close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Алгебра и геометрия в таблицах и схемах. Райбул С.В. (www.PhoenixBooks.ru)

код для вставкиСкачать
--
«»
2012
« »
.. УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я729
КТК 444
Р18
Райбул С.В.
Алгебра и геометрия в таблицах и схемах / С.В. Рай-
бул. — Изд. 3-е. — Ростов н/Д : Феникс, 2012. — 190, [1] с. — (Без репетитора).
ISBN 978-5-222-19621-2
Книга содержит все справочные материалы по алгебре, нача-
лам математического анализа и геометрии за курс средней школы.
Данное справочное пособие предназначено прежде всего для выпускников средних общеобразовательных школ и абиту-
риентов, студентов ВТУЗов, а также для учителей, преподавате-
лей вузов.
ISBN 978-5-222-19621-2 УД
К 373.167.1:51
ББК 22.1я729
Р18
© Райбул С.В., текст, 2010
© ООО «Феникс», оформление, 2012
Подписано в печать 21.03.2012.
Формат 84×108 1/32. Б
умага типографская № 2. Тираж 2 500 экз. Заказ № .
ООО «Феникс»
344082, г. Р
остов-на-Дону, пер. Халтуринский, 80
E-mail: morozovatext@aaanet.ru
Оксана Мо ро зо ва,
Наталья Калиничева
Галина Лог ви но ва
Ответственные редакторы
Технический редактор
РАЙБУЛ Светлана Владимировна
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ В ТАБЛИЦАХ И СХЕМАХ
Серия «Без репетитора»Серия «Без репетитора»
3
АЛГЕБРА
АЛГЕБРА
ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА
Действительные числа (R) — числа, которые можно предста-
вить в виде бесконечной десятичной дроби
Рациональные числа (Q)
Можно представить в виде не-
сократимой дроби m
n
, где m — целое число, n — натуральное число.
Представляются в виде конеч-
ной или бесконечной периоди-
ческой десятичной дроби 1
3
0 333 0 3 ,...,( )
.
Иррациональные числа
Нельзя представить в виде дро-
би m
n
, где m — целое число, n — натуральное число.
Представляются в виде беско-
нечной непериодической де-
сятичной дроби 2 1 4142135,...
Рациональные числа
Целые числа (Z)
Включают натуральные чис-
ла, числа, им противополож-
ные, и число 0.
Дробные числа
Числа, состоящие из целого числа долей единицы.
Целое число (Z)
Натураль-
ные числа (N)
{1;2;3;4...}.
Число 0
Такое число, что любое число при сложении с ним не меняется
a + 0 = 0 + a = a.
Целые отрицатель-
ные числа
Числа, противополож-
ные натуральным
{...–3;–2;–1}.
N Z Q R 4 Алгебра и геометрия в таблицах и схемах
Основные свойства числовых равенств и неравенств
Равенством называется выражение, содержащие знак равенства (=).
Равенство бывает верным или неверным. Например, 2 + 2 =4 (верное равенство), 3 – 1 = 5 (неверное равенство).
Неравенством называется выражение, содержащие знак сравнения (<, >, , ).
Неравенство бывает верным или неверным. Например, 2 + 1 4 (верное неравенство), 3 – 1>5 (неверное неравенство).
Свойства числовых равенств
Свойства числовых неравенств
1 2
1. Если а = b, то b = a 1. Если a > b, то b < a
2. Если a = b и b = c, то a = c
(транзитивность равенства)
2. Если a > b и b > c, то a > c
(транзитивность неравенства)
3. Если a = b, то a + c = b + c 3. Если a > b, то a + c > b + c
4. Если a = b и c = d, то a + c = b + d
4. Если a > b и c > d,
то a + c > b + d
5. Если а = b и с ≠ 0, то ac = bc 5. a) Если а > b и с > 0, то ac > bc
б) Если а > b и с < 0, то ac < bc
6. Если a = b и c = d, то ac = bd 6. Если a > b (a > 0, b > 0) и
с > d (c > 0, d > 0), то ac > bd
7. Если a = b, то a
n
= b
n
7. a) Если a > b (a > 0, b 0), то a
2k
> b
2k
б) Если a > b, то a
2k+1
> b
2k+1
5
Алгебра
1 2
8. a) Если a = b (a 0, b 0), то a b
k
k
2
2
б) Если a = b, то a b
k
k
2 1
2 1
8. a) Если a > b (a > 0, b > 0), то a b
k
k
2
2
б) Если a > b, то a b
k
k
2 1
2 1
9. Если a = b, a ≠ 0, b ≠ 0, то
1 1
a b
9. Если a > b (a > 0, b > 0), то
1 1
a b
10. ab = 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множи-
телей равен нулю (a = 0 или b = 0)
10. a) ab > 0 тогда и только то-
гда, когда a > 0 и b > 0 или a < 0 и b < 0
б) ab < 0 тогда и только тогда, когда a > 0 и b < 0 или a < 0 и b > 0
11. a
b
0
тогда и только тогда, когда a = 0 и b ≠ 0
11. a) a
b
0
тогда и только тогда, когда a > 0 и b > 0 или a < 0 и b < 0
б) a
b
0
тогда и только тогда,
когда a > 0 и b < 0 или a < 0 и b > 0
Некоторые основные понятия и неравенства
Среднее арифметическое
A
n
= a a a
n
n1 2
...
a
1
, a
2
, …, a
n
— любые числа
Среднее геометрическое
G
n
= a a a
n
n
1 2
...
a
1 0; a
2 0; …; a
n 0
6 Алгебра и геометрия в таблицах и схемах
Неравенство Коши
a b
ab
2
a 0; b 0
a b c
abc
2
a 0; b 0; c 0
a a a
n
a a a
n
n
n
1 2
1 2
...
...
a
1
0; a
2
0; …; a
n
0
Оценка суммы двух взаимно обратных чисел
Если a > 0, то a + 1
2
a
.
Сумма двух взаимно обрат-
ных положительных чисел больше или равна 2 (причем равенство достигается толь-
ко при a = 1).
Если b < 0, то b
b
1
2
.
Сумма двух взаимно обрат-
ных отрицательных чисел меньше или равна (–2) (при-
чем равенство достигается только при b = –1).
Оценка суммы квадратов трех чисел
Для любых a, b, c
a
2
+ b
2
+ c
2
ab + ac + bс
Неравенство Бернулли
Для любого действительного числа a > 0 и любого рацио-
нального r > 0
(1 + a)
r
> 1 + ra
7
Алгебра
Неравенство Коши–Буняковского
Для любых действительных чисел a
1
, a
2
, …, a
n
, b
1
, b
2
, …, b
n
(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ … + a
n
b
n
)
2
(...)(...)a a a b b b
n n1
2
2
2 2
1
2
2
2 2
Равенство достигается тогда и только тогда, когда a
i
и b
i
пропорциональны (если эти числа не равны нулю, то это значит, что a
b
a
b
a
b
n
n
1
1
2
2
...
, а если какие-то из этих чисел равны
нулю, то пропорциональность обозначает, что суще-
ствует такое число λ ≠ 0, что (a
1 = λb
1
, a
2 = λb
2
, …, a
n = λb
n
).
Модуль числа и его свойства
Определение. Модулем положительного числа на-
зывается само это число, модулем отрицательно-
го числа называется число, ему противополож-
ное, модуль нуля равен нулю.
Примеры
| –7 | = 7; | 9 | = 9;
| 0 | = 0; | a
4 | = a
4
; (так как a
4
0)
| a | = p
0
0
0
0 0
0 0
0
a a
a a
a a
a
a a a a
a a
8 Алгебра и геометрия в таблицах и схемах
Геометрический смысл модуля
b a
| | |
B О A
| a | = OA; | b | = OB
| a – b | = AB
На координатной прямой мо-
дуль — это расстояние от на-
чала координат до точки, изо-
бражающей данное число.
Модуль разности двух чисел a и b — это расстояние меж-
ду точками a и b на коорди-
натной прямой.
Свойства
1. | a | 0
Модуль любого числа — неотрицательное число.
2. | –a | = | a | Модули противоположных чисел равны.
3. a | a |
Величина числа не превосхо-
дит величины его модуля.
4. | a · b | = | a | · | b | Модуль произведения равен произведению модулей со-
множителей.
5. a
b
a
b
(b ≠ 0)
Модуль дроби равен модулю числителя, деленному на мо-
дуль знаменателя (если модуль знаменателя не равен нулю).
6. | a
n
| = | a |
n
7. | a |
2
= a
2
8. | a |
2k
= a
2k
9
Алгебра
9. | a + b | | a | + | b |
| a
1
+ a
2
+ … + a
n
| | a
1
| + + | a
2
| + … + | a
n
|
Модуль суммы не превосхо-
дит суммы модулей слагае-
мых.
10. | | a | – | b | | | a ± b | | a | + | b |
Проценты
Определение.
Процентом называется сотая часть целого (принимаемого за единицу).
1% от числа a = 1
100
a
Основные задачи на проценты
1. Нахождение процента от числа
p% от числа a= p
a
100
Пример. Найти 7% от числа 600.
Решение. 7
100
600 42 .
2. Нахождение числа по заданной величине его процента
Если p% от какого-то числа равно b, то все число равно:
b
p b
p
:.
100
100
Пример. Найти число, 40% кото-
рого равно 16.
Решение. Искомое число x есть решение уравнения:
40
100
16 x,
откуда x 16
40
100
40:.
10 Алгебра и геометрия в таблицах и схемах
3. Нахождение процентного отношения двух чисел
Число а составляет a
b
100%
от числа b.
Пример. Сколько процентов со-
ставляет число 25 от числа 200?
Решение. Искомое число процен-
тов x находим следующим об-
разом: x = 25
200
100 12 5 ,
(%).
ПРОПОРЦИИ
Определение.
Пропорцией называется верное ра-
венство двух числовых отношений (отношением называют частное от деления одного числа на другое).
a
b
c
d
или
a b c d a b c d ::(,,,)0
a и d — крайние члены про-
порции;
b и c — средние члены.
Каждый член пропорции на-
зывается четвертым пропор-
циональным по отношению к остальным трем.
Свойства
ad = bc Произведение крайних членов пропорции равно произведе-
нию ее средних членов.
a = bc
d
d
bc
a
;
Каждый крайний член пропор-
ции равен произведению ее средних, деленному на другой средний.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Тригонометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73
Комбинаторика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
Справочные таблицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
Планиметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120
Стереометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155
Таблица тригонометрических функций углов
от 0 до 90° через каждый градус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190
Автор
phoenixbooks
Документ
Категория
Методические пособия
Просмотров
595
Размер файла
705 Кб
Теги
phoenixbooks, www, www.phoenixbooks.ru, Книги издательства Феникс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа