close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

N.D.Denisov-Vinskiy Математика 2 курс

код для вставкиСкачать
Книга посвящена курсу Высшей математики, который автор читал в НОУ ВПО "МИЭЭ" более 2 лет. 2 курс.
Министерство образования и науки Российской Ф
е
дерации
Негосударственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский институт энергобезопасности и энергосбер
е
жения
К
АФЕДРА Е
СТЕСТВЕННО
НАУЧНЫХ
И ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИХ
ДИСЦИПЛИН
I
I
курс
МАТЕМАТИКА
П
рограмма
для студентов заочного отделения
специальност
и
140211 «Электроснабжение»
Москва 2007
2
М
атематика. П
рограмма
для студентов заоч
ного отделения. –
М.: МИЭЭ, 200
6
, 1
3
с.
Одо
брено кафедрой естественнонаучных и общетехнических дисци
п-
лин М
И
ЭЭ
. Автор
-
составитель: Н
.Д
. Денисов
-
Винский, С. В. Ерохин
© МИЭЭ, 2007
3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
................................
................................
..............
4
Список рекомендуемой литературы
................................
6
Примерн
ый план распределения времени по темам и видам занятий
................................
................................
.........
7
Третий семестр
................................
................................
...
8
Р
АЗДЕЛ I
V
.
И
НТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕН
ИЕ
................................
...........
8
Четвертый семестр
................................
...........................
49
Р
АЗД
ЕЛ V
.
Д
ИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВ
НЕНИЯ И РЯДЫ
.......................
49
Э
КЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРО
СЫ
................................
.........................
81
4
ВВЕДЕНИЕ
Преподавание высшей математики в высших учебных заведен
и
ях имеет целью, во
-
первых, формирование личности студента, ра
зв
и
тие его интеллекта и способностей к логическому и алгоритмическому мышл
е-
нию, и, во
-
вторых, обучение студента основным математическим мет
о-
дам, необходимым для анализа и моделирования технич
е
ских процессов.
Основной формой обучения студента
-
заочника являе
тся самосто
я-
тельная работа над учебным материалом, которая состоит из сл
е
дующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопр
о-
верка, выполнение контрольных работ. В помощь студентам
-
заочникам институт организует чтение лекций, практичес
кие зан
я
тия. Кроме того, студент может обращаться к преподавателю с в
о
просами для получения письменной или устной консультации. Одн
а
ко студент должен помнить, что помощь института будет достаточно эффективной только при сист
е-
матической и упорной самосто
я
те
льной работе. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса высшей математики является сдача з
а-
четов и экзаменов в соответствии с уче
б
ным планом.
Чтение учебника. Изучая материал по учебнику, можно пер
е
ходить к следующему вопросу только после правильн
ого понимания предыд
у
щего, выполняя на бумаге все вычисления и вычерч
и
вая имеющиеся в учебнике графики. Особое внимание следует обращать на определения основных п
о-
нятий. Студент должен подробно разбирать примеры, кот
о
рые поясняют такие определения, и уметь
строить аналогичные прим
е
ры самостоятельно. Необходимо помнить, что каждая теорема состоит из предположений и у
т-
верждений. Все предположения должны обязательно использоваться в док
а-
зательстве. Нужно добиваться точного представл
е
ния о том, в каком месте до
казательства использовано каждое предпол
о
жение теоремы.
При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в кот
о-
рый рек
о
мендуется выписывать определения, формулировки теорем, формулы, определения и т. п.
Решение задач. Чтение учебника должно сопро
вождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь. При реш
е-
нии задач нужно обо
с
новывать каждый этап, исходя из теоретических положений курса. Полезно до н
а
чала вычислений составить краткий план. Решения задач и примеров следует и
зл
а
гать подробно, вычисления располагать в строгом порядке, отделяя вспомогател
ь
ные от основных. Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуемого усл
о-
вием задачи. Решение задач определенного типа нужно продолжать до пр
и
обретения твердых навыко
в в их решении.
Самопроверка. После изучения определенной темы по учебнику и р
е-
шения достаточного количества соответствующих задач студенту рек
о-
мендуется воспроизвести по памяти определения, выводы формул, фо
р-
5
мулировки и доказательства теорем. Иногда недо
статочность усво
е
ния материала выясняется только при дальнейшем его изучении. В этом сл
у-
чае надо вернуться назад и повторить плохо усвое
н
ный раздел.
Важным критерием усвоения теории является умение решать задачи на про
й
денный материал. Однако здесь следует
предостеречь студента от весьма распространенной ошибки, заключающейся в том, что благоп
о-
лучное решение задач во
с
принимается студентом как признак усвоения теории и правильное решение задачи получается в результате применения механически заученных формул без поним
а
ния существа дела.
Консультации. Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении задач у студента возникают вопросы, разр
е-
шить которые самостоятельно не удается, то он может обратиться к преп
о-
давателю для получения о
т него письменной или устной консул
ь
тации. В своих запросах студент должен точно указать, в чем он испытывает затру
д-
нение. Если он не разобрался в теоретических объяснениях или в доказ
а-
тельстве теоремы, то необходимо указать какой это учебник, где рассмо
т-
р
ен затрудняющий студента вопрос, и что именно его затру
д
няет.
Контрольные работы. В процессе изучения курса высшей матем
а
тики студент должен самостоятельно выполнить ряд контрольных работ, гла
в-
ная цель которых –
оказать помощь студенту в его работе над мат
ери
а-
лом. При решении задач необходимо объяснять и мотивировать все де
й-
ствия и делать необходимые черт
е
жи.
На собеседовании по каждой контрольной работе проверяется сам
о-
стоятельность выполнения студентом контрольной работы, а также выя
с-
няется его гото
в
ность
к сдаче зачета или экзамена.
Методические указания. Курс разбит на темы, в которых даны ссылки на литературу, рекомендуемую для изучения, и задачи для самостоятел
ь-
ного решения. Номера в квадратных скобках обозначают уче
б
ники из приведенного списка литерат
у
ры.
После указателя литературы по каждой теме приводится пер
е
чень знаний и умений, которыми должен обладать студент, изучивший соо
т-
ветствующую тему.
6
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
Основной
1.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интеграл
ь-
ное исч
и
с
ление. –
М. Дрофа, 2004.
2.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. По
л-
ный курс. –
М. Айрис
-
пресс, 2005.
3.
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическ
о-
му анал
и
зу. –
М. Астрель, 2005.
Дополнительный
4.
Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Часть 1. –
М., Проспект, 2006.
5.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1, 2. –
М. Интеграл
-
пресс, 2001.
7
ПРИМЕРНЫЙ ПЛАН РАСПР
ЕДЕЛЕНИЯ
ВРЕМЕНИ ПО ТЕМАМ И В
ИДАМ ЗАНЯТИЙ
Ко
личество учебных часов
В том числе
Наименование тем
Всего
С
а
мост.
работа
Ле
к
ции
Практ.
занятия
III семестр
Раздел IV
Тема 4.1
. Первообразная и нео
п-
ред
е
ленный интеграл
20
17
2
1
Тема 4.2. О
пределенный инт
е-
грал и его пр
и
менение
20
17
2
1
Тема 4.3.
Двойные и тройные
и
н
тегралы
19
17
2
-
Тема 4.4.
Криволинейные и п
о-
верхностные и
н
тегралы
19
17
2
-
Всего
78
68
8
2
Итоговый контроль зачет
IV семестр
Раздел V
Тема 5.1. Дифф
е
ренциальные уравнения первого п
о
рядка
20
18
2
-
Тема 5.2. Дифф
е
ренциальные уравнения высших п
о
рядков и системы диффере
н
циальных уравнений
19
17
2
-
Тема 5.3.
Числ
о
вые ряды
19
16
2
1
Тема 5.4.
Функци
о
нальные ряды. Ряды Ф
у
рье.
20
17
2
1
Всего
78
68
8
2
Итоговый контроль экзамен
8
Т
РЕТИЙ СЕМЕСТР
Р
АЗДЕЛ I
V
.
И
НТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕН
ИЕ
Тема 4.1
. Первообразная и неопределенный интегр
ал
Основные определения. Свойства неопределенного интеграла. Табл
и-
ца интегралов. Метод замены пе
ременной, метод интегрирования по ча
с
тям. Метод разложения рациональной функции на про
стейшие. Интегр
и-
рование рациона
льных дробей. Интегрирование тр
и
го
но
метрических выражений.
Основные определения
Функция
)
(
x
F
называется первообразной
для функции )
(
x
f
на интервале )
,
(
b
a
(конечном или бесконечном), если в каждой точке эт
о-
г
о интервала )
(
x
f
является пр
о
изводной для )
(
x
F
, т.е. )
(
)
(
x
f
x
F
.
Из этого определения следует, что задача нахождения первообра
з-
ной обратна задаче диффе
ренцирования. Н
еобходимо по заданной фун
к-
ции )
(
x
f
найти функцию )
(
x
F
, прои
з
водная которой равна )
(
x
f
. Первообразная определена неоднозначно: например для функции х
1
первообразными будут и фун
к
ция x
ln
, и функция 1
ln
x
: x
x
x
1
)
1
(ln
)
(ln
. Свойства первообразной
1. Если функция )
(
x
F
-
первообразная для функции )
(
x
f
на интервале, то функция C
x
F
)
(
, где C
-
произвольная постоя
н
ная, тоже будет первообраз
ной для )
(
x
f
на этом интервале. 2. Если функция )
(
x
F
-
некоторая первообразная для функции 9
)
(
x
f
на интервале )
,
(
b
a
, то любая другая первообразная )
(
1
x
F
м
о-
жет быть представлен
а в виде C
x
F
x
F
)
(
)
(
1
, где C
-
постоя
н
ная на интервале
функция.
Из этих свойств следует, что если )
(
x
F
-
некоторая первообра
з-
ная функции )
(
x
f
на интервале X
, то всё множество пер
вообразных функции )
(
x
f
(т.е. функций, имеющих производную )
(
x
f
и дифф
е-
ренциал dx
x
f
)
(
) на этом интервале описывается выражением C
x
F
)
(
, где C
-
прои
з
вольная постоянная.
Множест
во первообразных функции )
(
x
f
называется неопред
е-
лённым интегр
а
лом
от этой функции и обозначается символом dx
x
f
)
(
.
Как следует из изложенного выше, если )
(
x
F
-
некоторая перв
о-
образная функции )
(
x
f
, то C
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
,
где C
-
произвольная постоянная. Функцию )
(
x
f
принято называть поды
н
тегральной функцией
.
Свойства неопределённого интеграла
непосредственно следующие из определения:
1. dx
x
f
dx
x
f
d
)
(
)
(
.
2. C
x
F
dx
x
F
)
(
)
(
(или C
x
F
x
dF
)
(
)
(
).
Таблица неопределенных интегралов
В таблице представлены основные формулы интегрирования. В их справедливости можно убедиться непосредственным дифференцир
о-
ванием правых частей.
1
C
dx
0
.
2
C
x
dx
1
.
10
3
C
а
x
dx
x
а
а
1
1
(
1
а
).
4
C
x
x
dx
dx
x
ln
1
.
5
C
a
a
dx
a
x
x
ln
; C
e
dx
e
x
x
.
6
C
x
xdx
cos
sin
.
7
C
x
xdx
sin
cos
.
8
C
x
x
dx
ctg
sin
2
.
9
C
x
x
dx
tg
cos
2
.
1
0
C
a
x
a
a
x
dx
dx
a
x
arctg
1
1
2
2
2
2
, 0
a
1
1
C
a
x
C
a
x
x
a
dx
cos
arc
sin
arc
2
2
,
0
a
1
2
C
a
x
a
x
a
a
x
dx
ln
2
1
2
2
,
0
a
1
3
C
a
x
x
a
x
dx
2
2
ln
.
1
4
C
a
x
x
a
a
x
x
dx
a
x
2
2
2
ln
2
2
.
1
5
,
arcsin
2
2
2
2
2
2
2
C
a
x
a
x
a
x
dx
x
a
0
a
16
C
x
x
dx
2
tg
ln
sin
; C
x
x
dx
2
2
/
tg
ln
cos
.
Примеры:
Интегралы степенных функций
11
;
2
2
c
x
хdx
;
3
3
2
c
x
dx
х
;
3
2
2
3
2
3
2
1
c
x
x
c
x
dx
x
dx
x
c
x
c
x
dx
x
dx
x
1
1
1
1
2
2
.
Свойства неопределенного интеграла
1. Константу можно выносить за знак интеграла
dx
x
f
a
dx
x
f
a
)
(
)
(
(
const
a
);
2.
Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
;
Пример
ы
:
C
x
x
xdx
dx
x
dx
x
x
2
3
2
2
2
6
3
5
6
5
6
5
C
x
x
2
3
3
3
5
.
C
x
arctg
x
x
dx
xdx
dx
x
x
2
2
1
cos
2
4
sin
2
4
1
sin
2
2
2
3. Если C
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
, то
)
const
,
(
)
(
1
)
(
b
a
C
b
ax
F
a
dx
b
ax
f
. Пример: )
6
5
(
)
6
5
cos(
5
1
)
6
5
cos(
x
d
x
dx
x
C
x
)
6
5
sin(
5
1
.
12
Метод замены переменной
Замена переменной –
наиболее часто используемый метод при в
ы-
числ
е
нии интегралов.
При решении задач замену переменной можно выполнить двумя способами. 1. Непосредст
венное подведение функции под знак диффере
н-
циала. Если
интеграл имеет вид dx
x
t
x
t
f
)
(
))
(
(
, то замена переменной осуществляется по
д
ведением множителя )
(
x
t
под знак дифференциала: dt
dx
x
t
)
(
, и задача сводится к вычислению инт
е
грала dt
t
f
)
(
. Пример:
x
x
d
x
xdx
dx
x
x
dx
x
cos
)
(cos
cos
sin
cos
sin
tg
(задача сведена к вычислению t
dt
, где x
t
cos
) C
x
|
cos
|
ln
.
Пример:
x
d
e
xdx
e
x
x
sin
cos
sin
sin
(задача сведена к вычисл
е-
нию dt
e
t
, где x
t
sin
) C
e
x
sin
. 2.
Непосредственная замена переменной.
Замену переменной можно осуществлять формальным сведением подынтегрального выражения к новой переме
н
ной. Если переменную х
представить в виде функции от новой переменной t
, при этом dt
t
x
dx
)
(
. Получим
dx
x
f
)
(
dt
t
x
t
x
f
)
(
))
(
(
.
Если правильно выбрать замену переменной, вычисление интегр
а-
ла значительно упрощается.
Пример:
13
Сделаем в интеграле
xdx
e
x
cos
sin
замену
переменной x
t
sin
. Выражае
м все множители подынтегрального выраж
е
ния через переменную t
: 2
2
2
1
sin
1
cos
;
1
;
arcsin
t
x
x
t
dt
dx
t
x
;
Получаем:
xdx
e
x
cos
sin
C
e
dt
e
t
dt
t
e
t
t
t
2
2
1
1
C
e
x
sin
. Пример:
Найти интеграл
dx
х
х
5
)
2
(
Чтобы избежать громоздких выклад
ок при раскрытии скобок в в
ы-
ражении
5
)
2
(
х
, сделаем замену переменной
: t
х
2
, ,
2
t
x
dt
dx
Тогда
C
t
t
dt
t
t
dt
t
t
dx
х
х
6
2
7
)
2
(
)
2
(
)
2
(
6
7
5
6
5
5
{
возвращаемся к исходной переменной х
}
С
х
х
3
)
2
(
7
)
2
(
6
7
Пример:
Рассмотрим dx
x
2
1
из таблицы интегралов
.
Вычислим его при помощи замены
t
x
sin
14
dt
t
t
t
x
tdt
dx
t
x
dx
x
2
2
2
2
cos
cos
sin
1
1
;
cos
;
sin
1
.
Интеграл свёлся к интегралу от квадрата косинуса. При интегрир
о-
вании чётных степеней синуса и косинуса часто применяют
ся формулы, выражающие t
2
sin
и t
2
cos
через косинус двойного угла: 2
2
cos
1
cos
;
2
2
cos
1
sin
2
2
t
t
t
t
. Поэтому
t
d
t
t
tdt
dt
dt
t
dt
t
2
2
cos
2
1
2
1
2
cos
2
1
2
2
cos
1
cos
2
C
t
t
t
C
t
t
C
t
t
cos
sin
2
1
2
sin
2
1
2
1
2
sin
2
1
2
1
2
2
1
sin
1
cos
;
sin
х
t
t
х
t
C
x
x
х
2
1
2
1
arcsin
2
1
.
Метод интегрирования по частям
Интегрирован
ие по частям -
приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной. Пусть )
(
x
u
и )
(
x
v
-
функц
ии, имеющие непрерывные производные. Тогда по формуле дифференцирования произведения du
v
dv
u
uv
d
)
(
du
v
uv
d
dv
u
)
(
.
Находим неопределённые интегралы для обеих частей этого раве
н-
ства (при этом C
uv
uv
d
)
(
): du
v
uv
dv
u
.
Эта формула и называется формулой интегрирования по частям
. Пример:
Найти интеграл xdx
x
sin
15
Восполь
зуемся методом интегрирования по частям. Возьмем
,
)
(
x
x
u
,
sin
xdx
dv
тогда ,
dx
du
x
xdx
x
v
cos
sin
)
(
.
По основной формуле получаем:
C
x
x
x
dx
x
x
x
xdx
x
sin
cos
)
cos
(
)
cos
(
sin
.
Пример:
dx
x
x
x
dx
x
x
x
x
v
x
dx
du
dx
dv
x
u
xdx
ln
ln
;
;
;
ln
ln
C
x
x
х
ln
.
Формула интегрирования по частям может применяться неодн
о-
кратно. В
ыписывать промежуточные выкладки (
...
u
, ...
dv
)
необ
я-
зательно
.
При подведении функций под знак дифференциала полезно по
м-
нить следующие соотношения:
ax
ax
de
a
dx
e
1
, ;
0
a
x
x
da
a
dx
a
ln
1
, 0
a
;
,
cos
1
sin
ax
d
a
axdx
;
0
a
,
sin
1
cos
ax
d
a
axdx
.
0
a
Пример:
xdx
e
e
x
dx
e
e
x
de
x
dx
e
x
dx
x
e
x
x
x
x
x
x
x
2
)
(
2
2
2
2
2
2
C
e
xe
e
x
dx
e
xe
e
x
хde
е
х
x
x
x
x
x
x
x
х
2
2
)
(
2
2
2
2
2
Пример:
Рассмо
трим нестандартный способ вычисления интеграла при помощи формулы интегрирования по частям
16
xdx
e
x
e
x
d
e
x
e
xde
xdx
e
x
x
x
x
x
x
cos
sin
sin
sin
sin
sin
К последнему интегралу снова применяем формулу интегрирования по частям
:
xdx
e
x
e
x
d
e
x
e
xde
xdx
e
x
x
x
x
x
x
sin
cos
cos
cos
cos
cos
.
Возвращаясь к исходному, получим:
xdx
e
x
e
x
е
xdx
e
x
x
х
x
sin
cos
sin
sin
Обозначим I
xdx
e
x
sin
:
I
x
e
x
e
I
x
x
cos
sin
Откуда:
x
e
x
e
I
x
x
cos
sin
2
2
/
)
cos
sin
(
x
e
x
e
I
x
x
.
В справедливости полученного результата легко убедиться непосре
д-
ственным дифференцированием.
Интегрирование рациональных дробе
й
Рациональная дробь –
выражение вида )
(
)
(
x
Q
x
P
m
n
где )
(
x
P
n
и )
(
x
Q
m
-
многочлены степени n
и m
.
Интегрирование т
а-
ких выражений сводится к интегрированию простейших дробей
. Более подробно эта задача рассмотрена в [2]. Здесь на п
римерах покажем самые простые случаи
.
Пример:
dx
х
х
х
3
2
2
3
2
Для разложения этой дроби на простейшие выполняем следующие дейс
т-
вия:
1) Раскладываем знаменатель на множители, решая квадратное уравн
е
ние
0
3
2
2
х
х
,
25
)
3
(
2
4
1
4
2
2
ac
b
D
,
2
/
3
1
4
5
1
2
2
,
1
a
D
b
x
17
)
3
2
)(
1
(
)
2
/
3
)(
1
(
2
3
2
2
х
х
х
х
х
х
2) Дробь представляется в виде суммы двух простых дробей
3
2
1
)
3
2
)(
1
(
2
3
х
В
х
А
х
х
х
3) Чтобы найти коэффициенты А и В, приведем две дроби справа к о
б-
щему знаменателю:
)
3
2
)(
1
(
)
3
(
)
2
(
)
3
2
)(
1
(
)
1
(
)
3
2
(
3
2
1
x
x
B
A
x
B
A
x
x
x
B
x
A
х
В
х
А
4) Приравниваем
полученный числитель к числителю исходной дроби:
2
3
)
3
(
)
2
(
x
B
A
x
B
A
Приравнивая отдельно коэффициенты при х
и свободные члены, получ
а-
ем систему уравнений:
2
3
3
2
B
A
B
A
Откуда А = 1, В = 1
.
5) Таким образом, исходный интегр
ал
разбивается на
два простых:
C
x
x
x
dx
x
dx
dx
х
х
х
)
3
2
ln(
2
1
)
1
ln(
3
2
1
3
2
2
3
2
Пример:
dx
х
х
х
х
)
1
2
)(
4
(
10
4
3
2
2
Данная дробь представляется в виде:
4
1
2
)
1
2
)(
4
(
10
4
3
2
2
2
х
С
Вх
х
А
х
х
х
х
Аналогичным образом находим А, В
и С
:
)
1
2
)(
4
(
)
1
2
)(
(
)
4
(
4
1
2
2
2
2
x
x
x
C
Bx
х
А
х
С
Вх
х
А
)
1
2
)(
4
(
4
)
2
(
)
2
(
)
1
2
)(
4
(
2
2
4
2
2
2
2
2
х
х
С
А
х
В
С
х
В
А
х
х
С
Сх
Вх
Вх
А
Ах
Приравниваем коэффициенты при х
2
и х
, а
также свободные члены:
18
10
4
4
2
:
3
2
:
2
С
А
В
С
х
В
А
х
Откуда А = 3, В = 0, С = 2.
Следовательно, исходный интеграл представляется в виде:
C
x
arctg
x
x
dx
x
dx
dx
х
х
х
х
2
2
1
)
1
2
ln(
2
3
4
2
1
2
3
)
1
2
)(
4
(
10
4
3
2
2
2
Интегрирование тригонометрических выражений
Рассмотрим интегралы dx
x
x
R
)
cos
,
(sin
, где функция )
cos
,
(sin
x
x
R
-
рационально з
а
висящая от x
x
cos
,
sin
.
Основным приемом при вычислении интегралов от тригонометр
и-
ческих выражений является у
ниверсальная тригонометрическая подст
а-
новка
. Она заключается в замене переменной 2
tg
x
t
Выразим dx
x
x
,
cos
,
sin
через t
: x
sin
2
1
2
t
t
;
x
cos
;
1
1
2
2
t
t
2
1
2
t
dt
dx
.
В результате такой подстановки все компоненты подынтегральной фун
к
ции выражаются через функции, рационально зависящие от t
. Пример: 2
1
2
1
2
1
2
2
1
7
4
7
2
2
tg
cos
7
sin
4
7
t
t
t
t
t
dt
x
t
x
x
dx
19
7
4
14
8
2
7
7
8
7
7
2
2
2
t
dt
t
dt
t
t
t
dt
C
x
tg
C
t
|
7
2
4
|
ln
4
1
|
7
4
|
ln
4
1
[2], Гл. VII
Контрольные вопросы к теме 4.1
1.
Что такое превообразная функции?
2.
Что такое неопределенный интеграл?
3.
Каковы
основные свойства неопределенного интеграла?
4.
Каковы основные формулы таблицы интегралов?
5.
В чем заключается метод подведения под знак дифференци
а-
ла в неопределенном интеграле?
6.
В чем заключается метод замены переменной в неопределе
н-
ном интеграле?
7.
В чем закл
ючается метод интегрирования по частям?
8.
Как вычисляются интегралы от дробно
-
рациональных фун
к-
ций?
9.
Как вычисляются интегралы от тригонометрических фун
к-
ций?
Тема 4.
2
. О
пределенный инт
е
гр
ал
Определенный интеграл
, его свойства.
Вычисление определенного инт
еграла по формуле Ньютона
-
Лейбница. З
а
мена переменной в опре
-
деленном интеграле, интегрирование по ча
с
тям. Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей пл
о
ских фигур. Вычисление физических величин. Несобственные интегр
а
лы.
Основные определения
Рассмотрим на координатной плоскости область , ограниче
н
ной осью , графиком непрерывной функции
)
(
x
f
y
, заданной на о
т-
резке
]
;
[
b
a
, и двумя отрезками вертикальных прямых и , соединяющими точки оси с т
очками гр
а
фика (см.
рис.). 20
Площадь этой области называется определенным интегралом
фун
к-
ции f
(
x
)
на отрезке ]
;
[
b
a
и обознача
ется символом b
a
dx
x
f
)
(
. П
ри этом число а
называется нижним пределом интегрирования
, а число b
–
вер
х-
ним
.
Формула Ньютона
-
Лейбница
Связь между определенным и неопределенным интегралом устанавлив
а
ет Формула Ньютона
-
Лейбница
.
Итак
, е
сли )
(
x
f
непрерывна на отрезке ]
,
[
b
a
, и )
(
x
F
-
некоторая первоо
б
разная функции )
(
x
f
, то
.
b
a
a
F
b
F
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
Разность в правой части формулы Ньютона
-
Лейбница обознач
а-
ется специальным символом: )
(
)
(
)
(
a
F
b
F
x
F
b
a
(здесь b
a
x
F
)
(
читается как "подстановка от a
до b
"), поэтому формулу Нь
ю
тона
-
Лейбница обычно записывают так: .
b
a
b
a
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
Таким образом, задача вычисления определенного интегр
ала св
о-
дится к нахождению первообразной (неопределенного интеграла) и в
ы-
числению разности ее значений при верхнем и нижнем пределе интегр
и-
рования.
21
Пример
ы
:
Вычислим площадь под синусоидой
:
2
1
1
0
cos
cos
)
cos
(
sin
0
0
x
xdx
.
Вычислим площадь под параболой:
3
1
0
3
1
3
1
0
3
1
0
2
x
dx
х
Основные с
войства определённого интеграла
1.
Константу можно в
ы
носить за знак определенного интеграла
.
b
a
b
a
dx
x
f
A
dx
x
Af
)
(
)
(
2. Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов.
b
a
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
))
(
)
(
(
3
.
Если )
(
x
f
интегрируема по отрезку ]
,
[
b
a
и точка c
прина
д-
лежит этому отрезку, то .
b
a
c
a
b
c
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
4.
Смена знака равносильна смене пределов интегрирования
a
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
Пример:
e
e
e
x
dx
e
xdx
dx
е
х
x
x
х
2
)
1
(
0
1
2
)
2
(
1
0
1
0
2
1
0
1
0
1
0
Замена переменной
22
Замена переменной проводится так же, как и в неопределенном интеграле. Необходимо лишь дополнительно пересчитать пределы инте
г-
рирования для новой переменной.
)
(
t
x
-
замена переменной
b
a
)
(
,
)
(
-
пересчет пред
елов интегрирования
Тогда справедлива формула
b
a
dt
t
t
f
dx
x
f
)
(
))
(
(
)
(
Пример:
Вычислить интеграл 4
0
1
x
dx
Сделаем замену: 2
t
x
, tdt
dx
2
, .
t
x
Пересчитаем пределы интегрирования: ,
0
0
t
x
.
2
4
t
x
Тогда исходный интеграл преобразуется:
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
4
0
1
)
1
(
2
2
1
2
2
1
)
1
1
(
2
1
2
1
t
t
d
t
t
dt
dt
dt
t
t
t
tdt
x
dx
3
ln
2
4
1
ln
2
0
4
2
0
t
Интегрирование по частям
Интегрирование по частям проводится так же, как и в неопред
е-
ленном интеграле. Если )
(
),
(
x
v
x
u
-
непрерывно дифференцируемые фун
к
ции, то
b
a
b
a
b
a
du
v
uv
dv
u
Пример:
1
0
1
0
2
1
0
1
0
1
1
1
x
xdx
arctg
xdarctgx
xarctgx
arctgxdx
23
1
0
1
0
1
0
2
2
2
2
)
1
ln(
2
1
4
1
)
1
(
2
1
4
1
2
2
1
4
x
x
x
d
x
xdx
2
ln
2
1
4
Приложения определенного интеграла, вычисление площадей
Пусть )
(
x
f
и
)
(
x
g
-
две непрерывные функции, заданные на отре
з
ке ]
;
[
b
a
, причём )
(
)
(
x
g
x
f
при всех ]
;
[
b
a
x
. Между графиками )
(
x
f
y
и )
(
x
g
y
лежит область , с боков ограниченная отрезк
а-
ми прямых и . Рис..
Если обе функции неотрицательны, то есть
0
)
(
x
f
, то для вычисл
е
ния площади области достаточно заметить, что она равна разности площ
а-
дей областей g
D
и
f
D
, лежащих между отрезком ]
;
[
b
a
(снизу) и, с
о-
ответственно, графиком )
(
x
g
y
и )
(
x
f
y
(сверху). Для нахождения пло
щадей
областей g
D
и f
D
применим формулу
Ньютона
-
Лей
бница
и п
о
лучим: 24
Примеры:
1) Найдём площадь ограниченной области, лежащей между графиками 2
x
y
и
x
y
. Эти г
рафики имеют две общих точки )
0
;
0
(
и )
1
;
1
(
(см.
рис.), причём на отрезке ]
1
;
0
[
график x
y
идёт выше, чем гр
а
фик
2
x
y
. Рис.
.
Значит, площадь области между графиками равна Физические приложения определенного интеграла
Рассмотрим некоторые простые физические приложения определенного интеграла.
1) Вычисление пройденного пути
25
Если тело в перио
д времени с 1
t
по 2
t
имеет скорость )
(
t
v
(
скорость м
е-
няется со временем
)
, тогда пройденный путь вычисляется по формуле:
2
1
)
(
t
t
dt
t
v
S
Таким образом, скорость является производной от пути
, а путь -
интегр
а-
лом от скорости.
Пример:
Скорость тела меняется по закону 2
2
50
)
(
t
t
t
v
(м/с)
. Какое ра
с-
стояние пройдет тело за первые 5 секунд движения? За первые 8 секунд?
Согласно формуле
, вычисляем путь, пройденный телом за первые 5 с
е-
кунд,
т. е. с 0 по 5 секунды движения:
5
0
5
0
5
0
3
2
2
5
)
3
50
(
)
2
50
(
)
(
t
t
t
dt
t
t
dt
t
v
S
3
1
183
3
2
41
25
250
0
)
3
5
5
5
50
(
3
2
м.
Значит, за первые 5 секунд тело пройдет 3
1
183
метров.
Посчитаем, какой путь пройдет тело за 8 секунд:
8
0
8
0
8
0
3
2
2
5
)
3
50
(
)
2
50
(
)
(
t
t
t
dt
t
t
dt
t
v
S
3
1
165
0
)
3
8
8
8
50
(
3
2
м.
Ка
к легко заметить, скорость тела падает и обращается в 0 при t
= 5. П
о-
сле этого момента скорость становится отрицательной, т. е. тело начинает двигаться в обратном направлении. Этим и объясняется то, что за бол
ь-
шее время тело продвинулось на меньшее расстоя
ние
от начальной точки.
2) Вычисление потребляемой электроэнергии
Если потребляемая мощность предприятия изменяется по закону P
(
t
)
, то количество потребленной электроэнергии за время с t
1
по t
2 вычисляется по формуле
:
26
2
1
)
(
t
t
dt
t
P
E
Пример:
Мощ
ность предприятия в течение дня меняется по закону 320
15
)
(
2
t
t
t
P
(кВт). Сколько электроэнергии потребляет пре
д-
приятие в период с 8 до 18 часов?
Согласно формуле получаем:
18
8
18
8
18
8
2
3
2
)
320
2
15
3
(
)
320
15
(
)
(
t
t
t
dt
t
t
dt
t
P
E
8
320
2
8
15
3
8
18
320
2
18
15
3
18
2
3
2
3
=
3200
1950
3
1
1773
3200
64
324
2
15
3
512
5832
ч
кВт
3
1
3023
Несобственные интегралы
1) Несобственны
е
интегралы I
рода
До сих пор при рассмотрении определенного интеграла b
a
dx
x
f
)
(
мы предполагали, что отрезок интегрирования ]
;
[
b
a
и сама функция )
(
x
f
ограничены. Однако это не всегда так. Рассмотрим интеграл как функцию от верхнего предела интегриров
а-
ния:
Если эта функция имеет предел
)
(
lim
b
I
b
®
то число н
а
зывается значением несобственного интеграла первого р
о
да
27
а сам интеграл a
dx
x
f
)
(
называется сходящимся
(иными словами, интеграл сходится
). Если же конечного предела
)
(
lim
b
I
b
®
не существует, то интеграл
a
dx
x
f
)
(
называе
тся расходящимся
(то есть инт
е
грал расходится
)
. Геометрически, если 0
)
(
x
f
, величина несобственного интеграла означает
a
dx
x
f
)
(
, по определению, площадь бесконечно длинной о
б-
ласти , лежащей в координатной пло
с
кости между лучом
)
;
[
a
на оси , граф
иком )
(
x
f
y
и верт
и
кальным отрезком (
рис.). Рис.. 28
Сходящиеся интегралы соответствуют таким областям , площадь которых конечна (хотя сама область неогран
и
ченна
), а расходящиеся (в случае
0
)
(
x
f
)
–
неограниченным областям с бесконечной площ
а-
дью. Само определение значения интеграла через предел интег
ралов по к
о-
нечным, но увеличивающимся отрезкам означает исчерпание площади путем учёта все большей её части
b
a
b
dx
x
f
S
)
(
правый верт
и-
кальн
ый отрезок, проведённый при , отодвигается всё дальше и дальше в бесконечность; в пределе будет учтена вся площадь под граф
и-
ком )
(
x
f
y
(рис.). Рис.
Пример:
Вычислить несобственный интеграл I
рода
0
2
1
x
dx
. При вычислении несобственных интегралов можно по
льзоваться теми же приемами, что и с обычными интегралами. Так, по формуле Ньютона
-
Лейбница:
29
0
)
(
1
0
0
2
arctg
arctg
x
arctg
x
dx
Условную запись )
(
arctg
следует понимать как 2
lim
®
arctgx
x
Получаем, что интеграл сходится и его значение равно
2
1
0
2
x
dx
Заметим, что тем самым мы вычислили площадь бесконе
ч
но длинной области под графиком
2
1
1
x
y
, лежащей над положительной пол
у-
осью (
рис.). Рис..
Поскольку рассматриваемая функция
2
1
1
)
(
x
x
f
чётная, то её гр
а-
фик симметричен относительно оси
Oy
, так что площадь под граф
и
ком левее оси
Oy
точно такая же, как и площадь правее оси
Oy
, то есть тоже равн
а
2
, а площадь под всем графиком (над всей осью ) ест
е
ственно считать равной
.
30
Пример:
Рассмотрим несобственный интеграл Действуя так же
, как в предыдущем примере
, получаем
: 1
ln
)
ln(
ln
0
1
x
x
dx
Но ®
x
x
ln
lim
)
ln(
.
Значит, несобстве
нный интеграл 1
x
dx
ра
с
ходится и, следовательно, не имеет никакого числового зн
а
чения. Рис. .
Геометрически это означает,
что площадь под графиком, леж
а
щая от 1 до
, бесконечно велика
.
Заметил, что хотя
функция x
x
f
1
)
(
убыв
а
ет и стремится к 0 при
®
x
,
это стремление недостаточно б
ы
строе для того, чтобы интеграл сходи
л
ся
. 2) Несобственные интегралы II рода
31
Пусть функция )
(
x
f
имеет в точке b
x
разрыв II
рода, например, предел слева
®
)
(
lim
0
x
f
b
x
. Тогда интеграл b
a
dx
x
f
)
(
будет инт
е-
грал от неограниченной фу
нкции по ограниченной области интегриров
а-
ния. Такой интеграл называется несобственным интегралом II
рода.
Строго говоря, этот интеграл определяется как ле
востороннему пред
е
л:
Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся
, а если предела не существует, то расходящимся
. Расходящ
е-
муся интегралу не приписывается никакого числовог
о значения; в этом случае условно записываетс
я
Геометрически вычисление несобственного интеграла вт
о
рого ро
да представляет собой
вычисление
площади
неограниченной фигуры под графиком функции )
(
x
f
y
над отрезком ]
;
[
b
a
(
рис.). Рис..
32
П
лощадь этой неограниченной фигуры, равна значению несобственн
о
го
интеграла
b
a
dx
x
f
)
(
.
Пример:
Вычислить интеграл 1
0
2
1
x
dx
Заметим, что подынтегральная функция претерпевает разрыв II
рода в точке 1
х
(знаменатель обращается в нуль). Следовательно, этот инт
е-
грал является н
есобственным интегралом II
рода.
Его можно вычислить теми же методами, что и обычный собственный интеграл. Применим формулу Ньютона
-
Лейбница:
1
0
1
0
2
2
0
arcsin
1
arcsin
arcsin
1
x
x
dx
Вычисленное значение является площадью бесконечной фигуры под гр
а-
фиком функции (рис.)
[2], Гл. VIII
Контрольные вопросы по теме 4.2
1.
Что такое определенный интеграл?
2.
Какова формула Ньютона
-
Лейбница?
3.
Каковы основные свойства опред
еленного интеграла?
4.
Как проводится замена переменной в определенном интегр
а-
ле?
33
5.
Какова формула интегрирования по частям в определенном интеграле?
6.
Как вычисляются площади фигур?
7.
Как вычисляется пройденный путь при помощи определенн
о-
го интеграла?
8.
Как вычисляе
тся объем потребленной электроэнергии?
9.
Что такое несобственный интеграл?
10.
Как определяется несобственный интеграл I
рода?
11.
Как определяется несобственный интеграл II
рода?
В
АРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ Р
АБОТЫ №
5
С РЕШЕНИЯМИ
1.
Найти интегралы
а)
dx
х
х
х
)
2
1
(
2
б)
3
2
x
dx
Решение
a)
Пользуясь свойствами интеграла и таблицей интегралов получ
а-
ем:
C
x
x
dx
x
dx
dx
х
dx
х
х
x
x
х
2
ln
2
1
3
2
)
2
1
(
2
3
2
2
б) По свойству 3 неопределенного интеграла:
C
x
x
dx
)
3
2
ln(
2
1
3
2
2.
Найти интегралы методом замены переменной
а) dx
x
x
ln
sin
б) x
x
e
dx
e
2
1
}
{
x
e
t
Решение
а) Выполним подведение под знак дифференциала. Поскольку x
d
x
dx
ln
, получаем:
C
u
udu
t
u
x
xd
dx
x
x
cos
sin
}
ln
{
ln
ln
sin
ln
sin
C
x
ln
cos
34
б) Выполним указанную замену переменной
}
,
,
{
t
dt
e
dt
dx
dx
e
dt
e
t
x
x
x
C
arctge
C
arctgt
t
dt
t
t
dt
t
e
dx
e
x
x
x
2
2
2
1
1
1
3.
Найти интеграл методом интегрирования по частям
arctgxdx
Решение
Согласно формуле интегрирования по частям:
2
1
x
xdx
xarctgx
xdarctgx
xarctgx
arctgxdx
В последнем интеграле выполним подведение под знак диффере
н-
циала 2
2
1
dx
xdx
C
t
t
dt
x
t
x
dx
x
xdx
)
1
ln(
2
1
1
2
1
}
{
1
2
1
1
2
2
2
2
C
x
)
1
ln(
2
1
2
В итоге получаем:
C
x
xarctgx
arctgxdx
)
1
ln(
2
1
2
4.
Найти интеграл
dx
х
х
х
6
7
3
5
9
2
Решение
Разложим знаменатель на множители
0
6
7
3
2
х
х
121
6
3
4
7
2
D
3
2
3
6
11
7
2
,
1
x
35
)
2
3
)(
3
(
)
3
2
)(
3
(
3
6
7
3
2
x
x
x
x
х
х
Теперь представим дробь в виде суммы двух простых дробей
2
3
3
)
2
3
)(
3
(
5
9
6
7
3
5
9
2
х
В
х
А
х
х
х
х
х
х
Приводим последнюю сумму к общему знаменателю
)
2
3
)(
3
(
)
3
(
)
2
3
(
2
3
3
х
х
х
В
х
А
х
В
х
А
=
)
2
3
)(
3
(
3
2
)
3
(
х
х
В
А
х
В
А
Приравниваем числители
В
А
х
В
А
х
3
2
)
3
(
5
9
Сос
тавляем систему уравнений для нахождения коэффициентов А
и В
5
3
2
9
3
B
А
В
А
Откуда А = 2, В = 3
2
3
3
3
2
6
7
3
5
9
2
х
х
х
х
х
Следовательно
C
x
x
x
dx
x
dx
dx
х
х
х
|
2
3
|
ln
|
3
|
ln
2
2
3
3
3
2
6
7
3
5
9
2
5.
Найти интеграл
5
cos
5
sin
2
x
x
dx
Решение
Применим универсальную тригонометрическую
подстановку: 2
tg
x
t
; x
sin
2
1
2
t
t
;
x
cos
;
1
1
2
2
t
t
2
1
2
t
dt
dx
.
Получим:
36
)
1
(
5
)
1
(
5
4
2
5
1
1
5
1
2
2
1
2
5
cos
5
sin
2
2
2
2
2
2
2
t
t
t
dt
t
t
t
t
t
dt
x
x
dx
5
2
2
ln
2
1
5
2
ln
2
1
5
2
x
tg
C
t
t
dt
В
АРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ Р
АБОТЫ №
6
С РЕШЕНИЯМИ
1.
Вычислить опред
еленный интеграл
2
1
)
1
2
(sin
dx
x
x
Решение
2
ln
)
2
cos
4
(cos
2
1
ln
2
cos
2
1
)
1
2
(sin
2
1
2
1
2
1
x
x
dx
x
x
2.
Вычислить определенный интеграл
2
ln
0
1
dx
e
x
}
1
{
x
e
t
Решение
Подготовим
указанную замену переменной
,
1
x
e
t
,
1
2
t
е
х
),
1
ln(
2
t
x
2
1
2
t
tdt
dx
Пересчитаем пределы интегрирования
0
1
0
0
®
e
t
х
1
1
2
ln
2
ln
®
e
t
x
В итоге получаем
1
0
1
0
1
0
2
2
2
2
2
ln
0
1
1
1
2
1
1
)
1
(
2
1
2
1
dt
t
t
t
t
tdt
t
dx
e
x
2
2
)
4
1
(
2
)
1
1
(
2
)
(
2
1
0
arctg
arctgt
t
37
3. Найти
площадь ограниченной области , лежащей между граф
и
ками 3
x
y
и 5
x
y
. Решение
Решая уравнение , находим, что эти графики пересек
а
ются в трёх точках:
)
1
;
1
(
)
0
;
0
(
)
1
;
1
(
, причём на отрезке ]
0
;
1
[
выше расположен график
5
x
y
, а на отрезке
]
1
;
0
[
-
гр
а
фик
3
x
y
. Так как обе функции нечётны, то чертёж обоих графиков симметричен относительно начала координат, и площадь левой части области м
е-
жду графиками (при
]
0
;
1
[
x
) равна площади правой част
и обла
с-
ти (при
]
1
;
0
[
x
). Рис..
Поэтому искомую площадь можно подсчитать так: 38
4. Скорость тела меняется по закону
3
10
)
(
2
t
t
t
v
. Какое расстояние пройдет тело за первые 5 секунд движения?
Решение
5
0
5
0
5
0
2
3
2
3
5
3
)
3
10
(
)
(
t
t
t
dt
t
t
dt
t
v
S
м
3
2
181
15
125
3
125
5. Вычислить не
собственный интеграл или доказать его расход
и-
мость
1
2
dx
е
х
Решение
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
e
e
e
е
dx
е
х
х
Интеграл сходится.
Применение интегрального исчисления в прикладных задачах эле
к-
тр
о
энергетики. Моделирование и учет электрических нагрузок
Общие по
нятия
При расчёте и анализе режимов электрических сетей должны уч
и-
тываться основные характеристики их элементов (линии электропередач (ЛЭП), трансформаторов и др.), в том числе и электрических нагрузок потребителей. Одной из наиболее существенных характери
стик нагрузки является величина её активной P
и реактивной Q
мощности. В общем случае мощности нагрузок электрических сетей не ост
а-
ются неизменными, а претерпевают изменения во времени t
, и
зависят от параметров электрического режима: от величины U
и частоты f
пр
и-
ложенного напряжения. Поэтому электрические нагрузки (ЭН) как о
т-
дельных индивидуальных электропотребителей, так и групповых обо
б-
щенных эл
ектрических нагрузок узлов электрических сетей (совоку
п-
ность электроприёмников, подключенных к узлу) представляют собой нетривиальные функции вида
t
f
U
P
,
,
и t
f
U
Q
,
,
39
При проектировании развития электроэнергетической систе
мы с
о-
поставляются технические допустимые варианты, в том числе и по пар
а-
метрам электрического режима, поэтому изменение электрической н
а-
грузки учитывается только во врем
е
ни. В нормальных установившихся эксплуатационных режимах эле
к-
троэнергетической си
с
тем
ы сбалансирована по активной мощности, и значение частоты удерживается в допу
с
тимых пределах. В этом случае анализ мгновенных электрических режимов выполняется при учете зав
и-
симости электрической нагрузки только от напряжения соответствующ
и-
ми статическими характер
и
стиками. Если принять значение частоты неизменным, т.е. const
f
, то функциональные зависимости электрической н
а
грузки t
f
U
P
,
,
и t
f
U
Q
,
,
у
п
рощаются и могут быть представлены графически и описаны а
налитически в трехмерном пространстве t
U
P
,
в виде объёмных графиков нагрузок на инте
р
вале времени T
. Представление о сложности зависимости вида t
U
P
,
даёт представление рисунок объё
м
ный суточный гр
афик электрической нагрузки. Он представляет собой картотеку суточных гр
а
фиков, каждый из которых построен при заданном напряжении, изменяющемся в пределах U
, например, д
о-
пустимых стандартом на качество электроэне
р
гии. Рис. Суточный график электропотребления
40
Рис. Годовой график электропотребления
Аналогичное объёмное представление годового электропотребл
е-
ния c
n
t
P
,
в виде расположенных в хронологическом порядке (по су
т-
кам c
n
) суточных графиков нагрузки.
При учёте непрерывности изменения напряжения совокупность т
а-
ких суточных графиков образует поверхность со сложным рельефом. Взятые в совокупности ординаты этой поверхности сложным образом взаимосвязаны между со
бой, причём этим взаимозависимостям присущ как причинный, детерминированный, так и случайный, вероятностный характер. Детерминированный характер изменения электрической нагрузки проявляется в явно выраженной суточной (недельной, сезонной) закон
о-
мерности, цикличности режима электропотребления, в наличии естес
т-
венно прироста или изменения нагрузок, в зависимости нагрузки дня, недели или календарной даты. Так, причинный, детерминированный х
а-
рактер изменения бытовой электрической нагрузки обусловлен цикли
ч-
ност
ью, традиционного режима потребления в течении суток. Особенно устойчиво прогнозируемо электропотребление предприятий с высокой автоматизацией и запрограммированностью технологических процессов, например, на автомобильных заводах. В этом случае средняя эле
ктрич
е-
ская нагрузка и электропотребление для различных суток практически 41
неизменны. Такие случайные процессы электропотребления соответс
т-
вуют признакам стационарного. Случайный характер электрической нагрузки можно пояснить для линии электрической сети, с
уммарная нагрузка которой образована сра
в-
нительно большим числом промышленных электроприёмников, напр
и-
мер, электроприводов металлорежущих станков с нагрузкой )
(
t
P
i
, п
о-
требляемый в момент времени t
. Если от линии пита
ется n
приёмников, то суммарная нагрузка линии в момент t
равна
n
i
i
t
P
t
P
1
)
(
)
(
Даже в тех случаях, когда приводные механизмы имеют достато
ч-
но четкие циклы работы и строгую повторяемость операций в потр
ебл
е-
нии ими электроэнергии из сети энергосистемы, всегда присутствует н
е-
которое случайное начало, связанное с рядом обстоятельств: отклонение в размерах обрабатываемых деталей, в скорости обработки, состоянием режущего инструмента. Все эти обстоятельства и
зменяют как мгновенное значение потребляемой нагрузки, так и её продолжительность. Но точный учёт всех этих обстоятельств невозможен именно из
-
за их случайного характера. В результате отдельные нагрузки следует рассматривать как сл
у-
чайную функцию времени,
а суммарную нагрузку линии )
(
t
P
узлов электрической сети –
как сумму случайных функций. Изменение нагрузки в функции напряжения )
(
U
P
или частоты )
(
f
P
также имеет причинно
-
обусловленную детерминиров
анную и сл
у-
чайную вероятностно
-
статическую составляющие. Таким образом, изменение электрических нагрузок во времени, в функции напряжения и частоты, совершаемое под влиянием индивид
у-
альных и большого числа независимых случайных факторов, имеет пр
и-
чинно
-
де
терминированную и вероятностно
-
статическую природу. Учёт вероятностных свойств электрической нагрузки основан на использов
а-
нии основных положений теории вероятности и математической стат
и-
стики, в частности, теории случайных процессов, которая достаточно по
лно отражает природу изменения электрической нагрузки. Графики электрических нагрузок и их характеристики. При решении вопросов развития распределительных электрических сетей и систем внешнего электроснабжения промышленных предприятий, 42
а также при выпо
лнении электрических расчётов характерных режимов и анализа многорежимности сетей требуется данные о графиках электрич
е-
ских нагрузок их потребителей и узлов. Изменение электропотребления во времени является одной из це
н-
тральных естественных характеристик электрических нагрузок. Оно о
п-
ределяется технологическими процессами производства и бытовым ри
т-
мом жизни населения. Изменения электрической нагрузки во времени может представляться графически, аналитически или в табличном виде, причём наиболее наглядным яв
ляется графическое изображение. Графики изменения нагрузки (сокращенно –
графики нагрузок) могут представлять собой плавные, ломанные или ступенчатые кривые, построенные в пр
я-
моугольной системе координат, по оси ординат которых откладывают величину нагрузо
к, а по оси абсцисс –
время. Графики нагрузок могут отражать изменение во время тока или активной, реактивной или полной мощности. В зависимости от поставленной цели они могут быть сняты и построены для любого интервала времени –
часа, суток, месяца, года и др. В аналитическом виде графики нагрузок могут быть получены для отдельных (индивидуальных) и групповых (обобщенных) электропотр
е-
бителей путём математической обработки и моделирования заданных в табличном (матричном) или экспериментально
-
статическом ви
дах пр
о-
цессов изменения нагрузок или электропотребления. В последние годы для рассматриваемых целей эффективно используют методы математич
е-
ской статистики, в частности, теорию случайных чисел, которая дост
а-
точно полно отражает природу изменения нагрузок. П
утём аналитической аппроксимации экспериментальных точек электропотребления и резул
ь-
татов обследования (замеров) электрических нагрузок в виде матрицы корреляцио
н
ных моментов. Для инженерного анализа характерных режимов и многорежимн
о-
сти электропотреблени
я и функционирования электрических сетей, в
ы-
полняемых в ручную, используется графическое представление электр
о-
потребления во времени. Общим математическим выражением л
ю
бого графика электрической нагрузки, например граф
и
ка активной мощности, будет запись ви
да )
(
t
P
, где t
-
время, с учетом кот
о
рого анализируется нагру
з
ка. 43
На
практике исследования режимов работы эле
к
тропотребителей и их групп применяют различные способы изменений и построение граф
и-
ков электричес
кой нагрузки: обычно с помощью показаний счетч
и
ков электроэнергии, взятых через равные промежутки времени, реже –
с п
о-
мощью регистрирующих (самопишущих) приборов, фиксирующих а
к-
тивную, реактивную мощность и ток. Полученный в п
о
следнем случае непрерывный гр
афик наиболее близко соответствует де
й
ствительности. Степень соответствия графика, снятого по показаниям счетчика (см. кр
и-
вую 2), фактически зависит главным образом от инте
р
вала отсчёта t
нагрузки:
d
T
t
в пределах к
оторого её считают неизменной:
t
W
W
P
i
i
i
1
.
Рис. Действительный и ступенчатый (основанный на показаниях счетч
и-
ков) графики нагрузок
Чем меньше интервал t
, тем ближе будет записанный по счётч
и-
ку график к действительному (естественно при условии достаточной то
ч-
ности электроэнергии по счетчику).
При плавно изменяющейся кривой графика нагрузки электроэне
р-
гия, получаемая потребителем за время T
, определяется при интегрир
о-
вании выражения
44
T
dt
t
P
W
0
)
(
,
где подынтегральная функция )
(
t
P
является аналитическим в
ы-
ражением графика электрической нагрузки. Возможность и трудоёмкость непосредственного вычисления по выражению T
dt
t
P
W
0
)
(
зависят от вида подынтегральной функц
ии )
(
t
P
. При задании режима энергопотребления ступенчатым графиком потребляемая электроэнергия определяется в виде
d
j
j
j
t
P
W
1
Чем на большее число интервалов d
разбит действительный н
е-
прерывный график нагрузки )
(
t
P
, тем ближе результаты к действител
ь-
ным. Полученные выше два выражения характеризует площадь, огран
и-
ченную осями координат и кривой графика электрической нагрузки и в определенном масштабе соответствуют электроэнергии, потр
ебленной нагрузкой за время T
. Вычислить эту площадь можно приближенными способами графического интегрирования, например, по методам прям
о-
угольника, трапеции или Симпсона. Наиболее удобен для ступенчатого графика метод прямоугольника.
Для контрольных (эталонных) расчётов следует применять методы трапеции или Симпсона, как более точные. Поэтому в тех случаях, когда очертания графика имеют плавный вид, удобно заменить его ступенчатым, сохраняя при этом характерные точки исходного график
а и выдерживая равенство площади исходного и ст
у-
пенчатого графиков. Характер и форма индивидуального графика нагрузки электроп
о-
требителя определяются технологическим процессом, режимом работы потребителя. При анализе режимов электрических сетей и систем э
ле
к-
троснабжения различного назначения чаще приходится иметь дело с групповыми графиками электрической нагрузки, относящимися к группе электропотребителей, объединенных одной питающей линией (фидером) или шинами подстанции. Групповые графики представляют со
бой р
е-
зультат суммирования отдельных электропотребителей, входящих в группу. При очень большом количестве электропотребителей, входящих в группу, например, в крупных цехах предприятий, в городском районе в 45
целом, суточных график активной мощности приобр
етает устойчивый характер. При анализе процессов изменение нагрузок во времени используют ряд физических и относительных показателей, характеризующих режим работы (электропотребления) нагрузок. Обычно рассматривается некот
о-
рые характерные режимы работы: н
аибольших, наименьших и средних нагрузок, нагрузки в часы дневного минимума и др., наиболее сущес
т-
венными и информативными из которых являются наибольшие и средние нагрузки. Отношение наименьшей нагрузки к наибольшей в первом прибл
и-
жении –
коэффициент нер
авномерности –
характеризует неравномерность электропотребления нр
k
.
Можно привести множество графиков нагрузок с одинаковыми значениями коэффициента нр
k
, но очень различных по характеру эле
к-
тропотребления. Емким, ха
рактерным показателем электропотребления является средняя нагрузка за некоторый интервал времени T
. Примен
и-
тельно к графикам активной и реактивной мощности с известными знач
е-
ниями активной и «реактивной» энергии средние нагрузки можно
опр
е-
делить в виде:
T
p
ср
T
W
dt
t
P
T
P
0
)
(
1
; T
Q
ср
T
W
dt
t
Q
T
Q
0
)
(
1
Средняя нагрузка за время T
-
это величина, зависящая лишь от конфигурации графика и продолжительности периода наблюдения T
. Средняя электрич
еская нагрузка, в общем виде математическое ожидание нагрузки (при неодинаковых значениях t
), является центральной инт
е-
гральной характеристикой электропотребителя, учитывающей в сжатом виде все электрические режимы за рассматриваемый интервал времени T
. Средняя мощность за время T
определяет средний ток:
срвз
н
ср
ср
U
P
I
cos
3
.
Среднеквадратичная нагрузка за некоторый интервал времени T
d
i
i
i
T
скв
t
P
T
dt
t
P
T
P
1
2
0
2
2
1
)
(
1
46
и сред
неквадратичный ток
dt
t
I
T
I
T
скв
)
(
1
0
2
2
.
Годовые графики нагрузок.
Годовые графики потребления активной и реактивной энергии б
ы-
вают двух видов –
по месяцам и упорядоченные по продолжительности. Наиболее широко используются, в частности, в задачах техн
ико
-
экономического анализа вариантов проектируемых электроэнергетич
е-
ских систем, годовые упорядоченные графики, которые показывают и
з-
менение нагрузки в течение года (
8760
T
ч) в порядке её убывания и могут относиться к акти
в
ной, реактивной
и полной мощности или току. Упорядоченные графики или графики нагрузок по продолжител
ь-
ности практически представляют собой ступенчатую диаграмму пост
е-
пенно убывающих по суточным граф
и
кам значений нагрузок, каждому из которых соответствует время использов
ания данной нагру
з
ки в течение года. Рис. Годовой упорядоченный график нагрузки
На рисунке показано построение годового графика активной мо
щ-
ности по продолжительности в порядке убывания по двум графикам: ле
т-
нему и зимнему. По верт
и
кальной о
си откладывают значения нагрузки, а по горизонтальной -
продолжительность данной нагрузки в теч
е
ние года. Площадь, ограниченная кривой )
(
t
S
или )
(
t
P
и координатными осями, в определенном масштабе представляет собой к
оличество пол
у-
ченной потребит
е
лем электроэнергии
47
8760
0
8760
0
)
(
cos
)
(
dt
t
S
dt
t
P
W
ср
.
Если заменить эту площадь равнозначной площадью в виде прям
о-
угольника со сторонами нб
S
и нб
T
, то можно представить в виде нб
ср
нб
нб
нб
T
S
T
P
W
cos
.
Таким образом:
8760
0
1
)
(
d
i
нб
нб
i
i
T
P
t
P
dt
t
P
W
Поэтому график нагрузки удобно характеризовать показателем, к
о-
торый называется времение (продолжительностью) использования ма
к-
симальной нагрузки нб
T
. Величина нб
T
является
одним из характерных примеров готового графика. Она определяет такое условное время 8760
нб
T
ч, в течении которого, работая с наибольшей измененной нагрузкой нб
S
, потребитель получил бы из сети такое же количество электр
оэнергии, как при работе по действительному изменяющемуся в течении года графику нагрузки. Следовательно можно получить:
8760
0
)
(
1
нб
нб
нб
P
W
dt
t
S
S
T
Естественно, что чем больше время нб
T
тем равномернее, плотнее электропотребление в течение
года. Величина нб
T
играет большую роль в расчётах электропотребл
е-
ния, при определении годового расхода потерь электроэнергии, эконом
и-
ческих нагрузок токоведущих элементов и др. Она имеет определенное характерное значение для каждой от
расти промышленности и отдельных видов предприятий и потребителей. Пример.
Суточный режим электропотребителя характеризуется графиком нагрузки:
t
t
t
P
0
,
4
0
,
4
25
,
0
)
(
2
при
при
при
24
...
20
20
...
4
4
...
0
t
t
t
48
Рис. Суточный график нагрузки
Опре
делить электроэнергию, потребленную за сутки, значение средней нагрузки и показатели плотности, неравномерности электроп
о-
требления.
Электроэнергия, потребленная электроустановкой, соответствует в масштабе площади фигуры, ограниченной графиком нагрузки и к
оорд
и-
натными осями. С учетом аналитического описания графика в результате непосредственного интегрирования мощностей получим:
16
0
4
0
24
0
4
0
2
)
0
,
4
(
0
,
4
25
,
0
)
(
dt
t
tdt
dt
t
dt
t
P
W
3
,
77
2
0
,
4
0
,
4
3
25
,
0
4
0
2
4
0
16
0
4
0
3
t
t
t
t
кВт ∙ ч
Для сопоставления выразим значение электроэнергии в джоулях:
3
,
77
W
кВт ∙ ч 3
3
10
6
,
3
10
3
,
77
Вт ∙ с 3
10
278
кДж
и калориях
3
10
278
W
кДж 3
3
10
4
,
66
10
278
239
,
0
ккал.
Средняя за сутки электрическая нагрузка
22
,
3
0
,
24
3
,
77
)
(
1
0
T
ср
T
W
dt
t
P
T
P
кВт
Эта величина отмечена пунктирной линией н
а рисунке в условии задачи.
Время использования максимума:
49
3
,
19
0
,
4
3
,
77
нб
нб
P
W
T
ч
также характеризует равномерность электропотребления.
Среднеквадратичная мощность
T
скв
dt
t
dt
dt
t
dt
t
P
T
P
0
4
0
4
0
2
16
0
4
2
2
)
0
,
4
(
0
,
16
0
,
16
1
0
,
24
1
)
(
1
4
,
13
3
2
0
,
8
0
,
16
0
,
16
5
0
,
16
1
0
,
24
1
4
0
3
4
0
2
4
0
16
0
4
0
5
t
t
t
t
t
кВт.
66
,
3
4
,
13
2
скв
скв
P
P
кВт.
Коэффиц
иент формы графика
14
,
1
22
,
3
66
,
3
ср
скв
ф
P
P
k
Приведенные показатели свидетельствуют о высокой плотности электропотребления. ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР
Р
АЗДЕЛ V
.
Д
ИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВ
НЕНИЯ И РЯДЫ
Тема 5.1.
Обыкновенные дифференциал
ь
ные уравнения
первого порядка
Понятие дифференциального уравнения. Частное и общее решения. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравне
ния с разделя
ю-
щимися переменными. Однородные и линейные диффе
ренциальные ура
в-
нения. Основные понятия
При решении различных задач математики
, химии и других наук часто используются сложные математические модели в виде уравнений, связывающие независимую переменную, искомую функцию и её прои
з-
50
водные. Такие уравнения называются дифф
е
ренциальными
уравнениями (ДУ). Решением дифференциального уравнен
ия называется функция, к
о-
торая при подстановке в уравн
е
ние обращает его в тождество. К примеру, решением уравнения )
(
x
f
y
является фун
к
ция )
(
x
F
y
-
первообразная для функции )
(
x
f
. Если искомая (неизвес
т-
ная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкнове
н-
ным (ОДУ). Если же искомая функция зависит от нескольких переменных -
ДУ в частных производных
(в этом курсе такие уравнения не рассматр
и-
ваются). Наивысший порядок производной, входящий в д
ифференц
и
альное уравнение, называют порядком этого уравнения. Например, уравнение 0
5
y
y
y
-
обыкновенное дифф
е-
ренциальное уравнение третьего порядка. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Зачастую в электрических системах нео
бходимо описать или см
о-
делировать процесс, проходящий сколь угодно большое время. Однако для описания процесса необходимо знать описание скор
о
сти изменения этого процесса. В самом простом случае мы знаем зависимость скорости и
з
менения процесса от времени.
При этом мы также знаем начальные условия, т.е. знаем конкретные величины скорости этого процесса в определенный момент времени, как правило, при 0
0
t
. Из этих условий нам необх
о-
димо будет описать сам процесс –
т.е. завис
и
мость величины
от времени t
. Из курса производных мы знаем, что скорость изменения к
а
кого
-
либо процесса есть первая производная от описания этого процесса. Т.е. скорость изменения силы тока на выходе из системы )
(
t
I
есть первая производная от самого значения силы тока по времени )
(
t
I
. Таким обр
а-
зом, зная скорость изменения силы тока на выходе из системы )
(
t
I
, а также зная граничные условия для описания этого процесса 0
0
t
, мы можем найти и закон измен
е
ния силы тока по времени )
(
t
I
. Модели простейших электрических схем и соответствующие им уравнения будут рассмотрены далее.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
первого порядка
51
Обыкновенным дифференциаль
ным уравнением (ОДУ) первого порядка называется уравнение ,
0
)
,
,
(
y
y
x
F
где x
-
независимая переменная, )
(
x
y
-
неизвестная функция. В форме, разрешённой относительно производной, уравнение первого п
о-
рядка зап
исывается так:
)
,
(
y
x
f
y
.
Если пользоваться другим обозначением производной, то можно записать как
)
,
(
y
x
f
dx
dy
.
Общим решением
ДУ первого порядка называется фун
к
ция )
;
(
c
x
y
, содержащая одну производную постоянную и удовлетв
о-
ряющая условиям:
-
функция )
;
(
c
x
является решением ДУ при каждом фи
к-
сированном значении c
;
-
каково бы не было начальное условие 0
0
)
(
y
x
y
, можно найти такое значение постоянной 0
c
c
, что функция )
;
(
0
c
x
y
удовлетво
ряет данному начальному условию.
Частным решением
ДУ первого порядка называется любая функция )
;
(
0
c
x
y
, полученная из общего решения )
;
(
c
x
y
при конкре
т-
ном значении пост
оянной 0
с
с
. С геометрической точки зрения )
;
(
c
x
y
есть семейство интегральных кривых на плоскости Oxy
; частное решение )
;
(
0
c
x
y
-
одна кривая из этого семейства, прох
о-
дящая через точку 0
0
,
y
x
Уравнения с разделяющимися переменными
Самый простой тип ДУ, уравнения с разделенными переменными
0
)
(
)
(
dy
y
g
dx
x
f
.
Интегрируя левую и правую части уравнения, получаем:
С
dy
y
g
dx
x
f
)
(
)
(
Это и есть общий интеграл (обще
е решение) этого уравнения.
52
Пример:
Р
ешить уравнение
;
0
3
)
1
(
2
2
dy
y
dx
x
начальные условия 1
)
2
(
y
;
Исходное уравнение -
с разделёнными переменными, интегр
и
руя его, получим С
dy
y
dx
x
2
3
)
1
(
2
.
C
y
x
3
2
)
1
(
Соотношение C
y
x
3
2
)
1
(
-
общее решение (общий инт
е
грал) уравнения; для того, чтобы найти частное решение, удовл
е
творяющее начальному условию, надо подставить в общее реш
е
ния данные значения 0
x
и 0
y
, и найти значение постоянной
C
на этом решении: 2
1
)
1
2
(
3
2
C
C
. Таким образом, реш
е
ние поставленной задачи: 2
)
1
(
3
2
y
x
.
Если явно (в виде )
(
x
f
y
) выразить эту функцию, то получим:
3
2
)
1
(
2
x
y
Более общий случай описываю
т уравнения с разделяющимися п
е-
ременными
, которые имеют вид:
)
(
)
(
y
g
x
f
y
или
0
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
dy
y
g
x
f
dx
y
g
x
f
Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными пер
е-
менными:
-
записываем уравнение )
(
)
(
y
g
x
f
y
в форме )
(
)
(
y
g
x
f
dx
dy
, затем д
елим на )
(
y
g
и у
м
ножаем на dx
: dx
x
f
y
g
dy
)
(
)
(
;
-
уравнение 0
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
dy
y
g
x
f
dx
y
g
x
f
делим на )
(
)
(
1
2
y
g
x
f
: 0
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
y
g
dy
y
g
x
f
dx
x
f
;
Получены уравнения
с разделёнными переменными. Интегрируя, полу
чим общие решения
:
53
С
dx
x
f
y
g
dy
)
(
)
(
и С
y
g
dy
y
g
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
.
В обоих случаях возможна потеря решений: деление на функцию может привести к уравнению, к
о
торое неэквивалентно данному.
·
если функция )
(
y
g
имеет действительные корни ,....
,
,
3
2
1
y
y
y
, то функ
ции ,....
,
,
3
2
1
y
y
y
y
y
y
, оч
е-
видно, являю
т
ся решениями исходного уравнения;
·
если функция )
(
2
x
f
имеет действительные корни ,....
,
,
3
2
1
x
x
x
, функция )
(
1
y
g
имеет действительные корни ,....
,
,
3
2
1
y
y
y
, то фун
к
ции ,..
,
,
3
2
1
x
x
x
x
x
x
, ,....
,
,
3
2
1
y
y
y
y
y
y
являютс
я решениями исходного уравнения.
Пример
: Р
ешить ДУ );
1
(
y
x
y
П
риводим данное уравнение к виду уравнения с разделёнными пер
е-
менными:
);
1
(
y
x
y
;
)
1
(
;
)
1
(
);
1
(
dx
x
y
dy
dx
x
y
dy
y
x
dx
dy
C
x
y
2
|
1
|
ln
2
При такой форме записи общего интеграла решение 1
y
потеряно. Приведем решение к явной форме:
1
1
2
|
1
|
ln
2
1
2
2
2
2
x
C
x
e
C
y
e
y
C
x
y
Здесь константа C
e
C
1
. Поскольку C
произвольна, то можно сч
и
тать произвольной и 0
1
С
.
Пример:
Р
ешить ДУ ;
)
(
)
(
2
2
dy
y
y
x
dx
x
xy
начальное усл
о
вие 5
)
1
(
y
54
Разделяем переменные
: dy
x
y
dx
y
x
dy
y
y
x
dx
x
xy
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
y
dy
x
dx
y
ydy
x
xdx
y
ydy
x
xdx
C
y
x
1
ln
1
ln
2
2
Здесь могут быть потеряны решения ;
1
;
1
y
x
постоянная и
н-
тегрирования записана как |
|
ln
2
1
C
. далее, )
1
(
1
|
)
1
(
|
ln
|
1
|
ln
2
2
2
2
x
C
y
x
C
y
.
Общий интеграл уравнения 1
)
1
(
2
2
x
C
y
. Частные решения 1
y
содержатся в общем интеграле при 0
C
, решения 1
x
утеряны
.
Всё множество решений: 1
,
1
,
1
)
1
(
2
2
x
x
x
C
y
. Мы должны найти ещё частное решение, удовлетворяющее начальному условию 5
)
1
(
y
. Подстановка значений 5
,
1
y
x
в общий инт
е-
грал даёт 25=1, т.е. общий интеграл этого ча
стного решения не содержит. Р
е
шение 1
x
удовлетворяет начальному условию
, это и есть решение задачи
.
Однородные дифференциальные уравнения
Так называются уравнения со специальным видом зависим
о
сти функции )
,
(
y
x
f
от своих арг
ументов:
x
y
f
y
.
Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переме
н-
ными относительно новой неизвестной функции )
(
x
u
зам
е
ной )
(
)
(
x
u
x
x
y
, или )
(
)
(
x
u
x
x
y
. 55
Подставляя в x
y
f
y
xu
y
, u
x
u
y
, получим ,
)
(
),
(
u
u
f
dx
du
x
u
f
u
x
u
(это
уравнение с разделяющ
и
мися переме
н
ными).
Пример:
Решить ДУ
y
x
x
y
y
Это уравнение однородное, вводим новую переменную x
y
u
Получаем: ,
,
1
,
1
,
,
x
dx
udu
u
dx
du
x
u
u
x
u
u
x
u
u
y
ux
y
2
2
2
2
2
2
2
2
ln
,
ln
,
|
|
ln
2
,
2
|
|
ln
2
,
x
C
x
y
C
x
x
y
C
x
u
C
x
u
x
dx
udu
О
бщее решение уравнения -
2
2
2
ln
x
C
x
y
Как определить, я
вляется уравнение однородным или нет
? Введём о
п
ределение. Функция )
,
(
y
x
f
называется однородной
функцией своих аргументов степени m
, если д
ля любого t
в
ы
полняется тождество )
,
(
)
,
(
y
x
f
t
ty
tx
f
m
. Так, 3
2
3
4
3
y
xy
x
-
однородная функция степени 3, y
x
ln
ln
-
однородная функция нулевой степени. Если )
,
(
),
,
(
y
x
N
y
x
M
-
однородные функции одной степени, то
ура
в
нение 0
)
,
(
)
,
(
dy
y
x
N
dx
y
x
M
является однородным
.
Пример:
Решить ДУ 0
)
2
(
2
2
dy
x
dx
xy
y
. Здесь коэффициенты при дифференциалах -
однородные функции вт
о-
рой степени, т. е. уравнение однородное. Делаем стандар
т
ную замену переменной:
ux
y
, xdu
udx
dy
Подставляем в уравнение:
0
2
2
2
2
xdu
udx
x
dx
xux
x
u
.
56
Делим правую часть на 2
x
(не забывая о потерянном решении 0
x
)
0
2
2
xdu
udx
udx
dx
u
0
2
xdu
dx
u
u
x
dx
u
u
du
2
И
нтегрируем правую и левую часть:
C
u
u
du
u
u
u
u
du
u
u
du
1
ln
ln
1
1
1
)
1
(
2
C
u
u
1
ln
C
x
x
dx
ln
Получаем:
C
x
u
u
ln
1
ln
x
C
x
e
u
u
C
1
1
Возвращаемся к исходной переменной x
y
u
:
1
1
1
2
1
1
1
x
C
x
C
y
x
C
x
y
y
x
C
x
y
x
y
Э
то и ест
ь общее р
е
шение
.
Линейные дифференциальные уравнения
ДУ первого порядка называется линейным, если неизвестная фун
к-
ция )
(
x
y
и её производная )
(
x
y
входят в уравнение в первой степени:
)
(
)
(
x
q
y
x
p
dx
dy
.
Здес
ь )
(
),
(
x
q
x
p
-
непрерывные функции.
57
Для решения уравнения )
(
)
(
x
q
y
x
p
dx
dy
представим )
(
x
y
в виде произведения двух новых неизвестных функций )
(
x
u
и )
(
x
v
: )
(
)
(
)
(
x
v
x
u
x
y
. Тогда )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
v
x
u
x
v
x
u
x
y
, и уравнение приводится к виду )
(
)
(
x
q
uv
x
p
v
u
v
u
, или )
(
)
)
(
(
x
q
v
x
p
v
u
v
u
.
Поскольку мы можем выбирать функции )
(
x
u
и )
(
x
v
, то выберем )
(
x
v
так, чтобы 0
)
(
v
x
p
v
. Тогда исходн
ое ур
авнение реша
ется
в два этапа: сначала находим функцию )
(
x
v
как частное решение уравн
е-
ния с разд
е
ляющимися переменными 0
)
(
v
x
p
v
; затем находим )
(
x
u
из уравн
е
ния )
(
x
q
v
u
. Итак, dx
x
p
v
dv
dx
x
p
v
dv
v
x
p
dx
dv
)
(
)
(
0
)
(
dx
x
p
e
v
dx
x
p
v
)
(
)
(
|
|
ln
М
ы не вводим в это решение произвольную постоянную С
, нам достаточно найти одну функцию )
(
x
v
, обнуляющую слагаемое со ско
б-
ками в уравнении )
(
)
)
(
(
x
q
v
x
p
v
u
v
u
. Теперь уравнение для )
(
x
u
запишется как
dx
x
p
dx
x
p
e
x
q
x
u
x
q
x
u
e
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
C
dx
e
x
q
x
u
dx
x
p
)
(
)
(
)
(
. Общее решение уравнения )
(
)
(
x
q
y
x
p
dx
dy
: C
dx
e
x
q
e
x
y
dx
x
p
dx
x
p
)
(
)
(
)
(
)
(
.
Запоминать эту формулу не надо, лучше усвоить порядок действий и воспроизводить его при реш
е
нии каждой задачи.
58
Пример:
1
)
0
(
,
cos
1
tg
y
x
y
x
y
.
Решение:
,
uv
y
Находим функцию )
(
x
v
из условия:
.
0
tg
x
v
v
Решаем это уравнение с разделяющимися переменными:
,
tg
v
x
dx
dv
x
v
x
v
x
xdx
v
dv
cos
1
|,
cos
|
ln
|
|
ln
,
cos
sin
.
Теперь для )
(
x
u
получим: C
x
x
u
x
x
u
)
(
,
cos
1
cos
,
и общее решение уравнения x
C
x
x
y
cos
)
(
. Для нахождения частного решения, соответствующего начальным условиям , подставим в общее решение
:
1
0
cos
0
1
:
1
,
0
C
C
y
x
. Р
е
шение задачи: x
x
x
y
cos
1
)
(
.
[2], Гл. X
, §§
47
-
48
Контрольные
вопросы по теме 5.1
1.
Что такое дифференциальное уравнение
?
2.
Что такое начальные условия?
3.
Что такое общее решение ДУ?
4.
Что такое частное решение ДУ?
5.
Как решаются уравнения с разделяющимися уравнениями?
6.
Как решаются однородные уравнения?
7.
Как определить, являе
тся ли уравнение однородным?
8.
Как решаются линейные уравнения первого порядка?
59
Тема 5.2. Дифференциальные уравнения втор
о-
го порядка. Описание электрических цепей дифференциальными уравнениями
Дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные диффере
н-
циа
льные уравнения второго порядка с постоянными коэффициент
а
ми.
Общее решение однородного уравнения.
Неоднородные линейные уравн
е-
ния, структура р
е
шения. Элементы электрических цепей. Описание электрических цепей ди
ф-
ференциальными уравнениями.
Из всех типов
дифференциальных уравнений важнейшую роль играют линейные уравнения
. Они обладают
рядом важных
свойств
, в частности, замечательной структурой решения.
К
роме того, они чаще всего встр
е-
чаются при составлении моделей различных физических процессов
. Мы рассм
отрим структуру решения линейных уравнений на примере уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, а также применение этих уравнений при составлении моделей простейших эле
к-
трических ц
е
пей.
Линейные однородные дифференциальные уравнения II
поряд
ка с постоянными к
о
эффициентами
В общем виде такие уравнение записываются следующим образом:
)
(
x
f
q
y
p
у
,
где p
и q
–
числа, f
(
x
)
–
функция, зависящая только от х
.
Если 0
)
(
x
f
, то такое уравнение называется однородным
.
Решение
однородного уравнения сводится к решению характеристич
е-
ского уравнения
:
0
2
q
pk
k
Это обычное квадратное уравнение. Возможны следующие варианты:
1) Уравнение имеет 2 действительных корня;
2) Уравнение имеет 1 действительный корень;
3) Уравне
ние не имеет действительных корней (имеет два комплексных). Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.
1) Характеристическое уравнение имеет 2 различных действител
ь-
ных корня 1
k
и 2
k
.
В этом случае общее решение однородного дифференциального уравн
е-
ния записывается следующим образом:
60
x
k
x
k
e
C
e
C
x
y
2
1
2
1
)
(
Заметим, что в общее решение уравнения второго порядка входят две константы.
Допустим, даны начальные условия: 0
0
)
(
y
x
y
, 1
0
)
(
y
x
y
и нео
б-
ходимо найти частное решение (определить константы С
1
и С
2
)
. Такая задача сводится к решению системы из двух линейных уравнений.
x
k
x
k
e
k
C
e
k
C
x
y
2
1
2
2
1
1
)
(
Подставляя начальные условия, получаем систему:
1
2
2
1
1
0
2
1
1
2
1
1
0
2
0
1
y
e
k
C
e
k
C
y
e
C
e
C
x
k
x
k
x
k
x
k
Решая ее, находим 1
C
и 2
C
.
Пример
ы
:
1) Найти общее решение уравнения
0
6
5
y
y
y
Решение:
Запишем характеристическое уравнение:
0
6
5
2
k
k
Решаем его:
2
3
2
24
25
5
2
,
1
k
Зная корни характеристического уравнени
я, записываем общее решение дифференциального уравнения:
x
x
e
C
e
C
x
y
2
2
3
1
)
(
2) Найти частное решение уравнения
0
4
3
y
y
y
,
удовлетворяющее начальным условиям: ,
0
)
0
(
y
5
)
0
(
y
Решение:
Находим общее решение
0
4
3
2
k
k
4
1
2
16
9
3
2
,
1
k
x
x
e
C
e
C
x
y
4
2
1
)
(
-
общее решение
x
x
e
C
e
C
x
y
4
2
1
4
)
(
61
Для нахождения частного решения подставляем начальные условия в о
б-
щее решение:
5
4
)
0
(
0
)
0
(
2
1
2
1
C
C
y
C
C
y
Решая систему, получаем ,
1
1
С
1
2
С
. Отсюда частное решение:
x
x
e
e
x
y
4
)
(
2
) Характеристическое уравнение имеет 1
действитель
ный
ко
р
ень
k
В этом случае общее решение
записывается следующим образом:
kx
kx
хe
C
e
C
x
y
2
1
)
(
Частное решение по начальн
ым условиям находится аналогично пред
ы-
дущему случаю.
Пример:
Найти частное решение уравнения
0
4
4
y
y
y
,
удовлетворяющее начальным условиям: ,
2
)
0
(
y
1
)
0
(
y
Решение:
Находим общее решение
0
4
4
2
k
k
Это характеристическое уравнение имеет один корень -
2
k
.
x
x
хe
C
e
C
x
y
2
2
2
1
)
(
-
общее решение.
x
x
x
хe
С
e
C
e
C
x
y
2
2
2
2
1
2
2
)
(
Находим частное решение:
1
2
2
2
1
2
1
С
С
С
С
,
1
1
С
1
2
С
Частное решение -
x
x
xe
e
x
y
2
2
)
(
3) Характеристическое уравнение не имеет действительных корней (им
е
ет 2 комплексно сопряженных корня i
)
Общее решение уравнения в данном случае:
x
C
x
C
e
x
y
x
cos
sin
)
(
2
1
Пример:
Найти о
бщее решение уравнения
0
2
2
y
y
y
62
Решение
:
Записываем характеристическое уравнение и находим его решения:
0
1
2
2
2
k
k
i
k
2
1
2
1
4
8
4
2
2
,
1
Следовательно, общее решение уравнения:
2
cos
2
sin
)
(
2
1
2
1
x
C
x
C
e
x
y
x
Линейные неоднородные ди
фференциальные уравнения II
порядка с постоянными к
о
эффициентами
О
бщее решение неоднородного уравнения
)
(
x
f
q
y
p
у
находится в несколько этапов.
1) Н
айти )
(
~
x
y
общее решение однородного уравнения 0
q
y
p
у
.
Эта
задача рассмотрена и решена в предыдущем пункте.
2) Найти )
(
*
x
y
какое
-
нибудь (частное) решение неоднородного ура
в-
нения )
(
x
f
q
y
p
у
3) Общее решение неоднородного уравнения представляется в виде су
м-
мы: )
(
*
)
(
~
)
(
x
y
x
y
x
y
Таким образом, задача сводится к нахождению частного решения нео
д-
нородного уравнения.
Более подробно эта задача решена в [2], здесь мы рассмотрим поиск решения уравнения с правой частью особого вида.
1) Правая часть имеет вид x
n
e
x
P
)
(
, где )
(
x
P
n
-
многочлен ст
е-
пени n
, -
число.
В этом случае частное решение неоднородного уравнения ищется в виде x
n
r
e
x
Q
x
x
y
)
(
)
(
*
, где )
(
x
Q
n
-
многочлен степени п
., a
r
–
число, которое определяетс
я так: 0
r
, если не является корне
м характеристического уравнения; 1
r
, если -
один из корней;
2
r
, если -
единственный кор
ень характеристического уравн
е-
ния
.
63
На примерах рассмотрим алгоритм поиска частного и общего реш
е-
ний неоднородных уравнений.
Примеры:
Найти
частное решение следующих неоднородных уравн
е
ний:
1)
x
xe
y
y
y
4
3
2
Решение
Здесь 4
, к
орни характеристического уравнения 0
3
2
2
k
k
: 1
,
3
2
,
1
k
.
Общее решение однородного уравнения:
x
x
e
C
e
C
y
2
3
1
~
4 не является корнем, значит 0
r
. x
x
P
n
)
(
, следовательно ст
е-
пень многочле
на )
(
x
Q
n
равна 1
: B
Аx
x
Q
n
)
(
.
Таким образом, частное решение ищется в виде:
x
e
B
Ax
x
y
4
)
(
*
.
Задача сводится к определению неизвестных коэффициентов А
и В
.
Сначала вычисляем первую и вторую производные )
(
~
x
y
:
x
x
x
x
e
B
Ax
Ae
e
B
Ax
e
B
Ax
y
4
4
4
4
4
)
(
*
x
e
A
B
Ax
4
4
4
;
x
x
e
A
B
Ax
e
A
B
Ax
y
4
4
)
4
4
(
4
4
*
x
x
x
e
A
B
Ax
e
A
B
Ax
Ae
4
4
4
2
2
8
4
4
4
4
Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:
х
х
е
А
В
Ах
е
А
В
Ах
y
y
y
4
4
4
4
2
2
2
8
*
3
*
2
*
х
е
В
Ах
4
3
{
группируем отдельно члены с х
е
4
и с х
хе
4
} =
В
А
В
А
В
е
А
А
А
хе
х
х
3
2
8
8
16
3
8
16
4
4
В
А
е
Ахе
х
х
5
6
5
4
4
Приравниваем полученное выражение с правой частью уравнения:
х
х
х
хе
В
А
е
Ахе
4
4
4
5
6
5
Приравниваем коэффициенты слева и справа. Справа находится тол
ь-
ко х
хе
с коэффициентом 1, х
е
нет. Поэтому коэффициенты справа 64
равны: 1
5
А
, 0
5
6
В
А
. Отсюда получаем ,
5
1
А
25
6
В
, следовательно частное решение:
x
e
x
x
y
4
25
6
5
1
)
(
*
.
Общее решение неоднородного уравнение представляет собой сумму общего решения однородного (
y
~
) и частного решения неоднородного (
*
y
):
x
x
x
e
x
e
C
e
C
x
y
x
y
x
y
4
2
3
1
25
6
5
1
)
(
*
)
(
~
)
(
.
2) x
e
y
y
y
3
3
2
Решение
Общее решение одно
родного уравнения:
x
x
e
C
e
C
y
2
3
1
~
В данном случае 3
является корнем характеристического ура
в-
нения, поэтому 1
r
. Многочлен 1
)
(
x
P
n
, следовательно,
ст
е
пень многочлена )
(
x
Q
n
равна 0: А
x
Q
n
)
(
.
Таким образом, частное решение ищется в виде:
x
Ae
x
x
y
3
)
(
*
Задача сводится к нахождению неизвестного коэффициента А
.
Подставляем частное решение в уравнение, предварительно рассчитав производные:
x
x
Axe
Ae
y
3
3
3
*
x
x
x
Axe
Ae
Ae
y
3
3
3
9
3
3
*
x
x
x
x
x
x
Axe
Axe
Ae
Axe
Ae
Ae
3
3
3
3
3
3
3
)
3
(
2
)
9
3
3
(
x
x
x
Ae
A
A
e
A
A
A
xe
3
3
3
4
2
6
3
6
9
Приравниваем полученное выражение с правой частью исходного уравнения:
x
x
e
Ae
3
3
4
Отсюда 4
1
А
, x
xe
y
3
4
1
*
.
65
Общее решение -
x
x
x
xe
e
C
e
C
y
y
y
3
2
3
1
4
1
*
~
.
2) Правая часть имеет вид
)
sin
)
(
cos
)
(
(
x
x
Q
x
x
P
e
m
n
x
, где )
(
x
P
n
, )
(
x
Q
m
-
многочлен
ы
сте
пеней
n
и
m
соответственно
, и
-
чи
с
ла
.
В этом случае частное решение нео
днородного уравнения ищется в виде x
x
N
x
x
M
e
x
x
y
l
l
x
r
sin
)
(
cos
)
(
)
(
*
, где )
(
x
M
l
и )
(
x
N
l
-
многочлен
ы
степени l
–
максимальный из m
и n
., a
r
–
чи
с-
ло, которое определ
я
ется так: 0
r
, если i
не является корнем характеристического уравн
е-
ния; 1
r
, если i
-
один из корней
.
Например, если правая часть имеет вид x
x
x
e
x
f
x
sin
cos
)
(
, и число i
i
1
не является корнем характеристическо
го ура
в-
нения, то частное решение ищется в виде:
x
D
Cx
x
B
Ax
e
x
y
x
sin
)
(
cos
)
(
)
(
*
Пример:
Найти общее решение уравнения
x
y
y
y
sin
2
3
Решение
Сначала находим общее решение однородного уравнения
0
2
3
y
y
y
Характеристическое уравнение 0
2
3
2
k
k
имеет корни 1
и 2
.
Следовательно, общее решение однородного уравнения:
x
x
e
C
e
C
y
2
2
1
~
Вернемся к неоднородному уравнению. i
i
x
x
f
sin
)
(
-
не является корнем характеристическ
о-
го уравнения, значит, частное решение ищется в виде:
x
B
x
A
y
cos
sin
*
Задача сводится к нахождению неизвестных коэффициентов A
и В
. Вычислим первую и вторую производные частного решения:
x
B
x
A
y
sin
cos
*
,
x
B
x
A
y
cos
sin
*
.
66
Подставляем их в исходное уравнение:
x
B
x
A
x
B
x
A
x
B
x
A
cos
sin
2
sin
cos
3
cos
sin
={группируем отдельно элементы с sinx
и cosx
} =
B
A
B
x
A
B
A
x
2
3
cos
2
3
sin
x
A
B
x
B
A
cos
3
sin
3
Полученное выражение равно правой части -
x
sin
.
x
x
A
B
x
B
A
sin
cos
3
sin
3
Значит, коэффициент при x
sin
равен 1, коэффициен
т при x
cos
равен 0. Получаем систему:
0
3
1
3
A
B
B
A
Решая ее, получаем: ,
10
1
А
10
3
В
. Следовательно, частное решение:
,
cos
10
3
sin
10
1
*
x
x
y
а общее решение неоднородного уравнения записывает
ся в виде:
x
x
e
C
e
C
y
y
y
x
x
cos
10
3
sin
10
1
*
~
2
2
1
.
Описание простейших электрических цепей дифференциальными уравнениями
Сначала рассмотрим основные элементы цепи
.
Генератор
(
Е
)
:
Источник постоянного
o
Е
U
или переменного
t
Е
U
o
sin
напр
яже
ния
.
Сопротивление
(R)
:
67
Падение напряжения на сопротивлении по закону Ома ,
IR
U
R
где I
–
ток, проходящий через сопротивление.
Катушка индуктивности
(L)
:
Падение напряжения на катушке зависит от скорости измен
ен
ия
прот
е-
кающего тока I
L
U
L
.
Конденсатор (с)
Если конденсатор имеет заряд q
, то падение напряжение на нем c
q
U
c
С
огласно второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений всех участков замкнутого контура равна нулю
. Применительно к сх
емам с источниками ЭДС, второй закон Кирхгофа можно формулировать т
а
ким образом: алгебраическая сумма напряжений на резистивных эл
е
ментах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, вх
о
дящих в этот контур.
П
ример
:
В схему включены: генератор
,
кату
ш
ка индуктивности L
и конденсатор емкостью с
и с начальным зарядом 0
)
0
(
q
. В момент времени 0
t
сх
е
ма включается. Написать уравнение схемы и определить изменение зар
я
да конденсатора при 0
t
в двух сл
учаях:
1) генератор постоянного напряжения ;
o
U
U
2) генератор переменного напряжения ;
sin
t
U
U
o
Решение
:
По второму закону Кирхгофа схема описывается следующим уравнен
и
ем:
68
)
(
t
U
c
q
I
L
.
Производная от заряда –
эт
о ток: I
q
I
q
.
Тогда уравнение относительно q
принимает вид:
)
(
t
U
c
q
q
L
.
Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Сначала найдем общее решение однородного уравн
е-
ния
0
c
q
q
L
.
Характеристическое уравнение:
Lc
i
k
Lc
k
c
Lk
1
1
0
1
2
,
1
2
2
Уравнение имеет два комплексно сопряженных корня, его общее решение
t
Lc
C
t
Lc
C
q
1
cos
1
sin
~
2
1
Это решение описывает собственные колебания системы. Если бы в сх
е-
ме не было генератора, оно бы полностью
описывало поведение системы.
Однако, в системе есть генератор, который делает дифференциальное уравнение неоднородным. Найдем его частное решение *
q
. Решим о
т-
дельно два случая.
1) В случае генератора постоянного напряжения
неоднородно
сть имеет вид o
U
x
f
)
(
,
частное решение ищем в виде A
q
*
, const
A
, .
0
*
*
q
q
Подставим его в ура
в
нение:
o
U
c
q
Lq
*
*
,
c
U
A
q
U
c
A
o
o
*
-
частное решение.
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения -
:
*
~
q
q
q
c
U
t
Lc
C
t
Lc
C
t
q
o
1
cos
1
sin
)
(
2
1
.
69
Осталось найти константы 1
С
и 2
С
. Вспомним начальные условия: в момент времени 0
t
конденсатор разряжен -
.
0
)
0
(
q
c
U
C
c
U
C
q
o
o
2
2
0
)
0
(
Ток в начальный момент тоже не идет -
0
)
0
(
)
0
(
q
I
.
t
Lc
Lc
C
t
Lc
Lc
C
t
q
1
sin
1
1
cos
1
)
(
2
1
,
0
0
)
0
(
1
1
C
Lc
C
q
.
В итоге получаем ответ:
c
U
t
Lc
c
U
t
q
o
o
1
cos
)
(
2) В случае генератора переменного напряжения неодно
родность имеет вид t
U
x
f
o
sin
)
(
. Этот случай сложнее предыдущего. Возможны два варианта.
a
) Число i
не является корнем характеристического ура
в-
нения, т. е. Lc
1
. Частное решение ищется в виде
t
B
t
A
q
cos
sin
*
.
Вычислим его вторую производную и подставим в уравнение:
t
B
t
A
q
sin
cos
*
,
t
B
t
A
q
cos
sin
*
2
2
,
t
U
c
t
B
t
A
t
B
t
A
L
o
sin
cos
sin
cos
sin
2
В правой части выделим члены с t
sin
и t
cos
:
t
U
c
B
LB
t
c
A
LA
t
o
sin
cos
sin
2
2
.
Коэ
ффициенты при t
sin
и t
cos
в правой и в левой части должны быть равны, поэтому:
70
0
2
2
c
B
LB
U
c
A
LA
o
Откуда: c
L
U
A
o
1
2
, .
0
B
Частное решение: 2
1
sin
*
L
c
t
U
q
o
Общее решение: 2
2
1
1
sin
1
cos
1
sin
)
(
L
c
t
U
t
Lc
C
t
Lc
C
t
q
o
Для определения констант 1
С
и 2
С
подставим начальные условия.
Начальный заряд конденсатора равен нулю:
0
)
0
(
2
C
q
Начальный ток равен нулю:
2
1
1
cos
1
cos
)
(
)
(
L
c
t
U
t
Lc
Lc
C
t
q
t
I
o
0
1
)
0
(
2
1
L
c
U
Lc
C
I
o
c
L
Lc
U
С
o
1
2
1
Подставляя найденные значения констант в выражение )
(
t
q
получим итоговый ответ:
2
2
1
sin
1
sin
1
)
(
L
c
t
U
t
Lc
c
L
Lc
U
t
q
o
o
71
б) Если число i
является корнем характеристического ура
в-
нения, т. е. Lc
1
, частное решение ищется в виде
)
cos
sin
(
*
t
B
t
A
t
q
.
Такой случай называется резонансом. В связи с большим объемом вычи
с-
лений, более подробно рассматривать его не будем.
[2], Гл. X
, §§
47
-
48
Контрольные
вопросы по теме 5.2
1.
К
акие урав
нени
я
относятся к линейным уравнениям II
порядка с п
о
стоянными коэффициентами?
2.
Какие уравнения называются однородными?
3.
Что такое характеристическое уравнение?
4.
Как записывается общее решение, если характеристическое уравнение имеет 2 действительных корня?
5.
Как записывается общее решение, если характеристическое уравнение имеет 1 действительный корень?
6.
Как записывается общее решение, если характеристическое уравнение имеет 2 комплексных корня?
7.
Какова общая структура решения неоднородного линейного уравнения?
8.
Как ищется частное решение уравнения с правой частью вида x
n
e
x
P
)
(
?
9.
Как ищется частное решение уравнения с правой частью в
и
да )
sin
)
(
cos
)
(
(
x
x
Q
x
x
P
e
m
n
x
?
10.
Как записываются дифференциальные уравнения для просте
й-
ших электрических цепей?
В
АРИАНТ КО
НТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №
5
С РЕШЕНИЯМИ
1. Решить уравнение с разделяющимися переменными
2. Решить однородное уравнение
Тема 5.3. Числовые ряды
72
Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Дост
а
точные признаки сходимости рядов с положительными членам: призна
к
и
Дала
м-
бера
и Коши
, интегральный признак
, признаки сравнения рядов. Р
я
ды Дирихле. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость. Пр
и
знак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
Основные определения
Сумма членов бесконечной числовой последо
вательн
о
сти
,...
,...,
,
2
1
n
u
u
u
называется числовым рядом
.
При этом числа
,...
,...,
,
2
1
n
u
u
u
будем называть членами ряда, а u
n
–
общим членом ряда.
Суммы
n
i
i
n
n
u
u
u
u
S
1
2
1
...
,
n
= 1, 2, …
называются частичными
суммами ряда
.
Таким образом, можно рассматривать последовательности части
ч
ных сумм ряда S
1
, S
2
, …,
S
n
, …
Ряд
1
2
1
...
...
i
i
n
u
u
u
u
называется сходящимся
, если сходитс
я последовательность его частичных
сумм. Сумма сходящегося ряда
–
предел последовательности его час
т
ичных
сумм.
Если последовательность частичных
сумм ряда расх
о
дится, т.е. не имеет предела, или имеет беск
онечный предел, то ряд называется расх
о-
дящи
м
ся
,
и суммы
не имеет
.
Примеры:
1) Ряд 0 + 0 + 0 + … + 0 + …
очевидно сходится и его сумма равна 0.
2) Ряд 1 + 1 + 1 + …+ 1 +…
расходится, т. к. его частичные суммы ®
n
S
n
.
3) Ряд 1 –
1 + 1 –
1 +
…
+ 1
-
…
расходится
, т. к. последовательность его час
тичных сумм имеет вид 1, 0, 1, 0,… и предела не имеет.
73
4) Ряд 0
2
1
...
8
1
4
1
2
1
1
n
n
представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии
. Этот ряд сходится и его сумма равна 2
.
Свойст
ва рядов
1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится,
если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.
2) Если ряд
n
u
сходится и его сумма равна S
, то ряд n
Cu
(
С
–
постоянное число
)
тоже сх
оди
т
ся, и его сумма равна С
S
.
3) Рассмотрим два ряда
n
u
и
n
v
. Суммой
или разностью
этих рядов будет называться ряд
n
n
v
u
, где элементы получены в р
е-
зультате сложения (вычитания) исходных элементов
с одинаковыми н
о-
мерами.
Если ряды n
u
и
n
v
сходятся и их суммы равны соответстве
н-
но S
и , то ряд n
n
v
u
тоже сходится и его сумма ра
в
на S
+ .
Необходимое условие сходимости рядов
Если ря
д n
u
сходится, то необходимо, чтобы общий член u
n
стреми
л-
ся к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно гов
о-
рить только о том, что если общий чле
н не стремится к нулю, то ряд то
ч-
но расх
одится. Например,
гармонический ряд
1
1
...
4
1
3
1
2
1
1
n
n
является расходящи
м
ся
, хотя его общий член и стремится к нулю.
Это очень важный факт!
Пример
:
Исследовать сходимость ряда Исследуем общий член ряда: найдем
74
0
3
1
1
3
lim
®
n
n
n
Н
еобходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходи
т-
ся.
Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами
Здесь будем рассма
тривать только ряды с неотрицательными членами n
u
и
n
v
: u
n
, v
n
0
.
1) Признак сравнения
Пусть даны два ряда
n
u
и
n
v
Если u
n
v
n
при любом n
, то из сходимости ряда n
v
следует сход
и-
мость ряда n
u
, а из расходимости ряда
n
u
следует расх
о
димость ряда
n
v
Пример
ы
:
1) Исследовать на сходимость ряд Т.к. n
n
1
ln
1
, а гармонический ряд
n
1
расходится, то ра
с
ходится и ряд n
ln
1
.
2) Исследовать
на сходимость ряд 1
2
1
n
n
n
Т.к. n
n
n
2
1
2
1
, а ряд
n
2
1
сходится (
как убывающая геометрическая пр
о
грессия), то ряд
1
2
1
n
n
n
тоже сходится.
2) Признак Даламбера
Пусть дан ряд n
u
и существует предел l
u
u
n
n
n
®
1
lim
. Тогда, если ,
1
l
то ряд сходится, а если 1
l
, то ряд расходится.
75
При 1
l
ряд может как сходится, так и расходится.
Примеры:
Исследовать на сходимость ряды
1) 1
!
1
n
n
; n
n
...
3
2
1
!
Вычисляем со
отношение
1
0
1
1
)!
1
(
!
!
1
)!
1
(
1
1
®
n
n
n
n
n
u
u
n
n
Следовательно, по признаку Даламбера, ряд сходится.
2) 1
2
2
n
n
n
Вычисляем соотношение
1
2
1
2
)
1
(
2
2
2
:
)
1
(
2
2
2
2
1
2
2
1
1
®
n
n
n
n
n
n
u
u
n
n
n
n
n
n
Следовательно, по признаку Даламбера, ряд расходится.
3
) Признак Коши
Пусть дан ряд n
u
и существует предел l
u
n
n
n
®
lim
. Т
о
гда, если ,
1
l
то ряд сходится, а если 1
l
, то ряд расходится.
При 1
l
ряд может как сходится, так и расходится.
Пример:
Исследовать сходим
ость ряда
Вычисляем предел
Следовательно, по признаку Коши, ряд сходится.
4
) Интегральный пр
изнак
76
Допустим, есть ряд n
u
и функция )
(
x
f
, связанная с членами ряда n
u
n
f
)
(
. Тогда, если сходится несобственный интеграл 1
)
(
dx
x
f
, то сходится и ряд. Если интеграл расходящийся, то рас
ходится и ряд.
Интегральный признак позволяет доказать расходимость гармонического ряда 1
1
n
n
. Этому ряду соответствует функция x
x
f
1
)
(
. Соответс
т-
вующий ей несобственный интеграл 1
1
dx
х
расходится, т. к.
®
1
1
ln
1
x
dx
х
Пример:
Исследовать сходимость ряда 1
2
1
n
n
.
Этому ряду соответствует интеграл 1
2
1
dx
х
.
1
1
1
1
1
1
1
1
2
х
dx
х
интеграл сходится, а значит, ряд тоже сходится.
Вообще, ряды вида
1
1
n
p
n
сходятся при 1
p
и расходятся при 1
p
.
Знакопеременные ряды
Знакочередующийся ряд можно записать в виде:
где ,
0
n
u
...
3
,
2
,
1
n
Вопрос о сходимости таких рядов позволяет решить признак Лей
б-
ница
.
Если у знакочередующегося р
я
да
77
абсолютные величины n
u
убывают
...
3
2
1
u
u
u
и общий член 0
®
n
u
при ®
n
, то ряд сходится.
Пример:
Исследовать сходимость ряда
...
4
1
3
1
2
1
1
Абсолютные величины членов ряда убывают ...
4
1
3
1
2
1
1
и стремятся к нулю, следовательно, по признаку Лейбница, ряд сходится
Абсолютная и условная сходимость рядов
Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвол
ь-
ных знаков).
и ряд, составленный из аб
солютных величин членов ряда
:
Очевидно, элементы второго ряда больше первого, поэтому, если сходи
т-
ся второй ряд, то первый также сходится.
Знакопере
менный р
яд n
u
называется
абсолютно сходящимся
, е
с-
ли сходится ряд
, с
о
ставленный из модулей
-
n
u
.
Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и а
б-
солютной сходимости совпадают.
Ряд n
u
называется условно сходящимся
, если он сх
о
дится, а
ряд
n
u
расходится.
Примеры:
Рассмотренный выше ряд
...
4
1
3
1
2
1
1
сходится условно
, т. к. составленный из модулей ряд
78
1
1
...
4
1
3
1
2
1
1
n
n
расходится (как гармоничес
кий ряд).
Ряд
1
2
1
1
)
1
(
...
16
1
9
1
4
1
1
n
n
n
сходится абсолютно, т. к. его ряд из абсолютных значений 1
2
1
n
n
также сходится (доказано при рассмотрении интегрального признака сходим
о-
сти рядов).
Функциональные ряды. Степенные ряды
Если членами ря
да будут не числа, а функции, то ряд называется фун
к-
циональным
.
1
2
1
...
)
(
...
)
(
)
(
)
(
n
n
n
x
u
x
u
x
u
x
u
Подставляя вместо х
определенное значение х
о
, получаем числовой ряд:
1
2
1
...
)
(
...
)
(
)
(
)
(
n
о
n
о
о
о
n
x
u
x
u
x
u
x
u
Этот ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Исследование на с
ходимость функциональных рядов сложнее исслед
о-
вания числовых рядов. Один и тот же функци
о
нальный ряд может при одних зна
чениях
х
сходиться, а при других –
расходиться. Поэтому в
о-
прос сходимости функциональных рядов сводится к определ
е
нию тех значений перем
енной х
, при которых ряд сходится. Если ряд сходится при о
х
х
, то точка х
о
называется точкой сходимости
функциональн
о-
го ряда. Совокупность всех точек сходимости
называется областью сх
о-
дим
о
сти
.
Среди функциональных рядов особую роль играю
т степенные ряды, к
о-
торые используются для приближенного вычисления функций (ряды Тейлора и Маклорена) и интегралов, решения дифференциальных ура
в-
нений и др.
Степенным рядом называется функциональный ряд в
и
да
79
где ,...
,
,
3
2
1
а
а
а
-
действительные числа, коэффициенты степенного р
я-
да
.
Рассматриваются также ряды по степеням )
(
о
х
х
0
2
2
1
)
(
...
)
(
)
(
n
n
o
n
о
о
о
x
x
a
х
х
а
х
х
а
а
,
где o
x
-
некоторое число.
Вопр
ос о сходимости степенных рядов очень важен. Область сходимости степенного ряда обладает некоторыми замечательными свойствами.
Для каждого степенного ряда существует такое положительное число R
, что при всех х
таких, что
R
х
ряд абсолют
но сх
о
дится, а при всех R
х
ряд расходится. При этом число R
называется радиусом сходим
о-
сти
. Интервал (
-
R
, R
)
называется интервалом сход
и
мости
.
Для решения вопросы о сходимости на границах интервала необходимо проводить д
о-
полнительные и
сследования степенного ряда.
Радиус сходимости вычисляется по формуле 1
lim
®
n
n
n
a
a
R
или n
n
n
a
R
®
lim
1
Для рядов по степеням )
(
о
х
х
центр интервала сходимости смещается в точку o
x
-
R
x
R
х
o
о
;
.
Примеры:
Найти интервалы сходимости рядов:
1) 0
!
n
n
n
x
Коэффициенты ряда: !
1
n
а
n
Вычислим радиус сходимости
®
®
®
®
!
)!
1
(
lim
)!
1
(
1
!
1
lim
lim
1
n
n
n
n
a
a
R
n
n
n
n
n
Радиус сходимости бесконечен, следовательно, ряд сходится на всей ч
и-
словой оси.
80
2) 1
1
2
)
1
(
n
n
n
n
x
Это ряд по степеням )
1
(
x
, значит
, центром области сходимости будет то
ч
ка 1
o
x
.
Коэффициенты ряда: 1
2
1
n
n
n
a
Радиус сходимости:
®
®
®
1
1
1
2
2
)
1
(
lim
2
)
1
(
1
:
2
1
lim
lim
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
R
2
1
2
lim
®
n
n
n
.
След
овательно, интервал сходимости ряда -
)
1
;
3
(
Тригонометрические ряды Фурье
[2], Гл. XIII
Знать: определение сходимости числового ряда, необходимый и дост
а
точные признаки сходимости числовых рядов; признаки сравне
ния рядов; что такое а
бсолютно и условно сходящиеся ряды; признак Лей
б-
ница сходимости знакочередующегося ряда.
Уметь: пользуясь вышеупомянутыми признаками, устанавливать сход
и
мость или расходимость рядов с положительными членами и зна
-
кочередующихся рядов.
Тема 5.4
. Понятие о функциональном ряде. Мажорируемые функци
о-
нальные ряды. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тей
лора и Макл
о-
рена. Применение степенных рядов в приближенных вы
числениях. Тр
и-
гонометрические ряды. Ряд Фурье. Условия разложения периодич
е
ской функции в сходящий
ся ряд Фурье. Понятие о гармони
ческом анал
и
зе.
[2], Гл. XIV, XV
Знать: какой ряд называется функциональным; область схо
димости функционального ряда; что такое степенной ряд; теорему Абеля, каковы область и радиус сходимости степенного ряда; ряды Тейлора
и Маклор
е-
на, условия разложимости периодической функции в сходящийся ряд Фурье; предмет гармонического анализа.
81
Уметь: находить область сходимости степенного ряда; раз
лагать элементарные функции в ряд Маклорена; разлагать функцию в ряд Ф
у-
рье.
Э
КЗАМЕНАЦ
ИОННЫЕ ВОПРОСЫ
1.
Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства. Таблица инт
е-
гралов.
2.
Интегрирование функций, метод замены переменной, метод интегр
и-
рования по частям.
3.
Интегрирование рациональных дробей и тригонометрических фун
к-
ций.
4.
Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона
-
Лейбница.
5.
Вычисление площадей, длин и объемов фигур при помощи опред
е-
ленного интеграла.
6.
Несобственные интегралы I
и II
рода. Сходимость и расход
и
мость.
7.
Дифференциальное уравнение, его порядок. Общее и частное
решения дифферен
циального уравнения первого и второго поря
д-
ков.
Интегральные кривые. Задача Коши.
8.
Уравнения первого порядка с разделяющимися переменн
ы
ми.
9.
Однородные дифференциальные уравнения первого п
о
рядка.
10.
Линейные дифференциальные уравнения первого поря
д
ка.
11.
Дифференци
альные уравнения второго порядка, явно не соде
р-
жащие искомой функции.
12.
Дифференциальные уравнения второго порядка, явно не соде
р-
жащие независимой переменной.
13.
Теорема о структуре общего решения линейного дифф
е
ренци
-
ального уравнения второго порядка.
14.
Общее ре
шение линейного дифференциального уравнения вто
рого порядка с постоянными коэффициентами без пр
а
вой части.
15.
Методы отыскания частного решения линейного диффере
н
ци
-
ального уравнения второго порядка с постоянными коэффицие
н-
тами.
16.
Понятие числового ряда. Част
ичные суммы. Определение схо
-
дящихся и расходящихся рядов. Сумма ряда.
17.
П
ризнак
и
сходимости числовых
рядов
.
18.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Пр
и-
знак Лейбница. 19.
Функциональные ряды. Область сходимости. Мажорируе
мые фун
к-
циональные ряды.
20.
Теоремы о почленном интегрировании и дифференциров
а
нии
функциональных рядов.
82
21.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости.
22.
Ряды Фурье. Теорема о разложении функции в сходящи
й
ся
ряд Фурье. Разложение функций в ряд Фурье только по синусам или
только по косинусам.
23.
Связь между функцией и суммой её ряда Фурье.
83
Формат 60
×90 1/16. Тираж 50.
Производственно
-
торговая фирма Московского института энергобезопасн
о
сти и энергосбережения.
105043, Москва, ул. 4
-
я Парковая, д. 27, тел. 965
-
3790, 652
-
2412, факс
965
-
3846.
www.miee
n
.
ru
, e
-
mail: ptf@mieen.ru
Автор
denisov.vinskiy
Документ
Категория
Методические пособия
Просмотров
1 302
Размер файла
17 922 Кб
Теги
Денисов-Винский, Denisov-Vinskiy
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа