит, ст
а-
ционарными точками функции являются т
очки (0, -
1) и (
-
1, 1).
Обе они пр
и-
надлежат области. Найдем значения функции в стационарных точках: z
(0, -
1) = 0, z
(
-
1, 1
)
= -
1.
Перейдем к поиску максимального и минимального значений функции на границе области D
. Рассмотрим поочере
дно участки АВ, ВС, С
D
и AD
.
АВ
: y
= 2
]
1
,
2
[
х
Функция z
(
x
,
y
) на этом участке представима в виде функции одной переме
н-
ной:
z
(
x
,2
)
= 2
x
2
+ 3
x
56
Найдем экстремум этой функции:
0
3
4
)
2
,
(
x
x
z
x
точка экстремума х = -
3/4
. Вычислим значения
функции в этой точке, а также на границах:
z
(
-
3/4,
2) = 8
1
7
, z
(
-
2,2) = z
(
A
) =2, z
(1,2) = z
(
B
) = 5.
BC
:
x = 1
]
2
,
2
[
у
z(1,y) = 2y + 1
Экстремумов у функции нет, в точке В значение уже вычислено, найдем z
(
C
) = z
(1,
-
2) = -
3
. CD
: y
= -
2
]
1
,
2
[
х
z
(
x
,
-
2) = -
2х
2
–
х
Экстремум этой функции:
0
1
4
x
z
, х = -
1/4 –
эта точка принадлежит отрезку CD
. Вычислим значение в ней и в граничной точке С (в точке С значение функции уже в
ы-
числено): z(
-
1/4,
-
2)
= 0;
z(D) = z(
-
2,
-
2)
= -
6.
AD
: x = -
2
]
2
,
2
[
у
z(
-
2,y) = 2y -
2
Экстремумов у этой функции нет, значения в граничных точках А и D
уже вычислены.
Теперь определим среди вычисленных значений максимальное и минимал
ь-
ное. Наибольшее значение фун
кции равно 8
1
7
)
2
,
4
3
(
z
; наименьшее –
z(D) = -
6
.
57
Э
КЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРО
СЫ
1.
Производная функции в точке, её геометрич
е
ский смысл.
2.
Производная суммы, произведения и частного двух функций.
3.
Теорема о дифференцировании сложной фун
к
ции.
4.
Производные вы
сших порядков.
5.
Дифференциал. Его геометрический смысл
6.
Формула Тейлора с остаточным членом в фо
р
ме Лагранжа.
7.
Теорема Ролля, ее геометрический смысл.
8.
Теорема Лагранжа, ее геометрический смысл.
9.
Теорема Лопиталя, ее применение для нахо
ж
дения пределов.
10.
Необходи
мое условие экстремума функции.
11.
Достаточные условия экстремума функции.
12.
Признаки возрастания и убывания функции.
13.
Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба.
14.
Наклонные и вертикальные асимптоты графика функции.
15.
Функции двух переменных, область о
пределения, непреры
в
ность.
16.
Частные приращения и частные производные функции двух пер
е-
менных.
17.
Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достато
ч-
ное условия экстремума.
18.
Метод нахождения наибольшего и наименьшего значений фун
к-
ции в заданной замкнутой о
бласти
19.
Градиент функции двух переменных и его связь с производной по н
а
правлению. Свойства градиента.
58
Формат 60
×90 1/16. Тираж 50.
Производственно
-
торговая фирма Московского института энергобезопасн
о
сти и энергосбережения.
105043, Моск
ва, ул. 4
-
я Парковая, д. 27, тел. 965
-
3790, 652
-
2412, факс
965
-
3846.
www.mieen.ru
, e
-
mail: ptf@mieen.ru
Автор
denisov.vinskiy
Документ
Категория
Методические пособия
Просмотров
5 172
Размер файла
6 104 Кб
Теги
Денисов-Винский, семестр, Denisov-Vinskiy, математика
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа