close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математика теоремы уравнения неравенства Клово А.Г. (www.PhoenixBooks.ru)

код для вставкиСкачать
Серия «Библиотека школьника»
А.Г. Клово
М
АТЕМАТИКА.
Теоремы, уравнения, неравенства
Ростов-на-Дону
«Феникс»
2012
Клово А.Г.
К50
Математика.
Теоремы,
уравнения,
неравенства
/
А.Г.
Клово.
—
Рос
тов
н/Д
:
Феникс,
2012.
—
155
с.
—
(Библиотека
школьника).
УДК
373.167.1:51
ББК
22.1я72
КТК
444
К50
ISBN
978-5-222-19986-2
Учебное
пособие
будет
полезно
тем,
кто
хочет
систематизиро
-
вать
свои
знания
школьной
математики.
В
нем
не
только
простым
и
доступным
языком
изложены
основные
факты
арифметики,
алге
-
бры,
геометрии
и
теории
вероятностей.
Читатель
узнает
многое
из
того,
что
в
недостаточной
степени
изложено
в
школьных
учебниках,
но
поможет
эффективно
выполнять
сложные
задания
предстоящих
экзаменов.
Книга
рассчитана
на
тех,
кто
хочет
получить
прочные
теоретиче
-
ские
знания
к
предстоящему
госэкзамену
по
математике
и,
если
потре
-
буется,
к
вступительным
испытаниям
в
вузы
с
повышенными
требова
-
ниями
по
математике.
Большое
количество
примеров
разных
уровней
сложности
делает
книгу
полезной
для
всех
выпускников
средней
школы
и
учителей
ма
-
тематики.
©
Клово
А.Г.,
текст,
2012
©
ООО
«Феникс»,
оформление,
2012
УДК
373.167.1:51
ББК
22.1я72
ISBN
978-5-222-19986-2
3
Содержание
Введение
..............................................................................................
5
1.
Число,
развитие
понятия
числа
.....................................................
7
2.
Десятичная
форма
записи
натуральных
чисел
...........................
11
3.
Простые
и
составные
натуральные
числа
..................................
13
4.
Наибольший
общий
делитель
и
наименьшее
общее
кратное
натуральных
чисел
............................................
16
5.
Признаки
делимости
натуральных
и
целых
чисел
....................
18
6.
Свойства
остатков
при
делении
целых
чисел
............................
21
7.
Среднее
арифметическое
и
среднее
геометрическое
чисел
.............................................................................................
24
8.
Проценты
.......................................................................................
26
9.
Модуль
числа
.................................................................................
28
10.
Предел
числовой
последовательности,
число
e
.......................
34
11.
Арифметическая
прогрессия
......................................................36
12.
Геометрическая
прогрессия
.......................................................
39
13.
Алгебраические
преобразования
...............................................
41
14.
Действия
со
степенями
...............................................................
44
15.
Линейные
уравнения
и
неравенства
..........................................
48
16.
Квадратные
уравнения
и
неравенства
.......................................
56
17.
Свойства
многочленов
................................................................
61
18.
Метод
интервалов
решения
неравенств
....................................
64
19.
Иррациональные
уравнения
и
неравенства
..............................
67
20.
Тригонометрические
функции
острого
угла
в
прямоугольном
треугольнике
..................................................
70
21.
Измерение
угла,
тригонометрические
функции
......................
72
22.
Свойства
тригонометрических
функций
..................................
76
23.
Обратные
тригонометрические
функции
.................................
79
24.
Тригонометрические
уравнения
и
неравенства
.......................
81
25.
Показательные
функции
.............................................................
84
26.
Показательные
уравнения
и
неравенства
.................................
86
27.
Логарифмические
функции
........................................................
88
28.
Логарифмические
уравнения
и
неравенства
............................
92
29.
Функция,
свойства
функции
......................................................
94
30.
Производная
функции,
вычисление
производной
...................
97
31.
Приложения
производной
........................................................
100
4
32.
Уравнение
прямой
на
плоскости
.............................................
105
33.
Уравнение
плоскости
в
пространстве
.....................................
107
34.
Векторная
алгебра
.....................................................................
108
35.
Некоторые
свойства
треугольников
........................................
110
36.
Некоторые
свойства
четырехугольников
................................
115
37.
Некоторые
свойства
окружностей
...........................................
118
38.
Некоторые
стереометрические
задачи
....................................
122
39.
Некоторые
задачи
теории
вероятностей
.................................
127
40.
Некоторые
логические
задачи
..................................................
132
5
Введение
Высшей
математикой
называют
те
ее
разделы,
которые
не
изу
-
чаются
в
школе.
Означает
ли
это,
что
школьная,
или,
как
ее
иногда
называют,
элементарная
математика
такая
уж
простая?
Вовсе
нет,
грани
неизведанного
подстерегают
пытливый
ум
буквально
на
каждом
шагу.
В
частности,
на
госэкзамене
встретятся
задания
са
-
мого
разного
уровня
сложности.
Это
будут
задачи
и
простые,
и
очень
сложные.
Все
они
соответствуют
школьной
программе,
но
наряду
со
стандартными
заданиями
встретятся
такие,
которые
вы
в
школе
не
решали.
Они
придуманы
специально
для
этого
экзаме
-
на.
Задачи
повышенной
сложности
и
определят
тех,
кто
наберет
самые
высокие
баллы.
В
течение
11
лет
школьники
упорно
изучают
арифметику,
алге
-
бру,
геометрию,
теперь
и
теорию
вероятностей
с
элементами
ста
-
тистики.
Все
ли
эти
знания
сохранил
выпускник?
Ну
а
если
он
даже
и
помнит
все,
что
изучалось
в
школе,
гарантирует
ли
это
по
-
лучение
высоких
баллов
на
итоговой
аттестации?
Ведь
формаль
-
ных
знаний
совершенно
недостаточно
для
выполнения
сложно
-
го
задания.
Можно
на
одном
листе
бумаги
написать
все
формулы
школьной
математики,
можно
даже
их
заучить.
Но
для
решения
за
-
дачи
надо
найти
последовательность
логических
ходов,
которые
позволят
получить
правильный
ответ
и
его
обосновать,
т.е.
решить
задачу.
Тем
более
это
верно
для
олимпиад
по
математике
и
вступи
-
тельных
экзаменов
в
ведущие
вузы.
Но,
с
другой
стороны,
без
базовых
знаний,
без
знания
опреде
-
лений
и
теорем
невозможно
выполнять
задания
по
математике.
Человеку
даны
2
глаза
для
того,
чтобы
изображение,
возника
-
ющее
в
голове,
не
было
плоским
отражением
реальности.
Так
и
для
получения
прочных
знаний
недостаточно
читать
один
учеб
-
ник.
Очень
важной
является
роль
учителя,
который
не
повторяет
то,
что
прочитано
учеником,
а
рассказывает
об
этом
с
новых
пози
-
ций,
демонстрирует
разные
способы
решения
задачи.
Для
получе
-
ния
высоких
баллов
на
ЕГЭ
не
менее
важным
является
изучение
дополнительной
литературы.
Мы
постарались
в
этой
книге
так
изложить
основные
моменты
школьного
курса
математики,
чтобы,
с
одной
стороны,
напомнить
6
читателю
то,
что
изучалось
в
школе.
С
другой
стороны,
не
повто
-
рять
дословно
содержание
учебника,
посмотреть
на
учебный
мате
-
риал
с
несколько
иных
позиций.
Школьные
учебники
в
течение
многих
лет
очень
последова
-
тельно,
долго
и
дотошно
излагают
школьную
программу
по
ма
-
тематике.
Такое
невозможно
в
относительно
небольшой
по
объе
-
му
книге.
Поэтому
здесь
вы
можете
встретить
общеупотребитель
-
ные
термины,
смысл
которых
«официально»
излагается
в
последу
-
ющих
разделах.
Казалось
бы,
в
справочном
пособии
не
надо
приводить
доказа
-
тельств
утверждений.
Тем
не
менее
часть
утверждений
доказыва
-
ется.
Это
делается
в
тех
случаях,
когда
изучение
приведенных
до
-
казательств
полезно
для
подготовки
к
экзаменам
по
математике.
Кроме
того,
доказываются
утверждения,
которые
не
приведены
в
стандартных
учебниках,
но
полезны
для
успеха
в
итоговых
испы
-
таниях.
Нельзя
получить
прочные
знания,
читая
определения
и
теоре
-
мы.
Поэтому
в
книге
приведены
многочисленные
примеры
зада
-
ний,
в
которых
наиболее
часто
учащимися
совершаются
ошибки.
Кроме
того,
книга
написана
таким
образом,
чтобы
читать
ее
мож
-
но
было,
начиная
с
любой
страницы.
При
этом
сохраняется
после
-
довательность
изложения
материала.
Следовательно,
моменты,
ко
-
торые
вызывают
затруднения,
можно
при
первом
прочтении
про
-
пускать.
Надо
думать,
что
читатели
книги
ставят
перед
собой
разные
за
-
дачи.
Кто-то
хочет
уверенно
сдать
Единый
госэкзамен
по
матема
-
тике.
Книга
рассчитана
и
на
этих
читателей,
и
на
тех,
кто
ставит
перед
собой
самые
высокие
цели,
кто
замахивается
на
100-балль
-
ный
результат,
кто
планирует
участие
в
олимпиадах
разного
уров
-
ня.
Часть
заданий
и
разделов
отмечены
знаком
*,
это
задания
повы
-
шенного
уровня
сложности.
Для
того,
чтобы
читателю
было
лег
-
че
найти
нужную
информацию,
ключевые
слова
в
каждом
разделе
выделены
полужирным
шрифтом.
Хотелось
бы
продолжить
активное
общение
с
читателями
кни
-
ги
—
и
с
опытными
учителями,
и
с
учениками
школ.
Адрес
для
об
-
щения
прежний:
aleksandrklovo@yandex.ru.
7
1. Число, развитие понятия числа
Ученые
до
сих
пор
спорят,
что
такое
математика,
даются
раз
-
ные
определения.
Для
нас
с
вами
математика
начинается
с
нату-
ральных чисел
,
т.е.
с
чисел
1,
2,
3…
Множество
этих
чисел
обо
-
значается
символом
N
.
Чтобы
абстрактные
объекты
стали
предме
-
том
изучения
математики,
надо
ввести
операции
над
ними.
Для
натуральных
чисел
нам
знакомы
операции
сложения
и
умножения.
Они
обладают
важными
свойствами,
например,
a
+ b = b + a
,
ab = ba
и
т.д.
Числа
можно
сравнивать,
сумма
и
про
-
изведение
натуральных
чисел
также
являются
натуральными
чис
-
лами.
Для
операции
сложения
можно
ввести
обратную
операцию
—
вычитание.
Разностью
чисел
a – b
называется
число
c
,
такое,
что
b + c = c + b = a
.
К
понятию
разности
чисел
можно
прийти,
ре
-
шая
уравнение
b + x = a
.
Для
того
чтобы
эта
операция
была
всег
-
да
выполнима,
потребовалось
ввести
отрицательные
числа
и
0.
Полученные
числа
0,1,2,3... называются
множеством
це-
лых чисел
и
обозначаются
символом
Z.
Введение
операции
деления,
обратной
к
операции
умножения,
приводит
к
рациональным числам
,
т.е.
к
числам
вида
m
n
(множе
-
ство
Q
),
где
m
является
целым
числом,
т.е
m Z
,
а
n
—
натуральное
число,
т.е.
n N
.
Рациональные
числа
содержат
в
себе
целые
чис
-
ла,
их
можно
понимать
как
корни
уравнения
nx = m.
Дальнейшее
развитие
понятия
числа
можно
воспринимать
как
решение
все
более
сложных
уравнений.
Например,
можно
прове
-
рить,
что
уравнение
x
2
=
2
не
имеет
решения
среди
рациональных
чисел.
Действительно,
в
уравнении
2
2
m
n
множитель
2
слева
встречается
четное
число
раз,
а
справа
находится
единственный
множитель
2.
Конечные
и
бесконечные
десятичные
дроби
(множе
-
ство
всех
точек
числовой
оси)
образуют
множество
действитель-
ных чисел R
.
Действительные
числа,
не
являющиеся
рациональ
-
ными,
называются
иррациональными числами
.
Как
мы
видим,
иррациональные
числа
существуют,
например,
это
положитель
-
ный
корень
уравнения
x
2
=
2
число
2
.
8
Оказывается,
что
не
все
иррациональные
числа
могут
быть
по
-
лучены
подобным
образом.
Действительные
числа,
которые
не
являются
корнями
много
-
членов
с
целыми
коэффициентами,
называются
трансцендентны-
ми числами
.
Таких
чисел
подавляющее
большинство
на
действи
-
тельной
оси.
Поэтому
физические
константы,
как
правило,
оказы
-
ваются
трансцендентными
числами.
В
курсе
математики
школьни
-
ки
знакомятся
с
двумя
такими
числами
—
числом
π
и
числом
e
.
Мы
еще
к
ним
вернемся
в
соответствующих
разделах
теории.
Пример 1.
Заданы
числа:
7 4 3,
28 2 75 7 2 12, 2
2
2 2,
1 2
1 1
6 2,
4 4
2
6
2,
2
1 1
3 3
3 1
3.
8 8
Найдите
сумму
тех
из
них,
которые
являются
рациональными
числами.
Решение.
Первое
число
рациональным
не
является,
так
как
если
4
умно
-
жить
на
иррациональное
число,
из
7
вычесть
иррациональное
чис
-
ло,
извлечь
корень
квадратный
из
иррационального
числа,
то
во
всех
этих
случаях
мы
получим
число
иррациональное.
Все
остальные
числа
являются
числами
рациональными
и
даже
целыми
числами:
28 2 75 7 2 12 28 10 3 7 4 3
5 3 2 3 3,
2
2
2
2 1 2
2
2 2 2 2 3 2 18,
1 2
1 2
1 1
6 2 2,5 1,5 1,
4 4
9
2
2
6
2 3 2 2 8,
2
1 1
3 3
3 1
3 1,5 0,5 1.
8 8
Вычисляя
второе
число,
мы
значение
вида
3a b
искали,
как
3,c d
и
возводили
обе
части
полученного
равенства
в
ква
-
драт.
В
числах
№
3
и
№
5
разумно
избавиться
от
иррационально
-
сти
в
знаменателе.
Искомая
сумма
равна
31.
Ответ: 31.
Выпускники
школы
должны
быть
знакомы
с
числами
на
-
туральными,
целыми,
рациональными
и
иррациональными.
Отметим,
что
рациональные
числа
могут
быть
записаны
в
виде
m
n
или
как
периодическая
десятичная
дробь.
Несократимая
дробь
m
n
может
быть
записана
в
виде
конечной
десятичной
дро
-
би
тогда
и
только
тогда,
когда
ее
знаменатель
состоит
из
простых
множителей
2
и
5
в
некоторых
степенях.
Если
это
не
так,
то
мы
приходим
к
периодической дроби
.
Иррациональные
числа
мо
-
гут
быть
записаны
в
виде
бесконечных
непериодических
деся
-
тичных
дробей.
Периодическая
дробь
может
быть
разными
способами
запи
-
сана
в
виде
m
n
.
Например,
можно
составить
уравнение
относи
-
тельно
этой
дроби.
Для
этого
надо
дробь
приравнять
к
неизвест
-
ному
x
и
обе
части
равенства
умножить
на
10
k
,
где
k
—
число
чи-
сел
в
периоде.
Пусть
0,(28)
=
x
,
тогда
100
x
=
28
+
x
и
28
.
99
x Также
может
быть
использована
бесконечно
убываю
щая
гео
метрическая
прогрессия,
о
чем
мы
поговорим
позже.
Наконец,
можно
вывести
правило,
которое
условно
запишем
в
виде:
123456789 12345
12,345(6789).
9999000
10
Это
означает,
что
периодическая
дробь
равна
обычной
дроби,
в
числителе
которой
написано
число
из
его
цифр
минус
число
из
цифр,
которые
стоят
до
периода.
В
знаменателе
написано
столько
девяток,
сколько
цифр
в
периоде,
и
столько
нулей,
сколько
цифр
между
запятой
и
периодом.
В
определенной
степени
замыкает
развитие
числа
введение
по
-
нятия
комплексных
чисел
*
.
Такая
необходимость
возникает,
напри
-
мер,
при
решении
уравнения
x
2
+
1
=
0.
Среди
действительных
чи
-
сел
нельзя
найти
число,
квадрат
которого
равен
–1.
Комплексными
числами
называются
числа
вида
z = x + iy
,
где
x
и
y
являются
действительными
числами
и
называются
соответст
-
венно
действительной
и
мнимой
частями
комплексного
числа
z
.
По
определению,
суммой
комплексных
чисел
z
1
= x
1
+ iy
1
и
z
2
= x
2
+ iy
2
называется
число
z
1
+
z
2
=
(
x
1
+
x
2
)
+
i(y
1
+
y
2
),
а
произведением
этих
чисел
называется
число
z
1
·z
2
=
(
x
1
·x
2
–
y
1
·y
2
)
+
i(x
1
·y
2
+
x
2
·y
1
).
Смысл
этого
определения
заключается
в
том,
что
при
сложении
отдельно
складываются
действительные
и
мнимые
части
комплексных
чи
-
сел.
Соответственно
при
умножении
комплексных
чисел
мы
так
-
же
обычным
образом
раскрываем
скобки,
заменяя
символ
i
2
чис
-
лом
–1.
Очень
часто
школьники
спрашивают:
«А
зачем
нужны
комплексные
числа,
где
они
встречаются
в
жизни?»
Но
ведь
и
на
-
туральные
числа
в
природе
не
существуют,
однако
эти
абстракции
всем
понятны.
Теория
комплексных
чисел,
теория
функций
ком
-
плексного
переменного
имеет
многочисленные
приложения.
Ответственные редакторы
Оксана Морозова,
Наталья Калиничева
Технический редактор Галина Логвинова
Сдано в набор 06.06.2012. Подписано в печать 06.07.2012.
Формат 84×108/32. Бумага тип. № 2.
Гарнитура Таймс. Тираж 2500 экз. Зак. № 2222
ООО «Феникс»
344082, г. Ростов
-
на
-
Дону, пер. Халтуринский, 80
Серия «Библиотека школьника»
Александр Георгиевич Клово
МАТЕМАТИКА. ТЕОРЕМЫ, УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА
Автор
phoenixbooks
Документ
Категория
Методические пособия
Просмотров
134
Размер файла
315 Кб
Теги
phoenixbooks, www, www.phoenixbooks.ru, Книги издательства Феникс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа