close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Линейная алгебра учеб. пособие Скрыдлова Е.В. (www.PhoenixBooks.ru)

код для вставкиСкачать
Ñåðèÿ «Âûñøåå îáðàçîâàíèå»
Å. Â. Ñêðûäëîâà, Î. Î. Áåëîâà
ËÈÍÅÉÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ
Ó÷åáíîå ïîñîáèå
Äîïóùåíî ÓÌÎ ïî êëàññè÷åñêîìó óíèâåðñèòåòñêîìó
îáðàçîâàíèþ â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ
âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé, îáó÷àþùèõñÿ ïî íàïðàâëåíèþ
ïîäãîòîâêè 010100 «Ìàòåìàòèêà»
Ðîñòîâ-íà-Äîíó
åíèêñ
2012
www.phoenixbooks.ru
ÓÄÊ 512(075.8)
ÁÁÊ 22.143ÿ73
ÊÒÊ 111
Ñ45
Ðåöåíçåíò: À.À. Òóãàíáàåâ, ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. êàôåäðû
âûñøåé è ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè Ðîññèéñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî òîðãîâî-ýêîíîìè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà
Ñ45
Ñêðûäëîâà Å.Â.
Ëèíåéíàÿ àëãåáðà : ó÷åáíîå ïîñîáèå / Å. Â. Ñêðûäëîâà,
Î. Î. Áåëîâà. — Ðîñòîâ í/Ä : Ôåíèêñ, 2012. — 142 ñ. : èë. —
(Âûñøåå îáðàçîâàíèå).
ISBN 978-5-222-19713-4
Èçëàãàåòñÿ òåîðèÿ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ ñ åå ïðèëîæåíèÿìè ê
ðåøåíèþ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, òåîðèÿ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ,
â òîì ÷èñëå â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ, è ðàññìàòðèâàþòñÿ íàèáîëåå âàæíûå âîïðîñû òåîðèè áèëèíåéíûõ è êâàäðàòè÷íûõ ôîðì. Ïîäãîòîâëåíî â ñîîòâåòñòâèè ñ ãîñóäàðñòâåííûì ñòàíäàðòîì íà îñíîâå
ìíîãîëåòíåãî îïûòà ÷òåíèÿ ëåêöèé â ÁÔÓ èì. È. Êàíòà.
Ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ è ôèçèêî-òåõíè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé óíèâåðñèòåòîâ, ïðåïîäàâàòåëåé âóçîâ è êîëëåäæåé.
ISBN 978-5-222-19713-4
ÓÄÊ 512(075.8)
ÁÁÊ 22.143ÿ73
© Ñêðûäëîâà Å.Â., Áåëîâà Î.Î., 2012
© ÎÎÎ «Ôåíèêñ»: îôîðìëåíèå, 2012
www.phoenixbooks.ru
Ââåäåíèå
Ïðåäëàãàåìîå âíèìàíèþ ÷èòàòåëåé ó÷åáíîå ïîñîáèå ïîäãîòîâëåíî íà îñíîâå ìíîãîëåòíåãî îïûòà ÷òåíèÿ ëåêöèé â ÁÔÓ
èì. È. Êàíòà. Îíî ñîäåðæèò ïîäðîáíîå è ìàêñèìàëüíî äîñòóïíîå èçëîæåíèå ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîíÿòèé è àïïàðàòà ëèíåéíîé
àëãåáðû. Â ïÿòè ðàçäåëàõ êíèãè ðàññìîòðåíà òåîðèÿ n-ìåðíûõ
âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ ñ åå ïðèëîæåíèÿìè ê ðåøåíèþ ñèñòåì
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, îòðàæåíû îñíîâíûå âîïðîñû òåîðèè ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ, â òîì ÷èñëå â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ,
ïðèâåäåíû íàèáîëåå ñóùåñòâåííûå ôàêòû òåîðèè áèëèíåéíûõ è
êâàäðàòè÷íûõ ôîðì. Çà ðàìêàìè êíèãè îñòàâëåíû òåîðèÿ ìàòðèö è îïðåäåëèòåëåé, æîðäàíîâà íîðìàëüíàÿ ôîðìà, êîòîðûå
èçó÷àþòñÿ â êóðñå àëãåáðû, à òàêæå ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ
ëèíåéíîé àëãåáðû. Ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ I êóðñà, îáó÷àþùèõñÿ ïî íàïðàâëåíèþ 010100.62 «Ìàòåìàòèêà» â âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèÿõ Ðîññèè. Åãî ñîäåðæàíèå ñîîòâåòñòâóåò
òàêæå ïðîãðàììå âòîðîãî ñåìåñòðà êóðñà àëãåáðû äëÿ ñòóäåíòîâ,
îáó÷àþùèõñÿ ïî íàïðàâëåíèÿì 010400.62 «Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà», 010500.62 «Ìàòåìàòè÷åñêîå îáåñïå÷åíèå
è àäìèíèñòðèðîâàíèå èíôîðìàöèîííûõ ñèñòåì» è ñïåöèàëüíîñòè 090301.65 «Êîìïüþòåðíàÿ áåçîïàñíîñòü». Äëÿ ïîíèìàíèÿ èçëîæåííûõ âîïðîñîâ ñòóäåíòàì âñåõ ñïåöèàëüíîñòåé äîñòàòî÷íî
âëàäåòü ìàòåðèàëîì ïåðâîãî ñåìåñòðà êóðñà àëãåáðû.
Ïðè ïîäãîòîâêå ïîñîáèÿ áûëè èñïîëüçîâàíû øèðîêî èçâåñòíûå ó÷åáíèêè ïî àëãåáðå, íàïèñàííûå À.Ã. Êóðîøåì [8], À.È. Êîñòðèêèíûì [6, 7], Ï.Ñ. Àëåêñàíäðîâûì [1], À.È. Ìàëüöåâûì [9]
è äð. Ðåêîìåíäóåì ýòè ó÷åáíèêè è ñâîèì ÷èòàòåëÿì. Íóæíî èìåòü
â âèäó, ÷òî áîëüøèíñòâî íàçâàííûõ êíèã äîñòàòî÷íî îáúåìíû,
÷òî íå âñåãäà óäîáíî ïðè ïåðâîì çíàêîìñòâå ñ ïðåäìåòîì. Èõ
ëó÷øå èñïîëüçîâàòü äëÿ áîëåå äåòàëüíîé ïðîðàáîòêè ìàòåðèàëà.
www.phoenixbooks.ru
4
Ëèíåéíàÿ àëãåáðà
Àâòîðû áëàãîäàðíû äîêòîðó ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,
ïðîôåññîðó Ðîññèéñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî òîðãîâî-ýêîíîìè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà Àñêàðó Àêàíîâè÷ó Òóãàíáàåâó è êàíäèäàòó ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, äîöåíòó ÁÔÓ èì. È. Êàíòà Êàòåðèíå
Âàëåíòèíîâíå Ïîëÿêîâîé çà öåííûå çàìå÷àíèÿ, êîòîðûå ó÷òåíû
ïðè îêîí÷àòåëüíîé ðåäàêöèè ïîñîáèÿ.
Íàäååìñÿ, ÷òî ó÷åáíîå ïîñîáèå áóäåò ïîëåçíî ñòóäåíòàì ìàòåìàòè÷åñêèõ, à âîçìîæíî, è ôèçèêî-òåõíè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé ïðè èçó÷åíèè ëèíåéíîé àëãåáðû, íî óâåðåíû, ÷òî îíî íå ìîæåò çàìåíèòü îáùåíèÿ ñ ïðåïîäàâàòåëåì íà ëåêöèÿõ è ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèÿõ.
www.phoenixbooks.ru
Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ
∀
— êâàíòîð îáùíîñòè;
— çíàê ëîãè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ;
— çíàê ðàâíîñèëüíîñòè (ýêâèâàëåíòíîñòè);
def
— ðàâåíñòâî ïî îïðåäåëåíèþ;
⇒
⇔
=
{x; f(x) = y}
∈
⊂
I
— ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ x, ÷òî f(x) = y;
— çíàê ïðèíàäëåæíîñòè ýëåìåíòà ìíîæåñòâó;
— çíàê âêëþ÷åíèÿ ìíîæåñòâ, íå èñêëþ÷àþùèé
èõ ñîâïàäåíèÿ;
— êîíåö äîêàçàòåëüñòâà.
Âñå äðóãèå îáîçíà÷åíèÿ îáúÿñíÿþòñÿ â òåêñòå.
www.phoenixbooks.ru
I. ÂÅÊÒÎÐÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ
§ 1. Ïîíÿòèå âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà
Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî V ýëåìåíòîâ ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì (ëèíåéíûì) ïðîñòðàíñòâîì íàä
ïîëåì P, à ýëåìåíòû ýòîãî ìíîæåñòâà — âåêòîðàìè, åñëè äëÿ
íèõ âûïîëíåíû ñëåäóþùèå àêñèîìû:
I. Íà ìíîæåñòâå V çàäàíû äâå áèíàðíûå îïåðàöèè: îäíà
âíóòðåííÿÿ îïåðàöèÿ — ñëîæåíèå âåêòîðîâ, è îäíà âíåøíÿÿ îïåðàöèÿ — óìíîæåíèå âåêòîðîâ íà ýëåìåíòû ïîëÿ P.
ur uur uur
II. Ñëîæåíèå ëþáûõ âåêòîðîâ x1 , x2 , x3 ∈ V óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
ur uur uur ur
1) x1 + x2 = x2 + x1 (êîììóòàòèâíîñòü);
ur uur uur ur uur uur
2) ( x1 + x2 ) + x3 = x1 + ( x2 + x3 ) (àññîöèàòèâíîñòü);
r r r
r
3) ñóùåñòâóåò 0 ∈V (íóëåâîé âåêòîð), òàêîé, ÷òî x + 0 = x äëÿ
r
ëþáîãî x ∈V;
r
r
4) äëÿ êàæäîãî x ∈V ñóùåñòâóåò – x ∈V (ïðîòèâîïîëîæíûé
r
r
r
r
âåêòîðó x ), òàêîé, ÷òî x + (– x ) = 0 .
III. Óìíîæåíèå âñåõ âåêòîðîâ íà ïðîèçâîëüíûå ýëåìåíòû
ïîëÿ P óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
r
r
1) k1(k2 x ) = (k1k2) x (àññîöèàòèâíîñòü);
r
r
r
2) (k1 + k2) x = k1 x + k2 x (äèñòðèáóòèâíîñòü îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ ÷èñåë);
ur uur
ur
uur
3) k ( x1 + x2 ) = k x1 + k x2 (äèñòðèáóòèâíîñòü îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ);
r r
4) e x = x , ãäå e — åäèíèöà ïîëÿ P (óíèòàðíîñòü).
Çäåñü è äàëåå, ñëåäóÿ òðàäèöèÿì àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè,
âåêòîðû áóäåì îòìå÷àòü ñòðåëêîé.
www.phoenixbooks.ru
I. Âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà
7
 êà÷åñòâå ïîëÿ P ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèáî ïîëå R äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ëèáî ïîëå C êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.  ïåðâîì ñëó÷àå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî V íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíûì, à
âî âòîðîì ñëó÷àå — êîìïëåêñíûì. Ðîëü åäèíèöû e êàæäîãî èç
ýòèõ ïîëåé èãðàåò ÷èñëî 1. Îäíàêî ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü òåîðèè âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ ñïðàâåäëèâà äëÿ
ïðîèçâîëüíîãî ïîëÿ P.
Çàìå÷àíèå. Îïåðàöèè ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è óìíîæåíèÿ âåêòîðîâ íà ÷èñëà íàçûâàþò ëèíåéíûìè, ïîýòîìó âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà íàçûâàþòñÿ òàêæå ëèíåéíûìè.
Ñëåäñòâèÿ èç îïðåäåëåíèÿ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà
I. Ñâîéñòâà îïåðàöèè ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ îçíà÷àþò, ÷òî âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî V ÿâëÿåòñÿ àääèòèâíîé àáåëåâîé ãðóïïîé,
r
ñëåäîâàòåëüíî: íóëåâîé âåêòîð 0 â ïðîñòðàíñòâå V åäèíñòâår
r
íåí; ïðîòèâîïîëîæíûé âåêòîð – x äëÿ êàæäîãî âåêòîðà x ∈V
r
r
åäèíñòâåíåí; ïðîòèâîïîëîæíûì âåêòîðó – x ÿâëÿåòñÿ âåêòîð x .
 ïðîñòðàíñòâå V îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ âû÷èòàíèÿ
âåêòîðîâ, îáðàòíàÿ ïî îòíîøåíèþ ê îïåðàöèè ñëîæåíèÿ:
ur uur ur
uur
x1 − x2 = x1 + (− x2 ) .
II. Îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ âåêòîðîâ íà ÷èñëà óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì:
r r
1. k 0 = 0 , ∀ k ∈P.
r r
r
r
r
r
Äåéñòâèòåëüíî, k x = k( x + 0 ) = k x + k 0 , ∀ x ∈V. Çíà÷èò, âåêr
òîð k 0 èãðàåò ðîëü íóëåâîãî âåêòîðà, êîòîðûé â ïðîñòðàíñòâå V
åäèíñòâåíåí.
r r
r
2. 0 · x = 0 , ∀ x ∈V.
r
r
Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ñâîéñòâó èìååì k x = (k + 0) x =
r
r
r
= k x + 0 x , ∀ k ∈P.  äàííîì ñëó÷àå íóëåâûì îêàçàëñÿ âåêòîð 0 x.
r r
r r
3. Åñëè k x = 0 , òî èëè k = 0, èëè x = 0 .
 ñàìîìräåëå, åñëè k ≠ 0, òî ñóùåñòâóåò
k–1. Óìíîæèâ îáå ÷àñòè
r
r
r
r r
ðàâåíñòâà k x = 0 íà k–1, ïîëó÷èì k–1(k x ) = k–1 · 0, îòêóäà x = 0.
www.phoenixbooks.ru
8
Ëèíåéíàÿ àëãåáðà
r
r
4. (–k) x = –k x .
r
r
r
r r
Äåéñòâèòåëüíî, (–k) x + k x = (–k + k) x = 0 · x = 0 . Ñëåäîâàr
r
òåëüíî, âåêòîðû (–k) x è k x ïðîòèâîïîëîæíû.
r
r
5. k(– x ) = –k x .
r
r
r r
r r
Äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî: k(– x ) + k x = k(– x + x ) = k · 0 = 0 .
r
r
r
6. (k1 – k2) x = k1 x – k2 x .
r
r
r
r
r
r
 ñàìîì äåëå, (k1 – k2) x = (k1 + (–k2)) x = k1 x + (–k2) x = k1 x – k2 x .
ur uur
ur
uur
7. k ( x1 − x2 ) = k x1 − k x2 .
ur uur
ur
uur
Äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî: k ( x1 − x2 ) = k ( x1 + (− x2 )) =
ur
uur
ur
uur
= k x1 + k (− x2 ) = k x1 − k x2 .
Ïðèìåðû âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ
Íåïîñðåäñòâåííàÿ ïðîâåðêà âñåõ óñëîâèé îïðåäåëåíèÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî âåêòîðíûìè ïðîñòðàíñòâàìè ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå
ìíîæåñòâà:
1. Âñå íàïðàâëåííûå îòðåçêè, ïðèíàäëåæàùèå îäíîé ïðÿìîé
è èñõîäÿùèå èç îäíîé òî÷êè ýòîé ïðÿìîé.
2. Âñå íàïðàâëåííûå îòðåçêè, ïðèíàäëåæàùèå îäíîé ïëîñêîñòè è èñõîäÿùèå èç îäíîé òî÷êè ýòîé ïëîñêîñòè.
3. Âñå íàïðàâëåííûå îòðåçêè òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà, èñõîäÿùèå èç îäíîé òî÷êè.
 ýòèõ òðåõ ïðèìåðàõ îïåðàöèè ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è óìíîæåíèÿ âåêòîðîâ íà äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà îñóùåñòâëÿþòñÿ, êàê â àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè (èñïîëüçóåòñÿ ïðàâèëî ïàðàëëåëîãðàììà).
Ñëåäóþùèå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà ðàññìîòðèì íàä ïîëåì P
(äåéñòâèòåëüíûõ èëè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë).
4. Ìíîæåñòâî âñåõ ïðÿìîóãîëüíûõ ìàòðèö îäíîãî è òîãî æå
òèïà ñ ýëåìåíòàìè èç ïîëÿ P:
V = { A = (aiα ); aiα ∈ P, α = 1, s, i = 1, n} .
5. Ìíîæåñòâà ñòðî÷íûõ èëè ñòîëáöîâûõ ìàòðèö îäíîé è òîé
æå äëèíû n. Ýòè ïðîñòðàíñòâà íàçûâàþòñÿ n-ìåðíûìè àðèôìåòè÷åñêèìè è îáîçíà÷àþòñÿ Pn:
www.phoenixbooks.ru
I. Âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà
9
 a1 

 2 

 a

Pn =   ; a i ∈ P, i = 1, n 
 ... 
 
.
n


 a 



Äåéñòâèòåëüíîå àðèôìåòè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî Rn è êîìïëåêñíîå àðèôìåòè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî Cn íàçûâàþòñÿ òàêæå êîîðäèíàòíûìè.
6. Ìíîæåñòâî âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ îò îäíîãî íåèçâåñòíîãî ñ êîýôôèöèåíòàìè èç ïîëÿ P ñòåïåíè, íå ïðåâîñõîäÿùåé çàäàííîãî
÷èñëà n:
V = {f(x); f(x) ∈ P[x], deg f(x) ≤ n}.
7. Ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç åäèíñòâåííîãî, íóëåâîãî âåêòîðà, òàêæå óäîâëåòâîðÿåò îïðåäåëåíèþ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà.
r
Ýòî ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ íóëåâûì: V = { 0 }.
§ 2. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü âåêòîðîâ
Ïóñòü V — âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì P (êîìïëåêñíûõ èëè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë),
uur uur uur
(2.1)
a1 , a2 ,..., as
— íåêîòîðûå âåêòîðû ýòîãî ïðîñòðàíñòâà.
Âûðàæåíèå âèäà
uur
uur
uur def uur
k 1 a1 + k 2 a2 + ... + k s as = k α aα (α = 1,s ),
(2.2)
ãäå k , k , .., k — ïðîèçâîëüíûå ýëåìåíòû ïîëÿ P, íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ (2.1).
Çàìå÷àíèå. Çäåñü è â äàëüíåéøåì áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèì ïðàâèëîì ñîêðàùåííîãî ñóììèðîâàíèÿ: åñëè â íåêîòîðîé ôîðìóëå âñòðå÷àþòñÿ äâà îäèíàêîâûõ áóêâåííûõ èíäåêñà,
ïðè÷åì îíè ðàñïîëîæåíû íà ðàçíûõ óðîâíÿõ, òî ïî ýòîé ïàðå
èíäåêñîâ â ôîðìóëå ïðåäïîëàãàåòñÿ ñóììèðîâàíèå.
1
2
s
www.phoenixbooks.ru
V. Ëèíåéíûå, áèëèíåéíûå è êâàäðàòè÷íûå ôóíêöèè è ôîðìû
 1
 y =

 2
 y =

 ...


 yr =

 r +1
y =

 ...
 y n =
1
b11
123
z1 ,
1
z2 ,
b22
...
...
1
brr
zr ,
(44.2)
z
...
r +1
,
...
zn ,
 1

 b11





det 








0
1
b22
O
1
brr
0
1
O








 ≠ 0.






1 
Ïðåîáðàçîâàíèå (44.2) ïðèâîäèò ôîðìó ϕ ê âèäó
(44.3)
ϕ = ( z1 )2 + ( z 2 ) 2 + ... + ( z r )2 .
Îïðåäåëåíèå. Íîðìàëüíûì âèäîì êâàäðàòè÷íîé ôîðìû, çàäàííîé íàä ïîëåì C, íàçûâàåòñÿ åå êàíîíè÷åñêèé âèä ñ êîýôôèöèåíòàìè 1 è 0.
Òàêèì îáðàçîì, ëþáóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ñ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè ìîæíî ïðèâåñòè ê íîðìàëüíîìó âèäó, êîòîðûé äëÿ äàííîé ôîðìû îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî
îáîçíà÷åíèÿ è íóìåðàöèè ïåðåìåííûõ è çàâèñèò òîëüêî îò ðàíãà
ýòîé ôîðìû.
www.phoenixbooks.ru
Ñîäåðæàíèå
Ââåäåíèå ..................................................................................... 3
Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ .............................................................. 5
I. ÂÅÊÒÎÐÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ ................................................ 6
§ 1. Ïîíÿòèå âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà .................................... 6
§ 2. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü âåêòîðîâ ........................................ 9
§ 3. Áàçèñ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà.
Êîîðäèíàòû âåêòîðà ................................................................. 12
§ 4. Òåîðåìû î áàçèñàõ. Ðàçìåðíîñòü
âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà ......................................................... 15
§ 5. Ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñà.
Ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò ..................................... 18
§ 6. Èçîìîðôèçì âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ .............................. 20
§ 7. Ïîäïðîñòðàíñòâà âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà ................... 22
§ 8. Ñóììà è ïåðåñå÷åíèå ïîäïðîñòðàíñòâ ............................ 24
§ 9. Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà âåêòîðîâ.
Ðàíã ñèñòåìû âåêòîðîâ ............................................................ 28
II. ÑÈÑÒÅÌÛ ËÈÍÅÉÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ............................... 30
§ 10. Ðàíã ìàòðèöû ................................................................... 30
§ 11. Òåîðåìû î ðàíãå ìàòðèöû .............................................. 33
§ 12. Êðèòåðèé ñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ................................................................ 35
§ 13. Ïîäïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû
ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé .......................................... 38
§ 14. Òåîðåìà î ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåøåíèÿõ
ñèñòåìû ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé ........................... 40
III. ËÈÍÅÉÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
ÂÅÊÒÎÐÍÛÕ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂ ................................................... 44
§ 15. Ïîíÿòèå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ....................................... 44
§ 16. Ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ...................................... 47
§ 17. Äåéñòâèÿ íàä ëèíåéíûìè îïåðàòîðàìè ........................ 51
§ 18. Îáðàç è ÿäðî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ............................... 53
§ 19. Òåîðåìû î ðàíãå è äåôåêòå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ....... 56
§ 20. Ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå
çíà÷åíèÿ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ............................................... 59
www.phoenixbooks.ru
Ñîäåðæàíèå
141
§ 21. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí
è õàðàêòåðèñòè÷åñêèå êîðíè ëèíåéíîãî îïåðàòîðà .............. 62
§ 22. Òåîðåìà î õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ êîðíÿõ
è ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿõ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ................... 63
§ 23. Ïîäïðîñòðàíñòâà, èíâàðèàíòíûå
îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà .......................................................... 66
§ 24. Ðàçëîæåíèå âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà
â ïðÿìóþ ñóììó èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ .................. 70
IV. ÅÂÊËÈÄÎÂÛ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ .......................................... 75
§ 25. Îïðåäåëåíèå åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà.
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ......................................... 75
§ 26. Ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè âåêòîðîâ .............................. 77
§ 27. Îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñû .......................................... 79
§ 28. Îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû ................................................ 82
§ 29. Èçîìîðôèçì åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ ......................... 83
§ 30. Îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå ïîäïðîñòðàíñòâà .............. 84
§ 31. Ñèììåòðè÷åñêèå îïåðàòîðû .......................................... 86
§ 32. Êðèòåðèé ñèììåòðè÷íîñòè îïåðàòîðà .......................... 91
§ 33. Îðòîãîíàëüíûå îïåðàòîðû ............................................. 93
§ 34. Êàíîíè÷åñêàÿ ìàòðèöà îðòîãîíàëüíîãî îïåðàòîðà ...... 95
§ 35. Ñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû .............................................. 100
§ 36. Ðàçëîæåíèå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà
â ïðîèçâåäåíèå ñèììåòðè÷åñêîãî
è îðòîãîíàëüíîãî îïåðàòîðîâ ............................................... 102
V. ËÈÍÅÉÍÛÅ, ÁÈËÈÍÅÉÍÛÅ
È ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ È ÔÎÐÌÛ .......................... 106
§ 37. Ëèíåéíûå ôóíêöèè è ôîðìû ....................................... 106
§ 38. Ñîïðÿæåííîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ....................... 108
§ 39. Áèëèíåéíûå è êâàäðàòè÷íûå ôóíêöèè è ôîðìû ........ 111
§ 40. Ðàíã áèëèíåéíîé ôóíêöèè è êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ... 113
§ 41. Êàíîíè÷åñêèé âèä êâàäðàòè÷íîé ôîðìû .................... 114
§ 42. Ïðèâåäåíèå êâàäðàòè÷íîé ôîðìû
ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó ìåòîäîì ýëåìåíòàðíûõ
ïðåîáðàçîâàíèé ...................................................................... 118
§ 43. Ïðèâåäåíèå êâàäðàòè÷íîé ôîðìû
ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó îðòîãîíàëüíûì
ïðåîáðàçîâàíèåì ïåðåìåííûõ .............................................. 121
www.phoenixbooks.ru
142
Ëèíåéíàÿ àëãåáðà
§ 44. Íîðìàëüíûé âèä êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ...................... 122
§ 45. Çàêîí èíåðöèè êâàäðàòè÷íûõ ôîðì
ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè .................................. 125
§ 46. Ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûå
êâàäðàòè÷íûå ôóíêöèè è ôîðìû .......................................... 129
§ 47. Êðèòåðèé Ñèëüâåñòðà ïîëîæèòåëüíîé
îïðåäåëåííîñòè êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ................................. 132
§ 48. Ðàñïàäàþùèåñÿ êâàäðàòè÷íûå ôîðìû ........................ 135
Ñïèñîê ðåêîìåíäóåìîé ëèòåðàòóðû ........................................... 139
www.phoenixbooks.ru
Ñåðèÿ «Âûñøåå îáðàçîâàíèå»
ÑÊÐÛÄËÎÂÀ Åëåíà Âèêòîðîâíà,
ÁÅËÎÂÀ Îëüãà Îëåãîâíà
Ëèíåéíàÿ àëãåáðà
Ó÷åáíîå ïîñîáèå
Îòâåòñòâåííûé ðåäàêòîð
Â. Ðàçíîìàçîâ
Âûïóñêàþùèé ðåäàêòîð
Ã. Ëîãâèíîâà
Òåõíè÷åñêèé ðåäàêòîð
Þ. Äàâûäîâà
Ñäàíî â íàáîð 28.12.2011. Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 17.04.2012.
Ôîðìàò 84õ108 1/32. Áóìàãà îôñåò. Ãàðíèòóðà «Øêîëüíàÿ».
Òèðàæ 2 500 ýêç. Çàêàç ¹
ÎÎÎ «Ôåíèêñ»
344082, ã. Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ïåð. Õàëòóðèíñêèé, 80.
Òåë./ôàêñ (863) 261-89-50.
E-mail: raznomazov_vm@mail.ru
www.phoenixbooks.ru
Автор
phoenixbooks
Документ
Категория
Методические пособия
Просмотров
52
Размер файла
129 Кб
Теги
phoenixbooks, www, www.phoenixbooks.ru, Книги издательства Феникс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа